Álgebra Lineal

Modalidad Presencial
ALGEBRA LINEAL
Edición: 1 Año: 2017
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
1
Misión de UTEPSA:
“Lograr que cada estudiante desarrolle una
experiencia académica de calidad, excelencia, con
valores, responsabilidad social, innovación,
competitividad, y habilidades emprendedoras
durante su formación integral para satisfacer las
demandas de un mercado globalizado.”
Esto se sintetiza en:
“Educar para emprender y servir”
Visión de UTEPSA:
“Ser una universidad referente y reconocida por
su calidad académica, investigación y compromiso
con la comunidad, en la formación de
profesionales íntegros, emprendedores e
innovadores, según parámetros y normativas
nacionales e internacionales”.”
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¿Qué es la Guía MAAP?
Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros
contenidos, orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo
aprovechamiento.
Esta herramienta, otorga independencia en el aprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras
actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar
diferentes competencias.
I.
Recordatorios y Recomendaciones
A su servicio
Aunque las normas generales están claramente
establecidas, si a usted se le presenta una situación
particular o si tiene algún problema en el aula, o en
otra instancia de la Universidad, el Gabinete
Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para
ayudarlo.
Comportamiento en clases
Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna
circunstancia comen o beben dentro
el aula y tampoco organizan festejos
u otro tipo de agasajos en estos espacios,
para este fin está el Patio de Comidas.
Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los
espacios identificados para fumadores.
Asistencia y puntualidad
Su asistencia es importante en TODAS las clases.
Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el
Reglamento de la Universidad se contemplan tres
faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del
Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted
sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA
ASIGNATURA.
Se considera “asistencia” estar al inicio, durante y
al final de la clase. Si llega más de 10 minutos
tarde o si se retira de la clase antes de que esta
termine, no se considera que haya asistido a
clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y
la puntualidad los días de evaluación.
También se debe evitar la desconcentración o
interrupciones molestas por el uso indebido de
equipos electrónicos como teléfonos y tablets.
Cualquier falta de respeto a los compañeros, al
docente, al personal de apoyo o al personal
administrativo, será sancionada de acuerdo al
Reglamento de la Universidad.
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II.
Orientaciones para el aprendizaje
La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con
algunos símbolos.
La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:
Símbolo
Actividad
Preguntas
Prácticos y/o
Laboratorios
Descripción
A través de cuestionarios, se repasan las
bases teóricas generales para una mejor
comprensión de los temas.
Los prácticos permiten una experiencia
activa; a través, de la puesta en práctica de
lo aprendido las cuales, según la carrera,
pueden desarrollarse en laboratorios.
Casos de Estudio
y ABP
Son planteamientos de situaciones reales,
en los que se aplica los conocimientos
adquiridos de manera analítica y
propositiva.
Investigación
Las actividades de investigación, generan
nuevos conocimientos y aportes a lo
aprendido.
Innovación y/o
Emprendimiento
A través de esta actividad, se agrega una
novedad a lo aprendido, con el fin de
desarrollar habilidades emprendedoras.
Aplicación
Al final de cada unidad y después de
haber concluido con todas las actividades,
se debe indicar, cómo los nuevos
conocimientos se pueden aplicar y utilizar
a la vida profesional y a las actividades
cotidianas.
Ética
Responsabilidad
Serán actividades transversales que
Social
pueden ser definidas en cualquiera de las
Formación
anteriores actividades.
Internacional
Idioma Ingles
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III. Datos Generales
ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL
SIGLA: BMS-302
PRERREQUISITO: BMS-300 INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS
APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL:
El Algebra Lineal es una herramienta que será utilizada en muchas áreas de la Matemática
Aplicada, su aprendizaje y utilización en los programas de Ingeniería es fundamental, pues gracias
a ellas es posible modelar en forma dinámica una enorme variedad de procesos en áreas tales
como la Física, la Química, la Geometría y otras de la Ingeniería. Proporciona al estudiante un
conocimiento que le permite expresar en forma simple y compacta las interrelaciones entre un
gran número de variables.
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA:
Resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando los diversos métodos de solución,
efectuar operaciones con matrices y aplicar estos conocimientos en los espacios
vectoriales, las transformaciones lineales y matriciales; manejando apropiadamente el
lenguaje natural, simbólico y gráfico en el contexto de problemas de álgebra lineal.
ESTRUCTURA TEMÁTICA
Unidad 1
Tema: Notación Matricial
Contenido:
1.1. Conceptos Básicos
1.2. Tipos de Matrices
1.3. Operaciones con Matrices
Unidad 2
Tema: Determinantes
Contenido:
2.1. La función Determinante
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2.2. Evaluación de los determinantes
2.3. Propiedades de la función Determinante
2.4. Matriz Inversa
Unidad 3
Tema: Sistema de Ecuaciones Lineales
Contenido:
3.1. Sistemas de ecuaciones lineales.
3.2. Solución de SEL compatibles indeterminados
3.3. Representantes matriciales de un SEL
3.4. Métodos de solución
3.5. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
3.6. Aplicación
Unidad 4
Tema: Espacios Vectoriales
Contenido:
4.1. Vectores en R2; R3; Rn
4.2. Operaciones con vectores
4.3. Espacios vectoriales
4.4. Dependencia lineal entre vectores
4.5. Espacio vectorial generado
4.6. Base y dimensión
Unidad 5
Tema: Transformadas Lineales
Contenido:
5.1. Definición
5.2. Funciones de Rn ARm
5.3. Operadores de Reflexión
5.4. Rotación
5.5. Operador rotacional sobre R3.
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BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA


Grossman S. (2011) Álgebra lineal. (6ta Ed.). México: Mc Graw Hill
Poole, D, (2011) Álgebra lineal. Una introducción moderna. (3ra Ed.). México: Cengage
Learning.
COMPLEMENTARIA




Spiegel M. Moyer R (2014) Álgebra Superior, (3era Ed.) México: Mc Graw Hill
Hill. R. (2013) Álgebra Lineal Elemental. (8va Ed.) México. Ed. Prentice-Hall
Valle, S. J. C. D. (2011). Álgebra lineal para estudiantes de Ingeniería y Ciencias.
España: McGraw-Hill España.
Rojo J., (2007). Álgebra lineal. (2da Ed.). Madrid: Mc Graw Hill
Se sugiere visitar las siguientes páginas:
(REDALYC y LATINDEX- revistas iberoamericanas)


http://www.redalyc.org
http://www.latindex.org
(COURSERA y KHAN ACADEMY- Cursos Gratuitos-MOOC)


http://www.coursera.org
http://khanacademy.org
(BIBLIOTECA DEL MINISTERIO DE EDUCACION BOLIVIA- Acceder desde la biblioteca
de la Universidad)
 http://www.utepsa.edu/v2
IV. Sistema de Evaluación
A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:
NÚM.
TIPO DE
EVALUACIÓN
UNIDADES A EVALUAR
PUNTOS SOBRE 100
1
PRUEBA PARCIAL
Unidades 1 a 3
15
2
PRUEBA PARCIAL
Unidades 4 a 5
15
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3
TRABAJOS PRÁCTICOS
(CASOS-EJERCICIOS)
4
EVALUACIÓN FINAL
Todas las actividades de
aprendizaje
20
Todos los temas de forma
integral
50
Comentado [VINC1]: No están definidos los temas de
evaluación para cada parcial
Descripción de las características generales de las evaluaciones:
PRUEBA
PARCIAL 1
PRUEBA
PARCIAL 2
Unidades 1 a 3
TRABAJOS
PRÁCTICOS
Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje que los
estudiantes realizarán durante la materia, ya sea en forma individual o grupal.
Unidades 4 a 5
El trabajo tiene como objetivo la aplicación de todos los contenidos
aprendidos en clases. Se realizará en grupos de alumnos no mayores a 4
estudiantes.
Entrega del Trabajo: El trabajo debe ser avanzado durante el desarrollo de la
materia. Se valorará la estructura, el contenido, la redacción y ortografía. De
los 50 puntos de la casilla Examen Final: 30 corresponden al avance, contenido
y entrega del informe escrito y 20 a la defensa del mismo.
EVALUACIÓN
FINAL
Defensa del trabajo: Los grupos defenderán sus trabajos en las clases 19 y 20
del módulo. Los alumnos podrán decidir el orden de exposición de cada uno
de sus integrantes, pero el docente podrá hacer preguntas de verificación a
cada uno de los miembros del grupo.
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V.
Guía para el Trabajo Final
INSTRUCCIONES
Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final.
El trabajo deberá presentarse impreso con las siguientes características:
 Hoja de papel boom tamaño carta.
 Margen superior de 2.5 cm. Inferior de 2.5 cm. derecho de 3 cm. e izquierdo 2.5 cm.
 Letra Arial 11, Interlineado de 1,5.
OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL:
Aplicar todo lo aprendido en la materia y aplicarlo a un caso real.
ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:
i)
CARÁTULA
 Nombre de la Universidad
 Nombre de la Facultad a la que pertenece
 Nombre de la Carrera
 Nombre de la Materia
 Nombre del Docente
 Nombre de los Integrantes del grupo
 Fecha y año
ii)
CONTENIDO INTERNO
ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN
 Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio.
II. OBJETIVOS
2.1. Objetivo general
 Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo
2.2. Objetivos específicos
 Pasos a seguir para llegar al objetivo general
III. FUNDAMENTOS TEORICOS
 Realizar mínimo 15 conceptos teóricos de las unidades de donde se realiza el trabajo.
IV. TABULACION DE DATOS
4.1. Formulas, Cálculos
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4.2.
Gráficos e interpretaciones
V. CONCLUSIONES
 Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en el trabajo.
VI. Objetivos y Actividades de cada Unidad
Unidad No 1
NOTACIÓN MATRICIAL
Objetivos de Aprendizaje:





Reconocer la importancia de las matrices como elementos de almacenamiento
de datos de cualquier índole. Que se relacionan entre si dando lugar a nuevas
matrices, así como la simplicidad de su ejecución e interpretación.
Reconocer cómo se puede cambiar los elementos de una matriz sentando las
bases de algoritmo matriciales que nos permitan resolver sistemas.
Definir con un nombre especial a estas matrices que servirán más adelante
para determinados algoritmos.
Establecer las bases para el algoritmo del método de Gauss para calcular la
inversa.
Calcular la inversa de una matriz.
Actividades:
Preguntas
1.
2.
Responda con claridad:
a.¿Qué es la matriz? ¿Qué es el orden de una matriz?
b.¿Cuál es la condición para sumar matrices?
c. ¿Cuál es la condición para multiplicar matrices?
d.¿La multiplicación de matrices es conmutativa?
e.¿Qué es una operación elemental? ¿Cuáles son?
Contestar en forma clara y concisa, las siguientes preguntas:
a.
¿Con que reglas se suman las matrices?
b.
¿Pueden ser sumadas dos matrices de dimensiones (mxn) y (pxq)?
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c.
¿Se puede restar una matriz de otra? ¿cómo hacer esto?
d.
¿Qué condiciones deben cumplir las matrices en este caso?
e.
¿Qué dimensiones tiene la matriz resultado de dicha operación?
f.
¿Qué matriz desempeña el papel de unidad en la operación de producto
de matrices?
g.
Enumere y defina cada una de las operaciones elementales.
3.
Revisando conceptos.
a.
¿Qué es una matriz elemental?
b.
¿Cuándo una matriz es equivalente por filas a otra?
c.
¿Qué es una matriz escalonada?
d.
¿Qué es un matriz escalón reducida?
e.
Si una matriz es no singular, entonces ¿Cuál será su escalón reducida
equivalente?
Propiedades de las operaciones con matrices:
Teorema 1: Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las
operaciones indicadas se pueden efectuar, entonces son válidas las siguientes
reglas de aritmética matricial.
1. A + B = B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C
3. A(BC) = (AB)C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
(Ley conmutativa de la adición)
(Ley asociativa de la adición)
(Ley asociativa de la
multiplicación)
(Ley distributiva de la izquierda)
(Ley distributiva de la derecha)
A(B ± C) = AB ± AC
(B ± C) A = BA ± CA
a(B ± C) = aB ± aC
C(a ± b) = aC ± bC
A(bC) = (ab)C
a(BC) = (aB)C =B(aC)
((A)t)t = A
(A ± B)t = At ± Bt
(kA)t = kAt, donde k es cualquier escalar.
(AB)t = Bt At
Nota importante: Antes de aplicar las definiciones de las operaciones con
matrices, realizar la verificación de que operaciones cumplen con las
condiciones para poder realizarse, a este análisis se lo denomina análisis de
forma.
Por ejemplo: Si A(2x3), B(2x2), C(2x3) y D(3x3) hacer el análisis de forma de 2ª’B + DC’
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2 At
B
+
D
Ct
(3 x 2 ) (2 x 2 ) + (3 x 3 ) (3 x 2 )
=
(3 x 2)
(Nro. De columnas = Nro.
De filas)
=
(3 x 2 )
+
(matrices del mismo orden)
(3 x 2)
(matriz resultante
Practica
SUMA Y RESTA DE MATRICES
Ejemplo
1 3
𝐴 = | 2 5|
−1 2
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑎) 𝐴 + 𝐵
a)
b)
c)
d)
e)
−2 0
𝐵 = | 1 4|
−7 5
𝑏) 𝐴 − 𝐶
−1 1
𝐶 = | 4 6|
−7 3
𝑐)2𝐶 − 5𝐴
𝑑) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
−1 3
𝐴 + 𝐵 | 3 9|
−8 7
2 2
𝐴 + 𝐶 | −2 − 1 |
6− 1
−2 2
5 15
2𝐶 = | 8 12|
5𝐴 = | 10 25 |
−14 6
−5 10
−2 4
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = | 7 15|
−15 10
0 0
𝑂. 𝐵. |0 0| 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎
0 0
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𝑒) 0. 𝐵.
−7 − 13
2𝐶 − 5𝐴 = |−2 − 13|
−9 − 4
12
PRODUCTO DE MATRICES
MATRIZ TRANSPUESTA
MATRIZ INVERSA
a)
1 2 3
1)
𝐴 = [2 5 3]
3 7 6
[𝐴 | 𝐼 ]𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓1 (−3)
1 2 3 1 0 0
[2 5 3] 0 1 0
3 7 6 0 0 1
1 2 3 1
↔ [0 1 − 3| 0
0 1−3 0
↔
0 0
1 0]
0 1
1 2 3
1
[2 5 3| 0
0 1 − 3 −3
1
↔
[0
0
0 0
1 0]
0 1
2 3
1 0 0
1 − 3| −2 1 0 ]
0 0 −1 − 1 1
𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
1 0 3
𝐴 = [4− 1 3]
4 1 8
1 0 2 1 0 0
[ 2 − 1 3 | 0 1 0]
↔
4 1 8 0 0 1
𝑃23 1 0 2
1 0 0
↔ [0 1 0| −4 0 1 ]
2−1−3
0 1 0
1
𝐹3 → 𝑓3 + 𝑓1 (−2) 1 0 2
[0 1 0| −4
↔
0 − 1 − 1 −2
b)
1 0 2
1 0 0
[2 − 1 3 | 0 1 0 ]
0 1 1 −4 0 1
0 0
0 1]
1 0
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1 0 0
𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓2 1 0 2
[ 0 1 0 | −4 0 1 ]
↔
0 0 − 1 −6 1 1
1 0 0
𝑓3 → 𝑓3 (−1) 1 0 2
[0 1 0| −4 0 1 ]
↔
0 0 1 6−1−1
𝑓1 → 𝑓1 + 𝑓2 (−2) 1 0 0 −4 2 2
[ 0 1 0 | −4 0 1 ]
0 0 1
6−1−1
−11 2 2
→ 𝐴−1 [ −4 0 1 ]
6−1−1
METODO DE GAUS PARA CALCULAR LA MATRIZ INVERSA
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ESCALONADA DE UNA MATRIZ
Ejercicios
a) Escalar la matriz canónica
1203−1
1 2 0 3−1
1 2 0 3−1
[2 1 3 2 − 1] ~ [ 0 − 3 3 − 4 1 ] ~ [ 0 − 3 3 − 4 1 ]
321−13
0 − 4 1 − 10 6
0 4 − 1 10 − 6
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2 𝑓3 → −3𝑓3
𝑓2 → 𝑓3 + 𝑓2
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2
1 0 −4 −9 9
1 2 0 3−1
1 0−4−9 9
[ 2 ① 2 6 − 5 ]~[ 0 1 2 6 − 5 ]~[ 0 ① 2 6 − 5 ]
0 0 1 14⁄9 − 14⁄9
0 0 − 9 − 14 14
0 4 − 1 10 − 6
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2 𝑓3 → −1/9𝑓3
𝑓1 → 4𝑓3 + 𝑓1
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2
𝑓2 → −2𝑓3 + 𝑓2
① 0 0 − 25⁄9 − 25⁄9
0 ① 0 26⁄9 − 26⁄9
14
14
[ 0 0 ① ⁄9 − ⁄9 ]
b).
11−12
1 1−1 2
1 1−1 2
[2 − 1 3 6] ~ [ 0 − 3 5 2 ] ~ [0 3 − 5 − 2]
31−21
0−21−5
0−21−5
𝑓2 → −2𝑓1 + 𝑓2
𝑓2 → −𝑓2
𝑓2 → 𝑓2 + 𝑓3
𝑓3 → 3𝑓1 + 𝑓2
1 0 3 9 1 0 0 6⁄7
1 1−1 2
1 0 3 9
[0 1 − 4 − 7] ~ [ 0 1 − 4 − 7 ] ~ [ 0 1 − 4 − 7 ] [ 0 1 0 27⁄7 ]
0 0 1 − 19⁄7 0 0 1 14⁄7
0−21−5
0 0 − 7 − 19
𝑓1 → −𝑓2 + 𝑓1 𝑓3 → − 1⁄7 𝑓3 𝑓1 → −3𝑓3 + 𝑓1
𝑓3 → 2𝑓2 + 𝑓3 𝑓2 → 4𝑓3 + 𝑓2
C).
1 2−1 2 1
12−121
12−121
[2 4 1 − 2 3] ~ [ 0 0 3 − 6 1 ] ~ [0 0 1 − 2 1⁄3]
362−65
0 0 5 − 12 2
0 0 5 − 12 2
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15
𝑓2 → −2𝑓1 + 𝑓2 𝑓2 → − 1⁄3 𝑓2
𝑓3 → 3𝑓1 + 𝑓3 𝑓3 → −5𝑓2 + 𝑓3
𝑓1 → 𝑓2 + 𝑓1
1 2 0 0 4⁄3
1 2 0 0 4⁄3
1
0 0 1 − 2 1⁄3 ~ 0 0 1 − 2 1⁄3 ~ [0
0
1
1
[0 0 0 − 2 ⁄3] [0 0 0 − 2 ⁄6]
𝑓3 → − 1⁄2 + 𝑓3 𝑓2
2 0 0 4⁄3
0 1 0 0]
0 0 1 1⁄6
→ −2𝑓3 + 𝑓2
TIPOS DE MATRICES
Ejemplos
1)
𝐴= 1 2 3
[2 4 − 5 ]
3 −5 6
2)
𝐴=
1 −2 6
[ −3
2 9]
2 0 −3
3)
𝐴=
1 1 3
[ 2 5 6]
−2 − 1 − 3
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑘 = 2
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐴3 = 𝐴
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑖𝑙𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝐴 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎)
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
4)
𝐴=
[
1 1 3
5 2 6]
−2 − 1 − 3
5)
𝐴=
6)
𝐴= 1
[0
0
0
𝐴= 3
[1
4
8
7)
2−2−4
[ −1 3 4 ]
1−2−3
0
1
0
0
0
2
5
0
0
0
1
0
0
0
3
3
0
0]
0
1
0
0]
0
1
𝐴 = −1 − 1 − 1
−1 − 1 − 1
1 0
[ 0
2 9] 𝑥 [ 0 1 0 ] = [ 0 1
0 0
1
0 0
1
0 0
0
0]
1
𝑎11 𝑎12
𝑂 𝑎13 𝑂
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴1 = 𝐴
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑧 (𝐴)
8)
𝐴= 1
[0
0
0
0
5
0
0
0
0
8
0
0
0]
0
9
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
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16
j)𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎. −𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑖 𝐴𝑡 = 𝐼
𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧.
𝐿𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 50.
1.𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠): 𝑃𝑖𝑗
2.𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎)𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑎𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘 ≠ 𝑂: 𝐴𝑖𝑗(𝑘)
3.𝐴𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎)𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎: 𝐴 𝑖𝑗(𝑘)
1 2 3
𝐴=[
]
9 6−5
9 6−5
𝑎) 𝑃12 → [
]
1 2 3
1
2
3
𝑏) 𝑀2(−3) → [
]
−27 − 18 15
9 + (−9) = 0
1
2
3
𝑐) 𝐴21(−9) → [
] 6 + (−18) = 17
0 − 12 − 32
5 + (−27) = −32
𝑑) 𝐴12(−1) → [
1 + (−9) = 8
−8 − 4 8
] 2 + (−6) =
9 6−5
8 + (−5) =
MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA
1
5. 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = [
0
2 3
4
]
0 −1 − 7
1
𝑓2 → 𝑓2 + 𝑓1 (−2) 𝐴 = [
0
1
𝑓2 → 𝑓2 (−1)
=[
0
1
𝑓1 → 𝑓1 + 𝑓1 (−3)
=[
0
𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎
2
3 4
]
0 −1 − 7
2 3 4
]
0 1 7
2
3 − 17
] (𝐴. 𝐶)2𝑥1
0
1 7
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17
OTROS EJEMPLOS
Ejemplo 1
𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 A𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝐴3 = [
𝑥
𝐴=[
0
𝐴2𝑥2
𝑥
𝐴. 𝐴 = 𝐴2 = [
0
𝑦
]
𝑧
𝑦 𝑥3 = 8 → 𝑥 = 2
]
𝑧 23 = 27 → 𝑧 = 3
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 2 = −57
]
4𝑦 + 6𝑦 + 9𝑦 = −57
𝑧2
𝑥2
𝐴2 = [
0
𝐴2 . 𝐴 = [
𝑦 𝑥
][
𝑧 0
𝑥2
0
𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 2 𝑥
][
0
𝑧2
𝑦
]
𝑧
19𝑦 = −57
57
𝑦=−
19
𝑥3
𝐴3 =[
0
𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 2
]
𝑧3
8 −57
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐴3 = [
]
0 27
[
𝑥3
0
8 −57
]
0 27
𝑦 = −3
𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 2
]
𝑧0
Ejemplo 2
1. 𝑆𝑖 𝐴 =
1
[ 2
𝑏−𝑥
𝑎−𝑏
3
𝑎−𝑥
−1
𝑏 ] 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐴2
4
𝑆𝑖 𝐴 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 → 𝐴𝑡 = 𝐴
1
𝐴𝑡 = [𝑎 − 𝑏
−1
2 = 𝑎 − 𝑏;
2 𝑏−𝑥
1
3 𝑎 − 𝑥] = [ 2
𝑏
4
𝑏−𝑥
𝑎−𝑏
2
𝑎−𝑥
−1
𝑏]
4
𝑏 − 𝑥 = −1 ; 𝑎 − 𝑥 = 𝑏
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑎=3
𝑏=1
𝑥=2
1 2 −1
1 2
→ 𝐴 = [ 2 3 1 ] → 𝐴𝑧 = 𝐴. 𝐴 = [ 2 3
−1 1 4
−1 1
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−1
1 2 −1
1] . [2 3 1]
4
−1 1 4
18
6
7 −3
𝐴2 = [ 7 14 5 ]
−3 5
7
Ejemplo 3
Escalar la matriz canónica
1203−1
1 2 0 3−1
1 2 0 3−1
[2 1 3 2 − 1] ~ [ 0 − 3 3 − 4 1 ] ~ [ 0 − 3 3 − 4 1 ]
321−13
0 − 4 1 − 10 6
0 4 − 1 10 − 6
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2 𝑓3 → −3𝑓3
𝑓2 → 𝑓3 + 𝑓2
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2
1 0 −4 −9 9
1 2 0 3−1
1 0−4−9 9
[ 2 ① 2 6 − 5 ]~[ 0 1 2 6 − 5 ]~[ 0 ① 2 6 − 5 ]
0 0 1 14⁄9 − 14⁄9
0 0 − 9 − 14 14
0 4 − 1 10 − 6
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2 𝑓3 → −1/9𝑓3
𝑓1 → 4𝑓3 + 𝑓1
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2
𝑓2 → −2𝑓3 + 𝑓2
① 0 0 − 25⁄9 − 25⁄9
0 ① 0 26⁄9 − 26⁄9
14
14
[ 0 0 ① ⁄9 − ⁄9 ]
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19
Problemas ABP
TRABAJO PRACTICO Nº 1
MATRICES
1.
Dadas las matrices:
3 -4 1 2
1
A= 0 -2 -1 0
5
2 3
B=
4 2
C=
0 -1
-1 -2
3 2
2 1 3
-1 1
D = 0 -2 4
4 -6
1 0
Calcular, si es posible:
a) D C b) (2D – A) B
c) A B – C D
d) (Ct + 3A)t
3. Con las matrices del ejemplo anterior y utilizando definiciones, calcular, si es
possible:
a) [Bt At]21
b) [(3C – 4B)t]31
c) [(3B – Dt)t]21
t
t
t
d) [(A + 2B ) ]12 e) [(AB + (DC) ]21
f) [AB + 3D]13
4. Determinar, justificando la respuesta, cuáles de las siguientes matrices son
elementales:
0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
A= -2 0
B = 0 -2 0
C=
-2 1 0
D = 0 -1/3 0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
1
E= 0
3
0
0
1
7
0
0 0
0 0
9 -2
0 1
1
F= 0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 -3
0 0 1
1/2
G= 0
0
0
0
-3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
5.
Del ejemplo anterior, determinar las inversas de las matrices elementales en forma
directa.
6.
1 2 -3
Sea A = 0 1 4
3 1 -6
7.
como la suma de una matriz simétrica y de una matriz
simétrica y de una matriz antisimetrica.
Demostrar que:
a) El producto de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.
b) La suma de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular
superior
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20
8.
Llevar las matrices a la forma escalon reducida:
1 3 -1
4
A= 1 -1 0
3
2 2 -1
1
2
9.
3 -1 4 6
B=
1 -1 2 4
1 3
C=
0 -1 0 1
1 2 -3
6 -1
D = 2 -1 2 -
4 2
3 1 -1
1 0
5 0 1 -
4 -1 3
1 2 3
2 1 0
D= 0 1 3
0 -1 1
0 0 3
Determinar las inversas de las siguientes matrices:
2 -1
2 -1 0 -1
4
A= 4 2
1
B=
3 1 0 4
C=
1 1 1 1
4
2 1 0 -1
2
10. En cada inciso, usar la información dada para encontrar A.
a)
A-1 = 2 -1
1 -2
b) (7 A)-1= -3 7
5
c) (5 At )-1 = -3 -1
2
3 5
0 0 0
d) (I + 2 A)-1= -1 2
4 5
________________________________________________________________________
_________________________
11. Dadas las matrices A = 1 2
B = -1 2 C = 1 -3
encontrar
-3 1
3 1
1 2
la matriz X
de las siguientes matriciales:
a) Ct + 2X = 3B
b) 3AX – 2C = Bt
c) AX + CX = -2B
d) (-2B + C Xt )t = At
12. ¿Qué condición debe establecerse, sobre las matrices A y B?, para que sea válida la
igualdad: (A + B)2 = A2 +2AB + B2.
13. Para A = 1 2
encontrar una matriz B para la igualdad del ejercicio anterior se
-1 3
cumpla.
________________________________________________________________________
_________________________
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UTEPSA – Guía MAAP
21
14. Determinar la inversa de A =
1
0
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-5
y establecer un mecanismo para
encontrar la inversa de una
Matriz diagonal cualquiera.
Investigación

Una empresa cuenta con dos fábricas de autos y produce tres modelos diferentes
A, B y C. Las siguientes tablas indican la producción correspondiente a los meses
de agosto y septiembre del año 1998.
F1
1500
1078
945
A
B
C
F2
1430
1203
847
A
B
C
F1
1640
1142
1000
F2
1215
1097
847
Mes de agosto
a) ¿Investiga a cuánto ascendió la producción de agosto y septiembre juntos?
b) ¿Qué diferencia encuentra entre las producciones de agosto y septiembre?
Interprete el sigo de los elementos obtenidos.
c) Si en septiembre se hubiera producido exactamente lo mismo que en agosto, ¿a
cuánto habría ascendido la producción total?
d) Sabiendo que el precio de venta de un auto modelo A es $ 15.000, de un auto
modelo B es $ 18.000 y de un auto C es $ 22.000, y suponiendo que se vendio toda
la producción, inciso (a), calcule cuánto se ingresó por concepto de venta de la
producción de la fábrica 1 y de la fábrica 2.

La empresa Image Development Company fabrica en su planta de Santa Cruz tres
tipos de televisores de 14, 21 y 25 pulgadas. Los almacenes principales están en
Cochabamba, Sucre, La Paz y Tarija. Las ventas durante 1999 de Cochabamba se
cifraron en 400, 100 y 500 televisores de 14, 21 y 25 pulgadas respectivamente;
las de Sucre es 300, 150 y 400 televisores; las de La Paz en 100, 100 y 200 y la de
Tarija en 200, 150 y 300. Los precios de venta fueron de 250$, 500$ y 800$ para
los televisores de 14, 21 y 25 pulgadas respectivamente.
a) Investigue como expresar los precios de venta mediante una matriz.
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22
b) Investigue como expresar la cantidad de venta por ciudad y tipo de televisor
mediante una matriz.
c) Determine qué ciudad tuvo mayores beneficios por concepto de ventas.
Aplicación de lo aprendido
Unidad No 2
DETERMINANTES
Objetivos de aprendizaje:
 Permite saber si una matriz es invertible o no, permite analizar el tipo de
solución de un sistema.
 Establecer algoritmos que permitan calcular en forma simple el determinante de
una matriz mayor que (3x3).
 Establecer una fórmula para calcular la inversa de una matriz y resolver el valor
de cualquiera de las incógnitas de un sistema adecuado en forma aislada y directa.
Actividades:
Preguntas
Contestar en forma clara y concisa, las siguientes preguntas:
a)
¿Por qué se dice que la función determinante es una función real de
variable matricial?
b)
¿A qué se llama menor y cofactor de un elemento de una matriz
cuadrada?
c)
¿Qué es una permutación?
d)
Enumere y defina cada una de las operaciones elementales
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23
¿Qué es un producto elemental?
e)
Practica
Ejemplo 1
1
Calcular el determinante: |𝐴| = |2
3
5 2
9 6|
4 8
𝑎) 𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑆𝑒𝑟𝑟𝑢𝑠)
𝑏)𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑐) 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑑)𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 + 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
152
|296|
348 = 72 + 16 + 90 − (54 + 24 + 80) = 20
132
290
1 5
|2 9
3 4
2
1
5
6| ~ |0 −1
8
0 −11
2
2|
2
1
~ |0
0
5
2
−1
2 | = (1)(−1)(+10) = 20
0 −20
𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2 𝑓3 → 11𝑓2 + 𝑓3
𝑓3 → 3𝑓1 + 𝑓3
1 5 2
𝑐) |2 9 6| = (1)𝐶11 + (5)𝐶12 + (2)𝐶13 = 1(48) + 5(2) + 2(−19) = 20
3 4 8
9
𝐶11 = (−1)1+1 |
4
6
| = +(72 − 24) = 48
8
2
𝐶12 = (−1)1+2 |
3
6
| = −(16 − 18) = 2
8
2
𝐶13 = (−1)1+3 |
3
9
| = +(8 − 27) = −19
4
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24
𝑑) 𝑂𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜
1
|2
3
5 2
1
9 6| ~ |0
4 8
0
5
2
−1 2|
−11 2
−1 2
~(1)(−1) |
| ~(−2 − (−23) = 20
−4 2
𝑓2 → −2𝑓1 + 𝑓2
𝑓3 → −3𝑓1 + 𝑓3
2131
011−1
1
1
0
1
1
|𝐵| |
| ~ |101 1 | ~ (1)(−1)2+1 [2
0210
021 0
1
0123
012 3
1 −1
0 −1
1 0 ] ~ − [0 −3
2 3
1 2
−4
−6]
3
𝑓1 → −2𝑓2 + 𝑓1
−1
−(1)(−1)3+1 |
−3
−4
| = −[6 − 12] = 6
−6
−2 1 4
|𝐶| = | 3 5 −7| = (−20 + 72 − 7) − (20 + 84 + 6) = 65
1 6 2
0334
4 9 11 0
4
3
2
4
8
11
|𝐴| = |
| ~ | 1420 0 | ~ (−2)(−1)4+4 |11
8 7 21 0
2−29 6
8
2 3 4−2
2 3 4 −2
9
14
7
4
20|
20
𝑓1 → −2𝑓4 + 𝑓1 𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓2 𝑓2 → −𝑓3 + 𝑓3
𝑓2 → −4𝑓4 + 𝑓2 𝑓1 → −𝑓3 + 𝑓1
𝑓3 → −3𝑓4 + 𝑓3
4
9 11
= (−2) | 11 14 20|
−3 −7 1
37 86
~ (−2) | 71 154
−3 −7
0
37 86
| ~ (−2)(−1). [5698 = 6106]
0| ~ (1)(−1)3+3 |
71 154
1
|𝐴| = 816
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25
Ejemplo 2
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
1 5 4
𝐴 = [3 0 1 ]
0 5 2
𝐷𝑒𝑡|𝐴|: 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 (1)𝑖 = 1
∗
∗
∗
𝐷𝑒𝑡|𝐴| = 𝑎11 𝐴11
+ 𝑎12 𝐴12
+. . . . . . . +𝑎13 𝐴13
= 1(−1)1+1 |
0 1
3
| + 5(−1)1+2 |
5 2
0
1
3 0
| + 4(−1)1+3 |
|
2
0 5
= 1(+1)(−5) + 5(−1)(6) + 4(+1)(15) = −5 − 30 + 60 = 25
𝐷𝑒𝑡|𝐴|: 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 2
∗
𝐷𝑒𝑡|𝐴|: = 𝑎12 𝐴12
+ 𝑎22 𝐴∗22 + 𝑎32 𝐴∗32 = 5(−1)3 |
3 1
1
| + 0. 𝐴22 + 5(−1)5 |
0 2
3
4
|
1
= 5(6) − 5(1 − 12) = −30 − 5(−11) = 55 − 30 = 25
Ejemplo 3
2)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴, 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎.
0 1 5
𝐴 = |3 −6 9|
2 6 1
3.1 3(−2) 3(3)
3 −6 9
𝑃12 𝐴 = |0 1 5| = − | 0
1
5 |
2 6 1
2
6
1
1 −2 3
𝐴 = −3 |0 1 5| →
2 6 1
1 −2 3
𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓1 (−2) 𝐴 = −3 |0 1
5|
0 10 −5
1 −2 3
𝐴 = (5)(−3) |0 1
𝑑𝑒𝑡|𝐴| = −15(1.1(−11))
5|
0 2 −1
1 −2
3
𝑑𝑒𝑡|𝐴| = 165
𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓2 (−2) 𝐴 = −15 |0 1
5 |
0 0 −11
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26
Ejemplo 4
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎: det|𝐴|
𝑎)
𝑏)
𝑐)
𝑑)
1 0 00
−9
𝐴 = [ −100] 𝑑𝑒𝑡|𝐴| = −16
12 7 80
4 5 72
1 2 3
𝐴 = [3 7 6] 𝑑𝑒𝑡|𝐴| = 0, 𝑃𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝑦 3 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠
1 2 3
3 −1 2
𝐴 = [6 −2 4] 𝑑𝑒𝑡|𝐴| = 0, 𝑃𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝑦 2 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
1 7 3
3 −1 4 −5
𝐴 = [ 6 −2 5 2 ] 𝑑𝑒𝑡|𝐴| = 0, 𝑃𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1 𝑦 4 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
5 8 1 4
−9 3 −12 15
𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
−12 1 2
−11 1 2
02 5 3
1
2
4
1
1
1
4
1
|−2 |
| = 2 |11 4 1|
𝐴=|
2 0−13
2 0−13
20−13
3 2−10
3 1−10
31−10
11 4 1
11 4 1
𝐴
𝑃
= (2) |02 5 3| 34 |02 5 3|
𝑃12
20−13 = 2 31−10
31−10
20−13
11 4 1
11 4 1
0
2
5
3
| 𝑓 → 𝑓4 + 𝑓1 (−2) = 2 |0 2 5 3 |
𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓1 (−3) = 2 |
0−2−13−3 4
0−2−13−3
2 0 −1 3
2−2 −9 1
11 4 1
11 4 1
𝑓4 → 𝑓4 + 𝑓2 = 2 |0 2 5 3 | 𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓2 = 2 |02 5 3|
0−2−13−3
00−80
0 0 −4 4
00−44
114 1
= (−8)(2)(−4) |025 3 |
001 0
001−1
114 1
𝑓4 → 𝑓4 + 𝑓3 (−1) = 64 |025 3 |
001 0
000−1
𝑑𝑒𝑡|𝐴| = 64(−2) = −128
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27
Ejemplo 5
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 , 𝑎𝑑𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐴
3 2 −1
𝐴 = |1 6 3 |
2 4 0
6
∗
𝐶11 = 𝐴11
= (−1)1+1 |
4
∗
1+2 1
𝐶12 = 𝐴12 = (−1)
|
2
∗
1+3 1
𝐶13 = 𝐴13 = (−1)
|
2
∗
2+2 2
𝐶21 = 𝐴21 = (−1)
|
4
∗
2+2 3
𝐶22 = 𝐴22 = (−1)
|
2
∗
2+3 3
𝐶23 = 𝐴23 = (−1)
|
2
∗
3+1 2
𝐶31 = 𝐴31 = (−1)
|
6
∗
3+2 3
𝐶32 = 𝐴32 = (−1)
|
1
3
𝐶33 = 𝐴∗33 = (−1)3+3 |
1
3
| = −12
0
3
| = −(−6) = 6
0
6
| = +(4 − 12) = −8
4
−1
| = −(−4) = 4
0
−1
| = +(2) = 2
0
2
| = −(12 − 4) = −8
4
−1
| = +(6 + 6) = 12
3
−1
| = −(9 + 1) = −10
3
2
| = +(18 − 2) = 16
6
−12
6
−8
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 = | −4
2
−8|
12 −10 16
−12 −4 12
𝑑𝑒𝑡|𝐴| = | 6
2 −10|
−8 −8 16
3 2 −1
𝐴 = |1 6 3 |
2 4 0
3 2 −1
3 2 −1
𝐴 = 2 |1 6 3 |
2 |1 6
3|
1 2 0
0 −4 −3
1
6
3
1 6
3
𝐴 = −2 |3 2 −1| = −2 |0 −16 −10 |
0 −4 −1/2
0 −4 −3
1
𝑑𝑒𝑡|𝐴| = −2(1. (−16) (− ) = −16
2
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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28
𝐴−1 =
𝐴−1
𝐴−1
𝑎𝑑𝑗 𝐴
det|𝐴|
−12
| 6
= −8
3
4
| 3
= −
| 8
1
2
−12
−4 12
−16
2 −10|
|
−8 16 = 6
−16
|−16
−8
−16
1
3
−
4
4
1 5 |
−
8 8 |
1
−1
2
−4
−16
2
−16
−8
−16
12
−16
−10|
−16|
16
−16
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29
Problemas ABP
TRABAJO PRACTICO N° 3
ALGEBRA LOINEAL – ALGEBRA LINEAL Y MATRICIAL
DETERMINANTES
1. Encontrar el número de inversiones de cada una de las siguientes permutaciones del conjunto
{1, 2, 3, 4, 5}
a) (3, 5, 4, 1, 2)
b) (1, 4, 2, 5, 3)
c) (2, 1, 5, 4, 3) d) (1, 2, 3, 4, 5)
2. Clasificar cada una de las permutaciones del ejercicio 1, como par o impar.
3. Calcular el determinante de las siguientes matrices:
a) A=[
1 4
𝐾−1
2
2
] b) B =[
] c) C =[
3 2
3
𝐾−2
−4
1
3 2
−4
] d) D =[−5 −2 5]
8
3
4 7
1 −2
3 4
2 −5
3 4
9
3 −1 −2 6
4 −1
5 6
] g) H =[
]
𝑘 + 1] f) G= [
2
1
5 0
3
1
2 2
3
−3 2
4 2
8
3
5 1
4. Aplicando el método de cofactores (método de la place) a lo largo de la segunda fila,
calcular el determinante de las matrices G y H del ejercicio anterior.
𝑘
e) F=[2
1
−3
4
𝑘2
5. Aplicando el método de cofactores (método de la place) a lo largo de la tercera columna,
calcular el determinante de las matrices G y H del ejercicio anterior.
6. Hallar los valores de K para los cuales det (A) = 0:
𝑘−3
a) A = [
1
−2
]
𝑘+2
𝑘−6
b) A = [ 0
0
0
𝑘
0
0
−1 ]
𝑘−4
7. llevando a la forma triangular por medio de operaciones de fila, demostrar que:
𝑎
|𝑎2
1
𝑏
𝑏2
1
𝑐
𝑐 2 | = (𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏)
1
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30
8. calcular por cofactores los determinantes de las siguientes matrices:
4
5 −2
𝑘−1
2
3
a) A =[ 3 −2 3 ]
b) B = [ 2
𝑘−3
4 ]
−6 5
1
3
4
𝑘−4
9. En el anterior ejercicio, en el inciso:
a.- Si det (A) ≠ 0, hallar la matriz inversa por el método de la adjunta.
b.- Hallar el valor de k, para que la matriz B sea invertible.
10. Para matrices 2x2, demostrar en forma general que:
det (A + B) ≠ det (A) + det (B)
11. Resolver por la Regla Cramer:
2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = 4
2𝑥1 + 8𝑥2 + 6𝑥3 = 5
a) {4𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 3
b) {4𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 7
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −4
−2𝑥1 + 2𝑥2 = 5
𝑎 𝑏 𝑐
12. si el determinante de 2A es igual a 5 donde A =|𝑑 𝑒 𝑓|. Calcular el
𝑔 ℎ 𝑖
Determinante de B donde:
−𝑎 −𝑏 −𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
a)B=[𝑔 ℎ 𝑖 ] 𝑏)𝐵 = [ 2𝑑 2𝑒 2𝑓 ] c)B= [𝑑 − 3𝑎 𝑒 − 3𝑏 𝑓 − 3𝑐 ]
−𝑔 −ℎ −𝑖
2𝑔
2ℎ
2𝑖
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑎
2𝑏
2𝑐
𝑎
+
𝑑
𝑏
+
𝑒
𝑐
+
𝑓
𝑒 𝑑 𝑓
𝑒
𝑓 ] f) B= [−3𝑑 −3𝑒 −3𝑓 ]
d) B=[ℎ 𝑔 𝑖 ] e) B= [ 𝑑
𝑔
𝑔
ℎ
𝑖
⁄2 ℎ⁄2 𝑖⁄2
𝑏 𝑎 𝑐
13. a) demostrar que si una matriz es ortogonal (A- 1 = A1), entonces su determinante es
igual ± 1.
1
b) demostrar que det (A- 1) = det(𝐴)
14. Si los elementos de la tercera fila de una matriz de (5x5) son 1, - 1, 1, 3, -2, y sus
menores respectivos son – 1, 2, 4, - 1, y 6. Calcular:
1
2
a) det ( 𝐴) b) det (2 𝐴𝐴𝑡 )
c) det (𝐴−1 𝐴𝑡 )
d) det ( 𝐴−1 )
2
3
15. sea A una matriz de (4x4), se det (2AA-1) = 8, determinar el valor de det (- 4AAt).
2 −4 1 − 5
8 −2 3 −7
]y los elementos de su de su tercera
16. si la matriz de cofactores de A es [
0 −8 3 −5
6 −4 3 −2
fila son 2, -4, 5 y -8. Calcular la inversa A.
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31
Investigación
1. ¿Investiga qué limitaciones tiene a su juicio la regla de cramer en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales?
2. Sean A y B dos matrices de orden 6. Se sabe que la matriz B se obtiene a partir de la matriz
A por la aplicación de las siguientes operaciones elementales:
Investiga:
a) Si se adiciona la tercera fila la primera multiplicada por 3.
b) Si Se permutan la cuarta y quinta filas.
c) Si Se multiplica la tercera fila por – 3 y la sexta por – ½.
d) Sabiendo que det (A) = 5, calcule razonadamente el determinante de B.
e) Si el det (B) valiese – ¼ y no conociésemos el det (A), calcularlo a partir de los datos del
problema.
Aplicación de lo aprendido
Unidad No 3
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Objetivos de aprendizaje:




Analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales de cualquier índole.
Construir sistemas a partir de los datos de un problema.
Resolver sistemas de ut ecuaciones utilizando diferentes métodos, reconociendo el tipo de
soluciones obtenido.
Resolver problemas prácticos mediante sistemas de ecuaciones lineales.
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32
Actividades:
Preguntas

Revisando conceptos:
a)
Defina una ecuación lineal
b)
Defina un sistema de ecuaciones lineales
c)
¿Qué es una solución de la ecuación lineal a 1x1 + a2x2 +…….+ anxn = b?
d)
Defina que es un sistema homogéneo no homogéneo y analice sus
posibilidades de solución.
e)
Defina que es un sistema homogéneo y analice sus posibilidades de
solución.

Identifique cuales de las siguientes ecuaciones son lineales y cuáles no. En caso
afirmativo, identifique el número de incógnitas de las ecuaciones:
a)
3x = 4 ……………………………………………………………..
b)
X – y = 5…………………………………………………………..
c)
2xy – 3z = 0………………………………………………………
d)
Log x – 3y = 5……………………………………………………
e)
√3z + 5z = 3y – 5………………………………………………..
f)
Sen3x – y = 7……………………………………………………

Verdadero o falso. Justifique.
a)
Todo sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres incógnitas
es compatible.
b)
Los sistemas homogéneos son siempre compatibles.
c)
Un sistema indeterminado es aquel que no tiene solución.
d)
La solución trivial no es solución de un sistema no homogéneo.
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33
Practica
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Ejemplo 1: Resolver por el método de Gauss el siguiente sistema:
Sistema Original
Matriz Aumentada
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
1 1 2
2 4 -3
3 6 -5
9
1
0
Operaciones
elementales sucesivas
Sistema Equivalente
Matriz Aumentada Escalonada
x + y + 2z = 9
7
17
y-2z =- 2
z= 3
1 1 2
7
0 1 - 2
0 0 1
Realizando una retro – sustitución
se obtiene la solución del sistema
original
9
-
17
2
3
x=1
= y=2
z=3
Ejemplo 2: Resolviendo el mismo ejemplo por Gauss – Jordan se obtendría:
Sistema Original
Matriz Aumentada
x + y + 2y = 9
1 1 2 9
2x + 4y – 3z = 1
2 4 -3 1
3x + 6y – 5z = 0
3 6 -5 0
Operaciones
elementales
sucesivas
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34
Sistema Equivalente
Reducida
x=1
y=2
z=3
Matriz Aumentada Escalón
1 0 0
0 1 0
0 0 0
x=1
y=2
z=3
⟹
Se puede observar que la solución
se la obtiene en forma directa
1
2
3
Ejemplo 3: Resolver por el método de Gauss – Jordan el siguiente sistema;
x1 + 3x2 – 2x3
+ 2x5
=0
2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = -1
5x3 + 10x4
+ 15x6 = 5
2x1 + 6x2
+ 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
1
2
0
2
Matriz Aumentada
Matriz Aumentada Escalón
3
6
0
6
1
0
0
0
-2
-5
5
0
0
-2
10
8
2
4
0
4
0
-3
15
18
0
-1
5
6
Sistema equivalente:
x1 + 3x2
+ 4x4 + 2x5
x3 + 2x4
3
0
0
0
0
1
0
0
4
2
0
0
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
3
0
=0
=0
(Se anuló la 4ta. Fila ya que ∀𝑎1 = 0 ∧ 𝑏 = 0)
1
x6 = 3
Haciendo una retro-sustitución y asignando a las variables x 2, x4, y x5 los valores
arbitrarios r, s y t ∈ R se obtiene la solución del sistema original:
1
x1 = -3r – 4s – 2t,
x2 =r,
x3 = -2s,
x 4 = s,
x 5 = t,
x6 =
3
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35
Ejemplo 4: Resolver por el método de Gauss – Jordan el siguiente sistema Método de
Gauss Jordan
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 4
{2𝑋1 + 5𝑋2 −2𝑋3 = 3
𝑋1 − 7𝑋2 +7𝑋3 = 5
𝑓 → 𝑓1 (−2)𝑓2
1 1
1 4 2
1
[2 5 −2| 3] 𝑓3 → 𝑓1 (−1)𝑓3 [0
→
1 −7 7 5
0
1 1
8
𝑓3 → 𝑓2 ( ⁄3) + 𝑓3 [0 3
0 0
→ 14𝑥3 = 37 → 𝑥3 =
1
1 4
3 −4| −5]
−8 6 1
1
4
−4 | −5 ]
− 14⁄3 − 37⁄3
1
→ [0
0
1
1 4
3 −4| −5]
−8 6 37
37
14
→ 3𝑥3 − 4𝑥3 = −5
3𝑥2 − 4 (
37
74
1 13
) = 5 𝑥2 = ( − 5) =
14
7
3
7
𝑥1 𝑓𝑥2 + 𝑥3 = 4
𝑥1 4 − 𝑥2 = 𝑥3
13 37 56 − 26 − 37
−
=
7 14
4
1
𝑥1 = −
2
𝑥1 4 −
𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4
1 13 37
− +
+
=4
2 7 14
7 + 26 + 37
56
−
=4=
=4
14
14
4=4
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36
Ejemplo 5: Resolver aplicando el método de cramer:
1 1 1
.𝐴 = [2 5 −2] ;
1 1 1
4 1 1
det(𝐵 )
7
1
𝐵1 = |3 5 −2| → 𝑥1 = det(𝐴)1 = 14 = − 2
5 4 4
1 4 1
det(𝐵1 ) −26
13
𝐵1 = |2 3 2| → 𝑥2 =
=
=−
det(𝐴)
−14
2
1 5 7
1 1 4
det(𝐵1 ) −37
37
𝐵1 = |2 5 3| → 𝑥3 =
=
=−
det(𝐴) −14
14
1 −7 4
= 1(35 − 14) − 1(14 + 2) + 1(−14 − 5)
𝑑𝑒𝑡 |𝐴|
= 21 − 16 − 19 = −14
= 4(35 − 14) − 1(21 + 10) + 1(−21 − 25)
𝑑𝑒𝑡 |𝐵1 |
= 4(21) − 31 − 46 = 7
= 1(2 + 110) − 4(14 + 2) − 1(10 − 3)
𝑑𝑒𝑡 |𝐵2 | = 31 − 4(16) − 7
= −26
= 1(25 + 21) − 1(10 + 3) + 4(−14 − 5)
𝑑𝑒𝑡 |𝐵3 |
= 46 − 7 + 4(−19)
= −37
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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37
Problemas ABP
TRABAJO PRACTICO N° 2
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Para qué valor de “k” el sistema no tiene solución, tiene infinitas soluciones, tiene
solución única:
Kx1+x2+x3=1
x1+x2-3x3=4
x -3x=-3
X1+kx2+x3=1
b)
3x1-x2+5x3=2
c) 2x+ky-z=-2
a)
x1+x2+kx3=1
4x1+x2+ (k2-14)x3=0
x+2y+kz=1
3
d)
x+ky+z=1
x+y+kz=1
e)
2x+ky+8z=3
f)
2x-2y=3k

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método a) de Gauss b)
Gauss – Jordán:
X1+x2-x3=4
3x1+2x2-x3= -15
a)
4x1-x2+5x3=7
b) 5x1+3x2+2x3=0
2x1+2x2-3x3=0
3x1+x2+3x3=11
11x1+7x2= - 30

Para que valores de los términos independiente a,b y c los sistemas dados son
compatibles o incompatibles:
2X1 - x2+3x3=a
a)
2x1+3x2-x3=a
b) 3x1+x2 - 5x3=b
x1-x2-5x3=b
-5x1 -x2+21x3=c
3x1+7x2+21x3=c

¿Para el sistema homogéneo dado, para que el valor de “k”, tiene soluciones no
triviales?
2x1 – 3x2 + 5x3 = 0
-x1 + 7x2 – x3 = 0
4x1 – 11x2 + kx3= 0
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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38

Resolver los sistemas homogéneos dados, indicando si tienen soluciones no triviales:
3x1 + 2x2 + 4x3= 0
x1 + x 2 – x3 = 0
a)
4x1 – 3x2 + 2x3=0
b)
4x1 – x2 + 5x2= 0
2x1 + 2x2 – 3x3= 0
Investigación

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un
lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada
semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad de alimento B, y 2
unidades del alimento C. cada pez de la especie 2 consume cada semana un
promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. para un pez de la especie
3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 del B y 5 del
C. cada semana se proporciona al lago 25.000 unidades del alimento A 20.000 del B
y 55.000 del C. si se supone que los peces se comen todo el alimento.
¿Investiga cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Un veterinario dese controlar la dieta de un animal de modo que, mensualmente, el
animal consuma 60 libras de avena, 75 de maíz y 55 de soya. Además de heno,
pastura y agua. Tiene tres alimentos disponibles, cada uno con avena, maíz y soya,
como muestra la siguiente tabla, ¿Investiga cuántas libras de cada alimento debe
usar para obtener la mezcla deseada?
1 lb del alimento A
1 lb del alimento B
1 lb del alimento C
Avena
6 onzas
6 onzas
4 onzas
maíz
5 onzas
6 onzas
7 onzas
soya
5 onzas
4 onzas
5 onzas
Aplicación de lo aprendido
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UTEPSA – Guía MAAP
39
Unidad No 4
ESPACIOS VECTORIALES
Objetivos de aprendizaje:





Reconocer los vectores que forman un espacio vectorial,
Realizar operaciones con vectores en R2, R3 y RN,
Analizar la dependencia e independencia lineal y las combinaciones lineales entre
vectores
Determinar cuándo un conjunto de vectores forma una base de un espacio
vectorial
Mostrar cómo pueden relacionarse unos espacios con otros o entre sí
Actividades:
Preguntas
1. ¿Qué es un vector?
2. ¿Qué es un vector cero?
3. ¿Qué resultado da el producto de un escalar K por un vector?
4. ¿Cómo se define el módulo de un vector?
5. ¿Qué es el vector unitario?
6. ¿Qué operaciones matemáticas se pueden realizar con vectores?
7. ¿Cómo se escribe una ecuación normal del plano?
8. ¿Escriba la ecuación de la distancia de un punto al plano?
9. ¿En qué consiste la ecuación general de una recta reducida a su simetría?
10. ¿Sea “v” un conjunto diferente de 0, es decir un conjunto no vacío y sea k
un campo escalar cualquiera, porque en qué condiciones se dice que “v”
forma una estructura de un espacio, vectorial sobre un cuerpo k.?
11. ¿Cómo se llaman a los elementos de un espacio vectorial u,v,w?
12. ¿Cómo se llaman a los elementos de un cuerpo K?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
40
Practica
Ejemplo 1
∶ 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢
⃗ = (3,2,5)
𝑧
𝑦
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑙
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠. 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠:
𝑥
𝑣 = 3; −2; 4
𝑧
𝑗
𝛽
𝑣
∝
𝑦
𝐷
𝑢
⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
𝑢1
𝑐𝑜𝑠 ∝=
‖𝑢
⃗‖
𝑢2
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
‖𝑢
⃗‖
𝑢3
cos 𝜇 =
‖𝑢
⃗‖
3
𝑥
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
41
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜: 𝑢
⃗ = (𝑢1 𝑢2 )
‖𝑢
⃗ ‖√𝑢2 , +𝑢 2
𝑦
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠
√𝑢
⃗ 2 = √𝑢,2 + 𝑢22
‖𝑢
⃗ ‖ = √𝑢,2 + 𝑢22
𝑣1
𝑗
𝑗
𝑥
𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑢
⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
‖𝑢
⃗ ‖ = √𝑢12 + 𝑢22 + 𝑢32
𝐷𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
‖𝑢
⃗ ‖ = √(3)2 + (−2)2 + (4)2 = √29
3
𝑐𝑜𝑠 ∝=
√29
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
cos 𝜇 =
−2
√29
4
√29
= 0,557
= −0,371
= 6,743
Ejemplo 2
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎) (𝑢 − 7𝑤) + 8𝑣
𝑏)(2𝑣. (𝑣 + 𝑤)
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42
𝑐) 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 x 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
24 𝑣 + 𝑙𝑏𝑣 + 𝑥 = 9𝑥 + 32 𝑤
𝑎) (𝑢 − 7𝑤) + 8𝑣
[(2,3, −1) − 7(3,4, −1) + 8(3,2, −1)] = [(2,3, −1) − 7(−21, −28,7)] + (24,16,8)
= (−19, −25,6) + (24,16,8)
= (5, −9,14)
𝑏) (2𝑢. (𝑣 + 𝑤)
[2(2,3, −1) . ((3,2, −1) + (3,4, −1))]
[(4,6, −2) . ((3,2,1) + (3,4, −1)]
(12,12 − 2) + (12,24,2)
(24,36,0)
240 + 16𝑣 + 𝑥 − 9𝑥 − 32𝑤 = 0
−8𝑥 = −240 − 16𝑣 + 32𝑤/∗ −1
𝑐)
24𝑢 + 16𝑣 + 𝑥 = 9𝑥 + 32𝑤
8𝑥 = 240 + 16𝑣 − 32𝑤
8(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 24(2,3, −1) + 16(3,2,1) − 32(3,4, −1)
= (48,72, −24) + (48,32,16) + (−96, −128,32)
8(𝑎, 𝑏, 𝑐, ) = (0, −24,24)
𝑎, 𝑏, 𝑐, = (0, −3,3)
𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 8(𝑎, 𝑏, 𝑐, ) = (8.0,8(−3), 8(3))
= (0, −24,24)
Ejemplo 3
Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (3;-1,7) y es perpendicular a
n=(3;-1,7) y es perpendicular a n=(4,2,-5)
𝑎(𝑥 − 𝑥) + 𝑏(𝑦 − 𝑦) + 𝑐(𝑧 − 𝑧) = 0
4(x-3)+12(y+1)-5(z-7)=0
4x-1z+2y+2v-5z+35=0
4x+2y-5z+25=0
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43
Ejemplo 4
Dado los vectores 𝑢 = (𝑥, 2𝑦, −1)𝑣 = (𝑥, −3𝑥3)𝑤 = (1, −8𝑦) determinar x,y de
modo que: 𝑤 = 3𝑢 − 2𝑣
𝑢 = (𝑥, 2𝑦 − 1) 𝑣 = (𝑥 − 3,3) 𝑤 = (1, −8 − 𝑦)
𝑤 = 3𝑢 − 2𝑣
(1, −8 − 𝑦) = 3(𝑥, 2𝑦 − 1) − 2(𝑥 − 3,3)
(1, −8 − 𝑦) = 3(𝑥, 6𝑦 − 3)(−2𝑥 + 6,6)
(1, −8 − 𝑦) = 3(𝑥 + 6,6𝑦 − 9)
𝑥 + 6 = 1 → 𝑥 = −5
−8 − 𝑦 = 6𝑦 = 9
7𝑦 = 1 → 𝑦 = 1/7
Ejemplo 5
Calcular los valores de k para que:
𝑎) 𝑢(3,7𝑘, −1)
𝑣 = (2, 𝑘, 1)𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑏) 𝑢(2,4,5)
𝑣 = (2,3,1) 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠
𝑎) 𝑢. 𝑣. = 𝑣1 𝑣1 + 𝑣2 𝑣2 + 𝑣3 𝑣3
= 6 + 7𝑘 2 + (−1) = 0
7𝑘 2 + 5 = 0
𝑘 2 = −7/5
7𝑘 2 = −5
𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 |𝑅 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑘 = √−5/7 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑏) (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = 𝑘(𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 )
2
𝑢1 = 𝑘 𝑣1 2 = 𝑘3 → 𝑘 = 3 𝑘 = 𝑘 = 𝑘
5
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑖𝑠𝑚𝑜 {𝑢2 = 𝑘 𝑣2 4 = 𝑘1 → 𝑘 = 4 2
5 3=4=𝑡
𝑢3 = 𝑘 𝑣3
5 = 𝑘3 → 𝑘 =
𝑡
𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑.
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44
Ejemplo 6
𝑆𝑖 𝑢 = (3,5, 𝑡)𝑣 = (2,2,1) ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑑𝑒t𝑝𝑎𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑢, 𝑣 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛
𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 15º
𝐶𝑜𝑠 ∅ =
𝑢. 𝑣.
16 + 𝑡
=
‖𝑢‖‖𝑣‖ √9 + 25 + 𝑡 2 √4 + 4 + 1
(𝐶𝑜𝑠 15º)2 . (√9 + 25 + 𝑡 2 ) . 32 16 + 𝑡
(8,4)(34 + 𝑡 2 ) = (16 + 𝑡 2 )
285,6 + 8,4𝑡 2 = 256 + 32𝑡 + 𝑡 2
7,4𝑡 2 − 32𝑡 + 29.0 = 0
𝑡=
32 ± √322 − 4(7.4)(+29.5)
(7,4)2
𝑡=
32 + 12,3
14𝑅
𝑡=
32 − 12,3
14,8
𝑡 = 3, ,
𝑡 = 1,33
𝑖
𝑢𝑥𝑣 = |𝑢1
𝑣1
𝑗
𝑢2
𝑣2
Por definición: 𝑢𝑥𝑣
𝑘
𝑢3 |
𝑣3
𝑢 𝑥 𝑣 = 𝑖(𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 ) − 𝑗(𝑢1 𝑣3 − 𝑢3 𝑣1 ) + 𝑘(𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 )
𝑢 𝑥 𝑣 = (𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 , 𝑢1 𝑣3 − 𝑢3 𝑣1 , 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 )
Teorema
𝑎) 𝑆𝑖 𝑢 𝑦 𝑣 𝑠𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 |𝑅 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢. (𝑢𝑥𝑣) = 0; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑢 𝑥 𝑣 𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑢
⃗
𝑏)𝑣. (𝑢𝑥𝑣) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑥𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑣
𝑐)‖𝑢 𝑥 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 . ‖𝑣‖2 − (𝑢. 𝑣)2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: 𝑢 𝑥 𝑣
‖𝑢 𝑥 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 . ‖𝑣‖2 − ‖𝑢‖2 . ‖𝑣‖2 𝐶𝑜𝑠 2 ∅
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45
= ‖𝑢‖2 . ‖𝑣‖2 (1 − 𝐶𝑜𝑠 2 ∅)
= ‖𝑢‖2 . ‖𝑣‖2 1 − 𝑆𝑒𝑛 2 ∅
‖𝑢 𝑥 𝑣‖ = √‖𝑢‖2 . ‖𝑣‖2 𝑆𝑒𝑛2 ∅
‖𝑢 𝑥 𝑣‖ = √‖𝑢‖2 . ‖𝑣‖ 𝑆𝑒𝑛
∅
Nota.- La norma o módulo de vector resultante al multiplicar por la u .v en forma
vectorial es igual al área del paralelogramo convertido de los vectores u y v.
3
𝑑) 𝑆𝑖 𝑢, 𝑣, 𝑤 𝑠𝑜𝑛 3 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 |𝑅 𝑦 𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑢 𝑥 𝑣 = −(𝑣 𝑥 𝑢)
𝑢 𝑥(𝑣 + 𝑤) = (𝑢 𝑥 𝑣) + (𝑢 𝑥 𝑤)
(𝑢 + 𝑣)𝑥 𝑤 = (𝑢 𝑥 𝑤) + (𝑣 𝑥 𝑤)
𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘 𝑢 𝑥 𝑣 = 𝑢 𝑥 𝑘 𝑣
𝑢𝑥 𝑜 = 𝑜 𝑥 𝑢 = 𝑜
𝑢𝑥𝑢=𝑜
Ejemplo 7
Determine un vector ortogonal a u y v si 𝑢 = (−7,3,1) 𝑣 = (2,0,4)
𝑖
𝑗 𝑘
𝑢 𝑥 𝑣 = |−7 3 1|
2 0 4
𝑢 𝑥 𝑣 = 𝑖 (12 − 0) − 𝑗(−28 − 2) + 𝑘(−6)
= 12 𝑖 + 30𝑗 − 6𝑘
𝑢 𝑥 𝑣 = (12,30, −6)
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46
Ejemplo 8
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ∆ 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑝, 𝑞, 𝑟)
𝑃(1,5, −2)
𝑄(0,0,0)
𝑅(3,5,1)
𝑧
𝑢𝑥𝑣 𝑅
𝑎𝑟𝑒𝑎
𝑄
𝑦
∅ (0,0,0)𝑣
𝑅(3,5,1)
𝑢
𝑥
𝑢
𝑃
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑃𝑄, 𝑅,
𝑃(1,5,2)
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢 = (1,5, −2) 𝑢 𝑥 𝑣 = |1 5 −2| = 15𝑖 − 𝑗(7) + 𝑘(−10
3 5 1
𝑢 𝑥 𝑣 = (15, −7, −10)
Ejemplo 9
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (2,6,1)
𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛 𝑒𝑠: 𝑛⃗ = (1,4,2)
⃗ (1,2,3)
𝑁
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦0 )
⃗ = 1 ̂𝑖 + 4 ̂𝑗 + 2𝑘̂
𝑁
⃗ ⊥𝐿→
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑁
𝑁. 𝐿 = 0
1(𝑥 − 2) + 4(𝑦 − 6) + 2(𝑧 − 1) = 0
𝑥 − 2 + 4𝑦 − 24 + 2, 𝑧 − 2 = 0
𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 − 28 = 0
𝐿[𝑥 − 2, 𝑦 − 6, 𝑧 − 1]
1)𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑘 = 0
𝑥=1
𝑃1 (1,2, −1)
𝑦=2
𝑧 = −1
2)𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 𝑘 = 0
𝑥=2
𝑃2 (1,3, −1)
𝑦=3
𝑧=1
3)2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑘 = 0
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47
𝑥=3
𝑦 = −1
𝑧=2
3)3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 + 𝑘 = 0
2 + 2, 𝑏 − 𝑐 + 𝑘 = 0 1 2
2𝑎 + 3, 𝑏 + 𝑐 + 𝑘 = 0 [2 3
3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 + 𝑘 = 0 3 −1
𝑃3 (3, −1,2)
1 2 −1 −𝑘
[0 −1 3 | +𝑘 ]
0 −7 5 +𝑘
𝑐=+
−1 −𝑘 𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓1 (−3)
1 | −𝑘] 𝑓2 → 𝑓2 + 𝑓1 (−2)
2 −𝑘 𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓2 (−7)
5
𝑘
16
1 2
−1 −𝑘 𝑏 = −𝑘/16
19
[0 −1
3 | +𝑘 ]
𝑎=− 𝑘
0 0 −16 −5𝑘
16
−𝑏 + 2𝑐 = −𝑘
𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 𝑘
5
𝑘) = −𝑘
16
15
−𝑏 = −𝑘 +
𝑘
16
𝑘
𝑘
−𝑏 = −
→𝑏=−
16
16
−𝑏 + 3 (−
𝑘
5
+ 𝑘=𝑘
16 16
7𝑘
𝑎+
=𝑘
16
9
𝑎=− 𝑘
16
𝑎+2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑘 = 0
−
9
1
5
𝑘𝑥 −
𝑘𝑦 + 𝑘𝑧 + 𝑘 = 0
16
16
16
16
𝑘
−9𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 + 16 = 0 ∗/−1
Otra forma
⃗ = (9,1 − 5)
𝑁
𝑃2 (2,3,1)
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑃1 (1,2, −1)
𝑢
⃗ = (1,1,2)
𝑣 = (2, −3,3)
𝑖
𝑗 𝑘
𝑢𝑥𝑣 = |1 1 2|
2 −3 3
𝑢𝑥𝑣 = 𝑖(3 + 69 ⊥ 𝑗(3 − 1) + 𝑘(−3 − 2)
𝑢𝑥𝑣 = 9𝑖 + 𝑗 − 5𝑘
𝑃3 (3, −1,2)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑘 = 0
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48
𝐿 ⊥ 𝑁 → 𝐿. 𝑁. = 0
9(𝑥 − 1) + 1(𝑦 − 2) + (−5)(𝑧 − 1) = 0
9𝑥 − 9 + 𝑦 − 2 − 5𝑧 − 5 = 0
9𝑥 + 𝑦 − 52 − 16 = 0
Ejemplo 10
Determine la 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 general de la recta
{
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 − 6 = 0 /3
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 4 = 0 /2
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
𝑧≖𝑧≖𝑧
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 − 6 = 0
−3𝑥 + 9𝑦 + 6𝑧 + 12 = 0
11𝑦 + 2𝑧 + 6 = 0
2𝑧 = −11𝑦 − 6
𝑧=
−11𝑦 − 6
2
−112 (𝑦 + 6/11)
2
𝑦 − (−6/11)
𝑧=
−2/11
𝑧=
𝑧=𝑧=𝑧
9𝑥 + 6𝑦 − 12𝑧 − 18 = 0
2𝑥 − 6𝑦 − 4𝑧 − 8 = 0
11𝑥
− 16𝑧 − 26 = 0
𝑧=
𝑧
𝑥 − 26/11 𝑦 − (−6/11)
=
=
11
16/11
−2
11𝑥 − 26 = 16𝑧
𝑧=
𝑥 − 26/11 𝑦 − (−6/11) 1
=
16/11
−2/11 11
11𝑥 − 26
16
𝐸𝑐. 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
𝑧=
11(𝑥 − 26/11)
26 −6
𝑃0 ( ,
; 0)
16
11 11
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49
𝑥 − (26/11) 𝑎 = 16
𝑏 = −12
16/11
𝑧 = 11
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 − 6 = 0
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 {
𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 − 4 = 0
𝑧=
𝑥 − 26/11 𝑦 − (−6/11)
𝑧
=
=
16
−2
11
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑥 = 26/11 + 16𝑡
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 {𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 → { 𝑥 = −6/11 − 2𝑡
𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝑓𝑡
𝑧 = 0 + 11𝑡
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 {
Ejemplo 11
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑃(2,5,3)𝑦 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎
𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
𝑥−1 𝑦+1 𝑧−7
=
=
4
5
−2
a(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐿2 (4,5,2)
𝑃(2,5,3)
𝐿
𝑃(2,5,3)
𝑥0 = 2
𝑦0 = 5
𝑧0 = 3
𝑥−2 𝑦−5 𝑧−3
=
=
?
?
?
𝑁(𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
90º
𝐿
(4,5,2)
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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𝑁. 𝐿2 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). (4,5,2)
𝑢. 𝑣 = (4𝑎 + 5𝑏 + 2𝑐) = 0
4𝑎 = −5𝑏 − 2𝑐
−5𝑏 − 2𝑐
𝑎=
4
𝐷𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑏=1
𝑐=2
50
5𝑏 − 2𝑐
4
= −9/4 ∴ 𝑢 = (−9/4, 1,2)
𝑎=
𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑥−1 𝑦+1 𝑧−7
𝑑𝑎𝑑𝑎:
=
=
4
5
2
𝑥−2 𝑦+2 𝑧−3
𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎:
=
=
−9/4
1
2
4(−9/4) + 5(1) + 2(2) = 0
−9 + 5 + 4 = 0
0=0
Ejemplo 12
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑃1 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝐿1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑃2 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = −1 = 0
𝐿1 𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = 1 + 3𝑡
𝑧 = 5 + 8𝑡
𝑃2 : 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 1 = 0
𝑁1 (𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑃2 : [−2,3,4]
𝑃2 : [−2,3,4]
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51
𝑁1 . 𝑁2 = 0
𝑏 = 1, 𝑐 = 1, 𝑎 = −1/2
𝑁 1 [−1/2 ,1,1]
90º𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑃1
(𝑥 − 3)(−1/2) + (𝑦 − 1)1 + (𝑧 − 5)1 = 0
−𝑥/2 + 3/2 + 𝑦 − 1 + 𝑧 − 5 = 0
−𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 9 = 0
|∗ 2
𝑃1
Ejemplo 13
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑠𝑎 𝑒𝑙 𝑃(2, −𝑧, 6)𝑦 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 9 = 0
𝑁 2 (5, −2,1)
𝑃1 : 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 9 = 0
𝑁 1 (𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑃1 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑃(2, −7,6)
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52
𝐿: (𝑥 − 2, 𝑦 + 7, 𝑧 − 6)
𝐿. 𝑁0 = 0
𝑁1 (𝑎, 𝑏, 𝑐)(𝑥 − 2, 𝑦 + 7, 𝑧 − 6)(5, −2,1)
𝑎 = 𝑘5
(𝑥 − 2)(5) + (𝑦 + 7)(−2) + (𝑧 − 6) = 0
𝑏 = 𝑘(−2)
5𝑥 − 10 − 2𝑦 − 14 + 𝑧 − 6 = 0
𝑐 = 𝑘(−1)
5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 30 = 0
𝑆𝑖 𝑘 = 1
𝑎=5
𝑏 = −2
𝑐=1
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53
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS VECT.
A los elementos de un espacio vectorial u,v,w llamemos vectores, y a los elementos del
cuerpo k, l, b ji… le.
𝐿𝑙𝑎𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠.
1)𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
2)𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣)
𝑤𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
3)𝑢 + ⃗0 = 0 + 𝑢 − 𝑢
⃗⃗⃗
𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜
4) 𝑢 + (−𝑢) =; (−𝑢)
𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
Grupo abeliano
5) ∝ (𝑢 + 𝑣) =∝ 𝑢+∝ 𝑣; ∀ 𝑢, 𝑣𝜖𝑉 ∝ (𝑎, 𝑏) = (∝ 𝑎, 𝑏)
6) (∝ +𝛽)𝑢 =∝ 𝑢 + 𝛽𝑢; ∀ ∝ 𝛽𝜖𝐾𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
7) (∝ +𝛽)𝑢 =∝ (𝛽𝑢)(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
8) 1. 𝑢 = 𝑢
1𝜖𝑘.
𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
Además de cumplir las anteriores condiciones, cumple con la 8 Espacio vectorial
unitario
Ejemplo 1
𝑆𝑒𝑎 𝑣 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎
𝑝𝑜𝑟: (𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑) = = (𝑎 + 𝑐; 𝑏 + 𝑑)𝑘 (𝑎, 𝑏) = (𝑘𝑎, 𝑜)𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠
𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙.
𝑣 = {(𝑎, 𝑏)/𝑎, 𝑏 𝜖𝐼𝑅}
(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
𝑘(𝑎, 𝑏) − (𝑘𝑎, 0)
1) 𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑢 = (𝑎, 𝑏) → 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
𝑣 = (𝑐, 𝑑)
𝑤 = (𝑒, 𝑓)(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑐, 𝑑) + (𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑐, 𝑏, 𝑑) = (𝑐 + 𝑎, 𝑑 + 𝑏)𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
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54
2)𝐴𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)
[(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑)] + (𝑒, 𝑓) = (𝑎, 𝑏) + [(𝑒, 𝑑) + (𝑒, 𝑓)]
[𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑] + (𝑒, 𝑓) = (𝑎, 𝑏) + [(𝑐 + 𝑒, 𝑑 + 𝑓)]
(𝑎 + 𝑐 + 𝑒, 𝑏 + 𝑑 + 𝑓) = (𝑎 + 𝑐 + 𝑒, 𝑏 + 𝑑 + 𝑓) 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
3) 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜
𝑢+𝑜 = 𝑜+𝑢 = 𝑢
(𝑎, 𝑏) + (0,0) = (0,0) + (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏)
(𝑎 + 0, 𝑏 + 0) = (0 + 𝑎, 0 + 𝑏) = (𝑎, 𝑏)
𝑒 = (0,0) 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
4) 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
𝑢 + (−𝑢) = 𝑒
(𝑎, 𝑏) + (−𝑎, −𝑏) = (0,0)
(𝑎 − 𝑎, 𝑏 − 𝑏) = (0,0)
(0,0) = (0,0) 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜: (−𝑎, −𝑏)
5) ∝ (𝑢 + 𝑣) =∝ 𝑢+∝ 𝑣
∝ (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) =∝ (𝑎, 𝑏)+∝ (𝑐, 𝑑)
∝ (𝑎 + 𝑐; 𝑏 + 𝑑) = (∝ 𝑎, 𝑜) + (∝. 𝑐, 𝑜)
(∝ (𝑎 + 𝑐),0) = (∝ 𝑎, ∝ 𝑐, 𝑜 + 𝑜)
(∝ 𝑎+∝ 𝑐, 𝑜) = (∝ 𝑎+∝ 𝑐, 𝑜)
𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
6) (∝ +𝛽)𝑢 =∝ (𝛽𝑢)
(∝ +𝛽)(𝑎, 𝑏) =∝ (𝑎, 𝑏) + 𝛽(𝑎, 𝑏)
(∝ +𝛽)𝑎, 𝑢 = (∝ 𝑎, 𝑜) + (𝛽. 𝑎, 𝑜)
(∝ 𝑎 + 𝛽𝑎, 0) = (∝ 𝑎, 𝛽𝑎, 0)
𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
7) (∝ +𝛽)𝑢 =∝ (𝛽𝑢)
(∝. 𝛽)(𝑎, 𝑏) =∝ (𝑎, 𝑏))
(∝. 𝛽𝑎, 𝑏) =∝ (𝛽𝑎, 𝑜)
(∝ 𝛽𝑎, 𝑏) = (∝ 𝛽𝑎, 0) 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
8) 1. 𝑢 = 𝑢
𝑎(𝑎, 𝑏) = (1. 𝑎, 0) ≠ (𝑎, 𝑏)
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55
𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Ejemplo 2
𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 2𝑥2 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 𝑖𝑗 𝜖 𝐼 𝑅 t 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡𝑢𝑚𝑏𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
º; ∝ [
𝑎
𝑐
0
𝑏
]=[
0
𝑑
0
]
0
1)𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
𝑢=[
[
𝑎
𝑐
[
𝑎
𝑐
𝑒
𝑏
] 𝑣=[
𝑔
𝑑
𝑒
𝑏
]+[
𝑔
𝑑
𝑎+𝑒
𝑐+𝑔
𝑓
]
ℎ
𝑓
𝑒
]=[
ℎ
𝑔
𝑓
𝑎
]+ [
ℎ
𝑐
𝑏+𝑓
𝑒+𝑎
]=[
𝑑+ℎ
𝑔+𝑐
𝑏
]
𝑑
𝑓+𝑏
]
ℎ+𝑑
2)𝐴𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎: 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤
[
𝑎
𝑐
𝑒
𝑏
]+[
𝑔
𝑑
[
𝑎
𝑐
𝑒+𝑖
𝑏
]+[
𝑔+𝑘
𝑑
[
𝑎+𝑒+𝑖
𝑐+𝑔+𝑘
𝑓
𝑖
]+[
ℎ
𝑘
𝑒
𝑏
]+[
𝑔
𝑑
𝑗
𝑎
] = ([
𝑐
𝑙
𝑓+𝑗
𝑎+𝑒
]=[
ℎ+1
𝑐+𝑔
𝑏+𝑓+𝑗
𝑎+𝑒+𝑖
]=[
𝑑+ℎ+𝑙
𝑐+𝑔+𝑘
𝑓
𝑖
]) [
ℎ 𝑘
𝑏+𝑓
𝑖
]+[
𝑑+ℎ
𝑘
𝑗
]
𝑙
𝑗
]
𝑙
𝑏+𝑓+𝑗
]
𝑑+ℎ+𝑘
3) 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜: 𝑒 =?
0 0
𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑈; 𝑒 = 𝑢 = [
]
0 0
0
𝑎 𝑏
[
]+[
0
𝑐 𝑑
0
𝑎
]=[
0
𝑐
𝑏
]
𝑑
4) 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜: 𝑢 + (−𝑢) = 𝑒
0
𝑢 + (−𝑢) = [
0
[
𝑎
𝑐
𝑏
−𝑎
]+[
𝑑
−𝑐
0
]
0
0 0
−𝑏
]=[
]
0 0
−𝑑
0 0
𝑎−𝑎 𝑏−𝑏
−𝑎
[
]=[
] 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 [
0 0
𝑐−𝑐 𝑑−𝑑
−𝑐
0 0
0 0
[
]=[
]
0 0
0 0
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−𝑏
]
−𝑑
56
Problemas ABP
TRABAJO PRACTICO N4
VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES
1ra. Parte. Vectores y Geometría Vectorial.
1.
a)
2.
a)
Localizar los puntos, en el plano x=y, cuyas coordenadas son:
(-2,3)
b) (1,4)
c) =(-2,-3)
d) (3,-4) e)(0,-5) f) (4,0)
Localizar los puntos, en el espacio tridimensional x-y-z, cuyas coordenadas son:
(1,2,5)
b) (-3,2,4)
c) =(-2,-5,6)
d) (-3,-4,5)
e) (-2,-3,-5)
f) (0,-3,2)
g) (0,-3,0)
h)(2,0,2)
3. Trazar los siguientes vectores con los puntos iniciales en el origen:
a) U= (3,4)
b) v= (-2,3)
c) w= (-1,-4)
d) t= (3,-2)
4. Encontrar los componentes del vector cuyo punto inicial es A y punto terminal es
B.
a) A= (3,4), B= (2,-6)
b) A= (-2,3), B= (-3,0)
c) A= (-1,-4), B= (4,0)
d) A=(3,4,-2-),B=(2,-6,0) e) A=(-2,3,5),B=(-3,0,-2) f) A=(-1,-4,0),B=(4,0,5)
5. Dibuje el vector u de componentes (3,2) cuyo punto inicial es A =(1,-3)
6. Si B=(1,0) es el punto terminal de u= (4,3) encontrar las coordenadas del punto
inicial, A.
7. Trazar los siguientes vectores con los puntos iniciales en el origen:
a) U= (2, 3,4)
b) v= (2,-1,3)
c) w= (0, 1,-2)
d) t= (3,-2,0)
8. Dibuje el vector u de componentes (0, 1,-2) cuyo punto inicial es
A= (1, 0,0)
9. Si B= (3,-2,1) es el punto extremo de u= (0,-3,4) encontrar A.
10. Sean u= (3,-2,1), v= (4, 0,-8) y w= (6,-1,-4). Encontrar las componentes de:
a) v-w.
d) 5 (v- 4u)
b) 6u + 2v
e) -3(v-8w)
c) –v+u
f) (2u-7w) – (8v+u)
11. Calcular la longitud o norma
a) De AB si A= (2,1) Y B= (5,3)
b) De BA
c) De u +r con u= (2,-1) y r= (4,5)
d) Entre los puntos A (2,3) y B (4,5)
12. Encontrar un vector unitario con la misma dirección que:
a) u= (1,-1)
b) u=(2,3) c) u= ( 3,4,1) d) u= (-2,-3,5)
13. calcular el producto punto o escalar de u y v si:
a) u= (1,4) y v= (4, -3)
b) u= (1,-3,4) y v= (3,-1,5)
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57
14. Sean u= (1,-3,2); v= (1, 1,0) w= (2, 2,-4). Determinar.
a) ‖𝑢 + 𝑣‖
b) ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖
c) ‖−2𝑢‖ +2 ‖𝑢‖
15. Sean u= (1, 3,-5); v= (3,-6,3) y w= (-1,-2,3). Determinar.
a) u ● (7v+ w) d) uxv
b) ‖(𝑢●𝑣)𝑣‖
e) uxw
c) (|𝑢|𝑣)●𝑤
f) (uxv) ●v y (uxv) ●u
16. Sean p= (3,4) y q= (1,∝) determinar ∝ tal que:
a) p y q que sean ortogonales
b) p y q que sean paralelos.
c) el ángulo entre los vectores sea 𝜋/3.
17. calcular las proyecciones.
a) de u sobre v con u= (0,-5); (1,1).
b) proy AB Yproy PQ con P(-1,3); Q (2,4); A (-6,-2); B (3,0).
c) de v sobrew con v= (3, 1,-7) y w= (1, 0,5)
d) de w sobre v, con los datos del inciso anterior
18. demostrar que A=( 3,0,2) B = ( 4,3,0) Y C= (8,1,-1) son los vértices de un triángulo
rectángulo. En que vértice está el ángulo recto.
19. Sean u= (2, 3,0) y v= (-1, 2,-2)
a) calcular u x v
b) demostrar analíticamente que u x v es perpendicular a u y a v.
c) encontrar el área del paralelogramo determinado por u y v.
20. calcular el área del triángulo de vértices A= (1, 5,-2); B= (0, 0,0);
C = (3, 5,1,)
21. Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
PQ, PR, Y PS, donde P= (2,1,-1), Q=(-3,1,4), R =( -1,0,2) Y S-=(-3,-1,5).
22. Determinar la ecuación del plano que pasa por los puntos
A= (-2, 1,1), B= (0, 2,3) y C= (1, 0,-1)
23. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P= (2, 1,-1), cuyo vector normal
es N = (1,-2,3).
24. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P= ( 3,4,-5) y es paralelo a los
vectores u = ( 3,1,-1) y v= (1,-2,1).
25. determinar la ecuación de la recta que está en la intersección de los planos.
-2x + 3y +7z + 2= 0 y x+2y -3z +5=0.
26. encontrar el punto de intersección entre la recta y el plano
𝑥 − 4 = 5𝑡
.{ 𝑦 + 2 = 𝑡
𝑧=4=𝑡
27. Determinar el plano que pasa por el punto (2, -7, 6) y que es paralelo al plano 5x
-2y + z -9 =0.
28. Determinar la distancia entre las rectas L1 Y L2, donde L1 es la recta que pasa por
el punto P= (1, 2,-1) y es paralela a I vector u = (1,-3,2)
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58
2da Parte Espacios Vectoriales
1. Determine si el conjunto de todas las ternas (x,y,z) con las siguientes reglas;
Suma: (x, y, z) + (a, b) = (x+ a, y – b, z + 2c)
Multiplicación por escalar: k (x, y, z) = (ky, z, x)
Es un espacio vectorial. Si no lo es. Que axiomas no cumple.
2. Recordando la definición de combinación lineal determine si:
a) (7, -3, 10) es combinación lineal de (2, -1, 3) y (3, -1, 4).
1 2
1 −1
b) (
) es combinación lineal de A= (
),
−1 4
3 2
0 −1
2 −1
B= (
) Y C= (
)
0 2
1 4
c) (1,2) es combinación lineal de (3, -2) , ( 2,-1) y (-3,2)
3. Determine si u = (2, -1, 4) pertenece al subespacio generado por V1= (2, 1, 3) v2 = (-1,0
,1) y v3= (0, 0,-1).
Investigación
1. Defina cuando un subconjunto de un espacio vectorial (E. V.) es un subespacio y cómo
puede determinar, en forma simplificada, si un subconjunto es un subespacio.
2. Investigue como demostrar que cualquier conjunto no vació de un espacio vectorial
genera un subespacio del mismo.
3. Investigue como determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacio de R ²
𝑏
𝑎
𝑎,𝑏
{ 𝑏 = 2}
𝑎,𝑏
= { = 0}
𝑏
a) W= {𝑎, − 𝑏 = 0}
b) W=
c) W=
Aplicación de lo aprendido
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59
Unidad No 5
TRANSFORMADAS LINEALES
Objetivos de aprendizaje:




Identificar una transformación lineal
Analizar tipos de transformaciones lineales
Calcular la matriz de transformación
Obtener una matriz que representa a la transformación y con ella realizar varias
aplicaciones como giros, traslaciones, etc.
Actividades:
1.
Preguntas
Defina lo que es una transformación lineal (interprete gráficamente).
2.
Demuestre formalmente que las transformaciones lineales preservan las
combinaciones lineales.
3.
Defina el concepto de Núcleo o Kernel de una transformación lineal
(Ilustre gráficamente).
4.
Defina el concepto de Imagen o Recorrido de una transformación lineal (ilustre
gráficamente).
Transformaciones Lineales
Transformaciones lineales
Relaciones entre dos espacios vectoriales
X
X+y
y
F(X)
F(X)+f(
y)Fy
y
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60
Es una transformación lineal si todo si:
a). imagen suma = suma de las imágenes
f(x+y)=f(x)+f(y)
b). imagen de ste. Por función es igual a la cte. Por la imagen de la función
f(kx)= Kf(x)
Practica
PROBLEMA # 1
1). V=R2 ; W =R2 ; F: R2→R2
Definiendo por f(a,b)= (a+b,a) es una transformación lineal
V=R2
Partida: por ordenado
a) 𝐹[(𝑔, 𝑏) + (𝑐, 𝑑)] = 𝐹[(𝑎, 𝑏) + 𝑓(𝑐, 𝑑)] suma pares
𝑓[𝑎 + 𝑐; 𝑏 + 𝑑] = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓(𝑐, 𝑑)
[(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑); 𝑎 + 𝑐] = (𝑎 + 𝑏, 𝑎) + (𝑐 + 𝑑; 𝑐)𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
[(𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)𝑎 + 𝑐] = [(𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)𝑎 + 𝑐]𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
b) [𝑘(𝑎, 𝑏)]𝑘𝑓(𝑎, 𝑏)𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑝𝑜𝑟𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑓[𝑘𝑎; 𝑘𝑏] =∝ 𝑓(𝑎, 𝑏)𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
[𝑘𝑎 + 𝑘𝑏; 𝑘𝑎] = 𝑘(𝑎 + 𝑏; 𝑎)
[𝑘𝑎 + 𝑘𝑏; 𝑘𝑎] = 𝑘(𝑎 + 𝑏; 𝑎) cumple II estransformacion lineal
Núcleo
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61
Dominio
codo minio
Es el conjunto de elementos del dominio cuyas imágenes de f son el vector nulo del
codominio.
𝑁𝑢𝑐 (𝑓) = {
𝑋𝐸𝑋
= 0𝑤}
𝑓(𝑥)
Imagen
Para algún x existe f(x) del codominio
𝐼𝑚(𝑓) = {
𝑦𝐸𝑊
; 𝑓(𝑥) = 𝑦}
∋𝑉
2. 𝐹: 𝑅 3 → 𝑅 2 es transformación lineal definido por
𝐹(𝑋1, 𝑋2 , 𝑋3 ) − 𝑋1 − 𝑋3 hallar el nucleo
𝑓(𝑥) = 𝑂𝑤
𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)=(0,0)
(a-c;b-c) =(0,0)
𝑎−𝑐 =0
{
𝑏−𝑐 =0
𝑎=0
𝑏=𝑐
a=c=b
Nuc (f) = {(𝑎, 𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 3 /𝑎 ∈ 𝑅}
(1,1,1)
(0,0,0)
2,2,2)
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(0,0)
62
PROBLEMA # 2
Sea 𝑓: 𝑅 3 →definida por f (a,b,c) =a,b,o)
Hallar la imagen de la transformación lineal
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑓(𝑥) = 𝑦
(𝑎, 𝑏, 𝑜) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑥=𝑎
{𝑦 = 𝑏
𝑧=𝑜
(𝑎,𝑏,𝑐)𝐸𝑅3
Transf (f) = {
𝑎
, 𝑏𝐸𝑅}
(1,1,5)
(2,3,0)
(1,1,0)
(2,3,0)
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63
PROBLEMA # 3
Solución
PROBLEMA # 4
Solución
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64
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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65
PROBLEMA # 5
Solución
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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66
PROBLEMA # 6
Solución
PROBLEMA # 7
Solución
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67
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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68
PROBLEMA # 8
Solución
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69
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70
PROBLEMA # 9
Solución
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UTEPSA – Guía MAAP
71
PROBLEMA # 10
Solución
Problemas ABP

TRABAJO PRACTICO N5
TRASFORMACIONES LINEALES
Determine si la transformación de V en W dada, es lineal
T; R²
R; T(x ,y)= x y.
T; R³

Sea F: 𝑀
R²; T(x ,y, z)= (0, y)
2X2
R, determine si la siguiente transformación es o no lineal.
𝐹[

𝑏
] = 2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 − 𝑑
𝑑
Determine si la siguiente transformación de R³ en R ² es o no lineal.
o

𝑎
𝑐
T (a, b, c) = (0, 0)
Sea la transformación lineal F: R³
R² defina por
o F ( 𝑋1 , 𝑋2, 𝑋3 ) = ( 𝑋1 − 𝑋3, 𝑋2 − 𝑋3 )

Hallar una base y la dimensión del núcleo o Kernel de F.

Hallar una base y la dimensión de la imagen o recorrido de F.
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72

Sea F: R²
𝑀2X2 la transformación lineal definida por.
o
𝑎+
𝐹(𝑎, 𝑏) = [
0
𝑏 0
]
𝑎+𝑏
o
Determine una base y la dimensión del Núcleo y de la imagen de la
transformación lineal F.

Sea F: R²
o
R² una transformación lineal tal que
F(a,b) = (a- 2b, -2a +b), determinar:

Hallar una base y la dimensión del núcleo de F.

Hallar una base y la dimensión de la imagen de F.

Demuestre formalmente que las transformaciones lineales preservan las
Investigación
combinaciones lineales.

Defina el concepto de Núcleo o Kernel de una transformación lineal
(Ilustre gráficamente).

Defina el concepto de Imagen o Recorrido de una transformación lineal (ilustre
gráficamente).
Aplicación de lo aprendido
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73
Aplicabilidad de la Guía
La presente Guía MAAP se desarrolló en función del (los) documento(s):
Detalle Programa(s) Analítico(s)
BMA-302 ALGEBRA LINEAL 30P2E1
BMA-302 ALGEBRA LINEAL 54P1E1
BMA-302 ALGEBRA LINEAL 8P3E1
BMA-302 ALGEBRA LINEAL 14P3E1
BMA-302 ALGEBRA LINEAL 6P2E1
BMA-302 ALGEBRA LINEAL 32P2E1
BMA-302 ALGEBRA LINEAL 46P2E1
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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74