Cadenas de Markov: Informe Técnico para Ingeniería Industrial

Instituto Tecnológico de La Piedad
División de Estudios Profesionales
NOMBRE DE LA(S) CARRERA(S)
INGENIERIA INDUSTRIAL.
NOMBRE DE LA MATERIA.
INVESTIGACION DE LAS OPERACIONES ll
TÍTULO DEL INFORME TÉCNICO (PROYECTO):
CADENAS DE MARKOV
PRESENTADO POR:
CANCHOLA CUELLAR CARLOS ALBERTO
ENTREGADO A:
PROFESOR GUILLERMOS VALADEZ
UNIDAD IV
LA PIEDAD, MICHOACÁN
04 DE DICIEMBRE DEL 2022
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INDICE.
1.-INTRODUCCION………………………………………………………………1-2
1.1 INTRODUCCION A LAS CADENAS DE MARKOV…………………….2-3
2.-PROBABILIDAD DE TRANCICIONES EN N PASOS……………………….4-7
3.-ESTADO ESTABLE…………………………………………………...……….8-14
4.-(CADENAS ABSORBENTES Y CADENAS CICLICAS)………………..….15-20
5.-USO DE SOFTWARE………………………………………………………....21-26
6.-CONCLUSIONES……………………………………………………………...…22
7.BIBLIOGRAFIA……………………………………………………...…………...23
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INTRODUCCION.
Una cadena de Márkov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento
depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria,
"Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta
dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos
independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se
han utilizado para analizar los patrones de comprar,los deudores morosos, para planear las necesidades
de personal y para analizar el reemplazo de equipo. El análisis de Markov, llamado así en honor de
un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un
sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante, es que
permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con
esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo. La tarea más
difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más importante que hay que buscar en
la memoria de un evento a otro.
En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo
especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento
depende solamente del evento inmediatamente anterior. Esta característica de incluir una memoria
reciente recibe el nombre de propiedad de Markov en contraste con los eventos independientes que
no tienen memoria de ningún evento anterior. En un primer artículo de 1906 A. A. Markov definió la
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"cadena simple" como "una secuencia infinita x1, x2, ..., xk, xk+1, ..., de variables conectadas de tal
modo que xk+1 para cualquier k es independiente de x1, x2, ..., xk−1, en el caso de que xk sea
conocida”. Markov llamó a la cadena "homogénea" si la distribución condicional de xk+1 dado xk
fuese independiente de k. También consideró cadenas "complicadas (complex en inglés)" en las que
"cada número está conectado directamente no sólo con uno, sino con varios números anteriores".
4.1 INTRODUCCION A LAS CADENAS DE MARKOV.
Sea T ⊂ R y (Ω, F, P) un espacio de probabilidad. Un proceso aleatorio es una función X : T × Ω
→ R tal que para cada t ∈ T, X(t, ·) es una variable aleatoria. Si fijamos ω ∈ Ω obtenemos una función
X(·, ω) : T → R que se conoce como una trayectoria del proceso. En general interpretamos el
parámetro t como el tiempo, aunque también se pueden considerar procesos con índices en espacios
más generales. En este curso T sería un subconjunto de R. Los casos más comunes serian T discreto
(Procesos a tiempo discreto): T = N, T = {0, 1, 2, . . . }, T = Z. T continuo (Procesos a tiempo continuo):
T = [0, 1], T = [0, ∞), T = R. En cuanto a los valores del proceso llamaremos E al espacio de estados
y consideraremos también dos casos: Valores discretos, por ejemplo E = {0, 1, 2, . . . }, E = N o E =
Z Valores continuos, por ejemplo E = [0, ∞), E = R, etc.
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DEFINICIONES.
Hablando informalmente, un proceso de Markov es un proceso aleatorio con la propiedad de que
dado el valor actual del proceso Xt, los valores futuros Xs para s > t son independientes de los valores
pasados Xu para u < t. Es decir, que si tenemos la información del estado presente del proceso, saber
como llego al estado actual no afecta las probabilidades de pasar a otro estado en el futuro. En el caso
discreto la definición precisa es la siguiente.
Una Cadena de Markov a tiempo discreto es una sucesión de variables aleatorias Xn, n ≥ 1 que
toman valores en un conjunto finito o numerable E, conocido como espacio de estados, y que satisface
la siguiente propiedad P(Xn+1 = j|X0 = i0, . . . , Xn−1 = in−1, Xn = in) = P(Xn+1 = j|Xn = in) (4.1)
para todo n y cualesquiera estados i0, i1, . . . , in, j en E. La propiedad (4.1) se conoce como la
propiedad de Markov.
Resulta cómodo designar los estados de la cadena usando los enteros no-negativos {0, 1, 2, . . .
} y diremos que Xn esta en el estado i si Xn = i. La probabilidad de que Xn+1 este en el estado j dado
que Xn esta en el estado i es la probabilidad de transición en un paso de i a j y la denotaremos P nn+1
ij : P nn+1 ij = P(Xn+1 = j|Xn = i). (4.2) En general, las probabilidades de transición dependen no
solo de los estados sino también del instante en el cual se efectúa la transición. Cuando estas
probabilidades son independientes del tiempo (o sea, de n) decimos que la cadena tiene probabilidades
de transición estacionarias u homogéneas en el tiempo. En este caso P nn+1 ij = Pij no depende de n
y Pij es la probabilidad de que la cadena pase del estado i al estado j en un paso.
4.2 PROBABILIDAD DE TRANCISIONES ESTACIONARIAS DE N PASOS.
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Se define p (n) ij como la probabilidad de que la cadena esté en el estado Ej después de n pasos,
dado que la cadena empezó en el estado Ei. Se tiene que
p (n) ij = P (Xn = j | X0 = i)
por la propiedad markoviana se tiene que
p (n) ij = Xm k=1 P (Xn = j, Xn−1 = k | X0 = i
para n ≥ 2, ya que la cadena debe haber pasado por uno de los m posibles estados en la etapa n − 1.
NOTA: Se tiene la siguiente igualdad, para tres posibles sucesos A, B y C : P (A ∩ B | C) = P (A | B
∩ C) · P (B | C)
Si se sustituye:
A → (Xn = j)
B → (Xn−1 = k)
C → (X0 = i)
Entonces:
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∑ = P (Xn = j, Xn−1 = k | X0 = i) =
∑ = P (Xn = j | Xn−1 = k, X0 = i) P (Xn−1 = k | X0 = i) =
∑ = P (Xn = j | Xn−1 = k) P (Xn−1 = k | X0 = i) =
Ejemplo:
En una cierta región el tiempo atmosférico sigue la siguiente secuencia: Un día se denomina soleado
(S) si el sol luce más de la mitad del día, y se denomina nublado (N), si lo hace menos. Por experiencia,
se sabe que si hay un día nublado, es igual de probable que el día siguiente sea también nublado. Si el
día es soleado hay una probabilidad de 2/3 de que sea también soleado.
1. Construye la matriz de transición T de este proceso.
2. Si hoy está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que dentro de tres días esté también nublado?
¿y de que esté soleado?
3. Calcula T5 y T10. ¿Cuál es el comportamiento de T n cuando n → ∞? ¿Cómo se comporta
p(n) cuando n → ∞? ¿Depende el límite de p(0)?
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(1) Asumimos que el proceso es markoviamo y que el tiempo sólo depende del día anterior. Se
tiene una cadena de Markov con dos estados: E1 ≡ Día nublado N, E2 ≡ Día soleado S. La
matriz de transición es:
Es decir.
(2) Empezando los pasos a partir del día actual, se tiene que.
De este modo, si hoy está nublado, dentro de tres días, se tiene que.
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Así, la probabilidad de que haya un día nublado en el tercer día es p (3) 1 = 29/72 y que sea
soleado es p (3) 2 = 43/72 .
(3)
Cálculos así se facilitan bastante usando programas tipo MatLab, de modo que.
De este modo.
ya que p (0) 1 + p (0) 2 = 1.
Se observa que cuando n → ∞ p(n) no depende de dónde se parte: p(0).
4.3 ESTADO ESTABLE.
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Se puede decir que el estado estable, es la distribución de las probabilidades que en cierto punto
quedara fija para el ventor P y no presentara cambios en los periodos posteriores.
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4.4
CASOS
ESPECIALES
(CADENAS
ABSORBENTES,
CADENAS
CICLICAS)
CADENAS ABSORBENTES.
Para quedar clasificado como cadena absorbente, un sistema debe
c u m p l i r dos requisitos: debe tener un estado absorbente y debe poder alcanzar ese estado.
•Un estado absorbente es aquel del que no se puede salir
•Esto puede observarse fácilmente en la matriz de transición, porque un
estado absorbente tiene una probabilidad de transición hacia sí mismo de uno y de cero hacia
todos los demás estados, es decir, pjj= 1.
DEFINICION.
Un estado i de una cadena de Markov se dice absorbente si es imposible abandonarlo (e.d. pii =
1). Es, por tanto, un tipo particular de estado recurrente. Una cadena de Markov se dice absorbente si
posee al menos un estado absorbente y desde cada estado es posible llegar al estado absorbente (no
necesariamente en un paso).
Comentario. Se puede ver que en una cadena absorbente, todos los estados que no son
absorbentes son transitorios.
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Ejemplo. Supongamos el caso de la ruina del jugador. Este juega a un juego que tiene ´
probabilidad 1/2 de ganar un dólar y probabilidad 1/2 de perderlo. Parar a cuando se quede sin dinero
o cuando alcance 4 dólares. La matriz de transición es:
Desde cualquiera de los estados 1, 2 y 3 es posible alcanzar en un numero finito de pasos los
estados absorbentes 0 y 4. Por tanto, la cadena es absorbente. Los estados 1, 2 y 3 son transitorios.
La pregunta mas obvia que se puede hacer en este tipo de cadenas es: ¿cual es la probabilidad de
que el proceso alcance alguna vez un estado absorbente? Otras preguntas interesantes son: a) Dado un
estado absorbente, ¿cual es la probabilidad de que el proceso finalice precisamente en dicho estado?
b) ¿En promedio, cuanto le costara al proceso ser absorbido? c) En promedio, ¿cuantas veces pasara
el proceso por cada estado transitorio?
Las respuestas a estas preguntas dependerán en general no solo de las probabilidades de
transición, sino también del estado en el que se encuentre el proceso al empezar. En realidad, ya
podemos contestar a la primera de las preguntas. Teorema 1. En una cadena de Markov absorbente,
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la probabilidad de estar en un estado transitorio después de n pasos tiende a cero cuando n → ∞. De
aquí se sigue que en una cadena de Markov absorbente con un numero finito de estados, la
probabilidad de que el proceso sea absorbido es 1.
Forma canónica y matriz fundamental. Número medio de pasos por un estado.
Consideremos cualquier cadena de Markov arbitraria. Reenumeramos los estados para poner los
transitorios primero. Si hay r estados absorbentes y t transitorios la matriz de probabilidades de
transición tendrá la siguiente forma canónica:
Aquí I es la matriz identidad de orden r, 0 es una matriz nula r × t, R es una matriz t × r y Q es
una matriz t × t. Multiplicando por bloques tenemos que P n es de la forma.
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Donde R esta en función de R y Q (es irrelevante lo que sea). Cada entrada de Q corresponde a
la probabilidad de estar en un estado transitorio después de n pasos, y por tanto, por el teorema
anterior, tiende a cero. Es decir, Q −−−→ n→∞ 0.
Teorema 2. Para una cadena de Markov absorbente, la matriz I−Q tiene una inversa: N, que se
le llama matriz fundamental. La entrada ij de la matriz N: nij es el número de veces esperado que la
cadena pasa por el estado j, dado que empiece en el estado i. Si i = j, el estado inicial se cuenta.
Ejemplo. Continuamos con el ejemplo anterior. La matriz de transición en forma canónica es:
De esta matriz podemos deducir, por ejemplo, que si empezamos en el estado 2, el número
esperado de pasos en los estados 1 2 y 3 antes de ser absorbido son 1, 2 y 1.
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Notar que la matriz Q también puede ser obtenida sin pasar por la matriz en forma canónica.
Simplemente hay que eliminar de la matriz de transiciones las filas y columnas correspondientes a
estados absorbentes.
De esta matriz podemos deducir, por ejemplo, que si empezamos en el estado 2, el número
esperado de pasos en los estados 1 2 y 3 antes de ser absorbido son 1, 2 y 1.
Tiempo de absorción.
Ahora contestemos a la siguiente pregunta referida al ejemplo anterior. Si empezamos en el
estado 2, ¿Cual es en media el tiempo en ser absorbido? Parece lógico que sea 1 + 2 + 1 = 4.
Teorema 3. Dada una cadena que empieza en el estado si , denotamos por ti el tiempo promedio
del numero de pasos antes de que la cadena sea absorbida (i.e., el tiempo medio de absorción de todas
las posibles realizaciones de una cadena que empieza en si). ti se obtiene sumando todos los elementos
de la fila i-´esima de la matriz fundamental del proceso.
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Probabilidades de absorción.
Teorema 4. Llamamos bij a la probabilidad de que dada una cadena absorbente que empieza en
el estado transitorio si , una realización de dicha cadena sea absorbida por el estado absorbente sj . sea
B la matriz con entradas bij . Entonces B es una matriz t × r y B = NR, donde N es la matriz
fundamental y R es el bloque que nombramos en la forma canónica. Ejemplo. Continuando el ejemplo
anterior de la ruina del jugador
Esto quiere decir que si empezamos desde el estado 1, hay probabilidad 3/4 de quedar absorbidos
por 0 y 1/4 de terminar absorbidos por 1.
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4.5 USO DE SOFTWARE.
¿Qué es Matlab y para que nos sirve?
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, «laboratorio de matrices») es un sistema
de cómputo numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de
programación propio
(lenguaje
M).
Está
disponible
para
las plataformas Unix, Windows, macOS y GNU/Linux.
Entre sus prestaciones básicas se hallan la manipulación de matrices, la representación de datos
y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la
comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete
MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a
saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de
herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets).
Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y desarrollo. En los
últimos
años
ha
aumentado
el
número
de
prestaciones,
como
la
de
directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.
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programar
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LENGUAJE
Las aplicaciones de MATLAB se desarrollan en un lenguaje de programación propio. Este
lenguaje es interpretado, y puede ejecutarse tanto en el entorno interactivo, como a través de un
archivo
de
script
(archivos
*.m).
Este
lenguaje
permite
operaciones
de vectores
y
matrices, funciones, cálculo lambda, y programación orientada a objetos.
LIMITACIONES Y ALTERNATIVAS
Durante mucho tiempo hubo críticas porque MATLAB es un producto propietario de The
Mathworks, y los usuarios están sujetos y bloqueados al vendedor. Recientemente se ha proporcionado
una herramienta adicional llamada MATLAB Builder bajo la sección de herramientas «Application
Deployment» para utilizar funciones MATLAB como archivos de biblioteca que pueden ser usados
con ambientes de construcción de aplicación .NET o Java. Pero la desventaja es que el computador
donde la aplicación tiene que ser utilizada necesita MCR(MATLAB Component Runtime) para que
los archivos MATLAB funcionen correctamente. MCR se puede distribuir libremente con los archivos
de biblioteca generados por el compilador MATLAB.
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INTERFAZ Y OTROS LENGUAJES DE PROGRAMACION.
MATLAB puede llamar funciones y subrutinas escritas en C o Fortran. Se crea una función
envoltorio que permite que sean pasados y devueltos tipos de datos de MATLAB. Los archivos objeto
dinámicamente cargables creados compilando esas funciones se denominan MEX-files, aunque la
extensión de nombre de archivo depende del sistema operativo y del procesador.
Ejemplo:
Suponga que una aeronave tiene 2 opciones (estados) para aterrizar con la ayuda de los sistemas
de la radionavegación aérea en el Aeropuerto Internacional de Barquisimeto, la primera de las
opciones es el procedimiento ILS y la segunda es el procedimiento DVOR. El modelo de Markov
utiliza:

robabilidad de que utilice el procedimiento ILS es 0.95 y la probabilidad de cola es
0.05.

0.10.


Dado a que la aeronave puede aterrizar por la 090 o por la 027 de la pista de aterrizaje, la
probabilidad es 0.5.
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

emisión del modelo?


icular, en cualquier
punto de la secuencia?
Estado Inicial: (0.5, 0.5)
Matriz de transición.
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Aplicando el Código en MatLab.
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Comportamiento de la cadena de Markov en función del tiempo.
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CONCLUSIONES.
Para terminar con el tema de la unidad IV donde vemos las cadenas de markov, el como se utilizan
y ante que situaciones podemos utilizar este tipo de método de ayuda probabilístico, en el cual nos
damos cuenta para que sirven ya que se usan para predecir la evolución y el comportamiento a corto
y a largo plazo de determinados sistemas. Además, se han aplicado principalmente en el desarrollo de
modelos probabilísticos para estimar el deterioro de pavimentos y de otros activos viales. Estas
aplicaciones han sido recurrentes en los Estados Unidos de América y en otros países desarrollados,
sin embargo, en México no parece haber experiencia alguna al respecto. Lo anterior resulta en cierto
modo paradójico ya que, por una parte, nuestro país adolece la falta de modelos de deterioro adaptados
a las condiciones de nuestras carreteras y, por otra, la aplicación de las cadenas de markov es
relativamente sencilla, si bien es cierto que su uso generalizado requiere de un volumen importante
de información histórica que, en muchos casos, no se encuentra disponible. Con ello nos damos cuenta
lo importante que han sido las cadenas de markov y para que pueden ser utilizadas y ante que
situaciones, además de también un uso que facilita el uso de esto de una manera mas sencilla que es
mediante uso de softwares para que no sea tan complicado llegar a una solución probabilística.
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Instituto Tecnológico de La Piedad
División de Estudios Profesionales
BIBLIOGRAFIA.
https://1library.co/document/download/ydm8d21y?page=1
https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB
https://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/10489/palazon.pdf;sequence=1
https://www.unirioja.es
https://jorshua.files.wordpress.com/2012/06/cadenas-de-markov.pdf
https://prezi.com/p/edyca4oe5feq/cadenas-absorbentes-cadenas-ciclicas/
http://investigacindeoperaciones2.blogspot.com/2011/06/cadena-de-markov-el-estadoestable.html
https://www.kerwa.ucr.ac.cr/bitstream/handle/10669/83895/19%20Markov%20de%20tiempo
%20continuo%20y%20el%20vector%20de%20estado%20estable.pdf?sequence=20&isAllowe
d=y
https://www.ingenieria.unam.mx/javica1/ingsistemas2/Simulacion/Cadenas_de_Markov.htm
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