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Tema 1 Conceptos Generales y Leyes Básicas
Electrotecnia (Universidad de Valladolid)
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
TEMA 1: CONCEPTOS GENERALES Y LEYES BÁSICAS DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS
1ª
2ª
Conceptos generales de electricidad.
1.1.
- Corriente eléctrica.
1.2.
- Tensión eléctrica.
1.3.
- Potencia eléctrica.
1.4.
- Energía eléctrica.
Leyes básicas de la electricidad: Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff.
2.2.1
3ª
4ª
5ª
- Aplicación de las leyes de Kirchhoff.
Elementos pasivos: R, L y C:
3.1.
- Resistencia.
3.2.
- Asociación de resistencias: serie y paralelo.
3.3.
- Divisor de tensión y Divisor de intensidad.
3.4.
- Condensador.
3.5.
- Asociación de condensadores: serie y paralelo.
3.6.
- Bobina.
3.7.
- Asociación de bobinas: serie y paralelo.
3.8.
- Acoplamiento magnético.
Elementos activos.
4.1.
- Fuente de tensión: ideal y real.
4.2.
- Fuente de intensidad: ideal y real.
4.3.
- Fuentes dependientes.
Resolución de circuitos por el método de Kirchhoff.
Bibliografía:
ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA
Hayt
ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Nilsson
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Edminister
PRUEBAS OBJETIVAS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Irwin
Luis I. Eguiluz
TEST ELECTROTECNIA, FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS
PRUEBAS OBJETIVAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Luis Humet
Luis I. Eguiluz y otros
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
CARGA ELÉCTRICA
Carga eléctrica : “es cualquier partícula capaz de manifestar en su entorno
acciones de tipo electromagnético (Fuerzas)”.
Molécula : “es la partícula más pequeña que posee todas las propiedades
del material”.
El átomo está formado por el núcleo y los electrones. El núcleo está
formado por protones y neutrones. Los electrones giran a gran velocidad en
órbitas alrededor del núcleo.
+

+
+


Fig. 1
El electrón tiene carga negativa (  ) y el protón positiva ( + ).
Carga eléctrica: “ es la cantidad de electricidad que hay en un cuerpo, es
decir, el exceso o defecto de electrones”.
Carga negativa: exceso de electrones.
Carga positiva: defecto de electrones.
1ª La carga eléctrica se conserva en todos los procesos.
2ª La carga eléctrica está cuantizada.
Q = constante;
q = variable .
q =  n.e
q(t) = “instantánea”.
Unidad de carga en el S.I. el Culombio
1 C = 6’24  1018 e
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
1.1.
Corriente eléctrica:" es
CORRIENTE ELÉCTRICA
el
movimiento
de
cargas
eléctricas
en
una
determinada dirección, en un medio conductor "
e



Sn 
Intensidad: " La cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección
normal de hilo conductor en la unidad de tiempo".
i  i t  
dq t 
Amperio =
dt
Coulombio C
 = A.
segundo
s
Convenio la corriente es producida por el movimiento de las cargas
positivas.
I
i(t)
+
+
Sn +
+
Tipos de corriente
i(t)
i(t)
I
A
A

i(t)
i(t)
i(t)
I
t
t
t
Corriente continua (c .c.)
Corriente alterna (c. a.) ,
Transitoria.
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1.2.
CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
TENSIÓN ELECTRICA.
(diferencia de potencial ó voltaje) ,
F. E. M., y F. C. E. M.
La tensión eléctrica entre dos puntos A y B es la diferencia de potencial eléctrico entre los
mismos.
+

CIRCUITO
A
B
VAB
Si VA es el potencial del punto A y VB el del punto B, VAB = VA – VB. Será positiva si el
potencial del punto A es superior al de B y negativa en caso contrario.
El voltaje se representa por la letra v(t) o V, según que la magnitud dependa o no del
tiempo, su unidad de medida es el Voltio y su símbolo la V
Voltio = V
1 milivoltio = 1 mV = 10  3 V
1 Kilovoltio = 1 KV = 103 V
La polaridad del voltaje se indica por medio de un par signos más - menos ( + ,  ). (La
colocación del signo (+) en el terminal A indica que éste es v voltios positivo con respecto al
terminal B o bien B es v voltios negativo respecto al terminal A.
La definición de todo voltaje debe incluir un par de signos más - menos.
CIRCUITO
A
B
Figura
Mal
v1(t)
F. e. m y f. c. e. m
F. e. m: " Es la fuerza necesaria para trasladar las cargas positivas desde el
polo negativo al positivo en el interior del generador ".
I
(Voltios)
I
+
E
V
+
R
E

M
E’

F. c. e. m: " es la magnitud que define un motor y representa la transformación
de energía eléctrica en otro tipo de energía ". (Voltios)
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
1.3.
POTENCIA ELÉCTRICA
La potencia eléctrica de un circuito o elemento eléctrico, es el producto de la tensión
que existe entre sus terminales por la intensidad de corriente que circula por ellos. La
unidad es el vatio (W)
p(t) = v(t)  i(t)
A
+
i
Circuito
v
B
1 W = (1 voltio)  1 amperio

Si la corriente i circula desde el punto de mayor al de menor potencial,
la potencia es absorbida por el circuito (caso representado en la Fig.)
Si la corriente i circula desde el punto de menor al de mayor potencial,
la potencia es suministrada o generada por el circuito.
Convenio del signo o Regla de la potencia
i(t)
CIRCUITO
A
+
A
i(t)
B
PELEMENTO = (VA  VB)  I = 
I
P (+) = absorbida
v
B

P () = suministrada
1.4.
ENERGÍA ELÉCTRICA.
Es la integral de la potencia a lo largo del tiempo.
t
t
0
0
w (t) = w (0) +  p(t)dt =  v(t)  i(t) dt
w (0), energía antes del tiempo t = 0, en que empieza a contabilizar el proceso.
Julio = 1 vatio  1 segundo = J = W  s
Puede ser consumida o generada por el sistema según lo sea la potencia.
Cuando el circuito comprendido entre los puntos A y B es una
resistencia, la energía absorbida por ésta se transforma íntegramente en calor
(PDisipada).
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
2.1.
VA
LEY DE OHM
VB
I
S
"La diferencia de potencial entre extremos de muchos tipos de materiales
conductores, a temperatura constante es directamente proporcional a la intensidad de
corriente que circula por él, siendo la constante de proporcionalidad R, la resistencia
del conductor.”
vA  vB = R  i;
i
vA  vB
;
R
R
vA  vB
i
Los materiales que cumplen esta ley se dice que son óhmicos o lineales
La resistencia “R” es la oposición que presenta el material al paso de la
corriente eléctrica “i”
i
A


R
B
La ley de Ohm también se puede expresar de la siguiente forma:
i = G  (vA  vB);
vA  vB 
i
;
G
G
i
vA  vB
El inverso de la resistencia es la conductancia “G“.
Ohmio 
voltio
V
  
amperio A
G
1
 siemens = S =  -1
R
Convenio sobre polaridades
I
VA
I

+
VB
VA

+
R
R
(a)
(b)
Figura 2
VAB = R  I
I
VB
VAB =  R  I
VA
VB
(a)
I
E
E
VB
VA
Figura 3
VAB = E
(b)
VAB = E
VBA =  E
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
2.2.
LEYES DE KIRCHHOF
Primera ley de Kirchhoff. Ley de Kirchhoff de las corrientes (L K C): “En
todo instante de tiempo, la suma algebraica (con su signo) de las corrientes que
concurren en un punto es igual a cero”.
n
i2
  i (t)  0
i
i1
i 1
i3
i5
n
  i (t) 
i4
i
i 1
i1 + i2  i3  i4  i5 = 0
Hemos supuesto que los signos algebraicos de las corrientes que entran en el
nudo son positivos y que los signos de las corrientes que salen del nudo son negativos.
I
i1 + i2 = i3 + i4 + i5;

entrantes
I
salientes
“La suma de las corrientes que entran en el punto es igual a la suma de las
corrientes que salen de él”.
Segunda ley de Kirchhoff. Ley de Kirchhoff de las tensiones (L K T) “En
cualquier instante de tiempo, la suma algebraica (con su signo) de las tensiones a lo
largo de un circuito cerrado es igual a cero”.
R1

+
+
v1
eb
i1
+
+
  v (t)  0
i
ea
v2
i4
n
i2
v3

+
i 1
R2
i3 
n
  v (t)   ea  v1 + eb + v2 + v3 = 0
i
i 1
R3
 ea  R1 i1 + eb + R2 i2 + R3 i3 = 0;
2.2.1
ea  eb =  R1 i1+ R2 i2+ R3 i3
APLICACIÓN DE LAS LEYES DE KIRCHHOF
Una Rama
I
A
+
E1
+
B
R1

C
E2
+
D
R2
 +
F
R3


G
Figura 1
VA  VG = (VA  VB) + (VB  VC) + (VC  VD) + (VD  VF) + (VF  VG)
VAG = E1 + R1  I  E2 + R2  I + R3  I
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
Varias Ramas
I1
E1
R1
R2
E2
I2
R4
A
B
R3
I3
Figura 2
E3
C
VAB = R1  I1  E1 + R2  I1 + E2  R4  I2
VBC = R4  I2  E2 + R3  I3 + E3
VCA =  E3  R3  I3  R2  I1 + E1  R1 I1
Potencial absoluto
E1
I1
I3
A
E1
I1
I3
A
I2
I2
E2
E2
R3
R1
R3
R1
R2
R2
B
B
(a)

VB = 0
(b)
Figura 3
VA  VB = VA = E1  R1  I1 =  E2 + R2  I2 = + R3  I3
En el circuito de la figura hay ocho elementos de circuito y entre los
terminales de cada uno se muestran sus respectivos pares de signos (+ ). Calcular:
a) el voltaje VR2 entre los terminales de R2. b) el valor de VX.
EJEMPLO.
36v
+

R2

+
VR2
V2
VS1
+
 +
VX
+
R1
VR1


SOLUCIÓN
36v
4v
14v

+
a)


+
+
4v
12v
+
R2
4  36 + VR2 = 0 
VR2 = 32 V
VR2

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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
b)
12v
+



+
36v
14v
4v
VS1
V2
+
 +
+
VX
+
R1
VR1


4  36 + 12 + 14  V2  VS1 + VR1 = 0
VX =  V2  VS1 + VR1 
12v
+
+
+
R2


14v
VR2
 +
VX = 6 V
+
V2
VX

+
VS1
R1

VR1

 VR2 + 12 + 14 + VX = 0;  VX = VR2  26 = 6 V
ELEMENTOS DE UN CIRCUITO
Circuito eléctrico: es un conjunto de elementos conectados entre sí, de forma
que es susceptible de que por ellos circule una corriente eléctrica.
Activos: son capaces de producir energía eléctrica.
Pasivos: disipan o almacenan la energía que reciben de los activos.
Otra clasificación
Fuentes: Producen una determinada excitación
Pasivos: No son capaces de producir excitación.
Otra clasificación
Generadores: Fuentes de excitación que estén generando energía.
Receptores: El resto de elementos y las fuentes de excitación que estén
consumiendo energía.
3.
ELEMENTOS PASIVOS
Son las resistencias, las bobinas y los condensadores. También el
acoplamiento magnético de bobinas.
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
3.1.
RESISTENCIA
La resistencia eléctrica es la oposición que presenta un material a ser
atravesado por una corriente eléctrica, disipando en forma de calor la energía
eléctrica que se le suministra.
R
R
R
i
+

B
A
vA  vB = R  i;
i
Ohmio, ().
vA  vB
;
R
Ohmio 
R
vA  vB
i
voltio
V
  
amperio A
Conductancia: es la facilidad que presenta un material para permitir el paso
de la corriente eléctrica.
i = G  (vA  vB);
vA  vB 
i
;
G
G
i
;
vA  vB
G
1
1
 siemens = S = 
R
L = longitud del conductor
R=
L
S
S = sección normal del conductor
 = resistividad = 1
 = conductividad.
La resistencia de un conductor es directamente proporcional a su longitud e
inversamente proporcional a su sección.
 = 0 1 + T  T0 
0 = resistividad a la temperatura T0
 = coef. de variación de  con la temperatura.


SEMICONDUCTORES
METALES
0
T
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T
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Potencia y energía
2
v
p(t) = v(t)  i(t) = vAB  i  AB  R  i 2
R
w(t)   p(t)dt =  v(t)  i(t) dt   R  i( t ) 2 dt  
v( t ) 2
dt
R
La energía en una resistencia se transforma íntegramente en calor,
efecto Joule, es irreversible y no se recupera, (Energía disipada).
3.2.
ASOCIACION DE RESISTENCIAS.
El conjunto de resistencias de una asociación, puede sustituirse entre dos puntos A
y B de la misma por otra equivalente, tal que, al aplicar la misma tensión, circule idéntica
corriente.
A
i(t)
i(t)
A
RED

RESISTIVA
vAB(t)

vAB(t)

B
B
Req

Para determinar Requi se aplica a los terminales de la red resistiva una
diferencia de potencial vAB(t), obteniendo la corriente i(t) que circula entre
dichos terminales. La Requi se obtiene haciendo:
Requi 
Asociación serie
R1
i
+
v AB (t)
i(t)
+
v1
R2
+
v2
R3
+
v3
v(t)
La intensidad de corriente i(t) que pasa por todas ellas es la misma y la
tensión v(t) en bornes de la asociación es igual a la suma de las caídas de
tensión en cada elemento de la asociación.
v(t) = v1 (t) + v2 (t) + v3 (t)=R1 i(t) + R2 i(t) + R3 i(t) = (R1 + R2 + R3) i(t)=Requi  i(t)
La resistencia equivalente es la suma de todas ellas. Generalizando:
n
Requi = R1 + R2 + ... + Rn   R i
i=1
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i
Asociación paralelo
i1
+
i3
i2
v(t)
R3
R2
R1
La diferencia de potencial en sus bornes v(t) es la misma, la intensidad
de la asociación i(t) es igual a la suma de las intensidades de cada elemento.
i = i1 + i2 + i3 
 1 
v(t) v(t) v(t)  1
1
1 
 v(t)
 v(t)  


 


R 
R1
R2
R3
R
R
R
2
3 
 1
 eq 
1
1
1
1



R equi R1 R 2 R 3
Generalizando:
Requi. 
1
1
1
1

 ... 
Rn
R1 R 2
;
Requi. 
1
n
1
R
i 1
i
La resistencia equivalente Requi es igual a la inversa de la suma de las
inversas de las resistencias.
La conductancia equivalente es la suma de las conductancias.
Gequi. = G1 + G2 + ... + Gn =
n
G
i
i=1
La Req de varias conectadas en paralelo es menor que cualquiera de
ellas.
Dos resistencias en paralelo:
A
1
R1
R2
R equi.

1
1

;
R1 R 2
 Requi. 
R1 R 2
R1  R 2
B
3.3.
DIVISOR DE TENSIÓN.
En una conexión serie la intensidad es la misma y en cada elemento se
produce una caída de tensión. Se denomina divisor de tensión a la tensión de
uno o varios de estos elementos en función de la total.
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Divisor de tensión: “Es un dispositivo mediante el cual se consigue una tensión
de salida inferior a la de entrada en una proporción deseada”
(pueden ser n elementos de la misma naturaleza, todos resistencias o todos
condensadores o todos bobinas).
A
+
I
R1
+
VAB
R2
B
I
VAB
,
R1  R 2
VCD


VCB = R2 I;  VCB 
Ve = VAB;
3.3.
Vs 
Vs = VCB;
C
D
R2
VAB
R1  R 2
R2
Ve
R1  R 2
DIVISOR DE INTENSIDAD.
Divisor de intensidad
En una conexión paralelo todos tienen la misma tensión y la intensidad
depende de cada elemento. La intensidad total es la suma de todas. Se
denomina divisor de intensidad a la intensidad de uno de estos elementos en
función de la total.
El circuito es un sencillo divisor de intensidad (pueden ser n resistencias o
todos condensadores o todos bobinas).
A
I2
I1
I
R1
R2
B
“Es un dispositivo mediante el cual se consigue una intensidad de salida
inferior a la de entrada en la proporción deseada”
I1 
VAB
R1
VAB = I Req

I1 =
I.R eq
R1
R 1R 2
Req =
R1  R 2

I1 = I
R2
;
R1  R 2
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
Siguiendo un proceso similar la intensidad I2 es:
I2 = I
4.
R1
R1  R 2
ELEMENTOS ACTIVOS: FUENTES O GENERADORES
Los elementos activos se denominan también fuentes o generadores.
Son los encargados de suministrar energía eléctrica a un circuito.
Fuentes dependientes: Su magnitud característica depende de una
tensión o una intensidad de otra parte del circuito (elemento pasivo).
FUENTES INDEPENDIENTES
Fuentes independientes: La magnitud que las caracteriza no depende
de otra magnitud del resto del circuito.
FUENTE DE TENSIÓN IDEAL
Es un elemento activo con una tensión vg(t) independiente de la
corriente que pasa por él.
A
A
v
vg(t)
Vg
Vg
E
B
Ig
B
I
P
i
A
+
Vg
VAB
R

I
Vg
;
R
VAB = R  I = Vg
B
I
+
A
Vg
VAB
I
Vg

A
R =   circuito abierto  I = 0; Pg = 0
B
VAB
R = 0  corto circuito  I = ; Pg = ∞
B
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Por la izquierda VAB = Vg; por la derecha VAB = 0. (Las fuentes ideales
de tensión no se pueden cortocircuitar. Si se cortocircuitan se anulan).

Putil
Pgenerada

VAB I
1
Vg I
FUENTE DE TENSIÓN REAL
Es un elemento activo con una resistencia interna, con una tensión
v(t) = VAB que depende de la corriente que pasa por él.
Su circuito equivalente es una fuente ideal de tensión y una
impedancia Zg (en c.c. una resistencia Rg) en serie. La tensión a la salida de la
fuente es menor que Eg , debido a la c.d.t. que se produce: v(t) = Eg  Rg  Ig
Esto produce perdidas de energía y un calentamiento de la fuente.
A
v (t)
Zg
Eg
v (t)
Eg
i (t)
Iccto
B
Cortocircuito
A
Rg
v(t) = VAB = 0
Icc
Eg

i(t) 
Eg
Rg
 Iccto
B
En vacío (circuito abierto)
A
Rg

v(t)
Eg

i(t) = 0
v(t) = VAB = Eg = Vvacio

B
A
I
Rg
Eg
Con carga

V
R
I
Eg
R + Rg
; V = R  I = Eg
R
R + Rg

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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS

Putil
Pgenerada
V I V
R


Eg I Eg R + R g

Pu = V  I = Eg2
R
R + R 
2
g
FUENTE DE INTENSIDAD IDEAL
Es un elemento activo que mantiene una corriente, ig(t) independiente de la
tensión que existe en sus bornas.
A
A
v
ig(t)
ig(t)
B
B
Ig
i
Ig
A
VAB
R
B
VAB = Ig  R = Vg = tensión de la F. de I.
Cortocircuito
A
Ig
R = 0  VAB = 0;
VAB
B
Pg= 0
Circuito abierto
A
Ig
R =   VAB = ;
VAB
Pg= ∞
B
Por la izquierda, la intensidad es Ig; por la derecha I = 0. (Las F. I. de I.
no se pueden poner en circuito abierto. Si se ponen en circuito abierto se
anulan).
El rendimiento es:

Putil
Pgenerada

VAB I g
Vg I g
1
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
FUENTE DE INTENSIDAD REAL
Es un elemento activo que establece una corriente a través de sus bornas que
depende de la d.d.p que existe entre ellas.
El generador real de corriente está formado por una fuente ideal de intensidad en
paralelo con una impedancia Zg (en c.c. una R). La intensidad de salida I de la fuente es
menor que Ig, debido a la intensidad que se desvía por Rg.
VAB
A
Ig
Rg
VAB
B
Ig
VAB
Rg
Rg
I = Ig
R + Rg
I
I = Ig 
A
Ig
R
Rg
I
B
VAB = I  R = Vg 
R .Rg
R + Rg
Ig
cortocircuito
A
Ig
A
I
Rg

Ig
B
R = 0  VAB = 0; I = Ig
VAB
I
B
En vacio (circuito abierto)
A
Ig
Rg VAB
R = ; I = 0  VAB = Rg  Ig = Vvacio
B

Putil
Pgenerada

Rg
I
VAB I


Vg I g
Ig R g  R
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
ASOCIACION DE GENERADORES
Fuentes de tensión ideales en serie
A
V1
V2
Vn
VT
A
B
B
n
VT = V1 + V2 +.....+ Vn   Vi
1
Fuentes de corriente ideales en paralelo
A
A
I2
I1
In
IT
B
B
n
IT = I1 + I2 +.....+ In   I i
1
COMBINACIONES NO VALIDAS
A
A
V1
V2
B
I1
A
I2
V1 = V2 = V
V
B
I
I
B
A
B
I1 = I2 = I
COMBINACIONES VALIDAS
Las fuentes reales de tensión o de intensidad se pueden asociar en serie o en
paralelo.
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
A
I1
R1
I2
R2
B
V1
A
V2
R2
R1
B
V1
R1
V2
R2
B
A
V
I
A
B
A
V
I
B
FUENTES DE EXCITACIÓN DEPENDIENTES
Fuentes dependientes o controladas:“ su magnitud característica es variable y
depende de la corriente o de la tensión en otro elemento del circuito en el que se
encuentran conectadas”.
Fuente de tensión controlada por tensión
v(t) =  vAB (t)

v( t )
V

v AB ( t ) V
Fuente de tensión controlada por intensidad
v(t) =  i1 (t)

v( t ) V
 
i1 ( t ) A
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
Fuente de intensidad controlada por tensión
i(t) =  vAB (t)

i (t )
A
  S = 1
v AB ( t ) V
Fuente de intensidad controlada por intensidad
i(t) =  i1 (t)

i (t) A

i1 ( t ) A
RESOLUCIÓN DE UN CIRCUITO APLICANDO LAS LEYES DE KIRCHHOF
E2
R3
B
A
B1
A2
A1
R2
R1
E1
R5
R4
E3
Figura 1
R6
C
C
C1
Nudo: “es un punto del circuito donde se unen dos o más ramas que contienen
elementos del circuito”.
Nudo Simple: “si son dos ramas o elementos”
Nudo Principal: “si son tres o más ramas o elementos”
Rama: “es una parte del circuito que contiene un elemento o asociación de
elementos y va desde un nudo a otro nudo”.
Lazo: “es toda conexión de ramas que forman un camino cerrado, de tal forma
que si se elimina una rama del lazo el camino queda abierto”. (Si se parte de un
nudo se vuelve a él sin pasar dos veces por el mismo sitio).
Malla: “Es un lazo que no contiene ningún otro lazo en su interior”.
I1
R1
E2
A
I3
E1
R2
I2
I4
I5
E3
R5
R4
C
R3
B
C
R6
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
Si hay r ramas, hay r incógnitas y hay que plantear r ecuaciones.
1º Se asigna a cada rama una corriente (I1, I2,...I5).
2º Si hay N nudos, se aplica la 1ª L K en (N  1) nudos y se obtienen (N  1)
ecuaciones.
Nudo A:
I1  I2  I3 = 0
Nudo B:
I2  I4  I5 = 0
3º Faltan r  (N  1) = (r  N + 1) ecuaciones y se obtienen aplicando la 2ª L
K a los Lazos.
I1
R1
E2
A
R4
(1)
I2
I3
I3
E1
R2
A
C
R4
C
B
I5
I5
C
I4
R5
R5
(2)
R3
B
C
E3
R6
Malla 1:
 E1 + R1  I1 + R4  I3 = 0
Malla 2:
 R4  I3  E2 + R2  I2 + R5  I5 = 0
Malla 3:
 R5  I5 + R3  I4 + E3 + R6  I4 = 0
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(3)
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3.4
CONDENSADOR
El condensador está formado por dos placas metálicas conductoras
separadas por un aislante, (el dieléctrico). Cuando se conecta a un circuito
se origina una intensidad i que produce una acumulación de cargas (+ Q) en
una de las placas, en la otra placa aparece una carga igual pero de signo
contrario (- Q), creándose un campo eléctrico entre las placas y una d.d.p. V
i(t)
A

C








B

u(t)
Es un elemento capaz de almacenar energía eléctrica en forma de
campo eléctrico. (Acumula energía al cargarse y la devuelve al descargarse, si se
desconecta de la fuente, la carga eléctrica y el campo eléctrico permanecen y en el
elemento hay energía acumulada hasta que se provoque la descarga).
C
C
+
SIMBOLOGÍA:
El parámetro eléctrico que le caracteriza es la capacidad C, que es la
relación entre la carga almacenada y la d.d.p. entre sus bornes. La unidad de
capacidad es el Faradio (F).
C
Q
V
 Q = C  V  dqc = C  dvC
ic(t)
+
C
vc(t)

La relación entre la corriente y la tensión es:
dqc = C  dvc  ic (t) 
dq c (t)
dv (t)
C c
dt
dt
En corriente continua:
Si V = cte. 
dV
dV
 0,  I = C
0
dt
dt
Se comporta como un circuito abierto.
La carga adquirida por el condensador será:
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t
dqc(t) = ic (t)  dt  qc(t)   i c ( t ) dt

La d.d.p. entre las armaduras en función de la intensidad:
dvc (t) 
1
i c ( t ) dt
C
Integrando desde t =   hasta un tiempo t
1 t
1 t
1 t
1 t
vc(t)   i c ( t ) dt   i c ( t ) dt   i c ( t ) dt  v c ( t 0 )   i c ( t ) dt
Ct
Ct
C 
C 
0
0
0
1 t
vc(t) = v c ( t 0 )   i c ( t )dt
Ct
0
Suponiendo que para t =  , el condensador está descargado, Vc ()
= 0; Wc ( ) = 0:
1 t
vc (t)   i c ( t )dt
C 
Potencia y energía
La potencia es:
pc (t) = vc(t)  ic(t) = vc(t)  C
dv c (t)
dt
La energía en un intervalo de tiempo será:
dwC = pc(t)  dt = C  vc(t) 
dv c ( t )
dt = C vc(t) dvc
dt
t
1
1
1
2
2
2
w(t)   p( t ) dt   C v c ( t ) dv c  C v c ( t )  C v c ( t )  C v c ( )
2
2
2



t
t
WC(t) =
1
C vc2(t)
2
La energía en un condensador depende de la tensión. Un condensador
no consume energía, la almacena en el campo eléctrico al cargase y la
devuelve cuando cambia el sentido de la intensidad, descargándose.
Condensador real
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
R entre las placas, da lugar a una intensidad muy
La resistencia
R
pequeña (corriente de fugas)
A
B
C
3.5.
ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES.
Una conexión de condensadores inicialmente descargados, puede
sustituirse, por un condensador equivalente Ceq.
i(t)
A
A
i(t)
vAB(t)
RED DE
CONDENSADORES
vAB(t)
B
Cequ
B
Al aplicar entre los terminales A y B de la red una d.d.p. vAB (t) se
originará una corriente i(t). La capacidad equivalente Cequ satisface la
ecuación:
i(t) = Cequ
Asociación serie
i(t)
+
C1
v1
dv AB (t)
dt
C2
+
v2
C3
+
v3
vS(t)
Los elementos conectados en serie, son recorridos por la misma
corriente i(t).
i (t) = ic (t) = C
dv(t)
dt
La tensión en cada elemento es:
vc(t) 
vs(t) = v1(t) + v2(t) + v3(t) 
1
 i c (t) dt
C
1
1
1
+
+
i
dt
i
dt
C
C


 i C dt
C1
C2
C3
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CONCEPTOS GENERALES, ELEMENTOS y LEYES BÁSICAS
 1
1
1 
vs(t)   
 
 C1 C 2 C3 
Generalizando
para
i
C
 1
1
1
1
1 
  
i C dt ;
 

C eq.
C eq.  C1 C 2 C 3 
dt 
nº
cualquier
de
condensadores
en
serie
tendremos:
1
Cequ 
Cequ. 
1
n
1
1
1
1

 ... 

C1 C 2
Cn
i 1 C i
La capacidad equivalente del conjunto Cequ es igual a la inversa de la
suma de las inversas de las capacidades de la asociación.
Para el caso particular de dos capacidades:
Cequ. 
1
1
1

C1 C 2

C1  C 2
C1  C 2
La capacidad equivalente Cequ de dos en serie es igual al producto de
ellas dividido por la suma de las mismas.
Asociación paralelo
is(t)
+
vs(t)
i3
i2
i1
C1
C3
C2
La d.d.p en los condensadores es la misma vs(t) y las corrientes
satisfacen la ecuación:
ic (t) = C
is(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t) = C1
is(t) = (C1 + C2 + C3)
dv c (t)
dt
dv s (t)
dv (t)
dv (t)
+ C2 s
+ C3 s
dt
dt
dt
dv (t)
dv s (t)
 Cequ. s ;
dt
dt
 Cequ = C1 + C2 + C3
Generalizando para n condensadores:
n
Ceq = C1 + C2 + . . . + Cn =  C i
i 1
La capacidad equivalente Cequ, será la suma de ellas.
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3.6.
BOBINA o INDUCTANCIA.
Está constituida por un conjunto de espiras en serie, formadas por un
conductor, de forma que cuando circula por ella una corriente i(t), esta tiene
el mismo sentido en todas las espiras.
Es un elemento que puede almacenar energía eléctrica en forma de
campo magnético. (acumula energía cuando se carga y la devuelve cuando se
descarga, si se desconecta de la fuente desaparece el campo magnético y en el
elemento no hay energía acumulada).
El parámetro característico es el coeficiente de autoinducción L o
inductancia, su unidad es el Henrio (H).
N2
N2
L

1L
R
S
N = nº de espiras;
L y S = longitud y sección del núcleo;
permeabilidad ( = reluctancia)
L
iL (t)
SIMBOLOGÍA
+
 = su

vL (t)
La relación entre la tensión y la corriente es:
vL(t) = L
di L
dt
(1)
En corriente continua:
dI L
dI
 0  VL = L L  0
dt
dt
IL = cte. 
La bobina se comporta como un cortocircuito.
La intensidad se expresa en función de la tensión a partir de la
expresión (1):
diL 
1
v L ( t ) dt
L

iL (t) 
1
1 t
v
(
t
)
dt

 L
 v L ( t ) dt
L -
 L
t
1 t
1 t
1 t
1 t
iL (t)   v L ( t ) dt 
 v L ( t ) dt  L t v L ( t ) dt  i L ( t 0 )  L t v L ( t ) dt
L 
L 
0
0
0
iL (t0) es la intensidad en la bobina en el instante de comenzar la operación
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1 t
iL(t)   v ( t ) dt
L 
Potencia y energía
pL(t) = vL(t)  iL(t) = L
di
di L
iL(t)  L i L ( t ) L
dt
dt
La energía almacenada en una bobina:
t
t
t
1
1
1
L iL2(t)  L iL2()
wL (t)   p L ( t ) dt  L  i L ( t ) di  L i L 2 ( t ) 
2
2
2



WL(t) =
1
L iL2 (t)
2
La energía asociada a una bobina depende de la corriente que pasa
por ella. Una bobina no consume energía, la almacena cuando se carga y la
devuelve cuando cambia el sentido de la tensión descargándose.
Bobina real
L
R
L
R
B
A
C
A
3.7.
ASOCIACIÓN DE BOBINAS
i(t)
i(t)
A
RED DE
BOBINAS
vAB(t)
B
B
A
vAB(t)
Leq
B
vAB (t) = Leq
di(t)
dt
Asociación serie
Los elementos son recorridos por la misma corriente i(t). Considerando
las bobinas inicialmente descargadas:
+
i(t)
L1
+
v1
L2
+
v2
L3
+
v3
vS(t)
vs (t) = v1 (t) + v2 (t) + v3 (t) = L1
di L (t)
di (t)
di (t)
+ L2 L + L3 L
dt
dt
dt
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vs (t) = (L1 + L2 + L3)
di L (t)
di (t)
 Leq L
dt
dt
n
Generalizando para n inductancias: Lequ = L1 + L2 + . . . + Ln   L i
i 1
La Lequ, será la suma de ellas.
Asociación paralelo
La d.d.p en las bobinas es la misma vs(t) y la corriente en cada rama
viene dada por la expresión de la intensidad de la bobina iL(t). Considerando
las bobinas inicialmente descargadas:
is(t)
+
i2
i1
vs(t)
iL(t) 
L1
1
 v Ldt
L

is(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t) 
i3
L2
L3
vs (t) = vL (t) = L
di L (t)
dt
1
1
1
v s dt +
v s dt +


 v sdt
L1
L2
L3
1
1
1 
is(t)   
   v sdt
 L1 L 2 L3 
Del circuito equivalente tenemos:
is (t) 
1
v s dt
Leq 

1  1
1
1 
  
 
L eq  L1 L 2 L 3 
Generalizando esto a cualquier número de inductancias:
Leq. 
1
1
1
1

 ... 
Ln
L1 L 2
Leq. 
1
n
1
L
i 1
i
La Lequ es igual a la inversa de la suma de las inversas de las
inductancias.
Para el caso particular de dos inductancias:
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Lequ. 
1
1
1

L1 L 2

L1  L2
L1  L 2
La Lequi de dos en paralelo es igual al producto dividido por la suma de
las mismas.
3.8.
ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO
El acoplamiento magnético se considera como otro elemento pasivo. Dos
bobinas se dice que están acopladas magnéticamente cuando se encuentran situadas
de tal manera, que al menos parte del flujo magnético producido por cada una de
ellas, atraviesa o enlaza con la otra
i1(t)
A
Las ecuaciones de tensión-intensidad:
i2(t)
M

C

L2
L1
B
D
vAB (t)   L1
di
d i1
M 2
dt
dt
vCD (t)   L2
di
d i2
M 1
dt
dt
Las ecuaciones de la potencia y de la energía:
p (t) = vAB (t)  i1 (t) + vCD (t)  i2 (t)
t
w (t)   p ( t ) dt 

1
1
L1  i12(t) + L2 i22(t)  M  i1 (t)  i2 (t)
2
2
Para el caso del acoplamiento magnético como transformador ideal:
v1 (t)  i1 (t) =  v2 (t)  i2 (t);
Siendo:
w (t) = 0 y
a = Relación de transformación;
v 1 (t)
i (t) N1
 2

a
v 2 (t)
i1 ( t ) N 2
N1 = nº de espiras del primario
N2 = nº de espiras del secundario
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