Linea de inf. viga hip

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restart;
Problema a resolver: Determinar la linea de influencia del sistema
mostrado para Mc
(EI = CTTE)
Paso 1: Eliminar la capacidad de resistir la solicitacion y agregar una acción
unitaria en ese sentido:
Paso 2: Por el metodo seleccionado, determinar el diagrama de momentos de la
estructura resultante:
Para este problema se ha seleccionado el método de rotaciones. A continuacion se muestra el
procedimiento para la solución.
Paso 2.1. Se establece el número de rotaciones desconocidas. Es evidente que el momento
flector del tramo completo AC puede determinarse a partir de simple estática.
Sin embargo incluiremos la rotacion de B y de C a la izquierda en las incognitas para obtener la solución
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de las pendientes a traves del método de las rotaciones.
Incognitas del problema: θb, θcizq, θcder, θd
Paso 2.2. Planteamiento del sistema primario y calculo de momentos de
empotramiento.
Al eliminar todos los grados de libretad de la estructura se puede observar que no existe carga sobre los
elementos primarios. El momento existente a la derecha y a la izquierda de C, se considerará sobre la
junta y se evidenciará más adelante, por este motivo los momentos del sistema primario son nulos:
Paso 2.3. Ecuacion general de pendiente deflexion para plantear los momentos en los
extremos de los miembros.
Identificamos los momentos existentes:
Planteamos las ecuaciones, con base (unicamente) a la ecuacion general:
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Momentos en los elementos:
EI
Mbc d
$ 4 θb C2 θcizq K6$0 C0;
Lbc
EI 4 θb C2 θcizq
Lbc
EI
Mcb d
$ 4 θcizq C2 θb K6$0 C0;
Lbc
EI 4 θcizq C2 θb
Lbc
EI
Mcd d
$ 4 θcder C2 θd K6$0 C0;
Lcd
EI 4 θcder C2 θd
Lcd
EI
Mdc d
$ 4 θd C2 θcder K6$0 C0;
Lcd
EI 4 θd C2 θcder
Lcd
EI
Mde d
$ 4 θd C2 $0 K6$0 C0;
Lde
4 EI θd
Lde
EI
Med d
$ 4 $0 C2 θd K6$0 C0;
Lde
2 EI θd
Lde
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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Paso 2.4. Ecuaciones de equilibrio y solucion de sistemas resultantes.
Se plantea la ecuacion de equilibrio de la junta y luego sera igualada a cero para la solución del sistema.
Equilibrio en B:
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eq1 dKMbc
EI 4 θb C2 θcizq
Lbc
(7)
K
Equilibrio a la izquierda de C:
eq2 dKMcb C1
EI 4 θcizq C2 θb
Lbc
K
C1
Resolviendo el sistema de 2x2:
sol1 d solve eq1 = 0, eq2 = 0 , θb, θcizq ;
1 Lbc
1 Lbc
θb = K
, θcizq =
6 EI
3 EI
assign sol1 ;
(8)
(9)
Equilibrio a la derecha de C:
eq3 dKMcdK1
EI 4 θcder C2 θd
Lcd
K
Equilibrio en D:
K1
(10)
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eq4 dKMdcKMde
EI 4 θd C2 θcder
Lcd
K
K
4 EI θd
Lde
Resolviendo el sistema de 2x2:
sol2 d solve eq3 = 0, eq4 = 0 , θcder, θd ;
Lcd Lde CLcd
1
Lcd Lde
θcder = K
, θd =
EI 3 Lde C4 Lcd
2 EI 3 Lde C4 Lcd
assign sol2 ;
(11)
(12)
Proporcionando datos al problema:
Lab d 2; Lbc d 4; Lcd d 5; Lde d 5;
2
4
5
5
(13)
Presentando soluciones numericas:
θb
2
3 EI
K
(14)
θcizq
4
3 EI
(15)
θcder
10
7 EI
(16)
5
14 EI
(17)
0
(18)
1
(19)
K
θd
Mbc
Mcb
Mcd
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K1
(20)
K
2
7
(21)
2
7
(22)
1
7
(23)
Mdc
Mde
Med
Paso 2.5. Dibujo de diagrama de momento.
Paso 3: Planteamiento de la viga conjugada para obtener las pendientes de la
estructura original:
El diagrama de corte en la viga conjugada, se corresponde con las pendientes de la estructura original.
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Paso 3.1. Cálculo de las reacciones en la viga conjugada.
Sumatoria de momento en B a la izquierda:
eq5 dK2$Ra CMa
K2 Ra CMa
Sumatoria de momento en C a la izquierda:
1
1 4$1
$4 $
$
eq6 dK6$Ra CMaK
3
2 EI
K6 Ra CMaK
sol3 d solve
8
3 EI
eq5 = 0, eq6 = 0 , Ra, Ma ;
4
2
, Ra = K
Ma = K
3 EI
3 EI
assign sol3 ;
Calculo de intersecciones de la linea de carga con el eje X.
Relación de triangulos entre ejes C y D
1
2
1
C
EI
7 EI
EI
eqd1 d
=
;
5
d1
(24)
(25)
(26)
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9
1
=
35 EI
EI d1
(27)
35
9
(28)
3
1
=
35 EI
7 EI d2
(29)
5
3
(30)
d1 d solve eqd1, d1 ;
Relación de triangulos entre ejes D y E
1
2
1
C
7 EI
7 EI
7 EI
eqd2 d
=
;
5
d2
d2 d solve eqd2, d2 ;
Sumatoria de fuerzas en Y
1
1
eq7 d Ra CRc C $ 4 Cd1 $
2
EI
1
2
5 Kd1 C5 Kd2 $
2
7 EI
58
CRc = 0
21 EI
K
C
1
1
$ d2 $
2
7 EI
=0
Rc d solve eq7, Rc ;
58
21 EI
K
Paso 3.2. Planteamiento de ecuaciones de Corte en viga conjugada,
correspondientes a pendientes en viga original:
Tramo AB 0≤x≤2
(32)
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2
3 EI
Vab dK
2
3 EI
(33)
K
Tramo BC 2<x≤6
2
1
Vbc dK
C $ x K2 $
3 EI
2
1
EI
$ x K2
4
2
1
K
C
3 EI
4
1
x K1
2
EI
x K2
eval Vbc, x = 6 ;
4
3 EI
(35)
Tramo Cd1 6<x≤9.89
1
4
58
1
1
1
EI
Vcd1 d
K
C $ x K6 $
C
K
$ x K6
3 EI
21 EI
2
EI
EI
d1
10
1
2
9 x K6
K
C
x K6
K
7 EI
2
EI
35
EI
eval Vcd1, x = 6 Cd1 ;
65
126 EI
eval Vcd1, x = 6 ;
10
K
7 EI
Tramo d1D 9.89<x≤11
2
1
7
EI
65
K $ x K6 Kd1 $
$ x K6 Kd1
Vd1d d
2
126 EI
5 Kd1
1
89
89
xK
xK
9
2
18
9
65
K
35
126 EI
EI
eval Vd1d, x = 11 ;
5
14 EI
Tramo Dd2 11<x≤14.33
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
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2
5
1
2
2
7 EI
Vdd2 d
K
x K11 $
C
K
$ x K11
14 EI
2
7 EI
7 EI 5 Kd2
5
1
4
3 x K11
K
x K11
K
14 EI
2
7 EI
35
EI
eval Vdd2, x = 16 Kd2 ;
5
K
42 EI
Tramo d2E
14.33<x≤16
Vd2e dK
5
1
C $ x K 16 Kd2
42 EI
2
$
1
7 EI
d2
5
3
C
42 EI
70
K
(41)
(42)
$ x K 16 Kd2
43
3
EI
2
xK
(43)
eval Vd2e, x = 16 ;
0
(44)
V d x / piecewise x % 2, Vab, x % 6, Vbc, x % 6 Cd1, Vcd1, x % 11, Vd1d, x % 16 Kd2, Vdd2, x
% 16, Vd2e ;
x/piecewise x % 2, Vab, x % 6, Vbc, x % 6 Cd1, Vcd1, x % 11, Vd1d, x % 16 Kd2, Vdd2, x
(45)
% 16, Vd2e
V x
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2
3 EI
x %2
K
1
x K1
2
EI
2
1
K
C
3 EI
4
10
1
K
C
7 EI
2
5
1
K
14 EI
2
x %6
2
9 x K6
K
EI
35
EI
x K6
65
9
K
126 EI
35
x K2
1
89
xK
2
18
EI
xK
89
9
4
3 x K11
K
7 EI
35
EI
x K11
x%
89
9
(46)
x % 11
x%
43
3
2
43
3
EI
xK
5
3
C
42 EI
70
K
x % 16
assuming real
2
3 EI
x %2
1 K4 C3 x2 K12 x
24
EI
x %6
1 844 K178 x C9 x2
70
EI
x % 11
K
K
2
1 608 K86 x C3 x
EI
70
x % 16
0
16 ! x
plot V x $EI, x = 0 ..16, discont = true ;
(47)
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1
0,5
0
2
4
6
8
x
K0,5
10
12
14
16
K1
Paso 3.3. Planteamiento de ecuaciones de Momento en viga conjugada,
correspondientes a deflexion en viga original:
Tramo AB
0≤x≤2
Mab d Vab dx CC1;
2 x
CC1
(48)
3 EI
Añadiendo condicion de contorno para el calculo de la constante; se sabe que cuando x=0, Mab=4/(3EI)
K
C1 d solve eval Mab, x = 0 =
4
, C1 ;
3 EI
4
3 EI
Mab
(49)
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2 x
4
C
3 EI
3 EI
K
(50)
Tramo BC
2<x≤6
Mbc d Vbc dx CC2;
2 x
1
C
3 EI
4
C2 d solve eval Mbc, x = 6 = 0, C2 ;
2 xC
K
1 3
x Kx2
6
CC2
EI
1
EI
(51)
(52)
Mbc
2 x
1
C
3 EI
4
K
2 xC
1 3
x Kx2
6
1
C
EI
EI
(53)
Tramo Cd1
6<x≤9.89
Mcd1 d Vcd1 dx CC3;
422 x
3 x3
89 x2
K
C
CC3
35 EI
70 EI
70 EI
C3 d solve eval Mcd1, x = 6 = 0, C3 ;
1254
35 EI
Mcd1
422 x
3 x3
89 x2
1254
K
K
C
C
35 EI
70 EI
70 EI
35 EI
Tramo d1D
9.89<x≤11
Md1d d Vd1d dx CC4;
K
7921
1 3
89 2
xC
x K
x
65 x
9
162
6
18
K
CC4
EI
126 EI
35
C4 d solve eval Md1d, x = 11 = 0, C4 ;
1254
35 EI
Md1d
7921
1 3
89 2
xC
x K
x
9
162
6
18
1254
65 x
K
C
35
35 EI
126 EI
EI
Tramo Dd2
11<x≤14.33
Mdd2 d Vdd2 dx CC5;
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
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304 x
1 x3
43 x2
C
K
CC5
35 EI
70 EI
70 EI
C5 d solve eval Mdd2, x = 11 = 0, C5 ;
1408
K
35 EI
Mdd2
304 x
1 x3
43 x2
1408
C
K
K
35 EI
70 EI
70 EI
35 EI
Tramo d2E
14.33<x≤16
Md2e d Vd2e dx CC6;
5 x
1
C
42 EI
70
C6 d solve eval Md2e, x = 16 = 0, C6 ;
43
3
EI
(60)
(61)
(62)
3
xK
K
CC6
695
378 EI
Md2e
3
43
5 x
1
3
695
(65)
K
C
C
42 EI
EI
70
378 EI
M d x / piecewise x % 2, Mab, x % 6, Mbc, x % 6 Cd1, Mcd1, x % 11, Md1d, x % 16 Kd2, Mdd2, x
% 16, Md2e ;
(66)
x/piecewise x % 2, Mab, x % 6, Mbc, x % 6 Cd1, Mcd1, x % 11, Md1d, x % 16 Kd2, Mdd2, x
% 16, Md2e
M x
xK
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2 x
4
C
3 EI
3 EI
x %2
K
1 3
x Kx2
6
1
C
EI
EI
2 xC
2 x
1
C
3 EI
4
K
x %6
422 x
3 x3
89 x2
1254
K
C
C
35 EI
70 EI
70 EI
35 EI
x%
K
65 x
9
K
126 EI
35
7921
1
89 2
x C x3 K
x
162
6
18
1254
C
EI
35 EI
304 x
1 x3
43 x2
1408
C
K
K
35 EI
70 EI
70 EI
35 EI
43
3
EI
5 x
1
C
42 EI
70
(67)
x % 11
x%
43
3
3
xK
K
89
9
C
695
378 EI
x % 16
assuming real
2 x K2
3
EI
K
1 K4 x Cx3 K6 x2 C24
24
EI
x %2
x %6
1 844 x C3 x3 K89 x2 K2508
70
EI
x % 11
3
2
1 608 x Cx K43 x K2816
EI
70
x % 16
0
16 ! x
K
plot M x $EI, x = 0 ..16, discont = true ;
(68)
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1
0,5
0
2
4
6
8
x
10
12
14
16
K0,5
K1
Paso 4: Planteamiento Final de la linea de influencia:
Con base a Muller-Breslau, la linea de influencia será:
M x
iMc dK
θcder K θcizq
2 x
4
C
3 EI
3 EI
x %2
K
2 x
1
K
C
3 EI
4
21
58
1 3
x Kx2
6
1
C
EI
EI
2 xC
3
2
422 x
3 x
89 x
1254
K
K
C
C
35 EI
70 EI
70 EI
35 EI
65 x
9
K
126 EI
35
7921
1 3
89 2
xC
x K
x
162
6
18
1254
C
EI
35 EI
304 x
1 x3
43 x2
1408
C
K
K
35 EI
70 EI
70 EI
35 EI
5 x
1
C
42 EI
70
K
assuming real
43
3
EI
x %6
x%
89
9
EI
x % 11
x%
43
3
3
xK
C
695
378 EI
x % 16
(69)
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7
14
xC
29
29
x %2
7
7
21 2
21
xC
x3 K
x C
116
464
232
58
x %6
633
9
267 2
1881
xK
x3 C
x C
145
580
580
145
x % 11
K
K
K
456
3 3
129 2
2112
xC
x K
x K
145
580
580
145
x % 16
0
16 ! x
(70)
plot iMc, x = 0 ..16, discont = true ;
Línea de Influencia para el momento flector en C
0,4
0,3
0,2
0,1
0
K0,1
K0,2
K0,3
K0,4
2
4
6
8
x
10
12
14
16