Matemáticas 3: Recursos Didácticos para el Profesor

Recursos Didácticos para el Profesor
PROHIBIDA
SU VENTA
• Descripción del Modelo Educativo para la educación
obligatoria y del mapa curricular
• Propuestas de dosificación de los aprendizajes
esperados
• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales
y solucionario
• Reproducción del libro del alumno con respuestas
de todas las actividades
FORMACIÓN
ACADÉMICA
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Estamos seguros de que este libro será un valioso apoyo
para su labor cotidiana en el aula.
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una obra especialmente diseñada para acompañarlo en su
trabajo. Este material contiene, entre otros, los siguientes
recursos didácticos:
Recursos Didácticos para el Profesor
Matemáticas 3. Recursos didácticos
para el profesor de la serie Espacios Creativos es
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Recursos Didácticos para el Profesor
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Pensamiento Matemático
santillanacontigo.com.mx
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
Recursos Didácticos para el Profesor
FORMACIÓN
ACADÉMICA
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PROHIBIDA
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Pensamiento Matemático
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
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fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo
de la Dirección General de Contenidos.
• Fotografía de portada Abraham Solís Saldaña
• Ilustración Ismael Segura Posadas
• Fotografía Shutterstock, Gettyimages
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3. Recursos
didácticos para el profesor de la serie Espacios Creativos son propiedad del editor. Queda
estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o
método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
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Autor del libro del alumno: Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
Autor del libro de recursos didácticos para el profesor: Emmanuel Alba Arzate ,
María Jocelyn Lizzet Hernández Romero, Dalibor José Trnka Rodríguez
D.R. © 2021 EDITORIAL SANTILLANA S.A. DE C.V.
Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,
alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México
ISBN: 978-607-01-4783-8
Primera edición: mayo de 2021
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 802
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El planteamiento curricular del Modelo Educativo 2017 tiene como propósito lograr una
formación humanista, integral y de calidad de los alumnos; para ello, la educación debe contribuir al desarrollo de los estudiantes en lo cognitivo, físico, social y afectivo, en condiciones
de igualdad; para que participen activamente en sociedad y se adapten a entornos cambiantes y diversos. Por lo anterior, los programas de estudio se enfocan en los aprendizajes
clave y en fortalecer los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores que les
permitan aprender a aprender.
Ante este desafío, y con el propósito de acompañar a los docentes en el uso del libro del
alumno, Editorial Santillana presenta Matemáticas 3. Recursos didácticos para el profesor,
en el que ofrece diferentes recursos didácticos que se describen a continuación:
• Modelo Educativo. Se describen el planteamiento curricular, los principios pedagógicos
y los componentes curriculares.
• Mapa curricular. Se presenta la organización curricular para el nivel educativo de secundaria, los grados y los tres componentes del Modelo Educativo 2017: Formación
académica, Desarrollo personal y social y Autonomía curricular.
• La evaluación. Se explica la importancia de la evaluación formativa para coadyuvar al
desempeño de los alumnos a lo largo del curso.
• Dosificación trimestral. Se incluyen propuestas de dosificación trimestral para el calendario escolar de 190 días de clase.
• Evaluación diagnóstica. Se proporciona un instrumento para identificar las áreas de
oportunidad de los escolares y, con base en la información que este arroje, planear estrategias didácticas oportunas.
• Evaluaciones trimestrales. Se sugieren distintos reactivos que se pueden emplear en la
evaluación del trimestre.
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• Respuestas. Es un solucionario de las evaluaciones de este libro.
• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades
del libro del alumno.
• Reproducción del libro del alumno, con las respuestas de todas las actividades.
Esperamos que este material se convierta en un referente para el trabajo que realiza en el
aula día a día.
Recursos Didácticos para el Profesor
III
Modelo Educativo
La educación básica es el pilar social de nuestro país y debe beneficiar a los mexicanos
desde muchas áreas y con un mismo fin: educación equitativa y de calidad.
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Con este objetivo, la Secretaría de Educación Pública elaboró el Modelo Educativo para la
educación obligatoria, en el que se proyecta el desarrollo potencial de los niños, las niñas
y los jóvenes con el fin de formar ciudadanos libres, responsables e informados. No es una
tarea fácil; sin embargo, se pretende alcanzar la meta gracias a una reorganización del sistema educativo en cinco ejes indispensables, que se describen a continuación.
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• Planteamiento curricular. Este eje, de enfoque humanista, ensambla todos los niveles
de la educación básica, desde preescolar hasta bachillerato, para un desarrollo integral de
los aprendizajes clave. Con esto se espera que los estudiantes adquieran herramientas
para construir conocimientos a lo largo de la vida; es decir, que aprendan a aprender.
Además de lo anterior, este eje pone énfasis en el desarrollo de las habilidades socioemocionales, importantes también en el crecimiento y desarrollo personal, no solo de la
vida académica, sino de la vida familiar, social y laboral.
Aunado a lo anterior, y con conocimiento de que nuestro país es rico en diversidad, también se deja un margen de autonomía curricular. Así, cada comunidad escolar pondrá
un interés especial en las áreas de oportunidad que deben abordarse y concretar con
éxito el desarrollo de los aprendizajes clave en los alumnos.
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• La escuela al centro del sistema educativo. La escuela, como unidad básica de
organización del sistema educativo, es primordial en este eje, pues debe enfocarse en alcanzar el máximo desarrollo de todos los estudiantes. Se plantea también
una escuela que deja de lado la organización vertical para convertirse en un centro de
desarrollo horizontal en el que cabe toda la comunidad escolar.
Al trabajar de manera
colaborativa, los estudiantes aprenden a
comunicar y argumentar
sus puntos de vista, a
escuchar ideas distintas
y a negociar. Lo que les
permite ampliar su conocimiento y desarrollar
habilidades sociales.
IV
Recursos Didácticos para el Profesor
• Formación y desarrollo profesional docente. El Modelo Educativo describe al docente como un profesional centrado en el aprendizaje de los alumnos, capaz de generar
y mantener ambientes de aprendizaje incluyentes, comprometido con la mejora
constante de su práctica y preparado para adaptar el currículo a las necesidades de
su contexto.
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Estos principios deben verse reflejados en la adaptación del espacio físico para facilitar
la movilidad de todos los miembros de la comunidad educativa; en la adecuación curricular que los profesores deben realizar para atender las necesidades educativas de
todos sus alumnos y en la transformación del aula en un espacio de convivencia armónica que abone a la cultura de la diversidad.
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• Inclusión y equidad. Estos principios son básicos para eliminar del sistema educativo
las barreras para el acceso, la participación, la permanencia, el egreso y el aprendizaje
de todos los estudiantes, y para que estos cuenten con oportunidades efectivas para el
aprendizaje sin importar su contexto social y cultural.
• La gobernanza del sistema educativo. En este último eje se definen los mecanismos institucionales para una gobernanza efectiva y la participación de los actores y
los sectores de la sociedad que intervienen en el proceso educativo, así como la coordinación que existe entre ellos: el gobierno federal, las autoridades educativas locales,
el sindicato, las escuelas, los docentes, los padres de familia, la sociedad civil y el
Poder Legislativo.
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Con los ejes anteriores se busca que todos los alumnos reciban una educación flexible a
sus necesidades, de calidad, integral e inclusiva que los prepare para vivir en la sociedad
del siglo XXI.
La escuela debe convertirse en un espacio
incluyente donde se
respete la diversidad y
se garantice el acceso y
permanencia de todos
los estudiantes.
Recursos Didácticos para el Profesor
V
Principios pedagógicos
En el Modelo Educativo 2017 se reconoce que los docentes tienen una función esencial
en el aprendizaje de los niños y los adolescentes, y que su papel en el aula es la de un
mediador que contribuye a la construcción de ambientes que favorezcan que sus alumnos
convivan de manera armónica y alcancen los aprendizajes esperados para cada asignatura, área o ámbito.
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Con el propósito de que los profesores puedan cumplir plenamente con su papel en las
aulas al implementar los nuevos programas, en el documento Aprendizajes clave para la
educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica se proponen
catorce principios pedagógicos que se enumeran a continuación:
1
Poner al estudiante
y su aprendizaje en
el centro del proceso
educativo.
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Conocer los intereses
de los estudiantes.
VI
Recursos Didácticos para el Profesor
2
Tener en cuenta los
saberes previos del
estudiante.
5
Estimular la motivación intrínseca del
alumno.
3
Ofrecer acompañamiento al aprendizaje.
6
Reconocer la naturaleza social del
conocimiento.
Entender la evaluación como un proceso relacionado con
la planeación del
aprendizaje.
9
Modelar el
aprendizaje.
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ó
Propiciar el aprendizaje situado.
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7
10
Valorar el aprendizaje
informal.
13
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Apreciar la diversidad
como fuente de riqueza para el aprendizaje.
11
Promover la
interdisciplina.
12
Favorecer la cultura
del aprendizaje.
14
Usar la disciplina
como apoyo al
aprendizaje.
Además de lo anterior, para promover el aprendizaje debe existir un espacio determinado
con un conjunto de factores que favorezcan la interacción social e influyan de manera
positiva en la construcción de conocimientos y en el desarrollo de habilidades, actitudes y
valores.
Recursos Didácticos para el Profesor
VII
Mapa curricular
Aprendizajes clave para el desarrollo integral
Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desarrollo integral de los estudiantes, pues, en conjunto, serán las herramientas para un pleno
desarrollo de vida.
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En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en tres
componentes curriculares de la educación básica, que se describen a continuación:
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1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Matemático
y Exploración y Comprensión del Mundo Natural y Social.
2. Áreas de Desarrollo personal y social. Que incluyen específicamente Artes, Educación
Socioemocional y Educación Física.
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“Componentes curriculares de
la educación básica”, tomado del
Acuerdo 20/11/19 publicado en 2019
en el Diario Oficial de la Federación.
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3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación académica, potenciar el desarrollo personal y social, fomentar nuevos contenidos relevantes y
conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.
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Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad y que sean
aptos para identificar sus debilidades y sus fortalezas y reconozcan como iguales en dignidad y en derechos a todos los seres humanos.
VIII
Recursos Didácticos para el Profesor
A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.
Nivel educativo
Componente curricular
Secundaria
Grado escolar
2º
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Lengua Materna (Español)
3º
n
1º
Campos y asignaturas
Lengua Extranjera (Inglés)
FORMACIÓN
ACADÉMICA
Matemáticas
Ciencias:
Biología
Física
Química
Geografía
Historia
Formación Cívica y Ética
Tecnología
Áreas
Artes
Tutoría y Educación Socioemocional
Educación Física
Ampliar la formación académica
*
Ámbitos
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Potenciar el desarrollo personal y social
Nuevos contenidos relevantes
Conocimientos regionales
Proyectos de impacto social
Profundización
* Definición a cargo de la escuela con base en los lineamientos expedidos por la SEP
La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de Formación Pensamiento
Matemático y pertenece al componente Formación académica.
Recursos Didácticos para el Profesor
IX
La evaluación
La evaluación, aunque siempre se ubica como un satélite dependiente del aprendizaje,
debe verse como parte importante del proceso; es decir, debe considerarse como un factor
indispensable en la construcción de conocimientos.
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De acuerdo con lo anterior, la propuesta que se proyecta en el Modelo Educativo deja muy
marcada la idea de que la evaluación ayuda en la planeación de la enseñanza, ya que con
los resultados de esta se obtiene la base para hallar la zona de desarrollo próximo de los
alumnos y, con ello, plantear opciones que permitan a cada estudiante aprender y progresar desde donde está.
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La evaluación también puede ayudar a medir si las condiciones pedagógicas son óptimas
o deben adaptarse para conseguir mejores resultados. Además, por supuesto, la evaluación ayuda a identificar si se lograron los aprendizajes esperados.
En este sentido, la evaluación del aprendizaje tiene en cuenta tres variables: las situaciones
didácticas, las actividades del alumno y los contenidos. Por tanto, debe considerarse como
un paso elemental del proceso pedagógico, por lo que no tiene un carácter exclusivamente
conclusivo o sumativo. Por el contrario, busca conocer cómo los estudiantes organizan su
pensamiento y usan sus aprendizajes en contextos determinados. Además, contribuye a
la autorregulación cognitiva, pues realimenta al educando con argumentos claros y constructivos sobre su desempeño.
Para diseñar y aplicar una evaluación se sugiere considerar lo siguiente:
• Delimitar el aprendizaje que se evaluará, incluyendo las actitudes y las habilidades de
los estudiantes.
• Establecer los criterios para la evaluación (aprendizajes esperados).
• Recabar varios instrumentos durante el proceso de aprendizaje, como pruebas escritas, exposiciones orales, listas de cotejo, rúbricas, etcétera.
• Registrar lo evaluado con base en la información recopilada de los diferentes instrumentos.
• Analizar, realimentar, ajustar currículo o enfoque y modificar el proceso de enseñanza
para mejorar los resultados obtenidos en el aprendizaje de los escolares.
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La evaluación de los aprendizajes es determinante para la buena gestión del currículo, especialmente porque permite saber en qué medida los alumnos logran el dominio de los
aprendizajes establecidos para cada grado y nivel educativo.
Para que la evaluación cumpla su papel como parte del proceso de aprendizaje, se debe
realizar en tres momentos específicos:
Evaluación diagnóstica. Se aplica en el comienzo del ciclo escolar y de cada secuencia
didáctica para hacer un balance de las habilidades, las actitudes y los saberes de los educandos. Este es el punto de partida en el proceso de aprendizaje y es recomendable aprovecharlo para identificar las necesidades de los estudiantes.
X
Recursos Didácticos para el Profesor
Evaluación formativa. Se realiza durante el desarrollo de la secuencia didáctica con el
propósito de observar los avances de los aprendizajes esperados e identificar dificultades
y aspectos que cada estudiante requiere fortalecer. La evaluación formativa fortalece la
responsabilidad de los educandos en sus procesos de aprendizaje, ya que la reflexión les
ayuda a comprender si están aprendiendo y cómo lo están logrando.
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Evaluación sumativa. Se realiza en el cierre de cada secuencia didáctica y al final del
trimestre con el propósito de observar el desempeño de cada alumno. Sirve para tomar
decisiones sobre la manera de apoyar a los escolares en la siguiente etapa y aporta
elementos para asignar una calificación.
n
Esta evaluación también favorece la toma de conciencia de las estrategias de aprendizaje y
ayuda al maestro a encontrar pistas para construir modelos de acción personal y técnicas
para la resolución de problemas (argumentar de manera informada, analizar situaciones); así
como generar instrumentos para enmendar el rezago académico.
Una vez planteados los tres momentos de evaluación, se debe buscar con qué instrumento
evaluar. Entre las herramientas más comunes encontramos las siguientes:
• Autoevaluación: Es un proceso metacognitivo en el que el alumno evalúa su desempeño para descubrir el acierto con la finalidad de repetirlo, y el error con el fin de evitarlo y
aprender de él.
• Coevaluación. Es el proceso en el que los estudiantes se evalúan entre ellos. Se centra
en los aspectos favorables, con el objetivo de desarrollar el pensamiento crítico de los
escolares y una actitud abierta y de escucha hacia las observaciones de los demás.
• Rúbricas. Son una matriz de valoración, es decir, una lista de criterios e indicadores que
permite valorar el logro de los aprendizajes esperados y de temas particulares. Son un
apoyo para que el docente dé seguimiento y registre el progreso de cada alumno o de
todo el grupo en relación con los niveles de desempeño esperados.
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• Exámenes. Estos deben puntualizar
los aspectos que se van a evaluar. Por
ejemplo, una prueba de opción múltiple explora los aprendizajes de carácter
conceptual, así como algunas habilidades cognitivas y la toma de postura ante
dilemas morales.
En conclusión, aunque con frecuencia
hemos centrado la evaluación en otorgar
una calificación al alumno, el nuevo enfoque brinda un panorama en el que todos
los participantes, instrumentos y momentos de la evaluación son igual de importantes, pues ayudan a la construcción de
aprendizajes.
Mediante la autoevaluación los alumnos
reconocen su nivel de
logro y sus áreas de
oportunidad respecto de
los aprendizajes esperados, lo que les permite
plantear estrategias para
mejorar su desempeño.
Recursos Didácticos para el Profesor
XI
Dosificación
190 días de clase
Trimestre 1
Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
1
Páginas del
libro del alumno
Evaluación diagnóstica
Resuelve problemas para formular el criterio de divisibilidad
entre 2.
2. Resuelve problemas para formular el criterio de divisibilidad
entre 5 y 10.
3. Usa criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10 en la resolución
de problemas.
1.
3
1.
2. Divisibilidad entre
3, 4 y 6
Resuelve problemas para formular los criterios de
divisibilidad entre 3 y 6.
2. Resuelve problemas para formular el criterio de divisibilidad
entre 4.
3. Usa criterios de divisibilidad entre 3, 4 y 6 en la resolución
de problemas.
3. Números primos
y números
compuestos
1. Caracteriza números primos.
2. Caracteriza a los números compuestos.
20 a 25
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Determina y usa los
criterios de divisibilidad y
los números primos.
Divisibilidad entre
2, 5 y 10
n
1.
2
32 a 35
1.
4
4. mcm y MCD
Usa técnicas para
determinar el mcm y el
MCD.
5
5. mcm y MCD
en contextos
continuos y
discretos
Emplea los números primos para hallar el mínimo común
múltiplo (mcm).
2. Emplea los números primos para hallar el Máximo Común
Divisor (MCD).
3. Calcula el mcm y el MCD de diferentes números.
26 a 31
Resuelve problemas utilizando el mcm y el MCD en
contextos continuos.
2. Resuelve problemas utilizando el mcm y el MCD en
contextos discretos.
1.
Uso de la tecnología
6
Usa técnicas para
determinar el mcm y el
MCD.
36 a 41
42 a 45
46 y 47
6. Generalización
de propiedades
algebraicas
1.
Usa literales para generalizar la suma de números
naturales consecutivos.
2. Generaliza criterios de divisibilidad mediante sumas de
números naturales consecutivos.
48 a 51
Resuelve problemas que permitan producir expresiones
equivalentes al área de una composición geométrica.
2. Resuelve problemas que permitan producir expresiones
equivalentes al área de una composición geométrica.
3. Resuelve expresiones que permitan producir expresiones
equivalentes a su solución. Resalta la importancia de la
verificación algebraica.
4. Resuelve problemas que permitan producir expresiones
equivalentes dada una composición geométrica o
viceversa.
52 a 59
1.
Formula expresiones
de segundo grado
para representar
propiedades del área de
figuras geométricas y
verifica la equivalencia
de expresiones, tanto
algebraica como
geométricamente.
P
ro
7
8
XII
7. Expresiones
algebraicas de
áreas
1.
8. Equivalencia en las
fórmulas del área
(triángulo y rombo)
Recursos Didácticos para el Profesor
Establece la equivalencia de las fórmulas para el cálculo
del área de figuras geométricas como el triángulo y el
rombo. Usa la jerarquía de las operaciones.
2. Establece la equivalencia de las fórmulas para el cálculo
del área de figuras geométricas como el trapecio. Usa la
jerarquía de operaciones.
3. Establece la equivalencia de las fórmulas para el cálculo
del área de polígonos regulares. Usa la jerarquía de las
operaciones.
60 a 65
Aprendizajes
esperados
9
Secuencias
didácticas
9. Semejanza
Sesiones
1.
2.
3.
4.
5.
Construye el concepto de semejanza en geometría.
Construye polígonos regulares semejantes.
Construye polígonos regulares semejantes.
Construye polígonos irregulares semejantes.
Construye polígonos irregulares.
1.
2.
3.
4.
Construye e identifica triángulos semejantes I.
Construye e identifica triángulos semejantes II.
Formula los criterios de semejanza de triángulos.
Identifica y usa, en la resolución de problemas, la
semejanza de triángulos para el cálculo de distancias.
10
66 a 75
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ó
Construye polígonos
semejantes. Determina y
usa criterios de semejanza
de triángulos.
Páginas del
libro del alumno
n
Semana
10. Semejanza de
triángulos
76 a 83
Uso de la tecnología
84 y 85
1.
2.
11
11. Medidas de
tendencia central y
de dispersión
3.
4.
Compara la tendencia
central (media, mediana y
moda) y dispersión (rango
y desviación media) de dos
conjuntos de datos.
5.
Resuelve problemas que impliquen interpretar las medidas
de tendencia central de un conjunto de datos, resaltando
el papel de la media aritmética como representante del
conjunto de datos.
Resuelve problemas que impliquen interpretar las medidas
de tendencia central de un conjunto de datos, resaltando
el papel de la media aritmética como representante del
conjunto de datos.
Resuelves problemas que impliquen el análisis de las
medidas de dispersión, en particular, el rango de un
conjunto de datos.
Resuelve problemas que impliquen el análisis de las
medidas de dispersión, en particular, la desviación media
de un conjunto de datos.
Resuelve problemas que impliquen el análisis de las
medidas de dispersión en particular, la desviación media
de un conjunto de datos.
86 a 95
Resuelve problemas que impliquen el análisis de las
medidas de dispersión dados dos conjuntos de datos.
2. Resuelve problemas que impliquen el análisis de las
medidas de tendencia central dados dos conjuntos de
datos.
3. Resuelve problemas que impliquen el análisis de las
medidas de dispersión dados dos conjuntos de datos e
interpreta las medidas de tendencia central.
1.
P
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12
12. Tendencia central
y dispersión en
conjuntos de datos
¿Cómo lo hicimos?
96 a 101
102 y 103
13
Evaluación del trimestre 1
Recursos Didácticos para el Profesor
XIII
Trimestre 2
Aprendizajes
esperados
13. Formulación
de ecuaciones
cuadráticas
14
Resuelve problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones cuadráticas.
17
14. Resolución de
ecuaciones
cuadráticas
incompletas, por
ensayo y error.
Sesiones
1.
2.
3.
4.
Formula ecuaciones cuadráticas.
Formula ecuaciones cuadráticas del tipo Ax2 1 C = 0.
Formula ecuaciones cuadráticas de segundo grado.
Formula ecuaciones cuadráticas incompletas.
1.
Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas, por ensayo
y error.
Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas aplicando
el método por ensayo y error.
Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por el
método gráfico.
Resuelve ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.
Resuelve ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.
2.
3.
Analiza y compara
diversos tipos de
variación a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que
resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de otros
contextos.
15. Interpretar
funciones de
llenado de
recipientes
4.
5.
Interpreta cualitativamente diferentes tipos de funciones a través
de su representación gráfica (llenado de recipientes).
2. Interpreta cualitativamente diferentes tipos de funciones a través
de su representación gráfica (de movimientos, trayectos, etc.).
3. Interpreta cualitativamente diferentes tipos de funciones a través
de su representación gráfica.
16. Diversos tipos de
funciones “sin
fórmula”
Interpreta y analiza gráficas que representan diversos tipos de
funciones. Infiere la situación que representan (escalonadas, sin
fórmula).
2. Interpreta y analiza gráficas que representan diversos tipos
de funciones. Infiere sobre la situación que representan
(escalonadas, sin fórmula).
3. Interpreta y analiza gráficas que representan diversos tipos de
funciones. Infiere sobre la situación que representan (formadas
por secciones rectas y curvas).
4. Interpreta y analiza gráficas que representan diversos tipos de
funciones. Infiere y anticipa sobre la situación que representan
(formadas por secciones rectas y curvas).
XIV
124 a 129
1.
130 a 137
138 y 139
17. Gráficas basadas
en datos
tabulados
Diferencia las
expresiones algebraicas
de las funciones y de las
ecuaciones.
18. Diferencia
entre expresión
algebraica,
funciones y
ecuaciones
Diferencia entre expresiones algebraicas, funciones y
ecuaciones.
2. Diferencia entre expresiones algebraicas, funciones y
ecuaciones.
148 a 151
19. Teorema de
Pitágoras
1. Justifica numéricamente el teorema de Pitágoras.
2. Justifica geométricamente el teorema de Pitágoras.
3. Aplica lo aprendido sobre el teorema de Pitágoras e investiga
diferentes maneras de demostrarlo.
152 a 157
1.
Construye gráficas de variación lineal o afines, considerando
datos tabulados. Completa tablas de datos.
2. Construye gráficas de variación lineal o afines considerando los
datos tabulados y completa tablas de datos.
3. Construye gráficas que corresponden a funciones formadas por
secciones rectas y curvas.
4. Construye gráficas que corresponden a funciones escalonadas o
sin fórmula.
140 a 147
1.
1.
Formula, justifica y usa el
teorema de Pitágoras.
20
114 a 123
Analiza y compara
diversos tipos de
variación a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que
resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de otros
contextos.
P
ro
19
106 a 113
1.
Uso de la tecnología
18
Páginas del
libro del alumno
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
15
16
Secuencias
didácticas
n
Semana
20. Uso del teorema
de Pitágoras
Recursos Didácticos para el Profesor
Resuelve problemas donde se use el teorema de Pitágoras
como una propiedad del triángulo rectángulo.
2. Resuelves problemas donde se use el teorema de Pitágoras
para calcular distancias o longitudes.
3. Resuelve problemas donde se use el teorema de Pitágoras en
diversos contextos.
4. Resuelve problemas donde se use el teorema de Pitágoras.
158 a 165
Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro del alumno
Formula la razón trigonométrica seno en la resolución de
problemas.
2. Formula la razón trigonométrica coseno en la resolución de
problemas.
3. Formula la razón trigonométrica tangente en la resolución de
problemas.
166 a 171
Usa, en la resolución de problemas que involucran triángulos
rectángulos, las razones trigonométricas: sen, cos y tan.
2. Calcula las razones trigonométricas sen, cos y tan.
3. Profundiza en el cálculo de las razones trigonométricas.
172 a 177
1.
21. Razones
trigonométricas
Resuelve problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
22. Cálculo de las
razones seno,
coseno
y tangente
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
22
1.
n
21
Uso de la tecnología
178 y 179
Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos
para identificar sus dispersiones (iguales o muy cercanas) y las
medidas de tendencia central (medias o medianas respectivas
muy diferentes).
2. Analiza situaciones de comparación de conjuntos de datos en
los que sus dispersiones son iguales o muy cercanas, pero las
medias o medianas respectivas muy diferentes.
3. Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos en
lo que sus dispersiones son iguales o muy cercanas, pero las
medias o medianas respectivas muy diferentes.
180 a 185
Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos para
identificar sus dispersiones (muy diferentes) y las medidas de
tendencia central (las medias o medianas respectivas son iguales
o muy cercanas).
2. Analiza situaciones de comparación de conjuntos de datos en
lo que sus dispersiones son muy diferentes, pero las medias o
medianas respectivas iguales o muy cercanas.
3. Resuelve situaciones de comparación de conjuntos de datos en
lo que sus dispersiones son muy diferentes, pero las medias o
medianas respectivas iguales o muy cercanas.
186 a 191
1.
23
23. Dispersiones
iguales y
medias
diferentes
Compara la tendencia
central (media, mediana
y moda) y dispersión
(rango y desviación
media) de dos
conjuntos de datos.
24
1.
24. Dispersiones
muy diferentes
y medias
iguales
(resolución)
25. Distinguir
eventos
singulares
P
ro
Calcula la probabilidad
de ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
25
26. Probabilidad
de eventos
no singulares
(definición
clásica)
1.
Distingue eventos singulares y no singulares en situaciones de
probabilidad.
2. Define y entiende que un evento no singular ocurre cuando el
resultado es uno de sus elementos.
Resuelve problemas que impliquen calcular la probabilidad de
eventos no singulares usando la definición clásica.
2. Resuelve problemas que impliquen calcular la probabilidad de
eventos no singulares usando el enfoque frecuencial.
3. Resuelve problemas que impliquen calcular la probabilidad de
eventos no singulares usando la definición clásica o el enfoque
frecuencial.
192 a 195
1.
¿Cómo lo hicimos?
196 a 201
202 y 203
Evaluación del trimestre 2
Recursos Didácticos para el Profesor
XV
Trimestre 3
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
27. Ecuaciones
cuadráticas de
la forma
x(ax 1 1) = 0
26
Sesiones
Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas de la
forma x(ax 1 1) = 0 mediante factorización.
2. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas de la
forma (ax 1 b)2 = 0 mediante factorización.
3. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas de la
forma (ax 2 b)2 = 0 mediante factorización.
1.
Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas con la
fórmula general.
2. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas en las
cuales sea necesario analizar el discriminante.
3. Resuelve problemas de ecuaciones cuadráticas en las
cuales se aplique el discriminante.
206 a 211
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1.
27
Páginas del
libro del alumno
n
Semana
Resuelve problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones cuadráticas.
28. Ecuaciones
cuadráticas:
fórmula general
Resuelve problemas que impliquen la formulación y
solución de ecuaciones cuadráticas mediante diversos
procedimientos.
2. Resuelves problemas que impliquen la formulación y
solución de ecuaciones cuadráticas mediante diversos
procedimientos.
212 a 217
1.
28
29. Formulación
y solución de
ecuaciones
cuadráticas
1.
29
Analiza y compara
diversos tipos de
variación a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que
resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de otros
contextos.
P
ro
30
30. Construcción
de gráficas
cuadráticas
31
222 a 229
1.
31. Funciones
cuadráticas
Resuelve situaciones que se modelen con funciones
cuadráticas de la forma: y 5 ax2; y 5 ax2 1 c.
2. Usa funciones cuadráticas de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c,
y del tipo y 5 a(x 2 d)2, para anticipar resultados o para
caracterizar este tipo de variación.
3. Caracteriza gráficas que representan funciones
cuadráticas. Identifica su simetría, la ubicación del vértice y
la existencia de un máximo y un mínimo.
32. Representaciones
de variación
cuadrática
Recursos Didácticos para el Profesor
Resuelve problemas de variación cuadrática que permitan
relacionar la representación gráfica y la expresión
algebraica correspondiente.
2. Construye gráficas asociadas a funciones cuadráticas.
3. Resuelve problemas de variación cuadrática que
permiten relacionar la representación algebraica con la
representación gráfica correspondiente y/o construirla.
230 a 235
1.
Uso de la tecnología
XVI
Construye gráficas de variación cuadrática considerando
datos tabulados.
2. Construye gráficas de variación cuadrática considerando
datos tabulados.
3. Construye gráficas de variación cuadrática a partir de
completar tablas.
4. Construye gráficas asociadas a funciones cuadráticas.
218 a 221
236 a 241
242 y 243
Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro del alumno
Analiza, haciendo uso de la semejanza de triángulos, que
el valor de las razones trigonométricas depende del ángulo
en cuestión.
2. Calcula los valores: seno, coseno y tangente de ángulos
notables (0º, 30º, 60º).
3. Calcula los valores faltantes del seno, coseno y tangente
de ángulos notables (45º y 90º).
244 a 249
1.
33. Razones
trigonométricas y
su relación con el
ángulo
33
hi ©S
bi A
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T
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
n
32
Resuelve problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
34. Razones
trigonométricas y
ángulos menores
o iguales que 90º
1.
Analiza los valores posibles que pueden tener el seno,
coseno y la tangente de un ángulo menor o igual que 90º.
2. Resuelve problemas empleando ángulos notables
menores o iguales que 90º y razones trigonométricas.
250 a 253
Diseña un teodolito casero para calcular distancias reales
empleando razones trigonométricas.
2. Usa el teodolito casero para calcular distancias reales
empleando razones trigonométricas.
3. Usa las razones trigonométricas para el cálculo de
distancias inaccesibles.
254 a 259
1.
34
35. Teodolito: cálculo
de distancias
Define y da ejemplos de eventos mutuamente excluyentes
en diferentes situaciones aleatorias.
2. Calcula la probabilidad de la unión de dos eventos
mutuamente excluyentes mediante la regla de la suma.
3. Resuelve problemas que impliquen calcular la probabilidad
de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
1.
P
ro
35
Calcula la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes.
36. Eventos
mutuamente
excluyentes
Uso de la tecnología
36
260 a 265
266 y 267
¿Cómo lo hicimos?
268 y 269
Evaluación del trimestre 3
Evaluación final
Recursos Didácticos para el Profesor
XVII
Evaluación diagnóstica
Nombre: Grupo: Número de lista: 1. Anota en cada paréntesis una “V” si la afirmación es verdadera o una “F” si es falsa.
) Cuando se multiplica un número por cinco, el resultado siempre termina en cero.
(
) Cualquier número par se puede dividir exactamente entre dos.
(
) El producto de (15)(15) es igual al producto de (25)(25).
(
) Si el valor de x es 23, entonces el valor de x2 es 29.
(
) En un triángulo rectángulo, dos de sus ángulos son agudos.
hi ©S
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ri
bu
ci
ó
n
(
2. Encierra las cantidades que pueden repartirse entre dos personas en partes iguales.
915
372
1 509
94
601
3 006
817
248
814
1 110
585
a) ¿Qué regularidad encuentras en los números que marcaste? 3. Contesta.
a) ¿Qué números mayores que 37 y menores que 52 se pueden dividir exactamente entre 5? b) ¿Cuáles son los números mayores que 383 y menores que 412 que pueden dividirse exactamente
entre 5? P
ro
c) Escribe seis números mayores que 1 000 y menores que 2 000 que puedan dividirse exactamente
entre 5. d) ¿Qué regularidad encuentras en los números que escribiste? 4. Alan trabaja haciendo paquetes de lechugas. Pone 2 lechugas en los paquetes chicos y 5 en los grandes.
En una caja hay 345 lechugas, en otra 280 y en la tercera, 412.
a) ¿Cuántas lechugas tiene la caja con la que puede hacer cualquier tamaño de paquete sin que le sobre
alguna? XVIII
Recursos Didácticos para el Profesor
5. Observa las medidas de los lados del cuadrado.
i.
hi ©S
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st NA
ri
bu
ci
ó
n
n
Subraya las formas de expresar la medida del perímetro.
A) P 5 n 1 n 1 n 1 n
B) P 5 4 1 n
C) P 5 (n) (n) (n) (n)
D) P 5 4n
ii. Subraya la fórmula que representa la medida del área.
A) A 5 n 1 n
B) A 5 nn
C) A 5 n 1 n
D) A 5 nn
6. Analiza las medidas de los lados del rectángulo.
x
x
3
a) Escribe una forma de expresar la medida del perímetro del rectángulo. P
ro
b) Anota una manera de expresar la medida del área del rectángulo. c) Si las medidas de los lados se expresan en centímetros y x 5 5...
i.
¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? ii. ¿Cuánto mide el área? d) Si las medidas de los lados se expresan en metros y x = 10...
i.
¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? ii. ¿Cuánto mide el área? Recursos Didácticos para el Profesor
XIX
7. Escribe en cada paréntesis la letra de la respuesta correcta de acuerdo con el siguiente conjunto de datos:
13, 21, 17, 18, 16, 24, 19, 16, 17.
) ¿Cuál es la media?
A) 16
(
B) 17
B) 16
D) 17 y 18
hi ©S
bi A
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
B) 17
C) 18
D) 19
C) 12
D) 11
C) 1.91
D) 1.83
) ¿Cuál es el rango?
B) 13
A) 14
(
C) 17
) ¿Cuál es la mediana?
A) 16
(
D) 18.1
) ¿Cuál es la moda?
A) 16 y 17
(
C) 17.8
n
(
) ¿Cuál es la desviación media?
B) 2.32
A) 2.45
P
ro
8. Encierra todos los rectángulos cuyos lados sean proporcionales a los lados del rectángulo azul.
9. Analiza el triángulo rectángulo.
a) ¿Qué letra tiene el lado mayor? b) ¿A qué ángulo se opone el lado mayor: al recto o a un agudo?
a
c
c) ¿Estas condiciones se presentan en cualquier triángulo rec-
b
XX
Recursos Didácticos para el Profesor
tángulo? 10. La gráfica muestra la altura (h), en metros, que alcanza una pelota al ser lanzada desde el suelo en relación con el tiempo (t), en segundos, que dura su recorrido hasta volver a caer. Analiza la gráfica y subraya
la respuesta correcta.
h (m)
25
20
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
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st NA
ri
bu
ci
ó
n
15
10
5
t (s)
0
i.
1
2
3
4
5
6
¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
A) 10 m
B) 15 m
C) 25 m
D) 26 m
ii. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima?
A) 2 s
B) 2.5 s
C) 3 s
D) 3.5 s
iii. ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?
A) 0 s
B) 2.5 s
C) 5 s
D) 6 s
11. La gráfica muestra la posición de un cuerpo que se deja caer desde una altura de 300 metros del suelo en
relación con el tiempo transcurrido.
y (m)
400
P
ro
300
200
100
0
2
4
6
8
10
t (s)
a) Aproximadamente, ¿cuánto tiempo tarda en caer al suelo? b) Al pasar la mitad del tiempo que tarda en caer al suelo, ¿el cuerpo ha recorrido la mitad de la altura a la
que se dejó caer? c) ¿Es constante la distancia recorrida por el cuerpo en relación con el tiempo transcurrido? Recursos Didácticos para el Profesor
XXI
12. Completa la tabla con la medida del área de los círculos cuyo radio se indica. Luego traza la gráfica y contesta. Considera el valor de π 5 3.14.
50
Radio (r)
cm
Área (A)
cm2
40
1
30
n
2
hi ©S
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ri
bu
ci
ó
3
20
4
10
0
1
2
3
4
5
13. Relaciona cada enunciado con la ecuación que la representa.
(
)
Si un número se multiplica por sí mismo y al resultado se le aumentan 10 unidades se obtiene 90.
A) xx 2 10 5 90
(
)
Al producto de un número por sí mismo se le restan 10 unidades y se obtiene 90.
B) x2 2 10 5 90
(
)
Si un número es elevado al cuadrado y al resultado
se le quitan 10 unidades resulta 90.
C) xx 1 10 5 90
14. Calcula la medida de los lados de cada cuadrado.
P
ro
A 5 121 cm2
i. Medida del lado 5 A5
1
4
de m2
ii. Medida del lado 5 A 5 6.25 dm2
iii. Medida del lado 5 a) ¿Qué hiciste para determinar la medida de los lados de los cuadrados anteriores? XXII
Recursos Didácticos para el Profesor
15. Resuelve las situaciones. Cada una tiene dos soluciones diferentes.
a) Alba multiplicó un número por sí mismo. Luego, al resultado le aumentó 5 y obtuvo 30.
•
¿Qué números multiplicó por sí mismos? b) Renata elevó un número al cuadrado. Luego, al resultado le restó 10. De esta manera obtuvo 90.
•
¿Qué números pudo haber elevado al cuadrado? ¿De qué números obtuvo el doble de su cuadrado? hi ©S
bi A
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su IL
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ri
bu
ci
ó
•
n
c) Salvador obtuvo el doble del cuadrado de un número cuyo resultado es 450.
16. Alba, Carolina, Carlos y Emmanuel sacan una bola al azar de una urna, como la que se muestra.
D
B
A
O
I
M
G
U
Z
• Alba gana si la esfera tiene una vocal.
• Carolina gana si la esfera tiene una letra de la palabra “paz”.
• Carlos gana si la esfera tiene una letra de la palabra “peces”.
• Emmanuel gana si la esfera tiene una letra de la palabra “mundo”.
P
ro
Contesta.
a) ¿Con cuántos resultados posibles gana Carolina? b) ¿Con cuántos resultados posibles gana Emmanuel? c) ¿Quién o quiénes tienen más posibilidades de ganar? d) ¿Quién no tiene posibilidades de ganar? e) ¿Quién gana si sale la esfera con la letra “A”? f)
¿Quién gana si sale la esfera con la letra “Z”? Recursos Didácticos para el Profesor
XXIII
Evaluación del trimestre 1
Nombre: Grupo: Número de lista: 1. Escribe en cada paréntesis la letra de la respuesta correcta.
) ¿Qué número es divisible entre 2, 3, 4 y 5?
A) 1 530
B) 2
B) 135
B) 30
C) 170
D) 270
C) 45
D) 90
) ¿Cuál expresión representa la suma de tres números consecutivos?
A) 3x 1 3
(
D) 0
) ¿Cuál es el máximo común divisor de 90, 45 y 270?
A) 15
(
C) 1
) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 90, 45 y 135?
A) 90
(
D) 1 575
) ¿Es el número de divisores que tiene un número primo?
A) 3
(
C) 1 560
hi ©S
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
(
B) 1 545
n
(
B) 3x 1 2
C) 3x 1 1
D) 3x
) ¿Cuál expresión representa el área de toda la figura?
A) x2 17x 1 49
x
B) 2x2 1 14x 1 49
C) x2 1 14x 1 49
7
D) 2x2 1 28x 1 49
(
) ¿Cuál expresión es equivalente a x(x 2 3)?
P
ro
A) x2 2 3x
(
D) 2x 2 3
B) Alturas
C) Lados
D) Ángulos
) En dos triángulos semejantes un lado del primero mide 7 cm y el lado correspondiente en el segundo
triángulo mide 5 cm. ¿Cuánto mide el lado del segundo triángulo que le corresponde al que mide 4 cm
en el primero?
A) 2.85 cm
XXIV
C) x2 2 3
) En dos rectángulos semejantes, ¿cuáles de sus elementos correspondientes son iguales?
A) Bases
(
B) 2x 2 3x
B) 3 cm
Recursos Didácticos para el Profesor
C) 5.5 cm
D) 6 cm
(
) ¿En qué opción se muestran las medidas de tendencia central y de dispersión de los datos: 3, 6, 2, 8,
9, 12, 6, 7, 4, 8?
B) Media: 6
Mediana: 6.5
Moda: 6
Rango: 12
Desv. media: 3.2
C) Media: 6
Mediana: 6.5
Moda: 8
Rango: 8
Desv. media: 2.3
D) Media: 6.5
Mediana: 6
Moda: 6 y 8
Rango: 10
Desv. media: 2.3
n
A) Media: 6.5
Mediana: 6.5
Moda: 6 y 8
Rango: 10
Desv. media: 2.3
hi ©S
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bu
ci
ó
2. Raúl vende tacos en una fábrica. Para organizar sus ventas hace paquetes, cada uno con 2, 3, 4, 5 o 6
tacos. El lunes hizo 890 tacos; el martes, 1 360; el miércoles, 920; el jueves hizo 1 075 tacos y el
viernes, 1 440.
a) ¿Qué día hizo una cantidad de tacos con la que podía hacer cualquiera de los paquetes sin que le sobrara ningún taco?
3. Jorge y sus tres primos integran una banda musical. Jorge toca la guitarra en periodos de 12 tiempos,
Antonio toca la batería en 8 tiempos, Alan toca el bajo en 6 tiempos y Emmanuel toca el saxofón en 16
tiempos.
a) Si todos inician al mismo tiempo, ¿en cuántos tiempos sus periodos volverán a iniciar juntos?
4. Cristina hace piezas cuadradas que se usan como bases para envolver regalos. Ella las corta de láminas
de fibracel que miden 1.32 m de largo y 1.08 m de ancho.
a) ¿Cuánto deben medir las piezas para que sean del mayor tamaño posible y sin desperdiciar material?
b) ¿Cuántas piezas obtendrá de una lámina?
5. Escribe dos expresiones que representen el área de la siguiente figura.
P
ro
n
5
n
3
Área 5 Área 5 Recursos Didácticos para el Profesor
XXV
6. Anota tres expresiones que representen el área de la siguiente figura.
x
Área 5 Área 5 a) Si x 5 7, ¿cuánto mide el área de toda la figura?
hi ©S
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ó
x
n
Área 5 x
4
7. Traza dos polígonos semejantes al pentágono anaranjado que cumplan las siguientes condiciones.
P
ro
a) Uno, en el que sus lados midan la mitad que los lados del pentágono original.
3
b) Otro, de manera que la medida de los lados se multiplique por .
2
XXVI
Recursos Didácticos para el Profesor
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ri
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ci
ó
n
3
8. Traza un triángulo semejante al siguiente con razón de semejanza . Utiliza el menor número de
2
mediciones.
a) ¿Qué medidas utilizaste? 9. La maqueta de un proyecto de construcción de una unidad habitacional mide 1.5 m de largo y 90 cm de
ancho.
a) Si el largo del terreno de ese proyecto mide 275 m, ¿cuánto mide el ancho del terreno? 10. Una persona que mide 1.70 m de altura proyecta una sombra de 5 m a la misma hora que una antena proyecta una sombra de 42.5 m.
a) ¿Cuál es la altura de la antena? 11. En las tablas se muestran los registros de inasistencias de dos grupos con el mismo número de alumnos,
de 20 días.
Grupo A
2
1
Grupo B
0
4
1
0
3
0
2
1
2
0
3
3
4
1
1
2
2
1
0
0
2
0
1
1
0
2
0
1
1
2
2
3
3
2
P
ro
3
2
4
2
Completa la tabla.
Grupo
Media
Moda
Mediana
Rango
Desviación media
A
B
a) ¿Qué grupo tiene mejor registro de asistencia?
¿Por qué? Recursos Didácticos para el Profesor
XXVII
Evaluación del trimestre 2
Nombre: Grupo: Número de lista: 1. Escribe en cada paréntesis la letra de la respuesta correcta.
B) 6 y 26 C) 26 y 0
C)
Nivel
Nivel
B)
Tiempo
D)
Tiempo
Tiempo
Tiempo
) ¿En qué opción se muestra una función?
P
ro
A) x2 2 25x 1 1
B) (x 12) (x 2 1) 5 12
(
D) 6 y 21
) Un recipiente, como el que se muestra, se llena con un flujo constante de agua. ¿Qué gráfica muestra
el nivel del líquido en el recipiente en función del tiempo transcurrido?
A)
(
D) 2πr 5 78.5
) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 5x2 5 180?
A) 0 y 6
(
C) πr2 5 78.5
Nivel
(
πr
5 78.5
2
B)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
A) πr 5 78.5
n
) El área de un círculo mide 78.5 cm2. ¿Qué ecuación permite calcular la medida del radio (r) de ese
círculo?
Nivel
(
C) V 5 πr2h
D) x2 5 2x 2 1
) ¿En qué opción se presenta la razón coseno para el ángulo J?
J
k
l
K
XXVIII
j
Recursos Didácticos para el Profesor
L
A)
j
k
C)
k
j
B)
l
k
D)
k
l
a) Escribe la ecuación que modela esta situación: hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b) Resuelve la ecuación y anota la medida de los lados que forman parte del terreno:
n
x
17 m2
2. César tiene un terreno formado por tres cuadrados y un rectángulo, según la distribución que se muestra. El
área de todo el terreno es de 380 m2.
3. Para la ecuación 2x2 5 18.
a) Escribe la función asociada a la ecuación y 5 b) Completa la tabla y traza la gráfica correspondiente.
x
y
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
P
ro
4
c) ¿Qué números solucionan la ecuación? Recursos Didácticos para el Profesor
XXIX
a) ¿En qué piso se inició el recorrido que se muestra? 7
5
c) ¿En qué pisos tardó el mismo tiempo en retomar su recorrido? 3
2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1
n
4
d) ¿En qué piso tardó más tiempo en retomar su recorrido?
8
6
b) ¿En qué pisos no se detuvo el elevador? Piso
4. En la gráfica se muestra el recorrido de un elevador. Analízala y contesta.
PB
S1
S2
Tiempo
5. Traza la gráfica que representa la siguiente situación.
En una evaluación se asigna el resultado de acuerdo con la escala que se muestra:
Aciertos
Resultado
Hasta 15
A
16 a 25
B
26 a 35
C
36 a 45
D
Más de 45
E
P
ro
6. Para reforzar un edificio se colocan vigas metálicas como diagonales de los rectángulos que forman la estructura. Esas vigas se sueldan, como se muestra en la imagen.
7.5 m
4m
a) ¿De qué medida deben ser las vigas? XXX
Recursos Didácticos para el Profesor
7. Toma las medidas de los lados del siguiente triángulo rectángulo y calcula el valor de las razones trigonométricas que se indican.
A
sen C 5
5
cos A 5
5
cos C 5
5
tan A 5
5
tan C 5
5
n
5
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
B
sen A 5
C
8. Cuatro cables tensores sostienen una antena a un metro del punto más alto de esta. Los cables, que miden
35 m, forman con el suelo un ángulo de 65º. ¿Cuánto mide la antena?
9. Un hexágono regular mide 12 cm por lado.
a) ¿Cuál es la medida de la apotema? b) ¿Cuánto mide el área? 10. Se midió el tiempo de retraso con que se entregaron algunos paquetes en tres empresas de envíos. En la
tabla se muestran los resultados, en horas de retraso, de acuerdo con el horario pactado para la entrega.
Empresa
A
B
C
0.5
2
0
2
0.75
3
Tiempo de retraso en la entrega (horas)
1.5
1.25
4.5
3
2
2.25
1.5
3
2
3
3.25
2
3.5
0
1
1.25
2.5
5
3
2.25
4
a) ¿Qué empresa es más eficiente en sus compromisos de tiempo de entrega?
2.5
3
3.25
¿Por qué?
P
ro
11. Jorge y Ana hacen tarjetas iguales, excepto por el número natural que ponen en ellas. Numeran las tarjetas
del 20 al 40 y las colocan en una caja. Luego, sacan una tarjeta al azar. Jorge gana si el número en la tarjeta
es par y Ana gana si es impar.
a) Los eventos con que ganan Jorge y Ana, ¿son singulares o no singulares?
¿Por qué?
b) ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar? ¿Por qué? Recursos Didácticos para el Profesor
XXXI
Evaluación del trimestre 3
Nombre: Grupo: Número de lista: 1. Escribe en cada paréntesis la letra de la respuesta correcta.
) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x(4x 1 1) 5 0?
(
1
1
y 2 4
4
D) 24 y 2
B) 0 C) 211
1
4
D) 236
B) 2
C) 1
D) 0
y
) ¿En qué opción se propone una afirmación verdadera
para la función cuya gráfica se muestra?
A)
B)
C)
D)
(
1
4
C) 0 y
) Javier encontró que el valor del discriminante de una ecuación cuadrática es cero. De acuerdo con lo
anterior, ¿cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación que analizó Javier?
A) 3
(
1
4
) En la ecuación cuadrática x2 1 5x 1 9 5 0, ¿cuál es el valor del discriminante?
A) 25
(
B) 0 y 2
n
A)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
(
5
4
3
2
Su vértice está en el punto (1, 24).
Su eje de simetría es la recta x 5 21.
El valor mínimo de la función es 23.
El valor máximo de la función es 3.
1
25 24 23 22 21 0
) ¿En qué opción se muestran los valores correctos de las
funciones trigonométricas para el ángulo de 90º?
A)
B)
C)
D)
sen 90º 5 0; cos 90º 5 ∞; tan 90º 5 1
sen 90º 5 0; cos 90º 5 1; tan 90º 5 ∞
sen 90º 5 1; cos 90º 5 ∞; tan 90º 5 0
sen 90º 5 1; cos 90º 5 0; tan 90º 5 ∞
1
2 3 4
21
22
23
24
25
P
ro
Se lanza un dado de doce caras numeradas del 1 al 12
y se definen los siguientes eventos.
Evento A: Se obtiene un múltiplo de 3.
Evento B: Se obtiene un número divisible entre 2.
Evento C: Se obtiene un número primo.
Evento D: Se obtiene un número impar.
(
) ¿Cuáles de estos eventos son mutuamente excluyentes?
A) Eventos A y C
XXXII
B) Eventos B y D
Recursos Didácticos para el Profesor
C) Eventos C y B
D) Eventos D y A
x
5
2. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
1
x 2 4 5 0
2
b) 8x2 1 2x 2 1 5 0
n
a) x2 1 7
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
3. La diferencia de dos números enteros es 9 y la suma de sus cuadrados es 221. ¿Cuáles son esos números?
4. El doble del cuadrado de un número menos veintiocho veces ese mismo número es igual a cero. ¿De qué
número o números se trata?
5. Haz lo que se pide para la función y 5 x2 1 4x.
a) Completa la tabla y traza la gráfica correspondiente.
y
P
ro
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXIII
6. Completa la tabla, traza la gráfica y anota la expresión algebraica que representa la siguiente situación.
“El área de un cuadrado es aumentado en un centímetro cuadrado”.
b) Gráfica
a)
n
Medida del área del
cuadrado en centímetros cuadrados (y)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Medida del lado del
cuadrado en
centímetros (x)
1
2
3
4
5
6
c) Expresión algebraica: y 5 7. Calcula las medidas que se piden de cada triángulo rectángulo.
M
K
72º
D
73 cm
E
21 cm
30º
55 cm
F
L
i)
Medida del ángulo L: b) Medida del ángulo D: j)
Medida del lado LM: c) sen 30º 5 k) Medida del lado MK: d) cos 30º 5 l)
e) tan 30º 5 m) cos 72º 5 f)
sen 60º 5 n) tan 72º 5 g) cos 60º 5 o) sen 18º 5 h) tan 60º 5 p) cos 18º 5 P
ro
a) Medida del lado DE: sen 72º 5 q) tan 18º 5 XXXIV
Recursos Didácticos para el Profesor
8. Damián trazó un triángulo equilátero de 10 cm por lado. ¿Cuánto mide la altura del triángulo que trazó?
n
9. Para calcular la altura de una torre, Laura se coloca a 72 m de distancia y observa la parte más alta de esa
construcción con un ángulo de elevación del teodolito de 35º. Si la altura a la que se encuentra el teodolito
es de 1.58 m, ¿cuál es la altura de la torre?
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
10. Luisa y Carlos lanzan dados como los que se muestran, suman los puntos obtenidos en ambos dados
y definen los siguientes eventos.
Evento A: Se obtiene un número menor que 4.
Evento B: Se obtiene un número mayor que 3 y menor que 8.
Evento C: Se obtiene un número mayor que 7 y menor que 11.
Evento D: Se obtiene 11 o 12.
Luisa gana si ocurre el evento A o el evento C y Carlos gana si ocurre el evento B o el evento D.
1
2
1
2
3
2
3
Puntos en el dado anaranjado
3
4
5
6
3
4
5
P
ro
Puntos en el dado amarillo
a) Completa la tabla con los posibles resultados de la suma.
6
b) Anota la probabilidad de que ocurra cada evento:
P (A) 5
1
4
P (B) 5
1
4
P (C) 5
c) ¿Quién tiene mayores probabilidades de ganar?
1
4
P (D) 5
1
4
¿Por qué afirmas lo anterior?
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXV
Respuestas
Evaluación diagnóstica
1.
8.
F; V; V; F; V
2.
372
3 006
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
248
94
814
1 110
a) Son números pares.
3. a) 40, 45 y 50
9. a) a
b) 385, 390, 395, 400, 405 y 410
b) Al ángulo recto.
c) R. M. 1 050, 1 225, 1 350, 1 555, 1 600, 1 800,
1 850.
d) Terminan en 0 o 5.
4. a) 280
c) Sí.
10. i.
C) 25 m
ii. B) 2.5 s
5. i. A) P 5 n 1 n 1 n 1 n
D) P 5 4n
iii. C) 5 s
11. a) 8 s
ii. B) A 5 nn
b) No
6. a) Perímetro 5 x 1 3 1 x 1 x 1 3 1 x
c) No
b) Área 5 (x 1 3) x
P
ro
c) i. 26 cm
ii. 40 cm2
d) i. 46 m
12.
Radio (r) Área (A)
cm
cm2
1
3.14
2
12.56
3
28.26
4
50.24
ii. 130 m
2
7. C; A; B; D; B
XXXVI
Recursos Didácticos para el Profesor
A (cm2)
16. a) 2
50
b) 4
40
c) Alba y Emmanuel
30
d) Carlos
20
n
e) Alba y Carolina
10
f) Carolina
1
2
3
4
5
r (cm)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
0
13. ( C ) Si un número se
multiplica por sí
mismo y luego, al resultado
se le aumentan
10 unidades se
obtiene 90.
A) xx 2 10 5 90
( A ) Al producto de un
número por sí
mismo se le restan 10 unidades
y se obtiene 90.
B) x2 2 10 5 90
Evaluación del trimestre 1
1. C; B; D; C; A; C; A; D; A; A
2. a) El viernes
3. a) En 48 tiempos
4. a) 12 cm por lado
b) 99
5. Área 5 (n 1 5) (n 1 3)
Área 5 n2 1 8n 1 15
( B ) Si un número es
elevado al cuadrado y luego,
al resultado se
le quitan 10 unidades resulta
90.
14. i.
C) xx 1 10 5 90
6. Área 5 x2 1 4x 1
x2
2
Área 5 x2 1 6x 1
x2
2
Área 5
3x2
2
+
4x
2
1 6x
a) 115.5
Medida del lado 5 11 cm
1
2
7.
m
P
ro
ii. Medida del lado 5
iii. Medida del lado 5 2.5 dm
a) R. M. Buscar un número que multiplicado
por sí mismo dé como resultado el área o
calcular la raíz cuadrada del área.
15. a) • 5 y 2 5
b) • 10 y 2 10
c) • 15 y 2 15
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXVII
3. a) y 5 2x2 2 18
b)
a) R. M. 9 cm, 7.5 cm y 5 cm (Cualquiera que refiera a alguno de los criterios de semejanza de
triángulos).
9. a) 165 m
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
14
0
–10
–16
–18
–16
–10
0
14
n
8.
11.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
10. a) 14.45 m
Grupo Media Moda Mediana Rango
A
1.8
1y2
2
Desviación
media
4
y
15
1.12
10
B
1.4
2
1.5
3
0.9
a) B. ¿Por qué? Todas sus medidas de tendencia
central y de dispersión son menores en cuanto
a la inasistencia.
0
210
Evaluación del trimestre 2
210
1. C; B; D; C; B
2. a) 3x2 1 17 5 380
b)
220
P
ro
3x2 1 17 5 380
3x2 5 380 2 17 5 363
363
x2 5
5 121
3
x 5 √ 121 5 11
La medida de cada lado de los cuadrados del
terreno cuadrado mide 11 m y del rectángulo,
11 m por 1.55 m.
XXXVIII
Recursos Didácticos para el Profesor
c) –3 y 3
4. a) En la planta baja
b) 1, 4, 5, 7 y S1
c) 2, 6 y 8
d) En el 3
5
10
x
Evaluación del trimestre 3
5.
E
1. B; C; C; A; D; B
2. a. 8 y 2
D
b.
Resultado
C
40
60
Aciertos
80
100
6. a) 8.5 m
6
5
7.2
cos A 5 4 5
7.2
6
5
tan A 5
4
8. 32.72 m
n
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
4. 2x2 2 28x 5 0
Los números son 0 y 14.
20
7. sen A 5
1
1
y2
4
2
3. x 2 y 5 9
x2 1 y2 5 211
Los números son 25 y 14.
B
A
1
2
0.83
0.55
1.5
4
5 0.55
7.2
6
cos C 5
5 0.83
7.2
4
tan C 5
5 0.66
6
sen C 5
9. a) 10.4 cm
5. a)
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
y
12
5
0
–3
–4
–3
0
5
12
21
32
45
60
b) 374.4 cm2
10.
y
a) La empresa B ¿Por qué? Aunque la media de
las tres empresas es muy parecida, la desviación media de la empresa B, es menor que la
de las otras dos.
2
a) No singulares ¿Por qué? Cada evento tiene
varios resultados posibles.
P
ro
11.
4
b) Jorge, porque su probabilidad de ganar es
11
de
mayor que la de Ana. Jorge tiene
21
10
probabilidades de ganar y Ana, .
21
24
22
0
2
x
4
22
24
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXIX
6. a)
d) cos 30º 5 0.7543
Medida del lado del
Medida del área del
cuadrado en centíme- cuadrado en centímetros (x)
tros cuadrados (y)
2
5
3
10
4
17
5
26
6
37
g) cos 60º 5 0.6575
h) tan 60º 5 1.1458
i)
Medida del ángulo L: 18º
j)
Medida del lado LM: 19.97 cm
n
2
f) sen 60º 5 0.7534
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1
e) tan 30º 5 0.8727
k) Medida del lado MK: 6.5 cm
y
l) sen 72º 5 0.9509
m) cos 72º 5 0.3095
n) tan 72º 5 3.072
o) sen 18º 5 0.3095
p) cos 18º 5 0.9509
q) tan 18º 5 0.3254
8. 8.66 cm
9. 51.99 m
10. a)
0
1
2
3
5
4
6
7
Medidas de lado (cm)
c) y 5 x2 11
7. a) Medida del lado DE: 48 cm
b) Medida del ángulo D: 60º
c) sen 30º 5 0.6575
XL
Recursos Didácticos para el Profesor
x
8
9
10
Puntos en el dado
amarillo
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
P
ro
Medida del área aumentada en 1 cm2
b)
1
2
3
4
5
6
Puntos en el dado anaranjado
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
3
36
12
P (C) 5
36
b) P (A) 5
18
36
3
P (D) 5
36
P (B) 5
c) Carlos. Porque su probabilidad de ganar es
15
21
de
mientras que la de Luisa es de .
36
36
Solucionario del libro
Trimestre 1
Página 41
Secuencia didáctica 3
¿Qué aprendimos?
2. • MCD = 100 3 3 5 300
¿Cómo vamos?
• Porque los números ya no tienen más factores en
común.
Página 34
3. a) 287 es divisible entre 7 y 4 891 es divisible
entre 67; por tanto, ambos números son
compuestos.
Secuencia didáctica 4
Página 37
¿Qué estamos aprendiendo?
3. a) Descomponemos cada número en factores
primos, luego multiplicamos todos los factores primos comunes con mayor repetición
con los factores primos no comunes. Así
obtenemos el mínimo común múltiplo de
ambos números.
P
ro
Página 38
4 800
3 900
6 600
100
48
39
66
3
16
13
22
2
8
13
11
8
1
13
11
13
1
11
11
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
3. a) R. M. Porque el 1 solamente tiene un divisor
y la definición indica que los números primos
tienen dos divisores.
n
Página 33
1. d) No, ya que algunos números son primos y
el único divisor en común es el 1.
Página 39
3. a) Escribir cada número en factores primos y
luego multiplicar los factores primos que son
comunes a los involucrados para obtener el
máximo común divisor de ambos números.
1
• MCD = 2 3 2 3 3 3 5 3 5 5 300
4 800
3 900
6 600
2
2 400
1 950
3 300
2
1 200
975
1 650
2
600
975
825
2
300
975
825
2
150
975
825
2
75
975
825
3
25
325
275
5
5
65
55
5
1
13
11
11
13
1
13
1
Para calcular el mcm y el MCD se pueden usar
números más grandes con el fin de factorizar las
cifras siempre y cuando se sigan las reglas al
tomar los números que deben multiplicarse. En
el caso del MCD se deben multiplicar solo las
cifras que coincidan en la factorización de todos
los números, y en el caso del mcm se toman todos los factores.
Recursos Didácticos para el Profesor
XLI
Secuencia didáctica 5
par, de 5 y de cero; además, la suma de sus dígitos no es múltiplo de 3. Los números 2 y 3 dividen
a 234 porque el dígito de las unidades es par y la
suma de sus dígitos es múltiplo de 3. El número 5
divide a 345 porque su último dígito de izquierda
a derecha es 5.
Página 42
¿Qué sabemos?
200
100
50
25
5
1
2
2
2
5
5
5
mcm 5 2 3 2 3 2 3 5 3 5 3 5 5 1000
R. M. Si la persona 1 se detiene cada 150 m y la
persona 2 se detiene cada 100 m se obtiene:
150
75
75
15
3
1
100
50
25
5
1
2
2
5
5
3
mcm 5 2 3 2 3 5 3 5 3 3 5 300
Coincidirán en las marcas de 300 m, 600 m
y 900. Por tanto, debe haber 13 personas para
tomar los signos vitales en las marcas de 100 m,
150 m, 200 m, 300 m, 400 m, 450 m, 500 m,
600 m, 700 m, 750 m, 800 m, 900 m y 1 000 m.
Página 43
¿Qué estamos aprendiendo?
P
ro
1. a) El MCD, ya que se debe dividir cada terreno en
parcelas lo más grandes posible y debe ser
el mismo número de parcelas. Es decir, se
debe encontrar un número que divida a 45 y
63, y además ese número debe ser el más
grande posible.
Uso de la tecnología
Página 46
2. Los números 2, 3 y 5 no dividen a 367 porque el
dígito de las unidades es distinto de un número
XLII
Página 47
4. d) R. M. Como la descomposición de 234 5 2 3
32 3 13 y la de 345 5 3 3 5 3 23 y el único factor
común de b y c es 3, entonces elegimos aquel con
la potencia más grande y todos los factores primos,
de cada número, que no se repiten. Así, mcm(367,
234, 345) 5 367 3 2 3 32 3 13 3 5 3 23.
n
250
125
125
125
25
5
1
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1.
Recursos Didácticos para el Profesor
Secuencia didáctica 6
Página 50
2. a) R. M. La expresión 3a 1 3 está formada por
la suma de los términos 3a y 3. Ambos términos son múltiplos de 3.
Secuencia didáctica 7
Página 53
¿Qué estamos aprendiendo?
1.
• La suma de las áreas es x2 1 4x 1 4x 1 16.
Simplificando términos se tiene que x2 1 8x
+ 16. Este resultado es igual a la expresión
obtenida al multiplicar (x 1 4)(x 1 4).
Página 54
1. R. M. Procedimiento 1.
Sumar las áreas de las figuras que la forman:
w2 1 25 1 5w 1 5w 5 w2 1 25 1 10w
Procedimiento 2.
Multiplicar la base por la altura:
(w 1 5) (w 1 5) 5 w2 1 5w 1 5w 1 25
5 w2 + 10w 1 25
Página 57
v.
2
¿Cómo vamos?
h) R. M. y 5 1; y2 5 1; x 5 1.5; x2 5 2.25;
xy 5 1.5
i) x2 1 2xy 1 y2 5 (1.5)2 1 2(1)(1.5) + (1)2
5 6.25
j) Sí. Por que la expresión algebraica
describe el área del rectángulo de manera correcta.
n
x (x 2 2) 5 2.5 (2.5 2 2) 5 1.25
x2 2 2x 5 (2.5)2 2 2 (2.5) 5 1.25
hi ©S
bi A
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T
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L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Página 59
x
Secuencia didáctica 8
¿Qué aprendimos?
i.
Página 60
x(x 1 1) 5 2(2 1 1) 5 6
x2 1 x 5 (2)2 1 2 5 6
2.
x
ii.
1
m56
n 5 3.5
mn
(3.5) (6)
21
5
5 10.5
5
2
2
2
m
6
5 3.5 3 3
Expresión 1: n 3
5 3.5 3
2
2
5 10.5
n
3.5
Expresión 1: m 3
5 6 3 1.75
563
2
2
5 10.5
Expresión 1:
x
(x)(x) 5 (2)(2) 5 4
x2 5 (2)2 5 4
iii.
Página 61
5
¿Qué estamos aprendiendo?
1.
x
P
ro
x2 1 10x 1 25 5 (2.5)2 1 10(2.5) 1 25
5 56.25
(x 1 5)(x 1 5) 5 (2.5 1 5)(2.5 1 5) 5 56.25
iv.
x
x (x 1 6) 5 4 1 (4 1 6) 5 40
x2 1 6x 5 (4)2 1 6(4) 5 40
6
xy
se puede descompo2
ner, siguiendo las reglas para las operaciones
e) R. M. La expresión
con fracciones, en
x3y
x
y
y
5
3
5x3 .
132
1
2
2
De la misma forma se tiene que
x3y
y
x
x
5
3
5y3 .
132
1
2
2
f) R. M.
7
3
xy
(3) (7)
5
5 10.5
2
2
Recursos Didácticos para el Profesor
XLIII
¿Qué aprendimos?
1. e) R. M. Si es equivalente, ya que al sustituir los
valores de x y y, se obtiene el mismo resultado. El primer factor representa el área de cada
triángulo en que está dividida la figura y el segundo factor, el total de partes.
2.
b2 5 52 5 25.
Secuencia didáctica 9
Página 69
3. c) R. M. Repitiendo el procedimiento para cada
lado que tenga el polígono se conseguirá
trazar segmentos que correspondan a los
lados de un nuevo polígono. Los ángulos
formados entre estos lados serán iguales a
los del polígono original y los lados también
mantendrán una relación de proporcionalidad.
d) R. M. Variando el tamaño del arco se pueden
construir diferentes tamaños de segmentos
que corresponden a los lados del polígono que
se quiera trazar y, por tanto, se pueden obtener lados semejantes.
Secuencia didáctica 10
P
ro
Página 76
1. e) R. M.
Paso 1. Elegir la medida que tendrán los lados
del triángulo.
Paso 2. Trazar el segmento AB, que será la
base del triángulo.
Paso 3. Abrir el compás de A a B y con la punta en A colocar una marca hasta donde llega
el compás.
Paso 4. Con la medida que tiene el compás,
colocar la punta en B y poner una marca hasta
XLIV
Página 78
1. R. M.
Paso 1. Trazar un segmento de recta de 3 cm para
que sea la base del triángulo. A este segmento se
le llamará AB.
Paso 2. Abrir el compás del tamaño que tendrán
los lados restantes, que será de 5 cm.
Paso 3. Apoyar el compás en A y trazar un círculo.
Paso 4. Apoyar el compás en B y trazar un círculo.
Paso 5. Marcar el punto donde se intersecan las
circunferencias trazadas. Este punto se llamará C.
Paso 6. Unir con una recta el punto C con A y el
punto C con B.
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) R. M. Sí y 5 4 y f 5 6, el área del hexágono es
63f3y
(6) 3 (6) 3 (4)
5
5 72.
2
2
Sí b 5 5, el área del cuadrado es
donde llega el compás, de manera que se corte con la marca que se hizo en el paso 3. Esta
intersección se llamará C.
Paso 5. Unir el vértice A con el vértice C.
Paso 6. Unir el vértice B con el vértice C.
n
Página 65
Recursos Didácticos para el Profesor
Página 83
¿Qué aprendimos?
2. R. M. Los problemas que se pueden resolver con
esta herramienta siempre se resuelven planteando una igualdad entre dos razones del tipo
a
b
5 , por lo que para resolverla es necesario
e
f
conocer tres de los cuatro valores que están implicados en la igualdad.
Uso de la tecnología
Página 85
2. a) El triángulo que forman los puntos AEDeslizador se vuelve más grande o más pequeño, depende de si se desplaza hacia arriba o
hacia abajo.
b) Una relación de semejanza, por el criterio AA. El ángulo que se forma en el vértice A es el mismo para ambos triángulos y,
como los segmentos BC y EDeslizador son
paralelos, los ángulos B y E son iguales. Si
Deslizador coincide con C, hay una relación
de congruencia.
Secuencia didáctica 11
Secuencia didáctica 12
Página 86
Página 97
1. c) 1567 1 2345 1 1780 1 2340 1 3450 1
2450 1 1005 5 14937
14937
Media 5
5 2133.85
7
Página 88
¿Qué estamos aprendiendo?
1. a) v. R. M. El entrenador puede saber si todos los
jugadores pueden hacer una barrera de
tamaño uniforme para bloquear un tiro a
la portería.
c) vi. R. M. Saber si el grupo mantiene velocidades
constantes o semejantes o si algunos alumnos son mucho mejores que otros para correr.
Página 91
¿Cómo vamos?
2. c) i. $2 500, $2 800, $2 900, $3 500, $3 900,
$4 500, $5 000, $5 400, $6 000,
$7 000, $10 500, $10 900, $11 000,
$12 000, $12 400, $13 500
Página 93
n
2. c) En el de niños, pues su desviación media es de
7.4, mientras en las niñas es de 5.48.
hi ©S
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T
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
1. d) Para conocer la suma de los 5 números
calculamos 5 3 7.3 5 36.5. A esta cantidad
sumamos los números que se añadieron:
36.5 1 4.5 1 8.5 5 49.5. Calculamos ahora
49.5
5 7.
la media del nuevo conjunto:
7
Página 90
1. b) R. M. No se puede saber, ya que el promedio,
por ser igual, no ayuda a diferenciar a los
alumnos.
P
ro
2. c) R. M. Que en promedio, la diferencia entre las
estaturas y el promedio de estas es cero, es
decir, que en promedio no hay diferencia entre
las estaturas.
Página 95
¿Qué aprendimos?
4. e) R. M. Que los datos están poco dispersos.
Página 98
2. a) La X de ambas tiendas y la Z de la tienda 1.
f)
Tienda
1
2
Datos más
parecidos
Mediana
$12 000 $12 500 $12 500
y moda
Mediana
$12 833 $11 500 $11 500
y moda
Media
Mediana
Moda
Página 99
¿Cómo vamos?
2. Tomando como base el análisis de las sucursales A y B se tiene que:
Tienda Venta total Media
Moda Mediana
C
136
19.42
No hay
21
D
302
43.14
20
30
La tienda D muestra mejores resultados que la
tienda C.
Trimestre 2
Secuencia didáctica 14
Página 121
1. c) A: (21, 4); (4, 4)
B: (22, 6); (1, 6)
C: (23, 27); (3, 27)
Recursos Didácticos para el Profesor
XLV
(4)2 2 3(4) 5 4
16 2 12 5 4
454
Sí se cumple la igualdad. Las coordenadas
son soluciones de la ecuación.
e) Sí. Para todas las gráficas, las coordenadas
cumplen con la igualdad.
minuto por 20. Por ejemplo, en el minuto 5
hay 5 3 20 5 100 litros. Después se forman
las parejas de minutos y litros y se grafican
en el plano cartesiano.
b) Los minutos, pues depende de la cantidad de
agua que se vierta al depósito.
c) Litros de agua, ya que a partir de la cantidad
de agua que se vierta será el tiempo que se
emplee.
d) Donde se interpoló; en la coordenada
(11.5, 230).
n
d)
x2 2 3x 5 4
(21)2 2 3(21) 5 4
11354
454
Página 147
Página 133
2. a) R. M. La gráfica está formada por secciones
rectas discontinuas.
hi ©S
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L
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ri
bu
ci
ó
Secuencia didáctica 16
3. h) Los intervalos de crecimiento indican que la
temperatura aumenta y los intervalos de decrecimiento, que la temperatura desciende.
Calificaciones
Uso de la tecnología
Página 139
12
10
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
Promedio
10
b) R. M. Puede buscar en el eje horizontal 7.3 y
ver que el valor en la gráfica que le corresponde es 7.
1. b) Se puede observar en la gráfica que a 0.85 km
le corresponde el valor de $9.54.
P
ro
Secuencia didáctica 18
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Página 149
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Distancia recorrida (km)
Secuencia didáctica 17
Página 143
2. a) R. M. Para calcular los litros correspondientes a cada minuto se multiplica el número de
XLVI
0
¿Qué aprendimos?
Tarifa ($)
0
4
2
5. a) La Secretaría de Movilidad de la Ciudad de
México definió las nuevas tarifas que deberán utilizar los taxis a través de la aplicación móvil “Mi taxi”.
Banderazo: $13.10
Cada 250 metros o 45 segundos, $1.30 adicional.
8
6
Recursos Didácticos para el Profesor
¿Qué estamos aprendiendo?
3. b) Las expresiones no presentan alguna relación
con otra cantidad, a diferencia de las representaciones de los recuadros en las cuales
hay una relación de igualdad.
6. Al colocar el teodolito en línea recta con el objeto del cual queremos saber el ángulo, el hilo
se recorrerá en el transportador indicando el ángulo α de inclinación del teodolito. Para saber el
ángulo de inclinación del objeto que queremos
conocer, debemos realizar la resta 90 2 α.
Secuencia didáctica 19
Desarrollando (a 1 b)2 5 (a 1 b) (a 1 b) y sustituyendo en la expresión anterior se tiene:
ab
);
2
2
2
(a 1 b) 5 c 1 2ab;
(a 1 b)2 5 c2 1 4(
a2 1 2ab + b2 5 c2 1 2ab;
a2 1 b2 5 c2 1 2ab – 2ab;
¿Qué aprendimos?
n
a2 1 b2 5 c2
Página 157
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L
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st NA
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bu
ci
ó
Notas de investigación 2.
1. Notas de investigación 1.
Consideremos el siguiente cuadrado de lado N,
entonces el área del cuadrado es N2:
Consideremos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea c como el de la figura. Y formemos un
cuadrado de área c2 usando dicho triángulo de la
siguiente forma:
c
a
N2
c
a
Colocando un cuadrado de lado c como se
muestra en la imagen, se obtienen las siguientes
divisiones:
b
b
a
c
a
2
3
b
N
1
4
Con esta figura se pueden armar los siguientes
dos rectángulos:
b
2
b
a
a
a
b
P
ro
Las áreas de los triángulos con lados a, b y c
ab
están dadas por
, por tanto, se tiene que
2
ab
N2 5 c2 1 4( ).
2
Es decir, el área del cuadrado azul es igual al área
del cuadrado rojo más el área de los 4 triangulos
formados por los lados a, b y c.
También se cumple que N 5 a 1 b, lo que implica
ab
que N2 5 (a 1 b)2 ya que N2 5 c2 1 4( ) se tie2
ne que (a 1 b)2 5 c2 1 2ab.
c
3
c
1
4
b
b
a
Que se pueden reorganizar en dos cuadrados; con
áreas b2 y a2:
b
a
a
b
Por tanto, el cuadrado de área c2 equivale a los
dos cuadrados de áreas b2 y a2, es decir se cumple
que c2 5 b2 1 a2.
Recursos Didácticos para el Profesor
XLVII
3. c) Elevar al cuadrado cada una de las medidas
282 5 784 y 532 5 2809, restar al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto y
posteriormente obtener la raíz cuadrada.
2809 2 784 5 2025. √(2025) 5 45 cm
Página 163
hi ©S
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L
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ri
bu
ci
ó
Se puede elaborar el siguiente rompecabezas y
comprobar que las piezas caben perfectamente
en el cuadrado blanco. Con esto comprobaríamos
que el cuadrado de área c2 equivale a la suma de
las áreas a2 y b2.
2. c) Elevar al cuadrado cada una de las medidas
362 51296 y 852 57225, restar al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto y
posteriormente obtener la raíz cuadrada.
7225 2 1296 5 5929. √(5929) 577 cm
n
Notas de investigación 3.
a
c
¿Cómo vamos?
b
1. Primero se debe obtener la altura del papalote:
√452 2 302 5 √(2025 2 900) 5 33.5
Se le suma la altura de la chica:
33.5 1 1.6 5 35.1 m.
Secuencia didáctica 21
Página 166
¿Qué estamos aprendiendo?
Secuencia didáctica 20
Página 160
1. f)
2. a) Sí, porque hay un ángulo recto, por tanto, los
otros dos ángulos son agudos. Es decir, el
lado opuesto al ángulo recto siempre será
mayor que cualquiera de los dos lados
opuestos a los ángulos agudos.
Página 171
Contando cuántos cuadros mide cada área y
cada lado respectivamente.
¿Qué aprendimos?
2. θ 5 19.79º , β 5 41.98º y α 5 32.62º
Secuencia didáctica 22
Página 161
Página 177
P
ro
2. b) Calcular la cantidad de cuadros que mide
el cateto y luego, multiplicarla por sí misma.
¿Cómo vamos?
1. c) Elevar al cuadrado cada una de las medidas
de los catetos 122 5 144, 352 5 1225. Sumar
ambos cuadrados y posteriormente obtener
la raíz cuadrada:
144 1 1225 5 1369. √1369 5 37 cm.
XLVIII
Recursos Didácticos para el Profesor
6. Al colocar el teodolito en línea recta con el objeto
del cual queremos saber el ángulo, el hilo se recorrerá en el transportador indicando el ángulo α
de inclinación del teodolito. Para saber el ángulo
de inclinación del objeto que queremos conocer,
debemos realizar la resta 90 2α.
Uso de la tecnología
2. a) R. M. La medida del cateto opuesto al ángulo t
también se acerca a 0 y el cateto adyacente se
aproxima a 1. Y cuando el ángulo t se acerca a
90°, el cateto adyacente se aproxima a 0 y el
cateto opuesto a 1.
Página 190
1. h) R. M. Para la institución 1
Secuencia didáctica 24
¿Qué estamos aprendiendo?
1. a)
iii. La del conjunto A no tiene niños menores
de 12 años. Hay 5 personas menores de
20 años y en su mayoría hay adultos. La
del conjunto B tiene niños de entre 1 y 11
años. Tiene 4 adolescentes y el resto de la
población son adultos.
b)
ii. R. M. Al conocer la desviación media de
ganancias se puede saber en qué tienda hace falta personal o en qué días se
debe tener apoyo eventual para cubrir la
demanda de atención a clientes.
Página 188
1. b) El tiempo en que se atiende a los clientes de
la escuela X es mayor en comparación con el
tiempo en que se atienden a los clientes de la
escuela Y.
Página 189
$1 200
$1 300
$1 200 $1 500 $1 300
$1 400
$1 500
Dx 5 2 854
Secuencia didáctica 25
hi ©S
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ri
bu
ci
ó
Página 187
$1 400 $1 300 $1 200
n
Página 179
caso la desviación media indica qué tan esporádicos son los accidentes.
P
ro
¿Cómo vamos?
2. d) Muestra qué tan frecuentes son los accidentes. En la empresa A significa que son muy
esporádicos, mientras que en la B, refleja que los accidentes ocurren con mayor
frecuencia.
f) En el problema de la página anterior estas
desviaciones significan la diferencia de tiempos de espera mientras que en el segundo
Página 193
¿Qué estamos aprendiendo?
1. •
Ya que no hay cartas repetidas, no puede haber
resultados iguales. Las reglas para acumular
puntos no permiten que haya dos ganadores
o dos perdedores.
Página 195
¿Qué aprendimos?
3. R. M
Eventos no singulares
Posible respuesta
Meses que se inician con J
Julio y junio
Números primos impares
Letras vocales
Múltiplos de 4 menores a 13
Tener una calificación
aprobatoria.
Eventos singulares
3, 5, 7…
a, e, i, o, u
4, 8, 12
6, 7, 8, 9, 10
Posible respuesta
Mes que se inicia con E
Enero
Números primos pares
2
Mes con 28 días en total
Febrero
Múltiplos de 3 y de 4
menores a 15.
12
Calificación no aprobatoria
5
Recursos Didácticos para el Profesor
XLIX
Trimestre 3
Secuencia didáctica 27
Página 206
Cuadrado 1
Medida del área: (x 1 1) (x 1 1) o (x 1 1)2
Cuadrado 2
Medida del área: (x 1 2) (x 1 2) o (x 1 2)2
Cuadrado 3
Medida del área: (x 1 3) (x 1 3) o (x 1 3)2
Cuadrado 4
Medida del área: (x 1 4) (x 1 4) o (x 1 4)2
b)
Cuadrado 1: (x 1 1) (x 1 1) / (x 1 1) 5 0; x 5 1
Cuadrado 2: (x 1 2) (x 1 2) / (x 1 2) 5 0; x 5 2
Cuadrado 3: (x 1 3) (x 1 3) / (x 1 3) 5 0; x 5 3
Cuadrado 4: (x 1 4) (x 1 4) / (x 1 4) 5 0; x 5 4
Secuencia didáctica 28
Página 216
2.
D 5 (9)2 2 4(2)(10) 5 81 2 80 5 1 . 0; tiene
dos soluciones.
D 5 (5)2 2 4(1)(64) 5 25 2 256
5 2231 , 0; no tiene soluciones.
D 5 (–5)2 2 4(3)(1) 5 25 2 12 5 13 . 0;
tiene dos soluciones.
D 5 (3)2 2 4(21)(28) 5 9 2 32 5 –23 , 0;
no tiene soluciones.
D 5 (5)2 2 4(2)(212) 5 25 1 96 5 121 . 0;
tiene dos soluciones.
P
ro
i.
ii.
iii.
iv.
v.
L
x
y
ii. y 5 20.1x2 1 7
x
y
n
1. b)
i. y 5 x2 1 7
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
R. M. En ambas aparecen dos x, pero en el inciso
e la variable se encuentra elevada al cuadrado.
g) x(3x 11) 5 3x2 1 x
4(3(4) 1 1) 5 3(4)2 1 4
52 5 52
3.
Secuencia didáctica 30
Página 228
2. f)
Página 209
vi. D 5 (21)2 2 4(3)(1) 5 1 2 12 5 211 , 0; no
tiene soluciones.
Recursos Didácticos para el Profesor
23
16
23
9.1
22
11
22
8.6
21
8
21
7.9
0
7
0
1
8
1
5.9
2
11
2
4.6
3
16
3
3.1
iii. y 5–0.1x2 2 x 1 7
7
iv. y 5–0.2x2 1 2
x
y
x
y
23
6.1
23
0.2
22
6.6
22
1.2
21
6.9
21
1.9
0
7
0
2
1
6.9
1
1.9
2
6.6
2
1.2
3
6.1
3
0.2
Secuencia didáctica 31
Uso de la tecnología
Página 235
Página 243
¿Qué aprendimos?
1. a)
2.
c) R. M. Al variar el punto a de 220 a 21, la gráfica de la ecuación cuadrática se abre hacia
abajo, y conforme va aumentando el valor
de a, hasta llegar a 21, la gráfica se vuelve más ancha. Cuando el punto varía de 1 a
20, la gráfica se abre hacia arriba y conforme el valor de a aumenta, la gráfica empieza
a cerrarse.
y
8
n
6
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
4
2
x
24
22
0
2
5.
4
a) GeoGebra permite construir gráficas de una
variedad de funciones; analizar su comportamiento y, a través de su forma, sus características. Permite ingresar ecuaciones y
coordenadas directamente y tiene la capacidad de operar con variables vinculadas a números, vectores y puntos. Ofrece múltiples
comandos propios del cálculo para identificar
puntos singulares de una función, como raíces
o extremos.
22
b)
14
12
10
8
6
b) Los deslizadores nos permiten analizar el
comportamiento de la gráfica y establecer un
parámetro a lo que se desea analizar de ella.
Una de sus desventajas puede ser la cantidad de parámetros que se deben usar.
4
2
22
0
2
4
Secuencia didáctica 32
Secuencia didáctica 36
Página 241
Página 261
¿Qué aprendimos?
1.
b) Sí, porque los números pares son divisores
de 6 y los números nones son números primos en este caso. Por tanto, se pueden presentar empates.
P
ro
Cantidad de tela cm2
2. La ecuación es 3x2 y la gráfica es:
500
400
300
200
100
0
1
2
3 4 5 6 7 8 9
Tamaño de las bolsas
10 11 12 13
Recursos Didácticos para el Profesor
LI
Formato de planeación
Secuencia didáctica
Trimestre:
Eje temático:
Aprendizaje esperado:
Duración:
hi ©S
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n
Tema:
Número de sesiones:
Periodo: del
al
de
Desarrollo de la secuencia didáctica
P
ro
Sesión
LII
Recursos Didácticos para el Profesor
Actividades
Páginas del libro del
alumno
n
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ó
Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
P
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Pensamiento Matemático
n
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ó
serie
cios ñarás
y dise tos
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3 de la diversos s conceplas
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matemas y en el y argumen
traba que
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, lo
técnic imientos
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r te lle ar herram ás compl ntextos di
rio
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Lo an itirán us da vez
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fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo
de la Dirección General de Contenidos.
• Fotografía de portada: Abraham Solís Saldaña
• Ilustración: Ismael Segura Posadas
• Fotografía: Shutterstock, Gettyimages
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 de la serie Espacios
Creativos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta
obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
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© 2021 Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
D. R. © 2021 por EDITORIAL SANTILLANA, S.A. de C.V.
Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240,
alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México
ISBN:
Primera edición:
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 802
Impreso en México/Printed in Mexico
2
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ó
Te damos la bienvenida
a tu libro de Matemáticas
de tercer grado de secundaria.
Esta obra fue diseñada para ti,
con situaciones y problemas
que convertirán el estudio de
Matemáticas en un espacio
de construcción de conocimientos
y desarrollo de procedimientos y
técnicas que te
permitirán
analizar fenómenos,
interpretar información,
encontrar patrones y
resolver problemas.
P
ro
Los diversos
contenidos y actividades
que encontrarás en este libro
te permitirán plantear estrategias
de solución, justificar y validar
resultados, y trabajar de manera
colaborativa.
Matemáticas 3
3
MATEMÁTICAS
Número, álgebra y variación
• Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los
números primos.
• Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.
• Resolverás problemas mediante la formulación y solución
algebraica de ecuaciones cuadráticas.
• Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir
de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que
resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de
otros contextos.
• Formularás expresiones de segundo grado para representar
propiedades del área de figuras geométricas y verificarás
la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como
geométricamente.
• Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones
y de las ecuaciones.
hi ©S
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ó
En este libro desarrollarás
habilidades para analizar,
n
Lo que estudiarás en Matemáticas a lo largo
de la educación básica se organiza en tres ejes
temáticos, que agrupan a los aprendizajes
esperados que construirás en el grado, como
se muestra a continuación.
reflexionar, argumentar y resolver
problemas matemáticos, así como
distintas situaciones cotidianas.
Uno de los objetivos de este
material es que reconozcas cómo
las matemáticas nos permiten
comprender y explicar diversos
fenómenos físicos y sociales.
Forma, espacio y medida
• Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás
criterios de semejanza de triángulos.
• Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.
• Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas
seno, coseno y tangente.
Análisis de datos
P
ro
• Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y
dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.
• Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes.
El telescopio es un instrumento óptico
que permite observar objetos lejanos
con más detalle que a simple vista. Es
una herramienta fundamental en la
astronomía, ya que a través de él se
pueden observar detalles de estrellas
y planetas.
4
Matemáticas 3
Los telescopios espaciales se llaman así porque están
en órbita y funcionan como observatorios. Debido a su
posición y potencia, permiten obtener imágenes nítidas
del espacio y de cuerpos celestes.
Reúnete con compañeros a los que les guste la
astronomía e investiguen cómo funcionan los telescopios
y, si les es posible, construyan un telescopio casero.
En la siguiente tabla se describe lo que aprenderás cada trimestre.
n
Calcularás el mcm (mínimo común múltiplo) y el MCD (máximo común divisor). Generalizarás
propiedades y las expresarás de forma algebraica.
hi ©S
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L
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ri
bu
ci
ó
Avanzarás en el estudio del álgebra que iniciaste en grados anteriores, lo que te permitirá
representar las propiedades del área de figuras geométricas con expresiones de segundo
grado y a verificar la equivalencia de estas expresiones geométrica y algebraicamente.
Construirás polígonos semejantes y determinarás y usarás los criterios de semejanza de triángulos.
Aplicarás lo que has aprendido en grados anteriores sobre medidas de tendencia central (media,
mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) para resolver problemas.
En este trimestre formularás ecuaciones cuadráticas y las solucionarás mediante dos métodos:
por ensayo y error y el método gráfico. Interpretarás y analizarás gráficas que representan
distintos tipos de funciones y construirás gráficas a partir de datos dados en tablas. Continuarás
profundizando en el estudio del álgebra y diferenciarás las expresiones algebraicas de las
funciones y de las ecuaciones.
Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras para resolver problemas. Además,
lo demostrarás algebraica y geométricamente. También tendrás un primer acercamiento con
la trigonometría. Formularás y usarás las razones trigonométricas seno, coseno y tangente
para resolver problemas.
Avanzarás en el estudio de la estadística y compararás las medidas de tendencia central (media,
moda y mediana) y dispersión (rango y desviación media) en dos conjuntos de datos. También
profundizarás en el estudio de la probabilidad y distinguirás eventos singulares de no singulares.
Calcularás la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.
Trimestre 3
P
ro
Trimestre 2
Trimestre 1
En este trimestre resolverás diversos problemas que te llevarán a formular los criterios de
divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 6 y 10. Profundizarás en el estudio de los números, lo que te
permitirá diferenciar los números primos de los números compuestos.
Formularás y solucionarás ecuaciones cuadráticas mediante factorización y la fórmula general.
Analizarás y compararás diversos tipos de variación, a partir de su representación tabular, gráfica
y algebraica, que modelan fenómenos de la física y otros contextos.
Aplicarás tus conocimientos sobre las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para
resolver distintos problemas; por ejemplo, para calcular distancias inaccesibles. Calcularás la
probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
Matemáticas 3
5
3
Presentación
10
Estructura de tu libro
Tr i m e st re u n o
Secuencias didácticas
1. Divisibilidad entre
2, 5 y 10
n
Contenidos
Formularás y usarás los criterios
de divisibilidad entre 2, 5 y 10.
Páginas
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L
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ri
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ó
Aprendizajes esperados
18
Determinarás y usarás
Formularás y usarás los criterios
los criterios de divisibilidad de divisibilidad entre 3, 4 y 6.
y los números primos.
Distinguirás números primos
de números compuestos.
Usarás técnicas para
determinar el mcm
y el MCD.
P
ro
Uso de la tecnología
Usarás técnicas para
determinar el mcm
y el MCD.
Formularás expresiones
de segundo grado para
representar propiedades
del área de figuras
geométricas y verificarás
la equivalencia de
expresiones, tanto
algebraica como
geométricamente.
Calcularás el mcm y el MCD y usarás
estas nociones en la resolución
de problemas.
Calcularás el mcm y el MCD. Usarás
estas nociones en la resolución de
problemas en contextos continuos
y discretos.
2. Divisibilidad entre
3, 4 y 6
26 a 31
3. Números primos y
números compuestos
32 a 35
4. mcm y MCD
36 a 41
5. mcm y MCD en
contextos continuos
y discretos
42 a 45
46 y 47
Generalizarás propiedades
y expresiones algebraicas.
6. Generalización de
propiedades algebraicas
48 a 51
Resolverás problemas que
permitan profundizar en el estudio
de la equivalencia de expresiones
algebraicas I.
7. Expresiones algebraicas
de áreas
52 a 59
Resolverás problemas que
permitan profundizar en el estudio
de la equivalencia de expresiones
algebraicas II.
8. Equivalencia en
las fórmulas del área
(triángulo y rombo)
60 a 65
Resolverás problemas que impliquen
la identificación y construcción de
9. Semejanza
polígonos semejantes.
Construirás polígonos
semejantes. Determinarás Formularás los criterios de semejanza
y usarás criterios de
de triángulos. Identificarás y usarás,
10. Semejanza de
semejanza de triángulos. en la resolución de problemas, la
triángulos
semejanza de triángulos para el cálculo
de distancias.
Uso de la tecnología
6
Matemáticas 3
20 a 25
66 a 75
76 a 83
84 y 85
14
¿Cómo aprenderemos?
86 a 95
n
11. Medidas de tendencia
central y de dispersión
12. Tendencia central y
dispersión en conjuntos
de datos
96 a 101
hi ©S
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da N
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su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Compararás la tendencia
central (media, mediana y
moda) y dispersión (rango
y desviación media) de
dos conjuntos de datos.
Resolverás problemas que impliquen
interpretar las medidas de tendencia
central y de dispersión dado un
conjunto de datos.
Resolverás problemas que impliquen
interpretar las medidas de tendencia
central y de dispersión dado un
conjunto de datos.
¿Cómo lo hicimos?
102 y 103
Tr i m e st re d o s
Aprendizajes esperados
Resolverás problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones cuadráticas.
P
ro
Analizarás y compararás
diversos tipos de
variación a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica,
que resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de otros
contextos.
104
Contenidos
Secuencias didácticas
Resolverás problemas que impliquen la 13. Formulación de
formulación de ecuaciones cuadráticas.
ecuaciones cuadráticas
14. Resolución de
Resolverás problemas que impliquen la
ecuaciones cuadráticas
formulación de ecuaciones cuadráticas.
incompletas, por
ensayo y error
Resolverás problemas que impliquen
comparar diversos tipos de funciones
15. Interpretar funciones de
como el llenado de recipientes,
llenado de recipientes
trayectos u otras.
Resolverás problemas que impliquen
16. Diversos tipos de
comparar diversos tipos de funciones
funciones “sin fórmula”
“sin fórmula”, escalonadas u otras.
Uso de la tecnología
Construirás e interpretarás datos de
17. Gráficas basadas en
gráficas a partir de valores de las
datos tabulados
funciones dadas en tablas.
Diferenciarás las
expresiones algebraicas
de las funciones y de las
ecuaciones.
Diferenciarás entre expresiones
algebraicas, funciones y ecuaciones.
Formularás, justificarás
y usarás el teorema de
Pitágoras.
Formularás y justificarás el teorema
de Pitágoras.
Usarás el teorema de
Pitágoras al resolver problemas.
Páginas
106 a 113
114 a 123
124 a 129
130 a 137
138 y 139
140 a 147
18. Diferencia entre
expresión algebraica,
funciones y ecuaciones
148 a 151
19. Teorema de Pitágoras
152 a 157
20.Uso del teorema
de Pitágoras
158 a 165
Matemáticas 3
7
21. Razones
trigonométricas
Usarás, en la resolución de problemas
que involucran triángulos rectángulos,
las razones trigonométricas: seno,
coseno y tangente.
22.Cálculo de las razones
seno, coseno y tangente
n
166 a 171
172 a 179
hi ©S
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ri
bu
ci
ó
Resolverás problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Formularás, en la resolución
de problemas que involucran
triángulos rectángulos, las razones
trigonométricas: seno, coseno y
tangente.
Uso de la tecnología
Compararás la tendencia
central (media, mediana y
moda) y dispersión (rango
y desviación media) de
dos conjuntos de datos.
Calcularás la probabilidad
de ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
178 y 179
Resolverás problemas de comparación
de conjuntos de datos en los que
sus dispersiones son iguales o muy
cercanas, pero las medias o medianas
respectivas muy diferentes.
23.Dispersiones iguales y
medias diferentes
180 a 185
Resolverás problemas de comparación
de conjuntos de datos en los que sus
dispersiones son muy diferentes, pero
las medias o medianas respectivas
iguales o muy cercanas.
24.Dispersiones muy
diferentes y medias
iguales (resolución)
186 a 191
Distinguirás y caracterizarás eventos
singulares y no singulares en
situaciones de probabilidad.
25.Distinguir eventos
singulares
192 a 195
Calcularás eventos singulares y no
singulares utilizando la definición
clásica o el enfoque frecuencial.
26.Probabilidad de
eventos no singulares
(definición clásica)
196 a 201
¿Cómo lo hicimos?
202 y 203
P
ro
Tr i m e s t re t re s
Aprendizajes esperados
Resolverás problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones cuadráticas.
8
Matemáticas 3
Contenidos
204
Secuencias didácticas
Páginas
Resolverás problemas que impliquen la 27. Ecuaciones cuadráticas
formulación y solución de ecuaciones
de la forma
cuadráticas mediante la factorización.
x(ax 1 1) 5 0
206 a 211
Resolverás problemas que impliquen la 28.Ecuaciones
formulación y solución de ecuaciones
cuadráticas: fórmula
cuadráticas con la fórmula general.
general
212 a 217
Resolverás problemas que impliquen
la formulación y solución de
ecuaciones cuadráticas.
29.Formulación y
solución de ecuaciones
cuadráticas
Construirás gráficas a partir de valores
de las funciones cuadráticas dadas
en tablas.
30.Construcción de
gráficas cuadráticas
Resolverás problemas que impliquen
representar diversos tipos de
funciones cuadráticas.
31. Funciones cuadráticas
230 a 235
Relacionarás las representaciones
tabular, gráfica y algebraica con
el contexto de los problemas que
modelan las funciones.
32.Representaciones
de variación cuadrática
236 a 241
n
218 a 221
222 a 229
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ri
bu
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ó
Resolverás problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones cuadráticas.
Analizarás y compararás
diversos tipos de
variación a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica,
que resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de otros
contextos.
Uso de la tecnología
P
ro
Resolverás problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Calcularás la probabilidad
de ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
242 y 243
Resolverás problemas con razones
trigonométricas y ángulos notables.
33.Razones
trigonométricas y su
relación con el ángulo
244 a 249
Resolverás problemas con razones
trigonométricas y ángulos menores
o iguales que 90º.
34.Razones
trigonométricas y
ángulos menores o
iguales que 90º
250 a 253
Usarás las razones trigonométricas
para el cálculo de distancias
inaccesibles.
35.Teodolito: cálculo
de distancias
254 a 259
Calcularás la probabilidad de
36.Eventos mutuamente
ocurrencia de dos eventos mutuamente
excluyentes
excluyentes.
Uso de la tecnología
¿Cómo lo hicimos?
260 a 265
266 y 267
268 y 269
Fuentes de información
270
Matemáticas 3
9
n
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ó
En esta sección encontrarás una explicación sobre cómo serán tu
aprendizaje y la convivencia en la clase de Matemáticas. También se
describen las actividades que realizarás y la forma en que trabajarás
a lo largo del curso.
¡Bienvenido al último curso de Matemáticas de secundaria! Estás a punto de iniciar tu eta­
pa final en este nivel educativo. Nuestra aspiración es contribuir a que este último ciclo
escolar te provea de experiencias y aprendizajes que te permitan enfrentar con éxito el
futuro. Probablemente ya estés pensando qué estudiar después de la secundaria, pero si
todavía no lo decides, deseamos que este curso te ayude a definir tus aspiraciones.
Seguramente en más de una ocasión, para superar las dificultades que tuviste en tu
aprendizaje de Matemáticas en años anteriores, contaste con el apoyo de otras personas,
de mayor o igual experiencia que la tuya. Esto no es raro porque los saberes matemáticos
siempre se han construido en sociedad. Por ello, el trabajo colectivo permite a todos
acrecentar sus habilidades y conocimientos.
Para comenzar, te invitamos hacer lo siguiente.
1. Identifica un tema de Matemáticas que se te haya dificultado en los años anteriores.
Recuerda cómo superaste esto: ¿Recibiste apoyo de alguien? ¿Lo lograste trabajando
solo? ¿Cómo puedes aprovechar esa experiencia para enfrentar dificultades en tu for­
mación académica? Escribe en tu cuaderno una reflexión al respecto.
2. Comparte tu reflexión con tus compañeros y escucha las de ellos. Comenten si algunos
coincidieron en los temas que se les dificultaron y comparen cómo los resolvieron.
3. Con ayuda de tu profesor, elaboren en el pizarrón una lista de las dificultades más
representativas que se encontraron en el grupo y de las maneras como las resolvieron.
4. Propón a tu profesor que comenten en grupo los aspectos que más aparecen en
su lista. Reflexionen acerca de cómo pueden aprovechar la experiencia de los otros
compañeros para enriquecer su aprendizaje.
Tu participación en la
formación de tus
compañeros es tan
importante como la de
ellos en la tuya. Dales la
oportunidad de participar
en tu desarrollo.
5. Mencionen estrategias para afrontar las dificultades, tanto individuales como
grupales, que podrían encontrar en este curso. Propongan un decálogo con ellas,
por ejemplo, colaborar en equipo, ayudar a otros compañeros, buscar diferentes
procedimientos para abordar problemas, etcétera, y escríbanlo en la tabla.
Decálogo
Te sugerimos que a lo largo del año te organices con diferentes compañeros para hacer las
actividades de tu libro o las planteadas por tu profesor. Procura trabajar con compañeros
diferentes cada vez, con mujeres y hombres por igual. Otras opciones son integrar equi­
pos al azar o elegir números según la cantidad de equipos que desean formar y reunirse
todos a quienes les tocó el mismo número. También es válido elegir con quién reunirse, pero
trata de que no sean siempre los mismos integrantes del equipo. Todo esto te permitirá
aprender de diferentes maneras.
P
ro
• Anota con quién te gustaría formar parejas o equipos de trabajo en este curso escolar y
las razones de tu elección.
Probablemente, entre las estrategias que mencionaste para mejorar tu aprendizaje
hay aspectos relacionados con el esfuerzo personal, como planear tus actividades,
resolver actividades de práctica o establecer un horario de estudio. El trabajo y el
compromiso individuales son fundamentales para mejorar tu formación académica.
Sin embargo, también es básico el trabajo en equipo.
14
10
Matemáticas 3
Matemáticas 3
Ahora es momento de explorar tu libro: hojéalo, detente en los temas que llamen tu atención
o que consideres novedosos. Tal vez descubras algunos que te parezcan complejos. De
ser así, no te preocupes, a lo largo de tu formación has desarrollado herramientas para
afrontar retos cada vez mayores y en este libro te acompañaremos en esta nueva etapa de
tu aprendizaje.
Matemáticas 3
15
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Trimestre tres
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Ecuaciones cuadráticas
(factorización, fórmula
general), razones trigonométricas y
eventos mutuamente excluyentes...
¡Bienvenido al último trimestre!
En este periodo avanzarás en el estudio de la formulación y solución de
ecuaciones cuadráticas mediante factorización y la fórmula general.
Tu libro se organiza en tres
trimestres, al inicio de cada uno
encontrarás una breve introducción
a los contenidos que trabajarás
y una explicación de cómo se
relacionan con los conocimientos
que adquiriste en grados o
trimestres anteriores.
Analizarás y compararás diversos tipos de variación, a partir de su
representación tabular, gráfica y algebraica, que modelan fenómenos de
la física y otros contextos.
Pondrás en práctica lo que aprendiste en el trimestre anterior sobre
razones trigonométricas seno, coseno y tangente para resolver distintos
problemas. Construirás un teodolito y lo usarás para calcular distancias
inaccesibles.
Asimismo, calcularás la probabilidad de que ocurran dos eventos
mutuamente excluyentes.
Deseamos que este tercer trimestre, el último de tu curso de
Matemáticas, te proporcione las bases para enfrentar nuevos retos.
¡Buena suerte!
GlobalStock / Gettyimages
204
205
Al inicio de cada secuencia didáctica
se indica el aprendizaje esperado
y el contenido que se abordará.
124
Secuencia
didáctica 15
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones
tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen comparar diversos tipos de funciones como el llenado de recipientes,
trayectos u otras.
125
Llenado de recipientes
Interpretar funciones de llenado
de recipientes
En parejas, analicen y contesten.
Analiza la situación y contesta.
1. Una empresa tiene dos contenedores industriales de diferentes tamaños, como los
que se muestran, y se llenan vertiendo agua a razón de 100 litros por hora. ¿Qué
gráfica corresponde a la cantidad de líquido que hay en cada contenedor según el
tiempo de llenado?
1. Las imágenes muestran la forma de un cucurucho y la de un vaso. Al inicio ambos
están vacíos. Un despachador de agua los llena a razón de 60 mililitros por
segundo.
a) Relacionen con una línea la gráfica que muestra cómo cambia la altura del nivel
del agua en cada recipiente al transcurrir el tiempo de llenado.
Altura
a) Relaciona con una línea la gráfica que corresponde a cada contenedor.
Cada trimestre se organiza en
secuencias didácticas que se dividen
en varias sesiones de dos páginas
para facilitar tu trabajo en el aula.
A
B
Capacidad (L)
Capacidad (L)
Altura
Tiempo (s)
cucurucho.
Hoja de papel arrollado en
forma cónica, empleado
para contener agua, dulces,
confites, etcétera.
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (h)
Tiempo (h)
b) ¿Cómo es el llenado al principio y al final en el cucurucho?
c) En el vaso, ¿cómo es el llenado en cada parte: al principio, a la mitad y al final?
b) ¿Qué diferencias hay entre los contenedores?
c) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el contenedor A?
d) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el contenedor B?
e) ¿Qué capacidad tiene el contenedor A?
¿Y el B?
P
ro
f) ¿Cómo determinaste la capacidad de los contenedores?
g) Tomando en cuenta el tiempo de llenado, ¿cuántos contenedores pequeños (A)
se necesitarán para llenar un contenedor grande (B)?
h) Considerando las gráficas, ¿qué expresión algebraica modela el llenado de los
contenedores?
i)
¿Qué tipo de variación es la que describe el llenado de los contenedores?
• Comprueba tus respuestas con otro compañero y compartan sus argumentos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
d) Consideren el vaso que
se muestra. A partir del
análisis de las gráficas
anteriores, tracen la
gráfica de esta situación
si el vaso se llenara.
Agreguen las unidades
en cada eje.
e) Describan el razonamiento que usaron para realizar la gráfica.
• Comparen sus respuestas con las de otra pareja. Argumenten cómo las obtuvieron.
Sesión 1. Interpretas cualitativamente diferentes tipos de funciones
a través de su representación gráfica (llenado de recipientes).
En la página izquierda de cada secuencia
didáctica se indica el eje y tema al que
pertenece. En la parte derecha se anota
el contenido que se está trabajando en
cada sesión.
Matemáticas 3
11
La fase final de la secuencia
consta de actividades que
integran los aprendizajes. Esto
permitirá valorar tus logros e
identificar las áreas en las que
necesitas mejorar.
n
Mediante actividades
individuales, en parejas o
en equipo lograrás construir
conocimientos matemáticos,
que validarás con apoyo de
tu profesor, y desarrollarás
habilidades y actitudes
que te permitirán aprender
permanentemente.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
En esta fase te introducirás en
el tema. Además identificarás
los conocimientos que ya
tienes y los que necesitas para
continuar aprendiendo.
Encontrarás formalizaciones en las que se expresan de manera clara definiciones,
procedimientos y explicaciones para que valides y complementes tus conclusiones.
Las actividades son variadas, con un propósito educativo
y promueven la construcción de conceptos. Algunas se acompañan
de ilustraciones, esquemas, gráficas o fotografías con un sentido didáctico.
Durante el desarrollo de las secuencias didácticas
encontrarás estos apartados:
Son recomendaciones que te permiten crear un ambiente en el que
puedas realizar, pensar, sentir y comunicarte mejor, lo cual te ayudará
en tu aprendizaje. Esta sección también te será útil para identificar tus
intereses y motivaciones.
P
ro
Este apartado te proporciona dos o tres actividades o problemas para que
evalúes tu desempeño durante el desarrollo de la secuencia didáctica.
Encontrarás recomendaciones de fuentes electrónicas e impresas que te
servirán para ampliar tus conocimientos y habilidades sobre el tema de la
secuencia didáctica.
Te proporciona la definición de términos matemáticos o de algunas
palabras con el fin de facilitarte el estudio de los temas.
12
Matemáticas 3
84
85
Semejanza de triángulos en GeoGebra
viii. Forma otro triángulo con el comando Polígono uniendo los puntos A, E y
Deslizador. En la Vista Gráfica oculta las rectas para que se muestren
claramente los dos triángulos que se forman. Ve la imagen 5.
En esta sección utilizarás un software de geometría dinámica para visualizar y analizar las
propiedades relacionadas con la semejanza de triángulos.
1. Abre una ventana en GeoGebra y haz lo que se solicita.
i.
que aparece en el lado derecho de
Da clic en el icono de configuración
la Vista Gráfica. Aparecerá la barra de herramientas. Selecciona los primeros
dos iconos para ocultar los ejes y la cuadrícula. Ve la imagen 1.
Imagen 5
2. Contesta.
a) ¿Qué sucede al mover el punto Deslizador?
b) ¿Qué relación se puede establecer entre los triángulos ABC y AEDeslizador?
¿Por qué?
Imagen 2
Para que desarrolles tus habilidades
digitales, practicarás algunos contenidos
de la secuencia didáctica con apoyo de la
tecnología.
c) ¿En algún momento serán semejantes ambos triangulos? Justifica tu respuesta.
d) ¿Cómo GeoGebra te ayuda a establecer algún criterio de semejanza?
iii. Posiciónate en el triángulo y, dando clic derecho, cambia en configuración
el color del triángulo. En la opción Opacidad puedes aumentar o disminuir el
relleno de color.
e) Calcula el cociente entre los lados correspondientes del triángulo ABC y los del
n
Imagen 1
y construye un triángulo con
ii. Ubica el cursor en el comando Polígono
vértices A, B, C, como se muestra en la imagen 2.
triángulo AEDeslizador. Por ejemplo, para los lados correspondientes a y a1
a
escribe los valores en la barra de Entrada:
y presiona enter. Haz lo mismo
a1
para los lados restantes. ¿Cómo son estos cocientes entre sí?
y traza dos semirrectas que
iv. Ahora selecciona el comando Semirrecta
pasen por los puntos AB y AC, como se muestra en la imagen 3.
hi ©S
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T
su IL
L
di A
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bu
ci
ó
¿Existe alguna relación de proporcionalidad entre los triángulos que se forman?
3. Reúnete con un compañero y contesten lo siguiente.
a) De acuerdo con la construcción que realizaron, ¿cuáles son las condiciones
Imagen 3
necesarias para que se obtengan triángulos semejantes?
Imagen 4
b) ¿Cómo serían entre sí los triángulos que se forman si la recta que se traza en el
v. Coloca un punto en la semirrecta AC con el comando Punto
y cambia el rótulo del punto que se forma por Deslizador (D).
punto iv del inciso a no fuera paralela al segmento BC?
traza una recta paralela al segmento BC del
vi. Con el comando Paralela
triángulo que pase por el punto Deslizador.
• Compara los triángulos que trazaste con los que hicieron tus compañeros y verifiquen
sus respuestas. Junto con el profesor, escriban las diferencias y similitudes que
encontraron y lleguen a acuerdos.
encuentra el punto de intersección de
vii. Con la herramienta Intersección
las dos rectas, como se muestra en la imagen 4.
En esta página te proponemos
un espacio para que, junto con
un compañero, adviertas cómo
desarrollaste tus habilidades,
valores y actitudes a lo largo
del trimestre.
202
Secuencias
Nivel de logro
Aprendizajes
esperados
Satisfactorio
Excelente
13 y 14
Resuelvo problemas de
ecuaciones cuadráticas
planteando la ecuación
y resolviéndola por
ensayo y error.
Resuelvo problemas de
ecuaciones cuadráticas
planteando la ecuación y
resolviéndola por ensayo
y error, así como por
el método gráfico.
Identifico situaciones
mediante su
representación tabular
y gráfica.
Identifico cualquier
situación mediante su
representación tabular,
gráfica o algebraica.
15, 16 y 17
Analizo y comparo
Identifico solamente
situaciones mediante su
diversos tipos de
variación a partir de sus representación tabular.
representaciones tabular,
gráfica y algebraica,
que resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de
otros contextos.
19 y 20
21 y 22
23 y 24
25 y 26
270
En proceso
Diferencio las
Identifico las expresiones Diferencio las
expresiones algebraicas algebraicas, pero no
expresiones algebraicas
de las funciones y de
las ecuaciones ni las
de una ecuación, pero
no identifico
las ecuaciones.
funciones.
las funciones.
Solamente resuelvo
problemas en los que
se debe calcular la
hipotenusa conociendo
las medidas de los
catetos.
Resuelvo todos los
problemas en los que se
debe calcular cualquier
lado de un triángulo
rectángulo, conociendo
los otros dos.
Resuelvo problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Me cuesta trabajo
identificar la razón
trigonométrica que
ayuda a resolver
un problema.
Resuelvo algunos
problemas utilizando la
razón trigonométrica
más pertinente.
Resuelvo problemas
utilizando la razón
trigonométrica más
pertinente.
Comparo las medidas
de tendencia central
(media, mediana y
moda) y dispersión
(rango y desviación
media) de dos
conjuntos de datos.
Puedo obtener la media,
la mediana, la moda, el
rango y la desviación
media de dos conjuntos
de datos, pero me
cuesta trabajo resolver
problemas donde debo
comparar esas
medidas.
Puedo obtener la media,
la mediana, la moda, el
rango y la desviación
media de dos o más
conjuntos de datos y
resuelvo algunos
problemas en que debo
comparar esas
medidas.
Resuelvo problemas
cuyas dispersiones son
muy cercanas y sus
medidas de tendencia
central son muy
diferentes, y viceversa.
Calculo la probabilidad
de ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
Identifico los eventos
singulares
y no singulares en
situaciones de
probabilidad.
Identifico los eventos
mutuamente excluyentes
en situaciones de
probabilidad y calculo
su probabilidad.
Resuelvo problemas en
los que debo calcular
cualquier tipo de
probabilidad de
eventos mutuamente
excluyentes.
Fuentes de información
Para la elaboración de este libro
Impresas
Impresas
P
ro
§ Charles, Seife. Cero. La biografía de una idea peligrosa, Ellago Ediciones, Madrid, 2006.
§ Doxiadis, Apostolos. El tío Petros y la conjetura de Goldbach., Editorial B, Barcelona,
1992 (colección Tiempos Modernos).
§ Guedj, Denis. El teorema del Loro, Anagrama, Barcelona, 1998.
§ Haddon, Mark. El curioso incidente del perro a medianoche, Salamandra, Barcelona, 2004.
§ Haghenbeck, G. F. Matemáticas para las hadas, Grijalbo, Barcelona, 2018.
§ Leavitt, David. El contable hindú, Anagrama, Barcelona, 2011.
§ Neville, Katherine. El ocho, Ballantine Books, Barcelona, 1998.
§ Martínez, Guillermo. Los crímenes de Oxford, Destino, Barcelona, 2003.
§ Moreno, Ricardo. Una historia de las matemáticas para jóvenes, S. L. Nivola, Madrid, 2008.
§ Ogawa, Yoko. La fórmula preferida del profesor, Funambulista, Madrid, 2014.
§ Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.
§ Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Limusa, Barcelona, 2008.
Electrónicas
§ Conaliteg. Sitio web que ofrece, en formato digital, todos los libros de Matemáticas de
secundaria y telesecundaria. También encontrarás los títulos en lengua indígena.
www.conaliteg.sep.gob.mx (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:04 h).
§ Biblioteca digital del ILCE. Sitio web que ofrece obras y colecciones de libros para su
libre acceso en internet. Presenta obras de cultura general: literatura, arte, geografía,
historia, divulgación científica, educación ambiental y pedagogía, entre otras. Además,
su sección infantil brinda opciones de lectura para la edad escolar y una sección de
didáctica para apoyar el trabajo y la formación del docente de educación básica.
bibliotecadigital.ilce.edu.mx/ (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:05 h).
203
• Reflexiona sobre tus resultados y consulta las siguientes estrategias para mejorar tu desempeño.
Si tus resultados están:
a) En proceso. Aún tienes aspectos que trabajar para alcanzar los conocimientos básicos. Para que aumentes
tu nivel de logro, te sugerimos revisar la sección "¿Qué estamos aprendiendo?" de la secuencia didáctica
correspondiente.
b) Satisfactorio. Has adquirido los conocimientos fundamentales, pero aún te falta autonomía en la resolución de problemas. Te recomendamos resolver las actividades de la sección "¿Qué aprendimos?".
c) Excelente. Cuentas con los conocimientos necesarios y suficientes para continuar con el estudio de los
contenidos del próximo trimestre.
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas.
Diferencio las
expresiones algebraicas
de las
funciones y de las
ecuaciones.
Formulo, justifico y uso Comprendo el uso del
el teorema de Pitágoras. teorema de Pitágoras,
pero me cuesta trabajo
identificar los problemas
donde se
puede aplicar.
Para el alumno
§ Enzensberger, Hans Magnus 1997. El diablo de los números. Un libro para todos
aquellos que le temen a las matemáticas, Siruela, Madrid, 2013.
X
Resuelvo problemas
Resuelvo algunos
mediante la formulación problemas de ecuaciones
y solución algebraica de cuadráticas por
ecuaciones cuadráticas. ensayo y error, pero
me cuesta trabajo
plantear la ecuación
correspondiente.
18
La información que obtengas
te permitirá diseñar, con ayuda
de tu profesor, estrategias para
mejorar tu desempeño.
¿Cómo lo hicimos?
1. Marca la casilla que describa mejor tu desempeño. Conversa con tu profesor, tus compañeros y familiares
o tutores sobre los resultados que obtuviste. Pídeles que te platiquen qué opinan de tu nivel de logro.
3. Con base en lo que te dijo tu compañero y en tu propia evaluación, determina en qué aspectos necesitas mejorar
y, con apoyo de tu profesor, define qué estrategias debes llevar a cabo para fortalecer tus áreas de oportunidad.
271
§ Alarcón, J. y otros. Critical mathematics education: past, present and future. Festschrift
for Ole Skovsmose, Sense Publishers, Róterdam, 2010.
§ Balacheff, N. Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas: una empresa
docente, Universidad de los Andes, Bogotá, 2000.
§ Batanero, C. y otros. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Casos y
perspectivas, SEP, México, 2011.
§ Bernabé, R. “El sentido numérico y sus vínculos con el rendimiento escolar en
aritmética”, tesis de maestría, Cinvestav-IPN, México, 2008.
§ Cobb, P. Learning mathematics: constructivist and interactionist theories of
mathematical development, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994.
§ D’ambrosio, U. Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of
mathematics. For the learning of mathematics, vol. 5, FLM Publishing Association,
Montreal, 1995, pp. 44-48.
§ Franke, M. L. y otros. Mathematics teaching and classroom practice, Handbook of
Research on Mathematics Teaching and Learning, Charlotte, 2007, pp. 225-256.
§ Freudhental, H. Revisiting mathematics education: China lectures, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 1991.
§ Gallardo, A. y otros. No solo quebrados… ¡También negativos! Emergencia de las
fracciones negativas en tareas aritmético-algebraicas, Editorial Académica Española,
Saarbrucken, Alemania, 2013.
§ Morin, E. Los siete saberes necesarios para la educación del futuro, Unesco, París, 1997.
Electrónicas
§ Krummheuer, G. “Narrative elements of children's argumentations in primary
mathematics classrooms”.
webdoc.gwdg.de/ebook/e/gdm/1997/krummheuer.pdf (consulta: consulta: 03 de
marzo de 2021, 23:59 h).
§ es.khanacademy.org/math (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:06 h)
En este sitio web tendrás acceso a actividades interactivas para practicar diversos
temas matemáticos, como ecuaciones cuadráticas, expresiones algebraicas de
segundo grado, funciones, razones trigonométricas y probabilidad, entre otros.
§ Radford, L. “Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic
perspective. Proceedings of the 28th Annual Meeting of the North American
Psychology Mathematics Education”.
www.luisradford.ca/pub/60_pmena06.pdf (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:01 h).
§ arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/Secundaria.html (consulta: 04 de marzo de
2021, 00:06 h)
En este sitio web hallarás actividades interactivas que permiten abordar diversos temas
propuestos para la secundaria. Podrás hacer construcciones dinámicas de geometría y
realizar juegos aritméticos.
§ Rigo, M. y otros. (2009). “Procesos meta-cognitivos en las clases de matemáticas de
la escuela elemental. Propuesta de un marco interpretativo”.
www.seiem.es/docs/actas/13/SEIEMXIII-RigoAlfonsoGomez.pdf (consulta: 04 de
marzo de 2021, 00:02 h)
§ SEP. “Aprendizajes clave para la educación integral. Plan y programas de estudio para
la educación básica”.
www.planyprogramasdestudio.sep.gob.mx/descargables/MATEMATICAS.pdf
(consulta: 04 de marzo de 2021, 00:03 h).
Con la finalidad de que enriquezcas el
trabajo que has realizado a lo largo del
ciclo escolar, al final del libro te sugerimos
fuentes impresas y electrónicas, tanto las
que fueron consultadas en la elaboración
del libro como las que te proponemos
revisar para que profundices aún más tus
conocimientos matemáticos.
Matemáticas 3
13
¡Bienvenido al último curso de Matemáticas de secundaria! Estás a punto de iniciar tu etapa final en este nivel educativo. Nuestra aspiración es contribuir a que este último ciclo
escolar te provea de experiencias y aprendizajes que te permitan enfrentar con éxito el
futuro. Probablemente ya estés pensando qué estudiar después de la secundaria, pero si
todavía no lo decides, deseamos que este curso te ayude a definir tus aspiraciones.
Para comenzar, te invitamos hacer lo siguiente.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Identifica un tema de Matemáticas que se te haya dificultado en los años anteriores.
Recuerda cómo superaste esto: ¿Recibiste apoyo de alguien? ¿Lo lograste trabajando
solo? ¿Cómo puedes aprovechar esa experiencia para enfrentar dificultades en tu formación académica? Escribe en tu cuaderno una reflexión al respecto.
2. Comparte tu reflexión con tus compañeros y escucha las de ellos. Comenten si algunos
coincidieron en los temas que se les dificultaron y comparen cómo los resolvieron.
3. Con ayuda de tu profesor, elaboren en el pizarrón una lista de las dificultades más
representativas que se encontraron en el grupo y de las maneras como las resolvieron.
4. Propón a tu profesor que comenten en grupo los aspectos que más aparecen en
su lista. Reflexionen acerca de cómo pueden aprovechar la experiencia de los otros
compañeros para enriquecer su aprendizaje.
5. Mencionen estrategias para afrontar las dificultades, tanto individuales como
grupales, que podrían encontrar en este curso. Propongan un decálogo con ellas,
por ejemplo, colaborar en equipo, ayudar a otros compañeros, buscar diferentes
procedimientos para abordar problemas, etcétera, y escríbanlo en la tabla.
P
ro
Decálogo
Probablemente, entre las estrategias que mencionaste para mejorar tu aprendizaje
hay aspectos relacionados con el esfuerzo personal, como planear tus actividades,
resolver actividades de práctica o establecer un horario de estudio. El trabajo y el
compromiso individuales son fundamentales para mejorar tu formación académica.
Sin embargo, también es básico el trabajo en equipo.
14
Matemáticas 3
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Seguramente en más de una ocasión, para superar las dificultades que tuviste en tu
aprendizaje de Matemáticas en años anteriores, contaste con el apoyo de otras personas,
de mayor o igual experiencia que la tuya. Esto no es raro porque los saberes matemáticos
siempre se han construido en sociedad. Por ello, el trabajo colectivo permite a todos
acrecentar sus habilidades y conocimientos.
Tu participación en la
formación de tus
compañeros es tan
importante como la de
ellos en la tuya. Dales la
oportunidad de participar
en tu desarrollo.
Te sugerimos que a lo largo del año te organices con diferentes compañeros para hacer las
actividades de tu libro o las planteadas por tu profesor. Procura trabajar con compañeros
diferentes cada vez, con mujeres y hombres por igual. Otras opciones son integrar equi­
pos al azar o elegir números según la cantidad de equipos que desean formar y reunirse
­todos a quienes les tocó el mismo número. También es válido elegir con quién reunirse, pero
trata de que no sean siempre los mismos integrantes del equipo. Todo esto te permitirá
aprender de diferentes maneras.
P
ro
• Anota con quién te gustaría formar parejas o equipos de trabajo en este curso escolar y
las razones de tu elección.
Ahora es momento de explorar tu libro: hojéalo, detente en los temas que llamen tu atención
o que consideres novedosos. Tal vez descubras algunos que te parezcan complejos. De
ser así, no te preocupes, a lo largo de tu formación has desarrollado herramientas para
afrontar retos cada vez mayores y en este libro te acompañaremos en esta nueva etapa de
tu aprendizaje.
Matemáticas 3
15
¿Cómo trabajaremos en Matemáticas?
En este libro, el trabajo para construir conocimientos y desarrollar habilidades matemáticas
se realiza por medio de secuencias didácticas, las cuales se dividen en sesiones que
te permitirán trabajar progresivamente con un contenido hasta llegar a cumplirlo. Es
importante que trabajes cada sesión en el orden presentado y no saltes ninguna, pues esto
asegurará que alcances el propósito planteado en la secuencia didáctica correspondiente.
n
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Sesión 3
Cumplimiento
parcial del
propósito
Sesión 4
Cumplimiento total del propósito de la secuencia didáctica
Sesión 1
Cumplimiento
inicial del
propósito
Sesión 2
Cumplimiento
parcial del
propósito
Cada secuencia didáctica se divide en tres momentos para desarrollarse dentro del aula
“¿Qué sabemos?”, “¿Qué estamos aprendiendo?” y “¿Qué aprendimos?”, los cuales propician la construcción gradual de tu conocimiento.
A continuación se describe cada momento:
¿Qué
sabemos?
• Se propone una actividad para que la resuelvas a partir de tus conocimientos
previos. Aquí reconoces cuál será el contenido que trabajarás en la secuencia
didáctica, y en su caso, los conocimientos con los que cuentas.
P
ro
¿Qué
estamos
aprendiendo?
• En este apartado se propone una serie de actividades
que te permitirán construir poco a poco nuevos conocimientos o desarrollar nuevas habilidades, estrategias y
procedimientos.
¿Qué
aprendimos?
16
¿Cómo aprenderemos?
• Aquí se encuentran actividades para que
apliques el conocimiento que has adquirido o la habilidad que has desarrollado.
En “¿Qué sabemos?” también se busca que desarrolles tu creatividad y tu imaginación al
buscar la solución a los problemas planteados. Compartir tus respuestas y estrategias es
fundamental antes de continuar el trabajo con el resto de la secuencia didáctica, pues así
podrás obtener ideas para afrontar los retos posteriores.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Finalmente, en el apartado “¿Qué aprendimos?” se te presentan actividades para que
ejercites las habilidades que has desarrollado y los conocimientos que has adquirido a lo
largo de la secuencia didáctica, es decir, para practicar la técnica desarrollada, pero que
a la vez guardan relación con conocimientos adquiridos en secuencias didácticas anteriores
de este curso o de cursos pasados, y por tanto, te permiten practicarlos.
n
Por su parte, en “¿Qué estamos aprendiendo?” harás actividades para que, por medio
del trabajo colaborativo, analices y reflexiones sobre el conocimiento matemático que
vas construyendo. En este apartado también encontrarás información relevante acerca del
contenido, así como algunos ejercicios para reconocer tus avances y aquellas áreas en las
que requieres trabajar más o buscar la ayuda necesaria.
Dado que muchos conceptos matemáticos fueron planteados para comprender y explicar
fenómenos naturales o sociales, varios retos de este libro corresponden a situaciones de
los medios social y natural; para resolverlos, aplicarás los conocimientos que has adquirido
o trabajarás en asignaturas como Física, Biología y Química. Esto te permitirá apreciar la
estrecha relación entre diversas áreas del conocimiento.
Matemáticas
Mundo social
P
ro
Mundo natural
Asimismo, en algunas sesiones de trabajo te proponemos trabajar con herramientas tecnológicas como software libre, y te invitamos a usar racionalmente la calculadora.
Finalmente, ahora que inicias el último año de la secundaria, te invitamos a buscar las
relaciones entre lo que aprendes en tu clase de Matemáticas y tu vida diaria. Recuerda que
las matemáticas son una herramienta para explicar el mundo que te rodea.
¡Continúa confiadamente la aventura matemática que nunca termina!
Matemáticas 3
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Rob Lewine / Gettyimages
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ó
n
Trimestre
uno
P
ro
Divisibilidad, números primos,
números compuestos, mcm,
MCD, semejanza de triángulos...
¡Bienvenido a tu tercer curso de Matemáticas de secundaria!
n
En este trimestre formularás los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 6
y 10, y los usarás para resolver problemas.
hi ©S
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ri
bu
ci
ó
Avanzarás en el estudio de los números, lo que te llevará a diferenciar
los números primos de los números compuestos y resolverás problemas
que impliquen calcular el mcm (mínimo común múltiplo) y el MCD
(máximo común divisor). Generalizarás propiedades y las expresarás de
forma algebraica.
Representarás las propiedades del área de figuras geométricas
con expresiones de segundo grado y verificarás la equivalencia de
estas expresiones geométrica y algebraicamente.
Asimismo, construirás polígonos semejantes y determinarás y usarás
los criterios de semejanza de triángulos.
Por último, aplicarás lo que has aprendido en grados anteriores sobre
medidas de tendencia central y dispersión para resolver problemas.
P
ro
¡Te deseamos éxito en este nuevo ciclo escolar!
PeopleImages / Gettyimages
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20
Secuencia
didáctica 1
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.
Contenido: Formularás y usarás los criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10.
Divisibilidad entre 2, 5 y 10
Lee la situación y contesta.
1. Dos grupos de amigos asisten el mismo día a un centro de entrenamiento de
bobsleigh que cuenta con 10 pistas que se pueden usar de manera simultánea.
n
Las reglas del centro de entrenamiento indican que cada trineo
puede llevar un máximo de dos personas. Tomando en cuenta que
la renta de cada trineo es de $500 y que todos los integrantes de
cada grupo subieron a los trineos al mismo tiempo…
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ó
LIONEL BONAVENTURE / Gettyimages
El primer grupo lo integran 5 personas y el segundo, 6.
a) Dibuja la distribución de cada grupo de personas en los
trineos.
El bobsleigh es un
deporte olímpico de
invierno que consiste
en deslizarse en trineo
por un tobogán.
Grupo 1
Grupo 2
b) ¿Cuánto pagó en total el grupo 1? $1 500
c) ¿Cuánto pagó en total el grupo 2? $1 500
d) ¿Por qué pagaron esta cantidad ambos grupos si tienen diferente número de
P
ro
Recuerda que no solo hay un
camino válido para resolver
problemas, por lo que es
posible que al comparar tus
procedimientos con los de
tus compañeros encuentres
diferencias. Escucha sus
argumentos y expón tus
puntos de vista. Mantén
una actitud de apertura y,
si es necesario, modifica tu
procedimiento para mejorarlo.
personas? Porque tuvieron que usar otro trineo para el amigo que queda solo.
e) Si deciden que las personas que usaron un trineo dividan el pago total de renta,
persona pagará $300
¿cuánto pagará cada persona del grupo 1? Cada
f) ¿Cuánto pagará cada persona del grupo 2? $250
g) ¿Qué cantidad de personas conviene que asistan al centro de entrenamiento
para que cada una de ellas pague menos? La cantidad debe ser un número par
para
que cada persona pague $250.
• Comparte tus respuestas y argumenten en grupo las razones de cada una de ellas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
21
Divisibilidad entre 2
Resuelvan en parejas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Se rentaron autobuses para un paseo escolar, como el que se muestra en la imagen.
En los dos primeros asientos viajarán dos profesores, en los dos últimos asientos
viajarán dos papás y, por motivos de seguridad, no podrán ir más de dos alumnos
en cada par de asientos.
a) Con base en la información anterior, escriban junto a cada grupo de alumnos
“viajarán acompañados” si todos los alumnos podrán sentarse con otro compañero
y "se sentarán solos" si al menos un alumno viajará solo en el par de asientos.
•
92 alumnos: viajarán acompañados •
48 alumnos: viajarán acompañados
•
105 alumnos: se sentarán solos
•
57 alumnos: se sentarán solos
•
54 alumnos: viajarán acompañados •
99 alumnos: se
sentarán solos
b) ¿Qué características tienen las cantidades donde todos los alumnos viajan
acompañados? Son números que terminan en par o 0.
c) ¿Qué características tienen las cantidades donde al menos un alumno viaja solo
en el par de asientos? Terminan en número impar.
• Comenten sus respuestas con sus compañeros y escuchen sus argumentos. Luego
escriban en su cuaderno las características que debe tener cualquier número para que
pueda dividirse entre 2 con residuo cero. R. M. Los números divisibles entre dos son
siempre pares o terminan en cero.
¿Cómo vamos?
P
ro
1. Sin hacer operaciones, usa las reglas que escribieron para determinar si los
siguientes números son exactamente divisibles entre 2. Escribe “Sí” o “No”.
5 No
12 Sí
23 No
35 No
47 No
58 Sí
a) Escribe una expresión algebraica que permita multiplicar un número entero
cualquiera y obtener siempre un número par o con terminación en cero.
2x
• Utiliza tu calculadora o realiza las operaciones en tu cuaderno para comprobar tus
resultados.
Sesión 1. Resuelves problemas para formular el criterio de divisibilidad entre 2.
22
Secuencia didáctica 1
Sesión 2
Divisibilidad entre 5 y 10
En parejas, analicen la situación y hagan lo que se pide.
1. Algunas personas cuentan y registran datos usando marcas verticales (“I”). Cada
marca vertical representa una unidad. Para llevar un mejor registro visual, por cada
4 marcas verticales colocan una línea horizontal formando así, grupos de 5. De esta
manera pueden contar rápidamente las unidades.
Conteo con marcas
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Número
n
a) Realicen el conteo con marcas de los siguientes números.
23
IIII IIII IIII IIII III
15
IIII IIII IIII
40
IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII
20
IIII IIII IIII IIII
52
IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII II
35
IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII
b) ¿Cuántos grupos con marca horizontal se formaron con el número 52? 10
c) ¿Quedaron marcas sin ser atravesadas por una línea horizontal? Sí
d) ¿Cuántos grupos con marca horizontal se formaron con el número 40? 8
e) ¿Quedaron marcas sin ser atravesadas por una línea horizontal? No
f)
¿Qué tienen en común los números que formaron grupos completos
de marcas? Terminan en 0 o en 5.
• Comenten sus respuestas y observaciones en grupo. Redacten, en su cuaderno,
las características que debe tener cualquier número para que pueda dividirse entre 5
con residuo cero. Son divisibles entre 5 si terminan en 0 o en 5.
Trabaja individualmente.
P
ro
2. Usa la regla general que escribieron al final de la actividad 1. Escribe “Sí” si los números
dados son divisibles entre 5 y “No” en caso contrario.
553 359 23 456 No
No
No
330 825 15 500 Sí
Sí
Sí
1 051 680 33 553 No
Sí
No
a) Escribe una expresión algebraica que permita multiplicar un número entero cualquiera y obtener siempre un número con terminación cinco o cero. 5x
• Comprueba y argumenta con otro compañero tus respuestas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
23
3. Una empresa mexicana vende estuches de bolígrafos de distintos
colores. Entre las diferentes maneras de empaquetar los bolígrafos
está la que se muestra en la imagen.
a) ¿Cuántos estuches se requieren para empaquetar 50 bolígrafos?
5 estuches
•
•
•
•
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
c) Escribe cuántos estuches como el de la imagen se llenarán con
las siguientes cantidades de bolígrafos y cuántos bolígrafos sueltos sobrarán.
n
b) ¿Cuántos estuches se necesitan para empaquetar 63 bolígrafos?
7 estuches; 6 estuches estarán completos y el séptimo tendrá
3 bolígrafos.
310 31 estuches llenos
65 6 estuches llenos y sobran 5 bolígrafos
1 010 101 estuches llenos
1 112 111 estuches llenos y sobran 2 bolígrafos
d) ¿Qué características tienen las cantidades que permitieron formar estuches
completos sin que sobraran bolígrafos? Todas terminan en 0.
e) Escribe en tu cuaderno una regla que permita identificar los números que al
dividirse entre 10 tengan residuo cero. R. M. Un número es divisible entre 10 si termina en 0.
f) Escribe una expresión algebraica que permita multiplicar un número entero
cualquiera y obtener siempre un número con terminación en cero. 10
x
4. Compara la información del recuadro con la que has escrito en las sesiones.
Criterios de divisibilidad
Un número es divisible entre 2 cuando termina en 0 o número par.
Por ejemplo: 4, 18, 20, 36.
P
ro
Un número es divisible entre 5 cuando termina en 0 o en 5.
Por ejemplo: 10, 15, 40, 85.
Un número es divisible entre 10 cuando termina en 0.
Por ejemplo: 30, 40, 110, 130.
• Utiliza los criterios de divisibilidad para comprobar si las cantidades trabajadas cumplen
con las condiciones mencionadas. Comparte tus resultados con el grupo. Corrige si lo
consideras necesario.
Sesión 2. Resuelves problemas para formular el criterio de divisibilidad entre 5 y 10.
24
Secuencia didáctica 1
Sesión 3
Resolución de problemas
En parejas hagan lo que se solicita.
1. Un establecimiento tiene una promoción: “Cualquier artículo, a mitad de precio”, pero
aún no llega la persona que trae las monedas de $5 y $10 para dar cambio. El gerente
les dice a sus empleados que guarden algunos artículos hasta que llegue el cambio.
Artículo
Precio ($)
8
n
Lapicero
Goma
5
Gorra
190
hi ©S
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T
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L
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ri
bu
ci
ó
a) ¿Qué artículos de la tabla guardarían
si suponemos que todos los clientes
se llevarán únicamente 2 artículos del
mismo tipo para tomar la promoción?
Los lapiceros y la lupa
Lentes
Bolsa de globos
25
Playera
130
Lupa
63
265
2. Sin hacer operaciones, completen la tabla. Escriban en la segunda columna los
números 2, 5 o 10 si los números dados son divisibles entre estos números.
Número
250
485
805
224
380
508
Divisible entre
2, 5 y 10
5
2
2, 5 y 10
5
2
a) ¿Por qué todo número divisible entre 10
2 y 5 son
también lo es entre 2 y 5? Porque
múltiplos de 10.
b) ¿Qué tipo de números divisibles entre 5 lo
son también entre 2 y 10? Los
que terminan en cero.
c) ¿Qué tipo de números divisibles entre 2 lo son
también entre 5 y 10? Los que terminan en cero.
d) ¿Qué relación existe entre el 2 y el 5 para generalizar que siempre serán divisores de
todo número divisible entre 10? Ambos números son múltiplos de 10.
P
ro
3. Dividan sucesivamente entre los números que se indican, solo hasta obtener
coeficientes enteros y residuo cero. Observen el ejemplo.
42
45
410
1 250
250
45
344
42
42
45
1 800
180
172
42
50
45
18
86
42
10
45
688
43
410
410
2
• Comparen sus respuestas con el resto del grupo y lleguen a conclusiones generales.
Valídenlas con ayuda del profesor.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
25
Terminación par
o cero
Terminación en
cinco o en cero
Terminación en cero
1
2
5
10
2
4
10
20
3
6
15
30
4
8
20
40
5
10
25
50
6
12
30
60
7
14
35
70
8
16
40
80
9
18
45
90
10
20
50
100
hi ©S
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Número
n
4. Completen la siguiente tabla usando las expresiones algebraicas que escribieron en
las sesiones anteriores para multiplicar un número entero cualquiera y obtener la
terminación que se indica en cada columna.
a) De los resultados de la tabla, 10, 20 y 30 son múltiplos de 10. Entonces,
¿siempre serán divisibles entre 10? Sí
¿Y lo serán siempre también
entre 2 y 5? Sí, porque 10, 20 y 30 también son múltiplos de 2 y 5.
b) De los resultados de la tabla, ¿por qué 15, 25 y 35 no son divisibles entre
2 ni entre 10? Porque no son múltiplos de 2 y 10.
• Muestren sus respuestas a otra pareja, comenten sus argumentos y lleguen a
conclusiones generales.
5. Escriban un problema que se pueda resolver con el criterio de divisibilidad entre 5.
Luis debe hacer un pedido de café y empacarlo en 12 bolsas que contengan 5 kg
Interactúa en el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-001.
En él podrás comparar los
argumentos que expusiste
en la secuencia sobre si un
número es o no divisible
entre 2.
P
ro
cada una. Si quiere dejar 3 kg para el consumo de su casa y no desea que le sobre
café, ¿de cuántos kilogramos debe hacer el pedido?
6. Escriban un problema que se pueda resolver usando el criterio de divisibilidad entre 10.
Maricela corre todas las mañanas durante 2 horas y cada 10 minutos hace
pausas para revisar sus signos vitales. En dos días, ¿cuántas veces revisó
sus signos vitales?
• Intercambien sus problemas con un compañero y resuélvanlos. Verifiquen entre todos
sus respuestas y argumenten sus razones. Muestren al grupo algunos de sus números y
comprueben entre todos que realmente sean divisibles entre un solo número.
Sesión 3. Usas criterios de divisibilidad entre 2,
5 y 10 en la resolución de problemas.
26
Secuencia
didáctica 2
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.
Contenido: Formularás y usarás los criterios de divisibilidad entre 3, 4 y 6.
Divisibilidad entre 3, 4 y 6
Haz lo que se pide y contesta.
1. Un número que termina en 2 siempre es divisible entre 2; si un número termina en
5, siempre es divisible entre 5 y si un número termina en 0, siempre es divisible
entre 10. A partir de lo anterior, ¿consideras que un número que termina en 3
siempre es divisible entre 3? Argumenta tu respuesta.
R.
M. No aplica la misma regla para los números que son divisibles entre 3. Por
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
ejemplo,
53 es un número que termina en 3 pero no es divisible entre 3.
2. Escribe el resultado de las siguientes divisiones.
i.
iv. 8723 4 3 5 2907.66 vii. 114 4 3 5 38
165 4 3 5 55
ii. 561 4 3 5 187
v. 2387 4 3 5 795.66
viii. 1414 3 5 47
iii. 823 4 3 5 274.33
vi. 8703 4 3 5 2901
ix. 328 4 3 5 109.33
a) ¿Todos los números que terminan en 3 son exactamente divisibles entre 3? No
b) Elige un número de la lista que sea divisible entre 3. ¿Qué dígitos lo forman?
R. M. 1, 1, 4 y 1, 6, 5
c) Elige un número que no sea divisible entre 3, ¿qué dígitos lo forman?
R.
M. 2, 3, 7 y 8
• Reúnete con un compañero y comparen sus respuestas para validarlas o ajustarlas.
Divisibilidad entre 3 y 6
Resuelvan en parejas.
P
ro
1. Observen los números de cada fila y respondan.
825
852
582
528
258
¿Todos los números de la fila anterior son divisibles entre 3? 983
938
389
398
893
¿Todos los números de la fila anterior son divisibles entre 3? 285
Sí
839
No
a) De las filas donde los números son divisibles entre 3, si suman los dígitos de
cada número, ¿influye el orden de los dígitos para que el número sea divisible
entre 3?
No
¿Por qué? Porque el resultado es el mismo y es múltiplo de 3.
b) De las filas donde los números no son divisibles entre 3, si suman los dígitos de
cada número, ¿qué características tiene el resultado para que no sean divisibles
entre 3? No
son múltiplos de 3.
• Redacten las condiciones que debe tener un número para que sea divisible entre 3. Estas
condiciones podrán ser puestas a prueba más adelante.
Eje: Número, álgebra y variación R. M. Un número es divisible entre 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Tema: Número
27
2. Usen las condiciones que redactaron en la página anterior para comprobar si los
siguientes números son divisibles entre 3. Rodeen el número que no lo sea.
Todos son divisibles entre 3.
303
822
735
504
261
498
3. Completen la tabla.
Divisible entre 3
Divisible entre 5
Divisible entre 6
303
No
Sí
No
No
822
Sí
Sí
No
Sí
735
No
Sí
Sí
Sí
Sí
No
Sí
No
Sí
No
No
Sí
Sí
No
Sí
261
498
No
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
504
n
Divisible entre 2
a) ¿Qué características tienen los números que son divisibles entre 6? R.
M. También son divisibles entre 2 y entre 3.
b) Escriban los criterios que consideren necesarios para determinar si un número
que un número sea divisible entre 6, debe ser divisible
es divisible entre 6. Para
entre
2 y 3 al mismo tiempo.
4. De acuerdo con el criterio que escribieron, encierren los números que son divisibles
entre 6.
3 720
7 354
93 228
72 456
10 802
9 473
Criterios de divisibilidad entre 3 y 6
Un número es divisible entre 3 si al sumar todos sus dígitos obtenemos un múltiplo de
3. Por ejemplo, el número 4 257; 4 1 2 1 5 1 7 5 18. Dado que 18 es un múltiplo de 3,
por tanto, 4 257 es divisible entre 3.
P
ro
Es posible volver a sumar para obtener un solo dígito: 4 1 2 1 5 1 7 5 18. Volvemos a
sumar 1 1 8 5 9. Si al reducir a un solo dígito se obtiene 3, 6 o 9, entonces el número
es divisible entre 3.
Un número es divisible entre 6 cuando al mismo tiempo es divisible entre 2 y entre 3.
Por ejemplo, 324 es divisible entre 6 porque termina en número par y porque al sumar
sus dígitos obtenemos 3 1 2 1 4 5 9.
• De manera grupal externen sus dudas y resuélvanlas. Después, escriban diez números
que sean divisibles únicamente entre 3, y diez números que sean divisibles entre 6.
R. M. Divisibles entre 3: 3, 6, 21, 27, 33, 57, 87, 153, 171. Divisibles entre 6: 12, 24, 66,
Sesión 1. Resuelves problemas para formular
72, 120, 534, 624…
los criterios de divisibilidad entre 3 y 6.
28
Secuencia didáctica 2
Sesión 2
Divisibilidad entre 4
Haz lo que se pide y contesta.
1. ¿Todos los números que son divisibles entre 2 son divisibles entre 4? No
a) Coloca una si el número dado en la tabla es divisible entre 2 o entre 4.
Puedes usar la calculadora. Al final corrobora o rectifica tu respuesta anterior.
Divisible entre 2
Divisible entre 4
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
92 322
89 048
10 126
2 500
381 634
79 210
5 812
2. Haz las operaciones necesarias para saber si los números que se indican son divisibles
entre 4. Luego completa la tabla.
Divisible entre 4
Sí
No
Divisible entre 4
Sí
No
Divisible entre 4
Sí
No
Divisible entre 4
Sí
No
421
762
936
618
412
726
963
681
214
276
693
816
241
267
639
861
124
627
369
186
142
672
396
168
P
ro
a) ¿La suma de los dígitos de cada número determina si es divisible entre 4? No
b) De los números que se ubican en la región azul y que son divisibles entre 4,
¿qué características tienen los últimos dos dígitos? R. M. Son múltiplos de 4.
c) De los números que se ubican en la región roja, verde y amarilla y que son divisibles
entre 4, ¿qué características tienen los últimos dos dígitos? R.
M. Son múltiplos de 4.
d) De la tercera fila de números, dividan entre 2 cada número y escriban los resultados.
214/2 = 107; 276/2 = 138; 693/2 = 346.5; 816/2 = 408
De los resultados que obtuvieron, aquellos que tienen un número entero, vuelvan a
dividir entre 2 y escriban el resultado. 107/2 = 53.5; 138/2 = 69; 408/2 = 204
De los resultados en que se obtienen números enteros, ¿son divisibles entre 4? Solo 204 es divisible entre 4.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
29
Haz con un compañero lo que se pide.
•
100 Sí
•
200 Sí
•
300 Sí
•
400 Sí
•
500 Sí
•
600 Sí
•
700 Sí
•
800 Sí
•
900 Sí
•
1 000 Sí
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) ¿A qué se deben sus respuestas anteriores? A que todos son múltiplos de 100 y
100 es un múltiplo de 4.
n
3. Escriban si los siguientes números son divisibles entre 4.
b) Si se agrega un dígito al inicio de cualquier número (# 400), ¿seguirá siendo
Sí
divisible entre 4? Por ejemplo, 7 400.
¿Por qué? R. M. Porque el
nuevo número que se forma sigue siendo múltiplo de 100.
No
¿Y el número 421?
d) ¿Qué cambió entre los números anteriores? El orden de los últimos dos dígitos
c) ¿Es divisible entre 4 el número 412?
Sí
e) ¿Sucede lo mismo con los números de la tabla que son divisibles entre 4? Sí
f)
Escriban los criterios que debe cumplir un número para que sea divisible entre 4.
Los últimos dos dígitos de la cifra deben ser un múltiplo de 4 o doble 0.
4. Sin hacer operaciones, escriban si el número dado es divisible entre 4.
Número
¿Es divisible entre 4?
23 484
Sí
87 202
No
452 056
Sí
30 000
Sí
901 006
No
P
ro
• Verifiquen con los números de la tabla los criterios que redactaron.
Criterios de divisibilidad entre 4
Un número es divisible entre 4 cuando…
a) los dos últimos dígitos del número son múltiplos de 4;
b) se puede dividir entre 2, dos veces consecutivas;
c) terminan en doble cero. Por ejemplo: 4, 184, 200, 360.
• Comprueben si los números que determinaron como divisibles entre 4 cumplen con
el criterio de divisibilidad. Compartan sus observaciones y lleguen a conclusiones.
Sesión 2. Resuelves problemas para formular el criterio
de divisibilidad entre 4.
30
Secuencia didáctica 2
Sesión 3
Resolución de problemas
Resuelve.
Commercial Eye / Gettyimages
Mathew Imaging / Gettyimages
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Chad Slattery / Gettyimages
n
1. Una escuela organizó una visita a un parque de diversiones. El profesor les solicitó
a los estudiantes que en ningún momento dejaran a alguien solo en los juegos, los
cuales se muestran en las imágenes.
a) Si asistieron 792 estudiantes, ¿cuál es la cantidad mínima de alumnos que se
pueden integrar para que ninguno quede solo en los juegos? Argumenta tu respuesta.
6
personas porque podrían sentarse en parejas, en equipos de 3 o en el juego
de 8 sentarse también por parejas y dejar 2 asientos vacíos.
2. Un terreno mide 318 m2 de área y en él se pretenden hacer locales de forma cuadrada. Dibuja al menos dos formas distintas del terreno y en cada una de estas, la
distribución y la medida de los locales y de los pasillos para los clientes.
3m
106 m
Pasillos
P
ro
Locales
6m
53 m
Pasillos
Locales
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
31
Trabajen en parejas.
3. Completen la tabla sin hacer operaciones. Escriban en la segunda columna los
números 3, 6 o 4, dependiendo de entre cuál o cuáles de ellos son divisibles
los números dados.
72
Es divisible entre...
3, 4 y 6
3y6
52 904
4
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
10 002
n
Número
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-002
podrás ver un video y
resolver ejercicios sobre
criterios de divisibilidad.
4 521
3
1 080
3, 4 y 6
1 656
3, 4 y 6
2 236
4
810
3y6
a) ¿Todos los números divisibles entre 3 y 4 son divisibles entre 6? Argumenten su
respuesta. Sí, porque un número que es divisible entre 4 forzosamente es
divisible entre 2, ya que termina en par y si al mismo tiempo es divisible entre 3,
entonces cumple el criterio de ser divisible entre 6.
b) Escriban cinco ejemplos que ejemplifiquen su argumento. R. M. 360, 192, 168, 264 y 144
4. Organizados en pareja realicen el siguiente juego.
a) Reúnanse con otra pareja. Cada pareja tendrá 5 minutos para escribir la mayor
cantidad de números que sean divisibles entre 3. R. L.
P
ro
b) Verifiquen que todos los números que escribieron sean divisibles entre 3. La
pareja ganadora competirá contra otra pareja vencedora y escribirá de nuevo,
en 5 minutos, la mayor cantidad posible de números que sean divisibles entre 4.
R. L.
c) La pareja que resulte ganadora competirá contra otra pareja vencedora y escribirá, en 5 minutos, la mayor cantidad posible de números que sean divisibles
entre 6. R. L.
d) Por último, las personas que hayan ganado deberán escribir en 5 minutos la
mayor cantidad posible de números distintos a los anteriores que al mismo
tiempo sean divisibles entre 3, 4 y 6. R. L.
• En grupo, lleguen a conclusiones generales.
Sesión 3. Usas criterios de divisibilidad entre 3, 4 y 6
en la resolución de problemas.
32
Secuencia
didáctica 3
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.
Contenido: Distinguirás números primos de números compuestos.
Números primos y números compuestos
Analiza la situación y haz lo que se pide.
1. Escribe todos los números entre los cuales son divisibles los números de la tabla.
Observa el ejemplo.
Es divisible entre…
1, 3, 5, 15
1, 3, 7, 21
1, 2, 17, 34
1, 7, 49
1, 53
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12,15, 20, 30, 60
1, 79
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Número
15
21
34
49
53
60
79
96
a) ¿Qué divisor es común en todos lo números? El 1
b) ¿Qué resulta de dividir un número entre 1? El mismo número
c) ¿Todo número puede dividirse entre sí mismo? ¿Qué resultado se obtiene? Sí, 1.
No
d) ¿Todos los números tienen más de 2 divisores?
¿Por qué? Porque
algunos números solamente se pueden dividir entre el 1 y ellos mismos.
Números primos
Trabajen en parejas.
1. Hagan lo siguiente y respondan
P
ro
•
•
•
•
Para organizar tu tiempo de
estudio, en una agenda puedes
registrar las fechas de entrega
de algunos trabajos y tareas
escolares, así como fechas
de exámenes, entre otras
actividades. Esto te ayudará a
cumplir oportunamente con
las entregas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
Tachen el número 1 para indicar que no es primo.
Encierren el número 2 y tachen todos sus múltiplos.
Ahora encierren el 3 y tachen todos sus múltiplos.
Hagan lo mismo con los siguientes números que no se encuentren tachados y
tachen todos sus múltiplos.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
33
a) Escriban todos los números que quedaron encerrados: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
• Comparen con otra pareja los números que rodearon. En caso de que haya diferencias,
analicen las razones y lleguen a acuerdos generales.
2. Escriban los divisores de cada número.
Divisores
1
n
1, 19
1, 23
1, 59
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Número
1
19
23
59
73
89
97
1, 73
1, 89
1, 97
a) ¿Todos los números tienen la misma cantidad de divisores? No
b) ¿Qué número tuvo más divisores? Tuvieron la misma cantidad del 19 al 97
1
c) ¿Qué número tuvo menos divisores? El
3. Lean la siguiente información.
Números primos
Los números primos son los números naturales que tienen solo dos divisores: el 1
y el mismo número.
a) Con base en la información anterior y la última tabla que completaron, ¿por qué
el número 1 no es primo? Argumenten su respuesta. Ver solucionario
¿Cómo vamos?
P
ro
Haz lo que se pide.
1. Simplifica las fracciones a su mínima expresión.
828 23
5
288 8
70
2
5 b)
2555 73
a)
1128 47
2170 31
5 e)
5
312 13
3010 43
2310
144
11
2
d) 5
f) 5
12390 59
360
5
c)
• Comprueba con otro compañero tus respuestas. Verifiquen que ambos llegaron a la
mínima expresión de las fracciones. ¿Cómo saben que no pueden seguir simplificando?
Ver solucionario
Sesión 1. Caracterizas números primos.
34
Secuencia didáctica 3
Sesión 2
Números compuestos
Resuelve.
c)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
d)
2 3 3 3 4 3 5 3 6 5 720
8 3 9 3 5 5 360
n
1. En las siguientes operaciones y usando las operaciones inversas, encuentra los
números que se multiplicaron.
R. M.
a) 5 3 9 3 3 5 135
b) 2 3 6 3 7 3 5 5 420
e)
f)
5 3 6 5 30
11 3 13 5 143
41 3 7 5 287
h) 67 3 73 5 4891
i) 89 3 97 5 8633
1 3 53 3 61 5 3233
j)
g)
2. Reúnete con otro compañero, comparen sus respuestas y respondan.
a) ¿Tienen más de una respuesta los ejercicios? (Considera que 5 3 3 y 3 3 5
se contarán como una respuesta). Sí, los primeros 5.
b) ¿Qué diferencia hay entre los primeros cinco incisos y los siguientes cinco?
Que en los primeros 5 puede haber varias respuestas y en los siguientes no.
c) ¿Por qué los últimos cinco incisos tienen esta característica? Porque se forman por factores primos.
d) ¿Los números que se multiplican para obtener un resultado son también divisores
de ese resultado? ¿Por qué? Sí, porque son operaciones inversas.
3. Lean la información.
Números compuestos
P
ro
Los números compuestos son los números naturales que tienen más de dos divisores.
Por ejemplo, el número 9 es compuesto porque sus divisores son 1, 3 y 9. El 5 no es un
número compuesto, pues solamente tiene dos divisores.
El único número natural par que no es compuesto es el 2. El número 1 no se considera
ni primo ni compuesto.
a) ¿Los números 287 y 4 891 son compuestos? Argumenten su respuesta.
Ver solucionario
• Compartan sus respuestas con el resto del grupo y lleguen a conclusiones generales.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
35
Trabajen en parejas las siguientes actividades.
1. Determinen el producto de factores de los siguientes números. Escriban al menos
dos maneras diferentes: la primera con la menor cantidad de factores y la segunda,
usando la mayor cantidad de factores. Para esta actividad, ejemplos como 4 3 3 y
3 3 4 se consideran como una sola respuesta.
i.
144 5 R. M. 2 3 72
n
144 5 R. M. 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
ii. 173 5 173
31
173 5 Es
un número primo
iii. 181 5 181 3 1
181 5 Es un número primo
iv. 293 5 1 3 293
293 5 Es
un número primo
v. 336 5 R. M. 4 3 84
336 5 R.
M. 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 7
vi. 756 5 R. M. 3 3 252
756 5 R. M. 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 7
a) ¿En todos los casos fue posible encontrar más de una multiplicación que permitiera obtener el producto indicado? No
b) En los casos donde se usó la mayor cantidad de factores, ¿qué características
números primos.
tienen los factores? Son
P
ro
2. Escriban los números de la actividad anterior en la columna que les corresponde.
Números primos
Números compuestos
173
144
181
336
293
756
Visita el siguiente sitio
web para profundizar en
el estudio de los números
primos y los números
compuestos:
www.esant.mx/
ecsema3-003.
• Comparen sus respuestas con las de otras parejas. Compartan sus dudas y comentarios
con el resto del grupo y lleguen a conclusiones generales.
Sesión 2. Caracterizas a los números compuestos.
36
Secuencia
didáctica 4
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.
Contenido: Calcularás el mcm y el MCD y usarás estas nociones en la resolución de problemas.
mcm y MCD
Haz lo que se pide.
1. De los números que se muestran, identifica cuáles son primos y cuáles son
compuestos. Remarca con rojo los números primos y con verde los compuestos.
2
6
5
10
11
8
n
a) Si se realizaran dos sucesiones tomando como base cualesquiera dos números
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
compuestos y se le sumara el mismo número base en cada término, ¿las
sucesiones coincidirían en algún momento en el mismo número? Sí.
sucesión. Conjunto ordenado
de términos que cumplen una
regla determinada.
b) Si se realizaran dos sucesiones tomando como base cualesquiera dos números
primos y se le sumara el mismo número base en cada término, ¿las sucesiones
coincidirían en algún momento en el mismo número? Sí.
c) Si se realizaran dos sucesiones tomando como base un número compuesto y
un número primo cualesquiera y se le sumara el mismo número base en cada
término, ¿las sucesiones coincidirían en algún momento en el mismo número?
Sí.
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Mínimo común múltiplo (mcm)
P
ro
1. Completa la tabla sumando la cantidad base hasta que las filas coincidan en el
mismo número.
6
10
12
20
18
30
24
30
5
11
10
22
15
33
20
44
25
55
30
35
40
45
50
55
6
11
12
22
18
33
24
44
30
55
36
66
42
48
54
60
66
a) ¿Coincidieron todas las parejas de números (compuesto-compuesto,
primo-primo, primo-compuesto)? Sí.
b) ¿Siempre existirá un número en el que coincidan las cantidades sin importar que
sea primo o compuesto dentro de los números naturales? De manera grupal
compartan esta respuesta y sus argumentos. Sí.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
37
mcm
El mínimo común múltiplo (mcm) es el múltiplo común menor de dos o más números.
240 360 480 600 720 840
140 210 280 350 420 490 560 630 700
770 840
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
120
70
n
2. Haz dos sucesiones como las de la página anterior y encuentra el mínimo común
múltiplo de 120 y 70.
Resuelvan en parejas.
3. Analicen el siguiente procedimiento.
120
60
30
15
5
1
70
35
35
35
35
7
1
2 (mitad)
2
2
3 (tercia)
5 (quinta)
7 (séptima)
Ambos tienen mitad.
Solo 60 tiene mitad.
Solo 30 tiene mitad.
Ninguno tiene mitad. El 15 tiene tercia.
Ninguno tiene tercia. Ambos tienen quinta.
El 7 es número primo, solo tiene séptima.
mcm de 120 y 70 5 2 3 2 3 2 3 3 3 5 3 7 5 840
a) Analicen el procedimiento anterior y distingan qué representa cada casilla.
En grupo compartan sus observaciones y escriban en su cuaderno los pasos
necesarios para obtener el mcm. Ver solucionario
4. Con su redacción del punto anterior, encuentren el mcm de los siguientes números.
P
ro
2
432 783
a)b)
216 783
2
108 783
2
54 783
2
27
3
783
9
3
261
3
3
87
1
29
29
mcm 5 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3
3 3 3 29 5 12528
633
633
633
633
211
211
211
1
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
3
3
3
211
mcm 5 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3
3 2115 45576
• Reproduzcan las tablas en el pizarrón y corroboren o corrijan sus respuestas de manera
grupal. Externen sus dudas y entre todos resuélvanlas. Si lo consideran conveniente,
pidan apoyo a su profesor.
Sesión 1. Empleas los números primos para hallar el mínimo común múltiplo (mcm).
38
Secuencia didáctica 4
Sesión 2
Máximo común divisor (MCD)
Trabaja individualmente.
1. Escribe en las casillas de cada fila todos los divisores de cada número.
30
24
i.
5
4
6
6
15
12
10
8
30
24
¿Cuál es el mayor divisor en el que ambos números coinciden? 6
96
69
1
1
3
23
2
3
4
69
6
8
12
16
24
32
48
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b)
3
3
2
2
1
1
n
a)
i.
¿Cuál es el mayor divisor en el que ambos números coinciden? 3
181
239
c)
96
1
1
181
239
i. ¿Cuál es el mayor divisor en el que ambos números coinciden? No coinciden
en algún divisor, excepto en el 1, ya que ambos son números primos.
d) ¿Cualquier pareja de números tendrá algún divisor en común distinto de 1? Argumenta
tu respuesta. Ver solucionario
• En sesión grupal, compartan sus respuestas y argumentos. Resuman los puntos que
consideren importantes.
Resuelvan las actividades en parejas.
2. Identifiquen todos los divisores de cada número y resalten el mayor de los divisores
en el cual coinciden los tres números.
P
ro
a)
i.
b)
i.
48
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
36
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
92
1, 2, 4, 23, 46, 92
¿Cuál es el máximo de los divisores que tienen en común? 4
86
1, 2, 43, 86
42
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
76
1, 2, 4, 19, 38, 76
¿Cuál es el máximo de los divisores que tienen en común? 2
• Comprueben con otra pareja sus resultados y sus procedimientos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
39
MCD
El máximo común divisor (MCD) es el divisor mayor que tienen en común dos
o más números.
160
80
40
20
10
5
2 (mitad)
2
2
2
2
Ambos tienen mitad al mismo tiempo.
Ambos continúan teniendo mitad.
Ambos continúan teniendo mitad.
Ambos continúan teniendo mitad.
Ambos continúan teniendo mitad.
No tienen algo en común al mismo tiempo.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
96
48
24
12
6
3
n
3. Analicen el siguiente procedimiento.
MCD 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32
a) Analicen el procedimiento empleado y distingan qué representa cada casilla.
En grupo compartan sus observaciones y escriban en su cuaderno los pasos
necesarios para obtener el MCD. Ver solucionario
4. Usen su procedimiento anterior, encuentren el MCD de los siguientes números.
148 204 300
2
a)b)
74
102
150
2
37
51
75
144
72
36
18
6
216
108
54
27
9
120
60
30
15
5
2
2
2
3
MCD 5 2 3 2 3 2 3 3 5 24
MCD 5 2 3 2 5 4
• De manera grupal, comprueben sus resultados y procedimientos. Externen sus dudas y
planteen algunos ejemplos para resolverlos entre todos.
¿Cómo vamos?
P
ro
Trabaja de manera individual.
1. Encuentra el máximo común divisor de los siguientes números.
96
48
24
116
58
29
76
38
19
2
2
MCD 5 2 3 2 5 4
• Comprueba tu resultado con otro compañero y luego valídenlos con ayuda de
su profesor.
Sesión 2. Empleas los números primos para hallar
el Máximo Común Divisor (MCD).
40
Secuencia didáctica 4
Sesión 3
mcm y MCD
Trabajen en equipos.
1. Unan, con un segmento, cada resultado con la tríada de números que le corresponde.
Escriban en el recuadro si se trata del mcm o del MCD.
n
230, 400, 460
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
87 360 mcm
140, 35, 210
420 mcm
2 MCD
10 MCD
9 200 mcm
35 MCD
210, 52, 320
• Comparen sus respuestas con las de otro equipo.
P
ro
2. Dialoguen sobre las respuestas de las siguientes actividades. Si lo requieren, consulten
fuentes de información. Presenten al grupo el resultado de su consulta y entre todos
lleguen a conclusiones.
a) ¿Cuál es el mcm de 11, 13 y 23? 3 289
b) ¿Todos los conjuntos de números naturales (parejas, tríadas, cuartetos, entre
otros) tienen mcm? Sí
c) ¿Todos los conjuntos de números naturales (parejas, tríadas, cuartetos, entre
otros) tienen MCD? Sí
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
41
Realicen en parejas lo que se pide y resuelvan las actividades.
1. Analicen la tabla y determinen qué fue lo que se realizó.
mcm 5 100 3 3 3 2 3 8 3 13 3 11 5 686 400
n
100
3
2
8
13
11
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
4 800 3 900 6 600
48
39
66
16
13
22
8
13
11
1
13
11
1
11
1
a) ¿Qué fue lo que se realizó? Se aplicaron directamente divisores más grandes y
no se siguió el orden de menor a mayor.
b) ¿El mcm es correcto? Sí
c) ¿Están de acuerdo con el procedimiento llevado a cabo? Argumenten
su respuesta. R.
L.
2. Apliquen los pasos y procedimientos estudiados en la secuencia didáctica para
calcular el mcm y comprueben si el resultado es el mismo.
4 800
2400
1200
600
300
150
75
25
5
1
3 900
1950
975
975
975
975
975
325
65
13
13
1
6 600
3 300
1 650
825
825
825
825
275
55
11
1
2
2
2
2
2
2
3
5
5
11
13
Entra en el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-004, ve el video,
resuelve los ejercicios y
comparte alguno de ellos
en clase.
mcm 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 5
3
5 3 11 3 13 5 686400
a) ¿Obtuvieron el mismo resultado? Sí
P
ro
• Comprueben si la misma estrategia puede ser útil para obtener el MCD de los mismos
números. Escriban sus conclusiones. Ver solucionario
3. Compitan entre parejas. Cada pareja dictará tres números que desee y tendrán que
calcular el mcm y MCD de los números dados por la otra pareja. La primera pareja
que termine y su resultado sea correcto, ganará un punto. Si el resultado es
incorrecto, perderá un punto. Cuando su profesor lo considere, detengan el juego
y cuenten los puntos. R. L.
• Al final, de manera grupal, compartan sus comentarios. Entre todos resuelvan sus dudas
y complementen sus aportaciones.
Sesión 3. Calculas el mcm y el MCD de diferentes números.
42
Secuencia
didáctica 5
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.
Contenido: Calcularás el mcm y el MCD. Usarás estas nociones en la resolución de problemas en contextos
continuos y discretos.
mcm y MCD en contextos continuos
y discretos
Analiza la situación y contesta.
1. Dos personas participan en una prueba de una marca de desodorante. Cada una
debe correr en una pista elíptica de 1 kilómetro con las siguientes condiciones.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
•
La persona 1 debe parar cada 250 m para que un investigador registre
sus signos vitales y su sudoración, lo cual le lleva un minuto exacto.
La persona 2 debe parar cada 200 m para que, de la misma forma,
otra persona registre sus valores.
n
•
a) Representa en la tabla los puntos donde se realizarán los registros.
Una pista elíptica
de atletismo
está compuesta por
la zona de carrera, las
zonas de saltos y
las zonas de lanzamiento.
Persona 1
250 m
500 m
750 m 1 000 m
400 m
600 m
Persona 2
200 m
800 m 1 000 m
b) Si se requiere una persona en cada lugar donde los corredores se detendrán,
¿cuántas personas serán necesarias? Argumenta tu respuesta.Se requieren 8
personas, porque los puntos donde se detienen son los 200 m, 250 m, 400 m,
500 m, 600 m, 750 m, 800 m y 1000 m; en este último ambos coinciden.
P
ro
• Compara tus respuestas y argumentos con los de otro compañero y respondan juntos
las siguientes preguntas:
c) Si en lugar de correr en una pista elíptica, participaran en una competencia de
15 km, ¿en cuántos puestos de registro coincidirían? En 15
d) ¿Cómo contribuye el uso del mcm o el MCD a resolver el problema anterior?
R. M. Permite conocer el resultado con mayor rapidez.
• Usen alguno de los procedimientos para obtener el mcm o el MCD y observen si ayuda
o no a resolver la actividad. Modifiquen los datos que deseen en la actividad inicial y
observen los nuevos puntos donde coinciden. Ver solucionario
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
43
mcm y MCD en conjuntos continuos
Resuelvan en parejas.
hi ©S
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st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Una persona tiene tres terrenos con las siguientes áreas: 45 m2, 63 m2 y 45 m2.
La persona quiere dividir cada uno en secciones cuadradas con la mayor área
posible, de manera que todas las secciones tengan la misma área. ¿Cuántos metros
cuadrados deberán medir las secciones? 9 m2
a) ¿Qué procedimiento usarían para comprobar su respuesta: el mcm o el MCD?
Justifiquen su respuesta. Ver solucionario
b) Comprueben su respuesta.
45
63
3
15
21
3
5
7
5
1
7
7
MCD 5 3 3 3 5 9
P
ro
1
• Propongan otra estrategia de solución y compártanla con el resto del grupo.
Conjuntos continuos
Los conjuntos de datos continuos son aquellos que pueden tomar cualquier valor y
pueden ser tan precisos como sea necesario. Por ejemplo, el tiempo, las distancias o la
velocidad de un automóvil.
Sesión 1. Resuelves problemas utilizando el mcm
y el MCD en contextos continuos.
44
Secuencia didáctica 5
Sesión 2
mcm y MCD en conjuntos discretos
Analicen en parejas el planteamiento y contesten.
1. Una persona tiene 60 paletas, 80 chocolates y 48 caramelos. Quiere hacer la
mayor cantidad de bolsas que contengan la misma cantidad de dulces. ¿Cuántas
bolsas hará y cuántos dulces de cada tipo habrá en ellas?
Paso 2. Dividir la cantidad de cada
tipo de dulces entre 4 .
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1. Calculamos el MCD de 60, 80 y 48.
n
Escriban su procedimiento.
60
30
15
80
40
20
48
24
12
2
2
Paletas: 60 4 4= 15
Chocolates: 80 4 4 = 20
Caramelos: 48 4 4 = 12
MCD 5 2 3 2 5 4. Hará 4 bolsas.
a) ¿Cuántas bolsas hará? 4
b) ¿Cuántas paletas tendrá cada bolsa? 15
c) ¿Cuántos chocolates tendrá cada bolsa? 20
d) ¿Cuántos caramelos tendrá cada bolsa? 12
2. En una escuela secundaria, los alumnos de segundo grado, al terminar el año,
obtuvieron los siguientes promedios generales.
•
•
•
56 alumnos, 10 de promedio
48 alumnos, 8 de promedio
36 alumnos, 6 de promedio
P
ro
¿De qué manera distribuirían a los alumnos, en la mayor cantidad de grupos posible,
para que todos tengan los mismos niveles de aprovechamiento?
a) Cantidad de grupos: 4
b) Cantidad de alumnos con 10 de promedio por grupo: 14
c) Cantidad de alumnos con 8 de promedio por grupo: 12
d) Cantidad de alumnos con 6 de promedio por grupo: 9
• Comparen de manera grupal sus respuestas y sus procedimientos. Si lo consideran
necesario realicen esquemas o repartos para analizar diversas soluciones y elegir la que
se adecue más a las condiciones de la actividad.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
45
Conjuntos discretos
Son los datos que solo toman valores de números naturales. Por ejemplo, personas
(ya que no tendría sentido hablar de 3.251 personas), animales (nunca hemos visto 5.6
vacas) o cosas.
1. Cuatro compañeros desayunan en el mismo lugar y a la misma hora. El primero
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
asiste cada 3 días, el segundo cada 5, el tercero cada 2 y el cuarto cada 4 días. Si el
n
Realicen en parejas lo que se indica.
lunes 1 de mayo coincidieron los cuatro amigos en ese lugar, ¿cuándo volverán
a coincidir? El martes 30 de junio
2. Una distribuidora de herramientas tiene un pedido de 120 martillos, 56 desarmadores,
84 pinzas de punta y 76 brocas para taladro. El cliente solicitó que se forme la
mayor cantidad de cajas que contengan la misma cantidad de piezas en cada una.
¿De qué manera se puede distribuir la herramienta?
cajas
a) Cantidad de cajas: 4
b) Cantidad de martillos en cada caja: 30 por caja
c) Cantidad de desarmadores en cada caja: 14 por caja
d) Cantidad de pinzas de punta en cada caja: 21
por caja
e) Cantidad de brocas en cada caja: 19
por cada caja
• Compartan sus respuestas y sus procedimientos con el resto del grupo y lleguen a
conclusiones generales. Argumenten en qué casos es útil usar el mcm o el MCD para
resolver problemas.
En el sitio web www.esant.
mx/ecsema3-005, usa los
deslizadores para obtener
el mcm y el MCD de los
números que se muestran.
3. Escriban un problema en que sea necesario usar el mcm y otro donde se aplique
el MCD.
R. M. Un reloj tiene alarmas cada 8, 5 y 6 minutos. Si a las 5:40 a. m.
P
ro
coinciden las tres alarmas, ¿a qué hora volverán a coincidir?
R. M. Se tienen 30 cajas de pera, 50 de uva y 24 de mango. Se quieren
formar canastas con la misma cantidad de fruta y que sea la mayor cantidad
posible. ¿Cuántas canastas se pueden formar?
• Compartan con otra pareja los problemas que redactaron sin comentar el método de
solución. Los integrantes de la otra pareja también compartirán los problemas que ellos
redactaron. Resuélvanlos y entre todos verifiquen sus respuestas y procedimientos.
Sesión 2. Resuelves problemas utilizando el mcm
y el MCD en contextos discretos.
46
Análisis del mcm y el MCD con
GeoGebra
En este sitio web estudiarás el comportamiento del mcm y el MCD con el apoyo
de GeoGebra.
1. Entra al sitio web www.geogebra.org/download?lang=es y descarga GeoGebra
Clásico 5.
n
Abre una hoja en GeoGebra y cierra la Vista Gráfica. Quédate solo con la
Vista Algebraica.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
i.
Da clic aquí para
cerrar la Vista Gráfica
Imagen 1
P
ro
ii. En la barra de entrada teclea
el número 367 y presiona
enter. Podrás visualizar en la
Vista Algebraica este número.
Ve la imagen 2.
Imagen 2
iii. Haz lo mismo que en el paso
anterior para insertar los
números 234 y 345.
Imagen 3
a) Escribe por qué piensas que la Vista Gráfica no es necesaria para trabajar el
mcm y el MCD con GeoGebra. R. M. Porque se está trabajando con números.
2. Sin hacer operaciones, explica si los números que aparecen en la Vista Algebraica
son divisibles entre 2, 3 o 5.
Ver
solucionario
47
•
Con base en las listas L1, L2 y L3 de factores primos de a,
b y c respectivamente, que aparecen en la Vista Algebraica, verifica tu respuesta de la actividad 2.
Escribe si a, b y c son números compuestos o primos.
Explica tu respuesta. El número a es primo porque solo
lo dividen 367 y 1, los números b y c son compuestos
porque tienen más de un factor primo.
Imagen 4
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
•
4. Analiza los divisores (factores primos) de a, b y c y responde.
a) ¿Tienen divisores comunes b y c? ¿Cuáles? Sí.
Los números 3 y 1.
b) ¿Tienen divisores comunes a, b y c? Sí. ¿Cuál es el MCD de 367, 234 y 345?
El número 1
c) Reflexiona: Si tienes los números d, e, f, g, h de manera que todos sean primos
distintos y, por tanto, no dividen a los restantes, ¿cuál es el MCD (d, e, f, g, h)?
El número 1
•
cualquier colección de números primos, el MCD de
¿Qué puedes concluir? Para
la colección siempre será el número 1.
d) ¿Qué factores primos de a, b y c tienes que multiplicar para calcular el mcm
(a, b, c)? Explica tu respuesta. Ver solucionario
5. Haz lo que se solicita para calcular el MCD y el mcm.
Escribe en la barra de entrada MCD({a, b, c}) y presiona enter. Coloca el
cursor sobre la letra d que aparece en la Vista Algebraica. Te aparecerá una
etiqueta con la leyenda “Número d: MDC({a, b, c})”. El valor de d es el máximo
común divisor de los números.
ii. Ahora, teclea en la barra de entrada mcm({a, b, c}) y presiona enter. El valor
de e es el mínimo común múltiplo de 367, 234 y 345.
iii. Con base en lo que hiciste en esta actividad, verifica las respuestas de la
actividad 4. Si es necesario, analiza tus soluciones y corrígelas.
P
ro
i.
n
3. En la barra de entrada escribe FactoresPrimos(a) y presiona
enter. En la Vista Algebraica te aparecerá una lista L1 que son
los factores primos del número a. Repite este procedimiento
para encontrar los factores primos de b y c.
6. Contesta lo siguiente.
a) ¿Cómo crees que los programas de computación, como GeoGebra, calculan el
mcm y el MCD de dos o más números? R. L.
b) Investiga en internet la pregunta anterior y contrasta tu respuesta.
• En grupo analicen sus respuestas y enriquézcanlas. Además, utilicen lo que aprendieron
en esta sección para verificar las respuestas de las actividades de la secuencia 5.
48
Secuencia
didáctica 6
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.
Contenido: Generalizarás propiedades y expresiones algebraicas.
Generalización de propiedades
algebraicas
Haz lo que se pide.
R. M. 120
R. M. 121
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
R. M. 119
n
1. Completa el esquema. En el recuadro del centro escribe cualquier número natural;
en el de la izquierda, el antecesor de ese número; y en el de la derecha, el sucesor.
a) Toma como referencia el número del recuadro del centro.
¿Qué procedimiento se debe realizar para obtener su antecesor? Restar 1
1
ii. ¿Qué procedimiento se debe realizar para obtener su sucesor? Sumar
i.
b) Los tres números que escribiste, ¿son consecutivos? Argumenta tu respuesta.
R.
M. Sí, porque están uno después del otro en la recta de los números
naturales.
2. Escribe un número en el primer recuadro. En los recuadros siguientes anota sus
consecutivos.
Elabora un diccionario
matemático con los términos y
fórmulas que vas aprendiendo
a lo largo de las secuencias.
Agrega ejemplos y dibujos
que lo enriquezcan. De
esta manera tendrás un
instrumento de consulta
y de estudio.
R. M. 132
R. M. 133
R. M. 134
a) ¿Qué procedimiento seguiste para escribir el primer número consecutivo?
P
ro
Sumar
1 al primer número
b) ¿Qué procedimiento seguiste para escribir el segundo número consecutivo?
Sumar
2 al primer número
• Compara tus respuestas, procedimientos y argumentos con los de otra persona. De
manera grupal, observen los diferentes números que colocaron, cuántos números son
distintos de los que inicialmente colocaron y si todos cumplen las condiciones indicadas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
49
Uso de literales
Resuelve.
n11
n12
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
n
1. A continuación se presenta la generalización de “un número cualquiera”, el cual ya
estudiaste en grados anteriores. Escribe algebraicamente dos números consecutivos
a él.
• Corrobora tus respuestas con el resto del grupo. Escuchen los argumentos de cada
persona que participe.
2. Toma como base las expresiones algebraicas que escribieron, determina una expresión
algebraica que represente su suma.
n
1
n11
1
n12
5
3n 1 3
• Revisa que la expresión algebraica que representa la suma es correcta. Compártela con
el resto del grupo.
3. Si el número inicial cambia, ¿cómo representas los dos números consecutivos?
Completa el esquema.
w12
1
w13
1
w14
5
3w 1 9
P
ro
a) Analiza la expresión algebraica de la primera suma y compárala con la de la
segunda suma.
3n 1 3
3w 1 9
b) ¿Qué tienen en común? R.
M. En ambas el coeficiente de la literal es 3 y el
término
independiente es un múltiplo de 3.
• En sesión grupal, socialicen sus observaciones y juntos redacten una lista de aquellas
cosas que tienen en común las expresiones. Pidan a su profesor que los apoye con
preguntas que ustedes deberán contestar.
Sesión 1. Usas literales para generalizar la suma de
números naturales consecutivos.
50
Secuencia didáctica 6
Sesión 2
Generaliza criterios de divisibilidad a partir de
números naturales consecutivos
Reúnete con un compañero, analicen las situaciones y respondan.
1. Escriban tres números naturales consecutivos y la suma de ellos. R. M.
1
6
7
1
18
5
n
5
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) Si dividen la suma entre 3, ¿será una división exacta? Argumenten su respuesta.
R.
M. Sí, pues la suma es un múltiplo de 3.
2. Escriban algebraicamente tres números consecutivos y su suma. R. M.
a
1
a11
a12
1
5
3a 1 3
a) Analicen todos los elementos presentes en la expresión algebraica que
representa la suma y escriban lo que identifiquen. Ver solucionario
• Compartan con el resto del grupo sus observaciones y compleméntenlas con las de sus
compañeros.
b) La suma algebraica de los tres números consecutivos, ¿será divisible entre 3?
Justifiquen su respuesta. R. M. Sí, porque la expresión que representa la suma
es
un múltiplo de 3.
c) Escriban la división y el resultado.
3a 1 3
P
ro
3
i.
5
a11
¿Qué tienen en común los coeficientes del numerador? Que
son divisibles entre 3.
d) Escriban algebraicamente de otra manera la expresión del numerador.3(a 1 1)
i.
¿Qué relación se puede establecer en común entre los coeficientes
igualdad y, por tanto, de divisibilidad
y el denominador? De
• Realicen la división y socialicen sus procedimientos y resultados con el resto del grupo.
Lleguen a acuerdos generales.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
51
Generalización de criterios
n 1 (n 1 1) 1 (n 1 2) 5 3n 1 3
Al analizar la expresión, podemos darnos cuenta de que, tanto el coeficiente como el
término independiente, tienen en común el 3 o en algunos casos son múltiplos. Ese
término común se puede factorizar de la siguiente forma: 3(n 1 1) 5 3n 1 3
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
La anterior es una expresión equivalente ya que, como estudiaste en segundo de
secundaria, al realizar la multiplicación se tiene lo siguiente:
Entra en el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-006. Sustituye
en las variables a y b
algunos valores y observa
los números que son
divisores de cada uno de
ellos, los que son divisores
comunes y el máximo
común divisor.
n
Cuando representamos algebraicamente “la suma de tres números consecutivos”, se
puede usar la siguiente representación:
3(n 1 1) 5 3n 1 3
Por tanto, al dividir entre 3, resulta:
3(n11)
3
5
(n 1 1) 5 1 (n 1 1) 5 n 1 1
3
3
Si n es un número natural, entonces el resultado también será un número natural. Por
tanto, la división de la suma de tres números consecutivos entre 3 será exacta.
Resuelve.
1. Comprueba algebraicamente si…
a) ¿La suma de cinco números consecutivos es divisible entre 5? Sí
i.
En caso de que no sea divisible, determina entre qué números será divisible.
n 1 (n11) 1 (n12) 1 (n13) 1 (n14)
5n 1 10
5
10
5
5
n1
5n12
5
5
5
5
b) ¿La suma de cuatro números consecutivos es divisible entre 4? No
i.
En caso de que no sea divisible, determina entre qué números será divisible.
P
ro
n 1 (n11) 1 (n12) 1 (n13)
4n 1 6
6
5
5n1
4
4
4
Será divisible entre 2.
c) ¿La suma de 8 números consecutivos es divisible entre 8? No
n 1 (n11) 1 (n12) 1 (n13) 1 (n14) 1 (n15) 1 (n16) 1 (n17) 8n 1 28
28
5n1
5
8
8
8
• Comparte tus respuestas y tus procedimientos con tus compañeros. En grupo compartan
sus dudas y resuélvanlas. Con ayuda de su profesor lleguen a conclusiones.
Sesión 2. Generalizas criterios de divisibilidad mediante sumas
de números naturales consecutivos.
52
Secuencia
didáctica 7
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras
geométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.
Contenido: Resolverás problemas que permitan profundizar en el estudio de la equivalencia de expresiones algebraicas I.
Expresiones algebraicas de áreas
Haz lo que se pide.
1. Observa la imagen y contesta.
•
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
•
n
y
x
x15
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa…
Es posible que algunos
contenidos se te dificulten más
que otros. Si eso te ocurre,
no te preocupes, acércate
a tu profesor y consúltale
tus dudas. Juntos pueden
diseñar estrategias que te
lleven a mejorar tu desempeño
académico.
•
la base del triángulo azul? x 1 5
•
la base del triángulo rojo? x
•
la altura del triángulo azul? y
la altura del triángulo rojo? y
•
ba
b) ¿Cuál fórmula te permite calcular el área de cualquier triángulo? 2
(x15) y
2
(x) y
Sustituye los datos del triángulo rojo en la fórmula para calcular su área. 2
c) Sustituye los datos del triángulo azul en la fórmula para calcular su área. d)
e) ¿Cómo representas el área de la figura completa formada por los dos triángulos?
y (x15) 1 xy
2
2
• Compara tus respuestas con la de otro compañero y compartan sus argumentos.
Posteriormente, de manera grupal, investiguen si hay otra manera de representar las áreas.
2. En parejas, representen algebraicamente las medidas que se necesitan para calcular
el área del hexágono. Escríbanlas en la imagen y calcúlenla. R. L.
l
P
ro
a
área 5
63a3l
2
a) Comparen con otra pareja la expresión algebraica, las medidas propuestas y los
procedimientos empleados para obtener el área. Escriban la medida que calcularon
y la de la otra pareja. R. L.
• Lleguen a conclusiones grupales.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
53
Expresiones equivalentes
En equipos, realicen lo que se indica.
1. Observen la imagen y contesten.
?
4
n
?
hi ©S
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L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
?
?
x
?
a) Escriban las expresiones algebraicas que representan las medidas de los lados.
?: x
?: 4
?: x
?: x 1 4
?: 4
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa…
•
el área del cuadrado azul? x 2
•
el área del cuadrado morado? 16
•
el área de uno de los rectángulos? 4x
•
el área del otro rectángulo? 4x
c) ¿Cuál expresión algebraica representa la suma de las áreas? x2 1 4x 1 4x 1 16
d) ¿Cuál expresión algebraica representa la medida de un lado del cuadrado
formado por las figuras anteriores? x 1 4
e) De acuerdo con la expresión anterior, ¿con qué operación es posible determinar
su área? (x 1 4) (x 1 4)
f)
¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área? x2 1 8x 1 16
P
ro
g) ¿Las expresiones algebraicas de los incisos c y f son equivalentes? Argumenten
su respuesta. Son equivalentes ya que representan el área de la misma figura.
• Comparen la suma de las áreas y escriban sus observaciones. Ver solucionario
2. Determinen dos procedimientos para encontrar el área de figuras como la anterior.
Procedimiento 1
Procedimiento 2
R. M. Sumar las áreas de las
R. M. Multiplicar la base
figuras que las conforman.
por la altura.
Sesión 1. Resuelves problemas que permitan producir expresiones
equivalentes al área de una composición geométrica.
54
Secuencia didáctica 7
Sesión 2
Representaciones geométricas
Trabajen en parejas.
1. Con apoyo de los dos procedimientos que escribieron al final de la sesión anterior,
determinen la expresión algebraica que permita calcular el área total de la figura.
Ver solucionario
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
w
5
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la medida del lado del cuadrado
que se forma con todas las figuras? w 1 5
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área? w2 1 10w 1 25
2. Observen la figura y respondan. Anoten en la figura las expresiones que representen
las medidas que consideren necesarias.
5
P
ro
k
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la medida...
• del área de uno de los rectángulos? 5k
•
del área del cuadrado morado? k2
•
del área de algún cuadrado azul? 25
•
de la base de la figura completa? k 1 15
•
de la altura de la figura completa? k 1 5
•
del área de la figura completa? k2 1 20k 1 75
• De manera grupal corroboren o rectifiquen sus respuestas y sus procedimientos,
y elaboren una síntesis donde expresen las diferencias entre esta figura y la anterior.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
55
y
a
c
e
b
d
f
n
3. Determinen las áreas solicitadas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2
•
Área de a 5 y2
•
Área de d 5 4
•
Área de b 5 2y
•
Área de e 5 2y
•
Área de c 5 2y
•
Área de f 5 4
+ 4) (y + 2)
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área total de la figura? (y
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la medida completa de la base? y + 4
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la altura de la figura? y + 2
d) ¿Cuál es la expresión algebraica que resulta del producto de la base por la altura?(y + 4) (y + 2)
• Comprueben sus respuestas y sus procedimientos con los de otra pareja.
¿Cómo vamos?
1. Analiza la figura y determina las medidas que se solicitan.
8f
8
121f2
P
ro
46
a) ¿Cuánto mide la base del rectángulo morado? 46
f
b) ¿Cuál es el área del rectángulo morado? Justifica tu respuesta. 695.75
Se multiplica la base por la altura; donde la altura es igual a 15.125 f.
c) ¿Cuál es la expresión que representa el área de la figura completa? (8f + 46)(15.125f) o 121f2 + (46)(15.125f)
• En sesión grupal identifiquen las diferencias entre las figuras que han trabajado hasta
el momento. Comenten los procedimientos que siguieron para calcular el área de
cada una de ellas.
Sesión 2. Resuelves problemas que permiten producir expresiones
equivalentes al área de una composición geométrica.
56
Secuencia didáctica 7
Sesión 3
Expresiones algebraicas equivalentes y su
verificación
Analiza la situación y contesta.
1. Determina cuál de las expresiones es correcta de acuerdo con lo que se solicita.
a)
n
8
hi ©S
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su IL
L
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st NA
ri
bu
ci
ó
11
f
•
El área de la figura morada es:
11 (f 2 8)
11f 2 8
b)
11f 2 8f
12
P
ro
w
•
El área del cuadrado formado por todas las figuras es:
w2 1 12w 1 12w 1 144
w2 1 12w 1 12w 1 12
c) ¿Cómo puedes revisar si las expresiones son correctas o no? R.
M. Se pueden
comparar
con la suma de las áreas que forman las figuras.
• Con base en tu respuesta anterior, verifica las expresiones presentadas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
57
¿Cómo vamos?
Haz lo que se pide.
1. Traza en la cuadrícula una figura a escala de la que se muestra; puede ser más
grande o más pequeña.
x
hi ©S
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
R. M.
y
a) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado morado de la figura de muestra? y
b) ¿Cuál es el área del cuadrado morado? y2
c) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado verde de la figura de muestra? x
d) ¿Cuál es el área del cuadrado verde? x2
e) ¿Cuánto miden los lados de cualquiera de los rectángulos? x y y
f)
¿Cuál es el área de un rectángulo? xy
P
ro
g) ¿Qué expresión algebraica representa el área total de la figura de muestra?
2
2
x 1 2xy 1 y
h) Sustituye, en las respuestas anteriores, el valor real de la figura que trazaste. Ver solucionario
i) Sustituye, en la expresión algebraica del área total, los datos de tu figura y
comprueba que el resultado concuerde con el área real. Ver solucionario
j) ¿Concuerda el resultado de la expresión algebraica con el área real de la
figura que trazaste? ¿Por qué? Ver solucionario
• Reúnete con dos compañeros, comparen sus respuestas y validen que las áreas
corresponden a las medidas reales de sus figuras. Si no corresponden, averigüen
las razones.
Sesión 3. Resuelves expresiones que permitan producir expresiones equivalentes a su
solución. Resaltas la importancia de su verificación algebraica.
58
Secuencia didáctica 7
Sesión 4
De expresiones algebraicas a la representación
gráfica
Resuelve.
1. Representa geométricamente las siguientes expresiones algebraicas.
n
a) x2b) x2 1 4x
hi ©S
bi A
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ri
bu
ci
ó
4
x
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www.esant.mx/ecsema3-007
en el que aprenderás más de
las expresiones equivalentes
al ver un video y practicar los
ejercicios que se presentan.
x
c) x2 1 14x 1 49
7
x
P
ro
• Compara, con otro compañero, las representaciones que trazaste y analicen las
similitudes y diferencias que observan entre ellas. Argumenten las razones de sus
trazos y lleguen a acuerdos.
Equivalencia de expresiones
Las expresiones algebraicas pueden escribirse de distintas maneras y representar lo
mismo.
Por ejemplo: 3x 1 6y puede escribirse como x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y
o bien, factorizando los valores comunes: 3(x 1 2y), ya que tanto el 3 como el 6 son
múltiplos de 3.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
59
Cada una de estas escrituras se puede representar geométricamente de distintas
maneras. Por ejemplo:
3
2y
Donde la base mide x 1 2y y la altura 3. Para encontrar el área de la figura, multiplicamos
3(x 1 2y), expresión igual a 3x 1 6y.
h
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Otro caso es:
n
x
h2
3h
3h
9
3
El lado de la imagen mide h 1 3. Para obtener su área, se multiplica la medida de sus
lados: (h 1 3)(h 1 3).
También podemos obtener el área de cada una de las figuras que la forman: h2, que
representa el área del cuadrado anaranjado, más dos rectángulos iguales que tienen
de área 3h, más el cuadrado de área 9: h2 1 3h 1 3h 1 9.
Simplificando términos semejantes se tiene que: h2 1 3h 1 3h 1 9 5 h2 1 6h 1 9.
Trabajen en parejas.
1. Escriban cinco expresiones algebraicas y una expresión equivalente a cada una de
ellas. Tracen en su cuaderno la representación geométrica de cualquiera de las dos
expresiones algebraicas. Midan cada uno de los lados de las figuras y sustituyan las
medidas en las expresiones equivalentes. Ver solucionario
R. M. x (x 1 1)
P
ro
i.
ii. R. M. (x) (x)
5x 1 x
5 x2
2
iii. R. M. x 1 10 x 1 25 5 (x 1 5) (x 1 5)
2
¿Son equivalentes? Sí
¿Son equivalentes? Sí
¿Son equivalentes? Sí
iv. R. M. x (x 1 6)
5 x2 1 6x
¿Son equivalentes? Sí
v. R. M. x (x 2 2)
5x2 2 2x
¿Son equivalentes? Sí
• Comenten con el grupo dos de sus expresiones y sus equivalentes. Seleccionen a un
compañero para que realice la representación geométrica y entre todos propongan
­un mé­todo para confirmar que son equivalentes.
Sesión 4. Resuelves problemas que permitan producir expresiones equivalentes
dada una composición geométrica o viceversa.
60
Secuencia
didáctica 8
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras
geométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.
Contenido: Resolverás problemas que permitan profundizar en el estudio de la equivalencia de expresiones algebraicas II.
Equivalencia en las fórmulas del área
(triángulo y rombo)
Resuelve la actividad.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Observa la imagen.
m
n
a) ¿Cuál es la medida de la altura del triángulo? m
b) ¿Cuál es la medida de la base del triángulo? n
mn
c) ¿Con qué expresión algebraica representas el área del triángulo? 2
d) Escribe dos expresiones equivalentes a la anterior.
P
ro
n3
m
2
m3
n
2
e) Verifica las expresiones que anotaste. Escribe el método que usarás para corroborarlas o rectificarlas. R. L.
• Comparte con el resto del grupo tu procedimiento y entre todos realicen observaciones
para seleccionar el método que consideren más adecuado.
2. Dibuja en tu cuaderno un triángulo a escala del triángulo anterior. Confirma si las
tres expresiones que escribiste en la actividad anterior te permiten encontrar el área
del triángulo. Comparte tus observaciones. Ver solucionario
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
61
Área del rombo
En parejas, realicen lo que se indica.
1. Observen la figura y contesten.
b) ¿Qué representa el segmento azul x? La medida de la diagonal mayor del rombo
c) ¿Con cuál expresión algebraica se puede calcular el área
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
x
n
a) ¿Qué representa el segmento morado y? La medida de la diagonal menor del rombo
xy
de la figura? 2
d) Escriban dos expresiones equivalentes a la anterior.
i)
x3 y
2
y
y3 x
2
i)
e) Verifiquen, con un método distinto al que usaron en la
página anterior, que las expresiones que anotaron son
equivalentes. Escriban en su cuaderno el método que
usarán para verificarlo. Ver solucionario
f) Dibujen en su cuaderno otro rombo a escala del rombo
anterior. Verifiquen el área de su nuevo rombo con las
fórmulas que escribieron. Ver solucionario
g) ¿En qué se parecen las fórmulas que escribieron para
obtener el área de un triángulo y la que se emplea
para calcular el área de un rombo?
En que en ambas se sigue el mismo procedimiento: se multiplican dos
magnitudes y se dividen entre 2.
2. Analicen las siguientes fórmulas.
s
3w
2
w3
s
2
ws
2
s3
w
2
sw 3
1
2
P
ro
a) Si se sustituye el mismo valor numérico en cada variable, ¿las fórmulas tendrán
resultados distintos? No
b) ¿Cómo comprueban que las expresiones son equivalentes? R. M. Se espera que
sustituyan valores conocidos en las variables.
ser el área de un
c) ¿Qué pueden representar las expresiones algebraicas? Puede
triángulo o un rombo.
• De manera grupal, dialoguen y respondan: ¿Importa el orden en el que se realizan las
operaciones en las cinco expresiones algebraicas anteriores? Argumenten su respuesta.
No, no importa, pues las operaciones tienen la misma jerarquía.
Sesión 1. Estableces la equivalencia de las fórmulas para el cálculo del área de figuras
geométricas como el triángulo y el rombo. Usas la jerarquía de las operaciones.
62
Secuencia didáctica 8
Sesión 2
Equivalencia (área del trapecio)
Haz lo que se pide.
1. Analiza la imagen y contesta.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
•
n
w
x
y
a) ¿Qué figura es la que se representa en la imagen? Un paralelogramo
pares de lados son paralelos.
b) ¿Cuáles son sus propiedades? Sus
c) ¿Cuál es la medida de su base? x 1 y
d) ¿Cuánto mide su altura? w
e) ¿Qué expresión algebraica representa el área de la figura? (x 1 y)w
f)
Escribe una expresión equivalente a la anterior. wx 1 wy
2. La figura anterior se divide a la mitad, como se muestra.
P
ro
a) ¿Cómo se modifican las fórmulas que escribieron al calcular el área de cada
división? Anótenlas en los recuadros.
(x 1 y) w
2
wx 1 wy
2
b) Al utilizar una de las fórmulas que escribieron, ¿de qué figura se obtiene el área?
Del trapecio
• De manera grupal analicen sus respuestas y procedimientos. Lleguen a
conclusiones generales.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
63
3. Encierra las expresiones algebraicas que sean equivalentes.
(b 1 c) d
2
(b) 1 cd
2
bd 1 cd
2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
b(d) 1 c
2
bd 1 cd
2
bd 1 cd
2
(b 1 c) d
2
bd 1 cd
2
2
• Verifiquen sus respuestas por el método que consideren más adecuado.
¿Cómo vamos?
1. ¿En cuáles de los siguientes procedimientos se cometió algún error al sustituir
los valores y de qué tipo es el error? Considera los siguientes valores:
b 5 2, c 5 4 y d 5 7. En los procedimientos 1 y 2.
Procedimiento 1
Procedimiento 2
Procedimiento 3
(b 1 c) d
2
b(d) 1 c
2
bd 1 cd
2
2
5 b 1 cd
2
5
5
5 bd 1 cd
2
2
2 1 (4)7
2
5
2 (7) 14
2
5 (2) (7) 1 (4) (7)
2
2
2 1 28
2
5
2 1 (11)
2
5 14 1 28
2
2
5
22
2
5 7 1 14
P
ro
5
b (d) 1 c
2
5
30
2
5 15
5 11
5 21
a) De las expresiones en las que sustituyeron los valores, ¿cuáles son
equivalentes? Los del procedimiento 1 y 3
• Comenten en grupo sus procedimientos y sus resultados.
Sesión 2. Estableces la equivalencia de las fórmulas para el cálculo del área de figuras
geométricas como el trapecio. Usas la jerarquía de operaciones.
64
Secuencia didáctica 8
Sesión 3
Equivalencia en el cálculo de áreas
1. Lee la siguiente información y, con base en esta, revisa tus respuestas anteriores.
Equivalencia de áreas
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Las expresiones algebraicas pueden representar diferentes situaciones, como el área
de figuras en las cuales se desconoce alguna medida, o bien, la generalización de la
fórmula para obtener el área.
y
y
x
x
xy
y, sin importar si los triángulos
2
son mayores o menores, la fórmula sigue funcionando.
La fórmula para obtener el área de los triángulos es
Es posible escribir la fórmula en otras expresiones equivalentes, por ejemplo:
x
y
(y) o (x) .
2
2
Se puede verificar que son equivalentes y siguen la jerarquía de operaciones asignando
valores a las variables, ejemplo:
5
2
(2) 5 2.5 3 2 5 5 o bien (5)
553155
2
2
Realicen en parejas lo que se solicita.
1. Analicen la imagen que se muestra.
P
ro
a) Escriban en los recuadros dos expresiones algebraicas equivalentes que
representen el área de la figura.
(y 2 3) (x 1 2)
2
x12
y23
yx 1 2y 2 3x 2 6
2
b) Describan algunas de las características que permiten identificar que ambas
expresiones son equivalentes. R. M. Al sustituir algún valor de x y y, se debe
obtener el mismo resultado.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
65
c) Consideren los valores x 5 10, y 5 7 y sustitúyanlos en las expresiones que
escribieron.
(y 2 3) (x 1 2)
2
(4) (12)
2
5
7 (10) 1 2(7) 2 3(10) 2 6
2
5
70 1 14 2 30 2 6
2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
5
(7 2 3) (10 1 2)
2
n
5
yx 1 2y 2 3x 2 6
2
5
48
5 24
2
5
48
5 24
2
d) ¿Cuál es el valor del área? 24 cm2
e) Argumenten por qué sí o por qué no la siguiente expresión podría ser
equivalente a las que obtuvieron y, en su caso, qué representan el primer
factor y el segundo factor. Ver solucionario
x12 y23
2
2
(4)
2
((
)(
))
• De manera grupal, comparen sus respuestas y procedimientos.
P
ro
2. Nombren con literales las medidas que consideren necesarias para obtener una expresión algebraica que permita calcular el área de cada figura. R. L.
Interactúa con las figuras
que se pueden generar en
este sitio web:
www.esant.mx/
ecsema3-008. Calcula el
área de cada una de ellas.
a) Sustituyan las literales por números conocidos y obtengan el área de cada
figura. Ver solucionario
• Eijan a cinco compañeros para que asignen literales a las medidas de las figuras y entre
todos escriban la expresión algebraica con que se representa el área de cada una. Al final
compartan sus resultados para corroborar que todos tienen el mismo resultado.
Sesión 3. Estableces la equivalencia de las fórmulas para el cálculo del área de
polígonos regulares. Usas la jerarquía de las operaciones.
66
Secuencia
didáctica 9
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen la identificación y construcción de polígonos semejantes.
Semejanza
Haz lo que se pide y contesta.
n
1. Redacta en tu cuaderno el significado de congruencia de figuras. Luego traza los
siguientes triángulos: R. M. Dos triángulos son congruentes cuando sus lados y
ángulos correspondientes tienen la misma medida.
• Las medidas del primer triángulo son 3.81 cm, 3.81 cm y 3 cm.
• El segundo triángulo tiene un lado de 3 cm y los ángulos de cada extremo
miden 66.8º. R. M. Congruentes. Por el criterio de congruencia ALA.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) ¿Cómo son los dos triángulos: distintos o congruentes? Argumenta tu respuesta.
2. Observa las imágenes y responde.
a) Compara las figuras. ¿Son iguales?,
¿en qué se diferencian? Argumenta tu
respuesta. Las únicas diferencias son
el color y la posición, pero en forma y
tamaño son iguales.
b) ¿Cómo son las figuras anaranjadas entre
semejanza.
En matemáticas, dos figuras
son semejantes si tienen la
misma forma sin importar si
son del mismo tamaño o no.
sí: iguales, semejantes o diferentes?
Argumenta tu respuesta. Son iguales
en cuanto a color, posición y ángulos.
Semejantes en cuanto a medida de los
lados. Diferentes en cuanto a tamaño.
c) Analiza la imagen y responde.
i.
¿Qué figuras identificas?
Triángulos
y un trapecio
P
ro
ii. ¿Cómo son los triángulos entre sí?
Son
parecidos, pero de diferente
tamaño.
iii. ¿Qué características conservan?
La
medida de sus ángulos.
iv. ¿Qué características son distintas
entre sí? La medida de sus lados.
d) ¿Qué condiciones consideras que deben cumplirse para decir que dos figuras
son semejantes? Las medidas de sus lados correspondientes deben
ser proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales.
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, de manera grupal, complementen
sus argumentos.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
67
Semejanza en geometría
Resuelvan en parejas.
1. Observen las imágenes. De manera individual, con su transportador, midan los
ángulos de cada figura. Luego midan los lados con su regla.
2 cm
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1 cm
a) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de la figura más grande? 120°
b) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de la figura más pequeña? 120°
c) Escriban las medidas de los lados en cada figura. ¿Cómo son entre sí las medidas
de los lados de las figuras? R. M. El lado del hexágono más grande es del
doble del tamaño del hexágono pequeño.
d) A partir de lo anterior, ¿las figuras son iguales o semejantes? ¿Qué características
se podrían mencionar para argumentar la respuesta? R. M. Las figuras
son semejantes ya que las medidas de sus lados y ángulos internos
correspondientes son proporcionales.
2. Midan los lados y los ángulos interiores de cada figura. Sustituyan el valor que
corresponde a cada variable y obtengan el resultado.
B
A
C
b
a
H
D
E
G
c
1
5 5 0.5
2
C
1
d
5 0.5
5 2
D
P
ro
a
1
5 0.5
5 2
A
0.5
b
5 0.5
5 1
B
F
c
h
g
e
0.75
5 5 0.5
1.5
E
0.5
f
5 0.5
5 1
F
d
e
f
g
1
5 0.5
5
2
G
0.75
h
5 1.5 5 0.5
H
son iguales.
a) ¿Cómo son los cocientes de las medidas de los lados? Todos
la figura pequeña es de la mitad del
¿Qué representa ese resultado? Que
tamaño
de la grande.
iguales.
b) ¿Cómo son las medidas de los ángulos de las figuras? Son
• Comenten sus resultados con el resto del grupo. Entre todos, analicen las figuras de
esta sesión y escriban algunas características que permitan identificar que las figuras
son semejantes.
Sesión 1. Construyes el concepto de semejanza en geometría.
68
Secuencia didáctica 9
Sesión 2
Construcción de polígonos regulares semejantes
Realicen en equipos lo que se pide.
1. Comparen la siguiente información con el concepto que escribieron al final de la
sesión anterior. Si lo consideran necesario, complementen su texto.
Semejanza
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
En geometría, dos figuras son semejantes cuando las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y las medidas de sus lados correspondientes son proporcionales.
Por ejemplo:
4.5
3
3
2
En ambas figuras los ángulos miden 90°, y la proporción que guardan sus lados
correspondientes es constante en todos los casos.
3
5 0.6
4.5
2
5 0.6
3
P
ro
2. Tracen dos figuras semejantes al heptágono que se muestra. Una de ellas será más
pequeña y la otra, más grande.
a) ¿Qué procedimiento usaron para trazar las imágenes? Compárenlo con el de
otro equipo. Acuerden cuál les pareció mejor y argumenten por qué. R. M.
Consideré la medida de los lados y ángulos del heptágono y tracé figuras proporcionales a él.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
69
Trabajen en parejas.
3. Analicen el siguiente procedimiento.
Figura original
Traza un segmento base.
•b
•
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a
n
i.
ii. Ubícate en cualquier vértice
de la figura original y con tu
compás traza un arco que
corte dos lados adyacentes.
iii. Toma la medida de ese arco y
trázala en cualquier extremo
del segmento base.
•
c
• •
•
iv. Abre tu compás desde el
corte del arco con un lado de
la figura hasta el otro corte.
Observa la imagen.
v. Lleva esa medida al segmento
base. Pon la punta del compás
en el corte del arco con el
segmento base y traza otro
arco que corte al primero (d).
d
•
• c
•a •
•
P
ro
vi. Une con un segmento el extremo
del segmento base (a) con el corte
de los dos arcos (d).
•b
Coloca aquí la punta del compás
•
••
•
••
a) ¿Cuánto mide el ángulo del polígono? 108°
b) ¿Cuánto mide el ángulo formado en el segmento base? 108°
c) ¿Cómo pueden usar este procedimiento en el trazo de polígonos semejantes?
Ver solucionario
d) ¿Cómo pueden trazar lados semejantes? Ver
solucionario
• Compartan sus respuestas con el grupo y entre todos tracen en el pizarrón un polígono
regular explorando alguno de los métodos propuestos por ustedes.
Sesión 2. Construyes polígonos regulares semejantes.
70
Secuencia didáctica 9
Sesión 3
Polígonos regulares semejantes
Haz lo que se pide.
1. Traza figuras semejantes al modelo propuesto, una más pequeña y la otra más
grande. Usa las retículas y completa la tabla. R. M.
a
n
b
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
c
e
d
Medida del lado
Medida del lado
correspondiente
correspondiente
en la figura pequeña en la figura grande
P
ro
Medida del lado
de la figura original
a 5 1.5 cm
0.75 cm
2 cm
b 5 1.5 cm
0.75 cm
2 cm
c 5 1.5 cm
0.75 cm
2 cm
d 5 2.5 cm
1.25 cm
3.33 cm
e 5 1.5 cm
0.75 cm
2 cm
lado pequeño
=
lado original
0.75
1.5
0.75
1.5
0.75
1.5
1.25
2.5
0.75
1.5
= 0.5
= 0.5
= 0.5
= 0.5
= 0.5
lado grande
=
lado original
2
1.5
2
1.5
2
1.5
3.33
2.5
2
1.5
= 1.33
= 1.33
= 1.33
= 1.33
= 1.33
a) ¿Todas las figuras que trazaste son semejantes? Argumenta tu respuesta. Sí, ya
que la medida de los lados correspondientes, son proporcionales.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
71
¿Cómo vamos?
Analiza las figuras y responde.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2. De los polígonos que se muestran, identifica los que son regulares y marca
aquellos que no lo son. Toma las medidas que consideres necesarias y verifica
tu respuesta anterior.
n
1. A partir de lo que se ha analizado, argumenta si todos los polígonos regulares
que tienen la misma cantidad de lados son semejantes. Sí
a) ¿Cuántos polígonos irregulares hay? 6
b) ¿Cuántos polígonos regulares hay? 6
c) ¿Todos los polígonos de 3 lados son semejantes? Argumenta tu respuesta.
No, porque hay polígonos de 3 lados irregulares que no conservan lados
proporcionales.
P
ro
d) ¿Todos los polígonos de 5 o 6 lados son semejantes? Argumenta tu respuesta.
No, porque hay polígonos de 5 o 6 lados irregulares que no conservan
lados proporcionales.
e) De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿todos los polígonos regulares
que tienen el mismo número de lados son semejantes? Argumenta. Sí, porque tienen ángulos iguales y lados proporcionales.
• Dialoguen en grupo sobre sus respuestas y argumentos. Lleguen a conclusiones
generales y luego valídenlas con ayuda de su profesor.
Sesión 3. Construyes polígonos regulares semejantes.
72
Secuencia
Secuencia didáctica
didáctica 91
Sesión 2
4
Construcción de polígonos irregulares
semejantes
Haz lo que se pide.
a
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b
n
1. Traza una figura más grande y una más pequeña, que sean semejantes al modelo
que se muestra.
c
e
P
ro
d
a) ¿Qué diferencias hay entre el procedimiento que empleaste para trazar estas
figuras y el que usaste para trazar las de la actividad 1 de la sesión anterior? R. L.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
73
Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica.
P
ro
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
2. Determinen el procedimiento que usarán para trazar una figura semejante, más
grande que la que se muestra.
a) ¿Emplearon procedimientos diferentes de los trabajados? R. L.
b) ¿Cómo pueden estar seguros de que la figura que trazaron es semejante a la
original? R. M. Al medir los ángulos estos deben ser iguales y los lados deben
ser
proporcionales.
• En grupo compartan sus procedimientos y entre todos establezcan uno que pueda
ser el más eficiente.
Sesión 4. Construyes polígonos irregulares semejantes.
74
Secuencia didáctica 9
Sesión 5
Polígonos irregulares semejantes
En equipo, realicen lo siguiente.
1. Describan lo que ocurre en el siguiente procedimiento y contesten.
i.
Fijar un punto de apoyo y trazar
rectas que toquen los vértices de
la figura.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Figura original
ii. Medir, con el compás o con
la regla, la distancia desde el
punto de apoyo a cualquier
vértice.
iii. Tomar la distancia medida y
colocarla tres veces sobre la
recta correspondiente y hacer
una marca.
E
C
P
ro
iv. Repetir el paso anterior con los
demás vértices. Pueden borrar
los trazos auxiliares y conservar
únicamente las marcas
finales.
v. Unir todos los puntos siguiendo
el modelo original.
a) ¿Qué tan grande es la nueva figura en comparación con la figura original? Es del triple de tamaño
b) ¿Son figuras semejantes? Verifiquen y argumenten sus respuestas. Sí, porque la medida de sus ángulos es igual y sus lados son proporcionales.
c) ¿Qué procedimiento seguirían si quisieran hacer una figura de la mitad del tamaño
del modelo original? En lugar de que la distancia sea el triple, ahora sería la mitad.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
75
Resuelvan en equipo.
2. Usen el procedimiento que consideren más adecuado y hagan lo que se indica.
a) Tracen una figura semejante más pequeña que el modelo.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
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www.esant.mx/
ecsema3-009; podrás
ver un video sobre la
semejanza de figuras y
practicar algunos ejercicios.
P
ro
b) Tracen una figura semejante más grande que el modelo.
• Midan las figuras y observen qué propiedades de las figuras originales se conservan y
cuáles cambian. Compartan sus observaciones con el grupo.
Sesión 5. Construyes polígonos irregulares.
76
Secuencia
didáctica 10
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos.
Contenido: Formularás los criterios de semejanza de triángulos. Identificarás y usarás, en la resolución de problemas, la
semejanza de triángulos para el cálculo de distancias.
Semejanza de triángulos
Analiza la situación y haz lo que se pide. Usa tu juego de geometría.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. La imagen que se muestra está formada por triángulos de distintos tamaños,
colores y formas.
a) ¿Qué tipo de triángulo es el trazado por ABC? Triángulo equilátero
escaleno (por sus lados) o
b) ¿Cómo se llama el triángulo DEF? Triángulo
rectángulo (por sus ángulos)
c) ¿Qué tipo de triángulo es el trazado por GHI? Triángulo isósceles
d) ¿Existe alguna relación entre los triángulos ABC y JKL? ¿Cuál? Sí, son semejantes ya que ambos son triángulos equiláteros.
e) ¿Qué pasos llevarías a cabo para construir un triángulo equilátero? Ver solucionario
¿Qué datos consideras necesarios para construir cualquier triángulo? R. M. Conocer la medida de los lados y de los ángulos.
P
ro
f)
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y en grupo elaboren una lista
de lo que necesitan conocer para trazar cualquier tipo de triángulo. Escribe tu lista en
el recuadro.
R. L.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
77
Construcción e identificación de triángulos
semejantes I
Resuelve.
a) 2 cm, 3 cm y 4 cm Sí es posible
d) 3 cm, 3 cm y 1 cm Sí
es posible
b) 4 cm, 8 cm y 3 cm No es posible
e) 3 cm, 3 cm y 7 cm No es posible
f) 5 cm, 3 cm y 7 cm Sí es posible
c) 1.5 cm, 2 cm y 4.5 cm No
es posible
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
g) ¿Qué condiciones se deben cumplir para poder construir un triángulo? La suma de dos lados debe ser mayor a la medida del lado restante.
n
1. Delante de cada serie de medidas, escribe si con ellas es posible construir un
triángulo o no.
2. Analiza los siguientes triángulos y responde argumentando tu razonamiento.
Triángulo 1
Triángulo 2
Triángulo 3
Triángulo 4
a) ¿Hay alguna relación entre los lados de los triángulos 1 y 2? No, los lados son diferentes entre sí
b) ¿Cómo son los ángulos del triángulo 1 con respecto a los del triángulo 2? El triángulo 1 está formado por 3 ángulos agudos y el triángulo 2, por 1 ángulo
recto y 2 agudos.
c) ¿Las medidas de los lados correspondientes de los triángulos 1 y 2 son iguales?
No lo son
P
ro
d) ¿Hay alguna relación entre los lados de los triángulos 3 y 4? Sí, las medidas de los lados son proporcionales.
e) ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos correspondientes de los triángulos
3 y 4? Son iguales
f)
¿Los triángulos 3 y 4 son semejantes o iguales? Son semejantes
• Compara tus respuestas con tus compañeros.
Sesión 1. Construyes e identificas triángulos semejantes I.
78
Secuencia didáctica 10
Sesión 2
Construcción e identificación de triángulos
semejantes II
Trabajen en parejas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Cada uno dibujará en su cuaderno un triángulo y escribirá en el recuadro las
instrucciones para trazarlo. Dictará la primera indicación a su compañero para
que reproduzca el diseño en la cuadrícula. Tras la primera indicación dictará la
siguiente hasta finalizar.
Ver solucionario
P
ro
R. M.
Una vez trazado el primer triángulo, tu compañero te dictará sus indicaciones y
realizarás el mismo proceso. Corroboren que sus triángulos cumplen con las
condiciones dadas.
a) ¿Los triángulos son iguales o son semejantes? Argumenten su respuesta.
R. M. Los triángulos deben ser iguales, de acuerdo con la indicación que se ofrezca.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
79
2. Tomen las medidas que consideren necesarias e identifiquen los triángulos que
cumplen con las condiciones de la tabla.
1
8
n
4
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2
6
5
3
Relación entre los lados
7
¿De qué triángulos se trata?
Triángulo 7
Triángulo 2
Medida de un lado (triángulo #)
1
5
Medida de un lado ( triángulo #)
3
Triángulo 3
Triángulo 6
Medida de un lado (triángulo #)
1
51
Medida de un lado ( triángulo #)
2
Triángulo 5
Triángulo 4
P
ro
Medida de un lado (triángulo #)
52
Medida de un lado ( triángulo #)
a) De acuerdo con la información de la tabla, ¿las parejas de triángulos de cada fila
son iguales? ¿Por qué? No,
porque sus lados son de diferente tamaño.
iguales.
b) ¿Cómo son los ángulos de la pareja de triángulos de cada fila? Son
c) Escribe las mínimas condiciones necesarias para trazar una pareja de triángulos
semejantes. Los
ángulos deben ser iguales.
• Comparen sus resultados y argumentos con el resto del grupo y entre todos complementen
sus respuestas.
Sesión 2. Construyes e identificas triángulos semejantes II.
80
Secuencia didáctica 10
Sesión 3
Criterios de semejanza de triángulos
Reúnanse en parejas y realicen lo que se pide.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Observen las parejas de triángulos y tomen las medidas de sus lados y ángulos.
Pareja 1
Pareja 2
a) ¿Qué diferencias identifican entre cada pareja de triángulos? Tanto las medidas de sus lados como las de sus ángulos son diferentes.
b) ¿Cómo son las medidas de sus lados correspondientes? Diferentes
c) ¿Cómo son las medidas de sus ángulos? Diferentes
2. Cada uno trace un triángulo con las condiciones que se indican. Al terminar, comparen
sus triángulos y respondan. R. M.
a) Un triángulo que tenga dos ángulos, uno de 55° y otro de 60°.
P
ro
60º
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
55º
81
b) Un triángulo de 3 cm de lado y que tenga un ángulo de 45°.
45º
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
3 cm
c) Al comparar con los de tus compañeros los triángulos que trazaste en los incisos
a y b, ¿son iguales, semejantes o no se parecen? No, son semejantes.
d) Para complementar sus respuestas, qué relación pueden establecer entre los
triángulos; por ejemplo, ¿se conservan sus ángulos? ¿Qué tipo de relación existe
entre cada uno de sus lados? R. M. Son iguales sus ángulos y proporcionales
en las medidas de sus lados.
3. Cada uno trace un triángulo cuyos ángulos midan 60°, 70° y 50°. Al final
compárenlos y argumenten las semejanzas y diferencias. R. M. Dado que las medidas
de ángulos son iguales, los triángulos son semejantes.
70º
60º
50º
P
ro
¿Cómo vamos?
1. Determinen las condiciones para que, al trazar dos triángulos de distintos tamaños,
todos sus lados sean proporcionales.
Los ángulos formados entre los respectivos lados deben ser iguales.
• De manera grupal, corroboren o rectifiquen sus textos y complétenlos entre todos.
Revísenlos con ayuda de su profesor.
Sesión 3. Formulas los criterios de semejanza de triángulos.
82
Secuencia didáctica 10
Sesión 4
Resolución de problemas
Haz lo que se pide.
1. Lee la información y revisa lo que escribiste al final de la sesión anterior.
Semejanza de triángulos
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
En geometría, la semejanza es la propiedad que representa las características
que se conservan entre figuras y las hacen proporcionales. Por ejemplo, entre dos
triángulos que tienen ángulos iguales, pero las medidas de sus lados son diferentes, se
identifica que todos sus lados son proporcionales, sin importar su tamaño.
En el caso concreto de los triángulos, existen tres criterios de semejanza:
LAL (lado, ángulo, lado). Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, entonces los triángulos son
semejantes.
AA (ángulo, ángulo). Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales,
entonces esos triángulos son semejantes.
LLL (lado, lado, lado). Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
• Analiza si los triángulos trabajados en esta secuencia son semejantes.
2. En la posición en que se encuentran los triángulos, midan lo siguiente:
La altura del triángulo rojo:
La altura del triángulo verde:
La base del triángulo rojo: 2.5 cm
4 cm
2 cm
La base del triángulo verde: 1.25 cm
El lado mayor del triángulo rojo: 4.7 cm
a
El lado mayor del triángulo verde: 2.35 cm
δ
ζε
P
ro
g
b
]a5 33.69°
]d5 33.69°
]β5 56.31°
]ζ5 56.31°
]g5 90°
]ε5 90°
a) ¿Qué relación encuentras entre los lados de ambos triángulos? Son
proporcionales. La altura del triángulo verde es la mitad de la altura del
triángulo rojo.
3. En parejas, cada uno trace en su cuaderno un esquema como el anterior, pero con
diferentes medidas en los lados. Digan a su compañero la medida de dos lados de
un triángulo y una medida del otro triángulo. Intenten calcular la medida de los
lados faltantes. Una vez obtenidas, corroboren que sean correctas o rectifíquenlas.
Argumenten si los triángulos son semejantes. R. L.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras geométricas
83
Resuelvan en equipos.
1. Analicen la figura. Los segmentos azules son paralelos entre sí. Identifiquen los
triángulos que se forman entre ellos y midan sus lados. Hagan lo que se pide.
a 5 3 cm
45º
45º
2.1 cm 5 c
b 5 2.1 cm
90º
n
90º d 5 1.4 cm
45º 45º
e 5 2 cm
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1.4 cm 5 f
a) Anoten en la imagen la medida de los tres ángulos de cada triángulo.
b) ¿Cómo son los ángulos de un triángulo con respecto a los del otro? Iguales
c) Sustituyan, en cada variable, la medida real de los lados.
a
5
e
1.5
b
5
f
1.5
c
5
d
1.5
d) ¿Cómo son los cocientes de los lados correspondientes y qué significa? Iguales.
Significa que los triángulos son proporcionales.
2. Una persona quiere medir el ancho de un río y eligió un punto de referencia del otro
lado de él. Se paró exactamente enfrente de ese punto de referencia y caminó
paralelamente al río hasta un punto B; continuó caminando otro tramo, giró
dando la espalda al río y caminó otro tramo más, como se muestra en la imagen.
¿Cuánto mide el ancho del río?
En el sitio web www.
esant.mx/ecsema3-010
conocerás más sobre los
criterios de semejanza
de triángulos.
?
6
m
4
B
m
P
ro
5.38 m
El ancho del río es:8.07 m
• De manera grupal compartan sus resultados y estrategias de solución. Entre todos
escriban cinco problemas en que se pida calcular la distancia. Resuélvanlos en grupo
y determinen los datos necesarios para calcular las distancias usando los criterios de
semejanza. Realicen un resumen en su cuaderno. Ver solucionario
Sesión 4. Identificas y usas, en la resolución de problemas, la
semejanza de triángulos para el cálculo de distancias.
84
Semejanza de triángulos en GeoGebra
En esta sección utilizarás un software de geometría dinámica para visualizar y analizar las
propiedades relacionadas con la semejanza de triángulos.
1. Abre una ventana en GeoGebra y haz lo que se solicita.
Da clic en el icono de configuración
que aparece en el lado derecho de
la Vista Gráfica. Aparecerá la barra de herramientas. Selecciona los primeros
dos iconos para ocultar los ejes y la cuadrícula. Ve la imagen 1.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
i.
Imagen 1
Imagen 2
y construye un triángulo con
ii. Ubica el cursor en el comando Polígono
vértices A, B, C, como se muestra en la imagen 2.
iii. Posiciónate en el triángulo y, dando clic derecho, cambia en configuración
el color del triángulo. En la opción Opacidad puedes aumentar o disminuir el
relleno de color.
P
ro
y traza dos semirrectas que
iv. Ahora selecciona el comando Semirrecta
pasen por los puntos AB y AC, como se muestra en la imagen 3.
Imagen 3
Imagen 4
v. Coloca un punto en la semirrecta AC con el comando Punto
y cambia el rótulo del punto que se forma por Deslizador (D).
traza una recta paralela al segmento BC del
vi. Con el comando Paralela
triángulo que pase por el punto Deslizador.
encuentra el punto de intersección de
vii. Con la herramienta Intersección
las dos rectas, como se muestra en la imagen 4.
85
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
viii. Forma otro triángulo con el comando Polígono uniendo los puntos A, E y
Deslizador. En la Vista Gráfica oculta las rectas para que se muestren
claramente los dos triángulos que se forman. Ve la imagen 5.
Imagen 5
2. Contesta.
a) ¿Qué sucede al mover el punto Deslizador? Ver solucionario
b) ¿Qué relación se puede establecer entre los triángulos ABC y AEDeslizador?
¿Por qué? Ver solucionario
c) ¿En algún momento serán semejantes ambos triangulos? Justifica tu respuesta.
Sí.
Cuando el triángulo en movimiento sea más grande o más pequeño que el triángulo ABC.
d) ¿Cómo GeoGebra te ayuda a establecer algún criterio de semejanza?R. L.
e) Calcula el cociente entre los lados correspondientes del triángulo ABC y los del
triángulo AEDeslizador. Por ejemplo, para los lados correspondientes a y a1
a
escribe los valores en la barra de Entrada:
y presiona enter. Haz lo mismo
a1
para los lados restantes. ¿Cómo son estos cocientes entre sí? Iguales
¿Existe alguna relación de proporcionalidad entre los triángulos que se forman?
Si, ya que los lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos iguales.
3. Reúnete con un compañero y contesten lo siguiente.
P
ro
a) De acuerdo con la construcción que realizaron, ¿cuáles son las condiciones
M. Que los ángulos
necesarias para que se obtengan triángulos semejantes? R.
interiores sean iguales y los lados correspondientes proporcionales.
b) ¿Cómo serían entre sí los triángulos que se forman si la recta que se traza en el
punto iv del inciso a no fuera paralela al segmento BC? R.
M. No se tendrían
triángulos semejantes.
• Compara los triángulos que trazaste con los que hicieron tus compañeros y verifiquen
sus respuestas. Junto con el profesor, escriban las diferencias y similitudes que
encontraron y lleguen a acuerdos.
86
Secuencia
didáctica 11
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media)
de dos conjuntos de datos.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central y de dispersión dado un
conjunto de datos.
Medidas de tendencia central
y de dispersión
Haz lo que se pide.
1. Analiza las siguientes situaciones y contesta.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
172
(8 3 8) 1 (9 3 12) 5 172; 20 5 8.6
n
a) Las edades de los alumnos en un grupo de primaria son 8, 8, 9, 9, 9, 8, 9, 8, 8,
8, 9, 9, 9, 9, 8, 8, 9, 9, 9, 9. ¿Cuál es la media aritmética de los datos?
b) Alejandra obtuvo las siguientes calificaciones en el primer trimestre: 8, 9, 7, 8.5,
9, 10, 8, 7, 6, 7.5. ¿Cuál es el promedio de sus calificaciones?
(8 1 9 1 7 1 8.5 1 9 1 10 1 8 1 7 1 6 1 7.5) 80
;
58
10
10
c) Una tienda de abarrotes obtuvo, en una semana, las siguientes ganancias:
Si te equivocaste al resolver un
problema, analiza el origen de
tu error, replantea tu
procedimiento y corrige tu
respuesta. Recuerda que
los errores son oportunidades
de aprendizaje.
$1 567, $2 345, $1 780, $2 340, $3 450, $2 450, $1 005. ¿Cuál es la media
aritmética de las ganancias? Ver
solucionario
d) ¿Qué tipo de situaciones están involucradas en los problemas anteriores? Edades, calificaciones y dinero.
e) ¿Qué significado tiene la parte decimal en la respuesta del primer problema?
fracción de un año completo, es decir, representa meses.
Una
f)
Si las calificaciones de Alejandra cambian, ¿su promedio podría tener una parte
decimal?
Sí ¿Qué representaría esa parte? Décimas de calificación
P
ro
g) ¿Qué significado tiene la parte decimal en la respuesta del inciso c?
Los centavos.
h) En todos los casos anteriores, ¿las cantidades de las respuestas son parte de los
datos del problema? No ¿Qué representan? Son la representación de todos los datos. El promedio.
i)
¿En qué otro tipo de situaciones han tenido que usar la media o promedio?
R. M. Cuando se quiere conocer la cantidad de lluvia que cae, se promedian los
datos recolectados de cada día que llovió.
• Compara tus respuestas y procedimientos con los de otro compañero. Juntos reflexionen
sobre ellos y lleguen a acuerdos comunes.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
87
El papel de la media aritmética
En equipos, realicen las actividades.
1. Pregunten a sus compañeros de clase la talla de zapatos, su estatura y el tiempo
que tardan en trasladarse a la escuela. Luego registren la información en las
tablas y calculen la media aritmética de cada conjunto de datos.
Media aritmética: R.
L.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Talla de zapatos
i. ¿Alguna talla de zapatos coincide con la media aritmética? R. L.
ii. De acuerdo con la respuesta anterior, ¿cómo interpretan la media aritmética
de la talla de zapatos? R. L.
b) EstaturaMedia aritmética: R. L.
i. ¿Alguna estatura coincide con la media aritmética? R. L.
ii. Con base en la respuesta anterior, ¿cómo interpretan la media aritmética de
las estaturas? R. L.
c) Tiempo de traslado a la escuela
Media aritmética: R.
L.
P
ro
i. ¿Algún registro de tiempo coincide con la media aritmética? R. L.
ii. Tomando como referencia la respuesta anterior, ¿cómo interpretan la media
aritmética de los tiempos registrados? R. L.
Media aritmética
La media aritmética, también llamada promedio o media de un conjunto de datos, es el
valor característico de una serie de datos cuantitativos. Para obtenerla, se suman todos
los datos y se divide el resultado entre el número de datos.
Sesión 1. Resuelves problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central de un
conjunto de datos, resaltando el papel de la media aritmética como representante del conjunto de datos.
88
Secuencia didáctica 11
Sesión 2
La media aritmética
Analiza cada situación y contesta.
1. Resuelve.
a) Una encuestadora recolectó la siguiente información sobre la cantidad de televisores
que hay en diez hogares: 1, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1. ¿Cuál es la media?
16
1 1 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 5 16; 10
5 1.6
n
b) Una persona registra la cantidad de veces que usa su celular al día para conversar
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
en una red social y obtiene los siguientes resultados: 8, 3, 4, 10, 6, 5. Calcula su
36
media. 3 1 8 1 4 1 10 1 6 1 5 5 36; 6 56
•
Si multiplicamos por 3 los datos anteriores, ¿cuál será la nueva media de los
108
datos? 36
3 35 108; 6 5 18
c) Ernestina registró el número de vasos de agua que consumió al día durante una
semana. Su consumo fue el siguiente: 5 vasos, 7 vasos, 4 vasos, 8 vasos, 6 vasos,
7 vasos y 3 vasos. ¿Cuántos vasos de agua, en promedio, consumió al día?
5 1 7 1 4 1 8 1 6 1 7 1 3 5 40; 40
5 5.7
7
•
¿Cuántos vasos de agua recomiendan los doctores tomar al día? ¿Cuántos
vasos de agua tomas al día? ¿Qué tan alejado estás de la media? R. L.
d) A un conjunto de cinco números cuya media es 7.3 se le añaden los números
4.5 y 8.5. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números? Ver solucionario
e) A un curso del Inglés asistieron, cada día, las siguientes cantidades de personas.
P
ro
•
Días
L
M
M
J
V
S
D
Número de personas
15
10
12
11
7
14
8
Calcula la media de los asistentes al curso en la semana. 7
15
1 10 1 12 1 11 1 7 1 14 1 8 5 77; 7 5 11
f)
Las edades de las personas en un asilo de ancianos son 69, 73, 65, 70, 71, 74,
65, 69, 60 y 62. ¿Cuál es la edad
promedio? 69 1 73 1 65 1 70 1 71 1 74 1
678
65 1 69 1 60 1 62 5 678;
5 67.8
g) Las masas en kilogramos de diez10perros de diferentes razas son 29, 30, 35, 32,
28, 33, 37, 30, 30, 28. ¿Cuál es la masa promedio? 29 1 30 1 35 1 32 1 28
312
1
33 1 37 1 30 1 30 1 28 5 312; 10 5 31.2
• Compara tus respuestas y procedimientos con los de otro compañero.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
89
¿Cómo vamos?
1. Resuelvan en parejas.
a) En la tabla se muestra la cantidad de pedidos que recibió una carnicería en
una semana.
L
12
M
16
M
8
J
11
V
9
S
15
D
5
n
Día
Cantidad de pedidos
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
i. ¿Cuál es la media aritmética de los pedidos? 12 1 16 1 8 1 11 1 9 1 15 1 5 5 76; 76
5 10.85
7
b) Una familia consume los siguientes kilogramos de carne en la semana.
Día
Carne consumida (kg)
L
1.5
M
0.750
M
2.0
J
1.5
V
0.750
S
1.5
D
1.5
i. Calculen la media aritmética del consumo de carne de esta familia. 1.5 1 0.750 1 2 1 1.5 1 0.750 1 1.5 1 1.5 5 9.5; 9.5
5 1.35
7
c) María está ahorrando y todos los días guarda el cambio que le queda
después de realizar su compra en el mercado. En la tabla se muestra la
cantidad que lleva ahorrada en una semana.
Día
Cantidad ahorrada ($)
L
20
M
25
M
15
J
30
V
40
S
25
D
10
i. ¿Cuál es la media aritmética de la cantidad ahorrada? 20 1 25 1 15 1 30 1 40 1 25 1 10 5 165; 165
5 23.57
7
d) Los alumnos de un grupo de tercero obtuvieron los siguientes puntajes en el
examen para ingresar a la preparatoria:
39, 43, 56, 40, 76, 87, 52, 90, 88, 94, 99, 82, 59, 65, 79, 77, 83, 94, 97, 66.
i. Calculen la media del puntaje del grupo en el examen. 39 1 43 1 56 1
40
1 76 1 87 1 52 1 90 1 88 1 94 1 99 1 82 1 59 1 65 1 79
1466
1
77 1 83 1 94 1 97 1 66 5 1466; 20 5 73.3
P
ro
e) En un puesto se vende la siguiente cantidad de periódicos en una semana y
se quiere saber el promedio de venta diaria: 82, 75, 80, 72, 77, 73, 70.
529
i. Calculen la media. 82
1 75 1 80 1 72 1 77 1 73 1 70 5 529; 7 5 75.5
ii. ¿Qué significa ese dato? La
venta máxima de un día está cerca de ese valor.
iii. ¿Qué decisiones tomarían con base en esa información? Solicitar
esa cantidad de periódicos para que no queden muchos.
• Comparen sus respuestas y procedimientos con los del resto del grupo y juntos
dialoguen sobre la utilidad de la media. Revísen sus respuestas con su profesor.
Sesión 2. Resuelves problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central de un conjunto de
datos, resaltando el papel de la media aritmética como representante del conjunto de datos.
90
Secuencia didáctica 11
Sesión 3
El rango en un conjunto de datos
Lee cada situación y contesta.
1. Resuelve.
a) Las estaturas, en centímetros, de los integrantes de un equipo de futbol son:
155, 173, 158, 164, 168, 175, 169, 159, 160, 172, 164
i.
Ordena los datos de menor a mayor altura. n
155, 158, 159, 160, 164, 164, 168, 169, 172, 173, 175
155
ii. ¿Qué dato es el menor?
¿Qué dato es el mayor? hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
175
iii. ¿Cuál es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor? 175 2 155 5 20
iv. ¿Cuál es el valor del rango? 20
v. ¿Cómo le puede ayudar al equipo de futbol conocer el valor del rango? Ver solucionario
b) Los sueldos de los empleados de una fábrica de chocolates son los siguientes:
$3 500, $4 000, $2 400, $1 800, $4 500, $3 700,
$2 900, $3 100, $2 800, $4 600
i.
Ordena los datos de menor a mayor: $
1 800, $2 400, $2 800, $2 900,
$3 100, $3 500, $3 700, $4 000, $4 500, $4 600
ii. ¿Cuál es el sueldo menor? $1 800 ¿Cuál es el sueldo mayor? $4 600
iii. ¿Cuál es la diferencia entre el sueldo mayor y el sueldo menor? $
4600 2 $1800 5 $2800
iv. ¿Cuál es el valor del rango? $2 800
v. ¿Qué significa esa cantidad? ¿En qué empleo te gustaría trabajar? Investiga
el rango de los sueldos de ese empleo y comparte con el grupo tu análisis. R. L.
c) En un grupo de tercero de secundaria se realizó una prueba de rapidez, se
registró el tiempo, en segundos, que tardan en correr una pista y se obtuvo la
siguiente información: 22, 19, 18, 19.5, 21.5, 18, 19, 18.5, 19, 19.5, 22, 22.5, 21,
21.5, 20.
P
ro
i.
Ordena los datos de menor a mayor tiempo: 18 , 18, 18.5, 19, 19, 19, 19.5,
19.5, 20, 21, 21.5, 21.5, 22, 22, 22.5
ii. ¿Cuál es el tiempo mínimo empleado? 18
iii. ¿Cuál es el tiempo máximo empleado? 22.5
iv. ¿Cuál es la diferencia entre el tiempo máximo y el mínimo empleado? 22.5 2 18 5 4.5
v. ¿Cuál es el valor del rango? 4.5
vi. ¿Cuál es la razón de tomar el registro de los datos? Ver
solucionario
• Comparte con el grupo tus respuestas y argumentos.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
91
El rango
B: 1, 4, 5, 6, 9
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
A: 1, 3, 5, 7, 9
n
El rango de un conjunto se define como la diferencia entre el valor más grande y el más
pequeño en el conjunto. El rango nos da la idea de la dispersión de los datos: cuanto
mayor sea, más dispersos estarán los datos. Sin embargo, dicha medida no informa
de lo que pasa con los puntos interiores que no son extremos. Por ejemplo, en los
siguientes datos se tiene el mismo rango, a pesar de que la mayoría de los datos entre
los conjuntos son diferentes.
¿Cómo vamos?
1. Resuelve los problemas. Al terminar, revisa tus resultados, primero con ayuda
de tus compañeros y luego con tu profesor.
a) La maestra de Juan le pidió que preguntara a las familias que viven en su
calle cuánto gastan a la semana en artículos de papelería para las tareas
escolares. Juan presentó la siguiente información: $450, $190, $250,
$590, $270, $130, $1 100, $350, $200, $400
$190, $200, $250, $270,
i. Ordena los datos de menor a mayor: $130,
$350, $400, $450, $590, $1 100
ii. Calcula el rango: $ 1100 2 $130 5 $970
iii. Calcula la media aritmética: $
393
b) Se preguntó a un grupo de personas cuánto invierten en la educación de sus
hijos. La información obtenida es la siguiente: $5 000, $4 500, $1 500,
$1 000, $2 000, $4 000, $9 000, $2 500, $8 000, $2 000, $9 500,
$6 000, $8 500, $2 000, $1 000, $1 000, $2 000, $3 000, $1 000, $1 000
i.
Ordena los datos de menor a mayor: $1
000, $1 000, $1 000, $1 000,
$1
000, $1 500, $2 000, $2 000, $2 000, $2 000, $2 500, $3 000,
$4
000, $4 500, $5 000, $6 000, $8 000, $8 500, $9 000, $9 500
ii. Calcula el rango: $9500 2 $1000 5 $8500
iii. Calcula la media aritmética: $3
725
P
ro
c) Los costos de la renta de algunos departamentos en la Ciudad de México son
$3 500, $10 900, $5 400, $2 900, $11 100, $12 400, $13 500, $2 500,
$5 000, $2 800, $12 000, $10 500, $6 000, $3 900, $4 500, $7 000.
i. Ordena los datos de menor a mayor: Ver
solucionario
ii. Calcula el rango: $13500 2 $2500 5 $11000
iii. Calcula la media aritmética: $7 118.75
iv. ¿Pueden obtenerse el rango y la media sin ordenar los datos de menor
a mayor? Argumenta tu respuesta. Sí, porque no se necesita ordenar los datos
para calcularlas. Solo es necesario identificar los datos que se necesitarán.
Sesión 3. Resuelves problemas que impliquen el análisis de las medidas
de dispersión, en particular el rango de un conjunto de datos.
92
Secuencia didáctica 11
Sesión 4
Desviación media en un conjunto de datos
Lee y resuelve.
1. Las estaturas, en centímetros, de un grupo de alumnos de secundaria, son las que
se muestran en la tabla.
Estatura (cm)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) ¿Qué observas con respecto a los datos? R.
L.
b) ¿Cuál es la estatura más alta? 164 cm
n
135, 143, 140, 156, 164, 134, 143, 135, 152, 138, 146, 147, 139, 160, 155
c) ¿Cuál es la estatura más baja? 134 cm
cm
d) ¿Cuál es el promedio de las estaturas? 145.8
e) ¿Cómo puedes medir la diferencia que hay entre los datos? Restar a cada estatura la estatura promedio
f)
2 134 5 30
¿Cuál es la diferencia entre la estatura máxima y la mínima? 164
g) ¿Qué nos indican estos últimos datos? R.
L.
h) ¿Cómo podemos saber la diferencia del resto de los datos? Restando a cada dato la media o promedio
P
ro
2. Completa la tabla y responde con base en la información que presenta.
Estatura
134
135
135
138
139
140
143
143
146
147
152
155
156
160
164
Total del resultado
Estatura 2 estatura promedio
134 2 145.8
135 2 145.8
135 2 145.8
138 2 145.8
139 2 145.8
140 2 145.8
143 2 145.8
143 2 145.8
146 2 145.8
147 2 145.8
152 2 145.8
155 2 145.8
156 2 145.8
160 2 145.8
164 2 145.8
15 datos
Resultado
211.8
210.8
210.8
27.8
26.8
25.8
22.8
22.8
0.2
1.2
6.2
9.2
10.2
14.2
18.2
0
a) ¿Qué información proporciona la tabla? La desviación de los datos
b) ¿Por qué se obtiene ese resultado al sumar la última columna? R. L.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
93
c) ¿Qué significa el resultado cero en la última columna? Ver solucionario
d) ¿Cómo se calcula la diferencia de estaturas? Restando a cada estatura, la estatura promedio.
e) Calcula el valor absoluto de la diferencia entre la estatura y la estatura promedio.
¿Cuál es el resultado? 118.8
¿Cuál es el promedio de los datos? 7.92
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
g) ¿Qué significa ese promedio? La desviación media o la manera en que están dispersos los datos.
n
f)
3. Lee la siguiente información y completa tus ideas.
Desviación media
Indica el grado de concentración o de dispersión de los datos de un conjunto. Si es
muy alta, indica gran dispersión y si es muy baja refleja un buen agrupamiento de los
datos, es decir, mide la desviación que existe en los datos respecto de un valor dado. Su
fórmula general es:
Desviación media 5 |Suma de todas las desviaciones|
Total de datos
P
ro
4. Pregunta a todos los integrantes del grupo, incluyendo a tu profesor, algún dato de
interés común que pueda ser medido estadísticamente y calcula la desviación
media. Anota las medidas en la siguiente tabla. Si necesitas más casillas, puedes
anexarlas con un fragmento de hoja de cuaderno.
a) Calcula la desviación media de los datos. R. L.
b) ¿Qué puedes concluir de la información recolectada y del resultado de la
desviación media? R. L.
c) Si la medida del profesor no se toma en cuenta, ¿cómo cambia la desviación
media y qué significado tendría ahora? R. L.
Sesión 4. Resuelves problemas que impliquen el análisis de las medidas
de dispersión, en particular, la desviación media de un conjunto de datos.
94
Secuencia didáctica 11
Sesión 5
Aplicación de la desviación media
Trabajen en parejas las actividades.
1. Una familia va al cine 2, 3 y 4 veces a la semana, respectivamente, en un mes.
Calcula la desviación media de las visitas al cine en este mes.
a) ¿Cuál es el promedio de las visitas al cine? 3
Desviaciones
Resultados
2
|2 2 3|
1
3
|3 2 3|
0
4
|4 2 3|
1
Total
Familia
2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Visitas al cine
2
b) ¿Cuál es la desviación media? 3 50.66
c) ¿Qué indica ese dato? Se puede decir que los datos difieren de la media en 0.66
2. Una persona toma la siguiente cantidad de vasos de agua al día, durante una
semana: 2, 3, 5, 8, 6, 3, 2. Obtén la desviación media de la cantidad de agua consumida.
P
ro
a) ¿Cuál es la media en el consumo de agua? 4
Consumo de agua
(vasos)
Desviaciones
Resultados
2
|2 2 4|
2
3
|3 2 4|
1
5
|5 2 4|
1
8
|8 2 4|
4
5
|5 2 4|
1
3
|3 2 4|
1
2
|2 2 4|
2
Total
7 días
12
12
51.71
b) ¿Cuál es la desviación media? 7
c) ¿Qué les permite deducir este dato, con respecto al consumo de agua de esta
persona? R. M. Ya que la desviación es pequeña, se puede decir que su
consumo de agua no varía mucho.
d) ¿Qué tan alta o baja es la desviación con respecto a la media? Es baja, es decir, la diferencia es poca.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
95
Alumno
Masa (kg)
Alumno
Masa (kg)
Nicolás
67
Andrea
68
Armando
55
Alejandra
70
María
69
Sergio
57
José
74
Arturo
62
Luis
72
Israel
78
Enrique
68
55
Ricardo
75
Margarita
69
Marco
50
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Alexandra
n
3. Las masas, en kilogramos, de un grupo de estudiantes de tercer grado de secundaria
son los que se muestran en las tablas.
a) ¿Cuál es la media de las masas? 65.9
b) ¿Cuál es la deviación media? 6.7
c) ¿Cómo son entre sí la media y la desviación media? Es muy baja
d) ¿Qué interpretación le pueden dar al resultado obtenido en la desviación media? R. M. Que el peso de los alumnos varía muy poco.
4. En un partido de basquetbol, cada jugador de un equipo hizo las siguientes
anotaciones:
5, 5, 3, 7, 10
a) ¿Cuál es la media de las anotaciones en el partido? 6
b) Completen la tabla.
Desviaciones
Resultados
5
|5 2 6|
1
5
|5 2 6|
1
3
|3 2 6|
3
7
|7 2 6|
1
10
|10 2 6|
4
5 jugadores
10
P
ro
Anotaciones
Total
Visita el siguiente sitio web
para saber más sobre las
medidas de tendencia
central. www.esant.mx/
ecsema3-011.
c) ¿Cuál es la desviación media de este partido? 2
d) ¿Qué tan alta o baja es la diferencia entre la desviación media y el promedio? Baja
e) ¿Cómo se puede interpretar esa dispersión? Ver solucionario
• Comparen sus respuestas y argumentos con el resto del grupo y juntos lleguen a
conclusiones generales.
Sesión 5. Resuelves problemas que impliquen el análisis de las medidas de dispersión,
en particular, la desviación media de un conjunto de datos.
96
Secuencia
didáctica 12
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media)
de dos conjuntos de datos.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central y de dispersión dado un
conjunto de datos.
Tendencia central y dispersión en
conjuntos de datos
Resuelve la actividad.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Pregunta a tus compañeros su edad y registra los datos en la tabla. Si hacen falta
casillas, puedes agregarlas recortando una hoja de tu cuaderno.
a) ¿Qué edad es la menor? R. L.
b) ¿Qué edad es la mayor? R. L.
c) Con las repuestas anteriores, ¿qué medida de dispersión puedes calcular? El rango
¿Cuál es su valor? R. L.
d) Calcula la media de los datos. R. L.
e) Con la media de los datos, ¿qué medida de dispersión puedes calcular? La desviación media
f)
¿Cuál es su valor? R.
L.
¿Qué tan dispersos se encuentran los datos? R. L.
¿Por qué? R. L.
• Compara tus respuestas y argumentos con el resto del grupo. Juntos verifiquen que todas
las respuestas sean iguales y si algunas son distintas, averigüen por qué. Lleguen a
conclusiones generales.
P
ro
2. En un grupo de otra escuela, se registraron las siguientes edades en años.
13
14
13
15
14
14
15
13
14
14
15
14
14
14
13
14
14
16
15
13
a) ¿Es posible comparar las edades de tu grupo y las de la tabla anterior a pesar de
que tengan distinto número de alumnos? Sí
• De manera grupal respondan la pregunta anterior. Justifiquen sus respuestas.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
97
Medidas de dispersión en conjuntos de datos
Haz lo que se pide.
1. En una escuela se otorgará una beca por grupo al alumno que haya obtenido el
mejor promedio en el ciclo anterior. Los mejores alumnos del grupo 1.º A son
Antonio y Susana.
Calificación
Antonio
8.5, 9, 8, 9.5, 10
Susana
10, 9, 9, 9, 8
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Alumno
9; Susana: 9
a) Calcula el promedio de cada estudiante. Antonio:
b) Con este dato, ¿a quién se le daría la beca? Ver solucionario
c) Calcula el rango de las calificaciones de cada estudiante: Antonio: 10 2 8 5 2; Susana: 10 2 8 5 2
d) ¿El rango te permite saber a quién de los dos se le debe dar la beca? Justifica tu
respuesta. R.
M. No, pues no hay diferencia entre ellos.
e) Si por cuestiones que no permiten hacer excepciones solo se pudiera ofrecer
una beca, ¿a quién se la otorgarías? Argumenta tu respuesta. R. L.
f)
Calcula la desviación media de cada alumno. Antonio: 0.6; Susana: 0.4
g) Si el comité que otorga la beca decidiera que se entregue a la persona que haya
sido más constante, con este último dato, ¿a quién se debe otorgar la beca? A Susana porque su desviación media es de 0.4 que es menor a la de Antonio.
Esto significa que sus datos están más agrupados.
2. En una escuela se realizó una prueba de agudeza visual a 10 niñas y a 10 niños. Los
resultados obtenidos, en cuanto a letras identificadas, son los que se muestran.
Fuente: media.axon.es/pdf/80824.pdf (consulta: 04 de marzo de 2021)
Agudeza visual
25, 15, 14, 31, 28, 23, 27, 16, 29, 18
Niños
12, 33, 33, 14, 15, 29, 22, 13, 32, 23
P
ro
Niñas
a) ¿Cuál es la agudeza promedio de las niñas? 22.6
b) ¿Cuál es la agudeza promedio de los niños? 22.6
c) ¿En qué grupo están más dispersos los datos, comparando las desviaciones?
Ver
solucionario
• Comprueba tus respuestas, procedimientos y argumentos con el resto del grupo.
Sesión 1. Resuelves problemas que impliquen el análisis
de las medidas de dispersión dados dos conjuntos de datos.
98
Secuencia didáctica 12
Sesión 2
Medidas de tendencia central en conjuntos
de datos
Analiza las siguientes situaciones y contesta.
1. Las calificaciones de Fernando fueron:
Calificación
7
Español
9
Ciencias
6
Formación Cívica y Ética
8
Artísticas
10
Educación Física
10
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Asignatura
Matemáticas
a) ¿Qué promedio obtuvo Fernando? 8.3
b) ¿Qué materia consideras que se le complica más estudiar? Ciencias
y Educación Física
c) ¿Qué materias consideras que le gustan más? Artísticas
d) ¿Cuál es la moda de los datos? El valor que se repite más es 10.
7, 8, 9, 10, 10
e) Ordena los datos de menor a mayor. 6,
f)
Calcula la mediana. 8.5
g) ¿Son iguales los valores de la mediana y la media? Justifica tu respuesta. No, la mediana es 8.5 y la media 8.3
P
ro
2. Una familia desea comprar una pantalla plana y, después de verificar el precio en
dos tiendas, realiza una tabla de precios y marcas para analizar en cuál de ellas le
conviene adquirirla.
Marca
X
Y
Tienda 1 ($)
12 500
11 000
Tienda 2 ($)
15 500
11 500
Z
12 500
11 500
a) En cada tienda, ¿qué pantalla es más cara que el precio promedio? Ver
solucionario
b) ¿Qué pantallas son más baratas que el precio promedio? Y y Z de la tienda 2
c) ¿Cuál es la moda de precios que presenta cada tienda? Primera tienda $12 500
y segunda tienda $11 500
d) ¿Qué tan cerca o lejos están las modas con respecto a la media? Primera tienda
poco alejada, solo $84.34. La segunda tienda más alejada, $916.66.
e) ¿Cuál es la mediana en cada tienda? Tienda 1: $12 500 ; tienda 2: $11 500
f) ¿Qué dato media, mediana o moda son parecidos y en qué tienda? Justifica
tus respuestas. Ver solucionario
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
99
¿Cómo vamos?
Resuelve. Al terminar, revisa tus resultados, primero con ayuda de tus compañeros y
luego con tu profesor.
Ventas
A
23, 11, 10, 34, 28, 11, 45
B
10, 11, 34, 45, 26, 12, 10
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Sucursal
n
1. Una tienda de discos desea conocer la productividad de sus empleados en dos
de sus sucursales y solicitó el registro de las ventas realizadas en la última
semana, en cada una de ellas.
a) Por la venta de la semana, ¿qué sucursal vende más? La sucursal A
b) ¿Cuál es el promedio de ventas de cada sucursal? A: 23.1; B: 21.1
A
c) ¿Qué sucursal tiene mayor venta según su promedio? Sucursal
d) De acuerdo con la venta registrada y su media, ¿qué sucursal ha mostrado
mejor venta? Justifica tu respuesta. La A, pues el total y la media son mayores
e) ¿Cuál es la moda de cada sucursal? En A es 11 y en B es 10
f) ¿Cómo son estas modas con respecto a la media? Son mucho menores
g) Ordena los datos de menor a mayor de ambas sucursales: Sucursal A: 10, 11, 11, 23, 28, 34, 45. Sucursal B: 10, 10, 11,12, 26, 34, 45
A: 23. Sucursal B: 12
h) ¿Cuál es la mediana de cada sucursal? Sucursal
i) ¿Cuáles datos son más parecidos entre sí? La media y mediana de la sucursal A
j)
Analizando todas las medidas de tendencia central, ¿qué tienda presenta
mejor venta? La
sucursal A, pues presenta mayor media, mediana y moda.
P
ro
2. En otras dos sucursales de la cadena de discos se reportaron las siguientes
ventas en la misma semana.
Sucursal
Ventas
C
0, 21, 18, 33, 20, 14, 30
D
21, 20, 31, 30, 20, 80, 100
a) ¿Qué puedes concluir con base en lo analizado en las sucursales A y B, así
como de C y D? Argumenta tu respuesta. Ver solucionario
Sesión 2. Resuelves problemas que impliquen el análisis de las medidas
de tendencia central dados dos conjuntos de datos.
100
Secuencia didáctica 12
Sesión 3
Medidas de tendencia central y dispersión
en un conjunto de datos
Reúnete con un compañero y contesten.
1. En la imagen se muestran las temperaturas registradas en dos días de agosto.
Día 1
Día 2
Domingo, 5 de Agosto
n
Sábado, 4 de Agosto
14 ˚C
1:00
70%
1.4 mm
14 ˚C
4:00
13 ˚C
4:00
40%
0.8 mm
13 ˚C
7:00
12 ˚C
7:00
13 ˚C
10:00
15 ˚C
10:00
15 ˚C
13:00
19 ˚C
13:00
19 ˚C
16:00
20 ˚C
16:00
22 ˚C
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1:00
19:00
80%
0.5 mm
18 ˚C
19:00
60%
0.4 mm
18 ˚C
22:00
80%
2 mm
14 ˚C
22:00
70%
1 mm
15 ˚C
a) ¿Qué día hubo mayor temperatura y a qué hora? El día 2, a las 16:00
b) ¿Qué día y a qué hora se presentó la temperatura más baja? El
día 1 a las 7:00
c) ¿Cuál es el rango de temperaturas cada día? Día 1: 7°. Día 2: 9°
d) Calculen la temperatura promedio de cada día. Día 1: 15.6º; Día 2: 16.1º
e) Calculen la desviación media de cada día. Día
1: 2.5º; Día 2: 2.6º
f)
¿Qué tan alta o baja es la desviación media de cada día? Las dos son bajas
P
ro
g) ¿Cuál es la moda de la temperatura en cada día? Día 1: 14°. Día 2: 13°
h) ¿Qué tan alejadas están las modas con respecto a las medias obtenidas en cada
día? Están poco alejadas
i)
Ordenen los datos de menor a mayor de cada día. Día 1: 12º, 13º, 14º, 14º, 15º, 18º, 19º, 20º. Día 2: 13º, 13º, 14º, 15º, 15º, 18º, 19º, 22º
j)
¿Cuál es la mediana cada día? Día1: 14.5º; Día 2: 15º
k) ¿Qué tan alejadas están las medianas con respecto a sus medias? Están poco alejadas
• Corroboren o rectifiquen sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
101
2. Lean la información y completen los conceptos que han trabajado.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Las medidas de tendencia central o posición indican dónde se sitúa un dato dentro de
una distribución de datos.
Las medidas de dispersión indican si los datos en un conjunto están próximos entre sí
o están dispersos. Estas medidas de dispersión nos permiten apreciar la distancia que
existe entre los datos y un cierto valor central e identificar la concentración de estos en
cierto sector de la distribución, es decir, permiten estimar qué tan dispersas están dos
o más distribuciones de datos. Cuando una distribución de datos tiene poca dispersión o
variabilidad, se llama distribución homogénea y si su dispersión es alta, se dice que
es heterogénea.
n
Las medidas de tendencia central y dispersión
Analiza las siguientes situaciones y contesta.
1. Dos máquinas están calibradas para cortar trozos metálicos de 3 pulgadas con los
que se elaborarán tornillos. Se tomó una muestra de 8 trozos de cada máquina para
verificar la eficiencia de calibración y los resultados se registraron en la tabla.
Máquina A
3.1
3
3.2
3.3
3.1
3
3.2
3
Máquina B
3.4
3.3
3.1
3.5
3.1
3
3.2
3.1
a) ¿Qué máquina presenta mayor eficiencia? La
máquina A
máquina B
b) ¿En qué máquina se presenta mayor error de calibración? La
c) ¿Cuál es la media de la máquina A? 3.1
d) ¿Cuál es la media de la máquina B? 3.2
e) ¿Cuál es la desviación media de la máquina A? 0.1
f) ¿Cuál es la desviación media de la máquina B? 0.13
g) ¿Cuál es el rango en cada máquina? Máquina A: 0.3; Máquina B: 0.5
P
ro
h) ¿Qué tan disperso es el rango con respecto a la desviación media en la máquina A?
Es baja, de 0.2.
i) ¿Qué tan disperso es el rango con respecto a la desviación media en la máquina B?
Es alta, de 0.8.
En el sitio web www.esant.
mx/ecsema3-012 continúa
con el estudio de
la desviación media.
¿Cuál es la moda en cada máquina de esta empresa? Máquina A: 3. Máquina B: 3.1
k) Ordena los datos de menor a mayor para cada máquina: Máquina A: 3, 3, 3, 3.1,
3.1, 3.2, 3.2, 3.3; Máquina B: 3, 3.1, 3.1, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5
j)
¿Cuál es la mediana en cada máquina? Máquina A: 3.1; Máquina B: 3.15
m) ¿Qué máquina le conviene más a la empresa? La máquina A , ya que presenta
mayor eficiencia en todos los valores comparados.
l)
• Comprueba tus respuestas y procedimientos con el resto del grupo.
Sesión 3. Resuelves problemas que impliquen el análisis de las medidas de dispersión
dados dos conjuntos de datos e interpretas las medidas de tendencia central.
102
¿Cómo lo hicimos?
1. Marca la casilla que describa mejor tu desempeño. Conversa con tu profesor, tus compañeros y familiares
o tutores sobre los resultados que obtuviste. Pídeles que te platiquen qué opinan de tu nivel de logro. R. L.
4, 5 y 6
7y8
11 y 12
En proceso
Satisfactorio
Excelente
Identifico algunos
criterios de divisibilidad
entre 2, 3, 4, 5, 6 y 10,
pero me cuesta
aplicarlos en la
resolución de
problemas.
Uso los criterios de
divisibilidad en la
reso­lución de
problemas,
pero no identifico
completamente
los números primos.
Uso técnicas para
determinar el mcm
y el MCD.
Calculo el mcm y
el MCD mediante
técnicas personales.
Calculo el mcm y el
Resuelvo problemas
MCD mediante el uso
utilizando el mcm y
de los números primos. el MCD en diversos
contextos.
Formulo expresiones
de segundo grado
para representar
propiedades del
área de figuras
geométricas y verifico
la equivalencia de
expresiones, tanto
algebraica como
geométricamente.
Solamente puedo
establecer una
expresión algebraica
correspondiente
al área de algunas
figuras.
Establezco la
equivalencia
entre expresiones
algebraicas que
corresponden al área
de algunas figuras.
Determino la
equivalencia de
diversas expresiones
algebraicas que
corresponden al área
de polígonos regulares
y uso la jerarquía de
las operaciones.
Construyo polígonos
semejantes. Determino
y uso criterios
de semejanza
de triángulos.
Identifico algunas
características de las
figuras semejantes, pero
no logro determinar las
condiciones mínimas
para que dos triángulos
sean semejantes.
Identifico algunos
criterios para que
dos triángulos sean
semejantes y resuelvo
algunos problemas
aplicando esos criterios.
Resuelvo problemas
en los que se debe
aplicar la semejanza
de triángulos.
Puedo obtener la
media, la mediana,
la moda, el rango y la
desviación media de
un conjunto de datos,
pero me cuesta trabajo
resolver problemas
donde debo interpretar
esas medidas.
Puedo obtener la
media, la mediana, la
moda, el rango y la
desviación media de
dos conjuntos de datos,
pero me cuesta trabajo
resolver problemas
donde debo comparar
esas medidas.
Resuelvo problemas
que impliquen poner
en juego el significado
de las medidas de
dispersión de dos
conjuntos de datos
e interpretar las
medidas de tendencia
central.
P
ro
9 y 10
Determino y uso
los criterios de
divisibilidad y los
números primos.
Nivel de logro
Uso los criterios de
divisibilidad en la
resolución de
problemas, así como
en la identificación
de números primos
y de números
compuestos.
n
1, 2 y 3
Aprendizajes
esperados
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Secuencias
Comparo las medidas
de tendencia central
(media, mediana y
moda) y dispersión
(rango y desviación
media) de dos
conjuntos de datos.
X
103
• Reflexiona sobre tus resultados y consulta las siguientes estrategias para mejorar tu desempeño.
Si tus resultados están:
P
ro
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas.
R. L.
n
a) En proceso. Aún tienes aspectos que trabajar para alcanzar los conocimientos básicos. Para que aumentes
tu nivel de logro, te sugerimos revisar la sección "¿Qué estamos aprendiendo?" de la secuencia didáctica
correspondiente.
b) Satisfactorio. Has adquirido los conocimientos fundamentales, pero aún te falta autonomía en la resolución de problemas. Te recomendamos resolver las actividades de la sección "¿Qué aprendimos?".
c) Excelente. Cuentas con los conocimientos necesarios y suficientes para continuar con el estudio de los
contenidos del próximo trimestre.
3. Con base en lo que te dijo tu compañero y en tu propia evaluación, determina en qué aspectos necesitas mejorar
y, con apoyo de tu profesor, define qué estrategias debes llevar a cabo para fortalecer tus áreas de oportunidad.
R.
L.
PhotoAlto/Eric Audras / Gettyimages
104
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Trimestre
dos
P
ro
Ecuaciones cuadráticas,
teorema de Pitágoras, razones
trigonométricas...
n
En este trimestre profundizarás en el estudio del álgebra, que iniciaste
en primer grado. Ahora resolverás problemas que impliquen formular
ecuaciones cuadráticas y las solucionarás mediante el ensayo y error y el
método gráfico.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Interpretarás y analizarás gráficas que representan distintos tipos de
funciones y construirás gráficas a partir de datos dados en tablas.
Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones
y de las ecuaciones.
Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras para resolver
problemas. También lo demostrarás algebraica y geométricamente.
Formularás y usarás las razones trigonométricas seno, coseno y
tangente para resolver problemas.
Compararás las medidas de tendencia central (media, moda y mediana)
y dispersión (rango y desviación media) en dos conjuntos de datos.
En probabilidad, distinguirás eventos singulares de no singulares.
Calcularás la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.
P
ro
¡Te deseamos éxito en este
trimestre!
andresr / Getty
105
Secuencia
didáctica
didáctica 13
1
Sesión 1
106
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen la formulación de ecuaciones cuadráticas.
Formulación de ecuaciones cuadráticas
Haz lo que se pide.
1. Une con un segmento el enunciado con la expresión algebraica que lo representa.
(x) 1 (x 1 2)
m
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
La suma de dos números consecutivos
El cuadrado de un número
x
yyy
La mitad de un número
r2
3x
El triple de un número
w
2
Un número
(x 1 1) 1 (x 1 2)
• Compara tus respuestas con las de un compañero y argumenten cómo las obtuvieron. Si
tienen diferencias, lleguen a acuerdos. Luego respondan.
2. ¿Qué deben considerar para pasar del lenguaje común al lenguaje algebraico?
R. M. Las operaciones que se indican, la cantidad de incógnitas distintas que hay y
la relación que existe entre ellas.
P
ro
3. Identifica el valor que debe tomar la literal en cada ecuación para que se cumpla la
igualdad.
Ecuación
x + (x 1 5) 5 101
x23
= 90
2
5x 2 4x 5 180
Posibles valores
183
180
48
a) Sustituye el valor en la ecuación que corresponda. ¿Qué debe ocurrir para verificar que el valor seleccionado es correcto? La
igualdad se debe de cumplir.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
107
Formulación de ecuaciones cuadráticas I
En parejas, analicen y hagan lo que se pide.
1. Escriban la ecuación que representa cada situación.
Ecuación: x 2 5 121
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
121
n
a) El área de un terreno cuadrado de lado x es igua a 121 m2.
x
b) La pieza de un rompecabezas está dividida en cuadrados cuyos lados miden w.
Si el área total de la figura es de 144 cm2, ¿cuál es la medida de w?
w
2
Ecuación: y 5 4w
c) La distancia que recorre una pelota al caer es directamente proporcional al
cuadrado del tiempo transcurrido desde que se deja caer, a una altura de 40 m.
¿Cuál es la distancia recorrida después de 1 y 2 segundos? 4.9 m y 19.6 m
•
2
¿Con qué ecuación se representa? h 5 gt , donde g 5 9.8 m2 representa la gravedad
2
s
d) El triple de un número al cuadrado es igual a 1 296. ¿Qué ecuación representa la
2
situación? 1 296 5 3x
P
ro
• De manera grupal, comparen sus ecuaciones. Elijan a cuatro compañeros para exponerlas
y argumentarlas; uno por cada inciso.
Ecuación cuadrática
La ecuación cuadrática (o de segundo grado) con todos sus elementos se escribe:
Ax2 1 Bx 1 C 5 0
El término cuadrático es aquel que tiene el exponente elevado a la segunda potencia (2),
con coeficiente (A), que puede ser un número positivo o negativo, pero distinto de cero.
Sesión 1. Formulas ecuaciones cuadráticas.
108
Secuencia didáctica 13
Sesión 2
Formulación de ecuaciones cuadráticas II
Analiza y haz lo que se pide.
1. Determina si en cada situación se formuló adecuadamente la ecuación. Argumenta
tus respuestas y corrige si lo consideras necesario.
Ecuación planteada que ¿Es correcta la ecuación?
representa la situación ¿Por qué?
Un número más 8 es igual al
doble del cuadrado de otro
número.
w 5 w2 1 5
No es correcta porque al
inicio se omitió “el cuadrado
de un número”, además
no se escribieron números
diferentes.
x2 5 w2 1 5
2x2 1 8 5 y
No es correcta porque
+8 no está en el lugar
adecuado.
x 1 85 2y2
T 5 200m2 1 400
No es correcta porque
los metros cuadrados no
representan una incógnita
al cuadrado.
T 5 200m 1 400
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
El cuadrado de un número
es igual al cuadrado de otro
número más 5.
Ecuación correcta
n
Situación
Un terreno se vende en
$200 el metro cuadrado y
se cobran $400 por gastos
administrativos. ¿Con qué
ecuación se representa
el precio para cualquier
cantidad de metros
cuadrados comprados?
• Compara tus respuestas y argumentos con los de otro compañero. Observen si escribieron
las mismas ecuaciones o si anotaron ecuaciones equivalentes.
P
ro
2. Juntos lean la siguiente información.
Ecuación Ax2 1 C 5 0
La ecuación Ax2 1 C 5 0 también representa una ecuación cuadrática o de segundo
grado, ya que tiene el término cuadrático.
El coeficiente (A) y el término independiente (C) pueden ser números positivos o
negativos, pero distintos de cero.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
109
Trabajen en parejas.
R. M. Cuál es el área de la tapa de
muro formado por tres cuadrados de
un contenedor con forma de prisma
longitud x unidos por 2 rectángulos,
cuadrangular, de x cm de longitud si
de un metro cuadrado
se le deben quitar 1 cm2 para colocar
de área cada uno.
un popote.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
R. M. Calcula el área que ocupa un
n
3. Escriban en cada recuadro un problema que se represente con una ecuación del
tipo Ax2 1 C 5 0. Debajo de cada uno, escriban la ecuación.
Ecuación:
Área5 3x2 1 2
Ecuación:
Área5 x2 2 1
4. Compartan con otra pareja los problemas que escribieron, sin que les muestren
sus ecuaciones. La otra pareja deberá anotar los dos problemas y encontrar las
ecuaciones respectivas.
Problema 1: R. L.
Ecuación:
P
ro
Problema 2: R. L.
Ecuación:
• Cuando hayan terminado de escribir las ecuaciones de todos los problemas, verifiquen,
entre ambas parejas, que sus ecuaciones representen correctamente los problemas. Si
son diferentes, revisen si hay equivalencias entre ellas y lleguen a acuerdos.
Sesión 2. Formulas ecuaciones cuadráticas del tipo AX2 + C = 0.
110
Secuencia didáctica 13
Sesión 3
Formulación de ecuaciones cuadráticas III
Haz lo que se pide.
1. Analiza las figuras y responde.
n
a) El área del cuadrado es de 5 942 m2.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
¿Con qué expresión algebraica representas
el área del cuadrado? b2 5 5 942 m2
b
b) Un rectángulo tiene un área total de 2 025 m2 y está formado con la
composición que se muestra.
350x
12.5x
¿Cuál ecuación representa su área? 2
x + 31x 2162 5 0
x13
c) El triángulo más grande tiene un área de 250 m2. ¿Cuál ecuación representa
su área?
P
ro
20x
250
5 20x (20x 1 8) 5 200x2 1 80x
2
8
• Compara tus respuestas con las del resto del grupo. Argumenten cómo las obtuvieron y
verifiquen si las ecuaciones que escribieron son equivalentes.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
111
¿Cómo vamos?
Trabajen en parejas.
1. Planteen situaciones o hagan un esquema que represente cada una de las
ecuaciones dadas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Situación o esquema
R. M. ¿Cuánto mide el área total del cuadrado?
n
a) 460 5 b2 1 64
32 28
4
b
b) 96 5 16p2
Situación o esquema
R. M. Calcula la cantidad de pintura necesaria
para pintar la parte exterior de una caja cuadrada
sin considerar sus tapas, si cada cara tiene un área de 4p.
c) w2 2 81 5 1 064
P
ro
Situación o esquema
Calcula el área anaranjada (v) del cuadrado que se muestra.
w
3
9
27
2
• Elijan a cinco compañeros para que compartan sus planteamientos. Entre todos
corroboren si representaron adecuadamente las ecuaciones planteadas. Lleguen a
conclusiones generales. Revisen sus resultados con ayuda de su profesor.
Sesión 3. Formulas ecuaciones cuadráticas de segundo grado.
112
Secuencia didáctica 13
Sesión 4
Ecuaciones cuadráticas incompletas
Resuelvan en parejas.
1. Analicen cada figura y escriban una ecuación que represente el cálculo de su área
(A) o volumen (V). Luego escriban un problema que se relacione con esa ecuación.
a) Consideren p 5 3.14.
n
Área: 64 m2
Ecuación: pr2 = 64
Problema: R. M. Se desea calcular la
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
r
cantidad de plástico necesaria para
elaborar un portavasos circular de radio r.
¿Cuánto plástico se necesita?
b) Área: 300 m2
Ecuación: 5x (x 1 10) = 300
Problema: R. M. ¿Cómo se expresa el área
5x
que ocupa una región formada por un
rectángulo cuyo ancho mide 5x y tiene
base igual a (x 1 10)?
x 1 10
c) Área: 480 m2
Ecuación: 5 (2x)2 = 480
M. Encuentra el volumen de
Problema: R.
un paquete de galletas, que tiene de base
2x y altura, 5 unidades.
5
P
ro
2x
d) Área: 1 500 m2
Ecuación: (x 1 5) (x 2 5) = 1 500
Problema: R. M. Calcula la cantidad de
material que se necesita, para cortar una
(x 2 5)
(x 1 5)
lámina en forma de paralelogramo que
funcionará como parasol de una ventana.
• Compartan con el resto del grupo los problemas que escribieron y verifiquen que las
ecuaciones los representan.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
113
2. Planteen la ecuación en cada caso.
a) La altura de un cilindro es de 12 unidades y tiene un volumen de 150 unidades
cúbicas. ¿Con qué expresión es posible representar su volumen? Consideren p 5 3.14.
Volumen 5 12(3.14r2) 5 150
12
n
r
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b) Analicen el arreglo geométrico.
5
3w
i.
Escriban tres expresiones equivalentes que representen el área.
A 5 4(9w2)1 5 1 5 1 5
A 5 4(3w)2 1 15
A 5 36w2 1 15
c) El doble del cuadrado de un número más 25 es igual a 363. ¿Con qué ecuación
es posible calcular el valor del número?
En el sitio web www.esant.
mx/ecsema3-013 podrás
ver un video sobre la
historia y aplicación de
las ecuaciones.
2x2 1 25 5 363
P
ro
d) Comparen sus ecuaciones y argumentos con los del resto del grupo. Entre todos
completen el esquema y elaboren un resumen donde describan el significado o
lo que representa cada elemento de las ecuaciones.
Término
dependiente de x
Coeficiente
Exponente
Término
independiente
0 = ax2 + c
Relación entre
las variables
Incógnita
• Elijan a cinco compañeros que lean su resumen y entre todos compleméntenlo.
Sesión 4. Formulas ecuaciones cuadráticas incompletas.
114
Secuencia
didáctica 14
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen la formulación de ecuaciones cuadráticas.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
incompletas, por ensayo y error
Analiza la situación y haz lo que se pide.
1. El triple del cuadrado de un número es igual a 2 352.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Plantea la ecuación que representa el enunciado.
3x2 5 2352
b) Piensa en un número y sustitúyelo en la incógnita. Haz las operaciones.
R. M. 3( 4 )2 5 2352
48 5 2352
c) ¿Qué tan alejada está tu respuesta de la igualdad que representa la ecuación?
R. L.
d) Elige un número que te acerque más a la respuesta o que consideres que dará
la respuesta exacta y sustitúyelo en la ecuación original.
En las sesiones grupales,
presta atención a
los procedimientos y
resultados que obtuvieron
tus compañeros. Analiza sus
estrategias y valora cuáles
pueden enriquecer las tuyas.
R. M. 3( 20)2 5 2352
P
ro
e) ¿Cuántos intentos realizaste antes de encontrar el número que cumple con la
igualdad? R.
L.
Divide entre 3 la ecuación 3x2 = 2352. ¿Qué ecuación obtienes?
x2 5 784
g) ¿Es más eficiente este procedimiento para encontrar la respuesta? Argumenta
tu respuesta. R. M. Sí, pues se evita multiplicar por 3 el resultado de x2.
f)
• De manera grupal compartan sus ecuaciones y los pasos que emplearon para encontrar
la respuesta. Posteriormente comenten si la simplificación de la ecuación les permitiría
ahorrarse pasos o intentos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
115
Ensayo y error
Trabajen en parejas.
1. El esquema representa la superficie de tres parcelas y el área que ocupa la tapa de
un depósito de agua, que en total tienen una superficie de 49 200 m2. La ecuación
que representa la situación es 3(4x)2 1 48 5 49 200.
n
Elijan un camino y evalúen los diferentes valores hasta encontrar el valor
correcto de x. R. L.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
48 m2
4x
x 5 30
x 5 10
x55
x57
x 5 15
x59
x 5 12
x 5 35
x 5 25
x 5 23
x 5 32
x 5 38
x 5 otro
a) ¿A qué resultado los llevó la ruta que eligieron? R.
L.
b) ¿Se dieron cuenta, antes de llegar al final de la ruta, que debían haber elegido
otra? ¿A qué se debió esto? R. M. Sí, porque los valores resultantes se alejaban de 49 200.
P
ro
c) ¿Cuál es el valor correcto de x? x 5 32
Método de “ensayo y error”
Este método es muy útil en la resolución de problemas. Consiste en elegir un valor
posible de solución e imponerlo a las condiciones del problema, probar si es correcto
o se ajusta a las condiciones de solución. Si el resultado no es el esperado, se usa otra
alternativa y se repite el procedimiento tantas veces como se necesite hasta encontrar
la respuesta correcta o alcanzar el objetivo deseado.
• De manera grupal, sugieran en qué casos conviene el uso de este método.
Sesión 1. Resuelves ecuaciones cuadráticas incompletas, por ensayo y error.
116
Secuencia didáctica 14
Sesión 2
Aplicación del método de ensayo y error
En parejas realicen lo que se solicita.
1. Al sumar dos números enteros, el resultado es cero y los mismos números multiplicados dan como resultado 216. ¿Cuáles son esos números?
a) Completen las tablas.
Suma
1er. número 2o. número
Producto
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1er. número 2o. número
Números que multiplicados dan 216
n
Números que sumados dan cero
R. M.
2
22
0
22
8
216
R. M.
3
23
0
2
28
216
R. M.
4
24
0
4
24
216
R. M.
8
28
0
1
216
216
R. M. 26
6
0
16
21
216
b) ¿Qué pareja de números cumple con ambas condiciones? 4 y 24
de los números
c) ¿Qué tabla es recomendable completar primero? ¿Por qué? La
multiplicados, porque la respuesta de números sumados es infinita; en cambio
la de multiplicación tiene un número finito dentro del conjunto de los enteros.
• Con el método que consideren pertinente, verifiquen sus respuestas.
2. Planteen el sistema de ecuaciones del punto 1.
P
ro
x2y50
xy 5 216
a) Escriban el sistema de ecuaciones como una sola ecuación. x2 5 16 o x2 2 16 5 0
b) ¿Qué tipo de ecuación resultó al combinar los sistemas? Una cuadrática de la forma ax2 5 y
c) Verifiquen el sistema de ecuaciones que plantearon y la ecuación de la indicación anterior. ¿Qué observan? R. L.
• De manera grupal, compartan sus resultados, estrategias de solución y observaciones.
Entre todos elaboren una lista de los aspectos clave para resolver un problema. Usen el
método de ensayo y error.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
117
¿Cómo vamos?
Resuelve por el método de ensayo y error.
1. Se desea colocar losetas dentro de una zona cuadrada, que tiene de área
441 m2. ¿Cuánto debe medir cada lado de la loseta?
n
Loseta
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
x
a) ¿Cuánto mide el área de cada loseta? x 2
b) ¿Cuántas losetas debe haber en la zona cuadrada? 9
2
c) ¿Cómo se expresa el área de todas las losetas? 9x
2
d) ¿Qué ecuación representa el problema? 9x 5 441
e) Si suponemos que cada lado de la loseta mide 2 m, ¿cuánto medirá el área
2
de todas las losetas juntas? 2
3 2 3 9 5 36 m
f)
¿La respuesta anterior coincide con el área total? No
• Aunque puedes resolver los problemas sin plantear una ecuación, te invitamos a
que la escribas, ya que la destreza que desarrolles te servirá posteriormente para
determinar la ecuación de diversos problemas y solucionarlos.
2. Completa la tabla para encontrar la medida del lado de las losetas que cumplan
con lo planteado en la actividad anterior.
Área total del cuadrado mayor
4
144
6
324
8
576
10
900
Otra ( 7 )
441
P
ro
Lado del cuadrado pequeño
a) ¿Cuánto debe medir de lado cada loseta? 7 m
• De manera grupal corroboren o rectifiquen sus respuestas y sus razonamientos en
torno a este problema. Revisen sus resultados con ayuda del profesor.
Sesión 2. Resuelves ecuaciones cuadráticas incompletas aplicando el método
por ensayo y error.
118
Secuencia didáctica 14
Sesión 3
Gráfica de ecuaciones cuadráticas I
Haz lo que se pide.
1. Una persona se encuentra en el fondo de un barranco y, para pedir ayuda, envuelve
un mensaje en una chamarra y lo lanza hacia arriba. Toma en cuenta lo siguiente:
cada “sombra” representa la altura que alcanzó la chamarra en cada segundo.
Altura (m)
Distancia (m)
–2
–1
1
2
b) Aproximadamente, ¿cuántos metros recorre la
chamarra en el primer segundo? 2.8 m
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
–3
n
a) Aproximadamente, ¿cuánto mide la persona? 1.8 m
1
0
c) ¿Cuántos metros recorre la chamarra en el segundo 6?
–1
–2
1
5.8 m
d) Registra en la tabla la posición de la chamarra con
respecto a los segundos que transcurren.
Tiempo (s)
Altura (m)
2.8
4
1
–3
2
1
–4
–5
–6
3
5
4
5.8
5
6.2
6
5.8
7
5
8
4
9
2.8
e) Ubica los puntos de la tabla en el plano cartesiano y únelos.
Altura (m)
6
5
P
ro
4
3
2
1
0
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21
21
22
23
24
25
26
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo (s)
• Compara tu gráfica con la de otro compañero. Luego describan la gráfica resultante.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
119
2. A partir de las ecuaciones, determina los valores de x en cada caso y después ubica
en cada gráfica el par ordenado que se obtiene.
y
(3, 9)
(23, 9)
8
6
2
(21, 1)
25
24 23
22
22
(1, 1)
1
29 5 2x2 x 5 3; x 5 23
24 5 2x2 x 5 2; x 5 22
21 5 2x2 x 5 1; x 5 21
x
2
3
4
5
(1, 21)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
(21, (21)
21
0
Ecuaciones:
(2, 4)
4
n
(22, 4)
(22, 24)
9 5 x2
4 5 x2
1 5 x2
(2,24)
24
26
(23, 29)
28
x 5 3; x 5 3
x 5 2; x 5 22
x 5 1; x 5 21
(3, 29)
a) ¿Qué gráfica se acerca más a la representación de la posición de la chamarra de
la actividad anterior? La gráfica y 5 2x2
¿Cómo vamos?
1. Responde esta actividad en tu cuaderno. El doble del cuadrado de tres números
es igual a 2, 8 y 18, respectivamente. ¿Cuáles son esos números?
a) Escribe la ecuación que representa el problema para cada número.
b) Analiza la siguiente gráfica.2x2 = 2; 2x2 = 8; 2x2 = 18
y
12
10
8
6
4
P
ro
2
23 22.5 22 21.5 21
20.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
c) En la gráfica, ¿qué representan los valores obtenidos en cada ecuación del
inciso a? Las posibles soluciones del problema
d) A partir de la gráfica, ¿cuál es el valor de x en cada ecuación? 1, –1, 2, –2, 3, –3
e) ¿Los valores positivos de x son los únicos que cumplen con cada ecuación?
Argumenta por qué. No, también existen valores negativos.
• Compara tus respuestas y argumentos con los del resto del grupo.
Sesión 3. Resuelves ecuaciones cuadráticas incompletas por el método gráfico.
120
Secuencia didáctica 14
Sesión 4
Gráficas de ecuaciones cuadráticas II
Haz lo que se pide.
1. Plantea la ecuación que representa la situación siguiente.
La cuarta parte del cuadrado de un número es igual a 16. ¿Cuál es ese número?
2
a) Escribe la ecuación que la representa. x4 5 16
b) Analiza la gráfica.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
y
•D
16
14
12
10
8
6
•C
4
2
A
P
ro
28
26
24
22
•
0
•B
2
4
6
8
c) ¿Cuál de los puntos que se muestran en la gráfica corresponde a la ecuación?
¿Por qué? El punto D, porque es el punto donde se cumple la igualdad.
d) ¿Qué relación hay entre las coordenadas del punto y la ecuación? Son soluciones de la ecuación.
e) A partir de las coordenadas de los puntos B y C, ¿se puede obtener la ecuación
correspondiente a cada uno? Si es así, ¿cuáles son las ecuaciones? Sí
x2 5 1 y C: x2 5 4
B:
4
4
• Compara tus resultados con los de otro compañero y lleguen a acuerdos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
x
121
Trabajen en parejas.
2. Analicen las situaciones y contesten en su cuaderno.
El triple del cuadrado de un número es 27. ¿Qué ecuación representa
el problema? 3x2 5 27
II. El cuadrado de un número menos tres veces el número es 4. ¿Qué ecuación
representa el problema? x2 2 3x 5 4
III. El triple de un número al cuadrado más tres veces el mismo número es 6. ¿Qué
ecuación representa el problema? 3x2 + 3x 5 6
n
I.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) Cada ecuación que han escrito se relaciona con una de las siguientes gráficas.
Escriban la ecuación debajo de cada gráfica.
Gráfica A
24
22
Gráfica C
Gráfica B
y
y
y
36
36
36
32
32
32
28
28
28
24
24
24
20
20
20
16
16
16
12
12
12
8
8
8
4
4
4
0
2
4
6
x
24 23 22 21
1
2
3
4x
23 22 21
24
24
La gráfica se asocia con la
ecuación: x22 3x 5 4
0
0
1
2
3
x
24
La gráfica se asocia con la
2
ecuación: 3x + 3x 5 6
La gráfica se asocia con la
2
ecuación: 3x 5 27
b) En cada gráfica tracen una recta paralela al eje x conforme a lo siguiente:
Que pase por el punto (0, 4) de la gráfica A.
Que pase por el punto (0, 6) de la gráfica B.
Que pase por el punto (0, 27) de la gráfica C.
P
ro
•
•
•
c) En cada gráfica, ubiquen los puntos que intersecan la recta que han trazado y la
curva. Escriban cada par ordenado. Ver solucionario
d) Sustituyan el valor de la coordenada del eje x en la ecuación de la gráfica A y
resuélvanla. ¿Se cumple la igualdad? ¿Encuentran alguna relación entre las
coordenadas ubicadas y la ecuación? Argumenten sus respuestas. Ver solucionario
e) Con base en las respuestas del inciso anterior, ¿consideran que para las
otras gráficas también existe una relación entre la ecuación respectiva y las
coordenadas donde se intersecan cada recta y la curva? Argumenten.
Ver solucionario
• Comenten sus respuestas y argumentos con el resto del grupo y lleguen a acuerdos.
Interactúa en el sitio
web www.esant.mx/
ecsema3-014. En él podrás
observar cómo cambia
la forma de la gráfica
que corresponde a una
ecuación cuadrática.
Sesión 4. Resuelve ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.
122
Secuencia didáctica 14
Sesión 5
Representación gráfica
Trabajen en equipos.
1. Lean la siguiente información.
Ecuaciones cuadráticas y su relación con las gráficas
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Las ecuaciones cuadráticas, igual que las ecuaciones de primer grado, cumplen con
una igualdad. Por ello, una ecuación de segundo grado puede estar relacionada
con una gráfica.
y
Dado que la ecuación cuadrática debe
cumplir con una igualdad, entonces
es un caso particular de una gráfica.
Por ejemplo, la ecuación 5x2 5 5 está
asociada con la gráfica que se muestra.
21
20
18
El punto A de la gráfica corresponde a la
ecuación, ya que el valor de x = 1, elevado
al cuadrado y multiplicado por 5, da
como resultado 5.
17
16
15
14
El punto B también es un caso particular
de la gráfica y la ecuación que cumple
esa condición es 5x2 5 20.
13
12
11
Las ecuaciones que cumplen la condición
particular de los puntos A y B tienen en
común el término cuadrático y lo que
cambia es el resultado de la igualdad.
10
Otra característica de las ecuaciones
cuadráticas es que pueden tener dos
valores que cumplan la igualdad y,
por tanto, dos puntos en la gráfica. Por
ejemplo, para la ecuación 5x2 5 5, el
punto de coordenadas (—1, 5) también
cumple la igualdad; mientras que para
la ecuación 5x2 5 20, el punto (—2, 20)
también cumple la igualdad.
6
P
ro
B (2, 20)
19
9
8
7
5
A (1, 5)
4
3
2
1
22
21
0
1
2
3
x
2. Analicen la información anterior, verifiquen si las ecuaciones trabajadas en la
secuencia didáctica cumplen con las condiciones establecidas.
• Externen sus dudas y comentarios. Si lo consideran conveniente, pidan ayuda a su profesor.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
123
Trabajen en parejas.
1. Asocien cada problema con su ecuación. Determinen con cuál gráfica se relaciona
cada uno y ubiquen en ella el punto que le corresponde.
I.
Ecuación A:
x2 2 50x 5 600
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos
es 61. ¿Cuál ecuación representa el problema?
Ecuación B:
x2 1 (x 1 1)2 5 61
III. Un terreno rectangular tiene 600 m2 de área y 100 m de
perímetro. ¿Cuál ecuación representa el problema?
Ecuación C:
x2 1 6x 5 90
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
II. El área de un rectángulo mide 90 cm2 y de largo mide
6 cm más que de ancho. ¿Cuál ecuación representa el
problema?
a) ¿Con cuál de las gráficas que se muestran se puede relacionar cada problema
y el punto que corresponde a la ecuación?
y
y
210
190
170
150
130
110
90
70
50
P
ro
10
0
160
2 600
150
2 400
140
2 200
130
2 000
120
1 800
110
1 600
100
1 400
90
1 200
80
1 000
70
800
60
600
50
400
40
200
30
30
212 28 24
y
4
8
Problema: II
2
Ecuación: x + 6x 590
Argumento: R. L.
12
16 x
0
20
2200
10
2400
0
28 26 24 22
220
2
4
Problema: I
2
2
Ecuación: x + (x + 1) 5 61
Argumento: R. L.
6
8
x
20
40
60
80 x
2600
Problema: III
2
Ecuación: x 250x 5 600
Argumento: R. L.
• Comparen sus respuestas con las de otras parejas y lleguen a conclusiones generales.
Sesión 5. Resuelves ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.
124
Secuencia
didáctica 15
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones
tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen comparar diversos tipos de funciones como el llenado de recipientes,
trayectos u otras.
Interpretar funciones de llenado
de recipientes
Analiza la situación y contesta.
n
1. Una empresa tiene dos contenedores industriales de diferentes tamaños, como los
que se muestran, y se llenan vertiendo agua a razón de 100 litros por hora. ¿Qué
gráfica corresponde a la cantidad de líquido que hay en cada contenedor según el
tiempo de llenado?
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) Relaciona con una línea la gráfica que corresponde a cada contenedor.
A
B
Capacidad (L)
0
1
2
3
4
Capacidad (L)
5
6
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (h)
Tiempo (h)
b) ¿Qué diferencias hay entre los contenedores? El B es más ancho que el A.
c) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el contenedor A? 2 horas
d) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el contenedor B? 6 horas
P
ro
e) ¿Qué capacidad tiene el contenedor A?
200 L
¿Y el B?
600 L
f) ¿Cómo determinaste la capacidad de los contenedores? R. M. Por la altura a la
que llega la recta en cada gráfica g) Tomando en cuenta el tiempo de llenado, ¿cuántos contenedores pequeños (A)
se necesitarán para llenar un contenedor grande (B)? 3
h) Considerando las gráficas, ¿qué expresión algebraica modela el llenado de los
contenedores? y 5 100x
i)
¿Qué tipo de variación es la que describe el llenado de los contenedores? Variación lineal
• Comprueba tus respuestas con otro compañero y compartan sus argumentos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
125
Llenado de recipientes
En parejas, analicen y contesten.
1. Las imágenes muestran la forma de un cucurucho y la de un vaso. Al inicio ambos
están vacíos. Un despachador de agua los llena a razón de 60 mililitros por
segundo.
n
a) Relacionen con una línea la gráfica que muestra cómo cambia la altura del nivel
del agua en cada recipiente al transcurrir el tiempo de llenado.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Altura
Altura
Tiempo (s)
cucurucho.
Hoja de papel arrollado en
forma cónica, empleado
para contener agua, dulces,
confites, etcétera.
Tiempo (s)
b) ¿Cómo es el llenado al principio y al final en el cucurucho? Rápido y después lento
P
ro
c) En el vaso, ¿cómo es el llenado en cada parte: al principio, a la mitad y al final?
Lento, rápido y lento
Altura
d) Consideren el vaso que
se muestra. A partir del
análisis de las gráficas
anteriores, tracen la
gráfica de esta situación
si el vaso se llenara.
Agreguen las unidades
en cada eje.
Tiempo
e) Describan el razonamiento que usaron para realizar la gráfica. R.
M. La gráfica
representa
la forma cómo cambia la altura del nivel de agua al transcurrir
el tiempo de llenado.
• Comparen sus respuestas con las de otra pareja. Argumenten cómo las obtuvieron.
Sesión 1. Interpretas cualitativamente diferentes tipos de funciones
a través de su representación gráfica (llenado de recipientes).
126
Secuencia didáctica 15
Sesión 2
Interpretación cualitativa de trayectos
y movimientos
En parejas, analicen las gráficas y contesten.
1. Las gráficas describen la distancia que recorren dos automovilistas y el tiempo que
tardan en terminar el recorrido.
Distancia (km)
Distancia (km)
B
700
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
700
n
800
800
A
600
600
500
500
400
400
300
300
200
200
100
100
0
1
2
3
4
Tiempo (h)
0
1
2
3
4
Tiempo (h)
a) ¿Qué representan los puntos en cada gráfica? La posición de los automóviles en
determinado tiempo.
b) ¿Cómo se muestra en la gráfica que los automovilistas permanecen en un lugar?
Con una recta horizontal, pues con respecto a la distancia no hay cambio, pero
con respecto al tiempo sí.
c) ¿Cómo interpretan cada punto de la gráfica A? Que en algún momento el
automóvil se detuvo.
d) ¿Cómo interpretan cada punto de la gráfica B? Que viajó a velocidad constante
P
ro
e) ¿En qué momento del recorrido avanzaron más rápidamente? El A, de la hora 3 a la 4, pues recorrió 300 km en una hora. El B mantuvo la
misma velocidad en todo el recorrido.
f)
¿A qué rapidez va el automovilista A cuando va de un punto a otro? ¿Y el
automovilista B? El B a 200 km por hora. El A alcanzó 3 velocidades: 200 km
por hora, 100 km por hora y 300 km por hora.
g) Si ambos automovilistas comenzaron su recorrido a la misma hora y terminaron
4 horas después, ¿por qué recorrieron distintas distancias? Porque uno se detuvo.
• Comparen sus respuestas y argumentos con los de sus compañeros de grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
127
2. Una aplicación proporciona a los usuarios información en tiempo real sobre el
tránsito de su ciudad. La aplicación muestra en distintos colores la carga de tránsito:
verde (ligera), anaranjado (moderada) y rojo (alta).
Observen las gráficas que muestran el desplazamiento de dos automóviles en
distintas zonas de la ciudad y respondan.
Rapidez (km/h)
A
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
70
60
50
B
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
Desplazamiento (km)
a) Del desplazamiento de 0 a 1, ¿es posible determinar qué automóvil va a mayor
P
ro
rapidez? Si es así, ¿a qué rapidez va ese automóvil? Sí. El A, va a 40 km/h.
b) Del desplazamiento de 2 a 3, ¿qué interpretan sobre la rapidez de cada
el automóvil A va a mayor velocidad.
automóvil? Que
c) ¿Cuál de los dos automóviles realizó un mayor desplazamiento? El A
d) ¿Podrían inferir por qué un automóvil iba más rápido que el otro? Expliquen.
R. M. Por la carga de tránsito en la zona donde se encuentra cada automóvil.
• Comparen sus respuestas y argumentos con los del resto del grupo. Lleguen a
conclusiones generales.
Sesión 2. Interpretas cualitativamente diferentes tipos de funciones
a través de su representación gráfica (de movimientos, trayectos, etc.).
Secuencia didáctica 15
128
Sesión 3
Representación gráfica
Trabajen en parejas.
1. Una empresa quiere conocer el consumo de gasolina de las flotillas de automóviles
que adquirió. En las gráficas se muestra el consumo de gasolina de cada automóvil,
de cada flotilla, durante una semana.
Flotilla B
22
20
18
16
14
n
Consumo de gasolina (L)
22
20
18
16
14
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Consumo de gasolina (L)
Flotilla A
12
10
8
6
4
2
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (días)
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (días)
a) ¿Cuántos litros de gasolina consume a la semana un automóvil de la flotilla A?
65 litros
b) ¿Cuántos litros de gasolina consume a la semana un automóvil de la flotilla B?
63 litros
2. Consideren que un mes tiene cuatro semanas. Tracen, en el mismo plano, la gráfica
que represente el consumo de gasolina por mes, de cada flotilla y contesten.
0
a) En un mes, ¿cuánta gasolina se habrá ahorrado la
empresa con el automóvil que gasta menos? 8 litros
b) ¿Cuánta gasolina se ahorrará en un año?
96 litros
P
ro
Consumo de gasolina (L)
Consumo de gasolina
6 000
5 750
5 500
5 250
5 000
4 750
4 500
4 250
4 000
3 750
3 500
3 250
3 000
2 750
2 500
2 250
2 000
1 750
1 500
1 250
1 000
750
500
250
Flotilla A
c) ¿En cuánto tiempo se habrá ahorrado 60 litros de
gasolina? En 8 meses
Flotilla B
d) ¿En qué tiempo se habrá ahorrado 228 litros de
gasolina? En dos años y medio aproximadamente
e) ¿Cuál flotilla le conviene más? La B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mes
• Comparen sus respuestas, gráficas y argumentos con los de otra pareja.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
129
3. Lean la siguiente información.
Tabla de variación
Una tabla de variación es un arreglo de datos organizado en renglones y columnas que
facilita identificar la relación que hay entre conjuntos de cantidades.
Entra en el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-015, donde
encontrarás problemas de
llenado de recipientes y la
gráfica que los representa.
n
En parejas analicen la siguiente situación.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1. Si les dieran a elegir uno de los siguientes premios, ¿por cuál optarían?
Premio 1: Recibir $500 cada día durante 13 días.
Premio 2: Recibir $1 el primer día; el día 2 recibir el doble del primer día; el día 3
recibir el doble del segundo día y así sucesivamente, recibir cada día el doble del día
anterior durante 13 días.
a) Completen las tablas con las cantidades que se recibirán cada día, de acuerdo
con lo que ofrece cada premio.
Día
Premio 1 ($)
Día
Premio 2 ($)
1
2
3
4
5
6
500
500
1
2
3
4
5
6
1
2
4
$8
$16
$32
7
8
9
7
8
9
12
13
10
11
12
13
$64 $128 $256 $512 $1 024$2 048$4 096
Cantidad a recibir cada día por premio
c) Si ahorran lo que reciben cada día, ¿cuánto tendrán
$7 000
$6 500
acumulado el cuarto día del premio 1? $2
000
$6 000
$5 500
d) ¿Cuánto dinero recibirían el día 4 si eligieran el premio 2?
$8
e) Si ahorran lo que reciben cada día, ¿cuánto tendrán
acumulado el cuarto día del premio 2? $15
P
ro
11
500 $500 $500 $500 $500 $500 $500 $500 $500 $500 $500
b) ¿Cuánto dinero recibirían el día 4, si eligieran el premio 1?
$500
f)
10
Después de completar las tablas, ¿elegirían el mismo
premio que seleccionaron anteriormente? Argumenten
su respuesta. R. L.
g) Grafiquen las cantidades que recibirán al final de los
trece días, por cada premio, y corroboren su respuesta.
Anoten en la gráfica las variables y unidades que
corresponden a cada eje.
$5 000
$4 500
$4 000
$3 500
$3 000
Premio 1
$2 500
$2 000
$1 500
$1 000
Premio 2
$500
0
1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Día
• Comparen con el grupo sus respuestas, sus argumentos y su gráfica de la situación anterior.
Sesión 3. Interpretas cualitativamente diferentes tipos de funciones a través de su representación gráfica.
130
Secuencia
didáctica 16
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen comparar diversos tipos de funciones “sin fórmula”, escalonadas u otras.
Diversos tipos de funciones “sin fórmula“
Analiza la situación, observa la imagen y contesta.
1. Un servicio de taxi cobra $8.74 por abordar el automóvil (“banderazo”) más $1.07
por cada 250 metros o 45 segundos.
TARIFA
VACANTE
TARIFA
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
TAXIMETRO
TARIFA
CONTRATADO
METRO
TIEMPO
ESTADÍSTICAS
Considera que no hay tránsito en la ruta y el taxi avanza sin detenerse.
a) ¿Qué cantidad marcará el taxímetro si el recorrido total es de 2 kilómetros?
Argumenta tu respuesta. $17.3. Se deben sumar la tarifa por abordar más el
costo de recorrer 2 kilómetros: 8.75 1 (8 3 1.07)
taxímetro. Aparato que marca
automáticamente la distancia
recorrida y la cantidad que se
paga por el servicio de taxi.
b) ¿Y si la ruta es de 2.19 km? Argumenta tu respuesta. $17.3, porque se cobra el
banderazo más los kilómetros recorridos, pero el taxímetro no cambia hasta los
250 m, es decir ¼ de km, y solo se recorrieron 0.19 km.
c) ¿Qué cantidad mostrará la pantalla si el total recorrido es de 2.248 km?
Argumenta tu respuesta. $17.3, porque es el banderazo más los kilómetros
recorridos, pero no cambia el taxímetro hasta los 250 m.
P
ro
d) ¿Por qué el taxímetro marca esa cantidad en las tres distancias anteriores? Porque aún no se cumple la condición de recorrer 250 m.
e) ¿Qué cantidad se indicará en la pantalla si la distancia es de 2.251 km? $18.37
¿Por qué es diferente esta respuesta a las anteriores? Porque ya pasó de los
250 m.
f)
¿Qué cantidad indicará del kilómetro 2.251 al 2.499?$18.37 ¿Por qué mostrará
aún no se cumplirá la condición de recorrer 250 metros.
esa cantidad? Porque
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Argumenten y expliquen en qué
momentos cambia la información mostrada en la pantalla del taxímetro.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
131
Gráficas que representan diversos tipos
de variación
Trabajen en parejas.
1. Observen los puntos en el plano cartesiano.
y
13.5
n
13
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
12.5
12
11.5
11
10.5
10
9.5
9
8.5
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
a) Con respecto a la situación del taxi, ¿qué representan los datos del eje x? Los kilómetros recorridos.
b) ¿Qué representan los datos del eje y? El costo del viaje
c) ¿Qué representa el valor en cero kilómetros recorridos? Representa el banderazo
d) Si la situación que se representa es la cantidad que aparece en el taxímetro
durante el recorrido, ¿tiene sentido unir con un segmento de recta el primer
P
ro
punto con el segundo punto de la gráfica? Argumenten su respuesta. No,
porque unir los puntos significaría que los valores intermedios aparecerán en el
taxímetro, lo cual es falso.
e) ¿Tiene sentido unir el penúltimo punto con el último? Argumenten su respuesta.
Sí, porque quedará un segmento horizontal, que será el mismo valor para todo
ese tramo de km.
• De manera grupal compartan sus argumentos. Dialoguen sobre el significado que tiene
unir con un segmento el primer punto con el segundo y el que tendría unir el penúltimo
punto con el último en la gráfica.
Sesión 1. Interpretas y analizas gráficas que representan diversos tipos de funciones.
Infieres la situación que representan (escalonadas, sin fórmula).
132
Secuencia didáctica 16
Sesión 2
Gráfica escalonada
Reúnete con un compañero y observen la gráfica.
1. Comparen la gráfica que se muestra con los puntos de la gráfica anterior.
y
11
10.8
n
10.6
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
10.4
10.2
10
9.8
9.6
9.4
9.2
9
8.8
8.6
8.4
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
a) Escriban una explicación del significado de los segmentos que se muestran en
la gráfica. R. M. Puede reflejar un fenómeno con dos comportamientos: uno en el
que no hay cambios, pues hay tramos horizontales y otro en el que el cambio es
P
ro
repentino, pues hay saltos en los valores de la gráfica.
2. Lean la siguiente información y, si lo consideran necesario, completen su explicación.
Gráfica escalonada
Una gráfica escalonada es aquella que se forma con segmentos discontinuos y los
valores de x están divididos en intervalos cerrados, es decir, tienen un rango limitado
de valores que cumplen con las condiciones del problema. Esto se escribe como [a, b]
y se interpreta como valores iguales o mayores que a y menores o iguales que b.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
133
En equipos, analicen la gráfica.
3. La gráfica muestra, en tiempo real, la temperatura (oC) en el aeropuerto internacional de la Ciudad de México.
Temperatura registrada en el Aeropuerto Internacional Benito Juárez
Temperatura ºC (26/08/18)
19:42
18:46
17:30
17:50
16:42
15:46
13:47
14:50
11:51
12:43
10:47
09:50
08:43
08:20
08:02
07:53
07:40
06:47
05:50
05:42
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
03:47
04:49
02:00
01:45
0
n
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
Hora
Fuente: www.meteored.mx/ciudad-de-mexico/historico (consulta: 04 de marzo de 2021)
a) ¿Qué unidades forman los pares ordenados? (
tiempo
, temperatura )
b) ¿Cuál fue la temperatura mínima? 14
°C
c) ¿Cuál fue la temperatura máxima? 22 °C
d) ¿Qué ocurre de las 5:42 a las 7:40? La temperatura se mantiene constante.
e) ¿Qué ocurre después de las 7:40? La
temperatura desciende.
f)
¿En qué intervalos se puede observar que la temperatura descendió? De las 4:49 a las 5:42, de las 7:40 a las 7:53, de las 8:43 a las 9:50
g) ¿En qué intervalos se puede observar que la temperatura fue aumentando? .
De las 9:50 a las 10:47 y de las 13:47 a las 18:46
h) ¿Qué interpretación le dan a “intervalos de crecimiento” e “intervalos de
decrecimiento"? Ver
solucionario
En promedio, ¿qué temperatura se registró de las 4:49 a las 5:42? Argumenten
sus respuestas. 17 °C, porque se observa en el segmento que une ambos puntos.
j)
¿Por qué los puntos de la gráfica están unidos? R. M. Porque el cambio de temperatura es un fenómeno continuo.
P
ro
i)
k) ¿Qué diferencias identifican con respecto a la gráfica del taxímetro? R. M. La del
taxímetro está hecha de trozos y la de la temperatura está unida por una línea.
l)
Escriban una pregunta relacionada con la gráfica, diferente de las que se han
hecho. R.
L.
m) Elijan a diez compañeros para que planteen su pregunta y entre todos respóndanlas.
R. L.
• Comparen sus respuestas, argumentos y observaciones respecto de las actividades de
esta página. Lleguen a conclusiones generales con el resto del grupo.
Sesión 2. Interpretas y analizas gráficas que representan diversos tipos de funciones.
Infieres sobre la situación que representan (escalonadas, sin fórmula).
134
Secuencia didáctica 16
Sesión 3
Interpretación y análisis de gráficas I
Resuelvan en parejas.
1. Cuatro amigos se han planteado el reto de ahorrar durante 8 semanas, siguiendo
cada uno un plan.
n
Amigo 1: Comienza con $2 000 y cada semana ahorrará tres cuartas partes del
ahorro anterior; es decir, en la primera semana ahorrará $1 500 y la siguiente
$1 125 y así sucesivamente hasta completar las 8 semanas.
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Amigo 2: Comienza con $2 000. La primera semana ahorrará $50, la siguiente el
doble ($100) y la siguiente, el doble de la anterior ($200) y así sucesivamente hasta
la semana 8.
Amigo 3: Comienza con $2 000 y cada semana ahorra $500 hasta la semana 8.
Amigo 4: Comienza ahorrando $6 000. La primera semana ahorrará la misma
cantidad en pesos que años tenga alguno de los integrantes del grupo; es decir,
si alguno de sus compañeros tiene 14 años, el amigo 4 ahorrará $14. La siguiente
semana ahorrará la cantidad en pesos equivalente a los años de otra persona del
grupo y así sucesivamente las siguientes semanas.
a) Sin hacer operaciones, ¿quién consideran que habrá ahorrado más en la octava
semana? R. L.
Tiempo (semanas)
Amigo 3
Tiempo (semanas)
Amigo 4
Ahorro acumulado ($)
Ahorro acumulado ($)
Ahorro acumulado ($)
P
ro
Ahorro acumulado ($)
2. Analicen las gráficas y escriban debajo de cada una el número del amigo al que
representa su plan de ahorro.
Tiempo (semanas)
Amigo 1
Tiempo (semanas)
Amigo 2
• De manera grupal, comparen sus resultados y compartan los argumentos que los
llevaron a elegir la gráfica correspondiente a cada plan de ahorro.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
135
3. Lean la información.
Interpolación
hi ©S
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
n
La interpolación es la acción de estimar los valores posibles entre cada registro graficado.
Para interpolar es necesario hacer un supuesto del comportamiento de los datos entre
cada intervalo. Por ejemplo: 14 Temperatura (ºC)
1 2 3 4 5 6 7 8
Horas del día (h)
En la gráfica, en el eje x están representadas las horas del día y en el eje y, la
temperatura. Si queremos saber qué temperatura habrá a las 1:30 horas, tenemos que
hacer una interpolación y analizar el comportamiento de la temperatura, el cual se
observa que aumenta. Una aproximación de la temperatura a las 1:30, puede ser 12.7 °C.
La interpolación puede realizarse aun cuando la gráfica no esté unida por segmentos.
¿Cómo vamos?
Haz lo que se pide.
1. Analiza la gráfica de la sección anterior.
a) ¿A qué hora comenzó a incrementarse la temperatura? A
la 1 y a las 6
b) ¿A qué hora no se registró cambio en la temperatura? A las 2
c) ¿A qué hora comenzó a descender la temperatura? A las 3
P
ro
d) ¿En qué momento dejó de descender la temperatura? A las 6
e) De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿en qué intervalos la función crece?
Argumenta. 1 a 2 y 6 a 8, porque se observa que la gráfica aumenta.
f)
¿En qué intervalos la función decrece? Argumenta tu respuesta. De 3 a 6, porque se observa como la gráfica va hacia abajo.
g) ¿Qué temperatura habrá a la 1:30? 12.75 oC
• Compara tus respuestas con las del resto del grupo, compartan sus argumentos y
lleguen a conclusiones generales.
Sesión 3. Interpretas y analizas gráficas que representan diversos tipos de funciones.
Infieres sobre la situación que representan (formadas por secciones rectas y curvas).
136
Secuencia didáctica 16
Sesión 4
Interpretación y análisis de gráficas II
Analiza la situación y contesta.
1. Eduardo y Ana rentan un departamento y su casero estipuló que la renta
aumentaría gradualmente cada año. En la gráfica se muestra la variación del
costo de la renta.
y
Pagos ($)
n
2 200
2 000
hi ©S
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da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1 800
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
x
0
1
2
3
4
5
6
Años
7
a) ¿Qué variables y unidades están representadas en el eje x?
¿Y en el eje y? Escribe cada una en el eje que corresponde.
b) ¿Cuánto pagaban de renta mensual el primer año? $1
500
$1 950
c) ¿Cuánto pagaban al mes en el año 5?
¿Cuánto aumentó? $450
d) ¿Cuánto aumentó la renta mensual durante los dos primeros años? $100
e) ¿Cuánto aumentó en los dos últimos años? $150
P
ro
f)
¿El aumento ha sido constante? Argumenta tu respuesta. No, pues en los primeros dos años fue de $100 y en los últimos fue de $150
g) ¿Qué cantidad pagaban a los 2 años y seis meses? Argumenta tu respuesta.
$1 750. El aumento por año es $100 más $50 por los 6 meses
h) ¿Tiene sentido interpolar para saber la cantidad que pagan en el mes 6?
Argumenta tu respuesta. No,
porque se paga por año. Solo es necesario ver los
incrementos.
i) ¿Qué cantidad exacta pagarán el año 8? No
se sabe
j)
¿Aproximadamente cuánto pagarán el año 8? ¿Por qué? Entre 2 350 y 2 400.
Porque aproximadamente el incremento es de entre 100 y 150.
• Comparen sus respuestas, argumentos y observaciones respecto de las actividades de
esta página. Lleguen a conclusiones generales con el resto del grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
137
En parejas, observen la gráfica y contesten.
1. La gráfica representa la variación de la temperatura de una sustancia al ser
calentada y enfriada en un laboratorio.
Temperatura (ºC)4
y
3
hi ©S
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1
n
2
x
0
21
22
23
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Minutos
a) ¿Qué datos se representan en el eje x? R. M. Minutos
b) ¿Existe otra unidad que pueda estar representada en el eje x? R. M. Sí, las horas u otra unidad de tiempo.
c) ¿Qué unidades están representadas en el eje y? R. M. °C
d) ¿Existe otra unidad que pueda estar representada en el eje y? R. M. Sí, °F u otra unidad de temperatura
e) Escriban en cada eje las variables y unidades que se representan.
f) ¿Cuál es la temperatura mínima que la sustancia alcanzó? 24
P
ro
g) ¿Cuál es la temperatura máxima que la sustancia alcanzó? 4
h) ¿En qué intervalos la función crece? Argumenten su respuesta. R. M. 0 a 1.6 y de 4.7 a 7.8, pues la gráfica crece en esos intervalos.
i)
Visita el siguiente sitio
web para profundizar en el
estudio de la interpretación
de gráficas y corroborar tus
conocimientos: www.esant.
mx/ecsema3-016.
¿En qué intervalos la función decrece? Argumenten su respuesta. R. M. 1.6 a 4.7 y 7.8 a 11, porque la gráfica decrece en esos intervalos.
• Verifiquen con el grupo sus respuestas y sus argumentos. Si lo creen necesario, pidan
ayuda a su profesor para que los apoye en el análisis. Por último, elaboren un resumen
de lo aprendido.
Sesión 4. Interpretas y analizas gráficas que representan diversos tipos de funciones. Infieres y
anticipas sobre la situación que representan (formadas por secciones rectas y curvas).
138
Función escalonada y otros tipos
1. Abre una ventana en GeoGebra y haz lo que se pide.
i.
Ubica el cursor sobre el icono
Entrada que se encuentra en
la parte inferior izquierda de la
aplicación. (Ve la imagen 1).
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
ii. Escribe en Entrada el comando
GráficoEscalonado y se
desplegarán varias opciones.
Elige la opción GráficoEscalonado
[,Lista de Puntos>, ,Conectados o
notrue/false., ,Estilo de Punto.].
Imagen 1
iii. Primero, elimina <Lista de Puntos.
de la entrada anterior y escribe la
siguiente lista de puntos: {(10, 10),
(30, 10), (30, 20), (50, 20), (50, 30),
(70, 30), (70, 40), (90, 40), (90,
50)}.
iv. Segundo, elimina <Conectados o
notrue/false. y escribe “false” y en
seguida pon una coma. Además,
elimina ,Estilo de Punto. y
escribe 1.
Imagen 2
v. Finalmente, la entrada deberá quedar escrita de la siguiente manera:
GráficoEscalonado[{(10, 10), (30, 10), (30, 20), (50, 20), (50, 30), (70, 30),
(70, 40), (90, 40), (90, 50)}, false, 1]. Si no está escrita de esta forma, no se
podrá ver la gráfica.
vi. La gráfica en la imagen 2 se obtiene uniendo cada par de puntos con una
línea horizontal: (10, 10) con (30, 10), (30, 20) con (50, 20), etcétera.
P
ro
2. Retoma la gráfica de la actividad anterior y responde.
i.
Modifica algunos valores dentro de la función, es decir, da doble clic en a 5 250
que se encuentra en la Vista Gráfica, cambia los valores del punto (70, 40) por
(70, 30) y da clic en la opción Aplicar.
a) ¿Qué cambios suceden en la gráfica? R. M. La gráfica se modifica. Dibuja en
el punto (70, 30) una línea horizontal hasta el punto (90, 30).
ii. Cambia la palabra “false” por “true” en la función.
a) ¿Qué cambios suceden en la gráfica? R. M. La gráfica dibuja las líneas
verticales
formando una gráfica en forma de una escalera.
139
iii. En lugar del valor de 1 que se encuentra al final, escribe 22. ¿Qué se modifica?
Después cambia el valor 22 por 21. De igual manera, sustituye el valor 0 y
luego el valor 2. ¿Qué sucede? Escribe los cambios.
22: Se
dibujan los extremos de los
intervalos.
0: No se ven los puntos.
1: Se dibujan los puntos de la izquierda.
21: Se dibujan los puntos a la derecha.
2: Se
ven los puntos en el extremo derecho y vacío en el izquierdo.
n
a) ¿Qué utilidad tiene este tipo de gráficas? R. M. Se puede ver el rango de valores fácilmente.
b) ¿Qué tipo de información se puede graficar? R. M. El tiempo que lleva fabricar productos.
i.
hi ©S
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T
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L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
3. Abre una nueva ventana en GeoGebra y realiza lo que se pide.
Escribe en Entrada lo siguiente:
Si (0 , x , 8, 0,Si (8 , x , 14, 4,
Si (14 , x , 18, 0, Si (18 , x , 20, 1,
Si (20 , x , 24, 0))))).
•
Otra forma de obtener esta gráfica (ve la
imagen 3) es escribir cada condición por
separado, es decir, teclear en la Entrada:
Si (0 , x , 8, 0), Si (8 , x , 14, 4), etcétera.
ii. Cambia el primer número 8 por el número 7 y después sustituye el valor 4 por 2.
Imagen 3
a) ¿Cuál es el valor mayor que tiene x?
24
b) ¿Cuál es el valor mayor que tiene y?
4
4. Observa la gráfica de la imagen 4 y responde
en tu cuaderno.
P
ro
Imagen 4
a) ¿Qué puede representar la gráfica? R. M. El cambio de posición de alguien medido en km.
b) ¿Qué distancia alcanza? Es decir, ¿cuál es el valor mayor en el eje de la distancia? 4 km
c) ¿Durante cuánto tiempo se tiene registro? ¿Qué representan los segmentos de recta? R. M. Se tiene registro
de 24 horas. R. M. Que no hay cambio de posición.
5. Haz lo siguiente y contesta en tu cuaderno.
a) Investiga cuánto se paga por el servicio de un taxi en la Ciudad de México y
traza la gráfica escalonada correspondiente. Considera el “banderazo” más el
costo por tiempo recorrido para un viaje de nueve minutos. Ver solucionario
b) ¿Cómo se relaciona la gráfica obtenida con las gráficas que trazaste en la
actividad? R. M. Son representaciones de gráficas escalonadas.
c) ¿Qué otras situaciones podrías modelar con una gráfica escalonada?
R. M. Impuestos, pago de la luz, venta de un producto, etcétera.
• Compara tus resultados con los de tus compañeros. Corrige si lo consideras necesario.
Secuencia
didáctica 17
Sesión 1
140
Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.
Contenido: Construirás e interpretarás datos de gráficas a partir de valores de las funciones dadas en tablas.
Gráficas basadas en datos tabulados
Analiza la información y contesta.
1. Una empresa que ofrece servicios de logística da seguimiento a tres de sus tráileres
(A, B, C) durante su trayecto en tres carreteras distintas. Observa las tablas de registro.
Analiza los datos de las tablas y el punto que se muestra en el plano cartesiano.
Distancia (km)
800
Tráiler C
Distancia
Tiempo (h)
(km)
n
Tráiler B
Distancia
Tiempo (h)
(km)
hi ©S
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da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Tráiler A
Distancia
Tiempo (h)
(km)
y
0
50
0
50
0
50
1
120
1
140
1
150
2
190
2
230
2
250
3
260
3
320
3
350
4
330
4
410
4
450
5
400
5
500
5
410
6
470
6
590
6
415
7
540
7
680
7
415
8
610
8
770
8
415
B
750
700
650
A
600
550
a) ¿A qué tráiler corresponde el punto que está sobre el plano?
Argumenta tu respuesta. Al tráiler B, porque es una
coordenada que se forma con los datos de la tabla
(3, 320).
b) ¿Qué información se representa en el eje de las x? El tiempo
500
450
C
400
350
c) ¿Qué magnitud se representa en el eje de las y? La distancia recorrida
d) Traza en el mismo plano cartesiano la gráfica que represente a cada tráiler. Usa un color distinto para cada uno.
250
e) ¿Cómo interpretas el primer punto con el que comienzan
P
ro
300
las gráficas? Es el lugar donde los tres tráileres comenzaron
el recorrido.
200
150
100
50
x
0
1
2
3
4
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
5
6
7
8
Tiempo (h)
• De manera grupal, describan la información que proporciona cada
gráfica de cada tráiler durante su recorrido.
141
Gráficas basadas en datos tabulados (lineales) I
Resuelvan en parejas.
1. Un negocio vende carpetas a $70 cada una. Para facilitar el cálculo, los clientes han
solicitado a los vendedores que elaboren una tabla que muestre la cantidad que se
debe pagar de acuerdo con la cantidad de carpetas. Completen la tabla.
0
1
2
3
4
5
7
9
Total por pagar ($)
0
$70
$140
$210
$280
$350
490
630
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2. Una empresa de autobuses realiza pruebas de resistencia a sus conductores en una
pista circular. Cada hora se toma el registro de la distancia que lleva recorrida un
conductor a rapidez constante de 70 km/h. Completen la tabla de acuerdo con la
información dada.
n
Cantidad de carpetas
Tiempo (h)
0
1
2
3
4
5
7
9
Distancia
recorrida (km)
0
70
140
210
280
350
490
630
3. Grafiquen, en los planos cartesianos, los datos de las actividades 1 y 2. Escriban en
cada eje las unidades que se representan.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
P
ro
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Cantidad de carpetas
Km
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
Costo
Tiempo
• Comparen sus gráficas con las de otros compañeros.
Sesión 1. Construyes gráficas de variación lineal o afines,
considerando datos tabulados. Completas tablas de datos.
142
Secuencia didáctica 17
Sesión 2
Gráficas basadas en datos tabulados (lineales) II
Trabaja con el mismo compañero de la sesión anterior.
1. Analicen las gráficas de la actividad 3 de la sesión anterior.
a) ¿Cómo son las gráficas que trazaron? Son iguales, son la misma gráfica.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
c) ¿Qué magnitudes representaron en el eje y en cada gráfica? El costo y la cantidad de kilómétros recorridos.
n
b) ¿Qué magnitudes representaron en el eje x en cada gráfica? Cantidad de carpetas y el tiempo, respectivamente.
d) Observen el punto azul en cada plano cartesiano. ¿Qué representa en el contexto
del negocio que vende carpetas? No representa algo, ya que no tiene sentido
hablar de 4.5 carpetas ni de lo que costarían.
e) ¿Qué representa el punto en el contexto de la prueba de resistencia? Representa
la posición en la que se encontraba el conductor en esa fracción de hora.
f)
¿Se puede interpretar de la misma manera ese punto en ambas situaciones?
Argumenten su respuesta. No, porque en una representa una parte de las
carpetas y en la otra, una parte del tiempo.
g) Con apoyo en la gráfica, sin hacer operaciones, escriban el costo de 8 carpetas. $560
h) Con apoyo en la gráfica, sin hacer operaciones, ¿cuántos kilómetros habrá
recorrido el conductor en la octava hora? 560 km
i)
¿Cómo determinaron las dos respuestas anteriores? Interpolando
• Compartan con el resto del grupo sus respuestas y argumentos y, entre todos, lean la
siguiente información.
Interpolación: contextos continuos y discretos
P
ro
La interpolación es la estimación de los valores, y su interpretación depende de la
situación que se esté estudiando. Por ejemplo:
En contextos de números discretos (los que solo pueden tomar valores dentro del
conjunto numerable), la interpolación no dará un significado acorde con la situación.
Por ejemplo:
Cantidad de adultos
1
2
Precio de la entrada al parque ($)
250
500
Si el precio de la entrada a un parque de diversiones para una persona adulta es de
$250, no tiene sentido hablar del costo de la entrada para 1.5 adultos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
143
Precio ($)
500
En situaciones en las que se involucran números continuos (la
variable puede tomar valores dentro de un intervalo determinado),
la interpolación dará un significado acorde con la situación.
Por ejemplo, en el caso en que se relaciona el precio con el litro de
pintura, tiene sentido interpretar que, al cliente, 1.5 litros de pintura
le cuestan $375.
200
100
0
1
2
Litros de pintura
n
Precio ($)
250
500
300
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Litros de pintura
1
2
400
• Complementen sus argumentos anteriores.
2. Un depósito que tiene una capacidad de 230 litros se llena con una llave que vierte
20 litros de agua cada minuto. Hagan una tabla que represente la cantidad de agua
que hay en el depósito cada minuto y grafiquen los datos. Anoten en cada eje la
variable y unidad que se representa.
Litros
y
Cantidad de agua en
240
Tiempo (min)
el depósito (L)
220
0
0
200
1
20
180
2
40
160
3
60
140
4
80
120
100
5
100
6
120
80
7
140
60
8
160
40
9
180
20
10
200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
11
220
x
11
12
Minutos
a) Describan el procedimiento que siguieron para trazar la gráfica. Ver
solucionario
P
ro
b) ¿Qué magnitud colocaron en el eje x? Argumenten su respuesta. Ver solucionario
c) ¿Qué magnitud colocaron en el eje y? Argumenten su respuesta. Ver solucionario
d) ¿En qué parte de la gráfica se observa el momento en que se llena el depósito? Ver solucionario
e) ¿Cuánta agua hay en el depósito en el minuto 5.5? 110 litros
f) ¿En qué momento hay 150 litros en el depósito? En el minuto 7.5
• Comenten sus respuestas, compartan sus argumentos, comparen su gráfica con la de
otros compañeros y lleguen a conclusiones generales.
Sesión 2. Construyes gráficas de variación lineal o afines
considerando los datos tabulados y completas tablas de datos.
144
Secuencia didáctica 17
Sesión 3
Gráficas y tablas (rectas y curvas)
Haz lo que se pide.
1. Imagina que el conductor de un automóvil que se encuentra estacionado, lo
enciende, comienza a recorrer una pista circular hasta alcanzar la rapidez de
100 km/h y permanece 5 horas con esa rapidez constante.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Dibuja la gráfica que representa el problema anterior. No es necesario que
realices la tabla de valores ni que tu trazo pase por los valores exactos del
problema. Solo realiza el boceto de la gráfica. Anota en cada eje la variable
y unidad que se representa. R. M.
km
Rapidez
h
Tiempo (h)
b) Compara tus trazos con los de tus compañeros de grupo. ¿Cuántas gráficas
diferentes identifican? R. L.
Argumenten las razones de esas
diferencias. R.
L.
c) ¿Qué rapidez registra el automóvil antes de encenderlo? 0 km/h
P
ro
d) ¿A qué rapidez consideras que va el automóvil en el segundo 1? A 0 km/h
e) ¿A qué rapidez consideras que va a los dos segundos? A 20 km/h
f)
¿Y al tercer segundo? A 40 km/h
g) ¿En qué segundo consideras que alcanza los 100 km/h? Entre el segundo 4 y el 5.
h) ¿Tomaste en cuenta las respuestas de las preguntas anteriores para hacer el
boceto de la gráfica? R. L. Explica tus razones para incluirlas o no. R. L.
¿Cómo representaste el movimiento constante a 100 km/h? R. M. Con una
línea recta
• Dialoguen en grupo respecto a las preguntas anteriores. Lleguen a acuerdos.
i)
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
145
2. En la siguiente tabla se muestra la distancia recorrida por un automóvil.
a) En el plano cartesiano de la derecha, grafica los primeros pares ordenados
desde el segundo 1 hasta el 10.
Tiempo
(s)
1
Distancia
(m)
0.5
Tiempo
(s)
11
Distancia
(m)
768
2
1.5
12
1 152
3
3
13
1 536
4
6
14
1 920
Distancia (m)
400
350
300
n
250
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
200
5
12
15
2 304
6
24
16
2 688
7
48
17
3 072
100
8
96
18
3 456
50
9
192
19
3 840
10
384
20
4 224
150
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Tiempo (s)
b) Usa una escala diferente para graficar, en el siguiente plano cartesiano, los
valores completos de la tabla (del segundo 1 hasta el segundo 20).
Distancia (m)
4 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
P
ro
500
Tiempo (s)
0
5
10
15
20
25
c) Compara la gráfica del inciso b con el boceto que se pidió que elaboraras en la
página anterior.
d) ¿Qué representan los primeros valores que graficaste? Que el automóvil va acelerando.
• De manera grupal, analicen los datos de la tabla y las gráficas. Determinen las
características de este tipo de situaciones y su representación gráfica. Escriban un breve
resumen de su análisis.
Sesión 3. Construyes gráficas que corresponden a funciones
formadas por secciones rectas y curvas.
146
Secuencia didáctica 17
Sesión 4
Gráficas escalonadas
1. En grupo, lean la siguiente información.
Gráficas formadas por secciones rectas y curvas
n
Diversas situaciones, al ser analizadas y estudiadas, arrojan información que es necesario
registrar. Cuando se grafican estos datos, se puede observar su comportamiento, según
la forma que tome la gráfica, es decir, la gráfica puede estar formada por secciones
curvas o rectas. Por ejemplo:
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1. La variación de un automóvil cuya rapidez inicial es 0 y aumenta a medida que
pasa el tiempo (gráfica 1).
2. Cuando la rapidez del automóvil aumenta, de manera constante, la gráfica es una
línea recta (gráfica 2).
3. Al presentarse las dos situaciones anteriores, se obtiene una gráfica formada por
secciones curvas y rectas (gráfica 3). Distancia (m)
Distancia (m)
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Distancia (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (s)
Gráfica 1
4 500
4 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
500
4 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
500
0 10 12 14 16 1820
Tiempo (s)
Gráfica 2
0
5 10 15 20 25
Tiempo (s)
Gráfica 3
• Analicen la información y comenten sus dudas. Luego analicen las gráficas que trazaron,
identifiquen a qué se debe que sean así y elaboren conclusiones.
Analiza la situación y contesta.
2. En un grupo de tercer grado, la profesora informó a los estudiantes que serían
evaluados de la siguiente manera:
P
ro
En el sitio web www.esant.
mx/ecsema3-017, analiza la
gráfica que se construye y
responde las preguntas que
se plantean.
“Se tomará la calificación real que obtengan, es decir, si su desempeño en un
examen arroja 3 de calificación, eso es lo que registraré en mis listas. Si en sus
actividades en clase obtienen 4 de calificación, también lo registraré en mis listas
como tal y al promediar les comunicaré su calificación real”.
Una alumna preguntó: ¿Esa es la calificación que aparecerá en nuestra boleta?
La maestra contestó:
“No, para la boleta, la calificación mínima será 5, aunque en su desempeño hayan
obtenido un cero. A partir de “punto cinco” subirán al siguiente entero inmediato,
excepto si el promedio es reprobatorio. Las calificaciones menores que 'punto cinco'
bajarán al entero inmediato. Por ejemplo: si sacan 5.9 se quedará en 5 porque es
reprobatorio; si sacan 6.5 o 6.6 subirá a 7 y si sacan 6.4 o 6.3 bajará a 6”.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
147
Como algunos alumnos tenían dudas sobre lo anterior, la maestra decidió hacer una
tabla como la que se muestra.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Completa la tabla, grafica en tu cuaderno los datos y describe la gráfica resultante.
Ver solucionario
Promedio de
Calificación que
Promedio de
Calificación que
calificaciones
aparecerá en la boleta
calificaciones
aparecerá en la boleta
0
6.5
5
7
1.5
7
7
5
2
7.4
5
7
2.5
7.5
8
5
3
8
8
5
3.5
8.4
8
5
4
8.5
9
5
5
9
9
5
5.9
9.4
9
5
6
6
9.5
10
6.4
10
10
6
b) ¿Qué debe hacer un alumno cuyo desempeño es de 7.3 para saber la
calificación que se colocará en su boleta? Ver solucionario
Resuelvan en parejas.
1. Observen la gráfica que representa el cobro realizado a una persona
por el servicio de taxi. Con base en ella, completen la tabla.
Recorrido Cobro
(km)
($)
0
0.249
0.250
0.499
0.500
Recorrido Cobro
(km)
($)
11
10.8
10.6
10.4
10.2
10
8.74
0.750
9.54
1.500
10.34
8.74
0.999
9.54
1.749
10.34
9.00
1
9.81
1.750
10.61
9.6
9.4
9.00
1.249
9.81
1.999
10.61
9.2
9.27
1.250
10.07
2
10.88
9.27
1.499
10.07
P
ro
0.749
Recorrido Cobro
(km)
($)
Cobro ($)
9.8
9
8.8
8.6
8.4
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Recorrido (km)
a) ¿Qué significa la cantidad que se cobra a los 0 km? ¿De cuánto es?
Argumenten su respuesta. Es el precio por solicitar el servicio y es de $8.74
b) ¿Cuánto pagará una persona por un viaje de 0.85 km? $9.54 Argumenten su
respuesta. Ver solucionario
• Analicen la gráfica y, de manera grupal, realicen preguntas que se respondan con la
gráfica o con la tabla. Lleguen a conclusiones generales.
Sesión 4. Construyes gráficas que corresponden a funciones escalonadas o sin fórmula.
148
Secuencia
didáctica 18
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.
Contenido: Diferenciarás entre expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones.
Diferencia entre expresión algebraica,
funciones y ecuaciones
Haz lo que se pide.
a) El cuádruple de un número. 4x
ab
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b) La mitad del producto de dos números distintos. 2
c) El cuádruple de un número es igual a 24. 4x
5 24
n
1. Representa en lenguaje algebraico cada enunciado y contesta.
ab
d) La mitad del producto de dos números distintos es igual a 12. 2 5 12
e) El perímetro de cualquier cuadrado se obtiene al multiplicar la medida de su lado
por 4. Perímetro 5 4x
f)
El área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su
ab
altura. A 5 2
g) ¿Qué similitudes hay en las respuestas de los enunciados a y b? Son expresiones algebraicas
ecuaciones
h) ¿Qué similitudes hay en las respuestas de los enunciados c y d? Son
i)
¿Qué similitudes hay en las respuestas de los enunciados e y f? Son funciones
j)
¿Qué diferencias hay entre los enunciados de los incisos a y b con respecto a
los enunciados de los incisos c y d? En c y d hay una relación de igualdad con
un número conocido, mientras que en a y b no hay relación alguna.
k) ¿Qué diferencias hay entre los enunciados a y b y los enunciados e y f? En e y f se generaliza la solución de un problema, mientras que en a y b no.
P
ro
l)
¿Qué diferencias hay entre los enunciados c y d y los enunciados e y f? En c y d se busca un número en particular y en e y f, se generaliza un problema.
m) ¿Cuál es el valor que puede tomar la variable en los incisos a, b, e y f? No es posible
saber; pueden tomar diferentes valores y ser infinitos.
n) ¿Cuál es el valor de las incógnitas en los incisos c y d? En c, x = 6. En d, algunos
de los posibles valores son 4 y 6 o 1 y 24 o 6 y 4.
• Comenta tus respuestas de manera grupal y verifica que sean correctas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
149
Expresión algebraica, funciones y ecuaciones
Trabajen en parejas.
1. Observen la figura y hagan lo que se pide.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a
l
a) Escriban en la imagen una expresión algebraica que represente la apotema.
b) Escriban en la imagen una expresión algebraica que represente la medida del
lado de la figura.
c) ¿Qué significan para ustedes las dos respuestas anteriores? Es la representación de un número específico.
2. Consideren que el perímetro tiene de medida 138 unidades. Utilizando los datos que
anotaron, escriban una representación del perímetro de la figura.
6(l) 5 138
a) ¿Qué significa lo que escribieron? Es un caso específico.
P
ro
3. Con los datos del esquema, escriban una representación que les permita calcular el
área de cualquier figura semejante a la anterior.
6 (l) (a)
5A
2
a) ¿Qué significa lo que escribieron en el recuadro anterior? Es un caso general.
b) ¿Qué diferencias encuentran entre lo que escribieron en el esquema y lo que
anotaron en los dos recuadros anteriores? Ver solucionario
• Compartan sus respuestas con el grupo y verifíquenlas con apoyo del profesor.
Sesión 1. Diferencias entre expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones.
150
Secuencia didáctica 18
Sesión 2
Otras situaciones
1. En grupo lean la siguiente información.
Expresiones, ecuaciones y funciones
n
Una expresión algebraica es la combinación de literales (letras), números positivos o
negativos (con coeficientes o exponentes) y signos de operaciones aritméticas: suma,
resta, multiplicación, división, potencia o radicación. Por ejemplo: 5x, puede representar
cualquier situación multiplicada por 5.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. En ella se establece
una igualdad entre el primer miembro de la ecuación, unida por el signo de igualdad
“5”, y el segundo miembro de la ecuación. Puede tener una solución, varias soluciones
o ninguna. Por ejemplo: 5x 5 60 puede representar el perímetro de un pentágono que
mide 60 unidades.
Si x y y son cantidades variables y existe una regla que asigna un único valor a y a partir
del valor dado en x, entonces se dice que y es función de x. Una función se utiliza para
expresar la dependencia entre dos magnitudes. El valor de una magnitud de la función
dependerá del valor de la segunda.
Por ejemplo: P 5 5x puede representar el perímetro (P) de cualquier pentágono que
está en función de la medida de su lado, es decir, la medida de su perímetro dependerá
de la medida de su lado.
Haz lo que se pide.
P
ro
1. Con base en las definiciones anteriores y en las actvidades de la sesión anterior,
escribe cinco ejemplos de expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones.
Expresión algebraica
Ecuación
Función
x
3x 5 12
A 5 pr2 , área del círculo
a1b
a2453
P 5 p 3 D , perímetro del círculo
3x2
a
2
2a 1 1
25
f
4
A 5 x2 , área de un cuadrado
y2852
3k 2 6 5
7
5
P 5 2(a 1 b) ,
perímetro del rectángulo
A5a3
b
área del triángulo
2,
• Comenta algunos ejemplos del grupo y entre todos determinen si son correctos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
151
2. Escribe delante de cada recuadro si se trata de una expresión algebraica, ecuación
o una función y argumenta tu respuesta.
¿Expresión algebraica, función
o ecuación?
V5
d
t
Función
Porque sirve para calcular la
velocidad de cualquier movil.
Expresión algebraica
Porque solo representa
un número desconocido.
n
13w2
Argumentación
Ecuación
y
Expresión algebraica
Porque solo representa
un número desconocido.
x 5 36
Ecuación
Porque la expresión algebraica
da como resultado un número
específico.
Pa
2
Función
Porque sirve para calcular el área
de cualquier polígono regular.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2x 1 2x 1 5 5 90
Porque la expresión algebraica
da como resultado un número
específico.
2
2
A5
3. Escribe los enunciados en lenguaje algebraico y, posteriormente, anota si es una
expresión algebraica, una ecuación o una función.
Cinco equis menos cinco
Si un cuaderno cuesta $10,
¿cuánto costarán n cuadernos?
5x 2 5
Expresión
algebraica
10n 5 K, donde K
es el costo total de
Función
P
ro
los cuadernos
Un profesor particular
cobra $150 por una hora de
regularización. ¿Cuántas horas
regularizó si le pagaron $900?
150x 5 900
Ecuación
• Compara tus respuestas con las del resto del grupo. Lleguen a acuerdos y escriban lo
que entienden por expresión algebraica, función y ecuación.
Sesión 2. Diferencias entre expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones.
152
Secuencia
didáctica 19
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.
Contenido: Formularás y justificarás el teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
Analiza la situación y contesta.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. En un parque recreativo se tomó la decisión de trasladar el pasto sintético de dos
regiones cuadradas hacia una zona “gris” más grande. Las piezas de pasto que será
recortado y colocado serán cuadradas.
P
ro
Pieza de pasto
a) Utiliza una hoja de reúso o de tu cuaderno para simular las piezas cuadradas de
pasto que forman cada región y colócalos en la región gris.
b) ¿Cuántos tapetes más será necesario comprar para cubrir completamente la
porque fueron exactos
sección gris? Argumenta tu respuesta. Ninguno,
• Comenta tu respuesta con el resto del grupo.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
153
Justificación numérica del teorema de Pitágoras
Trabajen en parejas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Analicen la imagen y retomen la actividad del pasto sintético.
a
c
b
a) ¿Cuántos cuadros hay sobre el lado a del triángulo? 3
b) ¿Cuál es el área del cuadrado de lado a? 9 cuadritos
c) ¿Cuántos cuadros hay sobre el lado b del triángulo? 4
d) ¿Cuál es el área del cuadrado de lado b? 16 cuadritos
e) ¿Cuántos cuadros hay sobre el lado c del triángulo? 5
f) ¿Cuál es el área del cuadrado de lado c? 25 cuadritos
P
ro
2. Escriban en el recuadro, aritméticamente, la relación que el área del cuadrado de la
hipotenusa tiene con los cuadrados de los catetos.
32 + 42 = 52
a) ¿Lo que está de un lado del signo igual equivale a lo que está del otro lado?
Argumenten su respuesta. Sí. Porque al realizar la operación, es el mismo resultado.
b) Tomen las medidas reales del esquema y sustitúyanlas como lo hicieron en el
recuadro. ¿Siguen siendo equivalentes ambos lados de la igualdad? Sí
Sesión 1. Justificas numéricamente el teorema de Pitágoras.
154
Secuencia didáctica 19
Sesión 2
Justificación geométrica
del teorema de Pitágoras
Haz lo que se pide.
1. Sigue las instrucciones y responde.
Recorta un cuadrado de la medida que tú prefieras.
iii. Gira el cuadrado 90° y coloca un punto
a la misma distancia en cada lado del
cuadrado.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
ii. Coloca un punto sobre un lado
del cuadrado para dividirlo en
dos partes de diferente longitud.
Observa el ejemplo.
n
b
a
iv. Une los puntos de los lados
consecutivos con un segmento.
Luego traza otro cuadrado de la
misma medida que el anterior.
Llámalo “cuadrado 2”.
a
v. Recorta un triángulo del cuadrado 1 y
cálcalo en el cuadrado 2.
b
c
b
a
Cuadrado 1
Cuadrado 2
Cuadrado 2
P
ro
a) Si los lados del triángulo son a, b y c, ¿cómo se puede representar el área del
cuadrado que se forma al unir los puntos del cuadrado 1? c2
b) En el cuadrado 2, si nombramos a, b y c a los lados del triángulo, ¿cómo
representamos el área del cuadrado morado? b2
c) ¿Cómo representamos el área del cuadrado verde? a 2
d) Recorta ambos cuadrados y colócalos dentro del cuadrado formado en el
cuadrado 1. Tendrás que recortar uno de ellos en pequeñas tiras o cuadritos para
colocarlo dentro del cuadrado.
e) ¿Sobró o faltó espacio? No sobró ni faltó
• Corrobora o rectifica tus resultados con el resto del grupo. Guarden sus piezas y figuras,
ya que las usaremos en la sesión 3.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
b
b
a
a
i.
155
¿Cómo vamos?
Haz lo que se pide.
•
•
•
Si tienen un ángulo de 90°, marca como a y b los lados que forman dicho
ángulo. Nombra el tercer lado como c.
Mide cada lado y anota las medidas.
Suma el cuadrado de la medida del lado a más el cuadrado de la medida del
lado b e iguálalas al cuadrado de la medida del lado c.
Escribe en los recuadros las igualdades.
a)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
•
n
1. Haz lo siguiente con los triángulos que se muestran y después contesta en tu
cuaderno.
102 1 42 5 10.82
a
c
b
b)
b
a
c
P
ro
32 152 5 5.82
c) Resuelve la igualdad. ¿Fueron equivalentes las igualdades para cada
triángulo? Argumenta tu respuesta. Si fueron equivalentes.
d) ¿Qué tipo de triángulos son los que se han mostrado? Triángulos rectángulos
e) ¿Todo triángulo que tiene un ángulo de 90° cumple con la condición de
igualdad que han establecido? Sí.
• De manera grupal corroboren o rectifiquen sus resultados y en el pizarrón dibujen,
al menos, cinco triángulos rectángulos. Tomen sus medidas y verifiquen si cumplen
con las igualdades que han estudiado en esta secuencia didáctica.
Sesión 2. Justificas geométricamente el teorema de Pitágoras.
156
Secuencia didáctica 19
Sesión 3
Justificación general y proyecto de investigación
del teorema de Pitágoras
En equipos, realicen lo siguiente.
1. Retomen el cuadrado 1 que elaboraron en la sesión 2.
b
n
a
c
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b
a
Cuadrado 1
a) ¿Cuál es algebraicamente la medida de los catetos del triángulo? a y b
b) ¿Cuál es algebraicamente la medida de la hipotenusa? c
c) ¿Cuál es algebraicamente la medida del lado del cuadrado formado al unir los
puntos? c
2. Ahora retomen el cuadrado 2.
Cuadrado 2
a) ¿Qué expresión algebraica representa el área del cuadrado verde? a2
P
ro
b) ¿Qué expresión algebraica representa el área del cuadrado morado? b2
c) Escriban la expresión algebraica que representa el área del cuadrado que se
forma al unir los puntos con el área de los cuadrados verde y morado.
c2 5 a2 1 b2
• Corroboren o corrijan sus respuestas con el resto del grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Magnitudes y medidas
157
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a
n
B
Haz un cuadro sinóptico
en el que relaciones los
conceptos y procedimientos
aprendidos en clase.
Expónselo a tu grupo
y enriquécelo con sus
observaciones. Consérvalo
y consúltalo cada vez que
lo consideres necesario.
c
b
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
C
A
En el triángulo rectángulo ABC, el cuadrado de la medida del lado a (a2) más el cuadrado
de la medida del lado b (b2) es igual al cuadrado de la medida del lado c (c2).
a2 1 b² 5 c2
c2 5 a2 1 b2
Al sustituir el valor de las unidades cuadradas del esquema se tiene que:
32 1 42 5 52
9 1 16 5 25
25 5 25
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-018 podrás
observar algunas
demostraciones del
teorema de Pitágoras.
Trabajen con el mismo equipo de la actividad anterior.
1. Llevarán a cabo un proyecto colaborativo. Investiguen al menos tres demostraciones del teorema de Pitágoras diferentes a las trabajadas. En los recuadros tomen
notas o elaboren esquemas para preparar una exposición, que realizarán frente al
grupo. Todos los integrantes del equipo deberán exponer y contestar las preguntas
que se realicen.
Notas de investigación 2
Notas de investigación 3
Ver solucionario
Ver solucionario
Ver solucionario
P
ro
Notas de investigación 1
Sesión 3. Aplicas lo aprendido sobre el teorema de Piltágoras
e investigas diferentes maneras de demostrarlo.
158
Secuencia
didáctica 20
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.
Contenido: Usarás el teorema de Pitágoras al resolver problemas.
Uso del teorema de Pitágoras
Resuelve.
1. Analiza y mide los lados de cada triángulo.
D
A
c
C
n
b
f
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
e
a
B
G
d
E
i
F
J
H
h
l
g
K
I
k
j
L
a) ¿Cuáles triángulos son rectángulos? El triángulo ABC y el triángulo HGI.
b) ¿Cómo identificas un triángulo rectángulo? La característica principal es que
tiene un ángulo de 90°
El teorema de Pitágoras como una propiedad del
triángulo rectángulo
Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.
P
ro
1. Completen la tabla con las medidas de los lados que obtuvieron, donde Lado 1
es el lado más corto del triángulo y Lado 3 es el lado más largo (siempre que
sea posible).
Triángulo
ABC
Lado 1
2.7 cm
Lado 2
3.5 cm
Lado 3
4.42 cm
DEF
2.2 cm
4 cm
4.42 cm
GHI
3.1 cm
3.1 cm
4.38 cm
JKL
2.7 cm
2.8m
2.83 cm
• Comparen y comenten sus respuestas.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
159
2. Realicen, en su cuaderno, los cálculos necesarios para completar la siguiente tabla.
Área del cuadrado
que se forma en
el lado 1
Área del cuadrado
que se forma en
el lado 3
Suma de las áreas
de los cuadrados
de los lados 1 y 2
ABC
7.29 cm2
12.25 cm2
19.54 cm2
19.54 cm2
DEF
4.84 cm2
16 cm2
19.36 cm2
20.84 cm2
GHI
9.61 cm2
9.61 cm2
19.22 cm2
19.22 cm2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Área del cuadrado
que se forma en
el lado 2
n
Triángulo
JKL
7.29 cm2
7.84 cm2
7.84 cm2
15.13 cm2
3. Analicen los resultados que obtuvieron en la tabla anterior e identifiquen en qué
casos coincide el área del cuadrado que se forma en el lado 3 con la suma de las
áreas de los cuadrados que se forman en los lados 1 y 2. Escriban la conclusión a la
que llegaron. El triángulo ABC y el triángulo GHI porque son rectángulos.
¿Cómo vamos?
1. Sin tomar medidas, dibuja en tu cuaderno tres triángulos entre ellos, un triángulo
rectángulo. Después toma las medidas de los lados y completa la tabla. R. L.
Triángulo
Área del
cuadrado que
se forma en el
lado 1
Área del
cuadrado que
se forma en el
lado 2
Área del
cuadrado que
se forma en el
lado 3
Suma de las
áreas de los
cuadrados de
los lados 1 y 2
ABC
DEF
GHI
P
ro
a) ¿Qué observas? R. L.
b) ¿En qué casos coincidió que la suma del cuadrado de los lados más cortos
de los triángulos es igual al cuadrado del lado mayor? R. L.
c) ¿De qué tipo de triángulos es exclusivo el teorema de Pitágoras? Rectángulos
• Comenta tus respuestas y argumentos con el resto del grupo. Revisen sus resultados
con ayuda del profesor.
Sesión 1. Resuelves problemas donde se use el teorema de Pitágoras,
como una propiedad del triángulo rectángulo.
160
Secuencia didáctica 20
Sesión 2
Teorema de Pitágoras para cálculo de longitudes
de lados de triángulos
Haz lo que se pide.
1. Analiza el triángulo y contesta.
a) ¿Qué harías para conocer el área del
n
cuadrado que se construye sobre la
el área de los dos
hipotenusa? Sumar
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
cuadrados
menores.
b) ¿Cuántas unidades cuadradas mide el
área del cuadrado pequeño? 25 u2
c) ¿Cuántas unidades lineales mide el
lado de ese cuadrado? 5 u
d) ¿Cuántas unidades cuadradas mide el
área del otro cuadrado? 144 u2
e) ¿Cuántas unidades lineales mide su
lado? 12 u
f)
¿En qué te basaste o qué estrategia seguiste para responder las últimas cuatro
preguntas? Ver solucionario
g) ¿Usarías la misma estrategia para calcular el área del cuadrado de la hipotenusa?
R. L.
u2
h) ¿Cuál es el área del cuadrado que se forma en la hipotenusa? 169
i) ¿Cuánto mide la hipotenusa? 13
u
2. De la imagen de la izquierda, toma como referencia los lados del triángulo.
a) ¿Qué cuadrado es el que falta? P
ro
El de un cateto
b) ¿Qué procedimiento seguirías para encontrar el área del cuadrado de ese cateto? Ver solucionario
c) ¿Cuántas unidades cuadradas mide? 225 u2
d) ¿Cuánto mide su lado? 15 u
• Compara tus respuestas con las del resto del grupo
y lleguen a conclusiones generales.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
161
¿Cómo vamos?
Haz lo que se pide.
1. Calcula la longitud del lado desconocido.
n
35 cm
12 cm
?
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
dos catetos
a) ¿Qué datos son conocidos? Los
b) ¿Qué datos son desconocidos? La hipotenusa
c) ¿Cómo encuentras la medida desconocida? Ver
solucionario
d) ¿A qué es igual el valor desconocido? A 37 cm
2. Observa el triángulo.
?
36 cm
85 cm
a) ¿Qué datos se conocen? Las medidas de un cateto y de la hipotenusa
b) ¿Qué datos se desconocen? La medida de un cateto
c) ¿Qué procedimiento usarías para encontrar la medida desconocida? Ver solucionario
d) El valor desconocido es igual a: 77 cm
28 cm
3. Con respecto al triángulo anaranjado.
a) ¿Qué datos se conocen? Un cateto y la hipotenusa
P
ro
b) ¿Qué datos se desconocen? Un cateto
?
c) ¿Qué procedimiento emplearías para encontrar
la medida desconocida? Ver solucionario
53 cm
d) El valor desconocido es igual a: 45
cm
• Compara tus respuestas y tus procedimientos con los del resto del grupo. Revisen
sus resultados con ayuda del profesor.
Sesión 2. Resuelves problemas donde se use el teorema de Pitágoras
para calcular distancias o longitudes.
162
Secuencia didáctica 20
Sesión 3
Aplicación del teorema de Pitágoras
en diversas situaciones
En equipos analicen y respondan las actividades.
1. Observen los triángulos.
a) Escriban la expresión algebraica que
les permita encontrar la longitud del
lado desconocido.
n
?
a
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2
2
(a 1 b ) 5 ?
b
c
2
2
(c 2 a ) 5 ?
a
?
2. Escriban la medida del lado que falta en cada triángulo.
a)
b)
52 cm
205 cm
P
ro
173 cm
165 cm
187 cm
84 cm
• Comparen sus respuestas y sus procedimientos con los del resto del grupo y lleguen a
acuerdos. Corrijan si lo consideran necesario.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
163
3. Lean la siguiente información.
Teorema de Pitágoras
Geométricamente, el teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo,
la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
En algunos casos, al resolver problemas que involucran triángulos rectángulos, se
pueden presentar dos situaciones; que se desconozca la medida de un cateto o la
medida de la hipotenusa.
n
Algebraicamente se tiene: a2 1 b2 5 c2, donde a y b representan la medida de los
catetos y c, la medida de la hipotenusa.
Cuando se desconoce la longitud de un cateto, se despeja en la fórmula esa incógnita:
a2 1 b2 5 c2
a2 5 c2 2 b2
a 5 √c2 2 b2
Si la incógnita es la longitud de la hipotenusa, se procede de la misma forma, es decir,
se despeja en la fórmula:
a2 1 b2 5 c2
√ a2 1 b2 5 c
¿Cómo vamos?
Resuelve.
P
ro
1. Jorge corre 30 metros para elevar
un papalote y estira todo el hilo,
que mide 45 m de largo. Su amiga
Paola se quedó en el lugar donde
Jorge inició la carrera y observa
que el papalote se encuentra justo
arriba de ella.
Si la altura desde donde Jorge toma
el hilo hasta el suelo es de 1.60
m, ¿a qué altura está el papalote?
(Obtén un decimal de precisión).
Argumenta tu respuesta.
Ver solucionario
• Compara tu respuesta y tu procedimiento con los del resto del grupo.
Validen su respuesta con apoyo del profesor.
Sesión 3. Resuelves problemas donde se use el teorema de Pitágoras en diversos contextos.
164
Secuencia didáctica 20
Sesión 4
Resolución de problemas aplicando
el teorema de Pitágoras
Trabajen las actividades en parejas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Calculen la medida faltante del triángulo rectángulo (hasta décimos) en cada caso.
Escriban las operaciones.
c
a
d
i
f
h
g
e
b
a) a 5 125
b 5 96
c 5 157.6
c = 1252 1 962 5 15625 1 9216 5 157.6
b) d 5 72
e 5 45.1
f 5 85
e = 852 2 722 5 7225 2 5184 5 45.2
c) g 5 50.2
h 5 38
i 5 63
g = 632 2 382 5 3969 2 1444 5 50.2
• Comparen sus respuestas y sus procedimientos con los del resto del grupo.
P
ro
2. Propongan dos medidas distintas a las anteriores para el triángulo rectángulo y
calculen el valor faltante. R. M.
a 5 25
a 5 45
b 5 30
b 5 60
c 5 39
c 5 75
• Compartan algunas de las medidas que propusieron y verifiquen entre todos que
realmente pertenezcan a un triángulo rectángulo.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras geométricas
165
3. Una escalera que mide 8 metros se encuentra apoyada en una pared, como se
muestra en la imagen. ¿A qué altura se encuentra la ventana?
8m
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
82 2 22 5 64 2 4 5 7.7 m
2m
4. Un papalote se enredó en la parte más alta de un pino. Si el largo de su cuerda es de
15 m hasta el piso, ¿cuál es la altura del pino?
152 2 72 5 225 2 49 5 13.3 m
15 m
7m
5. El tronco de un árbol que mide 25 m cayó sobre un río y, a partir de ese punto, una
persona camina 15 m por la orilla. ¿Qué distancia hay desde el punto en que se
encuentra la persona hasta el otro extremo del árbol?
15
Descarga el recurso que
se encuentra en el sitio
web www.esant.mx/
ecsema3-019, donde
se mostrarán algunas
aplicaciones del teorema
de Pitágoras.
m
P
ro
252 1 152 5 625 1 225
5 29.2 m
25 m
• Corroboren o rectifiquen sus respuestas y sus procedimientos con el resto del grupo.
Juntos inventen otras situaciones en que puede aplicarse el teorema de Pitágoras.
Sesión 4. Resuelves problemas donde se use el teorema de Pitágoras.
166
Secuencia
didáctica 21
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Contenido: Formularás, en la resolución de problemas que involucran triángulos rectángulos, las razones trigonométricas:
seno, coseno y tangente.
Razones trigonométricas
Haz lo que se pide.
1. Analiza la imagen de la izquierda y contesta.
a) Observa los ángulos del triángulo azul.
¿Qué tipo de triángulo es? R. M. Triángulo rectángulo
ii. ¿Cuánto miden, aproximadamente, sus ángulos interiores? hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
45º, 45º y 90º
n
i.
b) ¿Qué nombre recibe el triángulo anaranjado? Triángulo rectángulo
c) ¿Cuánto miden sus ángulos interiores? 45º, 45º y 90º respectivamente
d) El triángulo morado es un triángulo isósceles. ¿Qué otro nombre recibe? ¿Por
qué? Triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo de 90°.
• Comenta con tus compañeros de grupo cómo obtuviste las respuestas anteriores.
Razón trigonométrica seno
En parejas, observen la imagen de la actividad anterior y respondan.
1. Midan los lados de los triángulos que se indican.
0.8 y 1.1
a) Medida de los lados del triángulo azul. 0.8,
b) Medida de los lados del triángulo anaranjado. 1.5, 1.5 y 2.1
c) Medida de los lados del triángulo morado. 1.1, 1.1 y 1.5.
2. Analicen las medidas que obtuvieron y respondan en su cuaderno.
P
ro
a) ¿En cualquier triángulo rectángulo hay un lado más largo que los otros dos?
¿Por qué? Ver solucionario
b) Lean y comenten la siguiente información.
En un triángulo rectángulo se identifican estos elementos:
Hipotenusa: Es el lado más largo del triángulo rectángulo.
Catetos: Son los lados que forman el ángulo de 90º.
Cateto
Elementos de un triángulo rectángulo
Hip
ote
nu
90º
sa
Cateto
c) ¿En qué posición están los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo?
Los catetos están colocados en posición perpendicular al ángulo
recto y la hipotenusa, al lado opuesto al ángulo recto.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
167
Trabaja de manera individual y contesta.
3. Analiza la gráfica. La recta f corresponde a la función y 5 2x 1 2.
y
a) ¿Qué tipo de triángulos observas en la imagen?
Triángulos
rectángulos
H
9
b) Mide el segmento que corresponde al cateto opuesto
al ángulo del vértice A, así como la hipotenusa conforme a lo que se indica y anota tus resultados.
ii.
F
f
7
6
Hipotenusa AB: 1.6 cm
5
Segmento DE: 2.7 cm
4
D
n
Segmento BC: 1.4 cm
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
i.
8
Hipotenusa AD: 3.1 cm
B
3
iii. Segmento FG: 4 cm
a
2
Hipotenusa AF: 4.6 cm
A
G
E
C
I
1
iv. Segmento HI: 5.4 cm
Hipotenusa AH: 6.2 cm
22 21
0
1
2
3
4
5
x
6
c) Obtén la razón, hasta centésimos, de cada par de medidas que tomaste
anteriormente (segmento entre hipotenusa) y anótala a continuación:
0.87
ii.
0.87
iii. 0.87
iv.
0.87
i.
R. M. La razón entre los segmentos
d) ¿Qué observas? ¿Cómo son los resultados entre sí? de cada triángulo es la misma.
e) A partir de la medida de los catetos y la hipotenusa, ¿cómo son entre sí los
triángulos? Semejantes
f)
¿Consideras que en todos los triángulos rectángulos cuyos ángulos tengan la
misma medida se obtendrá la misma razón? Argumenta tu respuesta. Sí,
porque
la
medida del ángulo no cambia.
P
ro
Razón trigonométrica seno
A la razón entre la medida del cateto opuesto
al ángulo α y la medida de la hipotenusa se le llama
seno (sen).
B
u
ten
o
Hip
a
A
sa
b
Cateto opuesto
• Comparte tus argumentos y analiza la siguiente información.
Cateto adyacente C
Sesión 1. Formulas la razón trigonométrica seno en la resolución de problemas.
Secuencia didáctica 21
168
Sesión 2
Razón trigonométrica coseno
Formen equipos, hagan lo que se indica y contesten.
1. Analicen la gráfica.
y
H
9
8
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
6
n
F
7
i.
D
5
4
a
2
A
1
0
ii.
Segmento AE: 1.69 cm
cm
Hipotenusa AD: 3.78
iii.
Segmento AG: 2.52 cm
Hipotenusa AF: 5.6
cm
G
E
C
1
Segmento AC: 0.84 cm
Hipotenusa AB: 1.87 cm
B
3
22 21
a) Mide el segmento que corresponde al cateto
adyacente al ángulo del vértice A, así como la medida
de la hipotenusa conforme a lo que se indica y anota
tus resultados.
f
2
3
cm
iv. Segmento AI: 3.37
Hipotenusa AH:7.5 cm
I
4
5
6
x
b) Obtengan la razón, hasta centésimos, de cada par de medidas que tomaron
anteriormente (segmento entre hipotenusa) y anótenla a continuación:
0.45 cm
ii.
0.45 cm
iii. 0.45 cm
iv.
0.45 cm
i.
c) ¿Qué observan? ¿Cómo son los resultados entre sí? R. M. La razón entre los
segmentos de cada triángulo es la misma porque los triángulos son semejantes.
B
Razón trigonométrica coseno
A la razón entre la medida del cateto adyacente al ángulo α
y la medida de la hipotenusa se le llama coseno y
puede abreviarse como cos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
sa
nu
te
ipo
b
H
a
A Cateto adyacente
Cateto opuesto
P
ro
d) ¿Consideras que en todos los triángulos rectángulos cuyos ángulos tengan la
misma medida se obtendrá la misma razón? ¿Por qué? Sí, porque son triángulos
rectángulos y tienen un mismo ángulo en común.
• Compartan con otros equipos sus respuestas. Analicen la siguiente información y, si
tienen dudas, aclárenlas con el profesor.
C
169
¿Cómo vamos?
Reúnete con un compañero y resuelvan las actividades.
1. Tomen como referencia el ángulo a y completen las siguientes imágenes
colocando los nombres correspondientes de los triángulos rectángulos.
a)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Cateto opuesto
Hip
ote
Cateto adyacente
b)
n
Cateto adyacente
nu
sa
Hip
ote
nu
sa
Cateto opuesto
2. Identifiquen los ángulos b y u de los siguientes triángulos rectángulos y, con
base en ellos, calculen el valor de las razones seno y coseno. Tomen las medidas reales de los triángulos.
a)
b)
P
ro
u
sen b 5
2
3.6
sen u 5
3
3.6
cos b 5
3
3.6
cos u 5
2
3.6
• Comparen sus respuestas con las del resto del grupo y lleguen a conclusiones.
Sesión 2. Formulas la razón trigonométrica coseno en la resolución de problemas.
170
Secuencia didáctica 21
Sesión 3
Función trigonométrica tangente
Observa la imagen y haz lo que se pide.
1. Analiza el plano cartesiano en el que se presenta una circunferencia unitaria (una
unidad de radio), cuyo radio forma un ángulo de 45º con respecto del eje x.
y
n
1.5
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1
0.5
0
21.5
a
x
0.5
21 20.5
1
1.5
a 5 45º
20.5
21
21.5
a) Traza una línea perpendicular al eje x, desde el punto de intersección del radio
con la circunferencia, de modo que formes un triángulo rectángulo. Enseguida
mide el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo de 45º.
P
ro
Para que reflexiones sobre
lo aprendido en cada clase,
lleva un diario. Registra en él lo
que aprendiste, lo que más te
gustó y lo que te resultó más
difícil. También puedes escribir
las dudas que te surgieron
y planteárselas al profesor o
investigar las respuestas. Este
diario te permitirá reconocer
tus avances y lo que te falta
por aprender, al tiempo que
se convertirá en un material
de estudio.
Medida del cateto opuesto: 1.4
cm
•
Medida del cateto adyacente: 1.4
cm
b) Calcula la razón de la medida del cateto opuesto entre la medida del cateto
adyacente.
Cateto opuesto
1.4 cm
5
5 1 cm
1.4 cm
Cateto adyacente
c) En la figura, prolonga la línea del radio de manera que se interseque con el trazo
de una recta tangente a la circunferencia, perpendicular con el eje x.
rectángulo
d) ¿Qué tipo de triángulo se formó? Triángulo
e) Mide el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo de 45º del nuevo
triángulo rectángulo que construiste y anota tus resultados:
f)
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras geométricas
•
•
Medida del cateto opuesto: 2 cm
•
Medida del cateto adyacente: 2 cm
Calcula la razón de la medida del cateto opuesto entre la medida del cateto
adyacente.
Cateto opuesto
2 cm
5
51 cm
Cateto adyacente
2 cm
171
iguales
g) ¿Cómo son las razones del primero y el segundo triángulos? Son
h) ¿Sucede lo mismo para cualquier triángulo rectángulo? Sí
a
us
n
ote
b
Hip
Cateto opuesto
B
Razón trigonométrica tangente
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
A la razón entre la medida del cateto opuesto entre la medida
del cateto adyacente al ángulo α se le llama tangente y puede
a
abreviarse como tan.
A Cateto adyacente C
Las razones trigonométricas son útiles para encontrar la
longitud de los lados faltantes en un triángulo rectángulo cuando se conoce la medida
de uno de los lados y un ángulo agudo. Esto es parte del estudio de la trigonometría.
trigonometría. Estudia
las relaciones que existen
entre los lados y los
ángulos de los triángulos,
especialmente los
triángulos rectángulos.
n
• Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias, corrijan.
Resuelvan en parejas.
1. Obtengan la medida de los ángulos interiores (a, b y u) de las figuras que se muestran.
Ver solucionario
y
B
3
2
D
u
b
F
1
23
22
21
0
E G
A a C
1
3
2
x
21
22
23
2. Calculen el valor de la tangente del ángulo que se indica y completen.
Cateto opuesto
1.2 cm
5
5
Cateto adyacente
1.8 cm
0.66
Tangente del ángulo b:
Cateto opuesto
5 1.4 cm 5 Cateto adyacente
1.6 cm
0.88
P
ro
Tangente del ángulo a:
0.7 cm
Cateto opuesto
0.33
5
5
Cateto adyacente
2.1 cm
a) Si ordenan de mayor a menor las medidas que calcularon de la tangente, ¿qué
conclusión pueden obtener respecto a la medida del ángulo? 0.88 > 0.66 > 0.33
En este sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-020 podrás ver
un video que te introduce
a las características de las
razones trigonométricas.
Tangente del ángulo u:
R. M. La razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido. A
mayor ángulo, mayor la medida de la tangente.
• Comparen en grupo sus respuestas y evalúen sus resultados. Calculen entre todos el
seno y coseno de los ángulos α,β y θ.
Sesión 3. Formulas la razón trigonométrica tangente en la resolución de problemas.
Secuencia
didáctica 22
Sesión 1
172
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Contenido: Usarás, en la resolución de problemas que involucran triángulos rectángulos, las razones trigonométricas:
seno, coseno y tangente.
Cálculo de las razones seno,
coseno y tangente
Haz lo que se indica.
1. Calcula los valores de las razones trigonométricas de los ángulos B y C del triángulo
rectángulo. Observa el ejemplo y completa la tabla.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
B
5
4
A
C
3
Cálculo de las razones trigonométricas del triángulo ABC
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto opuesto
Hipotenusa
4
5 5 5 0.8
3
5 0.6
5
sen C:
cos B:
Cateto adyacente
4
5 5 5 0.8
Hipotenusa
cos C:
3
Cateto adyacente
5
5 0.6
Hipotenusa
5
tan B:
Cateto opuesto
3
5
5 0.75
Cateto adyacente
4
tan C:
Cateto opuesto
4
5 3 5 1.3
Cateto adyacente
sen B:
5
a) ¿Qué relación encuentras entre el seno del ángulo B y el coseno del ángulo C?
Son iguales.
b) ¿Por qué sucede esto? Los valores del cateto y la hipotenusa coinciden
P
ro
c) ¿En todos los triángulos rectángulos sucederá lo mismo? ¿Por qué? Sí, ya que la posición de los catetos con respecto de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo y las razones seno y coseno será siempre la misma.
d) ¿Qué relación encuentras entre la tangente del ángulo B y la tangente del
ángulo C? La tangente del ángulo B es el inverso multiplicativo de la tangente
del ángulo C y viceversa.
e) ¿Consideras que en cualquier triángulo rectángulo sucederá lo mismo?
¿Por qué? Sí
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
173
Relaciones entre razones trigonométricas
En parejas observen la imagen y respondan.
1. Analicen el triángulo, en el que solo se tiene la medida de un cateto y la medida de
un ángulo agudo. Después resuelvan lo que se indica.
C
d
ángulos
interiores de cualquier triángulo es de 180o.
34º
D
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b) Completen la tabla. Calculen las razones trigonoE
métricas de los ángulos agudos.
e54
n
a) ¿Cuánto mide el ángulo C? ¿Por qué?
El
ángulo C mide 56º, porque la suma de los
c
Razones trigonométricas del triángulo CDE
Cateto opuesto
Hipotenusa
sen 34º 5
sen 34º 5
4
d
sen 56º º 5
4
sen 56º º 5 c
d
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
Hipotenusa
c
cos 34º 5
d
Cateto adyacente
Hipotenusa
4
cos 56º º 5
d
Cateto opuesto
Cateto adyacente
tan 34º 5 4
c
Cateto opuesto
Cateto adyacente
4
tan 56º º 5 c
d
4
cos 34º 5
tan 34º 5
cos 56º º 5
tan 56º º 5
c) ¿Cuáles de las razones trigonométricas del ángulo de 34º se pueden resolver de
forma algebraica? Seno y tangente
P
ro
d) ¿Cuáles de las razones trigonométricas del ángulo que calculaste se pueden
resolver de forma algebraica? Coseno y tangente
Tablas trigonométricas
En la actualidad, si se conoce la medida de uno de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo, es posible obtener las razones trigonométricas usando una
calculadora científica y, así, calcular la longitud de los lados y ángulos faltantes
de cualquier triángulo rectángulo. También se puede usar una tabla de razones
trigonométricas, que es una tabla donde se exponen los valores de sen, cos y tan
de los ángulos notables. Con ella se pueden realizar cálculos en trigonometría sin
necesidad de utilizar una calculadora.
Sesión 1. Usas, en la resolución de problemas que involucran triángulos rectángulos,
las razones trigonométricas: sen, cos y tan.
174
Secuencia didáctica 22
Sesión 2
Resolución de problemas que involucran
triángulos rectángulos
Analiza la situación y, con la tabla de razones, completa lo que se pide.
Ángulo
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Sofía necesita calcular la altura de un pino que está en el jardín de su
casa. Para obtener ese dato, primero midió el ángulo que forman la
punta del pino y el extremo de la sombra del pino. Para medir el ángulo,
colocó un espejo y un popote en el suelo, en el extremo de la sombra,
e inclinó el popote hasta ver el reflejo de la punta del pino. Luego midió,
con un transportador, la inclinación del ángulo que forma el popote con el
suelo y obtuvo 37º. Con ese dato, le pidió a su maestra de Matemáticas
que le ayudara a hacer los cálculos necesarios para encontrar la altura
aproximada del pino, usando la siguiente tabla de razones trigonométricas.
sen
0
1º
0.017
2º
tan
Ángulo
sen
cos
tan
Ángulo
sen
cos
tan
1
0
16º
0.276 0.961
0.287
31º
0.515
0.857
0.601
1
0.017
17º
0.292 0.956
0.306
32º
0.53
0.848
0.625
0.035 0.999 0.035
18º
0.309 0.951
0.325
33º
0.545
0.839 0.649
3º
0.052 0.999 0.052
19º
0.326 0.946
0.344
34º
0.559 0.829 0.675
4º
0.07
5º
0.087 0.996 0.088
20º
0.342 0.94
0.364
35º
0.574
6º
0.105
0.995 0.105
21º
0.358 0.934
0.384
36º
0.588 0.809 0.727
7º
0.122
0.993 0.123
22º
0375
0.927
0.404
37º
0.602 0.799
0.754
8º
0.139
0.99
23º
0.391
0.921
0.424
38º
0.616
0.781
9º
0.156
0.988 0.158
24º
0.407 0.914
0.445
39º
0.629 0.777
0.81
10º
0.174
0.985 0.176
25º
0.423 0.906
0.466
40º
0.643
0.766
0.839
11º
0.191
0.982 0.194
26º
0.438 0.899
0.488
41º
0.656 0.755
0.869
12º
0.208 0.978 0.213
27º
0.454 0.891
0.51
42º
0.669 0.743
0.9
13º
0.225 0.974
0.231
28º
0.47
0.883
0.532
43º
0.682 0.731
0.9333
14º
0.242 0.97
0.249
29º
0.485 0.875
0.554
44º
0.695 0.719
0.966
15º
0.259 0.966 0.268
30º
0.5
0.577
45º
0.707
1
0.998 0.07
P
ro
0º
cos
0.141
0.866
0.819
0.788
0.707
0.7
a) Comenta con un compañero cómo usar la calculadora o las tablas trigonométricas
para calcular las razones trigonométricas. Después coméntenlo en grupo.
b) Escribe la sustitución, el despeje y las operaciones para obtener la altura del pino.
tan 37º 5
e 15
5
Se despeja e: tan 37º ( 15 ) 5 e
Se sustituye el valor de la tangente: (0.754) ( 15 )5 e
metros
La altura del pino es: 11.31
• Compara tus resultados con un compañero. Comenten en grupo si existe alguna otra
razón trigonométrica que también sea útil para calcular la altura del pino.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras geométricas
175
¿Cómo vamos?
Analiza y resuelve.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Determina la altura de un monumento que está sostenido por un cable tendido
desde su punto más alto (A) hasta el piso (punto C), a 16 metros de distancia de
la base (medida de B a C). El cable forma un ángulo de 40° con el piso.
a) ¿Qué razón trigonométrica es útil para calcular la altura del monumento?
La razón tangente
b) Escribe la sustitución, el despeje y las operaciones para obtener la altura.
tan 40º 5 c
16
(tan
40°)
(16)
5
c
(0.839) (16) 5 c
13.4 metros
P
ro
c) Si tuvieras que calcular la longitud del cable, ¿qué razón trigonométrica
usarías? Tomando como referente el ángulo de 40º, la razón coseno.
Tomando como referente el ángulo de 50º, la razón seno.
d) ¿Cuál es la longitud del cable? La longitud del cable es de 20.8 metros
e) ¿Puedes utilizar una razón trigonométrica distinta? Sí
¿Cuál? R. M. sen 50° 5 16
b
• Compara tus respuestas con las del resto del grupo y lleguen a conclusiones
generales. Escríbanlas en su cuaderno.
Sesión 2. Calculas las razones trigonométricas sen, cos y tan.
Secuencia didáctica 22
176
Sesión 3
Resolución de problemas
En parejas resuelvan los siguientes problemas. Usen razones trigonométricas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Los habitantes de una comunidad construirán un puente con rampas de acceso
sobre un río que mide 8 metros de ancho. Para saber la cantidad de material que
deben utilizar, necesitan conocer todas las longitudes del puente. Por motivos de
seguridad, el puente debe quedar a 1.5 metros sobre el nivel del agua y las rampas
de acceso deben tener una inclinación (α)de 30º.
8m
α 1.5 m
1.5 m
α
a) ¿Qué distancia existe entre el río y el comienzo de cada rampa de acceso
(segmentos DE y D’E’)? 2.59 metros
b) ¿Cuánto mide cada rampa de acceso? 3 metros
c) Si los habitantes de la comunidad desean colocar un barandal al puente, ¿cuánto
medirá? 14 metros
2. ¿Cuál es el área de un pentágono regular si cada uno de sus lados mide 18 centímetros?
554.85 cm
P
ro
300 m
Getty/ Yury Prokopenko
43º
3. En una playa hay un faro de 300 metros de altura que emite
una luz con un ángulo de 43º hacia donde se encuentra una
lancha. Calculen la distancia a la que se encuentra la lancha.
279.9
metros
4. Una torre está sostenida por un tirante que se encuentra a 25
metros de distancia de la base y forma un ángulo de 45º con
el suelo.
a) ¿Cuál es la altura de la torre? 25 metros
b) ¿Cuál es la longitud del tirante? 35.3 metros
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
177
Trabajen en equipos.
5. Para la siguiente actividad necesitarán un popote rígido suficientemente amplio para
ver a través de él, un transportador, hilo, pegamento o cinta adhesiva y varias tuercas.
a) Amarren varias tuercas a un extremo del hilo para que generen peso. Aten el
otro extremo del hilo justo donde se ubica la marca del centro del transportador.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
o
b) Lo que han construido es un teodolito “casero”. Los teodolitos que usan algunos
ingenieros sirven para medir ángulos. El que tú construiste también te ayudará a
calcular los ángulos necesarios para medir las alturas de los objetos.
6. Observen la imagen de abajo. Luego expliquen en su cuaderno cómo usar el teodolito.
Si lo consideran necesario, pidan ayuda a su profesor. Ver solucionario
90˚—
El teodolito es un
instrumento manual y
portátil que ayuda a los
ingenieros y topógrafos
a medir desniveles y
distancias.
a
En el sitio web www.esant.
mx/ecsema3-021 pondrás
a prueba tus conocimientos
sobre las razones
trigonométricas. Simplifica
las fracciones a su mínima
expresión o las contará
como incorrectas.
P
ro
a
a) Formen equipos y, con la supervisión del profesor, usen su teodolito para
calcular la altura de diferentes objetos dentro de la escuela (árboles, asta
bandera, etcétera).
b) Expongan al grupo sus resultados, mencionen los objetos que midieron, la
forma en que usaron su teodolito y los datos o medidas que fue necesario
conseguir para calcular las alturas.
• Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otros compañeros. Luego
analicen los triángulos que trazaron y revisen si son iguales. Si lo consideran necesario,
corrijan.
Sesión 3. Profundizas en el cálculo de las razones trigonométricas.
178
Un cuarto de círculo unitario
1. Abre una ventana en GeoGebra y haz lo siguiente.
Ubica el cursor sobre el icono Circunferencia
, y da clic en la flecha
que está en la parte inferior derecha,
se desplegará un menú como el de la
imagen 1.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
i.
Imagen 1
ii. Selecciona la opción Sector circular
y da clic en los puntos (0, 0), (1,
0) y (0, 1). Obtendrás un sector
circular como en la imagen 2.
Imagen 2
. Después ubica el cursor sobre la Vista
iii. Da clic en el icono Elige y Mueve
Gráfica y desliza el ratón para aumentar o disminuir la escala del plano
cartesiano. Si no logras ver el sector circular, haz clic sobre el fondo y arrastra.
•
En este caso aumenta la escala, de manera que el sector circular abarque
casi el alto de la Vista Gráfica.
P
ro
y da clic arriba de la figura. Te aparecerá un
Selecciona el comando
recuadro como el de la imagen 3. Elige la opción Ángulo, nómbralo t. Define
el intervalo de 0° a 90°. Después haz clic en OK. Se mostrará el ángulo t.
Ve imagen 4.
Imagen 3
Imagen 4
179
iv. Escribe en la barra de Entrada “D=(cos(t), sen(t))” y pulsa Enter. Ahora escribe
“E=(cos(t), O)” y oprime Enter. En la Vista Gráfica, se mostrarán los puntos D y E.
y ubica el cursor sobre el
Usa el comando Elige y Mueve
cateto opuesto respecto al ángulo /EAD. Haz clic en el botón
derecho del ratón, se desplegará un menú de opciones (ver
imagen 5) y selecciona la opción Renombra. Luego, en el
recuadro que aparezca, escribe “CO” y da clic en OK.
Ver imagen 6.
•
Repite el punto anterior para el cateto adyacente del ángulo
/EAD y para la hipotenusa del triángulo; después renómbralos respectivamente como “CA” e “Hip” (de hipotenusa).
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
•
n
v. Construye el triángulo con vértices en A, E y D. Para ello, seleccioy da clic en los puntos A, E, D y A.
na el comando Polígono
Ve imagen 5.
Imagen 5
a) Comprueba que t 5 /EAD. Como D 5 (cos (t), sen (t)) 5 (CA, CO) 5
(cos
/EAD, sen /EAD, por tanto, t 5 /EAD.
y da clic en los vértices D, E y A del triángulo,
en el orden que se indica. ¿Qué tipo de ángulo se formó? Un ángulo recto
b) Selecciona el icono Ángulo
2. Retoma la gráfica que hiciste en la actividad anterior y haz lo que se solicita.
i.
Ubica el cursor sobre el ángulo t y da clic en el botón derecho del ratón, se
desplegará un menú de opciones, selecciona la opción Animación y observa el
comportamiento de la gráfica.
a) ¿Qué sucede con los catetos del triángulo AED cuando el ángulo t se
acerca a 0°? ¿Y cuando el ángulo t se aproxima a 90°? Ver solucionario
P
ro
ii. Da clic en el botón Pausa, que está en la parte inferior izquierda de la Vista
Gráfica. Desliza el ángulo t hasta que sea igual a 90°. Después calcula la razón
trigonométrica tangente de 90° (los valores de los catetos aparecen en la Vista
Algebraica). Explica por qué resultan estos valores.
No está definida, porque tan 90° = CO / CA = 1/0 y este número no está definido.
3. Contesta lo siguiente en tu cuaderno.
a) ¿Qué modificaciones harían a la construcción que realizaron para formar, en
lugar de un cuarto de círculo unitario, el círculo unitario completo?
R. M. Elegir la opción circunferencia (centro, radio), de radio 1.
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros, analícenlas y lleguen a acuerdos.
De manera grupal y con el apoyo del profesor, usen el cuarto de círculo unitario que
construyeron en la actividad 1 para calcular las razones trigonométricas seno, coseno y
tangente de 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Investiguen más acerca del círculo unitario.
Imagen 6
180
Secuencia
didáctica 23
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación
media) de dos conjuntos de datos.
Contenido: Resolverás problemas de comparación de conjuntos de datos en los que sus dispersiones son iguales o muy
cercanas, pero las medias o medianas respectivas muy diferentes.
Dispersiones iguales
y medias diferentes
Analiza la situación y contesta.
1. Una nota periodística compara los precios de comida en los restaurantes y fondas
de dos zonas de la Ciudad de México.
n
a) ¿A qué consideras que se debe la comparación de los precios? R. L.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
b) En las tablas se muestra el costo mínimo de la comida en algunos locales.
Analiza los datos para tener más información y conocer la situación a la que se
enfrentan los empleados de cada zona.
Zona de Coyoacán
Restaurantes
Precios ($)
Cocina Ceci
55
Las Cabañas
60
El Oasis
65
Tianguis
45
Pozoles
50
Los Tacos
70
Zona de Polanco
Restaurantes
Precios ($)
The Chef
270
Delicious
400
El Arte de Cocinar
600
Inesperado
500
La Sazón
350
Délicieux
560
c) Obtén la media aritmética, hasta décimos, de los precios de cada zona.
Zona de Coyoacán: x 5 $57.5
Zona de Polanco: x 5 $446.6
d) Al comparar las medias aritméticas, ¿podemos inferir información adicional a
la que se interpreta en las tablas? Argumenta tu respuesta y, en caso de que tu
respuesta sea afirmativa, escribe qué tipo de información se obtiene. Sí, pues la
media aritmética indica cuál es el promedio de lo que se gastará en cada zona.
P
ro
Obtén la desviación media de los precios.
Zona de Coyoacán: Dx 5 7.5
Zona de Polanco: Dx 5 106.6
e) ¿Qué información adicional a la anterior puedes deducir a partir de las desviaciones
medias? En Polanco los precios varían mucho.
f)
¿Cuál es tu opinión sobre la problemática que enfrentan los empleados? R. L.
• Comenta tus respuestas con tus compañeros. Argumenta tus interpretaciones y luego
lleguen a un consenso.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
181
Comparación de medias y dispersiones
En parejas, analicen la situación y respondan. Calculen las medidas hasta décimos.
a) Calculen la media aritmética de los datos.
Zona 3
Restaurantes Precios ($)
Restaurantes de la zona 3: x 5 $790.83
b) Anoten en los primeros tres recuadros las medias aritméticas de las tres
zonas anteriores.
1
790
2
800
3
799
794
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
4
n
1. En otra zona de la Ciudad de México, los precios de la comida en varios
restaurantes son los que se muestran en la tabla.
$57.5
$446.6
$790.83
R. M.
$243.33
5
793
6
769
c) ¿Qué pueden inferir de las tres medias aritméticas calculadas?
Que el promedio de gasto es mayor en la zona 3.
d) Calculen, hasta décimos, la desviación media de los restaurantes de la zona 3.
Restaurantes de la zona 3: Dx 5 7.5
e) Anoten en los primeros tres recuadros las desviaciones medias calculadas hasta
el momento.
7.5
f)
106.6
7.5
R. M. 106.6
¿Qué pueden inferir de las desviaciones medias registradas?
En la zona de Polanco los precios varían mucho.
g) ¿Por qué, aunque los precios de la comida son diferentes entre las tres zonas, se
P
ro
muestran dos desviaciones medias iguales? Porque los datos están igual de
dispersos, aunque los costos sean muy diferentes.
• De manera grupal, corroboren sus cálculos. Si hay errores, corrijan.
2. Inventen en equipos los precios de otra zona de la ciudad, de manera que
tengan la misma desviación media que Polanco, pero diferente media.
Anoten la media aritmética y la desviación media en los recuadros rojos
anteriores. R. M.
• Comparen sus propuestas con las del resto del grupo y compartan la estrategia
que siguieron para cumplir con las características del problema.
Zona X
Lugar
Precio ($)
1
98
2
156
460
3
4
5
6
330
260
156
Sesión 1. Resuelves situaciones de comparación de conjuntos de datos para identificar sus dispersiones
(iguales o muy cercanas) y las medidas de tendencia central (medias o medianas respectivas muy diferentes).
182
Secuencia didáctica 23
Sesión 2
Dispersiones iguales, medianas diferentes
Haz lo que se pide.
1. Analiza las gráficas. Todos los cálculos que harás en esta sesión serán hasta un
decimal de precisión.
Profesiones mejor y peor pagadas
Sueldo promedio nacional: $6 185 / Sueldo promedio de profesionista: $11 961
$ 33 266
$ 17 951
$ 17 771
Orientación
y asesoría educativa
Filosofía y ética
Criminología
Deportes
Formación docente nivel para
educación básica, nível preescolar
Lenguas extranjeras
Industria de la alimentación
Formación docente para
educación básica, nível primaria
Formación docente para
educación física, artística y tecnológica
Trabajo y atención social
$ 7 574
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Química
Servicios
de transporte
Física
Minería
y extracción
Finanzas,
banca y seguros
Estadística
Salud pública
Farmacia
Ciencias
ambientales
Medicina
n
10 con menor salario / Salario promedio
10 con mayor salario / Salario promedio
$ 17 048
$ 16 720
$ 16 674
$ 16 334
$ 16 329
$ 15 400
$ 15 224
$ 8 060
$ 8 119
$ 8 300
$ 8 418
$ 8 423
$ 8 648
$ 8 747
$ 8 883
$ 8 938
Fuente: Cáculos del IMCO con información del INEGI. ENOE 2016-I, ENOE 2016-II, , ENOE 2016-III, , ENOE 2016-IV
a) ¿Qué carrera es la mejor pagada? Química
b) ¿Qué carrera es la peor pagada? Orientación y asesoría educativa
c) ¿Cuál es la mediana de las carreras mejor pagadas? $16
697
d) ¿Cuál es la mediana de las carreras peor pagadas? $8 420.5
e) ¿Cuál es la desviación media de las carreras mejor pagadas? $2 998.8
f)
los salarios se encuentran
¿Qué puedes deducir de esa desviación media? Que
más dispersos.
g) ¿Cuál es la desviación media de las carreras peor pagadas? $318.2
P
ro
los salarios se encuentran
h) ¿Qué puedes deducir de esa desviación media? Que
menos dispersos.
2. En parejas, modifiquen los sueldos de las carreras mejor pagadas para que su
desviación media sea igual que la de las carreras peor pagadas. Enlisten sus
respuestas.
R.
M. Puede haber una infinidad de soluciones. Una respuesta es 18 272, 18 900,
19
000, 18 899, 18 219, 18 278, 18 270, 18 270, 17 647, 18 271.
a) ¿Cuál es la mediana de los nuevos sueldos que determinaron? $18
271.5
b) ¿Cómo es esa mediana en comparación con la de los sueldos más bajos? Es distinta.
• Comenten sus respuestas y la estrategia que implementaron para homologar las
dispersiones.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
183
¿Cómo vamos?
Analiza y resuelve.
1. En el siguiente ejercicio no hay un contexto. Escribe en el centro de cada tabla
una cantidad (será la mediana) que sea considerablemente diferente en las tres
tablas. Después escribe las cantidades que consideres necesarias de manera
que la desviación media de las tres tablas sea igual.
17
14
1
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
3
3
4
8
n
8
8
Mediana
9
10
12
15
16
Dx
19
20
8
9
2.73
2.73
25
21
23
2.73
• Compara tus respuestas con las del resto del grupo. Compartan sus estrategias de
solución. R. M.
2. Por equipos, inventen un problema donde las cantidades que escribieron en
cada columna se apliquen en un contexto real.
En la siguiente tabla se registra la cantidad de mapas que se vende en una
papelería durante una semana:
D
10
L
12
M
15
M
8
J
8
V
8
S
16
Número de panes vendidos a 7 clientes:
P
ro
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 Cliente 6 Cliente 7
9
8
3
8
4
3
1
Número de niñas por salón en una escuela:
Salón 1
21
Salón 2
25
Salón 3
23
Salón 4
14
Salón 5
19
Salón 6
17
Salón 7
20
• Comenten con el resto del grupo los problemas que inventaron. Entre todos opinen si
realmente representan a las cantidades que escribieron en las tablas.
Sesión 2. Analizas situaciones de comparación de conjuntos de datos en los que sus dispersiones
son iguales o muy cercanas, pero las medias o medianas respectivas muy diferentes.
184
Secuencia didáctica 23
Sesión 3
Resolución de situaciones de comparación
Trabaja con un compañero y contesten.
1. En un artículo publicado en el año 2017, se menciona que México ocupa el segundo
lugar mundial en obesidad:
n
1.o Estados Unidos de América, con 38.2%
2.o México, con 32.4%
hi ©S
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T
su IL
L
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st NA
ri
bu
ci
ó
Los países con menor nivel de obesidad en adultos son Japón (3.7%) y Corea
del Sur (5.3%). Se proyecta que para 2030 la obesidad en México aumente
a 39% y en Estados Unidos de América a 47%.
Fuente: goo.gl/Bq68t1 (consulta: 04 de marzo de 2021)
a) ¿Cuál es la media aritmética del porcentaje de prevalencia de obesidad en
4.5 ¿Cuál es la mediana de estos dos
los países con menos obesidad?
países? 4.5%
b) ¿Cuál es la media aritmética de los países con más obesidad? 35.3
¿Cuál es la mediana de estos dos países? 35.3%
c) ¿Qué observan entre las medidas de la media y la mediana de estos cuatro países?
Expresa las dudas que te
hayan surgido en la clase,
no temas exponerlas. Es
posible que otros compañeros
las compartan y de esta
manera encuentren juntos
la respuesta.
Son las mismas. ¿Por qué ocurre esto? Porque la mediana de dos datos es su promedio.
d) ¿Cuál es su opinión al comparar las medias aritméticas o medianas de los países
con menos obesidad comparada con los de más obesidad? R. L.
e) ¿Cuál es la media aritmética proyectada para el 2030 de los países con más
obesidad? 43%
f)
¿Cuál es su opinión respecto a esta proyección? R. L.
2. Lean la siguiente información.
P
ro
Utilidad de las medidas de tendencia central
Múltiples instituciones (universidades, instituciones gubernamentales, empresas,
medios de comunicación) llevan a cabo estudios para encontrar un dato
representativo del total de datos recolectados.
La información recolectada permite definir prioridades y trazar un plan de acción, así
como hacer proyecciones en un tiempo determinado.
• Tomen como base la formalización y escriban qué tipo de institución estaría interesada
en recolectar los datos de la actividad inicial y qué haría con ellos. Tracen un posible plan
de acción. Coméntenlo en el grupo y escuchen todas las posibilidades.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
185
Trabajen en parejas.
1. Dos fundaciones se disputan el premio “Mejor amigo de los animales”. El jurado
debe analizar las evidencias de su actividad en favor de los animales y nombrar a la
ganadora. No está permitido el empate.
hi ©S
bi A
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T
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L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) ¿Con la información anterior pueden asegurar a quién otorgar el premio?
Argumenten. R. L.
n
A. La fundación Patitas informó que en promedio donó $6 700 a diferentes
instituciones que cuidan algunas especies de animales.
B. La fundación Animalitos mostró que en promedio donó $6 700 a diferentes
instituciones de ayuda a los animales.
2. Los jueces no pudieron decidir, así que solicitaron a ambas fundaciones que
entregaran un desglose de sus donaciones.
Patitas reportó lo siguiente:
Donaciones realizadas
Donación a albergue de perros callejeros
Donación a cuidadores de tortugas
Donación al cuidado de los delfines
Donación al cuidado del ajolote
Donación al cuidado de la vaquita marina
Donación al cuidado de la mariposa monarca
Cantidad donada ($)
35 000
900
1 300
1 400
1 000
600
En el sitio web www.esant.
mx/ecsema3-022 se
presentan algunos casos
en los que se utilizan las
medidas de tendencia
central.
Animalitos reportó lo siguiente:
Donaciones realizadas
Donación a albergue de perros callejeros
Donación a cuidadores de tortugas
Donación al cuidado de los delfines
Donación al cuidado del ajolote
Donación al cuidado de la vaquita marina
Donación al cuidado de la mariposa monarca
Cantidad donada ($)
6 500
6 800
7 000
6 300
6 700
6 900
P
ro
a) Comprueben que las medias aritméticas reportadas por ambas fundaciones son
correctas.
b) ¿A quién otorgarían el premio? A la fundación Animalitos.
c) Expresen en un informe breve las razones por las que eligieron a la fundación
ganadora. Mencionen las evidencias necesarias para sustentar sus razones.
R. M. La desviación estándar de la fundación Patitas es de 9 433.33
mientras que la de la Animalitos es de 200, es decir, la dispersión de las
donaciones es menor en la fundación Animalitos, lo que indica que no
favoreció a ningún grupo de animales.
• Elijan a cinco personas para que compartan sus informes con el resto del grupo.
Sesión 3. Resuelves situaciones de comparación de conjuntos de datos en los que sus dispersiones son iguales o muy cercanas, pero las medias o medianas respectivas muy diferentes.
186
Secuencia
didáctica 24
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación
media) de dos conjuntos de datos.
Contenido: Resolverás problemas de comparación de conjuntos de datos en los que sus dispersiones son muy diferentes,
pero las medias o medianas respectivas iguales o muy cercanas.
Dispersiones muy diferentes y medias
iguales (resolución)
Analiza la situación y contesta.
1. Dos empresas de juegos y sorteos entregan, al azar, un premio, de los diez posibles
que ofrecen.
n
P re
mio s
remio
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Premios
de la empresa 1:
$ 5 000
$ 24 000
$ 800
$ 1 000
$ 8 900
$ 2 000
$ 200
$ 50 000
$ 5 000
$ 1 000
de la empresa 2:
$
$ 8 000
$
$ 9 790
$
$ 10 000
$
$ 9 500
$
$ 9 790
$
$ 11 580
$
$9 580
$
$ 9 500
$
$ 9 790
$
$ 10 370
a) ¿Qué empresa ofrece el mayor premio? La empresa 1
b) ¿Qué empresa ofrece el menor premio? La empresa 1
2. Una persona comenta que no sabe en cuál empresa jugar porque, en promedio, los
premios de ambas se encuentran equilibrados. Obtén la media aritmética de cada
conjunto de premios.
Premios de la empresa 1: x 5 $9 790
Premios de la empresa 2: x 5 $9 790
a) ¿Estás de acuerdo con la afirmación anterior? Argumenta tu respuesta. R. M. No,
pues que tengan medias iguales no significa que los premios sean parecidos.
P
ro
3. Otra persona dice que elegirá jugar en la empresa 1 porque, al calcular la desviación
media de cada conjunto, notó que ofrece mayores premios.
Premios de la empresa 1: Dx 5 10 884
Premios de la empresa 2: Dx 5 516
a) ¿Estás de acuerdo con la afirmación de la segunda persona? Argumenta tu
respuesta. R. M. No, pues la dispersión entre los premios no asegura que sean
cantidades mayores.
b) ¿Qué empresa elegirías y por qué? R. M. La empresa 2, pues el menor premio
es mucho mayor que el menor de la empresa 1.
• De manera grupal corroboren sus respuestas y sus argumentos.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
187
Análisis de medias y dispersiones
En parejas hagan lo que se indica.
1. Determinen la mediana, la media aritmética y la desviación media de los siguientes
conjuntos de datos.
a) Edad de las personas que asistieron a dos clínicas de salud el fin de semana.
Edad de las personas que asistieron a la clínica A (años)
16
18
49
46
35
35
79
42
56
23
25
32
67
14
53
18
Edad de las personas que asistieron a la clínica B (años)
10
38
n
12
20
Clínica A Clínica B
hi ©S
bi A
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T
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
89
61
15
57
11
70
55
3
25
16
56
93
1
2
86
10
64
89
71
18
x5
39.5
39.5
Dx 5
18.65
28.55
Md 5
35
31.5
Describan la población que asiste a cada clínica. Ver
solucionario
ii. ¿En cuál clínica consideran que tienen servicio de pediatría? En ambas clínicas
i.
iii. Si tuvieran un solo lote de medicinas para adultos y uno solo de medicina
infantil, ¿cómo los distribuirían entre las dos clínicas? Argumenten su
respuesta. La
mayoría de los medicamentos infantiles iría a la clínica B y los
medicamentos para adultos, a la clínica A.
b) Ganancias semanales de dos tiendas de revistas.
Tienda 1 ($)
560 600 780
Tienda 2 ($)
i.
0
0
0
900
1 500
2 000
890
0
6 090
500
640
x5
Dx 5
Md 5
Tienda 1 Tienda 2
1 032.8 1 032.8
409.7
890
1 444.8
0
¿Qué consideran que sucede en cada tienda, de acuerdo con la información
de las tablas? R. L.
ii. Si fueran dueños de ambas tiendas, ¿para qué les interesaría conocer el
P
ro
ingreso promedio y la desviación media de las ganancias? Consideren que a
cada empleado se le paga por día de trabajo. Ver solucionario
¿Cómo vamos?
1. En equipos, realicen una encuesta sobre algún tema de interés o sobre algún
servicio o espacio de su escuela. Las respuestas deben ser datos numéricos
para que puedan obtener la media, la desviación media y la mediana.
Analicen los resultados e interpreten la información. Al final expongan sus
resultados frente al grupo y tomen decisiones que aporten algún beneficio sobre
el tema analizado. R. L.
Sesión 1. Resuelves situaciones de comparación de conjuntos de datos para identificar sus dispersiones (muy
diferentes) y las medidas de tendencia central (las medias o medianas respectivas son iguales o muy cercanas).
188
Secuencia didáctica 24
Sesión 2
Dispersiones muy diferentes y medias iguales
(análisis)
Resuelve.
1. Un restaurante se encuentra muy cerca de dos escuelas. Los alumnos de cada
escuela usan un uniforme que los distingue. Un cliente ha notado algo.
a) Observa las tablas, contesta y deduce qué es lo que nota el cliente.
hi ©S
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Tiempo en minutos que tardan los meseros en tomar la orden o en atender a los
clientes, en un día de trabajo.
Tiempo que tardan los meseros en tomar la orden en la escuela Y (min)
5.5
6
5.25
6.2
5.3
6.4
20
5.3
5.5
25
5.2
6.1
5.5
6.3
5.9
35
6.5
5.8
6
5.7
Tiempo que tardan los meseros en tomar la orden en la escuela X (min)
8
7
11
10
9
9.1
12.3
10
9
8
10
7
7.7
8.1
8
9
10
10
7.3
7.95
b) ¿Tienes idea de lo que notó el cliente? Explica tu respuesta. Ver solucionario
2. El cliente tomó el tiempo que los meseros tardaron en atender a 20 clientes
elegidos al azar. Registró los datos en las tablas anteriores y los presentó como
evidencia al gerente, pues consideró que en el restaurante recibían mejor atención
los alumnos de una escuela que los de la otra.
a) El gerente analizó los datos del cliente y pretendió justificar su actitud con un
argumento matemático basado únicamente en los datos de las tablas. ¿Cuál
crees que fue su argumento? “En promedio, tardamos lo mismo en atender a
los clientes de una escuela y a los de la otra, ya que tardamos exactamente
8.92 minutos en atender a todos los estudiantes”.
b) El cliente, al escuchar el argumento con que el gerente intentaba justificarse,
P
ro
defendió su postura con base en los datos de las tablas. ¿Cuál consideras que
fue su argumento? Que la dispersión mostraba que en una escuela se atendía
con una desviación media de 5.3 minutos y en otra de 1.1.
c) ¿Qué datos modificarías en alguna o en ambas tablas para que los argumentos
cambiaran? Justifica tu respuesta. El valor de los datos extremos, pues con
el cambio de estos datos podría demostrarse mejor el argumento, porque las
medias aritméticas cambiarían.
• Dialoguen en grupo sobre la actitud de los empleados del restaurante. Comenten si
están de acuerdo o no y cómo el análisis matemático puede apoyar en la demostración
de un argumento.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
189
¿Cómo vamos?
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
1. Dos empresas ofrecen servicios de transportación. En una se emplean
camionetas con capacidad para 10 personas; y en la otra se usan autobuses
con capacidad para 45 personas, como se ilustra en las imágenes de la derecha.
Una de las empresas reporta que en dos años, en promedio, 11.25 personas se
vieron involucradas en algún tipo de accidente usando sus servicios. La otra
empresa reporta que también en dos años tuvo el mismo promedio de clientes
afectados por accidentes.
n
Analiza la situación y responde.
a) Si tuvieras que usar los servicios de una de esas empresas, ¿cuál elegirías
y por qué? R. L.
2. En las tablas se muestra el reporte mensual de las personas involucradas en
algún tipo de accidente en cada línea de transporte.
Cantidad de personas involucradas en un accidente en la empresa A
Año 1
Año 2
Año 1
Año 2
0
45
0
0
0
0
90
0
0
0
0
0
45
0
0
0
0
0
0
45
0
0
0
45
Cantidad de personas involucradas en un accidente en la empresa B
10 20 10 30 10 40 10
0
10 10 10 10
10
10
10
10
10
10
10
10
0
10
0
10
a) ¿Es cierto el promedio de personas accidentadas que reportan? Sí
b) ¿Cuál es la desviación media de cada empresa? 17.8 la de autobuses y
4.68 la de las camionetas.
c) ¿Qué significado tiene la media aritmética que reportan y cómo se interpreta
la parte decimal? La media significa el promedio de personas involucradas
en accidentes y que se reparte en los 24 meses.
P
ro
d) ¿Qué significado tiene la desviación media en el contexto del problema?
Ver solucionario
e) ¿Qué empresa elegirías para viajar y por qué? La empresa de los
autobuses porque los accidentes son más esporádicos.
f)
¿Cuál es la diferencia de las interpretaciones que se pueden hacer de las
desviaciones medias del problema de la página anterior y las del problema
solucionario
de las empresas de transporte? Ver
• Comparte tus respuestas y tus argumentos con el resto del grupo. Lleguen a acuerdos en común.
Sesión 2. Analizas situaciones de comparación de conjuntos de datos en los que sus dispersiones
son muy diferentes, pero las medias o medianas respectivas iguales o muy cercanas.
190
Secuencia didáctica 24
Sesión 3
Dispersiones diferentes y medias iguales
(resolución con diferente número de datos)
Haz lo que se pide.
1. Un organismo no gubernamental destinó cierta cantidad de dinero a dos
instituciones con la finalidad de apoyar económicamente a alumnos para que
continúen sus estudios.
n
a) Observa la forma en que cada institución asignó los apoyos a los alumnos.
hi ©S
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T
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L
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ri
bu
ci
ó
Apoyos asignados por la institución 1 ($)
1 300
1 300
1 000
1 300
1 300
1 200
1 300
1 300
1 300
18 000
Apoyos asignados por la institución 2 ($)
9 700
1 300
1 200
1 350
1 100
b) Calcula la media, la mediana y la desviación media del dinero que el organismo
aportó a las instituciones.
Institución 1
Institución 2
x 5 2 930
Md 51 300
x52
930
Md 5 1 300
Dx 5 3014
Dx 5 2 708
c) ¿Cómo es la media aritmética entre ambas situaciones? Igual
d) ¿Cómo es la mediana entre ambas instituciones? Igual
e) ¿Cómo es la desviación media entre ambas instituciones? Direrente
la segunda
f) ¿En cuál de ellas se distribuyó el apoyo más equitativamente? En
P
ro
Argumenta tu respuesta. Porque los datos están menos dispersos.
g) ¿Cómo explicas que, aun teniendo medias y medianas iguales, los datos tengan
diferente desviación media? Los datos extremos las hicieron alejarse, aunque
en una son 10 datos y en la otra 5.
h) Propón nuevos valores o modifica alguna de las tablas de valores para reducir
la diferencia entre las desviaciones de una y otra institución. Puedes escribirlos
frente a las tablas. Ver solucionario
• Compara tus respuestas y tus argumentos con los del resto del grupo.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
191
Apoyando argumentos
n
Las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión permiten analizar
conjuntos de datos. El análisis de la información ayuda a valorar una situación de
manera matemática y, hasta cierto punto, objetiva.
Por ejemplo, en las situaciones trabajadas en esta secuencia didáctica, dependiendo
de la medida de tendencia central que se use, puede justificarse algún aspecto:
seguridad, equidad, atención, entre otras.
1.
hi ©S
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di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Trabajen en parejas.
De acuerdo con la información anterior, pregunten lo siguiente a las 10 personas que
tienen mejor promedio y a las 10 personas cuyo promedio es el más bajo en la asignatura de Matemáticas: ¿Cuánto tiempo destinan a hacer sus tareas? ¿Cuánto tiempo
hacen de su casa a la escuela? Comparen los distintos conjuntos de datos y obtengan
la media, la mediana y la desviación media. Analicen la situación con base en esas
medidas y lleguen a conclusiones generales.
L.
a) Situación 1: R.
Datos del conjunto 1: mejores promedios
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
Datos del conjunto 2: promedios más bajos
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
Conjunto 1 Conjunto 2
x5
R. L.
R. L.
Md 5
R. L.
R. L.
Dx 5
R. L.
R. L.
Aspecto por justificar: R. L.
b) Situación 2: R. L.
Entra al sitio web www.
esant.mx/ecsema3-023
y pon en práctica tus
conocimientos sobre la
desviación media, para
resolver los ejercicios que
se presentan.
Datos del conjunto 1: mejores promedios
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
P
ro
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
Datos del conjunto 2: promedios más bajos
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
Conjunto 1 Conjunto 2
x5
R. L.
R. L.
Md 5
R. L.
R. L.
Dx 5
R. L.
R. L.
Aspecto por justificar: R. L.
• Elijan al menos a cinco personas para que compartan sus informes con el resto del
grupo. Lleguen a conclusiones generales. Elijan a cinco parejas para que expongan las
situaciones planteadas y todos sus resultados.
Sesión 3. Resuelves situaciones de comparación de conjuntos de datos en los que sus dispersiones
son muy diferentes, pero las medias o medianas respectivas iguales o muy cercanas.
192
Secuencia
didáctica 25
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
Contenido: Distinguirás y caracterizarás eventos singulares y no singulares en situaciones de probabilidad.
Distinguir eventos singulares
En parejas, lean las instrucciones y hagan lo que se pide.
1. En una hoja o cartulina que no permita ver lo que hay del otro lado, elaboren seis
tarjetas del mismo tamaño. Escriban en ellas lo siguiente:
Ganas 4
puntos
Ganas 1
punto
Ganas 6
puntos
Ganas 5
puntos
n
Ganas 2
puntos
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Ganas 3
puntos
i.
Reúnanse con otra pareja.
ii. Coloquen sus tarjetas boca abajo y revuélvanlas.
iii. Por turnos, cada integrante de la otra pareja debe señalar una tarjeta e intentar
adivinar lo que está escrito debajo de ella.
iv. Solicítenle que tome la tarjeta señalada y muestre el texto. Si el resultado
coincide, ganará el doble de puntos que menciona la tarjeta.
v. Una vez mostrado el texto, no deben regresar la tarjeta al resto.
vi. Cuando los dos integrantes de la pareja hayan tomado dos tarjetas, entonces las
devolverán con el resto y permitirán que los integrantes de la otra pareja repitan
los pasos anteriores.
vii. Cada pareja deberá realizar los pasos anteriores tres veces. Registren sus
resultados en la siguiente tabla.
Lo que salió
Puntos
obtenidos
Lo que
piensa que
saldrá
Lo que salió
Puntos
obtenidos
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
2
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
1
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
2
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
2
1
Pareja 1
P
ro
1
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
Pareja 2
Lo que
piensa que
saldrá
Integrante
193
Eventos singulares
Trabajen en parejas y respondan.
1. Con base en los resultados de la actividad anterior.
Seis
a) ¿Cuántos resultados posibles tiene la primera persona que intenta adivinar?
al ser la primera, puede salir cualquiera de las 6 cartas.
¿Por qué? Porque
hay una carta con esa opción: “Ganas 2 puntos”.
¿Por qué? Solo
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
c) Supongamos que la primera persona muestra una tarjeta con “Ganas 6 puntos”.
¿Es posible que al levantar la segunda tarjeta salga “Ganas 6 puntos”? No
n
1
b) Si eligen “Ganas 2 puntos”, ¿cuántos resultados posibles les harán ganar? Únicamente
no hay dos tarjetas con esa frase.
¿Por qué? Porque
d) De acuerdo con las respuestas a las dos preguntas anteriores, ¿sucede lo
mismo con las demás tarjetas? Argumenten su respuesta. Sí, porque solo hay una de cada una.
e) Consideren que las tarjetas fueron regresadas y que la primera persona de
la otra pareja muestra una tarjeta con “Ganas 2 puntos”. ¿Es posible que al
levantar la segunda tarjeta salga “Ganas 2 puntos”? No
¿Por qué?
Porque no hay dos tarjetas con esa frase.
f)
¿Qué pareja fue la ganadora? R. L.
g) ¿Es posible que ambas parejas ganen? ¿Por qué? No, porque solo puede haber un ganador.
h) ¿Es posible que ambas parejas pierdan? ¿Por qué? No. Porque si una pierde, la otra gana.
i)
¿Qué representa un empate entre las parejas? Que obtuvieron los mismos resultados.
• Dialoguen de manera grupal y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas: ¿Por
qué dentro de la misma ronda de una pareja no puede haber dos resultados iguales?
¿Por qué dos parejas que compiten en el mismo juego no pueden ganar y perder al
mismo tiempo? Ver solucionario
P
ro
2. Lean la siguiente información y complementen los textos que escribieron.
Eventos singulares
Se denominan eventos singulares aquellos que solo tienen un elemento como posible
resultado. Por ejemplo, al levantar una tarjeta del juego anterior, el evento “Ganas 2
puntos” es singular, porque solo tiene una posibilidad de salir, ya que solo hay una
tarjeta con ese premio.
Sesión 1. Distingues eventos singulares y no singulares en
situaciones de probabilidad.
194
Secuencia didáctica 25
Sesión 2
Distinguir eventos no singulares
En parejas sigan las indicaciones que se enlistan.
1. Hagan lo siguiente con las tarjetas de la sesión anterior.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
i. Coloquen las tarjetas boca abajo y revuélvanlas.
ii. Elijan quién tomará el primer turno.
iii. La persona que comience el juego señalará una tarjeta e intentará adivinar si los
puntos ganados son número par o non.
iv. Después de mencionar su predicción entre par o non, levantará la tarjeta y la
mostrará para que ambos la miren.
v. Ganará el doble de puntos si los puntos ganados concuerdan con su predicción.
vi. La persona que tomó la tarjeta la regresará con las otras cinco y dará lugar a
que la otra persona efectúe los pasos desde el inciso i.
vii. Cada integrante de la pareja participará seis veces.
Completen la tabla con los datos obtenidos. R. L.
6
Lo que salió
Puntos
obtenidos
¿Par o non?
Lo que salió
Puntos
obtenidos
Persona 2
1
2
3
4
5
¿Par o non?
Persona 1
Integrante
2. Tomen como referencia las actividades anteriores y completen la tabla.
Resultados que permiten ganar
el doble de puntos
Ganas 5 puntos
Non
Par
Ganas 6 puntos
2, 4, 6
Par
1, 3, 5
Non
P
ro
Resultados que permiten ganar
el doble de puntos
Ganas 1 punto
Non
Par
Ganas 2 puntos
Non
Ganas 3 puntos
Par
Ganas 4 puntos
• De manera grupal, comenten sus observaciones y conclusiones.
Eventos no singulares
Los eventos no singulares tienen varios elementos como posibles resultados. Por
ejemplo, el evento “Ganas si los puntos del premio son pares” no es singular, porque
existe más de una posibilidad de que se cumplan las condiciones, pues los eventos
“Ganas 2 puntos”, “Ganas 4 puntos” y “Ganas 6 puntos” son recompensas pares.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
195
Formen equipos y resuelvan lo que se indica.
1. Escriban delante de cada evento cuántas opciones permiten que se cumpla y
escriban si el evento es singular o no singular.
Resultados que cumplen con la
condición
Evento
Sale 5 al lanzar un dado de 6 caras
numerado del 1 al 6.
¿Singular o no singular?
Singular
Lloverá hoy.
Llueve
Singular
Cae águila al lanzar un volado con
una moneda normal.
Águila
Singular
Tener examen sorpresa en un día
de la semana que comience con M.
Martes, miércoles
No singular
4, 3, 2, 1, 0
No singular
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1
Que el número de teléfono de la
persona de al lado termine en un
número menor que 5.
2. Revisen los resultados que obtuvieron en las dos modalidades del juego de ganar
puntos y respondan.
a) ¿En cuál modalidad de juego es más fácil ganar el doble de puntos y por qué?
En la segunda, porque hay más opciones.
b) ¿En qué juego obtuvieron mayor puntaje? R. L.
En el sitio web www.
esant.mx/ecsema3-024
podrás simular hasta mil
quinientos lanzamientos de
un dado, deslizándote en el
segmento rojo.
3. Completen la tabla con cinco ejemplos distintos de eventos singulares y cinco de
eventos no singulares. Escriban las posibles respuestas para cada uno.
Ver solucionario
Posible respuesta
Eventos no
singulares
Posibles
respuestas
P
ro
Eventos singulares
• Compartan sus respuestas con el resto del grupo y lleguen a conclusiones generales.
Sesión 2. Defines y entiendes que un evento no singular ocurre
cuando el resultado es uno de sus elementos.
196
Secuencia
didáctica 26
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
Contenido: Calcularás eventos singulares y no singulares utilizando la definición clásica o el enfoque frecuencial.
Probabilidad de eventos no singulares
(definición clásica)
Analiza la situación y contesta.
n
1. En un juego de azar se lanzan dos dados, cada uno de seis caras. Si al sumar las
caras que quedan hacia arriba se obtiene 7 como resultado, la persona gana un
premio.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) ¿Por qué consideras que la condición para ganar es que la suma sea 7? R. L.
b) ¿Cuáles son los resultados posibles de lanzar dos dados y sumar sus caras?
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
c) Escribe una combinación en la que la suma de las caras sea 2. (1, 1)
d) ¿Hay otra combinación distinta a la anterior? Escríbela. No hay
e) Escribe una combinación en la que la suma de las caras sea 12. (6,
6)
f) ¿Hay otra combinación distinta a la anterior? Escríbela. No
hay
g) ¿Es un evento singular o no singular? Argumenta tu respuesta. R. M. Dependiendo del tipo de evento que se solicite puede ser o no singular.
Lanzar dos dados y que la suma sea 12, es un evento singular.
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si tienen dudas, coméntenlas para
resolverlas entre todos.
Definición clásica de probabilidad
Trabajen en parejas.
1. En la tabla, escriban las sumas que se obtienen al lanzar dos dados de seis caras
cada uno.
Posibles resultados del dado 2
P
ro
Posibles resultados del dado 1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
• Comparen sus respuestas de manera grupal y respondan por qué consideran que el
juego de la actividad inicial se gana cuando la suma de las caras superiores es 7. R. L.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
197
2. La combinación de que en el primer dado caiga 1 y en el segundo caiga 2 se
considera distinta a la combinación de que en el primero caiga 2 y en el segundo, 1.
a) ¿Cuántas combinaciones posibles hay cuando se lanzan dos dados? ¿Cómo
lo saben? 36; por las casillas de la tabla
b) ¿Cuántas combinaciones distintas suman 7? 6
c) Consideren que las sumas de la tabla están escritas, cada una, en una tarjeta y
un premio. ¿Cuántas opciones tendrían de ganar?, ¿de cuántas en total? 6
de 36
Evento
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
3. Completen la tabla. Simplifiquen las fracciones a su mínima expresión.
n
que les dieran a elegir una sin verla. Si en la tarjeta aparece el número 7, ganan
Total de combinaciones
favorables que cumplen
con el evento
Número total de
combinaciones
1
36
La suma es 3.
2
36
La suma es 4.
3
36
La suma es 5.
4
36
La suma es 6.
5
36
La suma es 7.
6
36
La suma es 8.
5
36
La suma es 9.
4
36
La suma es 10.
3
36
La suma es 11.
2
36
La suma es 12.
1
36
1
36
2
1
5
36 18
3
1
5
36 12
4
1
5
36
9
5
36
6
1
5
36
6
5
36
4
1
5
36
9
3
1
5
36 12
2
1
5
36 18
1
36
P
ro
La suma es 2.
Combinaciones
favorables/Combinaciones
totales
4. Lean la siguiente definición y, de manera grupal, compárenla con la tabla que completaron. Lleguen a conclusiones generales.
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad teórica o clásica de un suceso en un experimento aleatorio, donde
todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, es el cociente de números
de casos favorables entre el total de casos posibles.
Sesión 1. Resuelves problemas que implican calcular
la probabilidad de eventos no singulares usando la definición clásica.
198
Secuencia didáctica 26
Sesión 2
Probabilidad de eventos no singulares
(enfoque frecuencial)
Trabajen en parejas. Necesitarán 2 dados.
1. Lancen los dados al mismo tiempo y sumen los puntos que se observan en las
caras superiores.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Registren los resultados en la tabla. Si en la primera tirada los puntos suman 2,
1
registrarán lo siguiente en la fila “Suman 2”: , ya que su significado será:
1
Cantidad de veces que ha salido
Cantidad de experimentos realizados hasta el momento
Si en la siguiente tirada los puntos vuelven a sumar 2, entonces delante del
registro anterior anotarán 2 , ya que el numerador representa la segunda vez que
2
salió y el denominador representa la segunda tirada.
a) Si en la tercera tirada la suma de puntos es 4, ¿qué registrarán en la fila
“Suma 4”? 1
3
b) Realicen el registro de 30 lanzamientos y sumen los puntos. R. L.
Suman 2.
Cuando se te dificulte
resolver un problema,
prueba varias estrategias
y no te des por vencido.
Debes ser perseverante
en la búsqueda de
soluciones. Comenta
con tus compañeros los
procedimientos que has
seguido para que juntos
encuentren la solución.
Suman 3.
Suman 4.
Suman 5.
Suman 6.
Suman 7.
P
ro
Suman 8.
Suman 9.
Suman 10.
Suman 11.
Suman 12.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
199
2. Contesten con base en los registros de la tabla anterior.
a) ¿El primer resultado registrado puede considerarse como la probabilidad de que
ocurra ese evento? Argumenten su respuesta. No, porque significaría que
siempre va a salir ese resultado.
b) ¿Puede considerarse el segundo registro como la probabilidad de que ese
evento ocurra? Argumenten su respuesta. No,
porque aún no se acerca a la
n
probabilidad teórica.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Reúnanse en equipos y hagan lo que se pide.
3. Cuenten la cantidad de veces que obtuvieron cada resultado en los 30 lanzamientos
realizados. Escriban el resultado en la columna de acuerdo con lo siguiente:
Cantidad de veces que se obtuvo
Cantidad de experimentos que se realizaron
a) ¿Cuántas veces se realizó el experimento en el grupo? R.
L.
sumaron 8.
sumaron 3.
sumaron 9.
sumaron 4.
sumaron 10.
sumaron 5.
sumaron 11.
sumaron 6.
sumaron 12.
P
ro
sumaron 2.
Probabilidad clásica
Total de
lanzamientos
del grupo
Cantidad de veces
que los puntos...
30
lanzamientos
Probabilidad clásica
Total de
lanzamientos
del grupo
Cantidad de veces
que los puntos...
30
lanzamientos
4. Sumen los resultados de todo el grupo considerando a todas las parejas que
trabajaron y escriban la probabilidad clásica que determinaron en la tabla al final
de la sesión 1. R. L.
sumaron 7.
a) ¿Cómo es la probabilidad registrada en 30 lanzamientos comparada con la
probabilidad registrada con el total de lanzamientos del grupo?R. L.
b) ¿Cómo es la probabilidad registrada con los lanzamientos de todo el grupo
comparada con la probabilidad clásica? R. L.
• De manera grupal, comparen sus resultados y lleguen a acuerdos en común.
Sesión 2. Resuelves problemas que impliquen calcular la probabilidad
de eventos no singulares usando el enfoque frecuencial.
200
Secuencia didáctica 26
Sesión 3
Resolución de problemas de probabilidad
Haz lo que se pide.
1. Lee la siguiente información.
Enfoque frecuencial de probabilidad
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
El enfoque frecuencial de probabilidad de un experimento aleatorio considera la
cantidad de veces (N) que se repetirá un suceso en un experimento aleatorio y el
número de veces (n) que se obtiene un resultado en particular en dichos sucesos.
Pf 5
n
donde Pf es la probabilidad frecuencial.
N
El grado de certidumbre que arroja el uso de este enfoque aumenta conforme más
veces se realice el experimento. Por ejemplo: al lanzar una moneda por primera vez, los
sucesos son los resultados que se obtienen. La probabilidad de que caiga águila “Pf (a)”
con el enfoque frecuencial sería:
Pf (a) 5
1
Salió la primera águila
5
1
Primer experimento realizado
En la probabilidad clásica lo anterior no es correcto, ya que significaría que siempre
que se lance una moneda caerá águila. Si al lanzar por segunda vez la moneda cae
sol, entonces la probabilidad de que caiga sol “Pf (s)” con el enfoque frecuencial sería:
Pf (a) 5
1
Salió el primer sol
5
2
Segundo experimento realizado
Lo anterior concuerda con la probabilidad clásica.
En el sitio web
www.esant.mx/ecsema3-025
sabrás más sobre la
probabilidad clásica o téorica
y experimental.
2. De acuerdo con la información anterior y los resultados obtenidos en las tablas de
esta secuencia. Dialoguen en grupo y debatan sobre los siguientes puntos. Elaboren
un resumen.
i. Confiabilidad de la probabilidad clásica comparada con el enfoque frecuencial.
ii. Significado de los resultados obtenidos con la probabilidad clásica y frecuencial.
iii. Practicidad entre una y otra probabilidad.
P
ro
3. Tomen como base los resultados de las tablas y respondan en parejas.
a) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que la suma de los puntos de las caras
superiores sea un número non (tomando en cuenta los lanzamientos totales de
todos los integrantes del grupo)? R. L.
b) ¿Cuál es la probabilidad clásica de que el resultado de la suma de los puntos de
1
las caras superiores sea un número non? 2
• De manera grupal argumenten las razones de estos resultados.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
201
Analicen en parejas cada situación, respondan y argumenten.
1. Expliquen qué se está usando: enfoque frecuencial o probabilidad clásica. Además,
indiquen si es un evento singular o no singular.
Situación
¿Su respuesta se basa en el
¿Se trata de un evento
enfoque frecuencial o en la
singular o no singular?
probabilidad clásica? Argumenten. Argumenten
No singular, porque hay
varios resultados posibles
si la cantidad es mayor
que 5.
Pedro lanzó por primera vez una moneda
y obtuvo águila. Lanzó un segundo
volado y volvió a caer águila. Argumenta
que el tercer volado que lance saldrá sol,
porque ya salieron muchas águilas. ¿Qué
consideran que saldrá en el tercer
volado? Justifiquen su respuesta.
Pedro usó la probabilidad
frecuencial, pues tomó en cuenta
el resultado de experimentos
anteriores para determinar el
resultado del tercer volado.
Singular, porque solo se
obtiene un resultado.
En una urna hay 4 fichas azules, 4 rojas
y 6 moradas. ¿Cuál es la probabilidad de
que, al extraer una ficha, sea azul
o morada?
Se usa probabilidad clásica, pues se
5
6+4
No singular ya que hay
debe calcular 10
14 5 7 que es 14 ,
es decir, el total de eventos favorables varios posibles resultados.
entre el total de eventos posibles.
Se está haciendo una inspección a un
paquete con 16 cartones de leche. Al abrir
el primer cartón de leche, los inspectores
notaron que estaba echada a perder; al
abrir el segundo, notaron lo mismo, y
sucedió lo mismo con el tercero y el
cuarto cartón. Una persona dice que el
siguiente estará echado a perder también
porque los anteriores lo estaban. ¿Están
de acuerdo con lo que dijo la persona?
Se usó un enfoque frecuencial,
pues se toma en cuenta el
resultado de experimentos
anteriores.
Singular ya que solo
se obtiene un posible
resultado.
Ana comentó que su número de la suerte
es 13. Luis dijo que el suyo es el 2. ¿Qué
probabilidad tiene cada uno de ganar en
un juego de sumar los puntos de las caras,
al lanzar dos dados, si escogen su número
de la suerte? ¿Qué número elegirían si
jugaran con Ana y Luis?
Se usa probabilidad clásica, pues
se calculan los casos favorables
entre el total de casos posibles.
Para Ana, la probabilidad de ganar
es cero, pues los números no
suman 13 en ningún caso. Para
1
, pues solo hay un caso
Luis, es 36
favorable de 36 posibles.
Singular, ya que en solo un
caso, hay una posibilidad
de ganar.
P
ro
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Se usa probabilidad clásica, pues no
En su grupo, ¿cuál es la probabilidad de
se toman en cuenta experimentos
que elijan a uno de ustedes, si al azar
anteriores, es decir, se calcula como
seleccionarán a aquellos cuyo número de
el total de múltiplos de tres entre el
lista sea un múltiplo de 3?
total de alumnos.
• De manera grupal, compartan sus respuestas y argumentos. Dialoguen acerca de las
ideas que la gente puede tener sobre la probabilidad y cómo puede influir en ellos y en
ustedes el uso del enfoque frecuencial o de la probabilidad clásica.
Sesión 3. Resuelves problemas que implican calcular la probabilidad
de eventos no singulares usando la definición clásica o el enfoque frecuencial.
202
¿Cómo lo hicimos?
1. Marca la casilla que describa mejor tu desempeño. Conversa con tu profesor, tus compañeros y familiares
o tutores sobre los resultados que obtuviste. Pídeles que te platiquen qué opinan de tu nivel de logro. R. L.
15, 16 y 17
18
19 y 20
23 y 24
25 y 26
En proceso
Satisfactorio
Excelente
Resuelvo algunos
problemas de ecuaciones
cuadráticas por
ensayo y error, pero
me cuesta trabajo
plantear la ecuación
correspondiente.
Resuelvo problemas de
ecuaciones cuadráticas
planteando la ecuación
y resolviéndola por
ensayo y error.
Resuelvo problemas de
ecuaciones cuadráticas
planteando la ecuación y
resolviéndola por ensayo
y error, así como por
el método gráfico.
Analizo y comparo
Identifico solamente
situaciones mediante su
diversos tipos de
variación a partir de sus representación tabular.
representaciones tabular,
gráfica y algebraica,
que resultan de modelar
situaciones y fenómenos
de la física y de
otros contextos.
Identifico situaciones
mediante su
representación tabular
y gráfica.
Identifico cualquier
situación mediante su
representación tabular,
gráfica o algebraica.
Diferencio las
expresiones algebraicas
de una ecuación, pero
no identifico
las funciones.
Diferencio las
expresiones algebraicas
de las
funciones y de las
ecuaciones.
Formulo, justifico y uso Comprendo el uso del
el teorema de Pitágoras. teorema de Pitágoras,
pero me cuesta trabajo
identificar los problemas
donde se
puede aplicar.
Solamente resuelvo
problemas en los que
se debe calcular la
hipotenusa conociendo
las medidas de los
catetos.
Resuelvo todos los
problemas en los que se
debe calcular cualquier
lado de un triángulo
rectángulo, conociendo
los otros dos.
Resuelvo problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Me cuesta trabajo
identificar la razón
trigonométrica que
ayuda a resolver
un problema.
Resuelvo algunos
problemas utilizando la
razón trigonométrica
más pertinente.
Resuelvo problemas
utilizando la razón
trigonométrica más
pertinente.
Comparo las medidas
de tendencia central
(media, mediana y
moda) y dispersión
(rango y desviación
media) de dos
conjuntos de datos.
Puedo obtener la media,
la mediana, la moda, el
rango y la desviación
media de dos conjuntos
de datos, pero me
cuesta trabajo resolver
problemas donde debo
comparar esas
medidas.
Puedo obtener la media,
la mediana, la moda, el
rango y la desviación
media de dos o más
conjuntos de datos y
resuelvo algunos
problemas en que debo
comparar esas
medidas.
Resuelvo problemas
cuyas dispersiones son
muy cercanas y sus
medidas de tendencia
central son muy
diferentes, y viceversa.
Calculo la probabilidad
de ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
Identifico los eventos
singulares
y no singulares en
situaciones de
probabilidad.
Identifico los eventos
mutuamente excluyentes
en situaciones de
probabilidad y calculo
su probabilidad.
Resuelvo problemas en
los que debo calcular
cualquier tipo de
probabilidad de
eventos mutuamente
excluyentes.
Diferencio las
expresiones algebraicas
de las funciones y de
las ecuaciones.
P
ro
21 y 22
Resuelvo problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones cuadráticas.
Nivel de logro
n
13 y 14
Aprendizajes
esperados
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Secuencias
Identifico las expresiones
algebraicas, pero no
las ecuaciones ni las
funciones.
X
203
• Reflexiona sobre tus resultados y consulta las siguientes estrategias para mejorar tu desempeño.
Si tus resultados están:
P
ro
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas.
R. L.
n
a) En proceso. Aún tienes aspectos que trabajar para alcanzar los conocimientos básicos. Para que aumentes
tu nivel de logro, te sugerimos revisar la sección "¿Qué estamos aprendiendo?" de la secuencia didáctica
correspondiente.
b) Satisfactorio. Has adquirido los conocimientos fundamentales, pero aún te falta autonomía en la resolución de problemas. Te recomendamos resolver las actividades de la sección "¿Qué aprendimos?".
c) Excelente. Cuentas con los conocimientos necesarios y suficientes para continuar con el estudio de los
contenidos del próximo trimestre.
3. Con base en lo que te dijo tu compañero y en tu propia evaluación, determina en qué aspectos necesitas mejorar
y, con apoyo de tu profesor, define qué estrategias debes llevar a cabo para fortalecer tus áreas de oportunidad.
R. L.
GlobalStock / Gettyimages
204
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Trimestre
tres
P
ro
Ecuaciones cuadráticas
(factorización, fórmula
general), razones trigonométricas y
eventos mutuamente excluyentes...
n
¡Bienvenido al último trimestre!
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
En este periodo avanzarás en el estudio de la formulación y solución de
ecuaciones cuadráticas mediante factorización y la fórmula general.
Analizarás y compararás diversos tipos de variación, a partir de su
representación tabular, gráfica y algebraica, que modelan fenómenos de
la física y otros contextos.
Pondrás en práctica lo que aprendiste en el trimestre anterior sobre
razones trigonométricas seno, coseno y tangente para resolver distintos
problemas. Construirás un teodolito y lo usarás para calcular distancias
inaccesibles.
Asimismo, calcularás la probabilidad de que ocurran dos eventos
mutuamente excluyentes.
Deseamos que este tercer trimestre, el último de tu curso de
Matemáticas, te proporcione las bases para enfrentar nuevos retos.
P
ro
¡Buena suerte!
205
206
Secuencia
didáctica 27
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen la formulación y solución de ecuaciones cuadráticas mediante la
factorización.
Ecuaciones cuadráticas
de la forma x(ax 1 1) 5 0
Haz lo que se pide y contesta.
1. Un rectángulo mide 34 cm de perímetro y la longitud de su base mide tres veces la
longitud de su altura más una unidad.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Escribe, en la figura, la expresión algebraica que representa la base y la que
representa la altura.
x
3x 1 1
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Escribe la ecuación que representa el perímetro de la figura. (3x 1 1) 1 (3x 1 1)
1 x 1 x 5 34
¿Cuál es el valor de la altura? x 5 4
Escribe una expresión que represente el área del rectángulo. x (3x 1 1)
¿De qué otra manera puedes escribir la expresión anterior? 3x2 1 x
Ver
¿Qué similitudes y diferencias encuentras entre las expresiones del área? solucionario
En las dos expresiones anteriores, sustituyan el valor de la altura y verifiquen
que el resultado es el mismo. Ver solucionario
• Comparte y compara tus expresiones con las de tus compañeros. Argumenten por qué
las escribieron así y lleguen a acuerdos.
Ecuación de segundo grado
Resuelve.
1. Analiza las ecuaciones y plantea dos problemas o esquemas que puedan ser representados con ellas:
P
ro
i.
5x 1 x 5 30ii
R. M. Un número más cinco veces
el mismo número es igual a 30.
5x2 1 x 5 0
R. M. La suma de un número más
el quíntuple de su cuadrado es
cero.
a) ¿Cuál es el valor de x en cada caso? Usen el procedimiento que consideren
pertinente. Para el caso de la ecuación cuadrática, pueden usar también el
método de ensayo y error. i. x 5 5 ii. x 5 0; x 5 2 1
5
• Comparte tus esquemas o situaciones con tus compañeros. Luego escriban sus conclusiones sobre las características de las ecuaciones de segundo grado.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
207
Factorización
Las expresiones algebraicas que has trabajado en la secuencia didáctica se pueden
simplificar mediante la factorización.
Factorizar significa representar una expresión algebraica como producto de factores comunes.
Por ejemplo:
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Cuando se tiene una expresión de la forma x2 + 14x 5 249, se puede factorizar como:
x2 + 14x + 49 5 0 y luego (x + 7)(x + 7) 5 0 o bien, como (x + 7)2 5 0
n
Cuando se tiene un factor común: 11x2 + x 5 0 se puede factorizar como x(11x + 1) 5 0.
Cuando se tiene una expresión de la forma x2 2 10x 5 2 25; factorizando queda como:
x2 2 10x + 25 5 0 y luego (x 2 5)(x 2 5) o bien, como (x 2 5)2.
• Analiza la información anterior e identifica, en las ecuaciones trabajadas en la página
anterior, los términos de cada una de ellas.
2. Analiza la figura.
a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado? 4x
b) ¿Cuál es la medida del cuadrado si el área total mide 256 m2?
x 5 4. Por tanto, cada lado mide 16 y su perímetro 64.
• Asigna un valor a la literal y comprueba tu resultado.
A 5 16x2
¿Cómo vamos?
Haz lo que se pide. Responde en tu cuaderno.
1. En la siguiente ecuación, haz lo que se solicita para determinar el valor de x:
6x2 – 6x = 0
Escribe los factores comunes que podrían factorizar la ecuación: 6 y x
Factoriza la ecuación: 6x(x 2 1) 5 0
A partir de la ecuación factorizada, ¿es posible determinar el valor de x? Argumenta.R. L.
Contrasta tu respuesta con lo siguiente.
Divide ambos miembros de la ecuación entre 6x.
x–150
• ¿Qué ecuación queda? • ¿Qué valor tiene x? x 5 1
e) De la ecuación factorizada, si divides ambos miembros de la ecuación entre
50
(x 2 1), ¿cuál es el valor de x? x
P
ro
a)
b)
c)
d)
2. A partir de lo anterior, determina los valores que puede tener x en la ecuación
3x2 – 6x = 0. 3x(x 2 2) 5 0; x 5 2 y x 5 0
• Comenta tus resultados y conclusiones con tus compañeros.
Sesión 1. Resuelves problemas de ecuaciones cuadráticas
de la forma x(ax 1 1) 5 0 mediante factorización.
208
Secuencia didáctica 27
Sesión 2
Ecuaciones cuadráticas de la forma (ax 1 b)2 = 0
En parejas realicen lo que se pide.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. Analicen la figura y escriban las expresiones algebraicas que representan el área de
cada una de las partes que la forman.
a
b
a) Área del rectángulo rosa: ab
b) Área del rectángulo anaranjado: ab
c) Área del cuadrado azul: a2
d) Área del cuadrado verde: b 2
e) ¿Cuál es el área del cuadrado formado por las figuras más pequeñas? Escríbanla
en forma de adición. a2 1 2ab 1 b2 o b2 1 2ab 1 a2
f)
Escriban, en forma de producto, el área del cuadrado de la figura completa. (a 1 b) (a 1 b)
g) Escriban, en forma de potencia, la expresión que representa el área de la figura
completa. (a 1 b)2
2. Calculen el área de los cuadrados. Escriban sus operaciones.
Figura
Operación
Área
P
ro
Área 5 (3x 1 2) 3 (3x 1 2)
5 9x2 1 6x 1 6x 1 4
Área 5 9x2 1 12x 1 4
3x 1 2
Área 5 (2x 1 5) 3 (2x 1 5)
5 4x2 1 10x 1 10x 1 25
2x 1 5
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
Área 5 4x2 1 20x 1 25
Formación académica
209
3. Los cuadrados que se muestran forman parte de una sucesión en la que cada uno
aumenta una unidad por lado. Analícenlos, determinen la medida del lado de cada
uno de ellos y escriban dos expresiones algebraicas equivalentes que representen
la medida de sus áreas. Ver solucionario
A 5 x2 1 2x 1 1
A partir de los resultados anteriores, escriban
la expresión que modela la medida:
Del lado: x 1 1
Del área: (x 1 1) (x 1 1)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
¿Cuál es la raíz cuadrada del primero y el
tercer términos? x y 2
n
¿Cuál es la raíz cuadrada del primero y el
tercer términos? x y 1
Cuadrado 1
Cuadrado 2
A 5 x2 1 4x 1 4
A partir de los resultados anteriores, escriban
la expresión que modela la medida:
Del lado: x 1 2
Del área: (x 1 2) (x 1 2)
¿Cuál es la raíz cuadrada del primero y el
tercer términos? x y 3
A partir de los resultados anteriores, escriban
la expresión que modela la medida:
Del lado: x 1 3
Del área: (x
1 3) (x 1 3)
Cuadrado 3
A 5 x2 1 6x 1 9
¿Cuál es la raíz cuadrada del primero y el
tercer términos? x y 4
Cuadrado 4
A partir de los resultados anteriores, escriban
la expresión que modela la medida:
Del lado: x y 4
Del área: (x
1 4) (x 1 4)
A 5 x2 1 8x 1 16
P
ro
a) ¿Qué relación observan entre las raíces del primero y el tercer términos respecto
al segundo término? R. M. Forman al segundo término.
b) Igualen a cero las expresiones que modelan el área de cada cuadrado y divídanlas
entre uno de los factores. A partir de ello, determinen los valores de x. Ver
solucionario
c) ¿Cuál será el área del cuadrado 5? x2 1 10x 1 25
d) ¿Cuál será el área del cuadrado 10? x2 1 20x 1 100
e) Con base en las actividades anteriores, calculen la medida de los lados de un
cuadrado cuya área es x2 1 16x 1 64 y, con base en ella, escriban la medida del área.
x 1 8; (x 1 8)2
• Compartan sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron. Si tienen dudas,
coméntenlas para resolverlas.
Sesión 2. Resuelves problemas de ecuaciones cuadráticas
de la forma (ax 1 b)2 5 0 mediante factorización.
210
Secuencia didáctica 27
Sesión 3
Ecuaciones cuadráticas de la forma (ax 2 b)2 = 0
Analiza las figuras y contesta.
1. La figura 1 muestra un cuadrado de lado a. La figura 2 es el mismo cuadrado sobre
el que se han trazado dos rectángulos iguales de 7 unidades de ancho cada uno.
Figura 2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Figura 1
a
a
7
a) ¿Cuál expresión representa la medida del cuadrado anaranjado de la figura 2? a 2 7
b) Escribe el área del cuadrado anaranjado como producto. (a
2 7) (a 2 7)
c) Escribe el área del cuadrado anaranjado como expresión algebraica de segundo
2
grado. a 2 14a 1 49
d) Si la expresión del inciso b se iguala a cero y ambos miembros de la igualdad se
dividen entre a 2 7, ¿cuáles son los valores de a? a = 7
2. Analiza las figuras. La figura 4 es el mismo cuadrado que el de la figura 3, sobre el
que se han trazado dos rectángulos.
Figura 3
Figura 4
P
ro
k
a)
b)
k2 2 12k + 36 c)
d)
k
6
¿Cuál expresión representa la medida del cuadrado verde de la figura 4? k 2 6
Escribe el área del cuadrado verde como producto. (k 2 6) (k 2 6)
Escribe el área del cuadrado verde como expresión algebraica de segundo grado.
Si la expresión del inciso b se iguala a cero y ambos miembros de la igualdad se
dividen entre k 2 6, ¿cuáles son los valores de k? k = 6
• Compara tus resultados con los de otro compañero y verifiquen que sean correctos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
Formación académica
211
Ecuación cuadrática o de segundo grado
Las expresiones algebraicas de la forma ax2 + bx + c = 0 representan una ecuación
cuadrática o de segundo grado. En ellas, en uno de sus términos, la incógnita o variable
se encuentra elevada a la segunda potencia.
Donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación de segundo grado.
n
En una ecuación de segundo grado podemos identificar los siguientes términos:
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Término lineal
12x2
1
Término cuadrático
29x
1
15 5 0
Término independiente
Trabajen en parejas.
1. Analicen las expresiones algebraicas y relacionen, con una línea, las que sean
equivalentes.
a) 15a2b2 1 ab
(ab 2 1)2
b) a2 b2 1 2ab 1 1
(3x 2 2)2
c) 12x2 1 x
(ab 1 1)2
d) 4x2 1 12x 1 9
x (12x 1 1)
e) a2 b2 2 2ab 1 1
(2x 1 3)2
9x2 2 12x 1 4
f)
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-026 podrás
complementar lo aprendido
sobre la factorización.
ab(15ab 1 1)
2. Relacionen la forma o estructura que corresponde a cada una de las expresiones.
a) 15a2b2 1 ab
P
ro
b) a2 b2 1 2ab 1 1
c) 12x2 1 x
d) 4x 1 12x 1 9
2
e) a2 b2 2 2ab 1 1
f)
9x 2 12x 1 4
2
x (ax 1 1)
(ax 1 b)2
(ax 2 b)2
• Comparen sus respuestas con el resto del grupo. Comenten qué aspectos tomaron en
cuenta para resolver la actividad. Validen con apoyo del profesor.
Sesión 3. Resuelves problemas de ecuaciones cuadráticas
de la forma (ax 2 b)2 5 0 mediante factorización.
Secuencia
didáctica 28
Sesión 1
212
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen la formulación y solución de ecuaciones cuadráticas con la fórmula
general.
Ecuaciones cuadráticas:
fórmula general
Haz lo que se pide.
1. Analiza las situaciones y contesta en tu cuaderno.
x1 7
x1 4
Si el área del rectángulo es de 130 u2, ¿qué ecuación la representa? (x 1 4)(x 1 7) 5 130
Escribe una ecuación de segundo grado equivalente a la anterior. x2 1 11x 1 28 5 130
Iguala a cero la ecuación anterior. x2 1 11x 2 102 5 0
¿Cuáles son las dimensiones del largo y ancho del rectángulo? 10 u y 13 u
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a)
b)
c)
d)
n
Situación 1: Analiza las dimensiones del rectángulo.
Situación 2: Al multiplicar dos números consecutivos se obtiene 650.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál ecuación representa la situación? x (x 1 1) 5 650
Escribe la ecuación anterior como una ecuación de segundo grado. x2 1 x 5 650
Iguala a cero la ecuación anterior. x2 1 x 2 650 5 0
¿Cuáles son los números? 25 y 26
Situación 3: Camila es tres años mayor que su prima. Si la suma de los cuadrados
de sus edades es 185, ¿cuántos años tiene cada una?
a)
b)
c)
d)
Plantea la ecuación que resuelve el problema. x2 1 (x 1 3)2 5 185
Escribe una ecuación equivalente a la anterior. x2 1 x2 1 6x 1 95 185
Iguala a cero la ecuación anterior. 2x2 1 6x 2 1765 0
¿Cuál es la edad de cada niña? 11 años y 8 años
• Compara tus resultados con los de tus compañeros y argumenten si es posible obtener
las respuestas mediante factorización.
Fórmula general
Resuelve.
P
ro
1. Retoma las situaciones de la actividad inicial y determina el valor de los coeficientes
(a, b y c) en las ecuaciones de segundo grado.
Ecuación
a
b
c
Situación 1
1
11
2102
Situación 2
1
1
2650
Situación 3
2
6
2176
• Compara tus respuestas con las de otro compañero. Lleguen a acuerdos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
Formación académica
213
Fórmula general
Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas se resuelven por diferentes métodos. La
fórmula general para ecuaciones cuadráticas permite resolver ecuaciones de la forma
ax2 + bx + c 5 0 cuando el ensayo y error, el uso de operaciones inversas o la factorización
no son los métodos más pertinentes.
2b 6 b2 2 4ac
2a
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación, el signo 6 indica que la fórmula se
resuelve dos veces, cuando se utiliza “+” y cuando se utiliza “2”, es decir
n
x5
x5
2b + b2 2 4ac
2b 2 b2 2 4ac
y x5
2a
2a
A partir de lo anterior, se podrá determinar si x tiene dos valores, uno o ninguno.
2. En parejas, usen la fórmula general para resolver las situaciones de la actividad inicial.
Completen para resolver la situación 1 por la fórmula general.
Si la ecuación que representa el área del rectángulo es x2 1 11x 2 102 5 0, ¿cuánto
miden su base y su altura?
i.
Determinen los coeficientes de la ecuación. a 5
1
;b5
11
; c 5 2102
ii. Sustituyan los valores de los coeficientes en la fórmula general:
x5
2( 11 ) 6 ( 11 )2 2 4( 1 ) (2102 )
2( 1 )
iii. Hagan las operaciones.
x5
211 6 529
2
x1 5
211 1 23
5 12 5 6
2
2
x2 5
2 11 2 23
2
5 234 5217
2
P
ro
a) ¿Cuáles son los valores de x? Argumenten. x1 5 6 porque x2 5 217 no representa
un valor real para una longitud
b) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Base: 10 u; altura: 13 u
• De manera grupal, realicen anotaciones al lado de cada paso y describan lo que sucedió.
3. Retomen las situaciones 2 y 3 de la actividad inicial, usen la fórmula general y
respondan en su cuaderno.
a) ¿Cuáles son los números consecutivos que multiplicados dan 650? 25 y 26
b) ¿Cuántos años tiene Camila y cuántos su prima? 11 y 8, respectivamente
Sesión 1. Resuelves problemas de ecuaciones cuadráticas con
la fórmula general.
214
Secuencia didáctica 28
Sesión 2
Resolución de ecuaciones cuadráticas y análisis
del discriminante
Resuelve.
1. Usa la fórmula general y resuelve las ecuaciones.
8
16
c5
n
a) Ecuación 1: x2 1 8x 1 16 5 0
1
a5
b5
2(8) 6 (8)2 2 4 (1) (16)
2 (1)
x5
2(8) 6 (64) 2 (64)
2
x5
2(8) 6 (64) 2 4 (16)
2 (1)
x5
2(8) 6 0
2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
x5
¿Cuáles son los valores de x? x 5 24
Sustituye los valores en la ecuación y verifica que cumpla la igualdad.
x5
28 6 0
2
x5
28
5 24
2
x2 1 8x 1 16 5 0
(24)2 1 8)(24) 1 16 5 0
16 2 32 1 16 5 0
32 232 5 0
050
La igualdad se cumple.
b) Ecuación 2: x2 1 3x 2 180 5 0
a5
x5
P
ro
x5
Eje: : Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
1
b5
2(3) 6 (3)2 2 4 (1) (2180)
2 (1)
2(3) 6 (9) 1 4 (180)
2
3
c5
2180
x5
2(3) 6 (9) 1 720
2
x5
2(3) 6 729
2
¿Cuáles son los valores de x? x1 = 12 y x2 = 215
Sustituye los valores en la ecuación y verifica que cumpla la igualdad.
2(3) 6 27
23 1 27
24
5 12
x5
5
x1 5
2
2
2
23 2 27 230
5 215
x2 5
5
2
2
x2 1 3x 2180 5 0
2
(12) 1 3(12) 2 180 5 0 (215)2 1 3(215) 2 180 5 0
La igualdad para
144 1 36 2 180 5 0
225 2 45 2 180 5 0
ambos valores
180 2 180 5 0
225 2 225 5 0
se cumple.
050
050
Formación académica
c) Ecuación 3: x2 2 5x 1 7 5 0
1
a5
b5
5
x5
2(2 5) 6 (2 5)2 2 4 (1) (7)
2 (1)
x5
5 6 25 2 28
2
7
c5
x5
215
56 23
2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
¿Cuáles son los valores de x? Sin solución
Sustituye los valores en la ecuación y verifica que cumpla la igualdad.
Sin solución
2. Completa las tablas. En la primera, escribe el valor que corresponde a la parte
de la fórmula b2 2 4ac y en la segunda, completa con base en las actividades
anteriores:
Ecuación
x2 1 8x 1 16 5 0
x2 1 3x 2 180 5 0
x2 2 5x 1 7 5 0
Coeficientes
a5
b5
c5
a5
b5
c5
a5
b5
c5
b2 2 4ac
Resultado
82 2 4(1)(16) 5 0
0
32 2 4(1)(2180) 5 729
27
(2 5)2 2 4(1)(7) 5 23
Sin solución
1
8
16
1
3
2180
1
25
7
Ecuación
P
ro
x2 1 8x 1 16 5 0
x2 1 3x 2 180 5 0
x2 2 5x 1 7 5 0
Soluciones
x1 5 24
x1 5 215
x1 5 No tiene
x2 5 24
x2 5 12
x2 5 No tiene
a) ¿En qué caso la ecuación tiene un valor de x? x 2 1 8x 1 16 5 0
b) ¿Qué ecuación tiene dos valores de x? x2 1 3x 2 180 5 0 ;
c) ¿Qué ecuación no tiene valor de x? x2 2 5x 1 7 5 0
L.
d) ¿Qué relación encuentras entre la primera y segunda tabla? R.
• Compara tus resultados con los del resto del grupo. Analicen qué características tienen
las ecuaciones que no tienen valores de x.
Sesión 2. Resuelves problemas de ecuaciones cuadráticas en
las cuales sea necesario analizar el discriminante.
216
Secuencia didáctica 28
Sesión 3
Aplicación del discriminante en la solución
de ecuaciones cuadráticas
Haz lo que se pide.
1. Lee la siguiente información.
Discriminante
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Una manera de anticipar si una ecuación cuadrática tiene dos valores de x, un valor
de x o ningún valor de x es encontrar, en la fórmula general, lo que se conoce como el
discriminante (D), siendo D 5 b2 2 4ac.
Si D . 0, la ecuación cuadrática tiene dos valores de x.
Si D 5 0, la ecuación cuadrática tiene un valor de x.
Si D , 0, la ecuación cuadrática no tiene valores de x.
2. Sin resolver las ecuaciones, determina cuáles tienen dos valores de x, un valor de x
o ningún valor de x. Registra en tu cuaderno los cálculos que sean necesarios y
relaciona con una línea según corresponda. Ver solucionario
i.
2x2 1 9x 1 10 5 0
Dos valores de x
Si en la revisión grupal
detectas errores en tu
trabajo, no te desanimes.
Identifica dónde te
equivocaste y corrige.
Recuerda que los errores
son oportunidades de
aprendizaje.
ii. x2 1 5x 1 64 5 0
iii. 3x2 2 5x 1 1 5 0
Un valor de x
iv. 2x2 1 3x 2 8 5 0
v. 2x2 1 5x 2 12 5 0
P
ro
Ningún valor de x
vi. 3x2 2 x 1 1 5 0
a) ¿Cuántos valores de x tiene la ecuación 3x2 2 x + 1 5 0? Ninguna
b) ¿Qué ecuaciones tienen dos valores de x? i, iii y v
c) ¿Qué ecuaciones no tienen ningún valor de x y por qué? ii,iv y vi, porque D , 0
• Comenta con el resto del grupo tus respuestas. Si es necesario, pidan ayuda a su profesor
para validarlas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
Formación académica
217
Resuelvan las actividades en parejas.
1. Analicen las soluciones de las ecuaciones cuadráticas y completen la tabla.
Escriban frente a cada ecuación los valores de x que le corresponden.
x2 5 27
No tiene valores de x
x2 5 7
x2 5 29
x1 5 27
x1 5 213
x1 5 7
x1 5 5
x2 5 8
x2 5 28
x2 5 9
x1 5 26
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
x1 5 4
x1 5 25
n
x1 5 24
Ecuación
x2 1 11x 1 28 5 0
x2 1 4x 1 17 5 0
Valores de x
x1 5 24
x2 5 27
No tiene solución
x2 2 15x 1 56 5 0
x1 5 7
x2 5 8
x2 2 14x 1 45 5 0
x1 5 5
x2 5 9
x2 1 15x 1 56 5 0
x1 5 27
x1 5 213
x2 1 26x 1 169 5 0
x2 2 11x 1 28 5 0
x1 5 4
x2 5 7
x1 5 26
x2 1 12x 1 36 5 0
x2 1 14x 1 45 5 0
x2 5 28
x1 5 25
x2 5 29
Entra en el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-027 ,
donde conocerás
más sobre la fórmula
general para ecuaciones
cuadráticas.
• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo y construyan conclusiones
generales.
2. Elijan dos ecuaciones de la tabla y planteen una situación que se pueda modelar con
cada una.
Situación 1. R. M. A un cuadrado de lado x se le restan 9 y 5 unidades en cada
P
ro
•
lado. ¿Qué expresión representa el área que se le quitó al cuadrado?
•
Situación 2. R. M. El área de una mesa rectangular se representa como
x2 1 15x 1 56. ¿Cuál es la diferencia entre los lados?
• Elaboren en grupo una conclusión sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas.
Consideren las ventajas y desventajas de aplicar la fórmula general para resolverlas.
Sesión 3. Resuelves problemas de ecuaciones cuadráticas
en las cuales se aplique el discriminante.
218
Secuencia
didáctica 29
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen la formulación y solución de ecuaciones cuadráticas.
Formulación y solución
de ecuaciones cuadráticas
Analiza las ecuaciones y haz lo que se indica.
1. Une con una línea cada ecuación con su factorización y su solución.
Solución
n
Ecuación
(x 1 2) (x 2 2) 5 0
x1 5 22 y x2 5 2
81x2 2 49 5 0
(x 1 9) (x 2 9) 5 0
x1 5 29 y x2 5 9
x2 2 4 5 0
(x 1 12) (x 2 12) 5 0
x1 5 212 y x2 5 12
x2 2 144 5 0
(9x 1 7) (9x 2 7) 5 0
7
7
x1 5 2
y x2 5
9
9
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
x2 2 16 5 0
P
ro
x2 2 121 5 0
(x 1 4) (x 2 4) 5 0
x1 5 24 y x2 5 4
81x2 2 16 5 0
(9x 1 4) (9x 2 4) 5 0
4
4
x1 5 2
y x2 5
9
9
x2 2 81 5 0
(x 1 11) (x 2 11) 5 0
x1 5 211 y x2 5 11
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Luego comenten el procedimiento
que utilizaron para encontrar la factorización correcta de cada ecuación.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
Formación académica
219
Formulación y solución de ecuaciones
cuadráticas I
Trabajen en parejas.
1. Analicen las situaciones, escriban la ecuación que las representa y resuélvanlas.
Ecuación: 4x2 5 100
100
5 25 x 5 255 5
4
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Respuesta: El número es 5.
x2 5
n
a) Cuatro veces el cuadrado de un número es igual que 100. ¿De qué número se
trata?
b) Una escuela se ubica sobre un terreno cuadrado. La biblioteca, que es parte de
la escuela, tiene forma cuadrada y su lado mide 8 metros. Se sabe que el resto
del área del terrero de la escuela es de 1 161 m2.
Realicen un dibujo que ilustre lo anterior y anoten cuánto mide por lado el terreno
de la escuela.
Ecuación: x 2 2 64 5 1161
x 2 5 1 161 1 64 5 1225
x 5 1 225 5 35
Medida del lado del terreno: 35 m
Área total del terreno: 1 225 m2
35
30
25
20
15
10
Escuela
Biblioteca
5
0
5 10 15 20 25 30 35
Intenta todos los días
resolver un problema
desafiante. Esto te permitirá
analizar qué sabes y qué te
falta por aprender. Haz una
lista de los aspectos que te
faltan mejorar y compártela
con tu profesor para que te
oriente.
c) El cuadrado de un número es 121. ¿Cuál es ese número?
Ecuación: x2 5 121
Respuesta: El número es 11.
d) El triple del área de un cuadrado menos veintisiete veces la medida de su lado
es igual a cero. ¿Cuáles son las medidas del cuadrado?
Ecuación: 3x2 2 27x 5 0
Respuesta: El cuadrado mide por lado 9 u.
P
ro
e) El cuadrado de un número menos el doble del mismo es igual a 35. ¿De qué
número se trata?
Ecuación: x2 2 2x 5 35
x2 2 2x 2 35 5 0
Respuesta: 25 o 7
(x 1 5) (x 2 7) 5 0
• Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otros compañeros. Comenten los
procedimientos que siguieron y validen en qué casos conviene usar cada uno.
Sesión 1. Resuelves problemas que impliquen la formulación y
solución de ecuaciones cuadráticas por diversos procedimientos.
220
Secuencia didáctica 29
Sesión 2
Formulación y solución de ecuaciones
cuadráticas II
Haz con un compañero lo que se pide.
1. Analicen cada situación y respondan. Resuelvan por el método que les parezca más
adecuado.
n
a) Al elevar al cuadrado un número y restarle su doble se obtiene 120. ¿Cuál es el
número?
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Ecuación: x 2 2 2x 5 120
(x 1 10) (x 2 12) 5 0
x 1 10 5 0 y x 2 12 5 0
x1 5 210 y x2 5 12
Respuesta: El número es 210 o 12.
b) Un arquitecto desea construir una plataforma de patinaje con forma curva, como
la que se muestra. La ecuación que la representa es x2 2 10x 1 25 5 0.
P
ro
x2 2 10x 1 25 5 0
x5
i.
2 (2 10) 6
(2 10)2 24 (1) (25)
5
2(1)
10 6 0
55
x5
2
¿Cuál es el valor o valores de x? 5
ii. Con base en el contexto, ¿qué significan esos valores? Representan el punto más bajo de la plataforma.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
Formación académica
221
c) El producto de dos números es 608; uno es mayor que el otro por 22 unidades.
¿Cuáles son esos números?
2
Ecuación: x (x 1 22) 5 608; x 1 22x 2 608 5 0
(x 2 16) (x 1 38)
x1 2 16 5 0 y x2 1 38 5 0
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Respuesta: Los números son 16 y 38 o 216 y 238.
n
x1 5 16 y x2 5 238
d) La suma de los cuadrados de las edades de Luis y Gerardo es 269. ¿Cuál es la
edad de cada uno si se sabe que Gerardo es 3 años mayor?
x2 1 y2 5 269 x 5 y 1 3
(y 1 3)2 1 y2 5 y2 1 6y 1 9 1 y2 5 269
(y 2 10) (y 1 13) 5 0
y 5 10 (Valores negativos se descartan)
x 5 10 1 3 5 13
Respuesta: La edad de Luis es 10 años y la edad de Gerardo, 13.
2. Escriban una situación que se representa con cada ecuación y resuélvanla.
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-028
podrás ver un video sobre
la solución de ecuaciones
cuadráticas paso a paso.
Compárala con los métodos
que aprendiste para
resolver este tipo
de ecuaciones.
a) x2 1 x 5 132
R. M. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 132.
x2 1 x 2132 5 0; (x 2 11)(x 1 12) 5 0; x1 5 11 y x2 5 212
b) x ( x 1 7 )5 690
R. M. El producto de dos números es 690, uno es mayor que el otro
en 7 unidades.
x2 1 7x 2 690 5 0; (x 2 23)(x 1 30) 5 0; x1 5 23 y x2 5 230
P
ro
c) 3x2 1 15 x 2 450 5 0
R. M. El triple del cuadrado de un número más quince veces el número menos
450 es igual a cero.
(3x2 1 15x 2 450) 5 (x2 1 5x 2 150)5 0; (x 2 10) (x 1 15)5 0;
x1 5 10 y x2 5 215
• Compartan con su grupo las situaciones que escribieron y entre todos comprueben sus
resultados. Comenten los métodos que usaron para resolverlas y qué tomaron en cuenta
para elegirlos.
Sesión 2. Resuelves problemas que impliquen la formulación y solución de
ecuaciones cuadráticas por diversos procedimientos.
222
Secuencia
didáctica 30
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.
Contenido: Construirás gráficas a partir de valores de las funciones cuadráticas dadas en tablas.
Construcción de gráficas cuadráticas
Lee la situación y haz lo que se pide.
1. Un paracaidista salta desde una avioneta y observa su altímetro para saber en qué
momento debe abrir su paracaídas.
Distancia recorrida (m)
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Tiempo (s)
n
Analiza la tabla que describe el tiempo que transcurre y los metros que ha descendido desde que saltó de la avioneta.
La información sobre la
altitud de un paracaidista
debe estar disponible
de forma permanente y
confiable, ya que cada
metro es decisivo.
altímetro.
Instrumento que proporciona
la altura a la que se encuentra
el paracaidista.
0
0
1
9
2
36
3
81
4
144
5
225
6
324
7
441
8
576
a) Haz la gráfica con los datos de la tabla.
y
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
P
ro
200
150
100
50
0
x
1
2
3
4
5
6
b) ¿Qué magnitud representaste en el eje x? El tiempo
7
8
c) ¿Qué magnitud representaste en el eje y? La distancia recorrida.
• Compara tu gráfica con las de otros dos compañeros. Describan la gráfica resultante y
lleguen a acuerdos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Formación académica
223
Construcción de gráficas basadas en datos
tabulados (cuadráticas) I
En parejas hagan lo que se plantea.
1. Analicen los datos de las tablas y las gráficas. Determinen cuál gráfica representa a
cada tabla. Relaciónenlas con una línea.
24
23
22
21
0
1
2
3
4
Tabla 3
Columna Columna
1
2
Tabla 4
Columna Columna
1
2
n
Tabla 2
Columna Columna
1
2
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Tabla 1
Columna Columna
1
2
52
24
20
24
228
24
46
31
23
13
23
214
23
25
16
22
8
22
24
22
10
7
21
5
21
2
21
1
4
0
4
0
4
0
–2
7
1
5
1
2
1
1
16
2
8
2
24
2
10
31
3
13
3
214
3
25
52
4
20
4
228
4
46
y
y
20
4
16
242322 21
x
1 2 3 4
24
28
20
24
12
24
16
20
8
28
12
16
4
212
8
12
216
4
0
x
P
ro
2423 2221
0
y
y
1 2 3 4
24
220
28
224
232221
0
8
x
4
1 2 3
24
2322 21
0
x
1 2 3
a) ¿Cómo determinaron qué columna corresponde a los valores de y y cuáles a los
valores de x? R. L.
• Compartan sus observaciones con el resto del grupo.
Sesión 1. Construyes gráficas de variación cuadrática
considerando datos tabulados.
224
Secuencia didáctica 30
Sesión 2
Construcción de gráficas basadas en datos
tabulados (cuadráticas) II
Resuelvan en parejas.
1. Retomen la actividad de la página anterior.
n
a) ¿Qué características tienen las gráficas? R.
M. Algunas parábolas son más
abiertas que otras y están en distinta posición.
b) ¿Qué datos tomaron en cuenta para relacionar los valores de la tabla con su
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
respectiva gráfica? R. M. Las parejas ordenadas que forman cada parábola.
c) De manera grupal, elaboren una síntesis de los pasos que se deben seguir para
trazar una gráfica a partir de los datos tabulados. R. M. Para cada fila de la tabla, tomar el primer valor para el eje x y su valor
correspondiente para el eje y. Repetir con cada punto.
2. Tracen en el mismo plano las gráficas correspondientes a los datos de cada tabla.
y
A
B
x
y
24
22
C
D
30
25
x
y
x
y
x
y
24
18
24
10
24
210
20
15
23
15
23
11
23
3
23
23
22
10
22
6
22
22
22
2
21
7
21
3
21
25
21
5
0
6
0
2
0
26
0
10
5
25 24
6
23
22
21
0
1
2
3
4
x
5
25
210
7
1
3
1
25
1
5
215
2
10
2
6
2
22
2
2
220
3
15
3
11
3
3
3
23
4
22
4
18
4
10
4
210
P
ro
1
225
230
a) ¿Qué características observan en las tablas y cuál es su relación con las gráficas
resultantes? Cada tabla forma una parábola.
• Compartan sus observaciones con el grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Formación académica
225
¿Cómo vamos?
Haz lo que se pide.
Tabla A
Tabla B
Tabla C
Tabla D
x
y
x
y
x
x
y
24
33
24
65
24
9
24
247
23
19
23
37
23
5.5
23
226
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
y
n
1. Grafica los datos de cada tabla en el mismo plano.
22
9
22
17
22
3
22
211
21
3
21
5
21
1.5
21
22
0
1
0
1
0
0
1
1
3
1
5
1
1.5
1
22
2
9
2
17
2
3
2
211
3
19
3
37
3
5.5
3
226
4
33
4
65
4
9
4
247
1
y
60
50
40
30
20
10
26
24
22
0
x
2
4
6
210
220
230
P
ro
240
250
260
a) ¿Qué diferencias observas entre las gráficas de esta actividad y las de la
actividad 2 de la página anterior? Las parábolas se abren o se cierran
mientras que las anteriores suben o bajan.
• Comenta tus observaciones con el resto del grupo y lleguen a conclusiones generales.
Sesión 2. Construyes gráficas de variación cuadrática
considerando datos tabulados.
226
Secuencia didáctica 30
Sesión 3
Construcción de gráficas basadas
en completar tablas
Resuelve.
1. Observa los datos de la tabla. Sustituye los valores de la primera columna dentro
del paréntesis y escribe el resultado.
Resultado
27
2(27 )2 2 1 5
97
25
2(25 )2 2 1 5
49
23
2(23 )2 2 1 5
17
0
2( 0 )2 2 1 5
21
3
2( 3 )2 2 1 5
17
5
2( 5 )2 2 1 5
49
7
2( 7 )2 2 1 5
97
n
y = 2x2 2 1
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
x
2. Analiza la gráfica.
y
90
80
70
60
50
40
30
20
10
28
26
24
22
0
x
2
4
6
8
P
ro
210
a) De acuerdo con la gráfica, ¿qué valores de la tabla representan los valores del
eje y? Los valores de la tercera columna.
b) ¿Qué valores representan a los valores del eje x? Los
valores de la primera columna.
c) ¿Cómo se observan los valores de la tabla en la gráfica? Los valores de la primera columna representan a x y los resultados
corresponden al eje y.
• Comenta tus observaciones con el resto de tus compañeros y lleguen a acuerdos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Formación académica
227
3. Completa las tablas y realiza la gráfica que las represente.
y
0
y 5 3( 0 )2 2 2( 0 ) 1 5
5
1
y 5 3( 1 )2 2 2( 1 ) 1 5
2
x
y 5 3x2 2 2x 1 5
y
0
y 5 3( 0 )2 2 2( 0 ) 1 5
5
6
21
y 5 3( 21 )2 2 2( 21 ) 1 5
10
y 5 3( 2 )2 2 2( 2 ) 1 5
13
22
y 5 3( 22 )2 2 2( 22) 1 5
21
3
y 5 3( 3 )2 2 2( 3 ) 1 5
26
23
y 5 3( 23)2 2 2( 23) 1 5
38
4
y 5 3( 4 )2 2 2( 4 ) 1 5
45
24
y 5 3( 24)2 2 2( 24) 1 5
61
5
y 5 3( 5 )2 2 2( 5 ) 1 5
70
25
y 5 3( 25)2 2 2( 25) 1 5
90
6
y 5 3( 6 )2 2 2( 6 ) 1 5
n
y 5 3x2 2 2x 1 5
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
x
101
26
y 5 3( 26)2 2 2( 26) 1 5
125
y
130
120
110
100
90
80
Interactúa en el
sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-029.
En él podrás generar
gráficas de ecuaciones
cuadráticas.
70
60
50
40
30
20
10
x
28
26
24
22
0
2
4
6
8
P
ro
Visualizar la parábola
Dependiendo del problema, es recomendable usar un amplio rango de valores en una
tabla de una ecuación cuadrática, ya que con ello podremos visualizar los dos brazos
de la gráfica.
Es importante discriminar los valores que en ella se observan, ya que, si en el contexto
del problema se habla de la medida de un terreno, el valor negativo como tal no será útil,
pues no existen distancias negativas a menos que se combinen con otras operaciones
o que el sistema de referencia lo especifique (como temperatura bajo cero, distancia
bajo el nivel del mar, etcétera).
Sesión 3. Construyes gráficas de variación cuadrática
a partir de completar tablas.
228
Secuencia didáctica 30
Sesión 4
Construcción de gráficas asociadas
con funciones cuadráticas
Lean en parejas las situaciones y hagan lo que se pide.
1. Algunos historiadores atribuyen a Arquímedes de Siracusa (físico, científico
y matemático griego que nació en el año 287 a. n. e. ) la invención de la catapulta,
así como el valor aproximado del número pi (p).
n
La catapulta es una máquina que puede lanzar objetos de distintos tamaños a
grandes distancias.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) Dibujen cómo consideran
que es la trayectoria de
un objeto al ser lanzado
por la catapulta.
b) Grafiquen con un color distinto, en el mismo plano, las siguientes funciones y
determinen cuál de ellas alcanzará al barco. Realicen la tabla de datos en su
cuaderno. Ver solucionario
i.
y 5 x2 1 7iii. y 5 20.1x2 2 x 1 7
ii. y 5 20.1x2 1 7iv. y 5 20.2x2 1 2
y
11
10
9
8
7
6
P
ro
5
4
3
2
1
x
214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0
21
1
2
3
4
5
6
7
22
• Compartan sus tablas, pares ordenados y gráficas con el resto del grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
8
9
10
Formación académica
229
2. Las aves marinas, como los albatros, los cormoranes y los pelícanos, pescan de
diferentes maneras. Algunas tienen la capacidad de estar bajo el agua y otras, como
el alcatraz, vuelan a muy alta velocidad y se zambullen en el agua sin disminuir esa
velocidad.
a) Determinen cuál función describe la trayectoria que sigue el ave para atrapar al
pez. Hagan las tablas de datos y grafiquen en el mismo plano.
El ave sigue la trayectoria y 5 0.1x2 2 5.
x
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Los albatros cuentan
con picos en forma de
gancho para sujetar
peces o medusas.
y 5 0.1x2 1 1
y
x
y 5 x2 2 6
y
x
y 5 0.1x2 2 5
y
22 y 5 0.1(22)2 1 1
1.4
22
y 5 (22)2 2 6
22
22
y 5 0.1(22)2 2 5
24.6
21 y 5 0.1(21)2 1 1
1.1
21
y 5 (21)2 2 6
25
21
y 5 0.1(21)2 2 5
24.9
y 5 0.1(0)2 1 1
1
0
y 5(0)2 2 6
26
0
y 5 0.1(0)2 2 5
25
y 5 0.1(1)2 1 1
1.1
1
y 5(1)2 2 6
25
1
y 5 0.1(1)2 2 5
24.9
y 5 0.1(2)2 1 1
1.4
2
y 5(2)2 2 6
22
2
y 5 0.1(2)2 2 5
24.6
0
1
2
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
P
ro
212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
x
15
22
23
24
25
26
• Comparen sus tablas, valores y gráficas con los del resto del grupo. Entre todos realicen
una breve síntesis de lo aprendido.
Sesión 4. Construyes gráficas asociadas a funciones cuadráticas.
230
Secuencia
didáctica 31
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.
Contenido: Resolverás problemas que impliquen representar diversos tipos de funciones cuadráticas.
Funciones cuadráticas
Haz lo que se pide.
1. Analiza la tabla que representa una sucesión.
Tabla 1
1.°
1
2.°
4
3.°
9
4.°
16
5.°
25
6.°
36
7.°
49
9.°
81
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) Grafica los pares ordenados de la tabla anterior.
8.°
64
n
Posición
Término
y
80
Tabla 2
70
Tabla 1
60
50
Tabla 3
40
30
20
10
x
0
1
3
2
4
5
6
7
8
9
b) ¿Qué expresión algebraica representa a la sucesión? x2
Funciones y 5 ax2 y y 5 ax2 1 c
Trabajen en parejas.
P
ro
1. Retomen la actividad inicial.
a) ¿Qué ajuste harían en la expresión algebraica para que los valores que represente
sean los que se muestran en la tabla 2? Escriban la expresión algebraica:
x2 1 1
Tabla 2
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Posición
1.°
2.°
3.°
4.°
5.°
6.°
7.°
8.°
9.°
Término
2
5
10
17
26
37
50
65
82
Formación académica
231
b) ¿Qué ajuste harían en la expresión algebraica que representa a la tabla 1 para
que represente a la sucesión de la tabla 3? Escriban la expresión algebraica:
0.5x2
Tabla 3
1.°
0.5
2.°
2
3.°
4.5
4.°
8
5.°
12.5
6.°
18
7.°
24.5
8.°
32
9.°
40.5
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
c) Grafiquen los valores de las tablas 2 y 3 en el mismo plano en el que graficaron
los datos de la tabla 1.
d) ¿Cómo cambia la gráfica cuando se modifica la expresión algebraica que la
genera? Registren en su cuaderno sus observaciones.
R. M. La gráfica se abre o se cierra más.
n
Posición
Término
2. Analicen el enunciado y hagan lo que se pide. “Cuatro veces el cuadrado de un
número es igual al doble de otro número”. ¿Qué números cumplen con la condición?
M. 2 y 8; 3 y 18
a) Escriban algunos valores que puedan cumplir con la condición. R.
b) Escriban una expresión algebraica que cumpla con la condición y puedan usar
para tabular y graficar. 2x2 5 y
c) Tabulen y grafiquen su expresión algebraica.
x
210
28
24
21
1
4
8
10
y
y
200
128
32
2
2
32
128
200
250
200
150
100
Soluciones del inciso g. ii.
50
x
215 210 25
0
5
10
15
250
d) ¿Los números –5 y 50 cumplen con las condiciones del problema? Argumenten
su respuesta. Sí,
al multiplicar cuatro veces el cuadrado de 25 se obtiene el doble de 50.
P
ro
e) ¿Existen números negativos que cumplan con las condiciones del problema?
Argumenten. Sí, porque los números negativos al ser elevados al cuadrado son
positivos y permiten cumplir las condiciones.
f) ¿Los consideraron al tabular y graficar? En caso de no haberlos considerado,
modifiquen su tabla y su gráfica. Sí
g) Si el enunciado cambiara de la siguiente manera: “Cuatro veces el cuadrado de
la edad de un hijo es igual al doble de la edad de su padre”.
los positivos
i. ¿Qué números cumplirían con la solución del problema? Solo
ii. Señalen sobre la gráfica los números que cumplirían con la solución.
Sesión 1. Resuelves situaciones que se modelen con funciones
cuadráticas de la forma: y = ax2; y = ax2 + c.
232
Secuencia didáctica 31
Sesión 2
Variaciones y 5 ax2 1 bx 1 c; y 5 a (x 2 d)2
Lee la información y haz lo que se pide.
1. La bacteria Escherichia coli, comúnmente conocida como E. coli, se adhiere a las
células intestinales. Es posible que tengamos una cantidad moderada dentro de
nosotros, pero grandes cantidades de esta cepa pueden causar enfermedades
graves e incluso la muerte. Algunos laboratorios realizan cultivos de E. Coli para
analizarla y estudiar sus mutaciones.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Un laboratorio modificó una colonia de bacterias para hacerlas más resistentes al
frío, con lo cual comparará su crecimiento según la temperatura. Las siguientes
funciones muestran el crecimiento de cada colonia.
i.
y 5 2x2 1 3x 1 1ii. y 5 4(x 2 0.5)2
a) ¿En cuál función se reproducirán más rápidamente las bacterias? ¿Por qué?
En la función ii.
2. Al inicio del experimento se contaba con una bacteria y, en circunstancias controladas,
se generó el crecimiento de ambas colonias. Completa las tablas que muestran el
crecimiento de las colonias cada segundo. Observa si tu respuesta es correcta.
y 5 2x2 1 3x 1 1
Bacterias
Tiempo
(x)
y 5 4(x 2 0.5)2
Bacterias
1
y 5 2(1)2 1 3(1) 11
6
1
y 5 4 (1 2 0.5)2
1
2
y 5 2(2)2 1 3(2) 11
15
2
y 5 4 (2 2 0.5)2
9
3
y 5 2(3)2 1 3(3) 11
28
3
y 5 4 (3 2 0.5)2
25
4
y 5 2(4)2 1 3(4) 11
45
4
y 5 4 (4 2 0.5)2
49
5
y 5 2(5)2 1 3(5) 11
66
5
y 5 4 (5 2 0.5)2
81
6
y 5 2(6)2 1 3(6) 11
91
6
y 5 4 (6 2 0.5)2
121
7
y 5 2(7)2 1 3(7) 11
120
7
y 5 4 (7 2 0.5)2
169
P
ro
Tiempo
(x)
a) ¿Concuerda tu respuesta con lo observado en las tablas? R.
L.
b) ¿Qué procedimiento seguiste para tabular la primera función? Sustituir los valores segundo a segundo y hacer las operaciones.
c) ¿Qué procedimiento seguiste para tabular la segunda función? Sustituir los valores segundo a segundo y hacer las operaciones.
• Compara tus respuestas y procedimientos con los del resto del grupo. Comenten los
motivos por los que se llevan a cabo estudios con bacterias como esta.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Formación académica
233
¿Cómo vamos?
Resuelve.
1. Grafica las funciones y 5 2x2 1 3x 1 1; y 5 4(x 2 0.5)2 en el mismo plano.
y
180
n
160
hi ©S
bi A
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T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
140
120
100
80
60
40
20
x
210
28
26
24
22
0
2
4
6
8
10
a) ¿Cómo relacionas las gráficas con la actividad de la bacteria E. coli? El crecimiento de la bacteria se muestra en la parte de la gráfica que se
encuentra en el primer cuadrante.
2. ¿Cuál función crecerá más rápidamente: y 5 (x 2 0.5)2 o y 5 x2 2 x 1 0.25?
Ambas son lo mismo. Se trata de la misma función.
a) Completa la tabla de datos de ambas funciones para comprobar tu respuesta.
x
y 5 (x 2 0.5)2
y
x
y 5 x2 2 x 1 0.25
y
2
12.25
–3 y 5(23) 2 1(23) 10.25
12.25
–2 y 5(22 2 0.5)2
6.25
–2 y 5(22)2 2 1(22) 10.25
6.25
–1 y 5(21 2 0.5)2
2.25
–1 y 5(21)2 2 1(21) 10.25
2.25
0 y 5(0 2 0.5)2
0.25
0 y 5(20)2 2 1(0) 10.25
0.25
P
ro
–3 y 5(23 2 0.5)
2
1 y 5(1 2 0.5)2
0.25
1 y 5(1)2 2 1(1) 10.25
0.25
2 y 5(2 2 0.5)2
2.25
2 y 5(2)2 2 1(2) 10.25
2.25
3 y 5(3 2 0.5)2
6.25
3 y 5(3)2 2 1(3) 10.25
6.25
b) ¿Coincide tu respuesta con los resultados de la tabla? Argumenta. R. L.
• De manera grupal, comenten sus respuestas, procedimientos para graficar y observaciones
en general. Lleguen a acuerdos.
Sesión 2. Usas funciones cuadráticas de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c; y 5 a(x 2 d)2,
para anticipar resultados o para caracterizar este tipo de variación.
234
Secuencia didáctica 31
Sesión 3
Simetría, vértice, máximo y mínimo
En equipo, analicen y hagan lo que se pide.
1. Observen las gráficas.
y
1
23 22 21
10
0
8
23
7
6
24
25
5
4
26
27
3
2
28
29
1
2
3
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
9
21
22
x
n
12
11
1
0
23 22 21
210 y
x
1
2
3
a) ¿Identifican algún eje de simetría en las gráficas? ¿Cuál? Argumenten sus
respuestas. Sí,
el eje y, porque divide a la parábola en 2 partes iguales.
eje de simetría. Recta que
divide una figura, un cuerpo o
una cosa en dos partes iguales
y simétricas.
b) Completen las tablas que representan los puntos de las gráficas anteriores.
vértice. Punto de una curva
en que la curvatura tiene un
máximo o un mínimo.
x
y 5 x2 1 1
x
y 5 2x2 2 1
–3
10
–3
210
–2
5
–2
25
–1
2
–1
22
0
1
0
21
1
2
1
22
2
5
2
25
3
10
3
210
P
ro
2. Dialoguen y entre todos respondan.
a) ¿Qué relación encuentran entre los valores de la tabla y el vértice de la parábola?
Son los valores (0, 1) y (0, 21), es donde cruzan el eje y.
b) Si el rango de valores de la primera tabla aumentara, ¿podrían encontrar un
valor máximo? Argumenten su respuesta. No, porque seguirían creciendo los números.
c) Si el rango de valores de la segunda tabla aumentara, ¿podrían encontrar un
valor mínimo? Argumenten su respuesta. No, porque seguirían disminuyendo
los números.
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Formación académica
235
3. Observen las siguientes funciones, tabulen y grafiquen.
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y 5 x2 1 2x 1 1
4
1
0
1
4
9
16
ii.
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y 5 2x2 1 2x 2 1
10
y 5 2 x2 1 2x 2 1
216
29
24
21
0
21
24
8
6
4
2
i.
24
y
22
0
22
24
26
28
210
x
2
4
ii.
n
y 5 x2 1 2x 1 1
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
i.
a) ¿Cuál es el vértice de la función y 5 x2 1 2x 1 1? (21, 0)
c) ¿Cuál es su valor mínimo? y 5 0
d) ¿Cuál es el vértice de la función y 5 2 x2 1 2x 2 1? (1, 0)
f) ¿Cuál es su valor máximo? y 5 0
e) ¿Cuál es su eje de simetría? x 5 1
b) ¿Cuál es su eje de simetría? x 5 21
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones.
Eje de simetría, vértice, máximo y mínimo
Eje de simetría
El vértice de una parábola es el punto donde ambas secciones curvas se juntan. A
partir de él podemos observar el eje de simetría, ya que el vértice es el punto de
intersección del eje con la parábola y a partir de él se pueden calcular los valores
máximos o mínimos.
Si el coeficiente del término cuadrático es negativo, entonces
Parábola
genera una curva que se orienta hacia abajo, por lo que
tendrá un valor máximo.
Si el coeficiente del término cuadrático es positivo, entonces
genera una curva que se orienta hacia arriba, por lo que Punto mínimo Vértice
tendrá un valor mínimo.
Analiza la información que
se presenta en el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-030.
Con ayuda de tu profesor,
relaciónala con lo que
aprendiste en esta
secuencia didáctica.
P
ro
En parejas, realicen lo que se plantea.
1. Grafiquen en su cuaderno las siguientes funciones y obtengan su eje de simetría,
máximos o mínimos y vértice. Ver solucionario
Vértice: (21 , 0) Máximo o mínimo: y 5 0
Eje de simetría: x 5 21
b) y 5 22x2 1 4x 1 12 Vértice: (1, 14) Máximo o mínimo: y 5 14
Eje de simetría: x 5 1
a) y 5 2x2 1 4x 1 2
• Comenten sus observaciones con el resto del grupo y lleguen a conclusiones generales.
Sesión 3. Caracterizas gráficas que representan funciones cuadráticas. Identificas
su simetría, la ubicación del vértice, y la existencia de un máximo y un mínimo.
236
Secuencia
didáctica 32
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.
Contenido: Relacionarás las representaciones tabular, gráfica y algebraica con el contexto de los problemas que modelan
las funciones.
Representaciones de variación
cuadrática
Analiza la información y contesta.
hi ©S
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
n
1. La gráfica representa la relación que se da entre la distancia horizontal a la que
llega el chorro de agua con la parábola que se forma por la cantidad de agua
que sale por los orificios de un aspersor que tiene distintos usos.
45
40
Los chorros de agua en las boquillas de
los aspersores forman ángulos de 25º y
28º con la horizontal para tener un buen
alcance y para que el viento
no los distorsione.
Medida del lado recto (cm)
ImagineGolf / Gettyimages
50
35
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
Litros por minuto
a) ¿Cuál es la medida de la distancia a la que llega el chorro de agua si del aspersor
centímetros
salen 10 litros por minuto? 5
Elabora fichas de trabajo
con los conceptos y
procedimientos que
hayas aprendido en
clase. Si es posible,
ilústralas para
enriquecerlas (fichas).
Úsalas como material
de estudio.
b) ¿Cuál es la medida de la distancia a la que llega el chorro de agua si del aspersor
P
ro
salen 20 litros por minuto? 20 centímetros
c) ¿Cuál debe ser la presión del agua para que la distancia del chorro de agua mida
45 centímetros? 30 litros por minuto
d) ¿Qué expresión algebraica representa la medida de la distancia del chorro de
agua en función de la cantidad de litros que salen del aspersor? y 5 0.05x2
e) Usa la expresión que encontraste y determina la medida de la distancia del
chorro de agua si del aspersor salen 5 litros por minuto: 1.25 centímetros
• Compara tus respuestas con las de otro compañero para verificar que sean correctas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Formación académica
237
Variación cuadrática
Reúnete con un compañero y analicen la situación.
1. La gráfica que se muestra representa la variación del área de un rectángulo cuyo
perímetro es de 12 metros, cuando se modifica la medida de su base.
Área del rectángulo (m2)
7
6
5
4
hi ©S
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L
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ri
bu
ci
ó
8
n
9
a
b
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Medida de la base (m)
a) ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro del rectángulo? La expresión algebraica es 2a 1 2b 5 12
b) ¿Qué expresión algebraica representa el área del rectángulo? La expresión algebraica es ab.
P
ro
c) ¿Qué expresión algebraica representa el área del rectángulo en función de la
medida del perímetro? La
expresión algebraica es 6b 2 b2.
d) ¿El área del rectángulo puede ser de 0 cm2? Argumenten su respuesta. No, pues estaríamos hablando de un rectángulo que no existe.
e) Escriban dos longitudes que sean números enteros en la base y en la altura. Base: 4 metros, Altura: 2 metros
f)
¿Cuáles son las longitudes máximas que puede tener el rectángulo? Base: 3 metros, Altura: 3 metros
• Comenten sus respuestas en grupo y lleguen a conclusiones.
Sesión 1. Resuelves problemas de variación cuadrática que permitan
relacionar la representación gráfica y la expresión algebraica correspondiente.
238
Secuencia didáctica 32
Sesión 2
Construcción de gráficas de funciones
cuadráticas
Haz lo que se pide.
1. Analiza las funciones y completa las tablas. Luego construye las gráficas en el
mismo plano cartesiano.
i. y 5
1 2
x
5
ii. y 5
1 2
x
4
3 2
x
4
iii. y 5
y
x
x
y
24
3.2
24
4
24
23
1.8
23
2.25
23
6.75
22
0.8
22
22
3
21
0.2
21
21
0.75
12
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
y
n
x
0
0
1
0.25
1
0.2
1
2
0.8
2
3
1.8
3
4
3.2
4
0
0
0
0
1
0.75
2
3
2.25
3
6.75
4
4
12
0.25
1
y
14
y5
12
3 2
x
4
y5
10
1 2
x
4
8
P
ro
6
4
y5
1 2
x
5
2
x
26
24
22
0
2
• Compara tus respuestas con las del resto del grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
4
6
Formación académica
239
¿Cómo vamos?
1. Une con una línea cada gráfica con la función que le corresponde.
y
30
25
n
20
a) y 5 x2 1 6x 1 8
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
15
10
5
x
210 25
0
5
10
5
10
y
25
20
15
b) y 5 x2 2 5x
10
5
x
210 25
0
25
y
25
20
P
ro
15
10
c) y 5 2x 2 x 2 6
2
5
210 25
0
x
5
10
25
• Al terminar, compara tus respuestas con las de otros compañeros y corrijan si
encuentran algún error.
Sesión 2. Construyes gráficas asociadas a funciones cuadráticas.
240
Secuencia didáctica 32
Sesión 3
Aplicación del discriminante en la solución
de ecuaciones cuadráticas
Analicen en parejas y contesten.
1. Antes de autorizar la venta de un nuevo modelo de automóvil, los fabricantes realizan pruebas de choque y una serie de estudios.
Trayecto de caída (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
0
10
40
90
160
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Tiempo transcurrido (s)
n
Uno de esos estudios consiste en dejar caer un automóvil, de un avión de carga,
desde una altura de 810 metros. La distancia recorrida y el tiempo que el automóvil
tardó en llegar al suelo se muestran en la tabla.
250
360
8
490
640
9
810
a) Completen la tabla.
b) ¿Qué expresión algebraica permite calcular la distancia a la que se encuentra el
5 810 2 10t2
automóvil con respecto al punto de impacto? d
P
ro
c) Con base en la expresión anterior, calculen la distancia a la que se encontraba el
automóvil cada segundo con respecto al punto de impacto.
Tiempo transcurrido (s)
Trayecto de caída (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
810
800
770
720
650
560
450
320
170
0
• Comparen sus respuestas en grupo y lleguen a conclusiones.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
Formación académica
241
Resolución de ecuaciones
n
Como estudiaste a lo largo de las secuencias didácticas, puedes resolver una ecuación
cuadrática de diferentes maneras: tabulando, graficando, aplicando la fórmula general,
factorizando o por ensayo y error. Cada uno de estos métodos muestra mayor o menor precisión. Al graficar, existen puntos cuya precisión es difícil de ubicar en el plano,
por ejemplo (0.058, 0.037). Al trabajar con ensayo y error, podemos tardar más que
si usamos la fórmula general o viceversa. Dependiendo de la situación que se requiera
resolver, podrán elegir el método más conveniente para solucionarlo.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Trabajen las actividades en parejas.
1. Con base en la expresión obtenida en la actividad anterior, construyan la gráfica que
la represente. Anoten en cada eje la variable y la unidad que se representa.
Altura (m)
800
600
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-031
pon a prueba lo aprendido
en la secuencia didáctica.
Modifica las parábolas que
se presentan para hacerlas
coincidir con su función.
400
200
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en llegar al suelo? Nueve segundos
b) ¿La rapidez a la que cae el automóvil es constante? No, la velocidad aumenta
cada segundo.
P
ro
2. Escriban un problema que represente una ecuación cuadrática. Pidan a otra pareja
que lo resuelva y que lo grafique en su cuaderno. De manera grupal, elijan algunos
de los problemas que escribieron y entre todos validen sus resultados y gráficas.
R. M. Un sastre quiere saber cómo aumenta la cantidad de tela que necesita para
hacer las 3 bolsas de un saco. Considera que el tamaño de las bolsas es el mismo,
que son cuadradas y que pueden variar entre 8 y 12 cm. ¿Qué ecuación le ayuda a
resolver este problema? Ver solucionario
Sesión 3. Resuelves problemas de variación cuadrática que permiten relacionar la representación
algebraica con la representación gráfica correspondiente y/o construirla.
242
Análisis de funciones cuadráticas
con GeoGebra
En esta sección, con apoyo de GeoGebra, analizarás funciones cuadráticas al variar sus
coeficientes.
1. De manera invididual, realiza lo que se pide.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
ii.
iii.
Visita el sitio web www.geogebra.org/download?lang=es y descarga el programa GeoGebra Clásico 5.
Abre una ventana en GeoGebra y selecciona la herramienta Deslizador .
Da clic sobre la Vista Gráfica. Te aparecerá un recuadro como el de la imagen 1.
Selecciona la opción Número y nómbralo a. Define el intervalo de 220 a 20 con
incremento de 1.
Haz otros dos deslizadores, b y c, con intervalos de 210 a 10 e incremento de 1,
como se muestra en la imagen 2.
En la barra de Entrada, escribe y 5 ax2 1 bx 1 c y pulsa Enter.
n
i.
iv.
v.
Imagen 1
Imagen 2
a) ¿Qué sucede en la Vista Gráfica? Se
muestra la gráfica de la ecuación
cuadrática que tecleé en la barra de Entrada.
2. Haz lo que se pide y responde con base en la actividad anterior.
P
ro
a) Iguala a cero el deslizador a. ¿Qué gráfica se muestra en la Vista Gráfica? ¿Por
qué? Una recta. Porque al igualar a cero el coeficiente cuadrático de la
ecuación, esta se convierte en una ecuación lineal y su gráfica es una recta.
b) Fija el deslizador a en 1 y b en cero, y varía el deslizador c. ¿Qué observas? Al variar el valor de c, la gráfica de la ecuación cuadrática mantiene su forma y
se desliza de manera vertical de 210 a 10.
Autonomía curricular
243
c) Mantén fijo en cero el deslizador b y fija un valor para c. Después varía el valor de a.
• ¿Cómo se comporta la gráfica? Ver solucionario
• ¿Qué representan a, b y c en la función cuadrática? a, es el coeficiente
3. Fija los deslizadores de acuerdo con los valores dados en la tabla y escribe la
función cuadrática que las representa. Analiza la gráfica resultante y responde.
y 5 ax2 1 bx 1 c
Intersección con el eje x
Ninguna
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Deslizadores
n
cuadrático;
b, el coeficiente lineal y c, el término independiente.
a 5 1, b 5 0, c 5 1
Función 1: y 5 x 1 0x 1 1 5 x 1 1
a 5 1, b 5 24, c 5 4
Función 2: y 5 x2 2 4x 14
Una
a 5 21, b 5 3, c 5 4
Función 3: y 5 2x2 1 3x 14
Dos
2
2
a) Calcula el discriminante de las asociadas a las funciones anteriores. ¿Cuántas
soluciones tiene cada función? La ecuación 1 no tiene solución; la 2 tiene una
única solución y la 3 tiene dos soluciones.
b) ¿Qué relación hay entre las intersecciones de las gráficas con el eje de las
abscisas y las soluciones de sus funciones? Las intersecciones de las gráficas,
que representan a las ecuaciones, con el eje de las abscisas son soluciones de
dichas ecuaciones.
4. Varía los valores de a, b y c de manera que obtengas la
función x2 1 6x 1 8 en la Vista Algebraica.
i.
Usa la herramienta Intersección. Da clic en los puntos
donde la gráfica interseca al eje de las x.
a) ¿Qué representan las coordenadas de los puntos A y
B que se muestran en la Vista Algebraica? 2
Las
soluciones de la ecuación y 5 x 1 6x 1 8.
P
ro
5. Contesten lo siguiente en parejas.
Imagen 3
a) ¿De qué manera la construcción gráfica de funciones con GeoGebra permite
analizar su comportamiento y sus características? Ver solucionario
b) ¿Cuáles son las ventajas de usar deslizadores para representar gráficamente
funciones con GeoGebra? ¿Y cuáles son las limitaciones?Ver solucionario
• Compara tus respuestas con las de dos compañeros. Enriquezcan el análisis del comportamiento gráfico de
una función cuadrática y la representación gráfica de sus soluciones. Apóyense en lo que aprendieron en este
apartado y verifiquen las soluciones de las funciones que trabajaron en esta secuencia didáctica.
244
Secuencia
didáctica 33
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Contenido: Resolverás problemas con razones trigonométricas y ángulos notables.
Razones trigonométricas y su relación
con el ángulo
Haz lo que se pide.
1. Analiza los triángulos y, sin hacer cálculos, rodea el enunciado correcto.
n
A
EA 5 3.8
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
CA 5 3
E
C
ED 5 4.66
D
EC 5 2.33
EB 5 7.6
DB 5 6
B
Enunciado 1. Los valores de las razones trigonométricas del triángulo ACE miden
la mitad de los valores de las razones trigonométricas del triángulo BDE, porque se
observa que las medidas de sus lados son la mitad de las medidas del otro.
Enunciado 2. Los valores de las razones trigonométricas del triángulo BDE son
iguales a las del triángulo ACE, porque se observa que sus ángulos miden lo mismo.
P
ro
Enunciado 3. Los valores de las razones trigonométricas del triángulo morado son
el doble de los valores de las razones trigonométricas del triángulo azul, porque se
observa que las medidas de sus lados son el doble de las medidas del otro triángulo.
a) Escribe una estrategia con la que puedas comprobar que el enunciado que
encerraste es el correcto. Elegí un ángulo y, con base en él, tome las medidas
que señala el esquema para comprobar las razones.
b) ¿Cómo son los triángulos entre sí? Semejantes
c) ¿La relación que existe entre los triángulos influye para conocer la respuesta
L.
correcta? R.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
Formación académica
245
Semejanza de triángulos y razones
trigonométricas
Resuelvan en parejas.
Q
1. Analicen la imagen que se muestra y contesten.
a) ¿Qué vértices forman el triángulo más grande? QMN
b) ¿Qué vértices forman el triángulo más pequeño? PLN
n
c) ¿Cuál es el ángulo común de estos dos triángulos? N
P
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
d) ¿Cómo son los triángulos entre sí? Semejantes
e) Tomen las medidas reales de los lados y el ángulo que tienen en
común y obtengan las razones trigonométricas de ese ángulo.
Conviertan a número decimal con dos cifras decimales de precisión.
M
Triángulo menor
o
1.7
Sen 45 5
5 0.708
2.4
.
o
1.7
5 0.708
Cos 45 5
.
2.4
o
1.7
51
Tan 45 5
1.7
f)
L
N
Triángulo mayor
o
4.5 0.708
Sen 45 5
5
6.36
.
o
4.5 0.708
5
Cos 45 5
6.36
.
o
4.5 1
5
Tan 45 5
4.5
¿Qué observan al comparar los valores en número decimal de las razones
trigonométricas? Dan el mismo resultado.
g) ¿Sucederá lo mismo con el otro ángulo agudo? Sí.
h) Calculen el valor de las razones trigonométricas de los ángulos agudos y
comprueben su respuesta anterior.
Ángulo MQN
o
1.7
Sen 45 5
5 0.708
.
2.4
o
Cos 45 5 1.7 5 0.708
.
2.4
o
1.7
5 1
Tan 45 5
1.7
o
Sen 45 5 4.5 5 0.708
.
6.36
o
Cos 45 5 4.5 5 0.708
.
6.36
o
4.5
5 1
Tan 45 5
4.5
P
ro
Ángulo LPN
i)
¿Qué observan con respecto a estas medidas? Son iguales.
j)
¿Por qué sucede esto a pesar de que las medidas de los lados son diferentes? Porque el ángulo es el mismo.
• En su cuaderno, elaboren un breve resumen de lo que se necesita para que los valores
de las razones trigonométricas de dos triángulos sean iguales. Coméntenlo en grupo. R. L.
Sesión 1. Analizas, haciendo uso de la semejanza de triángulos, que los valores
de las razones trigonométricas dependen del ángulo en cuestión.
246
Secuencia didáctica 33
Sesión 2
Seno, coseno y tangente de 30° y 60°
Resuelve.
1. Traza un triángulo equilátero con la medida de lado que prefieras y nombra a los
vértices A, B y C.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
C
A
B
D
a) Traza la altura correspondiente al lado AB y nombra cada extremo de la altura
como CD, donde C es un vértice del triángulo. R. M.
i.
¿Cuánto mide (AC)? 5 cm
ii. ¿Cuánto mide (AD)? 2.5 cm
iii. ¿Cuánto mide (CD)? 4.33 cm
iv. ¿Cuánto mide el ángulo A? 60°
b) Obtén las razones trigonométricas del ángulo A. Toma como referencia las
medidas reales de tu triángulo con dos cifras decimales de precisión.
4.33
sen A 5 5
sen 60º 5 0.86
2.5
cos A 5 5
cos 60º 5 0.5
4.33
tan A 5 2.5
tan 60º 5 1.73
P
ro
2. De manera grupal, comparen los triángulos que hicieron. Luego contesten.
a) ¿En todos los triángulos el ángulo A mide lo mismo? ¿Todos los lados miden lo
mismo? Sí; No
b) ¿El resultado de sus razones trigonométricas es el mismo? ¿Por qué? Sí, porque el ángulo es el mismo, aunque los lados no.
• Comenta con un compañero lo siguiente y respondan: ¿La medida del seno de 30° es
la mitad del seno de 60°? ¿Cualquier razón trigonométrica de 30° será la mitad de su
respectiva razón de 60°? R. L.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
Formación académica
247
¿Cómo vamos?
Analiza y resuelve las situaciones.
1. Observa el triángulo IKJ en el cual se representa una de sus alturas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
K
I
J
L
a) Usa el triángulo y obtén las razones trigonométricas que se solicitan, con
una precisión de dos cifras decimales, cuando sea posible.
IL
4
5
5 0.5
IK
8
6.93 0.86
KL
5
5
Cos 30o 5
8
IK
4
IL
5
5 0.58
Tan 30o 5
6.93
KL
Sen 30o 5
Sen 60o 5 0.5
Cos 60o 5 0.86
Tan 60o 5 0.58
2. Analiza el triángulo ABC y calcula las razones trigonométricas que se solicitan.
3.74 0.5
5
7.48
6.48 0.86
5
Cos 30o 5
7.48
3.74 0.57
5
Tan 30o 5
7.48
6.48 0.86
5
Sen 60o 5
7.48
3.74 0.5
5
Cos 60o 5
7.48
6.48 1.73
5
Tan 60o 5
3.74
P
ro
Sen 30o 5
B
A
BD 5 6.48
D
BC 5 7.48
C
• Compara tus respuestas con las de otro compañero. Comenten el procedimiento que
usaron para calcular las medidas. Lleguen a acuerdos.
Sesión 2. Calculas los valores: seno, coseno y tangente de
ángulos notables (0°, 30°, 60°).
248
Secuencia didáctica 33
Sesión 3
Valores faltantes: sen, cos y tan de 45°
En parejas, lean las situaciones y resuelvan en su cuaderno.
1. Analicen la imagen.
LK 5 6
K
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
L
LJ 5 8.48
J
I
a) A partir de la imagen, escriban la estrategia que emplearían para calcular las
razones trigonométricas de un ángulo de 45°.
Identificar los ángulos y sus lados correspondientes.
Calcular las razones trigonométricas correspondientes de cada ángulo.
2. Con otra pareja, comparen los procedimientos que redactaron. Elijan uno y escriban
los resultados en la columna correspondiente. Posteriormente sigan el otro procedimiento y anoten el resultado que obtuvieron. Si ambos procedimientos son iguales,
trabajen juntos para escribir un procedimiento distinto y valorarlo.
P
ro
Primer procedimiento
Segundo procedimiento
Sen 45o 5 R. L.
Sen 45o 5 R. L.
Cos 45o 5 R. L.
Cos 45o 5 R. L.
Tan 45o 5 R.
L.
Tan 45o 5 R.
L.
a) ¿Qué observan entre las medidas que escribieron de ambos procedimientos?
R. M. Se espera que observen que son los mismos.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
Formación académica
249
3. Lean la siguiente información.
Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°
Las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 60º y 45º se pueden determinar
a partir de algunos polígonos. Por ejemplo, si en un triángulo equilátero trazamos una
de sus alturas, se obtienen las siguientes medidas:
• Ángulos de 60°, ya que el triángulo es equilátero.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
• Ángulos de 90°, debido a que la altura es perpendicular a la base.
• La mitad de un lado y , debido a que la altura del triángulo divide el lado en dos partes
2
E
G GD 5 0.5 D
iguales.
n
• Dos ángulos de 30°, ya que la altura divide al ángulo en dos partes iguales.
Por tanto, se tienen las siguientes relaciones:
sen 60° 5 0.87 5 0.87
1
0.5 5 0.5
cos 60° 5
1
0.87 5 1.74
tan 60° 5
0.5
60º
FG 5 0.87
sen 30° 5 0.5 5 0.5
1
cos 30° 5 0.87 5 0.87
1
0.5
tan 30° 5
5 0.57
0.87
DF 5 1
30º
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-032
podrás generar diversos
triángulos y observar la
variación de la razón seno
de un ángulo agudo.
F
Al trazar una de las diagonales de un cuadrado, se tienen las siguientes situaciones:
L
LK 5 x
45º
LJ 5 y
90º
I
K
• Ángulos de 45°, ya que la diagonal divide al ángulo del
cuadrado en dos partes iguales.
• Ángulos de 90°, debido a que un cuadrado tiene cuatro
ángulos rectos.
Por tanto, las relaciones que se establecen son:
J
sen 45° 5
x
y
cos 45° 5 x
y
tan 45° 5 x
x
P
ro
Haz con un compañero lo que se pide.
1. Comparen la información del recuadro anterior con lo que han trabajado en esta
secuencia didáctica y debatan para responder. Registren sus respuestas en el cuaderno.
a) ¿De qué depende el valor decimal de las razones trigonométricas: de la medida
de los lados o del ángulo que las delimita? Del ángulo que las delimita.
b) Si no tuvieran calculadora, pero contaran con regla graduada y transportador,
¿qué harían para conocer la medida de la razón trigonométrica de un ángulo
notable? Trazar un triángulo con uno de sus lados igual a la unidad.
• Realicen un resumen con las ideas principales de su debate.
Sesión 3. Calculas los valores faltantes del seno, coseno y
tangente de ángulos notables (45°, 90º).
Secuencia
didáctica 34
Sesión 1
250
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Contenido: Resolverás problemas con razones trigonométricas y ángulos menores o iguales que 90°.
Razones trigonométricas y ángulos
menores o iguales que 90°
Resuelvan en parejas lo que se indica.
C
CD 5 6
10°
CE 5 1.04
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
F
n
1. En el triángulo DCE, el ángulo C mide 80°y el ángulo D, 10°. En el triángulo FGH,
que fue trazado a escala, el ángulo F mide 1° y el ángulo G, 89°.
D
E
ED 5 5.91
a) Tracen triángulos rectángulos que tengan un ángulo con las siguientes medidas:
20°, 30°, 40°, 50°, 60° y 70°.
AC 5 10.64
FD 5 11.55
CB 5 3.64
a 5 20°
AB 5 10
A
F
C
B
D
EF 5 5.77
b 5 30°
E
DF 5 10
L
H
KL5 11.92
GF 5 4
HF 5 3.99
IH 5 8.39
GI5 13.05
G
g 5 40°
GH 5 10
LJ5 15.56
R
I
J
d 5 50°
K
JK 5 10
P
ro
Q
G
H
HG 5 0.07
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
MQ5 20
M
j 5 60°
MN 5 10
NQ 5 17.32
N
PR 5 27.47
OR5 29.24
O
j 5 70°
OP 5 10
P
Formación académica
251
Valores posibles de 1° a 90° (sen, cos y tan)
Continúen trabajando en parejas.
1. Tomen las medidas de los lados de los triángulos que trazaron en la actividad
anterior y completen la tabla. Usen tres cifras decimales de precisión.
0.07
4
3.99
4
0.07
3.99
1.04
6
5.91
6
1.04
5.91
3.64
10.64
10
10.64
3.64
10
5.77
11.55
10
11.55
5.77
10
8.39
13.05
10
13.05
8.39
10
Resultado
Razón
Razón
en la
de los
trigonométrica
calculadora
lados
0.017
0.017
sen 50°
0.999
0.999
cos 50°
0.017
0.017
tan 50°
0.173
0.174
sen 60°
0.985
0.985
cos 60°
0.176
0.176
tan 60°
0.342
0.342
sen 70°
0.94
0.94
cos 70°
0.364
0.364
tan 70°
0.5
0.5
sen 80°
0.866
0.866
cos 80°
0.577
0.577
tan 80°
0.643
0.643
sen 89°
0.766
0.766
cos 89°
0.839
0.839
tan 89°
Resultado
11.92
15.56
10
15.56
11.92
20
17.32
20
10
20
17.32
10
27.47
29.24
10
29.24
27.47
10
5.91
6
1.04
6
5.91
1.04
3.999
4
0.07
4
3.999
0.07
0.766
Resultado
en la
calculadora
0.766
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
sen 1°
Resultado
n
Razón
Razón
de los
trigonométrica
lados
cos 1°
tan 1°
sen 10°
cos 10°
tan 10°
sen 20°
cos 20°
tan 20°
sen 30°
cos 30°
tan 30°
sen 40°
cos 40°
P
ro
tan 40°
0.643
0.643
1.192
1.192
0.866
0.866
0.5
0.5
1.732
1.732
0.939
0.939
0.342
0.342
2.747
2.747
0.985
0.985
0.173
0.174
5.683
5.671
0.999
0.999
0.017
0.017
57.29
57.29
a) ¿Cuáles son los posibles valores para el seno de 1° a 89°? De 0.017 a 0.999
b) ¿Cuáles son los posibles valores para el coseno de 1° a 89°? De 0.999 a 0.017
c) ¿Cuáles son los posibles valores para la tangente de 1° a 89°? De 0.017 a 57.29
d) ¿Puede valer 2 el coseno de un ángulo? Argumenten su respuesta. No
e) ¿Puede la tangente de un ángulo tener un valor mayor que 1? Argumenten su respuesta. Sí
• Comparen sus respuestas con el grupo. Observen qué tanto variaron sus resultados con
los valores dados por la calculadora. ¿Qué influyó para que se diera esa variación? R. L.
Sesión 1. Analizas los valores posibles que pueden tener el
seno, coseno y la tangente de un ángulo menor o igual que 90°.
252
Secuencia didáctica 34
Sesión 2
Resolución de problemas
Haz lo que se pide y contesta.
1. Calcula las medidas que se solicitan. Si lo deseas, puedes usar la calculadora.
A
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
36º
B
ED 5 4.36 cm
D
54°
a) ¿Cuánto mide el ángulo BDA?
¿Por qué? Porque la suma de los
ángulos interiores de un triángulo es 180° y ya hay uno de 36° y de 90°.
el seno de 36°.
b) ¿Cómo calculas la medida del lado AD? Usando
c) Aplica el procedimiento que utilizaste y calcula la medida del lado.
R. M.
sen 36° 5
i.
4.36
AD
4.36
5 AD 5 7.42
sen 36°
¿Cuánto mide el lado AD? 7.42 cm
P
ro
• Compara tu resultado con los de tus compañeros. Compartan sus procedimientos y
analicen al menos cinco procedimientos diferentes.
d) Escriban uno de los procedimientos para calcular la medida del lado AB.
R. M.
tan 36° 5
i.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
4.36
AB
¿Cuánto mide el lado AB? 6 cm
4.36
5 AB 5 6
tan 36°
Formación académica
253
2. En parejas, lean la siguiente información.
Uso de razones trigonométricas
Para conocer las medidas de los lados o ángulos de un triángulo, se pueden usar
distintos procedimientos.
sen 20° 5
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Por ejemplo, en el triángulo rectángulo NOP se conocen dos ángulos:
20° y 90º y la medida de su hipotenusa. Si se quiere calcular la
medida del lado PO, se puede recurrir a la razón trigonométrica seno.
n
Si en un triángulo rectángulo se conocen la medida de uno de sus lados y la medida
de un ángulo agudo, se pueden usar las razones trigonométricas y despejar la variable
que se desea conocer.
N
Cateto opuesto 5 PO
Hipotenusa
5.32
20º
El valor del sen 20º se puede obtener de tablas o con la
calculadora científica y es 0.342:
NP 5 5.32
(0.342) 5 PO
5.32
Se despeja el valor que se quiere conocer: (0.342)(5.32) 5 PO.
90º
P
Por tanto, la medida del lado PO 5 1.819.
En el sitio web www.esant.
mx/ecsema3-033
aprenderás una manera
sencilla de recordar las
razones trigonométricas.
O
• Comparen sus procedimientos con la información anterior y lleguen a acuerdos.
Trabajen en parejas.
1. Usen dos procedimientos distintos para encontrar las medidas de los lados que se piden:
F
EF 5 6.36
52º
E
10º
P
ro
I
G
FG 5 8.14
EG 5 10.3
J
H
HJ 5 8.72
IH 5 8.59
IJ 5 1.51
• Compartan sus resultados y procedimientos con los del resto del grupo. Validen sus
respuestas con apoyo del profesor.
Sesión 2. Resuelves problemas empleando ángulos notables
menores o iguales que 90° y razones trigonométricas.
254
Secuencia
didáctica 35
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Contenido: Usarás las razones trigonométricas para el cálculo de distancias inaccesibles.
Teodolito: cálculo de distancias
En equipos, realicen lo que se indica.
1. En la secuencia didáctica 22 investigaron y construyeron un teodolito y llevaron a
cabo prácticas para conocer su uso.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Con base en su experiencia con el uso del teodolito, propongan alguna mejora
para construir uno más exacto. Recuerden que la base es un popote, un
transportador, hilo y un objeto pesado sujeto a un extremo del hilo para marcar
el ángulo. Si es necesario, adáptenlo y usen nuevos materiales. Para ello,
observen las siguientes imágenes, en las que se proporcionan algunos ejemplos.
30
40
50
60
90 100 1
1
0
70 80
120
13
0
P
ro
10 2
0
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
0
170 180
160
150
0
14
o
b) Si su profesor lo considera adecuado, incorporen un láser, en un extremo del
popote, para apuntar con un rayo de luz la altura del objeto que medirán.
c) Expongan al grupo las mejoras que hicieron a su teodolito, las funciones de cada
una de sus partes y expliquen cómo lo usaron para medir.
d) Al finalizar, elaboren un resumen sobre la aplicación de las razones trigonométricas
en la construcción y uso del teodolito.
R. L.
Formación académica
255
Diseño y uso del teodolito
Continúen trabajando en equipos y contesten.
1. Valoren si el resumen que elaboraron en la página anterior tiene la suficiente
información. Si consideran que le faltan datos, complétenlo.
f
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
0
b) ¿Qué datos necesitan saber para calcular la
10
20 30
90º2 α
40 50
60
180
70
80
90
100
130 140
110 120
150
160
17
0
altura del árbol? R. L.
n
a) Observen que, en la imagen, el peso está
representado con el hilo y las tuercas que están al
final. ¿Por qué es importante que exista un peso?
Porque
es el que genera el ángulo recto.
EE
c) De los datos que necesitan saber, ¿cuáles se
pueden obtener directamente? La distancia de la base del árbol
al observador y el ángulo.
d) Escriban en la imagen datos que pueden obtener directamente en una situación
real. R. L.
• Compartan con el grupo los datos que colocaron y dialoguen sobre la posibilidad de medir
la altura real y lleguen a acuerdos generales.
JOSE FUSTE RAGA / Gettyimages
P
ro
2. En las siguientes imágenes, dibujen la posición en la que colocarán el teodolito y las
distancias que pueden medir para calcular la altura de los objetos. Usen su transportador para marcar en el esquema una medida real del ángulo. R. L.
• Comenten con el grupo los esquemas y procedimientos que emplearon para calcular la
altura de los objetos.
Sesión 1. Diseñas un teodolito casero para calcular distancias
reales empleando razones trigonométricas.
256
Secuencia didáctica 35
Sesión 2
Uso del teodolito
Haz lo que se pide.
1. Lee la siguiente información.
Ángulo de elevación y depresión
El ángulo de elevación es aquel comprendido entre la
línea horizontal y la línea imaginaria hacia arriba del
objeto.
El ángulo de depresión es aquel comprendido desde
un punto que está arriba de un segmento perpendicular y la línea imaginaria que va hacia abajo.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Ángulo de depresión
Ángulo de elevación
2. A los alumnos de tercer grado de una escuela secundaria de la Ciudad de México,
su profesor de Matemáticas les pidió que con su teodolito midieran la altura del
monumento a la Revolución.
50º
54.5 m
P
ro
Un estudiante se paró a 54.5 m del monumento y colocó el teodolito cerca de sus
ojos, a una altura de 1.6 m. Si el ángulo de elevación que calculó es de 50°, ¿cuál
es la altura del monumento? Escribe tu procedimiento y tu respuesta. Puedes usar
calculadora.
Altura del monumento:
Altura
54.5
Altura 5 54.5 3 tan 50° 5 64.95
Por tanto, la altura 5 64.95 1 1.6 5 66.5 m
tan 50° 5
• Compara tus procedimientos y tus respuestas con los del resto del grupo. Investiguen la
altura real del monumento y revisen qué tan precisos fueron sus resultados.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
Formación académica
257
¿Cómo vamos?
Analiza cada situación, observa la imagen y contesta.
n
1. Cerca de su casa hay una feria y, al pasar por ahí, Miguel observó que había un
juego de tiro al blanco. Vio el centro del “blanco” y se preguntó a qué altura se
encontraría del piso. Usó su teodolito y, al estar a cierta distancia, notó que el
hilo cubría la marca de 140°. ¿Aproximadamente a qué altura se encuentra
el centro del piso? A 35.75 m
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
Escribe un procedimiento para obtener el dato.
tan (140 2 90)° 5
Altura
30
Altura 5 30 3 tan 50°5 35.75 m
0
10
20
30
40 50 60 70
80
90
0
10
120
110
130 140 150 160
170
18
0
30 m
2. En otra feria, un “blanco” se encuentra en una pared a 26 m de altura del piso.
El hilo del teodolito de una persona que lo observa cubre la marca de los 150°.
¿A qué distancia de la pared se encuentra la persona? A 15 m
Escribe un procedimiento para obtener el dato.
P
ro
tan (150 2 90)° 5
26 m
Altura 5
26
Altura
26
5 15 m
tan 60º
10
0
20
30
40
50 60 70 80
90
10
0
110
130
120
140 150 160 170
180
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten sus procedimientos. Verifiquen sus resultados y apoyen a los compañeros que tuvieron dudas
y dificultades.
Sesión 2. Usas el teodolito casero para calcular distancias
reales empleando razones trigonométricas.
258
Secuencia didáctica 35
Sesión 3
Cálculo de distancias inaccesibles
Organizados en los equipos que han trabajado antes, hagan lo que se indica.
1. Con las modificaciones que hicieron a su teodolito y con lo que han aprendido,
resuelvan la actividad.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Seleccionen cuatro objetos dentro de su escuela, cuya altura puedan calcular
con el uso de su teodolito.
b) Hagan el esquema que represente cada situación.
c) Obtengan las medidas necesarias para calcular la altura de cada objeto.
Cuando trabajes en equipo,
escucha las estrategias
y los argumentos de
tus compañeros. Si no
estás de acuerdo, expón
respetuosamente tu punto
de vista. Trata de construir
acuerdos. Recuerda que
no solo hay una manera de
abordar y resolver problemas.
i.
Objeto 1 por medir: R. L.
Esquema
Altura del objeto: R. L.
ii. Objeto 2 por medir: R. L.
Esquema
Altura del objeto: R. L.
iii. Objeto 3 por medir: R. L.
Esquema
P
ro
Altura del objeto: R. L.
iv. Objeto 4 por medir: R. L.
Esquema
Altura del objeto: R. L.
• Comparen sus resultados y sus procedimientos con los de sus compañeros y lleguen a
acuerdos.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
Formación académica
259
2. Analicen y determinen si en alguno de los tres procedimientos descritos hay algún
error. Si identifican errores, escriban en qué consiste en la casilla que se encuentra
debajo del procedimiento. Pueden usar calculadora.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
a) Una persona puso un láser en el
popote de su teodolito. Lanzó el
rayo hasta la parte más alta de
un edificio y observó que el hilo
que sostiene el peso se encuentra
en la marca que representa 137°.
¿Qué distancia viajó el láser desde
el teodolito hasta la parte más alta
del edificio?
43 m
Prodecimiento A
tan 43º 5
?
43 m
(43 m) (tan 43º) 5 ?
(43 m) (0.9325) 5 ?
40.09 m 5 ?
Prodecimiento B
Prodecimiento C
43 m
?
43 m
?5
cos 43º
43 m
?5
0.7313
? 5 58.82 m
43 m
?
43 m
?5
sen 137º
43
?5
0.6819
? 5 63.06 m
cos 43º 5
sen 137º 5
Se están tomando mal las
El error es que se está
calculando la altura del edificio
No hay errores, esta es la
y se pidió calcular la distancia
respuesta correcta.
medidas, ya que el ángulo no
es el de 137° y además se usa
el cateto adyacente en lugar del
que viajó el láser (hipotenusa).
cateto opuesto.
• Comenten sus respuestas y sus argumentos con otros compañeros y lleguen a acuerdos.
P
ro
3. Propongan y escriban un problema que se pueda resolver con razones
trigonométricas.
R. M. Calcular el ancho de un río con la ayuda de un teodolito y una cinta métrica.
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-034
se simula el uso del
teodolito para calcular los
ángulos y la altura de un
cedro. Sigue el esquema
del dibujo para tomar
las medidas.
a) Intercambien su problema con el de otro equipo. En un cuaderno, dibujen el
esquema y resuélvanlo. Luego, de manera grupal, comenten sus resultados y
sus procedimientos. Corrijan si lo consideran necesario.
Sesión 3. Usas las razones trigonométricas para el cálculo de
distancias inaccesibles.
260
Secuencia
didáctica 36
Sesión 1
Aprendizaje esperado: Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
Contenido: Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
Eventos mutuamente excluyentes
En equipos de tres, lean la situación y contesten.
1. En un juego de una feria se hace girar una ruleta. Cuando se detiene, gana el color
que señale la flecha. El dueño de la ruleta permite que se formen grupos y que elijan
dos colores al mismo tiempo, de manera que ganan si la ruleta señala cualquiera de
las dos opciones elegidas.
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
En la clase de Matemáticas
se requiere el uso frecuente
de algunos materiales como
el juego geométrico y, de
ser posible, una calculadora.
Consulta al profesor qué
materiales utilizarás la próxima
clase y revisa que cuentes
con lo necesario para trabajar.
Este hábito te ayudará a ser
organizado y a mejorar
tu aprendizaje.
Tres amigos, para asegurar que al menos uno de ellos ganará el premio, acordaron
elegir los colores de la siguiente manera. R. L.
P
ro
Participante
Colores
seleccionados
Rojo
Morado
Azul
Amarillo
Rosado
Verde
Juego
1
Juego
2
Juego
3
Juego
4
a) Para comprobar la estrategia de los amigos, hagan lo siguiente. Si es posible
construyan una ruleta. Asegúrense de que todos los sectores sean del mismo
tamaño. De no ser posible, consigan un dado y asignen un color de la ruleta a
cada número del dado, de la siguiente manera: rojo: 1; verde: 2; rosado: 3;
amarillo: 4; azul: 5; morado: 6.
b) Escriban el nombre de alguno de los integrantes del equipo en la tabla
y jueguen, al menos, 5 veces. Marquen con una X la casilla del jugador
ganador, en cada ocasión.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan los siguientes colores?
Morado: 1
6
Azul: 1
6
Amarillo: 1
6
Rosado: 1
6
Verde: 1
6
Rojo: 1
6
No
d) ¿En alguno de los cinco juegos hubo algún empate?
Porque solo caía un color; en el caso del dado, solo un número.
• Compartan con otros compañeros sus respuestas.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
Juego
5
¿Por qué?
Formación académica
261
Definir y ejemplificar eventos mutuamente
excluyentes
Continúen trabajando con el mismo equipo de la actividad anterior.
Integrante
1
2
3
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
a) Giren la ruleta, tomen en cuenta
los valores que se agregaron a los
colores y al dado y registren con una
X al ganador de cada juego según las
características del evento.
Colores
seleccionados
n
1. Elijan dos colores para cada integrante
del equipo (ningún color debe repetirse
entre ustedes) y escríbanlos. R. L.
Primer juego
Integrante
Ganará quien
haya obtenido
al menos un
número par.
Segundo juego
Ganará quien
haya obtenido
al menos un
número non.
Tercer juego
Cuarto juego
Ganará quien
haya obtenido
al menos un
número primo.
Ganará quien
haya obtenido
un divisor de 6.
Integrante 1
Integrante 2
Integrante 3
b) ¿Se presentaron empates durante algunos juegos? ¿Por qué? Ver solucionario
c) ¿Qué diferencias hay entre el evento de la actividad de la página anterior y los
eventos de la tabla anterior para que se den este tipo de resultados?
En esta tabla, varios resultados permiten obtener varios ganadores.
2. En los siguientes eventos, escriban “Nunca habrá varios ganadores” o “Puede
haber varios ganadores”, según sea el caso.
Evento A. Dos personas lanzan una moneda una sola vez. Una elige águila y la
otra, sol.
La
moneda cae con una cara hacia arriba. Nunca habrá varios ganadores.
P
ro
Evento B. Se toma una carta de una baraja completa de póker y el número de la
carta es múltiplo de 2.
Puede
haber varios ganadores.
Evento C. Ganar un juego de lotería donde se colocan frijoles cada vez que "se
canta" una figura que está en tu planilla. Las dos planillas son totalmente
distintas.
Nunca habrá varios ganadores.
• En sesión grupal, comenten y argumenten sus respuestas. Escriban las características
que debe cumplir un evento para que solo exista un ganador.
Sesión 1. Defines y das ejemplos de eventos mutuamente
excluyentes en diferentes situaciones aleatorias.
262
Secuencia didáctica 36
Sesión 2
Probabilidad de unión de dos eventos
mutuamente excluyentes
Haz lo que se pide.
1. Lee la siguiente información.
Eventos mutuamente excluyentes
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen elementos en común. Por
ejemplo, en la sesión anterior, el evento excluyente sucede cuando se intenta adivinar
un color y cuando cada persona elige un color distinto. En estos casos, no hay colores
en común ni más de una sección del mismo color, así que solo hay un ganador.
• Compara la información presentada con las características que escribiste al final de la
página anterior.
Trabajen en parejas.
2. Una urna contiene esferas de colores y se pide a una persona, que tiene vendados
los ojos, que las revuelva, elija una y mencione el color que piensa que tiene. Gana
si extrae la esfera del color que mencionó.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan las siguientes esferas?
2
13
Esfera azul:
Esfera amarilla:
3
13
Esfera verde:
Esfera roja:
4
13
4
13
b) Si las reglas del juego cambian y ahora le piden a la persona
que mencione dos colores…
i.
¿Qué probabilidad tiene de obtener una esfera azul o una
6
verde? 13
ii
¿Qué probabilidad tiene de obtener una esfera amarilla o
7
P
ro
una roja? 13
c) ¿Qué hicieron para determinar las probabilidades del inciso b? Se suman las probabilidades de obtener cada uno de los colores.
d) Sumen las probabilidades que determinaron del inciso a y comparen el resultado
con la suma de las probabilidades del inciso b. ¿Qué observan? 13
Ambas sumas dan como resultado 1 ( 13 ). Es igual a la probabilidad de obtener
una esfera azul o una verde.
• En sesión grupal, dialoguen sobre el significado del resultado de la suma de probabilidades. Analicen el tipo de eventos que se propone en cada situación.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
Formación académica
263
3. Analicen el diagrama de árbol.
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
Tercer
lanzamiento
A
A
S
A
A
S
hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
A
n
S
A
S
S
A
S
S
a) ¿Qué representa el diagrama anterior? Los resultados posibles de lanzar una moneda 3 veces
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas al lanzar una moneda 3 veces? 1
8
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo 2 águilas al lanzar una moneda 3 veces?
3
8
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo 1 águila al lanzar una moneda 3 veces?
3
8
e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 0 águilas al lanzar una moneda 3 veces?
1
8
f)
Sumen las probabilidades anteriores. ¿Qué relación tiene con los problemas
anteriores? R. L.
• Comenten sus respuestas y, de manera grupal, lean la siguiente información.
Unión de eventos mutuamente excluyentes
En el sitio web
www.esant.mx/
ecsema3-035
podrás ver un video sobre
la regla de la suma de
probabilidades. Comparte
tus observaciones y dudas
con el resto del grupo.
P
ro
Dados dos eventos A y B de una experiencia aleatoria, se llama unión de A y B al
evento compuesto A U B (se lee “unión de A y B”). A U B ocurre si cualquiera de los
dos eventos ocurren o si ocurre al menos uno de ellos.
Por ejemplo, en las esferas de la urna, la probabilidad de que salga una esfera roja o
amarilla se expresa como R U A (unión de roja y amarilla) y ocurrirá si sale cualquier
esfera amarilla o roja.
Para determinar la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes, se cumple
que:
P(A U B) 5 P(A) 1 P(B)
“La probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades”.
Sesión 2. Calculas la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente
excluyentes mediante la regla de la suma.
264
Secuencia didáctica 36
Sesión 3
Probabilidad de eventos
(resolución de problemas)
En equipos de cuatro integrantes hagan lo que se pide.
1. Cada uno elija solo uno de los siguientes premios y escriban en el segmento el
nombre del integrante. R. L.
+5 puntos si salen 3 águilas al lanzar una moneda tres veces. •
+3 puntos si salen solo 2 águilas al lanzar una moneda tres veces. •
+3 puntos si sale solo 1 águila al lanzar una moneda tres veces. •
+1 puntos si salen 0 águilas al lanzar una moneda tres veces. hi ©S
bi A
da N
T
su IL
L
di A
st NA
ri
bu
ci
ó
n
•
a) Dividan al equipo en parejas y compitan entre ustedes. Cada uno lanzará una
moneda tres veces. Observen los resultados y los puntos ganados de acuerdo
con el premio elegido. Completen la tabla de los puntos ganados por equipo en
cada ronda.
Ecuación
Equipo 1
Equipo 2
Resultados de la primera ronda
Resultados de la segunda ronda
Resultados de la tercera ronda
Resultados de la cuarta ronda
i.
¿Qué equipo ganó? ¿Cuál era la probabilidad clásica de que ganara ese
equipo? R. L.
ii. ¿Coincidieron estos dos resultados? R. L.
b) Cambien de parejas y jueguen de nuevo cuatro rondas.
Ecuación
Equipo 1
Equipo 2
Resultados de la primera ronda
P
ro
Resultados de la segunda ronda
Resultados de la tercera ronda
Resultados de la cuarta ronda
i.
¿Qué equipo ganó? ¿Cuál era la probabilidad clásica de que ganara ese
equipo? R. L.
ii. ¿Coincidieron estos dos resultados? R. L.
• Comenten con el grupo el análisis de sus resultados y lleguen a acuerdos.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
Formación académica
265
Analiza las situaciones y contesta.
hi ©S
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ri
bu
ci
ó
n
1. En un costal hay 12 pelotas; 3 de cada color: rojo, verde, azul y rosa, como se
muestra en la imagen.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota color de rosa? 3
12
5
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota verde o azul o roja? 1
4
9
12
5
3
4
2. La empresa de Aurelio se dedica a vender productos por internet. Uno de los
artículos que ofrece es la ruleta que se muestra. Observa la ruleta y responde.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar
una bolita dentro de la ruleta, caiga en una
18
casilla roja? 37
P
ro
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita
caiga en un múltiplo de 5 o en una casilla
21
negra? 37
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita caiga
en un múltiplo de 10 o en una casilla verde?
4
37
• Compara tus respuestas con el resto del grupo. Entre todos lleguen
a conclusiones generales.
Sesión 3. Resuelves problemas que impliquen calcular la probabilidad
de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.
266
Probabilidad de ocurrencia
de dos eventos
En esta sección aprenderás a calcular, con el apoyo de una hoja de cálculo, la probabilidad
de que ocurran dos eventos mutuamente excluyentes.
1. Realiza de manera individual lo que se pide.
Abre una hoja de cálculo electrónica y copia la
información que se muestra en la imagen 1.
n
i.
hi ©S
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T
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L
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st NA
ri
bu
ci
ó
ii. Para calcular la probabilidad de que al lanzar
un dado se obtenga 1, en la celda C2 escribe
5 1/6 y teclea Enter. Calcula la probabilidad
de obtener los siguientes números y completa
la tabla.
iii. En la celda C8 calcula la suma de todas las
probabilidades.
Son iguales. Pues en cada caso
Imagen 1
solo existe un posible resultado de
a) ¿Cómo son las probabilidades entre sí? ¿Por qué? 6
posibles.
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 al lanzar un dado? 1/6
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado? 3/6 5 1/2
d) En la celda E5 escribe 5 C2 1 C4 1 C6 y presiona Enter. ¿Qué resultado se
obtiene? 0.5
obtener 1, 3 o 5 al lanzar el dado.
e) ¿A qué resultados corresponde la suma anterior? A
f) ¿Cómo son los resultados de los incisos c y d entre sí? Iguales
g) ¿Cómo son los eventos de los incisos c y d entre sí? Los
eventos son
mutuamente excluyentes, pues no comparten elementos, y complementarios,
pues al sumar sus probabilidades se obtiene 1.
2. Se quiere conocer todos los posibles resultados de
lanzar un dado y una moneda al mismo tiempo.
P
ro
i.
Imagen 2
Abre una nueva hoja de cálculo y escribe la
información que se muestra en la imagen 2. En
la celda B2 escribe 5 CONCAT(A3,$B$2) y
presiona Enter. Después haz clic en la esquina
inferior derecha de esa celda y, sin soltar, arrastra
el cursor hasta la celda B8.
ii) Completa la tabla usando la función “CONCAT”
para la columna “S”.
a) ¿Cambia el número de resultados si se intercambian filas por columnas? No
b) ¿Cuántos posibles resultados se obtienen? 12
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga uno de los resultados? 1/12
Autonomía curricular
267
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 para cualquier cara de la moneda? 1/6
e) ¿Qué probabilidades se suman para obtener el mismo resultado? Las probabilidades
de que caigan 2A y 2S, es decir, 1/12 1 1/12 5 2/12 5 1/6.
f)
¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga con el águila hacia arriba? 1/2
g) ¿Cómo se obtiene el resultado? Sumando las probabilidades de todos los casos
en los que se obtiene águila.
n
Es decir 1/12 1 1/12 1 1/12 1 1/12 1 1/121 1/12 5 6/12 5 ½
hi ©S
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ci
ó
3. En la imagen 3, se muestran los elementos de una
baraja inglesa, que está formada por 13 cartas:
9 numerales y 4 literales, repartidas en cuatro palos:
espadas (E), corazones (C), rombos (R) y tréboles (T).
Abre una nueva hoja de cálculo y copia la
información que se muestra en ella.
ii. Completa la tabla con todos los posibles resultados
que se pueden obtener al escoger una carta.
Apóyate de la función “CONCAT”.
iii. En la celda E17 escribe 5 CONTARA(B3:E15)
para obtener el número de posibles resultados.
iv. Para calcular la probabilidad de obtener una
espada al sacar una carta al azar, escribe en la
celda G17 la entrada =(CONTARA(B3:B15)/E17) y
presiona Enter.
i.
Imagen 3
a) ¿Cuántos posibles resultados hay al sacar una carta al azar? 52 posibles resultados
todos los resultados
b) ¿Qué calcula, en general, la fórmula del punto iv? Calcula
favorables entre todos los resultados posibles.
c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta de corazones?13/52 5 1/4
P
ro
d) ¿De qué otra forma se puede obtener el resultado anterior? Sumando las
probabilidades de todas las cartas de corazones. Es decir, sumar 13 veces 1/52 5 13/52.
e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con el número 4? ¿Y con el número
5? Explica. 4/52 y 4/52. Al sacar una carta es igual de probable obtener una
carta con el número 4 que con el 5.
f) ¿Qué resultado se obtiene al sumar todas las probabilidades de obtener cada
una de las cartas? ¿A qué se debe? 1. Al sumar el conjunto de posibles
resultados se obtiene 1.
4. Contesten lo siguiente en parejas.
a) ¿Cómo utilizarían la función “CONCAT”, u otra de la hoja de cálculo, para calcular
la probabilidad de ocurrencia de tres o más eventos mutuamente excluyentes?
R.
L.
• Selecciona un problema que hayas trabajado en la secuencia didáctica. Usa lo aprendido
en esta sección y valida tu resultado.
268
¿Cómo lo hicimos?
1. Marca la casilla que describa mejor tu desempeño. Conversa con tu profesor, tus compañeros y familiares
o tutores sobre los resultados que obtuviste. Pídeles que te platiquen qué opinan de tu nivel de logro. R. L.
Aprendizajes
esperados
30, 31 y 32
33, 34 y 35
36
En proceso
Resuelvo algunos
problemas de
ecuaciones
cuadráticas aplicando
la fórmula general.
Satisfactorio
Excelente
Resuelvo problemas
de ecuaciones
cuadráticas
planteando la
ecuación y
resolviéndola por
factorización.
Resuelvo problemas
de ecuaciones
cuadráticas
planteando la ecuación
y resolviéndola
por el método más
conveniente.
hi ©S
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ri
bu
ci
ó
Resuelvo problemas
mediante la
formulación y
solución algebraica
27, 28 y 29 de ecuaciones
cuadráticas.
Nivel de logro
n
Secuencias
Analizo y comparo
diversos tipos de
variación a partir de
sus representaciones
tabular, gráfica y
algebraica, que
resultan de modelar
situaciones y
fenómenos de la física
y de otros contextos.
Construyo gráficas
de situaciones de
variación cuadrática
a partir de su
tabulación, pero se
me dificulta plantear
la expresión
algebraica.
Caracterizo los
elementos
de una gráfica de
una situación
de variación
cuadrática y
determino su
expresión algebraica.
Resuelvo problemas
de variación cuadrática
que permiten relacionar
la representación
algebraica con la
representación
gráfica correspondiente.
Resuelvo problemas
utilizando las razones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Me cuesta trabajo
identificar la razón
trigonométrica que
corresponde a un
ángulo dado.
Resuelvo problemas
con razones
trigonométricas y
ángulos menores
que 90º, aunque en
ocasiones me cuesta
identificar la razón
trigonométrica más
pertinente.
Uso las razones
trigonométricas para
resolver diversos
problemas, entre ellos,
el cálculo de distancias
inaccesibles.
Identifico los eventos
mutuamente
excluyentes, pero me
cuesta trabajo calcular
su probabilidad.
Calculo la
probabilidad de
eventos mutuamente
excluyentes,pero
todavía no logro
aplicarla en la
resolución de
algunos problemas.
Resuelvo problemas
que implican calcular
la probabilidad de
ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
P
ro
FORMACIÓN
ACADÉMICA
Calculo la
probabilidad de
ocurrencia de dos
eventos mutuamente
excluyentes.
X
269
• Reflexiona sobre tus resultados y consulta las siguientes estrategias para mejorar tu desempeño.
Si tus resultados están:
P
ro
hi ©S
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ó
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas.
R. L.
n
a) En proceso. Aún tienes aspectos que trabajar para alcanzar los conocimientos básicos. Para que aumentes
tu nivel de logro, te sugerimos revisar la sección "¿Qué estamos aprendiendo?" de la secuencia didáctica
correspondiente.
b) Satisfactorio. Has adquirido los conocimientos fundamentales, pero aún te falta autonomía en la resolución de problemas. Te recomendamos resolver las actividades de la sección "¿Qué aprendimos?".
c) Excelente. Cuentas con los conocimientos necesarios y suficientes para continuar con el estudio de los
contenidos del próximo trimestre.
3. Con base en lo que te dijo tu compañero y en tu propia evaluación, determina en qué aspectos necesitas mejorar
y, con apoyo de tu profesor, define qué estrategias debes llevar a cabo para fortalecer tus áreas de oportunidad.
R. L.
270
Para el alumno
Impresas
§ Charles, Seife. Cero. La biografía de una idea peligrosa, Ellago Ediciones, Madrid, 2006.
§ Doxiadis, Apostolos. El tío Petros y la conjetura de Goldbach., Editorial B, Barcelona,
1992 (colección Tiempos Modernos).
§ Guedj, Denis. El teorema del Loro, Anagrama, Barcelona, 1998.
n
§ Enzensberger, Hans Magnus 1997. El diablo de los números. Un libro para todos
aquellos que le temen a las matemáticas, Siruela, Madrid, 2013.
hi ©S
bi A
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T
su IL
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di A
st NA
ri
bu
ci
ó
§ Haddon, Mark. El curioso incidente del perro a medianoche, Salamandra, Barcelona, 2004.
§ Haghenbeck, G. F. Matemáticas para las hadas, Grijalbo, Barcelona, 2018.
§ Leavitt, David. El contable hindú, Anagrama, Barcelona, 2011.
§ Neville, Katherine. El ocho, Ballantine Books, Barcelona, 1998.
§ Martínez, Guillermo. Los crímenes de Oxford, Destino, Barcelona, 2003.
§ Moreno, Ricardo. Una historia de las matemáticas para jóvenes, S. L. Nivola, Madrid, 2008.
§ Ogawa, Yoko. La fórmula preferida del profesor, Funambulista, Madrid, 2014.
§ Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.
§ Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Limusa, Barcelona, 2008.
Electrónicas
§ Conaliteg. Sitio web que ofrece, en formato digital, todos los libros de Matemáticas de
secundaria y telesecundaria. También encontrarás los títulos en lengua indígena.
www.conaliteg.sep.gob.mx (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:04 h).
§ Biblioteca digital del ILCE. Sitio web que ofrece obras y colecciones de libros para su
libre acceso en internet. Presenta obras de cultura general: literatura, arte, geografía,
historia, divulgación científica, educación ambiental y pedagogía, entre otras. Además,
su sección infantil brinda opciones de lectura para la edad escolar y una sección de
didáctica para apoyar el trabajo y la formación del docente de educación básica.
bibliotecadigital.ilce.edu.mx/ (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:05 h).
P
ro
§ es.khanacademy.org/math (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:06 h)
En este sitio web tendrás acceso a actividades interactivas para practicar diversos
temas matemáticos, como ecuaciones cuadráticas, expresiones algebraicas de
segundo grado, funciones, razones trigonométricas y probabilidad, entre otros.
§ arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/Secundaria.html (consulta: 04 de marzo de
2021, 00:06 h)
En este sitio web hallarás actividades interactivas que permiten abordar diversos temas
propuestos para la secundaria. Podrás hacer construcciones dinámicas de geometría y
realizar juegos aritméticos.
Fuentes de información
271
Para la elaboración de este libro
Impresas
§ Alarcón, J. y otros. Critical mathematics education: past, present and future. Festschrift
for Ole Skovsmose, Sense Publishers, Róterdam, 2010.
§ Batanero, C. y otros. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Casos y
perspectivas, SEP, México, 2011.
hi ©S
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T
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L
di A
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ci
ó
§ Bernabé, R. “El sentido numérico y sus vínculos con el rendimiento escolar en
aritmética”, tesis de maestría, Cinvestav-IPN, México, 2008.
n
§ Balacheff, N. Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas: una empresa
docente, Universidad de los Andes, Bogotá, 2000.
§ Cobb, P. Learning mathematics: constructivist and interactionist theories of
mathematical development, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994.
§ D’ambrosio, U. Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of
mathematics. For the learning of mathematics, vol. 5, FLM Publishing Association,
Montreal, 1995, pp. 44-48.
§ Franke, M. L. y otros. Mathematics teaching and classroom practice, Handbook of
Research on Mathematics Teaching and Learning, Charlotte, 2007, pp. 225-256.
§ Freudhental, H. Revisiting mathematics education: China lectures, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 1991.
§ Gallardo, A. y otros. No solo quebrados… ¡También negativos! Emergencia de las
fracciones negativas en tareas aritmético-algebraicas, Editorial Académica Española,
Saarbrucken, Alemania, 2013.
§ Morin, E. Los siete saberes necesarios para la educación del futuro, Unesco, París, 1997.
Electrónicas
§ Krummheuer, G. “Narrative elements of children's argumentations in primary
mathematics classrooms”.
webdoc.gwdg.de/ebook/e/gdm/1997/krummheuer.pdf (consulta: consulta: 03 de
marzo de 2021, 23:59 h).
P
ro
§ Radford, L. “Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic
perspective. Proceedings of the 28th Annual Meeting of the North American
Psychology Mathematics Education”.
www.luisradford.ca/pub/60_pmena06.pdf (consulta: 04 de marzo de 2021, 00:01 h).
§ Rigo, M. y otros. (2009). “Procesos meta-cognitivos en las clases de matemáticas de
la escuela elemental. Propuesta de un marco interpretativo”.
www.seiem.es/docs/actas/13/SEIEMXIII-RigoAlfonsoGomez.pdf (consulta: 04 de
marzo de 2021, 00:02 h)
§ SEP. “Aprendizajes clave para la educación integral. Plan y programas de estudio para
la educación básica”.
www.planyprogramasdestudio.sep.gob.mx/descargables/MATEMATICAS.pdf
(consulta: 04 de marzo de 2021, 00:03 h).
n
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ó
P
ro
Matemáticas 3 llegó a su fin, pero
recuerda que el aprendizaje es
infinito. ¡Hasta luego y mucha suerte
en el nivel escolar que iniciarás el
próximo curso!
Recursos Didácticos para el Profesor
PROHIBIDA
SU VENTA
Matemáticas 3. Recursos didácticos
para el profesor de la serie Espacios Creativos es
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id N
a T
su IL
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st NA
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ci
una obra especialmente diseñada para acompañarlo en su
trabajo. Este material contiene, entre otros, los siguientes
recursos didácticos:
• Descripción del Modelo Educativo para la educación
obligatoria y del mapa curricular
• Propuestas de dosificación de los aprendizajes
esperados
• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales
y solucionario
• Reproducción del libro del alumno con respuestas
de todas las actividades
Recursos Didácticos para el Profesor
ón
Recursos Didácticos para el Profesor
FORMACIÓN
ACADÉMICA
Pensamiento Matemático
P
ro
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Estamos seguros de que este libro será un valioso apoyo
para su labor cotidiana en el aula.
santillanacontigo.com.mx
Aprendizajes Clave para la Educación Integral