Transformada de Fourier
Realizar la transformada de Fourier de la siguiente función 𝑓(𝑥) dada por la
siguiente grafica
Análisis de la función
0, 0 < 𝑥 < 3
𝑓(𝑥 ) = {𝑥, 3 < 𝑥 < 6
0, 6 < 𝑥 < ∞
Proposición general
∞
ℱ {𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥
0
Proposiciones secundarias
3
ℱ {𝑓(𝑥)} = ∫ 0𝑒
6
−𝑗𝑤𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑒
0
Desarrollo
6
ℱ {𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥
3
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑗𝑤𝑥
𝑣=−
∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑒 −𝑗𝑤𝑥
𝑗𝑤
𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥
1
∫ −𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥
−
𝑗𝑤
𝑗𝑤
3
∞
−𝑗𝑤𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 0 𝑑𝑥
6
∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥
1
∫ 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥
+
𝑗𝑤
𝑗𝑤
∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥
1
𝑒 −𝑗𝑤𝑥
+
(−
)
𝑗𝑤
𝑗𝑤
𝑗𝑤
∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑒 −𝑗𝑤𝑥
− 2 2
𝑗𝑤
𝑗 𝑤
∫ 𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑒 −𝑗𝑤𝑥
+
𝑗𝑤
𝑤2
ℱ {𝑓(𝑥)} = [−
𝑥𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑒 −𝑗𝑤𝑥 6
]
+
𝑗𝑤
𝑤2 3
6𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 3𝑒 −3𝑗𝑤 𝑒 −3𝑗𝑤
ℱ {𝑓(𝑥)} = −
+
+
−
𝑗𝑤
𝑤2
𝑗𝑤
𝑤2
ℱ {𝑓(𝑥)} =
3𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 − 𝑒 −3𝑗𝑤
+
𝑗𝑤
𝑤2
ℱ {𝑓(𝑥)} =
3𝑗𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑗𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 + 𝑒 −3𝑗𝑤
+
𝑗 2𝑤
𝑤2
ℱ {𝑓(𝑥)} =
3𝑗𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑗𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 + 𝑒 −3𝑗𝑤
+
(−1)2 𝑤
𝑤2
ℱ(𝜔) = −
3𝑗𝑒 −3𝑗𝑤 − 6𝑗𝑒 −6𝑗𝑤 𝑒 −6𝑗𝑤 + 𝑒 −3𝑗𝑤
+
𝑤
𝑤2
Integral de Fourier
𝑓 (𝑥 ) = {
0, 0 < 𝑥 < 𝜋
𝑥, 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋
Proposición general
∞
𝑓 (𝑥 ) = ∫ A(α) cos(𝛼𝑥 ) + B(α) sen(𝛼𝑥 ) 𝑑𝑥
0
Proposiciones secundarias
𝐴 (𝛼 ) =
1 ∞
∫ cos(𝛼𝑡)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋 −∞
𝐵 (𝛼 ) =
1 ∞
∫ sen(𝛼𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋 −∞
Cálculo de constantes
1 ∞
𝐴(𝛼 ) = ∫ cos(𝛼𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋 −∞
𝐴 (𝛼 ) =
2𝜋
1 𝜋
[∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ xcos(𝛼𝑥) 𝑑𝑥]
𝜋 0
𝜋
𝐴 (𝛼 ) =
1 2𝜋
[∫ xcos(𝛼𝑥) 𝑑𝑥]
𝜋 𝜋
𝐴 (𝛼 ) =
1 xsen(𝛼𝑥 ) cos(𝛼𝑥 ) 2𝜋
[
−
]
𝜋
𝜋
𝛼
𝛼2
𝐴 (𝛼 ) =
1 2πsen(2𝛼𝜋) cos(2𝛼𝜋) πsen(𝛼𝜋) cos(𝛼𝜋)
[
−
−
+
]
𝜋
𝛼
𝛼2
𝛼
𝛼2
𝐴 (𝛼 ) =
1 2πsen(2𝛼𝜋) − πsen(𝛼𝜋) cos(𝛼𝜋) −cos(2𝛼𝜋)
[
+
]
𝜋
𝛼
𝛼2
𝐴 (𝛼 ) =
2πsen(2𝛼𝜋) − πsen(𝛼𝜋) cos(𝛼𝜋) −cos(2𝛼𝜋)
+
𝛼𝜋
𝛼 2𝜋
𝐵 (𝛼 ) =
1 ∞
∫ sen(𝛼𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋 −∞
𝐵 (𝛼 ) =
2𝜋
1 𝜋
[∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ xsen(𝛼𝑥) 𝑑𝑥]
𝜋 0
𝜋
1 2𝜋
𝐵(𝛼 ) = ∫ xsen(𝛼𝑥) 𝑑𝑥
𝜋 𝜋
𝐵 (𝛼 ) =
1 xcos(𝛼𝑥 ) sen(𝛼𝑥 ) 2𝜋
[−
+
]
𝜋
𝜋
𝛼
𝛼2
𝐵 (𝛼 ) =
1 2πcos(2𝛼𝜋) sen(2𝛼𝜋) πcos(𝛼𝜋) sen(𝛼𝜋)
[−
+
+
−
]
𝜋
𝛼
𝛼2
𝛼
𝛼2
𝐵 (𝛼 ) =
1 πcos(𝛼𝜋) − 2πcos(2𝛼𝜋) sen(2𝛼𝜋) − sen(𝛼𝜋)
[
+
]
𝜋
𝛼
𝛼2
𝐵 (𝛼 ) =
πcos(𝛼𝜋) − 2πcos(2𝛼𝜋) sen(2𝛼𝜋) − sen(𝛼𝜋)
+
𝛼𝜋
𝛼 2𝜋
∞ 2πsen(2𝛼𝜋)−πsen(𝛼𝜋)
𝑓 (𝑥 ) = ∫0 [
𝛼𝜋
sen(2𝛼𝜋)−sen(𝛼𝜋)
𝛼2 𝜋
] sen(𝛼𝑥 ) 𝑑𝑥
+
cos(𝛼𝜋) −cos(2𝛼𝜋)
πcos(𝛼𝜋)−2πcos(2𝛼𝜋)
𝛼2 𝜋
𝛼𝜋
] cos(𝛼𝑥 ) + [
+