TEMA 10 Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Evolución histórica y problemas que resuelve cada una. ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................2 2. LOS NÚMEROS RATURALES. ....................................................................................................2 3. LOS NÚMEROS ENTEROS. ..........................................................................................................3 4. LOS NÚMEROS RACIONALES. ..................................................................................................4 5. LOS NÚMERO REALES. ................................................................................................................5 6. LOS NÚMEROS COMPEJOS.........................................................................................................8 7. LOS NÚMEROS HIPERCOMPLEJOS. .......................................................................................9 8. CONCLUSIONES Y POSIBLES APLICACIONES AL AULA. ...............................................9 9. BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................................ 10 Javier Miranda Díaz TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. 1. INTRODUCCIÓN. El concepto de número es el más importante en la matemática. En origen surge de la necesidad de contar, de transmitir información sobre la cantidad de elemento de un conjunto concreto (partes del cuerpo, palos, piedras etc). Desde, aquí se inicia un largo recorrido en la evolución y abstracción del concepto hasta llegar a la axiomatización y definición formal actual. Con la aparición de la escritura comienza abstraerse en concepto de número natural a través de la forma de escritura con el surgimiento de los primeros sistemas de numeración que fueron variados en función de la civilización. Es en el s. XV cuando la ciencia comienza a necesitar ampliar el concepto de número natural introduciendo la idea del cero y de los números negativos. Estos últimos necesarios en la resolución de ecuaciones sin solución con números naturales. Los racionales como cuerpo de fracciones del dominio de integridad de los enteros, los reales como único cuerpo ordenado que incluye a los racionales y los complejos como extensión algebraica de los reales para resolver ecuaciones con raíces de índice par y radicando negativo. Por último los hipercomplejos como extensión para operar con magnitudes físicas que requieren varias coordenadas. Antes de desglosar cada uno de los cuerpos en mayor profundidad desde una perspectiva histórica y la formalización de lo que hoy conocemos como álgebra moderna cabe destacar la importancia de que llegamos a esta formalización o axiomatización a partir del s. XIX debido a los grandes éxitos del cálculo diferencial que nos llevan a explorar la teoría de los límites y la definición del principio de permanencia que explica que en todas las ampliaciones del concepto de número deben conservarse las leyes formales (conmutatividad, asociatividad…) de las operaciones aritméticas de los números. 2. LOS NÚMEROS RATURALES. Perspectiva histórica: El proceso pasó de empezar a contar por grupos (pares, docenas…) y del surgimiento de las primeras operaciones aritméticas a dar lugar a los primeros sistemas de numeración en las civilizaciones antiguas. - Babilonia: empleaban un sistema de numeración sexagesimal con un principio posicional de escritura empleando dos tipos de cuña: una cuña delgada que representaba la unidad y una cuña gruesa que representaba la decena. - Egipto: dos milenios después en Egipto ya se conocían varios sistemas de numeración. En uno de ellos había varios signos especiales para denotar el 1, el 10, el 100 y el 1000 representándose en resto de números con una combinación de estos signos. La operación aritmética principal de esta civilización fue la suma. - Grecia antigua: se usaba un sistema de numeración alfabético que también usarían los eslavos. - India: es aquí donde a comienzo de la era cristina se empezó a utilizar el sistema de numeración decimal verbal posicional con varios sinónimos para el cero. El desarrollo de este sistema estrella y a partir del s. VIII d.C. se difundió por el Oriente Arábico y en el s. XII se dio a conocer en Europa. El conjunto fue incrementado a lo largo de la historia debido a la necesidad de ampliación que llevó a la noción de infinitud de los números naturales. Buen ejemplo de ello es el teorema de Euclides de los números primos afirmando que el número de estos es infinito. Formalización y axiomatización: Javier Miranda Díaz 2 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. La construcción del conjunto como se conoce en la actualidad data de finales de s.XIX, principios del s.XX con la necesidad de una construcción axiomática basada en la teoría de conjuntos estudiándolos con las relaciones en él y las operaciones algebraicas que satisfacen determinadas condiciones (los axiomas). Estos axiomas se deben a Weirestrass, Grassman y sobre todo, a Peano que en 1889 introduce los naturales con los siguientes cinco postulados: Definición: Diremos que N es un conjunto de Peano si cumple los siguientes axiomas: -Axioma 1: Existe un primer elemento de N que denotamos como 1. -Axioma 2: Dado cualquier elemento a perteneciente a N existe otro elemento que llamaremos siguiente S(a), de tal forma que dos elementos distintos tienen siguientes distintos. -Axioma 3: No es posible que el siguiente de ningún elemento sea el 1. -Axioma 4: Si dos elementos tienen el mismo siguiente entonces son iguales. -Axioma 5 o Axioma de la Inducción Matemática: “Si un conjunto de números naturales contiene al 1 y tal que si contiene a uno de ellos también contiene a su siguiente, entonces coincide con N”. Esto es: Además la construcción tiene que definir dos operaciones matemáticas, adición y producto, además de las propiedades que cumplen. También estructurar ordenadamente el conjunto asegurándose que el ordenamiento es compatible con las operaciones anteriores. Por último, resulta primordial demostrar que todo conjunto con estas característica es único salvo isomorfismo (entendido como aplicación biyectiva que conserva la estructura). A finales del s. XIX la mayor parte de la matemática (salvo la geometría) ya se basaba en un marco construido estrictamente por axiomas. 3. LOS NÚMEROS ENTEROS. Perspectiva histórica: -China antigua: es la primera vez que aparecen los números negativos. -India: formaron el concepto de número negativo al tratar de encontrar el algoritmo de resolución de las ecuaciones cuadráticas. -S.III Diofanto operaba con soltura con ellos en los cálculos intermedios de muchos problemas de su obra Arithmetica. A pesar de ello, hubo un largo periodo de negación de estos números. En los s. XVI y XVII los matemáticos europeos no los reconocían como un número distinto aunque operaran con ellos (igual que lo hacían con racionales, irracionales e incluso complejos). Tanto es así que todavía en el s. XVIII Francis Maseres, miembro de la Royal Society publicó una disertación sobre como evitar los números negativos y las raíces negativas. Otro ejemplo de la época es como Euler llegó a decir que eran mayores de + y De Morgan definió la expresión 0-a en su obra como tan inconcebibles e imaginarios como una raíz de índice par y radicando negativo. Javier Miranda Díaz 3 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. La situación empieza a cambiar cuando en el S. XVII se halla la interpretación geométrica de los positivos y los negativos como segmentos dirigidos en sentidos opuestos de la recta hecho que propició el manejo con cierta soltura y el paso a su conceptualización moderna. Formalización y axiomatización: Al no estar siempre bien definida la operación diferencia en los número naturales se genera un problema que deriva en la creación de un nuevo tipo de número que englobe y amplíe a los naturales sin perder rigor en las propiedades. Este es el conjunto de los enteros, denotado por Z, con estructura de grupo abeliano con la suma y extensión de los naturales. Como consecuencia las ecuaciones del tipo a + x = b, que no tenían solución en N, la tienen ahora en Z (x=b-a). La construcción formal del álgebra moderna se basa en el producto cartesiano de los naturales por sí mismos definiendo una relación de equivalencia y dos operaciones internas. Puede comprobarse que ambas aplicaciones se encuentran bien definidas al no depender del representante elegido. De esta forma integridad. 4. tiene estructura de anillo conmutativo sin divisores de cero, es decir, un dominio de LOS NÚMEROS RACIONALES. Perspectiva histórica: - En la Edad de Bronce fue donde aparece la necesidad de un concepto más o menos elemental de fracción y de un sistema de representación para las mismas. - Los Babilonios conocían estos números y los expresaban a través de quebrados, utilizando fracciones sexagesimales. Extendieron su concepto de sistema de numeración a las fracciones pudiendo resolver problemas de cálculo como los que resolvemos hoy en día pero sin llegar a aclarar qué ocurría de manera precisa con las fracciones que tenían desarrollo infinito periódico. - En Egipto se utilizaban fracciones alícuotas (numerador unitario) y eran capaces de sumarlas y de descomponerlas. En el Papiro de Rhind (1650 a.C) el escriba Ahmes muestra información sobre operaciones aritméticas básicas y sobre fracciones introduciendo además conceptos de cálculo e cálculos de áreas y volúmenes. - Los griegos fueron los primeros en considerar las fracciones en vez de cómo objetos únicos como una razón o relación entre dos números enteros aunque a nivel práctico su tratamiento fue el mismo que dieron los egipcios. Javier Miranda Díaz 4 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. No fue hasta Arquímedes, Ptolomeo y Diofanto cuando se empezaron a utilizar fracciones ordinaria y sexagesimales. En el libro V de Euclides encontramos cómo trata de explicar que la condición necesaria y suficiente ! # para que dos relaciones sean iguales, " = $ debe haber dos números naturales m y n de manera que si am>nb entonces cm>nd; si ma=mb entonces mc=md y si ma<mb entonces mc<md. Definición muy similar a la de igualdad que utilizamos actualmente en los productos cruzados. - En China es donde aparece cierta decimalización del sistema de numeración que conduce a la decimalización de las fracciones. A partir de aquí se sigue la práctica apareciendo casos como el de AlKhasi que consiguió en sus cálculos con fracciones decimales expresar 2pi con dieciséis cifras decimales. Formalización y axiomatización: Es en el Renacimiento cuando se comienza a trabajar con fracciones decimales sentando las bases de una formalización por parte de la matemática modera que, a partir de finales del s. XIX introduce los racionales como una nueva familia que extiende la de los enteros. Matemáticamente esta extensión da solución a la ecuación del tipo ax=b en lo que se denomina la creación del cuerpo de fracciones de un dominio de integridad. Sobre este se puede definir dos operaciones internas, adición y producto, que sean extensiones de las definidas sobre el conjunto original. El siguiente procedimiento es estándar y se puede hacer con cualquier dominio de integridad: 5. LOS NÚMERO REALES. Perspectiva histórica: - Tanto Babilonios como Egipcios tenían una estimación de pi e intuían que era una constante invariable entre la longitud de la circunferencia y su diámetro pero no demostraron su irracionalidad. - El concepto de número irracional proviene de la Grecia Antigua donde lo descubrieron y denominaron como inconmensurable. Se dice que fueron los pitagóricos los que descubrieron el primer irracional, con Hipaso de Metaponto (s.V a.C) al demostrar que la diagonal del cuadrado unitario no es racional. En el libro V de Euclides destaca la demostración en la que se establece el número áureo, 1 + √& , ' aproximado a 1,618 , como la relación entre los lados de una estrella de cinco puntas inscrita en un pentágono regular y los lados de dicho pentágono. Javier Miranda Díaz 5 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. Los griegos también descubrieron la relación entre la longitud de la circunferencia y en diámetro de la misma es constante y supusieron que era un número irracional. - En el Renacimiento, Cardano en Aritmética Práctica (s. XVI) habla de estos números como “sordos” que no pueden ser “oídos ni representados”. Posteriormente a principios del s. XVIII es Newton en Aritmética Universal quien categoriza a los números en tres tipos: enteros, fraccionarios e irracionales catalogando estos últimos como “inconmensurables con la unidad”. - En 1737 Euler demostró que tanto e, como e2 son irracionales y Lambert motivado por el problema de la cuadratura del círculo probó que pi también era irracional mediante el desarrollo en serie de la función tg(x). El siguiente paso fue comprobar si pi podía ser solución de una ecuación con coeficientes racionales llevando a la distinción entre número algebraicos (los que sí pueden ser solución de estas) y trascendentes (los que no pueden serla). Si bien una ecuación algebraica puede tener soluciones irracionales (como por ejemplo √2) se demostró que tanto pi como e son trascendentes. La demostración general de la existencia de los irracionales y la afirmación de que el número de estos es infinito se debe a Cantor quien probó que el número de elementos algebraicos de en la recta real es numerable y, por tanto, el de trascendentes es no numerable. Formalización y axiomatización: Todos estos avances conducen a que en el s.XIX se llegué a una formalización de los irracionales por tres caminos distintos: 1. Dedeking por las cortaduras: 2. Cantos por las sucesiones de Cauchy: Javier Miranda Díaz 6 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. 3. Hilbert a través de la axiomatización: Puede demostrarse que es el único cuerpo, salvo isomorfismo, que está completamente ordenado, es arquemidiano, metrizable y posee la propiedad de la mínima cota superior (supremo). También puede considerarse a como un cuerpo continuo linealmente ordenado. En este caso, los axiomas de orden y del supremo serían sustituidos por el axioma de continuidad: Javier Miranda Díaz 7 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. 6. LOS NÚMEROS COMPEJOS. Perspectiva histórica: Aparecen por primera vez en la obra de Cardano (s. XVI) “Ars Magna” (1545) resolviendo el sistema: 𝑥 + 𝑦 = 10 al que encontró como raíces: x1 = 5 + √−15 y x2 = 5 - √−15 que llamó números puramente r 𝑥𝑦 = 40 negativos o sofisticadamente negativos. Su coetáneo Bombelli definió las operaciones aritméticas con tales magnitudes, aproximándose así a la creación de la teoría de números complejos. Aún así tendría que hacerse aún un largo recorrido hasta ser comprendidos y aceptados por la comunidad matemática para finalmente ser formalizados: En s. XVII y XVIII se realizan numerosas investigaciones sobre las propiedades de las magnitudes imaginarias y sus aplicaciones de las que podemos destacar: - Euler con la extensión de la noción de logaritmo a cualesquiera números complejos e indicó un nuevo método de integración por medio de variables complejas pero, a pesar de su utilización en resolución de problemas, ni otros matemáticos ni Euler tenían una idea clara sobre dichos números llegando a afirmar este en “Introducción completa al álgebra” que son números imposibles y que solo existen en la imaginación. - La comunidad matemática del s. XVIII mostraba recelo en las operaciones con números imaginarios por las dudas que surgían en cuanto a la validez de los resultados obtenidos de problemas que operaban con ellos en pasos intermedios. - A medida que avanza el siglo aparecen nuevos hallazgos como el de De Moivre que resolvió en problema de extracción de la raíz de grado natural de cualquier complejo. Wallis publicó en su “Álgebra” cómo representar en un plano las raíces complejas de una ecuación cuadrática de coeficientes reales aunque el sistema de representación no es el actual debido a que erró en la introducción de un eje y como imaginario. Será en 1787 cuando Wessel publica un informe con la representación de los complejos en el plano que es la que no s ha llegado hasta la actualidad. Siguieron surgiendo algunos inconvenientes en la manera de trabajar con estas raíces complejas ya que en un inicio se concibió que inducían tipos diferentes de números. No fue hasta D’Alembert en “Reflexiones sobre la causa general de los vientos” quien demostró que las operaciones con complejos resultaban siempre un número complejo de la forma a + b√−1 aunque tuvo problemas para la demostración de zw con z y w complejos. Esto sería completado después por Euler. Gauss en 1799 demuestra en su tesis, lo que hoy conocemos como teorema fundamental del Álgebra, mostrando que todo polinomio con coeficientes reales de grado mayor que el nulo tienen al menos una raíz compleja, entendiendo a los números reales como complejos de parte imaginaria nula. Dando pie así a la formalización matemática. Formalización y axiomatización: Javier Miranda Díaz 8 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. Esto demostró que las operaciones trascendentes (provienen de funciones trascendentes) con números complejos daban a su vez un nuevo número complejo. Demuestra con su trabajo que el conjunto de los complejos es cerrado con respecto a las operaciones trascendentes elementales. Pero el conjunto de los complejos no solo tiene estructura de cuerpo conmutativo sino que además es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo de los reales. A este respecto, Hankel en 1867 demuestra que, como ya intuyó De Morgan, el álgebra de los complejos es el álgebra más general posible que verifica todas las leyes fundamentales de la aritmética. 7. LOS NÚMEROS HIPERCOMPLEJOS. Antes de esta demostración de imposibilidad de Hankel, Hamilton intentó encontrar un conjunto similar al de los complejos que mantuviera las propiedades elementales. Comenzó por un espacio de tres dimensiones pero no pudo elaborar un álgebra para este. Posteriormente definió un álgebra para el espacio de cuatro dimensiones pero asumiendo que la conmutatividad tenía que ser sacrificada. Así un elemento de este álgebra al que llamó cuaternión tiene la forma a + bi + cj + dk presentando la forma definitiva de este álgebra en sus obras “Lecciones sobre los cuaterniones” y “Elemento de los cuaterniones” . La estructura es la de anillo con división que es una estructura algebraica similar a la de cuerpo pero sin satisfacer la propiedad conmutativa con el producto. Basándose en la teoría de Hamilton, el profesor de matemáticas Grassmann unos años después de la publicación de las obras de Hamilton desarrolló una teoría que elaboraba gran parte del análisis vectorial moderno y en el que introducía la idea de producto vectorial no conmutativo entre vectores. Idea que poco a poco fue ganando importancia por sus aplicaciones geométricas en el espacio vectorial al que se aplique. Grassman lo denominó producto vectorial lineal que no es más que el actual producto escalar que ha llegado a nuestros días y que reducido al espacio de tres dimensiones corresponde al producto vectorial de la actualidad. En esta misma época fue Gibbs el que desarrolló el álgebra similar para el espacio tridimensional. El concepto de hipercomplejo reúne a estos y otros sistemas pudiendo decirse que todo hipercomplejo es un punto en un espacio euclideo de más de dos dimensiones. Ello tiene aplicaciones más allá del productos vectorial o escalar, como son por ejemplo el campo de la geometría fractal, los fenómenos electromagnéticos y lumínicos o la mecánica cuántica. 8. CONCLUSIONES Y POSIBLES APLICACIONES AL AULA. Como hemos podido ver en el desarrollo del tema, las sucesivas ampliaciones del concepto de números tal y como las concebimos hoy en día mediante el concepto de inclusión ( ) desde una perspectiva histórica no han sido utilizadas y formalizadas de manera lineal y cronológica sino que las ampliaciones han surgido obedeciendo a una lógica multifactorial que compone los distintos problemas a los que han tenido que dar solución las diferente civilizaciones. Una ejemplificación de ello es que los número racionales pudieron ser utilizados antes del conceptos de números negativos. La formalización, abstracción y Javier Miranda Díaz 9 TEMA 10: SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMEROS. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y PROBLEMAS QUE RESUELVE CADA UNA. estructuración teórica de todos estos conceptos ha correspondido al álgebra moderna a través de la teoría de conjuntos. De la misma manera que se ha dado la evolución de los números, se puede hacer una traslación al aula de ESO y Bachillerato resumiendo su presencia en dos estados: uno más superficial como introducción y contextualización histórica de los números y las operaciones que pueden ser usado en los diferentes temas elementales y otro estado más profundo que tiene que ver con la ampliación de contenidos y la atención a la diversidad en el aula ya que la abstracción y teoría de este tema puede resultar una actividad de investigación complementaria para aquellos alumnos de altas capacidades o con una mayor capacidad de pensamiento abstracto como reto o actividad motivadora de enriquecimiento del aprendizaje. 9. BIBLIOGRAFÍA. Boyer, Historia de las Matemáticas, El libro universitario – Manuales, Alianza Editorial, 1999. Collete, J-P, Historia de las Matemáticas, vol 1 y vol 2, Siglo XXI, Ediciones 1992. Morris Kline, El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Vol I, II y III, Alianza Universidad ,1992 Javier Miranda Díaz 10
