Máximos y mı́nimos UNAJMA Aplicaciones de la derivada Mag. José L. Estrada P. [email protected] Departamento Académico de Ciencias Básicas 2023 Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 1 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Indice Máximos y mı́nimos Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 2 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 1 La demanda de cierto producto está dada por la relación p = 4−0, 0002x, donde x es el número de unidades producidas semanalmente y p, en soles, es el precio de cada unidad. El costo total de producción de x unidades es 600 + 3x soles. Si la utilidad semanal debe ser mayor posible, encontrar el número de unidades que se deberı́a producir cada semana y el precio por unidad, para que la utilidad semanal sea máxima. 2 Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 18 cm cada uno. Determine la longitud de la base, de tal manera que el área del triángulo sea máxima. 3 Dos poblados A y B están a 2 km y 3 km, respectivamente de los puntos más cercanos C y D sobre una linea de transmisión, los cuales están a 4 km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de linea. ¿Cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mı́nimo de cable? 4 Se tiene un espejo de forma circular de 100 cm de diámetro. Si se desea cortar para obtener un espejo rectangular de la mayor área posible, determine las dimensiones de este espejo y su área máxima. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 3 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 1 La demanda de cierto producto está dada por la relación p = 4−0, 0002x, donde x es el número de unidades producidas semanalmente y p, en soles, es el precio de cada unidad. El costo total de producción de x unidades es 600 + 3x soles. Si la utilidad semanal debe ser mayor posible, encontrar el número de unidades que se deberı́a producir cada semana y el precio por unidad, para que la utilidad semanal sea máxima. 2 Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 18 cm cada uno. Determine la longitud de la base, de tal manera que el área del triángulo sea máxima. 3 Dos poblados A y B están a 2 km y 3 km, respectivamente de los puntos más cercanos C y D sobre una linea de transmisión, los cuales están a 4 km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de linea. ¿Cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mı́nimo de cable? 4 Se tiene un espejo de forma circular de 100 cm de diámetro. Si se desea cortar para obtener un espejo rectangular de la mayor área posible, determine las dimensiones de este espejo y su área máxima. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 3 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 1 La demanda de cierto producto está dada por la relación p = 4−0, 0002x, donde x es el número de unidades producidas semanalmente y p, en soles, es el precio de cada unidad. El costo total de producción de x unidades es 600 + 3x soles. Si la utilidad semanal debe ser mayor posible, encontrar el número de unidades que se deberı́a producir cada semana y el precio por unidad, para que la utilidad semanal sea máxima. 2 Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 18 cm cada uno. Determine la longitud de la base, de tal manera que el área del triángulo sea máxima. 3 Dos poblados A y B están a 2 km y 3 km, respectivamente de los puntos más cercanos C y D sobre una linea de transmisión, los cuales están a 4 km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de linea. ¿Cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mı́nimo de cable? 4 Se tiene un espejo de forma circular de 100 cm de diámetro. Si se desea cortar para obtener un espejo rectangular de la mayor área posible, determine las dimensiones de este espejo y su área máxima. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 3 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 1 La demanda de cierto producto está dada por la relación p = 4−0, 0002x, donde x es el número de unidades producidas semanalmente y p, en soles, es el precio de cada unidad. El costo total de producción de x unidades es 600 + 3x soles. Si la utilidad semanal debe ser mayor posible, encontrar el número de unidades que se deberı́a producir cada semana y el precio por unidad, para que la utilidad semanal sea máxima. 2 Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 18 cm cada uno. Determine la longitud de la base, de tal manera que el área del triángulo sea máxima. 3 Dos poblados A y B están a 2 km y 3 km, respectivamente de los puntos más cercanos C y D sobre una linea de transmisión, los cuales están a 4 km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de linea. ¿Cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mı́nimo de cable? 4 Se tiene un espejo de forma circular de 100 cm de diámetro. Si se desea cortar para obtener un espejo rectangular de la mayor área posible, determine las dimensiones de este espejo y su área máxima. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 3 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 5 Se tiene una ventana rectangular, cuya parte superior culmina en un triángulo equilátero. El perı́metro de la ventana es 3 m. Determinar la longitud de la base del rectángulo de modo que la ventana tenga área máxima. 6 Una página rectangular debe tener 96 cm2 de área de texto, los márgenes inferior y superior tienen 3 cm de ancho y los laterales 2 cm. Determinar las dimensiones que debe tener la página rectangular para que la cantidad de papel requerida sea mı́nima. 7 Se cuenta con 48π cm2 de material y se desea fabricar una lata de forma cilı́ndrica sin tapa. Determinar las dimensiones del radio y la altura de dicha lata para que el volumen sea máximo. 8 Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4x, tales que sus distancias al punto S(4, 0) sean mı́nimas. 9 Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio r = 6 cm, y altura h = 9 cm. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 4 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 5 Se tiene una ventana rectangular, cuya parte superior culmina en un triángulo equilátero. El perı́metro de la ventana es 3 m. Determinar la longitud de la base del rectángulo de modo que la ventana tenga área máxima. 6 Una página rectangular debe tener 96 cm2 de área de texto, los márgenes inferior y superior tienen 3 cm de ancho y los laterales 2 cm. Determinar las dimensiones que debe tener la página rectangular para que la cantidad de papel requerida sea mı́nima. 7 Se cuenta con 48π cm2 de material y se desea fabricar una lata de forma cilı́ndrica sin tapa. Determinar las dimensiones del radio y la altura de dicha lata para que el volumen sea máximo. 8 Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4x, tales que sus distancias al punto S(4, 0) sean mı́nimas. 9 Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio r = 6 cm, y altura h = 9 cm. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 4 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 5 Se tiene una ventana rectangular, cuya parte superior culmina en un triángulo equilátero. El perı́metro de la ventana es 3 m. Determinar la longitud de la base del rectángulo de modo que la ventana tenga área máxima. 6 Una página rectangular debe tener 96 cm2 de área de texto, los márgenes inferior y superior tienen 3 cm de ancho y los laterales 2 cm. Determinar las dimensiones que debe tener la página rectangular para que la cantidad de papel requerida sea mı́nima. 7 Se cuenta con 48π cm2 de material y se desea fabricar una lata de forma cilı́ndrica sin tapa. Determinar las dimensiones del radio y la altura de dicha lata para que el volumen sea máximo. 8 Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4x, tales que sus distancias al punto S(4, 0) sean mı́nimas. 9 Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio r = 6 cm, y altura h = 9 cm. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 4 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 5 Se tiene una ventana rectangular, cuya parte superior culmina en un triángulo equilátero. El perı́metro de la ventana es 3 m. Determinar la longitud de la base del rectángulo de modo que la ventana tenga área máxima. 6 Una página rectangular debe tener 96 cm2 de área de texto, los márgenes inferior y superior tienen 3 cm de ancho y los laterales 2 cm. Determinar las dimensiones que debe tener la página rectangular para que la cantidad de papel requerida sea mı́nima. 7 Se cuenta con 48π cm2 de material y se desea fabricar una lata de forma cilı́ndrica sin tapa. Determinar las dimensiones del radio y la altura de dicha lata para que el volumen sea máximo. 8 Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4x, tales que sus distancias al punto S(4, 0) sean mı́nimas. 9 Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio r = 6 cm, y altura h = 9 cm. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 4 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejemplos 5 Se tiene una ventana rectangular, cuya parte superior culmina en un triángulo equilátero. El perı́metro de la ventana es 3 m. Determinar la longitud de la base del rectángulo de modo que la ventana tenga área máxima. 6 Una página rectangular debe tener 96 cm2 de área de texto, los márgenes inferior y superior tienen 3 cm de ancho y los laterales 2 cm. Determinar las dimensiones que debe tener la página rectangular para que la cantidad de papel requerida sea mı́nima. 7 Se cuenta con 48π cm2 de material y se desea fabricar una lata de forma cilı́ndrica sin tapa. Determinar las dimensiones del radio y la altura de dicha lata para que el volumen sea máximo. 8 Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4x, tales que sus distancias al punto S(4, 0) sean mı́nimas. 9 Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio r = 6 cm, y altura h = 9 cm. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 4 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejercicios 1 Una esfera de radio 1 está inscrita en una pirámide regular de base cuadrada. Determinar la longitud del lado de la base de la pirámide de volumen mı́nimo. 2 Determinar las dimensiones del cono circular recto, de volumen mı́nimo, que puede ser circunscrito a una esfera de 50 cm de radio. 3 Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede ser inscrito en un triángulo equilátero de 40 cm de lado, si dos vértices consecutivos están en uno de los lados del triángulo. 4 Se construye un depósito en forma de un cono circular recto de mayor capacidad posible inscrito en una semiesfera, de manera que el vértice se ubica en el centro del cı́rculo de la semiesfera. Si el área del cı́rculo de la semiesfera es 81π m2 , calcule las dimensiones del cono para que su volumen sea el mayor posible. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 5 / 7 Máximos y mı́nimos UNAJMA Ejercicios 5 Durante la temporada navideña, un mayorista vende luces navideñas por cajas. Su q2 utilidad total al vender q cajas está dada por: U (q) = 250 + 40 ln q + 2q − soles. 10 Encuentre el número de cajas que debe vender para máximizar su utilidad total. 6 Durante la temporada navideña, un mayorista de abarrotes vende canastas navideñas. q2 √ El costo total de producir q canastas está dado por: C(q) = 200 − 24 q − 4q + . 12 Encuentre el número de canastas que deben presentarse para minimizar el costo total. Mag. José L. Estrada P. 2023 Cálculo I 6 / 7 UNAJMA Mag. José L. Estrada P.