ApuntesMMHH

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
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Escuela Politécnica Superior
Apuntes de Máquinas Hidráulicas
M
Autor
Cesar Huete, Daniel Martínez Ruiz, Mario Sánchez Sanz
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA TÉRMICA Y DE FLUIDOS
Leganés, Septiembre 2017
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Apuntes de Máquinas Hidráulicas
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Autor
Cesar Huete, Daniel Martínez Ruiz, Mario Sánchez Sanz
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Índice
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3
Teoría Unidimensional
3.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Triángulo de velocidades y ángulos característicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Fuerza sobre un álabe aislado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Conservación del momento angular: la ecuación de Euler. . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Aplicación de la ecuación de Euler a la máquina de entrada axial y salida
radial de la figura 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 El grado de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Variación de la altura y el rendimiento con los parámetros geométricos . . . . . . . .
3.6.1 Influencia de la orientación de la velocidad ~v en la sección de entrada al rotor:
el ángulo α1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Influencia de la orientación del álabe en la sección de salida: el ángulo β2 . .
3.7 Definición de rendimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Repaso de Mecánica de Fluidos
2.1 Hipótesis de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definición de Fluido Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 La ecuación de conservación de cantidad de movimiento: La ecuación de
Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 La ecuación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 La ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Pérdida de carga en tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
Introducción
1.1 Definición . . . . . . . . . . .
1.1.1 Clasificación . . . . . .
1.2 Elementos constructivos . . .
1.2.1 Distribuidor . . . . . .
1.2.2 Difusor . . . . . . . . .
1.2.3 Rodete . . . . . . . . .
1.3 Altura de una turbomáquina
1.4 Sistemas de referencia . . . .
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Índice
3.7.1
3.7.2
3.7.3
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Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
8.1 Tiempos característicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Punto de funcionamiento en instalaciones de bombeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Instalaciones de bombeo ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Efectos disipativos en máquinas radiales . . . . . . . .
5.2.1 Capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas
5.3 Efectos disipativos en máquinas axiales . . . . . . . .
5.3.1 Capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas
5.4 Curvas reales de funcionamiento . . . . . . . . . . . .
5.5 Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Análisis Dimensional
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Conceptos básicos generales de análisis dimensional y semejanza . . . . . . . . . .
6.2.1 Teorema Π o Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Semejanza geométrica y física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Análisis dimensional en turbomáquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Conceptos de análisis dimensional y semejanza aplicados a turbomáquinas
6.3.2 Curvas características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Velocidad, potencia y diámetro específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M
6
Efectos bidimensionales
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas radiales .
4.2.1 El coeficiente de disminución de trabajo . . . . . . . . .
4.2.2 Correcciones de Stodola y Pfleiderer . . . . . . . . . . .
4.3 Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales . .
4.3.1 Aerodinámica de perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Movimiento bidimensional en cascada de álabes móvil
4.4 Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Turbinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Ejercicio de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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8
Cavitación
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Efectos de la cavitación . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Origen y descripción de la cavitación en bombas
7.4 Cavitación en turbinas. . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Velocidad específica de aspiración . . . . . . . .
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Índice
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8.5
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8.7
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8.3.1 Bombas en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regulación del caudal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Regulación mediante válvulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Regulación mediante by-pass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Regulación por velocidad de giro de la bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4 Regulación mediante control de la pre-rotación del fluido a la entrada del rotor
8.4.5 Regulación de caudal mediante rotación de los álabes del rotor . . . . . . . .
Funcionamiento estable e inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guía para la selección de bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punto de funcionamiento en turbinas hidráulicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.4
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Nomenclatura
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Caracteres latinos
A, S
b
c
e
~ei
F~
f~m
M
g
h
Hg
H∞
Hz
Hu
Hm
HL
ṁ
~n
p
pa
Q
Qf
r, θ, z
t
T~ , T
U
U
~u
~v
vu
– Área o superficie de paso.
– Altura de álabe en máquina centrífuga.
– Capacidad calorífica específica
– Energía interna específica
– Vector unitario en la dirección de i.
– Vector fuerza.
– Vector fuerza por unidad de masa.
– Aceleración de la gravedad.
– Entalpía específica
– Altura de elevación sobre el terreno.
– Altura teórica o de Euler con número infinito de álabes.
– Altura teórica con ún número finito de álabes.
– Altura útil.
– Altura manométrica.
– Altura de pérdidas en el rotor.
– Gasto másico.
– Vector normal a una superficie.
– Presión.
– Presión atmosférica.
– Caudal.
– Caudal de fugas en el rotor.
– Coordenadas cilíndricas polares.
– Tiempo.
– Vector y módulo de par o torque.
– Función potencial de fuerzas másicas.
– Velocidad media en la tubería.
— Vector velocidad de arrastre.
— Vector velocidad absoluta.
— Proyección del vector velocidad absoluta sobre el vector velocidad
de arrastre.
— Velocidad meridiana o meridional.
– Volumen de control.
— Vector velocidad relativa.
vm
Vc
w
~
Índice
wu
—
Proyección del vector velocidad relativa sobre el vector velocidad
de arrastre.
Velocidad relativa meridiana o meridional.
Vector de posición.
Potencia.
Vector de posición en coordenadas cartesianas.
wm
—
~x, ~r
–
Ẇ
–
~x = –
(x, y, z)
~x = – Vector de posición en coordenadas cilíndricas polares.
(x, r, θ)
Subíndices
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—
—
—
Magnitudes referidas a la entrada del distribuidor .
Magnitudes referidas a la entrada del álabe.
Magnitudes referidas a la salida del álabe.
Magnitudes referidas a la entrada del difusor.
Magnitudes referidas a la salida del difusor.
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Letras griegas
α
β
λ
Ω
dσ
Σc
ρ
τ̄¯
Φv
Ángulo formado por el vector velocidad absoluta y el vector
velocidad de arrastre.
— Ángulo formado por el vector velocidad relativa y el vector velocidad de arrastre.
— Factor de fricción.
— Velocidad de giro de la turbomáquina.
– Diferencial de superficie.
– Superficie de control.
– Densidad del fluido de trabajo.
– Tensor de esfuerzos viscosos.
– Disipación viscosa.
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M
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3
Introducción
1.1
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El documento que sigue conforma un esfuerzo de síntesis para el estudio de máquinas hidráulicas
desde la óptica proporcionada por la formación ingenieril. El objetivo común de los autores es
ofrecer al lector una explicación completa de los principios y los modelos que permiten analizar su
comportamiento, así como proporcionar las capacidades de proyectar los detalles necesarios en el
diseño de estos dispositivos.
Definición
Las máquinas que serán objeto de estudio en este libro son aquellas capaces de realizar un intercambio de energía con un fluido que circula en su interior, sin modificar la temperatura del mismo
de forma apreciable. El sistema de movimiento mecánico particular de cada máquina extrae o
bien aporta al fluido energía cinética y variaciones de presión para su aprovechamiento con fines
dispares.
1.1.1
Clasificación
M
Existen numerosos tipos de máquinas que hacen uso del movimiento de un fluido con objetivos
tan diferentes como la propulsión por turbohélices, la generación de electricidad, la compresión
de gases o simplemente la elevación de agua. Considerando las maneras de diferenciarlas se
establecen los siguientes criterios:
Atendiendo a la compresibilidad o no del proceso fluido en el interior del dispositivo podemos
diferenciar entre dos tipos de máquinas en primera instancia. Las primeras son aquellas en las
que la densidad del fluido sufre un cambio no despreciable al atravesar el mecanismo, lo que
apareja típicamente fuertes variaciones de presión o temperatura. Éstas son las denominadas
máquinas térmicas, en las cuales no hay necesariamente una transmisión de energía térmica entre
la máquina y el fluido. Las segundas, hacen uso de fluidos de trabajo en los que las variaciones
de densidad y efectos térmicos son despreciables a su paso por el sistema. Estas últimas son las
máquinas hidráulicas y serán aquellas que analicemos aquí.
En función del sentido de la transmisión de energía se consideran varios tipos. Primero,
máquinas que consumen potencia del eje y la transmiten al fluido; tales como las bombas (generación de
presión), hélices (generación de empuje) y tornillos de Arquímedes (incremento de energía potencial).
Todos estos tipos necesitan de un motor que genere dicha energía mecánica transferida por el eje.
Segundo, máquinas que ceden potencia al eje al extraerla del flujo; por ejemplo las Turbinas Francis
y Kaplan (decremento de presión) o Turbinas Pelton (disminución de energía cinética). Por último,
se consideran máquinas reversibles a todas aquellas capaces de funcionar alternativamente como
generadoras o motoras.
1. Introducción
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Figura 1.1. Turbinas Francis (izquierda), Pelton (centro) y Kaplan (derecha).
Finalmente, dependiendo del movimiento mecánico realizado por la máquina en su transmisión de energía diferenciamos a las turbomáquinas, máquinas rotativas que precisan de una pieza
giratoria (rotor) que actúa de manera continuada, y el resto de máquinas de desplazamiento (e.g.
compuestas por émbolos, membranas, etc.) que no se consideran en este curso.
1.2
Elementos constructivos
M
Una turbomáquina hidráulica elemental se compone de una o varias células en serie (también
llamadas etapas), a través de las cuales pasa sucesivamente el fluido de trabajo variando su presión
y/o energía cinética. En cada una de dichas etapas podemos identificar por un lado elementos
móviles (rotor) como los rodetes, y por otro elementos fijos (estátor), entre los que se encuentran
distribuidores y difusores principalmente (véase figura 1.2).
1.2.1
Distribuidor
Se trata de un elemento estático de la turbomáquina que guía el fluido para su adecuada interacción
con el rodete. Dentro de los difusores se pueden considerar carcasas o conductos de admisión
situados a la entrada del flujo. Además, también se cuentan entre los elementos del sistema
distribuidor álabes fijos que dirigen la corriente para dotarla del ángulo de entrada adecuado en el
rodete. El distribuidor es un elemento que no siempre está presente.
1.2.2
Difusor
Este elemento estático tiene una doble función en la actividad de la máquina hidráulica, por un
lado guiar el fluido a la salida del rodete hacia un conducto espiral (voluta) que rodea al rodete y
recoge el fluido saliente. Por otro lado, el difusor se emplea para convertir la energía cinética en
presión estática mediante la deceleración del flujo. Una turbomáquina que no conste de difusor se
cataloga entre las llamadas de escape libre.
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1.3. Altura de una turbomáquina
Figura 1.2. Elementos constructivos de una turbomáquina
1.2.3
Rodete
M
Elemento esencial en la arquitectura de una turbomáquina compuesto por un conjunto de álabes
móviles. Entre los álabes se forman canales por los que pasa continuamente el fluido. Gracias a su
montaje axial y su capacidad de movimiento rotatorio, el rodete transfiere energía de la máquina al
fluido que lo atraviesa (bomba) o viceversa (turbina).
Aquellas turbomáquinas en las que se produce una fuerte variación de presión estática en el
rotor se denominan turbomáquinas de reacción. Las turbinas de reacción reciben el caudal proveniente
del distribuidor a alta presión y a través del rodete el fluido sufre una disminución importante
de la misma. Sin embargo, en las turbomáquinas de acción se conserva la presión estática a lo largo
del rodete, siendo la variación del momento cinético la responsable del intercambio de energía
mecánica.
El rodete es además el responsable de otro tipo de clasificación de turbomáquinas. En función
de la dirección del flujo que lo atraviesa podemos encontrar una gran variedad de configuraciones
clasificadas en radiales, axiales o mixtas.
1.3
Altura de una turbomáquina
La potencia transmitida Ẇ [W ] en una turbomáquina, o energía por unidad de tiempo [J/s] será
una de las magnitudes de mayor interés en este texto. La consideración de dicha cantidad permite
identificar las dimensiones [kg m2 /s3 ], pudiendo reconstruir la magnitud de potencia haciendo
uso de la densidad del fluido ρ, el caudal Q y la aceleración gravitatoria g, como Ẇ = ρQgH,
donde H representa una longitud, la altura de la turbomáquina. Este concepto relaciona la potencia
intercambiada en términos de la altura a la que podría ser elevado continuamente el caudal del
fluido de trabajo (de una densidad dada) en contra de la aceleración de la gravedad. Además, la
6
1. Introducción
potencia por unidad de gasto volumétrico se ve asociada a un salto de presión total,
Ẇ
= ρgH = ∆Pt =
Q
s
1 2
p + ρv + ρgz ,
2
e
(1.1)
teniendo en cuenta las variaciones entre la salida y la entrada de la máquina. La potencia que se ve
involucrada en el funcionamiento de estos dispositivos se puede subdividir en distintos procesos
que serán analizados en detalle en el capítulo 3.
Sistemas de referencia
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1.4
M
La simetría de revolución presente en
la construcción de máquinas hidráulicas
de rotación propicia el uso de sistemas
de referencia en coordenadas cilíndricas,
{r, θ, x}, para el análisis fluidomecánico.
Las coordenadas intrínsecas asociadas
{~er , ~eθ , ~ex } se muestran en la figura 1.3,
donde se representa una máquina axial en
funcionamiento a una velocidad angular
Ω. La velocidad de los álabes o velocidad de arrastre se puede escribir como
~u = u~eθ = Ωr~eθ . En cambio, la velocidad del fluido relativa a los elementos en
movimiento de la máquina la denotaremos
como w,
~ la cual fija la interacción entre
rodete y fluido de trabajo. El problema
observado desde dicho sistema de referencia cilíndrico en rotación con los álabes es
estacionario, simplificando así el análisis
fluidodinámico. La velocidad del fluido
en un sistema fijo a tierra la definimos entonces como la composición,
~v = w
~ + ~u,
(1.2)
Figura 1.3. Sistemas de referencia en coordenadas cilíndri-
donde las componentes de la velocidad cas para el estudio de turbomáquinas.
absoluta ~v = vr~er + vu~eθ + vx~ex y relativa
w
~ = wr~er + wu~eθ + wx~ex , referidas a estos ejes, se relacionan según,
vr = w r ,
vu = wu + u,
vx = wx .
(1.3)
Tal como se avanzaba anteriormente, se considerarán convenientemente distintos sistemas de
referencia en función del desplazamiento de las partículas fluidas a su paso por el rodete según las
siguientes categorías:
1.4. Sistemas de referencia
7
• Turbomáquinas radiales. Cada partícula de fluido recorre una trayectoria que se encuentra
contenida en el plano ~er − ~eθ , e.g. Turbina Francis. Fig. 1.4(a).
• Turbomáquinas axiales. La trayectoria de las partículas fluidas está contenida en el plano
coaxial al eje de la turbomáquina ~eθ − ~ex , e.g. Turbina Kaplan. Fig. 1.4(b)
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
• Turbomáquinas mixtas o helico-centrífugas. Cada partícula recorre una trayectoria contenida
en una superficie cónica o en una superficie de revolución cualquiera no desarrollable ~er −
~eθ − ~ex . Fig. 1.4(c).
Figura 1.4. Clasificación por dirección del flujo
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
M
9
Repaso de Mecánica de Fluidos
2.1
Hipótesis de partida
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Para caracterizar la interacción entre el fluido y los elementos mecánicos dentro de una máquina
hidráulica es necesario conocer cómo el fluido modifica sus propiedades aerotérmicas (presión, velocidad y temperatura) en función de las condiciones de operación. Dichas propiedades se pueden
precisar de forma inequívoca para una partícula de fluido, que se define como la masa elemental de
fluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Las dimensiones de la
partícula fluida han de ser lo suficientemente grandes para contener un gran número de moléculas
(hipótesis del continuo) y lo suficientemente pequeñas para que las propiedades macroscópicas
sean uniformes, aunque infinitésimamente diferentes a las propiedades correspondientes a las
partículas fluidas colindantes (equilibrio termodinámico local).
Bajo las hipótesis del continuo y del equilibrio termodinámico local podemos escribir las
ecuaciones de conservación de la masa, del momento (lineal y angular) y de la energía, que
finalmente gobernaran la interacción del fluido con los diferentes componentes de la máquina
hidráulica. A lo largo de este capítulo se presentaran dichas ecuaciones en forma diferencial e
integral y se aplicaran a escenarios característicos de máquinas hidráulicas.
2.1.1
Definición de Fluido Ideal
Incluso en el mejor de los casos, cuando la geometría es muy simple y el régimen de operación es
laminar y estacionario, el detalle del comportamiento del fluido es difícil de describir. Para que la
caracterización del flujo dentro de la máquina hidráulica sea analíticamente abordable es necesario
realizar simplificaciones en las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del fluido.
Supongamos por tanto que el fluido es ideal, es decir, que los efectos viscosos y compresibles
pueden ser despreciados. Para el caso de máquinas que involucran líquidos como fluido de trabajo
la hipótesis de incompresibilidad, ρ =constante, está completamente justificada. En este caso, si
la densidad del fluido no varía, tampoco cambia el volumen del mismo mientras se mueve en
la máquina hidráulica. Para justificar adecuadamente la no consideración de efectos viscosos es
necesario cuantificar el número de Reynolds característico Re = ρvL/µ. Para agua en condiciones
normales encontramos que Re ∼ 106 (s/m2 )vL, lo que garantiza Re 1 para condiciones de
operación nominales en maquinas hidráulicas convencionales.
Supondremos también que el fluido es caloríficamente perfecto, lo que implica que el calor
específico es una propiedad intrínseca del fluido y no varía en el proceso. Con esta condición,
la relación entre variaciones de energía interna por unidad de masa ∆e y temperatura ∆T es
∆e = c∆T , con c representando el calor específico. La entalpía específica puede obtenerse a partir
de la relación h = e + p/ρ, con p representando a la presión.
10
2. Repaso de Mecánica de Fluidos
2.2
Ecuaciones de conservación
2.2.1
Ecuación de continuidad
La ecuación de conservación de la masa indica que la masa total contenida en un volumen de fluido
(en un sistema cerrado) permanece constante con el tiempo, es decir
"Z
#
d
ρdV = 0
(2.1)
dt Vf (t)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
donde el volumen de fluido, Vf (t), contiene siempre las mismas partículas de fluido. En sistemas
donde el fluido está en movimiento la función Vf (t) es también una incógnita del problema y
variará con el tiempo de acuerdo al movimiento de las partículas en la frontera. Es por tanto
oportuno reescribir (2.1) para un volumen de control Vc (t) fijado según conveniencia. De esta forma
tenemos que
Z
Z
d
ρdV = −
ρ (~v − ~vc ) · ~ndσ
(2.2)
dt Vc
Σc
tras hacer uso del teorema de transporte de Reynolds, lo que indica que la variación de masa en
un sistema abierto cuyo volumen es Vc (t) se debe a la cantidad neta de masa que entra o sale por
unidad de tiempo a través de la superficie Σc (t). Para fluidos incompresibles con un volumen de
control constante obtenemos
Z
(~v − ~vc ) · ~ndσ = 0
(2.3)
Σc
M
Supongamos la máquina hidráulica esquematizada en la figura 2.1. A través de la misma circula
un caudal volumétrico Q de un fluido de densidad ρ. El líquido entra en la máquina con velocidad
puramente axial ~v1 = v1~ex y sale, debido a la interacción con los álabes rotantes, con velocidad
helicoidal compuesta por ~v2 = v2,x~ex + v2,θ~eθ . El volumen de control está delimitado por el conjunto
de áreas externas: Σ1 + Σ2 + Σp , la cuales incluyen la superficie de entrada, salida y la pared externa,
respectivamente, y por la superficie que envuelve al álabe móvil Σa .
Considerando este sistema simple, de una entrada de área A1 = πR12 y área de salida A2 = πR22 ,
obtenemos que
Z
Z
Q=
(~v − ~vc ) · ~ndσ = Q1 =
(~v − ~vc ) · ~ndσ = Q2
(2.4)
Σ1
Σ2
ya que el no hay flujo (~v − ~vc ) · ~n = 0 a través de las paredes sólidas, ya sean fijas Σp o móviles Σa .
Suponiendo que las propiedades del fluido son uniformes a la entrada y a la salida (hipótesis
de flujo unidimensional) encontramos que Q = v1 A1 = v2,x A2 , ya que la componente acimutal es
la única que contribuye al transporte de masa a través de la superficie Σ2 , es decir, ~v2 · ~n = v2,x .
Se observa que, por extensión directa, el gasto másico cumple G = ρv1 A1 = ρv2,x A2 = ρQ. Por
tanto, para situaciones donde no hay mezcla de varios fluidos, es suficiente con calcular el gasto
volumétrico pues la densidad del líquido no cambia entre la entrada y la salida.
En determinadas ocasiones es conveniente usar la ecuación de conservación de la masa de
2.2. Ecuaciones de conservación
Q̇
Ẇ
ρ
Q
Ω
v1
p1
11
Σp
v2,θ
v2,x
Σ2
Σ1
v2,θ
v2,x
p2
R1
R2
v2,x
v2,θ
v2,θ
v2,x
Σa
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Q̇
Figura 2.1. Esquema de una turbomáquina y su volumen de control,
forma diferencial, es decir
∂ρ
+ ∇ · (ρ~v ) = 0
∂t
(2.5)
donde ∇ es el operador vectorial divergencia, definido en coordenadas cartesianas para un espacio
tridimensional como ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z). Resulta inmediato comprobar que ∇ · ~v = 0 para
un fluido incompresible, lo que indica que no hay presencia de fuentes ni sumideros en el campo
fluido.
La ecuación de conservación de cantidad de movimiento: La ecuación de Bernoulli
M
2.2.2
Para un volumen de control determinado la ecuación de conservación del momento lineal, la
segunda ley de Newton, toma la forma de
Z
Z
Z
Z
Z
d
¯
ρ~v dV +
ρ~v (~v − ~vc ) · ~ndσ = −
p~ndσ +
~n · τ̄ dσ +
ρf~m dV
(2.6)
dt Vc (t)
Σc
Σc
Σc
Vc
donde los términos en el lado derecho de la igualdad representan las fuerzas exteriores que actúan
sobre el sistema, las cuales pueden ser de dos tipos: fuerzas de superficie y fuerzas volumétricas.
Estas últimas están representadas por el vector de fuerzas másicas
f~m =
~
~ ∧ Ω
~ ∧ ~x − 2 Ω
~ ∧ ~v − dΩ ∧ ~x ,
~g − ~a0 −Ω
| {z }
|{z}
|{z}
|
{z
} F. Coriolis |dt{z }
Ac. lineal
Gravedad
F. Centrífuga
(2.7)
Ac.Angular
el cual incluye fuerzas de largo alcance como son la fuerza gravitatoria o las fuerzas relativas
a sistemas de referencia no inerciales. Si las fuerzas másicas derivan de un potencial U – son
conservativas – podemos escribir
!
~ ∧ ~x|2
|
Ω
f~m = −∇U = −∇ −~g · ~x + ~a0 · ~x −
(2.8)
2
12
2. Repaso de Mecánica de Fluidos
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Relativo a las fuerzas de superficie encontramos en (2.6) el término de fuerzas de presión ∼ p~n
y el término asociado a los esfuerzos viscosos ∼ ~n · τ̄¯, donde τ̄¯ es el tensor de esfuerzos viscosos,
definido simétrico para un fluido newtoniano e incompresible τij = µ (∂vi /∂xj + ∂vj /∂xi ). Para el
caso de fluidos ideales, donde los efectos viscosos pueden ser despreciados, el único tipo de
R fuerza
de superficie involucrado en la ecuación del momento lineal es el relativo a la presión − Σc p~ndσ,
el cual siempre apunta en la dirección del vector normal a la superficie considerada ~n.
En forma diferencial, la ecuación del momento para un fluido ideal que involucra sólo fuerzas
de volumen conservativas se puede reescribir como
2
D~v
∂~v
∂~v
|~v |
=ρ
+ ρ~v · ∇~v = ρ
+ ρ∇
− ρ~v ∧ ∇ ∧ ~v = −∇p − ρ∇U
(2.9)
ρ
Dt
∂t
∂t
2
Si volvemos al ejemplo estacionario de la máquina hidráulica mostrada en la figura 2.1, donde
el volumen de control no está acelerado, las fuerzas de volumen y las fuerzas de superficie viscosas
pueden despreciarse, encontramos que
Z
F~ = −
p~ndσ = ρQ (~v2 − ~v1 ) + (p2 A2 − p1 A1 ) ~ex = [ρQ (v2,x − v1 ) + (p2 A2 − p1 A1 )] ~ex (2.10)
Σa +Σa
M
de acuerdo a (2.6), donde F~ = F~ex es la fuerza que la máquina (a través de las paredes y los álabes)
ejerce sobre el fluido. Nótese que la contribución neta de la componente acimutal v2,θ es cero por
argumentos de simetría. Si la cantidad de movimiento a la salida Gv2,x + p2 A2 es mayor que a la
entrada ρQv1 + p1 A1 implica que F es positivo, y entonces la máquina proporciona cantidad de
movimiento a fluido en la dirección ~ex .
La ecuación de Euler (2.9) es una ecuación vectorial, lo que proporciona tantas ecuaciones como
dimensiones relevantes haya presente en el problema en particular. Si multiplicamos escalarmente
(2.9) por el vector unitario que define la trayectoria del flujo de forma local, el vector unitario
tangente a las líneas de corriente ~el = ~v /|~v |, y suponemos que el flujo es estacionario ∂/∂t = 0,
encontramos que
∂ p |~v |2
+
+U =0
(2.11)
∂l ρ
2
puesto que el término ρ~v ∧ ∇ ∧ ~v es perpendicular a ~el y producto ~el · ∇ se reduce a ∂/∂l. A partir
de (2.11) se deduce que la cantidad
p |~v |2
+
+ U = constante
ρ
2
(2.12)
a lo largo de una línea de corriente de un flujo incompresible y estacionario cuyas fuerzas involu~ ∧ ~x|2 /2.
cradas son conservativas, con U = −~g · ~x + ~a0 · ~x − |Ω
2.2. Ecuaciones de conservación
2.2.3
13
La ecuación del momento angular
La segunda ley de Newton se puede escribir de forma alternativa en función del momento cinético.
En este caso, encontramos que
d
dt
Z
Vc
ρ(~xr ∧~v )dV +
Z
Σc
ρ(~xr ∧~v )(~v −~vc )·~ndσ = −
Z
Σc
(~xr ∧p~n)dσ +
Z
Σc
~xr ∧(~n · τ̄¯)dσ +
Z
Vc
ρ~xr ∧ f~m dV
(2.13)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
donde ~xr = ~x − ~x0 es el vector relativo al punto ~x0 sobre el cual calculamos el momento.
Siguiendo los pasos para obtener (2.10) en el ejemplo de la figura 2.1, encontramos que el
momento, con respecto al eje de rotación, que la máquina imprime al fluido es:
Z
Z
2
~
M =−
p (−~er ∧ ~n) dσ =
ρ (−~er ∧ ~v2 ) (~v2 · ~ex ) dσ = ρQv2,θ R2~ex .
(2.14)
3
Σa
Σ2
Nótese que la hipótesis de flujo unidimensional, la cual supone que las propiedades son
constantes en las secciones de entrada y salida de la máquina, no es realista para la componente
acimutal v2,θ . Teniendo en cuenta que son los álabes, girando con velocidad angular constante
Ω, los que generan la rotación en el fluido, el valor de la velocidad acimutal será proporcional a
~ = 1 ρQΩR2~ex .
v2,θ ∼ Ωr. En ese caso, el valor de M
2
2
2.2.4
La ecuación de la energía
M
La energía total e + v 2 /2 dentro de un sistema abierto variará de acuerdo a
Z
Z
d
v2
v2
ρ e+
ρ e+
dV +
(~v − ~vc ) · ~ndσ =
dt Vc
2
2
Σc
Z
Z
Z
Z
Z
q̇dV,
~q · ~ndσ +
ρf~m · ~v dV −
~v · (τ̄¯ · ~n) dσ +
p~v · ~ndσ +
−
Σc
Σc
Σc
Vc
(2.15)
Vc
donde ~q representa el flujo de calor por conducción ~q = −κ∇T (Ley de Fourier), y q̇ es el calor por
unidad de masa y tiempo debido a reacciones químicas, cambios de estado y/o radiación.
Si aplicamos la ecuación de la conservación de la energía la máquina representada en la figura
2.1, con las hipótesis habituales de flujo unidimensional a la entrada y la salida, régimen estacionario
y suponiendo que f~m = −∇U , la ecuación de la energía se puede reescribir con el gasto másico G
como
Z
Z
Z
v2
v2
¯
ρQ h +
+U − h+
+U
=
(−p~v + ~v · τ̄ ) · ~ndσ −
~q · ~ndσ +
q̇dV , (2.16)
2
2
Σa
Σc
Vc
2
1
{z
}|
{z
}
|
Ẇ
Q̇
donde la relación h1,2 = e1,2 + p1,2 /ρ ha sido utilizada teniendo en cuenta la contribución de los
términos de presión a la entrada y a la salida del volumen de control.
Es inmediato comprobar que la ecuación (2.16) responde al primer principio de la termodinámica
para sistemas abiertos, con Ẇ indicando el trabajo mecánico por unidad de tiempo aportado al
sistema y Q̇ la potencia en forma de calor por unidad de tiempo añadida al sistema.
14
2. Repaso de Mecánica de Fluidos
Si estudiamos la variación de energía mecánica (incluyendo la energía cinética)
p v2
+
+U
ρ
2
2
−
p v2
+
+U
ρ
2
=
1
Ẇ − Φv
ρQ
(2.17)
y la variación de energía interna
e2 − e1 = c (T2 − T1 ) =
Φv + Q̇
ρQ
(2.18)
p2 v22
p1 v12
+
+ U2 −
+
+ U1
ρ
2
ρ
2
(2.19)
M
Ẇ
=
ρQ
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
del fluido en su paso por la máquina hidráulica, observamos como la energía disipada por unidad
de tiempo debido a los esfuerzos viscosos, Φv , produce una transformación de energía de mecánica
en energía térmica, siendo esta última no aprovechable en la función principal del fluido en la
turbomáquina: ceder o adquirir energía mecánica con las partes móviles. Este efecto es claramente
perjudicial para la máquina hidráulica pues provocará una disminución en el rendimiento de la
misma.
La potencia de energía disipada Φv , definida positiva pues es generada por procesos irreversibles
de fricción (o nula bajo la hipótesis de fluido ideal), se puede calcular a través del tensor de esfuerzos
y el campo de velocidades Φv = τ̄¯0 : ∇~v = ∇ · (τ̄¯0 · ~v ) − ~v · (∇ · τ̄¯0 ). Como se puede observar en (2.18),
para una máquina adiabática (Q̇ = 0) el efecto final de la disipación viscosa es aumentar la energía
interna (o temperatura) del fluido.
Si el proceso es adiabático Q̇ = 0 e idealΦv = 0, entonces la energía interna no variará en el
proceso, y por tanto la temperatura de salida será igual a la de entrada, T2 = T1 . Para ese caso
encontramos que
donde el signo de Ẇ determinará de si la máquina hidráulica es una bomba (Ẇmaq > 0) o una
turbina hidráulica (Ẇ < 0). Nótese que en el ejemplo de la figura 2.1 no hay variación de energía
potencial entre la entrada y salida U1 = U2 , que la energía cinética de salida incluye las componentes
2
2
axial y acimutal v22 = v2,x
+ v2,θ
y que v1 = v1,x .
A modo de resumen, reescribimos las expresiones finales obtenidas para el gasto másico G, la
~ , y la potencia entregada Ẇ por la turbomáquina:
fuerza y momento imprimidos al fluido F~ y M
G = ρQ = ρv1 A1 = ρv2,x A2
F~ = [ρQ (v2,x − v1 ) + (p2 A2 − p1 A1 )] ~ex
~ = 1 ρQΩR2~ex
M
2 2
p2 − p1 v22 − v12
+
Ẇ = ρQ
ρ
2
bajo las hipótesis de fluido ideal (ρ =constante, Re 1) y flujo unidimensional (excepto en la
componente acimutal para el momento cinético). La potencia entregada al fluido por la máquina
hidráulica es positiva en el caso de la bomba Ẇ > 0 y negativa en la configuración de turbina
Ẇ < 0. Esta potencia se reparte en variaciones de presión y de energía cinética. Como se ha descrito
2.3. Pérdida de carga en tuberías
15
en la sección anterior, distinguimos entre turbomáquinas de acción o reacción dependiendo de si la
variación de presión a través de la turbomáquina es despreciable o no, respectivamente.
En máquinas hidráulicas es conveniente utilizar la energía específica (medida en J/kg) que una
partícula fluida gana/pierde en su paso por la misma. En particular, es común usar el producto
gH para definir la energía específica, donde g es la gravedad y H es la altura asociada. En otros
términos, el factor gH indica la variación de energía potencial específica equivalente. En una bomba
hidráulica se define Hm como la variación de altura manométrica entre la salida y la entrada de la
misma. La potencia de la máquina y la altura quedan relacionadas a través de
p2 − p1 v22 − v12
+
ρ
2
.
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Ẇ
=
gHm =
ρQ
(2.20)
Claramente, si gHm indica la variación de energía por unidad de masa, el producto con el gasto
másico ρQ proporcionará la energía por unidad de tiempo o potencia. De forma equivalente, para
una turbina hidráulica, se define
Ẇ
p1 − p2 v12 − v22
gHn =
=
+
(2.21)
ρQ
ρ
2
con Hn siendo la altura neta.
2.3
Pérdida de carga en tuberías
M
Como se ha comentado en la introducción, en el argot de máquinas e instalaciones hidráulicas se
usa comúnmente la variable altura, H, como referencia energética del fluido, siendo gH la energía
específica (J/kg en unidades del sistema internacional). La altura representa, por tanto, la altura
máxima teórica a la que dicha máquina puede elevar el fluido (en el caso de bomba) o la altura
mínima necesaria para obtener una determinada potencia (en el caso de turbina). Por ejemplo, para
la máquina hidráulica de la figura 2.1, la variación de “altura" del fluido en su paso por la máquina
es
∆Hmaq =
Ẇ
p2 − p1 v22 − v12
=
+
gρQ
ρg
2g
(2.22)
donde ∆Hmaq es la altura manométrica proporcionada, Hm , o altura neta sustraída, −Hn , por la
bomba o turbina, respectivamente.
De forma análoga, se puede cuantificar la perdida de carga de un fluido en su paso por una
tubería a partir de
∆Hperd =
v2 L X v2
λ +
Ki
2g D
2g
i
(2.23)
donde el primer término del miembro de la derecha hace referencia a las pérdidas primarias por
fricción a lo largo de la tubería, y el segundo término es la caída de presión (o altura) debida a
elementos locales: codos, filtros, válvulas, etc.
El factor de fricción λ se puede calcular a partir de las propiedades del fluido y la tubería. En
16
2. Repaso de Mecánica de Fluidos
particular, depende de dos factores adimensionales que son el número de Reynolds y la rugosidad
relativa (al diámetro hidráulico) de la tubería, λ = (Re, /Dh ). Para flujos laminares Re < 2000, el
valor es inversamente proporcional al número de Reynolds λ = 64/Re. Para flujos turbulentos
completamente desarrollados, Re > 4000, encontramos que el factor de fricción se puede relacionar
con las propiedades del flujo a partir de las siguientes expresiones:
Tuberías lisas (Prandtl)
Flujo dominado por rugosidad (Von Kármán)
Situaciones intermedias (Colebrook)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
√ 1
√ = 2.0 log10 Re λ − 0.8
λ
1
/Dh
√ = −2.0 log10
3.7
λ
1
2.51
/Dh
√ = −2.0 log10
√
+
3.7
λ
Re λ
alternativamente, podemos hacer uso del diagrama de Moody, (ver figura). Generalmente, la
obtención del valor de λ no es directa, pues el caudal que circula por la tubería depende del factor
de fricción y λ depende del caudal a través del número de Reynodls Re = ρvDh /µ = ρQDh /(µAh ).
No obstante, como las curvar representadas en el diagrama de Moody son monótonas, el proceso
iterativo converge rápidamente a la solución final.
Relativo a las pérdidas secundarias, cabe mencionar que el coeficiente K es característico del
elemento en cuestión y su valor puede variar desde valores menores a la unidad (codos, boquillas,
válvulas abiertas) hasta valores del orden de la centena para el caso de válvulas semi-cerradas o
algunos filtros. La pérdida de carga total será la suma de la generada por fricción a lo largo del
trayecto y la suma de aquella producida por cada uno de todos los elementos que el fluido tiene
que atravesar.
La aplicación de la ecuación de la energía entre dos puntos de una misma tubería A y B es
pA − pB vA2 − vB2
+
= −∆Hmaq + ∆Hperd
ρg
2g
M
zA − zB +
(2.24)
donde zA − zB es la diferencia de cota entre los puntos A y B .
Para el caso de una bomba, podemos expresar la altura que ésta ha de proporcionar para
satisfacer la demanda el sistema como
∆Hbom = ∆Hperd + ∆Hg
(2.25)
donde se ha supuesto que la tubería es de sección constante (vA = vB ) y se ha definido la diferencia
de cotas como ∆Hg = zB − zA . Para el caso de una turbina, podemos escribir que la altura que la
turbomáquina puede extraer del fluido como
∆Hturb = ∆Hg − ∆Hperd
donde se ha redefinido, por conveniencia, la diferencia de cotas como ∆Hg = zA − zB .
(2.26)
2.4. Ejemplo de aplicación
2.4
17
Ejemplo de aplicación
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
En este problema se desea determinar la potencia que debe tener una bomba para hacer fluir un
caudal determinado de agua entre el depósito inferior y el depósito superior de la figura. A lo largo
del conducto entre los dos depósitos se encuentran distribuidos varios accesorios (codos, filtros y
válvulas), identificados, junto con sus coeficientes de pérdidas, en la figura. Los dos depósitos son
suficientemente grandes para poder considerar el flujo casi-estacionario y determinar la potencia
de la bomba suponiendo que el nivel de agua en cada depósito permanece constante. El nivel de
agua en el depósito de la izquierda tiene una cota z1 y en el depósito de la derecha z2 , siendo la
diferencia total de cotas z2 − z1 = 33 m. El conducto que une los dos depósitos es de acero comercial,
con rugosidad = 0.046 mm, y tiene una longitud total L = 120 m y un diámetro D = 5 cm. El
acople entre el conducto y las paredes de los depósitos presenta aristas vivas. Se desea determinar
la potencia de la bomba Ẇbom necesaria para que el caudal sea Q = 0.8m3 /min.
Válvula, Kv = 2
Curva, Kcur = 0.7
z2
Entrada con
aristas vivas, Ke = 0.5
Filtro, Kf = 7
Codo, Kcod = 1.5
z
Bomba, ẆBOMBA
M
z1
Figura 2.2. Instalación de una bomba de impulsión
La potencia que la bomba transfiere al agua de la conducción resulta en un aumento de la
presión total. Identificando con los subíndices eb y sb los puntos de entrada y salida de la bomba,
podemos escribir
1
p + ρgz + ρv 2
2
1 2
Ẇbom
− p + ρgz + ρv
=−
,
2
Q
eb
sb
donde v es la velocidad del agua en el conducto, dada en función del caudal y del diámetro del
conducto por v = 4Q/(πD2 ). Puesto que el conducto es de diámetro constante, la presión dinámica
antes y después de la bomba es la misma, así que la potencia en este caso se invierte íntegramente
en un aumento de presión reducida
(p + ρgz)eb − (p + ρgz)sb = −
Ẇbom
,
Q
A continuación escribiremos, por tramos, las relaciones entre las presiones totales o reducidas
entre el primer depósito y la entrada al conducto, entre la entrada al conducto y la entrada a la
18
2. Repaso de Mecánica de Fluidos
bomba, entre la salida de la bomba y la salida del conducto al depósito superior, y entre la salida
del conducto y el depósito. Sea L1 la longitud de conducto entre el primer depósito y la bomba, y
sea L2 la longitud de conducto entre la bomba y el segundo depósito, entonces
1 2
ρv (1 + Ke )
2
1 2 λL1
(p + ρgz)e − (p + ρgz)eb =
ρv
+ Kf
2
D
1 2 λL2
(p + ρgz)sb − (p + ρgz)s =
ρv
+ Kcod + Kcur + Kv
2
D
(p + ρgz)s − (pa + ρgz2 ) = 0
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
(pa + ρgz1 ) − (p + ρgz)e =
Sumando todas las ecuaciones,
Ẇbom
Q
real
1
= ρg(z2 − z1 ) + ρv 2
2
λL
+ ΣKs ,
1+
D
puesto que L = L1 + L2 , y donde se han reunido todas las pérdidas secundarias en ΣKs =
Ke + Kf + Kcod + Kcur + Kv .
Supongamos el caso ideal donde no existen pérdidas primarias ni secundarias ( λ = Ks = 0).
En este caso, la potencia que la turbomáquina suministra al agua, Ẇbom , dada por:
Ẇbom
Q
ideal
1
= ρg(z2 − z1 ) + ρv 2 ,
2
M
se emplea en dos propósito principales: elevar el caudal Q a una altura z2 − z1 (primer término del
miembro de la derecha) y proporcionar energía cinética a un fluido inicialmente parado (segundo
término del miembro de la derecha). Obviamente, la consideración de las pérdidas primarias y
secundarias hace que la potencia requerida sea mayor.
Con los datos del problema, tenemos los siguientes valores: v = 6.8 m/s, Re = 340 000,
/D = 0.00092, λ = 0.0202 y ΣKs = 11.7 obteniendo el valor Ẇbom = 23 kW. Esta potencia se reparte
en 4.3 kW usados para elevar el caudal demandado 33 m y 0.3 kW destinados a acelerar el fluido
que está inicialmente en reposo. Las pérdidas suponen, por tanto, la mayor parte de la potencia
suministrada al fluido, con una cantidad que asciende a 18.4 kW. Podemos comprobar que, en este
problema, las pérdidas secundarias representan el 20% del total de las pérdidas.
Este ejercicio es ilustrativo para clarificar conceptos relativos a las pérdidas que existen en una
instalación simple. En situaciones más realistas el caudal que circula por la tubería es incógnita
del problema y, por tanto, la determinación de las pérdidas en la instalación es más tediosa ya
que λ es también incógnita. El comportamiento de la bomba también depende de Q, pues tanto la
capacidad de impulsión como el rendimiento de la turbomáquina dependen del caudal trasegado
por la misma. En los próximos capítulos veremos como caracterizar el comportamiento de la bomba
según las condiciones de operación.
19
Teoría Unidimensional
3.1
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
El rotor de la turbomáquina es el elemento en el que tiene lugar el intercambio de trabajo con
el fluido. El rotor se compone de un número determinado de álabes que dirigen al fluido y
posibilitan el intercambio de energía. Una vez fijada la geometría de los álabes a través de los
ángulos de entrada y salida del fluido, la actuación de la turbomáquina depende de su punto de
funcionamiento que se determina, principalmente, mediante el caudal que la atraviesa.
En el punto de diseño, la turbomáquina funciona con rendimiento máximo. Cualquier desviación de
las condiciones de trabajo respecto al punto de diseño da lugar a una disminución del rendimiento.
Este capítulo pretende enunciar la teoría general de máquinas hidráulicas que permite describir el
elemento rotatorio de una turbomáquinas en su punto de diseño, sin tener en cuenta la disminución
de rendimiento debido a los efectos tridimensionales o a la no idealidad del fluido de trabajo.
Una vez definida la altura máxima de la turbomáquina, en la parte final del capítulo, se define el
rendimiento discutiendo la nomenclatura habitual de la literatura.
Objetivo
M
El objetivo principal de este capítulo es el de proporcionar las herramientas necesarias que nos permitan relacionar los elementos geométricos (ángulos y tamaños característicos) y de funcionamiento
de la turbomáquina (caudal Q y velocidad de giro Ω) con el incremento (decremento) de la energía
mecánica específica Ẇ /Q en bombas (turbinas). Para ello usaremos las ecuaciones de conservación
en forma integral de la mecánica de fluidos que nos permiten, una vez seleccionados los volúmenes
de control apropiados, relacionar las variables de entrada y de salida sin necesidad de conocer las
variables fluidas en cada uno de los puntos interiores de la turbomáquina. Las limitaciones de este
enfoque son evidentes: perdemos información detallada del movimiento del fluido en el interior
del rotor que pudiera ser de importancia a la hora de cuantificar el rendimiento de la máquina.
Por otro lado, ofrece una herramienta sencilla para entender cualitativamente como afectan sobre
el rendimiento los cambios en la geometría y en las condiciones de funcionamiento. Un análisis
cuantitativo preciso, que requiere de herramientas mucho más sofisticadas que las que se pueden
estudiar en este curso, se deja para otros textos más específicos disponibles en la literatura.
Al analizar el funcionamiento de una turbomáquina mediante la teoría unidimensional es necesario
tener en cuenta:
• que la velocidad relativa es tangente a los álabes tanto en las secciones de entrada como de
salida, condición que corresponde al funcionamiento de la turbomáquina en el punto de
diseño.
• la velocidad absoluta es tangente a los álabes directrices del estátor
3. Teoría Unidimensional
• el fluido sigue exactamente el camino marcado por los álabes.
• las velocidades son uniformes y estacionarias tanto en las secciones de entrada como en las
de salida de la turbomáquina.
3.2
Triángulo de velocidades y ángulos característicos.
vm,2
Trayectoria relativa
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
~n
~n Σ2
Σp
r
r
vm,1
b
x
vm,1 ~n
Ω
Σ1
vu,2
Σ2
vm,2
vu,1
b2
Trayectoria absoluta
vm,2
~n
vm,2
vm,1
r
b
y
~n
2 Ri
2 Re
z y
~n
x
Ω
Σ1
Σ2
vu,1
vm,1
vm,2
Figura 3.1. Representación esquemática del rotor de una turbomáquina centrífuga y una axial
2 R2
2 R1
y
z x
y
2 (R1 + b1 )
vu,1
Σp
Σp
Σa
M
20
3.2. Triángulo de velocidades y ángulos característicos.
21
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
A la hora de describir el comportamiento del fluido dentro de una turbomáquina hidráulica
conviene definir un sistema de referencia ligado al rotor de la misma. Tal y como se indica en la
figura 3.1, cuando el sistema de referencia gira a la velocidad de rotación del rotor Ω, la trayectoria
que sigue el fluido relativa a ese sistema de referencia móvil coincide con la marcada por los
álabes de la turbomáquina y el problema pasa a ser estacionario 1 . En este sistema de referencia, la
velocidad relativa w
~ es la que determina, en última instancia, la potencia intercambiada entre el
fluido y la turbomáquina.
La velocidad absoluta ~v del fluido se mide de un sistema de referencia fijo ligado a tierra. En este
sistema de referencia el problema se vuelve no estacionario y la descripción de las variables fluidas
es mucho más laborioso. Por conveniencia, tanto la velocidad absoluta como la relativa se miden en
un sistema de referencia cilíndrico de forma que ~v = vx~ex + vr~er + vu~eθ y w
~ = wx~ex + wr~er + wu~eθ son
las componentes de la velocidad absoluta y relativa, respectivamente. La diferencia entre ambas es
~ × ~x = Ωr ~eθ , con r la distancia al eje de giro, que únicamente tiene
la velocidad de arrastre ~u = Ω
componente acimutal. Conviene recordar la relación entre las velocidades en ambos sistemas de
referencia (1.2) en forma vectorial
~v = w
~ + ~u.
M
Gráficamente, la relación entre la velocidad absoluta, relativa y de arrastre se representa a través
del triángulo de velocidades de la figura 3.2. En máquinas axiales y radiales, es fácil escribir la
relación entre las distintas componentes de las velocidades en los distintos sistemas de referencia
para dar vm = wm y vu = Ωr − vm / tan β.
w
~
~v
vm
β
~u
α
vu
Figura 3.2. Triángulo de velocidades
Como veremos más adelante, los ángulos α, formado entre el vector velocidad absoluta y de
arrastre, y β, formado por el vector velocidad
relativa y de arrastre, están directamente relacionados con la geometría de los álabes del rotor
y del estátor y nos permite relacionar las distintas componentes de los vectores del triángulo
de velocidades. A partir de consideraciones
geométricas, es fácil demostrar
w2 = u2 + v 2 − 2uv cos α
vu = v cos α
(3.1)
vm = v sin α = w sin β = wm
Las componentes de la velocidad absoluta se pueden relacionar fácilmente con magnitudes
como el caudal Q o el par T , de gran importancia en la operación de la turbomáquina. A partir de
las figuras 3.1 y 3.2, siempre que se cumpla que ~n · ~u = 0 la velocidad meridiana vm es perpendicular
a la velocidad de arrastre, independientemente de la geometría de la turbomáquina. Usando
este resultado, es fácil obtener el caudal de fluido que atraviesa el rotor de una turbomáquina
funcionando en estado estacionario. Efectivamente, usando la ecuación de continuidad, podemos
1
Siempre que la velocidad de rotación Ω sea constante
22
3. Teoría Unidimensional
w
~2
s3 = s4
~n β2
s1 = s2
y
β2 ~u2
w
~2
s3 = s4
α2
β2 ~u2
~n β2
s1 = s2
~v2
s2
x
s2
α2
~n
w
~
pa
α2
~n
~u2
s3
~v2
w
~
pa
s3
Vc
Vc
~
w
~n
w
~1
s1
α1
~u1
α1 ~v1
~n
F~
~u2
~
w
~n
w
~1
~n
F~
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
β1
α2
s4
β1
s1
α1
α1 ~v1
s4
~u1
~u1
~u1
Figura 3.3. Triángulos de velocidades a la entrada y a la salida de un álabe de una turbina (figura izquierda)
y de una bomba (figura derecha)
escribir
Z
Q=
A
(~v − v~c ) · ~n dσ
(3.2)
M
Si nos fijamos en las secciones A1 y A2 de las turbomáquinas centrífuga y axial representadas en la
figura 3.1, el producto (~v − v~c ) · ~n = wm,i = vm,i . Teniendo en cuenta que la velocidad es uniforme
tanto en las secciones de entrada como en la de salida, el caudal se puede expresar como
Q = vm,1 A1 = vm,2 A2 ,
(3.3)
expresión que permite escribir vm,2 = vm,1 A1 /A2 para relacionar las velocidades meridianas en la
sección de entrada y de salida. Un resultado equivalente puede obtenerse para una turbomáquina
axial, tal y como puede fácilmente comprobar el lector a partir de la figura 3.1.
3.3
Fuerza sobre un álabe aislado.
Cuando el fluido que circula por el rotor de la turbomáquina se encuentra con el álabe se produce
un intercambio de cantidad de movimiento que da lugar a la aparición de una fuerza, tal y como
describe la segunda ley de Newton. Para relacionar dicha fuerza con los parámetros geométricos del
álabe y con la velocidad de giro del rotor Ω, parece apropiado utilizar la ecuación de conservación
de cantidad de movimiento (2.6) aplicada al volumen de control Vc indicado en la figura 3.3, dentro
del cual se encuentra un álabe que gira con velocidad Ω. El volumen de control se ha elegido de
forma que las superficies s1 y s2 tienen igual tamaño y son perpendiculares al álabe en las secciones
de entrada y de salida, respectivamente. Las superficies s3 y s4 son líneas de corriente de forma
que w
~ · ~n = 0. Si los perfiles son uniformes en s1 y s2 , haciendo uso de (2.6) podemos escribir para
3.4. Conservación del momento angular: la ecuación de Euler.
23
la fuerza que hace el fluido sobre el álabe
(3.4)
Fx = ρvm,1 w1 A1 − ρvm,2 w2 A2 ⇒ Fx = ρQw1 (sin β1 − sin β2 )
(3.5)
Fy = ρvu,1 w1 A1 − ρvu,2 w2 A2 ⇒ Fy = ρQ(vu,1 − vu,2 )
3.4
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
donde, por simplificar el desarrollo, hemos supuesto que las presiones son uniformes e iguales a la
atmosférica sobre todas las superficies del volumen de control. Al escribir (3.4) y (3.5) hemos hecho
uso de la ecuación de continuidad (2.5), a partir de la cual es fácil demostrar que Q = w1 A1 = w2 A2
y, puesto que A1 = A2 , los módulos de las velocidades relativas deben ser iguales w1 = w2 .
El sentido de la fuerza vertical Fy dada en (3.5) aporta información sobre el tipo de turbomáquina
con la que estamos trabajando. La dirección de esa fuerza está determinado por la diferencia
vu,1 − vu,2 . De acuerdo a la figura 3.3, valores de Fy < 0 indican un crecimiento de la componente
vu = ~v · ~u/|~u| de la velocidad en dirección contraria al sentido de giro del rotor, asociado a la
transferencia de cantidad de movimiento desde el fluido hacia el rotor (turbina). Valores Fy > 0
revelan un crecimiento de la componente vu de la velocidad en el sentido de giro del rotor asociados
a la cesión de momento desde el álabe al fluido (bomba), que, a su vez, reacciona ejerciendo una
fuerza igual y de sentido contrario sobre el álabe.
01
Conservación del momento angular: la ecuación de Euler.
M
Para el cálculo de la potencia intercambiada entre el rotor de la turbomáquina y el fluido que la
atraviesa, resulta especialmente útil la ecuación de conservación del momento angular en su forma
integral (2.13). Comenzamos la derivación de la ecuación de Euler para un problema estacionario
donde las fuerzas másicas son despreciables
Z
Z
Z
ρ[(~x − ~x0 ) ∧ ~v ](~v − ~vc ) · ~ndσ = −
(~x − ~x0 ) ∧ (p~n)dσ +
(~x − ~x0 ) ∧ (~n · τ̄¯)dσ. (3.6)
Σ1 +Σ2
Σc
Σc
Aplicamos la ecuación al volumen de control definido en la figura 3.1, que se extiende desde la
superficie Σ1 , de sección A1 = π [(R1 + b1 )2 − R12 ], hasta la superficie Σ2 , de sección A2 = 2πR2 b2 ,
cubriendo la superficie lateral de la turbomáquina Σp y los álabes móviles Σa .
En los términos de la derecha, separamos las contribuciones en las superficies de entrada y salida
de la turbomáquina Σ1 y Σ2 , de las contribuciones en las superficies de la turbomáquina Σp y de los
álabes Σa . En las primeras, los esfuerzos viscosos son nulos al ser el perfil de velocidad uniforme
y, además, el momento de las fuerzas de presión es nulo al ser la turbomáquina un cuerpo de
revolución 2 . En las últimas, reconocemos el momento de la fuerza que la bomba ejerce sobre el
2
En la superficie Σ2 , el producto (~x − ~x0 ) ∧ p~n = (r sin θ~ey − r cos θ~ez ) ∧ (p sin θ~ey − p cos θ~ez ) = 0. En la superficie
Σ1 , el producto (~x − ~x0 ) ∧ p~n = (−pr cos θ~ey − pr sin θ~ez ) que al ser integrado en un superficie de revolución no genera
R 2π
ningún par 0 (~x − ~x0 ) ∧ (p~n)dθ = 0
24
3. Teoría Unidimensional
fluido T~turbomaq→f luido
Z
Z
Z
ρ[(~x − ~x0 ) ∧ ~v ](~v − ~vc ) · ~ndσ = −
(~x − ~x0 ) ∧ (p~n)dσ +
(~x − ~x0 ) ∧ (~n · τ̄¯)dσ
Σ1 +Σ2
Σp +Σa
Σp +Σa
|
{z
}
T~bomba→f luido
Z
Σ1 +Σ2
ρ[(~x − ~x0 ) ∧ ~v ](~v − ~vc ) · ~ndσ = T~bomba→f luido
(3.7)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
La expresión (3.7) indica que el par intercambiado entre el fluido y el rodete es igual a la variación
de momento cinético entre la entrada y la salida de la turbomáquina. Multiplicando escalarmente
~ y suponiendo velocidades meridianas uniformes tanto en las secciones
por la velocidad de giro Ω,
de entrada como en las de salida, podemos obtener una expresión para la potencia intercambiada
Z
Z
~ =
~
~
Ẇ = T~bomba→f luido · Ω
ρ[(~x − ~x0 ) ∧ ~v ] · ΩdQ
ρ[(~x − ~x0 ) ∧ ~v ] · ΩdQ
(3.8)
2−
1
Σ2
Σ1
donde hemos definido dQ2 = (~v − ~vc ) · ~ndσ = vm,2 dσ y dQ1 = (~v − ~vc ) · ~ndσ = −vm,1 dσ. Teniendo
~ = vu Ω r y dividiendo por ρQ la ecuación anterior, obtenemos
en cuenta que [(~x − ~x0 ) ∧ ~v ] · Ω
finalmente la ecuación de Euler para la altura intercambiada entre el rotor y el fluido
Ẇ
1
= gHz∞ =
ρQ
Q
Z
Σ2
vu,2 u2 dQ2 −
Z
vu,1 u1 dQ1 .
(3.9)
Σ1
M
Nótese que Hz∞ , por si sola, no tiene un significado físico definido, mientras que el producto gHz∞
representa la potencia específica intercambiada entre el rotor y el fluido. La expresión (3.9) muestra
que la potencia transmitida al fluido es proporcional a la densidad ρ, al caudal Q y a la velocidad
de giro Ω de la turbomáquina.
Si nos fijamos en una superficie de corriente, la ecuación (3.9) se puede escribir en forma diferencial
como dẆ /(ρdQ) = gHz∞ = u2 vu,2 − u1 vu,1 . En máquinas puramente radiales el movimiento del
fluido queda restringido al plano r − θ la ecuación de Euler (3.9) se puede escribir directamente
como
Ẇ
= gHz∞ = u2 vu,2 − u1 vu,1
ρQ
(3.10)
si tanto la velocidad de arrastre u como la circunferencial vu son uniformes en las secciones de
entrada y de salida.
En máquinas axiales, donde el movimiento queda restringido al plano z − θ, tanto u como
vu varía radialmente al aumentar la distancia al eje de giro, tal y como se puede ver en la
figura 3.1. En una superficie de corriente concéntrica con el eje de giro la expresión diferencial dẆ /ρdQ = gHz∞ = u2 vu,2 − u1 vu,1 se satisface exactamente, pero no será válida para todo
el rótor de la turbomáquina. En máquinas axiales, por lo tanto, la ecuación de Euler representa
únicamente la variación de energía específica a lo largo de una línea de corriente y el cálculo
de la potencia total específica intercambiada implica conocer la variación radial de la velocidad
circunferencial vu en las secciones de entrada Σ1 y salida Σ2 de la turbomáquina para resolver la
ecuación (3.9).
3.4. Conservación del momento angular: la ecuación de Euler.
25
Para asegurar la uniformidad de momento cinético es necesario asegurar que la velocidad circunferencial vu varía radialmente de la forma vu r = C, donde C una constante, formando lo que se
denomina un torbellino libre. Esa condición determina la variación radial de los ángulos β1 y β2 de
la turbomáquina de forma que
tan βi = vm,i r/(Ωr2 − C).
3.4.1
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Esa condición de uniformidad en el momento cinético no es la única opción, pero una distribución
de velocidad acimutal diferente lleva a una velocidad axial o a una distribución de la energía
mecánica específica no uniforme, lo que puede repercutir en condiciones de funcionamiento no
estables.
Aplicación de la ecuación de Euler a la máquina de entrada axial y salida radial de la
figura 3.1
2 R1
b
M
2(R1 + b1 )
Teniendo en cuenta que el fluido es ideal, que
la velocidad de giro de la turbomáquina Ω
vu
es constante y que los perfiles de velocidad
,1
y r θ
en las secciones de entrada y salida de la turθ
z
bomáquina son uniformes, desarrollamos ahora
x
las integrales a la izquierda del igual en la
ecuación (3.7). Con ayuda de la figura 3.4 y
teniendo en cuenta que ~v1 = −vm,1~ex − vu,1~eθ
y ~v2 = vm,2~er − vu,2~eθ podemos escribir el
Σ1
producto vectorial en la superficie Σ1 como
Figura 3.4. Detalle de la sección de entrada de la (~x − ~x ) ∧ ~v = −v r ~e + v r cos θ ~e +
0
u,1
x
m,1
y
turbomáquina de entrada axial y salida radial de la
vm,1 r sin θ ~ez , con dσ = rdrdθ, de forma
figura 3.1
que
2
ρ[(~x − ~x0 ) ∧ ~v ](~v − ~vc ) · ~ndσ = πρVm,1 vu,1 (R1 + b1 )3 − R13 ~ex ,
3
Σ1
Z
donde hemos supuesto que los álabes son infinitamente finos y no disminuyen de forma apreciable
al sección de entrada a la turbomáquina. En la sección de salida Σ2 , tenemos (~x −~x0 )∧~v = −vu,2 R2~ex
de forma que
Z
ρ[(~x − ~x0 ) ∧ ~v ](~v − ~vc ) · ~ndσ = −2πρvm,2 vu,2 R22 b2~ex
(3.11)
Σ2
Introduciendo cada uno de estos términos en la ecuación de conservación del momento angular, y
teniendo en cuenta que Q = 2vm,2 πR2 b2 = vm,1 π [(R1 + b1 )2 − R12 ], tenemos
3
3
2
(R
+
b
)
−
R
1
1
1
(−~ex )
(3.12)
T~turbomaq→f luido = ρQ vu,2 R2 − vu,1
3
(R1 + b1 )2 − R12
26
3. Teoría Unidimensional
~ = −Ω~ex , podemos obtener la potencia
Conocido el par y la velocidad de giro de la turbomáquina Ω
~ para dar
con solo calcular Ẇ = T~turbomaq→f luido · Ω
Ẇ
2 (R1 + b1 )3 − R13
= u2 vu,2 − vu,1 Ω
.
ρQ
3 (R1 + b1 )2 − R12
(3.13)
á
H
q
id
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rá
na
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s
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as
El resultado obtenido para esta máquina en particular no es más que una aplicación de la ecuación
(3.9) y difiere de forma notable de la ecuación (3.10) que derivamos en la sección anterior para
turbomáquinas puramente radiales. Sin embargo, en el límite b1 R1 , la expresión anterior se
simplifica
"
2 #
Ẇ
b1
b1
= u2 vu,2 − vu,1 u1 1 +
+
+ o (b1 /R1 )3
(3.14)
ρQ
R1
R1
para recuperar la expresión gHz∞ = u2 vu,2 − u1 vu,1 , válida para todo el rotor cuando b1 /R1 es
suficientemente pequeño.
3.5
El grado de reacción
Para relacionar las velocidades y las presiones entre la sección de entrada y de salida del rotor de
la turbomáquina se puede utilizar la ecuación de Bernoulli en un sistema de referencia que gira
solidariamente con el rotor a velocidad Ω de forma que
(3.15)
M
p2 w22 (Ωr2 )2
p1 w12 (Ωr1 )2
+
−
=
+
−
.
ρ
2
2
ρ
2
2
Usando el teorema del coseno en las secciones de entrada y salida para relacionar la velocidad
relativa con los módulos de la velocidad absoluta y de arrastre w2 = u2 + v 2 − 2uv cos α, podemos
relacionar las variaciones de presión y de velocidad con la variación de energía específica que
predice la ecuación de Euler (3.10)
gHz∞ =
p2 − p1 v22 − v12
+
= gHp + gHd ,
ρ
2
(3.16)
donde Hp y Hd son la altura de presión y la altura dinámica, respectivamente.
De lo visto en la ecuación 3.16, se puede deducir que la energía específica intercambiada en el rotor
se distribuye entre una variación de presión y otra variación de energía cinética. Para evaluar como
tiene lugar ese reparto, se define el grado de reacción
(p2 − p1 )/ρ
(p2 − p1 )/ρ
= ηh
gHz∞
gHm
(p1 − p2 )/ρ
1 (p1 − p2 )/ρ
σ=
=
gHz∞
ηh
gHn
σ=
Bombas
(3.17)
Turbinas
(3.18)
siendo Hm y Hn la altura manométricas y neta, respectivamente. El grado de reacción permite
diferenciar entre las turbomáquinas de acción σ = 0, en las que no existe variación de presión
3.6. Variación de la altura y el rendimiento con los parámetros geométricos
27
(turbinas Pelton), o de reacción σ 6= 0. En bombas la variación de presión entre la entrada y la salida
del rotor suele ser elevada y los grados de reacción suelen ser altos. A su vez, grados de reacción
pequeños indican que en la salida de la bomba la energía cinética es demasiado grande y, por tanto,
se haría conveniente usar el difusor para elevar el rendimiento.
En bombas, la presencia de un difusor aguas abajo del rótor modifica el grado de reacción aumentando la variación de presión estática a expensas de una reducción de velocidad. Al ser un
elemento pasivo, un difusor ideal no modifica la altura presión total del fluido gHm . En presencia
de un difusor, por tanto, el cálculo del grado de reacción debería considerar el salto de presiones
entre la entrada de la turbomáquina p1 y la salida del difusor p3 para dar
3.6
(p3 − p1 )/ρ
(p3 − p1 )/ρ
= ηh
gHz∞
gHm
Bombas
(3.19)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
σ=
Variación de la altura y el rendimiento con los parámetros geométricos
Tanto en bombas como en turbinas, el rendimiento hidráulico nos permite relacionar el intercambio
de energía entre el rotor y el fluido con los parámetros geométricos que definen la turbomáquina.
Efectivamente, la expresión para la altura teórica Hz∞ desarrollada previamente en la ecuación (3.9)
para un fluido ideal ofrece una relación directa entre la potencia de la turbomáquina y los ángulos
α, β, las secciones de paso y los radios de entrada y salida a partir de la definición del triángulo de
velocidades que se muestra en la figura 3.2. Esas relaciones permite, de forma cualitativa, estudiar
el efecto de los distintos parámetros geométricos tanto en la potencia como en los rendimientos de
las turbomáquinas.
Influencia de la orientación de la velocidad ~v en la sección de entrada al rotor: el ángulo
α1
M
3.6.1
El ángulo α1 , de acuerdo al triángulo de velocidades 3.2, es el ángulo que forma la velocidad
absoluto ~v con la velocidad de arrastre ~u. Viene determinado por la orientación que impongan
los álabes directrices sobre la velocidad absoluta. Estos álabes se sitúan aguas arriba del rotor
y orientan el fluido en la dirección más apropiada para el punto de funcionamiento en que se
encuentre la turbomáquina en cuestión, determinando el valor de la componente circunferencial
de la velocidad absoluta vu,1 = v1 cos α1 . Partiendo de la ecuación de Euler aplicada a una bomba
gHz∞ = u2 vu,2 − u1 vu,1 se presentan tres posibilidades
• α1 < π/2 ⇒ La componente vu,1 > 0, por lo que la potencia específica transmitida al fluida
se me disminuida un factor u1 vu,1 respecto al máximo. Para conseguir esos valores de α1 se
necesitan la instalación de una corona directriz que encarece el diseño
• α1 = π/2 ⇒ En este caso el fluido entra sin rotación vu,1 = 0. Es la opción más usual en la
construcción tanto de bombas como de turbinas.
• α1 < π/2 ⇒ La componente circunferencial de la velocidad a la entrada vu,1 < 0. Desde un
punto teórico, esta opción permitiría maximizar la potencia intercambiada en el rótor. Desde
un punto de vista práctico, esta opción no se utiliza por las pérdidas de energía asociadas a
flujo complicado dentro del rotor a las que da lugar.
28
3. Teoría Unidimensional
Desde un punto de vista práctico, el ángulo elegido en las bombas suele ser ligeramente inferior
a π/2 para compensar el efecto que tiene sobre la velocidad la presencia de un número finito de
álabes con espesor finito. Otra de las ventajas de usar α1 ' π/2 es que la velocidad absoluta, para
un caudal dado, es mínima, disminuyendo las pérdidas en la entrada del rotor.
3.6.2
Influencia de la orientación del álabe en la sección de salida: el ángulo β2
Sin lugar a dudas, el ángulo β2 es el parámetro geométrico con más influencia en el diseño de
máquinas hidráulicas. Si escribimos la ecuación de Euler para un fluido que entra en el rotor sin
pre-rotación α1 = π/2, la expresión (3.9) se reduce a
Ω Q
γπ tan β2
y
Ẇ = ρQu22 − ρ
Ω Q2
γπ tan β2
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
gHz∞ = u22 −
(3.20)
M
para la potencia específica y para la potencia, siendo γ = 2b2 o γ = D2 /2 para máquinas radiales o
axiales, respectivamente. A la expresión que relaciona la potencia específica cedida por la bomba con
el caudal se le denomina curva característica. A partir de ella es fácil ver que para Q = 0 la potencia
transferida es nula, mientras que la potencia específica alcanza un valor finito gHz∞ |z∞ = (Ωr2 )2 .
Para ángulos β2 6= 0 ese valor decrece (crece) linealmente para Hz∞ y cuadráticamente para Ẇ
si β2 < π/2 (β2 > π/2). Como veremos más adelante, las curvas características basadas en la
teoría unidimensional representadas en la figura 3.5 no aparecen en turbomáquinas reales debido
a los efectos bidimensionales y tridimensionales que se analizarán en capítulos sucesivos. En
el caso concreto de bombas con β2 > π/2 representado en la figura 3.5, el crecimiento de altura
continuo con el caudal no es real, apareciendo un máximo para un cierto valor de caudal cuando
las pérdidas debidas a la viscosidad del fluido, proporcionales a Q2 , se hacen dominantes. La parte
de la curva en la que Hz∞ crece con el caudal resulta ser una región de funcionamiento inestable y
tiende a evitarse, excepto en aplicaciones especiales que requieren de un control preciso del caudal
bombeado.
Un análisis semejante puede hacerse con el grado de reacción σ = Hp /Hz∞ y para la altura de
presión Hp . Para máquinas sin pre-rotación α1 = π/2 ambas se pueden expresar como
#
" 2
2
vm,2
vm,2
1
A2
+
−1
(3.21)
σ= +
2 2u2 tan β2 2u22 [1 − vm,2 /(u2 tan β2 )]
A1
"
2 #
2
2
vm,2
vm,2
u22
A2
Hp =
−
+
−1
(3.22)
2
2(tan β2 )2
2
A1
siendo A2 y A1 las secciones de paso a la salida y a la entrada del rotor 3 . En bombas radiales,
donde A2 /A1 > 1, el grado de reacción y la altura de presión puede llegar a ser considerablemente
superiores al de bombas axiales A2 /A1 = 1 por el efecto de la fuerza centrífuga. Lo contrario
es esperable en turbinas A2 /A1 < 1. En ambos casos, la máxima altura de presión se alcanza
para β2 = π/2 mientras que el máximo grado de reacción se obtiene para β2 → 0, cuando la
potencia específica se hace nula. El grado de reacción puede llegar a hacerse negativo si tan(β2 ) >
2
−Vm,2 (u22 +vm,2
[−1 + (A2 /A1 )2 ])−1/2 , condición que indicaría que el rodete de una bomba absorbería
3
Se deja al lector demostrar que el grado de reacción para una máquina axial con α1 6= π/2 se puede escribir como
σ = 1/2 − vm,2 (cot α1 − cot β2 )/(2u2 )
3.7. Definición de rendimientos.
gHz∞
Ẇz∞
gHz∞
gHp
>
/2
β2
>π
β2 > π/2
π/
2
β2 < π/2
β2
29
β2 = π/2
u22
β2 <
π /2
π /2
gHd > 0
gHd < 0
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
β2 =
β2 < π/2
σ>0
0
0
Q
~v2
π/4
w
~2
~u2
β2
~v2
3π/4
π/2
β2
β2
~u2
w
~2
~v2
σ<0
β2
~u2
w
~2
~v2
β2
~u2
π
w
~2
Figura 3.5. Curvas características para bombas con β2 mayor, igual o menor que π/2 (izquierda) y variación
de la altura total y de presión (derecha) en función del ángulo de salida β2
M
presión de la corriente y el intercambio de potencia se produciría a expensas de un gran intercambio
de energía cinética. En turbinas, un grado de reacción negativo tendría una interpretación semejante,
con la presión aumentando en el rodete a expensas de una gran variación de la energía cinética del
fluido.
Para que la potencia específica intercambiada con el fluido sea constante a lo largo del álabe, el
ángulo β2 debe cambiar al alejarnos radialmente del eje de giro. Efectivamente, en máquinas sin
pre-rotación, para mantener constante la altura Hz∞ es necesario imponer
tan β2 =
vm,2 Ωr
2
Ω r2 − gHz∞
(3.23)
En máquinas radiales, la altura de los álabes suele ser pequeño y el ángulo β2 suele mantenerse
constante. Por el contrario, en máquinas axiales, con altura de álabes considerables, el ángulo β2
cambia de forma apreciable otorgando, a los mismos, una torsión que es necesario fabricar con
precisión.
3.7
3.7.1
Definición de rendimientos.
Bombas
Desde el punto de vista del fluido, la ecuación de Euler (3.9) representa la variación, por unidad
de tiempo, de la energía del fluido a su paso por la turbomáquina. Efectivamente, si aplicamos la
ecuación de la energía total escrita previamente en (2.16) entre la sección A, inmediatamente anterior
30
3. Teoría Unidimensional
b
b
A’
B’
h
h
λ, L1 , D
λ, L1 , D
z
Q
Qf
A
B
b
b
Q
B
Qf
A
b
b
B’
b
Q + Qf
λ, L2 , D
b
A’
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Q − Qf
λ, L2 , D
WB
WT
Figura 3.6. Esquema de la descarga de un depósito situado a una altura geométrica h a través de una
turbina (izquierda) y esquema de la carga de un depósito mediante una bomba (derecha). El caudal que
atraviesa el rotor de las turbomáquinas es Q. En la figura se indica la disminución (aumento) de caudal al
pasar por el rotor de la turbina (bomba) debido a fugas y filtraciones Qf a través de juntas desde la zona de
alta presión hacia la zona de baja presión.
M
a la sección de entrada, y B, inmediatamente posterior a la sección de salida de la turbomáquina,
tal como se indica en la figura 3.6 podemos escribir
vB2
vA2
pB
pA
+ gzB +
+ gzA +
Ẇm = ρQ
−
.
ρ
2
ρ
2
En particular, es habitual expresar esa energía transferida en términos de altura como
Ẇm
= gHm =
ρQ
pB
v2
+ gzB + B
ρ
2
−
pA
v2
+ gzA + A
ρ
2
,
(3.24)
Mediante el uso de la ecuación de Bernoulli en un sistema de referencia que gira con el rotor, es
fácil demostrar que la expresión (3.24) está relacionada con la ecuación de Euler (3.9) mediante la
expresión gHm = gHz∞ − Φv /(ρQ), siendo Φv la disipación viscosa en el interior de la turbomáquina.
La altura manométrica Hm es la potencia por unidad de volumen disponible en la corriente de
salida del dispositivo. Esta última y la altura cedida al fluido Hz∞ son únicamente iguales para
un fluido ideal en el que se cumple Φv = 0, relación que utilizamos para cuantificar la pérdida
de energía por unidad de tiempo debido a la viscosidad del fluido a través de la definición del
rendimiento hidráulico
ηh =
Ẇm
Ẇz∞ − Φv
Hm
Φv
=
=
=1−
,
Hz∞
ρQgHz∞
Ẇz∞
Ẇz∞
(3.25)
siempre inferior a la unidad debido a la disipación viscosa.
La potencia manométrica únicamente tiene en cuenta la disminución de potencia debido a la
viscosidad del fluido. Sin embargo, las limitaciones constructivas de las turbomáquinas introducen
3.7. Definición de rendimientos.
31
pérdidas adicionales de rendimiento debido a las fugas y filtraciones de caudal desde las regiones
de alta presión hacia las de baja presión de la turbomáquina. En bombas es frecuente encontrar un
flujo reverso Qf de caudal aguas arriba del rotor desde la región de alta presión que se suma al
caudal Q con el que se alimenta la turbomáquina desde la tubería. De forma efectiva, por lo tanto, el
caudal impulsado por el rotor Q + Qf es superior al de alimentación. A efectos prácticos, el caudal
de fugas implica un aumento de la potencia de impulsión, definida como potencia volumétrica
Ẇi = ρQf gHz∞ y se cuantifica a través del rendimiento volumétrico.
ηv =
Q
Ẇz∞
ρgQHz∞
=
.
=
ρgQHz∞ + ρgQf Hz∞
Q + Qf
Ẇz∞ + Ẇi
(3.26)
ηo =
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Aparte de las pérdidas de rendimiento asociadas a caudal de recirculación, que permanece en el
interior de la bomba y que no contribuyen al aumento de la energía por unidad de tiempo del
fluido que la atraviesa, es necesario tener en cuenta en el cálculo de rendimientos las pérdidas
mecánicas u orgánicas Ẇo , debidas al rozamiento del eje de la bomba con los elementos de sellado,
los elementos mecánicos de transmisión al eje, los cojinetes, etc.
ẆB − Ẇo
ρg(Q + Qf )Hz∞
=
.
ẆB
ρg(Q + Qf )Hz∞ + Ẇo
(3.27)
A partir de las definiciones anteriores podemos construir un rendimiento global de la turbomáquina
evaluando cuanta de la potencia empleada por la bomba ẆB es realmente transferida al fluido Ẇm ,
de forma que
Ẇm
.
ẆB
M
η = ηh ηv ηo =
(3.28)
En el caso de una bomba, tal como se esquematiza en la figura 3.7, es el motor el que cede la
potencia total ẆB = ρQgHB y del balance global se cumple que,
ẆB = Ẇo + Ẇi + Ẇz∞ = Ẇo + Ẇi + Φv + Ẇm .
3.7.2
(3.29)
Turbinas
La situación es análoga para una turbina aunque, tradicionalmente, a la variación de energía por
unidad de tiempo del fluido al atravesar el rotor de la turbina y a la altura asociada a ella se
las denomina potencia y altura neta, respectivamente. De nuevo, tras aplicar la ecuación de la
energía (2.16) entre las secciones de entrada A y salida B de la turbina representada en al figura 3.6
obtenemos
Ẇn
pA
vA2
pB
vB2
= gHn =
+ gzA +
−
+ gzB +
,
(3.30)
ρQ
ρ
2
ρ
2
de forma que la variación de energía por unidad de tiempo del fluido a su paso por la turbina
será gHn = gHz∞ + Φv /(ρQ). El rendimiento hidráulico representa, por tanto, el cociente entre la
3. Teoría Unidimensional
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
32
Figura 3.7. Flujo de potencia esquemático en bomba (izquierda) y turbina (derecha). Las potencias
relacionadas con perdidas se representan sombreadas.
potencia extraída del fluido Ẇz∞ = ρgQHz∞ y la potencia neta disponible a la entrada de la turbina
ηh =
Ẇz∞
Ẇn − Φv
Hz∞
Φv
=
=
=1−
.
Hn
ρQgHn
Ẇn
Ẇn
(3.31)
M
De forma semejante a lo que ocurre en las bombas, existe un flujo de fluido Qf desde la zona de alta
presión a la zona de baja que disminuye el caudal que atraviesa el rotor. La pérdida de potencia
asociada a esa disminución de caudal se cuantifica a través del rendimiento volumétrico
ηv =
Ẇz∞ − Ẇi
ρ(Q − Qf )gHz∞
.
=
ρQgHz∞
Ẇz∞
(3.32)
Para determinar finalmente cual es la potencia disponible en el eje de la turbina ẆT es todavía necesario sustraer una potencia adicional relacionada con las pérdidas mecánicas. Así, el rendimiento
mecánico u orgánico queda definido como
ηo =
ẆT
ẆT
ẆT
.
=
=
ρ(Q − Qf )gHz∞
ẆT + Ẇo
Ẇz∞ − Ẇi
(3.33)
El rendimiento total de la turbina compara, entonces, la potencia en el eje de la turbina con la
potencia neta disponible a la entrada de la misma
η=
ẆT
= ηh ηv ηo .
Ẇn
(3.34)
En consecuencia, una turbina, como la esquematizada en la figura 3.7, recibe del flujo una
potencia neta Ẇn = ρQgHn de la cual transfiere al eje una parte, la potencia de la turbina ẆT =
3.7. Definición de rendimientos.
33
ρQgHT . Podemos de todo lo anterior escribir el balance de potencias según
Ẇn = Ẇz∞ + Ẇi + Φv = ẆT + Ẇo + Ẇi + Φv .
3.7.3
(3.35)
Ejercicio de aplicación
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Consideremos la situación esquematizada en la figura 3.6 en la que un depósito de agua situado
a una altura h descarga agua a través de una turbina hasta un depósito inferior a través de una
tubería de diámetro D por las que circula un fluido con velocidad U = Q/(πD2 /4). Por simplicidad,
supongamos que el número de Reynolds R = U D/2ν del movimiento del agua en las tuberías es lo
suficientemente grande como para que el coeficiente de fricción λ sea constante. Para el cálculo
de la energía específica en A y B es conveniente aplicar la ecuación de la energía (2.16) entre los
puntos A-A’ y B-B’, lo que nos permite escribir
pB UB2
L2
pa
8Q2
(3.36)
+
=
+ 2 2 1+λ
ρ
2
ρ
π D
D
pA UA2
pa
8Q2 L1
+
+ gzA =
+ gh − 2 2 λ ,
(3.37)
ρ
2
ρ
π D D
donde hemos utilizado que la cota de la superficie del agua en el depósito inferior es la misma que
la cota a la que se encuentra la salida de la turbina zB = zB 0 .
Sustituyendo en la expresión para la potencia manométrica escrita previamente en (3.30) e introduciendo que Hn = Ẇm /(ρgQ), podemos escribir
8Q2 λL1
8Q2
L2
Hn = h − 2 2
− 2 2 1+λ
.
(3.38)
π D D
π D
D
M
El primer término a la derecha del igual de la ecuación (3.38) representa el salto máximo de agua
que la turbina podría aprovechar si toda la energía potencial del agua del depósito se aprovechara
para intercambiar potencia con el rotor de la turbina. Los siguientes términos, son signo negativo,
son las pérdidas asociadas a la disipación viscosas en las tuberías y a la energía cinética del fluido a
la salida de la turbina que no se ha aprovechado para generar potencia en el rotor.
La dificultad para calcular la disipación viscosa en el interior del rotor Φv en la aproximación
unidimensional se resuelve mediante la definición del rendimiento hidráulico que permite calcular
la altura útil de la turbina Hu = ηh Hn ·
Equivalentemente, para la carga de un depósito elevado mediante una bomba (figura derecha en
3.6), podemos escribir las energías específicas de los puntos A y B como
pA UA2
pa
8Q2 λL2
+
=
− 2 2
ρ
2
ρ
π D D
pB UB2
pa
8Q2
L1
+
+ gzB =
+ gh + 2 2 1 + λ
ρ
2
ρ
π D
D
Sustituyendo en la expresión para la potencia manométrica escrita previamente en (3.24)
8Q2
L1 + L2
Hm = h + 2 2 1 + λ
gπ D
D
(3.39)
(3.40)
(3.41)
34
3. Teoría Unidimensional
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
La potencia manométrica Ẇm = ρgHm , también llamada útil en el caso de bombas, necesaria para
elevar agua al depósito no solamente tiene que se suficiente para vencer la sobre-presión asociada al
peso de la columna de agua de altura h, sino que debe ser capaz de vencer la disipación viscosa en
el interior de unas tuberías en las que existe un factor de fricción λ asociado al caudal desplazado
por la bomba.
35
Efectos bidimensionales
Introducción
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
4.1
M
La teoría unidimensional se sustenta en tres hipótesis fundamentales: 1) que el fluido es ideal en
todo el volumen ocupado dentro del rodete y que todas las líneas de corriente son iguales y están
marcadas por el perfil de lo álabes. La segunda hipótesis obliga a que las velocidades relativas a
la entrada y a la salida sean tangentes a los álabes. También se supone que la orientación de la
velocidad absoluta está determinada por la forma de los álabes directores del estátor. En definitiva,
basta con calcular la variación de velocidad acimutal entre la salida y entrada de una línea de
corriente cualquiera para conocer la variación de potencia específica de todas las partículas de
fluido que pasan por el rodete.
En este capítulo introduciremos los diferentes efectos añadidos que aparecen en el flujo de una
máquina hidráulica, y cómo estos modifican la previsión de energía específica intercambiada entre
el fluido y el rodete. En particular, podemos distinguir entre efectos geométricos: flujos secundarios
que pueden aparecer en dos y tres dimensiones, y efectos disipativos: asociados a la interacción
fluido-pared. Como veremos, ambos efectos no están desacoplados. Estudiaremos primero el efecto
los flujos bidimensionales entre álabes, que ocurren en el plano ~er − ~eθ en máquinas radiales y en el
plano êx − ~eθ en máquinas axiales. Finalmente estudiaremos, de forma más cualitativa, debido a la
complejidad asociada a estos flujos, los efectos tridimensionales y disipativos.
4.2
Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas radiales
La teoría bidimensional tiene como objetivo corregir las predicciones obtenidas a través de la
teoría unidimensional, la cual supone, como se ha visto en el capítulo anterior, que la velocidad
en cualquier sección transversal al flujo es uniforme (simetría polar). Esta hipótesis nos permitía
calcular, estudiando la evolución de una partícula de fluido a lo largo de una única línea de
corriente, la potencia y el par transferidos del rodete al fluido. Como resultado, se obtiene que
Z
gHz∞
T = ρQ
=z
rp sin βdσ ,
(4.1)
Ω
Σa
donde z es el número de álabes y Σa incluye toda la superficie de contacto con el fluido (ambas
caras). Generalmente, para una línea de corriente arbitraria, tanto el valor de la presión p(r) como
el ángulo β(r) varían con la posición. El diferencial de fuerza de presión ejercida por el fluido sobre
36
4. Efectos bidimensionales
un diferencial de área dr ` es
Z r+dr
~
p~n`dr ,
dFp =
(4.2)
r
donde ` es el perímetro del álabe en la posición r y ~n es el vector de superficie unitario. La
componente que produce momento neto, dFp,t será aquella perpendicular al vector radial ~er . El par
producido por el fluido en cada elemento de superficie dr ` se puede expresar como
dT = zrdFp,t .
(4.3)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Si aplicamos la hipótesis de simetría polar de forma rigurosa encontramos que el valor neto
de dFp,t es nulo. Esto se debe a que, bajo la hipótesis unidimensional todas la líneas de corriente
son iguales, por lo que no existe diferencia entre una línea de corriente en el intradós y el extradós
del álabe, resultando una presión similar a ambos lados del álabe, dFp,t → 0, y finalmente dT → 0.
La aparente contradicción se resuelve cuando se tiene en cuenta que la teoría unidimensional es
representativa de rotores con un número de álabes muy elevado z → ∞, por lo que el par total
proporcionado al fluido queda indeterminado, no nulo, en ese límite.
dT ∼ lim zdFp,t r 6= 0 .
z→∞
(4.4)
M
Como se demostrará a continuación, la corrección que la teoría bidimensional hace de la teoría
unidimensional resulta en una potencia menor transferida al fluido, o sustraída si consideramos
la configuración de turbina. Esta disminución será más intensa cuanto menor sea el número de
álabes. Resulta obvio que la idealización de un rotor con número de álabes que tiende a infinito es
imposible desde el punto de vista práctico, y presenta además inconvenientes intrínsecos: mayor
número de álabes implica mayor coste de fabricación, mayor peso del rodete con el asociado
incremento de momento de inercia que afectará en las etapas transitorias y mayor superficie de
contancto con el correspondiente incremento de pérdidas por fricción, entre otros. Para realizar un
correcto diseño de una turbomáquina es necesario tener en cuenta los efectos bidimensionales, y así
buscar el óptimo entre las ventajas y desventajas de diseñar un rotor con un número determinado
de álabes.
4.2.1
El coeficiente de disminución de trabajo
Desde un punto de vista fenomenológico, es inmediato comprobar que el camino que una partícula
de fluido realiza en la cara del álabe cuyo vector apunta en la dirección de movimiento, la cara que
empuja, es diferente al realizado en la otra cara, la cual se desplaza provocando succión. Para el
segundo caso, la oposición que la partícula siente al viajar a través del rodete es menor que para
el primer caso. Como se ilustra en la figura 4.1, la simetría polar del campo fluidodinámico en
el rodete se rompe al considerar este efecto. En la figura de la izquierda aparece el campo fluido
suponiendo que todas las líneas de corriente son iguales y en la figura de la derecha teniendo en
cuenta los efectos bidimensionales. Como se observa, los vectores de velocidad disminuyen de
tamaño (escalados con el módulo de la velocidad) en la cara empujante del álabe.
Este efecto se traduce en la generación de un vórtice relativo que, sobrepuesto al movimiento
predicho por la teoría unidimensional, proporciona un campo de velocidades no uniforme entre
4.2. Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas radiales
Ω
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Ω
37
Figura 4.1. Esquema de los efectos bidimensionales del campo de velocidades entre álabes
los álabes del rotor (ver Fig.4.2). Como consecuencia directa de los efectos bidimensionales, la
orientación y el módulo de los vectores que determinan el campo fluido a la salida del rotor se ve
alterada, y por ende, el par neto ejercido y la potencia comunicada al fluido.
teoría 1D + corrección 2D
Ω
M
Ω
teoría 2D
Figura 4.2. Esquema de los efectos bidimensionales del campo de velocidades entre-álabes
Para una máquina hidráulica cuyo fluido entra en el rodete sin prerrotación, α1 = π/2, la energía
0
específica que gana el fluido, en el caso una bomba hidráulica, es gHz = u2 vu,2
, con Hz indicando la
0
altura de la bomba para un número finito de álabes z, y vu,2
representando la componente tangencial
de la velocidad absoluta cuando se tienen en cuenta los efectos bidimensionales entre álabes. Por
conveniencia, reescribimos la energía específica predicha por la teoría bidimensional como una
función correctora de la teoría unidimensional:
gHz = gHz∞ ez = gHz∞
0
vu,2
,
vu,2
(4.5)
0
donde el cociente vu,2
/vu,2 = ez define el factor de reducción de trabajo. Dicho factor es menor
que la unidad y se utiliza para cuantificar la variación del par entregado al fluido en una máquina
radial cuando el número de álabes en el rodete es finito. El triángulo de velocidades a la salida,
representado en la figura 4.3 de forma esquemática, ya no es uniforme con la coordenada azimutal,
0
como tampoco lo es la componente vu,2
para cada línea de corriente. No obstante, existen diversas
teorías semi-empíricas que permiten cuantificar el valor de ez sin necesidad de conocer como varía
0
la componente vu,2
entre álabes, pero sí considerando las características fundamentales del flujo
bidimensional.
38
4. Efectos bidimensionales
Si el área de salida no se ve afectada significativamente por la ocupación física de los álabes,
0
A2 ∼ πR2 b, la componente meridional de la velocidad vm,2
permanece invariable a los efectos
0
bidimensionales, pues ésta queda determinada por la continuidad de caudal volumétrico vm,2
=
0
vm,2 = Q/A2 . Esto implica, como puede observarse en la figura 4.3, que una disminución en vu,2
con respecto a vu,2 , lleva asociada un aumento del ángulo α20 < α2 y una disminución del ángulo
β20 > β2 .
w
~2
~v2
α20 α2
w
~ 20
~u2
0
~vu2
~v20
~vm2
β20 β
2
α20
α2
β20
~v2
w
~ 20
w
~2
~vm2
β2
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
~v20
~u2
0
~vu2
~vu2
~vu2
Figura 4.3. Esquema de los efectos bidimensionales en el triángulo de velocidades a la salida del rodete
para β< π/2 (izquerda) y β2 > π/2 (derecha).
4.2.2
Correcciones de Stodola y Pfleiderer
M
El método de Stodola para calcular el factor de reducción de trabajo ez supone que la desviación
0
de la velocidad azimutal vu,2 − vu,2
es proporcional al valor ∆w = wA − wB , siendo este último la
variación existente en la velocidad relativa entre-álabes (A: cara que se desplaza dejando hueco
~u2 · ~n < 0 y B: cara empujante ~u2 · ~n > 0) a la salida del rotor, y el factor de proporcionalidad
determinado de forma experimental. Para determinar el valor ∆w hacemos uso de la ecuación de
conservación de momento lineal para la velocidad relativa a la rotación del rotor w
~ en régimen
estacionario
p
~ ×w
w
~ (∇ · w)
~ = −∇
+ U − 2Ω
~
(4.6)
ρ
Por conveniencia, usamos un sistema de coordenadas intrínsecas, determinado por el vector
unitario orientado en la dirección de las líneas de corriente, ~es = w/|
~ w|,
~ y la coordenada ~en ortogonal
a la misma ~es · ~en = 0. Sabiendo que
∂w
w2
∂ w2
w2
w
~ (∇ · w)
~ = w ~es −
~en =
~es −
~en
(4.7)
∂s
r
∂s 2
r
y proyectando (4.7) sobre la coordenada ~es , obtenemos la ecuación de Bernoulli: p/ρ + w2 /2 +
U =constante. Si por el contrario proyectamos (4.7) sobre la coordenada ~en obtenemos
∂w
w
= 2Ω − ,
∂n
r
(4.8)
que, en el límite de radio grande a la salida Ω w/R2 , puede integrarse directamente para dar
wA − wB = ∆w = 2Ω∆n , con ∆n = πD2 sin β2 /z siendo proyección del arco entre álabes πD2 /z sobre
4.3. Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales
39
la coordenada normal, para el límite de radio grande. La forma funcional obtenida para ∆w , se usa
para reescribir el factor de reducción de trabajo como
ez = 1 − επ
sin β2 u22
zgHz∞
(4.9)
donde ε es un parámetro empírico que depende del número de álabes y del ángulo de salida de los
álabes, como puede verse en la tabla 4.1.
10◦
1.4
1.4
20◦
1.1
1.15
30◦
0.9
1.0
40◦ 60◦
0.75 0.6
0.85 0.7
90◦
0.55
0.65
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
β2
z: 4-8
z: 8-16
Table 4.1. Valores de ε según la teoría de Busemann
Si reescribimos el intercambio energético que tiene lugar en el rodete teniendo en cuenta los
efectos bidimensionales predichos por la teoría de Stodola
sin β2 u22
sin β2 u22
(4.10)
= Hz∞ − επ
Hz = Hz∞ 1 − επ
zgHz∞
gz
observamos que la corrección de la función Hz (Q) con respecto a la función Hz∞ (Q) es un simple
desplazamiento a valores inferiores de energía específica: la diferencia Hz∞ − Hz no depende del
caudal.
De forma análoga a la corrección propuesta por Stodola, encontramos el factor de reducción de
trabajo sugerida por Pfleiderer
1
M
ez =
R2
1+ψ 2
zS
(4.11)
con ψ representado un coeficiente experimental que se expresa en función del ángulo de salida
del álabe ψ = 0.6(1 + sin β2 ), y S siendo el momento estático de la línea media de un álabe
RR
S = R12 rdr = (R22 − R12 )/2.
De la misma forma que en (4.9), el valor de ez tiende a la unidad a medida el número de los
álabes aumenta. Es fácil deducir que, al contrario de lo que predecía la corrección de Stodola, la
diferencia entre la teoría unimensional y bidimensional, Hz∞ − Hz , disminuye con el caudal.
4.3
Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales
La ampliación de la teoría ideal unidimensional para turbomáquinas axiales a efectos bidimensionales que se presenta en esta sección considera que estas son atravesadas por una corriente en la
dirección del eje de rotación y, por tanto, el estudio se simplifica considerando que las partículas
fluidas no poseen velocidades radiales y se mantienen a lo largo de su trayectoria contenidas en
cilindros concéntricos al eje.
El análisis del funcionamiento de turbomáquinas axiales según la teoría bidimensional se realiza
pues en un plano desarrollado de dicha corriente cilíndrica y en un sistema de referencia girando
40
4. Efectos bidimensionales
con el rodete a velocidad u = ωr, simplificando el problema a un caso estacionario para un radio
característico de la turbomáquina axial. El cambio de sistema de referencia provoca la aparición de
fuerzas de Coriolis y centrífugas, aunque, dada la ausencia de desplazamiento radial del fluido,
dichas fuerzas no ejercen ningún trabajo y por lo tanto las formulaciones para el etapas móviles
como el rotor y etapas fijas como el estátor son idénticas intercambiando las velocidades relativas
por absolutas.
El desarrollo bidimensional se apoya en gran parte de teoría aerodinámica de perfiles ideales,
siendo los álabes objetos aerodinámicos inmersos en la corriente axial que atraviesa la máquina.
4.3.1
Aerodinámica de perfiles
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Un cuerpo aerodinámico inmerso en una corriente uniforme perturba dicha corriente y sufre una
reacción por parte de la misma. Consideremos un perfil de cuerda c dada por la distancia entre
su borde de ataque y borde de salida. El comportamiento de este tipo de elementos fuselados
se puede estudiar a través de la teoría potencial linealizada como el conjunto de efectos debidos
a: una placa plana de referencia, trazada entre el borde de ataque y de salida, la cual define con
la dirección de la corriente el ángulo de referencia; la curvatura del perfil, que rompe la simetría
geométrica decelerando la corriente en el intradós y acelerándola en el extradós para producir una
sobrepresión y depresión respectivamente; y el espesor, que provoca efectos de segundo orden en
la sustentación.
La línea de sustentación nula como se muestra en la figura 4.4 es aquella dirección para la que
una corriente no produce sustentación en el perfil, siendo por lo tanto para el caso de una placa
plana la misma línea que une los bordes de ataque y de salida. El ángulo que forma la corriente con
la línea de sustentación nula se llama ángulo de ataque y se denotará aquí con la variable δ.
Figura 4.4. Parámetros geométricos de un perfil aerodinámico.
El cálculo de las fuerzas sobre un perfil en movimiento bidimensional potencial se puede llevar
a cabo evaluando la variación de cantidad de movimiento en un volumen de control que rodea
el perfil, considerando así la acción del flujo y la presión sobre las caras del objeto. Dicho balance
deriva en la expresión,
l = ρV∞ Γ,
(4.12)
conocida como la fórmula de Kutta-Yukovski que relaciona la sustentación por unidad de longitud
l, con la densidad del fluido ρ, la velocidad en el campo lejano V∞ y la circulación a lo largo del
4.3. Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales
41
4.3.2
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
R
contorno del perfil Γ = dΣ wd~
~ s. En el caso de una máquina hidráulica, la velocidad en el campo
lejano no es la misma aguas arriba que aguas abajo, por lo cual se utiliza una velocidad media
wm en el cálculo de sustentación por la fórmula de Kutta-Yukovski. La fuerza de sustentación
resultante se ejerce en dirección perpendicular a la corriente incidente. Nótese que en el caso de
flujo real aparece una fuerza de resistencia que está alineada con la dirección de la corriente.
Un problema simétrico ( e.g. perfil sin curvatura y corriente alineada con la línea media) no
produce sustentación, dado que la velocidad en el extradós e intradós es simétrica también y
por lo tanto la circulación alrededor del objeto es nula. En conclusión, a través del análisis de
teoría potencial bidimensional se requiere que la circulación Γ no sea cero para que la sustentación
producida en el perfil sea no nula.
Movimiento bidimensional en cascada de álabes móvil
M
Tal como se ha mencionado con anterioridad, se considera que las partículas fluidas en la máquina
axial desarrollan su trayectoria contenidas en cilindros concéntricos sin efectos ligados a presencia
de velocidad radial. El estudio de una etapa móvil en la máquina se realiza desarrollando la
corriente cilíndrica sobre un plano, el cual se compone por tanto de una cascada de álabes periódica
como se muestran en la figura 4.5. Esta configuración difiere del perfil descrito con anterioridad en
cuanto que los álabes no son objetos aislados en una corriente infinita, si no más bien las paredes
contiguas que forman los conductos de paso del fluido de trabajo.
La fuerza ejercida por el fluido sobre cada uno de los álabes se puede calcular integrando sobre
la superficie dΣ los efectos de presión y esfuerzos viscosos,
I
I
~
F =
p~ndσ +
τ̄¯0 · ~ndσ,
(4.13)
dΣ
dΣ
donde el segundo término, representante de los efectos viscosos se desprecia en la aproximación
potencial del problema fluido. El volumen de control elegido dΣ consiste en una sección de entrada
a velocidad w
~ 1 , una de salida a velocidad w
~ 2 , y dos líneas de corriente (tangentes a la velocidad
local) centradas en los canales contiguos. De este modo no existe gasto másico en las fronteras
paralelas al perfil, y por conservación de masa la componente en dirección del eje de las velocidades
relativas en la entrada y la salida deben igualarse,
wx,1 = wx,2 = wx .
(4.14)
Aplicando la conservación de cantidad de movimiento en el volumen de control se obtiene
además la fuerza ejercida sobre el perfil,
F~ = t(p1 − p2 )êx + ρwx t(wu,2 − wu,1 )êθ ,
(4.15)
donde t es la separación entre álabes y wu es la componente acimutal de la velocidad relativa.
Considerando flujo potencial se puede escribir además por la ecuación de Bernoulli,
ρ
ρ
p1 − p2 = (w22 − w12 ) = (wu,2 + wu,1 )(wu,2 − wu,1 ),
2
2
(4.16)
42
4. Efectos bidimensionales
tal que la fuerza sobre el perfil se reescribe como,
wu,2 + wu,1
~
F = ρt(wu,2 − wu,1 )
êx + wx êθ .
2
(4.17)
Haciendo uso de la fórmula de Kutta-Yukovski |F~ | = ρ|w~m |Γ, donde w
~ m = wx êx +(1/2)(wu,2 +wu,1 )êθ
es la velocidad media y Γ = t(wu,2 − wu,1 ) la circulación sobre el perfil, dado que para flujo potencial
y perfil sin espesor la velocidad no depende de la coordenada acimutal θ y todas las líneas de
corriente son iguales. La dirección de actuación de la fuerza βF es,
2wx
Fu
,
=
Fx
wu,2 + wu,1
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
tan βF =
(4.18)
siendo la resultante, como se especifica más arriba, perpendicular a la velocidad media, F~ · w
~ m = 0.
Cuanto mayor es la separación entre los álabes t, mayor es la fuerza ejercida sobre cada uno de
ellos, dado que en una circunferencia de perímetro 2πr habrá menos álabes entre los que repartir la
energía cinética del fluido. Considerando un álabe aislado, también se puede calcular la circulación
con el objetivo de obtener el valor de la sustentación del perfil considerando que Γ = πηV∞ c sin δ,
donde η es una función de la geometría del perfil y la inclinación de la línea media de la cascada.
El coeficiente de sustentación, o la fuerza adimensionalizada sobre el perfil se escribe entonces,
CL =
F
1
ρV∞2 c
2
= 2πη sin δ
(4.19)
M
A continuación consideremos las posibles hipótesis simplificativas aplicadas a una cascada de
álabes. El estudio de efectos bidimensionales propone, como se ha mencionado, el dominio 2D del
plano cilíndrico desarrollado.
Figura 4.5. Esquema de una cascada de álabes móvil en el plano desarrollado x − θ y sistema de referencia
rotando a velocidad u = Ωr en el caso de: placas planas, curvas y con espesor.
4.4. Ejemplo de aplicación
43
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
En el caso de una cascada de placas planas como se muestra en la figura 4.5 la línea de sustentación nula de los perfiles coincide con la línea de referencia, marcada por el ángulo de enrejado
o ángulo de referencia de álabe β. Una corriente ideal que incida con los álabes entrando en
dirección tangente al álabe atravesará la etapa sin modificación alguna, siendo wx,1 = wx,2 por
continuidad y wu,1 = wu,2 al no presentar deflexión alguna de la corriente ni considerar efectos
viscosos, anulándose así la expresión de la sustentación (o bien, considerando el ángulo de ataque
δ = 0, implica F = 0. La corriente sobre y bajo cada perfil es idéntica y por lo tanto la circulación es
nula). Por ello, una cascada de placas planas requiere una corriente con ángulo de ataque no nulo
para realizar intercambio mecánico con la corriente.
En una cascada de placas curvadas, las líneas de corriente de un flujo ideal que incide tangente
a los álabes son paralelas y con la misma forma que los perfiles sin espesor. La corriente se deflecta
entre la entrada y la salida, siendo wu,1 6= wu,2 , y se produce una sustentación no nula en la etapa
(Nótese que la línea de sustentación nula difiere de la geométrica de referencia del álabe). Al
considerarse un flujo potencial la corriente es invariante en la coordenada êθ para una distancia
axial, y el balance sobre el volumen de control en la figura se reduce a los segmentos de entrada y
salida, dado que los límites laterales han sido elegidos tangentes a la velocidad local y los efectos de
presión sobre la placa se cancelan al ser espesor infinitamente delgado y la presión igual a ambos
lados.
Sin embargo, incluir efectos de espesor en los álabes implica una variación de la corriente en el
extradós e intradós de cada elemento, imponiendo un cálculo de la circulación más detallado (o
bien la integración de efectos de presión sobre la superficie del perfil) que conllevan el análisis de
verdaderos efectos bidimensionales.
Tras el paso del fluido por la etapa en cuestión de la turbomáquina, la energía intercambiada
por unidad de masa se denota con la expresión,
2
v2 v12
p2 p1
−
+
−
.
(4.20)
gH =
ρ
ρ
2
2
Dado que la velocidad absoluta cumple v 2 = u2 + w2 − 2uwu , y se satisface la ecuación de Bernouilli
para el movimiento relativo p1 /ρ + w12 /2 = p2 /ρ + w22 /2, la expresión para el cálculo de la altura a
través de la ecuación de Euler en la cascada se reduce a,
gH = u∆wu .
4.4
(4.21)
Ejemplo de aplicación
Se desea usar una bomba centrífuga para elevar agua entre dos depósitos separados una altura de
h = 20 m. Ambos depósitos están abiertos y el agua de la superficie puede suponerse en reposo
y a presión es la atmosférica. Las tuberías de aspiración e impulsión, ambas de Dt = 0.15 m de
diámetro, unen la bomba con los depósitos correspondientes. La bomba, que gira a Ω = 1450 rpm,
tiene un diámetro exterior de D2 = 0.25 m, dieciséis álabes (z = 16), D1 /D2 = 0.45, y β2 = 60◦ . La
anchura de los álabes se diseña para que la velocidad radial sea constante, siendo el ancho a la
salida b2 = 20 mm. El fluido entra sin prerrotación y los rendimientos hidráulico, volumétrico y
orgánico son ηh = 0.85, ηv = 1 y ηo = 0.9, respectivamente. Si despreciamos la energía cinética del
fluido en la tubería, calcule:
44
4. Efectos bidimensionales
a) La altura de los álabes b1 (en mm) a entrada del rodete y la altura teórica Hz (en m) proporcionada por el rodete.
b) El caudal Q (en m3 /s) que circula por la bomba/tubería.
c) La potencia ẆB (en kW) consumida por la bomba y la entregada al fluido Ẇm (en kW).
Determine también la potencia perdida por disipación viscosa Φv , por efectos orgánicos Ẇo y
por pérdidas volumétricas Ẇi .
d) El ángulo β1 (en ◦ ) para que el fluido entre sin prerrotación. Los ángulos β20 y α20 (en ◦ )
predichos por la teoría bidimensional.
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
e) ¿Es correcta la hipótesis de suponer despreciable la energía cinética a la salida? Recalcule el
punto b) considerando la energía cinética del fluido en la tubería y comente el resultado.
Con el paso de los años, la rugosidad interna de la tubería aumenta debido a efectos corrosivos,
produciendo pérdidas considerables de presión en el fluido. Dichas pérdidas por fricción son 10
veces la altura dinámica vt2 /(2g), es decir, λLt /Dt = 10. La bomba utilizada es la misma (mismos
ángulos en los álabes) pero los rendimientos han caído a ηh = 0.8, ηv = 0.95 y ηo = 0.88.
f) Vuelva a recalcular el apartado b) en estas nuevas condiciones y comente el resultado.
Solución:
a) La altura de los álabes b1 a entrada del rodete se obtiene usando la conservación de la
masa, esto es: Q = vm,1 πD1 b1 = vm,2 πD2 b2 . Como vm es constante en este caso, tenemos
b1 = b2 D2 /D1 = 44 mm.
M
La altura teórica se obtiene directamente a partir del rendimiento hidráulico Hz = Hm /ηh ,
donde la altura manométrica es la que la bomba ha de proporcionar al sistema hidráulico:
Hm = h +
v2
8Q2
=h+ 2 4 .
2g
π Dt g
No obstante, suponiendo el la energía cinética del fluido es despreciable, h v 2 /(2g), tenemos
que la altura manométrica no depende del caudal Hm ' h. Para los valores proporcionados,
las alturas teóricas usando teoría bidimensional y unidimensional son Hz = 23.53 m y
Hz∞ = Hz /ez = 27.66 m, respectivamente.
b) Como el fluido entra sin prerrotación, esto es, gHz∞ = u2 vu,2 encontramos la relación
vm,2
Q
gHz∞ = u2 vu,2 = u2 u2 −
= u2 u2 −
tan β2
πD2 b2 tan β2
que proporciona un caudal Q = 0.127 m3 /s, con u2 = ΩD2 /2 = 18.98 m/s.
c) La potencia consumida por la bomba es ẆB = ρgQHm /ηt = 32.67 kW y la transmitida al fluido
es Ẇm = ẆB ηt = 25 kW. La potencia disipada por viscosidad es Φv = Ẇm (1 − ηh )/ηh = 4.4
kW, la potencia por pérdidas orgánicas es Ẇo = ẆB (1 − ηo ) = 3.3 kW, y la potencia por
pérdidas internas es Ẇi = 0 (ηv = 1). Es inmediato comprobar que ẆB = Ẇm + Ẇo + Ẇi + Φv
4.4. Ejemplo de aplicación
45
d) La componente meridional de la velocidad es imediata a partir de vm,1 = vm,2 = Q/(πD1 b1 ) =
8.1 m/s. El ángulo del álabe a la entrada del rodete para que el fluido entre sin prerrotación,
vu,1=0 , es β1 = arctan (vm,1 /u1 ) = 43.53◦ , con la velocidad acimutal de rotación a la entrada
obtenida a partir de u1 = ΩD1 /2 = 8.54 m/s. La teoría unidimensional predice un valor
0
vu,2 = u2 − vm,2 / tan β2 = 14.3 m/s y la teoría bidimensional vu,2
= vu,2 ez = 12.2 m/s.
0
0
Los ángulos característicos del triángulo de salida
son
β
=
arctan
v
/
u
−
v
= 49.96◦
m,2
2
2
u,2
0
(menor que β2 = 60◦ ) y α20 = arctan vm,2 /vu,2
= 33.7◦ (mayor que α2 = 29.58◦ ).
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
e) En este caso, la altura manométrica proporcionada por la bomba ha de ser usada para elevar
el agua a la altura deseada y proporcionar energía cinética al fluido Hm = h + vt2 /(2g).
Supongamos que el diseño de la bomba está acondicionado para que el fluido entre sin
prerrotación en el rodete.
Con respecto a las condiciones en el rotor, es sabido que gHm = gHz ηh = gH∞ ez ηh =
u2 vu,2 ez ηh , donde vu,1 = 0. Si combinamos ambas relaciones para Hm usando la información
disponible encontramos la siguiente ecuación para el caudal
ez ηh Ω
D22
8
2
2
Q
+
Q
+
gh
−
Ω
e
η
=0
z h
π 2 Dt4
2πb2 tan β2
4
Finalmente se obtiene un valor de Q = 0.097 m3 /s, inferior al caso anterior. Para que el
fluido entre sin prerrotación con un caudal menor, la nueva orientación de los álabes es
β1 = arctan (vm,1 /u1 ) = 35.97◦ .
M
La altura manométrica proporcionada por la bomba es Hm = 20 m (potencial) +1.55 m
(cinética) = 21.55 m. Las potencias transmitida al fluido y consumida por la bomba son
Ẇm = 20.6 kW y ẆB = 25.9 kW, inferiores al caso anterior. Es decir, aunque la altura
manométrica de la bomba es ligeramente superior, las potencias disminuyen con debido a
que el caudal impulsado disminuye.
f) En este nuevo caso, la altura manométrica proporcionada por la bomba ha de ser usada
para elevar el agua a la altura deseada y para compensar las pérdidas por fricción. Además,
el fluido podría entrar con prerrotación suponiendo que la orientación de los álabes no ha
variado con respecto al caso anterior e). Para el cálculo correcto de vu,1 y vu,2 , a partir de sus
componentes meridionales, se debe tener en cuenta el rendimiento volumétrico en la relación
Q/ηv = vm,1 A1 = vm,2 A2 . De forma similar al apartado anterior, obtenemos
8K 2 ez ηh Ω
1
1
D22 − D12
2
Q
+
−
Q
+
gh
−
Ω
e
η
=0
z
h
π 2 Dt4
2πηv b2 tan β2 b1 tan β1
4
donde K = 1 + λLt /Dt = 11 en este nuevo caso. Los parámetros geométricos b1 y β1 son
conocidos del apartado anterior. En esta otra configuración se obtiene un valor de Q = 0.0266
m3 /s, muy inferior al caso anterior. La altura manométrica proporcionada por la bomba es
ahora Hm = 20 + 1.28 = 21.28 m (incluyendo la energía cinética y pérdidas) y la potencia
consumida por la bomba es ẆB = 7.28 kW.
Las curvas continuas representan la variación de la altura manométrica con el caudal para el
caso sin prerrotación y ηv = 1 (apartados b y e). Se observa que la pendiente es negativa y
46
4. Efectos bidimensionales
que los puntos de funcionamiento estás determinados por el corte las curvas de la instalación,
rojo y azul respectivamente para el caso donde se desprecia y se considera la energía cinética
del fluido. Para el caso donde existe prerrotación la pendiente de la curva se vuelve positiva
y el nuevo punto de corte (verde para el caso f) considera también efectos disipativos en la
tubería (curva de instalación más pronunciada). Se puede concluir que la altura manométrica
de la bomba no varía significativamente con las condiciones de la instalación pues la energía
cinética es, en este ejemplo, generalmente mucho más pequeña que la energía potencial
2
h vtub
/(2g). No obstante, el caudal impulsado varía de forma considerable.
H[m]
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Hinst (f )
Hm (b, e)
Hinst (e)
M
Hm (f )
Hinst (b)
Q[m3 /s]
Figura 4.6. Representación de los puntos de funcionamiento en las tres diferentes configuraciones: depreciando energía cinética (b), incluyendo energía cinética (e) y considerando pérdidas disipativas y otros
efectos en la máquina (f).
47
Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos
5.1
Introducción
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Hasta ahora hemos despreciado los efectos de la viscosidad y de la conductividad térmica del
fluido. Suponíamos también que el punto de funcionamiento era el de diseño y que no aparecían
desprendimientos de capa límite, los cuales dan lugar a fenómenos de disipación muy importantes.
La consideración de estos efectos, dentro del rodete, hace que el proceso de transferencia de potencia
entre los álabes y el fluido no sea isentrópico. Claramente, estas perdidas irán en detrimento del
rendimiento de la máquina hidráulica.
Los efectos disipativos, asociados al rozamiento entre el fluido y las superficies que conforman
el rodete pueden escalarse con las condiciones de operación. En el fluido inmediatamente presente
sobre la superficie de los álabes se forma una capa límite, dominada por los efectos viscosos, que se
encarga de ligar las condiciones de flujo distante de la pared (ideal) con la condición de adherencia
sobre la misma. Si la distancia entre álabes es lo suficientemente grande comparada con el espesor
local de la capa límite en cuestión (dependiente del número de Reynolds, δ ∝ Re−1/2 ), las capas
límite formadas no interaccionan entre sí, y la fuerza viscosa de arrastre asociada es proporcional al
tensor de esfuerzos integrado sobre cada superficie Σi
1
u
Fd ∼ τ |Σ AΣ ∼ µ AΣ ∼ Cd ρu2 ,
δ
2
(5.1)
donde Cd (Re) es el coeficiente de arrastre adimensional que depende del número de Reynolds.
En concreto, para las condiciones de operación de turbomáquinas convencionales, la capa límite
formada es de carácter turbulento debido al alto valor de Re.
Sin embargo, no sólo deben ser considerados los efectos viscosos en el balance de efectos reales.
Debido a la geometría tridimensional y a las condiciones de contorno que ésta impone sobre el
fluido, se generan una serie de flujos secundarios que se suman a la contabilización de las pérdidas.
5.2
5.2.1
Efectos disipativos en máquinas radiales
Capa límite
El estudio de los efectos de la capa límite requieren el planteamiento de la ecuación de cantidad
de movimiento en un sistema de referencia móvil y solidario con los álabes del rodete. Dada esta
rotación del sistema de referencia ha de considerarse la fuerza centrífuga en el potencial de fuerzas
másicas. Utilizando además las coordenadas intrínsecas s y n referentes a la dirección local del
álabe ~es y su normal ~en como se muestra en la figura 5.1, la ecuación del momento que gobierna el
48
5. Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos
flujo en la capa límite es
∂w
∂w
∂
w
+ wn
=−
∂s
∂n
∂s
p Ω2 r2
−
ρ
2
+ν
∂ 2w
,
∂n2
(5.2)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
con wn siendo la componente normal a la superficie del álabe (valor pequeño del orden de wδ/r).
Figura 5.1. Esquema de capa límite y zonas de posible desprendimiento en una máquina radial.
M
La distribución de presión en la capa límite, dominada por efectos de viscosidad, viene impuesta
por el fluido exterior a la misma. En particular, de la ecuación del momento, para el fluido ideal
lejos de la capa límite, sabemos que
2
∂wext
1 ∂wext
∂ p Ω2 r2
1 ∂P
wext
=
=−
−
=−
,
(5.3)
∂s
2 ∂s
∂s ρ
2
ρ ∂s
a lo largo de una línea de corriente, donde P = p + ρU es la presión reducida, y
∂wext
wext
= 2Ω −
∂n
r
(5.4)
para una dirección normal apuntando hacia el lado convexo de la línea de corriente, que para
radios de curvatura lo suficientemente grandes se reduce a ∂wext /(∂n) ∼ 2Ω. Haciendo uso de (5.3)
en (5.2) se obtiene una expresión para la variación de velocidad relativa dentro de la capa límite
conocido el flujo externo ,
w
∂w
∂w
∂wext
∂ 2w
+ wn
= wext
+ν 2,
∂s
∂n
∂s
∂n
(5.5)
Si la velocidad relativa a la salida es menor que a la entrada, w2 < w1 , debe decrecer a lo largo de
las líneas de corriente y entonces wext ∂wext /∂s < 0. En consecuencia la presión crece a lo largo de
5.2. Efectos disipativos en máquinas radiales
49
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
la línea de corriente cumpliendo ∂P/∂s > 0, como se muestra en (5.3). Este efecto obliga a que,
en la capa límite, el fluido se encuentre un gradiente de presión adverso que aumenta el riesgo
de desprendimiento de la misma. De la consideración tomada en el capítulo anterior respecto a
la variación local de la velocidad relativa en dirección normal a las líneas de corriente, (4.8), se
tiene que ∂wext /∂n ≈ 2Ω > 0. Por lo cual se deduce que para puntos tales como los mostrados
en la figura 5.1 A0 y B 0 situados en una superficie de presión y A, B en la superficie de succión,
wA0 < wA y wB 0 < wB , es decir, la línea de corriente en una superficie de succión experimenta
mayores velocidades relativas.
Además, en el caso en el que el caudal relativo al volumen desplazado por rotación sea elevado,
ΩD/wext 1, la fuerza centrífuga es despreciable y no contribuye a vencer el gradiente adverso de
presiones favoreciendo así un desprendimiento más adelantado en casos de caudal elevado como
se muestra esquemáticamente en la figura 5.1. En el punto de diseño, la velocidad de rotación y el
caudal se encuentran sincronizados, de manera que la capa límite sobre los álabes no alcance en la
medida de lo posible el desprendimiento.
Adicionalmente han de considerarse los efectos dados por la viscosidad en las paredes laterales,
que cierran los canales formados por los álabes, sobre las que se genera también una capa límite
adecuando la velocidad del fluido desde el flujo medio hasta la velocidad absoluta nula dada por
la condición de adherencia en las mismas. Estas paredes pueden ser fijas, formando parte de la
carcasa, o móviles, siendo un elemento contenido en el propio rodete. En el primer caso, será
la velocidad absoluta ~v la que tiende a anularse según nos acercamos a la superficie en cuestión,
viendo así una modificación de las líneas de corriente que tienden a circunferencias concéntricas en
el sentido contrario de rotación, como se muestran en la figura 5.2. En el segundo tipo de paredes
laterales será la velocidad relativa w
~ aquella que se anule en la pared, haciendo así desaparecer las
líneas de corriente en el sistema de referencia móvil.
Figura 5.2. Efectos de recirculación y capa límite en una máquina radial debidos a las caras laterales, fijas o
móviles.
50
5. Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos
5.2.2
Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
El comportamiento de las turbomáquinas se distancia del anaĺisis ideal debido también a la
presencia de pérdidas internas por flujos de recirculación. Parte del caudal se ve desviado sobre
los extremos del álabe debido a la diferencia de presión generada entre la entrada y salida del
rodete, recirculando a través de las ranuras formadas con la carcasa en una cantidad Qf como se
denominó en teoría unidimensional. Por otro lado, pueden considerarse además flujos secundarios
en la voluta o recirculaciones en la entrada de aspiración.
Todo lo anterior puede, efectivamente, afectar la dirección de entrada del fluido en el rodete y
generar un efecto de prerrotación. Tal como se presentó con anterioridad, el efecto de la prerrotación
a la entrada de una bomba actúa disminuyendo la potencia efectiva transmitida,
gHz = u2 vu2 − u1 vu1 .
(5.6)
Sin embargo, la gran mayoría de estos efectos pueden ser despreciados siempre y cuando la
bomba funcione en su punto de diseño.
5.3
5.3.1
Efectos disipativos en máquinas axiales
Capa límite
M
De manera análoga al análisis realizado en máquinas radiales, los efectos viscosos presentes en
la capa límite de las superficies físicas del rodete y de la carcasa generan pérdidas que deben ser
consideradas cuando se trata con efectos reales.
Figura 5.3. Efectos de recirculación y capa límite en una bomba axial.
Concretamente, la velocidad relativa sobre las superficies de los álabes así como sobre el eje del
rodete es nula w
~ = 0 por la condición de adherencia, naciendo así en sus inmediaciones una región
dominada por la viscosidad como se esquematiza en la figura 5.3. Sobre la carcasa lateral fija hay,
del mismo modo, una región en la que la velocidad se adapta desde el flujo ideal hasta la condición
5.4. Curvas reales de funcionamiento
51
de pared de velocidad absoluta nula, ~v = 0. Estas capas particulares producen un esfuerzo viscoso
que se cuantifica, como se verá más adelante, en una serie de pérdidas de potencia respecto al caso
calculado a través de teoría ideal.
5.3.2
Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
La geometría de la máquina y la limitación al sellado entre rodete y carcasa, producen posibles
recirculaciones no deseadas por las ranuras presentes. Éstas se traducen en caída del rendimiento
volumétrico ηv y pueden afectar de nuevo las condiciones de flujo a la entrada, distanciando a la
máquina del punto de diseño.
Adicionalmente, la separación de elementos sólidos de la máquina con velocidades relativas
entre sí permite la aparición de pequeñas láminas de fluido que actúan como transmisoras de
cantidad de movimiento entre la superficie fija y la móvil. Estos esfuerzos tangenciales a las superficies se incluyen dentro del rendimiento orgánico y no dependen del caudal de funcionamiento
de la máquina, pero sí de la separación entre las superficies en cuestión B. El coeficiente de fricción CF = τp /( 12 ρΩ2 r2 ), que permite el cálculo de los esfuerzos citados, depende del número de
Reynolds y la separación entre superficies CF (Re, B). Una separación B que tiende a cero, provoca
un rozamiento directo entre sólidos, mientras que grandes ranuras minimizan el rozamiento a costa
de permitir grandes recirculaciones.
Por último, la tridimensionalización del flujo genera superficies de corriente que se desvían de
las hipótesis de teoría unidimensional, en las cuales la velocidad radial de todas las partículas es
nula. Los efectos tridimensionales tienen en cuenta la variación del radio en las trayectorias de las
partículas fluidas generando superficies de corriente no cilíndricas, fenómeno que recibe el nombre
de alabeo o warping. La curvatura de dicha superficie de corriente está asociada al equilibrio radial
del flujo gobernado por las diferencias de presión y fuerzas centrífugas,
wr
∂wr wu ∂wr
∂wr wu2
1 ∂p
+
+ vz
−
=−
+ rΩ2 − 2Ωwu .
∂r
r ∂θ
∂z
r
ρ ∂r
(5.7)
La condición de máquina axial pura implica velocidad radial nula, wr = 0, de lo cual se puede
extraer la relación de equilibrio radial,
∂p
wu2
u2
wu u
=ρ
+ ρ − 2ρ
,
∂r
r
r
r
(5.8)
es decir, que el gradiente de presión en dirección ~er esté exactamente equilibrado a través de la
fuerza centrífuga.
5.4
Curvas reales de funcionamiento
El compendio de efectos considerado en este capítulo debe ser incluído a la hora de realizar el
cálculo de cualquier instalación que necesite una turbomáquina hidráulica para su funcionamiento.
La altura intercambiada entre máquina y fluido, tal como se había presentado hasta ahora, depende
principalmente de la configuración del flujo a la entrada y la salida del rodete (incluyendo, si es
52
5. Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos
necesario, efectos bidimensionales). Según la ecuación de Euler,
Hz = Hz∞ ez =
0
(u2 vu2
− u1 vu1 )
.
g
(5.9)
H [m]
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Hz∞
Hz
Hinst
M
Hm
∆H1
∆H2
Q [m3 /s]
Figura 5.4. Bomba cuya altura teórica unidimensional es Hz∞ = 40 − 10Q en unidades del SI. El factor de
reducción de trabajo es ez = 0.85 =constante (Pfleiderer). Las pérdidas por fricción y por lejanía del punto
de diseño son ∆H1 = 3Q2 y ∆H2 = 3(Q − 1)2 , dando una altura manométrica Hm = 31 − 2.5Q − 6Q2
Las pérdidas por fricción sobre las superficies del rodete que se han presentado aquí, se cuantifican a través de un incremento de altura ∆H1 = K1 Q2 , dependiente del caudal al cuadrado y
caracterizado experimentalmente por la constante K1 . Por otra parte, el caudal de funcionamiento
y la velocidad de giro del rodete están sincronizados para un caso de operación llamado punto
de diseño, siendo Q0 (Ω) el caudal del punto de diseño. Para caudales inferiores al del punto de
diseño (Q < Q0 ), el flujo que alimenta a la máquina no es suficiente para llenar el vacío que deja
progresivamente la cara de succión de los álabes en su avance, provocándose así recirculaciones y
mayores pérdidas. En el caso opuesto (Q > Q0 ), el flujo que invade el canal formado por los álabes
es mayor que el necesario y las partículas lo abandonan antes de que la cara de presión alcance la
posición adecuada, generando en este caso recirculaciones en la superficie de presión. Por lo tanto,
5.5. Ejemplo de aplicación
53
se considera una altura de alejamiento del punto de diseño igual a ∆H2 = K2 (Q − Q0 )2 , siendo K2
otra constante a proporcionar. La curva real de funcionamiento de la máquina está dada por la
altura proporcionada por el rodete menos las pérdidas dependientes del caudal,
Hm (Q) = Hz − K1 Q2 − K2 (Q − Q0 )2 .
(5.10)
5.5
á
H
q
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rá
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s
ic
as
En términos generales, la ecuación que caracteriza la altura de una bomba es una función
cuadrática Hm (Q) = a+bQ+cQ2 . De la misma forma, la función que determina la altura necesaria en
una instalación es Hinst (Q) = a0 + b0 Q2 (puede deducirse de la ecuación de conservación de energía
mecánica proporcionada al inicio de este documento). El punto de funcionamiento de la bomba
en dicha instalación quedará determinado por el valor del caudal que iguala Hm (Q) = Hinst (Q)
(ver ejemplo de aplicación).
Ejemplo de aplicación
M
Se dispone de una bomba centrífuga para trasegar agua (ρ = 1000 kg/m3 ) desde un depósito hasta
una zona elevada, tal y como se muestra en la figura. La bomba utilizada, de diámetro exterior
D2 =0.35 m y ancho b =0.1 m, opera a Ω = 1000 r.p.m. y sus rendimientos hidráulico, volumétrico
y orgánico son ηh =0.85, ηv =0.95, y ηo =0.9, respectivamente. El factor de reducción de trabajo es
ez =0.75. La curva que representa la altura manométrica de la bomba es Hm (Q) = 40 + 10Q − 2Q2 ,
con Q en m3 /s. El fluido entra en la misma sin prerrotación.
pa
3
Con respecto a la instalación, se sabe
que las áreas transversales de la tubería y del depósito son At =0.25 m2
z3
Q
y Ad =25 m2 , respectivamente, que la
altura inicial del depósito es h0 =15 m y
pa
0
que la altura de elevación es z3 =60 m.
Considere que las pérdidas primarias
At
Hm
h
y secundarias pueden despreciarse a lo
1
2
largo de toda la instalación.
Ad
1. Condiciones normales de funcionamiento para h = h0 = 15 m=constante (3 puntos)
1. a) Determine el caudal que circula por la bomba Q teniendo en cuenta que la bomba ha
de funcionar de forma estable. Dibuje las curvas características de la instalación y de la
bomba. (1 pt.)
1. b) Calcule el ángulo salida del álabe β2 y compárelo con el predicho por la teoría bidimensional β20 . Dibuje el triángulo de velocidades y comente el resultado. (1 pt.)
1. c) Compute la potencia de pérdidas hidráulicas totales Φv , de perdidas volumétricas Ẇi y
de pérdidas orgánicas Ẇo . Calcule la potencia total entregada al fluido Ẇm y entregada
a la bomba ẆB . (1 pt.)
2. Otras condiciones de funcionamiento (3 puntos)
2. a) Determine la curva que relaciona la altura del depósito h con el caudal Q. (0.5 pts.)
54
5. Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos
2. b) Calcule el caudal Q0 para el cual la bomba proporciona la máxima altura manométrica.
¿Qué altura ha de tener el nivel del depósito en esas condiciones? (1 pt.)
2. c) ¿Cuál es el nivel mínimo del depósito hmin por debajo del cual la bomba no puede
funcionar? ¿Cuál es el valor del caudal Qmin en estas condiciones? (1 pt.)
2. d) Escriba la ecuación integral que determina el tiempo que tardará el depósito en llegar de
h = h0 = 15 m a hmin y obtenga una solución aproximada. (0.5 pts.)
Solución:
á
H
q
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rá
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as
1. a) La altura requerida por la instalación consta de la contribución potencial z3 − h0 = 45 m y
2
de la contribución cinética vtub
/(2g). Por otro lado, la altura manométrica que proporciona la
bomba, que depende del caudal trasegado ha de hacer frente a la necesidad de la instalación,
Hm = Hinst , tal que:
40 + 10Q − 2Q2 = z3 − h0 +
donde Hinst = z3 − h0 +
1
Q2
2
2gAtub
1
Q2 .
2gA2tub
M
Este polinomio de segundo orden para Q proporciona dos posible caudales: Qi = 0.602 m3 /s
y Qe = 2.95 m3 /s, donde los subíndices i y e hacen referencia a puntos de funcionamiento
inestable y estable, respectivamente. El concepto de inestabilidad en el punto de funcionamiento
de una instalación se explicará en el tema 8. Anticipando que el punto de funcionamiento Qi
es inestable, tomamos Qe = 2.95 m3 /s como la solución asintóticamente estable. La altura
proporcionada en ese caso será Hm (Qe ) = 52.09 m. La curva marrón de la siguiente figura
corresponde a la curva de la instalación para h = h0 . Pueden observarse los dos puntos de
corte con la curva de la bomba.
1. b) A partir de la altura manométrica y el rendimiento hidráulico calculamos la altura teórica
que el fluido gana tras su paso por el rodete: Hz = Hm (Qe )/ηh = 61.29 m y la altura teórica
con teoría unidimensional Hz∞ = Hz /ez = 81.72 m. Es claro que el caudal que circula dentro
del rodete es mayor al impulsado en la tubería debido a las recirculaciones asociadas a las
pérdidas volumétricas: Qrod = Q/etav = 3.1 m3 /s. Sabiendo que u2 = ΩD2 /2 = 18.33 m/s y
que la velocidad meridional a la salida vm,2 = Qrod /(πD2 b)28.24 m/s, escribimos
vm,2
gHz∞ = u2 vu,2 − u1 vu,1 = u2 vu,2 = u2 u2 −
tan β2
y obtenemos β2 = 132◦ como ángulo de salida del álabe y vu,2 = 43.74 m/s como la componente acimutal de la velocidad absoluta a la salida. La corrección bidimensional proporciona
0
los valores vu,2
= vu,2 ez = 32.8 m/s y β20 = 117.5◦ para la componente acimutal y el ángulo de
salida corregidos del fluido, respectivamente.
1. c) La potencia manométrica es obtenida a partir de Ẇm = ρgQe Hm (Qe ) = 1.51 MW y la potencia
que ha de proporcionarse al eje es ẆB = Ẇm /ηt = 2.07 MW, donde ηt = ηh ηv ηo . Las pérdidas
internas son calculadas a través de Ẇi = ρgQf Hz (Qf ) = 0.93 MW, donde Qf = Qrod − Qe .
La potencia por pérdidas por fricción fluido-paredes es Φv = ρgQe HL = 0.27 MW, donde
5.5. Ejemplo de aplicación
55
HL = Hz − Hm = 9.19 m. Finalmente, las pérdidas orgánicas son ẆB = Ẇm − Φv − Ẇi = 0.21
MW.
2. a) La curva que relaciona el caudal de la bomba con la altura variable h(Q) se obtiene directamente a partir de la ecuación Hm = Hinst y despejando h:
1
h(Q) = z3 − 40 − 10Q +
+ 2 Q2
2gA2tub
á
H
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as
2. b) La máxima altura que puede proporcionar la bomba se obtiene a partir de la ecuación
dHm
=0
dQ
→
Q0 = 2.5 m3 / s
correspondiendo a una altura manométrica Hm (Q0 ) = 52.5 m. Esta condición sólo ocurre
cuando la altura del depósito es h(Q0 ) = 12.6 m. La curva naranja en la siguiente figura
representa la curva característica de la instalación para esa altura de depósito.
M
2. c) La altura mínima por debajo de la cual la bomba no es capaz de impulsar más agua se
puede obtener de varias formas. Gráficamente buscando el punto donde la curva de la
instalación y la curva de la bomba son tangentes (dHm /(dQ) = (dHinst )/(dQ) (ver curva roja
en la figura siguiente). También puede obtenerse buscando el mínimo en la función h(Q)
o evaluando cuando la solución Q(h) obtenida a partir de la ecuación h(Q) deja de ser real
(cuando el radicando se torna negativo). En cualquier caso la solución final es hmin = 11.12 m,
correspondiéndose con un caudal Q = 1.78 m3 /s.
2. d) Para obtener el tiempo para descargar el depósito desde el nivel inicial h0 hasta hmin aplicamos
la ecuación de la conservación de la masa en el volumen del depósito, proporcionando la
ecuación
Z h0
dh
dh
p
−Ad
= Q(h) → t = Ad c
= 29.07s
dt
25 − c(20 − h)
hmin 5 +
con c = 1/(2gA2tub ) + 2. Como la relación de la altura y el caudal es monótona entre los puntos
de interés, la integral puede aproximarse a través de la regla del trapecio simple, tal que
Ad
1
1
t∼
+
(h0 − hmin ) = 29.25s.
2 Q(h0 ) Q(hmin )
lo que proporciona un valor aproximado muy parecido al obtenido a través de la integral exacta.
Los diferentes puntos de funcionamiento quedan ilustrados en la siguiente figura, donde los
diferentes escenarios contemplados en los apartados 1, 2b y 2c están representados.
5. Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos
Hinst (2c)
H [m]
Hinst (2b)
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as
Hinst (1)
Hm (Q)
M
z3 − h0
z3 − hmin
56
Qi
Qmin
Qo
Qe
Q [m3 /s]
57
Análisis Dimensional
6.1
Introducción
M
á
H
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as
Como se ha visto en los capítulos anteriores, la predicción teórica de las propiedades de una
máquina hidráulica en función de las condiciones de funcionamiento es muy tediosa, pues involucra un conocimiento exacto de todos los procesos que transcurren en el interior de la máquina. Las
teorías uni- y bi-dimenasional permiten obtener fórmulas de fácil aplicación, pero resultan inexactas
pues no tienen en cuenta fenómenos tridimensionales, de choque o disispativos, ambos de gran importancia en la caracterización del fluido en su paso por los diferentes componentes de la máquina
hidráulica. Para describir de forma realista el funcionamiento de una bomba o turbina en su rango
de operación es necesario hacer experimentos, cubriendo el espectro paramétrico característico:
caudal, propiedades del fluido, velocidad angular, tamaño, entre otros. Dichos experimentos
pueden ser realizados de forma numérica con códigos numéricos validados, o en el laboratorio
usando modelos a tamaño real o escalados. Es en esta tarea donde el análisis dimensional y la
semajanza son especialmente útiles pues permiten reducir la dependencia paramétrica y obtener
curvas características de operación más generales, y por tanto, de mayor rango de aplicación.
En palabras de P. W. Bridgman (1881-1961), Premio Nobel de física en 1946: “La utilidad
principal del análisis dimensional es deducir de un estudio de las dimensiones de las variables en
cualquier sistema fisco ciertas limitaciones en la forma de cualquier posible relación entre estas
variables. El método es de gran generalidad y simplicidad matemática”.
6.2
6.2.1
Conceptos básicos generales de análisis dimensional y semejanza
Teorema Π o Vaschy-Buckingham
Para ilustrar la aplicación del teorema Π vamos a suponer que un fenómeno físico determinado,
la fuerza de resistencia que un objeto siente cuando está inmerso en una corriente de fluido con
velocidad relativa, lejos del objeto, U . Supongamos que el objeto tiene dos dimensiones principales,
la longitudinal en la dirección del flujo L y la transversal D, y que la densidad ρ y viscosidad
µ del fluido son constantes. Se desconoce, a priori, si el efecto de la gravedad es despreciable
o no. Escribimos por tanto que la fuerza de resistencia FR depende, de alguna forma, de los
parámetros anteriormente nombrados FR = FR (ρ, U, D, µ, L, g). Cabe mencionar que la elección
de los parámetros independientes no es arbitraria sino que responde a criterios físicos deducidos
a partir de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno en particular. En ausencia de análisis
dimensional, el barrido paramétrico que es necesario realizar para calcular cómo la fuerza de
resistencia depende de los parámetros seleccionados, n = 6, es impracticable.
El teorema Π o Vaschy-Buckingham enuncia que si en un fenómeno físico cualquiera, F , existe
58
6. Análisis Dimensional
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as
una relación entre n medidas de magnitudes físicas, F = F (a1 , a2 , ..., an ), dicha relación puede
reducirse a f = fun(Π1 , Π2 , ..., Πn−p ), donde p es el número de magnitudes dimensionalmente
independientes, y donde tanto f como las variables Πi , son parámetros adimensionales.
Para conocer el valor de p es necesario saber las unidades básicas de medida que forman parte
del sistema en particular. Podemos definir las unidades básicas de medida como aquellas a partir
de las cuales se puede generar la unidad de medida de cualquier otra magnitud física (unidades
derivadas). Éstas son: masa M , longitud L, tiempo T , temperatura Θ, corriente eléctrica I, entre
otras. Para problemas puramente mecánicos, las magnitudes básicas se reducen a las tres primeras:
M , L y T , y por tanto, el número máximo de parámetros dimensionalemente independientes es
pmax = 3.
Volviendo al ejemplo anterior, observamos que existen varias combinaciones de 3 parámetros
que son dimensionalmente independientes: {ρ, U, D}, {µ, U, D}, {µ, g, D}, entre otros. Esto quiere
decir que la matriz de dimensiones:
M
L
T
FR
1
1
-2
ρ U
1 0
-3 1
0 -1
D
0
1
0
µ
1
-1
-1
L
0
1
0
g
0
1
-2
M
se pueden encontrar varias submatrices de tamaño 3 × 3 cuyo rango sea 3 (el máximo). No existe,
con la información disponible, ningún criterio objetivo que determine qué terna de parámetros
(dimensionalmente independientes) es la más conveniente usar para adimensionalizar el resto de
magnitudes. Puesto que todas las ternas son matemáticamente igual de válidas, debemos tomar un
criterio físico, proporcionado por el tipo de fenómeno, para seleccionar la terna más adecuada, es
decir, las magnitudes han de ser parámetros representativos del sistema. En el caso que nos ocupa,
podemos anticipar que la velocidad del fluido U , la densidad ρ y la longitud asociada a la sección
transversal D son magnitudes que pueden influir significativamente en la fuerza de resistencia FR .
Esto puede ser revisado después con los valores característicos correspondientes. De esta forma,
encontramos que
FR
µ L gD
FR
L
= fun
, ,
o CR = 1
= fun Re, , F r
(6.1)
ρU D2
ρU D D U 2
D
ρU πD2
2
con CR siendo el coeficiente de resistencia o arrastre, Re= ρU D/µ el número de Reynolds, L/D
√
la relación de aspecto y Fr= U/ gD el número de Froude. Esto implica que hemos reducido la
dependencia paramétrica a tres (n − p = 6 − 3 = 3) magnitudes adimensionales. Si en nuestro
problema en particular las diferencias de cota en no son significativas, tal que F r 1, entonces
la gravedad no juega ningún papel relevante en el fenómeno, obteniéndose una factor CR =
fun (Re, D/L), lo que es equivalente a no haber incluido el efecto de la gravedad en el comienzo
del análisis.
6.2.2
Semejanza geométrica y física
El análisis dimensional no es sólo útil para reducir es espectro paramétrico de un determinado
problema, sino para establecer relaciones entres magnitudes asociadas fenómenos similares que
6.3. Análisis dimensional en turbomáquinas
59
M
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as
transcurren en condiciones diferentes. En particular, el análisis dimensional resulta particularmente
útil a la hora de plantear la experimentación usando modelos a escala. Para ello el modelo usado
en el experimento ha de ser semejante en términos geométricos o de forma.
Dos modelos son geometricamente semejantes cuando mantienen la relación de aspecto en todas
sus longitudes, manteniendo por tanto la forma y los ángulos correspondientes. Cabe mencionar
que la semejanza geométrica afecta exclusivamente a la dimensión longitud L. A efectos prácticos,
reducir un modelo particular a una escala mucho más pequeña ha de hacerse con las garantías
correspondientes, es decir, teniendo en cuenta que la rugosidad relativa y elementos de unión,
como remaches y tornillos, han de ser reducidos también de forma proporcional.
Dos sistemas cuyos conjuntos de parámetros adimensionales coinciden se dice que son físicamente semejantes. Si definimos Πa1 , Πa2 , ..., Πan−p como los parámetros adimensionales en el sistema
a, y Πb1 , Πb2 , ..., Πbn−p como los parámetros adimensionales en el sistema b, es inmediato comprobar
que si ambos fenómenos son físicamente semejantes, es decir, Πa1 = Πb1 , Πa2 = Πb2 , ..., Πan−p = Πbn−p ,
entonces la variable dependiente f a = f b .
Volviendo al problema anterior, donde teníamos que el coeficiente de arrastre CR dependía de
dos parámetros adimensionales principalmente, el número de Reynolds Re (parámetro físico) y la
relación de aspecto D/L (parámetro geométrico). Podemos evaluar el coeficiente de arrastre de
un sistema cualquiera a través de la experimentación con un modelo a escala. Supongamos por
tanto que queremos calcular la fuerza de arrastre de un determinado objeto con dimensiones D1 ,
L1 usando un modelos 5 veces más pequeño, tal que D1 = 5D2 . Para que el objeto sea semejante
en términos geométricos, L1 /D1 = L2 /D2 , por lo que L1 = 5L2 . Para que las condiciones en el
experimento sean físicamente semejantes, todos los parámetros adimensionales independientes han
de ser iguales. Esto implica que, además de mantener la relación de aspecto, el número de Reynolds
ha de ser el mismo, Re1 =Re2 . Si realizamos el experimento con el mismo fluido ρ1 = ρ2 , µ1 = µ2 ,
encontramos que la relación Re1 =Re2 implica que U1 D1 = U2 D2 , y por tanto U2 = 5U1 . Es decir,
si realizamos el experimento con un objeto de igual forma pero 5 veces más pequeño, el fluido,
si no cambia, ha de moverse 5 veces más rápido para que ambos escenarios sean completamente
semejantes.
6.3
6.3.1
Análisis dimensional en turbomáquinas
Conceptos de análisis dimensional y semejanza aplicados a turbomáquinas
De forma análoga al caso anterior, el estudio de la fuerza de arrastre de un objeto en el seno de
un fluido en movimiento, podemos plantear, a modo de ejemplo, el estudio de la variación de
energía específica en una bomba hidráulica. Las conclusiones extraídas serán después extrapoladas
a situaciones más generales, incluyendo el comportamiento de turbinas hidráulicas.
Supongamos por tanto el caso de una bomba hidráulica cuyo rodete, de diámetro D, gira a
una velocidad angular Ω, trasegando un caudal Q de un fluido determinado, caracterizado por
su densidad ρ y viscosidad µ. Supongamos que la rugosidad interna de la bomba es κ y que la
forma de la misma está caracterizada por diversas longitudes características Li y posicionamiento
de partes móviles αi . Escribimos, por tanto, que la energía específica de la bomba depende de todos
estos parámetros: gH = fun (D, Ω, Q, ρ, µ, D, Li , αi , z), cuya matriz dimensional
60
6. Análisis Dimensional
M
L
T
gH
0
2
-2
ρ Ω
1 0
-3 0
0 -1
D
0
1
0
Q
0
3
-1
µ
1
-1
-1
κ Li
0 0
0 1
0 0
αi
0
0
0
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
nos permite encontrar ternas factibles para la adimensionalización de las magnitudes. En particular, la terna de parámetros dimensionalmente independientes {ρ, Ω, D} es comúnmente usada
a tal efecto, pero pueden usarse otras igualmente válidas. Similarmente podemos estudiar otras
propiedades características de la bomba como son la potencia Ẇ , el par T y el rendimiento, proporcionando las siguientes relaciones
gH
Q
µ
κ Li
(6.2)
= fun1
,
, , , αi
Ω2 D2
ΩD3 ρΩD2 D D
Ẇ
Q
µ
κ Li
= fun2
,
, , , αi
(6.3)
ρΩ3 D5
ΩD3 ρΩD2 D D
T
µ
κ Li
Q
= fun3
,
, , , αi
(6.4)
ρΩ2 D5
ΩD3 ρΩD2 D D
µ
κ Li
Q
,
, , , αi
(6.5)
η = fun4
ΩD3 ρΩD2 D D
M
donde las funciones fun1 − fun4 se determinan de forma experimental. No obstante, el espectro
paramétrico es aún muy elevado, y es necesario evaluar qué parámetros adimensionales son
realmente importantes en la caracterización de la bomba. Para Re 1 y κ/D 1 los efectos de
la viscosidad y de la rugosidad pueden despreciarse, respectivamente, en primera aproximación.
Si además consideramos máquinas que son geometricamente semejantes, tanto los ángulos como
las longitudes se pueden eliminar de la relación funcional anterior, pero los resultados serán
válidos para esa familia de máquinas, exclusivamente. En estas condiciones, observamos que los
coeficientes altura, potencia y par cumplen
gH
= fun1
Ω2 D2
Q
ΩD3
,
T
Ẇ
= fun2 =
= fun3
3
5
ρΩ D
ρΩ2 D5
Q
ΩD3
(6.6)
donde la igualdad fun2 = fun3 se ha obtenido a partir de la relación Ẇ = ΩT . El rendimiento de la
bomba, el cociente entre la altura suministrada al fluido entre la altura máxima proporcionada por
la turbomáquina, es ya un parámetro adimensional, el cual depende puede representarse como
ρgHQ
Q
η=
= fun4
(6.7)
W
ΩD3
indicando que el rendimiento no depende, o depende muy poco, de la viscosidad.
Para el caso de turbinas, el análisis es análogo pero considerando ∆pt = ρgH en lugar de Ω la
terna de parámetros dimensionalmente independientes. Haciendo uso de las hipótesis anteriores
(Re 1, κ/D 1, y máquinas semejantes) encontramos que
!
!
!
Qρ1/2
ΩDρ1/2
Ẇ ρ1/2
ΩDρ1/2
T
ΩDρ1/2
= fun5
,
= fun6
,
= fun7
,
(6.8)
1/2
1/2
3/2
1/2
1/2
D3 ∆pt
D2 ∆pt
∆pt
D2 ∆pt
∆pt
∆pt
6.3. Análisis dimensional en turbomáquinas
61
para el coeficiente de apertura, coeficiente de potencia y coeficiente de par, respectivamente. El
rendimiento de la turbina
!
ΩDρ1/2
(6.9)
η = fun8
1/2
∆pt
puede expresarse también como función de la altura característica de la turbina.
6.3.2
Curvas características
gH
Ω2 D2
M
gH
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Como se ha demostrado en el apartado anterior, el uso de la teoría adimensional permite obtener
relaciones funcionales con un menor número de parámetros independientes. En particular, para
bombas semejantes, se tiene que la energía específica adimensional gH/(Ω2 D2 ) depende exclusivamente del caudal adimensional Q/(ΩD3 ).
Propongamos el siguiente ejemplo ilustrativo. Supongamos que tenemos tres bombas, semejantes físicamente, que cumplen D1 < D2 < D3 , y que giran a distintas velocidades, cumpliendo
que Ω1 < Ω2 < Ω3 . Si realizamos una batería de experimentos con cada una de las bombas para
reproducir la altura específica gH en función del caudal Q obtendremos tres curvas diferentes,
representadas en la figura 6.1-izquierda, las cuales cumplen que gH1 < gH2 < gH3 para cada
valor determinado de caudal. Si por el contrario representamos los parámetros adimensionales
encontramos que, como se muestra en la figura 6.1-derecha, las tres curvas colapsan en una única
función. Resulta obvio la ventaja de usar teoría dimensional para cuantificar el funcionamiento de
diferentes bombas semejantes en diferentes condiciones, pues nos permite, a partir de una única
curva, barrer todo el espectro paramétrico de interés.
Ω3
D3
Ω2
D2
Ω1
D1
Q
Q
ΩD3
Figura 6.1. Altura específica en función del caudal para tres bombas semejantes de diferente tamaño y
velocidad de giro en variables dimensionales (izquierda) y variables adimensionales (derecha).
Cuando una turbina tiene álabes variables en el distribuidor, la turbina deja de ser geometricamente semejante consigo misma, por lo que el parámetro asociado a la orientación de los álabes
habría de ser tenido en cuenta en el análisis adimensional. Es decir, las funciones asociadas
a los
1/2
1/2
coeficientes de apertura, potencia y par y rendimiento dependerán, además de ΩDρ
/∆pt ,
del ángulo α.
62
6. Análisis Dimensional
El mismo análisis puede realizarse para el resto de variables dependientes presentadas: potencia,
par y rendimiento, obteniéndose curvas como las mostradas en la figura 6.2-izquierda, para
bombas, y en la figura 6.2-derecha, para turbinas. En azul se ha representado la curva asociada al
rendimiento de la turbomáquina y en rojo se ha señalado el valor de cada variable en el punto de
funcionamiento asociado al máximo rendimiento. Dichos valores son de gran importancia práctica
pues la turbomáquina utilizada para trabajar en una determinada instalación se seleccionará para
trabajar, en la medida de lo posible, en su punto de máximo rendimiento.
bomba:
turbina:
T
T
Ẇ
=
2
5
ρΩ D
ρΩ3 D5
D3 ∆P
t
Ẇ ρ1/2
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
gH
Ω2 D2
3/2
D2 ∆Pt
ηmax
ηmax
Qρ1/2
η
η
1/2
D2 ∆Pt
ΩDρ1/2
Q
ΩD3
1/2
∆Pt
Figura 6.2. Curvas adimensionales características para bombas (izquierda) y turbinas (derecha)
6.3.3
Velocidad, potencia y diámetro específicos
M
Supongamos que necesitamos una bomba para instalarla en un sistema hidráulico que tiene unas
determinadas necesidades de caudal Q y altura manométrica Hm , y con una velocidad de rotación
Ω impuesta por el motor eléctrico disponible. Para decidir qué tipo de bomba es más conveniente
instalar, en base a algún criterio práctico tenga en cuenta dichos parámetros, podemos ayudarnos
de la teoría dimensional. Con esta idea se define
1/2
(Q/(ΩD3 ))
Ωs =
(gH/(Ω2 D2 )3/4 )
=
η=ηmax
ΩQ1/2
(gH)3/4
(6.10)
η=ηmax
como la velocidad específica, una magnitud adimensional que relaciona la velocidad de rotación, la
altura de la bomba y el caudal en condiciones de máximo rendimiento (puntos rojos en la figura
6.2-izquierda).
De forma análoga se define la potencia específica
"
Ẇs =
Ẇ
2
ρD (gH)3/2
#1/2 ΩD
√
gH
=
η=ηmax
ΩẆ 1/2
ρ1/2 (gH)5/4
,
(6.11)
η=ηmax
especialmente útil para clasificar turbinas. Es inmediato comprobar que la velocidad y la potencia
específica quedan relacionas entre sí mediante el rendimiento de la turbomáquina, quedando
η 1/2 = Ωs /Ẇs en el caso de bombas, y η 1/2 = Ẇs /Ωs en el caso de turbinas. Queda claro que ni la
6.3. Análisis dimensional en turbomáquinas
63
velocidad ni la potencia específica dependen del tamaño de la turbomáquina, pues son parámetros
intrínsecos a la forma o geometría del rodete correspondiente. Esta cualidad es especialmente
útil, pues permite clasificar los diferentes tipos de turbomáquinas en función de los parámetros de
diseño Ωs y Ẇs , a través una simple tabla.
Bombas
Centrífuga
Semiaxial
Axial
Ωs
0.2 < Ωs < 2
1.3 < Ωs < 4
3 < Ωs < 6
Turbinas
Impulso (Pelton)
Centrípetas (Francis)
Axiales (Kaplan)
Ẇs
0.02 < Ẇs < 0.3
0.3 < Ẇs < 2.5
2.3 < Ẇs < 6
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Table 6.1. Tipos de turbomáquinas en función de la velocidad y potencia específica.
De una primera inspección en 6.1 se deduce que la configuración axial, tanto en bombas
como en turbinas, es adecuada para instalaciones que demandan gran caudal y saltos energéticos
relativamente pequeños. Lo primera cualidad es debida a que, en máquinas axiales, la dirección
principal del flujo en el rodete coincide con la dirección de propagación del mismo. La segunda
cualidad ocurre porque, al contrario que ocurre en máquinas radiales, la variación de energía
específica en el rodete no tiene contribución centrífuga.
Para completar el proceso de selección de turbomáquina en una determinada instalación es
necesario proporcionar información sobre el tamaño característico de la bomba o turbina. Para tal
efecto se define el diámetro específico
Ds =
D(gH)1/4
Q1/2
η=ηmax
M
relacionado con la velocidad específica de la máquina a través del diagrama de Cordier.
(6.12)
6. Análisis Dimensional
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
100
mixta axial
10
Ωs
radial
1
M
64
0.1
0.1
1
Ds
10
Figura 6.3. Diagrama de Cordier
100
65
Cavitación
7.1
Introducción
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
La cavitación es un fenómeno físico que describe la aparición burbujas de vapor en un líquido
inicialmente homogéneo debido a valores muy bajos de la presión. El cambio de fase tiene lugar a
temperatura constante o casi constante, diferenciando la formación de burbujas debido a cavitación
de la inducida por un aumento de temperatura durante la ebullición de un líquido. Esta definición
de cavitación introduce el concepto de una presión límite o presión de vapor pv por debajo de la
cual no se puede asegurar la cohesión del líquido (ver Fig.7.1).
M
La aparición de regiones de baja presión en un líquido es un fenómeno muy conocido y tiene
lugar en muchas aplicaciones. Una de las más conocidas es el flujo a través de un tubo de venturi,
donde la disminución de presión en la zona de menor sección puede inducir cavitación si la presión
alcanzada es suficientemente baja. Otro ejemplo común es el flujo alrededor de un álabe con un
ángulo de ataque determinado. Como ya vimos en el capítulo ??, la sustentación se genera por una
diferencia de presión entra las dos caras del álabe. En la región de menor presión, generalmente el
extradós del álabe, la disminución de la presión puede dar lugar a la formación de estructuras de
burbujas muy características. (En la web hay una gran multitud de ejemplos. Véase por ejemplo la
formación de burbujas en hélices1 y álabes 2 )
Las burbujas de vapor generadas durante la cavitación son transportadas por el flujo y, al llegar
a una región de mayor presión, se produce un colapso violento debido a las grandes diferencias
de presión existentes entre el gas situado en el interior de la burbuja, a presión igual a la presión
de vapor, y el líquido que rodea la burbuja. Ese colapso violento, traducido en ondas de presión
de gran intensidad, provoca una reducción drástica del rendimiento de la turbomáquina ya que
induce la aparición de nuevas fuerzas sobre la estructura del sistema, genera ruidos y vibraciones y
erosiona los elementos mecánicos 3 . En la mayoría de las aplicaciones, la cavitación es un fenómeno
pernicioso que debe evitarse o mitigarse. Sin embargo, existen sistemas singulares en los que se
promociona la aparición de cavitación para concentrar energía en pequeñas superficies e inducir,
así, picos de presión para la limpieza de superficies, dispersión de partículas, masajes terapéuticos...
En flujos sin cavitación, la presión de referencia del fluido carece de interés, y nuestra atención
se centra en los gradientes de presión. La aparición de la cavitación otorga al nivel de presión una
gran importancia, pues ella determina si se produce o no el cambio de fase. El grado de desarrollo
1
http://i.ytimg.com/vi/SEvxngv-dkY/maxresdefault.jpg
http://tpe-hydroptere.wifeo.com/images/cavitation-50-noeuds.JPG
3
https://i.ytimg.com/vi/FH1GJ2UglWM/hqdefault.jpg
2
7. Cavitación
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
66
Figura 7.1. Diagrama de fase del agua indicando la diferencia entre la cavitación y la ebullición.
de la cavitación se mide a través del parámetro adimensional de Thoma, definido como
σ=
pref − pv
,
∆p
(7.1)
M
donde pref y ∆p representan una presión de referencia y una variación de presión de referencia,
respectivamente. El comienzo de la cavitación generalmente tiene lugar cuando σ alcanza un
valor igual o menor al valor crítico crítico σi , que depende de factores tales como la geometría, las
propiedades del fluido (viscosidad y densidad), tensión superficial, nivel de turbulencia ... Con
esta definición, no esperamos cavitación mientras σ > σi . La cavitación se inicia a partir pequeños
núcleos transportados por el flujo y que se revelan como puntos débiles en el líquido. El ejemplo
más común es el de las microburbujas generadas por inclusiones de aire o gas, de tamaños del
orden del micrómetro, que son arrastradas por el líquido y que dan lugar a la formación de burbujas
de gas de mayor tamaño cuya dinámica resulta fundamental en el estudio de la cavitación y sus
efectos. En las regiones de baja presión, la burbuja generada aumenta su tamaño a medida que
el líquido cambia de fase. Ese periodo de crecimiento acaba cuando la burbuja es transportada a
una región de mayor presión y el radio de la burbuja comienza a decrecer hasta, eventualmente,
llegar a colapsar generando picos de presión que erosionan la superficie de los componentes de las
turbomáquinas. El daño generado es muy característico y se manifiesta en forma de agujeros en la
superficie de los componente con diámetros de unas cuantas micras y profundidades pequeñas
comparadas con su diámetro. El daño que induce la cavitación depende de la velocidad del flujo
cuando la velocidad de éste supera el valor límite de 15 ó 20 m/s. Por encima de esa cifra, el efecto
de la erosión por cavitación crece rápidamente con la velocidad. Teniendo en cuenta que para
producir ese daño en los materiales es necesario que las cargas a que están sometidos generen
deformaciones plásticas, la presión generada en el colapso de una burbuja debe estar por encima
7.2. Efectos de la cavitación
67
de los 400 MPa o 4000 bares 4 . Usando el resultado derivado por ?, para una burbuja aislada en
un medio infinito, es posible escribir la variación de la presión p(r, t) en el líquido que rodea a la
burbuja
" #
" #
3
3
R
R0
R4
R0
p − p∞
=
−4 − 4
−1 ,
(7.2)
p∞ − pv
3r
R
3r
R
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
donde r es la distancia al centro de la burbuja, p∞ es la presión lejos de la burbuja, R0 es el radio
inicial de la burbuja y R(t) su valor en el instante t. La ecuación (7.2), válida para valores pequeños
del cociente R/R0 , se representa en la figura 7.2 para diferentes instantes de tiempo en los que la
burbuja tiene un radio R/R0 = (0.2, 0.3, 0.5). A partir de esa expresión podemos obtener el valor
máximo de la presión,
pmax − p∞
p∞ − pv
#4/3
" 3
1 R0
−1
4 R
= " #1/3
3
R0
−1
R
(7.3)
1/3
que se alcanza a distancias radiales r/R = {[(R0 /R)3 − 1]/[(R0 /R)3 /4 − 1]} , crece para dar
valores tan altos como pmax = 1230 atm para burbujas pequeñas R0 /R = 20 con una presión de
vapor pv = 0.023 atm. 5 .
La evolución del tamaño de la burbuja en el seno de un fluido está determinado por la ecuación
de Rayleigh-Plesset:
M
pb (t) − p(t)
d2 R 3
=R 2 +
ρliq
dt
2
dR
dt
2
+
4µliq dR 2Sliq
+
,
Rρliq dt
Rρliq
(7.4)
donde Sliq es la tensión superficial del líquido. La peculiaridad de está ecuación es que predice
comportamiento muy asimétricos con respecto a radios mayores o menores al radio de equilibrio R0 .
Cuando el radio R R0 , la velocidad de expansión o compresión de la burbuja es relativamente
lenta, al contrario que en el caso R R0 , donde la burbuja cambia de radio de forma muy brusca,
lo que favorece el fenómeno de colapso que posteriormente se traduce en la emisión de ondas de
presión muy energéticas.
7.2
Efectos de la cavitación
La cavitación puede dañar de forma muy severa la superficies sólidas de las turbómaquinas. El
efecto de la cavitación se suele medir a través del ritmo de pérdida de masa por el sólido ṁ. Para
su cuantificación es necesario tener en cuenta tanto los aspectos hidrodinámicos del flujo como las
propiedades de los materiales que forman los álabes y la carcasa de la turbomáquina.
Desde el punto de vista del fluido, las burbujas de vapor se producen en las regiones de baja
presión y pueden colapsar de forma violenta originando la erosión de las paredes sólidas. Los altos
4
5
Valor de la resistencia elástica en una acero inoxidable
Valor de la presión de vapor del agua a 20ºC
7. Cavitación
20
= 0.5
15
20
R
R0
= 0.3
p(r)−p∞
p∞ −pv
R
R0
p(r)−p∞
p∞ −pv
15
20
10
15
R
R0
= 0.2
p(r)−p∞
p∞ −pv
68
10
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
10
5
5
0
5
0
0 1 2 3 4 5
r/R0
0
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
r/R0
r/R0
M
Figura 7.2. Variación radial de la presión en función del radio de la burbuja R/R0 durante el colapso.
Figura 7.3. Evolución típica de la cavitación con el tiempo de exposición
niveles de tensión que siguen al colapso de las burbujas son los responsables de los daños causados.
Entre los factores hidrodinámicos que más influyen en los daños causados por la cavitación está la
velocidad relativa del líquido respecto del sólido. Para velocidades del fluido por debajo de un
límite, los daños por cavitación serán nulos. Esa dependencia con la velocidad se suele expresar
a través de la expresión empírica ṁ = A(v − v0 )n , donde 4 < n < 9, A es una constante y v0
7.3. Origen y descripción de la cavitación en bombas
69
representa el límite de velocidad por debajo de la cual no hay erosión por cavitación en el material
considerado. Por ejemplo, para agua sobre acero inoxidable, v0 ' 20 m/s.
El segundo factor que más influye sobre los daños inducidos por la cavitación es el tiempo de
exposición. De forma general, a grandes rasgos podemos distinguir cuatro fases en la evolución de
la cavitación (véase la figura 7.3):
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
• Un periodo inicial de incubación en las que los daños se limitan a la formación de muescas
de sección circular y profundidad variable (pitting) de las superficies sólidas, pero en las que
no existe pérdida de material. La duración de esa fase inicial Ti depende de factores como
el tipo de flujo y el material que compone la superficie sólida. Las muescas generadas son
pequeñas y la probabilidad de superposición de las mismas es pequeña. Algunos autores han
relacionado el ritmo de formación de las muescas con la velocidad del flujo a través de leyes
del tipo v α con α ∼ 6.
• A esa primera fase de incubación le sigue otro periodo en la que la pérdida de masa se acelera
rápidamente hasta alcanzar el ritmo máximo de erosión ṁmax . La duración del tiempo de
incubación Ti se relaciona con ṁmax mediante la relación Ti ṁmax =Cte.
• Durante la fase estacionaria, de duración relativamente larga, el ritmo de pérdida de masa es
constante ṁ = ṁmax .
• Para periodos de exposición muy largos, el ritmo de pérdida de material se desacelera
lentamente en la llamada fase de atenuación.
M
En realidad, el desarrollo esquemático representado en la figura 7.3 es muy general y pueden
aparecer curvas muy distintas en función del material o el flujo considerado. El efecto de la
cavitación puede incrementarse en flujos no estacionarios debido al colapso colectivo de burbujas
inducidas por flujos auto-oscilatorios, situación que puede llegar a ser mucho más violenta que el
colapso de burbujas individuales. Esto es, la onda de presión de una primera burbuja que sufre
colapso puede inducir el colapso del resto de burbujas cercanas, las cuales añadirán fuentes de
presión propias que incrementarán la intensidad de la onda primogénita.
Durante el colapso de las burbujas de vapor se generan ondas de presión que golpean el sólido.
Suponiendo que éste tiene un cierto comportamiento elástico, parte de la energía de la onda de
choque se absorbe por parte del sólido, parte se refleja y regresa al fluido y el resto se transmite por
el sólido. La magnitud de la energía que se absorbe, se refleja de vuelta al fluido o se transmite
por el sólido depende tanto de la naturaleza del fluido como del material del que está hecho el
sólido. En el caso de agua, la onda de presión prácticamente no se atenúa cuando incide sobre
metales como el aluminio o el acero inoxidable. Por el contrario, si el líquido es mercurio, casi una
tercera parte de la energía de la onda de choque se disipa al incidir sobre una superficie de acero
inoxidable.
7.3
Origen y descripción de la cavitación en bombas
La cavitación es el proceso de formación de burbujas en las regiones de baja presión del flujo.
Para determinar la región donde es más probable que aparezca cavitación dentro de una bomba,
considere la instalación esquematizada en la figura 7.4 en la que una bomba extrae agua desde un
70
7. Cavitación
∆pm
z − z0
Q
px2
Q
∆pm
ze2
px1
tan γ = ρg
pa
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
ze1
z0
pe2
pv
pe1
pa − ρv 2 /2
p
Figura 7.4. Esquema de aspiración de una bomba para determinar las condiciones críticas de cavitación en
las secciones de mínima presión absoluta. La curva verde y roja representan el perfil esquematizado de las
presiones en función de la posición de la bomba, baja y alta aspiración respectivamente.
depósito. Planteando la ecuación de la energía entre el punto 0 y la entrada a la bomba, obtenemos
1
pe + ρve2 + ρgze = pa + ρgz0 − ρg∆H0e
2
(7.5)
M
con ∆H0e representando todas las pérdidas de altura generadas desde el depósito hasta la entrada
de la bomba. Contrariamente a la que podríamos esperar, el punto de mínima presión no se
encuentra a la entrada de la bomba, sino en algún punto en su interior inducido por el movimiento
de los álabes. Para caracterizar la presión mínima alcanzada en el interior de la turbomáquina se
utiliza el coeficiente de presión ε, definido como
ε=
p e − px
ρw12 /2
(7.6)
Si el valor de ε se puede obtener de alguna forma, sería posible obtener el valor de la presión de
entrada que induce cavitación en el interior de la máquina cuando px = pv . Usando el coeficiente
de presión, la presión mínima en el interior de la bomba se puede escribir como
1
1
px = pa − ρg∆H0,e − ρg(ze − z0 ) − ρve2 − ερw12 .
2
2
(7.7)
La figura 7.4 ilustra dos casos claramente diferenciados para una misma bomba y unas mismas
condiciones de operación ∆pm y Q. Para el caso de la bomba en color verde, situada a menos altura
con respecto a la superficie libre, la presión mínima px1 es mayor a la presión de vapor pv , por
lo que no hay riesgo de cavitación. Cabe mencionar que la variación de la presión con la altura
dp/(dz) = ρg tiene la pendiente tan γ = ρg para el caso ideal (sin pérdidas de fricción en la tubería)
y una pendiente mayor para el caso con pérdidas dp/(dz) ∼ ρg + ρv 2 λ/(2gD). Es inmediato añadir
7.3. Origen y descripción de la cavitación en bombas
71
el efecto de pérdida de carga de elementos locales como válvulas, filtros, etc. Se observa que cuanto
mayor es la caída de presión en la aspiración más peligroso es para el funcionamiento la bomba
por lo que la posición de la bomba está limitada por este factor. Por ejemplo, la curva roja de la
figura 7.4 determina, para unas condiciones determinadas, la altura máxima de aspiración de la
bomba, puesto que el valor de la presión mínima px2 es igual a la presión de vapor. Dicha altura
máxima de aspiración, por encima de la cual aparece cavitación dentro de la bomba, es
∆zmax =
v2
w2
pa − pv
− ∆H0,e − e − ε 1 .
ρg
2g
2g
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
A partir de la ecuación de la energía (7.5) es posible definir la altura necesaria para evitar
cavitación
w12
ve2
+ε
HN =
2g
2g
(7.8)
y la altura disponible en la instalación
HD =
pa − pv
− (ze − z0 ) − ∆H0,e
ρg
(7.9)
M
lo que permite definir HD > HN como la condición de no cavitación. La altura necesaria depende
de la bomba y es un dato que aportan los fabricantes, mientras que la altura disponible depende
de la instalación y es necesario calcularla. Formalmente, la cavitación aparece cuando la altura
∗
disponible es igual a la requerida HD = HN = HD
. Ese valor de la altura necesaria se denominada
habitualmente NPSH o "net positive suction head".
Tanto HD como HN dependen del punto de funcionamiento de la bomba y, en consecuencia, del
caudal Q. Si bien es fácil predecir que la altura disponible disminuye con el cuadrado del caudal,
la variación de la altura requerida con Q es algo más compleja debido a la dependencia de ε con
el flujo volumétrico fuera del punto de diseño. De forma esquemática, su variación se representa
en la figura 7.5. Para determinar el comportamiento de una bomba ante cavitación, es común que
el fabricante realice una seria de pruebas para determinar el valor del NPSH que será de gran
utilidad después a los usuarios que operen con ella. El ensayo más sencillo consiste en modificar la
altura de succión de la bomba para modificar gradualmente la altura disponible HD definida en
(7.9). Al mismo tiempo que se aumenta la altura de succión, se mide la altura de la bomba H y la
eficiencia η proporcionadas por la bomba. Tal como se explicó en el capítulo 6, ni la altura de la
bomba H ni el rendimiento η son función de la altura de succión (ze − z0 ) en bombas funcionando
sin cavitación. Cuando ésta aparece, se observa un brusco cambio en los valores de H y η, tal
como se esquematiza en la figura 7.6. Ese valor de la altura de succión define el valor crítico
∗
de HD
que hemos denominado NPSH. Una forma alternativa de medir el NPSH de una bomba
propone modificar el caudal impulsado modificando, al mismo tiempo, los valores de HN y HD
como se muestra en la figura 7.5. Mientras HD > HN , es posible dibujar la curva característica
de la bomba H vs Q que se esquematiza en la figura 7.6. Al alcanzar el caudal crítico en el que
HD = HN = N P SH, la curva característica de la bomba cambia de forma abrupta definiendo el
∗
caudal critico que permite calcular HD
a partir de (7.9). Para evitar cambios relacionados con el
régimen de giro de la bomba Ω, es conveniente realizar el experimento teniendo en cuenta los
parámetros adimensionales.
72
7. Cavitación
HN
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
HD
Q0
Qcavita
Q
∗ con el caudal Q para una velocidad de giro
Figura 7.5. Variación de la altura necesaria HN∗ y disponible HD
M
de la bomba Ω.
Figura 7.6. Ensayo para la medición del NPSH modificando la altura disponible a caudal constante (figura
izquierda) o modificando el caudal que circula por la bomba (figura derecha).
De las figuras 7.6 es fácil darse cuenta que el comportamiento de bombas que cavitan es muy
diferente de aquellas en las que el fluido de trabajo se encuentra únicamente en una fase. Por ese
motivo, es necesario modificar el análisis dimensional que se hizo en el capítulo 6 para incluir la
altura disponible en la instalación como un parámetro adicional a tener en cuenta. De esa forma,
podemos escribir
gH
= fun1
Ω2 D2
Q gHD
,
ΩD3 Ω2 D2
= fun1
Q gHD
,
ΩD3 gH
Q gHD
Q gHD
,
= fun2
,
ΩD3 Ω2 D2
ΩD3 gH
Q gHD
Q gHD
η = fun3
,
= fun3
,
ΩD3 Ω2 D2
ΩD3 gH
Ẇ
= fun2
ρΩ3 D5
(7.10)
(7.11)
(7.12)
donde el parámetro σ = HD /H se denomina el parámetro de Thoma y cuantifica la respuesta de
la bomba tras la aparición de cavitación. Mientras σ > σi , no aparecerá cavitación en la bomba.
7.4. Cavitación en turbinas.
73
∗
El valor crítico del parámetro de Thoma σi = HD
/H es únicamente función de la bomba y, como
vimos más arriba en 7.5, del parámetro de caudal σi = fun4 (Q/(ΩD3 )).
7.4
Cavitación en turbinas.
∆pn
con difusor
px
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Q
zs
sin difusor
tan γ = ρg
difusor
pa
z0
ps
pv
pa
pa − ρv 2 /2
p
Figura 7.7. Esquema de una turbina para determinar las condiciones críticas de cavitación en las secciones
M
de mínima presión absoluta. La curva gris y negra representan el perfil esquematizado de las presiones en
función de si existe, o no, difusor ideal.
La cavitación en turbinas tiene lugar en la región de baja presión cercana a la salida del rodete,
donde las velocidades absolutas son elevadas. Si usamos el esquema de la figura 7.7, podemos
plantear la ecuación de la energía entre la salida de la turbina y la superficie del agua en el canal de
desagüe
1
ps = pa − ρg∆z + ρg∆Hs,0 − χ ρvs2 ,
2
(7.13)
donde ∆z representa la diferencia de cota y ρg∆Hs,0 la pérdida de carga entre los dos puntos
respectivamente. El parámetro χ representa el coeficiente de recuperación del difusor en la sección
de salida de la tubería. En ausencia de difusor, χ = 0, la tubería descarga directamente a las
condiciones de salida y la energía cinética del fluido se disipa durante el frenado. En el caso disponer
de un difusor ideal a la salida, χ = 1, donde la sección de la tubería aumenta progresivamente de
tal forma que el fluido se desacelera de forma isentrópica, el fluido pierde velocidad recuperando
presión estática. Esto es, la descarga no involucra pérdida de energía mecánica. El difusor es
por tanto útil para obtener la máxima potencia en la instalación de la turbina. El efecto para la
cavitación es, como veremos, el opuesto al deseado.
Como en el caso de las bombas, el punto de mínima presión se encuentra en el interior de la
turbina, pero en este caso se relaciona con la presión en la sección de salida de la misma a través
del coeficiente de presión ε definido más arriba. De esta forma, la presión mínima en la turbina se
74
7. Cavitación
escribe como
1
px = ps − ε ρw22
2
(7.14)
siendo w2 la velocidad relativa en la sección de salida de la turbina. La condición de cavitación será
entonces
1
1
px = pa − ρg∆z + ρg∆Hs,0 − χ ρvs2 − ε ρw22 < pv .
2
2
(7.15)
HN = χ
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
En contraposición a las bombas, la pérdida de carga en el desagüe de la turbina mejora el comportamiento de la bomba frente a cavitación. Por ese motivo, a diferencia de las bombas, las alturas
necesaria y disponible pasan a ser
ve2
w2
+ε 2
2g
2g
y
HD =
pa − pv
− ∆z + ∆Hs,0 ,
ρg
(7.16)
respectivamente. De forma semejante a lo que ocurre en bombas, la cavitación aparece cuando
∗
HD = HN = HD
. Se observa que las pérdidas en la tubería de salida son beneficiosas para evitar
la cavitación (no para el rendimiento de la instalación) y, por el contrario, el difusor es pernicioso
para la cavitación (pero útil para el rendimiento de la instalación).
A partir de (7.15) es fácil determinar la máxima diferencia de cota entre la salida de la turbina y
la superficie de agua del desagüe para evitar cavitación
∆zs <
pa − pv
v2
w2
pa − pv
+ ∆Hs,0 − χ s − ε 2 =
− σi HN
ρg
2g
2g
ρg
(7.17)
M
Esta expresión nos indica que un aumento de la altura neta implica una disminución de la diferencia
de cotas entre la salida de la turbina y el nivel de agua del desagüe. Para alturas muy elevadas
puede ser necesario que ∆zs < 0 y que la turbina se sitúe por debajo del nivel de agua en el canal.
7.5
Velocidad específica de aspiración
Como alternativa al parámetro de Thoma se define la velocidad específica de aspiración en un
intento de definir una variable adimensional que indique la aparición de cavitación. Este parámetro
se define como
S=
ΩQ1/2
Ωs
= 3/4
∗ 3/4
(gHD ) )
σ
(7.18)
donde Ωs = ΩQ1/2 /(gH)3/4 es la velocidad específica, definida en el capítulo 6, y σ es el parámetro
de Thoma. En el punto de cavitación incipiente, ese parámetro toma un valor S = Si .
Profundizando en el uso de este parámetro, se define el parámetro σi,max o, equivalentemente, Si,max .
Este valor nos indica cuando aparece la cavitación en un punto de funcionamiento que coincide con
el de máximo rendimiento. El valor de Si,max es constante y no depende del tipo de bomba considerada, característica que explica, junto a su mayor representatividad del fenómeno de cavitación, la
preferencia de uso del mismo frente al parámetro de Thoma por parte de los usuarios y diseñadores .
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
7.5. Velocidad específica de aspiración
75
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
M
77
Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
8.1
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
De forma general, una turbomáquina se instala en una red de tuberías que suministran el fluido de
trabajo y lo dirige hacia su aplicación final. Asociada a esas redes de alimentación aparecen unas
pérdidas de energía que conforman la llamada curva resistente. La intersección con la curva de la
turbomáquina determina el caudal se puede desplazar con ella a través de ese sistema de tuberías y
determina la turbomáquina a utilizar en función de los criterios de diseño. Este capítulo analiza ese
proceso de selección e introduce algunos métodos de variación de caudal para bombas y turbinas.
Tiempos característicos
M
El proceso de carga y descarga de un depósito es un proceso intrínsecamente no estacionario al
modificarse las condiciones de contorno del problema a medida que el/los depósito/s se llenan o
vacían. Para analizar el problema, supongamos una instalación como la representada en la figura
8.1, en la que un bomba trasiega el agua desde un depósito inferior hasta un depósito superior a
través de una tubería de diámetro D. Desde un punto de vista estricto, el análisis de problema
necesita de la integración de la ecuación de la energía no estacionaria que tenga en cuenta la
variación de las alturas de agua en ambos depósitos con el tiempo. Si escribimos la ecuación (2.15)
aplicada a un tramo de tubería de longitud dx
d
dU
+
dt
dx
U2 p
+ + gz
2
ρ
=
dẆ /dx 1 2 λ
− U
,
ρQ
2 D
(8.1)
donde dẆ /dx representa el trabajo aportado al fluido por unidad de longitud de la tubería y
λ1 = λ2 = λ. Integrando la ecuación anterior entre los puntos 2 y 5, finalmente tenemos
p5
+ gz5
ρ
−
p2
+ gz2
ρ
ẆB U 2 λ(L1 + L2 )
=
−
−
ρQ
2
D
Z
2
5
dU
dx
dt
(8.2)
El último término de la ecuación representa la inercia del fluido y, junto con la fricción, contribuye
a reducir el aumento de la presión reducida P = p + ρgz del fluido inducida por la bomba ẆB . La
ecuación (8.2) debe ser integrada con las condiciones de contorno del problema en los puntos 2 y 5
del diagrama,
p2 + ρgz2 = pa + ρgh1 − U 2 /2 y p5 + ρgz5 = pa + ρg(h2 + H2 )
(8.3)
que acopla el valor de la velocidad del fluido en la tubería U con la altura de agua en ambos
depósitos. El ritmo de variación de la altura de los depósitos se puede obtener fácilmente aplicando
78
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
la ecuación de continuidad, de forma que
Ad
dh1
dh2
= −Q(t) y Ad
= Q(t),
dt
dt
(8.4)
con h1 (t = 0) = h0,1 y h2 (t = 0) = h0,2 y siendo Ad es la sección transversal de ambos depósitos, que
supondremos igual por simplicidad. Adicionalmente, en bombas de velocidad de giro variable
es necesario incluir una ecuación que describa la variación temporal de la potencia transferida al
fluido durante el cambio de velocidad
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
I dΩ2
= ẆB − Ẇe
2 dt
(8.5)
siendo I el momento de inercia de la bomba y Ẇe la potencia del motor (eléctrico o de cualquier
otro tipo) utilizado para mover la bomba. En el sistema a resolver, formado por ecuaciones (8.2),
(8.3), (8.4) y (8.5) aparecen tres tiempos característicos 1 :
1. El tiempo de descarga del depósito td = (Ad h0,1 )/(Uc A), estimado a partir de (8.4).
2. El tiempo característico de aceleración del fluido en el conducto tacel = (L/Uc )/(1 + λL/D)
obtenido de comparar el término no estacionario y el término de aceleración convectiva en
(8.2).
M
3. El tiempo característico de variación de la potencia aportada por la bomba tB = IΩ2c /Ẇc
estimado a partir de (8.5) con los valores de velocidad de giro Ωc y la potencia de la bomba
Ẇc característicos y correspondientes con el punto de máximo rendimiento de la bomba. El
momento de inercia de una bomba se relaciona con Ẇc y Ωc partir de la relación empírica
I = C(Ẇc /Ω3c )α donde α y C son constantes de orden unidad obtenidas a partir proporcionados
por fabricantes en ?. Usando ese resultado, obtenemos tB = 1/Ωc . Habitualmente, como
se vió en capítulo de análisis dimensional, turbomáquinas de gran tamaño tiene asociadas
velocidades de giro en el punto de máximo rendimiento pequeñas, lo cual se asocia con
transitorios al modificar el régimen de giro más largos que máquinas pequeñas con alta
velocidad de giro.
Si comparamos el tiempo de descarga td y el tiempo característico de aceleración del fluido en el
conducto tacel obtenemos
td
Ad h0,1
(1 + λL/D) 1
tacel
LA
td
Ω
=
1,
tB
(Uc A)/(Ad h0,1 )
=
(8.6)
(8.7)
La ecuación (8.6) indica que el tiempo de descarga es mucho mayor que el tiempo de aceleración
del fluido en el conducto si el volumen de líquido en los depósitos es mucho mayor que el volumen
de líquido en la tubería, condición que se cumple en la mayoría de las aplicaciones y que nos
permite olvidarnos de la inercia del fluido dU/dt en las tuberías.
1
Un cuarto tiempo característico, el tiempo acústico ta = L/c, con c la velocidad del sonido en el fluido, puede
llegar a ser relevante en fenómenos extremos como el golpe de ariete, que puede aparecer en el cierre o apertura de
electroválvulas.
8.2. Punto de funcionamiento en instalaciones de bombeo.
79
pa
h2
5
Q
λ2 , L2
b
b
pa
4
H2
z
b
3
1
b
Q
h1
λ1 , L1
b
2
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Figura 8.1. Esquema de una instalación de bombeo entre dos depósitos.
8.2
M
La ecuación (8.7), por otro lado, indica que el tiempo de variación del régimen de giro en la bomba
es mucho menor que el tiempo de descarga, por lo que las curvas características de la bomba
pueden usarse para los distintos caudales independientemente de que el régimen de giro de la
bomba pudiera cambiar durante el tiempo de descarga o de carga de los depósitos. De forma
general, es común asumir que el las turbomáquinas funcionan de forma casi-estacionaria de manera
que aunque los valores de caudal Q y velocidad de giro Ω puedan cambiar con el tiempo, sus
valores instantáneas determinan tanto el par T como la altura H de la turbomáquina. Esto es cierto
siempre y cuando el tiempo de residencia del fluido en el interior de la máquina sea pequeño
tr = Vf /Q tB = Ω−1
c , siendo Vf el volumen de fluido en el interior de la máquina.
Punto de funcionamiento en instalaciones de bombeo.
Para ilustrar el cálculo del punto de funcionamiento en una instalación de bombeo utilizamos
la situación esquematizada en la figura 8.1. En ella, una bomba con curva característica HB (Q)
transfiere un fluido de densidad ρ y viscosidad µ desde el depósito inferior a un depósito superior a
través de una tubería de longitud L1 + L2 y diámetro D. Para simplificar el problema, supondremos
que el número de Reynolds del movimiento en la tubería es suficientemente alto como para
considerar el coeficiente de fricción λ1 = λ2 constante. Para calcular la altura resistente, escribimos
la ecuación de la energía (2.15) entre los puntos 2 y 5 de la figura
p5
Q2
p2
Q2
Q2 λ1 L1 + λ2 L2
ρQ
+
+
gz
−
ρQ
+
+
gz
=
ρQgH
−
ρQ
,
(8.8)
5
2
B
ρ
2A2
ρ
2A2
A2
D
donde A = πD2 /4 el área de la tubería. El último término a la derecha del igual representa las
pérdidas primarias en las tuberías. Las pérdidas secundarias a la salida del depósito inferior y en
cualquier otro elemento de la red que pudiera inducir pérdidas adicionales (válvulas, codos ...)
se consideran despreciables en este análisis simplificado. Para obtener la presión en el punto 2,
usamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, de forma que p2 /ρ + Q2 /(2A2 ) = pa /ρ + gh1 .
Por otro lado, teniendo en cuenta que p5 = pa + ρgh2 , que z5 = H y z2 = 0, la ecuación anterior
80
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
toma la forma
Q2
HB = H2 + h2 − h1 +
2gA2
(λ1 L1 + λ2 L2 )
1+
D
(8.9)
= Hr,1 ,
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
a partir de la cual es posible obtener el caudal Q que la bomba es capaz de desplazar. Según esta
expresión, la bomba debe de ser capaz de proporcionar una altura que no solo iguale la altura
entre las superficies libres de los dos depósitos H + h2 − h1 , sino que además debe ser capaz de
proporcionar altura suficiente para vencer las pérdidas de altura asociadas a las pérdidas de carga
primarias en las tuberías.
Hr,1
HB,2
HB,3
A2
HB,1
A1
Hr,2
B3
B2
M
B1
H2 + h2 -h1
Qu,2
Qu,3
Q
Figura 8.2. Resolución gráfica del punto de funcionamiento determinado por la ecuación (8.9) correspondiente a la instalación de la figura 8.3 con la válvula del ramal 4-6 cerrada. La curva HB,1 = a − bQ2 se
corresponde con la curva característica de una bomba con ángulo β2 < π/2. La curvas HB,2 = a − b(Q − Q0 )2
y HB,3 = a − b(Q)(Q − Q0 )2 se corresponde con una bomba con ángulo β2 > π/2. La curva de la bomba
HB,3 es característica de bombas en la que las pérdidas por fricción son dependientes del caudal b = b(Q)
La resolución de la ecuación (8.9) se representa gráficamente en la figura 8.2. En ella, se representan las curvas características de tres bombas distintas. La intersección de la curva característica
HB,1 = a − bQ2 , que se corresponde con una bomba de ángulo β2 < π/2, con la curva resistente Hr,1
y Hr,2 determina los caudales de funcionamiento QA1 y QB1 . Las curvas HB,2 = a − b(Q − Q0 )2 y
HB,3 = a − b(Q)(Q − Q0 )2 son características de bombas con β2 > π/2. En el caso de HB,3 , además,
las pérdidas por fricción en el rotor son dependientes del caudal b = b(Q).La intersección con las
curvas resistentes proporciona los caudales QA2 , QB2 y QB3 . Los puntos de funcionamiento así
calculados son cualitativamente muy distintos. Como veremos en la sección 8.5, el caudal QA2
8.3. Instalaciones de bombeo ramificadas
81
define un punto de funcionamiento inestable que debería ser evitado durante los periodos de
actividad de la bomba.
Instalaciones de bombeo ramificadas
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
8.3
Figura 8.3. Esquema de una instalación de bombeo entre tres depósitos.
M
Consideremos ahora una red de bombeo ramificada como la que se muestra en la figura 8.3. En
el momento en el que la válvula del ramal 4-6 se abre, el caudal Q1 que circula por la bomba es
distinto al caudal de los diferentes ramales. Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 2
y 4, entre el punto 4 y 6 y entre 4 y 5, obtenemos
p2
Q 2 λ1 L 1
p4
+ gz4 −
+ gz2 = gHB − 12
(8.10)
Tramo 2 − 4 ⇒
ρ
ρ
2A D
p6
p4
Q2 λ3 L3
Tramo 4 − 6 ⇒
+ gz6 −
+ gz4 = − 32
(8.11)
ρ
ρ
2A D
p5
p4
Q2 λ2 L2
Tramo 4 − 5 ⇒
+ gz5 −
+ gz4 = − 22
(8.12)
ρ
ρ
2A D
cuando las pérdidas secundarias en la entrada de las tuberías, en la bifurcación y en la válvula
son despreciables. Las ecuaciones anteriores, junto con la ecuación de continuidad aplicada en la
bifurcación de las tuberías en el punto 4, Q1 = Q2 + Q3 , constituyen un sistema de cuatro ecuaciones
con Q1 , Q2 , Q3 y p4 como las incógnitas del problema. Sabiendo que
p5
pa
p6
pa
p2
Q21
pa
=
+ gh2 ,
=
+ gh3 , + gz2 = − 2 +
+ gh1 ,
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
2A
ρ
el problema admite una solución simple en el caso H2 + h2 = H3 + h3 en la forma
1
Q2
=
Q1
1 + (λ2 L2 /λ3 L3 )1/2
Q3
(λ2 L2 /λ3 L3 )1/2
=
Q1
1 + (λ2 L2 /λ3 L3 )1/2
(8.13)
82
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
que junto con
HB = (H2 + h2 − h1 ) +






Q21
λ2 L2 /λ3 L3
λ1 L1 λ2 L2
+
1+
h
i2 = Hr,1
2

2gA 
D
D

1 + (λ2 L2 /λ3 L3 )1/2 
(8.14)
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Si suponemos que la bomba tiene una curva característica HB = a − bQ21 , la ecuación anterior, junto
con las ecuaciones 8.13, permite obtener los caudales Q1 , Q2 y Q3 que circulan por los distintos
ramales de la red de tuberías. El término a la derecha de la ecuación (8.14) constituye la curva
resistente conjunta de la instalación compuesta por dos depósitos. El caso general H3 + h3 6= H2 + h2
tiene también resolución analítica y se propone como ejercicio al lector de estas notas. 2 .
Comparada con la curva resistente obtenida previamente en (8.9), la curva Hr,1 descrita en (8.14)
tiene una menor pendiente al sumar las pérdidas primarias en ambos ramales de la instalación, lo
que desplaza el punto de funcionamiento de la bomba hacia mayores caudales para suministrar
caudal a ambos depósitos.
HB,1
QB1
HB,1
b
Q1
3
b
HB,2
3b
4
QB2
4
b
Q1
HB,2
8.3.1
M
Figura 8.4. Configuración de bombas en paralelo y en serie entre los puntos 3 y 4 de la instalación 8.3
Bombas en serie y en paralelo
Para curvas características de la forma HB = a − b(Q − Q0 )2 , la ecuación (8.14) presenta dos soluciones para el caudal. Si el ángulo β2 < π/2, una de esas soluciones puede descartarse, en principio,
al ser negativa 3 . Varias soluciones pueden aparecer en bombas con β2 > π/2, aunque la estabilidad
de las mismas puede requerir una valoración sosegada del punto de funcionamiento resultante.
Como ocurre en el ejemplo analizado anteriormente, la apertura o cierre de válvulas puede modificar el caudal que circula por la instalación, llegando a ser insuficiente para la aplicación particular
que estemos considerando. En un intento de aumentar el caudal, se puede considerar instalar
varias bombas en paralelo de forma que el caudal total sea la suma de los caudales de cada una de
las bombas.
2
Por ejemplo, el caudal Q2 que circula por el ramal 4-5 se puede escribir como
λ3 L3
Q2 = Q1
±
λ3 L3 − λ2 L2
(
Q21
λ 3 L3
λ3 L3 − λ2 L2
2
Q2 λ3 L3
− 2 Λ + 12
2A D
1
(λ3 L3 − λ2 L2 )/(A2 D)
)1/2
con Λ = g[(h3 + He ) − (h2 + H2 )]
3
Caudales negativos en la bomba son en teoría posibles y constituyen un flujo reverso (bombeo o surging) en la
bomba que se asocia a rápidos cambios de caudal que generan súbitos incrementos de presión en las instalaciones
8.3. Instalaciones de bombeo ramificadas
83
Por otro lado, no es posible encontrar ninguna solución al problema (8.14) cuando la máxima altura
proporcionada por la boba es menor que H2 + h2 − h1 . En ese caso, la bomba elegida es incapaz de
desplazar ningún caudal por la instalación en cuestión. Una posible solución para ese problema
puede consistir en instalar varias bombas en serie de forma que la altura total del conjunto sea la
suma de las alturas parciales de cada una de ellas.
Hr,1
HB
Hr,1
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
HB,2
HB
HB,1
HB,1
QB,1 QB,2
QB
Q1
HB,2
Q1
M
Figura 8.5. En la figura izquierda se representa la curva característica equivalente (línea continua gruesa)
que resulta de colocar dos bombas de curvas características HB,1 y HB,2 en paralelo (líneas a trazos) junto con
la curva resistente Hr,1 (línea continua fina). El caudal total impulsado es la suma de los caudales impulsados
por cada una de las bombas.
En la figura derecha se representa la curva característica equivalente (línea continua gruesa) obtenida a partir
de la instalación de dos bombas en serie HB,1 y HB,2 (líneas a trazos). Para un mismo caudal impulsado Q1 ,
la altura total resultante es la suma de las alturas aportadas por cada una de las bombas.
Bombas en paralelo En la instalación representada en la figura 8.3 sustituimos la bomba por la
configuración de dos bombas en paralelo esquematiza en la parte izquierda de la figura 8.4. De
forma análoga a la expresión 8.14, tenemos





Q21 
λ1 L1 λ2 L2
λ2 L2 /λ3 L3
HB,2 = HB,1 = (H2 + h2 − h1 ) +
1
+
+
h
i
2  = Hr,1
2gA2 
D
D
1/2


1 + (λ2 L2 /λ3 L3 )
(8.15)
que junto con Q1 = QB,1 + QB,2 permite determinar los caudales que circulan por cada una de
las bombas. La curva característica equivalente de dos bombas en paralelo se representa en la
figura 8.4. El punto de funcionamiento se desplaza ahora desde el caudal QB,1 , cuando hay una
única bomba, hasta QB,1 + QB,2 cuando ambas bombas están instaladas. Este resultado se puede
generalizar para un número N de bombas en paralelo, de forma que el caudal total que circularía
84
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
por el ramal 2-4 de la figura 8.3 se podría calcular como
Q1 =
N
X
QB,i
(8.16)
i=1
El rendimiento del conjunto de las dos bombas colocadas en paralelo lo podemos definir como
η = Ẇm /Ẇ , siendo Ẇm la potencia manométrica adquirida por el fluido entre los puntos 3 y 4 de
la instalación de la figura 8.4 y Ẇ la potencia total utlizada. En ese caso, tendremos
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
PN
QB,i
(QB,1 + QB,2 )(p4 − p3 )
η=
= PN i=1
QB,1 (p4 − p3 )/ηB,1 + QB,2 (p4 − p3 )/ηB,2
i=1 QB,i /ηB,i
(8.17)
Bombas en serie Cuando la altura de los depósitos o el nivel del agua en el depósitos superior
son suficientemente grandes, la bomba seleccionada puede no ser capaz de elevar el fluido hasta la
altura deseada. Desde un punto de vista matemático, esta situación se traduce en la ausencia de
soluciones de la ecuación (8.14). Un posible remedio es la colocación de varias bombas en serie, tal
y como se esquematiza en la parte derecha de la figura 8.4. Usando la expresión (8.14), una vez que
hemos sustituido nuestra bomba por otras dos bombas en serie, podemos escribir





Q21 
λ1 L1 λ2 L2
λ2 L2 /λ3 L3
HB,1 + HB,2 = (H2 + h2 − h1 ) +
1
+
+
h
i
2  = Hr,1
2gA2 
D
D
1/2


1 + (λ2 L2 /λ3 L3 )
(8.18)
M
de forma que la altura equivalente correspondiente a la colocación de dos bombas en serie es la
suma de las altura de cada bomba individual, tal y como se muestra en la curva característica del
conjunto de las dos bombas representado en la figura 8.4. El caudal que circula por las bombas es
el mismo Q1 . Generalizando para un número N de bombas en serie, la altura equivalente sería
HB =
N
X
i=1
HB,i
(8.19)
La curva equivalente de situar dos bombas en paralelo entre los puntos 3 y 4 de la figura 8.3 se
representa en la parte derecha de la figura 8.4.
El rendimiento resultante de colocar dos bombas en serie se define como η = Ẇm /Ẇ , siendo, Ẇm
la potencia transmitida al fluido y Ẇ la potencia total consumida por las bombas. Usando esas
definiciones, y definiendo el punto 3’ entre las dos bombas, podemos escribir
PN
HB,i
Q1 (p30 − p3 ) + Q1 (p4 − p03 )
η=
= PN i=1
Q1 (p30 − p3 )/ηB,1 + Q1 (p4 − p30 )/ηB,2
i=1 HB,i /ηB,i
8.4
(8.20)
Regulación del caudal
La regulación del caudal en una bomba o sistema de bombas es esencial para poder suministrar en
cada momento el caudal que requiere una instalación. El cambio de caudal origina variaciones en
8.4. Regulación del caudal
85
H, Ẇ y η de acuerdo con las curvas característica de la bomba. Como estas magnitudes tienen que
satisfacer normalmente ciertos requisitos, la regulación del caudal no se puede hacer de una forma
arbitraria, sino siguiendo ciertas pautas.
Los métodos de control de caudal se pueden dividir en dos tipos, los que modifican la curva de la
instalación y los que modifican las curvas de la bomba. Dentro del primer grupos se encuentran
los de regulación mediante válvulas y by-pass. En el segundo se encuentra el control mediante la
variación de la velocidad de giro de la bomba, de la pre-rotación del fluido antes de entrar en el
rotor y de la variación del ángulo de ataque mediante rotación de los álabes del rotor.
Regulación mediante válvulas
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
8.4.1
M
Es el procedimiento mas simple para variar el caudal que suministra una bomba a una instalación
es abriendo o cerrando una válvula de control que a tal fin se coloca en la instalación. Imaginemos
una instalación con una curva característica Hr,1 a través de la cual impulsamos un fluido con una
bomba con curva característica HB,1 (Q). Justo detrás de la bomba, colocamos una válvula, con un
coeficiente de pérdidas secundarias kv , que está inicialmente abierta. Aplicando la ecuación de la
energía, obtenemos la ecuación HB,1 = Hr,1 que permite obtener el punto de funcionamiento Q1 .
Para controlar el caudal del punto de funcionamiento podemos cambiar modificar el coeficiente
de pérdidas secundarias kv cerrando la válvula situada detrás de la bomba, modificando la curva
∗
resistente de la instalación Hr,1
= Hr,1 + Q2 /(2A2 g)kv y variando el punto de funcionamiento Q∗1 .
Ese cambio en el caudal de impulso lleva asociado, como era de esperar, una variación en el
rendimiento de la bomba, que puede aumentar o disminuir en función de si el punto de funcionamiento ocurre a caudales mayores o menores del punto de máximo rendimiento dη/dQ = 0.
El cierre de la válvula normalmente lleva asociado una disminución de la potencia consumida en
el eje de la bomba. Pese a ello, desde el punto de vista de la instalación, la regulación de caudal
mediante una válvula es un método poco ineficiente, al disipar en la válvula un exceso de energía
que habíamos previamente transmitido al fluido mediante la bomba.
La válvula debe estar siempre colocada aguas abajo de la bomba, de forma que las pérdidas secundarias introducidas por la válvula no disminuyan la altura disponible NPSHd de la instalación,
adelantando el fenómeno de cavitación en la bomba estudiado en el capítulo 7.
En muy pocos casos una bomba funcionará en su punto de máximo rendimiento ηmax aunque si
se exige que la bomba funcione siempre por encima de un rendimiento mínimo ηmin ' 0.9ηmax de
forma que su explotación sea lo más rentable posible. Esa condición obliga a que la bomba funcione
en el tramo a − d de la curva representada en la figura 8.6. Condiciones de funcionamiento que den
lugar a caudales fuera del tramo a − d implican, generalmente, cambiar de bomba para mantener el
criterio de eficiencia. Esta limitación reduce mucho el campo de utilización de una bomba cuyo
caudal está controlado por un válvula. Para ampliar ese rango de utilización es habitual disminuir
artificialmente el diámetro exterior de la bomba sin modificar la forma de los álabes mediante un
torneado. Este procedimiento tiene, obviamente, un límite en el máximo recorte que se puede hacer
al diámetro exterior si no queremos que el rendimiento se vea muy afectado. Mediante esta técnica
conseguimos modificar la curva característica de la bomba y, para un mismo caudal, se reduce la
altura proporcionada por la bomba. De esta manera, el rango de utilización de la bomba se amplía
a la región a − b − c − d.
Obviamente, esta operación destruye la semejanza geométrica en la que se basa el análisis dimensional para obtener la curvas características de la bomba torneada. Sin embargo, experimentalmente
86
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
∗
ηmin Hr,1
HB,1
Q
a
b
Hv
kv
Hr,1
HB,1
ηmax
Ht
∗
Hr,1
ηmin
d
Hr,1
Ẇ
c
Q
Q1
kv
Qv
Q1
Ẇ
Qv
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
η
Q∗
HB,1
Qmax
Q
Q∗ Q
Figura 8.6. Regulación por válvula y por by-pass.
se sabe que en bombas radiales se cumple Q/Qt = D2 /D2,t y HB,1 /Ht = (D2 /D2,t )2 , con el subíndice
t indicando las propiedades de la bomba una vez torneada. Así, se cumple que
HB,1
Ht
= 2 = C ⇒ Ht = CQ2t
2
Q
Qt
(8.21)
M
siendo C una constante. La nueva curva característica para la bomba tras el torneado será, por
tanto, también una parábola, tal y como se indica en la figura 8.6. El corte de la curva Ht con las
curvas de rendimiento constante ηmin determina los puntos b − c que delimita la región a − b − c − d
de utilización de la bomba donde se sabe que se cumple la condición η > ηmin .
Para que este procedimiento sea coherente la curva de rendimiento no puede cambiar al realizar
el torneado. Para que eso se cumpla, la reducción del diámetro mediante el torneado no puede
exceder un valor máximo (D2 − D2t )/D2 < f (Ωs que depende de la velocidad específica de la
bomba Ωs .
En general, los fabricantes ofrecen en sus catálogos un número de bombas los suficientemente
grandes como para que la suma de las regiones a − b − c − d de todas ellas cubra el mayor rango
posible de aplicaciones, tal y como se muestran en la figura 8.7 para dos velocidades de giro
distintas.
8.4.2
Regulación mediante by-pass
Una forma de mejorar la eficiencia de la regulación mediante válvulas es la de incluir un by-pass con
una válvula que extraiga una caudal Qv de la corriente principal. Con este sistema de regulación,
esquematizada en la figura 8.6, el caudal Q que circula por la bomba es distinto del caudal Q1 que
se bombea a la instalación. El objetivo de este sistema de regulación es modificar el caudal Q1 que
pasa por la instalación cambiando lo menos posible el caudal que circula por la bomba, de forma
que los rendimientos y los consumos de potencia de la bomba cambien lo menos posible.
Cuando la válvula está completamente cerrada, la intersección de la curva de la instalación Hr,1 con
la curva de la bomba HB,1 determina el caudal de funcionamiento Q. Una vez que se abre la válvula,
87
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
8.4. Regulación del caudal
Figura 8.7. Campo de aplicación de los distintos modelos de las bombas centrifugas de succión horizontal y
descarga vertical de KSB - Megabloc para velocidades de 3500 rpm y 1750 rpm.
88
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
HB,1
HB,3
α1,2 < α1,1 < α1,3
Ω3 < Ω2 < Ω1
HB,1
Hr,1
HB,2
Hr,1
Ẇ3
η3
Ẇ1
HB,2
Ẇ1
HB,3
Ẇ2
Ẇ2
η2
η2
η1
Q2 Q1 Q3
η1
Ẇ3
η3
Q3
Q2
Q1
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
Figura 8.8. Regulación por velocidad de giro y por pre-rotación.
un cierto caudal Qv circula por la válvula reduciendo el caudal Q1 que llega a la instalación. Las
pérdidas introducidas por la válvula dan lugar a una curva de pérdidas de altura Hv = kv Q2v /(2A2 g)
∗
que modifica la curva total de la instalación, que pasa a ser Hr,1
. El nuevo caudal de funcionamiento
∗
se puede calcular ahora de resolver HB,1 = Hr,1 para obtener el nuevo caudal impulsado por la
bomba Q∗ . Generalmente Q∗ y Q no son muy distintos pese a que el caudal Q1 si puede llegar
a cambiar de un forma muy apreciable al abrir la válvula, tal y como se ha esquematizado en la
figura 8.6.
8.4.3
Regulación por velocidad de giro de la bomba
M
En bombas de alta gama es posible modificar la velocidad de giro de la bomba Ω de forma
continua, aumentando la altura que son capaces de ceder al fluido a medida que aumenta su
velocidad de giro 4 A partir de las leyes de semejanza estudiadas anteriormente en el capítulo 6,
sabemos que la potencia específica de la bomba es aumenta con el cuadrado de la velocidad de giro
gH = Ω2 D2 ψ1 (Q/ΩD3 ). Por lo tanto, acoplando un motor de velocidad variable a nuestra bomba,
somos capaces de modificar el punto de funcionamiento calculando los puntos de intersección
de la curva de la bomba con la curva de la instalación, tal y como se esquematiza en la figura 8.8.
La ventaja de ese método de control de caudal es, sin duda, la eficiencia, al poder siempre elegir
la velocidad de giro que desplaza el caudal requerido en el punto de máximo rendimiento de la
bomba. Para ello, y de acuerdo con las leyes de semejanza descritos previamente en el capítulo
6, para el caudal deseado, bastaría con elegir la velocidad de giro de la bomba de forma que el
parámetro de giro Q/ΩD3 coincidiera con el correspondiente al del punto de máximo rendimiento
η = ηmax 5 . La contrapartida es el aumento del precio de la bomba, al tener que incluir en el
presupuesto un motor de velocidad variable.
Una solución intermedia desde el punto de vista económico es la de introducir un reductor entre la
bomba y el motor eléctrico. Así, aunque el motor gire a velocidad constante, es posible modificar la
velocidad de giro a través de los engranajes del reductor. Aunque sigue siendo más caro que la
regulación mediante válvula, puede ofrecer una alternativa algo más económica para aumentar la
4
De forma cualitativa, este efecto es fácil de comprobar a partir de la ecuación de Euler gH∞ =
Ωr (Ωr − Q/A/ tan β2 )
5
Se deja al alumno desarrollar la condición matemática que permitiría obtener esa velocidad de giro a la que la
bomba funciona a máximo rendimiento para desplazar un caudal Q.
8.4. Regulación del caudal
89
eficiencia del sistema.
8.4.4
Regulación mediante control de la pre-rotación del fluido a la entrada del rotor
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
De acuerdo a la ecuación de Euler gH∞ = u2 vu,2 − u1 vu,1 , la pre-rotación del fluido puede modificar
la altura que la bomba proporciona. Efectivamente, valores positivos de la rotación α1 < π/2
reducen la altura de la bomba respecto al valor máximo teórico, mientras que una contra-rotación
α1 > π/2 puede, en teoría, aumentarla. El grado de control de la altura mediante pre-rotación
aumenta con la velocidad específica, por lo que es de esperar que el control del punto de operación
mediante este sistema sea más común en máquinas axiales y semi-axiales.
Como ya estudiamos en el capítulo 3, valores del ángulo α1 6= π/2 van asociados a disminuciones
en la altura máxima transmitida al fluido. Aprovechando esta características, algunos bombas
sitúan unos álabes en el estátor, a la entrada del rotor, cuyo objetivo es el de modificar la dirección
de la velocidad absoluta y, por tanto, cambiar el ángulo α1 . Si suponemos que α1,i es el grado de
pre-rotación fijado por la posición de los álabes a la entrada del rotor, de forma que gHi y Ẇi son la
potencia específica y la potencia en el eje asociada a esa posición, el punto de funcionamiento Qi lo
obtenemos a partir de la intersección de la correspondiente curva de la bomba con la curva de la
instalación Hr representada en al figura 8.8. De esa forma, podemos pasar de un caudal Q1 a un
caudal Q3 aumentando la contra-rotación de los álabes a la entrada (α1 aumenta) o a un caudal Q2
si aumenta la pre-rotación α1 disminuye.
La operación de variación de caudal a través de la variación de la pre-rotación de la velocidad
de giro da lugar a mejores eficiencias de funcionamiento. Efectivamente, si consideramos que
el punto de funcionamiento inicial es Q2 , una disminución de la pre-rotación (α1 crece) modifica
el caudal que circula por la instalación, que pasa a ser Q1 . Ese nuevo punto de funcionamiento,
aunque supone un mayor consumo de energía, esta se aprovecha mejor al aumentar la eficiencia de
funcionamiento respecto a la que había previamente.
Si comparamos la regulación de caudal mediante variación de la pre-rotación con el control
mediante válvula es fácil darse cuenta de que el cambio de punto de funcionamiento mediante la
variación de α1 consume menos energía. Si partimos de un caudal Q1 , asociado a una potencia
consumida por la bomba Ẇ1 y a un rendimiento η1 , la disminución de caudal originada al cerrar
la válvula de paso nos llevaría a desplazarnos desde Q1 hasta Q2 por la curva de potencia Ẇ1 ,
generando consumos de potencia mayores a los obtenidos mediante una disminución de la prerotación del fluido a la entrada.
8.4.5
Regulación de caudal mediante rotación de los álabes del rotor
Aunque de gran rendimiento, la modificación del caudal mediante la variación del ángulo de los
álabes del rotor presenta un gran rendimiento. Usado mayoritariamente en turbomáquinas axiales,
permite modificar el caudal impulsado modificando el ángulo de ataque. Cuando el ángulo de
ataque cambia, el área entre los álabes, la velocidad tangencial y la altura total de la bomba también
cambian. El ángulo que gira el álabel γ no puede ser demasiado grande para evitar que el ángulo de
ataque supere un valor máximo de alrededor de β1 = 23 − 25◦ , ángulo a partir del cual la eficiencia
se reduce de forma muy significativa debido al desprendimiento de la corriente.
En la figura 8.9 se representa el álabe de una turbomáquina axial (figura izquierda) junto con los
triángulos de velocidades en las secciones de entrada y de salida. En el mismo gráfico se representa
90
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
el mismo álabe girado un ángulo γ (figura derecha) junto con el nuevo ángulo de ataque β10 = γ + β1 .
Si el área de paso del rodete no cambia, la velocidad absoluta mantiene su módulo |~v1 | = |~v10 | y
su dirección se puede modificar cambiando la orientación de los álabes del estátor colocados a la
entrada del rotor. La variación del ángulo α1 cambia la componente normal de la velocidad y, con
ella, el caudal que atraviesa el rotor. La variación de la velocidad relativa asociada al giro del álabe
modifica, obviamente, la potencia transmitida al fluido. A partir de la ecuación de Euler, la nueva
0
0
altura será gH∞
= u02 vu,2
= u2 [1 − v10 /(u tan(β2 + γ)]
w1
v1
′
β1 α1
w1′
β1′
v1′
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
u
α′1
⊗
w2
v2
w2′
β2 α2
u
v1,a = v2,a
′
′
v1,a
= v2,a
γ
u
v2′
β2′ α′2
u
Figura 8.9. Triángulo de velocidades para un álabe con ángulo de ataque β1 (figura izquierda) y para el
8.5
M
mismo ángulo girado un determinado ángulo (figura derecha) de forma que el nuevo ángulo de giro es β10 .
Las líneas discontinuas representa la posición inicial del álabe antes de girarlo un ángulo γ respecto al eje de
giro.
Funcionamiento estable e inestable
Desde el punto de vista de la estabilidad de la instalación, los caudales obtenidos en la figura 8.2
representa puntos de funcionamiento cualitativamente muy distintos. Los caudales QA1 , QB1 , QB2
y QB3 representan soluciones estables en las que cualquier perturbación en el sistema que de lugar
a variaciones en el caudal que circula por la bomba serán amortiguadas después de un transitorio:
un mayor caudal aumenta las pérdidas en la instalación y disminuye la altura suministrada por la
bomba, que comienza a bombear menos caudal para ajustar la altura que esta proporciona con las
pérdidas de la instalación.
Sin embargo, el punto de funcionamiento definido por el caudal QA2 es inestable para la bomba
con curva HB,3 y estable para la bomba con curva HB,2 . Efectivamente, para la bomba HB,3 , un
pequeño aumento del caudal que circula por el rotor aumentaría la altura proporcionada por la
misma, lo que a su vez induce una mayor resistencia, que a su vez requiere mayor altura de la
bomba que tendería a desplazar más caudal. Para la bomba HB,2 , sin embargo, ese mismo aumento
de caudal que genera mayores pérdidas en la instalación viene acompañada de una disminución
de la altura y, consecuentemente, del caudal desplazado.
La condición dHB,2 /dQ = 0 y dHB,3 /dQ = 0 determina el caudal Qu,2 y Qu,3 en los que las bombas
tiene un máximo o un mínimo local. Esa condición determina, además, el caudal por debajo del
8.5. Funcionamiento estable e inestable
91
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
cual el funcionamiento de la bomba es inestable.
La presencia de una región de la bomba con comportamiento inestable dH/dQ > 0 es característico
de bombas con β2 > π/2. El rango de utilización de las mismas debería estar fuera de ese rango
inestable ya que no solo limita el tiempo de vida de la misma, sino que introduce vibraciones en el
sistema que son susceptibles de excitar modos propios de vibración de las tuberías de alimentación
y desagüe.
Para ilustrar las diferencias entre comportamiento estable e inestable, consideremos el bombeo de
agua, a través de una tubería de sección At , a un depósito elevado de sección transversal A y cuya
altura de nivel de agua es Hg medida desde el punto 0 indicado en el esquema de la instalación
representado en la figura 8.10. La bomba que trasiega el agua desde el depósito inferior al superior
tiene una curva característica HB = 9 − 3.48Q + 18.27Q2 − 6.79Q3 . Desde el depósito se extrae un
caudal Q2 para suministrar agua a una población. Si escribimos la ecuación de la energía entre
los puntos 0 − 1 obtenemos la expresión que nos permite determinar el caudal que circula por la
bomba
Q2 /(2A2t g)
HB = Hg 1 +
' Hg ,
(8.22)
Hg
M
donde hemos supuesto que la disipación de la energía cinética a la entrada del depósito superior es
despreciable cuando se compara con la altura total del depósito. Si la altura de agua Hg = 20 m,
obtenemos que el caudal que circula por la instalación puede ser Q0,1 = 1.26 m3 /s, Q0,2 = 2.06 m3 /s
y Q0,1 = −0.62 m3 /s. Si el caudal extraído del depósito superior es Q2 = 2.06 m3 , en la situación
estacionaria el caudal inicial bombeado por la bomba será Q0 = Q0,2 = 2.06.
Hg
1
Q
b
b
2
Q2
HB
b
0
Figura 8.10. Instalación de bombeo simple
A
dHg
= Q − Q2
dt
Consideremos ahora un aumento repentino en
un 20 % del consumo de agua por parte de la
población, que pasa a ser Q2 = 1.2Q0 . En ese
caso, y si suponemos que la bomba se adapta
muy rápidamente a los cambios en el caudal,
la ecuación (8.22) permite todavía obtener el
caudal Q bombeado por la bomba. La diferencia es que ahora la altura Hg cambia con el
tiempo debido a que, al menos momentáneamente, el caudal Q2 que sale del depósito es
distinto al caudal Q trasegado por la bomba.
Si utilizamos la ecuación de continuidad (2.2),
podemos describir la evolución de Hg con el
tiempo, de forma que
(8.23)
que puede integrarse, con la condición inicial Q(0) = Q0 . La ecuación 8.23 puede integrarse
92
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
analíticamente para dar
t
Q − Q2
Q − Q2
= b log
+ 2c Q − Q0 + Q2 log
A
Q0 − Q2
Q0 − Q2
2
Q − Q2
Q − Q20
2
+ Q2 log
,
+ 3d Q2 (Q − Q0 ) +
2
Q0 − Q2
(8.24)
M
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
donde b = −3.48 sm−2 , c = 18.27 s2 m−5 y d = −6.79 s3 m−8 , que nos permite dibujar la evolución
del caudal con el tiempo representado en la figura 8.11. En ella se observa como el caudal, que
parte del caudal inicial Q = Q0 evoluciona hasta alcanzar la nueva situación estacionaria Q = Q2
para tiempos suficientemente largos t = t1 → ∞.
Si modificamos la condición inicial del problema, de forma que el caudal consumido por el pueblo
en t = 0 es Q0 = Q0,1 = 1.26 m3 /s, el problema adquiere un comportamiento claramente diferente,
tal como puede verse n la figura 8.12. Al aumentar el consumo en el depósito superior, la altura de
agua Hg disminuye y, con ella, la altura de la bomba y el caudal movido por la bomba, pasando
el punto 0 al punto 1 del gráfico. Una vez que en el punto 1, una pequeña disminución adicional
de la algutura de agua hace que el caudal correspondiente a la solución de la ecuación Hg = HB
aumente de forma repentina desde Q1 = 0.18 m3 /s hasta Q2 = 2.48 m3 /s. El nuevo caudal de
bombeo es superior al caudal extraído del depósito, lo que genera un aumento en la altura del agua
almacenada en el depósito superior, llegándose al punto 3, donde Q3 = 1.72 m3 /s. En ese punto, de
nuevo, se produce un salto de la solución hasta un nuevo caudal Q4 = −0.69 < 0 determinado por
la intersección entre las curvas de la bomba y de la instalación. En este punto de funcionamiento
aparecen caudales negativos con la bomba girando en sentido normal, lo que implica la aparición
de unas pérdidas enormes al disiparse toda la energía que el rotor transmite al fluido, insuficiente
para detener la caída de agua desde el depósito superior a medida que este se vacía acercándose al
punto 5, donde se produce un nuevo salto de caudal hasta el punto 2 y el ciclo se repite de nuevo.
El flujo reverso en una bomba es generalmente conocido como fenómeno de bombeo o pump surge y
su aparición está asociada a una disminución muy rápida del caudal que llega, en ocasiones como
la descrita en nuestro ejemplo, a ser negativo. El bombeo aparece también como resultado del cierre
rápido de válvulas, en el encendido y apagado de bombas y en el llenado inicial de sistemas de
tuberías. Si el sistema no está protegido, el daño en los equipos hidráulicos y en las tuberías puede
llegar a ser importante.
Como resultado del bombeo, el flujo se detiene o cambia bruscamente de dirección, generando una
onda de presión que se propaga rápidamente a través del fluido. La intensidad de esa onda de
presión se puede calcular como ∆p = ρc∆v, donde ∆v es el cambio de velocidad inducido durante
el bombeo y c es la velocidad de propagación de la onda de presión 6 . Ésta última cambia con el
fluido y con el diámetro y material de la tubería. Para una tubería de acero de 50 cm (c ' 1000
m/s), la variación de caudal entre los puntos 3 y 4 de la figura 8.12 induce una onda de presión de
alrededor de ∆p/ρg = 1200 m de columna de agua.
La forma de evitar este fenómenos es eligiendo bombas con álabes curvados hacia atrás β < π/2
en los que la altura de la bomba siempre desciende con el caudal. Si no es posible seleccionar ese
tipo de bombas, cualquiera de los sistemas de regulación de caudal expuestos previamente puede
ayudar a prevenir la súbita disminución de caudal de impulsión que tiene lugar al saltar del punto
6
Val-Matic Valve and Manufacturing Corp., Surge Control in Pumping Systems (Octubre 2016). Documento obtenido
en: http://www.valmatic.com/pdfs/SurgeControlinPumpingSystems3-17-09.pdf
8.6. Guía para la selección de bombas
Q[m3 /s]
93
Hg [m]
2.5
25
1
0
2
1.5
15
1
10
0.5
5
0
0
0
20
50
100
150
200
1
0
−1
0
1
2
3
4
Q[m3 /s]
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
t/A[s/m2 ]
Figura 8.11. Comportamiento estable para el punto de funcionamiento de la bomba de la instalación
esquematizada en la figura 8.10
Q[m3 /s]
30
2
Hg [m]
2
25
4
3
3
0
1
0
20
15
10
1
0
5
2
51
5
4
10
M
−1
0
20
30
40
50
t/A[s/m2 ]
0
−1
0
1
2
3
4
3
Q[m /s])
Figura 8.12. Comportamiento inestable para el punto de funcionamiento de la bomba de la instalación
esquematizada en la figura 8.10
3 al punto 4 de la figura 8.12.
8.6
Guía para la selección de bombas
El diseño de un sistema de bombeo requiere un conocimiento detallado de todos los sistemas
involucrados, incluidas las bombas. El problema es principalmente económico y requiere, por tanto,
una optimización que minimice los costes de explotación y mantenimiento cumpliendo una serie
de requerimientos técnicos. La fiabilidad es, quizás, la característica fundamental de un sistema
de bombeo, especialmente en aplicaciones sensibles como la extinción de incendios, el bombeo de
combustible en aviones, refrigeración de centrales nucleares etc...
El diseño del sistema de bombeo y la localización de los distintos elementos es de especial relevancia
en la elección del sistema de bombeo. Por ejemplo, la presencia de un depósito de fluido cerca de la
bomba podría influir en la altura neta disponible que determina la aparición de cavitación en las
94
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
M
η=
η = 80
η= 7
0
η = 60
50
Ω3
ηm
Ω1
Ω2
ax
Hr
η=
η = 80
η= 7
0
η = 60
50
HB
η=
HB
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
bombas.
Aunque la mayoría de los usuarios selecciona su sistema de bombeo a partir de las bombas
disponibles en los catálogos comerciales, algunas aplicaciones especiales requieren de un diseño
acorde a las especificaciones. En general, en el desarrollo del nuevo diseño aparecen diferentes
escenarios de trabajo que fuerzan al diseñador a adoptar un compromiso que optimice la operación.
Por ejemplo, si los costes de operación de la bomba son grandes, sería conveniente elegir una
bomba de alta eficiencia que trabaje la mayor parte del tiempo en su punto óptimo. En aplicaciones
aeroespaciales, el coste pasa a ser secundario y se buscan opciones de menor peso y volumen,
mientras que en la producción y transporte de petróleo la fiabilidad de las bombas será el criterio
de diseño que prevalezca ante la posibilidad de grandes pérdidas económicas por detención o
retrasos en la producción de crudo.
Aunque los criterios para la selección de bombas son múltiples y dependen de factores tan diversos
como el tipo de fluido bombeado, su fiabilidad y mantenimiento, costes iniciales y de operación etc...
en estas notas nos centraremos en los criterios de selección de bombas basados en las condiciones
de operación de las mismas. En general, las bombas se eligen para repartir un flujo de fluido
dentro de un rango determinado de caudales. En general, para conocer ese rango es necesario
conocer los detalles del sistema de bombeo: localización de la bomba, diámetros, longitudes y
rugosidades de las tuberías, localización de válvulas y sistemas de medida, temperatura o rango de
temperaturas del fluido, existencia o no de sistema de cebado de bombas, sistema de regulación de
caudal, operación continua o intermitente, futuras expansiones del sistema...
Basado en los requerimientos de un sistema de bombeo y sus posibles expansiones, podemos
definir un rango de alturas y caudales en el plano H-Q que definen la operación de la bomba.
Es conveniente incluir en el cálculo de la curva de la instalación pérdidas adicionales debido al
aumento de la rugosidad de la tubería por la corrosión de las tuberías o por la disminución de la
sección de la tubería por deposiciones en regiones de baja velocidad.
Los límites de operación de la bomba vienen generalmente determinados por la aparición de
cavitación y por la eficiencia de la bomba y por el sistema de control de caudal elegido, como ya
vimos más arriba.
Hr∗
b
Q
Q
Figura 8.13. Rango de funcionamiento (zona sombreada) para una bomba de velocidad variable Ω1 > Ω2 >
Ω3 (figura izquierda) y para una bomba de velocidad de giro constante con caudal regulado por by-pass
(figura derecha) con la curva de la instalación correspondiente para una válvula cerrada Hr y para una
válvula de by-pass parcialmente cerrado Hr∗ .
8.7. Punto de funcionamiento en turbinas hidráulicas
8.7
95
Punto de funcionamiento en turbinas hidráulicas
Generalmente, el eje de la turbina se acopla a un alternador para la generación de electricidad. La
frecuencia de oscilación de la corriente alterna es, en gran parte del mundo, de 50 Hz, aunque en
Estados Unidos y Asia es de 60 Hz. La estandarización de la frecuencia de la corriente eléctrica
facilita el comercio internacional de equipamiento eléctrico. Puesto que la velocidad de rotación de
los alternadores está relacionada con la frecuencia de la corriente eléctrica f y con el número de
polos del alternador p, la velocidad de giro de la turbina Ω = f /p no es un parámetro libre. Para
que la velocidad de giro del alternador no cambie, el par útil generado por la turbina
ρgQH∞
= ρgQ (D2 vu,2 − D1 vu,1 )
Ω
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
T =
(8.25)
M
y el par resistente del alternador Ta deben de ser iguales, de forma que IdΩ/dt = T − Ta = 0, siendo
I e momento de inercia de la turbina.
Cuando el par del alternador crece al aumentar la demanda de la red eléctrica, como el par de la
turbina no cambia al no modificarse el caudal Q, la velocidad de giro de la turbina se vería reducida
si no existiera ningún sistema de regulación. Por el contrario, si el consumo de la red se reduce a
cero, la turbina alcanzaría su velocidad de embalamiento o máxima velocidad de giro.
El problema fundamental de la regulación de las turbinas es, por tanto, mantener constante la
velocidad de giro (o con pequeñas variaciones dentro de unos límites). Para ello, como puede
comprobarse a partir de 8.25, tendremos que modificar de forma dinámica o bien el caudal Q o
bien la altura H para adaptar el par T al par resistente del alternador Ta .
Si no es posible modificar ninguno de esos dos parámetros de la turbina, siempre es posible
modificar el par del alternador modificando el consumo de energía eléctrica de la red. Esta opción
no es la más recomendable desde un punto de vista económico, puesto que implica la disipación
de energía a través de, por ejemplo, una resistencia variable. No se usa de forma general a no ser
que se quiera, por ejemplo, que todo el caudal de una central pase por una determinada turbina.
La forma más habitual de regular el par es mediante la variación del caudal Q. Esos sistemas
de regulación de caudal pretenden, por tanto, igualar el par generado por la turbina con el par
resistente proveniente del alternador para asegurar una velocidad de giro constante. La regulación
puede ser isódroma o no-isódroma en función de si la regulación consigue que la velocidad de
giro se mantenga o no constante. A su vez puede ser estable o no-estable en función de que el
transitorio asociado al cambio de régimen sea corto o largo. La normativa moderna de regulación
no permite que la oscilación máxima de la velocidad de giro supere el 0.2 % de la velocidad media.
Mayores incrementos podría general un mal funcionamiento de algunas industrias. La diversidad
de métodos para el control del caudal y, por tanto, de la velocidad es grande. Generalmente
son métodos automáticos que ajustan el caudal en función de un parámetro de control que suele
ser la velocidad de giro. Un recuento detallado de agunos sistemas mecánicos, hidráulicos y
electromećanicos para el control del caudal en turbinas se puede encontrar en el capítulo XIX del
libro clásico de Claudio Mataix "Máquinas hidráulicas", y a él remitimos al lector interesado en el
detalle de los mismos.
8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas
á
H
q
id
ui
rá
na
ul
s
ic
as
96
Ω
Ω1
Ω0
M
Ω2
t
Figura 8.14. Regulación de la velocidad de giro nominal Ω0 de la turbina. La línea a trazos muestra un
regulación estable e isódroma, donde la diferencia entre la velocidad tras la regulación y la velocidad nominal
Ω1 − Ω0 es pequeña. La línea continuna es una regulación estable, no isódroma, con una velocidad de giro
tras la regulación Ω2 significativamente distinta de la nominal.