Transformada de Fourier Realizar la transformada de Fourier de la siguiente función 𝑓(𝑥) dada por la siguiente grafica Análisis de la función 0, 0 < 𝑥 < 3 𝑓(𝑥 ) = {𝑥, 3 < 𝑥 < 6 0, 6 < 𝑥 < ∞ Proposición general ∞ ℱ {𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 0 Proposiciones secundarias 3 ℱ {𝑓(𝑥)} = ∫ 0𝑒 6 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑒 0 Desarrollo 6 ℱ {𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 3 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑣=− ∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑗𝑤 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 1 ∫ −𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 − 𝑗𝑤 𝑗𝑤 3 ∞ −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 0 𝑑𝑥 6 ∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 1 ∫ 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 + 𝑗𝑤 𝑗𝑤 ∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 1 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 + (− ) 𝑗𝑤 𝑗𝑤 𝑗𝑤 ∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 − 2 2 𝑗𝑤 𝑗 𝑤 ∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 + 𝑗𝑤 𝑤2 ℱ {𝑓(𝑥)} = [− 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 6 ] + 𝑗𝑤 𝑤2 3 6𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 3𝑒 −3𝑗𝑤 𝑒 −3𝑗𝑤 ℱ {𝑓(𝑥)} = − + + − 𝑗𝑤 𝑤2 𝑗𝑤 𝑤2 ℱ {𝑓(𝑥)} = 3𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 − 𝑒 −3𝑗𝑤 + 𝑗𝑤 𝑤2 ℱ {𝑓(𝑥)} = 3𝑗𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑗𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 + 𝑒 −3𝑗𝑤 + 𝑗 2𝑤 𝑤2 ℱ {𝑓(𝑥)} = 3𝑗𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑗𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 + 𝑒 −3𝑗𝑤 + (−1)2 𝑤 𝑤2 ℱ(𝜔) = − 3𝑗𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑗𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 + 𝑒 −3𝑗𝑤 + 𝑤 𝑤2 Integral de Fourier 𝑓 (𝑥 ) = { 0, 0 < 𝑥 < 𝜋 𝑥, 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 Proposición general ∞ 𝑓 (𝑥 ) = ∫ A(α) cos(𝛼𝑥 ) + B(α) sen(𝛼𝑥 ) 𝑑𝑥 0 Proposiciones secundarias 𝐴 (𝛼 ) = 1 ∞ ∫ cos(𝛼𝑡)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 −∞ 𝐵 (𝛼 ) = 1 ∞ ∫ sen(𝛼𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 −∞ Cálculo de constantes 1 ∞ 𝐴(𝛼 ) = ∫ cos(𝛼𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 −∞ 𝐴 (𝛼 ) = 2𝜋 1 𝜋 [∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ xcos(𝛼𝑥) 𝑑𝑥] 𝜋 0 𝜋 𝐴 (𝛼 ) = 1 2𝜋 [∫ xcos(𝛼𝑥) 𝑑𝑥] 𝜋 𝜋 𝐴 (𝛼 ) = 1 xsen(𝛼𝑥 ) cos(𝛼𝑥 ) 2𝜋 [ − ] 𝜋 𝜋 𝛼 𝛼2 𝐴 (𝛼 ) = 1 2πsen(2𝛼𝜋) cos(2𝛼𝜋) πsen(𝛼𝜋) cos(𝛼𝜋) [ − − + ] 𝜋 𝛼 𝛼2 𝛼 𝛼2 𝐴 (𝛼 ) = 1 2πsen(2𝛼𝜋) − πsen(𝛼𝜋) cos(𝛼𝜋) −cos(2𝛼𝜋) [ + ] 𝜋 𝛼 𝛼2 𝐴 (𝛼 ) = 2πsen(2𝛼𝜋) − πsen(𝛼𝜋) cos(𝛼𝜋) −cos(2𝛼𝜋) + 𝛼𝜋 𝛼 2𝜋 𝐵 (𝛼 ) = 1 ∞ ∫ sen(𝛼𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 −∞ 𝐵 (𝛼 ) = 2𝜋 1 𝜋 [∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ xsen(𝛼𝑥) 𝑑𝑥] 𝜋 0 𝜋 1 2𝜋 𝐵(𝛼 ) = ∫ xsen(𝛼𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 𝐵 (𝛼 ) = 1 xcos(𝛼𝑥 ) sen(𝛼𝑥 ) 2𝜋 [− + ] 𝜋 𝜋 𝛼 𝛼2 𝐵 (𝛼 ) = 1 2πcos(2𝛼𝜋) sen(2𝛼𝜋) πcos(𝛼𝜋) sen(𝛼𝜋) [− + + − ] 𝜋 𝛼 𝛼2 𝛼 𝛼2 𝐵 (𝛼 ) = 1 πcos(𝛼𝜋) − 2πcos(2𝛼𝜋) sen(2𝛼𝜋) − sen(𝛼𝜋) [ + ] 𝜋 𝛼 𝛼2 𝐵 (𝛼 ) = πcos(𝛼𝜋) − 2πcos(2𝛼𝜋) sen(2𝛼𝜋) − sen(𝛼𝜋) + 𝛼𝜋 𝛼 2𝜋 ∞ 2πsen(2𝛼𝜋)−πsen(𝛼𝜋) 𝑓 (𝑥 ) = ∫0 [ 𝛼𝜋 sen(2𝛼𝜋)−sen(𝛼𝜋) 𝛼2 𝜋 ] sen(𝛼𝑥 ) 𝑑𝑥 + cos(𝛼𝜋) −cos(2𝛼𝜋) πcos(𝛼𝜋)−2πcos(2𝛼𝜋) 𝛼2 𝜋 𝛼𝜋 ] cos(𝛼𝑥 ) + [ +