FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA ÁLGEBRA

FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XLII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
FASE ABIERTA
ÁLGEBRA
Un barco se desplaza 5 horas río abajo, desde el muelle A al muelle B, sin
interrupciones ni cambios de velocidad. De regreso su recorrido le toma 7
horas, sin cambios de velocidad y sin pausas ¿Cuántas horas requerirá para
desplazarse desde un muelle hasta el otro si se deja arrastrar por la
corriente?
(3.5 minutos)
PRECÁLCULO
Determínese un número
tal que
(4 minutos)
ÁLGEBRA
En una estética se tienen botellas con agua oxigenada al 30% y botellas de
agua oxigenada al 3%. Para aclarar el cabello de una clienta se requiere
obtener una mezcla al 12%, en una cantidad de al menos tres botellas ¿Cuál
es la cantidad de botellas de cada tipo que se deben mezclar para lograr la
proporción correcta?
(4 minutos)
PRECÁLCULO
Si
es un entero impar ¿Puede la gráfica de la función
( )
anularse en un valor entero? Explíquese la respuesta.
(3.5 minutos)
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SURESTE
FASE ABIERTA
GEOMETRÍA PLANA
En una circunferencia circunscrita a un
;
y
son las
intersecciones de dicha circunferencia con las bisectrices de los ángulos
interiores
del triángulo, respectivamente. Muéstrese que:
(5 minutos)
PRECÁLCULO
Calcúlese el producto
10  10  10
1
10
2
10
3
10
1010
19
(3.5 minutos)
ÁLGEBRA
Un comerciante compró un terreno por $120,000 y lo fraccionó en lotes.
Vendió cierta cantidad, excepto dieciocho, con una ganancia de $6,000 por
cada uno y recuperó así el costo del terreno. ¿Cuántos lotes vendió el
comerciante y a qué precio cada uno?
(4.5 minutos)
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FASE ABIERTA
PRECÁLCULO
Sean
y
dos funciones cuyas gráficas se muestran en la figura de abajo.
Bosquéjese la gráfica de la función producto f  g .
(4 minutos)
GEOMETRÍA PLANA
En la siguiente figura,
de radio
segmento
y el segmento
es un cuadrado inscrito en una circunferencia
es tangente a ella. Calcúlese la longitud del
.
(4 minutos)
A
B
P
D
C
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PRECÁLCULO
Sea
, muéstrese que
(4 minutos)
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA
Sea
el foco de la parábola
y
medida del ángulo
, (
) el punto de tangencia con la recta
la intersección de la recta con el eje
. Determínese la
.
(4 minutos)
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SURESTE
FASE ABIERTA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Una caja contiene cinco monedas, tales que con cada una se tiene una
probabilidad distinta de obtener cara en un lanzamiento. Sea
probabilidad de obtener cara al lanzar la i-ésima
supóngase que
moneda (
y
moneda de la caja al azar
la
) y
. Si se selecciona una
¿cuál es la probabilidad de obtener cara al
lanzarla?
(4 minutos)
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA
Las diagonales de un paralelogramo miden
forman es de
y
, y el ángulo que
Calcúlese la medida de los lados del paralelogramo.
(4 minutos)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Supóngase que 100 trabajadores son divididos en 5 secciones, y en cada
una se asignan 20 trabajadores; a fin de año premiarán a solamente 10
trabajadores. Si cada trabajador tiene la misma probabilidad de recibir un
solo premio ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos trabajadores
de cada sección reciban premio?
(4.5 minutos)
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FASE ABIERTA
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA
Determínese la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales
que su distancia a la recta
sea igual que su distancia a la recta
.
(4 minutos)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas, cada una con 5
posibles respuestas. Si a un alumno se le considera aprobado con el 70% de
aciertos, obténgase la expresión que da la cantidad de 500 estudiantes que
aprobarían con sólo adivinar las preguntas de ese examen.
(4 minutos)
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA
Sea
, con
. Determínese el valor de
(
).
(3 minutos)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Una persona se embriaga aproximadamente la mitad de los días de cada
mes. Para abrir su casa tiene un llavero con 5 llaves muy parecidas, una de
las cuales le permite entrar. Aun cuando llega sobrio no reconoce cuál es la
correcta y tiene que probarlas una a una hasta dar con ella. Cuando está
ebrio prueba también llave tras llave pero no distingue si una llave ha sido
probada o no, por lo que puede costarle un número más o menos elevado de
pruebas. En un día de observación, se comprueba que logra entrar a casa al
tercer intento ¿Cuál es la probabilidad de que ese día estuviera ebrio?
(5 minutos)
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SURESTE
FASE ABIERTA
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA
Muéstrese, para todos los valores admisibles de
que la siguiente fórmula
es válida
( 3.5 minutos )
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
La política de un hospital sugiere que todos los empleados se sometan a
pruebas con un detector de mentiras. Para evaluar los riesgos, han
considerado un detector de mentiras, el cual concluye el 5 % de las veces
que un empleado miente, cuando realmente dice la verdad, supóngase que
las pruebas que se realizan son independientes. Tres empleados se someten
a esta prueba ¿Cuál es la probabilidad de que el detector concluya que al
menos uno de ellos miente cuando en realidad los tres dicen la verdad?
(5 minutos)