Desarrollo de Competencias Matemáticas II DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Autores: David Benítez Mojica Noelia Londoño Millán Desarrollo de Competencias Matemáticas II INTRODUCCIÓN El presente libro de texto titulado Desarrollo de Competencias Matemáticas II: geometría y trigonometría, fue diseñado y elaborado con el objeto de contribuir al desarrollo de competencias de los estudias de matemáticas II de la preparatoria, desde un enfoque distinto a los libros de texto tradicionales, ya que se proponen una serie de actividades mediante las cuales el alumno explora, conjetura, argumenta, redacta, resuelve problemas, comunica sus ideas matemáticas de una manera espontánea y natural, etc. El libro consta de 30 hojas de trabajo en las cuales se exponen los temas del curso de matemáticas II. Cada hoja de trabajo fue diseñada con un encabezado que identifica la unidad a desarrollar, el tema y el subtema que se trabajara en cada una, así como también aparecen declaradas las competencias disciplinares que se quieren alcanzar. Así mismo cada hoja de trabajo tiene un diagnóstico con el cual se pretende indagar sobre lo que conoce cada alumno, una motivación o introducción al tema, también contiene conceptos y habilidades básicas, en donde se expone en condensada los subtemas. La sección en acción es una actividad que el alumno debe realizar sobre la misma hoja de trabajo, mientras que la evaluación viene a hacer parte de trabajo extraclase, que el alumno debe desarrollar en sus respectivos cuadernos. Esperamos que el presente documento contribuya de manera significativa al desarrolla de las competencias matemáticas de los alumnos, así como también sea un apoyo importante para el maestro en su quehacer docente. Los autores. ii Desarrollo de Competencias Matemáticas II DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA COMPETENCIAS GENERALES Transita entre las representaciones algebraicas, gráficas y verbales, a través el uso de lenguaje verbal y escrito; para la comprensión conceptual, la construcción de conjeturas, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas geométricos. Construye propiedades geométricas, a través de la exploración doblando papel, con estuche de geometría y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas geométricos, a partir de la modificación de las hipótesis de los problemas ya resueltos, para el desarrollo del pensamiento espacial, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos. Sigue un conjunto de pasos de construcciones geométricas, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades. Argumenta las ideas geométricas a través de cadenas de razonamientos para la resolución de problemas. iii Desarrollo de Competencias Matemáticas II TABLA DE CONTENIDO PAG. UNIDAD 1. ÁNGULOS 1.1. Sistemas de Medidas de ángulos. 1.1.1. Sistema Sexagesimal 1.1.2. Sistema Circular 1.2. Clasificación de los ángulos 1.2.1. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida 1.2.2. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. 1.3. Ángulos entre paralelas cortadas por una secante 1 8 17 22 29 UNIDAD 2. TRIÁNGULOS 2.1. Clasificación y construcción de Triángulos. 2.1.1. Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados 38 2.1.2. Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos 44 interiores 2.2. Rectas y puntos notables en un triángulo. 2.2.1. Bisectrices e incentro 50 2.2.2. Mediatrices y circuncentro 55 2.2.3. Medianas y baricentro 61 2.2.4. Alturas y ortocentro 66 2.2.5. propiedades del ortocentro, baricentro y circuncentro 72 2.3. Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos. 2.3.1. Principales teoremas de los triángulos: 2.3.1.1. Teorema de los ángulos interiores 76 2.3.2.2. Teorema de los ángulos exteriores 81 2.3.2.3. Teorema del ángulo externo 91 2.3.2.4. Teorema de Pitágoras 95 2.3.2. Principales propiedades de los triángulos: 2.3.2.1 La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles 102 2.3.2.2. La medida de los ángulos de la base en un triángulo isósceles 111 2.3.2.3. En todo triángulo, a mayor lado se opone el ángulo mayor 2.3.2.4. Postulados de la semejanza de triángulos 118 2.3.2.5. Postulados de la congruencia de triángulos 134 UNIDAD 3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 3.1. Triángulos Rectángulos 3.1.1. Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo 3.1.2. Cálculo de Funciones de ángulos de cualquier medida mediante el uso de la calculadora. 3.1.3 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 3.1.3.1. Funciones trigonométricas de ángulos especiales. (45º, 30º y 60º) iv 145 145 151 165 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3.1.3.2. 3.1.4 3.1.4.1. 3.1.4.2 3.1.4.3. 3.1.4.4. 3.1.4.5. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. Funciones trigonométricas en los límites de los cuadrantes. Identidades Trigonométricas. Identidades Fundamentales. Recíprocas. Cociente. Pitagóricas Comprobación de las identidades en cualquier triángulo rectángulo. Resolución de Triángulos Oblicuángulos. Ley de Senos Ley de Cosenos. Resolución de triángulos oblicuángulos usando figuras. Aplicaciones diversas. UNIDAD 4. TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 4.1. Perímetro y área de las principales figuras geométricas triangulo, rectángulo, polígonos regulares 4.2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. Punto medio. Puntos de trisección. Puntos en cualquier posición. 4.3. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta. 4.4. Ángulo entre dos rectas 4.5 Paralelismo y Perpendicularidad Paralelismo Perpendicularidad 165 175 189 196 206 212 218 224 224 230 BIBLIOGRAFIA v Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos Hoja de Trabajo No. 1 Tema: sistema de medida de ángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema Sistema sexagesimal Fecha: ________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Reconoce la escritura en el sistema sexagesimal de medida de ángulos, a través de la realización de ejercicios que impliquen su uso. Convierte minutos y segundos a grados, mediante el uso de las equivalencias respectivas. Usa las conversiones de grados a minutos y a segundos en las situaciones donde sea necesario para hacer operaciones en el sistema sexagesimal de medidas. Construye ángulos de medidas diferentes usando el transportador, el compás y la regla, o la geometría dinámica, de tal manera que le permita copiar modelos reales. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda. b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 6 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra ángulo. b. Escribe y dibuja los nombres de todos los ángulos que te acuerdes. c. Nombra cinco objetos reales que contengan ángulos y márcalos. d. ¿Sabes marcar un ángulo usando geogebra? e. Dibuja un ángulo con sus partes. f. Escribe formas distintas de nombrar los ángulos. 7 Si ( ) No ( ) Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Los ángulos son de mucha utilidad en la cotidianidad, por ejemplo se utilizan en topografía, arquitectura e ingeniería civil para medir la extensión de terrenos, hacer construcción de carreteras, puentes, casas y edificios. También se utilizan en la aeronavegación para orientar a los pilotos en el rumbo que deben seguir los aviones, para seguir la ruta adecuada y llegar al destino correcto. En esta lección aprenderás a manejar los diferentes sistemas de medidas de ángulos, realizarás operaciones con ellos y construirás propiedades sobre los ángulos con ayuda de material concreto y con el apoyo de las computadoras. Esta lección es muy divertida y contribuirá al desarrollo de tus habilidades matemáticas. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Para medir ángulos se puede usar cualquiera de los siguientes sistemas: el sistema sexagesimal, que utiliza grados minutos y segundos sexagesimales; el sistema circular cuya unidad de medida es el radian y el sistema centesimal que usa los gradianes. Medida de ángulos Sistema sexagesimal Sistema circular Sistema centesimal Grados, minutos y segundos Radianes Gradianes En el sistema sexagesimal se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes corresponde a un grado. Su símbolo es (°). Cada grado está compuesto por 60’ (minutos) y cada minuto lo componen 60’’ (segundos). El transportador es el instrumento para medir los grados sexagesimales 8 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Usando las equivalencias se pueden expresar los grados de tal forma que se empleen grados minutos y segundos. Veámoslo: 135° = 134° 60’ A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos. Pero si lo queremos hasta segundo: 135° = 134° 59’ 60’’ A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos. Pero a 60 le restamos uno, y este minuto que falta lo reemplazamos por 60’’ Otro ejemplo: Escribir 30º es equivalente a tener 29º59’60’’ Si se tiene 39° 245’ 87’’ no es una forma correcta de escribir empleando grados, minutos y segundos, porque los minutos y los segundos no deben ser mayores o iguales a 60, en este caso se procede de la siguiente manera: Primero dividimos 87 entre 60 esto da 1 y sobran 27’’, por lo que a los minutos le sumamos uno. 39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’ Aquí no termina, porque en los minutos hay un número mayor que 60, por tanto hay que repetir el proceso, dividimos 246’ entre 60 esto da 4 y sobran 6’ 39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’ = 43 ° 6’ 27’’ Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal En este sistema de medida de ángulos se pueden hacer las operaciones básicas como es la suma, la resta, la multiplicación y división. Para hacer alguna de las 9 Desarrollo de Competencias Matemáticas II dos primeras se debe operar entre las mismas unidades, es decir, grados con grados minuto con minutos y segundos con segundos. Es aquí donde utilizarás lo aprendido en las actividades anteriores: Halla el resultado de 180° – 15° 35’ 55’’ debes usar la equivalencia: 180° = 179° 59’ 60’’ 179° 59’ 60’’ – 15° 35’ 55’’ el resultado da 164° 24’ 5’’ Para nombrar los ángulos se emplean tres letras ABC en el entendido que el vértice es el punto B (en el medio). Pero también puede emplearse letras griegas que se escriben a continuación, con sus respectivos nombres: EN ACCIÓN Mide cada uno de los siguientes ángulos usando el transportador: Encuentra la suma de los cuatro ángulos. Expresa esta suma usando grados, minutos y segundos. 10 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Halla el resultado de las siguientes operaciones: a. 59° 25’ 54’’ + 234° 21’ 13’’ c. 193’’32’ 19’’+ 170° e. 178° 18’26’’- 12° 35’ 49’’ b. 12° 5’ 44’’ + 24° 25’ 33’’ d. 67° 12’ 45’’ - 33° 7’ 39’’ f. 29° 36’ 11’’- 11° 45’ 34’’ 2. Calcula cual el ángulo que hay entre cada número de un reloj. 3. Cuál es la medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj cuando estas marquen la 4:32. 4. Se observó un reloj que empezó a moverse a las doce en punto transcurrido 8 horas y 25 minutos y han a. ¿Cuántas vueltas completas ha dado el minutero b. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el minutero? c. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el horario? 5. Una pareja de ángulos son complementarios si la suma de ellos es 90º y una pareja de ángulos son suplementarios si la suma de ellos es de 180º. a. Halla los ángulos complementarios a los siguientes ángulos: a. b. c. d. 34º 11’ 56’’ 7º 9’ 47’’ 68 º 23’ 11’’ 60 º 13’ 1’’ b. Halla los ángulos suplementarios a los siguientes ángulos: 1)177º 23’ 32’’ 2) 123º 34’ 3) 30º 20’ 15’’ 11 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Un cuadrilátero es cíclico cuando todos los vértices pertenecen a la misma circunferencia. Por ejemplo, el siguiente cuadrilátero es cíclico: Realiza las siguientes actividades: a. Sobre una hoja dibuja varios cuadriláteros cíclicos. b. Marca los ángulos internos de cada cuadrilátero (en cada caso, debes usar la misma abertura del compás). c. En cada cuadrilátero ilumina las parejas de ángulos internos opuestos, usando el mismo color para cada pareja de ángulos opuestos. d. Recorta los ángulos internos. e. Junta los recortes por parejas de ángulos internos opuestos. f. En el siguiente espacio en blanco construye una conjetura sobre los ángulos internos de un cuadrilátero cíclico. 7. ¿Todos los cuadriláteros se pueden inscribir en una circunferencia? Explica. a. Si ( ) b. No ( ) c. No sé 12 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos Hoja de Trabajo No. 2 Tema: sistema de medida de ángulos Materiales: lápiz, pluma y geogebra, regla compás, transportador, e hilo Sub-tema Sistema circular Fecha: ________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Entiende la definición de radian, a través de la construcción geométrica para emplearlos en situaciones reales. Reconoce la escritura en el sistema circular de medida de ángulos, a través de la realización de ejercicios que impliquen su uso. Realiza conversiones del sistema sexagesimal al sistema circular y viceversa, usando las equivalencias respectivas, para aplicarlos en las solución de ejercicios y problemas ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para conocer sobre los prerrequisitos del tema. b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos en el sistema circular. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 13 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe como haces para construir una circunferencia usando geogebra, 2. Describe el procedimiento que sigues cuando deseas transferir una medida sobre una recta y sobre una circunferencia. MOTIVACIÓN Vas a hacer la siguiente construcción usando papel, regla, compás, transportador e hilo. a. Construye una circunferencia del radio arbitrario y con centro en el punto C. b. Ubica un punto en la circunferencia y llámalo A. c. Traza un radio de la circunferencia. d. Con una cuerda de hilo, mide el radio de la circunferencia, y sin modificar su medida, transfiérela sobre la circunferencia a partir del punto A. e. Al punto donde quedó la transferencia llámale B. f. Traza un ángulo ACB y mídelo. g. Escribe en el sistema sexagesimal cuánto es el valor de este ángulo. _________________________ h. Repite cada uno de los pasos de la actividad anterior ahora con dos circunferencias de radios diferentes al anterior. i. ¿Cuánto mide el nuevo ángulo ACB que se forma en cada circunferencia? Medida del Ángulo ACB en la 1ª circunferencia Medida del Ángulo ACB en la 2ª circunferencia 14 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Radian Para que aprendas el concepto de radian debes realizar las siguiente actividad. 1. Abre en geogebra el archivo RAD.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 2. Mide los segmentos a, b, el arco f y el ángulo (en radianes). Registra las medidas en la siguiente tabla. Luego modifica el radio (arrastrando el punto B) y completa la tabla: Medida del segmento a Medida del segmento b Medida del arco f Medida del ángulo 3. El ángulo central tiene por medida un radian. Usa la construcción anterior para elaborar una definición de radian de acuerdo a lo que has observado. 15 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro A continuación realizarás otra actividad para que conjetures otra propiedad de la circunferencia. 1. Dibuja cuatro circunferencias de distinto radio. 2. En cada circunferencia traza un diámetro. 3. Mide la longitud de cada diámetro. 4. Mide la longitud de cada circunferencia. 5. Completa la siguiente tabla. Longitud del diámetro Longitud de la circunferencia 6. A partir de los resultados de la tabla anterior, construye una conjetura. 16 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Longitud de un arco de circunferencia. A continuación encontrarás una relación entre la medida del ángulo central, el arco que subtiende y el radio de la circunferencia Abre el archivo Angulo-Arco-Radio.ggb, allí encontrarás una figura como la siguiente: En cada caso mide la longitud del arco, del radio y del ángulo central. Completa la siguiente tabla: Medida del radio Medida del ángulo Central (en radianes) Medida del arco a) Compara las medidas de la tabla anterior y establece una conjetura: 17 Desarrollo de Competencias Matemáticas II A partir de la actividad anterior, pudiste establecer la relación entre la medida de un ángulo central, el radio y el arco que subtiende. Sea una circunferencia de radio r, sea s la longitud del arco que subtiende. el ángulo central (medido en radianes) y Entonces se cumple que: Por ejemplo, en la siguiente circunferencia de radio 3 m, se pide calcular la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 2 radianes. Para calcular la longitud del arco, utilizamos la expresión: 18 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Conversión de medidas angulares de radianes a grados En esta sección aprenderás a realizar conversión de medidas angulares, entre el sistema circular y sexagesimal. Para ello debes realizar las siguientes actividades: a. Sobre cada una de las siguientes semicircunferencias dibuja un radian. A continuación de este radián dibuja otro y así hasta completar la media vuelta. b. Completa la siguiente tabla: ¿Cuántas veces es posible marcar un radian sobre cada semicircunferencia? semicircunferencia de la izquierda semicircunferencia del centro semicircunferencia de la derecha Como puedes ver en cada arco de semicircunferencia caben tres radianes y una fracción. A continuación vamos a estimar dicha fracción. Para cumplir con este objetivo, trazamos cuatro semicircunferencias, sobre cada una de ellas, medimos la longitud de su arco y la longitud de su radio: Usaremos la expresión para calcular la longitud del arco de circunferencia: 19 Desarrollo de Competencias Matemáticas II De esta expresión se puede despejar el ángulo central: Usando esta expresión y la medida de los arcos de semicircunferencia y la medida de los radios, completaremos la siguiente tabla: Longitud de la semicircunferencia 10.79394 8.24682 5.0896 9.56905 Longitud del radio 3.1415906… 3.1415906… 3.1415906… 3.1415906… 3.43582 2.62504 1.62007 3.04592 De esta manera, podemos establecer que la medida del ángulo central que subtiende un arco de una semicircunferencia es equivalente a π radianes. Y como un ángulo llano es el ángulo central en una semicircunferencia, se establece la siguiente relación: π radianes equivale a 180º. EN ACCIÓN 1. Convierte en el sistema de radianes los siguientes grados sexagesimales: 23°, 34°, 15°, 270° 2. Las escuadras usadas en dibujo técnico tienen las combinaciones 45° y 30°, 60°, convierte estos grados sexagesimales a radianes. 3. Completa la siguiente tabla: (puedes usar regla de tres simple directa, sabiendo que π rad equivale a 180º). Grados sexagesimales Radianes 35° 540° 100° 3 20 7 2 11° 5 8 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Con ayuda de los conocimientos y habilidades que desarrollaste en la presente hoja de trabajo, deduce una fórmula para calcular la longitud de una circunferencia de radio r. 2. Una correa conectada a dos poleas, una de radio 25 cm y otra de radio 10 cm . Si la polea grande da un giro completo ¿Cuál es el ángulo que girará la polea pequeña? 3. Un aspersor funciona con un mecanismo que produce un movimiento circular de ida y vuela barriendo un ángulo de 60º . Si el aspersor tiene un alcance de 3 metros, ¿Cuál es la medida del arco que barre el aspersor? 21 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos Tema: sistema de medida de ángulos Hoja de Trabajo No. 3 Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema Clasificación de ángulos de acuerdo a su medida Fecha: ________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Comprende la clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida, mediante la visualización de ejemplos concretos, para que resuelva problemas geométricos. Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su medida para que pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para conocer sobre los prerrequisitos del tema. b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos en el sistema circular. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 22 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes 2. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida. 3. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición. MOTIVACIÓN La clasificación de ángulos de acuerdo a su medida, es un tema muy útil en geometría porque con este recurso se clasifican los triángulos de acuerdo a la medida de los ángulos que posea. Clasificar es una habilidad central del pensamiento matemático, porque se agrupan objetos en clases o familias generales de acuerdo a un atributo común. En la presente hoja de trabajo se clasifican los ángulos de acuerdo a su medida. Conocerás las diferentes familias de ángulos, aprenderás a clasificarlos, construirás dibujos de cada familia y resolverás problemas interesantes. 23 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS En la siguiente tabla se presenta una clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida, se da una definición y se presenta un dibujo de cada tipo de ángulo. Nombre el Ángulo Agudo Definición Un ángulo agudo es aquel que mide menos de 90º. Recto Un ángulo recto es aquel cuya medida es de 90°. Obtuso Ángulos obtusos son aquellos que miden más de 90° y menos que 180°. llano Un ángulo llano mide 180º. EN ACCIÓN a. Clasifica el siguiente conjunto de ángulos: Tipo de ángulo Agudos Rectos Obtusos Llanos 24 Ángulos Dibujo Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Dibuja y nombra los ángulos cuyas dimensiones son las siguientes: 179° 36° 57° 91° =10° 125° 14° 90 180° 159° 2. Clasifica los ángulos anteriores en agudos, llanos, obtusos y rectos. Anótalos en una tabla 3. La siguiente construcción corresponde a La Alhambra, Granada, en ella aparecen varios ángulos debes señalar un total de diez ángulos en los cuales debes incluir las distintas clases vistos en la presente lección. 4. Debes completar la sucesión teniendo en cuenta lo siguiente: En un triángulo equilátero que es un polígono regular de tres lados y tres ángulos iguales, cada ángulo interior mide 60° En un cuadrado cada ángulo interior mide 90°. En un pentágono regular cada ángulo interior mide 108°. Esta información se escribió en la tabla siguiente. Número de lados del polígono regular Medida de un ángulo interior 3 4 5 60° 90° 108° 25 6 7 8 9 10 n Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Encuentra una relación del número de lados del polígono con la medida de sus ángulos interiores. Explica la técnica utilizada, debes explicarla en el pizarrón para todos los de tu clase. 6. En el siguiente polígono irregular marca todos los ángulos interiores teniendo en cuenta de señalar con rojo los agudos, con verde los obtusos, los llanos con amarillo y con azul los rectos. 26 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos Hoja de Trabajo No. 4 Tema: sistema de medida de ángulos Materiales: lápiz, compás, regla y geogebra Sub-tema Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. Fecha: ________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Clasifica los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. Mediante el doblado de papel y el uso de geometría dinámica para resolver problemas que impliquen su uso. Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su posición para que pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas. Identifica las distintas clases de ángulos de acuerdo a la posición en construcciones geométricas complejas. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para conocer sobre los prerrequisitos del tema. b. Tendrás la oportunidad de utilizar el doblado de papel para la identificación de ángulos de acuerdo a la posición con otros ángulos. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión en forma respetuosa y da a conocer tus puntos de vista tanto al profesor como a tus compañeros. 27 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes 2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida. 3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición. MOTIVACIÓN 1. Sobre un papel realiza un dibujo similar al siguiente: a. Recorta cada pareja de ángulos opuestos por el vértice. b. Compara la medida de cada pareja de ángulos opuestos por el vértice. c. En tu cuaderno construye una conjetura sobre la medida de los ángulos opuestos por el vértice. 28 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo a la posición con otros ángulos en: a. Ángulos adyacentes. b. Ángulos complementarios. c. Ángulos suplementarios. d. Ángulos conjugados. e. Ángulos opuestos por el vértice Los ángulos adyacentes son aquellos ángulos en los que se comparte un lado y el vértice. Un ejemplo de ellos son los ángulos BAC y CAD, como los de la figura, el lado común es AC. Y el vértice común es A. Los ángulos opuestos por el vértice se forman por dos rectas que se cortan, en este caso se generan dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice tienen el mismo vértice. En la gráfica aparece sombreados la pareja de ángulos CDA y BDE. 29 Desarrollo de Competencias Matemáticas II El complemento de un ángulo que mide 76° es 14°, el complemento de un ángulo que mide 6° es 84° en general: Una pareja de ángulos son complementarios si la suma de sus medidas da 90° ¿Cuál es el complemento de un ángulo que mide 37° 19’ 35’’? Aquí es necesario expresar 90° usando grados minutos y segundos: 90° = 89° 59’ 60” 89° 59’ 60’’- 37° 19’ 35’’ = 52° 40’ 25’’ Gráficamente se puede visualizar cuando dos ángulos son complementarios, dado que es fácil ver si entre los dos suman un ángulo recto. En la figura se puede ver que los ángulos CAD y DAB son complementarios, la suma de los dos da el ángulo CAB que es un ángulo recto. Una pareja de ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas da 180° 1. Si el ángulo mide 30° su suplemento es 150°, pero si el ángulo mide 123° 17’ 55’’ su suplemento será 56° 29’ 5’’ ¿Cómo obtener estos resultados? 2. Para el primero 180°- 30° = 150° 3. Ya el segundo ejemplo como tiene grados, minutos y segundos se debe expresar 180° en grados minutos y segundos: 180° = 179° 59’ 60” Ahora si se hace la diferencia: 179° 59’ 60’’ - 123° 17’ 55’’ = 56° 29’ 5’’ 4. Sin usar medidas también se puede identificar los ángulos suplementarios sólo basta ver que al sumar los ángulos de una línea recta. 30 Desarrollo de Competencias Matemáticas II El conjugado de un ángulo es igual a lo que le falta para completar la circunferencia es decir para ser igual a 360°. Por el ejemplo si se tiene un ángulo de 35° su conjugado será igual a 325° que se obtiene de hacer 360° - 35° = 325°. Si los ángulos están expresados en grados minutos y segundos se debe utilizar la equivalencia de: 360° = 359° 59’ 60’’ EN ACCIÓN 2. Dibuja un ángulo adyacente al ángulo dado 3. En la siguiente gráfica dibuja otra pareja de ángulos opuestos por el vértice, marca la pareja de ángulos CDB y ADE, usando lápiz de color. 4. Utiliza el archivo OP.ggb de geogebra para refutar o para afirmar la siguiente idea “No siempre se cumple que todos los ángulos opuestos por el vértice tiene la misma medida” 5. Mide los ángulos y mueve el punto G. Compara cada vez las medidas de los dos ángulos opuestos por el vértice. 6. ¿La afirmación es cierta?____ ¿La afirmación es falsa? _____ Explica. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 31 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 7. Dibuja un pareja de ángulos, con vértice en A tal que la suma dé el ángulo MAN. 8. Dibuja un ángulo con vértice en B de tal manera que sea el complemento del ángulo CBE. 9. Dibuja un ángulo suplementario de CAB 9. Dibuja el ángulo y su respectivo conjugado de: = 30°, 45°, 270°, 87°, 98°. Usa marcas diferentes del ángulo y su conjugado. 10. Sin dibujar halla el ángulo conjugado de 12° 24’ 31’’, 133° 24’ 57’’, 90 =314° 35’ 32 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Las rectas GI y CH se intersecan en el punto A, las cuales forman diferentes ángulos de acuerdo a la posición. Completa una tabla con el nombre de los ángulos según corresponda. Nota el ángulo EAC = EAH y son rectos. Opuestos por el vértice Adyacentes Parejas de Ángulos Suplementarios Conjugados Complementarios 2. Cuáles de las parejas anteriores cumplen con las dos condiciones a la vez: de ser: complementarios y adyacentes: 3. Adyacentes y suplementarios: 4. Adyacentes y rectángulos. 5. En tu cuaderno halla el complemento, el suplemento y el conjugado de cada uno de los siguientes ángulos. (donde se pueda) =88°, 16°, 225°, 57°, 191° 11’ 5’’, 25°, 4° 16’ 37’’, 197° 32’ 50’’. 6. Las rectas L, M y T se cortan en el punto S. el ángulo que forman las rectas T y M es de 90º, y el ángulo que forman las rectas L y T es de 37º, halla la medida de todos los ángulos que generan alrededor del punto S. haz un dibujo para ilustrar lo que se plantea. 7. De la situación anterior a. ¿Cuánto mide el conjugado del ángulo que forman las rectas L y M? b. ¿Cuánto mide el complemento del ángulo que forman las rectas L y M? c. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo que forman las rectas L y M? 33 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos Tema: sistema de medida de ángulos Hoja de Trabajo No. 5 Materiales: pluma y geogebra Sub-tema Ángulos entre paralelas cortadas por una secante. Fecha: ________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Reconoce las propiedades de los distintos ángulos cuando dos rectas paralelas se cortan por una secante transversal, a través de la interacción con el software de geometría dinámica, para argumentar en forma precisa algunos teoremas. Usa las propiedades de los ángulos entre paralelas y una secante para hallar los valores de las medidas de otros ángulos en la solución de ejercicios. Sin necesidad de hacer mediciones concretas. Identifica cuando es posible usar las propiedades de los ángulos entre paralelas a través de contraejemplos, para reafirmar el conocimiento y usarlos en la solución de problemas. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, esto te permitirá retroalimentar tus conocimientos sobre ángulos. b. En la parte final debes negar las hipótesis para refutar o afirmar si se siguen cumpliendo las propiedades. c. Cuando el profesor realice la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 34 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN a. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son alternos internos: Recorta los ángulos general. . Compara su medida y saca una conclusión b. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son alternos externos entre paralelas: Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión general. c. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son correspondientes entre paralelas: Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión general. 35 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes 2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida. 3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición. 4. De la misma lista del enciso 1. Realiza una nueva lista que corresponda ángulos cortados por una secante transversal. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Al cortar dos paralelas con una secante transversal se generan en total 8 ángulos, pero por la posición se pueden agrupar en las clases siguientes: a. b. c. d. Alternos internos Alternos internos Opuestos por el vértice correspondientes 36 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Ángulos alternos internos: son aquellos que se hallan a distintos lados de la transversal pero dentro de las paralelas. En las gráficas los ángulos y son alternos internos, al igual que la pareja y Otra clase ángulos que se genera es la de alternos externos: son aquellos que se encuentran en lados distintos de la transversal pero fuera de las paralelas, también son dos parejas. Los ángulos correspondientes son aquellos que se hallan sobre el mismo lado de la trasversal pero uno dentro y otro fuera de las paralelas. Veamos el ejemplo: 37 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN a. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos internos. Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el mismo color. b. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos externos. Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el mismo color. c. Teniendo en cuenta la definición de ángulos correspondientes entre paralelas. ¿Cuántas parejas de ángulos correspondientes puedes marcar en el dibujo siguiente? ________ márcalos empleando diferentes colores para cada pareja. 38 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN Deduce algunas propiedades: 1. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado los ángulos adyacentes . a. ¿Cuál es la suma de los ángulos ?__________________ b. Sobre la figura anterior dibuja otras parejas de ángulos adyacentes. Cada pareja ilumínala del mismo color. 2. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se han resaltado los ángulos SFE y EFN. a. Utilizando papel y calca los ángulos SFE y EFN. Recorta estos ángulos b. Compara la medida de estos ángulos, con los otros seis ángulos restantes. c. Ilumina con el mismo color los ángulos que tienen la misma medida. 39 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente: a. Mide los ángulos alternos internos y que aparecen dibujados b. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los ángulos. c. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados Medida del ángulo Medida del ángulo d. Compara los valores de los dos ángulos y ¿Cómo son las medidas? ________________ ¿Siempre? _____________________. e. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar medida de dos ángulos alternos internos. sobre la 4. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente: a. Borra los ángulos alternos internos y dibuja una pareja de ángulos alternos externos. b. Mide los ángulos alternos externos y anota las medidas en la tabla. c. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los ángulos. d. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados 40 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Medida del ángulo Medida del ángulo e. Compara los valores de los dos ángulos y ¿Cómo son las medidas? ________________ ¿Siempre? _____________________. f. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar medida de dos ángulos alternos externos. sobre la 5. En la siguiente figura las rectas S y R son paralelas, L y M son perpendiculares en el punto F, es decir el ángulo mide 90°. Si el ángulo mide 47° encuentra el valor de los otros 12 ángulos. 6. Usa tu cuaderno para hacer lo siguiente: a. Traza un triángulo, el que tú quieras, b. Traza una recta que sea paralela a uno de los lados y que pase por el vértice opuesto, el dibujo te ayudará. La recta que pasa por el vértice B es paralela al lado AC del triángulo 41 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Los ángulos y ¿Tienen la misma medida? __________ justifica tu respuesta. ¿Cómo se llaman los ángulos y de la figura? d. Sobre el mismo triángulo ¿se pueden construir otra pareja de ángulos de la misma clase? ___________ Explica tu respuesta. c. 7. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se da el valor del ángulo y se pide el valor de los demás ángulos. i 8. En la siguiente construcción no hay rectas paralelas. Hallar el valor de los ángulos que puedas si el ángulo dado mide 70° Explica como obtienes la medida de los ángulos. 42 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Clasificación y construcción de Triángulos Hoja de Trabajo No. 6 Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus lados mediante el uso de mediciones y clasificaciones. Reconoce las clases de triángulos a partir de una representación gráfica, o representación verbal y lo relaciona con conocimientos anteriores. Estrategias didácticas a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas. 43 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes. 2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus lados. 3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados. Explica cual es la clasificación. Usa las herramientas que desees. 44 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Trazos sencillos con regla y compas: 1. Traza tres segmentos de diferente longitud. Espacio para dibujar los segmentos 2. Usa el compás para construir dos circunferencias concéntricas con centro en el punto T, usando como radios los segmentos de menor tamaño. (Las circunferencias deben tener el mismo centro T). 3. Ubica un punto S en la circunferencia de radio menor. 4. Traza una nueva circunferencia con centro en S y radio lo que mida el segmento mayor. 5. Marca el punto de intersección de entre las circunferencias de mayor radio. Llámalo R. 6. Construye un triángulo que pase por los puntos R, S y T 7. ¿Pudiste construir el triángulo? ___________ 8. Piensa y responde ¿para que tamaño de los segmentos no se formaría un triángulo? Escribe las dimensiones. 9. ¿Es posible que exista un triángulo si todos los segmentos iniciales tienen la misma longitud? Da un ejemplo. 45 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los lados 1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos: 2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las medidas de los lados de los triángulos, para completar la siguiente tabla: Triángulos de tres lados de la misma longitud Triángulos de dos lados de la misma longitud 46 Triángulos de tres lados desiguales Desarrollo de Competencias Matemáticas II Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las figuras. a. Triángulo equilátero: Es aquel que tiene tres lados de la misma longitud. b. Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados de la misma longitud. c. Triángulo escaleno: Es aquel que tiene todos los lados de diferente longitud. EN ACCIÓN Usa las definiciones anteriores y los números de las figuras del punto número 1 para completar la siguiente tabla: Triángulos equiláteros Triángulos isósceles Triángulos escalenos. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos: a. b. c. d. e. Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B Con centro en A y radio AB traza una circunferencia. Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia. Ubica los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalos C y D. Traza una recta por los puntos C y D. Esta es la recta mediatriz al Segmento AB Espacio para realizar los trazos 47 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Construyendo propiedades de la mediatriz. a. Ubica el punto de intersección de la recta mediatriz con el segmento AB. Llámalo M. b. Mide las distancias AM y MB. ¿Qué puedes concluir? c. Mide los ángulos CMA y CMB. ¿Qué puedes concluir? 2. Construyendo una familia de triángulos. a. Ubica tres puntos arbitrarios sobre la recta mediatriz. Llámalos E, F y G. b. Construye los triángulos ABE, ABF y ABG. c. ¿Qué clase de triángulos son ABE, ABF y ABG? 3. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos: a. Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B b. Con centro en A y radio AB traza una circunferencia. c. Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia. d. Ubica uno de los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalo C e. Traza el triángulo ABC. f. Mide las distancias AB y AC y BC. ¿Qué relación existe entre estas medidas? g. Mide los ángulos ABC BAC y BCA. ¿Qué relación existe entre estas medidas? ¿Qué clase de triángulo es ABC? 4. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo isósceles, un triángulo equilátero y un triángulo escaleno. 5. Abre el archivo TRIÁNGULO.ggb y haz lo siguiente: a. Los segmentos representan los lados de un triángulo, cambia las dimensiones de cada uno de los segmentos, date cuenta que a medida que modificas las dimensiones de los segmentos se forma o no un triángulo. Y escríbelas en una tabla. Lado mayor Suma de los lados menores ¿Existe triángulo? b. Compara la medida del lado más grande con la suma de las medidas de los lados pequeños. Y responde ¿existe triángulo? c. Expresa con tus propias palabras que se debe cumplir en las medidas de los lados de los triángulos para este exista. 6. Si cada terna de números representa los tres lados de un triángulo indica con cuales de ellas es posible que exista un triángulo. 1, 2, 3 7, 6, 2 11, 17, 4 3, 4, 5 5, 7, 9, 5, 5, 7 48 3, 1, 3 9, 1, 7 5, 5, 1 6, 2, 5 1, 1, 5 3, 21, 25 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Hoja de Trabajo No. 7 Tema: Clasificación y construcción de Triángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás transportador Sub-tema Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos internos mediante el uso de mediciones y clasificaciones. Reconoce las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos a partir de una representación gráfica, o representación verbal y lo relaciona con conocimientos anteriores. Estrategias didácticas a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedas reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de duda. 49 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes. 2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus ángulos. 3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus ángulos. Explica cual es la clasificación. Usa las herramientas que desees. 50 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Usa tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos y anota este valor cerca de cada ángulo. 2. Escribe el nombre de cada ángulo según corresponda Ángulo acutángulo Ángulo rectángulo Ángulo rectángulo 3. Escribe cuales debes juntar para formar un ángulo obtuso, ¿es posible formar un ángulo rectángulo, con cuales? ¿Cuántos ángulos son agudos? ___ 4. ¿Con cuales ángulos de la figura se puede construir un triángulo? 51 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los ángulos y Construcción de triángulos 1. Mide los ángulos internos de cada uno de los siguientes triángulos: 2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las medidas de los ángulos internos de los triángulos, para completar la siguiente tabla: Triángulos un ángulo recto Triángulos que tienen todos los ángulos agudos 52 Triángulos que tienen un ángulo obtuso Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las figuras. a. Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos agudos. b. Triángulo rectángulo: Es aquel que un ángulo interno recto. c. Triángulo obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno obtuso. EN ACCIÓN Usa estas definiciones y los números de las figuras del punto número 1 para completar la siguiente tabla: Triángulos rectángulos Triángulos acutángulos Triángulos obtusángulos. EVALUACIÓN 1. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos: Trazos básicos a. Traza una circunferencia. b. Traza un diámetro de la circunferencia (recta que divide la circunferencia en dos semicircunferencias) c. Ubica un punto M sobre la circunferencia que no sean los puntos de corte del diámetro y la circunferencia. 53 Desarrollo de Competencias Matemáticas II d. Ahora construye un triángulo tomando como lado todo el diámetro de la circunferencia y vértice el punto M. e. ¿Qué clase de triángulo se forma? f. Describe otra forma posible de construir esta clase de triángulo. 2. Defienda o refute la siguientes afirmaciones: a. Todo triángulo equilátero es acutángulo. b. Todo triángulo rectángulo es isósceles. c. Todo triángulo escaleno es obtusángulo 3. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo isósceles un triángulo equilátero y un escaleno. 54 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Puntos y rectas notables del triángulo Materiales: lápiz, geogebra, regla y compás Hoja de trabajo No. 8 Sub-tema Bisectrices y el incentro. Fecha ______________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre bisectrices, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad. Argumenta las ideas matemáticas sobre las bisectrices, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda. b. Luego debes usar geogebra para construir las bisectrices y el incentro de un triángulo. c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las bisectrices y el incentro. d. En la parte final debes usar regla y compás para construir el incentro y las bisectrices de algunos triángulos. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros 55 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra bisectriz. 2. Dibuja un ángulo y construye una bisectriz. 3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una bisectriz? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una bisectriz? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 5. ¿Sabes usar el comando bisectriz de geogebra? 56 Si ( ) No ( ) Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Actividad con doblado de papel a. Construye una forma triangular. b. Construye las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura resultante. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Traza un triángulo ABC. 2. Trazar las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo (de acuerdo a las herramientas disponibles puedes utilizar el comando de bisectriz o regla y compás). 3. Realiza los dos pasos anteriores nuevamente. 4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres bisectrices? Espacio para redactar una conjetura 57 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Al punto de corte de las Bisectrices llámalo I. 6. Por I traza perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo. 7. Encuentra el punto de intersección de cada perpendicular con el lado del triángulo. Llama a estos puntos M, N y O. 8. Encuentra las distancias IM, IN e IO. Arrastra los vértices del triángulo para que contestes la siguiente pregunta: ¿Qué puedes decir sobre las distancias IM, IN e IO? 9. Construye una circunferencia tomando como centro el punto I y radio IM. 10. La circunferencia pasa por M. ¿También pasa por I y por N? Justifica. El punto I se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo dado. 58 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN a. Usa regla y compás para trazar el incentro de los siguientes triángulos: b. Traza la circunferencia inscrita al siguiente triángulo: EVALUACIÓN 1. 2. 3. 4. 5. ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el interior del triángulo? ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en la frontera del triángulo? ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el exterior del triángulo? ¿El incentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo? ¿Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero también concurren en un punto? 59 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Hoja de Trabajo No. 9 Tema: Puntos y rectas notables del triángulo Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-Tema: Mediatrices y el circuncentro. Fecha: _________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Comunica las propiedades de las mediatrices de los lados de un triángulo, a través del doblado de papel y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre mediatrices, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. La primera aproximación a las propiedades de las mediatrices de los lados de un triángulo, es a través del doblado de papel. b. Luego debes usar geogebra para construir las mediatrices y el circuncentro de un triángulo. c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las mediatrices y el circunscentro. d. En la parte final debes usar regla y compás para construir las mediatrices y el circuncentro de algunos triángulos. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 60 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediatriz. 2. Dibuja un segmento, usa regla y compás para encontrar su punto medio 3. Dibuja un segmento y construye una mediatriz 61 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una mediatriz? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 5. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediatriz? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 6. ¿Sabes usar el comando mediatriz de geogebra? Si ( ) 62 No ( ) Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Traza un triángulo ABC. 2. Trazar las mediatrices de cada lado del triángulo (puedes utilizar el comando de mediatriz). 3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres mediatrices? 4. ¿El punto de corte de las mediatrices puede estar en el interior del triángulo? ¿En la frontera? ¿En el exterior? 5. Al punto de corte de las Mediatrices llámalo M 6. Encuentra las distancias MA, MB y MC. Arrastra los vértices del triángulo. A partir de estas observaciones, redacta una conjetura sobre las distancias MA, MB y MC. 63 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 7. En el siguiente espacio en blanco dibuja una circunferencia tomando como centro el punto M y radio MA. 8. La circunferencia pasa por A. ¿También pasa por B y por C? Justifica. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS El punto M se llama circuncentro porque es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo dado. EN ACCIÓN 1. Usa regla y compás para trazar el circuncentro de los siguientes triángulos: 64 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Traza la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo: EVALUACIÓN 1. Tres ciudades cercanas A, B y C quieren construir un centro de abastecimiento de combustible de gasolina en un punto que esté a la misma distancia de las tres ciudades. Describe dónde pondrías el centro de abastecimiento y justifica tu respuesta. 2. Usa Geogebra, regla y compás o doblado de papel para realizar las siguientes exploraciones: a. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo acutángulo? b. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo rectángulo? c. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo obtusángulo? 3. ¿Las bisectrices de los lados cualquier cuadrilátero se cortan en un punto? 4. A partir del problema anterior, redacta un nuevo problema 65 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Puntos y rectas notables del triángulo Hoja de Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Trabajo No. 10 Sub - Tema: Medianas y el baricentro. Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre las medianas de los lados de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre medianas, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad. Argumenta las ideas matemáticas sobre las medianas, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes usar geogebra para construir las Medianas y el baricentro de un triángulo. b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las Medianas y el baricentro. c. En la parte final debes usar regla y compás para construir las Medianas y el baricentro de algunos triángulos. d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 66 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediana. 2. Dibuja un triángulo y construye una mediana sobre uno de sus lados. 3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una mediana? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediana? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 5. ¿Sabes dibujar una mediana usando geogebra? Si ( ) 67 No ( ) Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Traza un triángulo ABC. 2. Traza los puntos medios de los lados del triángulo ABC. 3. En el dibujo anterior, traza las tres medianas del triángulo 4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres medianas del triángulo? 5. Al punto de corte de las Medianas llámalo G y es el gravicentro o baricentro del triángulo. 68 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Diseña un procedimiento para comparar las distancias de AG con GE; de BG con GF y de CG con GD. Espacio para comunicar el procedimiento utilizado 7. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados AG Y GE. 8. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados BG Y GF. 9. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados CG Y GD. 69 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN Usa regla y compás para trazar el Baricentro del siguiente triángulo: EVALUACIÓN 1. Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones y responde: 2. ¿El punto de corte de las medianas puede estar en el interior del triángulo? ¿En la frontera? ¿En el exterior? 3. ¿Cómo puedes encontrar el baricentro de un cuadrilátero (polígono de cuatro lados)? 4. ¿Qué ocurre con el baricentro, el incentro y el baricentro de los triángulos equiláteros? 5. Tienes un polígono irregular, ¿Ese polígono irregular tiene baricentro?_____ 6. Redacta un procedimiento para hallar el baricentro de las siguientes figuras 70 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Puntos y rectas notables del triángulo Hoja de Materiales: pluma y geogebra, regla compás y escuadras Trabajo No. 11 Sub - Tema: Alturas y el ortocentro Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias específicas Construye propiedades sobre las alturas de de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Argumenta las ideas matemáticas sobre las alturas de un triángulo, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes usar geogebra para construir las alturas y el ortocentro de un triángulo. b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las alturas y el ortocentro. c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir las alturas y el ortocentro de algunos triángulos. d. En la parte final debes usar Geogebra para realizar exploraciones sobre el ortocentro. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 71 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN En esta hoja de trabajo trabajaremos con algunas propiedades que tienen las alturas que se construyen sobre los lados de un triángulo. Para empezar a motivar el estudio de estas propiedades, vamos a introducir el tema con una actividad sobre el papel: a. Recorta una forma triangular. De preferencia el triángulo debe ser acutángulo. b. Dobla el papel, de tal manera que traces rectas que pasen por cada uno de los vértices y que sean perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo,. c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura que obtuviste después de hacer todos los dobleces. d. En el siguiente espacio en blanco construye una propiedad general sobre las las tres rectas que trazaste. 72 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra altura. 2. Dibuja triángulo y construye una altura 3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una altura? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 73 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una altura? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento 5. ¿Sabes usar el comando altura de geogebra? Si ( ) No ( ) CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Traza un triángulo ABC. 74 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Traza la altura a cada lado del triángulo. Lo puedes hacer con una recta perpendicular a cada lado que pase por su vértice opuesto. Por ejemplo, en la siguiente figura se traza una perpendicular al lado AB que pase por su vértice opuesto que es el punto C. Debes hacer el procedimiento similar para los otros dos lados del triángulo 3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres alturas del triángulo? Al punto de corte de las Alturas llámalo O y es el ortocentro del triángulo. Se llama así porque es el corte de rectas perpendiculares, también llamadas ortogonales. EN ACCIÓN 1. Usa regla y compás para trazar el Baricentro de los siguiente triángulos: 75 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones: 1. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo acutángulo? Dibuja y explica 2. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo rectángulo? Dibuja y explica. 3. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo obtusángulo? Dibuja y explica. 76 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Puntos y rectas notables del triángulo Hoja de Materiales: pluma y geogebra, regla, compás y escuadras Trabajo No. 12 Sub - Tema: propiedades del ortocentro, baricentro y circuncentro Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre el baricentro, el ortocentro y el circuncentro de un triángulo, a través del doblado de papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Argumenta las ideas matemáticas sobre la configuración espacial de algunos puntos notables, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos. Realiza consultas sobre puntos y rectas notables, a través del uso de internet, para la reconstrucción geométrica y la visualización de las propiedades. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes usar geogebra, estuche de geometría o doblado de papel, para construir el ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un triángulo. b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades que tienes estos puntos notables. c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir el ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un triángulo. d. En la parte final debes usar Internet para consultar sobre algunos temas interesantes de geometría. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 77 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. ¿Conoces leyes que relacionen el ortocentro, con el baricentro y el circuncentro del triángulo? Si ( ) No ( ) 2. ¿Conoces la recta de Euler? Explica Si ( ) No ( ) 3. ¿Todos los triángulos tienen su respectiva recta de Euler? 78 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS En esta sección vas a construir propiedades que relacionan el circuncentro, el ortocentro y el baricentro de un triángulo. Para poder explorar estas propiedades, puedes usar geogebra o hacer una construcción sobre el papel. 1. Dibuja un triángulo. 2. En este mismo dibujo, traza el ortocentro O (corte de alturas), baricentro G (corte de medianas) y el circuncentro M (corte de mediatrices) del triángulo ABC. 3. ¿Qué relación puedes encontrar entre el Ortocentro O, Baricentro G, y circuncentro M del triángulo ABC? 4. Mide las distancias del ortocentro al baricentro y del baricentro al circuncentro. 5. En el siguiente espacio en blanco, escribe una relación entre las distancias del ortocentro al baricentro y del baricentro al circuncentro. 79 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN Usa regla y compás, para que verifiques las propiedades que ha construido en la presente hoja de trabajo, en el siguiente triángulo: EVALUACIÓN Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones: 1. ¿Pueden coincidir el baricentro, ortocentro y el circuncentro? Justifica 2. ¿El incentro, el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo están alineados? Justifica 3. En Internet consulta cuál es la recta de Simson. Utiliza Geogebra para reconstruirla. 4. En Internet consulta cuál es la circunferencia de los nueve puntos. Utiliza geogebra para reproducirla. 80 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Teoremas aplicables a triángulos Hoja de Trabajo No. 13 Materiales: Cartulina, compás, regla , tijeras y geogebra Sub - Tema: propiedades de los ángulos internos de todo triángulo Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre los ángulos internos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Argumenta las ideas matemáticas la suma de ángulos internos rectángulo, mediante el uso del lenguaje verbal y geométrico PARA resolver problemas geométricos. Redacta nuevos problemas sobre ángulos internos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una propiedad sobre los ángulos internos de un triángulo. b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que hallaste en la primera parte. c. Debes comunicar la conjetura que emerge d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos internos de un triángulo. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 81 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Dibuja un triángulo y señala sus ángulos internos b. Realiza la suma de los siguientes ángulos: 20º 30` 50`` con 5º 29` 22`` c. Si a 180º le restas 25º 15’ ¿Cuál es el resultado? _________________________ MOTIVACIÓN 1. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños. 2. Utiliza el compás para marcar los tres ángulos internos de cada triángulo. Haces un arco de circunferencia del mismo radio sobre cada vértice del triángulo. Ten en cuenta que el radio de la circunferencia es arbitrario, sin embargo en el mismo triángulo no debes cambiar el tamaño del radio. 82 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Toma un triángulo y corta los sectores circulares y júntalos. Haz lo mismo con los otros dos triángulos. Observa el tipo de ángulo que se forma en cada caso. 4. A partir de lo que observaste en el punto anterior, escribe una ley sobre la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1.- Completa la tabla haciendo lo siguiente: utilizando Geogebra dibuja diferentes triángulos, mide sus ángulos interiores y suma con el comando calcular las medidas. Registra todo lo que realizas en la tabla. Dibujo del Triángulo Medida de los Ángulos internos 83 Suma/ Operación Total Desarrollo de Competencias Matemáticas II Dibujo del Triángulo Medida de los Ángulos internos Suma/ Operación Total 5.-Construye una regla (propiedad) para la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo. EN ACCIÓN SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida del ángulo interno faltante, en cada uno de los siguientes triángulos. Operaciones 84 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Operaciones Operaciones EVALUACIÓN 1. ¿Cuánto deben sumar los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo? Justifica. 2. ¿Dos ángulos internos del mismo triángulo puedes ser obtusos? Justifica. 3. En tu cuaderno redacta nuevos problemas sobre los ángulos internos en otros polígonos, partir de la modificación de los problemas ya resueltos. 85 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Teoremas aplicables a triángulos Hoja de Trabajo No. 14 Materiales: Cartulina, compás, regla , tijeras y geogebra Sub - Tema: propiedades de los ángulos externos de todo triángulo Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre los ángulos externos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos en otros polígonos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos. Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo. b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que hallaste en la primera parte. c. Debes comunicar la conjetura que emerge. d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos externos de un triángulo. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 86 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo. b. ¿Conoces alguna propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo? 87 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN a. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños. b. Prolonga un lado cualquiera del triángulo. Por ejemplo vamos a prolongar el lado AC con una recta. Usa tu compás para marcar el ángulos que se forman entre la prolongación del lado AC y el lado contiguo AB ( ) y el ángulo que se forma entre la prolongación de AB con BC ( ). A este tipo de ángulos se les llama ángulos externos. Veamos: 88 Desarrollo de Competencias Matemáticas II c. Ahora vas a prolongar el lado AB para construir todos los ángulos exteriores, como en la siguiente figura: d. . Recorta los ángulos externos y júntalos e. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo? Espacio para redactar una conjetura 89 Desarrollo de Competencias Matemáticas II f. En el siguiente espacio en blanco justifica la conjetura que redactaste en el punto número 6. Espacio para redactar una conjetura 90 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Abre el archivo exteriores.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente: En el archivo encontrarás un triángulo ABC, sus tres ángulos interiores (marcados en color rojo) y los tres ángulos exteriores (arcados en color verde). 2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa las siguientes tablas: 91 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Observa los resultados de las tablas anteriores ¿Cuánto suma la medida de un ángulo externo y la medida del ángulo interno adyacente? Espacio para redactar una conjetura 92 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Ve al archivo exteriores.ggb y toma datos de los ángulos exteriores para completar la siguiente tabla: 5. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo? Espacio para redactar una conjetura 93 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida de cada uno de los externos de los siguientes triángulos. Operaciones Operaciones Operaciones 94 ángulos Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. ¿Cuánto debe medir un ángulo externo en un triángulo equilátero? Justifica. 2. En el siguiente espacio en blanco realiza una deducción de una fórmula general para calcular la medida de un ángulo externo de un triángulo rectángulo que no sea adyacente al ángulo recto. 3. En el siguiente espacio en blanco, redacta por lo menos tres problemas nuevos, relacionados con los temas y habilidades tratadas en la presente hoja de trabajo. 4. Selecciona uno de los problemas que acabas de redactar. Resuélvelo y entrégale un reporte a tu profesor. 95 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Teoremas aplicables a triángulos Hoja de Trabajo No. 15 Materiales: geogebra y pluma Sub - Tema: propiedades del ángulo externo Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre los ángulos externos e internos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos e internos en otros polígonos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos. Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades. Argumenta las ideas geométricas sobre ángulos internos a través de cadenas de razonamientos para la resolución de problemas. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. En la primera parte usarás geogebra para medir el ángulo externo y dos ángulos internos no adyacentes a él. b. Debes comunicar la conjetura que emerge c. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el ángulo externo. d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 96 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo y los dos ángulos externos no adyacentes a él. b. ¿Conoces alguna ley que relacione un ángulo externo de un triángulo, con los ángulos externos no adyacentes? _______________ CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Abre el archivo externo.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 97 Desarrollo de Competencias Matemáticas II En el archivo encontrarás un triángulo ABC, un ángulo externo (marcado en color verde) y dos ángulos internos no adyacentes a él (marcados en color rojo). 2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa la siguiente tabla: 3. Observa los resultados de la tabla anterior ¿Qué relación encuentras entre los ángulos? Espacio para redactar una conjetura EN ACCIÓN En cada caso, debes encontrar el ángulo faltante 98 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Argumenta porqué es válida la ley que formulaste en la presente hoja de trabajo. 2. Construye dos problemas relacionados con el problema que estamos abordando en la presente hoja de trabajo. 3. Explora alguno de estos nuevos problemas y construye nuevas conjeturas. 4. En la siguiente figura se ha dibujado un triángulo ABC, un ángulo externo y dos internos no adyacentes a él. Utiliza lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo para verificar si las medidas de los ángulos indicados son correctas. 99 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Teoremas aplicables a triángulos Hoja de Trabajo No. 16 Materiales: geogebra y pluma, regla, escuadras, papel y tijeras Sub - Tema: Teorema relacionado con los triángulos rectángulos Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas con variantes y extensiones del teorema de Pitágoras, a partir de la modificación de una configuración dada, para el desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos. Sigue un conjunto de pasos de una construcción geométrica, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales, para la visualización de propiedades. Argumenta las ideas geométricas sobre las áreas de los cuadrados construidos en los lados de un triángulo rectángulo, a través de cadenas de razonamientos para la resolución de problemas. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero usarás papel e instrumentos de geometría para visualizar una propiedad. b. Luego usarás geogebra para medir, arrastrar y encontrar y generalizar una propiedad que tienen los triángulos rectángulos. c. Debes comunicar la conjetura que emerge. d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el teorema involucrado en la presente hoja de trabajo. e. En la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. 100 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. ¿Cómo se calcula el área de un cuadrado de lado L? 2. ¿Cómo se traza una recta paralela a una recta dada por un punto dado? (puedes usar regla, compas o escuadras). Espacio para describir el procedimiento 3. ¿Cómo se traza una recta perpendicular a una recta dada por un punto dado? (puedes usar regla, compas o escuadras) Espacio para redactar el procedimiento 101 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Con cartulina construye un triángulo rectángulo. Construye un cuadrado sobre cada lado del triángulo. Selecciona uno de los cuadrados construidos sobre los catetos. Encuentra el centro de este cuadrado. Traza una paralela a la hipotenusa que pase por dicho centro. Traza una perpendicular esta recta que pase por el mismo centro. Después de haber realizado los trazos anteriores obtendrás una figura similar a la siguiente: 8. Recorta los cuatro polígonos que se generaron en el cuadrado. 9. Recorta el cuadrado que está en el otro cateto. 10. Utiliza estas cinco piezas para rellenar el cuadrado que se construyó sobre la hipotenusa. 11. Redacta una propiedad sobre las áreas de los cuadrados utilizados en la presente actividad. 102 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Abre el archivo rectángulo1.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 2. Explora el archivo, esto quiere decir que puedes medir longitud de segmentos, medida de ángulos, arrastrar, etc. Contesta las siguientes preguntas: a. ¿Qué clase de triángulo es PAQ? Espacio para argumentar 103 Desarrollo de Competencias Matemáticas II b. ¿Qué clase polígono es AQGF? Espacio para argumentar c. ¿Qué clase polígono es QPOD? Espacio para argumentar d. ¿Qué clase polígono es APIH? Espacio para argumentar 104 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Mueve el punto M que está sobre el deslizador hasta el extremo derecho. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los polígonos que se involucran en el problema. Espacio para escribir la conjetura 4. Ahora abre el archivo rectángulo2.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 105 Desarrollo de Competencias Matemáticas II En el archivo encontrarás un triángulo rectángulo PAQ y tres cuadrados construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa del triángulo. 5. Mide los lados los lados de los cuadrados. Calcula las áreas de los cuadrados área para completar la siguiente tabla. Ten en cuenta que en la cuarta columna debes escribir la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ÁREA de APIH ÁREA de GQAF ÁREA de DOPQ A(APIH)+A(GQAF) 6. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los polígonos que se involucran en el problema. Espacio para escribir la conjetura 106 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN 1. Sin utilizar geogebra realiza el cálculo de la incógnita. Ten en cuenta que en cada caso te damos un triángulo rectángulo y algunas de las medidas de sus lados. EVALUACIÓN 1. ¿Es posible que las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sean 7, 11 y 15? 3. Completa la siguiente tabla. En la primera columna está la el valor de un cateto de un triángulo rectángulo, en la segunda columna otro cateto, en la tercera columna ubicamos el valor de la hipotenusa. Cateto 1 3 5 Cateto 2 8 9 Hipotenusa 5 10 25 100 3. ¿Cuántas soluciones admiten los dos últimos incisos del punto anterior? 4. En el siguiente espacio en blanco, redacta un problema similar al que estamos abordando en la presente hoja de trabajo. 107 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Hoja de Trabajo No. 17 Sub-tema Propiedades del la altura en un triángulo isósceles Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica algunas propiedades que posee la altura de los triángulos isósceles mediante el uso de construcciones con lápiz, papel y geometría dinámica para usarlas en las argumentaciones geométricas. Reconoce las propiedades de la altura en un triángulo isósceles y aplica esas propiedades en la resolución de problemas geométricos. Estrategias didácticas a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes identificar las distintas propiedades que tiene la altura de un triángulo isósceles. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas. 108 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO Para recordar 1. Escribe todas las clases de triángulos que recuerdes. 2. ¿Qué es un triángulo isósceles? 3. ¿Conoces algunas propiedades que tienen los triángulos isósceles? 109 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Usa tu estuche de geometría para resolver las siguientes actividades. 1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los ángulos internos. 2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de las tres figuras qué clase de triángulos representa? Espacio para argumentar 110 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A qué conclusión puedes llegar? Espacio para redactar una conjetura CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS En esta sección utilizarás el entorno de geometría dinámica para explorar algunas propiedades geométricas. 1. Abre el archivo base.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 111 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. ¿Qué clase de triángulo representa la figura que contiene el archivo? Espacio para argumentar 3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos 112 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A qué conclusión puedes llegar? Espacio para redactar una conjetura Propiedades de la altura de un triángulo isósceles 1. Ahora abre el archivo altura.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 2. En el archivo encuentras un triángulo isósceles y la altura con respecto al lado desigual. 113 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Mide los segmentos AD Y DB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la siguiente tabla: AD DB 4. Ahora mide los ángulos CDA y CDB. Arrastra los vértices del triángulo. 5. En el siguiente espacio en blanco describe las características que encontraste sobre la altura del triángulo isósceles. 6. Mide los ángulos ACD Y DCB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la siguiente tabla: ACD DCB 7. En el siguiente espacio en blanco describe la característica más sobre la altura del triángulo isósceles. 114 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN Encuentra la medida de cada uno de los ángulos faltantes en la siguiente figura: EVALUACIÓN 1. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en la siguiente figura: 2. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en el siguiente triángulo equilátero: 115 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Hoja de Trabajo No.18 Tema: Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub -Tema: relación entre medida de ángulos y medida de lados en un triángulo Fecha: _______________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica la propiedad que tienen los triángulos al relacionar la medida de los lados y los ángulos opuestos mediante el llenado de tablas comparativas. Reconoce las propiedades que tienen todos los triángulos mediante la utilización del software de geometría dinámica para utilizarlas en la resolución de problemas geométricos. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes tener claridad sobre las propiedades fundamentales de los triángulos. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas. 116 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Enuncia cinco postulados de la geometría plana que te acuerdes: 2. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los lados de los triángulos. 3. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los ángulos de un triángulo 4. Enuncia dos teoremas o postulados, que tú te acuerdes, en los cuales se menciones los lados y los ángulos internos de un triángulo 117 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Propiedades de los triángulos Primera parte: Con lápiz y papel 1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los ángulos internos. 2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de las tres figuras qué clase de triángulos representa? Espacio para argumentar 118 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. En el siguiente espacio en blanco compara el tamaño de la medida de los lados con el tamaño de la medida de los ángulos opuestos. Figura No 1 Figura No 2 Figura No 3 CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Propiedades de los triángulos Segunda parte: Con Geogebra 1. Abre el archivo lados-ángulos.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 119 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. ¿Qué clase de triángulos representan la figuras que contiene el archivo? Espacio para argumentar 3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos 120 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos en cada figura. ¿A qué conclusión puedes llegar? Espacio para redactar una conjetura EN ACCIÓN 1. ¿Los ángulos internos de un triángulo escaleno pueden ser 30º, 30 º y 120º? Espacio para argumentar 121 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. ¿Las medidas de los ángulos internos de un triángulo isósceles pueden ser 20º, 30º y 130º? Espacio para argumentar EVALUACIÓN 1. Discute sobre el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. Los triángulos escalenos tienen todos sus ángulos internos congruentes. b. Los triángulos equiláteros tienen dos y solo dos ángulos internos congruentes. c. En un triángulo isósceles todos los ángulos internos tienen diferente medida. 122 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos Sub -Tema: Postulados de la semejanza de triángulos Hoja de Trabajo No. 19 Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica la semejanza de triángulos, mediante la medición de cada uno de sus elementos para aplicarla en la argumentación de las ideas geométricas. Construye triángulos semejantes a partir de las propiedades que conoce, y las compara con figura semejantes de mayor número de lados. Estrategias didácticas a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes tener claridad sobre los postulados de semejanza de los triángulos. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas. DIAGNÓSTICO 123 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 1. Escribe lo que tú entiendas por semejanza de triángulos. 2. Conoces los postulados de semejanza de triángulos si ___ no ___. Escríbelos 3. Escribe lo que entiendas por lados homólogos. 4. Conoces el significado de la palabra proporcional si _____ no____ 5. Escribe lo que entiendas por proporcionalidad. 124 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Encierra en un círculo las figuras que sean semejantes al primer rectángulo. Explica porque haces esa elección. MOTIVACIÓN 1. Dibuja un triángulo acutángulo, uno obtusángulo y otro rectángulo, en la tabla. 2. Debajo de cada uno de ellos dibuja otro triángulo de la misma clase, pero de tamaño diferente (triángulo 2). Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo Triángulo rectángulo Triángulo 1 Triángulo 2 3. Mide cada uno de sus lados y cada uno de sus ángulos anota las medidas. 4. Divide la medida de los lados de cada pareja de triángulos, teniendo en cuenta de hacerlo así: lado mayor del triángulo 1 entre lado menor del triángulo 2. 125 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Escribe los resultados de esas divisiones. Resultados de las divisiones 6. Si los resultados de las divisiones son iguales los lados son proporcionales. 7. Ahora dibuja parejas de triángulos con lados proporcionales. Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo Triángulo 1 Triángulo 2 CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 126 Triángulo rectángulo Desarrollo de Competencias Matemáticas II Semejanza de triángulos Algunas definiciones. En esta parte de la actividad comprenderás lo que significan varios términos muy usados en el estudio de la geometría, por ejemplo, razón, proporción y semejanza de polígonos. a. Razón: Es la división entre dos magnitudes. Por ejemplo la razón del lado menor entre el lado mayor del siguiente 3 rectángulo es . Veamos: 4 b. Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Una proporción puede escribirse de tres maneras. Veamos: a c , a : b c : d , a : b :: c : d b d La primera forma se lee “a sobre b es igual a c sobre d”; las otras formas se leen “a es a b como c es a d”. Sin embargo, todas representan lo mismo: la igualdad entre dos razones. Por ejemplo, los lados de los siguientes rectángulos son proporcionales: 127 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Se dice que los lados son proporcionales porque la razón entre los lados de la 3 6 primera figura es , mientras que en la segunda figura es y cómo: 4 8 3 6 = 4 8 Los lados de los dos rectángulos son proporcionales. c. Semejanza entre polígonos. Dos polígonos son semejantes cuando cumplen que: Los ángulos homólogos son iguales y que los lados homólogos son proporcionales. Para que entiendas mejor esta definición, vas a realizar varias actividades: 1. Abre el archivo semejanza1.ggb. allí encontrarás un archivo similar al siguiente: 128 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Hay dos polígonos y un deslizador llamado r. 2. Usando Geogebra, mide cada uno de los ángulos interiores de los dos polígonos. Arrastra los vértices del polígono de la izquierda. Compara las medidas de los ángulos internos en los dos polígonos. Los lados homólogos son los que forman los mismos ángulos en los dos polígonos. Por ejemplo, el ángulo formado por los lados AB y BC en el primer polígono, es igual al ángulo formado por los lados FG y GI, en el segundo polígono, por tanto una pareja de lados homólogos es FG y AB, otra es GI y BC. 129 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. En el siguiente espacio en blanco realiza la división entre parejas de lados homólogos: 4. Cambia una vez el valor de la razón, dando un clic sobre el punto r y deslizándolo. En el siguiente espacio en blanco realiza nuevamente la división entre parejas de lados homólogos: 5. ¿Los dos polígonos que están en el archivo son semejantes? (Sugerencia nuevamente repasa la definición de semejanza que te dimos en el punto uno antes de contestar la pregunta) Espacio para argumentar 130 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Abre el archivo semejanza2.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes: Como puedes ver en el archivo, los ángulos internos homólogos son iguales. 7. Primero identifica cuales las parejas de lados homólogos. En el siguiente espacio en blanco realiza la razón entre las medidas de los lados homólogos. 131 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 8. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes? Justifica tu respuesta. 9. Abre el archivo semejanza3.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes: Como puedes ver en el archivo, los lados homólogos son proporcionales. 132 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 10. Mide los ángulos internos de los dos triángulos. Arrastra los vértices libres y en el siguiente espacio en blanco saca una conclusión sobre la medida de los ángulos. 11. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes? 12. Abre el archivo semejanza4.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes: 133 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Como puedes ver en el archivo, dos parejas de lados homólogos son proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos también son iguales. 13. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes? Espacio para argumentar la respuesta 14. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo. Resume en un párrafo todos los casos que estudiaste sobre la semejanza de triángulos. Espacio para redactar la conjetura 134 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN 1. En el triángulo ABC, se traza DE || BC. Calcular la medida del segmento EC, sabiendo que: =9cm, =6cm, =15cm 2. Encuentre la medida del segmento AC conociendo que DE||BC, la medida del ángulo EDA=90º, =2cm, =3cm y =18cm 3. Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30 cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm. Determina c’. 135 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta. 2. Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24 cm. Hallar la medida de los otros dos lados de este triángulo. 3. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm., respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 15 cm? 4. Demostrar que el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD, sabiendo que L1 // L2. 5. En la figura siguiente, AD BC y CE AB. Demostrar que CE · AB = AD · BC 6. CD bisectriz del ángulo ACB y <ABE <ACD. Demostrar que AD · BC = CD · BE. 136 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 7. Juan quiere medir el alto de un árbol. Aprovecha la sombra que proyecta y se ubica en un punto sobre el piso, de tal manera que el extremo de la sombra del árbol, coincide con el extremo de su sombra, como en la siguiente figura: a. ¿Qué medidas realizarías tú para estimar la altura del árbol? b. ¿Cómo puedes utilizar la semejanza de triángulos para estimar la altura del árbol? c. Juan ahora quiere medir el alto de un árbol, usando un espejo que puso en un punto sobre el piso. Caminó hasta ver en el espejo el extremo superior del árbol, como en la siguiente figura: a. ¿Qué medidas realizarías para estimar la altura del árbol? b. ¿Cómo puedes utilizar la semejanza de triángulos para estimar la altura del árbol? 137 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Tema: Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Hoja de Trabajo No. 20 Sub -Tema: Postulados de la congruencia de triángulos Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica la congruencia de triángulos, mediante la medición de cada uno de sus elementos para aplicarla en la argumentación de las ideas geométricas. Construye triángulos congruentes a partir de las propiedades que conoce, y las compara con figura semejantes de mayor número de lados. Estrategias didácticas a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes tener claridad sobre los postulados de congruencia de los triángulos. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas. 138 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe lo que tu entiendas por congruencia de triángulos 2. Conoces los postulados de congruencia de triángulos si ___ Escríbelos 3. Escribe lo que entiendas por lados homólogos 4. Escribe lo que entiendas por ángulos homólogos. 139 no___. Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Encierra en un círculo las figuras que sean congruentes al primer rectángulo Explica porque haces esa elección. MOTIVACIÓN 1. Construye un polígono exactamente igual a los polígonos que aparecen dibujados. Explica que procedimiento utilizas para hacerlo. Original Copia Explicación del procedimiento 2. Dado un polígono ABCDEF y una recta L. Por cada vértice del polígono se trazan rectas perpendiculares a L. Se Ubican los puntos A´, B´, C´, D´, E´y F´ sobre cada perpendicular, de tal manera que las distancias de los vértices 140 Desarrollo de Competencias Matemáticas II originales a la recta L, son iguales a las distancias de la recta a cada uno de estos puntos. Por ejemplo, la distancia de A a L es la misma que de L a A´: ¿El polígono ABCDEF es congruente al A´B´C´D´E´F ´? Justifica tu respuesta. 141 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Algunas Definiciones sobre congruencia de triángulos Congruencia entre polígonos. Dos polígonos son congruentes cuando cumplen que: Los ángulos respectivos son iguales y los lados respectivos son iguales. Para que entiendas mejor esta definición, vas a realizar varias actividades 1. Abre el archivo congruencia1.ggb. allí encontrarás un archivo similar al siguiente: 2. Usando Geogebra, mide cada uno de los ángulos interiores de los dos polígonos. Arrastra los vértices del polígono de la izquierda. Compara las medidas de los ángulos homólogos internos en los dos polígonos. 142 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Mide los lados de cada polígono. Compara las medidas de los lados homólogos de los dos polígonos. 4. ¿Los dos polígonos que están en el archivo son congruentes? (Sugerencia nuevamente repasa la definición de semejanza que te dimos en el punto uno antes de contestar la pregunta) Espacio para argumentar 143 Desarrollo de Competencias Matemáticas II En esta sección utilizarás la computadora para explorar un criterio de congruencia de triángulos: 1. Abre el archivo congruencia2.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes: Como puedes ver en el archivo, los ángulos internos homólogos son iguales. 2. Mide los lados de cada polígono. Compara las medidas de los lados homólogos de los dos polígonos. 144 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes? 4. Abre el archivo congruencia3.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes: Como puedes ver en el archivo, los lados homólogos son iguales. 145 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Mide los ángulos internos de los dos triángulos. Arrastra los vértices libres y en el siguiente espacio en blanco saca una conclusión sobre la medida de los ángulos. 6. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes? En esta sección vas a explorar otro criterio de congruencia. Para ello realiza las siguientes actividades. 1. Abre el archivo congruencia4.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes: 146 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Como puedes ver en el archivo, dos parejas de lados homólogos son iguales y los ángulos comprendidos entre ellos también son iguales. 2. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes? _______ Justifica tu respuesta Espacio para argumentar la respuesta 3. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo. Haz un resumen sobre todos los casos que estudiaste sobre la congruencia de triángulos. Espacio para el resumen EN ACCIÓN 1. Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes. a. Sólo 1) y 2) b. Sólo 1) y 2) c. Sólo 2) y 3) 147 d. 1), 2) y 3) e. Ninguno Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Dado el cuadrado ABCD, demostrar que el triángulo ABC es congruente al triángulo DCB EVALUACIÓN 1. En la siguiente figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es punto medio de CB. Demostrar que el ACE BDE 2. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber que: a) AB d) AO DC b) DO y AB BAO CD e) BO DCO c) AB //CD CO y AO DO 3. Suponga que conoce la longitud de la altura desde la base de un triángulo isósceles y la medida de un ángulo entre la base y otro de los lados. ¿Esta información es suficiente para determinar un triángulo o existen diferentes triángulos posibles? a) ¿Te ayuda dibujar las alturas y ángulos particulares, y tratar de formar más de un triángulo con las propiedades dadas? b) ¿Crees que es posible hacer más de un triángulo? ¿Por qué? c) ¿Puedes usar la suma de ángulos internos en triángulos para ayudar a explicar por qué? d) ¿Puedes usar la conjetura del triángulo isósceles para ayudar a explicar por qué? 148 Desarrollo de Competencias Matemáticas II e) ¿Puedes usar los postulados de congruencia para ayudar a explicar por qué? f) ¿Puedes usar la conjetura de la bisectriz del ángulo del vértice para explicar por qué? g) ¿Qué sucede si el triángulo no es isósceles? 4. En la siguiente figura se da la media de un ángulo externo en un triángulo isósceles, calcula la medida de los otros ángulos. 5. Dada la siguiente figura, demuestra que El segmento AB es congruente al segmento CB . 6. Dada la siguiente figura, demuestra que El segmento AB es congruente al segmento BC 149 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad tres: Resolución de triángulos Hoja de Trabajo No. 21 Tema: Funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema Relación seno, coseno, tangente, secante y cosecante. Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica los elementos que conforman un triángulo rectángulo. Usando para ello las distintas definiciones de estos elementos. Soluciona problemas que involucran triángulos rectángulos empleando las relaciones trigonométricas. Usa la calculadora científica para hallar el valor de los ángulos en un triángulo rectángulo ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, b. Luego debes usar la calculadora y las relaciones trigonométricas para hallar los ángulos de triángulos rectángulos. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de evaluación. 150 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. De cada uno de los siguientes triángulos, encierra aquellos que correspondan a triángulos rectángulos. 2. Ilumina con un color amarillo el lado opuesto al ángulo dado en cada triángulo rectángulo. 3. Ilumina con un color rojo el cateto adyacente al ángulo dado en cada triángulo rectángulo. 4. Ilumina con un color verde la hipotenusa en cada triángulo rectángulo. 151 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN En la unidad anterior viste el teorema de Pitágoras que sirve para hallar la medida de los lados de triángulos rectángulos. Pero un triángulo aparte de lados también tiene ángulos. Por lo que es necesario conocer otras herramientas que te permitan obtener lados y ángulos de triángulos rectángulos. En el triángulo que se te da, mide cada lado anótalo Luego halla todos los cocientes entre los lados. En total deben ser seis. a. lado AB = lado AC = b. lado BC lado AC = = c. lado AB = lado BC d. lado AC = lado AB = e. lado AC lado BC = = f. lado BC = lado AB = = CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Las relaciones antes obtenidas reciben el nombre de relaciones trigonométricas del ángulo . Sus nombres son: a. seno, b. coseno, c. tangente, d. cosecante, e. secante y f. cotangente. Puedes ver que las tres últimas relaciones son las inversas multiplicativas de las tres primeras. Por tanto a continuación se define en forma general las relaciones seno, coseno y tangente. 152 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Sen cateto opuesto hipotenusa Tan Cos cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente 1. Dibuja un triángulo rectángulo con catetos de un centímetro, de acuerdo con el teorema de Pitágoras la hipotenusa es: Espacio para hallar la medida de la hipotenusa. Hallando la hipotenusa se tienen los tres lados. Falta la medida de los ángulos agudos. 2. Para hallar uno de los ángulos agudos se elige una de las relaciones trigonométricas anteriores, te conviene usar seno, coseno o tangente, ya que están en forma directa en la calculadora, por comodidad, para el ejemplo se usará la tangente: Tan cateto opuesto = Tan cateto adyacente 1 1 1 Aquí se usa la calculadora científica 153 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Ya que te permite calcular el ángulo ó , en la calculadora será: INV Tan (1) = 45° 2nd Tan (1) = 45° Por tanto = 45° 3. Ya se tiene un ángulo de 90° y = 45° ¿Cuánto mide el ángulo agudo que falta? __________ recuerda el teorema: “la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°”. Ya encontrando los seis elementos (3 lados y 3 ángulos) queda solucionado el triángulo. EN ACCIÓN 4. Ahora repite el mismo proceso para hallar la medida del ángulo usando: a. el Seno pero b. el Coseno EVALUACIÓN 1. Halla todas las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos: 154 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Usa relaciones las trigonométricas para que halles los elementos que hagan falta para solucionar el triángulo rectángulo que aparece en la siguiente figura: 3. Para calcular la altura de una torre se midió el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un resultado de 34º. Al acercarnos 15 m hacia la torre, obtenemos un nuevo ángulo de 57º. ¿Cuánto mide la altura de la torre? Haz un dibujo de la situación. 4. Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el ángulo que forma la visual con el punto más alto del árbol y obtiene 43º; retrocede 10 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 17º. ¿Qué altura tiene el árbol? 5. Calcular la altura de un poste sabiendo que la visual dirigida al punto más alto por un observador de 1.76 m de altura, que se encuentra a 48 m de distancia del pie del poste, forma un ángulo de 46,67º con la horizontal. 6. Escribe cinco problemas en los cuales la solución involucre triángulos rectángulos 155 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad tres: resolución de triángulos Hoja de Trabajo No. 22 Tema: Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema Función seno, coseno, tangente, secante y cosecante. Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Explora las funciones trigonométricas a través de la interacción con software computacional en los cuales puede usar distintos registros de representación. (tablas, gráficas y pseudoalgebra). Reconoce las funciones trigonométricas como funciones circulares de dominio real, con periodo 2 . Identifica los puntos máximos y mínimos de las funciones trigonométricas mediante la observación de graficas y tablas, para aplicarlos en la solución de problemas. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de evaluación. 156 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO Encierra el número de la gráfica que consideres que es una función. 1. 4. 7. 2. 3. 5. 6. 8. 9. 10. 11. 13. 14. 15. 18. 12. 16. 17. 19. 20. 157 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Gráfica de la función seno y la función coseno. Usa la hoja electrónica de cálculo para realizar una tabla y una gráfica de la función seno. Ejecuta las siguientes instrucciones: a. Vas a construir una tabla con tres columnas con los siguientes nombres: Contador, ángulo y seno del ángulo: b. En la primera columna vas a escribir los números entre -12 y 12. Lo puedes hacer de manera automática escribiendo el número -12 y luego arrastras hasta 12. c. En la segunda columna vas a escribir múltiplos de . La sintaxis en Excel 6 es la siguiente: =A2*PI()/6.Luego arrastras para completar la columna. En la hoja electrónica se verá así: 158 Desarrollo de Competencias Matemáticas II d. En la tercera columna calcularás el seno del ángulo. La sintaxis es: =SENO(B2). Luego arrastras para completar la columna. En la hoja electrónica de cálculo se verá así: e. Después de hacer la tabla, seleccionas la segunda y tercera columnas y haces una gráfica de dispersión. Reproduce la gráfica en el siguiente sistema de coordenadas cartesianas. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Utilizando la gráfica o la tabla, responde las siguientes pregunta: a. Escribe dos ángulos para los cuales la función seno sea nula. 159 Desarrollo de Competencias Matemáticas II b. ¿Para qué ángulos el seno es máximo? c. ¿Para qué ángulos el seno es mínimo? ¿Para qué ángulos el seno es negativo? EN ACCIÓN 1. Realiza un archivo en Excel similar al de la función seno, ahora para graficar la función coseno. Copia la figura a continuación. 160 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Utiliza la gráfica o la tabla, para responder las siguientes preguntas: a. Encuentra dos ángulos cuyo coseno sea nulo b. ¿Para qué ángulos el coseno es máximo? c. ¿Para qué ángulos el coseno es mínimo? c. ¿Para qué ángulos el coseno es positivo? EVALUACIÓN Representaciones gráficas de las funciones trigonométricas usando el geogebra. 1. Abre geoegebra y grafica la función seno. Activa los ejes, la cuadrícula y escribe en la entrada f(x)=sin(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el gráfico que aparece en la pantalla: 161 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Abre geoegebra y grafica la función coseno. Activa los ejes, la cuadrícula y escribe en la entrada f(x)=cos(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el gráfico que aparece en la pantalla: 3. Abre geoegebra y grafica la función tangente. Activa los ejes, la cuadrícula y escribe en la entrada f(x)=tan(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el gráfico que aparece en la pantalla: 162 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Abre geoegebra y grafica la función cosecante. Activa los ejes, la cuadrícula y 1 escribe en la entrada f ( x) En el siguiente sistema de ejes, reproduce sin( x) el gráfico que aparece en la pantalla: 5. Abre geoegebra y grafica la función secante. Activa los ejes, la cuadrícula y 1 escribe en la entrada f ( x) En el siguiente sistema de ejes, reproduce cos( x) el gráfico que aparece en la pantalla: 163 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Abre geoegebra y grafica la función cotangente. Activa los ejes, la cuadrícula y 1 escribe en la entrada f ( x) En el siguiente sistema de ejes, reproduce tan( x) el gráfico que aparece en la pantalla: 7. Teniendo en cuenta las gráficas de las funciones trigonométricas responde: ¿Entre que valores para el eje y hay grafica de la función seno y de la función coseno? ____________ ___________________ ¿Pueden las funciones trigonométricas tomar valores en valores negativos para el eje x? 8. Sustente o refute la siguiente afirmación: toda función trigonométrica tiene como recorrido los números reales. Justifica tu respuesta. 164 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad tres: Solución de triángulos Tema: Funciones trigonométricas de ángulos especiales. Hoja de Trabajo No. 23 Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema Funciones trigonométricas para 45º, 30º, 60º, 0º, 90º, 180º, 270º y 360º Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye las funciones trigonométricas para ángulos cuyas medidas son 45º, 30º y 60º. Mediante el uso del software dinámico. Deduce las funciones trigonométricas para ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º en el plano cartesiano, usando las propiedades del círculo unitario. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de evaluación. 165 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe la definición de triángulo isósceles 2. Escribe dos propiedades que poseen los triángulos isósceles 3. Escribe una forma de construir un triángulo isósceles usando regla y compás. 4. Escribe la definición de triángulo equilátero 5. Escribe las propiedades que poseen los triángulos equiláteros 6. Escribe una forma de construir un triángulo equilátero usando regla y compás. 166 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN ¿Cómo construir un triángulo isósceles que sea rectángulo? Usa el geogebra para hacer la siguiente construcción. a. Si trazas un segmento AB y su mediatriz, cualquier triángulo que tenga como lado el segmento AB y un punto en la mediatriz es isósceles, pero no es rectángulo. veamos b. c. d. e. f. g. El lado AC es igual al lado BC, Pero el triángulo ADC si es rectángulo. Por ser CD mediatriz de AB. Usa esa propiedad para dibujar el triángulo rectángulo isósceles. Traza un triángulo isósceles ADC´, es decir, haz que AD =DC´. Usa una circunferencia con centro en D y radio AD. Halla la intersección C’ de la circunferencia y la recta mediatriz. h. El triángulo ADC’ es un triángulo isósceles y además es rectángulo. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Funciones trigonométricas para ángulos especiales 167 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Si recuerdas las propiedades de un triángulo isósceles a los lados iguales se oponen ángulos iguales, pero el triángulo es rectángulo eso significa que cada ángulo agudo mide 45º. Para deducir las funciones trigonométricas de un ángulo de 45º se usará un triángulo rectángulo isósceles especial, donde el par de lados iguales (catetos) mide uno, como se muestra en la figura. Usando el teorema de Pitágoras se obtiene la medida de la hipotenusa. “la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado”. Ya con estos datos procedemos a calcular las funciones trigonométricas: racionalizando queda racionalizando queda Segunda construcción 1. Construye un triángulo equilátero de lado 2, usando regla y compás. 2. Como se muestra en la figura. 168 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Traza una mediatriz a uno de los lados. 4. Y se forman dos triángulos rectángulos 5. Ahora se deben hallar las dimensiones del triángulo rectángulo BEC Usa el teorema de Pitágoras. Lado BE= 1 lado EC = ? lado BC = 2 6. Mide el valor de todos los ángulos. 7. ¿Cuánto miden los ángulos agudos ____________ 169 del triángulo rectángulo BEC? Desarrollo de Competencias Matemáticas II 8. Ahora calcula las funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos del triángulo BEC. Y completa las tablas. Escribe fracciones donde sea posible Angulo agudo Angulo agudo Tercera construcción a. Construye una circunferencia de radio uno, y centro en el origen de coordenadas. b. Cualquier radio de esta circunferencia mide uno. c. Ubiquemos las coordenadas de la circunferencia para un ángulo de cero grados, esto es, el radio vector AB cuyas coordenadas del punto B son: (1,0) d. Veamos las funciones trigonométricas en este punto. Si e. Al hacer lo propio con un radio vector que forme 90º con la 170 parte positiva del eje horizontal se tiene: Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN 1. Halla todas las funciones trigonométricas para un ángulo de 180º 2. Escribe en forma decimal con el mayor número de cifras decimales cada una de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45º. 171 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Escribe en forma decimal con el mayor número de cifras decimales cada una de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º. 4. Para un ángulo de 180º las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria son: _______ EVALUACIÓN 1. Construye en geogebra un triángulo rectángulo isósceles cualquiera, mide cada uno de los lados. a. ¿Cuánto miden los ángulos agudos? _________________ b. Halla todas las funciones trigonométricas para el ángulo agudo, y completa la tabla. Triángulo 1 c. Ahora cambia las dimensiones del triángulo, pero que sea isósceles y rectángulo, halla de nuevo las relaciones trigonométricas y registra los valores en la tabla. Triángulo 2 d. Repite varias veces lo que hiciste en el enciso c. y completa las tablas. Triángulo 3 Triángulo 4 Triángulo 5 172 Desarrollo de Competencias Matemáticas II e. Observa y compara cada uno de los resultados obtenidos en las tablas y saca una conclusión de esa comparación. Espacio para escribir tu conclusión 2. Construye en geogebra un triángulo equilátero de lado cualquiera. a. Repite cada uno de los pasos que realizaste con regla y compás. b. Mediatriz, marcar un triángulo rectángulo, medir lados y ángulos. c. Ahora saca las funciones trigonométricas para los ángulos agudos este nuevo triángulo y registra los valores en la tabla. Angulo agudo Angulo agudo d. Modifica las dimensiones del triángulo equilátero, y vuelve a completar las tablas. Angulo agudo Angulo agudo 173 Desarrollo de Competencias Matemáticas II e. Compara los valores obtenidos en las tablas para el ángulo conclusión al respecto. , saca una f. Compara los valores obtenidos en las tablas para el ángulo conclusión al respecto. , saca una 3. Definición: en la siguiente tabla aparecen relacionadas cada función con su respectiva cofunción. a. Compara los valores que obtuviste de las funciones para el ángulo con el valor que obtuviste en las cofunciones de ángulo en las tablas anteriores. b. ¿Qué puedes concluir de esta comparación? 4. Halla todas las funciones trigonométricas para un ángulo de 270º 174 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad tres: Identidades trigonométricas Tema: Identidades fundamentales Hoja de Trabajo No. 24 Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema identidades pitagóricas y de cociente Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Deduce las identidades trigonométricas de cociente a través del uso las relaciones trigonométricas válidas para triángulos rectángulos con hipotenusa igual a uno. Deduce las identidades trigonométricas pitagóricas a través del uso del teorema de Pitágoras en un triángulo cuya hipotenusa mide uno. Distingue una identidad trigonométrica de una ecuación trigonométrica, usando para ello la sustitución de ángulos. Identifica cuando una igualdad trigonométrica es una identidad trigonométrica. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de evaluación. 175 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. A continuación encontrarás una serie de igualdades en las que intervienen expresiones trigonométricas. Escribe frente a cada una de ellas la letra que tú consideres de acuerdo a lo siguiente: E = ecuación trigonométrica I = identidad trigonométrica F = función trigonométrica a. _____ b. _____ c. _____ d. _____ e. _____ f. _____ g. h. _____ i. _____ j. _____ 2. A continuación aparecen una serie de situaciones y unos procesos a seguir, tú debes identificar el proceso que es correcto y encerrarlo. a. 176 Desarrollo de Competencias Matemáticas II b. c. MOTIVACIÓN Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). En la siguiente figura se construyó una circunferencia unitaria con centro en A, sobre un sistema de ejes de coordenadas. Se ubicó un punto B sobre esta circunferencia. Se trazó el segmento BD, perpendicular al eje horizontal. Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo Unitario centrado en el punto A. Teniendo como referencia la figura anterior, se pueden deducir varias identidades. Para tal deducción es útil la definición de las relaciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en el triángulo ADB el sen(θ) se puede calcular con la razón entre el segmento BD y la hipotenusa (AB), como la 177 Desarrollo de Competencias Matemáticas II hipotenusa de dicho triángulo mide uno, el sen(θ) queda representado geométricamente por el segmento BD. Estas identidades son útiles siempre que se requiera simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. En el cálculo diferencial las identidades son muy útiles para el estudio de las funciones trigonométricas, para la deducción de propiedades del límite de dichas funciones y para la deducción de sus derivadas. Mientras que en cálculo integral, las identidades se utilizan para calcular las integrales de funciones no trigonométricas, se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Consideremos un triángulo rectángulo ADC, recto en D. Los catetos del triángulo son X e Y y la hipotenusa d = 1.Veamos: Sobre este triángulo podemos calcular todas las relaciones trigonométricas para el ángulo : cos sen X X (1) 1 Y Y (2) 1 178 Desarrollo de Competencias Matemáticas II tan Y (3) x Si reemplazamos las ecuaciones (1) y (2) en (3), obtenemos: tan sen (4) cos Análogamente, podemos calcular la cotangente: cot an cot an X Y cos (5) sen Ahora si calculamos la secante, se obtiene: sec sec 1 X 1 (6) cos Por último, encontremos una expresión para la cosecante: csc 1 Y sec 179 1 (7) sen Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN 5. Abre el archivo tri.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: Primero debes calcular el valor de las relaciones trigonométricas para el ángulo utilizando la definición de cada una. Ahora comprueba los valores que acabas de encontrar, usando las identidades trigonométricas que dedujeron en el apartado anterior. 180 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Ahora comprueba las identidades para otro valor del ángulo . ACTIVIDAD DOS Recordemos el teorema de Pitágoras, en él se cumple que para todo triángulo rectángulo: c2 a2 b2 181 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Siendo a y b los catetos del triángulo y c la hipotenusa. Para el estudio de las identidades se trabajará con un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa sea siempre uno. Y los catetos estén sobre los ejes X, Y. En este caso el teorema de Pitágoras quedará: 12 x 2 y 2 1 x2 y2 (1) Pero si hallamos las relaciones trigonométricas para seno y coseno del ángulo serán: Sen = y que es equivalente a 1 Cos = x que es equivalente a Cos = x 1 Sen = y (2) (3) Al introducir estos dos resultados (2) y (3) en la ecuación (1) se tiene: 1 Sen 2 Cos 2 182 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Esta identidad es conocida como identidad Pitagórica fundamental. ¿Si tiene toda la apariencia de una ecuación por qué recibe el nombre de Identidad? Usa la identidad pitagórica fundamental ángulos y completa la tabla. Medida del ángulo para explorar en varias medidas de Resultado de la identidad Sen 2 Cos 2 = 36° =17° = 90 = 56° =156° =3° = = = ¿Para qué clase de ángulos se cumple la identidad fundamental? Explica 183 Desarrollo de Competencias Matemáticas II ACTIVIDAD TRES 1. Si en la 2 2 identidad anterior 1 Sen Cos la dividimos por Sen2 , exceptuando cuando Sen2 dé cero. Tendremos 1 Sen 2 Cos 2 Sen 2 Sen 2 sen 2 Simplificando y utilizando las identidades recíprocas se tiene: Csc 2 1 Ctg 2 2. Ahora tu divide la identidad pitagórica fundamental entre Cos2 simplifica, reemplaza por las reciprocas y encuentra la tercera identidad pitagórica. Algunas recomendaciones para demostrar identidades trigonométricas. Primero verifica que estas frente a una identidad, así no harás procesos en vano, si no lo es identidad no intentes demostrar. Comienza a resolver el problema con el lado donde haya mayor información. Reescribe sumas o diferencias de cocientes como un solo cociente. 184 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Reescribe toda la expresión en términos de seno y coseno. Mantén tu objetivo en mente. Cuando manipules una de las expresiones ponte atento(a) al contenido de lo que se encuentra en el lado contrario. Ten a la mano las identidades fundamentales que ya conoces, estas se pueden reemplazar. Usa los distintos procedimientos que aprendiste en algebra para demostrar las identidades. A continuación aparecen resueltas algunas identidades para que tú revises y pongas en práctica los procedimientos. a. Demostrar que: Veamos si es identidad reemplazamos el ángulo por cualquier ángulo, por ejemplo º Para este valor del ángulo la igualdad se mantiene. Veamos la demostración: Partimos del lado izquierdo. Reemplazamos las identidades y por sus equivalentes: Simplificando esto es 1, que es lo que se quería demostrar. Veamos otros ejemplos. b. Demostrar: 185 Desarrollo de Competencias Matemáticas II c. Demostrar: Se inicia por donde hay mayor información en este caso el lado derecho de la identidad. EVALUACIÓN 1. Dadas las siguientes expresiones comprueba cuales de ellas son identidades y cuáles no. 186 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 1 1 1 2 Sec 2 a. Csc 1 Cos 3 Sen * Cos Sen b. c. Sen Ctg * Cos Csc 1 d. Cos 2 Sen 1 Sen 2 e. ( Sec 1) * ( Sec 1) Tan f. Tan 2 1 Cos Sec 1 Cos 2. De la lista anterior selecciona las que si son identidades para hacer su respectiva comprobación. No olvides que partes del lado donde tengas mayor información. En los puntos 3, 4 y 5 se han desarrollado en forma incompleta cada una de las identidades. Escribe en cada enciso el proceso que falta. 3. a. d. b. e. c. f. 4. Demuestra la identidad: b. a. 187 Desarrollo de Competencias Matemáticas II c. f. d. e. g. a. d. b. e. 5. c. Algunos de los procesos algebraicos desarrollados en las siguientes identidades (6 y 7) es incorrecto descubre el error y corrígelo. 6. a. d. b. e. c. f. 7. a. d. b. e. c. f. 188 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad tres: Tema: Solución de triángulos Solución de triángulos Oblicuángulos. Hoja de Materiales: pluma y Trabajo No. 25 geogebra, regla y compás Sub-tema Ley de senos Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye el teorema del seno, mediante la manipulación de la geometría dinámica, usando habilidades como observación de invariantes y la conjetura. Reconoce el teorema del seno como una herramienta útil en la solución de triángulos que no son rectángulos y lo aplica en la resolución de problemas. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de evaluación. 189 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes por una razón 2. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes por una proporción. 3. Halla una razón que sea equivalente a la razón dada. a. b. c. d. 4. El valor de x que hace que hace que la expresión a. 1.369 b. 0.016 c. 8.9444 sea correcta es: d. 59.142 5. La manera correcta de obtener el valor de x en la expresión a. b. c. 6. La forma correcta de despejar el es: d. ángulo en la ecuación trigonométrica es: a. b. c. d. 7. Otras formas distintas de escribir la igualdad y que se conserve la igualdad es: a. b. c. 190 d. Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN En lecciones anteriores se han visto herramientas para solucionar triángulos rectángulos ahora se aprenderá como solucionar triángulos oblicuángulos, en los cuales no aplica ni las relaciones trigonométricas ni el teoremas de Pitágoras. Usa el archivo SEN.ggb para explorar las siguientes relaciones. Mide todos los lados y todos los ángulos de los triángulos. Usa la calculadora para realizar los cálculos y completar la tabla siguiente: Triángulo ABC Sen = AB Sen = AC Sen = CB Triángulo MNO Sen = ON Sen = ON Sen = ON ¿Cómo son los cocientes en este triángulo? _________ ¿Cómo son estos cocientes en este triángulo? ____ Desoculta las instrucciones que aparecen en el archivo. Y completa la tabla ¿Cómo son los cocientes en el triángulo? _______ ¿Cómo son los cocientes en el triángulo?____ _ 191 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Escribe con tus propias palabras la propiedad que acabas de explorar Espacio para que redactes la propiedad CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS La ley que acabas de encontrar recibe el nombre de ley de senos, te permite hallar los seis elementos de un triángulo cualquiera. Veamos un ejemplo. En el triángulo ABC se tiene la medida de dos ángulos y un lado opuesto a uno de los ángulos conocidos Para hallar la medida del ángulo se usa el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. 180º Por tanto = 32.76 192 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Para hallar la medida de los otros lados se usa el teorema del seno como sigue: Sen Sen = AC BC Se reemplazan los datos que proporciona el ejercicio Sen (94.86º ) Sen (52.38) = AC 10.08 Luego se resuelve la ecuación AC = Sen (52 .38 º ) 10 .08 * Sen(94 .86 º ) De lo cual resulta que el laco AC = 12.68 cm Falta hallar el lado AB: usa el teorema del seno para hallarlo, puedes utilizarlo de la de la siguiente manera: AB BC Sen Sen Espacio para hallar el lado AB Otra opción es que te den dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados, veamos: Se aplica el teorema del Seno de la forma siguiente: Sen Sen AB BC 193 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Despejando Sen : Sen AB * Sen BC Reemplazando los datos se tiene: Sen 5.46 * Sen(109.49º ) 19 Despejando el ángulo 5.46 * Sen(109 .49 º ) 19 Sen 1 En la calculadora se hará: 5.46 * Sen(109 .49 º ) inv Sen 19 5.46 * Sen(109 .49 º ) Ó 2nd Sen 19 Dando como resultado = 15.72º Para hallar el tercer ángulo se usa: 180º EN ACCIÓN Halla el valor del ángulo y el valor del lado AC. Espacio para hallar el lado AC y el ángulo 194 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Un asta bandera está sembrado perpendicularmente al piso y proyecta una sombra de 12.5 metros. Los rayos solares forman con el piso horizontal un ángulo de elevación de 550 ¿Cuál es la altura del asta bandera? 2. Un bote se mueve hacia el sur a 40 Km. por hora y el viento lo está empujando hacia el este a 3 Km. por hora halla la velocidad y la dirección reales del bote. 3. ¿En qué dirección debe dirigirse una lancha que desarrolla una velocidad de 20km por hora si quiere viajar directamente hacia el oeste cuando soplan vientos hacia el sur de 4 km por hora? ¿Cuál es la velocidad resultante? 4. Un poste se mantiene en posición vertical mediante un alambre tenso que forma un ángulo de 20° con el poste y que ejerce una fuerza F= 300 kg. Sobre el extremo superior del mismo. Encuentra las componentes horizontal y vertical de F. 195 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad tres: Resolución de triángulos Hoja de Trabajo No. 26 Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub-tema Ley del coseno Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Comprueba el teorema del coseno, mediante la manipulación de la geometría dinámica, explorando en diferentes triángulos. Reconoce el teorema del coseno como una herramienta útil en la solución de triángulos que no son rectángulos y lo aplica en la resolución de problemas. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de evaluación. 196 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. El valor de x en la ecuación cuadrática a. b. es: c. 2. La forma correcta de despejar el d. ángulo en la ecuación trigonométrica es: a. c. b. d. 3. Si se reemplazan los valores de los valores que se obtienen para a. b. en la ecuación son: c. d. 4. Al despejar en la ecuación se obtiene: c. a. b. d. – 5. Al despejar en la ecuación se obtiene a. b. c. d. 197 – Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque se atribuye el descubrimiento a la escuela pitagórica. Recordemos que el teorema establece lo siguiente: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Este teorema es válido cuando construimos cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo. ¿Qué ocurre si construimos cuadrados sobre los lados de un triángulo que no sea rectángulo? ¿Se sigue cumpliendo el teorema de Pitágoras en este caso? En esta sección estudiaras un teorema muy importante que te ayudará a contestar estas preguntas. El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados. 198 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Ley de Cosenos La ley de cosenos establece la siguiente igualdad en la que se incluyen los lados y un ángulo de cualquier triángulo. Por la comodidad de la escritura se le llamará b al lado AC del triángulo: el teorema quedará así: b 2 a 2 c 2 2 * a * c * cos Utiliza el archivo LEYCOSENO.ggb para explorar este teorema. Dejando visible la parte algebraica, para que compruebes el teorema y lo compares con la medida del lado b. Mueve un vértice del triángulo, (puede ser A o C), y completa la tabla, la parte derecha de la tabla se completa usando el resultado del teorema de lo algebraico. Medida del lado b tomada del gráfico Resultado del teorema 199 Desarrollo de Competencias Matemáticas II ¿Se cumple el teorema para triángulos oblicuángulos? ____ Espacio para expliques tu respuesta ¿Se cumple el teorema para triángulos acutángulos? ____ Espacio para que expliques tu respuesta En un archivo nuevo construye un triángulo rectángulo, (para que no pierda la propiedad de rectángulo, puedes usar cualquiera de las siguientes opciones: perpendicular, mediatriz o inscribes un triángulo en media circunferencia). Usa la entrada algebraica para aplicar el teorema del coseno en un triángulo rectángulo. ¿Se cumple el teorema del coseno para triángulos rectángulos? _________ Espacio para que expliques tu respuesta (es necesario que elabores el archivo) 200 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Este teorema es válido siempre que el ángulo que se tiene esté comprendido entre los lados conocidos. Solucionando el ejemplo que aparece al inicio en forma algebraica quedará así: b 2 6.64 2 14 .98 2 2 * 6.64 *14 .98 * cos(112 .82 º ) b=18.6 cm. Se tienen los tres lados, (a, b y c) falta hallar los otros ángulos, usaremos de nuevo el teorema del coseno como sigue: es el ángulo opuesto al lado c. c 2 a 2 b 2 2 * a * b * cos Despejando c2 a2 b2 se reemplaza en la calculadora y Se tiene que cos1 2* a *b 47.88° Por tanto el tercer ángulo mide: 19.40° Soluciona el siguiente triángulo rectángulo Solución 201 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Actividad en el cuaderno. Aplica el teorema del coseno (donde se pueda), para solucionar los siguientes triángulos Donde no se pueda explica por qué no. y soluciónalo empleando el teorema del seno. 202 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN Utiliza el teorema del coseno para solucionar las siguientes situaciones: 1. Los vectores u y v representan dos fuerzas que forman entre si un ángulo de 40.65°. Halla la fuerza resultante de las dos fuerzas. El dibujo de la derecha muestra como queda la solución grafica. 2. Se tienen los vectores = 5cm y b = 10cm, que forman ángulos de 90° y 60° con la horizontal, respectivamente. a. Dibuja los vectores y b y el vector suma. b. Halla 3. En qué dirección debe viajar una avión, que alcanza una velocidad de 500 Km. por hora como máximo, si desea llegar exactamente hacia el sur, cuando soplan vientos de 25 Km. por hora hacia el Oeste a. Haz una gráfica de la situación planteada b. ¿Cuál es la velocidad resultante? Resolver un triángulo cualquiera consiste en calcular todos sus elementos: sus tres lados y sus tres ángulos. Para resolver un triángulo debemos conocer, al menos, tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente debe ser un lado. 1. Abre el archivo triángulos.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 203 Desarrollo de Competencias Matemáticas II En el archivo encuentras un ángulo y un segmento g, a los cuales les puedes cambiar su medida arrastrando los vértices libres. También encuentras el triángulo rectángulo JKM con un ángulo interno y un cateto m=g. Cambia la medida de y de g y resuelve el triángulo resultante: Dibujo de los triángulos Espacio para hacer cálculos 5. Usa las relaciones trigonométricas y el teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo, para calcular los elementos que faltan en los siguientes triángulos. 204 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Representación gráfica Espacio para hacer cálculos Representación gráfica Espacio para hacer cálculos 205 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad cuatro: Introducción a la Geometría Analítica Hoja de trabajo No. 27 Tema: Distancia entre dos puntos Hojas de papel milimétrico Subtema: Cálculo de área y perímetro DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias específicas Deduce la formula de la distancia entre dos puntos usando puntos en el plano cartesiano, para hallar el perímetro y el área de polígonos. Aplica el modelo matemático de la ecuación de la distancia entre dos puntos para la resolución de problemas. Propone nuevos problemas que impliquen la idea de distancia entre dos puntos, a través del diseño de los mismos, para reafirmar los conocimientos adquiridos y contribuir al desarrollo de la creatividad. Estrategias Didácticas. a. Lee detenidamente la sección diagnóstico y contesta cada una de las preguntas que allí se te hacen. b. En caso que tengas dudas, debes hacer las preguntas al maestro. c. Después lee la sección de motivación. d. El profesor realizará la deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano. e. Deberá contestar las actividades para que resuelvas ejercicios y problemas donde apliques la distancia entre dos puntos. f. Cuando el maestro lo indique, debes participar activamente en la fase de socialización de las ideas. 206 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. ¿Sabes calcular la distancia entre dos puntos del plano? Si ( ) No ( ) Espacio para explicar 2. ¿Recuerdas el enunciado del Teorema de Pitágoras? Si ( ) No ( ) escríbelo. 3. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (1,5) y B (-2,3) encuentra la distancia entre ellos. 207 Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN En esta sección aprenderás varios conceptos y habilidades que te ayudarán a resolver problemas. Por ejemplo, al final de la hoja de trabajo estarás en capacidad de encontrar la distancia entre dos puntos, encontrar propiedades de algunos puntos notables del triángulo, graficar figuras geométricas y encontrar su perímetro. Tener dominio sobre estos conceptos y habilidades es básico en las matemáticas de preparatoria y de la universidad. Por ejemplo, este tema se aplica en geometría plana para encontrar propiedades del triángulo y los cuadriláteros. Una extensión de la distancia entre dos puntos, genera una aplicación en ll Global Positioning System (GPS) o Sistema de Posicionamiento Global (más conocido con las siglas GPS), permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto, una persona, un vehículo o una nave aérea, con una precisión hasta de centímetros. El GPS funciona mediante una red de 27 satélites (24 operativos y 3 de respaldo) en órbita sobre el globo, a 20.200 km, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra. Cuando se desea determinar la posición, el receptor que se utiliza para ello localiza automáticamente como mínimo tres satélites de la red, de los que recibe unas señales indicando la posición y el reloj de cada uno de ellos. Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula el retraso de las señales; es decir, la distancia al satélite. Por triangulación calcula la posición en que éste se encuentra. La triangulación en el caso del GPS, se basa en determinar la distancia de cada satélite respecto al punto de medición. 208 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa respecto a los tres satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de cada uno de ellos por la señal que emiten, se obtiene la posición del punto de medición. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos. Sean A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano. Unimos los puntos con un segmento AB . Ubicamos el punto C ( x2 , y1 ) y se traza el triángulo rectángulo ACB, como en la siguiente figura: Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia del punto A al punto B. Para lograrlo, identificamos que el triángulo es recto en C, que la hipotenusa es AB y los catetos son AC y CB . Por tanto: 2 2 AB AC CB 2 AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 209 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Esta fórmula nos permite calcular la medida del segmento AB , conociendo las coordenadas de los puntos A y B. EN ACCIÓN Realiza las siguientes actividades: a. Dibuja en geogebra los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 7 lados. Ubicando los vértices en puntos del plano. b. Usa la fórmula de distancia entre dos puntos para calcular el perímetro de cada figura. c. Señala el baricentro de cada figura. d. Traza un segmento desde el baricentro hasta el pie de la perpendicular. A este segmento le seguiremos llamando apotema. Calcula su medida. e. Con las herramientas de geogebra mide el área de cada figura. Figura Longitud apotema del Perímetro 210 Perímetro*Apotema Área Desarrollo de Competencias Matemáticas II f. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre la relación que existe entre el perímetro, el apotema y el área de un polígono regular de cualquier cantidad de lados. Espacio para construir la conjetura EVALUACIÓN 1. Representa cada pareja de puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y calcula la distancia entre las siguientes parejas de puntos. Usa hojas de papel milimétrico. a. P(3,4) y Q(6,8) b. M(-2,5) y N(3,-4) 2 1 1 c. A ,1 y B , 3 6 4 2. ¿Qué clase de triángulo es el polígono que tiene las siguientes coordenadas? A (2,2), B (5,8) y C (7,6) 3. ¿Cuál es el perímetro del polígono A(1,1), B(1,6), C(3,6) y D(8,2)? 4. ¿Qué valor puede tener la x para que los puntos A(1,1), B(2,3) y C(x,7) sean coloniales, es decir que estén sobre la misma recta? 5. Dos vértices de un triángulo equilátero son A(1,3) y B (5,3). Encuentra las posibles coordenadas del tercer vértice. 211 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Cuatro: Introducción a la geometría analítica Hoja de Trabajo No. 28 Tema: División de un segmento en una razón dada Materiales: pluma y geogebra, regla y compás Sub -Tema: Coordenadas del punto medio, del punto de trisección Fecha: ________________ DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias específicas Analiza situaciones problemáticas que impliquen el uso la división de puntos en una razón dada, a través del uso de varias representaciones para la resolución de problemas. Aplica el modelo matemático de la división de puntos en una razón dada para la resolución de problemas. Propone nuevos problemas que impliquen la división de puntos en una razón dada, a través del diseño de los mismos, para reafirmar los conocimientos adquiridos y contribuir al desarrollo de la creatividad. Estrategias Didácticas. a. Lee detenidamente la deducción de la fórmula de las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. b. En caso que no entiendas la deducción o la manera de aplicar la fórmula, pregúntale a tu maestro. c. En forma individual, aplica la fórmula de las coordenadas de los puntos que dividen a un segmento en una razón dada, para contestar las preguntas que contiene la hoja de trabajo. d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros. e. Si no pudiste resolver alguna actividad le puedes preguntar al maestro o alguno de tus compañeros. 212 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. ¿Sabes calcular el punto medio de dos puntos del plano? Si ( ) No ( ) Espacio para explicar 2. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (1,1) y B (3,5) y encuentra el punto medio entre ellos. 213 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos. Sean los puntos A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano. Unimos los puntos con un segmento AB . Sea P ( x, y ) un punto que está sobre el segmento AB , y que divide a dicho segmento en la razón r AP . PB En esta hoja de trabajo deduciremos las coordenadas del punto P y las usaremos para resolver ejercicios y problemas. Sobre la figura anterior, se trazan perpendiculares a los ejes de coordenadas por los puntos A, P y B, para formar los triángulos rectángulos ACP y PDB. 214 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Los triángulos rectángulos ACP y PDB, son semejantes, esto implica que: AP AC PB PD Haciendo las sustituciones respectivas, obtenemos: r x x1 x2 x Despejando x se obtiene la siguiente expresión: x1 rx2 1 r x (1) Nuevamente, de la semejanza de los triángulos, ACP y PDB, se obtiene: AP CP PB DB Haciendo las sustituciones respectivas, obtenemos: r y y1 y2 y Despejando y se obtiene la siguiente expresión: y y1 ry2 1 r (2) Por ejemplo, si usamos las fórmulas (1) y (2) para encontrar las coordenadas de un punto P que divide al segmento que tiene por extremos A(x1,y1) y B(x2,y2) en la razón , obtenemos lo siguiente: 215 Desarrollo de Competencias Matemáticas II X= Y= EN ACCIÓN 1. Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las coordenadas de un punto P que 2 divide al segmento que tiene por extremos A(1,2) y B(7,5) en la razón r . 3 2. Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las ecuaciones de las coordenadas del punto medio de un segmento AB. A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) . Ten en cuenta que en este caso la razón de semejanza es . 216 Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las ecuaciones de las coordenadas del punto de trisección de un segmento AB. A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) . El punto de trisección es aquel que divide al segmento en tres partes de tal manera que el segmento de menor longitud es la tercera parte de la longitud total. Ten cuenta 1 que en este caso r . 2 3. Considera un triángulo ABC de A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) C ( x1 , y1 ) . Encuentra las coordenadas del baricentro (corte de las medianas). (SUGERENCIA: observa el siguiente gráfico y recuerda que las medianas se trazan desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, es decir el punto M es el punto medio de BC y que el baricentro (G) corta al segmento AM en los segmentos . AG y GM cuya razón es 217 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad cuatro: Temas preliminares de geometría analítica Hoja de Trabajo No. 29 Tema: Introducción a la línea recta Materiales: Pluma, regla y geogebra Sub - Tema: Angulo de inclinación y pendiente de una recta Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias específicas Reconoce el cambio de la pendiente de una recta, mediante el cambio de parámetros, usando la geometría dinámica. Transitar entre diferentes representaciones de la línea recta, y los aplica para solución de problemas. Soluciona problemas que impliquen el uso de la pendiente de una recta y el ángulo de inclinación de la misma en situación de contexto real. Estrategias Didácticas. a. Lee detenidamente la sección diagnóstico y contesta cada una de las preguntas que allí se te hacen. b. En caso que tengas dudas, debes hacer las preguntas al maestro. c. Después lee la sección de motivación. d. A través de la interacción con el software y el registro de información en la tabla tú puedes deducir los cambios de la pendiente de una recta. e. Deberá contestar las actividades para que resuelvas ejercicios y problemas donde apliques lo que aprendiste de pendiente de una recta. 218 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO A continuación aparecen algunas gráficas de rectas, frente a cada una de ellas escríbele: la ecuación y la pendiente que le correspondan. Gráfica Ecuación 219 Pendiente Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Abre el archivo recta1.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 2. Mueve el deslizador de la figura para valores mayores que cero, iguales a cero, y menores que cero. Observa los cambios de la recta y completa la siguiente tabla Gráfica con a > 0 Gráfica con a < 0 220 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Gráfica con a < 0 3. Describe el comportamiento que tiene la gráfica a medida que cambian los valores del deslizador en los intervalos señalados. 4. Ahora marca y mide el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las x. 5. Haz que se forme un ángulo agudo. 6. Ahora calcula la relación tangente del ángulo. 7. Compara el valor de la tangente del ángulo y el valor del deslizador. Y saca una conclusión. CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 221 Desarrollo de Competencias Matemáticas II La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo que se forma entre la recta y el eje positivo de las x. Al calcular la tangente en el triángulo ACB, rectángulo en B se tiene: Si las coordenadas de los puntos son A(x1,y1); B(x2,y2) la relación tangente queda: Por tanto formula de la pendiente m de una recta es Siendo la forma de la ecuación de la recta EN ACCIÓN Dibuja una recta de pendiente 0, una recta de pendiente positiva y una recta de pendiente negativa. EVALUACIÓN 1. Dibuja las siguientes rectas: a. b. e. c. d. 2. Encuentra el ángulo de inclinación de cada una de las rectas anteriores. 3. Busca en un libro de texto o en internet lo que representa el termino independiente de la ecuación 222 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Escribe tres situaciones de la vida diaria donde se emplee la ecuación de una recta. 5. Halla la pendiente de las rectas AB que aparecen a continuación : 223 Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad cuatro: Temas preliminares de geometría analítica Hoja de Trabajo No. 30 Tema: Introducción a la línea recta Materiales: Pluma, regla y geogebra Sub - Tema: Angulo entre dos rectas, rectas paralelas y perpendiculares Fecha: DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias específicas Deduce el ángulo entre dos rectas usando la geometría dinámica, para aplicarlos en la solución de problemas. Identifica las ecuaciones de dos o más rectas paralelas y rectas perpendiculares. Estrategias Didácticas. a. Lee detenidamente la sección diagnóstico y contesta cada una de las preguntas que allí se te hacen. b. En caso que tengas dudas, debes hacer las preguntas al maestro. c. Después lee y desarrolla la sección de motivación. d. A través de la interacción con el software y el registro de información en la tabla tú puedes deducir las características de las ecuaciones de dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares. 224 Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe la fórmula que se usa para obtener el ángulo entre dos rectas. 2. ¿Qué características tienen las pendientes de dos rectas que son paralelas? 3. ¿Qué relación se establece perpendiculares? Explica. entre las pendientes de dos rectas MOTIVACIÓN Realiza en geogebra la siguiente construcción: a. Traza dos rectas que se corten en un punto. b. Marca y mide cada uno de los ángulos que se forman en la intersección de las rectas. c. ¿Qué características tienen estos ángulos? d. Cómo se llaman las parejas de ángulos que se forman? 225 Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Ángulo entre dos rectas (Deducción de la fórmula) y, respectivamente. Sea el ángulo que forman al cortarse las rectas en el punto C. Las pendientes de las rectas son m1 y m2 Sean L1 y L2 dos rectas cuyos ángulos de inclinación son En esta sección se deduce la manera de encontrar el ángulo . Las rectas y el eje X forman el triángulo ABC. Los ángulos y son interiores al triángulo, mientras que es un ángulo exterior. Por los teoremas estudiados anteriormente en el curso, sabemos que: (1) Es decir: Por tanto: tan tan( ) tan tan 1 tan tan m m1 tan 2 1 m2 m1 tan Actividad uno: 1. Abre el archivo líneas.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: 226 Desarrollo de Competencias Matemáticas II En el archivo encuentras dos líneas rectas, sus ecuaciones y tres puntos libres A, B y D los cuales se pueden arrastrar. 2. Completa la tabla ubicando al punto A en diferentes posiciones (en la parte positiva del eje Y, en la parte negativa de este eje y en el origen de coordenadas) Para que sea más fácil la exploración, pon el punto en coordenadas enteras. Ecuaciones que reporta GeoGebra Ecuaciones de la rectas despejando y 3. En el siguiente espacio en blanco debes describir con palabras los rasgos comunes (regularidades) que observaste de las ecuaciones de las rectas. Actividad dos: 227 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 1. Abre el archivo líneas2.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente: En el archivo encuentras dos líneas rectas, sus ecuaciones y dos puntos libres A, B los cuales se pueden arrastrar. 4. Completa la tabla ubicando al punto A en diferentes posiciones (en la parte positiva del eje Y, en la parte negativa de este eje y en el origen de coordenadas) Para que sea más fácil la exploración, pon el punto en coordenadas enteras. Ecuaciones que Ecuaciones de la reporta GeoGebra rectas despejando y 2. En el siguiente espacio en blanco debes describir con palabras los rasgos comunes (regularidades) que observaste de la ecuación de las rectas EN ACCIÓN 228 Desarrollo de Competencias Matemáticas II 1. Escribe dos ecuaciones de rectas que sean paralelas al eje x 2. Escribe dos ecuaciones que sean perpendiculares al eje x. EVALUACIÓN 1. Dibuja el triángulo cuyos vértices son A (1,1), B(3,0) y C(2,-2). Usa la fórmula de ángulo entre dos rectas para calcular los ángulos internos del triángulo. 2. Sobre el plano de coordenadas cartesianas dibuja un rombo y demuestra que las diagonales son perpendiculares y que se cortan en el punto medio. 3. ¿Las rectas y 3x 1 ; y 2 x 1 son paralelas? Explica. 4. Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a y 5x 1 . 5. Escribe las ecuaciones de un par de rectas paralelas y grafícalas. 229 Desarrollo de Competencias Matemáticas II BIBLIOGRAFÍA Baldor. Geometría plana y del espacio, con una introducción a la trigonometría". Editorial cultura venezolana, s.a. caracas - Venezuela Barnett. Geometría. Editorial mc graw hill. México. Benítez, d. Pensamiento matemático I y II. Escuela Normal Superior del Estado. 2004. Saltillo México. Clemens, D. 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