DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
ÁLGEBRA SUPERIOR
ESPACIOS
VECTORIALES
ING. MECÁNICA
Prof. Ingrit Gretha Maraví Alvarado
Contenidos
●
●
●
ℝ𝑛
●
2
Saberes previos
3
1
Espacio vectorial ℝ
𝒏
El espacio ℝ𝒏
o
o
❖
❖
❖
(𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 )
n−
ℝ𝑛 ={(𝑎_1, 𝑎_2, ⋯ , 𝑎_𝑛): 𝑎𝑖 ∈ ℝ}
ℝ1 =
ℝ2 =
ℝ𝑛 =
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3
5
Suma vectorial y multiplicación escalar
•
•
•
•
•
•
𝑢 = 𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ , 𝑢𝑛 , 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛 ∈ ℝ𝑛 , 𝛼 ∈ ℝ
𝑢 𝑣
𝑢𝑖 = 𝑣𝑖 , ∀𝑖 = 1, ⋯ 𝑛.
𝑢 𝑣
𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 , ⋯ , 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 )
𝑢
𝛼
𝛼𝑢 = 𝛼𝑢1 , 𝛼𝑢2 , ⋯ , 𝛼𝑢𝑛
0 = (0, ⋯ , 0)
ℝ𝑛
𝑢 −𝑢 = −𝑢1 , −𝑢2 , ⋯ , −𝑢𝑛
𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + −𝑣 = 𝑢1 − 𝑣1 , 𝑢2 − 𝑣2 , ⋯ , 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛
6
Ejemplo 1
𝑢 = −1, 0, 1 , 𝑣 = 2, −1, 5 ∈ ℝ3
𝑎)𝑢 + 𝑣
𝑏)2𝑢
𝑐)𝑣 − 2𝑢
a) 𝑢 + 𝑣 = (1, −1, 6)
b) 2𝑢 = (−2, 0, 2)
c) 𝑣 − 2𝑢 = (4, −1, 3)
7
Propiedades de + y ⋅ en ℝ𝒏
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
𝑢 = 𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ , 𝑢𝑛 , 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛 , 𝑤 = 𝑤1 , 𝑤2 , ⋯ , 𝑤𝑛 ∈ ℝ𝑛 , 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
𝑢 + 𝑣 ∈ ℝ𝑛
(cerradura bajo la +)
𝑢+𝑣 =𝑣+𝑢
(conmutatividad de +)
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) (asociatividad de +)
𝑢+0=𝑢
(neutro aditivo)
𝑢 + (−𝑢) = 0
(inverso aditivo)
𝛼𝑢 ∈ ℝ𝑛
(cerradura bajo la ⋅)
𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣
(distributividad)
𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢
(distributividad)
𝛼 𝛽𝑢 = 𝛼𝛽 𝑢
(asociatividad de la ⋅)
1𝑢 = 𝑢
(neutro de la ⋅)
8
Ejemplo 2
𝑢 = 2, −1, 5, 0 , 𝑣 = 4, 3, 1, −1 , , 𝑤 = 6, −2, 0, 3 ∈ ℝ4
𝑎)𝑥 = 2𝑢 − (𝑣 + 3𝑤)
𝑏)3(𝑥 + 𝑤) = 2𝑢 − 𝑣 + 𝑥
𝑥
9
Propiedades del neutro inverso aditivo
𝑢 = 𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ , 𝑢𝑛 , 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛 ∈ ℝ𝑛 , 𝛼 ∈ ℝ
v+𝑢 =𝑣 ⇒𝑢 =0
v + 𝑢 = 0 ⇒ 𝑢 = −𝑣
3. 0𝑣 = 0
4. 𝛼0 = 0
𝛼𝑢 = 0 ⇒ 𝛼 = 0 ∨ 𝑢 = 0
6. − −𝑢 = 𝑢
10
Demostración
●
𝑣 + 𝑢 = 𝑣 ⇒ 𝑣 + 𝑢 + −𝑣 = 𝑣 + −𝑣
●
⇒ 𝑢 + 𝑣 + −𝑣 = 0
⇒𝑢+0=0
⇒𝑢=0
𝑣 + 𝑢 = 0 ⇒ −𝑣 + 𝑣 + 𝑢 = −𝑣 + 0
⇒
−𝑣 + 𝑣 + 𝑢 = −𝑣
⇒ 0 + 𝑢 = −𝑣
⇒ 𝑢 = −𝑣
11
2
Espacios vectoriales
𝑉≠Φ
+ ⋅
V
𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈
𝑉, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝔽
𝔽
1.
𝑢 + 𝑣 ∈ ℝ𝑛
(cerradura bajo la +)
2. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
(conmutatividad de +)
3.
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) (asociatividad de +)
4. 𝑢 + 0 = 𝑢
(neutro aditivo)
5. 𝑢 + (−𝑢) = 0
(inverso aditivo)
6. 𝛼𝑢 ∈ ℝ𝑛
(cerradura bajo la ⋅)
7. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣
(distributividad)
8.
𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢
(distributividad)
9. 𝛼 𝛽𝑢 = 𝛼𝛽 𝑢 (asociatividad de la ⋅)
10. 1𝑢 = 𝑢
(neutro de la ⋅)
(𝑉, 𝔽, +,⋅)
13
Ejemplo 3
Son espacios vectoriales
1. (ℝ𝟐 , ℝ, +,⋅)
2. (ℝ𝒏 , ℝ, +,⋅)
3. (ℳ𝟐×𝟑 (𝔽), ℝ, +,⋅)
𝒫2 = 𝑝 𝑥 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 : 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 ∈ ℝ
𝑝 𝑥 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , 𝑞 𝑥 = 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑎1 + 𝑏1 𝑥 + (𝑎0 + 𝑏0 )
𝛼𝑝 𝑥 = 𝛼𝑎1 𝑥 2 + 𝛼𝑎1 𝑥 + 𝛼𝑎0
𝒫2
𝒫𝑛 = 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥+𝑎0 : 𝑎𝑖 ∈ ℝ
14
𝐶(−∞, +∞)
•
•
+
⋅
•
∃𝑓0 ∈ 𝐶(−∞, +∞),
𝑓 𝑥 , ∀𝑥
𝑋 ≠ Φ,
ℱ 𝑋, ℝ , 𝛼 ∈ ℝ
𝑓0 𝑥 = 0, ∀𝑥,
𝑓 + 𝑓0 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑓0 𝑥 =
ℱ 𝑋, ℝ = {𝑓: 𝑋 → ℝ Τ𝑓 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛}
∀𝑥 ∈ ℝ
𝑓+𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥
𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥)
ℱ 𝑋, ℝ
𝑓, 𝑔 ∈
15
16
Algunas
propiedades de los
espacios
vectoriales
17
1.
2.
4.
5.
6.
7.
𝑉≠Φ
𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉, 𝜆, 𝛼 ∈ 𝔽
0
−𝑢
𝑢+𝑣 =𝑢+𝑤 ⟶𝑣 =𝑤
0𝑢 = 0
𝜆0 = 0
−1 𝑢 = −𝑢,
𝛼𝑢 = 0 ⇔ 𝛼 = 0 ∨ 𝑢 = 0
Prueba:
1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑤 → −𝑢 + 𝑢 + 𝑣 = −𝑢 + 𝑢 + 𝑤 → −𝑢 + 𝑢 + 𝑣 = −𝑢 + 𝑢 + 𝑤 →
0+𝑣 =0+𝑤 →𝑣 =𝑤
2. Suponga que 𝛼𝑢 = 0, y suponer que 𝛼 ≠ 0, luego
1
1
1
𝑢 = 1𝑢 =
𝛼𝑢 = 𝛼𝑢 = 0 = 0
𝛼
𝛼
𝛼
18
Conjuntos que no
son espacios
vectoriales
19
(ℤ, +,⋅)
No es cerrado bajo la multiplicación
escalar.
El conjunto de todos los
polinomios de grado 2, con la suma
y multiplicación escalar usual
No es cerrado bajo la suma
ℝ𝟐 con la suma usual y la
multiplicación escalar
𝜶 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 = (𝛼 x𝟏 , 𝟎)
𝑝 𝑥 = 𝑥2
𝑞 𝑥 = −𝑥 2 + 𝑥 + 1
→𝑝 𝑥 +𝑞 𝑥 =𝑥+1→
polinomio de primer grado
No cumple: 1 1,1 = 1,0 ≠ (1,1).
No cumple 10-ma propiedad
20
3
Subespacios
vectoriales
ℝ𝑛
Definición
𝑊
𝑉 W≺𝑉
𝑉
𝑊
𝑉
22
Ejemplo 4
𝑊 = { 𝑥1 , 0, 𝑥3 : 𝑥1 , 𝑥3 ∈ ℝ}
•
•
•
•
ℝ3
𝑊 ≠ Φ, 0,0,0 ∈ 𝑊
𝑥1 , 0, 𝑥3 , 𝑦1 , 0, 𝑦3 ∈ 𝑊,
𝑥1 , 0, 𝑥3 + 𝑦1 , 0, 𝑦3 = 𝑥1 + 𝑦1 , 0, 𝑥3 + 𝑦3 ∈ 𝑊
𝑥1 , 0, 𝑥3 ∈ 𝑊,
𝛼 𝑥1 , 0, 𝑥3 = 𝛼𝑥1 , 0, 𝛼𝑥3 ∈ 𝑊
23
Teorema 1
𝑊 ≠ Φ, W ≺ 𝑉
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊
𝑢 ∈ 𝑊, 𝛼 ∈ 𝔽 ⇒ 𝛼𝑢 ∈ 𝑊
▪
𝑊
▪
▪
{0} 𝑉
𝑊 ≠ 𝑉, {0}
24
Ejemplos
25
Conjunto de matrices simétricas
𝑊 = {𝐴 ∈ ℳ2×2 𝔽 : 𝐴 = 𝐴𝑡 }
𝑊 ≺ ℳ2×2 𝔽
•
𝑾
𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝑊 → 𝐴1 + 𝐴2
•
2×2
𝑡
= 𝐴1𝑡 + 𝐴𝑡2 = 𝐴1 + 𝐴2 → 𝐴1 + 𝐴2 ∈ 𝑊
𝑾
𝛼𝐴
𝑡
= 𝛼𝐴𝑡 = 𝛼𝐴 → 𝛼𝐴 ∈ 𝑊
26
Conjunto de matrices no invertibles
𝑊 = 𝐴 ∈ ℳ2×2 𝔽 : 𝐴 es singular
•
𝑾≠𝚽
•
𝑾
•
𝑾
1 0
= 𝐼2
0 1
𝐴=
𝑊 ⊀ ℳ2×2 𝔽
1 0
0
,𝐵 =
0 0
0
0
∈𝑊
1
𝐴+𝐵 =
𝐴+𝐵 ∉𝑊
27
𝑊=
•
𝑾≠𝚽
•
𝑾
•
𝑾
𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ2 : 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
𝑊 ⊀ ℝ2
⋅
⋅
−1 1,1 = −1, −1 ∉ 𝑊
28
Subespacios de funciones
𝑊1 =
[0, 1]
𝑊2 =
𝑊3 =
𝑊4 =
[0, 1]
𝑊5 =
0, 1
[0, 1]
[0, 1]
𝑊𝑖 ≺ 𝑊𝑗 , ∀𝑖 ≤ 𝑗
29
Teorema 2
𝑉, 𝑊 ≺ 𝑈
𝑉∩𝑊 ≺𝑈
▪
𝑉∩𝑊 ≠Φ
•
𝑉∩𝑊
𝑣2 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣1 + 𝑣2 ∈
•
𝑉∩𝑊
0 ∈ 𝑉, 0 ∈ 𝑊
𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 ∩ 𝑊
𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑉 ∩ 𝑊
𝑣1 +
⋅
30
Subespacios de ℝ
𝒏
31
Ejemplo 5
ℝ2
¿
1.
2.
𝑈 = { 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 : 𝑥 + 𝑦 = 0}
𝑉 = { 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 : 𝑥 + 2𝑦 = 1}
−2𝑡, 𝑡 ,
𝑢1 = −2𝑡1 , 𝑡1 , 𝑢2 =
−2𝑡2 , 𝑡2
𝑢1 + 𝑢2 = −2𝑡1 , 𝑡1 + −2𝑡2 , 𝑡2 =
−2 𝑡1 + 𝑡2 , t1 + t 2 ∈ 𝑈
2.
𝑉 ⊀ ℝ2 ,
0,0 ∉ 𝑉
32
𝑊 ⊂ ℝ2 𝑊
ℝ𝟐
✓ 𝑊 = {(0, 0)}
✓ 𝑊 = ℝ2
✓ 𝑊
33
Ejemplo 6
𝐶 = { 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1}
ℝ2
1, 0 , 0, 1 ∈ 𝐶,
1,0 + (0, 1) ∉ 𝐶
34
Ejemplo 7
ℝ3
¿
1.
2.
1.
𝑊 = { 𝑥, 𝑦, 1 : 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}
𝑊 = { 𝑥, 𝑥 + 𝑧, 𝑧 : 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ}
0, 0,0 ∉ 𝑊,
W
ℝ3
35
Ejemplo 8
ℝ3
¿
1.
2.
•
•
•
𝑊 = { 𝑥, 𝑦, 1 : 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}
𝑊 = { 𝑥, 𝑥 + 𝑧, 𝑧 : 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ}
0,0, 0 ∈ 𝑊
𝑊≠Φ
𝑣 = 𝑣1 , 𝑣1 + 𝑣3 , 𝑣3 , 𝑤 = (𝑤1 , 𝑤1 + 𝑤3 , 𝑤3 ) ∈ 𝑊
𝑣 + 𝑤 = 𝑣1 + 𝑤1 , 𝑣1 + 𝑣3 + 𝑤1 + 𝑤3 , 𝑣3 + 𝑤3 =
𝑣1 + 𝑤1 , (𝑣1 +𝑤1 ) + (𝑣3 + 𝑤3 ), 𝑣3 + 𝑤3 ∈ 𝑊
•
36
𝑊 ⊂ ℝ3 𝑊
✓
✓
✓
✓
ℝ𝟑
𝑊 = {(0, 0,0)}
𝑊 = ℝ3
𝑊
𝑊
37
Referencias Bibliográficas
38