Ecuaciones Diferenciales Unidad Uno Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden. Presentado A: Xxxxxxx Tutor(A) Entregado Por: Xxxxxxxxxxxxxxxxxx Código: Xxxxx Xxxxxxxxxxxxxxxxxx Código: Xxxxx Xxxxxxxxxxxxxxxxxx Código: Xxxxx Carlos Mauricio Vargas Ciceri Código: 1.117.511.542 Xxxxxxxxxxxxxxxxxx Código: Xxxxx Grupo:Xxxxxx Universidad Nacional Abierta Y A Distancia - Unad Escuela De Ciencias Básicas, Ingenierías Y Tecnologías Curso De Ecuaciones Diferenciales Fecha Xxxxx 2020 INTRODUCCIÓN Para realizar el presente trabajo fue necesario realizar la revision de los contenidos de la unidad 1, sobre ecuaciones diferenciales de primer orden: los cuales se encuentran en el entorno de evaluación y seguimiento, luego se publico en el foro de discusión la elección de los ejercicios a desarrollar de forma individual, al igual que el rol a desempeñar en esta fase del trabajo. OBJETIVOS - Solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables. - Solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden empelado el método de Homogeneas. - Solucionar ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas. - Buscar el método de solución mas apropiado para ecuaciones diferenciales de primer orden. - Elaborar un video explicativo de unos de los ejercicios realizados en la tarea. PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Carlos Mauricio Vargas Ciceri Ejemplo: Adriana Granados Rol a desarrollar Ejemplo: Compilador Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla los ejercicios a en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios b en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios c en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios d en todos los tres tipos propuestos. Ejemplo: El estudiante desarrolla los ejercicios a en todos los tres tipos propuestos. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3. Recuerde consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 32-45). EJERCICIOS 1. VARIABLES SEPARABLES Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑎 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: RAZÓN O EXPLICACIÓN 𝑏. RAZÓN O EXPLICACIÓN PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑐. RAZÓN O EXPLICACIÓN PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Mauricio Vargas Ciceri 𝑑. 𝑦 ′ = 𝑒 5𝑥+9𝑦 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN 𝑑𝑦 = 𝑒 5𝑥+9𝑦 𝑑𝑥 Reescribimos la 7cuación 𝑑𝑦 = 𝑒 5𝑥 ∗ 𝑒 9𝑦 𝑑𝑥 ∫ Aplicamos la propiedad de los exponentes 𝑑𝑦 = 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 𝑒 9𝑦 Separamos las variables 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 𝑒 9𝑦 Integramos ambos lados 1 1 − 𝑒 −9𝑦 = 𝑒 5𝑥 9 5 Ahora despejamos la variable y 9 𝑒 −9𝑦 = − 𝑒 5𝑥 5 9 𝑦= ln(− 5 𝑒 5𝑥 Por lo cual nos queda − 𝑐) −9 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑒. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑎. RAZÓN O EXPLICACIÓN PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑏. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑐. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Mauricio Vargas Ciceri 𝑑. (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA (𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 RAZÓN O EXPLICACIÓN Reescribimos la 9cuación diferencial 𝑑𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 Realizamos cambio de variable 𝑦 = 𝑣𝑥 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑣 =𝑣+𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Realizamos cambio de variable 𝑣+𝑥 𝑑𝑣 𝑥 2 + 𝑣 2 𝑥 2 = 𝑑𝑥 2𝑥𝑥𝑣 Remplazamos en la 10cuación diferencial dad 𝑣+𝑥 𝑑𝑣 (1 + 𝑣 2 )𝑥 2 = 𝑑𝑥 2𝑥 2 𝑣 Sacamos factor común x^2 𝑑𝑣 (1 + 𝑣 2 ) 𝑣+𝑥 = 𝑑𝑥 2𝑣 Anulamos x^2 𝑑𝑣 (1 + 𝑣 2 ) 𝑥 = −𝑣 𝑑𝑥 2𝑣 Pasamos de un lado de igualmos los términos que contienen v 𝑑𝑣 (1 + 𝑣 2 ) − 2𝑣 2 = 𝑑𝑥 2𝑣 Resolveos el fraccionario 𝑥 𝑑𝑣 1 − 𝑣 2 𝑥 = 𝑑𝑥 2𝑣 ∫ 2𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 2 1−𝑣 𝑥 Aplicamos separación variables 2𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = ∫ 1 − 𝑣2 𝑥 Integramos ambos lados Hacemos cambio de variable 𝑧 = 1 − 𝑣2 𝑑𝑧 = −2𝑣𝑑𝑣 Sustituimos en la integral ∫ −𝑑𝑧 𝑑𝑥 =∫ 𝑧 𝑥 Esto es una integral directa − ln(𝑧) = ln 𝑥 Remplazando nos queda − ln(1 + 𝑣 2 ) = ln 𝑥 Desarrollando y remplazando v=yx (1 + 𝑣 2 )−1 = 𝑥 (1 + (𝑥 2 𝑦 2 )) −1 =𝑥+𝑐 𝑦 = ±√𝑥 2 + 𝑐𝑥 Respuesta 𝑦 = ±√𝑥 2 + 𝑐𝑥 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑒. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN EJERCICIOS 3 - ED EXACTAS. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado). ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑎. RAZÓN O EXPLICACIÓN PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑏. RAZÓN O EXPLICACIÓN PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑐. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Mauricio Vargas Ciceri 𝑑. (2𝑤 − 𝑒 2𝑝 )𝑑𝑤 = 2(𝑤𝑒 2𝑝 − cos(2𝑝))𝑑𝑝 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA (2𝑤 − 𝑒 2𝑝 )𝑑𝑤 − 2(𝑤𝑒 2𝑝 − cos(2𝑝))𝑑𝑝 = 0 𝜕𝑀 = −2𝑒 2𝑦 𝜕𝑝 𝜕𝑁 = −2𝑒 2𝑦 𝜕𝑤 RAZÓN O EXPLICACIÓN Igualamos a cero Derivamos parcialmente para corroborar que son exactas Si la ED es exacta se cumple que 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑝 𝜕𝑤 Como se pude ver son exactas 𝜕𝐹 = (2𝑤 − 𝑒 2𝑝 ) 𝜕𝑤 Ahora procedemos a resolver la 13cuación diferencial exacta 𝑀= 𝜕𝐹 = 𝐹𝑤 𝜕𝑤 𝑁= 𝜕𝐹 = 𝐹𝑝 𝜕𝑝 Ahora resolvemos dF/dw ∫ 𝜕𝐹 = ∫(2𝑤 − 𝑒 2𝑝 ) 𝜕𝑤 𝐹 = 𝑤 2 − 𝑤𝑒 2𝑝 + 𝛽(𝑝) 𝜕𝐹 = −2𝑤𝑒 2𝑝 + 𝛽′(𝑝) 𝜕𝑝 Ahora derivamos F con respecto a p Tenemos por definición que −2(𝑤𝑒 2𝑝 − cos(2𝑝)) = −2𝑤𝑒 2𝑝 + 𝛽′(𝑝) 𝑁= 𝛽 ′(𝑝) = cos(2𝑝) 𝛽(𝑝) = 1 𝑠𝑒𝑛(2𝑝) 2 𝜕𝐹 𝜕𝑝 Integrando La solución general nos quedara 1 𝐹 = 𝑤 2 − 𝑤𝑒 2𝑝 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑝) 2 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 𝑒. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN Ejemplo: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Adriana González PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZON O EXPLICACION MATEMÁTICA 𝑑𝑦 Forma original de la E.D − 𝑥2 = 𝑥2. 𝑦 Nota: Se identifica que se resuelve por variables 𝑑𝑥 separables. 𝑑𝑦 Transposición de términos = 𝑥2. 𝑦 + 𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 2 ( 𝑦 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 2 . 𝑑𝑥 (𝑦 + 1) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 2 . 𝑑𝑥 (𝑦 + 1) 𝑥3 ln| 𝑦 + 1| + 𝐶1 = + 𝐶2 3 𝑥3 Ln| 𝑦 + 1| = +𝐾 3 ∫ 𝑥3 𝑒 ln| 𝑦+1| = 𝑒 3 𝑥3 𝑦+1= 𝑒3 +𝐾 +𝐾 𝑥3 𝑦 + 1 = 𝑒 3 . 𝑒𝐾 𝑥3 𝑦 + 1 = 𝐾. 𝑒 3 𝑥3 R/ 𝑦 + 1 = 𝐾. 𝑒 3 − 1 Factorizando 𝑥 2 (se aplica factor común monomio ) Separando términos (se tiene en cuenta que todo está multiplicándose y/o dividiendo). En un lado de la ecuación todo lo relacionado con la variable X y en el otro lado todo con Y Se integra en ambos términos de la Ecuación Diferencial Resolviendo la integrales básicas. C2 – C1 = K, la suma o resta de dos constantes; da como resultado otra constante. Aplicando e en ambos lados la Ecuación Diferencial. Propiedad del inverso 𝑒 𝐿𝑛 = 1 Propiedad de los exponentes 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 𝑒 𝐾 = 𝐾; € elevado a una constante da como resultado otra constante. Transposición de términos y se finaliza el ejercicio. EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Problema 𝑎. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Problema 𝑏. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Problema 𝑐. RAZÓN O EXPLICACIÓN PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZÓN O EXPLICACIÓN ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Mauricio Vargas Ciceri Problema 𝑑. La posición de un cuerpo es un vector que nos permite conocer, respecto a un sistema de referencia inercial, sus coordenadas. Cuando cambia la posición, a medida que transcurre el tiempo, surge el concepto de movimiento, y con él, el concepto de velocidad; en ese sentido, la velocidad es la variación de la posición con respecto al tiempo, Si la velocidad de una partícula en función del tiempo viene dada por la expresión 𝑣(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0, determine a 𝑥(𝑡) sabiendo que 𝑣(𝑡) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , además calcule 𝑣(𝑡 = 2𝑠) cuando 𝑣(𝑡 = 0) = 5 𝑚 𝑠 : PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0 𝑑𝑡 Hallamos el valor de la velocidad inicial en t=0 𝑣(0) = −𝑔𝑡 + 𝑣0 5 𝑚 = −𝑔 ∗ 0 + 𝑣0 𝑠 𝑚 𝑣0 = 5 𝑠 Hallamos la velocidad en t=2 RAZÓN O EXPLICACIÓN Partimos de la 17cuación 𝑣(0) = −9.8 ∗ 2 + 5 = −14.6 ≅ −15 Integramos ambos lados ∫ 𝑑𝑥 = (−𝑔𝑡 + 5)𝑑𝑡 1 𝑥 = − 𝑔𝑡 2 + 5𝑡 + 𝑥0 2 La respuesta correcta es la B PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación problema: EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA CARLOS MAURICIO VARGAS CICERI Con los datos iniciales Con los datos iniciales 𝑠0 = 5.000.000 𝑠0 = 5.000.000 𝑟=5 4 % 3 𝑟=5 4 % 3 Se emplea la formula general de la Ecuación diferencial 𝑑𝑠 = 𝑟𝑠 𝑑𝑡 Se emplea la formula general de la Ecuación diferencial 𝑑𝑠 = 𝑟𝑠 𝑑𝑡 ∫ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑟 ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑟 ∫ 𝑑𝑡 ln|𝑠| = 𝑟𝑡 + 𝑐 ln|𝑠| = 𝑟 + 𝑡 + 𝑐 𝑠 = 𝑐 + 𝑒 𝑟−𝑡 𝑠 = 𝑐 + 𝑒 𝑟𝑡 Por lo tanto Cuando 𝑠0 = 5000.000 𝑦 𝑡0 = 0 Por lo tanto Cuando 𝑠0 = 5000.000 𝑦 𝑡0 = 0 Al remplazar 𝑐 = 5000.000 3 𝑟 = 5 % = 3.75 % = 0.00375 4 𝑠 = 5000.000 ∗ 𝑒 0.00375∗5 𝑠 = 5000.000 ∗ 𝑒 0.0375 𝑠 = 5.191.059.98 Al remplazar 𝑐 = 5000.000 3 𝑟 = 5 % = 3.75 % = 0.00375 4 𝑠 = 5000.000 ∗ 𝑒 0.00375∗5 𝑠 = 5000.000 ∗ 𝑒 0.01875 𝑠 = 5094634.425 PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Ejemplo: Adriana González Ejercicios Link video explicativo sustentados a de todos los https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM tipos de ejercicios. CONCLUSIONES Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene diferenciales de la variable dependiente, y de la variable independiente; es una igualdad que contiene una o más derivadas. Para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden no hay ningún método sistematico para resolver cualquier ecuación que se presente, lo que hay que hacer es clasificar a las ecuaciones diferenciales en tipos, y resolverlas según el método especifico existente para cada tipo. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
