Ejercicios de Limite y Continuidad de Funciones (1)

INACAP SANTIAGO SUR
ÁREA DE MATEMÁTICA
CONTENIDO: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.
EJERCICIOS PROPUESTOS
A. Calcule el límite de las funciones reales aplicando operatoria algebraica
convencional y luego verifique los resultados;
x2 1
10) lim
=0
x  1 x  1
x2  9
11) lim
=4
x 1 x  3
 1 
1) lim  2   1
x 1 x
 
2
2) lim 4x  5x  6
x 2




x 3
= 0
x 2 2
3) lim x  4x  10  7
12) lim
n 2  3n  5
5
4) lim 2
=
n  0 n  3n  6
6
y 2  5y  6
13) lim
=5
y2
y2
x 1
2
x2  a2
5) lim 2
= 0,
x  a x  2ax  a 2
x2  2 3
6) lim
=
x 2 x  2
2
x 3
a0
25 x 3  2
7) lim
= -1
x  0 75 x 7  2
x 2  6x  5
8) lim 2
= -7
x 2 x  2x  3
9)
 x 2  9 x  3  15
lim 
 2
 = 4
x 1
x

3
x

9


14) lim
h 1
1  h 2  1
h
x
3 3
15) lim
=0
x 1
2x
16) lim
y 1
=3
y2  5 y  6
= 15
y2
x2 a2
17) lim 2
= -1, a  0
x 0 x  2ax  a 2
INACAP SANTIAGO SUR
B. Limites cuando
x   Aplicar
criterios de mayor potencia y
racionalización según convenga luego verifique los resultados:
2 x 4  3x 2  1 1
1) lim
=
x   6 x 4  x 3  3x
3
2) lim
x 
x 2  2x  3
1
=
2
2 x  5x  3 2
2x 5  4x 2
3) lim
=0
x   3x 7  x 3  10
3n 2  5n
3
4) lim
=
2
n   5n  2n  6
5
x 2  5x  1 1

x   3x 2  7
3
5) lim
x 3  6 x 2  10 x  2 1
6) lim
=
x 
2
2x 3  x 2  5
1
 t 1 


, para  t  , h  0  = 0

2
t 
h
 t  1


7) lim 
 n n  2
n3 
 2  =1
n  1
 n 1
8) lim 
n 
x 2  3x  1
9) lim
16 x 2  x  2
x 
=
1
4
x7  x2  1
1
10) lim
=
7
3
x   2 x  x  300
2
11) lim
x 
x 3  16 x
=0
5x 4  x 3  5x
12) lim
x 
13) lim
x 

3x 2  x
= 3
x

x 2  2x  3  x 2  2x  3 = 2

14) lim
x 
15) lim

2x 2  2x 2  6x =
2x 2  3x  4
x 
x4  1
1
2
x2  x  x =
17) lim
4x 2  2x  1 2

3x
3
x 
18) lim
x 
C. Limites
4x 2  x
9x 2  3x
3
2
2
2
16) lim
x 
INACAP SANTIAGO SUR

2
3
que se indeterminan.
Aplican productos notables o división
algebraica o racionalización y luego verifica los resultados
x 2  11x  30
=
x 2  2 x  35
 1
 
 12 
1)
lim
x5
2)
lim
x3  1
=
x  1 x 1
3)
lim
5 x 2  13 x  6
=
x  2 4x2  9x  2
4)
lim
x5
5)
lim
( x  1) 2
= 0
x  1 x2  2x  3
6)
lim
x2  1
=
x  1 x 2  3x  2
 2
7)
lim
x2  5x  4
=
x  1 x 2  3x  4
 3
 
 5
8)
lim
x0
 3
1
x 2  5 x  50
=
x 2  25
 3
 
 2

x2  x
 1
=  
2
x  3x
 3
INACAP SANTIAGO SUR
1
6x2  2x
 
=
9x2  1
 3
lim
9)
1
x
3
lim
10)
6 x2  5x  1
=
1
2
x 
4
1
x
2
1 
11)
lim
x 3  3x  2
x  1 x 4  4x  3
12)
lim
x 3  x 2  17 x  15 = 2 
x3
x 2  2 x  15
13)
1 1
 1
 

x  0  x  4 4 x
=
lim
1
3

x  1 1  x 1  x3
15)
lim
2  x 1 =
x3
x3
lim
x0
18)
20)
21)
=
2
x2  2x  6  x2  2x  6  1 
= 
x2  4x  3
 3
lim
x3
xh  x
h
h0
lim
3
x 1
4
lim
x 8
1 
=
x2  3  2
lim
19)
 1
 
 4
x 1
x 1
 1
=
1 x  1 x
x
lim
17)
 1
 
 16 
=
lim
14)
16)
1
 
 2
3
=
x 1
4 
= 

x 1
3 
x 8
x 2
=
 12
 1 


2 x 
INACAP SANTIAGO SUR
D. Calcula los límites
de funciones trigonométricas aplicando identidades
básicas.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
cos x  tgx  1
lim
x

2
lim
 sen  x    

   1
 sen x 
lim
 3x  3

 


sen
5
x

 5
x 0
x 0
lim
x 0
 sen  8 x   4

 


sen
6
x

 3

 1
x2
 
lim 
2
x 0
 sen 3 x   9
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
 sen  2 x   2


 3x  3


2

 1
x  x3


 sen 8 x   sen5 x  40
 1  cos 4 x  

0
x




sen x 
lim 
 
x 2
  x  2  cos  x  

 x 
1  sen  2  
   0
10) lim 
x  
 x 




11) lim
x 0
1  cos 2 x 
1
x  tg x 
tg x  

x 2
2x  4
2
 
 x
1  cos   sen  
4
4   1
13) lim
x 0
x
4
1  cos x 
1

14) lim
2
x 0
2
x
12) lim
INACAP SANTIAGO SUR
E. Calcula el límite de las funciones trascendentales.
x
1)
5
lim 1    e 5
x 
x
2)
 3
3
lim 1 
 e
x 
x 
1
lim 1  
x  
x
4x
3)
x 8
lim 

x  x 
2x
4)
5)
 x  21 
 21
lim
 e
x 
 x 
6)
 4x  a 
lim
  e2
x  4 x  a


7)
x  3
lim 

x  x  1 
8)
2x  3 
lim 

x  2 x  1 
9)
x  3
lim 

x  x  1 
10)
lim 1  5x 1/ x  e 5
11)
lim 1  3x 2 / x  e 6
12)
lim 1  4x 3 / x  e12
13)
lim 1  10 x 5 / x  e 50
14)
 e y x  e y
lim 
x 0
x

15)
lim
16)
e ax  e bx
lim
ab
x 0
x
x
 e4
 e16
x
x
2x
a
 e 4
x 1
e
x 3
 e4
x 0
x 0
x 0
x 0



1/ x
 ey
a x  bx
a
 ln
x 0
x
b
INACAP SANTIAGO SUR
F. Asíntotas
Determina las asíntotas: Vertical, Horizontal y/o Oblicuas, dependiendo del caso, de
cada f(x) que se da a continuación.
1)
f x  
x 1
2x  9
2)
f x  
4x  1
x  5 x  14
3)
f x  
x 2  9x  1
x  10
4)
f x  
2x3  1
x 2  6x  9
2
Respuestas:
Asíntota Vertical
Asíntota Horizontal
Asíntota Oblicua
No tiene
1)
x
2)
x  7  x  2
y0
No tiene
3)
x  10
No tiene
y  x9
4)
x  3
No tiene
y  2 x  12
9
2
y
1
2
INACAP SANTIAGO SUR
G. Continuidad de Funciones.
1.-
Demuestre si son o no continúas las siguientes funciones, en el caso de no serlo repárela,
si es posible.
a) f ( x) 
x4  1
x2  1
en
x  1
 x2
  2 0  x  2
b) f ( x)   2
 2 8
x2

x2

sec x  tg x

c) f ( x)     2 x


 sen( x  )
2

x
x
 sen x (1  cos x)

x 3 cos x
d) f ( x)  
 2( x  sen 2 x )

 x  sen 3x
2.-

2

en x 
2

2
x0
en x  2
x0
Hallar el valor de “k” de modo que ,rescriba la función
 x cos x x  0
x0
 k
a) f ( x)  
sea continua en x  0
k 2 x  2k
x 1
 3
x 1
b) f ( x )  
3.-
en x  2
sea continua en x  1
( k  0)
(k  3  k  1)
Hallar los valores de “a” y “b”, de modo que la función sea continua en IR
x  4
 ax  5
 2
a) f ( x )   ax  b  4  x  1
 2bx  16
x 1

x 1

b) f ( x)  
 x  ax  b
2
(a  1 ; b  15)
1 x  3
x 1 
x3
(a  3 ; b  4)