DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS II GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DESARROLLO DE COMPETENCIAS
MATEMÁTICAS II:
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Autores:
David Benítez Mojica
Noelia Londoño Millán
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
INTRODUCCIÓN
El presente libro de texto titulado Desarrollo de Competencias Matemáticas II:
geometría y trigonometría, fue diseñado y elaborado con el objeto de contribuir al
desarrollo de competencias de los estudias de matemáticas II de la preparatoria,
desde un enfoque distinto a los libros de texto tradicionales, ya que se proponen
una serie de actividades mediante las cuales el alumno explora, conjetura,
argumenta, redacta, resuelve problemas, comunica sus ideas matemáticas de una
manera espontánea y natural, etc.
El libro consta de 30 hojas de trabajo en las cuales se exponen los temas del
curso de matemáticas II. Cada hoja de trabajo fue diseñada con un encabezado
que identifica la unidad a desarrollar, el tema y el subtema que se trabajara en
cada una, así como también aparecen declaradas las competencias disciplinares
que se quieren alcanzar.
Así mismo cada hoja de trabajo tiene un diagnóstico con el cual se pretende
indagar sobre lo que conoce cada alumno, una motivación o introducción al tema,
también contiene conceptos y habilidades básicas, en donde se expone en
condensada los subtemas. La sección en acción es una actividad que el alumno
debe realizar sobre la misma hoja de trabajo, mientras que la evaluación viene a
hacer parte de trabajo extraclase, que el alumno debe desarrollar en sus
respectivos cuadernos.
Esperamos que el presente documento contribuya de manera significativa al
desarrolla de las competencias matemáticas de los alumnos, así como también
sea un apoyo importante para el maestro en su quehacer docente.
Los autores.
ii
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS II:
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
COMPETENCIAS GENERALES
Transita entre las representaciones algebraicas, gráficas y verbales, a través el uso de
lenguaje verbal y escrito; para la comprensión conceptual, la construcción de conjeturas,
la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas geométricos.
Construye propiedades geométricas, a través de la exploración doblando papel, con
estuche de geometría y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de
invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.
Redacta nuevos problemas geométricos, a partir de la modificación de las hipótesis de los
problemas ya resueltos, para el desarrollo del pensamiento espacial, la resolución de
nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos.
Sigue un conjunto de pasos de construcciones geométricas, a través de la conexión entre
las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de
propiedades.
Argumenta las ideas geométricas a través de cadenas de razonamientos para la
resolución de problemas.
iii
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
TABLA DE CONTENIDO
PAG.
UNIDAD 1. ÁNGULOS
1.1.
Sistemas de Medidas de ángulos.
1.1.1.
Sistema Sexagesimal
1.1.2.
Sistema Circular
1.2.
Clasificación de los ángulos
1.2.1.
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida
1.2.2.
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros
ángulos.
1.3.
Ángulos entre paralelas cortadas por una secante
1
8
17
22
29
UNIDAD 2. TRIÁNGULOS
2.1.
Clasificación y construcción de Triángulos.
2.1.1.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados
38
2.1.2.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos 44
interiores
2.2.
Rectas y puntos notables en un triángulo.
2.2.1.
Bisectrices e incentro
50
2.2.2.
Mediatrices y circuncentro
55
2.2.3.
Medianas y baricentro
61
2.2.4.
Alturas y ortocentro
66
2.2.5.
propiedades del ortocentro, baricentro y circuncentro
72
2.3.
Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos.
2.3.1.
Principales teoremas de los triángulos:
2.3.1.1. Teorema de los ángulos interiores
76
2.3.2.2. Teorema de los ángulos exteriores
81
2.3.2.3. Teorema del ángulo externo
91
2.3.2.4. Teorema de Pitágoras
95
2.3.2.
Principales propiedades de los triángulos:
2.3.2.1 La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles
102
2.3.2.2. La medida de los ángulos de la base en un triángulo isósceles
111
2.3.2.3. En todo triángulo, a mayor lado se opone el ángulo mayor
2.3.2.4. Postulados de la semejanza de triángulos
118
2.3.2.5. Postulados de la congruencia de triángulos
134
UNIDAD 3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
3.1.
Triángulos Rectángulos
3.1.1.
Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo
3.1.2.
Cálculo de Funciones de ángulos de cualquier medida mediante el uso de la
calculadora.
3.1.3
Funciones trigonométricas en el plano cartesiano
3.1.3.1. Funciones trigonométricas de ángulos especiales. (45º, 30º y 60º)
iv
145
145
151
165
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3.1.3.2.
3.1.4
3.1.4.1.
3.1.4.2
3.1.4.3.
3.1.4.4.
3.1.4.5.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
Funciones trigonométricas en los límites de los cuadrantes.
Identidades Trigonométricas.
Identidades Fundamentales.
Recíprocas.
Cociente.
Pitagóricas
Comprobación de las identidades en cualquier triángulo rectángulo.
Resolución de Triángulos Oblicuángulos.
Ley de Senos
Ley de Cosenos.
Resolución de triángulos oblicuángulos usando figuras.
Aplicaciones diversas.
UNIDAD 4. TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
4.1.
Perímetro y área de las principales figuras geométricas triangulo,
rectángulo, polígonos regulares
4.2.
Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada.
Punto medio. Puntos de trisección. Puntos en cualquier posición.
4.3.
Ángulo de inclinación y pendiente de una recta.
4.4.
Ángulo entre dos rectas
4.5
Paralelismo y Perpendicularidad Paralelismo Perpendicularidad
165
175
189
196
206
212
218
224
224
230
BIBLIOGRAFIA
v
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad uno: Ángulos
Hoja de
Trabajo No. 1
Tema: sistema de
medida de ángulos
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Sistema sexagesimal
Fecha: ________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Reconoce la escritura en el sistema sexagesimal de medida de ángulos, a
través de la realización de ejercicios que impliquen su uso.
Convierte minutos y segundos a grados, mediante el uso de las equivalencias
respectivas.
Usa las conversiones de grados a minutos y a segundos en las situaciones
donde sea necesario para hacer operaciones en el sistema sexagesimal de
medidas.
Construye ángulos de medidas diferentes usando el transportador, el compás
y la regla, o la geometría dinámica, de tal manera que le permita copiar
modelos reales.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas
a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda.
b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador para rehacer y
copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos.
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión
y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
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Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
a. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra ángulo.
b. Escribe y dibuja los nombres de todos los ángulos que te acuerdes.
c. Nombra cinco objetos reales que contengan ángulos y márcalos.
d. ¿Sabes marcar un ángulo usando geogebra?
e. Dibuja un ángulo con sus partes.
f. Escribe formas distintas de nombrar los ángulos.
7
Si ( )
No ( )
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
Los ángulos son de mucha utilidad en la cotidianidad, por ejemplo se utilizan en
topografía, arquitectura e ingeniería civil para medir la extensión de terrenos,
hacer construcción de carreteras, puentes, casas y edificios.
También se utilizan en la aeronavegación para orientar a los pilotos en el rumbo
que deben seguir los aviones, para seguir la ruta adecuada y llegar al destino
correcto.
En esta lección aprenderás a manejar los diferentes sistemas de medidas de
ángulos, realizarás operaciones con ellos y construirás propiedades sobre los
ángulos con ayuda de material concreto y con el apoyo de las computadoras.
Esta lección es muy divertida y contribuirá al desarrollo de tus habilidades
matemáticas.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Para medir ángulos se puede usar cualquiera de los siguientes sistemas: el
sistema sexagesimal, que utiliza grados minutos y segundos sexagesimales; el
sistema circular cuya unidad de medida es el radian y el sistema centesimal que
usa los gradianes.
Medida de
ángulos
Sistema
sexagesimal
Sistema circular
Sistema
centesimal
Grados, minutos
y segundos
Radianes
Gradianes
En el sistema sexagesimal se divide la circunferencia en 360 partes iguales y
cada una de estas partes corresponde a un grado. Su símbolo es (°). Cada grado
está compuesto por 60’ (minutos) y cada minuto lo componen 60’’ (segundos).
El transportador es el instrumento para medir los grados sexagesimales
8
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Usando las equivalencias se pueden expresar los grados de tal forma que se
empleen grados minutos y segundos. Veámoslo:
135° = 134° 60’
A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos.
Pero si lo queremos hasta segundo:
135° = 134° 59’ 60’’
A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos. Pero a 60 le
restamos uno, y este minuto que falta lo reemplazamos por 60’’
Otro ejemplo:
Escribir 30º es equivalente a tener 29º59’60’’
Si se tiene
39° 245’ 87’’ no es una forma correcta de escribir empleando
grados, minutos y segundos, porque los minutos y los segundos no deben ser
mayores o iguales a 60, en este caso se procede de la siguiente manera:
Primero dividimos 87 entre 60 esto da 1 y sobran 27’’, por lo que a los minutos le
sumamos uno.
39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’
Aquí no termina, porque en los minutos hay un número mayor que 60, por tanto
hay que repetir el proceso, dividimos 246’ entre 60 esto da 4 y sobran 6’
39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’ = 43 ° 6’ 27’’
Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal
En este sistema de medida de ángulos se pueden hacer las operaciones básicas
como es la suma, la resta, la multiplicación y división. Para hacer alguna de las
9
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
dos primeras se debe operar entre las mismas unidades, es decir, grados con
grados minuto con minutos y segundos con segundos.
Es aquí donde utilizarás lo aprendido en las actividades anteriores:
Halla el resultado de 180° – 15° 35’ 55’’ debes usar la equivalencia:
180° = 179° 59’ 60’’
179° 59’ 60’’ – 15° 35’ 55’’ el resultado da 164° 24’ 5’’
Para nombrar los ángulos se emplean tres letras ABC en el entendido que el
vértice es el punto B (en el medio).
Pero también puede emplearse letras griegas que se escriben a continuación, con
sus respectivos nombres:
EN ACCIÓN
Mide cada uno de los siguientes ángulos usando el transportador:
Encuentra la suma de los cuatro ángulos. Expresa esta suma usando grados,
minutos y segundos.
10
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. Halla el resultado de las siguientes operaciones:
a. 59° 25’ 54’’ + 234° 21’ 13’’
c. 193’’32’ 19’’+ 170°
e. 178° 18’26’’- 12° 35’ 49’’
b. 12° 5’ 44’’ + 24° 25’ 33’’
d. 67° 12’ 45’’ - 33° 7’ 39’’
f. 29° 36’ 11’’- 11° 45’ 34’’
2. Calcula cual el ángulo que hay entre cada número de un reloj.
3. Cuál es la medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj cuando
estas marquen la 4:32.
4. Se observó un reloj que empezó a moverse a las doce en punto
transcurrido 8 horas y 25 minutos
y han
a. ¿Cuántas vueltas completas ha dado el minutero
b. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el minutero?
c. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el horario?
5. Una pareja de ángulos son complementarios si la suma de ellos es 90º y una
pareja de ángulos son suplementarios si la suma de ellos es de 180º.
a. Halla los ángulos complementarios a los siguientes ángulos:
a.
b.
c.
d.
34º 11’ 56’’
7º 9’ 47’’
68 º 23’ 11’’
60 º 13’ 1’’
b. Halla los ángulos suplementarios a los siguientes ángulos:
1)177º 23’ 32’’
2) 123º 34’
3) 30º 20’ 15’’
11
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
6. Un cuadrilátero es cíclico cuando todos los vértices pertenecen a la misma
circunferencia. Por ejemplo, el siguiente cuadrilátero es cíclico:
Realiza las siguientes actividades:
a. Sobre una hoja dibuja varios cuadriláteros cíclicos.
b. Marca los ángulos internos de cada cuadrilátero (en cada caso, debes usar
la misma abertura del compás).
c. En cada cuadrilátero ilumina las parejas de ángulos internos opuestos,
usando el mismo color para cada pareja de ángulos opuestos.
d. Recorta los ángulos internos.
e. Junta los recortes por parejas de ángulos internos opuestos.
f. En el siguiente espacio en blanco construye una conjetura sobre los
ángulos internos de un cuadrilátero cíclico.
7. ¿Todos los cuadriláteros se pueden inscribir en una circunferencia? Explica.
a. Si ( )
b. No ( )
c. No sé
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Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad uno: Ángulos
Hoja de
Trabajo No. 2
Tema: sistema de
medida de ángulos
Materiales: lápiz,
pluma y geogebra,
regla compás,
transportador, e hilo
Sub-tema
Sistema circular
Fecha: ________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Entiende la definición de radian, a través de la construcción geométrica para
emplearlos en situaciones reales.
Reconoce la escritura en el sistema circular de medida de ángulos, a través
de la realización de ejercicios que impliquen su uso.
Realiza conversiones del sistema sexagesimal al sistema circular y viceversa,
usando las equivalencias respectivas, para aplicarlos en las solución de
ejercicios y problemas
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para
conocer sobre los prerrequisitos del tema.
b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o
geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones
que impliquen ángulos en el sistema circular.
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
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Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Escribe como haces para construir una circunferencia usando geogebra,
2. Describe el procedimiento que sigues cuando deseas transferir una medida
sobre una recta y sobre una circunferencia.
MOTIVACIÓN
Vas a hacer la siguiente construcción usando papel, regla, compás, transportador
e hilo.
a. Construye una circunferencia del radio arbitrario y con centro en el punto
C.
b. Ubica un punto en la circunferencia y llámalo A.
c. Traza un radio de la circunferencia.
d. Con una cuerda de hilo, mide el radio de la circunferencia, y sin modificar
su medida, transfiérela sobre la circunferencia a partir del punto A.
e. Al punto donde quedó la transferencia llámale B.
f. Traza un ángulo ACB y mídelo.
g. Escribe en el sistema sexagesimal cuánto es el valor de este ángulo.
_________________________
h. Repite cada uno de los pasos de la actividad anterior ahora con dos
circunferencias de radios diferentes al anterior.
i. ¿Cuánto mide el nuevo ángulo ACB que se forma en cada circunferencia?
Medida del Ángulo ACB en la 1ª
circunferencia
Medida del Ángulo ACB en la 2ª
circunferencia
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Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Radian
Para que aprendas el concepto de radian debes realizar las siguiente actividad.
1. Abre en geogebra el archivo RAD.ggb. Allí encontrarás una figura similar a
la siguiente:
2. Mide los segmentos a, b, el arco f y el ángulo (en radianes). Registra las
medidas en la siguiente tabla. Luego modifica el radio (arrastrando el punto
B) y completa la tabla:
Medida del
segmento a
Medida del
segmento b
Medida del
arco f
Medida del
ángulo
3. El ángulo central
tiene por medida un radian. Usa la construcción anterior
para elaborar una definición de radian de acuerdo a lo que has observado.
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Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro
A continuación realizarás otra actividad para que conjetures otra propiedad de la
circunferencia.
1. Dibuja cuatro circunferencias de distinto radio.
2. En cada circunferencia traza un diámetro.
3. Mide la longitud de cada diámetro.
4. Mide la longitud de cada circunferencia.
5. Completa la siguiente tabla.
Longitud del diámetro
Longitud de la
circunferencia
6. A partir de los resultados de la tabla anterior, construye una conjetura.
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Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Longitud de un arco de circunferencia.
A continuación encontrarás una relación entre la medida del ángulo central, el
arco que subtiende y el radio de la circunferencia
Abre el archivo Angulo-Arco-Radio.ggb, allí encontrarás una figura como la
siguiente:
En cada caso mide la longitud del arco, del radio y del ángulo central. Completa la
siguiente tabla:
Medida del radio
Medida del ángulo
Central (en radianes)
Medida del arco
a) Compara las medidas de la tabla anterior y establece una conjetura:
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Desarrollo de Competencias Matemáticas II
A partir de la actividad anterior, pudiste establecer la relación entre la medida de
un ángulo central, el radio y el arco que subtiende.
Sea una circunferencia de radio r, sea
s la longitud del arco que subtiende.
el ángulo central (medido en radianes) y
Entonces se cumple que:
Por ejemplo, en la siguiente circunferencia de radio 3 m, se pide calcular la
longitud del arco subtendido por un ángulo central de 2 radianes.
Para calcular la longitud del arco, utilizamos la expresión:
18
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Conversión de medidas angulares de radianes a grados
En esta sección aprenderás a realizar conversión de medidas angulares, entre el
sistema circular y sexagesimal. Para ello debes realizar las siguientes actividades:
a. Sobre cada una de las siguientes semicircunferencias dibuja un radian. A
continuación de este radián dibuja otro y así hasta completar la media
vuelta.
b. Completa la siguiente tabla:
¿Cuántas veces es posible marcar un radian sobre cada semicircunferencia?
semicircunferencia de la
izquierda
semicircunferencia del
centro
semicircunferencia de la
derecha
Como puedes ver en cada arco de semicircunferencia caben tres radianes y una
fracción. A continuación vamos a estimar dicha fracción. Para cumplir con este
objetivo, trazamos cuatro semicircunferencias, sobre cada una de ellas, medimos
la longitud de su arco y la longitud de su radio:
Usaremos la expresión para calcular la longitud del arco de circunferencia:
19
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
De esta expresión se puede despejar el ángulo central:
Usando esta expresión y la medida de los arcos de semicircunferencia y la
medida de los radios, completaremos la siguiente tabla:
Longitud de la
semicircunferencia
10.79394
8.24682
5.0896
9.56905
Longitud del radio
3.1415906…
3.1415906…
3.1415906…
3.1415906…
3.43582
2.62504
1.62007
3.04592
De esta manera, podemos establecer que la medida del ángulo central que
subtiende un arco de una semicircunferencia es equivalente a π radianes. Y como
un ángulo llano es el ángulo central en una semicircunferencia, se establece la
siguiente relación:
π radianes equivale a 180º.
EN ACCIÓN
1. Convierte en el sistema de radianes los siguientes grados sexagesimales: 23°,
34°, 15°, 270°
2. Las escuadras usadas en dibujo técnico tienen las combinaciones 45° y 30°,
60°, convierte estos grados sexagesimales a radianes.
3. Completa la siguiente tabla: (puedes usar regla de tres simple directa,
sabiendo que π rad equivale a 180º).
Grados
sexagesimales
Radianes
35°
540°
100°
3
20
7
2
11°


5
8
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. Con ayuda de los conocimientos y habilidades que desarrollaste en la
presente hoja de trabajo, deduce una fórmula para calcular la longitud de
una circunferencia de radio r.
2. Una correa conectada a dos poleas, una de radio 25 cm y otra de radio
10 cm . Si la polea grande da un giro completo ¿Cuál es el ángulo que
girará la polea pequeña?
3. Un aspersor funciona con un mecanismo que produce un movimiento
circular de ida y vuela barriendo un ángulo de 60º . Si el aspersor tiene un
alcance de 3 metros, ¿Cuál es la medida del arco que barre el aspersor?
21
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad uno: Ángulos
Tema: sistema de
medida de ángulos
Hoja de
Trabajo No. 3
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Clasificación de
ángulos de acuerdo a
su medida
Fecha: ________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Comprende la clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida, mediante
la visualización de ejemplos concretos, para que resuelva problemas
geométricos.
Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su medida para que
pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para
conocer sobre los prerrequisitos del tema.
b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o
geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones
que impliquen ángulos en el sistema circular.
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
22
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes
2. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.
3. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición.
MOTIVACIÓN
La clasificación de ángulos de acuerdo a su medida, es un tema muy útil en
geometría porque con este recurso se clasifican los triángulos de acuerdo a la
medida de los ángulos que posea.
Clasificar es una habilidad central del pensamiento matemático, porque se
agrupan objetos en clases o familias generales de acuerdo a un atributo común.
En la presente hoja de trabajo se clasifican los ángulos de acuerdo a su medida.
Conocerás las diferentes familias de ángulos, aprenderás a clasificarlos,
construirás dibujos de cada familia y resolverás problemas interesantes.
23
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
En la siguiente tabla se presenta una clasificación de los ángulos de acuerdo a su
medida, se da una definición y se presenta un dibujo de cada tipo de ángulo.
Nombre el Ángulo
Agudo
Definición
Un ángulo agudo es
aquel que mide menos
de 90º.
Recto
Un ángulo recto es aquel
cuya medida es de 90°.
Obtuso
Ángulos obtusos son
aquellos que miden más
de 90° y menos que
180°.
llano
Un ángulo llano mide
180º.
EN ACCIÓN
a. Clasifica el siguiente conjunto de ángulos:
Tipo de ángulo
Agudos
Rectos
Obtusos
Llanos
24
Ángulos
Dibujo
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. Dibuja y nombra los ángulos cuyas dimensiones son las siguientes:
  179°
  36°
  57°
  91°
 =10°
  125°
  14°
  90
  180°
  159°
2. Clasifica los ángulos anteriores en agudos, llanos, obtusos y rectos. Anótalos
en una tabla
3. La siguiente construcción corresponde a La Alhambra, Granada, en ella
aparecen varios ángulos debes señalar un total de diez ángulos en los cuales
debes incluir las distintas clases vistos en la presente lección.
4. Debes completar la sucesión teniendo en cuenta lo siguiente:
En un triángulo equilátero que es un polígono regular de tres lados y tres
ángulos iguales, cada ángulo interior mide 60°
En un cuadrado cada ángulo interior mide 90°.
En un pentágono regular cada ángulo interior mide 108°. Esta información se
escribió en la tabla siguiente.
Número de lados del
polígono regular
Medida de un
ángulo
interior
3
4
5
60°
90°
108°
25
6
7
8
9
10
n
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
5. Encuentra una relación del número de lados del polígono con la medida de sus
ángulos interiores. Explica la técnica utilizada, debes explicarla en el pizarrón
para todos los de tu clase.
6. En el siguiente polígono irregular marca todos los ángulos interiores teniendo
en cuenta de señalar con rojo los agudos, con verde los obtusos, los llanos
con amarillo y con azul los rectos.
26
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad uno: Ángulos
Hoja de
Trabajo No. 4
Tema: sistema de
medida de ángulos
Materiales: lápiz,
compás, regla y
geogebra
Sub-tema
Clasificación de los ángulos
de acuerdo a su posición con
relación a otros ángulos.
Fecha: ________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Clasifica los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros
ángulos. Mediante el doblado de papel y el uso de geometría dinámica
para resolver problemas que impliquen su uso.
Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su posición para que
pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas.
Identifica las distintas clases de ángulos de acuerdo a la posición en
construcciones geométricas complejas.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para
conocer sobre los prerrequisitos del tema.
b. Tendrás la oportunidad de utilizar el doblado de papel para la
identificación de ángulos de acuerdo a la posición con otros ángulos.
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión en forma respetuosa y da a conocer tus puntos de vista
tanto al profesor como a tus compañeros.
27
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes
2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida.
3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición.
MOTIVACIÓN
1. Sobre un papel realiza un dibujo similar al siguiente:
a. Recorta cada pareja de ángulos opuestos por el vértice.
b. Compara la medida de cada pareja de ángulos opuestos por el vértice.
c. En tu cuaderno construye una conjetura sobre la medida de los ángulos
opuestos por el vértice.
28
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo a la posición con otros ángulos en:
a.
Ángulos adyacentes.
b.
Ángulos complementarios.
c.
Ángulos suplementarios.
d.
Ángulos conjugados.
e.
Ángulos opuestos por el vértice
Los ángulos adyacentes son aquellos ángulos en los que se comparte un lado y
el vértice. Un ejemplo de ellos son los ángulos BAC y CAD, como los de la figura,
el lado común es AC. Y el vértice común es A.
Los ángulos opuestos por el vértice se forman por dos rectas que se cortan, en
este caso se generan dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos
opuestos por el vértice tienen el mismo vértice. En la gráfica aparece sombreados
la pareja de ángulos CDA y BDE.
29
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
El complemento de un ángulo que mide 76° es 14°, el complemento de un
ángulo que mide 6° es
84°
en general: Una pareja de ángulos son
complementarios si la suma de sus medidas da 90°
¿Cuál es el complemento de un ángulo que mide 37° 19’ 35’’? Aquí es necesario
expresar 90° usando grados minutos y segundos:
90° = 89° 59’ 60”
89° 59’ 60’’- 37° 19’ 35’’ = 52° 40’ 25’’
Gráficamente se puede visualizar cuando dos ángulos son complementarios,
dado que es fácil ver si entre los dos suman un ángulo recto.
En la figura se puede ver que los ángulos CAD y DAB son complementarios, la
suma de los dos da el ángulo CAB que es un ángulo recto.
Una pareja de ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas da 180°
1. Si el ángulo mide 30° su suplemento es 150°, pero si el ángulo mide 123°
17’ 55’’ su suplemento será 56° 29’ 5’’ ¿Cómo obtener estos resultados?
2. Para el primero 180°- 30° = 150°
3. Ya el segundo ejemplo como tiene grados, minutos y segundos se debe
expresar 180° en grados minutos y segundos:
180° = 179° 59’ 60”
Ahora si se hace la diferencia:
179° 59’ 60’’ - 123° 17’ 55’’ = 56° 29’ 5’’
4. Sin usar medidas también se puede identificar los ángulos suplementarios
sólo basta ver que al sumar los ángulos de una línea recta.
30
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
El conjugado de un ángulo es igual a lo que le falta para completar la
circunferencia es decir para ser igual a 360°. Por el ejemplo si se tiene un ángulo
de 35° su conjugado será igual a 325° que se obtiene de hacer 360° - 35° = 325°.
Si los ángulos están expresados en grados minutos y segundos se debe utilizar la
equivalencia de:
360° = 359° 59’ 60’’
EN ACCIÓN
2. Dibuja un ángulo adyacente al ángulo dado
3. En la siguiente gráfica dibuja otra pareja de ángulos opuestos por el vértice,
marca la pareja de ángulos CDB y ADE, usando lápiz de color.
4. Utiliza el archivo OP.ggb de geogebra para refutar o para afirmar la siguiente
idea “No siempre se cumple que todos los ángulos opuestos por el vértice
tiene la misma medida”
5. Mide los ángulos y mueve el punto G. Compara cada vez las medidas de los
dos ángulos opuestos por el vértice.
6. ¿La afirmación es cierta?____ ¿La afirmación es falsa? _____ Explica.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
31
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
7. Dibuja un pareja de ángulos, con vértice en A tal que la suma dé el ángulo
MAN.
8. Dibuja un ángulo con vértice en B de tal manera que sea el complemento del
ángulo CBE.
9. Dibuja un ángulo suplementario de CAB
9. Dibuja el ángulo y su respectivo conjugado de:  = 30°,
  45°, 

270°,
  87°,   98°. Usa marcas diferentes del ángulo y su conjugado.
10. Sin dibujar halla el ángulo conjugado de   12° 24’ 31’’,   133° 24’ 57’’,
  90 
 =314° 35’
32
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. Las rectas GI y CH se intersecan en el punto A, las cuales forman diferentes
ángulos de acuerdo a la posición. Completa una tabla con el nombre de los
ángulos según corresponda. Nota el ángulo EAC = EAH y son rectos.
Opuestos
por el
vértice
Adyacentes
Parejas de Ángulos
Suplementarios Conjugados
Complementarios
2. Cuáles de las parejas anteriores cumplen con las dos condiciones a la vez: de
ser: complementarios y adyacentes:
3. Adyacentes y suplementarios:
4. Adyacentes y rectángulos.
5. En tu cuaderno halla el complemento, el suplemento y el conjugado de cada
uno de los siguientes ángulos. (donde se pueda)
 =88°,   16°,   225°,   57°,   191° 11’ 5’’,   25°,   4° 16’
37’’,   197° 32’ 50’’.
6. Las rectas L, M y T se cortan en el punto S. el ángulo que forman las rectas T
y M es de 90º, y el ángulo que forman las rectas L y T es de 37º, halla la
medida de todos los ángulos que generan alrededor del punto S. haz un dibujo
para ilustrar lo que se plantea.
7. De la situación anterior
a. ¿Cuánto mide el conjugado del ángulo que forman las rectas L y M?
b. ¿Cuánto mide el complemento del ángulo que forman las rectas L y M?
c. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo que forman las rectas L y M?
33
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad uno: Ángulos
Tema: sistema de
medida de ángulos
Hoja de
Trabajo No. 5
Materiales: pluma y
geogebra
Sub-tema
Ángulos
entre
paralelas
cortadas
por una secante.
Fecha: ________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Reconoce las propiedades de los distintos ángulos cuando dos rectas
paralelas se cortan por una secante transversal, a través de la interacción con
el software de geometría dinámica, para argumentar en forma precisa algunos
teoremas.
Usa las propiedades de los ángulos entre paralelas y una secante para hallar
los valores de las medidas de otros ángulos en la solución de ejercicios. Sin
necesidad de hacer mediciones concretas.
Identifica cuando es posible usar las propiedades de los ángulos entre
paralelas a través de contraejemplos, para reafirmar el conocimiento y usarlos
en la solución de problemas.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, esto te permitirá
retroalimentar tus conocimientos sobre ángulos.
b. En la parte final debes negar las hipótesis para refutar o afirmar si se
siguen cumpliendo las propiedades.
c. Cuando el profesor realice la fase de socialización, participa en la
discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
34
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
a. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos
rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son
alternos internos:
Recorta los ángulos
general.
. Compara su medida y saca una conclusión
b. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos
rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son
alternos externos entre paralelas:
Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión
general.
c. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos
rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son
correspondientes entre paralelas:
Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión
general.
35
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes
2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida.
3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición.
4. De la misma lista del enciso 1. Realiza una nueva lista que corresponda
ángulos cortados por una secante transversal.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Al cortar dos paralelas con una secante transversal se generan en total 8 ángulos,
pero por la posición se pueden agrupar en las clases siguientes:
a.
b.
c.
d.
Alternos internos
Alternos internos
Opuestos por el vértice
correspondientes
36
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Ángulos alternos internos: son aquellos que se hallan a distintos lados de la
transversal pero dentro de las paralelas.
En las gráficas los ángulos  y  son alternos internos, al igual que la pareja
 y 
Otra clase ángulos que se genera es la de alternos externos: son aquellos que
se encuentran en lados distintos de la transversal pero fuera de las paralelas,
también son dos parejas.
Los ángulos correspondientes son aquellos que se hallan sobre el mismo lado
de la trasversal pero uno dentro y otro fuera de las paralelas. Veamos el ejemplo:
37
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
a. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos internos.
Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el
mismo color.
b. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos externos.
Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el
mismo color.
c. Teniendo en cuenta la definición de ángulos correspondientes entre paralelas.
¿Cuántas parejas de ángulos correspondientes puedes marcar en el dibujo
siguiente? ________ márcalos empleando diferentes colores para cada
pareja.
38
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
Deduce algunas propiedades:
1. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la
recta T, que es transversal. Se han dibujado los ángulos adyacentes
.
a. ¿Cuál es la suma de los ángulos
?__________________
b. Sobre la figura anterior dibuja otras parejas de ángulos adyacentes. Cada
pareja ilumínala del mismo color.
2. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la
recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se han resaltado
los ángulos SFE y EFN.
a. Utilizando papel y calca los ángulos SFE y EFN. Recorta estos ángulos
b. Compara la medida de estos ángulos, con los otros seis ángulos restantes.
c. Ilumina con el mismo color los ángulos que tienen la misma medida.
39
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente:
a. Mide los ángulos alternos internos  y  que aparecen dibujados
b. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los
ángulos.
c. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados
Medida del ángulo 
Medida del ángulo 
d. Compara los valores de los dos ángulos  y  ¿Cómo son las medidas?
________________
¿Siempre? _____________________.
e. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar
medida de dos ángulos alternos internos.
sobre la
4. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente:
a. Borra los ángulos alternos internos y dibuja una pareja de ángulos alternos
externos.
b. Mide los ángulos alternos externos y anota las medidas en la tabla.
c. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los
ángulos.
d. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados
40
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Medida del ángulo 
Medida del ángulo 
e. Compara los valores de los dos ángulos  y  ¿Cómo son las medidas?
________________
¿Siempre? _____________________.
f. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar
medida de dos ángulos alternos externos.
sobre la
5. En la siguiente figura las rectas S y R son paralelas, L y M son
perpendiculares en el punto F, es decir el ángulo  mide 90°. Si el ángulo 
mide 47° encuentra el valor de los otros 12 ángulos.
6. Usa tu cuaderno para hacer lo siguiente:
a. Traza un triángulo, el que tú quieras,
b. Traza una recta que sea paralela a uno de los lados y que pase por el
vértice opuesto, el dibujo te ayudará. La recta que pasa por el vértice B es
paralela al lado AC del triángulo
41
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Los ángulos  y  ¿Tienen la misma medida? __________ justifica tu
respuesta. ¿Cómo se llaman los ángulos  y  de la figura?
d. Sobre el mismo triángulo ¿se pueden construir otra pareja de ángulos de la
misma clase? ___________ Explica tu respuesta.
c.
7. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la
recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se da el valor del
ángulo y se pide el valor de los demás ángulos.
i
8. En la siguiente construcción no hay rectas paralelas. Hallar el valor de los
ángulos que puedas si el ángulo dado mide 70°
Explica como obtienes la medida de los ángulos.
42
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema:
Clasificación y
construcción de
Triángulos
Hoja de
Trabajo No. 6
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Clasificación de los
triángulos de
acuerdo a la medida
de sus lados
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus lados
mediante el uso de mediciones y clasificaciones.
Reconoce las clases de triángulos a partir de una representación gráfica, o
representación verbal y lo relaciona con conocimientos anteriores.
Estrategias didácticas
a. Debes contestar el examen diagnóstico
b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen.
c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos
d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que
puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.
43
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes.
2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus lados.
3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden
clasificar de acuerdo a la medida de sus lados. Explica cual es la clasificación.
Usa las herramientas que desees.
44
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
Trazos sencillos con regla y compas:
1. Traza tres segmentos de diferente longitud.
Espacio para dibujar los segmentos
2. Usa el compás para construir dos circunferencias concéntricas con centro en
el punto T, usando como radios los segmentos de menor tamaño. (Las
circunferencias deben tener el mismo centro T).
3. Ubica un punto S en la circunferencia de radio menor.
4. Traza una nueva circunferencia con centro en S y radio lo que mida el
segmento mayor.
5. Marca el punto de intersección de entre las circunferencias de mayor radio.
Llámalo R.
6. Construye un triángulo que pase por los puntos R, S y T
7. ¿Pudiste construir el triángulo? ___________
8. Piensa y responde ¿para que tamaño de los segmentos no se formaría un
triángulo? Escribe las dimensiones.
9. ¿Es posible que exista un triángulo si todos los segmentos iniciales tienen la
misma longitud? Da un ejemplo.
45
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los lados
1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos:
2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las
medidas de los lados de los triángulos, para completar la siguiente tabla:
Triángulos de tres
lados de la misma
longitud
Triángulos de dos
lados de la misma
longitud
46
Triángulos de tres
lados desiguales
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las
figuras.
a. Triángulo equilátero: Es aquel que tiene tres lados de la misma longitud.
b. Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados de la misma longitud.
c. Triángulo escaleno: Es aquel que tiene todos los lados de diferente
longitud.
EN ACCIÓN
Usa las definiciones anteriores y los números de las figuras del punto número 1
para completar la siguiente tabla:
Triángulos equiláteros
Triángulos isósceles
Triángulos escalenos.
Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos:
a.
b.
c.
d.
e.
Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B
Con centro en A y radio AB traza una circunferencia.
Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia.
Ubica los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalos C y D.
Traza una recta por los puntos C y D. Esta es la recta mediatriz al
Segmento AB
Espacio para realizar los trazos
47
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. Construyendo propiedades de la mediatriz.
a. Ubica el punto de intersección de la recta mediatriz con el segmento AB.
Llámalo M.
b. Mide las distancias AM y MB. ¿Qué puedes concluir?
c. Mide los ángulos CMA y CMB. ¿Qué puedes concluir?
2. Construyendo una familia de triángulos.
a. Ubica tres puntos arbitrarios sobre la recta mediatriz. Llámalos E, F y G.
b. Construye los triángulos ABE, ABF y ABG.
c. ¿Qué clase de triángulos son ABE, ABF y ABG?
3. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos:
a. Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B
b. Con centro en A y radio AB traza una circunferencia.
c. Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia.
d. Ubica uno de los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalo C
e. Traza el triángulo ABC.
f. Mide las distancias AB y AC y BC. ¿Qué relación existe entre estas
medidas?
g. Mide los ángulos ABC BAC y BCA. ¿Qué relación existe entre estas
medidas? ¿Qué clase de triángulo es ABC?
4. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo
isósceles, un triángulo equilátero y un triángulo escaleno.
5. Abre el archivo TRIÁNGULO.ggb y haz lo siguiente:
a. Los segmentos representan los lados de un triángulo, cambia las
dimensiones de cada uno de los segmentos, date cuenta que a medida que
modificas las dimensiones de los segmentos se forma o no un triángulo. Y
escríbelas en una tabla.
Lado mayor
Suma de los lados
menores
¿Existe triángulo?
b. Compara la medida del lado más grande con la suma de las medidas de
los lados pequeños. Y responde ¿existe triángulo?
c. Expresa con tus propias palabras que se debe cumplir en las medidas de
los lados de los triángulos para este exista.
6. Si cada terna de números representa los tres lados de un triángulo indica con
cuales de ellas es posible que exista un triángulo.
1, 2, 3
7, 6, 2
11, 17, 4
3, 4, 5
5, 7, 9,
5, 5, 7
48
3, 1, 3
9, 1, 7
5, 5, 1
6, 2, 5
1, 1, 5
3, 21, 25
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Hoja de
Trabajo No. 7
Tema:
Clasificación y
construcción de
Triángulos
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás transportador
Sub-tema
Clasificación de los
triángulos de acuerdo a la
medida de sus ángulos
Fecha: ________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos internos
mediante el uso de mediciones y clasificaciones.
Reconoce las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos a partir
de una representación gráfica, o representación verbal y lo relaciona con
conocimientos anteriores.
Estrategias didácticas
a. Debes contestar el examen diagnóstico
b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen.
c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos.
d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedas
reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de duda.
49
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes.
2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus ángulos.
3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden
clasificar de acuerdo a la medida de sus ángulos. Explica cual es la
clasificación. Usa las herramientas que desees.
50
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
1. Usa tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos y anota
este valor cerca de cada ángulo.
2. Escribe el nombre de cada ángulo según corresponda
Ángulo acutángulo
Ángulo rectángulo
Ángulo rectángulo
3. Escribe cuales debes juntar para formar un ángulo obtuso, ¿es posible formar
un ángulo rectángulo, con cuales? ¿Cuántos ángulos son agudos? ___
4. ¿Con cuales ángulos de la figura se puede construir un triángulo?
51
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los ángulos y
Construcción de triángulos
1. Mide los ángulos internos de cada uno de los siguientes triángulos:
2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las
medidas de los ángulos internos de los triángulos, para completar la
siguiente tabla:
Triángulos un ángulo
recto
Triángulos que tienen
todos los ángulos
agudos
52
Triángulos que tienen
un ángulo obtuso
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las
figuras.
a. Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos
agudos.
b. Triángulo rectángulo: Es aquel que un ángulo interno recto.
c. Triángulo obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno obtuso.
EN ACCIÓN
Usa estas definiciones y los números de las figuras del punto número 1 para
completar la siguiente tabla:
Triángulos rectángulos
Triángulos acutángulos
Triángulos
obtusángulos.
EVALUACIÓN
1. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos:
Trazos básicos
a. Traza una circunferencia.
b. Traza un diámetro de la circunferencia (recta que divide la circunferencia
en dos semicircunferencias)
c. Ubica un punto M sobre la circunferencia que no sean los puntos de corte
del diámetro y la circunferencia.
53
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
d. Ahora construye un triángulo tomando como lado todo el diámetro de la
circunferencia y vértice el punto M.
e. ¿Qué clase de triángulo se forma?
f. Describe otra forma posible de construir esta clase de triángulo.
2. Defienda o refute la siguientes afirmaciones:
a. Todo triángulo equilátero es acutángulo.
b. Todo triángulo rectángulo es isósceles.
c. Todo triángulo escaleno es obtusángulo
3. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo
isósceles un triángulo equilátero y un escaleno.
54
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Puntos y
rectas notables del
triángulo
Materiales: lápiz,
geogebra, regla y
compás
Hoja de trabajo
No. 8
Sub-tema
Bisectrices y el incentro.
Fecha
______________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye propiedades sobre las bisectrices de los ángulos internos de un
triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y
con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la
construcción de ideas matemáticas generales.
Redacta nuevos problemas sobre bisectrices, a partir de la modificación de los
problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.
Argumenta las ideas matemáticas sobre las bisectrices, mediante el uso de
lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas
a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda.
b. Luego debes usar geogebra para construir las bisectrices y el incentro de
un triángulo.
c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas
propiedades matemáticas que tienen las bisectrices y el incentro.
d. En la parte final debes usar regla y compás para construir el incentro y las
bisectrices de algunos triángulos.
e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión
y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros
55
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra bisectriz.
2. Dibuja un ángulo y construye una bisectriz.
3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una bisectriz?
Si ( ) No ( )
Espacio para describir el procedimiento
4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una bisectriz?
Si ( ) No ( )
Espacio para describir el procedimiento
5. ¿Sabes usar el comando bisectriz de geogebra?
56
Si ( )
No ( )
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
Actividad con doblado de papel
a. Construye una forma triangular.
b. Construye las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo
c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura resultante.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Traza un triángulo ABC.
2. Trazar las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo (de acuerdo a
las herramientas disponibles puedes utilizar el comando de bisectriz o
regla y compás).
3. Realiza los dos pasos anteriores nuevamente.
4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres bisectrices?
Espacio para redactar una conjetura
57
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
5. Al punto de corte de las Bisectrices llámalo I.
6. Por I traza perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo.
7. Encuentra el punto de intersección de cada perpendicular con el lado del
triángulo. Llama a estos puntos M, N y O.
8. Encuentra las distancias IM, IN e IO. Arrastra los vértices del triángulo
para que contestes la siguiente pregunta: ¿Qué puedes decir sobre las
distancias IM, IN e IO?
9. Construye una circunferencia tomando como centro el punto I y radio IM.
10. La circunferencia pasa por M. ¿También pasa por I y por N? Justifica.
El punto I se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita al
triángulo dado.
58
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
a. Usa regla y compás para trazar el incentro de los siguientes triángulos:
b. Traza la circunferencia inscrita al siguiente triángulo:
EVALUACIÓN
1.
2.
3.
4.
5.
¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el interior del triángulo?
¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en la frontera del triángulo?
¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el exterior del triángulo?
¿El incentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo?
¿Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero también concurren
en un punto?
59
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Hoja de Trabajo
No. 9
Tema: Puntos y
rectas notables del
triángulo
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-Tema: Mediatrices y el
circuncentro.
Fecha: _________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Comunica las propiedades de las mediatrices de los lados de un triángulo, a
través del doblado de papel y con apoyo de la geometría dinámica para la
búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.
Redacta nuevos problemas sobre mediatrices, a partir de la modificación de los
problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. La primera aproximación a las propiedades de las mediatrices de los lados
de un triángulo, es a través del doblado de papel.
b. Luego debes usar geogebra para construir las mediatrices y el circuncentro
de un triángulo.
c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas
propiedades matemáticas que tienen las mediatrices y el circunscentro.
d. En la parte final debes usar regla y compás para construir las mediatrices y
el circuncentro de algunos triángulos.
e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión
y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
60
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediatriz.
2. Dibuja un segmento, usa regla y compás para encontrar su punto medio
3. Dibuja un segmento y construye una mediatriz
61
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
4. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una
mediatriz? Si ( ) No ( )
Espacio para describir el procedimiento
5. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediatriz?
Si ( )
No ( )
Espacio para describir el procedimiento
6. ¿Sabes usar el comando mediatriz de geogebra? Si ( )
62
No ( )
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
1. Traza un triángulo ABC.
2. Trazar las mediatrices de cada lado del triángulo (puedes utilizar el comando
de mediatriz).
3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres mediatrices?
4. ¿El punto de corte de las mediatrices puede estar en el interior del triángulo?
¿En la frontera? ¿En el exterior?
5. Al punto de corte de las Mediatrices llámalo M
6. Encuentra las distancias MA, MB y MC. Arrastra los vértices del triángulo. A
partir de estas observaciones, redacta una conjetura sobre las distancias MA,
MB y MC.
63
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
7. En el siguiente espacio en blanco dibuja una circunferencia tomando como
centro el punto M y radio MA.
8. La circunferencia pasa por A. ¿También pasa por B y por C? Justifica.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
El punto M se llama circuncentro porque es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo dado.
EN ACCIÓN
1. Usa regla y compás para trazar el circuncentro de los siguientes triángulos:
64
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. Traza la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo:
EVALUACIÓN
1. Tres ciudades cercanas A, B y C quieren construir un centro de
abastecimiento de combustible de gasolina en un punto que esté a la misma
distancia de las tres ciudades. Describe dónde pondrías el centro de
abastecimiento y justifica tu respuesta.
2. Usa Geogebra, regla y compás o doblado de papel para realizar las siguientes
exploraciones:
a.
¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo acutángulo?
b.
¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo rectángulo?
c.
¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo obtusángulo?
3. ¿Las bisectrices de los lados cualquier cuadrilátero se cortan en un punto?
4. A partir del problema anterior, redacta un nuevo problema
65
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Puntos y rectas
notables del triángulo
Hoja de
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Trabajo No. 10
Sub - Tema: Medianas y
el baricentro.
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye propiedades sobre las medianas de los lados de un triángulo, a
través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con
apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la
construcción de ideas matemáticas generales.
Redacta nuevos problemas sobre medianas, a partir de la modificación de los
problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.
Argumenta las ideas matemáticas sobre las medianas, mediante el uso de
lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes usar geogebra para construir las Medianas y el baricentro de
un triángulo.
b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas
propiedades matemáticas que tienen las Medianas y el baricentro.
c. En la parte final debes usar regla y compás para construir las Medianas y el
baricentro de algunos triángulos.
d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y
hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
66
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediana.
2. Dibuja un triángulo y construye una mediana sobre uno de sus lados.
3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una mediana?
Si ( ) No ( )
Espacio para describir el procedimiento
4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediana?
Si ( ) No ( )
Espacio para describir el procedimiento
5. ¿Sabes dibujar una mediana usando geogebra? Si ( )
67
No ( )
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
1. Traza un triángulo ABC.
2. Traza los puntos medios de los lados del triángulo ABC.
3. En el dibujo anterior, traza las tres medianas del triángulo
4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres medianas del triángulo?
5. Al punto de corte de las Medianas llámalo G y es el gravicentro o baricentro
del triángulo.
68
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
6. Diseña un procedimiento para comparar las distancias de AG con GE; de BG
con GF y de CG con GD.
Espacio para comunicar el procedimiento utilizado
7. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados AG Y GE.
8. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados BG Y GF.
9. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados CG Y GD.
69
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
Usa regla y compás para trazar el Baricentro del siguiente triángulo:
EVALUACIÓN
1. Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones y responde:
2. ¿El punto de corte de las medianas puede estar en el interior del triángulo?
¿En la frontera? ¿En el exterior?
3. ¿Cómo puedes encontrar el baricentro de un cuadrilátero (polígono de cuatro
lados)?
4. ¿Qué ocurre con el baricentro, el incentro y el baricentro de los triángulos
equiláteros?
5. Tienes un polígono irregular, ¿Ese polígono irregular tiene baricentro?_____
6. Redacta un procedimiento para hallar el baricentro de las siguientes figuras
70
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Puntos y rectas
notables del triángulo
Hoja de
Materiales: pluma y
geogebra, regla compás
y escuadras
Trabajo No. 11
Sub - Tema:
Alturas y el ortocentro
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias específicas
Construye propiedades sobre las alturas de de un triángulo, a través de la
exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la
geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas
matemáticas generales.
Argumenta las ideas matemáticas sobre las alturas de un triángulo, mediante el
uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes usar geogebra para construir las alturas y el ortocentro de un
triángulo.
b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas
propiedades matemáticas que tienen las alturas y el ortocentro.
c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir las alturas y el
ortocentro de algunos triángulos.
d. En la parte final debes usar Geogebra para realizar exploraciones sobre el
ortocentro.
e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y
hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
71
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
En esta hoja de trabajo trabajaremos con algunas propiedades que tienen las
alturas que se construyen sobre los lados de un triángulo.
Para empezar a motivar el estudio de estas propiedades, vamos a introducir el
tema con una actividad sobre el papel:
a. Recorta una forma triangular. De preferencia el triángulo debe ser
acutángulo.
b. Dobla el papel, de tal manera que traces rectas que pasen por cada uno de
los vértices y que sean perpendiculares a cada uno de los lados del
triángulo,.
c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura que obtuviste después de
hacer todos los dobleces.
d. En el siguiente espacio en blanco construye una propiedad general sobre
las las tres rectas que trazaste.
72
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra altura.
2. Dibuja triángulo y construye una altura
3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una altura?
Si ( )
No ( )
Espacio para describir el procedimiento
73
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una altura?
Si ( )
No ( )
Espacio para describir el procedimiento
5. ¿Sabes usar el comando altura de geogebra?
Si ( )
No ( )
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Traza un triángulo ABC.
74
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. Traza la altura a cada lado del triángulo. Lo puedes hacer con una recta
perpendicular a cada lado que pase por su vértice opuesto.
Por ejemplo, en la siguiente figura se traza una perpendicular al lado AB que
pase por su vértice opuesto que es el punto C.
Debes hacer el procedimiento similar para los otros dos lados del triángulo
3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres alturas del triángulo?
Al punto de corte de las Alturas llámalo O y es el ortocentro del triángulo. Se
llama así porque es el corte de rectas perpendiculares, también llamadas
ortogonales.
EN ACCIÓN
1. Usa regla y compás para trazar el Baricentro de los siguiente triángulos:
75
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones:
1. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo acutángulo? Dibuja y
explica
2. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo rectángulo? Dibuja y
explica.
3. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo obtusángulo? Dibuja
y explica.
76
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Puntos y rectas
notables del triángulo
Hoja de
Materiales: pluma y
geogebra, regla,
compás y escuadras
Trabajo No. 12
Sub - Tema: propiedades
del ortocentro, baricentro
y circuncentro
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye propiedades sobre el baricentro, el ortocentro y el circuncentro de
un triángulo, a través del doblado de papel, con construcción con regla y con
apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la
construcción de ideas matemáticas generales.
Argumenta las ideas matemáticas sobre la configuración espacial de algunos
puntos notables, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para
resolver problemas geométricos.
Realiza consultas sobre puntos y rectas notables, a través del uso de internet,
para la reconstrucción geométrica y la visualización de las propiedades.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes usar geogebra, estuche de geometría o doblado de papel,
para construir el ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un
triángulo.
b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas
propiedades que tienes estos puntos notables.
c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir el
ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un triángulo.
d. En la parte final debes usar Internet para consultar sobre algunos temas
interesantes de geometría.
e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y
hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
77
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. ¿Conoces leyes que relacionen el ortocentro, con el baricentro y el
circuncentro del triángulo?
Si ( ) No ( )
2. ¿Conoces la recta de Euler? Explica
Si ( ) No ( )
3. ¿Todos los triángulos tienen su respectiva recta de Euler?
78
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
En esta sección vas a construir propiedades que relacionan el circuncentro, el
ortocentro y el baricentro de un triángulo.
Para poder explorar estas propiedades, puedes usar geogebra o hacer una
construcción sobre el papel.
1. Dibuja un triángulo.
2. En este mismo dibujo, traza el ortocentro O (corte de alturas), baricentro G
(corte de medianas) y el circuncentro M (corte de mediatrices) del triángulo
ABC.
3. ¿Qué relación puedes encontrar entre el Ortocentro O, Baricentro G, y
circuncentro M del triángulo ABC?
4. Mide las distancias del ortocentro al baricentro y del baricentro al
circuncentro.
5. En el siguiente espacio en blanco, escribe una relación entre las distancias
del ortocentro al baricentro y del baricentro al circuncentro.
79
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
Usa regla y compás, para que verifiques las propiedades que ha construido en la
presente hoja de trabajo, en el siguiente triángulo:
EVALUACIÓN
Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones:
1. ¿Pueden coincidir el baricentro, ortocentro y el circuncentro? Justifica
2. ¿El incentro, el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo
están alineados? Justifica
3. En Internet consulta cuál es la recta de Simson. Utiliza Geogebra para
reconstruirla.
4. En Internet consulta cuál es la circunferencia de los nueve puntos. Utiliza
geogebra para reproducirla.
80
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Teoremas
aplicables a triángulos
Hoja de
Trabajo No. 13
Materiales: Cartulina,
compás, regla , tijeras y
geogebra
Sub - Tema: propiedades
de los ángulos internos
de todo triángulo
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye propiedades sobre los ángulos internos de un triángulo, a través de la
exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría
dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas
generales.
Argumenta las ideas matemáticas la suma de ángulos internos rectángulo,
mediante el uso del lenguaje verbal y geométrico PARA resolver problemas
geométricos.
Redacta nuevos problemas sobre ángulos internos, a partir de la modificación de
los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una
propiedad sobre los ángulos internos de un triángulo.
b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que
hallaste en la primera parte.
c. Debes comunicar la conjetura que emerge
d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con
lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos internos de un
triángulo.
e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y
hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
81
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
a. Dibuja un triángulo y señala sus ángulos internos
b. Realiza la suma de los siguientes ángulos: 20º 30` 50`` con 5º 29` 22``
c. Si a 180º le restas 25º 15’ ¿Cuál es el resultado?
_________________________
MOTIVACIÓN
1. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños.
2. Utiliza el compás para marcar los tres ángulos internos de cada triángulo.
Haces un arco de circunferencia del mismo radio sobre cada vértice del
triángulo. Ten en cuenta que el radio de la circunferencia es arbitrario, sin
embargo en el mismo triángulo no debes cambiar el tamaño del radio.
82
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Toma un triángulo y corta los sectores circulares y júntalos. Haz lo mismo con
los otros dos triángulos. Observa el tipo de ángulo que se forma en cada
caso.
4. A partir de lo que observaste en el punto anterior, escribe una ley sobre la
suma de los ángulos internos de cualquier triángulo.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1.- Completa la tabla haciendo lo siguiente: utilizando Geogebra dibuja diferentes
triángulos, mide sus ángulos interiores y suma con el comando calcular las
medidas. Registra todo lo que realizas en la tabla.
Dibujo del Triángulo
Medida de los
Ángulos internos
83
Suma/
Operación
Total
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Dibujo del Triángulo
Medida de los
Ángulos internos
Suma/
Operación
Total
5.-Construye una regla (propiedad) para la suma de las medidas de los ángulos
interiores de cualquier triángulo.
EN ACCIÓN
SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida del ángulo interno faltante, en
cada uno de los siguientes triángulos.
Operaciones
84
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Operaciones
Operaciones
EVALUACIÓN
1. ¿Cuánto deben sumar los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo?
Justifica.
2. ¿Dos ángulos internos del mismo triángulo puedes ser obtusos? Justifica.
3. En tu cuaderno redacta nuevos problemas sobre los ángulos internos en otros
polígonos, partir de la modificación de los problemas ya resueltos.
85
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Teoremas
aplicables a triángulos
Hoja de Trabajo
No. 14
Materiales: Cartulina,
compás, regla , tijeras
y geogebra
Sub - Tema: propiedades de
los ángulos externos de todo
triángulo
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye propiedades sobre los ángulos externos de un triángulo, a través de la
exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría
dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas
generales.
Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos en otros polígonos, a partir de
la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad,
la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos.
Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las representaciones
verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una
propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo.
b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que
hallaste en la primera parte.
c. Debes comunicar la conjetura que emerge.
d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con
lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos externos de un
triángulo.
e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y
hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
86
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo.
b. ¿Conoces alguna propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo?
87
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
a. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños.
b. Prolonga un lado cualquiera del triángulo. Por ejemplo vamos a prolongar
el lado AC con una recta. Usa tu compás para marcar el ángulos que se
forman entre la prolongación del lado AC y el lado contiguo AB (  ) y el
ángulo que se forma entre la prolongación de AB con BC (  ). A este tipo
de ángulos se les llama ángulos externos. Veamos:
88
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
c. Ahora vas a prolongar el lado AB para construir todos los ángulos
exteriores, como en la siguiente figura:
d. . Recorta los ángulos externos y júntalos
e. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo?
Espacio para redactar una conjetura
89
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
f. En el siguiente espacio en blanco justifica la conjetura que redactaste en el
punto número 6.
Espacio para redactar una conjetura
90
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Abre el archivo exteriores.ggb, allí encontrarás una figura similar a la
siguiente:
En el archivo encontrarás un triángulo ABC, sus tres ángulos interiores
(marcados en color rojo) y los tres ángulos exteriores (arcados en color
verde).
2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa las
siguientes tablas:


91
 
Desarrollo de Competencias Matemáticas II




 
 
3. Observa los resultados de las tablas anteriores ¿Cuánto suma la medida de
un ángulo externo y la medida del ángulo interno adyacente?
Espacio para redactar una conjetura
92
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
4. Ve al archivo exteriores.ggb y toma datos de los ángulos exteriores para
completar la siguiente tabla:



5. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo?
Espacio para redactar una conjetura
93
   
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida de cada uno de los
externos de los siguientes triángulos.
Operaciones
Operaciones
Operaciones
94
ángulos
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. ¿Cuánto debe medir un ángulo externo en un triángulo equilátero? Justifica.
2. En el siguiente espacio en blanco realiza una deducción de una fórmula
general para calcular la medida de un ángulo externo de un triángulo
rectángulo que no sea adyacente al ángulo recto.
3. En el siguiente espacio en blanco, redacta por lo menos tres problemas
nuevos, relacionados con los temas y habilidades tratadas en la presente hoja
de trabajo.
4. Selecciona uno de los problemas que acabas de redactar. Resuélvelo y
entrégale un reporte a tu profesor.
95
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Teoremas
aplicables a triángulos
Hoja de Trabajo
No. 15
Materiales: geogebra y
pluma
Sub - Tema: propiedades
del ángulo externo
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye propiedades sobre los ángulos externos e internos de un triángulo,
a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo
de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción
de ideas matemáticas generales.
Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos e internos en otros
polígonos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el
desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la
formulación de contra-ejemplos.
Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las
representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la
visualización de propiedades.
Argumenta las ideas geométricas sobre ángulos internos a través de cadenas
de razonamientos para la resolución de problemas.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. En la primera parte usarás geogebra para medir el ángulo externo y dos
ángulos internos no adyacentes a él.
b. Debes comunicar la conjetura que emerge
c. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente
con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el ángulo externo.
d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión
y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
96
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo y los dos ángulos
externos no adyacentes a él.
b. ¿Conoces alguna ley que relacione un ángulo externo de un triángulo, con los
ángulos externos no adyacentes? _______________
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Abre el archivo externo.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente:
97
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
En el archivo encontrarás un triángulo ABC, un ángulo externo (marcado en
color verde) y dos ángulos internos no adyacentes a él (marcados en color
rojo).
2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa la
siguiente tabla:

 


3. Observa los resultados de la tabla anterior ¿Qué relación encuentras entre
los ángulos?
Espacio para redactar una conjetura
EN ACCIÓN
En cada caso, debes encontrar el ángulo faltante
98
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. Argumenta porqué es válida la ley que formulaste en la presente hoja de
trabajo.
2. Construye dos problemas relacionados con el problema que estamos
abordando en la presente hoja de trabajo.
3. Explora alguno de estos nuevos problemas y construye nuevas conjeturas.
4. En la siguiente figura se ha dibujado un triángulo ABC, un ángulo externo y dos
internos no adyacentes a él. Utiliza lo que aprendiste en la presente hoja de
trabajo para verificar si las medidas de los ángulos indicados son correctas.
99
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema: Teoremas
aplicables a triángulos
Hoja de Trabajo
No. 16
Materiales: geogebra y
pluma, regla, escuadras,
papel y tijeras
Sub - Tema: Teorema
relacionado con los
triángulos rectángulos
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye propiedades sobre las áreas de los cuadrados construidos sobre
los lados de un triángulo rectángulo, a través de la exploración doblando
papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la
búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.
Redacta nuevos problemas con variantes y extensiones del teorema de
Pitágoras, a partir de la modificación de una configuración dada, para el
desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la
formulación de contra-ejemplos.
Sigue un conjunto de pasos de una construcción geométrica, a través de la
conexión entre las representaciones verbales y visuales, para la visualización
de propiedades.
Argumenta las ideas geométricas sobre las áreas de los cuadrados
construidos en los lados de un triángulo rectángulo, a través de cadenas de
razonamientos para la resolución de problemas.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero usarás papel e instrumentos de geometría para visualizar una
propiedad.
b. Luego usarás geogebra para medir, arrastrar y encontrar y generalizar
una propiedad que tienen los triángulos rectángulos.
c. Debes comunicar la conjetura que emerge.
d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver
únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el
teorema involucrado en la presente hoja de trabajo.
e. En la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus
puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
100
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. ¿Cómo se calcula el área de un cuadrado de lado L?
2. ¿Cómo se traza una recta paralela a una recta dada por un punto dado?
(puedes usar regla, compas o escuadras).
Espacio para describir el procedimiento
3. ¿Cómo se traza una recta perpendicular a una recta dada por un punto dado?
(puedes usar regla, compas o escuadras)
Espacio para redactar el procedimiento
101
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Con cartulina construye un triángulo rectángulo.
Construye un cuadrado sobre cada lado del triángulo.
Selecciona uno de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Encuentra el centro de este cuadrado.
Traza una paralela a la hipotenusa que pase por dicho centro.
Traza una perpendicular esta recta que pase por el mismo centro.
Después de haber realizado los trazos anteriores obtendrás una figura
similar a la siguiente:
8. Recorta los cuatro polígonos que se generaron en el cuadrado.
9. Recorta el cuadrado que está en el otro cateto.
10. Utiliza estas cinco piezas para rellenar el cuadrado que se construyó sobre
la hipotenusa.
11. Redacta una propiedad sobre las áreas de los cuadrados utilizados en la
presente actividad.
102
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Abre el archivo rectángulo1.ggb, allí encontrarás una figura similar a la
siguiente:
2. Explora el archivo, esto quiere decir que puedes medir longitud de segmentos,
medida de ángulos, arrastrar, etc. Contesta las siguientes preguntas:
a. ¿Qué clase de triángulo es PAQ?
Espacio para argumentar
103
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
b. ¿Qué clase polígono es AQGF?
Espacio para argumentar
c.
¿Qué clase polígono es QPOD?
Espacio para argumentar
d. ¿Qué clase polígono es APIH?
Espacio para argumentar
104
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Mueve el punto M que está sobre el deslizador hasta el extremo derecho. En el
siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los
polígonos que se involucran en el problema.
Espacio para escribir la conjetura
4. Ahora abre el archivo rectángulo2.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la
siguiente:
105
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
En el archivo encontrarás un triángulo rectángulo PAQ y tres cuadrados
construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa del triángulo.
5. Mide los lados los lados de los cuadrados. Calcula las áreas de los cuadrados
área para completar la siguiente tabla. Ten en cuenta que en la cuarta
columna debes escribir la suma de las áreas de los cuadrados construidos
sobre los catetos.
ÁREA de APIH
ÁREA de
GQAF
ÁREA de
DOPQ
A(APIH)+A(GQAF)
6. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los
polígonos que se involucran en el problema.
Espacio para escribir la conjetura
106
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
1. Sin utilizar geogebra realiza el cálculo de la incógnita. Ten en cuenta que en
cada caso te damos un triángulo rectángulo y algunas de las medidas de sus
lados.
EVALUACIÓN
1. ¿Es posible que las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sean 7,
11 y 15?
3. Completa la siguiente tabla. En la primera columna está la el valor de un
cateto de un triángulo rectángulo, en la segunda columna otro cateto, en la
tercera columna ubicamos el valor de la hipotenusa.
Cateto 1
3
5
Cateto 2
8
9
Hipotenusa
5
10
25
100
3. ¿Cuántas soluciones admiten los dos últimos incisos del punto anterior?
4. En el siguiente espacio en blanco, redacta un problema similar al que estamos
abordando en la presente hoja de trabajo.
107
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema:
Propiedades y
Teoremas aplicables
a triángulos
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Hoja de
Trabajo No. 17
Sub-tema
Propiedades del la
altura en un triángulo
isósceles
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Identifica algunas propiedades que posee la altura de los triángulos isósceles
mediante el uso de construcciones con lápiz, papel y geometría dinámica para
usarlas en las argumentaciones geométricas.
Reconoce las propiedades de la altura en un triángulo isósceles y aplica esas
propiedades en la resolución de problemas geométricos.
Estrategias didácticas
a. Debes contestar el examen diagnóstico
b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen.
c. En la parte final debes identificar las distintas propiedades que tiene la
altura de un triángulo isósceles.
d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que
puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.
108
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
Para recordar
1. Escribe todas las clases de triángulos que recuerdes.
2. ¿Qué es un triángulo isósceles?
3. ¿Conoces algunas propiedades que tienen los triángulos isósceles?
109
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
Usa tu estuche de geometría para resolver las siguientes actividades.
1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los
ángulos internos.
2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de
las tres figuras qué clase de triángulos representa?
Espacio para argumentar
110
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A
qué conclusión puedes llegar?
Espacio para redactar una conjetura
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
En esta sección utilizarás el entorno de geometría dinámica para explorar algunas
propiedades geométricas.
1. Abre el archivo base.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:
111
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. ¿Qué clase de triángulo representa la figura que contiene el archivo?
Espacio para argumentar
3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los
vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de
esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos
112
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A
qué conclusión puedes llegar?
Espacio para redactar una conjetura
Propiedades de la altura de un triángulo isósceles
1. Ahora abre el archivo altura.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la
siguiente:
2. En el archivo encuentras un triángulo isósceles y la altura con respecto al lado
desigual.
113
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Mide los segmentos AD Y DB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la
siguiente tabla:
AD
DB
4. Ahora mide los ángulos CDA y CDB. Arrastra los vértices del triángulo.
5. En el siguiente espacio en blanco describe las características que encontraste
sobre la altura del triángulo isósceles.
6. Mide los ángulos ACD Y DCB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la
siguiente tabla:
ACD
DCB
7. En el siguiente espacio en blanco describe la característica más sobre la
altura del triángulo isósceles.
114
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
Encuentra la medida de cada uno de los ángulos faltantes en la siguiente figura:
EVALUACIÓN
1. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en la siguiente figura:
2. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en el siguiente triángulo
equilátero:
115
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Hoja de
Trabajo No.18
Tema:
Propiedades y
Teoremas aplicables
a triángulos
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub -Tema: relación
entre medida de
ángulos y medida de
lados en un triángulo
Fecha:
_______________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Identifica la propiedad que tienen los triángulos al relacionar la medida de los
lados y los ángulos opuestos mediante el llenado de tablas comparativas.
Reconoce las propiedades que tienen todos los triángulos mediante la
utilización del software de geometría dinámica para utilizarlas en la resolución
de problemas geométricos.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Debes contestar el examen diagnóstico
b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen.
c. En la parte final debes tener claridad sobre las propiedades
fundamentales de los triángulos.
d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que
puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.
116
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Enuncia cinco postulados de la geometría plana que te acuerdes:
2. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los lados de
los triángulos.
3. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los ángulos
de un triángulo
4. Enuncia dos teoremas o postulados, que tú te acuerdes, en los cuales se
menciones los lados y los ángulos internos de un triángulo
117
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
Propiedades de los triángulos
Primera parte: Con lápiz y papel
1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los
ángulos internos.
2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de
las tres figuras qué clase de triángulos representa?
Espacio para argumentar
118
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. En el siguiente espacio en blanco compara el tamaño de la medida de los
lados con el tamaño de la medida de los ángulos opuestos.
Figura No 1
Figura No 2
Figura No 3
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Propiedades de los triángulos
Segunda parte: Con Geogebra
1. Abre el archivo lados-ángulos.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la
siguiente:
119
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. ¿Qué clase de triángulos representan la figuras que contiene el archivo?
Espacio para argumentar
3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los
vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de
esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos
120
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos en
cada figura. ¿A qué conclusión puedes llegar?
Espacio para redactar una conjetura
EN ACCIÓN
1. ¿Los ángulos internos de un triángulo escaleno pueden ser 30º, 30 º y 120º?
Espacio para argumentar
121
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. ¿Las medidas de los ángulos internos de un triángulo isósceles pueden ser
20º, 30º y 130º?
Espacio para argumentar
EVALUACIÓN
1. Discute sobre el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a. Los triángulos escalenos tienen todos sus ángulos internos congruentes.
b. Los triángulos equiláteros tienen dos y solo dos ángulos internos
congruentes.
c. En un triángulo isósceles todos los ángulos internos tienen diferente
medida.
122
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema:
Propiedades y
Teoremas aplicables
a triángulos
Sub -Tema:
Postulados de la
semejanza de
triángulos
Hoja de
Trabajo No. 19
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Identifica la semejanza de triángulos, mediante la medición de cada uno de sus
elementos para aplicarla en la argumentación de las ideas geométricas.
Construye triángulos semejantes a partir de las propiedades que conoce, y las
compara con figura semejantes de mayor número de lados.
Estrategias didácticas
a. Debes contestar el examen diagnóstico
b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen.
c. En la parte final debes tener claridad sobre los postulados de semejanza
de los triángulos.
d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que
puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.
DIAGNÓSTICO
123
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
1. Escribe lo que tú entiendas por semejanza de triángulos.
2. Conoces los postulados de semejanza de triángulos si ___ no ___. Escríbelos
3. Escribe lo que entiendas por lados homólogos.
4. Conoces el significado de la palabra proporcional si _____ no____
5. Escribe lo que entiendas por proporcionalidad.
124
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
6. Encierra en un círculo las figuras que sean semejantes al primer rectángulo.
Explica porque haces esa elección.
MOTIVACIÓN
1. Dibuja un triángulo acutángulo, uno obtusángulo y otro rectángulo, en la tabla.
2. Debajo de cada uno de ellos dibuja otro triángulo de la misma clase, pero de
tamaño diferente (triángulo 2).
Triángulo
acutángulo
Triángulo obtusángulo
Triángulo
rectángulo
Triángulo
1
Triángulo
2
3. Mide cada uno de sus lados y cada uno de sus ángulos anota las medidas.
4. Divide la medida de los lados de cada pareja de triángulos, teniendo en cuenta
de hacerlo así: lado mayor del triángulo 1 entre lado menor del triángulo 2.
125
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
5. Escribe los resultados de esas divisiones.
Resultados de las divisiones
6. Si los resultados de las divisiones son iguales los lados son proporcionales.
7. Ahora dibuja parejas de triángulos con lados proporcionales.
Triángulo
acutángulo
Triángulo
obtusángulo
Triángulo
1
Triángulo
2
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
126
Triángulo
rectángulo
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Semejanza de triángulos
Algunas definiciones.
En esta parte de la actividad comprenderás lo que significan varios términos muy
usados en el estudio de la geometría, por ejemplo, razón, proporción y semejanza
de polígonos.
a. Razón: Es la división entre dos magnitudes.
Por ejemplo la razón del lado menor entre el lado mayor del siguiente
3
rectángulo es . Veamos:
4
b. Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Una proporción puede
escribirse de tres maneras. Veamos:
a c

, a : b  c : d , a : b :: c : d
b d
La primera forma se lee “a sobre b es igual a c sobre d”; las otras formas se leen
“a es a b como c es a d”. Sin embargo, todas representan lo mismo: la igualdad
entre dos razones.
Por ejemplo, los lados de los siguientes rectángulos son proporcionales:
127
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Se dice que los lados son proporcionales porque la razón entre los lados de la
3
6
primera figura es , mientras que en la segunda figura es y cómo:
4
8
3 6
=
4 8
Los lados de los dos rectángulos son proporcionales.
c. Semejanza entre polígonos. Dos polígonos son semejantes cuando
cumplen que:
Los ángulos homólogos son iguales y que los lados homólogos son
proporcionales.
Para que entiendas mejor esta definición, vas a realizar varias actividades:
1. Abre el archivo semejanza1.ggb. allí encontrarás un archivo similar al
siguiente:
128
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Hay dos polígonos y un deslizador llamado r.
2. Usando Geogebra, mide cada uno de los ángulos interiores de los dos
polígonos. Arrastra los vértices del polígono de la izquierda. Compara las
medidas de los ángulos internos en los dos polígonos.
Los lados homólogos son los que forman los mismos ángulos en los dos
polígonos. Por ejemplo, el ángulo formado por los lados AB y BC en el primer
polígono, es igual al ángulo formado por los lados FG y GI, en el segundo
polígono, por tanto una pareja de lados homólogos es FG y AB, otra es GI y BC.
129
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. En el siguiente espacio en blanco realiza la división entre parejas de lados
homólogos:
4. Cambia una vez el valor de la razón, dando un clic sobre el punto r y
deslizándolo. En el siguiente espacio en blanco realiza nuevamente la división
entre parejas de lados homólogos:
5. ¿Los dos polígonos que están en el archivo son semejantes? (Sugerencia
nuevamente repasa la definición de semejanza que te dimos en el punto uno
antes de contestar la pregunta)
Espacio para argumentar
130
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
6. Abre el archivo semejanza2.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los
siguientes:
Como puedes ver en el archivo, los ángulos internos homólogos son iguales.
7. Primero identifica cuales las parejas de lados homólogos. En el siguiente
espacio en blanco realiza la razón entre las medidas de los lados homólogos.
131
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
8. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes? Justifica tu respuesta.
9. Abre el archivo semejanza3.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los
siguientes:
Como puedes ver en el archivo, los lados homólogos son proporcionales.
132
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
10. Mide los ángulos internos de los dos triángulos. Arrastra los vértices libres y
en el siguiente espacio en blanco saca una conclusión sobre la medida de los
ángulos.
11. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes?
12. Abre el archivo semejanza4.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los
siguientes:
133
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Como puedes ver en el archivo, dos parejas de lados homólogos son
proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos también son iguales.
13. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes?
Espacio para argumentar la respuesta
14. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo. Resume en un
párrafo todos los casos que estudiaste sobre la semejanza de triángulos.
Espacio para redactar la conjetura
134
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
1. En el triángulo ABC, se traza DE || BC. Calcular la medida del segmento EC,
sabiendo que:
=9cm,
=6cm,
=15cm
2. Encuentre la medida del segmento AC conociendo que DE||BC, la medida del
ángulo EDA=90º,
=2cm,
=3cm y
=18cm
3. Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30
cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm. Determina c’.
135
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta.
2. Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo
semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24 cm. Hallar la medida
de los otros dos lados de este triángulo.
3. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm.,
respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al
primero, si su hipotenusa mide 15 cm?
4. Demostrar que el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD, sabiendo que
L1 // L2.
5. En la figura siguiente, AD  BC y CE  AB. Demostrar que CE · AB = AD · BC
6. CD bisectriz del ángulo ACB y <ABE  <ACD. Demostrar que AD · BC = CD ·
BE.
136
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
7. Juan quiere medir el alto de un árbol. Aprovecha la sombra que proyecta y se
ubica en un punto sobre el piso, de tal manera que el extremo de la sombra
del árbol, coincide con el extremo de su sombra, como en la siguiente figura:
a. ¿Qué medidas realizarías tú para estimar la altura del árbol?
b. ¿Cómo puedes utilizar la semejanza de triángulos para estimar la altura del
árbol?
c. Juan ahora quiere medir el alto de un árbol, usando un espejo que puso en
un punto sobre el piso. Caminó hasta ver en el espejo el extremo superior
del árbol, como en la siguiente figura:
a. ¿Qué medidas realizarías para estimar la altura del árbol?
b. ¿Cómo puedes utilizar la semejanza de triángulos para estimar la altura del
árbol?
137
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Dos:
Triángulos
Tema:
Propiedades y
Teoremas aplicables
a triángulos
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Hoja de
Trabajo No. 20
Sub -Tema:
Postulados de la
congruencia de
triángulos
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Identifica la congruencia de triángulos, mediante la medición de cada uno de
sus elementos para aplicarla en la argumentación de las ideas geométricas.
Construye triángulos congruentes a partir de las propiedades que conoce, y las
compara con figura semejantes de mayor número de lados.
Estrategias didácticas
a. Debes contestar el examen diagnóstico
b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen.
c. En la parte final debes tener claridad sobre los postulados de
congruencia de los triángulos.
d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que
puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.
138
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Escribe lo que tu entiendas por congruencia de triángulos
2. Conoces los postulados de congruencia de triángulos si ___
Escríbelos
3. Escribe lo que entiendas por lados homólogos
4. Escribe lo que entiendas por ángulos homólogos.
139
no___.
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
5. Encierra en un círculo las figuras que sean congruentes al primer rectángulo
Explica porque haces esa elección.
MOTIVACIÓN
1. Construye un polígono exactamente igual a los polígonos que aparecen
dibujados. Explica que procedimiento utilizas para hacerlo.
Original
Copia
Explicación del procedimiento
2. Dado un polígono ABCDEF y una recta L. Por cada vértice del polígono se
trazan rectas perpendiculares a L. Se Ubican los puntos A´, B´, C´, D´, E´y F´
sobre cada perpendicular, de tal manera que las distancias de los vértices
140
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
originales a la recta L, son iguales a las distancias de la recta a cada uno de
estos puntos. Por ejemplo, la distancia de A a L es la misma que de L a A´:
¿El polígono ABCDEF es congruente al A´B´C´D´E´F ´? Justifica tu respuesta.
141
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Algunas Definiciones sobre congruencia de triángulos
Congruencia entre polígonos. Dos polígonos son congruentes cuando cumplen
que:
Los ángulos respectivos son iguales y los lados respectivos son iguales.
Para que entiendas mejor esta definición, vas a realizar varias actividades
1. Abre el archivo congruencia1.ggb. allí encontrarás un archivo similar al
siguiente:
2. Usando Geogebra, mide cada uno de los ángulos interiores de los dos
polígonos. Arrastra los vértices del polígono de la izquierda. Compara las
medidas de los ángulos homólogos internos en los dos polígonos.
142
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Mide los lados de cada polígono. Compara las medidas de los lados
homólogos de los dos polígonos.
4. ¿Los dos polígonos que están en el archivo son congruentes? (Sugerencia
nuevamente repasa la definición de semejanza que te dimos en el punto uno
antes de contestar la pregunta)
Espacio para argumentar
143
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
En esta sección utilizarás la computadora para explorar un criterio de
congruencia de triángulos:
1. Abre el archivo congruencia2.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los
siguientes:
Como puedes ver en el archivo, los ángulos internos homólogos son iguales.
2. Mide los lados de cada polígono. Compara las medidas de los lados
homólogos de los dos polígonos.
144
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes?
4. Abre el archivo congruencia3.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los
siguientes:
Como puedes ver en el archivo, los lados homólogos son iguales.
145
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
5. Mide los ángulos internos de los dos triángulos. Arrastra los vértices libres y en
el siguiente espacio en blanco saca una conclusión sobre la medida de los
ángulos.
6. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes?
En esta sección vas a explorar otro criterio de congruencia. Para ello realiza las
siguientes actividades.
1. Abre el archivo congruencia4.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los
siguientes:
146
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Como puedes ver en el archivo, dos parejas de lados homólogos son iguales y los
ángulos comprendidos entre ellos también son iguales.
2. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes? _______ Justifica tu
respuesta
Espacio para argumentar la respuesta
3. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo. Haz un
resumen sobre todos los casos que estudiaste sobre la congruencia de
triángulos.
Espacio para el resumen
EN ACCIÓN
1. Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes.
a. Sólo 1) y 2)
b. Sólo 1) y 2)
c. Sólo 2) y 3)
147
d. 1), 2) y 3)
e. Ninguno
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. Dado el cuadrado ABCD, demostrar que el triángulo ABC es congruente al
triángulo DCB
EVALUACIÓN
1. En la siguiente figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es
punto medio de CB. Demostrar que el ACE
BDE
2. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes,
es necesario saber que:
a) AB
d) AO
DC
b)
DO y AB
BAO
CD e) BO
DCO c) AB //CD
CO y AO
DO
3. Suponga que conoce la longitud de la altura desde la base de un triángulo
isósceles y la medida de un ángulo entre la base y otro de los lados.
¿Esta información es suficiente para determinar un triángulo o existen diferentes
triángulos posibles?
a) ¿Te ayuda dibujar las alturas y ángulos particulares, y tratar de formar más
de un triángulo con las propiedades dadas?
b) ¿Crees que es posible hacer más de un triángulo? ¿Por qué?
c) ¿Puedes usar la suma de ángulos internos en triángulos para ayudar a
explicar por qué?
d) ¿Puedes usar la conjetura del triángulo isósceles para ayudar a explicar
por qué?
148
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
e) ¿Puedes usar los postulados de congruencia para ayudar a explicar por
qué?
f) ¿Puedes usar la conjetura de la bisectriz del ángulo del vértice para
explicar por qué?
g) ¿Qué sucede si el triángulo no es isósceles?
4. En la siguiente figura se da la media de un ángulo externo en un triángulo
isósceles, calcula la medida de los otros ángulos.
5. Dada la siguiente figura, demuestra que El segmento AB es congruente al
segmento CB .
6. Dada la siguiente figura, demuestra que El segmento AB es congruente al
segmento BC
149
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad tres:
Resolución de
triángulos
Hoja de
Trabajo No. 21
Tema:
Funciones
trigonométricas de un
triángulo rectángulo
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Relación seno,
coseno, tangente,
secante y cosecante.
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Identifica los elementos que conforman un triángulo rectángulo. Usando para
ello las distintas definiciones de estos elementos.
Soluciona problemas que involucran triángulos rectángulos empleando las
relaciones trigonométricas.
Usa la calculadora científica para hallar el valor de los ángulos en un triángulo
rectángulo
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico,
b. Luego debes usar la calculadora y las relaciones trigonométricas para
hallar los ángulos de triángulos rectángulos.
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de
evaluación.
150
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. De cada uno de los siguientes triángulos, encierra aquellos que correspondan
a triángulos rectángulos.
2. Ilumina con un color amarillo el lado opuesto al ángulo dado en cada triángulo
rectángulo.
3. Ilumina con un color rojo el cateto adyacente al ángulo dado en cada triángulo
rectángulo.
4. Ilumina con un color verde la hipotenusa en cada triángulo rectángulo.
151
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
En la unidad anterior viste el teorema de Pitágoras que sirve para hallar la medida
de los lados de triángulos rectángulos. Pero un triángulo aparte de lados también
tiene ángulos. Por lo que es necesario conocer otras herramientas que te permitan
obtener lados y ángulos de triángulos rectángulos.
En el triángulo que se te da, mide cada lado anótalo
Luego halla todos los cocientes entre los lados. En total deben ser seis.
a.
lado AB
=
lado AC
=
b.
lado BC
lado AC
=
=
c.
lado AB
=
lado BC
d.
lado AC
=
lado AB
=
e.
lado AC
lado BC
=
=
f.
lado BC
=
lado AB
=
=
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Las relaciones antes obtenidas reciben el nombre de relaciones trigonométricas del
ángulo  .
Sus nombres son: a. seno, b. coseno, c. tangente, d. cosecante,
e. secante y
f. cotangente.
Puedes ver que las tres últimas relaciones son las inversas multiplicativas de las
tres primeras. Por tanto a continuación se define en forma general las relaciones
seno, coseno y tangente.
152
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Sen  
cateto opuesto
hipotenusa
Tan  
Cos  
cateto adyacente
hipotenusa
cateto opuesto
cateto adyacente
1. Dibuja un triángulo rectángulo con catetos de un centímetro, de acuerdo con el
teorema de Pitágoras la hipotenusa es:
Espacio para hallar la medida de la hipotenusa.
Hallando la hipotenusa se tienen los tres lados. Falta la medida de los ángulos
agudos.
2. Para hallar uno de los ángulos agudos se elige una de las relaciones
trigonométricas anteriores, te conviene usar seno, coseno o tangente, ya que están
en forma directa en la calculadora, por comodidad, para el ejemplo se usará la
tangente:
Tan  
cateto opuesto
= Tan  
cateto adyacente
1
1
1
Aquí se usa la calculadora científica
153
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Ya que te permite calcular el ángulo
ó
 , en la calculadora será: INV Tan (1) = 45°
2nd Tan (1) = 45°
Por tanto
 = 45°
3. Ya se tiene un ángulo de 90° y  = 45° ¿Cuánto mide el ángulo agudo que
falta? __________ recuerda el teorema: “la suma de los ángulos interiores de un
triángulo suman 180°”. Ya encontrando los seis elementos (3 lados y 3 ángulos)
queda solucionado el triángulo.
EN ACCIÓN
4. Ahora repite el mismo proceso para hallar la medida del ángulo
usando:
a. el Seno

pero
b. el Coseno
EVALUACIÓN
1. Halla todas las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo en cada uno de
los siguientes triángulos rectángulos:
154
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. Usa relaciones las trigonométricas para que halles los elementos que hagan
falta para solucionar el triángulo rectángulo que aparece en la siguiente figura:
3. Para calcular la altura de una torre se midió el ángulo que forma la visual al
punto más alto con la horizontal, obteniendo un resultado de 34º. Al acercarnos
15 m hacia la torre, obtenemos un nuevo ángulo de 57º. ¿Cuánto mide la altura
de la torre? Haz un dibujo de la situación.
4. Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El
observador mide el ángulo que forma la visual con el punto más alto del árbol y
obtiene 43º; retrocede 10 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de
17º. ¿Qué altura tiene el árbol?
5. Calcular la altura de un poste sabiendo que la visual dirigida al punto más alto
por un observador de 1.76 m de altura, que se encuentra a 48 m de distancia
del pie del poste, forma un ángulo de 46,67º con la horizontal.
6. Escribe cinco problemas en los cuales la solución involucre triángulos
rectángulos
155
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad tres:
resolución de
triángulos
Hoja de
Trabajo No. 22
Tema:
Funciones
trigonométricas en el
plano cartesiano
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Función seno,
coseno, tangente,
secante y cosecante.
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Explora las funciones trigonométricas a través de la interacción con software
computacional en los cuales puede usar distintos registros de representación.
(tablas, gráficas y pseudoalgebra).
Reconoce las funciones trigonométricas como funciones circulares de dominio
real, con periodo 2 .
Identifica los puntos máximos y mínimos de las funciones trigonométricas
mediante la observación de graficas y tablas, para aplicarlos en la solución de
problemas.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico,
b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de
evaluación.
156
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
Encierra el número de la gráfica que consideres que es una función.
1.
4.
7.
2.
3.
5.
6.
8.
9.
10.
11.
13.
14.
15.
18.
12.
16.
17.
19.
20.
157
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
1. Gráfica de la función seno y la función coseno.
Usa la hoja electrónica de cálculo para realizar una tabla y una gráfica de la
función seno. Ejecuta las siguientes instrucciones:
a. Vas a construir una tabla con tres columnas con los siguientes nombres:
Contador, ángulo y seno del ángulo:
b. En la primera columna vas a escribir los números entre -12 y 12. Lo puedes
hacer de manera automática escribiendo el número -12 y luego arrastras
hasta 12.

c. En la segunda columna vas a escribir múltiplos de . La sintaxis en Excel
6
es la siguiente: =A2*PI()/6.Luego arrastras para completar la columna. En la
hoja electrónica se verá así:
158
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
d. En la tercera columna calcularás el seno del ángulo. La sintaxis es:
=SENO(B2). Luego arrastras para completar la columna. En la hoja
electrónica de cálculo se verá así:
e. Después de hacer la tabla, seleccionas la segunda y tercera columnas y
haces una gráfica de dispersión. Reproduce la gráfica en el siguiente
sistema de coordenadas cartesianas.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Utilizando la gráfica o la tabla, responde las siguientes pregunta:
a. Escribe dos ángulos para los cuales la función seno sea nula.
159
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
b. ¿Para qué ángulos el seno es máximo?
c. ¿Para qué ángulos el seno es mínimo?
¿Para qué ángulos el seno es negativo?
EN ACCIÓN
1. Realiza un archivo en Excel similar al de la función seno, ahora para
graficar la función coseno. Copia la figura a continuación.
160
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. Utiliza la gráfica o la tabla, para responder las siguientes preguntas:
a. Encuentra dos ángulos cuyo coseno sea nulo
b. ¿Para qué ángulos el coseno es máximo?
c. ¿Para qué ángulos el coseno es mínimo?
c. ¿Para qué ángulos el coseno es positivo?
EVALUACIÓN
Representaciones gráficas de las funciones trigonométricas usando el geogebra.
1. Abre geoegebra y grafica la función seno. Activa los ejes, la cuadrícula y
escribe en la entrada f(x)=sin(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el
gráfico que aparece en la pantalla:
161
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
2. Abre geoegebra y grafica la función coseno. Activa los ejes, la cuadrícula y
escribe en la entrada f(x)=cos(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el
gráfico que aparece en la pantalla:
3. Abre geoegebra y grafica la función tangente. Activa los ejes, la cuadrícula y
escribe en la entrada f(x)=tan(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el
gráfico que aparece en la pantalla:
162
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
4. Abre geoegebra y grafica la función cosecante. Activa los ejes, la cuadrícula y
1
escribe en la entrada f ( x) 
En el siguiente sistema de ejes, reproduce
sin( x)
el gráfico que aparece en la pantalla:
5. Abre geoegebra y grafica la función secante. Activa los ejes, la cuadrícula y
1
escribe en la entrada f ( x) 
En el siguiente sistema de ejes, reproduce
cos( x)
el gráfico que aparece en la pantalla:
163
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
6. Abre geoegebra y grafica la función cotangente. Activa los ejes, la cuadrícula y
1
escribe en la entrada f ( x) 
En el siguiente sistema de ejes, reproduce
tan( x)
el gráfico que aparece en la pantalla:
7. Teniendo en cuenta las gráficas de las funciones trigonométricas responde:
¿Entre que valores para el eje y hay grafica de la función seno y de la función
coseno? ____________
___________________
¿Pueden las funciones trigonométricas tomar valores en valores negativos para el
eje x?
8. Sustente o refute la siguiente afirmación: toda función trigonométrica tiene
como recorrido los números reales. Justifica tu respuesta.
164
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad tres:
Solución de triángulos
Tema:
Funciones
trigonométricas de
ángulos especiales.
Hoja de
Trabajo No. 23
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Funciones
trigonométricas para
45º, 30º, 60º, 0º, 90º,
180º, 270º y 360º
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye las funciones trigonométricas para ángulos cuyas medidas son 45º,
30º y 60º. Mediante el uso del software dinámico.
Deduce las funciones trigonométricas para ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º y
360º en el plano cartesiano, usando las propiedades del círculo unitario.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico,
b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de
evaluación.
165
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Escribe la definición de triángulo isósceles
2. Escribe dos propiedades que poseen los triángulos isósceles
3. Escribe una forma de construir un triángulo isósceles usando regla y compás.
4. Escribe la definición de triángulo equilátero
5. Escribe las propiedades que poseen los triángulos equiláteros
6. Escribe una forma de construir un triángulo equilátero usando regla y compás.
166
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
¿Cómo construir un triángulo isósceles que sea rectángulo? Usa el geogebra para
hacer la siguiente construcción.
a. Si trazas un segmento AB y su mediatriz, cualquier triángulo que tenga
como lado el segmento AB y un punto en la mediatriz es isósceles, pero no
es rectángulo. veamos
b.
c.
d.
e.
f.
g.
El lado AC es igual al lado BC,
Pero el triángulo ADC si es rectángulo. Por ser CD mediatriz de AB.
Usa esa propiedad para dibujar el triángulo rectángulo isósceles.
Traza un triángulo isósceles ADC´, es decir, haz que AD =DC´.
Usa una circunferencia con centro en D y radio AD.
Halla la intersección C’ de la circunferencia y la recta mediatriz.
h. El triángulo ADC’ es un triángulo isósceles y además es rectángulo.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Funciones trigonométricas para ángulos especiales
167
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Si recuerdas las propiedades de un triángulo isósceles a los lados iguales se
oponen ángulos iguales, pero el triángulo es rectángulo eso significa que cada
ángulo agudo mide 45º.
Para deducir las funciones trigonométricas de un ángulo de 45º se usará un
triángulo rectángulo isósceles especial, donde el par de lados iguales (catetos)
mide uno, como se muestra en la figura.
Usando el teorema de Pitágoras se obtiene la medida de la hipotenusa. “la
hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado”. Ya con
estos datos procedemos a calcular las funciones trigonométricas:
racionalizando queda
racionalizando queda
Segunda construcción
1. Construye un triángulo equilátero de lado 2, usando regla y compás.
2. Como se muestra en la figura.
168
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Traza una mediatriz a uno de los lados.
4. Y se forman dos triángulos rectángulos
5. Ahora se deben hallar las dimensiones del triángulo rectángulo BEC
Usa el teorema de Pitágoras.
Lado BE= 1
lado EC = ?
lado BC = 2
6. Mide el valor de todos los ángulos.
7. ¿Cuánto miden los ángulos agudos
____________
169
del triángulo rectángulo BEC?
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
8. Ahora calcula las funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos
agudos del triángulo BEC. Y completa las tablas. Escribe fracciones donde sea
posible
Angulo
agudo
Angulo
agudo
Tercera construcción
a. Construye una circunferencia de radio uno, y centro en el origen de
coordenadas.
b. Cualquier radio de esta circunferencia mide uno.
c. Ubiquemos las coordenadas de la circunferencia para un ángulo de cero
grados, esto es, el radio vector AB cuyas coordenadas del punto B son:
(1,0)
d. Veamos las funciones trigonométricas en este punto.
Si
e. Al hacer lo propio con un radio
vector que forme 90º con la
170
parte positiva del eje horizontal
se tiene:
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
1. Halla todas las funciones trigonométricas para un ángulo de 180º
2. Escribe en forma decimal con el mayor número de cifras decimales cada una
de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45º.
171
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
3. Escribe en forma decimal con el mayor número de cifras decimales cada una
de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º.
4. Para un ángulo de 180º las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria
son: _______
EVALUACIÓN
1. Construye en geogebra un triángulo rectángulo isósceles cualquiera, mide
cada uno de los lados.
a. ¿Cuánto miden los ángulos agudos? _________________
b. Halla todas las funciones trigonométricas para el ángulo agudo, y completa
la tabla.
Triángulo 1
c. Ahora cambia las dimensiones del triángulo, pero que sea isósceles y
rectángulo, halla de nuevo las relaciones trigonométricas y registra los
valores en la tabla.
Triángulo 2
d. Repite varias veces lo que hiciste en el enciso c. y completa las tablas.
Triángulo 3
Triángulo 4
Triángulo 5
172
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
e. Observa y compara cada uno de los resultados obtenidos en las tablas y
saca una conclusión de esa comparación.
Espacio para escribir tu conclusión
2. Construye en geogebra un triángulo equilátero de lado cualquiera.
a. Repite cada uno de los pasos que realizaste con regla y compás.
b. Mediatriz, marcar un triángulo rectángulo, medir lados y ángulos.
c. Ahora saca las funciones trigonométricas para los ángulos agudos este
nuevo triángulo y registra los valores en la tabla.
Angulo
agudo
Angulo
agudo
d. Modifica las dimensiones del triángulo equilátero, y vuelve a completar las
tablas.
Angulo
agudo
Angulo
agudo
173
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
e. Compara los valores obtenidos en las tablas para el ángulo
conclusión al respecto.
, saca una
f. Compara los valores obtenidos en las tablas para el ángulo
conclusión al respecto.
, saca una
3. Definición: en la siguiente tabla aparecen relacionadas cada función con su
respectiva cofunción.
a. Compara los valores que obtuviste de las funciones para el ángulo con el
valor que obtuviste en las cofunciones de ángulo en las tablas anteriores.
b. ¿Qué puedes concluir de esta comparación?
4. Halla todas las funciones trigonométricas para un ángulo de 270º
174
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad tres:
Identidades
trigonométricas
Tema:
Identidades
fundamentales
Hoja de
Trabajo No. 24
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
identidades
pitagóricas y de
cociente
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Deduce las identidades trigonométricas de cociente a través del uso las
relaciones trigonométricas válidas para triángulos rectángulos con hipotenusa
igual a uno.
Deduce las identidades trigonométricas pitagóricas a través del uso del
teorema de Pitágoras en un triángulo cuya hipotenusa mide uno.
Distingue una identidad trigonométrica de una ecuación trigonométrica,
usando para ello la sustitución de ángulos.
Identifica cuando una igualdad trigonométrica es una identidad trigonométrica.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico,
b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de
evaluación.
175
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. A continuación encontrarás una serie de igualdades en las que intervienen
expresiones trigonométricas. Escribe frente a cada una de ellas la letra que tú
consideres de acuerdo a lo siguiente:
E = ecuación trigonométrica
I = identidad trigonométrica
F = función trigonométrica
a.
_____
b.
_____
c.
_____
d.
_____
e.
_____
f.
_____
g.
h.
_____
i.
_____
j.
_____
2. A continuación aparecen una serie de situaciones y unos procesos a seguir, tú
debes identificar el proceso que es correcto y encerrarlo.
a.
176
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
b.
c.
MOTIVACIÓN
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones
trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable (es decir,
para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las
funciones).
En la siguiente figura se construyó una circunferencia unitaria con centro en A,
sobre un sistema de ejes de coordenadas. Se ubicó un punto B sobre esta
circunferencia. Se trazó el segmento BD, perpendicular al eje horizontal. Todas las
funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas
geométricamente en términos de un círculo Unitario centrado en el punto A.
Teniendo como referencia la figura anterior, se pueden deducir varias identidades.
Para tal deducción es útil la definición de las relaciones trigonométricas y el
teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en el triángulo ADB el sen(θ) se puede
calcular con la razón entre el segmento BD y la hipotenusa (AB), como la
177
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
hipotenusa de dicho triángulo mide uno, el sen(θ) queda representado
geométricamente por el segmento BD.
Estas identidades son útiles siempre que se requiera simplificar expresiones que
incluyen funciones trigonométricas.
En el cálculo diferencial las identidades son muy útiles para el estudio de las
funciones trigonométricas, para la deducción de propiedades del límite de dichas
funciones y para la deducción de sus derivadas.
Mientras que en cálculo integral, las identidades se utilizan para calcular las
integrales de funciones no trigonométricas, se suele usar una regla de sustitución
con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante
usando identidades trigonométricas.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Consideremos un triángulo rectángulo ADC, recto en D. Los catetos del
triángulo son X e Y y la hipotenusa d = 1.Veamos:
Sobre este triángulo podemos calcular todas las relaciones trigonométricas para el
ángulo  :
cos 
sen 
X
 X (1)
1
Y
 Y (2)
1
178
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
tan  
Y
(3)
x
Si reemplazamos las ecuaciones (1) y (2) en (3), obtenemos:
tan  
sen
(4)
cos
Análogamente, podemos calcular la cotangente:
cot an 
cot an 
X
Y
cos
(5)
sen
Ahora si calculamos la secante, se obtiene:
sec 
sec 
1
X
1
(6)
cos
Por último, encontremos una expresión para la cosecante:
csc 
1
Y
sec 
179
1
(7)
sen
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EN ACCIÓN
5. Abre el archivo tri.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:
Primero debes calcular el valor de las relaciones trigonométricas para el ángulo 
utilizando la definición de cada una.
Ahora comprueba los valores que acabas de encontrar, usando las identidades
trigonométricas que dedujeron en el apartado anterior.
180
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Ahora comprueba las identidades para otro valor del ángulo  .
ACTIVIDAD DOS
Recordemos el teorema de Pitágoras, en él se cumple que para todo triángulo
rectángulo:
c2  a2  b2
181
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Siendo a y b los catetos del triángulo y c la hipotenusa.
Para el estudio de las identidades se trabajará con un triángulo rectángulo, cuya
hipotenusa sea siempre uno. Y los catetos estén sobre los ejes X, Y.
En este caso el teorema de Pitágoras quedará:
12  x 2  y 2
1  x2  y2
(1)
Pero si hallamos las relaciones trigonométricas para seno y coseno del ángulo 
serán:
Sen  =
y
que es equivalente a
1
Cos  =
x
que es equivalente a Cos  = x
1
Sen  = y
(2)
(3)
Al introducir estos dos resultados (2) y (3) en la ecuación (1) se tiene:
1  Sen 2  Cos 2
182
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Esta identidad es conocida como identidad Pitagórica fundamental.
¿Si tiene toda la apariencia de una ecuación por qué recibe el nombre de
Identidad?
Usa la identidad pitagórica fundamental
ángulos y completa la tabla.
Medida del ángulo 









para explorar en varias medidas de
Resultado de la identidad Sen 2  Cos 2
= 36°
=17°
= 90
= 56°
=156°
=3°
=
=
=
¿Para qué clase de ángulos se cumple la identidad fundamental? Explica
183
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
ACTIVIDAD TRES
1. Si en la
2
2
identidad anterior 1  Sen   Cos 
la dividimos por Sen2  ,
exceptuando cuando Sen2  dé cero. Tendremos
1
Sen 2 Cos 2


Sen 2 Sen 2 sen 2
Simplificando y utilizando las identidades recíprocas se tiene:
Csc 2  1  Ctg 2
2. Ahora tu divide la identidad pitagórica fundamental entre Cos2  simplifica,
reemplaza por las reciprocas y encuentra la tercera identidad pitagórica.
Algunas recomendaciones para demostrar identidades trigonométricas.



Primero verifica que estas frente a una identidad, así no harás procesos en
vano, si no lo es identidad no intentes demostrar.
Comienza a resolver el problema con el lado donde haya mayor
información.
Reescribe sumas o diferencias de cocientes como un solo cociente.
184
Desarrollo de Competencias Matemáticas II




Reescribe toda la expresión en términos de seno y coseno.
Mantén tu objetivo en mente. Cuando manipules una de las expresiones
ponte atento(a) al contenido de lo que se encuentra en el lado contrario.
Ten a la mano las identidades fundamentales que ya conoces, estas se
pueden reemplazar.
Usa los distintos procedimientos que aprendiste en algebra para demostrar
las identidades.
A continuación aparecen resueltas algunas identidades para que tú revises y
pongas en práctica los procedimientos.
a. Demostrar que:
Veamos si es identidad reemplazamos el ángulo por cualquier ángulo, por
ejemplo
º
Para este valor del ángulo la igualdad se mantiene.
Veamos la demostración:
Partimos del lado izquierdo.
Reemplazamos las identidades
y
por sus
equivalentes:
Simplificando esto es 1, que es lo que se quería demostrar.
Veamos otros ejemplos.
b. Demostrar:
185
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
c. Demostrar:
Se inicia por donde hay mayor información en este caso el
lado derecho de la identidad.
EVALUACIÓN
1. Dadas las siguientes expresiones comprueba cuales de ellas son identidades y
cuáles no.
186
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
1
1
 1
2
Sec 2
a. Csc 
1  Cos 3 
Sen * Cos 
Sen
b.
c. Sen  Ctg * Cos  Csc
1
d.
Cos 2 
 Sen
1  Sen
2
e. ( Sec  1) * ( Sec  1)  Tan 
f.
Tan 2
1  Cos

Sec  1
Cos
2. De la lista anterior selecciona las que si son identidades para hacer su
respectiva comprobación. No olvides que partes del lado donde tengas mayor
información.
En los puntos 3, 4 y 5 se han desarrollado en forma incompleta cada una de las
identidades. Escribe en cada enciso el proceso que falta.
3.
a.
d.
b.
e.
c.
f.
4. Demuestra la identidad:
b.
a.
187
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
c.
f.
d.
e.
g.
a.
d.
b.
e.
5.
c.
Algunos de los procesos algebraicos desarrollados en las siguientes identidades
(6 y 7) es incorrecto descubre el error y corrígelo.
6.
a.
d.
b.
e.
c.
f.
7.
a.
d.
b.
e.
c.
f.
188
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad tres:
Tema:
Solución de triángulos Solución de triángulos
Oblicuángulos.
Hoja de
Materiales: pluma y
Trabajo No. 25
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Ley de senos
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Construye el teorema del seno, mediante la manipulación de la geometría
dinámica, usando habilidades como observación de invariantes y la conjetura.
Reconoce el teorema del seno como una herramienta útil en la solución de
triángulos que no son rectángulos y lo aplica en la resolución de problemas.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico,
b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de
evaluación.
189
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes por una razón
2. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes por una proporción.
3. Halla una razón que sea equivalente a la razón dada.
a.
b.
c.
d.
4. El valor de x que hace que hace que la expresión
a. 1.369
b. 0.016
c. 8.9444
sea correcta es:
d. 59.142
5. La manera correcta de obtener el valor de x en la expresión
a.
b.
c.
6. La forma correcta de despejar el
es:
d.
ángulo en
la ecuación trigonométrica
es:
a.
b.
c.
d.
7. Otras formas distintas de escribir la igualdad
y que se conserve la
igualdad es:
a.
b.
c.
190
d.
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
En lecciones anteriores se han visto herramientas para solucionar triángulos
rectángulos ahora se aprenderá como solucionar triángulos oblicuángulos, en los
cuales no aplica ni las relaciones trigonométricas ni el teoremas de Pitágoras.
Usa el archivo SEN.ggb para explorar las siguientes relaciones.
Mide todos los lados y todos los ángulos de los triángulos.
Usa la calculadora para realizar los cálculos y completar la tabla siguiente:
Triángulo ABC
Sen 
=
AB
Sen 
=
AC
Sen 
=
CB
Triángulo MNO
Sen 
=
ON
Sen 
=
ON
Sen 
=
ON
¿Cómo son los
cocientes en este
triángulo?
_________
¿Cómo son
estos
cocientes en
este triángulo?
____
Desoculta las instrucciones que aparecen en el archivo. Y completa la tabla
¿Cómo son los
cocientes en el
triángulo?
_______
¿Cómo son los
cocientes en el
triángulo?____
_
191
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Escribe con tus propias palabras la propiedad que acabas de explorar
Espacio para que redactes la propiedad
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
La ley que acabas de encontrar recibe el nombre de ley de senos, te permite
hallar los seis elementos de un triángulo cualquiera. Veamos un ejemplo.
En el triángulo ABC se tiene la medida de dos ángulos y un lado opuesto a uno de
los ángulos conocidos
Para hallar la medida del ángulo  se usa el teorema de la suma de los ángulos
interiores de un triángulo.       180º
Por tanto  = 32.76
192
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Para hallar la medida de los otros lados se usa el teorema del seno como sigue:
Sen 
Sen 
=
AC
BC
Se reemplazan los datos que proporciona el ejercicio
Sen (94.86º ) Sen (52.38)
=
AC
10.08
Luego se resuelve la ecuación AC =
Sen (52 .38 º )
10 .08 * Sen(94 .86 º )
De lo cual resulta que el laco AC = 12.68 cm
Falta hallar el lado AB: usa el teorema del seno para hallarlo, puedes utilizarlo de
la de la siguiente manera:
AB
BC

Sen Sen
Espacio para hallar el lado AB
Otra opción es que te den dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados,
veamos:
Se aplica el teorema del Seno de la forma siguiente:
Sen Sen

AB
BC
193
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Despejando Sen :
Sen 
AB * Sen
BC
Reemplazando los datos se tiene:
Sen 
5.46 * Sen(109.49º )
19
Despejando el ángulo 
 5.46 * Sen(109 .49 º ) 

19

  Sen 1 
En la calculadora se hará:
 5.46 * Sen(109 .49 º ) 
inv Sen 

19

 5.46 * Sen(109 .49 º ) 
Ó 2nd Sen 

19

Dando como resultado
 = 15.72º
Para hallar el tercer ángulo se usa:
      180º
EN ACCIÓN
Halla el valor del ángulo  y el valor del lado AC.
Espacio para hallar el lado AC y el ángulo 
194
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
1. Un asta bandera está sembrado perpendicularmente al piso y proyecta una
sombra de 12.5 metros. Los rayos solares forman con el piso horizontal un
ángulo de elevación de 550 ¿Cuál es la altura del asta bandera?
2. Un bote se mueve hacia el sur a 40 Km. por hora y el viento lo está empujando
hacia el este a 3 Km. por hora halla la velocidad y la dirección reales del bote.
3. ¿En qué dirección debe dirigirse una lancha que desarrolla una velocidad de
20km por hora si quiere viajar directamente hacia el oeste cuando soplan
vientos hacia el sur de 4 km por hora? ¿Cuál es la velocidad resultante?
4. Un poste se mantiene en posición vertical mediante un alambre tenso que
forma un ángulo de 20° con el poste y que ejerce una fuerza F= 300 kg.
Sobre el extremo superior del mismo. Encuentra las componentes horizontal y
vertical de F.
195
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad tres:
Resolución de
triángulos
Hoja de
Trabajo No. 26
Tema:
Resolución de
triángulos
oblicuángulos
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub-tema
Ley del coseno
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias Específicas
Comprueba el teorema del coseno, mediante la manipulación de la geometría
dinámica, explorando en diferentes triángulos.
Reconoce el teorema del coseno como una herramienta útil en la solución de
triángulos que no son rectángulos y lo aplica en la resolución de problemas.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
a. Primero debes contestar el examen diagnóstico,
b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar
c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la
discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus
compañeros.
d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de
evaluación.
196
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. El valor de x en la ecuación cuadrática
a.
b.
es:
c.
2. La forma correcta de despejar el
d.
ángulo en
la ecuación trigonométrica
es:
a.
c.
b.
d.
3. Si se reemplazan los valores de
los valores que se obtienen para
a.
b.
en la ecuación
son:
c.
d.
4. Al despejar
en la ecuación
se obtiene:
c.
a.
b.
d.
–
5. Al despejar
en la ecuación se obtiene
a.
b.
c.
d.
197
–
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque se atribuye el descubrimiento a
la escuela pitagórica. Recordemos que el teorema establece lo siguiente: en un
triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los dos catetos.
Este teorema es válido cuando construimos cuadrados sobre los lados de un
triángulo rectángulo. ¿Qué ocurre si construimos cuadrados sobre los lados de un
triángulo que no sea rectángulo? ¿Se sigue cumpliendo el teorema de Pitágoras
en este caso?
En esta sección estudiaras un teorema muy importante que te ayudará a contestar
estas preguntas.
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los
triángulos no rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y
con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
198
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Ley de Cosenos
La ley de cosenos establece la siguiente igualdad en la que se incluyen los lados y
un ángulo de cualquier triángulo.
Por la comodidad de la escritura se le llamará b al lado AC del triángulo: el
teorema quedará así:
b 2  a 2  c 2  2 * a * c * cos
Utiliza el archivo LEYCOSENO.ggb para explorar este teorema. Dejando visible la
parte algebraica, para que compruebes el teorema y lo compares con la medida
del lado b.
Mueve un vértice del triángulo, (puede ser A o C), y completa la tabla, la parte
derecha de la tabla se completa usando el resultado del teorema de lo
algebraico.
Medida del lado b tomada del gráfico Resultado del teorema
199
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
¿Se cumple el teorema para triángulos oblicuángulos? ____
Espacio para expliques tu respuesta
¿Se cumple el teorema para triángulos acutángulos? ____
Espacio para que expliques tu respuesta
En un archivo nuevo construye un triángulo rectángulo, (para que no pierda la
propiedad de rectángulo, puedes usar cualquiera de las siguientes opciones:
perpendicular, mediatriz o inscribes un triángulo en media circunferencia). Usa la
entrada algebraica para aplicar el teorema del coseno en un triángulo rectángulo.
¿Se cumple el teorema del coseno para triángulos rectángulos? _________
Espacio para que expliques tu respuesta (es necesario que elabores el archivo)
200
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Este teorema es válido siempre que el ángulo que se tiene esté comprendido entre
los lados conocidos.
Solucionando el ejemplo que aparece al inicio en forma algebraica quedará así:
b 2  6.64 2  14 .98 2  2 * 6.64 *14 .98 * cos(112 .82 º )
b=18.6 cm.
Se tienen los tres lados, (a, b y c) falta hallar los otros ángulos, usaremos de
nuevo el teorema del coseno como sigue:  es el ángulo opuesto al lado c.
c 2  a 2  b 2  2 * a * b * cos 
Despejando
 c2  a2  b2 
 se reemplaza en la calculadora y
Se tiene que   cos1 
  2* a *b 
  47.88°
Por tanto el tercer ángulo mide: 19.40°
Soluciona el siguiente triángulo rectángulo
Solución
201
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Actividad en el cuaderno.
Aplica el teorema del coseno (donde se pueda), para solucionar los siguientes
triángulos
Donde no se pueda explica por qué no. y soluciónalo empleando el teorema del
seno.
202
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
Utiliza el teorema del coseno para solucionar las siguientes situaciones:
1. Los vectores u y v representan dos fuerzas que forman entre si un ángulo de
40.65°. Halla la fuerza resultante de las dos fuerzas. El dibujo de la derecha
muestra como queda la solución grafica.

2. Se tienen los vectores
= 5cm y b = 10cm, que forman ángulos de 90° y 60°
con la horizontal, respectivamente.
a. Dibuja los vectores

y b y el vector suma.
b. Halla
3. En qué dirección debe viajar una avión, que alcanza una velocidad de 500 Km.
por hora como máximo, si desea llegar exactamente hacia el sur, cuando soplan
vientos de 25 Km. por hora hacia el Oeste
a. Haz una gráfica de la situación planteada
b. ¿Cuál es la velocidad resultante?
Resolver un triángulo cualquiera consiste en calcular todos sus elementos: sus
tres lados y sus tres ángulos. Para resolver un triángulo debemos conocer, al
menos, tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente debe ser un
lado.
1. Abre el archivo triángulos.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la
siguiente:
203
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
En el archivo encuentras un ángulo  y un segmento g, a los cuales les puedes
cambiar su medida arrastrando los vértices libres. También encuentras el
triángulo rectángulo JKM con un ángulo interno    y un cateto m=g.
Cambia la medida de  y de g y resuelve el triángulo resultante:
Dibujo de los triángulos
Espacio para hacer cálculos
5. Usa las relaciones trigonométricas y el teorema de la suma de los ángulos
internos de un triángulo, para calcular los elementos que faltan en los
siguientes triángulos.
204
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Representación gráfica
Espacio para hacer cálculos
Representación gráfica
Espacio para hacer cálculos
205
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad cuatro:
Introducción a la
Geometría Analítica
Hoja de trabajo No. 27
Tema:
Distancia entre dos
puntos
Hojas de papel
milimétrico
Subtema:
Cálculo de área y
perímetro
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias específicas
Deduce la formula de la distancia entre dos puntos usando puntos en el plano
cartesiano, para hallar el perímetro y el área de polígonos.
Aplica el modelo matemático de la ecuación de la distancia entre dos puntos
para la resolución de problemas.
Propone nuevos problemas que impliquen la idea de distancia entre dos puntos,
a través del diseño de los mismos, para reafirmar los conocimientos adquiridos
y contribuir al desarrollo de la creatividad.
Estrategias Didácticas.
a. Lee detenidamente la sección diagnóstico y contesta cada una de las
preguntas que allí se te hacen.
b. En caso que tengas dudas, debes hacer las preguntas al maestro.
c. Después lee la sección de motivación.
d. El profesor realizará la deducción de la fórmula de la distancia entre dos
puntos del plano.
e. Deberá contestar las actividades para que resuelvas ejercicios y
problemas donde apliques la distancia entre dos puntos.
f. Cuando el maestro lo indique, debes participar activamente en la fase de
socialización de las ideas.
206
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. ¿Sabes calcular la distancia entre dos puntos del plano? Si ( ) No ( )
Espacio para explicar
2. ¿Recuerdas el enunciado del Teorema de Pitágoras? Si ( ) No ( ) escríbelo.
3. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (1,5) y B (-2,3) encuentra
la distancia entre ellos.
207
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
En esta sección aprenderás varios conceptos y habilidades que te ayudarán a
resolver problemas. Por ejemplo, al final de la hoja de trabajo estarás en
capacidad de encontrar la distancia entre dos puntos, encontrar propiedades de
algunos puntos notables del triángulo, graficar figuras geométricas y encontrar su
perímetro.
Tener dominio sobre estos conceptos y habilidades es básico en las matemáticas
de preparatoria y de la universidad. Por ejemplo, este tema se aplica en
geometría plana para encontrar propiedades del triángulo y los cuadriláteros.
Una extensión de la distancia entre dos puntos, genera una aplicación en ll Global
Positioning System (GPS) o Sistema de Posicionamiento Global (más conocido
con las siglas GPS), permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto,
una persona, un vehículo o una nave aérea, con una precisión hasta de
centímetros.
El GPS funciona mediante una red de 27 satélites (24 operativos y 3 de respaldo)
en órbita sobre el globo, a 20.200 km, con trayectorias sincronizadas para cubrir
toda la superficie de la Tierra. Cuando se desea determinar la posición, el receptor
que se utiliza para ello localiza automáticamente como mínimo tres satélites de la
red, de los que recibe unas señales indicando la posición y el reloj de cada uno de
ellos. Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula
el retraso de las señales; es decir, la distancia al satélite. Por triangulación calcula
la posición en que éste se encuentra. La triangulación en el caso del GPS, se basa
en determinar la distancia de cada satélite respecto al punto de medición.
208
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa
respecto a los tres satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de
cada uno de ellos por la señal que emiten, se obtiene la posición del punto de
medición.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
1. Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos.
Sean A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano. Unimos los puntos con un
segmento AB . Ubicamos el punto C ( x2 , y1 ) y se traza el triángulo rectángulo
ACB, como en la siguiente figura:
Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia del punto A al
punto B. Para lograrlo, identificamos que el triángulo es recto en C, que la
hipotenusa es AB y los catetos son AC y CB . Por tanto:
2
2
AB  AC  CB
2
AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
209
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Esta fórmula nos permite calcular la medida del segmento AB , conociendo las
coordenadas de los puntos A y B.
EN ACCIÓN
Realiza las siguientes actividades:
a. Dibuja en geogebra los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 7 lados. Ubicando
los vértices en puntos del plano.
b. Usa la fórmula de distancia entre dos puntos para calcular el perímetro de cada
figura.
c. Señala el baricentro de cada figura.
d. Traza un segmento desde el baricentro hasta el pie de la perpendicular. A este
segmento le seguiremos llamando apotema. Calcula su medida.
e. Con las herramientas de geogebra mide el área de cada figura.
Figura
Longitud
apotema
del Perímetro
210
Perímetro*Apotema
Área
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
f. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre la relación que
existe entre el perímetro, el apotema y el área de un polígono regular de
cualquier cantidad de lados.
Espacio para construir la conjetura
EVALUACIÓN
1. Representa cada pareja de puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y
calcula la distancia entre las siguientes parejas de puntos. Usa hojas de papel
milimétrico.
a. P(3,4) y Q(6,8)
b. M(-2,5) y N(3,-4)
2 
1 1
c. A  ,1 y B  , 
3 
6 4
2. ¿Qué clase de triángulo es el polígono que tiene las siguientes coordenadas?
A (2,2), B (5,8) y C (7,6)
3. ¿Cuál es el perímetro del polígono A(1,1), B(1,6), C(3,6) y D(8,2)?
4. ¿Qué valor puede tener la x para que los puntos A(1,1), B(2,3) y C(x,7) sean
coloniales, es decir que estén sobre la misma recta?
5. Dos vértices de un triángulo equilátero son A(1,3) y B (5,3). Encuentra las
posibles coordenadas del tercer vértice.
211
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad Cuatro:
Introducción a la
geometría analítica
Hoja de
Trabajo No. 28
Tema:
División de un
segmento en una
razón dada
Materiales: pluma y
geogebra, regla y
compás
Sub -Tema:
Coordenadas del
punto medio, del
punto de trisección
Fecha:
________________
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias específicas
Analiza situaciones problemáticas que impliquen el uso la división de puntos en
una razón dada, a través del uso de varias representaciones para la resolución de
problemas.
Aplica el modelo matemático de la división de puntos en una razón dada para la
resolución de problemas.
Propone nuevos problemas que impliquen la división de puntos en una razón
dada, a través del diseño de los mismos, para reafirmar los conocimientos
adquiridos y contribuir al desarrollo de la creatividad.
Estrategias Didácticas.
a. Lee detenidamente la deducción de la fórmula de las coordenadas de un
punto que divide a un segmento en una razón dada.
b. En caso que no entiendas la deducción o la manera de aplicar la fórmula,
pregúntale a tu maestro.
c. En forma individual, aplica la fórmula de las coordenadas de los puntos que
dividen a un segmento en una razón dada, para contestar las preguntas
que contiene la hoja de trabajo.
d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y
hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.
e. Si no pudiste resolver alguna actividad le puedes preguntar al maestro o
alguno de tus compañeros.
212
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. ¿Sabes calcular el punto medio de dos puntos del plano? Si ( ) No ( )
Espacio para explicar
2. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (1,1) y B (3,5) y
encuentra el punto medio entre ellos.
213
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos.
Sean los puntos A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano. Unimos los puntos
con un segmento AB . Sea P ( x, y ) un punto que está sobre el segmento AB , y
que divide a dicho segmento en la razón r 
AP
.
PB
En esta hoja de trabajo deduciremos las coordenadas del punto P y las usaremos
para resolver ejercicios y problemas.
Sobre la figura anterior, se trazan perpendiculares a los ejes de coordenadas por
los puntos A, P y B, para formar los triángulos rectángulos ACP y PDB.
214
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Los triángulos rectángulos ACP y PDB, son semejantes, esto implica que:
AP AC

PB PD
Haciendo las sustituciones respectivas, obtenemos:
r
x  x1
x2  x
Despejando x se obtiene la siguiente expresión:
x1  rx2
1 r
x
(1)
Nuevamente, de la semejanza de los triángulos, ACP y PDB, se obtiene:
AP CP

PB DB
Haciendo las sustituciones respectivas, obtenemos:
r
y  y1
y2  y
Despejando y se obtiene la siguiente expresión:
y
y1  ry2
1 r
(2)
Por ejemplo, si usamos las fórmulas (1) y (2) para encontrar las coordenadas de
un punto P que divide al segmento que tiene por extremos A(x1,y1) y B(x2,y2) en la
razón
, obtenemos lo siguiente:
215
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
X=
Y=
EN ACCIÓN
1. Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las coordenadas de un punto P que
2
divide al segmento que tiene por extremos A(1,2) y B(7,5) en la razón r  .
3
2. Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las ecuaciones de las coordenadas
del punto medio de un segmento AB. A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) . Ten en cuenta que
en este caso la razón de semejanza es
.
216
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
EVALUACIÓN
Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las ecuaciones de las coordenadas del
punto de trisección de un segmento AB. A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) . El punto de
trisección es aquel que divide al segmento en tres partes de tal manera que el
segmento de menor longitud es la tercera parte de la longitud total. Ten cuenta
1
que en este caso r  .
2
3. Considera un triángulo ABC de A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) C ( x1 , y1 ) . Encuentra las
coordenadas del baricentro (corte de las medianas). (SUGERENCIA: observa
el siguiente gráfico y recuerda que las medianas se trazan desde un vértice
hasta el punto medio del lado opuesto, es decir el punto M es el punto medio
de BC y que el baricentro (G) corta al segmento AM en los segmentos
.
AG y GM cuya razón es
217
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad cuatro: Temas
preliminares de
geometría analítica
Hoja de
Trabajo No. 29
Tema:
Introducción a la
línea recta
Materiales: Pluma,
regla y geogebra
Sub - Tema:
Angulo de inclinación y
pendiente de una recta
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias específicas
Reconoce el cambio de la pendiente de una recta, mediante el cambio de
parámetros, usando la geometría dinámica.
Transitar entre diferentes representaciones de la línea recta, y los aplica para
solución de problemas.
Soluciona problemas que impliquen el uso de la pendiente de una recta y el
ángulo de inclinación de la misma en situación de contexto real.
Estrategias Didácticas.
a. Lee detenidamente la sección diagnóstico y contesta cada una de las
preguntas que allí se te hacen.
b. En caso que tengas dudas, debes hacer las preguntas al maestro.
c. Después lee la sección de motivación.
d. A través de la interacción con el software y el registro de información en la
tabla tú puedes deducir los cambios de la pendiente de una recta.
e. Deberá contestar las actividades para que resuelvas ejercicios y problemas
donde apliques lo que aprendiste de pendiente de una recta.
218
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
A continuación aparecen algunas gráficas de rectas, frente a cada una de ellas
escríbele: la ecuación y la pendiente que le correspondan.
Gráfica
Ecuación
219
Pendiente
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
MOTIVACIÓN
1. Abre el archivo recta1.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:
2. Mueve el deslizador de la figura para valores mayores que cero, iguales a
cero, y menores que cero. Observa los cambios de la recta y completa la
siguiente tabla
Gráfica con a > 0
Gráfica con a < 0
220
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Gráfica con a < 0
3. Describe el comportamiento que tiene la gráfica a medida que cambian los
valores del deslizador en los intervalos señalados.
4. Ahora marca y mide el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las x.
5. Haz que se forme un ángulo agudo.
6. Ahora calcula la relación tangente del ángulo.
7. Compara el valor de la tangente del ángulo y el valor del deslizador. Y saca
una conclusión.
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
221
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo que se forma
entre la recta y el eje positivo de las x. Al calcular la tangente en el triángulo ACB,
rectángulo en B se tiene:
Si las coordenadas de los puntos son A(x1,y1); B(x2,y2) la relación tangente queda:
Por tanto formula de la pendiente m de una recta es
Siendo la forma de la ecuación de la recta
EN ACCIÓN
Dibuja una recta de pendiente 0, una recta de pendiente positiva y una recta de
pendiente negativa.
EVALUACIÓN
1. Dibuja las siguientes rectas:
a.
b.
e.
c.
d.
2. Encuentra el ángulo de inclinación de cada una de las rectas anteriores.
3. Busca en un libro de texto o en internet lo que representa el termino
independiente de la ecuación
222
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
4. Escribe tres situaciones de la vida diaria donde se emplee la ecuación de una
recta.
5. Halla la pendiente de las rectas AB que aparecen a continuación :
223
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
Unidad cuatro: Temas
preliminares de
geometría analítica
Hoja de
Trabajo No. 30
Tema:
Introducción a la
línea recta
Materiales: Pluma,
regla y geogebra
Sub - Tema:
Angulo entre dos rectas,
rectas paralelas y
perpendiculares
Fecha:
DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS
Competencias específicas
Deduce el ángulo entre dos rectas usando la geometría dinámica, para aplicarlos
en la solución de problemas.
Identifica las ecuaciones de dos o más rectas paralelas y rectas perpendiculares.
Estrategias Didácticas.
a. Lee detenidamente la sección diagnóstico y contesta cada una de las
preguntas que allí se te hacen.
b. En caso que tengas dudas, debes hacer las preguntas al maestro.
c. Después lee y desarrolla la sección de motivación.
d. A través de la interacción con el software y el registro de información en la
tabla tú puedes deducir las características de las ecuaciones de dos rectas
paralelas y dos rectas perpendiculares.
224
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
DIAGNÓSTICO
1. Escribe la fórmula que se usa para obtener el ángulo entre dos rectas.
2. ¿Qué características tienen las pendientes de dos rectas que son paralelas?
3. ¿Qué relación se establece
perpendiculares? Explica.
entre
las
pendientes
de
dos
rectas
MOTIVACIÓN
Realiza en geogebra la siguiente construcción:
a. Traza dos rectas que se corten en un punto.
b. Marca y mide cada uno de los ángulos que se forman en la intersección de
las rectas.
c. ¿Qué características tienen estos ángulos?
d. Cómo se llaman las parejas de ángulos que se forman?
225
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS
Ángulo entre dos rectas (Deducción de la fórmula)
 y,
respectivamente. Sea  el ángulo que forman al cortarse las rectas en el punto C.
Las pendientes de las rectas son m1 y m2
Sean L1 y L2 dos rectas cuyos ángulos de inclinación son
En esta sección se deduce la manera de encontrar el ángulo  .
Las rectas y el eje X forman el triángulo ABC. Los ángulos  y  son interiores al
triángulo, mientras que  es un ángulo exterior. Por los teoremas estudiados
anteriormente en el curso, sabemos que:
     (1)
Es decir:
   
Por tanto:
tan   tan(    )
tan   tan 
1  tan  tan 
m  m1
tan   2
1  m2 m1
tan  
Actividad uno:
1. Abre el archivo líneas.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:
226
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
En el archivo encuentras dos líneas rectas, sus ecuaciones y tres puntos libres A,
B y D los cuales se pueden arrastrar.
2. Completa la tabla ubicando al punto A en diferentes posiciones (en la parte
positiva del eje Y, en la parte negativa de este eje y en el origen de
coordenadas) Para que sea más fácil la exploración, pon el punto en
coordenadas enteras.
Ecuaciones que
reporta GeoGebra
Ecuaciones de la
rectas despejando y
3. En el siguiente espacio en blanco debes describir con palabras los rasgos
comunes (regularidades) que observaste de las ecuaciones de las rectas.
Actividad dos:
227
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
1. Abre el archivo líneas2.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:
En el archivo encuentras dos líneas rectas, sus ecuaciones y dos puntos libres A,
B los cuales se pueden arrastrar.
4. Completa la tabla ubicando al punto A en diferentes posiciones (en la parte
positiva del eje Y, en la parte negativa de este eje y en el origen de
coordenadas) Para que sea más fácil la exploración, pon el punto en
coordenadas enteras.
Ecuaciones que
Ecuaciones de la
reporta GeoGebra
rectas despejando y
2. En el siguiente espacio en blanco debes describir con palabras los rasgos
comunes (regularidades) que observaste de la ecuación de las rectas
EN ACCIÓN
228
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
1. Escribe dos ecuaciones de rectas que sean paralelas al eje x
2. Escribe dos ecuaciones que sean perpendiculares al eje x.
EVALUACIÓN
1. Dibuja el triángulo cuyos vértices son A (1,1), B(3,0) y C(2,-2). Usa la fórmula
de ángulo entre dos rectas para calcular los ángulos internos del triángulo.
2. Sobre el plano de coordenadas cartesianas dibuja un rombo y demuestra que
las diagonales son perpendiculares y que se cortan en el punto medio.
3. ¿Las rectas y  3x  1 ; y  2 x  1 son paralelas? Explica.
4. Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a y  5x  1 .
5. Escribe las ecuaciones de un par de rectas paralelas y grafícalas.
229
Desarrollo de Competencias Matemáticas II
BIBLIOGRAFÍA
Baldor. Geometría plana y del espacio, con una introducción a la trigonometría". Editorial cultura
venezolana, s.a. caracas - Venezuela
Barnett. Geometría. Editorial mc graw hill. México.
Benítez, d. Pensamiento matemático I y II. Escuela Normal Superior del Estado. 2004. Saltillo
México.
Clemens, D. Geometría". Editorial addison wesley longman de México, s.a. primera edición, 1998.
México.
Cuevas, S. Didáctica de la aritmética y geometría. México: oasis, 1969.
H.S.M.Coxeter - Introduction to Geometry - J.Wiley - 1961. Versión en español.
H.S.M.Coxeter, S.L.Greitzer - Geometry Revisited - Math. Ass. of America - Washington D.C. 1967.
H.S.M.Coxeter, S.L.Greitzer - Retorno a la Geometría. DLS-EULER, Editores,1993
Geltner & peterson. "geometría". Editorial Thomson. Tercera edición.
Kindle, J. Geometría analítica: plana y del espacio; tr. De Luis Gutiérrez Díez, Ángel Gutiérrez
Vázquez. McGraw-Hill. 1991. México
Larson, R. Cálculo y geometría analítica . Rev. Técnica Lorenzo Aelianas, José Luís Villalobos
México: McGraw-Hill, 1989
Lehmann, CH. Geometría analítica. Trad. Por Rafael García Díaz; rev. Marcelo Santalo México :
UTEHA, 1959.
Ramírez de Arellano, E. Geometría analítica II: lugares geométricos. México: Limusa, 1984.
Serres, M. Los orígenes de la geometría: tercer libro de las fundaciones / revisión Jaime Labastida
México. 1996.
Studer. Precálculo, álgebra, trigonometría y geometría analítica". Editorial Cultura Moderna Ltda.
Bogotá. Colombia. 1989.
Swokowski & Cole. "trigonometría". Editorial Thomson. Octava edición. 1990
Walter & Dale. "álgebra y trigonometría con geometría analítica". Editorial hall. Tercera edición.
1991
Wentwort y Smith. Geometría plana y del espacio. Ginn y compañía. Usa. 1915.
Swokowski & Cole. "álgebra y trigonometría con geometría analítica". Editorial Thomson. Décima
edición. 1993.
http://www.geogebra.org
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/
http://garciacapitan.auna.com/bella/
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