Tema 2. Cálculo de probabilidades
Estadı́stica. Grado en Ingenierı́a Informática del Software
Ejercicios propuestos
1. Sean tres sucesos cualesquiera A, B, C de un experimento aleatorio. Expresa los siguientes
sucesos, en función de A, B, C:
a) Solamente ocurre A.
c) Ocurren los tres sucesos.
e) Por lo menos ocurren dos.
g) Ocurren dos y no más.
i) No ocurren más de dos.
b) Ocurren tanto A, como B, pero no C.
d) Ocurre por lo menos uno.
f) Ocurre a lo sumo uno.
h) No ocurre ninguno.
2. Se observa el tiempo de ejecución de un programa. Se consideran los sucesos A = “tarda en
ejecutarse más de 10 segundos” y B = “tarda en ejecutarse entre 5 y 15 segundos”.
a) Expresa los siguientes sucesos: A ∪ B, A ∩ B, Ac , B c , A − B, B − A, Ac ∩ B c .
b) Si Pr(A) = 0,3, Pr(B) = 0,75 y Pr(A ∩ B) = 0,25, calcula las probabilidades de los sucesos
del apartado anterior.
3. Si A y B son dos sucesos con Pr(A) = 0,5 y Pr(A ∪ B) = 0,7 entonces,
a) Calcula Pr(B) suponiendo que A y B son independientes.
b) Calcula Pr(B) suponiendo que A y B son mutuamente excluyentes.
c) Calcula Pr(B) sabiendo que P r(A | B) = 0,5.
4. Un PC tiene integrados dos discos duros. El 10 % de los ficheros del disco A son defectuosos,
mientras que sólo son defectuosos el 5 % de los ficheros del disco B. También se sabe que el disco
A tiene guardados el doble de ficheros que el disco B. Si un fichero es defectuoso ¿cuál es la
probabilidad de que estuviera guardado en el disco A?
5. En una empresa informática se sabe por experiencias pasadas que la probabilidad de fallo en
una fuente de alimentación es de 0.02. Si la probabilidad de que un control diagnostique un fallo
en una fuente defectuosa es de 0.78 y la de que lo diagnostique a una fuente sin fallo es de 0.06,
¿cuál es la probabilidad de que a una fuente se le diagnostique fallo? ¿Cuál es la probabilidad
de que a una fuente a la que se le diagnostica fallo, tenga el fallo verdaderamente?
6. Moon Systems, fabricante de estaciones de trabajo, produce su “Sistema Modelo X” en tres
sitios diferentes A, B y C: un 20 % en A, un 35 % en B y el resto en C. La probabilidad de que
un “Sistema Modelo X” esté defectuoso cuando lo recibe el cliente es 0.01, si procede de A, 0.06,
si procede de B y 0.03, si proviene de C.
a) Calcula la probabilidad de que un “Sistema Modelo X” seleccionado al azar esté defectuoso
en el momento de la entrega al cliente.
b) Supongamos que un “Sistema Modelo X” seleccionado al azar ha resultado estar defectuoso
en el momento de la entrega al cliente. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado
en el lugar B?
7. Una empresa de software que diseña juegos para ordenador somete los diseños preliminares de
sus productos a la evaluación previa de un grupo seleccionado de clientes. Según muestra la
experiencia, el 95 % de los productos que tuvieron un gran éxito en el mercado recibieron buenas
evaluaciones, el 60 % de los de éxito moderado recibieron buenas evaluaciones y sólo el 10 % de
los que tuvieron escaso éxito fueron valorados favorablemente. Además, globalmente el 40 % de
los productos de la empresa ha tenido mucho éxito, el 35 % un éxito moderado y el 25 % una
baja aceptación.
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto, elegido al azar entre la producción de la
fábrica obtenga una buena evaluación previa?
b) Si un nuevo producto obtiene una buena evaluación ¿cuál es la probabilidad de que se
convierta en un producto de gran éxito?
c) Si un producto no obtiene una buena evaluación ¿cuál es la probabilidad de que se convierta
en un producto de gran éxito?
8. Una empresa tiene tres formas diferentes de enviar un mensaje que denominamos A, B y C.
Los mensajes enviados por cualquiera de los métodos pueden llegar correctamente, llegar con
errores o no llegar. Los porcentajes con que ocurren cada uno de los sucesos anteriores cuando
se utiliza A son 85 %, 5 % y 10 %, respectivamente; del 90 %, 5 % y 5 % con B y del 80 %, 0 % y
20 % si la forma utilizada es la C. Si las formas de envı́o son equiprobables, calcula las siguientes
probabilidades:
a) Probabilidad de que un mensaje sea recibido correctamente.
b) Probabilidad de que un mensaje sea recibido si se utilizó A ó B.
c) Si el mensaje no llegó, la probabilidad de haber sido enviado por A.
9. En un grupo de personas, el 50 % han realizado en alguna ocasión compras por internet. Por
otro lado, el 12,5 % no han realizado nunca compras por internet pero sı́ han participado en
algún chat. Finalmente, el 60 % de los que nunca han entrado en un chat no han realizado nunca
compras por internet.
a) ¿Qué porcentaje no han realizado nunca compras por internet ni han participado en un
chat?
b) ¿Qué porcentaje no han participado nunca en un chat?
c) Entre las personas que no han realizado compras por internet, ¿qué porcentaje no han
participado nunca en un chat?
10. De los asistentes a una sesión doble de cine, se sabe que al 70 % le ha gustado la primera pelı́cula;
al 30 % le ha gustado la primera pero no la segunda y al 20 % le ha gustado la segunda pero no
la primera. Seleccionada una persona a la salida del cine al azar, calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos:
a) Le ha gustado sólo una de las pelı́culas.
b) Le han gustado las dos pelı́culas.
c) No le ha gustado ninguna de las pelı́culas.
d ) No le ha gustado al menos una de las pelı́culas.
e) No le ha gustado la segunda si se sabe que la primera no le gustó.
11. Se define que la fiabilidad de un sistema es la probabilidad de que ese sistema funcione. Calcula
la fiabilidad del sistema representado, sabiendo que las probabilidades de fallo de las componentes
A, B, C, D y E son 0,10; 0,20; 0,20; 0,10 y 0,05 respectivamente, y que éstas funcionan de forma
independiente.
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12. El sistema S está constituido por los componentes A, B, C, D y E. Las probabilidades de que
cada uno de éstos funcione más de 1000 horas son:
pA = Pr{A funciona más de 1000 horas} = 0,9;
pB = 0,8;
pC = 0,85;
pD = 0,95;
pE = 0,8.
A
D
B
C
E
Sistema S
Si los componentes funcionan independientemente:
a) Halla la fiabilidad del sistema S (en 1000 horas).
b) Si falla la componente A, halla la fiabilidad de S.
13. En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca una situación de peligro es 0,10.
Si ésta tiene lugar, la probabilidad de que la alarma se active es 0,95. La probabilidad de que se
active la alarma sin que haya situación de peligro es 0,03. Calcular las siguientes probabilidades:
a) No se verifique una situación de peligro, sabiendo que la alarma se ha activado.
b) Ocurra una situación de peligro y la alarma no se active.
c) Exista una situación de peligro si sabemos que no se ha activado la alarma.
14. Los fallos en el disco duro de un ordenador se deben en el 20 % de los casos a que tiene dañado
sólo el sector que contiene la tabla de asignación de archivos, en el 70 % sólo los sectores no
esenciales están dañados, y en el 10 % de los casos tanto el sector de asignación como uno o más
sectores no esenciales están dañados. Se selecciona aleatoriamente un disco duro dañado y se
examina.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sector de asignación esté dañado?
b) Si se encuentra que la unidad de disco tiene alguno de los sectores no esenciales dañado,
¿cuál es la probabilidad de que el sector de asignación no esté dañado?
c) ¿Son independientes los dos tipos de fallo en un disco duro?
15. Un sistema de comunicación binario transmite dı́gitos 0 ó 1 con la misma probabilidad y de
forma independiente. Por causas del ruido del sistema a veces un 0 transmitido se recibe como
un 1 y viceversa. Suponiendo que la probabilidad de que un uno se transmita incorrectamente
es 0’05 y que la probabilidad de que un cero se transmita correctamente es 0’92,
a) Calcula la probabilidad de que no haya error en la transmisión de un dı́gito.
b) Si se ha recibido el mensaje “00”, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido éste el transmitido?
16. El algoritmo haartraining de OpenCV es capaz de reconocer caras humanas en fotografı́as con
cierto margen de error. La probabilidad de un falso positivo (que detecte una cara en una foto
donde no hay ninguna) es 0,02. La probabilidad de un falso negativo (que no detecte ninguna
cara en una foto con caras) es p.
Calcula p, sabiendo que vale 0,90 la probabilidad de que el algoritmo no se equivoque nunca en
una secuencia de siete fotos con caras y cuatro fotos sin caras.
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