FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA ÁLGEBRA Un barco se desplaza 5 horas río abajo, desde el muelle A al muelle B, sin interrupciones ni cambios de velocidad. De regreso su recorrido le toma 7 horas, sin cambios de velocidad y sin pausas ¿Cuántas horas requerirá para desplazarse desde un muelle hasta el otro si se deja arrastrar por la corriente? (3.5 minutos) PRECÁLCULO Determínese un número tal que (4 minutos) ÁLGEBRA En una estética se tienen botellas con agua oxigenada al 30% y botellas de agua oxigenada al 3%. Para aclarar el cabello de una clienta se requiere obtener una mezcla al 12%, en una cantidad de al menos tres botellas ¿Cuál es la cantidad de botellas de cada tipo que se deben mezclar para lograr la proporción correcta? (4 minutos) PRECÁLCULO Si es un entero impar ¿Puede la gráfica de la función ( ) anularse en un valor entero? Explíquese la respuesta. (3.5 minutos) FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA GEOMETRÍA PLANA En una circunferencia circunscrita a un ; y son las intersecciones de dicha circunferencia con las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo, respectivamente. Muéstrese que: (5 minutos) PRECÁLCULO Calcúlese el producto 10 10 10 1 10 2 10 3 10 1010 19 (3.5 minutos) ÁLGEBRA Un comerciante compró un terreno por $120,000 y lo fraccionó en lotes. Vendió cierta cantidad, excepto dieciocho, con una ganancia de $6,000 por cada uno y recuperó así el costo del terreno. ¿Cuántos lotes vendió el comerciante y a qué precio cada uno? (4.5 minutos) FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA PRECÁLCULO Sean y dos funciones cuyas gráficas se muestran en la figura de abajo. Bosquéjese la gráfica de la función producto f g . (4 minutos) GEOMETRÍA PLANA En la siguiente figura, de radio segmento y el segmento es un cuadrado inscrito en una circunferencia es tangente a ella. Calcúlese la longitud del . (4 minutos) A B P D C FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA PRECÁLCULO Sea , muéstrese que (4 minutos) GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Sea el foco de la parábola y medida del ángulo , ( ) el punto de tangencia con la recta la intersección de la recta con el eje . Determínese la . (4 minutos) FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Una caja contiene cinco monedas, tales que con cada una se tiene una probabilidad distinta de obtener cara en un lanzamiento. Sea probabilidad de obtener cara al lanzar la i-ésima supóngase que moneda ( y moneda de la caja al azar la ) y . Si se selecciona una ¿cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzarla? (4 minutos) GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Las diagonales de un paralelogramo miden forman es de y , y el ángulo que Calcúlese la medida de los lados del paralelogramo. (4 minutos) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Supóngase que 100 trabajadores son divididos en 5 secciones, y en cada una se asignan 20 trabajadores; a fin de año premiarán a solamente 10 trabajadores. Si cada trabajador tiene la misma probabilidad de recibir un solo premio ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos trabajadores de cada sección reciban premio? (4.5 minutos) FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Determínese la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia a la recta sea igual que su distancia a la recta . (4 minutos) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas, cada una con 5 posibles respuestas. Si a un alumno se le considera aprobado con el 70% de aciertos, obténgase la expresión que da la cantidad de 500 estudiantes que aprobarían con sólo adivinar las preguntas de ese examen. (4 minutos) GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Sea , con . Determínese el valor de ( ). (3 minutos) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Una persona se embriaga aproximadamente la mitad de los días de cada mes. Para abrir su casa tiene un llavero con 5 llaves muy parecidas, una de las cuales le permite entrar. Aun cuando llega sobrio no reconoce cuál es la correcta y tiene que probarlas una a una hasta dar con ella. Cuando está ebrio prueba también llave tras llave pero no distingue si una llave ha sido probada o no, por lo que puede costarle un número más o menos elevado de pruebas. En un día de observación, se comprueba que logra entrar a casa al tercer intento ¿Cuál es la probabilidad de que ese día estuviera ebrio? (5 minutos) FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Muéstrese, para todos los valores admisibles de que la siguiente fórmula es válida ( 3.5 minutos ) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA La política de un hospital sugiere que todos los empleados se sometan a pruebas con un detector de mentiras. Para evaluar los riesgos, han considerado un detector de mentiras, el cual concluye el 5 % de las veces que un empleado miente, cuando realmente dice la verdad, supóngase que las pruebas que se realizan son independientes. Tres empleados se someten a esta prueba ¿Cuál es la probabilidad de que el detector concluya que al menos uno de ellos miente cuando en realidad los tres dicen la verdad? (5 minutos)