3 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable Propiedades mecánicas de los materiales 81 1 2 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Después de haber estudiado los conceptos básicos del esfuerzo y la deformación unitaria,1 en este capítulo se mostrará cómo puede relacionarse el esfuerzo con la deformación mediante el uso de métodos experimentales para determinar el diagrama esfuerzo-deformación en un material específico. Después, se analizará el comportamiento descrito por este diagrama para los materiales que se usan con mayor frecuencia en ingeniería. Además, se estudiarán las propiedades mecánicas y otros ensayos relacionados con el desarrollo de la mecánica de materiales. 3.1 Ensayos de tensión y compresión La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga excesiva sin presentar deformación o falla. Esta propiedad es inherente al propio material y debe determinarse mediante la experimentación. Una de las pruebas más importantes a este respecto es el ensayo de tensión o compresión. Aunque a partir de esta prueba se pueden establecer varias propiedades mecánicas importantes de un material, se utiliza principalmente para determinar la relación entre el esfuerzo normal promedio y la deformación normal promedio en muchos materiales de ingeniería como metales, cerámicas, polímeros y materiales compuestos. 1 Para simplificar, en el resto del libro nos referiremos a la deformación unitaria sólo como deformación. Capitulo 03_Hibeeler.indd 81 81 13/1/11 19:36:27 82 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales d0 � 0.5 pulg 1 L0 � 2 pulg 2 Figura 3-1 Figura 3-1 3 4 Probeta de acero típica con un medidor (galga) de deformación cementado. 5 6 7 8 Para realizar un ensayo de tensión o compresión, se fabrica una probeta del material con forma y tamaño “estándar”. La probeta tiene una sección transversal circular constante con extremos más grandes, de modo que la falla no se produzca en las empuñaduras. Antes de realizar el ensayo, con la ayuda de un punzón, se hacen dos pequeñas marcas sobre la longitud uniforme de la probeta. Se hacen mediciones tanto del área de la sección transversal inicial de la probeta, A0, como de la longitud calibrada L0 entre las marcas. Por ejemplo, cuando se utiliza una probeta de metal en un ensayo de tensión, por lo general ésta tiene un diámetro inicial d0 = 0.5 pulg (13 mm) y una longitud calibrada L0 = 2 pulg (50 mm), figura 3-1. A fin de aplicar una carga axial sin que la probeta se flexione, los extremos suelen asentarse en las juntas de rótula. Después se utiliza una máquina de ensayos como la que aparece en la figura 3-2 para estirar la probeta a una velocidad lenta y constante hasta que ésta falla. La máquina está diseñada para leer la carga que se requiere para mantener este estiramiento uniforme. Durante la prueba se registran los datos de la carga aplicada P a intervalos frecuentes, la información se lee en la pantalla de la máquina o se toma de un lector digital. Además, se mide el alargamiento d = L - L0 entre las marcas hechas en la probeta utilizando un calibrador o bien un dispositivo óptico o mecánico llamado extensómetro. Este valor de d (delta) se utiliza para calcular la deformación normal promedio en la probeta. Sin embargo, en ocasiones esta medida no se toma porque también es posible leer la deformación de manera directa mediante un medidor de deformación de resistencia eléctrica similar al que se muestra en la figura 3-3. La operación de este medidor se basa en el cambio en la resistencia eléctrica de un alambre u hoja de metal muy delgada que se encuentra bajo deformación. En esencia, el medidor se adhiere o cementa a lo largo de la probeta. Si el pegamento es muy fuerte en comparación con el medidor, entonces éste formará en efecto parte integral de la probeta, de modo que cuando la muestra se deforma en la dirección del medidor, el alambre y la probeta experimentarán la misma deformación. Al medir la resistencia eléctrica del alambre, el medidor puede calibrarse para leer los valores de deformación normal de manera directa. cabezal superior móvil carátula de carga 9 probeta de tensión controles del motor y de la carga 10 11 Capitulo 03_Hibeeler.indd 82 Medidor de deformación de resistencia eléctrica Figura Figura 3-2 3-2 Figura 3-3 13/1/11 19:36:33 3.2 Diagrama de esfuerzo-deformación 3.2 Diagrama de esfuerzo-deformación 1 Para la realización de los ensayos, no es posible preparar una probeta que coincida con los tamaños A0 y L0 de cada elemento estructural. En su lugar, los resultados de los ensayos deben reportarse de manera que puedan aplicarse a un elemento de cualquier tamaño. Para lograr este objetivo, los datos de la carga y la deformación correspondiente se utilizan para calcular distintos valores del esfuerzo y las correspondientes deformaciones en la probeta. La representación gráfica de los resultados produce una curva llamada diagrama esfuerzo-deformación. Por lo general, hay dos maneras de describir este diagrama. Diagrama esfuerzo-deformación convencional. Se puede determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería al dividir la carga aplicada P entre el área A0 de la sección transversal original de la probeta. En este cálculo se supone que el esfuerzo es constante en la sección transversal y en toda la longitud calibrada. Se tiene s = P A0 (3-1) Del mismo modo, la deformación nominal o de ingeniería se determina de manera directa al leer el medidor de deformación, o al dividir el cambio d en la longitud calibrada de la probeta entre la longitud calibrada original L0 de la probeta. Aquí se supone que la deformación es constante a lo largo de la región entre los puntos marcados. Por lo tanto, P = d L0 (3-2) Si los valores correspondientes de s y P se trazan de manera que el eje vertical sea el esfuerzo y el eje horizontal sea la deformación, la curva resultante se llama diagrama de esfuerzo-deformación convencional. Sin embargo, tenga en cuenta que dos diagramas de esfuerzo-deformación para un material particular serán muy similares pero nunca exactamente iguales. Esto se debe a que los resultados en realidad dependen de variables tales como la composición del material, imperfecciones microscópicas, la forma en que se fabrica, la rapidez con que se aplica la carga y la temperatura durante la realización del ensayo. A continuación se analizarán las características de la curva de esfuerzo-deformación convencional para el acero, un material que se usa de manera frecuente para fabricar elementos estructurales y mecánicos. Empleando el método descrito con anterioridad, el diagrama de esfuerzo-deformación característico para el ensayo de acero es el que se muestra en la figura 3-4. A partir de esta curva se pueden identificar cuatro diferentes formas en que se comporta el material, en función de la deformación inducida en éste. Capitulo 03_Hibeeler.indd 83 83 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13/1/11 19:36:33 84 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales s 1 esfuerzo de fractura verdadero s¿f esfuerzo último su 2 3 sf sY spl límite de proporcionalidad límite elástico esfuerzo de cedencia región cedencia elástica comportamiento elástico 4 endurecimiento por deformación estricción esfuerzo de fractura P comportamiento plástico Diagramas de esfuerzo-deformación convencional y verdadero para un material dúctil (acero) (no se presenta a escala) Figura Figura 3-4 3-4 5 6 7 8 9 10 11 Capitulo 03_Hibeeler.indd 84 Comportamiento elástico. El comportamiento elástico del material se produce cuando las deformaciones en la probeta están dentro de la región triangular (en gris claro) que se muestra en la figura 3-4. Aquí la curva es en realidad una línea recta en la mayor parte de la región, de modo que el esfuerzo es proporcional a la deformación. Se dice que el material contenido en esta región es elástico lineal. El límite superior del esfuerzo para esta relación lineal se denomina límite de proporcionalidad, spl. Si el esfuerzo excede ligeramente el límite de proporcionalidad, la curva tiende a doblarse y aplanarse como se muestra en la figura. Esto continúa hasta que el esfuerzo alcanza el límite elástico. En este punto, si se retira la carga, la probeta recuperará de nuevo su forma original. Sin embargo, el límite elástico para el acero se determina en muy pocas ocasiones, debido que se encuentra muy próximo al límite de proporcionalidad y, por lo tanto, es muy difícil de detectar. Cedencia. Un ligero aumento en el esfuerzo por encima del límite elástico generará un rompimiento del material y ocasionará que éste se deforme de manera permanente. Este comportamiento se denomina cedencia, y está indicado por la región rectangular (adyacente a la región triangular) de la curva. El esfuerzo que causa la cedencia se llama esfuerzo de cedencia o punto de cedencia, sY, y la deformación que se produce se denomina deformación plástica. Aunque no se muestra en la figura 3-4, para los aceros al bajo carbono o aceros laminados en caliente, el punto de cedencia suele caracterizarse mediante dos valores. El punto de cedencia superior ocurre primero, seguido de una disminución súbita de la capacidad de carga hasta el punto de cedencia inferior. Observe que después de haber alcanzado el punto de cedencia, la probeta seguirá alargándose (deformándose) sin ningún incremento en la carga, como se muestra en la figura 3-4. Con frecuencia, cuando el material se encuentra en este estado se dice que es perfectamente plástico. 13/1/11 19:36:34 3.2 Diagrama de esfuerzo-deformación 85 Endurecimiento por deformación. Cuando termina la cedencia, la 1 probeta puede soportar un aumento de la carga, lo que resulta en una curva que asciende continuamente pero que se vuelve más plana hasta llegar a un esfuerzo máximo conocido como esfuerzo último, su. Este incremento en la curva se llama endurecimiento por deformación y se identifica en la figura 3-4 como la región curva más clara. 2 Estricción. Mientras la probeta se alarga hasta llegar al esfuerzo último, el área de su sección transversal se reduce. Esta reducción es bastante uniforme en toda la longitud calibrada de la probeta; sin embargo, justo después del esfuerzo último, el área de la sección transversal comenzará a disminuir en una región localizada de la probeta. En consecuencia, suele formarse una constricción o “cuello” en dicha región a medida que la probeta se alarga aún más, figura 3-5a. En la figura 3-4, esta región, debido a la estricción, se indica en un tono más oscuro al final de la curva. Aquí el diagrama esfuerzo-deformación tiende a curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el esfuerzo de fractura, sf , figura 3-5b. Diagrama esfuerzo-deformación verdadero. En lugar de emplear siempre el área de la sección transversal y la longitud originales de la probeta para calcular el esfuerzo y la deformación (de ingeniería), se podría utilizar el área de la sección transversal y la longitud reales de la probeta en el instante en que se mide la carga. Los valores de esfuerzo y deformación encontrados en estas mediciones se denominan esfuerzo verdadero y deformación verdadera, y una gráfica de sus valores se llama diagrama de esfuerzo-deformación verdadero. Este diagrama tiene la forma mostrada por una línea discontinua en la figura 3-4. Observe que los diagramas s-P convencional y verdadero son prácticamente coincidentes cuando la deformación es pequeña. Las diferencias entre los diagramas comienzan a aparecer en el rango de endurecimiento por deformación, donde la magnitud de la deformación se vuelve más significativa. En par­ ticular, existe una amplia divergencia dentro de la región de estricción. Aquí puede verse en el diagrama s-P convencional que la probeta realmente soporta una carga decreciente, ya que A0 es constante en el cálculo del esfuerzo de ingeniería, s = P>A0. Sin embargo, en el diagrama s-P verdadero, el área real A dentro de la región de estricción siempre es decreciente hasta la fractura, s¿f , por lo que el material soporta en realidad un esfuerzo creciente, ya que s = P>A. 3 4 Patrón típico queque ocurre en una Patróndedeestricción estricción típico ocurre en probeta de acero justo antes la fractura. una probeta de acero justode antes de la frac- tura. 5 6 7 En dede acero se observa con con claEnesta estaprobeta probeta acero se observa ridad la estricción que ocurre justo antes su claridad la estricción que ocurre justodeanfalla. Losu anterior ocasiona una ocasiona fractura típica tes de falla. Lo anterior una de “copa ytípica cono”, cual yescono”, característica de fractura de la “copa la cual es los materiales dúctiles. característica de los materiales dúctiles. 8 9 10 Falla de un material dúctil Estricción (a) Capitulo 03_Hibeeler.indd 85 Figura 3-5 Figura 3-5 (b) 11 13/1/11 19:36:35 86 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales 1 2 3 4 5 6 Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación verdadero y convencional son diferentes, la mayor parte del diseño de ingeniería se hace para que el material soporte un esfuerzo dentro del rango elástico. Lo anterior es para que la deformación del material no sea muy severa y éste recupere su forma al retirarse la carga. La deformación verdadera hasta el límite elástico permanecerá lo suficientemente pequeña para que el error al usar valores de ingeniería de s y P sea pequeño (aproximadamente 0.1 por ciento) en comparación con sus valores verdaderos. Ésta es una de las principales razones por las que se usan diagramas de esfuerzo-deformación convencionales. Los conceptos anteriores se pueden resumir haciendo referencia a la figura 3-6, donde se muestra un diagrama de esfuerzo-deformación convencional real para una probeta de acero de bajo carbono. Con el fin de destacar los detalles, la región elástica de la curva se muestra en un tono gris usando una escala de deformación exagerada, que se muestra en el mismo tono gris. Al evaluar el comportamiento, se observa que el límite de proporcionalidad se alcanza en spl = 35 ksi (241 MPa), donde Ppl = 0.0012 pulg>pulg, seguido de un punto de cedencia superior de (sY)u = 38 ksi (262 MPa), después se presenta el punto de cedencia inferior (sY)l = 36 ksi (248 MPa). El fin de la cedencia se produce con una deformación PY = 0.030 pulg>pulg, ¡que es 25 veces mayor a la deformación en el límite de proporcionalidad! A continuación, la probeta experimenta endurecimiento por deformación hasta llegar al esfuerzo último su = 63 ksi (434 MPa), después comienza a presentarse la estricción hasta que se produce una fractura, sf = 47 ksi (324 MPa). Por comparación, la deformación a la falla, Pf = 0.380 pulg>pulg, es ¡317 veces mayor que Ppl! 7 s(ksi) su � 63 60 8 sf � 47 9 50 (sY)u � 38 40 (sY)l � 36 spl � 35 30 20 10 10 0.050 0.10 0.20 0.002 PY � 0.030 0.001 Ppl � 0.0012 11 Capitulo 03_Hibeeler.indd 86 0.30 0.40 0.003 0.004 Pf � 0.380 P (pulg/pulg) Diagrama de esfuerzo-deformación para el acero de bajo carbono Figura 3-6 3-6 Figura 13/1/11 19:36:36 3.3 Comportamiento esfuerzo-deformación en materiales dúctiles y frágiles 87 3.3 Comportamiento esfuerzo-deformación 1 Los materiales pueden clasificarse como dúctiles o frágiles en función de sus características esfuerzo-deformación. 2 en materiales dúctiles y frágiles Materiales dúctiles. Cualquier material que pueda someterse a grandes deformaciones antes de fracturarse se denomina material dúctil. El acero de bajo carbono, como se ha dicho anteriormente, es un ejemplo típico. Los ingenieros suelen elegir materiales dúctiles para el diseño porque son capaces de absorber los impactos o la energía, y si se sobrecargan, por lo general presentan grandes deformaciones antes de fallar. Una manera de especificar la ductilidad de un material es registrar su porcentaje de elongación o porcentaje de reducción en área al momento de la fractura. El porcentaje de elongación es la deformación a la fractura expresada en porcentaje. Por lo tanto, si la longitud calibrada original de la probeta es L0 y su longitud a la fractura es Lf, entonces Porcentaje de elongación = Lf - L0 L0 1100%2 3 4 (3-3) 5 Como se observa en la figura 3-6, dado que Pf = 0.380, este valor sería de 38 por ciento para una probeta de acero de bajo carbono. Otra manera de especificar la ductilidad es el porcentaje de reducción de área. Está definida dentro de la región de estricción de la siguiente manera: A0 - Af Porcentaje de reducción de área = 1100%2 (3-4) A0 Aquí A0 es el área original de la sección transversal de la probeta y Af es el área del cuello en el momento de la ruptura. El acero de bajo carbono tiene un valor típico de 60 por ciento. Además del acero, otros metales como el bronce, el molibdeno y el zinc pueden presentar características dúctiles similares, puesto que también experimentan un comportamiento elástico esfuerzo-deformación, ceden a un esfuerzo constante, presentan endurecimiento por deformación y, finalmente, se produce en ellos una estricción hasta la fractura. Sin embargo, en la mayoría de los metales la cedencia constante no se producirá más allá del rango elástico. Un metal en el que se presenta esta situación es el aluminio. En realidad, el aluminio no suele tener un punto de cedencia bien definido, por lo que la práctica aceptable consiste en definir una resistencia a la cedencia mediante un procedimiento gráfico llamado método de corrimiento. Por lo general, se elige una deformación de 0.2 por ciento (0.002 pulg>pulg) y desde este punto sobre el eje P se dibuja una línea paralela a la porción inicial recta del diagrama esfuerzo-deformación. El punto donde esta línea interseca a la curva define la resistencia a la cedencia. En la figura 3-7 se muestra un ejemplo de la construcción de una gráfica para determinar la resistencia a la cedencia de una aleación de aluminio. Aquí puede observarse que la resistencia a la cedencia es sYS = 51 ksi (352 MPa). Capitulo 03_Hibeeler.indd 87 6 7 8 s (ksi) 60 50 sYS � 51 40 9 30 20 10 10 P (pulg/ 0.005 0.010 pulg) 0.002 (corrimiento Resistencia a la cedencia para una aleación 0.2%) de aluminio 11 Figura 3-7 13/1/11 19:36:37 88 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales s (ksi) 1 2.0 1.5 s (ksi) 2 sf � 22 20 1.0 B �0.06 �0.05 �0.04 �0.03 �0.02 �0.01 A 0.5 0.01 3 P (pulg/pulg) �20 2 4 6 8 10 Diagrama s-P para el caucho natural P (pulg/pulg) �40 �60 Figura 3-8 4 �80 �100 �120 C 5 Diagrama s-P para el hierro fundido gris Figura 3-9 6 7 8 9 10 11 El concreto utilizado para fines estructurales debe probarse de forma rutinaria a compresión para asegurar que proporciona la resistencia de diseño necesaria para esta base de puente. Después de curarlos durante 30 días, los cilindros de concreto mostrados se prueban a compresión hasta el esfuerzo último. Capitulo 03_Hibeeler.indd 88 Debe tenerse en cuenta que la resistencia a la cedencia no es una propiedad física del material, ya que se trata de un esfuerzo que causa una deformación permanente específica en dicho material. Sin embargo, en este libro se asumirá que la resistencia a la cedencia, el punto de cedencia, el límite elástico y el límite de proporcionalidad coinciden a menos que se indique lo contrario. Una excepción podría ser la del caucho natural, que incluso no tiene un límite de proporcionalidad porque el esfuerzo y la deformación no están linealmente relacionados. En vez de eso, como se muestra en la figura 3-8, este material, conocido como un polímero, presenta un comportamiento elástico no lineal. La madera suele ser un material moderadamente dúctil, por ello se encuentra en diseños que responden sólo a cargas elásticas. Las características de resistencia de la madera varían mucho de una especie a otra, y en cada una de ellas la resistencia depende del contenido de humedad, de la edad y del tamaño, y de la disposición de los nudos en la madera. Como éste es un material fibroso, sus características de tensión o compresión son muy diferentes cuando está cargado en forma paralela o perpen­ dicular al grano. De manera específica, la madera se parte con mayor faci­lidad cuando está cargada en tensión perpendicular a su grano y, por consiguiente, las cargas de tensión están casi siempre destinadas a aplicarse paralelas al grano de los elementos de madera. 13/1/11 19:36:38 3.3 89 comportamiEnto EsfuErzo-dEformación En matErialEs dúctilEs y frágilEs s (ksi) (st)máx � 0.4 �0.0030 �0.0025�0.0020�0.0015�0.0010�0.0005 Falla por tensión de un material frágil (a) P (pulg/pulg) 0 0.0005 2 �2 La compresión ocasiona que el material se expanda �4 (sc)máx � 5 (b) Figura 3-10 Figura 3-10 Materiales frágiles. Los materiales que no presentan cedencia, o que exhiben una muy pequeña, antes de la falla se conocen como materiales frágiles. El hierro fundido gris es un ejemplo, tiene un diagrama de esfuerzo-deformación en tensión como el mostrado en la porción AB de la curva de la figura 3-9. Aquí, la fractura en sf = 22 ksi (152 MPa) tuvo lugar inicialmente en una imperfección o grieta microscópica y luego se propagó con rapidez a través de la probeta, lo que causó una fractura completa. Como la aparición de grietas iniciales en una probeta es bastante aleatoria, los materiales frágiles no tienen un esfuerzo de fractura a la tensión bien definido. En cambio, generalmente se reporta el esfuerzo de fractura a la tensión promedio en un conjunto de ensayos observados. En la figura 3-10a se muestra la imagen típica de una probeta que falló. En comparación con su comportamiento en tensión, los materiales frágiles como el hierro fundido gris presentan una resistencia mucho mayor a la compresión axial, así lo evidencia la porción AC de la curva de la figura 3-9. Para este caso, cualquier grieta o imperfección en la probeta tiende a cerrarse y, a medida que la carga aumenta, el material suele expandirse o tomar forma de barril mientras las deformaciones se vuelven mayores, figura 3-10b. Al igual que el hierro fundido gris, el concreto se clasifica como un material frágil y también tiene una capacidad baja de resistencia a la tensión. Las características de su diagrama de esfuerzo-deformación dependen en gran medida de la mezcla de concreto (agua, arena, grava y cemento) y el tiempo y temperatura de curado. En la figura 3-11 se muestra un ejemplo típico de un diagrama de esfuerzo-deformación “completo” para el concreto. Por inspección, su resistencia máxima a la compresión es casi 12.5 veces superior a su resistencia a la tensión, 1sc2máx = 5 ksi 134.5 MPa2 frente a 1st2máx = 0.40 ksi 12.76 MPa2. Por esta razón, el concreto casi siempre se refuerza con barras o varillas de acero cuando está diseñado para soportar cargas de tensión. Puede establecerse de manera general que la mayoría de los materiales presentan comportamiento dúctil y frágil. Por ejemplo, el acero tiene un comportamiento frágil cuando tiene un alto contenido de carbono y dúctil cuando el contenido de carbono es reducido. Asimismo, a bajas temperaturas los materiales se vuelven más duros y frágiles, mientras que cuando la temperatura se eleva se vuelven más blandos y dúctiles. Este efecto se muestra en la figura 3-12 para el plástico metacrilato. Capitulo 03_Hibeeler.indd 89 1 2 �6 3 Diagrama s-P para una mezcla típica de concreto Figura 3-11 Figura 3-11 4 5 6 El acero pierde rápidamente su resistencia cuando se calienta. Por esa razón los ingenieros suelen exigir que los principales elementos estructurales se aíslen en caso de incendio. 7 s (ksi) 9 8 40� F 8 7 6 110� F 9 5 4 3 160� F 10 2 1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 P (pulg/ pulg) Diagramas s-P para un plástico metacrilato 11 Figura 3-12 13/1/11 19:36:40 90 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales 1 2 3.4 Ley de Hooke Como se señaló en la sección anterior, los diagramas de esfuerzo-deformación para la mayoría de los materiales de ingeniería presentan una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación dentro de la región elástica. En consecuencia, un incremento en el esfuerzo ocasiona un aumento proporcional en la deformación. Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en 1676 mediante el uso de resortes y se conoce como la ley de Hooke. Puede expresarse en forma matemática como 3 4 5 6 7 s = EP (3-5) Aquí E representa la constante de proporcionalidad, que se denomina módulo de elasticidad o módulo de Young, llamado así por Thomas Young quien publicó un estudio sobre él en 1807. La ecuación 3-5 en realidad representa la ecuación de la porción recta inicial del diagrama de esfuerzo-deformación hasta el límite de proporcionalidad. Por otra parte, el módulo de elasticidad representa la pendiente de esta recta. Como la deformación es adimensional, a partir de la ecuación 3-5, E tendrá las mismas unidades que el esfuerzo: psi, ksi o pascales. Como ejemplo de su cálculo, considere el diagrama de esfuerzo-deformación para el acero que se muestra en la figura 3-6. Aquí, spl = 35 ksi y Ppl = 0.0012 pulg>pulg, de modo que spl 35 ksi E = = = 2911032 ksi Ppl 0.0012 pulg>pulg Como se muestra en la figura 3-13, el límite de proporcionalidad para un tipo particular de aleación de acero depende de su contenido de carbono; sin embargo, la mayor parte de los grados de acero, desde el acero s (ksi) 180 8 acero de resorte (1% de carbono) 160 140 120 9 100 80 60 10 40 20 11 acero duro (0.6% de carbono) tratado térmicamente acero de máquina (0.6% de carbono) acero estructural (0.2% de carbono) acero suave (0.1% de carbono) 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 P (pulg/pulg) Figura 3-13 Capitulo 03_Hibeeler.indd 90 13/1/11 19:36:41 91 3.4 Ley de Hooke laminado más blando hasta el acero más duro para herramientas, tienen casi el mismo módulo de elasticidad, en general aceptado como Eac = 29(103) ksi o bien 200 GPa. Los valores de E para otros materiales de ingeniería comúnmente usados se tabulan con frecuencia en los códigos de ingeniería y libros de referencia. Los valores representativos también se presentan en la página final de este libro (al reverso de la contraportada). Vale la pena destacar que el módulo de elasticidad es una propiedad mecánica que indica la rigidez de un material. Los materiales que son muy rígidos, como el acero, tienen grandes valores de E [Eac = 29(103) ksi o 200 GPa], mientras que los materiales esponjosos, como el caucho vulcanizado, pueden tener valores bajos [Ec = 0.10 ksi o 0.70 MPa]. El módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más importantes que se utilizan en el desarrollo de las ecuaciones que se presentan en este libro. Sin embargo, siempre se debe recordar que E puede utilizarse sólo si el material tiene un comportamiento elástico lineal. Además, si la tensión en el material es mayor que el límite de proporcionalidad, el diagrama de esfuerzo-deformación deja de ser una línea recta y la ecuación 3-5 ya no es válida. 1 2 s 3 B A¿ A carga 4 E E descarga O Endurecimiento por deformación. Si una probeta de material dúctil como el acero se carga en la región plástica y después se descarga, la deformación elástica se recupera a medida que el material regresa a su estado de equilibrio. Sin embargo, la deformación plástica permanece y en consecuencia el material presenta una deformación permanente. Por ejemplo, cuando un alambre se dobla (plásticamente) rebotará un poco (elásticamente) cuando se retire la carga; sin embargo, no regresará en su totalidad a su posición original. Este comportamiento se puede ilustrar en el diagrama de esfuerzo-deformación de la figura 3-14a. Aquí la probeta primero se carga más allá de su punto de cedencia A hasta el punto A¿. Como las fuerzas interatómicas deben superarse para alargar elásticamente la probeta, entonces estas mismas fuerzas jalan de nuevo los átomos hacia su posición original cuando se retira la carga, figura 3-14a. En consecuencia, el módulo de elasticidad E es el mismo y, por ende, la pendiente de la línea O¿A¿ es igual a la de la línea OA. Si la carga se vuelve a aplicar, los átomos en el material serán desplazados de nuevo hasta que se produzca la cedencia en el esfuerzo A¿, o cerca de él, y el diagrama de esfuerzo-deformación continuará en la misma trayectoria que antes, figura 3-14b. Sin embargo, debe señalarse que este nuevo diagrama de esfuerzo-deformación, definido por O¿A¿B, ahora tiene un punto de cedencia mayor (A¿), a consecuencia del endurecimiento por deformación. En otras palabras, el material tiene ahora una región elástica más grande aunque tiene menos ductilidad, una región plástica más pequeña, que cuando estaba en su estado original. región plástica región elástica P O¿ 5 (a) deformación permanente recuperación elástica 6 s región elástica región plástica A¿ 7 B 8 O P O¿ (b) 9 Figura 3-14 10 Este pasador fue hecho con una aleación de acero endurecido; es decir, tiene un alto contenido de carbono. Falló debido a la fractura por fragilidad. 11 Este pasador fue hecho con una aleación de acero endurecido, es decir, que tiene un alto contenido de carbono. Falló debido a la fractura por fragilidad. Capitulo 03_Hibeeler.indd 91 13/1/11 19:36:42 92 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales 3.5 Energía de deformación 1 A medida que un material se deforma debido a una carga externa, tiende a almacenar energía internamente en todo su volumen. Como esta energía se relaciona con las deformaciones del material, se denomina energía de deformación. Para obtener esta energía de deformación considere un elemento de volumen de material tomado de una probeta para ensayos a tensión. Se somete a un esfuerzo uniaxial como el mostrado en la figura 3-15. Este esfuerzo desarrolla una fuerza ¢F = s ¢A = s(¢x ¢y) en las caras superior e inferior del elemento después de que el elemento de longitud ¢z experimenta un desplazamiento vertical P ¢z. Por definición, el trabajo se determina mediante el producto de la fuerza por el desplazamiento en la dirección de dicha fuerza. Como la fuerza se incrementa de manera uniforme desde cero hasta su magnitud final ¢F cuando se ha s alcanzado el desplazamiento P ¢z, el trabajo realizado por la fuerza sobre el elemento es igual a la magnitud promedio de fuerza (¢F>2) por el desplazamiento P ¢z. Este “trabajo externo” sobre el elemento es equivalente al “trabajo interno” o energía de deformación almacenada �z en el elemento, suponiendo que no se pierde energía en forma de calor. ¢z =P ¢z. En consecuencia, la energía de deformación ¢U is ¢U = 112 ¢U ¢F2esP ¢U ¢z == (112 ¢F) s ¢xP ¢y2 1 1 s ¢x ¢x ¢y2 ¢y) PP ¢z. ¢z. Como el volumen del elemento es ¢V = ¢x ¢y ¢z, ¢U is ¢U = 12�¢F2 P ¢z = (12 s x �y ¢U==112 s sP¢x ¢V. ¢U is ¢U = 112entonces ¢F2 P ¢z ¢y2 P ¢z. En ciertas aplicaciones, resulta conveniente especificar la energía de s deformación por unidad de volumen del material. Esto se llama densiFigura 3-15 dad de la energía de deformación y puede expresarse como 2 3 4 5 6 u = 7 1 s2 (3-7) 2 E Módulo de resiliencia. En particular, cuando el esfuerzo s alcanza el límite de proporcionalidad, la densidad de la energía de deformación calculada mediante la ecuación 3-6 o 3-7 se conoce como el módulo de resiliencia, es decir, u = s spl ur ur = 10 P Ppl 11 (3-6) Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke, s = EP, y es posible expresar la densidad de la energía de deformación elástica en términos del esfuerzo uniaxial como 8 9 ¢U 1 = sP ¢V 2 Módulo de resiliencia ur (a) Figura 3-16 Capitulo 03_Hibeeler.indd 92 2 1 1 spl splPpl = 2 2 E (3-8) A partir de la región elástica del diagrama de esfuerzo-deformación, figura 3-16a, observe que ur es equivalente al área triangular sombreada bajo el diagrama. Físicamente, la resiliencia de un material representa su capacidad de absorber la energía sin experimentar ningún tipo de daño permanente. 13/1/11 19:36:44 93 3.5 Energía de deformación Módulo de tenacidad. Otra propiedad importante de un material s 1 es el módulo de tenacidad, ut. Esta cantidad representa toda el área bajo el diagrama de esfuerzo-deformación, figura 3-16b y, por lo tanto, indica la densidad de la energía de deformación del material justo antes de fracturarse. Esta propiedad se vuelve importante en el diseño de elementos que se pueden sobrecargar de manera accidental. La aleación de metales también puede cambiar su resiliencia y tenacidad. Por ejemplo, al modificar el porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-deformación resultantes de la figura 3-17 muestran cómo pueden cambiarse los grados de resiliencia y tenacidad. ut Capitulo 03_Hibeeler.indd 93 P Módulo de tenacidad ut 3 (b) Puntos importantes • Un diagrama de esfuerzo-deformación convencional es importante en ingeniería porque proporciona un medio para obtener datos acerca de la resistencia a la tensión o a la compresión de un material independientemente de su tamaño físico o forma. • El esfuerzo y la deformación de ingeniería se calculan usando el área de la sección transversal y la longitud calibrada originales de la probeta. • Un material dúctil, como el acero de bajo carbono, tiene cuatro distintos comportamientos cuando se somete a una carga. Éstos son el comportamiento elástico, la cedencia, el endurecimiento por deformación y la estricción. • Un material es elástico lineal si el esfuerzo es proporcional a la deformación dentro de la región elástica. Este comportamiento está descrito por la ley de Hooke, s = EP, donde el módulo de elasticidad E es la pendiente de la línea. • Los puntos más importantes en el diagrama de esfuerzo-deformación son el límite de proporcionalidad, el límite elástico, el esfuerzo de cedencia, el esfuerzo último y esfuerzo de fractura. • La ductilidad de un material puede especificarse mediante el porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de área de la probeta. • Si un material no tiene un punto de cedencia definido, se puede especificar una resistencia a la cedencia mediante un procedimiento gráfico como el método de corrimiento. • Los materiales frágiles, como el hierro fundido gris, no tienen una cedencia o es muy pequeña por lo que pueden fracturarse de manera súbita. • El endurecimiento por deformación se utiliza para establecer un el punto de cedencia más alto de un material. Esto se hace deformando el material más allá de su límite elástico para después liberarlo de la carga. El módulo de elasticidad permanece igual; sin embargo, la ductilidad del material disminuye. • La energía de deformación es la energía almacenada en un material debido a su deformación. Esta energía por unidad de volumen se denomina densidad de la energía de deformación. Si se mide hasta el límite de proporcionalidad, se conoce como el módulo de resiliencia, y si se mide hasta el punto de fractura, se llama módulo de tenacidad. Puede determinarse a partir del área bajo el diagrama s-P. 2 Figura 3-16 (cont.) 4 s acero duro (0.6% de carbono) el más resistente acero estructural (0.2% de carbono) el más tenaz acero suave (0.1% de carbono) el más dúctil 5 6 P Figura 3-17 7 8 9 10 Esta de de nylon presenta un alto Estaprobeta probeta nylon presenta ungrado alto de tenacidad, como puede por la grado de tenacidad, comoobservarse puede observargran estricción ha ocurrido antes de se por la granque estricción quejusto ha ocurrido lajusto fractura. antes de la fractura. 11 13/1/11 19:36:45 94 1 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales EJEMPLO 2 3.1 Un ensayo de tensión para una aleación de acero da como resultado el diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura 3-18. Calcule el módulo de elasticidad y la resistencia a la cedencia con base en un corrimiento del 0.2 por ciento. Identifique en la gráfica el esfuerzo último y el esfuerzo de fractura. s (ksi) 3 4 5 120 110 su � 108 100 sf � 90 80 70 sYS � 68 60 50 40 30 20 10 O 6 7 B C A¿ A E E Pf � 0.23 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.0008 0.0016 0.0024 0.0004 0.0012 0.0020 0.2% SOLUCIÓN P (pulg/pulg) Figura 3-18 Módulo de elasticidad. Debemos calcular la pendiente de la porción inicial en línea recta de la gráfica. Usando la curva magnificada y la escala mostrada en gris, esta línea se extiende desde el punto O hasta un punto estimado A, que tiene coordenadas aproximadas (0.0016 pulg>pulg, 50 ksi). Por lo tanto, E = 8 A¿ 50 ksi = 31.211032 ksi 0.0016 pulg>pulg Resp. Observe que la ecuación de la línea OA es, entonces, s = 31.2(103)P. Resistencia a la cedencia. Para un corrimiento de 0.2 por ciento, 9 10 se inicia con una deformación de 0.2 por ciento o 0.0020 pulg>pulg y se extiende gráficamente una línea (discontinua) paralela a OA hasta que interseca a la curva s-P en A¿. La resistencia a la cedencia es aproximadamente sYS = 68 ksi Resp. Esfuerzo último. Se define mediante el pico de la gráfica s-P, que es el punto B en la figura 3-18. su = 108 ksi Resp. Esfuerzo de fractura. Cuando la probeta se deforma hasta un máximo de Pf = 0.23 pulg>pulg, se fractura en el punto C. Por lo tanto, 11 Capitulo 03_Hibeeler.indd 94 sf = 90 ksi Resp. 13/1/11 19:36:46 95 3.5 Energía de deformación EJEMPLO 3.2 1 En la figura 3-19 se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una aleación de aluminio utilizada en la fabricación de partes de aeronaves. Si una probeta de este material se esfuerza hasta 600 MPa, determine la deformación permanente que queda en la probeta cuando ésta se libera de la carga. Además, encuentre el módulo de resiliencia antes y después de la aplicación de la carga. 2 SOLUCIÓN 3 Deformación permanente. Cuando la probeta se somete a la carga, se endurece por deformación hasta que se alcanza el punto B en el diagrama s-P. La deformación aproximada en este punto es 0.023 mm/ mm. Cuando se retira la carga, el material se comporta siguiendo la línea recta BC, que es paralela a la línea OA. Como ambas líneas tienen la misma pendiente, la deformación en el punto C se puede determinar en forma analítica. La pendiente de la línea OA es el módulo de elastis (MPa) cidad, es decir, 450 MPa E = = 75.0 GPa 750 0.006 mm>mm Del triángulo CBD requerimos 600 60011062 Pa BD 9 ; 75.0110 2 Pa = E = CD CD A sY � 450 paralelas CD = 0.008 mm>mm 300 Esta deformación representa la cantidad de deformación elástica recuperada. Así que la deformación permanente, POC, es POC = 0.023 mm>mm - 0.008 mm>mm = 0.0150 mm>mm Resp. Módulo de resiliencia. Al aplicar la ecuación 3-8, se tiene* B F 6 O C D 0.01 0.02 0.03 PY � 0.006 0.023 POC 0.04 P (mm/mm) 7 Figura 3-19 8 Resp. 9 Resp. NOTA: Por comparación, el efecto del endurecimiento por deformación del material ha ocasionado un aumento en el módulo de resiliencia; sin embargo, observe que el módulo de tenacidad para el material ha disminuido porque el área bajo la curva original, OABF, es mayor que el área bajo la curva CBF. *En el Sistema Internacional de Unidades el trabajo se mide en joules, donde 1 J = 1 N # m. Capitulo 03_Hibeeler.indd 95 5 150 Nota: Si las marcas de medición en la probeta estaban en un principio separadas por 50 mm, después de que la carga se retira, estas marcas estarán a una distancia de 50 mm + (0.0150)(50 mm) = 50.75 mm. 1 1 1ur2inicial = splPpl = 1450 MPa210.006 mm>mm2 2 2 = 1.35 MJ>m3 1 1 1ur2final = splPpl = 1600 MPa210.008 mm>mm2 2 2 = 2.40 MJ>m3 4 10 11 13/1/11 19:36:48 96 1 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales 3.3 EJEMPLO La barra de aluminio que se muestra en la figura 3-20a tiene una sección transversal circular y está sometida a una carga axial de 10 kN. Según la porción del diagrama de esfuerzo-deformación que se muestra en la figura 3-20b, determine la elongación aproximada de la barra cuando se aplica la carga. Considere que Eal = 70 GPa. s (MPa) 2 56.6 60 50 sY 40 3 F 20 mm 30 20 10 O PBC 0.02 0.04 0.0450 A 15 mm B C 10 kN 10 kN 600 mm 0.06 400 mm (a) (b) 4 Figura 3-20 SOLUCIÓN 5 6 7 Para el análisis no se tomarán en cuenta las deformaciones localizadas en el punto de aplicación de la carga y donde la sección transversal de la barra cambia de manera repentina. (Estos efectos se analizarán en las secciones 4.1 y 4.7.) El esfuerzo normal y la deformación son uniformes a través de la sección media de cada segmento. Para encontrar la elongación de la barra, primero se debe obtener la deformación. Esto se realiza mediante el cálculo del esfuerzo, para después usar el diagrama de esfuerzo-deformación. El esfuerzo normal dentro de cada segmento es sAB = 1011032 N P = 31.83 MPa = A p10.01 m22 sBC = 1011032 N P = = 56.59 MPa A p10.0075 m22 8 Con base en el diagrama de esfuerzo-deformación, el material en el segmento AB se deforma elásticamente puesto que sAB 6 sY = 40 MPa. Mediante la ley de Hooke, 9 10 11 Capitulo 03_Hibeeler.indd 96 PAB = 31.8311062 Pa sAB = = 0.0004547 mm>mm Eal 7011092 Pa El material dentro del segmento BC se deforma plásticamente, puesto que sBC 7 sY = 40 MPa. A partir de la gráfica, para sBC = 56.59 MPa, PBC L 0.045 mm>mm. Por lo tanto, la elongación aproximada de la barra es d = ©PL = 0.00045471600 mm2 + 0.04501400 mm2 = 18.3 mm Resp. 13/1/11 19:36:50 97 3.5 Energía de deformación problemas fundamentales F3-1. Defina material homogéneo. F3-2. Indique los puntos en el diagrama de esfuerzo-deformación que representan el límite de proporcionalidad y el esfuerzo último. s A 1 F3-10. El material para la probeta de 50 mm de largo tiene el diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura. Si P = 100 kN, determine la elongación de la probeta. F3-11. El material para la probeta de 50 mm de largo tiene el diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura. Si se aplica la carga P = 150 kN y después se retira, determine la elongación permanente de la probeta. 3 D B C 2 E P 20 mm s (MPa) P F3-2 4 P 500 450 5 F3-3. Defina el módulo de elasticidad E. F3-4. A temperatura ambiente, el acero de bajo carbono es un material dúctil. ¿Verdadero o falso? 0.00225 6 P (mm/mm) 0.03 F3-10/11 F3-5. El esfuerzo y la deformación de ingeniería se calculan utilizando el área de la sección transversal y la longitud reales de la probeta. ¿Verdadero o falso? 7 F3-6. A medida que la temperatura aumenta, el módulo de elasticidad se incrementa. ¿Verdadero o falso? F3-7. Una barra de 100 mm de longitud tiene un diámetro de 15 mm. Si se aplica una carga axial a tensión de 100 kN, determine el cambio en su longitud. E = 200 GPa. F3-8. Una barra tiene una longitud de 8 pulg y un área de sección transversal de 12 pulg2. Determine el módulo de elasticidad de su material si está sometido a una carga axial a tensión de 10 kip y se estira 0.003 pulg. El material tiene un comportamiento elástico lineal. F3-9. Una barra de latón de 10 mm de diámetro tiene un módulo de elasticidad de E = 100 GPa. Si tiene una longitud de 4 m y está sometida a una carga axial a tensión de 6 kN, determine su elongación. F3-12. Si la elongación del alambre BC es de 0.2 mm después de aplicar la fuerza P, determine la magnitud de P. El alambre es de acero A-36 y tiene un diámetro de 3 mm. 8 C P 300 mm 9 200 mm A B 400 mm 10 F3-12 11 Capitulo 03_Hibeeler.indd 97 13/1/11 19:37:13 98 1 2 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales P ROBLEMAS •3-1. Un cilindro de concreto que tiene un diámetro de 6.00 pulg y una longitud calibrada de 12 pulg se prueba a compresión. Los resultados del ensayo se reportan en la tabla de carga y contracción. Dibuje el diagrama de esfuerzodeformación mediante escalas de 1 pulg = 0.5 ksi y 1 pulg = 0.2 (10 - 3 ) pulg>pulg. A partir del diagrama, determine el módulo de elasticidad aproximado. 3 Carga (kip) Contracción (pulg) 0 5.0 9.5 16.5 20.5 25.5 30.0 34.5 38.5 46.5 50.0 53.0 0 0.0006 0.0012 0.0020 0.0026 0.0034 0.0040 0.0045 0.0050 0.0062 0.0070 0.0075 4 5 6 7 8 Prob. 3-1 3-2. En la tabla se presentan datos tomados de un ensayo de esfuerzo-deformación para cierta cerámica. La curva es lineal entre el origen y el primer punto. Grafique el diagrama y determine el módulo de elasticidad y el módulo de resiliencia. 3-3. En la tabla se presentan datos tomados de un ensayo de esfuerzo-deformación para cierta cerámica. La curva es lineal entre el origen y el primer punto. Grafique el diagrama y determine el módulo de tenacidad aproximado. El esfuerzo de ruptura es sr = 53.4 ksi. 9 10 S (ksi) P (pulg/pulg) 0 33.2 45.5 49.4 51.5 53.4 0 0.0006 0.0010 0.0014 0.0018 0.0022 11 Probs. 3-2/3 Capitulo 03_Hibeeler.indd 98 *3-4. Un ensayo de tensión se realizó con una probeta que tenía un diámetro original de 12.5 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Los datos se presentan en la tabla. Grafique el diagrama de esfuerzo-deformación y determine aproximadamente el módulo de elasticidad, el esfuerzo último y el esfuerzo de fractura. Utilice una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm = 0.05 mm>mm. Trace de nuevo la región elástica lineal, usando la misma escala de esfuerzo pero con una escala de deformación de 20 mm = 0.001 mm>mm. 3-5. Un ensayo de tensión se realizó con una probeta de acero que tenía un diámetro original de 12.5 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Usando los datos que se presentan en la tabla, grafique el diagrama de esfuerzo-deformación y determine aproximadamente el módulo de tenacidad. Utilice una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm = 0.05 mm>mm. Carga (kN) Elongación (mm) 0 11.1 31.9 37.8 40.9 43.6 53.4 62.3 64.5 62.3 58.8 0 0.0175 0.0600 0.1020 0.1650 0.2490 1.0160 3.0480 6.3500 8.8900 11.9380 Probs. 3-4/5 3-6. Una probeta tiene en un principio una longitud de 1 pie, un diámetro de 0.5 pulg y está sometida a una fuerza de 500 lb. Cuando la fuerza se incrementa de 500 a 1800 lb, la probeta se alarga 0.009 pulg. Determine el módulo de elasticidad para el material si éste se mantiene elástico lineal. 3-7. Un elemento estructural de un reactor nuclear está fabricado de cierta aleación de circonio. Si el elemento debe soportar una carga axial de 4 kips, determine el área reque­ rida para su sección transversal. Use un factor de seguridad de 3 respecto a la cedencia. ¿Cuál es la carga sobre el elemento si tiene 3 pies de largo y su elongación es de 0.02 pulg? Ecr = 14(103) ksi, sY = 57.5 ksi. El material tiene un comportamiento elástico. 13/1/11 19:37:14 99 3.5 Energía de deformación *3-8. El puntal está soportado por un pasador en C y un alambre AB de retenida de acero A-36. Si el alambre tiene un diámetro de 0.2 pulg, determine cuánto se estira cuando la carga distribuida actúa sobre el puntal. 3-10. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una aleación metálica que tiene un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el módulo de elasticidad para el material, la carga sobre la probeta que causa la cedencia y la carga última que soportará la probeta. 3-11. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una aleación metálica que tiene un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Si la probeta se carga hasta un esfuerzo de 90 ksi, determine el tamaño aproximado de la recuperación elástica y el incremento en la longitud calibrada después de retirar la carga. A *3-12. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzodeformación para una aleación metálica que tiene un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el módulo de resiliencia y el módulo de tenacidad para el material. 60� 200 lb/pie 1 2 3 4 B C 9 pies 5 s (ksi) Prob. 3-8 105 90 75 6 60 45 •3-9. En la figura se muestra el diagrama s-P para un conjunto de fibras de colágeno de las que está compuesto un tendón humano. Si un segmento del tendón de Aquiles en A tiene una longitud de 6.5 pulg y un área aproximada en su sección transversal de 0.229 pulg2, determine su elongación si el pie soporta una carga de 125 lb, lo que provoca una tensión en el tendón de 343.75 lb. 30 15 0 7 0 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 P (pulg/pulg) Probs. 3-10/11/12 8 s (ksi) 4.50 A 3.75 •3-13. Una barra con una longitud de 5 pulg y un área de sección transversal de 0.7 pulg2 se somete a una fuerza axial de 8000 lb. Si la barra se extiende 0.002 pulg, determine el módulo de elasticidad del material. Éste tiene un comportamiento elástico lineal. 3.00 9 10 2.25 1.50 125 lb 0.75 0.05 0.10 Prob. 3-9 Capitulo 03_Hibeeler.indd 99 P (pulg/pulg) 8000 lb 5 pulg Prob. 3-13 8000 lb 11 13/1/11 19:37:17 100 1 2 Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales 3-14. El tubo rígido se sostiene mediante un pasador en A y un alambre BD que es de acero A-36. Si el alambre tiene un diámetro de 0.25 pulg, determine cuánto se estira al aplicar una carga de P = 600 lb sobre el tubo. 3-15. El tubo rígido se sostiene mediante un pasador en A y un alambre BD que es de acero A-36. Si el alambre tiene un diámetro de 0.25 pulg, determine la carga P si el extremo C se desplaza 0.075 pulg hacia abajo. 3-17. Un ensayo de tensión se realizó sobre una probeta hecha con una aleación de aluminio 2014-T6. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación resultante. Estime (a) el límite de proporcionalidad, (b) el módulo de elasticidad y (c) la resistencia a la cedencia con base en una deformación de 0.2 por ciento con el método de corrimiento. 3-18. Un ensayo de tensión se realizó sobre una probeta hecha con una aleación de aluminio 2014-T6. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación resultante. Estime (a) el módulo de resiliencia y (b) el módulo de tenacidad. 3 s (ksi) B 70 4 60 50 4 pies P A 5 40 30 D C 3 pies 20 10 3 pies 0 Probs. 3-14/15 0.02 0.002 0.04 0.004 6 7 8 0.06 0.006 0.08 0.008 P (pulg/pulg) 0.10 0.010 Probs. 3-17/18 *3-16. Determine la elongación de la barra hueca cuadrada cuando se somete a la fuerza axial P = 100 kN. Si esta fuerza axial se incrementa hasta P = 360 kN y después se retira, determine la elongación permanente de la barra. Ésta hecha de una aleación metálica que tiene un diagrama de esfuerzo-deformación similar al mostrado en la figura. 3-19. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para un hueso, el cual puede describirse mediante la ecuación P = 0.45(10-6 ) s + 0.36(10-12) s3, donde s está dada en kPa. Determine la resistencia a la cedencia suponiendo un corrimiento de 0.3 por ciento. *3-20. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para un hueso, el cual puede describirse mediante la ecuación P = 0.45(10-6) s + 0.36(10-12) s3, donde s está dada en kPa. Determine el módulo de tenacidad y el tamaño de la elongación de una región de 200 mm de largo justo antes de la fractura, si la falla ocurre en P = 0.12 mm>mm. 9 s (MPa) P 500 s 600 mm 10 P 250 50 mm 5 mm 0.00125 0.05 P (mm/mm) 11 Prob. 3-16 Capitulo 03_Hibeeler.indd 100 50 mm 5 mm P 0.45(10 6)s + 0.36(10 P 12 )s 3 P P Probs. 3-19/20 13/1/11 19:37:19 101 3.5 Energía de deformación •3-21. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una resina de poliestireno. Si la viga rígida se sostiene por medio del puntal AB y el poste CD, ambos hechos de este material, y se somete a una carga de P = 80 kN, determine el ángulo de inclinación de la viga cuando se aplica la carga. El diámetro del puntal es de 40 mm y el del poste es de 80 mm. 3-22. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una resina de poliestireno. Si la viga rígida se sostiene por medio del puntal AB y el poste CD, ambos hechos de este material, determine la mayor carga P que puede aplicarse a la viga antes de que se rompa. El diámetro del puntal es de 12 mm y el del poste es de 40 mm. 3-23. Es posible reducir la rigidez del cloruro de polivinilo mediante la adición de plastificantes. En la siguiente figura se muestran los diagramas de esfuerzo-deformación para tres tipos de material que presentan este efecto. Especifique el tipo que debe usarse en la fabricación de una barra con una longitud de 5 pulg y diámetro de 2 pulg, la cual debe soportar al menos una carga axial de 20 kip y debe ser capaz de estirarse hasta 14 de pulg. 1 2 3 s (ksi) 15 P sin plastificar 10 4 copolímero flexible 5 5 (plastificante) B P 0 0.10 0 0.20 0.30 2m Prob. 3-23 P A P (pulg/ pulg) 6 C 0.75 m 0.75 m D 0.5 m *3-24. El diagrama de esfuerzo-deformación para muchas aleaciones metálicas puede describirse de manera analítica mediante la ecuación de tres parámetros de RambergOsgood P = s>E + ksn, donde E, k y n se determinan a partir de mediciones tomadas del diagrama. Con la ayuda del diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura, considere E = 30(103) ksi y determine los otros dos parámetros k y n, con esto obtenga una expresión analítica para la curva. 7 8 s (MPa) 100 95 compresión 80 70 60 80 50 60 tensión 40 32.2 20 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Probs. 3-21/22 Capitulo 03_Hibeeler.indd 101 10 40 20 0 9 s (ksi) P (mm/mm) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 P (10–6) 11 Prob. 3-24 13/1/11 19:37:23