DINÁMICA 08 05

Solución:
Integrando la aceleración 𝑎𝑡 obtenemos la velocidad:
 Sabemos: 𝑎𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⟹ 𝑎𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣
𝑡
𝑣
 Integrando: ∫0 𝑎𝑡 𝑑𝑡 = ∫400 𝑑𝑣
𝑡
𝑣
o ∫0 (−0.1𝑡)𝑑𝑡 = ∫400 𝑑𝑣
o −0.1
𝑡2
2
= 𝑣 − 400
o 𝑣 = 400 − 0.05𝑡 2
Integrando la velocidad (𝑣) obtenemos la posición:
 Sabemos: 𝑣𝑡 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⟹ 𝑣𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑠
𝑡
𝑠
 Integrando: ∫0 𝑣𝑡 𝑑𝑡 = ∫0 𝑑𝑠
𝑡
𝑠
o ∫0 (400 − 0.05𝑡 2 )𝑑𝑡 = ∫0 𝑑𝑠
o 𝑠 = 400𝑡 −
0.05𝑡 3
3
A partir del gráfico obtenemos la longitud del arco (𝜃) distancia recorrida:
Analizamos 𝑎𝑛 en 𝑡 = 60 𝑠
 𝑎𝑛 =
𝑣𝑡 2
𝑅
 𝑣𝑡 = 400 − 0.05𝑡 2
𝑓𝑡
 𝑣𝑡 = 200
𝑠
o 𝑅=
𝑠
𝜃
0.05(60)3
3
400(60)−
o 𝑅=
𝜋
3
⟹𝑅=
61200
𝜋
Entonces:
 𝑎𝑛 =
2202
61200
𝜋
≈ 2.485
𝑓𝑡
𝑠2
También:
 𝑎𝑡 = (−0.1𝑡) = −0.1 ∗ 60
 𝑎𝑡 = −6
𝑓𝑡
𝑠2
Obtenemos la 𝑎𝑟 para 𝑡 = 60:
 𝑎𝑟 = √𝑎𝑡 2 + 𝑎𝑛 2 = √2.4852 + (−6)2
𝑓𝑡
 𝑎𝑟 = 6.49
𝑓𝑡
𝑠2
Solución:
La distancia recorrida por la partícula A:
 Sabemos: 𝑎𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⟹ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑡 𝑑𝑡
𝑣
𝑡
o Integrando: ∫0 𝑎 𝑑𝑣 = ∫0 0.8𝑑𝑡
o 𝑣𝑎 = (0.4𝑡 2 + 8)
𝑚
𝑠
 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑠𝑎 = 𝑣𝑎 𝑑𝑡
𝑠
𝑡
o Integrando: ∫0 𝑎 𝑑𝑣 = ∫0 (0.4𝑡 2 + 8)𝑑𝑡
o 𝑠𝑎 = 0.133𝑡 3 + 8𝑡
Inicialmente, la distancia de separación (ds):
120°𝜋
 𝑑𝑠 = 𝑝𝑞 = 𝑠 (
180°
) = 10.47 𝑚
La partícula B viaja con aceleración constante, por lo tanto:
 𝑣=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⟹ 𝑣𝑑𝑡 = 𝑑𝑠
 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑡
 Entonces: 𝑑𝑠 = (𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑡)𝑑𝑡
Integrando para 𝑠 = 𝑠0 𝑦 𝑡 = 0:
𝑠
𝑡
 ∫𝑠 𝑑𝑠 = ∫0 (𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑡)𝑑𝑡
0
 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑎𝑡 𝑡 2
2
 𝑠𝑏 = 8𝑡 + 2𝑡 2
Entonces:
 𝑠𝑎 + 𝑑𝑠 = 𝑠𝑏
 0.133𝑡 3 + 8𝑡 + 10.47 = 8𝑡 + 2𝑡 2
 𝑡 = 2.51 𝑠 (tiempo para que se produzca el choque)
Reemplazando en las ecuaciones de velocidad:
o 𝑣𝑎 = (0.4𝑡 2 + 8) = (0.4(2.51)2 + 8) = 10.51
o 𝑣𝑏 = 𝑣0𝑏 + 𝑎𝑡 𝑡 = 8 + 4(2.51) = 18.03
Para las aceleraciones:
 𝑎𝑛 =
𝑣2
𝑝
o (𝑎𝑛 )𝑎 =
o (𝑎𝑛 )𝑏 =
𝑣𝑎 2
5
𝑣𝑏 2
5
=
=
(10.51)2
5
(18.03)2
5
= 22.11
= 65.01
𝑚
𝑠2
𝑚
𝑠2
𝑚
𝑠
𝑚
𝑠
Por datos del problema:
 (𝑎𝑡 )𝑎 = 0.8𝑡 = 0.8(2.51) = 2.008
 (𝑎𝑡 )𝑏 = 4
𝑚
𝑠2
𝑚
𝑠2
La magnitud de la aceleración se calcula:
 𝑎𝑎 = √(𝑎𝑡 )2𝑎 + (𝑎𝑛 )2𝑎 = √2.0082 + 22.112 = 22.2
 𝑎𝑏 = √(𝑎𝑡 )2𝑏 + (𝑎𝑛 )2𝑏 = √42 + 65.012 = 65.1
𝑚
𝑠2
𝑚
𝑠2
Solución:
Por dato, para 𝑡 = 0, 𝑠 = 0
 𝑣=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⟹ 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
 300𝑑𝑡 = 𝑑𝑠
3
𝑠
 ∫0 300𝑑𝑡 = ∫0 𝑠𝑑𝑠
 300(3) =
𝑠2
2
 𝑠 = 42.42 𝑚
Para 𝑡 = 3 𝑠
 𝑣=
300
42.42
 𝑎𝑛 =
𝑣2
𝑝
= 7.07
=
7.072
100
Sabemos que:
 dt =
ds
v
=
𝑑𝑣
𝑎𝑡
𝑚
𝑠
= 0.5
𝑚
𝑠2
 𝑎𝑡 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
 𝑎𝑡 𝑑𝑠 = 7.07𝑑𝑣
𝑠
𝑣
 ∫0 𝑎𝑡 𝑑𝑠 = ∫0 7.07𝑑𝑣
 𝑎𝑡 𝑑𝑠 = 7.07𝑣
o 𝑎𝑡 (42.42) = 7.072
o 𝑎𝑡 = 1.18
𝑚
𝑠2
o 𝑎𝑡 = −1.18
𝑚
𝑠2
(está desacelerando)
Su magnitud será:
 𝑎 = √(𝑎𝑡 )2𝑏 + (𝑎𝑛 )2𝑏 = √0.52 + 1.182 = 1.28
𝑚
𝑠2