ANALISIS DIMENSIONAL La variación de la presión se describe por medio de la ecuación: ∆𝑝 = 𝑓(𝑎, 𝐷, 𝜆𝑖 , 𝜌, 𝑉) Dado el tipo de problema, se consideran las cantidades fundamentales: 𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑇 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 De modo que las cantidades de las que depende la variación de la presión se relacionan con el conjunto fundamental de unidades así: 𝐹 𝐹𝑇 2 𝐿 ∆𝑝 = 2 ; 𝑎 = 𝐿; 𝐷 = 𝐿; 𝜆𝑖 = 𝐿; 𝜌 = 4 ; 𝑉 = 𝐿 𝐿 𝑇 Ahora para determinar el número de términos presentes en la función pi de Buckinham se realiza la siguiente operación, teniendo en cuente que son 5 las variables de la función variación de la presión y 3 las cantidades fundamentales: 5−3=2 Esos son el número de términos que aparecen en la función, de modo que la función adimensional que describe la variación de presión debe estar representada, haciendo un desarrollo similar al mostrado en el ejemplo de las páginas 397 a 398, Así que: 𝐹 ∆𝑝 𝐿2 2 𝐿 Π1 = = = 𝐹𝑇 2 𝑇 2 𝜌 𝐿4 Dividiendo entre el cuadrado de la velocidad: Π1 = ∆𝑝 1 𝐿2 𝑇 2 = =1 𝜌 𝑉 2 𝑇 2 𝐿2 Por otro lado: 𝑎𝜆𝑖 𝐿2 Π2 = 2 = 2 = 1 𝐷 𝐿 Finalmente la relación solicitada es: ∆𝑝 𝑎 𝜆𝑖 = 𝜙( , ) 1 2 𝐷 𝐷 2 𝜌𝑉 Analizando las variables de esta nueva función se desprende que el factor 𝜆𝑖 𝐷 es constante para un tipo de válvula y el diámetro D también es una cantidad fija, entonces la función 𝜙 solo dependerá solo del porcentaje de apertura ya que el factor 𝑎 está relacionado con R, solamente de modo que la variación adimensional de la presión se describe como: ∆𝑝 1 2 2 𝜌𝑉 = 𝜙(𝑅) Observando el arreglo experimental que se muestra en la figura 7.77 se desprende que la variación de la presión se mide por el manómetro de agua, y la lectura que este instrumento da vienen dada por la ecuación: ∆𝑝 = 𝛾𝐴𝑔𝑢𝑎 𝐻 = (62.4 𝑙𝑏 𝐻(𝑝𝑢𝑙𝑔) 𝑙𝑏 ) = 5.2 𝐻 3 𝑝𝑖𝑒 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒 2 Los gráficos que se muestran a continuación describen la relación entre el flujo volumétrico y la caída de la presión con relación a la apertura de la válvula. R=25% 0,9 Flujo volumétrico 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 8 9 Caida de presión R=38% 0,9 Flujo volumétrico 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 Caida de presión R=75% 0,9 0,8 Flujo volumérico 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Caida de Preión R=100% 0,9 Flujo Volumétrico 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Caída de Presión Ahora se calcula la caída de la presión adimensional así, en primer lugar, calculamos la densidad del aíre así: 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒 = 0.0719 𝑙𝑏⁄𝑝𝑖𝑒 3 𝑝𝑖𝑒 32.3 ⁄𝑠 2 = 0.00223 𝑠𝑙𝑢𝑔 ⁄𝑝𝑖𝑒 3 Ahora la velocidad se determina como: 𝑉= 𝑄 𝑄 =𝜋 = 279.45 𝑄 𝐴 (0.0675 𝑝𝑖𝑒)2 4 Así con estos valores se determina la caída de presión adimensional 1 2 ∆𝑝 𝜌𝑉 2 , en la siguiente tabla se muestran los valores que se derivan de los cálculos realizados, donde la última columna sale de la ecuación, 𝜙(𝑅) = 1 2 5.2 𝐻 (0.00223 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒2 𝑠𝑙𝑢𝑔 ⁄𝑝𝑖𝑒 3 )(279.45 𝑄)2 R H Q Presión 25 25 25 25 38 38 38 38 75 75 75 75 100 100 100 100 5,04 6,5 7,69 9,2 1,92 4,9 8,73 10,44 0,98 2,6 4,32 7,65 0,64 0,97 1,4 2,37 0,169 0,195 0,22 0,235 0,156 0,238 0,321 0,35 0,238 0,456 0,578 0,767 0,426 0,517 0,618 0,799 1,05384654 1,02085576 0,94885801 0,99488378 0,4711642 0,51660953 0,5059696 0,50896118 0,10332191 0,07467305 0,07722329 0,07765885 0,0210611 0,02167259 0,02189129 0,02217048 La relación entre la caída de presión adimensional y el porcentaje de apertura de la válvula se muestra en el siguiente gráfico: COMPORTAMIENTO DEL MODELO Caída de presión adimensional 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 20 40 60 80 100 120 Porcentaje de apertura de la válvula Esta curva muestra el comportamiento de la ecuación: ∆𝑝 1 2 2 𝜌𝑉 = 𝜙(𝑅) La cual debería mostrar un comportamiento constante para un valor de R determinado. Los puntos allí mostrados presentan este tipo de comportamiento, pero se muestra una pequeña desviación de este tipo de comportamiento. Sin embargo, en general los datos experimentales confirman n las predicciones que el análisis dimensional muestra. Además, el comportamiento mostrado en las cuatro gráficas par un valor de R, dado se puede apreciar en la última gráfica, también en la gráfica se describe e comportamiento de la caída de la presión con el porcentaje de apertura de la válvula, confirmando la validez del análisis dimensional como herramienta de modelado. Sea la función de la altura descrita por: ℎ = 𝑓(𝐻, 𝐷, 𝑑, 𝛾, 𝜌, 𝑡) El Grupo de cantidades básicas es: 𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑇 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 Donde: 𝐹 𝐹𝑇 2 ℎ = 𝐿; 𝐻 = 𝐿; 𝐷 = 𝐿; 𝛾 = 3 ; 𝜌 = 4 ; 𝑡 = 𝑇 𝐿 𝐿 Para determinar el número de factores pi se realiza la siguiente operación: 7−3=4 Estos son los factores pi que se requieren, por inspección: Π1 = ℎ 𝐿 = =1 𝐻 𝐿 Π2 = 𝐻 𝐿 = =1 𝐷 𝐿 Π3 = 𝐷 𝐿 = =1 𝑑 𝐿 Solo quedan un grupo de variables: Π4 = 𝑡 𝑎 𝛾 𝑏 𝜌𝑐 𝐻 𝑑 = 𝑇 𝑎 𝐹 𝑏 𝐹 𝑐 𝑇 2𝑐 𝑑 𝐿 = 𝑇 𝑎+2𝑐 𝐹 𝑏+𝑐 𝐿−3𝑏−4𝑐+𝑑 = 𝑇 0 𝐹 0 𝐿0 𝐿3𝑏 𝐿4𝑐 Las ecuaciones que surgen son: 𝑎 + 2𝑐 = 0 𝑏+𝑐 = 0 −3𝑏 − 4𝑐 + 𝑑 = 0 De las dos primeras ecuaciones se tiene: 𝑎 2 𝑏 = −𝑐 𝑐=− Sustituyendo en la última ecuación: 3𝑐 − 4𝑐 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = 𝑐 Como la variable libre es 𝑎 entonces si 𝑎 = 1: 1 2 1 𝑏= 2 𝑐=− 𝑑=− 1 2 Luego el último factor es: 𝛾 Π4 = 𝑡 𝑎 𝛾 𝑏 𝜌𝑐 𝐻 𝑑 = 𝑡√ 𝜌𝐻 Así la relación que se quiere hallar es: ℎ 𝐻 𝐷 𝛾 = 𝜙 ( , , 𝑡√ ) 𝐻 𝐷 𝑑 𝜌𝐻 Por definición: 𝑔= 𝛾 𝜌 Así que: ℎ 𝐻 𝐷 𝑔 = 𝜙 ( , , 𝑡√ ) 𝐻 𝐷 𝑑 𝐻 Para que tanto el modelo y el prototipo deben mantener una relación en los factores pi tal que se cumplan: ℎ𝑚 ℎ 𝐻𝑚 𝐻 𝐷𝑚 𝐷 𝑔𝑚 𝑔 = ; = ; = ; 𝑡𝑚 √ = 𝑡√ 𝐻𝑚 𝐻 𝐷𝑚 𝐷 𝑑𝑚 𝑑 𝐻𝑚 𝐻 A continuación, se muestra el comportamiento del modelo con los datos de la tabla: Comportamiento del Modelo 9 Altura (pulgadas) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 Tiempo (seg) 40 50 Se muestra en la tabla el comportamiento del prototipo: Comportamiento del Prototipo 18 Altura (pulgadas) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Tiempo (seg) Tomando las medidas del modelo y considerando que el modelo se presenta a una escala 2:1, se tiene que la similaridad de las medidas es: 𝐻𝑚 8 𝑝𝑢𝑙𝑔 16 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐻 = =4= = 𝐷𝑚 2 𝑝𝑢𝑙𝑔 4 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐷 También se tiene: 𝐷𝑚 2 𝑝𝑢𝑙𝑔 4 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐷 = = 16 = = 𝑑𝑚 0.125 𝑝𝑢𝑙𝑔 0.5 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑑 Como se puede apreciar en las dos condiciones para las primeras variables adimensionales de la relación funcional, es claro que también para la tercera variable y la relación principal se debe cumplir que: 𝑔𝑚 𝑔 ℎ𝑚 ℎ 𝑡𝑚 √ = 𝑡√ ; = 𝐻𝑚 𝐻 𝐻𝑚 𝐻 Las tablas que describen el comportamiento del modelo y el prototipo para las variables adimensionales t 0 3,1 6,2 9,9 13,5 18,1 24 32,5 43 Modelo Hm/hm 1 0,875 0,75 0,625 0,5 0,375 0,25 0,125 0 h 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Pi2 0 23,0319778 49,7547586 87,0299535 132,685154 205,417059 333,591367 638,854444 #¡DIV/0! Prototipo t h Hm/hm Pi2 0 16 2 0 4,5 14 1,75 23,641066 8,9 12 1,5 50,503089 14 10 1,25 87,0255135 20,2 8 1 140,386367 25,9 6 0,75 207,846491 32,8 4 0,5 322,375781 45,7 2 0,25 635,213561 59,8 0 0 #¡DIV/0! Ambas tablas muestran un comportamiento similar en las variables analizadas. Estableciendo que el modelo describe dentro de un rango razonable el comportamiento del prototipo. Ahora, en el análisis realizado, no se tomó en cuenta la viscosidad del fluido, de ser necesario el término adicional sería: Π5 = 𝜌𝐷√𝑔𝐻 𝜇 De manera que la condición de similaridad que debe cumplirse, además de las anteriores es 𝜌𝐷√𝑔𝐻 𝜌𝑚 𝐷𝑚 √𝑔𝐻𝑚 = (∗) 𝜇 𝜇𝑚 La cual se reduce a: 𝜌 3 3 𝐻𝑚 ⁄2 𝐷𝑚 ⁄2 3⁄ 𝜇 2 𝜌𝑚 = 𝜆𝑙 = ( 𝐻 ) = ( 𝐷 ) 𝜇𝑚 El Término 𝜆𝑙 es un factor de escala asociado a la longitud. Ahora a menos que 𝜆𝑙 = 1, La ecuación de similaridad sobre Π5 , no se cumpliría. De allí que es importante señalar que para que ambos modelos logren generar un comportamiento similar, es necesario que los fluidos usado en el modelo y el prototipo deben ser diferentes de modo que la relación * se cumpla. Así la incorporación de la viscosidad altera notablemente el análisis del sistema modelo prototipo, sin embargo, cabe señalar que permitiría un estudio mas general ya que se incorpora una propiedad fundamental del fluido.