INVESTIGACIÓN
DE OPERACIONES
Iris Abril Martínez Salazar
Universidad Autónoma de Nuevo León
Gastón Vértiz Camarón
Universidad Autónoma del Estado de México
Jesús Fabián López Pérez
Universidad Autónoma de Nuevo León
Guillermo Jiménez Lozano
Universidad Nacional de Colombia
Luis Antonio Moncayo Martínez
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Colaboración especial
Marco Antonio Montufar Benítez
Eva Selene Hernández Gress
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
INVESTIGACIÓN
DE OPERACIONES
Iris Abril Martínez Salazar
Universidad Autónoma de Nuevo León
Gastón Vértiz Camarón
Universidad Autónoma del Estado de México
Jesús Fabián López Pérez
Universidad Autónoma de Nuevo León
Guillermo Jiménez Lozano
Universidad Nacional de Colombia
Luis Antonio Moncayo Martínez
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Colaboración especial
Marco Antonio Montufar Benítez
Eva Selene Hernández Gress
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
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editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de preprensa: Gerardo Briones González
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: © Thinkstockphoto
Diagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.
Colaboración especial:
Marco Antonio Montufar Benítez
Eva Selene Hernández Gress
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Revisión técnica:
Alejandra Gómez Padilla
Universidad de Guadalajara-CUCEI
Manuel Álvarez Madrigal
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey-CCM
Investigación de Operaciones
Derechos reservados:
© 2014, Iris Abril Martínez Salazar, Gastón Vértiz Camarón, Jesús Fabián López Pérez,
Guillermo Jiménez Lozano, Luis Antonio Moncayo Martínez.
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-923-4
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
Agradecimientos
A mi familia, por su apoyo incondicional.
A cada una de las personas quienes contribuyeron
en el desarrollo de este libro.
Iris Abril Martínez
Una vez concretado el libro, quiero agradecer de todo corazón a
Grupo Editorial Patria por haberme permitido participar como autor.
Mi mejor deseo es que mi participación en la obra en realidad
contribuya a la formación de las futuras generaciones de estudiantes
de las licenciaturas en Ingeniería y Administración y a la mejor
comprensión de los temas de programación lineal que se abordan.
Gastón Vértiz Camarón
En primer lugar a Dios.
A mi madre y a mi hermano.
A mi esposa Albanery, con quien he compartido los mejores
momentos, y espero al máximo los que vienen; “TE QUIERO MUCHO”.
A mi hija Xiomara Alexandra, quien recién comienza su
vida laboral en Bogotá, la cual espero sea demasiado fructífera.
A mi hija Angélica, quien en la actualidad estudia su maestría en la
Universidad de Guadalajara; aspiro a que construya una magnífica profesión.
A mis hijas les he permitido hacer todo
lo que han querido en materia de estudio.
Todas ellas y ellos son los motores de mi vida.
Gracias a todos…
Guillermo Jiménez Lozano
A Eleonora y Emilio, quienes son mi amores.
A la Asociación Mexicana de Cultura, A.C.
Luis Moncayo Martínez
Agradezco a las siguientes instituciones académicas por su apoyo al escribir esta obra:
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Toluca,
Universidad de Lleida, Secretaría de Educación Pública,
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH).
Al apoyo editorial encabezado por la Ingeniera Estela Delfín Ramírez.
Marco A. Montufar B.
A la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH), por permitirme
desarrollarme profesionalmente haciendo lo que más me gusta: impartir clases.
Al maestro Marco Montufar, por invitarme a participar en este libro.
A mis alumnos por dejarme ver con claridad cuáles son los
requerimientos para que un libro de texto cumpla su función.
A mis padres, por haberme inspirado a ser docente.
A mi esposo, por todo su apoyo y a mis hijos quienes son el motor de mi vida.
Eva Hernández
Presentación
Investigación de operaciones. Serie Universitaria Patria, destacada obra desarrollada por especialistas
e investigadores de importantes universidades de México y Colombia, consta de cinco unidades y un
apéndice, cada una de las cuales está estructurada con breves explicaciones teóricas, problemas resueltos paso a paso, algunos de estos resueltos con el apoyo de software especializado, alertas (notas
de atención para resolver los problemas) y problemas para resolver.
La unidad 1 está dedicada a la formulación de modelos matemáticos utilizados en investigación
de operaciones. A lo largo de esta se listan los principales elementos de los modelos matemáticos y se
describen algunos de los modelos clásicos, a través de la presentación de ejemplos en los que se explica, paso a paso, la construcción de estos. Además, también se analizan diversos tipos de funciones
objetivo y de restricciones. Conocer y comprender la forma en que se modelan distintas situaciones
facilita al lector la formulación de modelos matemáticos que representen (y apoyen en la solución) del
problema bajo estudio.
La segunda unidad, Programación lineal, tiene como objetivo presentar la programación lineal
continua (PLC) y sus métodos de solución; en esta, se analiza qué es la PLC, además de que también se
estudian y describen sus prerrequisitos, las formas de representación de un modelo de PLC, así como
los conceptos de variable de holgura, variable de excedencia, variable artificial y variable irrestricta.
Asimismo, en esta parte se describe el concepto de solución básica y solución básica factible.
En general, existen varios tipos de modelos de programación lineal que presentan estructuras
especiales, las cuales pueden ser aprovechadas y explotadas para la construcción de algoritmos más
eficientes, con el fin de obtener cotas de búsqueda en el espacio solución y, al mismo tiempo, para
obtener soluciones factibles de alta calidad. Inherentemente, la mayor parte de este beneficio tiene
que ver con tomar ventaja de este tipo de estrategias para atender y resolver problemas de alta dimensionalidad y escala, y poder lograr soluciones hasta la optimalidad. Lo anterior no es trivial, pues
en la práctica habitualmente se tienen limitaciones de tecnología computacional, lo que ha motivado
la investigación y el desarrollo para atender problemas de gran escala. Esto, sin duda, es en particular aplicable para los modelos de redes que se exponen en la unidad 3, Aplicación de modelos de
redes en la solución de problemas para la toma de decisiones. Pues, para el caso de los modelos
de redes es posible referenciar históricamente el problema de transporte. El desarrollo de procedimientos de solución eficientes para este tipo de problemas resultó en la primera aplicación de amplia
utilización de la programación lineal en el ámbito industrial. En esta unidad se presentan y analizan las
diversas propiedades y variantes que habitualmente se utilizan en los modelos de redes. Asimismo,
aquí se formulan y plantean diversos ejemplos para estos modelos, al tiempo que también se presenta
su enfoque de solución. De manera muy particular, en esta obra se exponen y desarrollan variantes de
los modelos de redes, en los cuales se introduce el uso de variables binarias y enteras, dando lugar al
desarrollo de modelos de programación mixta entera.
La solución de todos los problemas concernientes al problema de transporte de la unidad 3 se
resuelven con la aplicación del algoritmo simplex, desarrollado en la unidad 2.
La unidad 4, Programación lineal discreta, se divide en seis partes bien identificadas. En la primera se realiza una introducción a la programación lineal entera, algoritmo de Gomory, algoritmo de
rami­ficación y acotamiento (branch and bound ), método de enumeración exhaustiva (enumeración
explícita), cada uno acompañado con ejemplos de aplicación. La segunda parte comienza con una
introducción a la programación lineal entera binaria y continúa con la explicación de los métodos de
enumeración implícita cero-uno y aditivo (enumeración) de Egon Balas, con diversas aplicaciones a
través de ejemplos. En la tercera parte se hace una introducción a la programación lineal entera mixta,
VII
Presentación
acompañada de ejemplos de aplicación. En la cuarta sección se realiza una introducción al problema
del transporte (distribución), se muestran los principales métodos de solución, ejemplos de aplicación,
problemas de transporte de maximización, soluciones degeneradas y problemas del transporte generalizado. La quinta parte comienza con una introducción al problema de la asignación, se muestran los
principales métodos de solución, ejemplos de aplicación, problemas de asignación de maximización y
problemas de la asignación generalizada. En la última parte se plantean problemas de programación
lineal entera, programación lineal entera binaria, programación lineal entera mixta, problema del transporte y problema de la asignación.
Por último, en la unidad 5, Algoritmos especiales: el problema del transporte, se presenta con
detalle el problema del transporte, donde cada una de sus variantes es un caso especial en la programación lineal. El problema tiene como objetivo minimizar los costos de distribución de cierto número
de unidades de las fuentes u orígenes a los destinos. En el modelo más elemental, las fuentes son
entidades que ofertan cierto número de unidades, mientras que los orígenes reciben cierto número
de unidades. Esto implica considerar que los orígenes son proveedores de unidades y los destinos las
entidades que demandan las primeras. El problema es muy común en la práctica profesional.
La presente obra también cuenta con un apéndice, cuyo objetivo principal es introducir al estudiante en la solución de varios tipos de problemas cotidianos de programación lineal mediante el uso
del software Solver de Excel; por ejemplo: problemas de producción, de ruta más corta, de asignación,
de transporte y de flujo máximo. La idea principal de usar Excel es que este programa constituye una
herramienta fácil de entender y usar por la mayoría de los estudiantes de las diversas carreras de ingeniería y administración. Su capacidad para comunicar el modelo y su solución a los interesados es otra
de sus cualidades.
Sin duda, con las bases que ofrece Investigación de operaciones. Serie Universitaria Patria, el
alumno será capaz de poner en práctica otras herramientas computacionales, con el fin de desarrollar
modelos y encontrar su solución, sobre todo en modelos de gran escala.
VIII
Contenido
Unidad 1 Modelos matemáticos
1
1.1 ¿Qué es un modelo?
2
1.2 Metodología de la investigación de operaciones
2
1.3 Modelo matemático
3
1.4 Modelos matemáticos clásicos
8
1.5 Modelando con variables enteras
26
Problemas para resolver
Problema reto
Referencias bibliográficas
29
32
32
Unidad 2 Programación lineal
33
2.1 Introducción a la programación lineal continua
34
2.2 Método gráfico
40
2.3 Método simplex
44
2.4 Método de la gran M
57
2.5 Método de las dos fases
64
2.6 Método dual simplex
68
Problemas para resolver
Problemas reto
Referencias bibliográficas
Referencias electrónicas
74
75
77
77
IX
Contenido
Unidad 3Aplicación de modelos de redes en la
solución de problemas para la toma
de decisiones
79
3.1 Ejemplos de modelos de investigación de operaciones
para redes 80
3.2 Modelo de redes para problemas de asignación
80
3.3 Modelo de redes aplicado al problema de
programación óptima de horarios 86
3.4 Modelo de redes aplicado al problema de asignación
óptima unidimensional y bidimensional 88
3.5 Modelos de redes para problemas de transporte
89
3.6 Modelo de redes para el problema de flujo máximo
93
3.7 Modelo de redes para el problema de costo mínimo
94
3.8 Modelo de redes para el problema de la ruta crítica
aplicado en la planificación de proyectos 94
3.9 Modelo de redes aplicado a problemas de costo fijo
95
3.10 Modelo de redes para el problema de
agrupamiento óptimo 96
Problemas para resolver
Problema reto
Referencias bibliográficas
Unidad 4 Programación lineal discreta
99
110
110
111
4.1 Introducción
112
4.2 Métodos de solución
112
4.3 Programación lineal entera binaria
125
4.4 Programación lineal entera mixta
129
4.5 Problema del transporte o distribución
129
4.6 Problema de asignación o afijación
o de nombramientos135
Problemas para resolver
Problema reto
Referencias bibliográficas
Referencias electrónicas
142
148
148
148
Grupo Editorial Patria©
Unidad 5Algoritmos especiales:
el problema de transporte
149
5.1 Introducción al problema de transporte
150
5.2 Modelo de programación lineal del problema
de transporte151
5.3 Tabla simplex del problema de transporte
154
5.4 Métodos de aproximación para obtener una
solución básica inicial156
5.5 Métodos para obtener la solución óptima
164
5.6 Problema de asignación
173
5.7 Método para obtener la solución óptima
del problema de asignación174
5.8 Método húngaro
179
Problemas para resolver
Problemas reto
Referencias bibliográficas
Referencias electrónicas
185
187
188
188
Apéndice AAplicaciones de la optimización
lineal usando hojas de cálculo
Introducción
❚ Solucionadores para hojas de cálculo
Solución de problemas de programación lineal (PL)
con una hoja de cálculo
❚ Pasos para implementar un modelo de PL
en una hoja de cálculo
Modelo en hoja de cálculo para el problema
de Luisa Caoba
189
190
190
190
191
192
❚ Organización de los datos
192
❚ Representación de las variables de decisión
193
❚ Representación de la función objetivo
193
❚ Representación de las restricciones
193
❚ Representación de los límites sobre las variables
de decisión
194
XI
Contenido
❚ ¿Cómo ve Solver el modelo?
194
❚ Usando Solver
195
❚ Definiendo la celda objetivo
196
❚ Definiendo las celdas variables
197
❚ Definiendo las celdas de restricción
197
❚ Definiendo las condiciones de no negatividad
197
❚ Resolviendo el modelo
198
Problema de flujo máximo
❚ El modelo en hoja de cálculo y su solución
XII
199
200
Problema de transporte
202
Problema de asignación
207
Problema de transbordo
212
Problema de ruta más corta
218
Problemas para resolver
223
UNIDAD
1
Modelos
matemáticos
Iris Abril Martínez Salazar
Objetivos
Entender el concepto de función objetivo, restricciones, parámetros y variables.
Reconocer los diferentes tipos de variables.
Entender el concepto de modelado.
Entender la relación entre los elementos de un modelo matemático.
Conocer aplicaciones de los modelos matemáticos.
Formular modelos matemáticos.
¿Qué sabes?
¿Cuál es la diferencia entre parámetro, variable y coeficiente en una ecuación?
¿Qué es una solución factible?
¿Qué son las restricciones y cómo afectan?
¿Cómo usar notación matemática para expresar una situación?
¿Cómo usar álgebra para representar relaciones?
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
1.1 ¿Qué es un modelo?
Entre las variadas acepciones que hay de la palabra modelo, citamos la siguiente, de la Real Academia
Española, que es la que más se adecua al objetivo de esta unidad:
Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad
compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.
Elaborar un modelo de un sistema o realidad compleja suele ser una tarea ardua y retadora. En la práctica, es usual encontrar modelos desarrollados para representar el comportamiento de alguna sección
del sistema o alguna versión simplificada del mismo.
Por ejemplo, supóngase que se desea saber el modo de acomodar un conjunto de productos con
formas irregulares dentro de cajas de cartón, con el objetivo de minimizar la cantidad de estas para
empaquetar todos los objetos. Una opción para modelar este problema, simplificándolo, es considerar
a cada objeto como una figura regular, aunque esto ocasione desperdicio de espacio. Para ello, se
pueden considerar los ejemplos de las figuras 1.1 y 1.2.
Figura 1.1 Objetos.
Figura 1.2 Objetos, versión simplificada.
1.2 Metodología de la investigación de operaciones
Dada la naturaleza de la investigación de operaciones, la definición del problema a resolver constituye
un paso clave para que los resultados obtenidos del análisis sean útiles y efectivos para la empresa.
Por tanto, en este paso se deberá definir el alcance del estudio, la información con que se cuenta y las
restricciones del sistema, entre otros.
Las etapas básicas para aplicar la investigación de operaciones en la práctica, una vez que se ha
identificado y definido el alcance y las características del problema a resolver, son las siguientes:
1. Formulación del modelo matemático.
2. Solución del modelo matemático.
3. Validación del modelo.
En esta primera unidad nos centramos en la formulación del modelo matemático, destacando sus elementos, construcción y modelos clásicos.
Los otros dos pasos antes mencionados son posteriores a la formulación del modelo matemático;
por tanto, a lo largo de esta unidad se resaltarán algunas características sobre estos dos pasos.
Una vez que se ha validado el modelo, se procede a la implementación de los resultados obtenidos con el modelo a la práctica, esperando que estos logren resultados favorables en el sistema bajo
estudio.
Grupo Editorial Patria©
1.3 Modelo matemático
Un modelo matemático busca representar una realidad mediante el uso de relaciones matemáticas, a
través de la lógica, con el objetivo de ayudar en el proceso de toma de decisiones.
En general, un modelo matemático está compuesto de ecuaciones y/o desigualdades algebraicas.
Una ecuación establece que dos términos son iguales. Esta igualdad se representa mediante el
signo de igual (=) y se interpreta como: término de la izquierda (es igual a) término de la derecha.
Los elementos de una ecuación son los siguientes:
■
Variable. Símbolo (letra) que representa un número que desconocemos.
■
Constante. Número que no va acompañado de una variable.
■
Coeficiente. Número que va acompañado de una variable, multiplicándola.
■
Operador. Corresponde a los símbolos que representan una operación.
Por ejemplo, en la ecuación:
2W - 25Y = 3 050
El coeficiente 2 multiplica a la variable W; de igual manera, el coeficiente 25 multiplica a la variable Y.
El operador es el de resta y la constante es el número 3 050.
Una desigualdad algebraica puede tener la estructura de una ecuación, pero representa no igualdad entre dos términos.
Las relaciones de desigualdad que se pueden tener son:
■
W<Z
denota que W es menor que Z.
■
W>Z
representa que W es mayor que Z.
■
W≤Z
denota que W es menor o igual que Z; es decir, puede ser que W < Z o que W = Z.
■
W≥Z
representa que W es mayor o igual que Z; es decir, puede ser que W > Z o que W = Z.
Alerta
Recuérdese que W es a lo
más Z, W es a lo sumo Z y W
es no más que Z, significan
lo mismo; esto es, que W
puede tomar un valor igual
que Z o menor a Z.
❚ Elementos de un modelo matemático
Al constituir una herramienta para la toma de decisiones, el modelo matemático debe necesariamente
incluir en su totalidad las alternativas entre las cuales se deberá tomar la decisión, las restricciones
que existen y la medida con la que se evaluarán las alternativas, de acuerdo al objetivo que se quiere
lograr.
Para explicar los términos alternativas, las restricciones y los objetivos, primero se analizarán en el
contexto de un problema.
Problema resuelto
Problema de proyectos de inversión
Imaginemos que ocupamos el puesto de coordinador de proyectos dentro de una empresa. El gerente
general de dicha empresa ha destinado 100 000 pesos para invertir en los proyectos que generen beneficios económicos a esta. Existen tres proyectos en los que se puede invertir. ¿En cuál(es) proyecto(s)
debería invertir la empresa para obtener los máximos beneficios económicos?
Se tiene la siguiente información sobre los proyectos:
Tabla 1.1
Nombre
Costo de inversión
Beneficio económico
Proyecto A
$50 000
$80 000
Proyecto B
$70 000
$90 000
Proyecto C
$25 000
$30 000
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Solución
Las acciones que podemos ejecutar para la resolución de este problema son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
No invertir.
Invertir en el proyecto A.
Invertir en el proyecto B.
Invertir en el proyecto C.
Invertir en los proyectos A y B.
Invertir en los proyectos B y C.
Invertir en los proyectos A y C.
Invertir en los proyectos A, B y C.
¿Cuál de estas acciones se debe tomar?
Para responder a esta pregunta, primero debemos considerar el objetivo que busca el tomador de
decisio­nes. En este caso, lo que se pretende es invertir en el (los) proyecto(s) que genere(n) los máximos
beneficios económicos a la empresa.
Solución
Tabla 1.2
Acciones
1. No invertir
Beneficio
0
2. Invertir en el proyecto A.
$80 000
3. Invertir en el proyecto B.
$90 000
4. Invertir en el proyecto C.
$30 000
5. Invertir en los proyectos A y B.
$170 000
6. Invertir en los proyectos B y C.
$120 000
7. Invertir en los proyectos A y C.
$110 000
8. Invertir en los proyectos A, B y C.
$200 000
Basados en el beneficio descrito en la tabla 1.2, la mejor decisión sería invertir en los tres proyectos con
un beneficio de $200 000. Sin embargo, hay que recordar que existe una restricción en cuanto al monto
de inversión, la cual es una limitante en nuestro espacio de alternativas.
Evaluando el costo de inversión de cada una de las acciones se tiene:
Tabla 1.3
Acciones
1. No invertir
Costo inversión
0
2. Invertir en el proyecto A.
$50 000
3. Invertir en el proyecto B.
$70 000
4. Invertir en el proyecto C.
$25 000
5. Invertir en los proyectos A y B.
$120 000
6. Invertir en los proyectos B y C.
$95 000
7. Invertir en los proyectos A y C.
$75 000
8. Invertir en los proyectos A, B y C.
$145 000
Por tanto, como se puede comprobar mediante la tabla 1.3, la opción de invertir en los tres proyectos
no es posible, pues excede en 45 000 pesos el presupuesto de inversión de 100 000 pesos. Cuando una
acción viola alguna restricción, se dice que es no factible. Las alternativas de solución a este problema
son aquellas acciones factibles, es decir, aquellas que no violan la(s) restricción(es) del problema.
De este modo, las alternativas factibles del problema son: 1, 2, 3, 4, 6 y 7. Entre las alternativas,
observamos que la opción 6, invertir en los proyectos B y C, es la que brinda un mayor beneficio económico. Por lo cual, el coordinador de proyectos debería invertir en los proyectos B y C, lo que le daría
un beneficio económico de 120 000 pesos.
Grupo Editorial Patria©
❚ Construcción de un modelo matemático
En general, un modelo matemático en investigación de operaciones se representa mediante el siguiente formato:
Maximizar o minimizar función objetivo.
Sujeto a:
Restricciones.
La función objetivo debe expresar la meta que se quiere lograr: maximizar ganancia, minimizar costos, minimizar el número de trabajadores, minimizar el tiempo muerto, minimizar desperdicio, entre
otros.
Alerta
La determinación del
objetivo a perseguir,
las limitaciones de
recursos y la definición
de las alternativas de
solución corresponden
a la identificación del
problema, que es la primera
etapa en la aplicación
de la investigación de
operaciones en la práctica.
Las restricciones, por su parte, expresan limitaciones en los recursos o características de la naturaleza del sistema a modelar. La solución obtenida al resolver el modelo debe cumplir con todas las
restricciones.
La información del sistema se expresa a través de parámetros. Un parámetro es un dato dado con
antelación que corresponde a un valor real (o supuesto) presente en el sistema. Típicamente, los costos, las demandas de los clientes, las distancias, las capacidades y el tiempo de procesamiento, entre
otros, son vistos como parámetros.
Las soluciones al sistema están dadas mediante variables, usualmente llamadas de decisión. Para
solucionar el modelo matemático, siempre es necesario determinar el valor que deberán tomar las variables, que representan aspectos que el tomador de decisiones puede controlar. Algunos ejemplos de
variables son cantidad de productos a producir, cantidad de productos a enviar a cada cliente, decisión
de instalar o no un almacén en cierta ubicación, decisión de invertir o no en cierto proyecto, cantidad de
trabajadores a contratar, entre otros.
Existen varios tipos de variables, dependiendo del tipo de valor que puedan tomar. Las variables
continuas pueden tomar valores fraccionarios, por ejemplo: litros, kilos, pesos. Por su parte, las variables enteras pueden tomar únicamente valores enteros, por ejemplo: cantidad de trabajadores a contratar, camiones a enviar a cierto cliente, máquinas a utilizar, etcétera. Las variables binarias únicamente
pueden tomar valor de 0 o 1 y, por lo general, se utilizan para representar decisiones de hacer o no
hacer, por ejemplo: la decisión de instalar o no un almacén en cierta ubicación, la decisión de invertir
o no en cierto proyecto, etcétera.
Alerta
La definición de las
variables de decisión es
uno de los pasos críticos
y más complicados en la
construcción de un modelo
matemático.
Problema resuelto
Una costurera fabrica y vende faldas y pantalones de mezclilla, para lo cual cada semana compra un
rollo de 50 metros de mezclilla. Para hacer un pantalón requiere 2 metros de tela, mientras que para
una falda, 1.5 metros.
Por lo general, ella trabaja ocho horas diarias, de lunes a viernes. Para hacer un pantalón requiere
tres horas, mientras que hacer una falda le toma una. Un pantalón le genera 80 pesos de ganancia,
mientras que al vender una falda gana 50 pesos.
Construir un modelo matemático que permita maximizar la ganancia semanal de la costurera, considerando que todo producto que fabrique puede venderlo.
Solución
Como primer paso, tenemos que establecer los parámetros del problema.
Tabla 1.4 Parámetros
Pantalón
Falda
Disponible
Cantidad de material
2 metros
1.5 metros
50 metros
Tiempo de mano de obra
3 horas
1 hora
8 horas × 5 días = 40 horas
Ganancia
80
50
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
El siguiente paso es definir las variables, recuérdese que estas deben representar lo que necesitamos
determinar. En este caso, la costurera quiere saber la cantidad de pantalones y faldas que debe fabricar.
Por tanto, las variables deben quedar:
x1 = cantidad de pantalones a fabricar en una semana.
x2 = cantidad de faldas a fabricar en una semana.
Para construir la función objetivo, debemos tomar en cuenta que la costurera quiere maximizar su ganancia semanal. Por tanto, tomando en cuenta que la ganancia por vender un pantalón es de 80 pesos
y por una falda es de 50 pesos. Tenemos que:
Ganancia semanal por venta de pantalones = 80 × x1 pesos.
Ganancia semanal por venta de faldas = 50 × x2 pesos.
Ahora, utilizaremos z para representar la ganancia semanal de la costurera, resultando la función objetivo como:
Maximizar z = 80x1 + 50x2
Después, hay que escribir las restricciones. En este problema, la costurera tiene restricciones de material (mezclilla) y mano de obra.
Restricciones:
1. De mezclilla.
Cantidad de mezclilla usada en pantalones + cantidad de mezclilla usada en faldas ≤ cantidad de
mezclilla disponible.
°Cantidad de mezclilla usada en pantalones = 2 metros por cada pantalón que se fabrique (la
cantidad de pantalones se representa con la variable x1 ) = 2x1.
°Cantidad de mezclilla usada en faldas = 1.5 metros por cada falda que se fabrique (la cantidad de
pantalones se representa con la variable x2 ) = 1.5x2.
Por tanto, la restricción de mezclilla resulta:
2x1 + 1.5x2 ≤ 50
2. Mano de obra.
Horas dedicadas a fabricar pantalones + horas dedicadas a fabricar faldas ≤ horas disponibles
Por ende, la restricción de mano de obra es:
3x1 + 1x2 ≤ 40
Además de las restricciones de material y mano de obra, también es necesario indicar las restricciones
respecto al tipo de variable con el que se está trabajando. En este caso, al tratarse de cantidad de producción, podemos inferir que estas variables deben ser mayores que cero (no puede haber producción
negativa) y entera (asumiendo que se trata de pantalones y faldas completos). Estas restricciones se
identifican de la siguiente manera: x1, x2 ≥ 0, enteras.
El modelo matemático para representar el problema de la costurera es:
Maximizar z = 80x1 + 50x2
Sujeto a:
2x1 + 1.5x2 ≤ 50
3x1 + 1x2 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0, enteras.
Grupo Editorial Patria©
Una solución a un modelo matemático debe satisfacer todas
las restricciones del modelo. Retomando el problema de la costurera, la solución de fabricar 15 pantalones y 10 faldas no es
factible, pues aun cuando cumple con la restricción de material
(2 × 15 + 1.5 × 10 = 45 ≤ 50) se excede en quince horas del tiempo semanal disponible (3 × 15 + 1 × 10 = 55 ≥ 40).
Para obtener la solución óptima (o cercana a la óptima) de
un modelo matemático existen diversos algoritmos y herramientas entre los que se encuentran el método gráfico, el método
simplex, los algoritmos especiales y, de más reciente creación,
los algoritmos metaheurísticos, para la resolución de modelos
matemáticos de alta complejidad.
Alerta
Es de suma importancia que el modelo matemático incluya la correcta
representación de las restricciones del problema; de otro modo, se podría
excluir del conjunto de soluciones factibles la solución óptima o la resolución
del modelo podrá dar lugar a una solución que en realidad no es factible.
Alerta
Todo modelo matemático debe ser validado, en cuya fase se analizará si
la solución obtenida con el modelo refleja en realidad lo que ocurre en el
sistema.
Una vez que el modelo ha sido validado, se pasa a la fase de
implementación, que es la traducción del modelo (o los resultados del
modelo) en el lenguaje del cliente o dueño del sistema.
Problema resuelto
Plantear un modelo matemático que represente el problema de proyectos de inversión.
Solución
Como primer paso, debemos definir la información sobre los parámetros que tenemos y las variables
que se requieren.
Parámetros:
Para el problema de proyectos de inversión, los parámetros que tenemos son el presupuesto para los
proyectos, los costos de inversión y los beneficios económicos de cada proyecto.
En este caso, el presupuesto para los proyectos es: $100 000.
Tabla 1.5 Información sobre los proyectos
Nombre
Costo de inversión
Beneficio económico
Proyecto A
$50 000
$80 000
Proyecto B
$70 000
$90 000
Proyecto C
$25 000
$30 000
Variables de decisión:
Lo que queremos saber es en qué proyectos debe invertir el dinero. Es decir, para cada proyecto, la
decisión es invertir o no invertir en él. Por tanto, se necesita una variable por cada proyecto, la cual
puede tomar únicamente dos valores. Este tipo de variables de decisión se suele representar como
binarias, de la siguiente manera:
1 si se invierte en el proyecto A
xA =
aso
0 en otro ca
1 si se invierte en el proyecto B
xB =
aso
0 en otro ca
1 si se invierte en el proyecto C
xC =
aso
0 en otro ca
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Función objetivo:
Lo que se busca es obtener los máximos beneficios económicos de las inversiones. Por tanto, la función
objetivo deberá tener la siguiente forma:
Maximizar: Beneficio por invertir en proyecto A + Beneficio por invertir en el proyecto B + Beneficio por
invertir en el proyecto C.
Tomando la información de los proyectos y las variables de decisión y utilizando z para representar el
beneficio de invertir en los proyectos, la función objetivo resulta:
Maximizar z = 80 000xA + 90 000xB + 30 000xC.
Restricciones:
1.Del presupuesto de inversión. En este caso, la inversión en proyectos no debe superar los $100 000
disponibles.
Costo de invertir en proyecto A + Costo de invertir en proyecto B + Costo de invertir en proyecto C
≤ Presupuesto disponible.
Resultando:
50 000xA + 70 000xB + 25 000xC ≤ 100 000
2.De la naturaleza de las variables. Para este problema, las variables son binarias, esto se representa
de la siguiente manera:
xA, xB, xC ∈ {0, 1}
Por tanto, el modelo matemático para el problema de proyectos de inversión resulta:
Maximizar z = 80 000xA + 90 000xB + 30 000xC
Sujeto a:
50 000xA + 70 000xB + 25 000xC ≤ 100 000
xA, xB, xC ∈ {0, 1}
1.4 Modelos matemáticos clásicos
Alerta
No existe una receta
para formular modelos
matemáticos. Inclusive,
puede existir más de un
modelo para representar un
sistema. Una buena forma
de aprender a construirlos
es analizar y comprender
modelos matemáticos
que se encuentran en la
literatura de investigación
de operaciones y practicar
construyéndolos.
En esta sección se analizarán algunos de los modelos matemáticos clásicos.
❚ Problemas de mezcla de productos
En este tipo de problemas se tienen que determinar las cantidades a fabricar de ciertos productos en
algún periodo de tiempo. Entre las restricciones que se presentan en este tipo de problemas están la
limitación de recursos, de mano de obra, capacidades de plantas, demanda de productos limitada,
entre otros. El objetivo más común es el de maximizar la ganancia que genera la venta de productos.
Problema resuelto
Una compañía fabrica tres productos: crema corporal, crema facial y crema para bebés. Los tres productos comparten ingredientes en su elaboración: mezcla base, aceite de almendras, vitamina E y manteca
de karité. En la tabla 1.6 se presenta información acerca de los porcentajes de composición de cada
uno de los tres productos.
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Tabla 1.6
Mezcla
base
Aceite de
almendras
Vitamina
E
Manteca
de karité
Crema corporal
90%
4%
1%
5%
Crema facial
85%
8%
2.5%
4.5%
Crema para bebé
80%
10%
-
10%
Cada día, la compañía cuenta con 500 litros de la mezcla base, 50 litros de aceite de almendras, 5 litros
de vitamina E y 30 litros de manteca de karité. Adicionalmente, se tiene la siguiente información sobre
costos y precios de venta.
Tabla 1.7Tabla 1.8
Ingrediente
Mezcla base
Costo por litro
$20
Aceite de almendras
Vitamina E
$500
$1 500
Manteca de karité
Producto
Precio de venta ($ / l)
Crema corporal
$80
Crema facial
$120
Crema para bebé
$100
$200
La demanda diaria de la crema corporal es de 200 litros, de la crema facial, 150 litros, y de la crema para
bebé, de 250 litros. Por políticas de la empresa, se deben fabricar al menos 50 litros de crema facial.
¿Cuánto de cada producto deberá producir la compañía para maximizar su utilidad?
Solución
Parámetros:
Los parámetros de este problema son los costos de cada ingrediente, los precios de venta, la disponibilidad de productos, los porcentajes de composición de cada producto, la demanda de cada producto
y el mínimo a producir de crema facial.
Variables:
Dado que se desea determinar la cantidad diaria de litros a producir de cada uno de los productos, las
variables de decisión se definen de la siguiente manera:
x1 = cantidad de litros diarios de crema corporal
x2 = cantidad de litros diarios de crema facial
x3 = cantidad de litros diarios de crema para bebé
Función objetivo:
En este caso, el objetivo es maximizar la utilidad de la compañía; la utilidad es la diferencia entre los
ingresos y los gastos. En este caso, los ingresos provienen de la venta de litros de producto, mientras
que los gastos se dan a través de los costos de los ingredientes.
Utilidad = ingresos por ventas - gastos por ingredientes.
Ingresos por ventas = ingreso por ventas de crema corporal + ingreso por ventas de crema facial +
ingreso por ventas de crema para bebé = 80x1 + 120x2 + 100x3.
Gastos por ingredientes = gasto por uso de mezcla base + gasto por uso de aceite de almendras + gasto por uso de vitamina E + gasto por uso de manteca de karité = 20(0.9x1 + 0.85x2 + 0.8x3 ) + 500(0.04x1
+ 0.08x2 + 0.1x3 ) + 1 500(0.01x1 + 0.025x2 ) + 200(0.05x1 + 0.045x2 + 0.1x3 ).
Si representamos la utilidad diaria por z, tenemos la siguiente función objetivo:
Maximizar z = 17x1 + 16.5x2 + 14x3
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Restricciones:
Las restricciones del problema están dadas por disponibilidad limitada de ingredientes, la demanda de
los clientes y las estrategias de la compañía.
1.La disponibilidad limitada de ingredientes tiene la siguiente estructura:
(litros de ingrediente Y usados en crema corporal) + (litros de ingrediente Y usados en crema facial)
+ (litros de ingrediente Y usados en crema para bebé) ≤ litros disponibles de ingrediente Y.
°
°
°
°
Restricción para la mezcla base: 0.9x1 + 0.85x2 + 0.8x3 ≤ 500.
Restricción para el aceite de almendras: 0.04x1 + 0.08x2 + 0.1x3 ≤ 50.
Restricción para la vitamina E: 0.01x1 + 0.025x2 ≤ 5.
Restricción para la manteca de karité: 0.05x1 + 0.045x2 + 0.1x3 ≤ 30.
2.Las demandas de los clientes tienen la siguiente estructura:
Litros diarios de producto x ≤ Demanda diaria de producto x (en litros).
° Restricción para la demanda de crema corporal: x1 ≤ 200.
° Restricción para la demanda de crema facial: x2 ≤ 150.
° Restricción para la demanda de crema para bebé: x3 ≤ 250.
3.De manera similar, la restricción de fabricar por lo menos 50 litros de crema facial (estrategia de la
compañía), se representa: x2 ≥ 50.
Las restricciones de demanda y política de la empresa presentada en este problema pueden verse
como cotas para las variables de decisión.
Las variables de decisión, por tratarse de litros de producto, son no negativas. Dado que x2 cuenta con una cota inferior mayor que cero, faltaría incluir x1 ≥ 0, x3 ≥ 0.
El modelo matemático resulta:
Maximizar z = 17x1 + 16.5x2 + 14x3
Sujeto a:
0.9x1 + 0.85x2 + 0.8x3 ≤ 500
0.04x1 +0.08x2 + 0.1x3 ≤ 50
0.01x1 + 0.025x2 ≤ 5
0.05x1 + 0.045x2 + 0.1x3 ≤ 30
0 ≤ x1 ≤ 200
50 ≤ x2 ≤ 150
0 ≤ x3 ≤ 250
❚ Problemas de planificación de procesos productivos
Los problemas de planificación de procesos productivos involucran la determinación de niveles de
producción, fuerza de trabajo, inventario, tiempo extra y subcontrataciones, entre otros, con el fin
de determinar el plan estratégico para los distintos periodos de planeación de la compañía.
La información que usualmente se tiene en este tipo de modelos es la demanda de producto o
productos (o pronósticos de la demanda), costo de producir en tiempo normal y en tiempo extra, costo
por subcontratar, despidos, contrataciones y por mantener inventario, entre otros.
Este tipo de problemas suelen llamarse de planeación agregada y son decisiones de tipo estratégico dentro de la compañía.
10
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❚ Planeación de la producción con múltiples periodos
Problema resuelto
Una empresa que produce una línea de componentes para computadoras está planeando los niveles
de producción para el periodo de enero a junio.
Los pronósticos de las demandas de componentes para los seis meses son de 980, 640, 700, 1 200,
900 y 550 unidades, respectivamente. El inventario al final de diciembre se espera que sea de 500
unidades y la empresa desea tener 600 unidades al final de junio. El costo por mantener una unidad en
inventario un mes es de $3.
Debido a cuestiones de costos de materia prima y salarios de los trabajadores, el precio por producir
un componente varía de un mes a otro. Al analizar datos históricos, la empresa considera que el precio
de fabricación de una unidad es de $40, $34, $38, $32, $41 y $38 para enero, febrero, marzo, abril,
mayo y junio, respectivamente.
Construir un modelo matemático que permita determinar la cantidad de componentes a producir en
cada periodo.
Solución
Parámetros:
Los parámetros de este problema son los pronósticos de las demandas, costos de inventario y de producción.
Variables:
Lo que se quiere saber son las cantidades a producir en cada mes; por tanto, las variables son:
P1 = unidades a producir en el mes de enero.
P2 = unidades a producir en el mes de febrero.
P3 = unidades a producir en el mes de marzo.
P4 = unidades a producir en el mes de abril.
P5 = unidades a producir en el mes de mayo.
P6 = unidades a producir en el mes de junio.
Dado que los costos de producción cambian mensualmente, puede resultar conveniente producir más
de lo demandado algún mes (por lo común los meses con producción más económica) para poder
reducir la producción en los meses posteriores (por lo común los meses con un costo de producción
mayor). Por tanto, se requieren variables extra que correspondan al exceso de producción que se guardará para periodos posteriores, las cuales representan el inventario mensual:
I1 = unidades en inventario en el mes de enero.
I2 = unidades en inventario en el mes de febrero.
I3 = unidades en inventario en el mes de marzo.
I4 = unidades en inventario en el mes de abril.
I5 = unidades en inventario en el mes de mayo.
En este caso, I6 = unidades en inventario en el mes de junio, no se considera una variable, pues su valor
está definido por las políticas de la empresa, I6 = 600 unidades.
Función objetivo:
El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción, donde se observan dos
tipos de costos: costo unitario de producción y costo unitario por mantener en inventario. El objetivo
quedaría entonces de la siguiente manera:
Minimizar z = costos por mantener inventario en cada uno de los meses + costos de producción de cada
uno de los meses.
Minimizar z = 3I1 + 3I2 + 3I3 + 3I4 + 3I5 + 3I6 + 40P1 + 34P2 + 38P3 + 32P4 + 41P5 + 38P6
11
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Restricciones:
Para este problema, se debe determinar la relación que existe entre la producción, el nivel de inventario
y los distintos periodos de planeación.
1.El inventario lo constituyen aquellas unidades que permanecen uno o varios periodos más en la
empresa, por exceso de producción.
Por tanto, la relación entre el inventario y las unidades producidas es:
Inventario del mes de enero = (unidades disponibles en mes de enero) - (unidades vendidas en el mes
de enero).
Esto es equivalente a:
Inventario del mes de enero = (unidades producidas en el mes de enero + inventario del mes de diciembre) - (unidades demandas en enero).
Utilizando las variables de decisión y considerando que de acuerdo con el problema en el mes de diciembre se tuvo un inventario final de 500 unidades, tenemos:
I1 = P1 + 500 - 980
De manera similar, para los siguientes meses tenemos las siguientes restricciones.
I2 = P2 + I1 - 640
I3 = P3 + I2 - 700
I4 = P4 + I3 - 1 200
I5 = P5 + I4 - 900
I6 = P6 + I5 - 550, dado que se requiere tener 600 unidades en inventario en el
mes de junio, esta restricción queda como:
600 = P6 + I5 - 550
El modelo queda como sigue:
Minimizar z = 3I1 + 3I2 + 3I3 + 3I4 + 3I5 + 3I6 + 40P1 + 34P2 + 38P3 + 32P4 + 41P5 + 38P6
Sujeto a:
I1 = P1 + 500 - 980
I2 = P2 + I1 - 640
I3 = P3 + I2 - 700
I4 = P4 + I3 - 1 200
I5 = P5 + I4 - 900
600 = P6 + I5 - 550
I1, I2, I3, I4, I5, I6, P1, P2, P3, P4, P5, P6 ≥ 0
❚ Planeación de la producción con programación de la fuerza de trabajo
En este tipo de problemas también se busca determinar las unidades a producir por la empresa en el
periodo de planeación, pero, a diferencia del problema anterior en el que no se tenía control sobre los
trabajadores, aquí se puede tomar la decisión de contratar o despedir personal con el fin de minimizar
los costos de operación de la empresa. No obstante, resulta lógico pensar que contratar o despedir a
un empleado genera un costo para la empresa por motivos de capacitación, indemnización, sueldos,
entre otros.
12
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Problema resuelto
El gerente general de una empresa que produce aparatos electrónicos está interesado en planear su
producción para el próximo año. Los pronósticos de ventas para el siguiente año se presentan en la
tabla 1.9.
Tabla 1.9
Días
laborales
Demanda
(en unidades)
Enero-febrero
41
31 000
Marzo-abril
40
40 000
Mayo-junio
42
52 000
Julio-agosto
41
43 000
Septiembre-octubre
43
31 000
Noviembre-diciembre
39
21 000
Bimestre
En la actualidad, la empresa cuenta con 100 empleados, pero cada bimestre se pueden contratar o
despedir empleados, incurriendo en un costo de $300 por cada empleado contratado y de $200 por
cada empleado despedido. El sueldo de un empleado es de $60 por día de trabajo y cada empleado
produce 12 unidades diariamente.
El costo por mantener inventario es de $5 por unidad por bimestre.
Solución
Parámetros:
Los parámetros que se tienen que considerar son los días laborales por bimestre, la demanda bimestral,
el número de empleados, el costo de contratación y despido, el sueldo diario, la tasa de producción y el
costo por mantener inventario.
Variables:
De manera similar al problema de planeación de la producción con múltiples periodos, en este se requieren variables que reflejen la cantidad de unidades a producir por periodo, en este caso bimestre.
P1 = unidades a producir en el bimestre enero-febrero.
P2 = unidades a producir en el bimestre marzo-abril.
P3 = unidades a producir en el bimestre mayo-junio.
P4 = unidades a producir en el bimestre julio-agosto.
P5 = unidades a producir en el bimestre septiembre-octubre.
P6 = unidades a producir en el bimestre noviembre-diciembre.
Aquí también se definen las variables correspondientes a la cantidad de inventario por bimestre.
I1 = unidades en inventario en el bimestre enero-febrero.
I2 = unidades en inventario en el bimestre marzo-abril.
I3 = unidades en inventario en el bimestre mayo-junio.
I4 = unidades en inventario en el bimestre julio-agosto.
I5 = unidades en inventario en el bimestre septiembre-octubre.
I6 = unidades en inventario en el bimestre noviembre-diciembre.
Dado que se debe determinar también la fuerza de trabajo por bimestre, y esta fuerza de trabajo se
determina mediante despidos y contrataciones, se requieren variables que representen los valores que
deben tomar cada uno de estos elementos. De modo que:
W1 = cantidad de empleados en el bimestre enero-febrero.
W2 = cantidad de empleados en el bimestre marzo-abril.
W3 = cantidad de empleados en el bimestre mayo-junio.
13
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
W4 = cantidad de empleados en el bimestre julio-agosto.
W5 = cantidad de empleados en el bimestre septiembre-octubre.
W6 = cantidad de empleados en el bimestre noviembre-diciembre.
Para las contrataciones:
H1 = número de contrataciones en el bimestre enero-febrero.
H2 = número de contrataciones en el bimestre marzo-abril.
H3 = número de contrataciones en el bimestre mayo-junio.
H4 = número de contrataciones en el bimestre julio-agosto.
H5 = número de contrataciones en el bimestre septiembre-octubre.
H6 = número de contrataciones en el bimestre noviembre-diciembre.
Para los despidos:
F1 = número de despidos en el bimestre enero-febrero.
F2 = número de despidos en el bimestre marzo-abril.
F3 = número de despidos en el bimestre mayo-junio.
F4 = número de despidos en el bimestre julio-agosto.
F5 = número de despidos en el bimestre septiembre-octubre.
F6 = número de despidos en el bimestre noviembre-diciembre.
Función objetivo:
El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción, donde se observan cinco
tipos de costos: costo unitario de producción, costo unitario por mantener en inventario, costo por
sueldos de empleados, costo por contratar y costo por despedir.
Considerando los parámetros para dichos costos y las variables previamente definidas, el objetivo
resulta:
Minimizar z = 5I1 + 5I2 + 5I3 + 5I4 + 5I5 + 5I6 + ($60/día laboral × 41 días laborales)W1 + ($60/día laboral ×
40 días laborales)W2 + ($60/día laboral × 42 días laborales)W3 + ($60/día laboral × 41 días laborales)W4
+ ($60/día laboral × 43 días laborales)W5 + ($60/día laboral × 39 días laborales)W6 + 300 H1 + 300 H2 +
300H3 + 300H4 + 300H5 + 300H6 + 200F1 + 200F2 + 200F3 + 200F4 + 200F5 + 200F6.
Restricciones:
Además de las restricciones que establecen la relación que existe entre la producción, el nivel de inventario y los distintos periodos de planeación, se requieren dos conjuntos más de restricciones:
°Restricciones que establecen la capacidad de producción de acuerdo con la tasa de producción por
empleado y la cantidad de empleados por periodo.
°Restricciones que establecen la cantidad de empleados por periodo, en relación con las contrataciones y despidos en el periodo.
1.Las restricciones de inventario y producción siguen la estructura:
Inventario del bimestre i = (unidades que quedaron en inventario en el bimestre anterior a i) + (unidades
producidas en bimestre i) - (unidades vendidas en el bimestre i).
Esto es equivalente a:
I1 = P1 + I0 - 31 000
I3 = P3 + I2 - 52 000
I4 = P4 + I3 - 43 000
I2 = P2 + I1 - 40 000
14
I5 = P5 + I4 - 31 000
I6 = P6 + I5 - 21 000
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2.Restricciones de capacidad de producción, las cuales siguen la siguiente estructura lógica:
Cantidad a producir en bimestre i = (tasa diaria de producción por empleado (unidades/día laboral ×
empleado)) × (cantidad de días laborales en el bimestre i ) × (cantidad de empleados en el bimestre i ).
Traducido en variables y parámetros resulta el siguiente conjunto de restricciones.
P1 = 12 (unidades/día laboral × empleado) × 41 días laborales × W1
P2 = 12 (unidades/día laboral × empleado) × 40 días laborales × W2
P3 = 504W3
P4 = 492W4
P5 = 516W5
P6 = 468W6
3.Las que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos, tienen la siguiente
estructura:
Trabajadores en bimestre i = (trabajadores en bimestre anterior a i ) + (contrataciones en bimestre i )
- (despidos en bimestre i ).
Utilizando las variables correspondientes, tenemos:
W1 = W0 + H1 - F1
W2 = W1 + H2 - F2
W3 = W2 + H3 - F2
W4 = W3 + H4 - F3
W5 = W4 + H5 - F4
W6 = W5+ H6 - F5
El modelo resulta:
Minimizar z = 5I1 + 5I2 + 5I3 + 5I4 + 5I5 + 5I6 + 2 460W1 + 2 400W2 + 2 520W3 + 2 460W4 + 2 580W5 +
2 340W6 + 300H1 + 300H2 + 300H3 + 300H4 + 300H5 + 300H6 + 200F1 + 200F2 + 200F3 + 200F4 + 200F5
+ 200F6.
P1 = 492W1
P2 = 480W2
P3 = 504W3
P4 = 492W4
P5 = 516W5
P6 = 468W6
W1 = 100 + H1 - F1
W2 = W1 + H2 - F2
W3 = W2 + H3 - F2
W4 = W3 + H4 - F3
W5 = W4 + H5 - F4
W6 = W5 + H6 - F5
I1 = P1 - 31 000
I2 = P2 + I1 - 40 000
I3 = P3 + I2 - 52 000
I4 = P4 + I3 - 43 000
I5 = P5 + I4 - 31 000
I6 = P6 + I5 - 21 000
P1, P2, P3, P4, P5, P6, H1, H2, H3, H4, H5, H6, F1, F2, F3, F4, F5, F6, I1, I2, I3, I4, I5, I6 > = 0.
W1, W2, W3, W4, W5, W6 ≥ 0, enteras.
Alerta
Adicionalmente se incluyen
las restricciones que
determinen la naturaleza
de las variables; por
ejemplo, las variables
fuerza de trabajo puede ser
recomendable considerarlas
enteras.
15
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
❚ Expresando los modelos en forma resumida
En los problemas anteriores ha sido posible expresar explícitamente cada una de las restricciones requeridas y la función objetivo, desarrollando a detalle cada uno de estos elementos.
En la práctica es común encontrar modelos en forma general, de manera que, tomándolo como
base, se puedan realizar las sustituciones correspondientes y hacer que represente cada situación
particular.
Para el de planeación de la producción con programación de la fuerza de trabajo, denotemos:
cc = Costo por contratar un trabajador.
cf = Costo por despedir un trabajador.
ci = Costo por mantener una unidad en inventario por un periodo.
cd = Costo diario por trabajador.
nt = Días laborales en el periodo t.
Dt = Demanda en el periodo t.
R = Tasa de producción diaria por un empleado.
Además, se puede observar que se requiere una variable de cada tipo para cada uno de los periodos de planeación. Consideremos que se tienen T periodos de planeación, para el caso en particular
T = 6, donde el bimestre enero-febrero corresponde al periodo 1, marzo-abril al periodo 2, y así sucesivamente. Por tanto, las variables pueden dejarse expresadas como:
Pt = unidades a producir en el periodo t.
It = unidades en inventario en el periodo t.
Wt = cantidad de empleados en el periodo t.
Ht = número de contrataciones en el periodo t.
Ft = número de despidos en el periodo t.
De este modo, la función objetivo podría pasar de:
Minimizar z = 5I1 + 5I2 + 5I3 + 5I4 + 5I5 + 5I6 + 2 460W1 + 2 400W2 + 2 520W3 + 2 460W4 + 2 580W5 +
2 340W6 + 300H1 + 300H2 + 300H3 + 300H4 + 300H5 + 300H6 + 200F1 + 200F2 + 200F3 + 200F4 + 200F5
+ 200F6.
Al verla en forma resumida como:
Minimizar z =
T
∑ ( ci ⋅ It
t =1
+ cd ⋅ nt ⋅ Wt + cc ⋅ Ht + cf ⋅ Ft )
Restricciones:
De manera similar, cada una de las restricciones resultaría:
1. Las de inventario y producción:
Inventario del periodo t = (unidades que quedaron en inventario en el periodo t - 1) + (unidades
producidas en periodo t) - (unidades vendidas en el periodo t).
Por tanto:
It = It - 1 + Pt - Dt y se necesita una para 1 ≤ t ≤ T.
2. Las restricciones que establecen la capacidad de producción con:
Cantidad a producir en periodo t = (tasa diaria de producción por empleado) × (cantidad de días
laborales en periodo t) × (cantidad de empleados en periodo t).
Pt = R × yt × Wt para 1 ≤ t ≤ T.
16
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3. Las restricciones que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos:
Trabajadores en periodo t = (trabajadores en periodo t - 1) + (contrataciones en periodo t) (despidos en periodo t).
Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ T
Así, el modelo matemático resulta:
Minimizar z =
T
∑ ( ci ⋅ It
t =1
+ cd ⋅ nt ⋅ Wt + cc ⋅ Ht + cf ⋅ Ft )
Sujeto a:
It = It - 1 + Pt - Dt para 1 ≤ t ≤ T
Pt = R ⋅ yt ⋅ Wt para 1 ≤ t ≤ T
Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ T
Wt, Ht, Ft, Pt ≥ 0 para 1 ≤ t ≤ T
Wt enteras
Alerta
Ahora que ya sabemos
establecer modelos
de manera resumida,
usaremos esta notación
libremente.
❚ Planeación de la producción, características adicionales
Hay ciertas prácticas que realizan las empresas que se deben considerar al planear la producción, entre
dichas prácticas se encuentra la producción en tiempo extra, subcontratación de servicios o productos,
la posibilidad de tener faltantes, entre otros.
Al considerar estos aspectos en el modelo matemático para planeación de la producción, nos
acercamos más al complejo sistema de producción de una empresa.
Problema resuelto
Siguiendo con el problema resuelto de planeación de la producción con programación de la fuerza de
trabajo, consideremos que la capacidad de la empresa puede incrementarse 30% mediante tiempo
extra. Las unidades producidas en tiempo extra tienen un costo adicional de $3 por unidad y es posible subcontratar a un costo de $9 por unidad. Además, se puede tener tiempo muerto en la línea de
producción, aunque esto ocasiona un costo bimestral de $2 por cada unidad no producida debido a
tiempo muerto.
Solución
Parámetros:
Además de los parámetros antes establecidos, se requieren los siguientes:
cpe = costo por unidad producida en tiempo extra.
cs = costo por unidad subcontratada.
ctm = costo por unidad no producida debido a tiempo muerto.
MTe = porcentaje de capacidad de producción que puede usarse para producir en tiempo extra.
Variables:
En este caso, se requieren variables extra que reflejen las unidades producidas en tiempo extra, las
unidades subcontratadas y las unidades no producidas debido a tiempo muerto. Así:
PEt = unidades a producir en tiempo extra en el periodo t.
St = unidades subcontratadas en el periodo t.
TMt = unidades no producidas por tiempo muerto en el periodo t.
17
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Función objetivo:
El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción; por tanto, debemos agregar los costos extra que se expresan en el enunciado del problema. El objetivo resulta:
Minimizar z =
T
∑ ( ci ⋅ It
t =1
+ cd ⋅ nt ⋅ Wt + cc ⋅ Ht + cf ⋅ Ft + cpe ⋅ PE t + cs ⋅ S t + ctm ⋅ TMt )
Sustituyendo los parámetros:
Minimizar z =
6
∑ ( 5 ⋅ It
t =1
+ 60 ⋅ nt ⋅ Wt + 300 ⋅ Ht + 200 ⋅ Ft + 3 ⋅ PE t + 9 ⋅ S t + 2 ⋅ TMt )
Restricciones:
1.En las restricciones que regulan el inventario con la cantidad de unidades disponibles y vendidas, es
necesario considerar que es posible adquirir unidades mediante la subcontratación. Por tanto, las
restricciones deberán tener la siguiente estructura:
Inventario del periodo: t = (unidades que quedaron en inventario en el periodo t - 1) + (unidades
producidas en periodo t) + (unidades subcontratadas en periodo t) - (unidades vendidas en el pe­
riodo t).
It = It - 1 + Pt + St - Dt para 1 ≤ t ≤ 6
2.Las restricciones referentes a la producción deben tomar en cuenta, además de la capacidad de
producción en tiempo normal, la producción en tiempo extra y las unidades que resulta mejor
no producir (unidades en tiempo muerto).
Resultando:
Producción en periodo t = (tasa diaria de producción por empleado) ⋅ (cantidad de días laborales en
periodo t) ⋅ (cantidad de empleados en periodo t) + (producción en tiempo extra) - (unidades no producidas debido a tiempo muerto).
Pt = R ⋅ nt ⋅ Wt + PEt - TMt para 1 ≤ t ≤ 6
Pt = 12 ⋅ nt ⋅ Wt + PEt - TMt para 1 ≤ t ≤ 6
3.Si se considera la posibilidad de producir en tiempo extra, se requiere establecer, a través de restricciones, la cantidad máxima de unidades producidas en tiempo extra, que corresponden a 30% de la
producción en tiempo normal; por tanto,
Producción en tiempo extra en periodo t ≤ (porcentaje de capacidad de producción que pueden usarse
para producir en tiempo extra) × (capacidad de producción en tiempo normal).
Producción en tiempo extra en periodo t ≤ (porcentaje de capacidad de producción que pueden usarse
para producir en tiempo extra) × (tasa diaria de producción por empleado × cantidad de días laborales
en periodo t × cantidad de empleados en periodo t).
PEt ≤ MTe × R × nt × Wt para 1 ≤ t ≤ 6
PEt ≤ 0.30 × 12 × nt × Wt para 1 ≤ t ≤ 6
4.Las restricciones que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos permanecen iguales:
Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ 6
Modelo matemático:
Minimizar z =
6
∑ ( 5 ⋅ It
t =1
18
+ 60 ⋅ nt ⋅ Wt + 300 ⋅ Ht + 200 ⋅ Ft + 3 ⋅ PE t + 9 ⋅ S t + 2 ⋅ TMt )
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Sujeto a:
It = It - 1 + Pt + St - Dt para 1 ≤ t ≤ 6
Pt = 12 ⋅ nt ⋅ Wt + PEt - TMt para 1 ≤ t ≤ 6
PEt ≤ 0.30 ⋅ 12 ⋅ nt ⋅ Wt para 1 ≤ t ≤ 6
Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ 6
Wt, Ht, Ft, Pt, PEt, St + TMt ≥ 0 para 1 ≤ t ≤ T
Wt enteras
❚ Problemas financieros
El modelado matemático es de gran utilidad en numerosos procesos financieros. Hemos visto en esta
unidad un problema de decisión sobre un conjunto de inversiones. Además del análisis de inversiones,
los modelos matemáticos también son útiles para problemas de caja óptima, a través de los cuales se
pretende determinar el nivel de efectivo que conviene para no perder liquidez, problemas de asignación de préstamos a un conjunto de clientes, entre otros.
Problema resuelto
Manuel desea invertir $50 000 y permitir que esa cantidad incremente su valor en un periodo de cinco
años. En la actualidad hay tres planes en los que puede invertir. El plan A le otorga un interés de 4%
anual, pudiendo hacer cualquier movimiento al finalizar cada año. El plan de inversión B le ofrece un
interés de 9% cada dos años. Mientras que el plan C le ofrece un interés de 14% si mantiene su dinero
en dicho plan por tres años.
¿Cómo debería Manuel invertir su dinero a fin de obtener el mayor rendimiento al finalizar el quinto
año?
Solución
Parámetros:
En este caso, tenemos los siguientes parámetros:
n = horizonte de planeación de las inversiones = 5
IA = tasa de interés anual de plan A = 4% por año
IB = tasa de interés por dos años de plan B = 9% por cada dos años
IC = tasa de interés por tres años de plan C = 14% por cada tres años
Q = cantidad de dinero disponible en el año 0, para invertir $50 000
También, sabemos que el plan A es anual (tA = 1), el plan B es a dos años (tB = 2) y el plan C es a tres
años (tC = 3).
Variables:
¿Qué queremos saber? Las cantidades a invertir (de los $50 000 originales, llamémosle dinero de bolsillo) a lo largo de los cinco años en los tres planes de inversión. Por tanto, se necesitan variables que
determinen esto. Entonces, denotemos:
xij = cantidad de dinero de bolsillo a invertir a inicios de año i en plan j, para i = 1, 2, 3, 4, 5; j = A, B, C.
Otra cosa que interesa es la ganancia que obtendrá Manuel por año, la pista para considerar esta
variable está en el hecho de que lo que debemos maximizar es el valor que tome esta variable en el
quinto año.
Denotemos:
rij = Cantidad de dinero recibido a final del año i debido a inversión en plan j, para i = 1, 2, 3, 4, 5;
j = A, B, C.
19
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Dado que se puede, y es deseable, reinvertir las ganancias obtenidas por inversiones pasadas, se hace
necesario considerar las siguientes variables.
gij = cantidad de dinero recibido a final del año i - 1 que se invertirá a inicios de año i en el plan j, para
i = 2, 3, 4, 5; j = A, B, C.
Dadas las características de este problema, se puede intuir que desde principios del año 1 se busca invertir el capital total, a fin de hacerlo crecer desde ese momento; sin embargo, esto puede no ser cierto
en todo plan de inversión. Puede darse el caso de que un plan de inversión no esté disponible desde
el año 1, o que se reciba algún capital extra a lo largo del horizonte de planeación de las inversiones;
por tanto, se expresan las siguientes variables.
yij = cantidad de dinero total: cantidad de dinero de bolsillo y cantidad de dinero recibido de inversión
previa, que se invertirá en el año i en el plan j, para i = 2, 3, 4, 5; j = A, B, C.
Definidas dichas variables, estamos listos para diseñar la función objetivo y las restricciones.
Función objetivo:
Lo que buscamos es maximizar el dinero recibido de las inversiones en cinco años, el cual está representado por r5A, r5B o r5C.
Maximizar z = r5A + r5B + r5C
Restricciones:
1.La primera restricción que nos viene a la mente es la referente a la cantidad de dinero disponible
para invertir. Aquí se puede pensar que es suficiente indicar:
x1A + x1B + x1C ≤ 50 000
Sin embargo, debemos dejar indicada la posibilidad de que el desembolso de dinero de bolsillo se dé
en cualquier año del horizonte de planeación, esto por la misma razón por la que se consideró necesaria
la definición de las variables yij.
x1A + x1B + x1C + x2A + x2B + x2C + x3A + x3B + x3C + x4A + x4B + x4C + x5A + x5B + x5C ≤ 50 000
2.En este caso, se requieren restricciones que establezcan la relación entre la cantidad invertida y la
cantidad recibida por año; es decir, particularmente:
Para el final del año 1, plan A:
r1A = (1 + 0.04) x1A
Plan B y plan C, debido a que su tiempo de inversión es mayor a 1, al final del año 1, la cantidad recibida será cero.
r1B = 0
r1C = 0
Para el final del año 2:
Dinero a recibir a final del año 2 por inversión en plan A: r2A = (1 + 0.04) y2A, donde y2A = x2A + g2A.
Es importante considerar aquí que g2A no debe ser mayor al dinero que se tiene para reinvertir.
Además, es importante tomar en cuenta que, por año, este dinero debe contemplar la posibilidad de
repartirse entre los tres planes.
g2A + g2B + g2C ≤ r1A + r1B + r1C
Plan B, a finales del año 2 por dinero invertido a inicios del año 1 se recibe:
r2B = (1 + 0.09) x1B
20
Grupo Editorial Patria©
Plan C:
r2C = 0
Para el final del año 3:
Dinero a recibir a final del año 3 por inversión en plan A:
r3A = (1 + 0.04) y3A
y3A = x3A + g3A
g3A + g3B + g3C ≤ r2A + r2B + r2C
Plan B, a finales del año 3 por dinero invertido a inicios del año 2 se recibe:
r3B = (1 + 0.09) y2B
y2B = x2B + g2B
Plan C, a finales del año 3 por dinero invertido a inicios del año 1 se recibe:
r3C = (1 + 0.14) x1C
De manera similar, para los años 4 y 5, resultando el modelo matemático:
Maximizar z = r5A + r5B + r5C
x1A + x1B + x1C + x2A + x2B + x2C + x3A + x3B + x3C + x4A + x4B + x4C + x5A + x5B + x5C ≤ 50 000
r1B = 0
r1C = 0
r2C = 0
r1A = (1 + 0.04) x1A
r2A = (1 + 0.04) y2A
r2B = (1 + 0.09) x1B
r3A = (1 + 0.04) y3A
r3B = (1 + 0.09) y2B
r3C = (1 + 0.14) x1C
r4A = (1 + 0.04) y4A
r4B = (1 + 0.09) y3B
r4C = (1 + 0.14) y2C
r5A = (1 + 0.04) y5A
r5B = (1 + 0.09) y4B
r5C = (1 + 0.14) y3C
y2A = x2A + g2A
y2B = x2B + g2B
y2C = x2C + g2C
y3A = x3A + g3A
y3B = x3B + g3B
y3C = x3C + g3C
y4A = x4A + g4A
y4B = x4B + g4B
y5A = x5A + g5A
g2A + g2B + g2C ≤ r1A + r1B + r1C
g3A + g3B + g3C ≤ r2A + r2B + r2C
g4A + g4B + g4C ≤ r3A + r3B + r3C
g5A + g5B + g5C ≤ r4A + r4B + r4C
Todas las variables son mayores o iguales a cero.
21
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
❚ Problemas de transporte
En el problema de transporte se busca la forma en que cualquier bien debe ser distribuido, desde cualquier grupo de centros de suministro (orígenes) a cualquier grupo de centros de recepción (destinos),
de manera que los costos totales de transporte sean mínimos.
Para que un problema pueda ser considerado problema de transporte, se debe cumplir con el
supuesto de requerimientos y con el supuesto de costo.
El supuesto de requerimientos nos dice que cada origen tiene un suministro fijo de unidades y el
suministro completo debe transportarse a los destinos. De manera análoga, cada destino tiene una
demanda fija de unidades y debe satisfacerse de los orígenes.
Es decir:
m
∑si
n
∑d j
=
i =1
j =1
Donde:
m: cantidad de orígenes
n: cantidad de destinos
si: cantidad de unidades que oferta el origen i, para i = 1, 2, …, m
dj: cantidad de unidades demandadas por el destino j, para j = 1, 2, …, n
En la práctica resulta lógico pensar que es raro encontrar que se cumpla este supuesto; pero, cuando
esto ocurre, es posible reformular el problema con la introducción de un destino u origen ficticios, para
que se haga cargo de la holgura, de manera que se ajuste al modelo del transporte.
Si la oferta es mayor que la demanda,
m
∑ si
i =1
Alerta
El supuesto de
requerimientos es
importante para asegurar
que existen soluciones
factibles y para poder
utilizar algoritmos sencillos
para solucionar el problema
de transporte.
artificial, de modo que: d n +1 =
m
n
i =1
j =1
>
n
∑ d j , entonces se requerirá un punto de demanda
j =1
∑ si − ∑ d j .
De manera similar, si existe mayor demanda que oferta
suministro artificial, de modo que: s m +1 =
n
m
j =1
i =1
∑ d j − ∑ si .
m
∑ si
i =1
<
n
∑ d j , se requerirá un punto de
j =1
Debido a que en realidad los puntos artificiales no existen, los costos de transporte entre este y
los demás puntos del problemas tendrán valor cero.
Dado que se debe priorizar la distribución de producto entre entidades reales y teniendo en mente que se busca minimizar, el supuesto de costo considera que el costo de transportar unidades de un
origen a un destino debe ser directamente proporcional al número de unidades transportadas. Este
costo puede ser visto como el costo unitario multiplicado por el número de unidades transportadas.
Los parámetros del modelo de transporte son los datos que se tienen desde el inicio, que son: el
costo de transporte unitario, la cantidad de producto ofertado por cada nodo origen y la cantidad de
productos demandado por cada nodo de destino.
m: cantidad de orígenes
n: cantidad de destinos
si: cantidad de unidades que oferta el origen i, para i = 1, 2, …, m
dj: cantidad de unidades demandadas por el destino j, para j = 1, 2, …, n
cij: c osto por transportar una unidad de producto desde el origen i hasta el destino j, para i = 1, 2, …,
m; j = 1, 2, …, n
Para poder definir las variables del modelo se debe pensar en lo que se necesita obtener del modelo.
En este problema lo que se quiere saber es la cantidad de producto a enviar de cada punto de origen
a cada punto de destino. Es decir:
xij: cantidad de unidades a enviar del origen i al destino j, para i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
22
Grupo Editorial Patria©
Visto a manera de una red, se tiene:
Puntos de
suministro
(oferta)
s1
1
s2
2
sm
m
c11
cmn
1
d1
2
d2
n
dn
Puntos de
demanda
Figura 1.3
O visto a manera de tabla de transporte:
Tabla 1.10
Costo por unidad distribuida
Destino
Origen 1
1
2
…
n
Recursos
c11
c12
…
c1n
s1
Origen 2
c21
c22
…
c2n
s2
Origen …
….
…
…
….
…
Origen m
cm1
cm2
…
cmn
sm
Demanda
d1
d2
….
dn
Función objetivo:
El objetivo de este problema es determinar la forma de transportar unidades del producto de los puntos orígenes a los puntos destino, minimizando los costos de transporte; por tanto, supongamos que
tenemos tres puntos de origen y dos puntos de destino, la función objetivo quedaría:
Minimizar z = c11x11 + c12x12 + c21x21 + c31x31 + c32x32
De manera resumida:
Minimizar z =
3
2
∑ ∑ c ij x ij
i =1 j =1
Y en general:
Minimizar z =
m
n
∑ ∑ c ij x ij
i =1 j =1
Restricciones:
Las restricciones que se tienen son de dos tipos: las relacionadas con los puntos de suministro y las de
los puntos de destino, las cuales están totalmente ligadas al supuesto de requerimientos.
1. Las relacionadas con los puntos de suministro indican que la cantidad de producto que se envíe
de un punto de suministro debe ser igual a la cantidad de producto que se tenga en el punto de
suministro.
23
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Es decir, para el punto de suministro (origen) 1, se tiene que:
(Lo que se envíe del punto origen 1 a punto destino 1) + (lo que se envíe de punto origen 1 a punto
destino 2) = (cantidad de producto en punto origen 1).
Con variables y parámetros se tiene:
x11 + x12 = s1
Para punto de suministro 2:
x21 + x22 = s2
Y para punto de suministro 3:
x31 + x32 = s3
Resumiendo:
n
∑ x ij
j =1
= si para todo i = 1, …, m.
2. Las restricciones relacionadas con los puntos de demanda indican que la cantidad de producto
que se envíe a un punto de demanda debe ser igual a la cantidad de producto que demanda.
Es decir, para el punto de demanda 1, se tiene que:
(Lo que se envíe del punto origen 1 a punto demanda 1) + (lo que se envíe de punto origen 2 a
punto demanda 1) + (lo que se envíe de punto origen 3 a punto demanda 1) = (cantidad de producto que demanda 1).
Con variables y parámetros se tiene:
x11 + x21 + x31 = d1
Para punto de demanda 2:
x12 + x22 + x32 = d2
Resumiendo:
m
∑ x ij
i =1
= d j para todo j = 1, …, n
Por último, la cantidad de producto que se envíe debe ser mayor o igual a cero (no tiene sentido
que estas variables tomen valor negativo).
xij ≥ 0 para i = 1, …, m; j = 1, …, n
Por tanto, el modelo matemático completo resulta.
Minimizar z =
m
n
∑ ∑ c ij x ij
i =1 j =1
n
∑ x ij
j =1
m
∑ x ij
i =1
= si para todo i = 1, …, m
= d j para todo j = 1, …, n
xij ≥ 0 para i = 1, …, m; j = 1, …, n
24
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
Se desean enviar productos a dos clientes en San Luis Potosí (SLP) y Guanajuato desde tres almacenes
diferentes, ubicados en Monterrey, Toluca y Guadalajara. Los costos de transporte unitarios se muestran
en la tabla 1.11, así como las unidades con que cuenta cada almacén y las unidades que necesita cada
cliente, estos dos últimos en miles de productos. Determinar el modelo de transporte que represente
esta situación.
Tabla 1.11 Costos de transportación
SLP
Guanajuato
Oferta
Monterrey
$4.2
$5.0
20
Toluca
$4.5
$4.8
10
Guadalajara
$4.7
$4.5
25
Demanda
30
30
Solución
De acuerdo con el planteamiento, en este problema tenemos tres orígenes y dos destinos, el supuesto del
costo se cumple al establecerse que el costo es por unidad de producto. Así, al evaluar el supuesto
de requerimientos nos damos cuenta que:
Ofertas (20 + 10 + 25 unidades) = 55 unidades de producto.
Demandas (30 + 30 unidades) = 60 unidades de producto.
En este caso, el supuesto no se cumple, pues Demandas > Ofertas; por tanto, se requiere un punto de
oferta ficticio con cinco unidades, que en el contexto del problema será producto que los almacenes
no podrán cumplir.
Tabla 1.12 Costos de transportación
SLP
Guanajuato
Oferta
Monterrey
$4.20
$5.10
20
Toluca
$4.50
$4.80
10
Guadalajara
$4.70
$4.50
25
Artificial
$0.00
$0.00
5
Demanda
30
30
Por tanto, se definen las variables:
x11 = cantidad de productos a enviar de almacén en Monterrey a cliente en SLP
x12 = cantidad de productos a enviar de almacén en Monterrey a cliente en Guanajuato
x21 = cantidad de productos a enviar de almacén en Toluca a cliente en SLP
x22 = cantidad de productos a enviar de almacén en Toluca a cliente en Guanajuato
x31 = cantidad de productos a enviar de almacén en Guadalajara a cliente en SLP
x32 = cantidad de productos a enviar de almacén en Guadalajara a cliente en Guanajuato
x41 = cantidad de productos a enviar de almacén ficticio a cliente en SLP
x42 = cantidad de productos a enviar de almacén ficticio a cliente en Guanajuato
Alerta
El valor de x4j corresponderá
a la cantidad de demanda
no satisfecha del cliente j.
Función objetivo:
En este problema se busca minimizar el costo de transporte, dado a que se conoce el costo de transportar una unidad de cada almacén a cada cliente, la función objetivo resulta:
Minimizar z = 4.2x11 + 5.1x12 + 4.5x21 + 4.8x22 + 4.7x31 + 4.5x32
25
UNIDAD
1
Modelos matemáticos
Restricciones:
1. Para los puntos de oferta resultan:
Almacén en Monterrey:
x11 + x12 = 20
Almacén en Toluca:
x21 + x22 = 10
Almacén en Guadalajara:
x31 + x32 = 25
Almacén ficticio:
x41 + x42 = 5
2. Para los puntos de demanda son:
Cliente en SLP: x11 + x21 + x31 + x41 = 30
Cliente en Guanajuato: x12 + x22 + x32 + x42 = 30
3. Para la naturaleza de las variables:
xij ≥ 0 para i = 1, …, 4; j = 1, …, 2
Modelo matemático:
Minimizar z = 4.2x11 + 5.1x12 + 4.5x21 + 4.8x22 + 4.7x31 + 4.5x32
Sujeto a:
x11 + x12 = 20
x21 + x22 = 10
x31 + x32 = 25
x41 + x42 = 5
x11 + x21 + x31 + x41 = 30
x12 + x22 + x32 + x42 = 30
xij ≥ 0 para i = 1, …, 4; j = 1, …, 2
1.5 Modelando con variables enteras
Las variables enteras ofrecen características que permiten modelar ciertas situaciones de forma intuitiva. Algunas de estas situaciones se explican a continuación.
❚ Modelando costos fijos
Supongamos que se desea modelar la función de costo g(x) = f + vx, la cual tiene la siguiente forma.
g(x)
120
100
80
60
f
40
20
0
0
2
4
6
8
10
W
Figura 1.4
26
12
x
