Respuestas TP N° 1 Parte II (de ejercicio 4 a 10 inclusive)

4.
Respuestas Trabajo Práctico 1 Parte II
Ejercicio 4 a 10
a. −2 ≤ 3x + 1 ≤ 7
−2 ≤ 3x + 1
−2 − 1 ≤ 3x
−3 ≤ 3x
3
3
− ≤x
−1 ≤ x
S = [−1; 2]
b. −3 ≤ 2x + 6 < 4
−3 ≤ 2x + 6
−3 − 6 ≤ 2x
−9 ≤ 2x
9
2
9
−
2
− ≤x
≤x
9
2
S = �− ; −1�
c. 5 < 2x + 7 ≤ 13
5 < 2x + 7
5 − 7 < 2x
−2 < 2x
2
2
− <x
−1 < x
S = (−1; 3]
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
d. 4 − 2x < x − 2 ≤ 2x − 2
4 − 2x < x − 2
4 + 2 < x + 2x
6 < 3x
6
<x
3
2<x
∧
∧
∧
∧
∧
3x + 1 ≤ 7
3x ≤ 7 − 1
3x ≤ 6
x≤
6
3
x≤2
R. gráfica:
2x + 6 < 4
2x < 4 − 6
2x < −2
x<−
2
2
x < −1
R. gráfica:
2x + 7 ≤ 13
2x ≤ 13 − 7
2x ≤ 6
x≤
6
2
x≤3
R. gráfica::
x − 2 < 2x − 2
−2 + 2 < 2x − x
0<x
0<x
0<x
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1
Respuestas Trabajo Práctico 1 Parte II
Ejercicio 4 a 10
S = (2; ∞)
R. gráfica:
e. 2x + 1 < 3 − x < 2x + 5
2x + 1 < 3 − x
2x + x < 3 − 1
3x < 2
x<
2
3
2 2
3 3
S = �− ; �
f.
∧
3 − x < 2x + 5
3 − 5 < 2x + x
−2 < 3x
2
3
− <x
R. gráfica:
3x − 5 < 1 + x < 2x − 3
3x − 5 < 1 + x
3x − x < 1 + 5
2x < 6
x<
6
2
x<3
S=∅
g. 1 ≤
4.1
1−3x
4
≤4
1−3x
4
4.(1−3x)
≤
4
1≤
3
−3
x
3
x
−
3
1
−
2
1− ≤
1
1
≤
≤
4<x
1−3x
≤4
4
(1−3x).4
∧
≤ 4 − 2x
1−3x
2
1
3
− x
2
2
3
x
− x+
2
3
4
≤ 4.4
x≥
15
−3
1 − 3x ≤ 16
−3x ≤ 16 − 1
−3x ≤ 15
∧
S = [−5; −1]
1−3x
2
∧
4<x
∧
∧
∧
−1 ≥ x
x
3
∧
1 + x < 2x − 3
1 + 3 < 2x − x
4<x
∧
≥x
1− ≤
∧
∧
∧
∧
4 ≤ 1 − 3x
4 − 1 ≤ −3x
3 ≤ −3x
h.
∧
∧
∧
x ≥ −5
R. gráfica:
∧
∧
∧
1−3x
≤ 4 − 2x
2
1
3
− x ≤ 4 − 2x
2
2
3
1
− x + 2x ≤ 4 −
2
2
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2
Respuestas Trabajo Práctico 1 Parte II
Ejercicio 4 a 10
−
1
11
≤− x
2
6
1
11
: �− � ≥
2
6
3
11
≥x
x
∧
1
x
2
∧
∧
x≤7
3
11
S = �−∞; − �
5.
≤
7
2
7
2
1
2
x ≤ :� �
R. gráfica:
a. Valor mínimo esperado:
5500 + 5500 ∗ 0,025 = 5500 + 137,5 = 5637,5
Valor máximo esperado:
5500 + 5500 ∗ 0,06 = 5500 + 137,5 = 5830
Con los incrementos pautados, el usuario pagará un monto correspondiente
del intervalo [5637,5; 5830].
b. Considerando los incrementos del 2,5 % al 6%, no es posible que el usuario
pague $5605.
6. Para determinar el intervalo que representa los ingresos, se resuelve la inecuación
doble:
5
5 ≤ 5I − 125 < 1,75 + I
2
5 ≤ 5I − 125
5 + 125 ≤ 5I
130 ≤ 5I
130
5
≤I
26 ≤ I
7.
∧
∧
∧
5
2
5I − 125 < 1,75 + I
5
2
5
I
2
5I − I < 1,75 + 125
∧
∧
< 126,75
I<
126,75
5
2
I < 50,6
De las opciones presentadas, la correcta es la d. El intervalo [26; 50,7) representa
los ingresos.
a. Distancia entre x=-5 y x=-1
|−5 − (−1)| = |−5 + 1| = |−4| = −(−4) = 4
La distancia es de 4 unidades.
Representación gráfica:
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3
b.
Respuestas Trabajo Práctico 1 Parte II
Ejercicio 4 a 10
Distancia entre x=-1 y x=7
|−1 − 7| = |−8| = −(−8) = 8
La distancia es de 8 unidades.
Representación gráfica:
c. Distancia entre x=-5 y x=7
|−5 − 7| = |−12| = −(−12) = 12
La distancia es de 12 unidades.
Representación gráfica:
8.
9.
10.
a. |x − 12| ≤ 10
b. |x − 12| ≥ 10
c. |x − (−3)| ≥ 4
|x + 3| ≥ 4
d. |x − 7| < 5
a. Los números reales cuya distancia al número cuatro es igual o superior que
cuatro unidades.
b. Los números reales cuya distancia al número menos dos supera la unidad.
c. Los números reales cuya distancia al número siete es menor o igual que una
unidad.
d. Los números reales cuya distancia al número cero es menor que tres
unidades.
e. Los números reales cuya distancia al número menos uno es mayor o igual
que cinco unidades y media.
f. Los números reales cuya distancia al número cero es superior a una unidad
y media.
a. |x| ≤ 2
−x,
|x| = �
x,
si x < 0
si x ≥ 0
Si x < 0 ⇒ −x ≤ 2 ⟹ x ≥ −2 S1 = [−2; 0)
Si x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
S2 = [0; 2]
ST = S1 U S2= [−2; 0) U [0; 2] = [−2; 2]
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4
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Ejercicio 4 a 10
b.
|3x| > 18
|3x| = �
−3x,
3x,
0
⟹x<0
3
0
si 3x ≥ 0 ⟹ x ≥ ⟹ x ≥ 0
3
si 3x < 0 ⟹ x <
Si x < 0 ⇒ −3x > 18 ⟹ x <
S1 = (−∞; −6)
18
−3
Si x ≥ 0 ⇒ 3x > 18 ⟹ x >
S2 = (6; ∞)
18
3
⟹ x < −6
⟹x>6
ST = S1 U S2= (−∞; −6)U (6; ∞)
c.
|5x| < 4
|5x| = �
−5x,
5x,
0
⟹x<0
5
0
si 5x ≥ 0 ⟹ x ≥ ⟹ x ≥ 0
5
si 5x < 0 ⟹ x <
Si x < 0 ⇒ −5x < 4 ⟹ x > −
4
5
S1 = (− ; 0)
Si x ≥ 0 ⇒ 5x < 4 ⟹ x <
4
5
S2 = �0; �
d.
4
5
4
5
4
5
4
5
4 4
5 5
ST = S1 U S2= �− ; 0� U �0; � = �− ; �
|x − 4| ≤ 9
|x − 4| = �
−(x − 4)
x−4
si x − 4 < 0 ⟹ x < 4
si x − 4 ≥ 0 ⟹ x ≥ 4
Si x < 4
−(x − 4) ≤ 9 ⟹ −x + 4 ≤ 9 ⟹ −x ≤ 9 − 4 ⟹ −x ≤ 5 ⟹ x ≥ −5
S1 = [−5; 4)
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Si x ≥ 4
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Ejercicio 4 a 10
x − 4 ≤ 9 ⟹ x ≤ 9 + 4 ⟹ x ≤ 13
S2 = [4; 13]
e.
ST = S1 U S2= [−5; 4)U[4; 13] = [−5; 13]
|x + 3| > 7
|x + 3| = �
−(x + 3)
x+3
si x + 3 < 0 ⟹ x < −3
si x + 3 ≥ 0 ⟹ x ≥ −3
Si x < −3
−(x + 3) > 7 ⟹ −x − 3 > 7 ⟹ −x > 7 + 3 ⟹ −x > 10 ⟹ x < −10
S1 = (−∞; −10)
Si x ≥ −3
x+3> 7⟹ x> 7−3⟹x>4
S2 = (4; ∞)
ST = S1 U S2= (−∞; −10)U(4; ∞)
f.
1 < |x − 6| ≤ 3
|x − 6| = �
Caso A:
−(x − 6)
x−6
1 < |x − 6| ∧ |x − 6| ≤ 3
si x − 6 < 0 ⟹ x < 6
si x − 6 ≥ 0 ⟹ x ≥ 6
1 < |x − 6|
Si x < 6
−(x − 6) > 1 ⟹ −x + 6 > 1 ⟹ −x > 1 − 6 ⟹ −x > −7 ⟹ x < 7
S1 = (−∞; 6)
Si x ≥ 6
S2 = (7; ∞)
x−6> 1⟹ x> 1+6⟹x>7
SA = S1 U S2= (−∞; 6)U(7; ∞)
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Ejercicio 4 a 10
Caso B:
|x − 6| ≤ 3
Si x < 6
−(x − 6) ≤ 3 ⟹ −x + 6 ≤ 3 ⟹ −x ≤ 3 − 6 ⟹ −x ≤ −3 ⟹ x ≥ 3
S1 = [3; 6)
Si x ≥ 6
x−6≤ 3⟹ x≤ 3+6⟹x≤9
S2 = [6; 9]
SB = S1 U S2= [3; 6)U[6; 9] = [3; 9]
ST = SA ∩ SB= [(−∞; 6)U(7; ∞)] ∩ [3; 9]
g.
ST = SA ∩ SB= [3; 6)U(7; 9]
3 ≤ |x + 2| < 9
|x + 2| = �
Caso A:
−(x + 2)
x+2
3 ≤ |x + 2| ∧ |x + 2| < 9
si x + 2 < 0 ⟹ x < −2
si x + 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ −2
3 ≤ |x + 2|
Si x < −2
−(x + 2) ≥ 3 ⟹ −x − 2 ≥ 3 ⟹ −x ≥ 3 + 2 ⟹ −x ≥ 5 ⟹ x ≤ −5
S1 = (−∞; −5)
Si x ≥ −2
S2 = [1; ∞)
x+2≥ 3⟹ x≥ 3−2⟹x≥1
SA = S1 U S2= (−∞; −5)U[1; ∞)
Caso B:
|x + 2| < 9
Si x < −2
−(x + 2) < 9 ⟹ −x − 2 < 9 ⟹ −x < 9 + 2 ⟹ −x < 11 ⟹ x > −11
S1 = (−11; −2)
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Ejercicio 4 a 10
Si x ≥ −2
x+2< 9⟹ x< 9−2⟹x<7
S2 = [−2; 7)
SB = S1 U S2= (−11; 2)U[−2; 7) = (−11; 7)
ST = SA ∩ SB= [(−∞; −5)U[1; ∞)] ∩ (−11; 7)
h.
ST = SA ∩ SB= (−11; −5)U[1; 7)
0 < |x − 3| ≤ 0,1
|x − 3| = �
Caso A:
−(x − 3)
x−3
0 < |x − 3| ∧ |x − 3| ≤ 0,1
si x − 3 < 0 ⟹ x < 3
si x − 3 ≥ 0 ⟹ x ≥ 3
0 < |x − 3|
Si x < 3
−(x − 3) > 0 ⟹ −x + 3 > 0 ⟹ −x > 0 − 3 ⟹ −x > −3 ⟹ x < 3
S1 = (−∞; 3)
Si x ≥ 3
S2 = (3 ; ∞)
x−3> 0⟹ x> 0+3⟹x>3
SA = S1 U S2= (−∞; 3)U(3; ∞)
Caso B:
Si x < 3
|x − 3| < 0,1
−(x − 3) < 0,1 ⟹ −x + 3 < 0,1 ⟹ −x < 0,1 − 3 ⟹ −x < −2,9 ⟹ x > 2,9
S1 = (2,9; 3)
Si x ≥ 3
x − 3 < 0,1 ⟹ x < 0,1 + 3 ⟹ x < 3,1
SB = S1 U S2= (2,9; 3)U[3; 3,1) = (2,9; 3,1)
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Ejercicio 4 a 10
ST = SA ∩ SB= [(−∞; 3)U(3; ∞)] ∩ (2,9; 3,1)
ST = SA ∩ SB= (2,9; 3)U(3; 3,1)
i.
j.
2 − 2|x| ≤ 4
−2|x| ≤ 4 − 2
−2|x| ≤ 2
2
|x| ≤
−2
|x| ≤ −1
Esta inecuación no tiene solución, ya que no existe ningún número real
cuyo valor absoluto sea negativo.
Por definición, el valor absoluto es una cantidad positiva.
9 − 7|x − 1| ≤ 2
−7|x − 1| ≤ 2 − 9
−7|x − 1| ≤ −7
|x − 1| ≥ −
|x − 1| ≥ 1
|x − 1| = �
7
−7
−(x − 1)
x−1
si x − 1 < 0 ⟹ x < 1
si x − 1 ≥ 0 ⟹ x ≥ 1
Si x < 1
−(x − 1) ≥ 1 ⟹ −x + 1 ≥ 1 ⟹ −x ≥ 1 − 1 ⟹ −x ≥ 0 ⟹ x ≤ 0
S1 = (−∞; 0]
Si x ≥ 1
S2 = [2; ∞)
x−1≥ 1⟹ x≥ 1+1⟹x≥2
ST = S1 U S2= (−∞; 0]U[2; ∞)
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