CONJUNTOS
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Un conjunto es una colección o agrupación de cosas u objetos que tienen una
característica en común. Cada objeto o cosa que pertenezca a un conjunto se llama
elemento.
Un conjunto siempre debe tener un nombre (generalmente es una letra mayúscula).
DETERMINACION DE UN CONJUNTO
Para determinar los elementos de un conjunto se puede hacer uso de tres formas:
a. Por extensión, tabular o enumerativa: consiste en una lista en la cual se nombra uno por
uno cada uno de los elementos. Se escriben entre dos llaves y separados por comas.
Por ejemplo, si queremos el conjunto de todas las vocales, podría escribirse el conjunto de la
siguiente manera:
V = a, e, i, o, u
El conjunto está representado en forma enumerativa porque se
escriben todos sus elementos separados por comas. (Nótese que el
conjunto tiene el nombre “V” porque da la idea de “vocales” aunque
pudo habérsele dado cualquier nombre)
b. Por comprensión: consiste en dar una propiedad que caracteriza a todos sus elementos de
forma única. Debe estar acompañada dicha característica por la expresión x/x, que significa:
“todo elemento x, tal que x es…”, Al igual que en la forma enumerativa o por extensión, debe
usarse llaves para definir a los elementos, por ejemplo:
V = x/x es vocal
El conjunto está representado en forma descriptiva porque se da una
idea de qué característica deben cumplir sus elementos. Se lee así: El
conjunto V está formado por todos los elementos x tales que x sean
una vocal y se refiere a todos los “x” que pueden ser vocales. La forma
descriptiva es muy usada o sugerida cuando los conjuntos tienen
muchos elementos. Cuando un conjunto tiene un número muy grande
de elementos es imposible definirlo por extensión. Entonces sólo puede
definirse por comprensión; por ejemplo: el conjunto V = x/x alumno
del colegio Valle Verde, representa a todos los alumnos inscritos en el
colegio Valle Verde. Es obvio que es mejor escribir la característica que
deben cumplir todos los elementos, que escribir la lista de TODOS los
alumnos del colegio.
Ejemplo 1: Definir el conjunto de las notas musicales clásicas.
Por extensión: N = {Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si}
Por comprensión: N = {x/x es una nota musical}
Ejemplo 2: Definir el conjunto de los colores de la bandera de Francia.
Por extensión: C = {blanco, azul, rojo}
Por comprensión: C = {x/x es un color de la bandera de Francia}
Ejemplo 3: Definir el conjunto de los días de la semana.
Por extensión: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
Por comprensión: S = {x / x es día de la semana}
Cada elemento de un conjunto es único y no debe haber confusiones al respecto. Si bien el
orden de los elementos no importa a la hora de definir el conjunto, algo que no puede pasar
es que haya elementos que se repitan. Por ejemplo, dado el conjunto
S = {x / x es una letra de la palabra Salamanca} no puede decirse que sus elementos son
S = {s, a, l, a, m, a, n, c, a} porque se repite el elemento “a” 4 veces. Lo correcto es:
S = {s, a, l, m, n, c}
c. Gráfica: Un conjunto puede representarse gráficamente con figuras cerradas entre las cuales
se colocan todos sus elementos. Estas figuras cerradas se llaman Diagramas de Venn.
Como siempre, el conjunto debe tener nombre y debe colocarse afuera de la figura. Se sugiere
que los elementos estén separados por puntos, aunque esto no es obligatorio.
V
a.
e.
i.
o.
u.
Ejemplos de cómo representar conjuntos:
1. Definir por extensión P = {x / x es primo y menor que 10}
Respuesta: P = {2, 3, 5, 7}
2. Definir por comprensión N = 4, 5, 6, 7, 8, 9
Respuesta: N = x/x es natural, 3 < x < 10
3. Definir por extensión A = {x / x es par}
Respuesta: A = 2, 4, 6 ,8 ,10, 12…
4. Definir gráficamente B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Respuesta:
B
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Relación de pertenencia
La relación de pertenencia sólo se da entre los elementos de un conjunto y éste. Es decir, es
correcto decir que uno o más elementos pertenecen a un conjunto. En este caso, nunca debe
usarse la palabra inclusión, por tanto, no es correcto decir que un elemento está incluido en un
conjunto.
Existe un símbolo matemático para realizar esta notación (pertenencia o no pertenencia) y es
el siguiente:
pertenece
∈
no pertenece ∉
Si consideramos a V, conjunto de las letras vocales: V = {a, e, i, o, u}
El elemento a pertenece a V
El elemento f no pertenece a V
→a∈V
→f∉V
Relación de inclusión
La relación de inclusión se da entre conjuntos y subconjuntos. Es correcto decir que un
conjunto está incluido en un conjunto mayor, pero no es correcto decir que un conjunto
pertenece a un conjunto mayor.
Existe un símbolo matemático para realizar esta notación (inclusión o no inclusión) y es el
siguiente:
inclusión
⊂
no inclusión ⊄
Si consideramos a L como el conjunto de las letras del abecedario:
L = {a, b, c, d, ..., x, y, z} (Note el uso de puntos suspensivos para indicar que existe una
secuencia ordenada de elementos)
El conjunto V (de las vocales) está incluido en L → V ⊂ L
El conjunto D (dígitos) no está incluido en L
→ D⊄L
Concepto de subconjunto
Decimos que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento del
conjunto A es también elemento del conjunto B. Es decir, el conjunto A está incluido dentro
del conjunto B. Utilizando el lenguaje o símbolos matemáticos, esto se expresa de la siguiente
manera: A ⊂ B
Es posible realizar esta misma afirmación, pero diciendo que el conjunto B contiene al
conjunto A, o que el conjunto B incluye al conjunto A. Esto también puede escribirse con
símbolos matemáticos: B ⊃ A
Ejemplo 1: Si llamamos B al conjunto de los habitantes de la ciudad de Bogotá y C al conjunto
de los habitantes de Colombia, se puede decir que los habitantes de Bogotá son un subconjunto
de los habitantes de Colombia. Esto se expresaría en símbolos, de la siguiente manera: B ⊂ C
Ejemplo 2: Sea B el conjunto de los números pares y A el de los pares menores que 10
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
A = {2, 4, 6, 8}
Observamos que todo elemento de A pertenece a B, por lo tanto, A ⊂ B.
Al representar los conjuntos en diagramas de Venn, se observa que la figura que encierra al
conjunto A está dentro de la figura que encierra al conjunto B.
B
A
10.
2.
4.
6.
8.
12.
14….
Ejemplo 3: El conjunto P = {a, b, c, i} no es un subconjunto de H = {a, b, c, d}, ya que:
P tiene un elemento (i) que no está en H.
PROPIEDADES DE LA RELACION DE INCLUSION (Contención):
a. Propiedad reflexiva: Todo conjunto se halla incluido en sí mismo: A ⊂ A
b. Propiedad antisimétrica: Si un conjunto A está contenido en otro conjunto B, el
conjunto B no puede estar contenido en el conjunto A. (A menos que sean iguales)
c. Propiedad transitiva: Si un conjunto se halla incluido en otro y éste en un tercero,
forzosamente el primero se halla incluido en el tercero.
Concepto de conjunto vacío
Técnicamente se define un conjunto vacío, como un conjunto que no tiene ningún elemento.
Se representa con el símbolo ∅ o con dos llaves sin elementos en su interior { }
Propiedades:
El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Concepto de Cardinalidad:
Se llama cardinalidad de un conjunto al número de elementos que tiene ese conjunto. Se
representa con la letra n acompañada del nombre del conjunto. Por ejemplo, el conjunto
V = {a, e, i, o, u} tiene una cardinalidad igual a 5. Se representa con la siguiente simbología:
n(A) = 5, que significa que el número de elementos del conjunto A es igual a 5.
Los conjuntos pueden ser Finitos (si su último elemento se puede contar), Infinitos (si su
último elemento no se puede contar), Unitarios (si el conjunto tiene un solo elemento) y Vacíos
(si el conjunto no tiene elementos). Por ejemplo:
P = x/x profesor del colegio Valle Verde , Finito
E = x/x las estrellas del universo , Infinito
S = x/x satélites naturales del planeta Tierra , Unitario
A = x/x triángulo de 4 lados , Vacío
CONJUNTOS IGUALES
Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Los elementos de un conjunto
pueden ponerse en cualquier orden.
Los conjuntos formados por las letras de las palabras monja y jamón son iguales porque tienen
la misma cardinalidad y los mismos elementos.
A = {j, a, m, o, n}
B = {m, o, n, j, a}
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión de Conjuntos ( ):
Es la operación entre conjuntos que da como resultado un nuevo conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, sin repetir. El conjunto Unión es el conjunto
que tiene por elementos los que sean de A o de B o de los dos a la vez. Escrito con símbolos,
la unión de dos conjuntos (por ejemplo, G y H) se denota así: G ∪ H
Ejemplo 1: Se tienen dos conjuntos:
A = 3, 4, 5, 6, 9 y B = 2, 4, 6, 8. Hallar A B
A B = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 Nótese que están colocados en este nuevo conjunto llamado “A
unión B”, todos los elementos que aparecen en los dos conjuntos, sin repetir el 4 y el 6.
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} la unión de estos conjuntos
será A∪B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Puede verse que un círculo corresponde al conjunto A y otro al conjunto B. Los elementos que
aparecen solamente en A se escriben en la parte que corresponde a A; los elementos que
aparecen solamente en B se escriben en la parte del círculo que corresponde a B; los elementos
comunes se colocan en medio. Los círculos, como siempre tienen el nombre del conjunto al
que representan. Al representar gráficamente la unión de dos conjuntos debe pintarse toda la
región correspondiente a ambos.
Intersección de conjuntos ( ):
Es la operación entre conjuntos que da como resultado un nuevo conjunto formado solamente
por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos. En otras palabras: sólo
forman parte del nuevo conjunto, los elementos que se tengan en común.
La intersección de dos conjuntos G y H se denota de la siguiente manera: G ∩ H
Ejemplo 1: Se tienen dos conjuntos:
A = 3, 4, 5, 6, 9 y B = 2, 4, 6, 8. Hallar A B:
A B = 4, 6 Nótese que están colocados en este nuevo conjunto llamado “A intersección B”
solamente los elementos que tienen en común ambos conjuntos.
Ejemplo 2: Se tienen dos conjuntos G = {a, b, c, d, e, f, g, h} y H = {a, e, i, o, u}. Hallar G ∩ H:
G ∩ H = {a, e}
Ejemplo 3: Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A ∩ B = {4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Al representar gráficamente la intersección de dos conjuntos debe pintarse solamente la
región común.
Caso especial: conjuntos disjuntos
Podría ser que, al intentar realizar la intersección de conjuntos, éstos no tengan elementos en
común. En ese caso, se dice que la intersección es vacía, o sea, es un conjunto vacío. Escrito en
símbolos, esto se señala así:
A∩B=∅
De lo anterior, se introduce un nuevo concepto: el de conjuntos disjuntos. Se dice que dos
conjuntos son disjuntos, cuando su intersección es vacía. Para citar un ejemplo podríamos
decir que si C, es el conjunto de las letras consonantes y V es el conjunto de las letras vocales,
C ∩ V = ∅, por tanto, C y V son conjuntos disjuntos.
Diferencia de conjuntos (𝐴 − 𝐵 ).
Es la operación en la cual, de dos conjuntos, el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir, dados dos conjuntos A y B,
la diferencia de los conjuntos entre A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta
(𝐴 − 𝐵)
Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será 𝐴 − 𝐵 = {1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2. Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será 𝐵 − 𝐴 = {6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia simétrica de conjuntos A △ B.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es
decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación
de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Simbólicamente, A △ B = {x/x ∈ (𝐴 − 𝐵 ) ∪ (𝐵 − 𝐴)}
Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B = {1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
Complemento de un conjunto (A')
Para definir esta operación, debe conocerse primero qué es el conjunto Universo o Conjunto
Referencial. El conjunto Universo (U) o Referencial (R) es el conjunto que da origen a otros
conjuntos. Por eso se toma de referencia.
La operación Complemento de un conjunto es la operación que nos permite formar un
conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el
conjunto. Es decir, dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces
el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal que no pertenezcan al conjunto A.
Ejemplo 1. Dados los conjuntos Universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y el conjunto A = {1, 2, 9},
el complemento de A está dado por A' = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:
Nótese que el conjunto Universo se representa con un rectángulo y, dentro de él, el conjunto
dado. Note también cómo está pintada la zona que corresponde al conjunto Universo que no
corresponde al conjunto A.
Producto Cartesiano (A X B):
El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto de todos los pares ordenados que se
pueden obtener con los elementos de dos conjuntos. Un par ordenado o una tupla de dos
elementos, estará compuesto por un primer elemento de un conjunto y un segundo elemento
de otro conjunto. Un par ordenado se escribe encerrando los elementos entre paréntesis y
separados por una coma. Es decir, dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano estará
formado por los pares ordenados (a, b) en donde el primer elemento, a, pertenece al Conjunto
A y el segundo elemento, b, pertenece al conjunto B. Expresado simbólicamente tenemos: A
x B = {(a, b) / a ∈ A y b ∈ B}
Ejemplo 1. Si A = {3, 4} y B = {1, 3, 8} y C = {3, 8, 9}, hallar:
1. A x B = {(3,1), (3,3), (3,8), (4,1), (4,3), (4,8)}
2. B x C = {(1,3), (1,8), (1,9), (3,3), (3,8), (3,9), (8,3), (8,8), (8,9)}
3. (A x B) ⋂ (B x C). = {(3,3), (3,8)}
La representación gráfica de un producto cartesiano se puede hacer con una tabla cartesiana,
diagrama de flechas, diagrama cartesiano o un diagrama de árbol.
Ejemplo 2. Sea A = {3, 4} y B = {5, 6, 7}, representar gráficamente el producto cartesiano de
A x B, con un diagrama de flechas (llamado también diagrama sagital)
Solución: Hallamos el producto cartesiano de A x B = {(3,5), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7)}
Subconjuntos de un conjunto:
Para hallar todos los subconjuntos de un conjunto, se usa la fórmula: 2𝑛 en donde n representa
a la cardinalidad del conjunto.
Por ejemplo, para hallar todos los subconjuntos del conjunto A = {𝑎, 𝑏, 𝑐} , usamos la fórmula
2𝑛 = 23 = 8 puesto que la cardinalidad de A es 3.
Los 8 subconjuntos de A son:
𝐴 = {𝑎}
𝐴 = {𝑏}
𝐴 = {𝑐}
𝐴 = {𝑎, 𝑏}
𝐴 = {𝑎, 𝑐}
𝐴 = {𝑏, 𝑐}
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
𝐴= ∅
Los últimos dos conjuntos, siguen la propiedad de que todo conjunto es subconjunto de sí
mismo y la propiedad que dice que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
PROBLEMAS DE CONJUNTOS
Observa la siguiente situación: en un salón de clases de 50 niños y niñas, a 10 les gusta solo el
helado de fresa y a 5 solo el helado de chocolate. Si a 20 niños no les gusta el helado ni de fresa
ni de chocolate: ¿a cuántos niños les gustan los dos helados?, ¿a cuántos niños les gusta en
total el helado de fresa?, ¿a cuántos el de chocolate?
Solución:
Primero representaremos la situación con diagramas de Venn: llamaremos F al conjunto de
los estudiantes a los que les gusta el helado de fresa y C al de conjunto de niños que gustan
del helado de chocolate.
Estos dos conjuntos deben estar contenidos en un conjunto universal, que es precisamente el
salón de clase completo. Por lo tanto, podemos representar toda la situación a través del
siguiente diagrama.
Las diferentes regiones del diagrama representan diferentes grupos de estudiantes. Por
ejemplo, en la intersección de los conjuntos F y C, se representa la población de estudiantes
que gustan de los dos helados, mientras que la región exterior a los conjuntos representa la
parte del curso que no gusta de ninguno. Podemos por lo tanto ubicar las cantidades de
estudiantes en las zonas correspondiente
Observa que el 10 y el 5 quedaron ubicados en zonas que comprenden los estudiantes que
gustan de solo de uno de los dos helados, por su parte el 20 está ubicado por fuera de los dos
conjuntos, representando los estudiantes que no gustan de estos sabores de helado. Ahora
bien, tenemos 10 estudiantes que solo gustan del helado de fresa, 5 solo el de chocolate
y 20 ninguno de los dos, lo que nos da un total de 10 + 5 + 20 = 35.
Como el curso completo se compone de 50 estudiantes tenemos un faltante de 50 – 35 igual
15. ¿A qué grupo pertenecen estos 15 estudiantes?
Solo hay una opción: a la región que gusta de los dos helados, es decir la intersección de los
conjuntos F y C.
Podemos entonces responder todas las preguntas hechas inicialmente: a 15 niños les gustan
los dos helados, en total a 25 les gusta el helado de fresa y a 20 les gusta el helado de chocolate.
Una última pregunta: ¿a cuántos estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate?
Recuerda que la unión de conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a uno
u otro, por lo tanto, la respuesta es la cantidad de estudiantes de la unión. Esto quiere decir
que a 30 estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate.
Intervalos:
Los intervalos son otra manera de representar conjuntos. Cumplen con la característica de
Completitud, que significa que no hay espacios vacíos entre sus extremos. Para representarlos
se usan paréntesis y corchetes.
Ejemplo: Si queremos representar a todos los números mayores que 5 pero menores o iguales
que 9, la mayor parte de personas pensaría que los números pertenecientes a este conjunto
serían {𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗}. Sin embargo, por la característica de Completitud, podrían ser también
5.0001, 6.25, 5.78, 8.256, etc. Para representar lo anterior, se usa la notación de intervalo,
tomando en cuenta que los corchetes [ ] indican que los valores extremos si se incluyen dentro
del intervalo mientras que los paréntesis ( ), indican que los valores extremos no se incluyen
dentro del intervalo. Por tal razón, la forma correcta de representar {𝒙/𝒙, 𝟓 < 𝒙 ≤ 𝟗} es (𝟓 𝟗]
Ejemplos:
{𝒙/𝒙, 𝟔 < 𝒙 < 𝟏𝟐} = (𝟔 𝟏𝟐)
{𝒙/𝒙, 𝟖 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟎} = [𝟖 𝟐𝟎]
{𝒙/𝒙, 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟕} = [𝟐 𝟕)
Los intervalos generalmente se representan en una recta numérica para indicar, precisamente,
que deben tomarse dentro del intervalo, TODOS los números comprendidos dentro de él. En
forma general:
Ejemplos:
