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Unidad II. Conducción de Calor Unidimensional en Estado Estacionario
Objetivo Terminal
Analizar e interpretar la importancia de la Conducción de Calor Unidimensional en
Estado Estacionario.
Objetivos Específicos
1. Estudiar la conducción de calor unidimensional en diferentes geometrías.
2. Explicar el efecto de la conductividad térmica variable.
3. Demostrar la importancia del radio crítico de aislamiento.
4. Examinar los Sistemas con Fuentes de Calor.
5. Identificar y evidenciar la importancia de la transferencia de calor en
Superficies Extendidas.
1. Conducción de Calor Unidimensional en Condiciones de Estado Estacionario
1.1 Conducción de Calor Unidimensional a través de una Pared Plana
Se considera que la pared está constituida de un material que tiene conductividad
térmica constante y que se extiende al infinito en las direcciones y y z. Es importante
notar que la conductividad térmica es constante y no depende de cualquier posición o
temperaturas. El calor que se conduce a través de la pared de un cuarto donde la
energía que se pierde a través de las aristas de la pared es despreciable, se puede
modelar como una pared plana.
Para un problema de este tipo, la temperatura es función de x únicamente; por lo
tanto, se dice que se trata de un problema unidimensional. Esto es, la única variable
dependiente es la temperatura, y la única variable independiente es la posición x en la
pared.
Se puede obtener la ecuación diferencial que gobierna el proceso, haciendo un
balance de energía en un pequeño elemento de volumen de la pared, con espesor dx, y
área transversal A.
Sea Qx el calor que se conduce hacia dentro del elemento de volumen en x=x, y sea
Qx+dx el calor conducido hacia fuera del elemento de volumen en x=x+dx. Para
condiciones de estado estacionario, la temperatura no puede ser función del tiempo.
Por lo tanto, el elemento de volumen no experimentará cambio alguno en su energía
interna.
Ya que se supone que la temperatura sólo varía con x, no habrá conducción en las
direcciones y o z (o sea, los gradientes de temperaturas son cero en estas direcciones).
Suponiendo que no hay generación interna de calor, tal como ocurre cuando una
corriente eléctrica fluye a través de un conductor, las cantidades Qx y Qx+dx deben
ser iguales.
Qx = Qx+dx
De la Ley de Fourier se tiene:
Qx = -kA
Qx+dx = Qx +
T
y
x

x
(Qx)dx
Para el caso de una pared plana, la temperatura (la variable dependiente), es
función de una sola variable independiente, y las derivadas parciales que aparecen en
las ecuaciones se transforman en derivadas ordinarias; de modo que se puede escribir:
Q x= Qx+d x= Qx +
-kA
d
(Qx)dx
dx
dT
dT
d
dT
= -kA
+
(-kA
)dx
dx
dx
dx
dx
o bien:
d
dT
(kA
)dx = 0
dx
dx
Para este caso, k y A son constantes y ya que dx no puede ser cero
d 2T
=0
dx 2
La ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, lo cual indica
que se requieren dos condiciones en la frontera para hallar su solución. Éstas son:
1. En x= 0, T= T1
2. En x= L, T= T2
Integrando una vez la ecuación anterior se obtiene:
dT
= C1
dx
donde C1 es una constante de integración. Integrando de nuevo se tiene:
T(x) = C1x + C2
en cuya expresión C2 es otra constante de integración. En x= 0, T= T1 de modo que
C2= T1 y la temperatura está dada por:
T(x) = C1x + T1
Además en x= L, T= T2 de modo que:
T2 = C1L + T1
lo cual da:
C1 =
T2  T1
L
dando por resultado:
T(x) = (T2 – T1)
x
+ T1
L
Un enfoque alternativo consiste en encontrar primero el flujo de calor y luego la
distribución de temperatura, ya que se tiene condiciones de estado estacionario y Q es
constante. Para hacer esto, se parte de la ecuación de Fourier para la pared plana y se
procede de la siguiente manera:
Q = -kA
dT
dx
Puesto que k y A son constantes, se encuentra que la integración sobre todo el
dominio de valores de x y T da:
L
T2
Q 0 dx = -kA T 1 dT
QL = -kA(T2 – T1)
o bien
Q=
kA(T1  T2 )
L
Ésta es la razón de calor, Q, que se debe suministrar a la cara izquierda de la pared
para que se mantenga la diferencia de temperaturas (T1 – T2). Se observa que Q no es
función de x.
1.2 Conducción de Calor Unidimensional en Paredes Compuestas
Este tipo de problemas se maneja exactamente igual que el de paredes compuestas
en la Unidad I
1.3 Conducción Radial de Calor a través de una Esfera Hueca
En este tipo de problemas, se mantiene constante la temperatura de las superficies
interior y exterior. En primer lugar considere una esfera hueca, como la que se
muestra a continuación.
Se ataca este problema haciendo un balance de energía en un elemento diferencial
de volumen, con el fin de determinar la ecuación diferencial apropiada. Observando
que la conductividad térmica es constante, que existen condiciones de estado
estacionario y que no hay fuentes de calor, se escribe el balance de energía de la
siguiente manera:
Qr = Qr+dr
en cuya expresión:
Qr: es el calor que se conduce hacia adentro de una cáscara esférica en r=r.
Qr+dr: es el calor que se conduce afuera de una cáscara esférica en r=r+dr.
Qr+dr = Qr +
d
dr (Qr)dr
Entonces es posible escribir la derivada ordinaria (d/dr)(Qr)), ya que la temperatura
es función únicamente de r (o sea que tiene una sola variable independiente, r).
La cantidad Qr, está dada por:
dT
Q = -kAr dr
donde:
Ar = 4πr2
Observe que el área A r que aparece en la ecuación anterior no es una constante,
sino una función de r. Sustituyendo Qr en la ecuación, se obtiene:
dT
-kAr dr
=
dT
dT
d
-kAr dr + dr (-kAr dr )dr
Ahora, k es una constante diferente de cero y dr no puede tener el valor cero.
Además, la superficie del área esférica, Ar, está dada por 4πr2, y el balance de energía
se puede escribir de la siguiente manera:
dT
d
2
dr (r dr ) = 0
La ecuación anterior es la ecuación diferencial de segundo orden apropiada para la
distribución de temperaturas en una esfera hueca. Las dos condiciones en la frontera
asociadas a este problema son las siguientes:
1. En r=ri, T=Ti
2. En r=ro, T=To
Integrando una vez, se obtiene:
dT
r dr = C1
2
y separando las variables, se tiene:
dr
2
dT = C1 r
Una segunda integración lleva a:
1
T = -C1 r
+
C2
Aplicando la primera condición en la frontera, se tiene:
1
Ti = -C1 ri + C2
Aplicando la segunda condición en la frontera, se tiene:
1
To = -C1 ro + C2
Resolviendo las dos ecuaciones para C1 y C2, y sustituyendo las expresiones
que resultan, se tiene:
T(r) =
 r  ri

 ro  ri
ro
r

 (To –Ti) + Ti

Una forma más sencilla de resolver el problema anterior sería la de comenzar
utilizando la ecuación de Fourier en la forma siguiente:
dT
Q = -kAr dr
Sustituyendo Ar, se obtiene:
dT
Q = -4πkr2 dr
Puesto que Q es constante (estado estacionario), se puede integrar de
inmediato para obtener:
ro
Q ri
To
dr
dT
2 = -4π Ti
r
y así:
1 1
  = -4πk(To – Ti)
 r0 ri 
-Q 
o bien:
 ri  ro
-Q 
 ro ri

 = -4πk(To – Ti)

y:
Q=
4r0 ri k (Ti  T0 )
r0  ri
La ecuación anterior, da la razón de flujo de calor que pasa a través de la esfera
hueca.
1.4 Conducción de Calor Radial en un Cilindro Hueco
La figura que se presenta a continuación muestra un cilindro hueco y largo, que
puede analizarse en forma semejante a la de una esfera hueca. Usualmente, un
tubo de vapor se puede modelar como un cilindro hueco y largo.
La demostración siguiente es un análisis abreviado, debido a la semejanza entre
este problema y el que representa la esfera hueca. Puesto que la conductividad
térmica es constante, existen condiciones de estado estacionario, y no hay fuentes de
calor, se puede escribir el balance de energía de la siguiente manera:
Qr = Qr+dr
donde:
Qr: es el calor que se conduce hacia adentro de una cáscara cilíndrica en la posición
r=r
Qr+dr: es el calor que se conduce hacia afuera de una cáscara cilíndrica en la posición
r=r+dr.
Qr+dr = Qr +
d
(Qr)dr
dr
dT
Qr = -kAr dr
Ar = 2πrL
Procediendo como se hizo en el caso de la esfera hueca, se llega al conjunto de
ecuaciones:
d
dT
(r
)=0
dr
dr
en:
1. r=ri, T=Ti
2. r=ro, T=To
La solución de este problema es:
T(r) = Ti – (Ti – To)
ln(r / ri )
ln(ro / ri )
Para calcular la razón de flujo de calor para el cilindro hueco, se parte de la
ecuación de Fourier:
dT
Qr = -kAr dr
Recuerde que el área de la superficie cilíndrica A r está dada por 2πrL, y se
procede a separar variables como se hizo en el problema anterior. Esto da:
ro
Q ri
To
dr
= -2πkL Ti dT
r
El cálculo de la integral lleva a:
 ro
Qln 
 ri

 = -2πkL(To – Ti)

o bien:
2kL(Ti  To )
r 
Q=
ln o 
 ri 
2. Conductividad Térmica Variable
Las conductividades térmicas cambian de acuerdo a la temperatura. En muchos
casos, la diferencia es aproximadamente lineal. En consecuencia, con mucha
frecuencia es posible describir la conductividad térmica mediante una ecuación de la
siguiente forma:
K = k0[1 + β(T – T0)]
donde:
k0: es el valor de la conductividad térmica a la temperatura T0
T0: es la temperatura de referencia
T: es la temperatura a la cual se está calculando la conductividad
β: es una constante, y es positiva si k decrece con T. Su valor es usualmente pequeño.
Para determinar el flujo de calor en una pared plana, hecha de un material para el
cual la conductividad térmica varía linealmente como función de la temperatura.
Suponga, condiciones de estado estacionario sin fuentes de calor y se parte de la Ley
de Fourier:
Q = -kA
dT
dx
Observe que:
1. En x=0, T=T1
2. En x=L, T=T2
3. k = k0[1 + β(T – T0)]
y A y Q son constantes.
Sustituyendo para k y separando variables, se obtiene:
L
T2
Q 0 dx = -k0A T 1
[1 + β(T – T0)]dT
Integrando se tiene:
QL = -k0A[(T2 – T1) +

2
(T22 – T12) – βT0(T2 – T1)]
y
Q=
k0 A

[(1 – βT0)(T1 – T2) +
(T12 – T22)]
2
L
Se puede reorganizar la ecuación anterior de la siguiente manera:
 
 
 T1  T2
  T  T2
 T0   A 1
L
 2
 
Q = k 0 1   
Se observa que la cantidad que aparece entre llaves en la ecuación anterior es la
conductividad térmica del sólido, evaluada a la temperatura media Tm. Designando
esta conductividad térmica como km se encuentra que esta ecuación se puede escribir
de la siguiente manera:
Q = kmA
T1  T2
L
Se ve que si la conductividad térmica fuera constante y tuviera un valor igual a k 0,
la constante β debería ser cero y la ecuación debería reducirse a:
Q=
k0 A
(T1 – T2)
L
La ecuación anterior es la misma ecuación desarrollada para conducción de calor
en una pared plana de conductividad térmica constante bajo condiciones de estado
estacionario.
3. Radio Crítico de Aislamiento
Suponga que se tiene una tubería de vapor que se desea aislar para evitar la
pérdida de energía y proteger a la gente contra las quemaduras. Si el vapor no está
sobrecalentado, se condensará algo de éste en el interior de la tubería. Toda la
superficie interior de la tubería estará a una temperatura constante, T t,int,
aproximadamente igual a la temperatura de saturación, T sat, que corresponde a la
presión del vapor, ya que la resistencia convectiva bajo dichas condiciones es
demasiado pequeña y por tanto despreciable. Se tiene:
Tt,int≈Tsat
La temperatura de la interface tubería-aislante es aproximadamente igual a la
temperatura de saturación del vapor ya que la resistencia térmica a través de la pared
de la tubería tiende a ser pequeña y a desaparecer. Esto es, ya que:
r2
r1
Rtubería =
2k p L
ln
donde:
r1: radio interior de la tubería
r2: radio exterior de la tubería
kp: conductividad térmica del material que constituye la tubería
L: longitud de la tubería
Es posible concluir que Rtubería es demasiado pequeño y por tanto despreciable cuando
kp es grande y ln(r2/r1) es pequeño. En consecuencia, la caída de temperatura a través
de la pared de la tubería será muy pequeña. De hecho, se considerará despreciable a
dicha caída y se tomará a la temperatura en la superficie interior del aislante como
Tsat.
A continuación se presenta un análogo eléctrico que se construye para este
problema simplificado
Observe que a través de todos y cada uno de las resistencias de la figura anterior
fluye la misma cantidad de calor, de tal modo que se puede determinar Q dividiendo
la diferencia de temperatura a través de cualquiera de las resistencias, o cualquier
conjunto de ellos, entre las resistencias apropiadas, es decir,
Q=
Rtubería
Tsat  T
 Raislante  Rconv
Considere que T sat y T∞ (temperatura en el cuarto) permanecen constantes. Sean r 1
y r2 los radios interior y exterior del aislante. Entonces, al agregarse aislante, r 2
aumenta y Raislante aumentará también, ya que:
Raislante =
ln r2 / r1 
2kL
Sin embargo, ya que Rconv es igual a (1/h2πr2L), la resistencia convectiva decrecerá
al crecer r2. Es posible que Rconv pueda decrecer más rápido de lo que Rais crece,
provocando un incremento en Q. También se sabe que si se agrega una cantidad
infinita de aislante, Q tendería a cero, lo cual lleva a la conclusión de que puede haber
un valor de r2 para el cual Q es máximo. Este valor de r 2 se conoce como rcr, el radio
crítico de aislamiento.
Se procede de la siguiente manera para determinar el radio crítico de aislamiento.
El calor total que se pierde de la tubería aislada se calcula mediante la siguiente
fórmula:
Q=
Tsobreeltotal
 Ri
en cuya expresión:
∆Tsobre el total = Tsat - T∞
y del circuito eléctrico se tiene:
∑Ri = Rtubería + Raislante + Rconv
donde la Rtubería ≈ 0, así que:
Tsat  T
r 
1
Q= 1
ln 2  
2kL  r1  2r2 hL
Para determinar el valor de r 2 para el cual Q es máximo, se encuentra el valor de r 2
para el cual (dQ/dr2) = 0. Entonces, sustituyendo este valor de r2 en (d2Q/dr22), se está
en capacidad para verificar si se ha encontrado las condiciones para un máximo.
dQ
=
dr2
 1
1 
0  (Tsat  T ) 

2 
 2kLr2 2hLr2 
 1
r
ln 2

 2kL  r1

1 
 

 2hLr2 
2
=0
Si la solución es diferente de la trivial, el denominador no se puede hacer
infinitamente grande ni puede ser (Tsat - T∞) igual a cero. Por lo tanto:
1
1
=0
2kLr2
2hLr22
y
r2 =
k
= rcr
h
donde rcr = el radio crítico de aislamiento.
Se obtiene el mismo resultado si se minimiza ∑R i variando r2. La sustitución de
r2=(k/h) en (d2Q/dr22) da por resultado una cantidad negativa verificando que:
Rcr =
k
h
es el valor de r2 para el cual la pérdida de calor es máxima.
4. Sistemas con Fuentes de Calor
Muchos problemas que se encuentran en transferencia de calor requieren un
análisis que tome en cuenta la generación o absorción de calor dentro de un cuerpo
dado. Se considerará una pared plana, un cilindro sólido y largo, y una esfera sólida,
estando presentes fuentes de calor uniforme. La fuente de calor se llamará

q
y se
considerará distribuida uniformemente a través del material, así como constante con
respecto al tiempo. Tendrá unidades de energía/tiempo-volumen. Se supondrá, en
todos los casos, que el material tiene conductividad térmica constante, el flujo de
calor es unidimensional, y existen condiciones de estado estacionario.
4.1 Pared Plana
Considere una placa delgada de cobre sumergida en un baño a temperatura
constante igual a T∞. Suponga que circula una corriente eléctrica a través de la placa,

provocando con esto una generación de calor uniforme, q , por unidad de tiempo y
volumen. El coeficiente convectivo de transferencia de calor en cada cara de la placa
es el mismo, dando por resultado una temperatura Tw en ambas caras.
Para encontrar la distribución de temperatura en la placa, se debe conocer la
ecuación diferencial apropiada. Esto se consigue haciendo un balance de energía en
una placa de espesor dx, y área transversal, A. La ecuación de balance de energía que
resulta es:
Qx + Qgen = Qx+dx
en cuya expresión Qx y Qx+dx de la misma forma que se describió anteriormente y Q gen
es el calor generado por unidad de tiempo en la placa de espesor dx, y área transversal
A, y representa un incremento de energía en el elemento de volumen. La cantidad
Qgen es diferente del calor que se conduce hacia adentro o hacia afuera del elemento
de volumen. Ésta representa la energía calorífica generada a través del elemento de
volumen y depende solamente de

q
y el volumen del elemento. Así que:
Qgen =

q
Adx
En consecuencia se tiene:
-kA
dT
dT

d 2T
+ q Adx = -kA
-kA
dx
dx
dx
dx 2
que da:

d 2T
+ q =0
2
dx
k
Puesto que se trata de una ecuación de segundo orden, se requieren dos
condiciones en la frontera para tener una solución. Debido a que

q
es uniforme a
través del material de la pared, ya que T = Tw en x = +L y en x = -L, se espera que la
distribución de temperatura sea simétrica con respecto al plano central de la pared.
Debe notarse que éste es el coeficiente convectivo de transferencia de calor que se
especifica para ambas superficies. Sin embargo, una vez que se conoce, el valor T w se
hace fijo y es el Tw resultante que se usa como condición en la frontera para este
problema.
Las condiciones en la frontera son las siguientes:
dT
=0
dx

Primera condición en la frontera: en x = 0,

Segunda condición en la frontera: en x = L, T = Tw
Integrando por primera vez queda:

dT
= - q + C1
dx
k
Separando variables de nuevo e integrando se tiene:

2
T = - qx + C1x + C2
2k
Aplicando la primera condición en la frontera resulta:

Q = - q  0   C1
k
o bien:
C1 = 0
Así que:

T = - qx
2
2k
+ C2
Aplicando la segunda condición en la frontera:

2
Tw = - qL + C2
2k
o bien:

2
C2 = Tw + qL
2k
Esto da por resultado la siguiente distribución de temperatura:

T – Tw = q (L2 –x2)
2k
Ahora, se puede determinar la temperatura a lo largo de la línea central, T c,
haciendo x = 0. Esto da por resultado:

2
Tc = Tw + qL
2k
4.2 Esfera Sólida
Considere una esfera sólida con una fuente de calor distribuida uniformemente. La
misma está hecha con un material que tiene conductividad térmica constante, y su
superficie a una temperatura constante Tw.
Se procede, como el problema anterior, a formular la ecuación diferencial
adecuada para este caso. Se puede obtener esta ecuación haciendo un balance de
energía en una cáscara esférica de espesor, dr, como se muestra en la figura anterior.
Esta forma de abordar el problema da por resultado lo siguiente:
Qr + Qgen = Qr+dr
donde Qr y Qr+dr son igual como se describieron anteriormente, Qgen es el calor
generado por unidad de tiempo en la cáscara esférica de espesor dr y área de
superficie 4πr2, y representa un incremento de energía de volumen.

Qgen =
q
4πr2dr
Por tanto, se tiene:
dT
dT
d  2 dT 

r

q
2
2 dr
dr
-k4πr
+ 4πr dr = -k4πr
- 4π dr  dr  dr
2
dando:

2
d  2 dT 
r
 + qr = 0
dr 
dr 
k
Puesto que se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, se requiere de
dos condiciones de frontera para obtener una solución. Una condición es:
en r = ro, T = Tw (Tw es conocido)
Debido a que

q
es uniforme a través de la esfera y T w es constante sobre toda la
superficie (la frontera) de la esfera, se ha de esperar que la distribución de
temperatura sea simétrica con respecto al centro de la esfera. Esto significa que la
segunda condición en la frontera es:
dT
=0
dr
en r = 0,
Se separan variables y se integra una vez para obtener:

qr 3
= - 3k
dT
2 dr
r
+C
1
Separando variables de nuevo e integrando se tiene:

T = - qr
2
6k
-
C1
+ C2
r
Aplicando la segunda condición en la frontera, se tiene por resultado:
0 = -(0) -
C1
0
Para que la ecuación anterior se satisfaga, es necesario tener:
C1 = 0
dando por resultado:

2
T = - qr0 + C2
6k
Aplicando la primera condición en la frontera, se tiene:

2
Tw = - qr0 + C2
6k
O bien:

2
C2 = Tw + qr0
6k
Esto da por resultado la siguiente distribución de temperatura:


2
2
T – Tw = q r0  r
6k

Se puede determinar la temperatura Tc en el centro de la esfera (r = 0),
haciendo r = 0, en la ecuación anterior se tiene:

2
Tc = Tw + qr0
6k
4.3 Cilindro Sólido y Largo
El último problema que se desea tratar la generación de calor uniforme en un
cilindro sólido y largo, que tiene una pérdida de calor despreciable en los extremos.
Se supone que la conductividad térmica del material es constante. La superficie
exterior del cilindro se mantiene en una temperatura conocida, Tw.
Igual que con los problemas de la pared plana y la esfera, en este caso es
necesario, también, determinar la ecuación diferencial que describa la distribución de
temperatura. Esto se consigue haciendo un balance de energía en una cáscara
cilíndrica de espesor, dr. La ecuación diferencial que resulta es:

1 d  dT  + q = 0
r

r dr  dr  k
Las dos condiciones en la frontera que se usan al resolver la ecuación para T® son:
en r = r0, T = Tw (Tw es conocido)
en r = 0,
dT
= 0 (por simetría)
dr
Se debe observar que en r = 0, la temperatura es finita. Esto es importante al
evaluar las constantes de integración.
La solución a la ecuación, sujeta a citadas condiciones en la frontera, es:


2
2
T - Tw = q r0  r
4k

y

2
Tc = Tw + qr0
4k
en cuya expresión Tc es la temperatura máxima en el cilindro, y ocurre en el centro
del mismo.
Puede suceder que en algunos problemas no se conozca T w, pero en cambio

q
,h
y T∞ sean conocidos. Con el fin de encontrar la solución para la distribución de
temperatura en cada uno de los tres problemas planteados anteriormente, se debe
determinar Tw. Esto se hace después de observar que en el estado estacionario, todo el
calor generado en el sólido se debe transmitir por convección al fluido que lo rodea.
Se puede determinar Tw para las tres geometrías anteriores en la forma siguiente. En
general, si el coeficiente de transferencia de calor, h, uniforme en toda la superficie
del cuerpo,

q
V = hAsuperficie(Tw - T∞)
En cuya expresión V es el volumen de todo el cuerpo, y A superficie es el área de la
superficie del cuerpo que transfiere calor por convección al fluido circundante a una
temperatura T∞.
(1) Pared Plana de espesor 2L
Calor total generado en la pared =

q
(A)(2L)
Calor que transfiere por convección la pared al fluido que lo rodea = h2A(Tw - T∞)

q
A2L = h2A(Tw - T∞)
o bien:

Tw = qL + T∞
h
(2) Esfera de radio r0
Energía total generada en la esfera =

q
3
(4/3) πr 0
2
Calor que transfiere por convección la esfera al fluido que lo rodea = h4πr 0 (Tw-T∞)

q
(4/3)πr 30 = h4πr 02 (Tw - T∞)
o bien:

Tw = qr0 + T∞
3h
(3) Cilindro de longitud L y radio r0 (L >> r0)

Calor total generado en el cilindro sólido y largo = q πr 02 L
Calor transferido por convección del cilindro al fluido que lo rodea = h2πr 0 L(TwT∞)
y:

2
q πr 0 L = h2πr 0 L(Tw - T∞)
O bien

Tw = qr0 + T∞
2h
5. Transferencia de Calor en Superficies Extendidas