GRAFICA DE FUNCIONES - usando derivadas

Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
MSc. Ruth Quispe Condori
Sea y = f ( x ) una función definida en un intervalo  a , b .
 En un punto xo existe un mínimo si
máximos
máximo
absoluto
f(xo) < f(x),  x  E ( x0 )
donde E ( x ) es un entorno de x
 En un punto xo existe un máximo si
f(xo) > f(x),  x  E ( x0 )
 Se dice que en xo existe un mínimo
absoluto, si este es el menor de todos
los mínimos.
b
a
mínimos
mínimo
absoluto
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 Se dice que en xo existe un máximo
absoluto, si este es el mayor de todos
los máximos.
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Usando derivadas, planteamos que:
f ‘ ( x ) = 0
f ’ ( x o) 
En un punto xo existe un mínimo
o máximo si
f ‘ ( x ) = 0
f ’ ( x o) 
f ‘ ( x ) = 0
o
) = 0
o
f ’ ( x o) 
f ‘ ( x ) = 0
a
f ‘ ( x
f ’ ( x o) 
b
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Sea y = f ( x ) una función definida en un intervalo  a , b . Entonces se dice que f es creciente:
Si x1  x2
entonces f ( x1 )  f ( x2 ),
 x1, x2   a , b 
Sea y = f ( x ) una función definida en un intervalo  a , b . Entonces se dice que f es decreciente:
Si x1  x2
entonces f ( x1 )  f ( x2 ),
f es creciente
 x1, x2   a , b 
f es decreciente
f(x )
f ( x21 )
Si usamos derivadas:
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x ) es creciente si f ’ ( x ) > 0
f ( x ) es decreciente si f ’ ( x ) < 0
x1
x2
x1
x2
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MÁXIMO
Creciente
Decreciente
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MÍNIMO
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Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo
de a otra.
Un punto x
es punto de
inflexión si
f’’(x)=0
Punto
de
inflexión
Cóncava
hacia
arriba
Una curva
es cóncava
hacia
arriba si
f’’(x)>0
Cóncava
hacia
abajo
Una curva
es cóncava
hacia abajo
si f’’(x)<0
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Determinar los puntos máximos y mínimos.
f '( x )  0
 f'( x ) 
Determinar los intervalos donde f(x) es creciente o decreciente
 f(x) es creciente si f´(x)  0

 f(x) es decrecient e si f´(x)  0
Hallar puntos de inflexión
 f(x)

 f(x)
es
es
f´´(x)  0
cóncavo hacia arriba si f´´(x)  0
cóncavo hacia abajo si f´´(x)  0
Tabular los puntos máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Esboce la gráfica
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Graficar las siguientes funciones usando derivadas


f( x) 
1 3
x 4x
3


f ( x )  x 4  4 x 3  16 x

2
3
f( x)  5x x
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f( x)  
1 4
x x3
4
f( x )  ( x 1)
2
3
5
3
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