ANALISIS DIMENSIONAL

ANALISIS DIMENSIONAL
La variación de la presión se describe por medio de la ecuación:
∆𝑝 = 𝑓(𝑎, 𝐷, 𝜆𝑖 , 𝜌, 𝑉)
Dado el tipo de problema, se consideran las cantidades fundamentales:
𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑇 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
De modo que las cantidades de las que depende la variación de la presión se relacionan con
el conjunto fundamental de unidades así:
𝐹
𝐹𝑇 2
𝐿
∆𝑝 = 2 ; 𝑎 = 𝐿; 𝐷 = 𝐿; 𝜆𝑖 = 𝐿; 𝜌 = 4 ; 𝑉 =
𝐿
𝐿
𝑇
Ahora para determinar el número de términos presentes en la función pi de Buckinham se
realiza la siguiente operación, teniendo en cuente que son 5 las variables de la función
variación de la presión y 3 las cantidades fundamentales:
5−3=2
Esos son el número de términos que aparecen en la función, de modo que la función
adimensional que describe la variación de presión debe estar representada, haciendo un
desarrollo similar al mostrado en el ejemplo de las páginas 397 a 398, Así que:
𝐹
∆𝑝
𝐿2
2
𝐿
Π1 =
=
=
𝐹𝑇 2 𝑇 2
𝜌
𝐿4
Dividiendo entre el cuadrado de la velocidad:
Π1 =
∆𝑝 1
𝐿2 𝑇 2
=
=1
𝜌 𝑉 2 𝑇 2 𝐿2
Por otro lado:
𝑎𝜆𝑖 𝐿2
Π2 = 2 = 2 = 1
𝐷
𝐿
Finalmente la relación solicitada es:
∆𝑝
𝑎 𝜆𝑖
= 𝜙( , )
1 2
𝐷 𝐷
2 𝜌𝑉
Analizando las variables de esta nueva función se desprende que el factor
𝜆𝑖
𝐷
es constante para
un tipo de válvula y el diámetro D también es una cantidad fija, entonces la función 𝜙 solo
dependerá solo del porcentaje de apertura ya que el factor 𝑎 está relacionado con R, solamente
de modo que la variación adimensional de la presión se describe como:
∆𝑝
1 2
2 𝜌𝑉
= 𝜙(𝑅)
Observando el arreglo experimental que se muestra en la figura 7.77 se desprende que la
variación de la presión se mide por el manómetro de agua, y la lectura que este instrumento
da vienen dada por la ecuación:
∆𝑝 = 𝛾𝐴𝑔𝑢𝑎 𝐻 = (62.4
𝑙𝑏 𝐻(𝑝𝑢𝑙𝑔)
𝑙𝑏
)
= 5.2 𝐻
3
𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑝𝑖𝑒 2
Los gráficos que se muestran a continuación describen la relación entre el flujo volumétrico
y la caída de la presión con relación a la apertura de la válvula.
R=25%
0,9
Flujo volumétrico
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6
7
8
9
Caida de presión
R=38%
0,9
Flujo volumétrico
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
Caida de presión
R=75%
0,9
0,8
Flujo volumérico
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Caida de Preión
R=100%
0,9
Flujo Volumétrico
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Caída de Presión
Ahora se calcula la caída de la presión adimensional así, en primer lugar, calculamos la
densidad del aíre así:
𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 =
0.0719 𝑙𝑏⁄𝑝𝑖𝑒 3
𝑝𝑖𝑒
32.3 ⁄𝑠 2
= 0.00223
𝑠𝑙𝑢𝑔
⁄𝑝𝑖𝑒 3
Ahora la velocidad se determina como:
𝑉=
𝑄
𝑄
=𝜋
= 279.45 𝑄
𝐴
(0.0675 𝑝𝑖𝑒)2
4
Así con estos valores se determina la caída de presión adimensional 1
2
∆𝑝
𝜌𝑉 2
, en la siguiente tabla
se muestran los valores que se derivan de los cálculos realizados, donde la última columna
sale de la ecuación, 𝜙(𝑅) = 1
2
5.2 𝐻
(0.00223
𝑙𝑏
𝑝𝑖𝑒2
𝑠𝑙𝑢𝑔
⁄𝑝𝑖𝑒 3 )(279.45 𝑄)2
R
H
Q
Presión
25
25
25
25
38
38
38
38
75
75
75
75
100
100
100
100
5,04
6,5
7,69
9,2
1,92
4,9
8,73
10,44
0,98
2,6
4,32
7,65
0,64
0,97
1,4
2,37
0,169
0,195
0,22
0,235
0,156
0,238
0,321
0,35
0,238
0,456
0,578
0,767
0,426
0,517
0,618
0,799
1,05384654
1,02085576
0,94885801
0,99488378
0,4711642
0,51660953
0,5059696
0,50896118
0,10332191
0,07467305
0,07722329
0,07765885
0,0210611
0,02167259
0,02189129
0,02217048
La relación entre la caída de presión adimensional y el porcentaje de apertura de la válvula
se muestra en el siguiente gráfico:
COMPORTAMIENTO DEL MODELO
Caída de presión adimensional
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
20
40
60
80
100
120
Porcentaje de apertura de la válvula
Esta curva muestra el comportamiento de la ecuación:
∆𝑝
1 2
2 𝜌𝑉
= 𝜙(𝑅)
La cual debería mostrar un comportamiento constante para un valor de R determinado. Los
puntos allí mostrados presentan este tipo de comportamiento, pero se muestra una pequeña
desviación de este tipo de comportamiento. Sin embargo, en general los datos experimentales
confirman n las predicciones que el análisis dimensional muestra. Además, el
comportamiento mostrado en las cuatro gráficas par un valor de R, dado se puede apreciar en
la última gráfica, también en la gráfica se describe e comportamiento de la caída de la presión
con el porcentaje de apertura de la válvula, confirmando la validez del análisis dimensional
como herramienta de modelado.
Sea la función de la altura descrita por:
ℎ = 𝑓(𝐻, 𝐷, 𝑑, 𝛾, 𝜌, 𝑡)
El Grupo de cantidades básicas es:
𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑇 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Donde:
𝐹
𝐹𝑇 2
ℎ = 𝐿; 𝐻 = 𝐿; 𝐷 = 𝐿; 𝛾 = 3 ; 𝜌 = 4 ; 𝑡 = 𝑇
𝐿
𝐿
Para determinar el número de factores pi se realiza la siguiente operación:
7−3=4
Estos son los factores pi que se requieren, por inspección:
Π1 =
ℎ 𝐿
= =1
𝐻 𝐿
Π2 =
𝐻 𝐿
= =1
𝐷 𝐿
Π3 =
𝐷 𝐿
= =1
𝑑 𝐿
Solo quedan un grupo de variables:
Π4 = 𝑡 𝑎 𝛾 𝑏 𝜌𝑐 𝐻 𝑑 = 𝑇 𝑎
𝐹 𝑏 𝐹 𝑐 𝑇 2𝑐 𝑑
𝐿 = 𝑇 𝑎+2𝑐 𝐹 𝑏+𝑐 𝐿−3𝑏−4𝑐+𝑑 = 𝑇 0 𝐹 0 𝐿0
𝐿3𝑏 𝐿4𝑐
Las ecuaciones que surgen son:
𝑎 + 2𝑐 = 0
𝑏+𝑐 = 0
−3𝑏 − 4𝑐 + 𝑑 = 0
De las dos primeras ecuaciones se tiene:
𝑎
2
𝑏 = −𝑐
𝑐=−
Sustituyendo en la última ecuación:
3𝑐 − 4𝑐 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = 𝑐
Como la variable libre es 𝑎 entonces si 𝑎 = 1:
1
2
1
𝑏=
2
𝑐=−
𝑑=−
1
2
Luego el último factor es:
𝛾
Π4 = 𝑡 𝑎 𝛾 𝑏 𝜌𝑐 𝐻 𝑑 = 𝑡√
𝜌𝐻
Así la relación que se quiere hallar es:
ℎ
𝐻 𝐷
𝛾
= 𝜙 ( , , 𝑡√ )
𝐻
𝐷 𝑑
𝜌𝐻
Por definición:
𝑔=
𝛾
𝜌
Así que:
ℎ
𝐻 𝐷
𝑔
= 𝜙 ( , , 𝑡√ )
𝐻
𝐷 𝑑
𝐻
Para que tanto el modelo y el prototipo deben mantener una relación en los factores pi tal que
se cumplan:
ℎ𝑚 ℎ 𝐻𝑚 𝐻 𝐷𝑚 𝐷
𝑔𝑚
𝑔
= ;
= ;
= ; 𝑡𝑚 √
= 𝑡√
𝐻𝑚 𝐻 𝐷𝑚 𝐷 𝑑𝑚 𝑑
𝐻𝑚
𝐻
A continuación, se muestra el comportamiento del modelo con los datos de la tabla:
Comportamiento del Modelo
9
Altura (pulgadas)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
Tiempo (seg)
40
50
Se muestra en la tabla el comportamiento del prototipo:
Comportamiento del Prototipo
18
Altura (pulgadas)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (seg)
Tomando las medidas del modelo y considerando que el modelo se presenta a una escala 2:1,
se tiene que la similaridad de las medidas es:
𝐻𝑚 8 𝑝𝑢𝑙𝑔
16 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐻
=
=4=
=
𝐷𝑚 2 𝑝𝑢𝑙𝑔
4 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐷
También se tiene:
𝐷𝑚
2 𝑝𝑢𝑙𝑔
4 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐷
=
= 16 =
=
𝑑𝑚 0.125 𝑝𝑢𝑙𝑔
0.5 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑑
Como se puede apreciar en las dos condiciones para las primeras variables adimensionales
de la relación funcional, es claro que también para la tercera variable y la relación principal
se debe cumplir que:
𝑔𝑚
𝑔 ℎ𝑚 ℎ
𝑡𝑚 √
= 𝑡√ ;
=
𝐻𝑚
𝐻 𝐻𝑚 𝐻
Las tablas que describen el comportamiento del modelo y el prototipo para las variables
adimensionales
t
0
3,1
6,2
9,9
13,5
18,1
24
32,5
43
Modelo
Hm/hm
1
0,875
0,75
0,625
0,5
0,375
0,25
0,125
0
h
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Pi2
0
23,0319778
49,7547586
87,0299535
132,685154
205,417059
333,591367
638,854444
#¡DIV/0!
Prototipo
t
h
Hm/hm
Pi2
0
16
2
0
4,5
14
1,75
23,641066
8,9
12
1,5
50,503089
14
10
1,25
87,0255135
20,2
8
1
140,386367
25,9
6
0,75
207,846491
32,8
4
0,5
322,375781
45,7
2
0,25
635,213561
59,8
0
0
#¡DIV/0!
Ambas tablas muestran un comportamiento similar en las variables analizadas. Estableciendo
que el modelo describe dentro de un rango razonable el comportamiento del prototipo. Ahora,
en el análisis realizado, no se tomó en cuenta la viscosidad del fluido, de ser necesario el
término adicional sería:
Π5 =
𝜌𝐷√𝑔𝐻
𝜇
De manera que la condición de similaridad que debe cumplirse, además de las anteriores es
𝜌𝐷√𝑔𝐻 𝜌𝑚 𝐷𝑚 √𝑔𝐻𝑚
=
(∗)
𝜇
𝜇𝑚
La cual se reduce a:
𝜌
3
3
𝐻𝑚 ⁄2
𝐷𝑚 ⁄2
3⁄
𝜇
2
𝜌𝑚 = 𝜆𝑙 = ( 𝐻 ) = ( 𝐷 )
𝜇𝑚
El Término 𝜆𝑙 es un factor de escala asociado a la longitud. Ahora a menos que 𝜆𝑙 = 1, La
ecuación de similaridad sobre Π5 , no se cumpliría. De allí que es importante señalar que para
que ambos modelos logren generar un comportamiento similar, es necesario que los fluidos
usado en el modelo y el prototipo deben ser diferentes de modo que la relación * se cumpla.
Así la incorporación de la viscosidad altera notablemente el análisis del sistema modelo prototipo, sin embargo, cabe señalar que permitiría un estudio mas general ya que se
incorpora una propiedad fundamental del fluido.