PARAMETROS DE
MANTENIMIENTO
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
ESQUEMA
OBJETIVO DEL CURSO
ANALISIS PROBABILISTICO
DEL MANTENIMIENTO
PROBABILIDAD
PARAMETROS DE
MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
MANTENIBILIDAD
DISPONIBILIDAD
CURSO PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
OBJETIVOS
HENRY
VILLARROEL
LLEGAR A CARACTERIZAR EL COMPORTAMIENTO DE LOS
EQUIPOS MEDIANTES PARAMETROS MEDIBLES CON EL FIN DE
DIAGNOSTICAR SU CONDICION
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
INGENIERIA DE MANTENIMIENTO
Es la rama de la
ingeniería responsable
de la definición de
,
métodos, análisis de
técnicas a utilizar,
contratos, estudios de
costos y medios para
hacer el mantenimiento
incluyendo la
investigación y
desarrollo
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
INGENIERIA DE MANTENIMIENT
MANTENIMIENTO
O
ESTUDIO DE LA
INGENIERIA DE
MANTENIMIENTO
En base a la condición
Del Equipo y/o Sistema
En base al estudio de la
Estadística
•Tribología
•Vibraciones Mecánicas
•Ensayos No Destructivos
•Confiabilidad
•Mantenibilidad
•Disponibilidad
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
MODELOS MA
MATEMA
TEMATICOS
TICOS
EN INGENIERIA, TRATAMOS DE REPRESENTAR LA REALIDAD A TRAVES DE
MODELOS
MODE
LOS MA
MATEMA
TEMATICO
TICOS.
S.
MODELOS DETERMINISTICOS
DETERMINAN UN UNICO
RESULTADO
RESULT
ADO FINAL
FI NAL
NO HAY INCERTIDUMBRE
RESULTADO ACERCA DEL
“VARIABLE
“VA
RIABLE NO ALEATORIA”
ALEATORIA”
MODELOS PROBABILISTICOS
DETERMINAN UN RANGO
DE “PROBABLES”
RESULTADOS
HAY INCERTIDUMBRE ACERCA DEL
RESULTADO
“VARIABLE
“VA
RIABLE ALEA
ALEATORIA”
TORIA”
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
VARIABLES ALEATORIAS
SON
SO
N VAR
ARIA
IABL
BLES
ES CO
CON
N AL
ALGU
GUN
N GR
GRAD
ADO
O DE IN
INCE
CER
RTI
TIDU
DUMB
MBRE
RE AS
ASOC
OCIA
IADO
DO..
TAM
AMBI
BIEN
EN SO
SON
N CO
CONO
NOCI
CIDA
DAS
S CO
COMO
MO VAR
ARIA
IABL
BLES
ES DI
DIST
STRI
RIBU
BUID
IDAS
AS..
TIEMPOS DE OPERACIÓN
VARIABLES ALEA
ALEATORIAS
TORIAS
CONTINUAS
TASA DE FALLAS
TIEMPOS DE REP
REPARACIÓN
ARACIÓN
VARIABLES DE PROCESOS (PRESION, TEMP. , ETC)
VARIABLES ALEA
ALEATORIAS
TORIAS
DISCRETAS
NUMERO DE ELEMENTOS DEFECTUOSOS
NUMERO DE EQUIPOS EN OPERACIÓN
NUMERO DE BARRILES DE CRUDO
NUMERO DE ESTUDIANTES REPROBADOS
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
EXPERIMENTOS
EN INGENIERIA EN MANTENIMIENTO,
PARA VALIDAR NUESTROS MODELOS
DELL CO
DE
COMP
MPOR
ORT
TAM
AMIE
IENT
NTO
O DE
DELL EQ
EQUI
UIPO
PO Y/O SI
SIST
STEM
EMA
A Y ME
MEDI
DIMO
MOS
S LO
LOS
S RE
RESU
SULLTAD
ADOS
OS..
UN EXPERIMENTO PUEDE ENTENDERSE COMO UNA “MUESTRA DE LA REALIDAD
D
ELSER
CROVMAC
POION
RNTACO
MINTRO
ENROLA
TO LADA
DEDA,
L E, Q
URMUL
IPOULAR
Y/O
ISNTEMO
MADELO
” QLO”.
UE”. PE
PER
RMITE ,A TRAVES DE LA
OBSE
OB
ACIO
CONT
FORM
FO
ARS“U
“UN
MODE
PARA FORMULAR MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS,
PROBABILISTICOS) ES NE
NECE
CESA
SARI
RIO
O HA
HACE
CER
R EXPERIMENTOS
(MODELOS
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
POBLACION
UNIDADES DE INTERES
MUESTRA
PEQUEÑA PARTE REPRESENTATIVA
REPRESENTATIVA DE LA POBLACION
ACCION
DATA DE CONFIABILIDAD
CONFIABILIDAD
ANALISIS ESTADISTICO
ESTADISTICO DE CONFIABLIDAD
INFORMACION
ACERCA DE LA POBLACION
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
HENRY
VILLARROEL
EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO
En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la
empresa Otinsa. Desarrollar un modelo probabilistico para las ffallas
allas del montacargas
Horas antes de fallar
Causa de la falla
11
caucho
19
Carburación
28
15
Sistema hidráulico
Sistema de elevación
5
Sistema de dirección
49
2
Sistema de dirección
Caucho
7
Sistema hidráulico
MANTENIMIENTO
PARAMETROS
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO (Cont.)
X min = 2
Rango = X max− X min = 49 − 2 = 47
X max = 49
K = 1 + 3.33 Log 8 ≅ 4
Intervalos (horas)
I =
Fr
f (t)
- 14
4
0.50
15 - 27
2
0.25
28 - 40
1
0.125
41 - 53
1
0.125
2
47
4
= 11.75 ≅ 12
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
Grafica
Grafi
ca de f(t) montacarg
montacargas
as
) 0.6
(%
v 0.5
ita
.
l
e
r 0.3
ia
c 0.2
n
e
u 0.1
c
re
F 0
0.5
0.25
0.125
O2 - 1 4
15 - 27
28 - 40
0.125
41 - 53
Interv alos de Cla
Clase
se
SE PUEDE ADOPTAR UN MODELO PROBABILISTICO EXPONENCIAL PARA MODELAR EL
COMPOR
COM
PORT
TAMI
AMIENT
ENTO
O DE FALL
ALLA
A DEL MON
MONT
TACA
ACARGA
RGAS.
S.
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELOSDE
PR OBABILISTICOS
PROBABILISTICO
S
DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICAS
VARIABLES ALEA
ALEATORIAS
TORIAS
CONTINUAS
VARIABLES ALEA
ALEATORIAS
TORIAS
DISCRETAS
DISTRIBUCION NORMAL
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
DISTRIBUCION DE WEIBULL
DISTRIBUCION BINOMIAL
DISTRIBUCION HIPERGONOMETRICA
DISTRIBUCION DE POISSON
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Es la distribución que
mejor modela la tasa de
falla constante o vida
Muchos componentes
electrónicos
tales como
circuitos, transistores
muestran un
comportamiento de falla
exponencial
)
%
(
a
itv
la
e
r
a
c
i
n
e
u
c
e
r
F
Intervalos de Clase (tiempo)
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Modelo matemático
f (t ) = λ
e − λt
−
Rt =
)%
(
a
itv
la
e
r
ia
c
e
n
u
e
r
F
F (t ) = 1 − R (t )
∞
MTBF =
∫
∞
− λt dt = 1
e
∫
λ
R (t )dt = λ
0
h (t ) =
f (t )
R(t )
0
=
e − λt
e − λt
λ
=λ
Intervalos de Clase (tiempo)
)
%
(
a
ll
a
F
e
d
a
s
a
T
Intervalos de Clase (tiempo)
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Modelo matemático
R(t ) =
e − λt
haciendo
R(t ) =
e
t = MTBF =
1
λ =
− λ
λ
e − 1 = 0.368
)
(
R
d
a0.368
d
il
i
b
a
fn
i
o
C
MTBF
Intervalos de tiempo
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
R (t ) =
e − λt
)t 0.368
(
R
n
L
ln R (t ) = −λt
y = bx + a
Aplicando regresión
regresión line
lineal,
al, se obtiene la tasa de falla:
b = −λ =
∑
n.
∑ ∑
n.(∑ t ) − (∑ t )
t i . ln R(t ) −
t .
i
2
i
i
ln R(t )
2
MTBF
Intervalos de tiempo
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en la
distribución exponencial:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo
Ordenar la información
ascendente
(de menor a mayor)
de los tiempos de operación en orden
Calcular la probabilidad de falla estadística por:
F (t ) =
i
N +1
20 ≤ N ≤ 50
F (t ) =
i − 0.3
N + 0.4
N ≤ 20
F (t ) =
i
N
N ≥ 50
i= numero de orden de observación
N=numero total de observaciones
Calcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t)
Construir
papel
exponencial
la recta de confiabilidad versus tiempos de operación en
Determinar el MTBF con R(t)=37% aprox. en la grafica
MANTENIMIENTO
PARAMETROS
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
EJEMPLO
En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la
empresa Otinsa. Se desea estimar la probabilidad que no falle a las 30 horas de operación
Horas antes de fallar
Causa de la falla
11
caucho
19
Carburación
28
15
Sistema hidráulico
Sistema de elevación
5
Sistema de dirección
49
2
Sistema de dirección
Caucho
7
Sistema hidráulico
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Cont.)
X min = 2
Rango = X max− X min = 49 − 2 = 47
X max = 49
K = 1 + 3.33 Log 8 ≅ 4
I =
47
4
= 11.75 ≅ 12
Intervalos (horas)
Fr
f (t)
No. De
sobrevivientes
h (t)
2 - 14
15 - 27
4
2
0.50
0.25
8
4
0.50
0.50
28 - 40
1
0.125
2
0.50
41 - 53
1
0.125
1
1.00
MANTENIMIENTO
PARAMETROS
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Grafica de h(t) del
de l Montacargas
Grafica de f(t) montacargas
) 0.6
%
(
a 0.5
itv
0.4
la
e
r
ia 0.3
c 0.2
n
e
u 0.1
c
e
r
F 0
0.6
)
0.5
%
(
a
ll 0.4
a
f 0.3
e
0.5
0.25
0. 1 2 5
0.125
d 0.2
a
s
a
T 0.1
0
2 .0 - 14 .0
O2 - 14
15 - 27
2 8 - 40
Intervalos de Cla
Clase
se
4 1 - 53
1 5.0 - 2 7 .0
Intervalos de Clase
2 8.0 - 4 0 .0
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
1.
Ord
rden
enar
ar en fo
form
rmaa aasc
scen
ende
dent
ntee
2.
Calculo de
3.
Calculo de R(t)=1-F(t)
F (t ) =
i − 0.3
N + 0.4
Ordinal (i)
Tiempo
F(t)
R(t)
R(t) en %
1
2
0. 0833
0.0833
8.33
2
5
0. 2023
0.2023
20.23
3
7
0. 3214
0.3214
32.14
4
11
0. 4404
0.4404
44.04
5
15
0. 5595
0.5595
55.95
6
7
19
28
0. 6785
0. 7976
0.6785
0.7976
67.85
79.76
8
49
0. 9166
0.9166
91.66
R(t)=36.8%
MTBF=18 horas
MANTENIMIENTO
PARAMETROS
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Utilizando el método grafico, se obtiene el siguiente cuadro:
1
1
TBF = 18 = 0.055
−0.055(30)
R(30) = e
= e−1.65
λ=
= 0.1920 ≅ 19%
PARAMETROS
MANTENIMIENTO
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Utilizando el método analítico de la regresión lineal, se obtiene el siguiente
cuadro:
Ordinal (i)
Tiempo
R(t)
LnR(t)
1
2
0. 9167
-0.1165
2
5
0. 7977
-0.2484
3
7
0. 6786
-0.4004
4
11
0. 5596
-0.5798
5
15
0. 4405
-0.8209
6
7
19
28
0. 3215
0. 2024
-1.1086
-1.5141
8
49
0. 0834
-2.2072
MANTENIMIENTO
PARAMETROS
MODELODE
PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
Aplicando el método analítico,
analítico, se realiza un resumen estadístico:
estadístico:
n=8
8
8
8
.
i
−λ =
i =1
.
i
i =1
t 2 = 3970
i
∑
∑ t LnR(t ) = −194.5880
−λ =
i
i =1
i =1
i
i =1
2
(8
(8)(
)(−194.
194.58
5880
80)) − (13
136)
6)(( −6.
6.99
9963
63))
(8
(8)(3
)(3978
978)) − (136
136))
8
i
8
.
i
8 2 8
n. ∑ ti − ∑ ti
i=1 i =1
8
i =1
i
−
MTBF =
1
λ
=
1
0.04508
2
= 22.11
horas
− λt
∑ LnR(t ) = −6.9963
8
i
i =1
R(t ) = e
−0.04508(30)
= 0.2586 ≅ 26%
R(t = 30) = e
= −0.04508
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMAL
En mantenimiento
esta distribución
describe el periodo
equipos
También
puede ser
utilizada para
modelar los tiempos
de
reparación de los
equipos
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
HENRY
VILLARROEL
DE GAUSS O NORMAL
La tasa de falla
aumenta aumenta
sostenidamente
del equipo sufren un
proceso de deterioro
físico
Se define como una
variable aleatoria
f (t ) =
1
σ 2π
1
2
t − µx
σ
∞
R (t ) = 1 −
∫ f (t )dt
TBF =
0
f (t )
continua
x que es
normalmente
distribuida con media
y varianza σ 2
e
.
−
h(t ) =
x
φ (Z )
R (t ) = σ .R (t )
x
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
HENRY
VILLARROEL
DE GAUSS O NORMAL
Distribucion normal
estándar
x
σ
Dado
com lque
etamenyte la
ladeterminan
distribución normal,
entonces en la distribución
normal existen familias de
distribuciones normales, una
de mas cuales la mas
importante es la distribución
normal estándar( x = 0, σ =1 )
La distribución normal se
puede estandarizar con:
t − µx
σ
Z =
1
1
f(xi)
f( x )
0.5
0
0
8
9
8
xi
10
11
x
Variable Aleatoria
− z 2
f (t ,0,1) =
1
σ . 2π
2
e
.
z2
2 dt
−
z
F ( z) =
∫
−∞
1
σ . 2π
e
.
R( z ) = 1 − F ( z )
12
12
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
Ejemplo de aplicación de la distribucion normal
En tabla adjunta que se muestra a continuación se muestran los tiempos de
reparación (datos agrupados) de las tareas de mantenimiento de la planta
eléctrica P-01. La Gerencia de mantenimient
mantenimientoo ddesea
esea estimar para planificación de
la próxima tarea de mantenimien
mantenimiento
to la probabilidad de reparar la planta eléctrica
Intervalos de Clase
(horas)
Acciones de
mantenimiento
f (t )
1.1 - 2
5
0.06
2.1 - 4
4.1 - 6
10
16
0.18
0.37
6.1 - 8
22
0.64
8.1 - 10
14
0.81
10.1 . 12
10
0.93
12.1 - 14
5
0.06
14.1 - 16
1
0.01
= 6.6 = MTTR
TTR
horas
σ = 3.14 horas
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
Histograma de Frecuencia Tiempos de Reparacion Planta Electrica
25
e
s
a
l 20
C
e 15
d
ia
c
n 10
e
u
c 5
re
F
0
1. 1 - 2
2.1 - 4
4.1 - 6
6. 1 - 8
8. 1 - 10
10. 1 - 12
Intervalos de Clase (horas)
12.1 - 14
14. 1 - 16
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMAL
Resolución del Problema
M (4 ≤ T ≤ 10)
M (Z 1 ≤ T ≤ Z 2 ) = ?
− .
Z1 = (
Estandarizando los tiempos:
Z2 = (
σ
)=(
t− x
Z 2 = 1.08
3.14
) = −0.83
10 − 6.61
) = 1.08
3.14
−∞
M ( −0.83 ≤ T ≤ 1.08) =
M ( −0.83 ≤ T ≤ 1.08) =
M (4 ≤ T ≤ 10) =
4 − 6.61
)=(
σ
.
=
Z 1 = −0.83
t − µx )
−∞
Z 2 = 1.08
(1.08)
φ
0.8599
0.6560 (65.66%)
-
HENRY
VILLARROEL
Z 1 = −0.83
φ (−0.83)
0.2033
HENRY
VILLARROEL
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
Es la distribución de vida mas
ampliamente utilizada en los
análisis para describir la tasa de
falla
de los equipos, por su
versatilidad.
Matemáticamente se define:
βt
f (t ) = α α
h(t ) =
β
αβ
β −1
β
− (t / α )
e
.
tβ −1
R(t ) = e− (t / α )β
β=Pendiente o parámetro de forma
α = Parámetro de escala (edad característica de falla)
h(t)
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
Características:
β<1 tasa de falla
decreciente (Mortalidad
infantil)
β =1 tasa de falla
constante (vida útil)
βcreciente
> 1 tasa(desgaste)
de falla
MTBF = α .Γ(1 +
Γ(1 +
1
β
)
1
β
)
= Función Gamma
Casos particular
particulares:
es:
β =1
TBF = α
β = 0.5
TBF = 2.
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
R (t ) = e− (t / α )β
F(t)
PAPEL WEIBULL
WEIB ULL
Haciendo:
β =1
t=
R (t = α ) =
e−1 =
0.6322
0 . 3678
F (t = α ) = 1 − R(t = α ) = 0.6322
t=
Intervalos de tiempo
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
β
−
t
=
α
β=
β
1
Ln Ln R (t ) = β .Lnt − β .Lnα
1
1
) − ∑ Lnti .∑ Ln Ln
)
R(t ) 2
R(t ) = b
2
n.∑ Lnti .Ln( Ln
R (t ) = e− (t / α )
n.
Lnt − (
Lnti )
∑ Lnt .∑ Ln( Ln R1(t ) ) − ∑ Lnt .Ln( Ln R1(t ) )
=a
− β .Lnα =
n.∑ Lnt − (∑ Lnt )
2
i
2
2
i
y = b.x + a
a
Aplicando Regresión
Regresión Lineal a la ecuación
Lnα = − β
α=
e
a
−β
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
Procedimiento para la predicción edad característica de falla y
modo de falla en la distribución Weibull:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo
Tiempo
Ordenar
la información
los tiempos de operación en orden
ascendente
(de menor ademayor)
Calcular la probabilidad de falla estadística por:
F (t ) =
i
N +1
20 ≤ N ≤ 50
F (t ) =
i − 0.3
N + 0.4
N ≤ 20
F (t ) =
i
N
N ≥ 50
= numero de orden de observación
N=numero total de observaciones
Construir la recta de confiabilidad versus
v ersus tiempos de operación
i
Determinar
en
la graficala edad característica de falla( α ) con F(t)=62.22% aprox.
Determinar β
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea la probabilidad de que no ffalle
alle a
las 200 horas de operación, el tiempo promedio entre fallas (MTBF) de un motor diesel.
Para este propósito disponen de los tiempos de operación en horas del equipo hasta fallar:
6,23,163,282,215,46,503,92,12,46,20
Intervalos de
clase (horas)
Histograma de Frecuencia Motor Diesel
Frecuencia de
clase
10
0 – 100
100 – 200
9
1
200 – 300
2
300 – 400
2
400 – 500
0
500 - 600
1
e
s
la
C
e
d
ia
c
n
e
u
c
re
F
8
6
4
2
0
0 - 100
100 - 200
200 - 300
300 - 400
Intervalos de Clase (horas)
400 - 500
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO
F (t ) =
i − 0 .3
Ordinal
Tiempo
F(t)
F(t) en %
N + 0 .4
1
2
0.0523
5.23
2
6
0.1269
12.69
.
.
4
16
0.2761
27.61
5
20
0.3507
30.07
6
23
0.4254
42.54
7
46
0.500
50.00
8
46
0.5746
57.46
9
92
0.6492
64.92
10
163
0.7239
72.39
11
215
0.7985
79.85
12
282
0.8731
87.31
13
503
0.9478
94.78
Graficar la recta
rec ta de confiabilidad
co nfiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel
pape l Weibull
Weibull
HENRY
VILLARROEL
HENRY
VILLARROEL
62.22 %
α = 85 horas
PARAMETROS
DE
MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
Resultados por el método grafico:
β = 0.6
α = 85
(Mortalidad infantil)
horas
(1 + 1 / β )
MTBF = α .Γ (1
85)(
)(Γ(2.6
(2.66)
6)))
MTBF = (85
85)(
)(1.49
1.496)
6) = 127.16
127.16
MTBF = (85
200
85
horas
0.6
−
R (200) = e
= 0.1880 ≅ 19%
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO ANALITICO DE LA REGRESIÓN LINEAL
Ordinal
Tiempo
F(t)
R(t)
Lnt
Ln(Ln(1/R(t)))
1
2
0.0523
0.9477
0.6931
-2.9240
2
6
0.1269
0.8731
1.7917
-1.9972
3
12
0.2015
0.7931
2.4849
-1.4915
4
16
0.2761
0.7985
2.7725
-1.1297
5
20
0.3507
0.6493
2.9357
-0.8396
6
23
0.4254
0.5746
3.1354
-0.5944
7
8
46
46
0.5000
0.5746
0.5000
0.4254
3.8286
3.8286
-0.3665
-0.1569
9
92
0.6492
0.3509
4.5217
0.0461
10
163
0.7239
0.2761
5.0937
0.2523
11
215
0.7985
0.2061
5.3706
0.4570
12
13
282
503
0.8731
0.9478
0.1269
0.0522
5.6419
6.2205
0.7248
1.0827
Realizamos el resumen estadístico necesario para la aplicación de la regresión lineal
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
HENRY
VILLARROEL
DE WEIBULL
Resumen estadístico :
n = 13
13
∑ Lnt = 48.371
∑ ( Lnt ) = 211.37
i
i =1
13
2
i
i =1
13
∑ Ln( Ln(1 / R(t ))) = −7.123
i
i =1
13
∑ Lnt .Ln( Ln(1 / R(t ))) = −7.241
i
i
i =1
β=
13
∑
n.
Lnti .Ln( Ln(1 / R(ti ))) −
i =1
13
∑
i =1
13
L nt
Ln
∑
n.
i
i =1
i
i =1
− ∑ Lnti
i =1
13
2
13
∑ Ln( Ln(1 / R(t )))
Lnti .
2
=
(13)(
13)(−7.2
7.241
41)) − (48.3
(48.371
71)(
)(−7.1
7.123
23))
(13
13)(211.37)
)(211.37) − (48.371
(48.371))
2
= 0.631
PARAMETROS
DE MANTENIMIENTO
MODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
13
13
13
13
∑ ( Lnt ) .∑ Ln( Ln(1 / R(t ))) − ∑ Lnt .Ln( Ln(1 / R(t ))).∑ Lnt
2
i
− β .Lnα =
i =1
i
i =1
i
i
i =1
13
2
i
i =1
13
2
Lnti − i =1 Lntí
(211.37
(211
.37)(
)(−7.12
7.123
3) − (−7.241
7.241)(4
)(48.
8.37
371
1)
− β .Lnα =
= −2.831
2
(13)(211.37)
13)(211.37) − (48.371
(48.371))
n.
∑
i =1
∑
Lnα = −2.831 = −2.831 = 4.486
−β
−0.631
α = e4.486
= 88.76 horas
MTBF = α .Γ (1 + 1/ β ) = (88.76).Γ(2
(2..361) = (88.76)(1.463) = 129.85 horas
R (t = 200) = e
t
α
−
β
0.631
=e
200
88.76
−
= 0.1883 ≅ 19%
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
INGENIERIA DE MANTENIMIENT
MANTENIMIENTO
O
Estudio de l a Ingeniería
de Mantenimiento
Estudio del comportamiento del
En modelos Probabilísticos
Análisis de Falla basado en
La Estadística
Análisis de Falla Técnico
Confiabilidad
••Mantenibilidad
•Disponibilidad
• Diagrama Causa Efecto
•Diagrama de Pareto
•AMEF
•Tasade
deCriticidad
Falla
•Análisis
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Introducción
Todo equipo cumple una
determinada
función que
nuestras necesidades
y satisfaga
expectativas, pero inevitablemente
antes o después hemos sufrido las
consecuencias
negativas de sus fallas que pueden
traer consecuencias económicas y
de seguridad, tomemos 3 ejemplo:
Bombillo
Pastillas de freno de un vehiculo
Motor de un Avión
Avión
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Surge la necesidad de estudiar en
profundidad los mecanismos a través
de los cuales se produce una falla para
así evitar su aparición o minimizar los
,
,
esto
es
to impl
implic
ica:
a:
Determinar
la s
exigencias
de
seguridad
Realizar tareas de mantenimiento
periódico.
En resumen se puede concluir que:
No siempre es fácil determinar el
momento en que el sistema falla.
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
No todas las fallas son igualmente
predecibles o evitables.
No todas las fallas producen las
mismas consecuencias
No todas las fallas tienen las
mismas repercusiones sobre la
seguridad
de fallas
los usuarios.
No todas las
tienen su
origen en las mismas causas
(Hardware, software, usuarios,
mantenedores).
La
confiabilidad
tratade
sobre
estudio
de las fallas
los el
equipos y sistemas.
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Confia
Con
fiabil
bilida
idad.
d. Concep
Concepto
to
Es la ciencia que se encarga de la
predicción, estimación u optimización de las
supervivencias de los
si
sist
stem
emas
as (E
(Els
lsay
ayed
ed,, 20
2000
00))
componentes
o
“Habilidad de un activo en ejercer una
función en una condición establecida y por un
peri
pe
riod
odoo de tiem
tiempo
po de
defifini
nido
do”.
”. (Nav
(Nava,
a, 19
1996
96))
Pro
Proba
babbililid
idaad de que un equ
quip
ipo,
o, maqu
maquin
inar
aria
ia o
sistema
realicen
sus
funciones
satisfactoriamente
bajo
condiciones
especificas dentro de cierto periodo de
tie
iemp
mpoo, me
meddid
idoo por MT
MTBF
BF”.
”. (M
(Mccke
kennna, 1998
98))
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Medición de la
Confiabilidad
empo prome o en re
fallas (MTBF)
Tasa de Riesgo (h(t))
Confiabilidad en
sistemas No Reparables,
sistemas Reparables
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Sistema No Reparables
Un equipo no reparables es
aquel cuya condición
operativa nodespués
restaurada
puede ser
de una
a a.
Su vida termina con una
“única” falla y debe ser
reemplazado.
Para caracterizarlo
probabilisticamente se
requiere estimar la “tasa de
falla λ(t)”
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Sistema Reparables.
Un equipo reparable es aquel
cuya condición operativa puede
ser
después
falla,restaurada
or la acción
de de una
reparación diferente al
reemplazo total del mismo.
Para caracterizarlo
probabilisticamente se requiere
estimar la “tasa de falla λ (t)” y
la tasa de reparación µ(t).
Además de la confiabilidad se
requiere
calcular
. la
disponibilidad
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
HENRY
VILLARROEL
Tiempo promedio entre falla (MTBF):
Es una medida de la confiabilidad, representa el valor medio
entr
en
tree fa
falllla.
a.
Nean
o dneTbim
e eseTor F
coail
funedido con el tiempo medio a la falla MTTF
M
ea
ainlure
ur
Si t es una variable aleatoria continua, el valor esperado puede
serr dete
se
determ
rmiinado
nado por:
por:
MTBF =
∫
∞
0
t . f (t ) d (t )
R (t ) = 1 − F (t )
R (t ) = 1 −
t
∫
f ( t ) dt
0
dR ( t )
= − f (t )
dt
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Tiempo promedio entre falla (MTBF)
MTBF = −
∫
∞
0
tdR ( t )
dt
dt
∞
=−
.
0
:
Integrando por partes
u * dv = u *v − vdu
∫u = t ∴v = R(t) ∫
Sustituyendo:
∞
∞
−
∫ tdR (t ) = [t * R ( t ) ]
0
Evaluando:
0
R (∞) = 0,
−
∫ R (t ) dt
0
R (0) = 1
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Tiempo promedio entre falla (MTBF)
∞
∫
0
∞
tdR ( t ) =
∫
0
R (t ) dt
∞
MTBF =
∫
R (t ) dt
(Sistema Reparables)
0
∞
MTTF =
∫
0
R (t ) dt
(Sistema No Reparables)
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Tasa de Riesgo (Rate hazard): Es la propiedad de falla
instantánea de un equipo en un tiempo “t”.
“t”.
h (t ) =
lla
F
e
d
a
s
a
T
Mortalidad infantil
Decrecimiento de
la tasa de falla
f ( t ) = failure
R ( t ) = Re liability
Vida útil
Tasa de fa
fallas constante
Periodo de desgate
Incremento de llaa
tasa de falla
Tiempo de Operación (Edad o vida)
h (t ) =
f ( t ) = failure
R ( t ) = Re liability
No. de equipos que fallaron en un tiempo t
No. de equipos que sobreviven en un tiempo t
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
Tasa de Riesgo h (t):
h(t ) =
f (t )
R (t ) = 1 − F (t )
R(t )
f (t )
h(t ) = 1− F (t )
Para el caso de una función de distribución de probabilidad exponencial:
f (t ) =
λ
e −λ
t
t
F (t ) =
f (t ) dt
∫
0
F (t ) =
t
−λ
e
∫ dt
λ
t
HENRY
VILLARROEL
0
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Tasa de Riesgo h (t):
t
e−λt dt
F (t ) =
∫
t
=
λ
λ
0
∫
0
F (t ) = λ
e
−1
λ
e − λ t dt
t
−λt
0
= 1 − e − λt
− λt
R (t ) = 1 − F (t ) ⇒ R (t ) = e
f (t )
λ −λt
h(t )
=
− t
R (t )
MTTF
=
eλ = λ
e
∫
∞
0
R ( t ) dt
−e−λt
∞
=
∫
∞
0
1
e
− λt
MTTF =
=
λ
λ
0
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Tasa de Riesgo h (t) de las distribuciones
De probabilidad mas comunes
Nombre
Exponencial
f (t )
h(t )
e − λt
λ
λ.
Normal
σ 2π
e
−
.
Log-Normal
1
σ .t .
Weibull
e
2π
βt
α α
2
−
β −1
1
2
σ
e
φ t − µx
σ
σ .R(t )
ln t − µx
σ
β
− (t / α )
.
λ
2
t − µx
1
1
parámetros
2
ln t − µx
σ
φ
µx, σ
x, σ
t.σ .R(t )
β
αβ
β −1
t
β ,α
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
ANÁLISIS
ANÁLISI
S DE CONFIABILIDA
CONFIABILIDAD
D PARA SISTEMAS
PREGUNT
PREGU
NTAS
AS CLA
CLAVES
VES
¿CUAL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE
FALLE EL EQUIPO?
¿CUAL ES LA PROBABILIDAD
PROBAB ILIDAD
DE QUE LA FALLA DEL
EQUIPO
EQUIP
O HAGA FALLAR EL
SISTEMA
SIST
EMA Y AFECTE
AFECT E AL
PROCESO?
BASADO EN LA CONDICION
ANALISIS
CONFIABILIDAD
BASADO
ENDE
HISTORIA
DE FALLA
ANALISIS DE CONFIABILIDAD
PARA SISTEMAS
SIST EMAS
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
BLOQUE II
COMPRESION
Confiabili
ilidad del sist
steema:
Permite la estimación de la
probabilidad de falla o confiabilidad
BLOQUE 2 FALLA
probabilidad de cada equipo
componente del sistema.
Se sustenta en diagramas de
bloques
Permite estimar la contribuciones de
cada equipo en la probabilidad de falla
o confiabilidad del sistema.
SIST 3 FALLA
COMP.# 1
COMP.#
FALLA
COMP.# 2
SIST 4 FALLA
OPER.
SWITCH
FALLA
FALLA
FALLA
63
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
CONFIABILIDAD EN SERIE:
Si existe una independencia entre los
equipos:
=
.
.
n
Rs = ∏ ( Ri )
i =1
La confiabilidad
de un
sistemaque
en la
Serie
es mucho mas
pequeña
confiabilidad de las unidades
individuales.
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Ejemplo Confiabilidad en Serie:
Considere un sistema que consiste en 5 componentes, 3 de los cuales tienen una
−6
λ1 = 5 x10
−6
/ horas , λ 2 = 3 x10
−6
/ horas , λ3 = 9 x10
/ horas
tasa
de
falla
constante
los otros dos
restantes componentes tienen un comportamiento de tasa de weibull, con
parámetros. α 4 = 7650 horas , β 4 = 2 . 2 , α 5 = 14523 horas , β 5 = 2 . 1
Determine la confiabilidad del sistema en t =1000horas.
1
−6
λ1 = 5x10
2
/h
3
−6
λ2 = 3x10
/h
−6
λ3 = 9x10
4
/h
−6
λ4 = 7650x10
β4= 2.2
Rs(t ) = e
2
3
βi
− λit − ( t / αi )
i =1
i =1
∑
∑
5
/h
λ4 = 14523x10
β 5= 2.1
−6
/h
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Ejemplo Confiabilidad en Serie (Continuación):
3
(
∑ λ it = λ
i =1
λ
i =1 α i
∑
βi
t
=
Rs (1000 ) = e
Rs 1000
)=
h
2 .2
1000 h
7650
Rs (1000 ) = 96 . 86 %
(
* 1000 h
) = 0.017
14523 h
2 .1
1000 h
+
( − 0 . 017 − 0 . 0149 )
0 . 9686
1
horas
1+ 2 + 3
2
(
)t = (5 x10 − 6 + 3 x10 − 6 + 9 x10 − 6 )
λ
= e
= 0 . 0113 + 0 . 0036
− 0 . 0319
= 0 . 0149
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
CONFIABILIDAD EN PARALELO:
Asumiendo independencia tenemos:
F= FALLA, F+R=1
Fs = F ( A ) .F( B ).F(B)
n
i
Fs = ∏
i =1 (1 − R )
La confiabilidad de un sistema de un sistema
en paralelo, entonces es:
n
Rs = 1 − ∏ (1 − Ri )
i =1
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
EJEMPLO CONFIABILIDAD EN PARALELO:
Considere un sistema en paralelo con 2 componentes que tienen
una tasa de falla constante de λ = 0 .5 x10 − / h , λ = 0 .3 x10 − / h Cuál es
6
1
6
2
la
confiabilidad
del sistema a las 1000 horas?, ¿Cuál es la tasa de
Falla
del sistema?
1
2
Rs ( t ) = 1 − ∏ 1 −
i =1
λ
2
( e−λit )
Rs ( t ) = 1 − 1 −
− λ1t
1−
− λ2t
e− ) ( e
(
Rs ( t ) = 1 − 1−e
(
0.000005(
5(1
1000)
Rs (t ) = 1 − (0
(0..0049)
9)(0
(0..0029)
) (1−)e−0.000003(3(11000) )
Rs (t ) = 0.999 ≅ 99%
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
CONFIABILIDAD DE SISTEMA K DE N:
Existen sistemas que no pueden ser considerados que fallan
completamente hasta que al menos K componentes de N
componentes no hayan fallado, estos sistemas son conocidos con
“
”.
Ejemplo de sistemas K de N:
Avión, Cables, Plantas de generación de potencia.
Asumiendo que todas las unidades tienen idénticas e
independientes las distribuciones de vida y la probabilidad que una
unidad este funcionando
func ionando es P,
P, entonces la probabilidad que
exactamente K unidades estén funcionando de n es:
n
R (k , n, P ) =
∑
r = k
n . P k . (1
k
− P
n−k
)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Ejemplo de sistema K de N:
Considere el sistema de bomba de crudo mostrado en la figura. La confiabilidad de todas las bombas son
iguales y Rp = 0.8. Adicionalmente, las válv
álvulas de blo
bloque
queo y las válvulas check de las bomb
ombas tien
eneen una
confiabilidad de 0.99. Finalmente la confi
nfiabil
bilidad de la válvula
ula de control en la descarga del sistema es de
0las
.s985 ybomb
s vas
álves
ulatén
snden
el bfunc
paiona
snami
s ymien
dent
e etontpar
rardaacum
tiemnplir
enir ucnon
a celonreq
fiauer
bilirdimie
adient
dnto
eo0de
.98la. Eempr
l spres
isesa
tem
la
bolambas
esté
fuyncio
pa
cu
pl
eque
im
em
a a requiere que 2 de
Rp=0.80
RV=0.9
9
RV=0.9
8
1
2
3
4
5
RVc=0.99
RVb=0.99
RVc=0.98
RV=0.9
8
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA:
Rv =0.99
Rp =0.80
Rvc =0.99
Rvb =0.99
Rv =0.99
Rp =0.80
Rvc =0.99
Rvb=0.99
Rvc =0.98
Rv =0.99
Rp =0.80
Rvc =0.99
Rvb =0.99
Rv =0.99
Rp =0.80
Rvc =0.99
Rvb =0.99
Rp =0.80
Rvc=0.99
Rvb =0.99
RV =0.98
Rv =0.98
Rv =0.99
4
Para el
el siste
sistema
ma A: Válvula
Válvula de bloqueobloqueo- bomba – vál
válvula
vula check
check - válv
válvula
ula de bloqueo
bloqueo ∴ Rs =
∏
i =1
Ri ,
Ra =(0.99)(0.80)(0.99)(0.99)
=(0.99)(0.80)(0.99)(0.99) = 0.7762
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA (continuación)
Ra =0.776
Ra =0.776
Rv =0.99
Rvc =0.99
= .
Rv =0.99
Ra =0.776
Ra =0.776
Para un requerimiento del sistema Ra, es un sistema K de n, ya que se requieren que 2 de las 5
bombas estén en funcionamiento
5
Rs ( 2 , 5 , 0 . 776 ) = ∑ (0 . 776 ) (1 − 0 . 776 )
5
2
3
2
5
5
5
2
3
3
2
4
1
Rs ( 2 , 5 , 0 . 776 ) = (0 . 776 ) (1 − 0 . 776 ) + (0 . 776 ) (1 − 0 . 776 ) + (0 . 776 ) (1 − 0 . 776 ) +
4
3
2
5
(0 . 776 )5 (1 − 0 . 776 )0
r=2
5
Rs ( 2 , 5 , 0 . 776 ) = 0 . 989
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Diagrama de Bloque del Sistema ( continuación):
Rvc =0.98
de 5
Rs2 =0.989
RV =0.98
= .
2
0..98 * 1 − 0
0..98 = 0.996 ≅ 99.6%
R
Rvc
vc + by − pass
pass = 1 − ∏ 1 − R (t ) = 1 − 1 − 0
i=1
i
[
]
[
] [
]
Finalmente, la confiabilidad de todo el sistema de bombeo viene dada por:
R s i s t . b o m b e o = R v ( e n t r a d a ) R s i s t .( b o m b a s ) * R v c + b
byy − pass
R
sist .bombeo =
0 .9 8 * 0 .9 8 9 * 0 . 9 9 6 = 0 .9 6 5 ≅ 9 6 . 5 %
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
SISTEMAS COMPLEJOS DE CONAFIABILIDAD
CONAFIABILIDAD
• Existen
Existen sistem
sistemaa que no pueden
pueden ser
ser
modelados o son difíciles de modelar
,
,
,
por ejemplos sistemas de
comunicaciones, redes de computación.
• La confiabi
confiabilid
lidad
ad de estos sistem
sistemas
as
complejos puede ser determinada por
otros métodos, entre otros Método de la
tabla de la verdad de Booleana.
A
D
B
C
E
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Método de la tabla de la verdad Booleana
Boo leana::
Se basa en la condición de los componentes, si funcionan o no.
Una columna es creada en la tabla de cada componente con valores de 0 y 1 para
indicar que un componente esta funcionando o no respectivamente. Cada columna en
la tabla entonces representa un estado del sistema (probabilidad de estado). La
confiabilidad del sistema es la suma de todas las robabilidades de estado donde el
sistema funciona.
Ejemplo:
Calcular la confiabilidad del sistema mostrado utilizando
utilizando el método de la tabla de la verdad Booleana,
Donde R(E) = 0.6, R(A) = 0.7,
0.7 , R(B) = 0.8, R(C) = 0.9 y R(D) = 0.78
E
A
B
C
D
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
HENRY
VILLARROEL
El número de probabilidades de estado (PE) viene dado por la siguiente ecuación:
PE = 2
n
Donde n representa en número de componentes del sistema, para este caso: n=5
5
PE = 2 = 32
El siguiente paso es encontrar las diferentes combinaciones de equipos en estado
operativo (1) o de falla (0) en el sistema fu
funcione
ncione (1), donde se en
encontrará
contrará la
probabilidad
delas
de
estado
que es eldeproductos
de laseldiferentes
probabilidades,
suma
de todas
propiedades
estado donde
sistema esta
funcionandolas
será
la confiabilidad del sistema.
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
A
B
C
D
E
Estado
del
sistema
Probabilidad de estado (PE)
1
0
1
0
0
0
0
= .
.
.
.
. = .
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
R(A)F(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0018
0
0
1
1
1
1
1
F(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.1010
0
1
1
1
0
1
F(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0673
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
Continua…
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
A
B
C
D
E
Estado
del
sistema
Probabilidad de estado (PE)
1
1
1
1
1
1
R(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.2358
1
1
1
1
0
1
R(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.1572
1
1
1
0
1
1
R(A)R(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0665
1
1
1
0
0
1
R(A)R(B)R(C)F(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.4)=0.0443
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
R(A)R(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0262
0
1
1
0
0
1
1
R(A)R(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0073
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
R(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0589
R(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0393
1
0
1
0
1
1
R(A)F(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0166
Continua…
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
A
B
C
D
E
Estado del
sistema
Probabilidad de estado (PE)
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
F(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0252
0
0
1
1
0
1
F(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0168
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
15
Rs =
∑ PEi = 0.8715
i =1
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Mantenibilidad
Probabilidad de un
equipo, maquinaria
sistema
pueda ser o
res aura o a
condiciones normales
de operación
un
periodo dedentro
tiempode
dado cuando su
mantenimiento ha sido
realizado de acuerdo a
procedimientos
establecidos
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Tiempo fuera de servicio
Tiempo activo de mantenimiento
Mantenimiento Correctivo
Tiempo en demoras logísticas
Tiempo en demoras administrativas
Mantenimiento Preventivo
Tiempo de
Reparación
Tiempo de
Inspección
Tiempo de
Servicio
Tiempo de
Checkout
Reparación del
elemento en sitio
Reparación del
Mantenimiento
Localización y
aislamiento de
falla
Desensamblaje
del equipo
Reemplazo del
elemento
repuesto fallado con
Reensamble
del equipo
Ajuste,
calibración o
alineación,, etc.
alineación
Verificación de
condiciones
(Checkout
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Medición de la
Mantenibilidad
Medición promedio
(Tiempo
basada endetiempo
,
Medición basada en carga de
trabajo (Horas hombres de
mantenimiento,
Horas de
hombres por acciones
mantenimiento)
Medición basada en costos
de las tareas (Costo
promedio de la tarea, costo
anual)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Medición de la mantenibilidad basada en tiempo
La función mantenibilidad es una distribución de la variable
aleatoria del Tiempo medio a reparar
rep arar MTTR (Mean Time To
To Repair),
que representa el tiempo de ejecución de una tarea de
,
t
M ( t ) = P ( MTTR ≤ t ) = ∫ m ( t ) dt
0
m(t)= La función de densidad
de la variable aleatoria MTTR
En este curso trabajaremos con dos tipos de distribuciones
que mejor simulan la mantenibilidad:
La distri
dis
tribuci
bución
ón W
deeibull
Gauss
Gaus
Normal
-- La
distr
distribuc
ibución
ión
Weibu
ll s o Normal
- La distribuci
distribución
ón de Gumbel Tipo I
- La Expon
Exponenc
encial
ial
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Distribución Normal:
Normal:
Tienen aplicación en tiempos de
reparaciones de los equipos mecánicos y
electromecánicos.
continua x que esta normalmente
distribuida con la media
y varianza
χ
f (t ) =
1
σ
t−µ
− *
σ
2
1
2π
*
e
χ
2
2
σ
∞
M (t ) =
∫
f ( t ) dt
MTTR = µ χ
HENRY
VILLARROEL
0
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
EJEM
EJ
EMPL
PLO
O DE APLIC
PLICA
ACIÓN
CIÓN
En la tabla 1 se muestran los tiempos en minutos de las actividades de mantenimiento
co
corr
rrec
ectitivo
vo de un mo
mont
ntac
acar
arga
gas.
s. Se de
dese
seaa dete
determ
rmin
inar
ar las
las si
sigu
guie
ient
ntes
es inte
interr
rrog
ogan
ante
tes:
s:
a)¿Cuál será la probabilid
idaad de presentarse una falla
lla de hacer la tarea de mantenimien
iento
correctivo entre 52 y 72 min
inuutos?
b)¿Cuál es el tiempo por debajo del cual se comportaran el 85% de las tareas de
mantenimi
mant
enimiento
ento corre
correctivo
ctivo??
Tabla 1
51
71
75
67
86
58
52
64
41
74
48
55
43
72
30
39
64
45
63
37
70
37
48
71
69
83
57
83
46
72
33
59
97
66
93
76
68
50
65
63
75
63
51
69
75
64
54
53
59
92
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
HENRY
VILLARROEL
Ejemplo de aplicación (Continuación)
Frecuencia de Mantenimeinto Correctivo del Montacargas
Intervalos
clases de
-
Frecuencia
Clase de
.
40 – 49. 5
6
50 – 59. 5
11
60 - 69.5
12
70 - 79.5
10
80 - 89.5
3
90 - 99.5
3
14
e 12
s
a
l
C10
e
d 8
a
i
n
c 6
e
u 4
c
e
r 2
F
0
30 - 3
39
9.5 40 - 49.
49.5 50 - 59.
59.5
5 60 - 69
69.5 70 - 79.
79.5
5 80 - 89.
89.5
5 90 - 99
99.5
Intervalos de Clase
Clase en Minutos
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Ejemplo de aplicación (Continuación)
a.
σ =
n χ
3096
= 61 . 92 min
µ χ = MTTR = ∑ i =
50
i =1 n
∑ ( xi − µ x ) 2 =
12138
n − 1
49
= 15 . 74 min
Z1 =
(52 − 61 .92)
15 .74
= −0.63
φ (Z1 ) = 0.2643(tabla)
Z2 =
(72 − 61.92)
15.74
φ (Z2 ) = 0.7389(tabla)
M ( Z1∠X∠Z 2 ) = φ ( Z 2 ) − φ ( Z1 )
= 0.7384 − 0.2643
M (52∠X∠72) = 0.4741 ≡ ( 47.41%)
Z1
Z2
= 0.64
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Ejemplo de aplicación (Continuación)
b.
0.85 = M (t = ?) ⇒ 0.85 = φ ( z )
Por tabla A3
φ ( z = ?) = 0.8508 ⇒ Z = 1.04
tmc − µx
⇒ tmc = Z.σ + µx ⇒ tmc = 78.26min
σ
Z =
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Función acumulativa de Gumbel I
Distribución de probabilidad de
Gumbel I
− a (t − u )
e
P( t ) = e
−
La distribución de Gumbel I es
utilizada en mantenimiento ara
predecir la mantenibilidad de los
equipos, ya que los tiempos de
u=
Media o edad característica para reparar
a=
Inverso de la pendiente de la recta de
mantenibilidad
reparación
los equipos
obedecen
a la ley delde
efecto
proporcionado.
t = Tiempo estimado para el próximo trabajo
a, u = Coeficientes de la distribución Gumbel I
La Ley del efecto proporcionado
expresa que en si el cambio de una
m
a=
variable
cualquier
paso
del del
proceso en
es una
porción
al azar
valor previo de la variable.
Parámetro de posición
u=
promedio de reparación del equipo
TTR = Tiempo promedio
Parámetro de dispersión
MTTR = u +
0.5778
a
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Los tiempos de reparación de un
equipo están compuestos por:
Enfriamiento
Ubicación de las fallas
eparac n e a a a
Puesta en funcionamiento.
El
reparación
será del
la suma
de tiempo
los dosde
tiempos
parciales
proceso
Modela:
Situaciones
corta
duraciónde pocas paradas de
Se presta para cálculos analíticos
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
HENRY
VILLARROEL
Los parámetros a y u son los mas importantes en esta distribución.
Para la estimación de estos parámetros existen 2 métodos de
resolución: Método Gráfico y el Método Analítico.
Método Analítico
P (t ) =
e
−e
LnP ( t ) = − e −
−
a ( t−u )
Aplicando logaritmos a la ecuación
a (t−u )
Ln [ − LnP ( t )] = − a ( t − u )
Ln[− LnP(t )] = +au − at
Ecuación linealizada
y = b + ax
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Aplicando regresión lineal
− a = n.
∑
ti .Ln[− LnP (t )] 2− ti .
−
*
∑ ∑ Ln[− LnP(t )]
2
2
a.u =
ti .
∑ ∑
Ln[ − LnP (t )] − ti .Ln[− Ln * P(t )].
2
2
n.( ti ) − ( ti )
∑ ∑∑
Se determinan las constantes a , u
∑
ti
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Método Gráfico:
Ordenar los datos, (tiempos fuera de servicio) en orden ascendiente
Numerar los valores observados de 1 en adelante
Calcular la probabilidad de ocurrencia
Pf =
i
n
i = numero de orden de la observación
n = numero total de observaciones
Utilizar el papel probabilístico de Gumbel I para valores extremos
Ajustar la curva
Determinar los valores de a y u gráficamente
−e
− a ( t −u )
Para determinar u, se hace que t = u
en la ecuación: P(t ) = e
−1
P (t = u ) = e = 0.37
Se obtiene la edad característica
caracterís tica de reparar, u
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Método Grafico (continuación)
Para obtener a , se calcula la pendiente de la recta
t ( x ) − t0
VR( x ) − VR0
Pendiente de la recta de mantenibilidad
(donde VR = Variable reducida)
a = 1
m
MTTR = u +
0.5778
a
HENRY
VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
EJEMPLO DE APLICACIÓN
La empresa Otinsa esta programando un mantenimiento preventivo a una bomba centrifuga
P-04 utilizada para el bombeo de agua de alimentación de la planta. La gerencia de
mantenimiento, desea estimar el tiempo promedio de reparación de la bomba en la próxima
parada. Los tiempos de reparaciones anteriores (en horas) se enumeran a continuación :
85, 118, 68, 78, 71, 106, 92, 74, 138
ORDINAL(i)
TIEMPO (en
horas)
Pf (t )
1
2
68
71
0.10
0.20
10
20
3
74
0.30
30
4
78
0.40
40
5
85
0.50
50
6
92
0.60
60
7
106
0.70
70
8
118
0.80
80
Pf ( t )
(%)
9
138
0.90
90
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Método Grafico
Ajustando los datos en el papel Gumbel
Pf = (37%) → t0 = u = 78horas
=
=
VR2 = 0 → t 0 = 78horas
m=
a=
t1 − t0
VR1 − VR0
1
m
=
1
=
106 − 78
1− 0
=
28
1
= 28
= 0.0357
28
MTTR = u +
0.5778
= 78 +
0.5778
= 94.18horas
HENRY
VILLARROEL
a
0.0357
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Método analítico
(
ORDINAL(i)
TIEMPO “t
“t”
en horas
Pf ( t )
1
68
0.10
0.8340
2
71
0.20
0.4758
3
74
0.30
0.1856
4
78
0.40
-0.87421
5
85
0.50
-0.3665
6
92
0.60
-0.6717
7
106
0.70
-1.0309
8
118
0.80
-1.4999
9
138
0.90
-2.2503
Ln − LnP ( t )
f
)
n = 9
i
=
∑ Ln [ − LnP
f
( t )] = − 4 . 4113
t i 2 = 81118
∑
∑ t .Ln [ − LnP
i
f
( t )] = − 592 , 54
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Método analítico (continuación)
−a =
∑t .Ln[−LnP (t )] − ∑t .∑ Ln(−LnP (t ))
n.( t ) − ( t )
∑
∑
n.
i
f
i
i
−a =
−
.
−
2
f
i
2
* − .
9 * (81118) − (830)
2
− a = −0.04056 ⇒ a = 0.04056
∑ t .∑ Ln (− LnP (t )) − ∑ t .Ln (− LnP (t )).∑ t
a.u =
n.( ∑ t ) − ( ∑ t )
2
i
f
i
f
2
2
i
a.u =
i
(81118 )( −4.4113 ) − ( −592 .34 )(830 )
9 * (81118 ) − (830 )
a.u = 3.2507 ⇒ u =
3.2507
a
2
⇒ u = 80 .14 horas
i
HENRY
VILLARROEL
MTTR =
u + 0.5778
= 94.38horas
a
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
MANTENIBILIDAD
Distribución Exponencial
− t
f ( t ) = µ .e
M (t ) = 1 − e − µ t
MTTR
=
HENRY
VILLARROEL
= tasa de reparación
Probabilidad
quetiempo
el equipo
reparado en un
t sea
1
µ
CARACTERISTICAS
Modela mecanismos de reparación de:
Equipos
Equipos relativa
relat
ivamen
mente
te sencillo
senci
llossfrecuentes
-- Equipos
que requieren
ajustes
frecuentes de muy
muy poca
duración
Es muy útil para cálculos analíticos
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
f(x)
DISTRIBUCION LOG-NORMAL
b
1 Lnx− x 2
)
− (
2
e
1
f (t) = ∫
σ
dx
a σ 2π
n
1
f (t) = ∫
Lna 2πσ
1 −
−
2
e
σ
dy = φ(
CARACTERISTICAS
Lnb− x
σ
) − φ(
Lna− x
)
σ
x
0 2 4 6 8 10 12
Aplica en los mismos casos que la distribucion de Gumbel
No se presta para cálculos analíticos
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
DISPONIBILIDAD
DISPONIBILIDAD
La disponibilidad, del termino en
availability
ingles la
puede
como
probabilidad
de ser
quedefinida
un equipo
este operando o este disponible para
su uso, durante un periodo de tiempo
determinado.
Es una función que permite estimar
en forma global el porcentaje de
tiempo total que se puede esperar
espe rar,,
que
un equipo
estepara
disponible
para
cumplir
la función
la cual fue
HENRY
VILLARROEL
diseñado.
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
MANTENIBILIDAD
Tiempo de
operación
Tiempo de
operación
Tiempo de
operación
MTBF
Tiempo de
reparación
CONFIABILIDAD
Tiempo de
reparación
MTTR
DISPONIBILIDAD
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Ti
Di
Ti+1
Sea:
Ti = tiempo de duración del i periodo de funcionamiento (V. Aleatoria)
Di = tiempo de duración del i periodo de reparación o reemplazo (V. Aleatoria)
(t) = función densidad de probabilidad de repara
reparación
ción o reemplazo del equipo (g1, g2, g3)
W(t) = función densidad de probabilidad de falla del equipo (w1, w2, w3)
A(t) = función de convulación entre la función w(t) , g(t)
L { A ( t )} = L { w ( t )}. L { g ( t )}
donde
A(s) =
1 − W (s)
s .[ 1 − W ( s ). g ( s )]
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
A(s ) =
1 − w(s)
s * [1 − w ( s ) * g ( s )]
−1
A ( t ) = L { A ( s )}
A(t) = Es definida como la probabilidad de que el componente este
,
disponibilidad instantánea en un tiempo aleatorio t.
EJEMPLO
Calcular la disponibilidad de un equipo en el cual la función densidad de
probabilidad de falla w(t) y la función densidad de probabilidad de reparación
g(t) son de carácter exponencial (tasa de falla y reparación constante).
w (t ) =
λ
e
− λt
donde λ = tasa de falla
g (t ) =
− µt
µ
donde
= tasa de reparación
e
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
A( s ) =
s + λ − λ
1 − w( s )
S * [1 − w( s ) * g (t )]
A(s) =
s[
w( s ) = L{w(t )}
(s + λ )
( s + λ )( s + µ ) − λµ
(
s
g ( s ) = L{g (t )}
w s = {λe } = λ . {e }
−
w( s ) = (
λ
−
λ
s
s
+
)
]
µ
)
2
s[
s + s µ x + λ s + λµ − λµ
( s + λ )( s + µ )
s+λ
s
µ
)
g ( s) = (
s+µ
A(s) =
1− (
s[1 − (
)(
(s +
A(s) =
)
A( s ) =
+
λ
λ
s+λ
).(
s[
)
µ
(s + λ )
s ( s + ( λ + µ ))
]
( s + λ )( s + µ )
s ( s + λ )( s +
A( s ) =
)]
)
s [ s ( s + ( λ + µ )]( s + λ )
]
s+λ
s+µ
(s + µ )
A( S ) =
s [ s + ( λ + µ )]
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
4.-
A(s) =
(s +
5.-
)
s [ s + ( λ + µ )]
Aplicando fracciones parciales
A=
(λ + µ )
∴ B = 1− A
µ
B =1−
(λ + µ )
=
s[ s + (λ + µ )]
+
s
s + (λ + µ )
(s + µ )
=
s[ s + (λ + µ )]
=
A[ s + ( λ + µ ) + sB
s[ s + (λ + µ )]
( s + µ ) = sA + A(λ + µ ) + sB
1= A+ B
(λ + µ )
(λ + µ )
s[ s + ( λ + µ )
(s + µ )
λ
=
+
(λ + µ )
s + (λ + µ )
s
µ
λ
(λ + µ )
−1 ( λ + µ )
−1
}+ L {
}
A(t ) = L {
s
s + (λ + µ )
A(t ) =
µ
(λ + µ )
+
λ
(λ + µ )
e −( λ + µ )t
µ = A(λ + µ )
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
DISPONIBILIDAD
A (t ) =
µ
λ
+
(λ + µ )
(λ + µ )
HENRY
VILLARROEL
e −(λ + µ )t
A(t)
t → ∞
A (t ) =
µ
MTBF
(λ + µ )
MTBF+MTTR
µ
A(t → ∞) = MTBF + MTTR = (λ + µ )
MTBF
t
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
DISPONIBILIDAD
HENRY
VILLARROEL
Disponibilidad Inherente o de estado estable
MTBF
A=
MTBF+ MTTR
Incluye solamente
solamente el mantenimiento
mantenimiento correctivo del sistema (el tiempo de reparar o
reemplazar componentes fallados) y excluye las paradas de mantenimiento
preventivo, tiempos logísticos tiempos de espera o administrativos.
Disponibilidad Alcansada
Aa =
MTBM
__
MTBM + M
Esta incluye las paradas de mantenimiento preventivo que impliquen la__
disponibilidad del sistema (tanto correctivas y algunas preventivas) y M es el
tiempo de parada (tanto de acciones correctivas como de preventivas).
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
DISPONIBILIDAD
HENRY
VILLARROEL
Disponibilidad operativa:
A0 =
MTBM
__
∴ RLM
=
Retrazo logístico
MTBM + M + RLM
Incluye los rasgos logísticos por falta de repuestos, personal, equipos de apoyo.
Es la medida de disponibilidad mas apropiada para medir la disponibilidad ya que incluye
la mayoría de los elementos presentes del sistema.
Importancia de la Disponibilidad:
Disponibilidad:
A través
través del estudio de los factores que influyen sobre la disponibilidad, MTBF
MTBF y MTTR es
posible gerenciar y evaluar distintas alternativas de acción para lograr aumentos necesarios
de disponibilidad:
Aumentar el MTBF
Reducción del MTTR
Aumentar el MTBF y reducir el MTTR simultáneamente
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
DISPONIBILIDAD
HENRY
VILLARROEL
Ejemplo de aplicación de Disponibilidad.
La empresa BASERCA esta interesada en un estudio de disponibilidad de una
planta de compresión de gas durante los 161 días correspondiente al primer
semest
sem
estre
re del
del año.
año. En la tabla
tabla ad
ad unta
unta se muestra
muestrann los re istros
istros de
de horas
horas de
operación y de reparación durante este semestre.
La gerencia de Mantenimiento esta interesada en conocer:
El MTTR
El MTBF
La disponibilidad inherente
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Corrida
Fecha de inicio
Horas de Operación
Horas de Reparación
1
E ner o 26
14
34
2
E ner o 28
82
7
3
F ebr er o 2
95
18
4
F ebr er o 7
27
1
5
F ebr er o 9
6
8
6
F ebr er o 1 3
10 3
17
7
F ebr er o 1 8
53
10
8
F ebr er o 2 1
10 7
32
9
F ebr er o 2 7
13 4
34
10
Marzo 5
40
60
11
Marzo 10
18 5
13
12
Marzo 19
25 0
12
13
Marzo 30
12 0
25
14
Abril 10
28 0
2
15
16
Abril 22
Mayo 8
32 0
57 8
47
3
17
J uni o 2
45 0
28
18
J uni o 22
37 5
23
19
Julio 9
12 0
5
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Número
Horas de Operación
1
6
2
14
3
27
Se agrupan
los datos
con el fin demás
obtener la
función
densidad
de probabilidad
conveniente:
4
5
40
53
6
82
n = 19
7
95
Números de intervalos aproximados
8
103
Ordenando los tiempos de operación en orden
ascendente, se obtiene la tabla 1.
3.33Log19 = 5.25 ≈ 5
K = 1 + 3.
Rango de datos
R = X max − X min
R=578-6=572 horas
Tamaño de los int
intervalos
ervalos de clase:
I =
R
K
9
107
10
120
11
134
12
185
13
230
14
250
15
280
16
320
17
375
I=
572
5
114.
4.4
4 ≅ 11
114
4
= 11
18
450
19
578
Tabla 1
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Tabla de datos agrupados
Histograma de fallas de Operación
Intervalos
Frecuencia
6 – 120
10
12
1211 – 23
2355
3
236 –350
35
3511 – 46
4655
3
2
46
4666 – 58
5800
1
a
l
l
a
F
e
d
a
i
c
n
e
u
c
e
r
F
12
10
6
4
2
0
6 - 12
120
121 - 22335 236 - 33550 351 - 44665 466 - 55880
Intervalos de Clase (Horas)
Del grafico anterior se puede suponer un comportamiento de distribución de probabilidad de ffalla
alla exponencial
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Ordinal (i)
Utilizando el método de la regresión lineal
para determinar el MTBF,
MTBF, se determina la
probabilidad de falla, utilizando la siguiente
expresión:
F (t ) =
i − 0.3
R(t ) = 1 − F (t )
N + 0 .4
∑ t . ln R(t ) − ∑ t .∑ ln R(t )
n.(∑ t ) − (∑ t )
n.
i
i
2
2
i
i
Realizando un resumen estadístico se
obtiene:
19
∑t
i =1
19
i
= 3449
F (t )
R (t )
Ln ( t i )
t
2
i
t .Ln(t)
i
1
6
0.036
0.964
-0.0366
36
-0.2116
2
14
0.087
0.913
-0.0910
196
-1.2740
3
27
0.139
0.861
-0.1496
729
-4.0392
4
40
0.190
0.810
-0.2107
1600
-8.4280
5
53
0.242
0.758
-0.2770
2809
-14.6810
6
82
0.293
0.707
-0.3467
6724
-28.4294
.
Por regresión lineal se obtiene la tasa de
falla λ
−λ =
Tiempo (t)
.
- .
- .
8
103
0.396
0.604
-0.5041
10609
-51.9223
9
107
0.448
0.552
-0.5942
11449
-63.5794
10
120
0.500
0.500
-0.6931
14400
-83.1720
11
134
0.551
0.449
-0.8007
17956
-107.2938
12
185
0.603
0.397
-0.9238
34225
-170.9030
13
230
0.650
0.346
-1.0613
52900
-244.0990
14
250
0.706
0.294
-1.2241
62500
-306.0250
15
280
0.757
0.243
-1.4146
78400
-396.0880
16
17
320
375
0.809
0.860
0.191
0.140
-1.6554
-1.9661
102400
140625
-529.7280
-737.2875
18
450
0.912
0.088
-2.4304
202500
-1093.6800
∑ LnR (t ) = −18.6393
19
i
i =1
19
∑t
2
i
578
0.963
0.037
-3.2968
334084
-1905.5504
= 1083167
1
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
19
∑t
i
.LnR (t ) = −5786.5941
1
Sustituyendo para obtener la tasa de falla
−λ =
. −
−
.
. −
(19).(1083167 ) − (3449) 2
− λ = −5.2574x10 −3
MTBF =
1
λ
MTBF
=
1
5.2574 *10
≅
−3
190 horas
.
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Aplicando el método de Gumbel I para
los tiempos de reparación para obtener
MTTR
ti.Ln( − Ln( P (t )) −
n.
−a =
∑
ti.
ti )
∑ ti ) −∑(∑ ∑
n.(
2
Ln( − Ln( P (t ))
2
Ordinal
(i)
Tiempo
(t)
P f (t )
Ln(− Ln( Pf ))
t 2i
1
1
0.05
1.0971
1
1.0971
2
2
0.10
0.8340
4
1.6680
3
3
0.15
0.6403
9
1.9209
4
5
5
7
0.20
0.25
0.4758
0.3266
25
49
2.3790
2.2862
.
∑ ti .∑ Ln(− Ln( P(t )) − ∑ ti.Ln(− LnP(t )).∑ ti
n.(∑ ti ) − (∑ ti )
2
a.u =
2
2
Realizando un resumen estadístico de regresión
lineal para determinar las constantes
n = 19
19
∑
i =1
ti = 378
.
t i .Ln ( − Ln ( Pf ))
.
7
10
0.35
0.0486
100
0.4848
8
12
0.40
-0.0874
144
-1.0488
9
13
0.45
-0.2250
169
-2.9250
10
17
0.50
-0.3665
289
-6.2305
11
18
0.55
-0.5144
324
-9.2592
12
23
0.60
-0.6717
529
-15.4491
13
25
0.65
-0.8421
625
-21.0525
14
28
0.70
-1.0309
784
-28.8652
15
16
32
33
0.75
0.80
-1.2458
-1.4999
1024
1089
-39.8656
-49.4967
17
34
0.85
-1.8169
1156
-61.7746
19
∑
Ln(− LnP(ti )) = −9.913
18
47
0.90
-2.2503
2209
-105.7641
19
60
0.95
-2.9701
3600
-178.2060
i =1
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
DISPONIBILIDAD
19
∑t
2
i
= 12194
i =1
19
Ln(− LnP(t )) = 508.615
∑ t .Ln
i
i
i =1
.
−a =
(19).( −508.615) − (378).( −9.913)
(19)(12194) − (378) 2
− a = −0.0666
a.u =
(12194 ).( −9.913) − ( −508.615)(378)
2
(19).(12194) − (378)
0.8037
0.8037
HENRY
VILLARROEL
u=
a
=
0.0666
horas
= 12.06
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
MTTR = u +
0.5778
a
= 12.06 +
TTR ≅ 21
0.5778
0.0666
horas
MTBF
A=
TBF +
A=
TTR
190
190 + 21
= 0.90 = 90%
= 20.73
horas
PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
¿Alguna pregunta?
![TEST S1,2 [S13,14,20,21]](http://s2.studylib.es/store/data/009095855_1-ab8d082e3f20a9daa67595b147b05f96-300x300.png)
