Métodos Numéricos Compilado por: Iván Araya Tema: Integración numérica Definición La estrategia consiste en reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio fácil de integrar. Donde fn(x) es un polinomio de la forma: 2 Clasificación de métodos de integración Métodos Segmentación -Trapecio -Simpson Fórmulas -Cuadratura de Gauss Mixto -Romberg 3 Regla del trapecio Corresponde al caso donde el polinomio es de primer grado. Esto es fn(x) = a0 + a1x. La representación gráfica de este método es la siguiente: Error 4 Regla del trapecio Esta regla es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une f(a) y f(b). La ecuación lineal se puede escribir como: Luego integrando f(x) entre los límites a y b: 5 Regla del trapecio Haciendo h= b – a, se tiene que I = ½h[f(a) + f(b)]. El error usando la regla del trapecio se obtiene como: ℎ3 ҧ 𝐸𝑡 = − 𝑓′′(𝑥) 12 donde 𝑏 ′′ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 ҧ′′ = 𝑎 𝑏−𝑎 6 Regla del trapecio de aplicación múltiple La precisión de la regla del trapecio se puede mejorar al dividir el intervalo [a, b] en varios segmentos. Gráficamente: Un segmento Varios segmentos 7 Regla del trapecio de aplicación múltiple Si se tiene [x0, x1, x2, … , xn] puntos de igual ancho, con a = x0 y b = xn, entonces: 8 Regla del trapecio de aplicación múltiple El error para esta modificación es: (𝑏 − 𝑎)3 ҧ 𝐸𝑡 = − 𝑓′′(𝑥) 12𝑛2 9 Reglas de Simpson Consiste en usar polinomios de grado mayor a uno usando puntos igualmente espaciados. - Regla de Simpson 1/3: utiliza un polinomio de segundo grado con tres puntos. Gráficamente: 10 Reglas de Simpson En este caso el polinomio de integración utilizado tiene la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2. Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente fórmula: El error asociado con esta regla es: ℎ5 4 𝐸𝑡 = − 𝑓 ҧ (𝑥) 90 11 Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple La precisión de esta regla se puede mejorar al dividir el intervalo en varios segmentos del mismo tamaño. La expresión en este caso es: ℎ 𝐼 = 𝑓 𝑥0 + 4 3 𝑛−1 𝑖=1,3,5 … 𝑛−2 𝑓 𝑥𝑖 + 2 𝑓 𝑥𝑗 + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑗=2,4,6 … El error es: 𝑏−𝑎 5 𝐸𝑡 = − 𝑓ҧ 4 180𝑛 4 𝑥 Se debe utilizar un número par de segmentos para implementar el método. 12 Reglas de Simpson - Regla de Simpson 3/8: utiliza un polinomio cúbico grado con cuatro puntos. Gráficamente: 13 Reglas de Simpson Para esta regla la expresión que aproxima la integral está dada por: donde h = (b – a)/3 El error está dado por: 3 5 𝐸𝑡 = − ℎ 𝑓 ҧ 80 4 (𝑥) 14 Cuadratura de Gauss En el caso de métodos por segmentación se integra empleando límites fijos como lo muestra la siguiente figura: 15 Cuadratura de Gauss En el caso de métodos por fórmula, los límites de integración no son fijos y por tanto se convierten en variables. 16 Cuadratura de Gauss Para la aproximación, el método de cuadratura de Gauss emplea un polinomio de la forma: 𝐼 ≈ 𝑐0 𝑓 𝑥0 + 𝑐1 𝑓 𝑥1 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑓 𝑥𝑛−1 Aquí, las c’s y las x’s son variables y la exactitud de la respuesta depende de la cantidad de términos empleados para realizar la aproximación. 17 Cuadratura de Gauss El planteamiento de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros se basa en la siguiente figura: 18 Cuadratura de Gauss Procedimiento - Emplee un número de términos del polinomio de aproximación. Ejm: c0(x0) + c1(x1) - Plantee una ecuación para cada variable. Ejm: 19 Cuadratura de Gauss - Resuelva el sistema para hallar las c’s y las x’s. Ejm: para el caso de cuatro variables, las soluciones son: La fórmula de aproximación queda como: 𝐼≈𝑓 −1 3 +𝑓 1 3 La cual es exacta hasta un polinomio cúbico. 20 Cuadratura de Gauss La siguiente tabla presenta fórmulas hasta tres términos de la función polinomial. 21 Cuadratura de Gauss En forma gráfica: 22 Cuadratura de Gauss En caso que los límites de integración no sean -1 y 1, se debe aplicar las siguientes transformaciones: Luego: donde “a” es el límite inferior, “b” el límite superior y “xd” la nueva variable de integración. La integral se transforma en: 𝑏 1 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑥𝑑 𝑏 − 𝑎 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 ∙ 𝑑𝑥𝑑 2 2 𝑎 −1 23 Método de Romberg Este método es mixto y combina fórmulas con la regla del trapecio. De esta forma se alcanzan mejores resultados con menos trabajo. Una fórmula utilizada en este método está dada por I = (4Ii+1 – Ii)/3. Los valores de Ii+1 y Ii se obtienen usando la regla del trapecio y “i” es el número de segmentos. Una fórmula más precisa que también se utiliza es I = (Ii – 20Ii+1 + 64Ii+2)/45. 24 La integral impropia Hay tres tipos de integrales. A saber: 1. Uno o ambos límites es infinito. 2. La integral tiene límites finitos, pero la función se indefine en uno de ellos. 3. La integral tiene límites finitos, pero la función se indefine en un valor del rango de integración. 25 La integral impropia numérica Estas integrales se resuelven con un cambio de variable. Se utiliza la siguiente: para ab > 0. Esto quiere decir que se emplea directamente cuando a es positiva y b → + ó a → - y b es negativo. Para los otros casos se usa: 26 La integral impropia numérica donde –A puede ser cualquier valor, pero normalmente se elige un valor que haga que la función se aproxime a cero. La primer integral se resuelve aplicando la transformación anterior y la regla extendida del punto medio, que está dada por: 27 La integral impropia numérica Se aplica la regla extendida del punto medio, pero la integral transformada sigue siendo impropia en uno de los límites. La segunda integral se resuelve con alguno de los métodos anteriores. 28