formelsamling Matematik HA AU BSS

Matematik Formelsamling
Version 0.6
Januar 2022
matematik formelsamling
Indholdsfortegnelse
Differentiation
4
Oversigt over regler for differentiation . . . . . . . . . . . . .
4
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Voksende og aftagende funktioner . . . . . . . . . . . . . . .
5
Konvekse og konkave funktioner . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Implicit differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Differentiation af den inverse funktion . . . . . . . . . . . . .
6
L’Hôpitals regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Funktioner med flere variable og partielle afledte
6
Konvekse og konkave funktioner af to variable . . . . . . . .
7
Kæderegel for funktioner af flere variable . . . . . . . . . . .
7
Implicit differentiation langs en niveaukurve . . . . . . . . .
8
Optimering
8
Optimering uden bibetingelser . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Optimering med bibetingelser . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Integration
9
Generelle regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Regler for bestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Regler for sammensatte funktioner . . . . . . . . . . . . . . .
11
Lineær algebra
Matrix algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
2
matematik formelsamling
Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Invers matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Systemer af lineære ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Appendiks: Baggrundsviden
16
Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Kvadratsætninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Kvadratisk ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Eksponential- og logaritmefunktioner . . . . . . . . . . . . .
17
Hvis du finder en fejl i denne formelsamling, så kontakt os venligst på
[email protected].
3
matematik formelsamling
Differentiation
Nedenstående tabel viser regler og eksempler på differentiering af
nogle simple funktioner.
Regel
Eksempel
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
xa
ex
ln( x )
e ax
ax
ax a−1
ex
1/x
ae ax
a x ln( a)
x6
ex
ln( x )
e3x
5x
6x5
ex
1/x
3e3x
5x ln(5)
Oversigt over regler for differentiation
Regel
Eksempel
F(x)
F0 (x)
F(x)
F0 (x)
A
0
13
0
A + f (x)
f 0 (x)
4 + x2
2x
A · f (x)
A · f 0 (x)
3x2
6x
f ( x ) ± g( x )
f 0 ( x ) ± g0 ( x )
2x + x2
2 + 2x
f ( x ) g( x )
f 0 ( x ) g( x ) + f ( x ) g0 ( x )
x4 e5x
4x3 · e5x + x4 · 5e5x
f (x)
g( x )
f 0 ( x ) g( x ) − f ( x ) g0 ( x )
2x3 + 2
x+4
6x2 · ( x + 4) − (2x3 + 2) · 1
( x + 4)2
f ( g( x ))
f 0 ( g( x )) · g0 ( x )
(2x2 + 4x )3
3(2x2 + 4x )2 · (4x + 4))
( g( x ))2
Notation
Leibniz’s notation for differentialkvotienten af f ( x ) i forhold til x
f 0 (x) =
df
dx
Den n’te ordens differentierede kan generelt skrives som
f (n) ( x ) =
dn f
dx n
4
matematik formelsamling
Kædereglen
( f ( g( x )))0 = f 0 ( g( x )) · g0 ( x )
Dette kan omskrives til Leibniz’s notation ved at introducere y =
f (u) og u = g( x )
dy du
dy
=
dx
du dx
Voksende og aftagende funktioner
Den afledte af en funktion indikerer, hvorvidt funktionen er voksende, aftagende eller konstant i et interval I, hvis følgende uligheder
er gældende for alle x ∈ I
f 0 ( x ) ≥ 0 ⇐⇒ f ( x ) er voksende
f 0 ( x ) ≤ 0 ⇐⇒ f ( x ) er aftagende
f 0 ( x ) = 0 ⇐⇒ f ( x ) er konstant
Konvekse og konkave funktioner
Den andenordensafledte af en funktion kan bruges til at bestemme,
hvorvidt en funktion er konveks eller konkav i et interval I, hvis en
af de følgende uligheder holder for alle x ∈ I
f 00 ( x ) ≥ 0 ⇐⇒ f ( x ) er konveks
f 00 ( x ) ≤ 0 ⇐⇒ f ( x ) er konkav
Implicit differentiation
(Fra bogen, side 235)
For at finde y0 når en ligning indeholder to variable x og y:
(i) Differentier hver side af ligningen i forhold til x, hvor vi antager,
at y er en funktion af x.
(ii) Løs denne ligning for y ’
En alternativ metode er at finde y0 ved brug af partiel differentiation:
(i) Isoler alle led, som indeholder x eller y på en side af ligningen
for at få f ( x, y) = c
(ii) Brug partiel differentiation til at differentiere ligningen i
∂F
forhold til både x og y for at få ∂F
∂x og ∂y
dy
∂F
0
(iii) y kan findes ved brug af følgende formel y0 = dx = − ∂x ∂F
∂y
5
matematik formelsamling
Differentiation af den inverse funktion
For at finde den inverse funktion af f ( x ):
i) Skriv f ( x ) som y
ii) Byt om på x og y (x bliver til y og omvendt)
iii) Løs denne ligning for y
For at differentiere den inverse funktion:
iv) Differentier ligningen fra iii) mht. x.
g 0 ( y0 ) =
1
f 0 ( x0 )
L’Hôpitals regel
L’Hôpitals regel kan bruges til at finde grænseværdien af en kvotient
af to funktioner, hvor begge funktioner går mod 0 eller ±∞, såsom:
lim
x→a
f (x)
”0”
” ± ∞”
=
eller
g( x )
0
±∞
Bemærk at “0/0” og “±∞/ ± ∞” ikke er valide udtryk — Derfor er
citationstegnene tilføjet. I sådanne tilfælde kan man benytte l’Hôpitals
regel:
Hvis f ( a) = g( a) = 0 eller ±∞, og g0 ( a) 6= 0 så gælder:
lim
x→a
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x→a g ( x )
g( x )
Funktioner med flere variable og partielle afledte
De partielle afledede af f ( x, y) skrives som:
∂f
= f x0 ( x, y) = f 10 ( x, y)
∂x
∂f
= f y0 ( x, y) = f 20 ( x, y)
∂y
Eksempler på højere-ordens partielle afledede:
∂2 f
00
00
= f xx
( x, y) = f 11
( x, y)
∂x2
6
matematik formelsamling
7
∂2 f
00
00
= f yy
( x, y) = f 22
( x, y)
∂y2
∂2 f
00
00
= f xy
( x, y) = f 12
( x, y)
∂y∂x
Konvekse og konkave funktioner af to variable
En funktion af to variable er konveks hvis
∂2 f
≥ 0,
∂x2
∂2 f
≥ 0,
∂y2
∂2 f ∂2 f
·
−
∂x2 ∂y2
∂2 f
≤ 0,
∂y2
∂2 f ∂2 f
·
−
∂x2 ∂y2
∂2 f
∂x∂y
2
∂2 f
∂x∂y
2
≥0
og konkav hvis:
∂2 f
≤ 0,
∂x2
≥ 0.
Bemærk: Dette skal være sandt for alle punkter ( x, y) i domænet.
Kæderegel for funktioner af flere variable
Kædereglen for den sammensatte funktion F ( x, y), hvor x = f (t) og
y = g(t) er:
dF
= F10 ( x, y) f 0 (t) + F20 ( x, y) g0 (t)
dt
Ved brug af Leibniz’s notation:
∂F dx ∂F dy
dF
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
Hvis x = f (t, s) og y = g(t, s):
∂F
∂F ∂x ∂F ∂y
=
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂F
∂F ∂x ∂F ∂y
=
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
Den generelle kæderegel for en funktion F ( x1 , x2 , . . . , xn ) hvor hver
af de n variable er funktioner af m andre variable xk = f k (t1 , t2 , . . . , tm ):
∂F ∂x1
∂F ∂x2
∂F ∂xn
∂F
=
+
+···+
∂t j
∂x1 ∂t j
∂x2 ∂t j
∂xn ∂t j
Bemærk: Der er i alt m formler som
denne (en for hver t-variabel), hvor
dette er nummer j ud af m.
matematik formelsamling
8
Implicit differentiation langs en niveaukurve
En niveaukurve kan skrives som F ( x, y) = c. Hvis vi antager, at
dette definerer en funktion y = f ( x ), så kan hældningen af denne
funktion beregnes som
dy
∂F ∂F
f 0 (x) =
=−
dx
∂x ∂y
Optimering
Optimering uden bibetingelser
Førsteordensbetingelser
∂f
=0
∂x
and
∂f
=0
∂y
En løsning ( x0 , y0 ) til førsteordensbetingelserne kaldes stationære
(kritiske) punkter.
Globale andenordensbetingelser (Teorem 17.2.2)
Maksimum: Hvis disse betingelser holder for alle ( x, y) så er ( x0 , y0 )
et globalt maksimum i S.
∂2 f
≤ 0,
∂x2
∂2 f ∂2 f
·
−
∂x2 ∂y2
Note: For at bruge teorem 17.2.2. er det
påkrævet, at f er en C2 funktion i en
konveks mængde S i R2
∂2 f
≤0
∂y2
∂2 f
∂x∂y
2
≥0
Med ord: Hvis f er konkav så er ( x0 , y0 )
et maksimum.
Minimum: Hvis disse betingelser holder for alle ( x, y) så er ( x0 , y0 )
et globalt minimum i S.
∂2 f
≥ 0,
∂x2
∂2 f ∂2 f
·
−
∂x2 ∂y2
∂2 f
≥0
∂y2
∂2 f
∂x∂y
2
≥0
Lokale andenordensbetingelser (Teorem 17.3.1)
A=
∂2 f
( x0 , y0 )
∂x2
C=
∂2 f
( x0 , y0 )
∂y2
B=
∂2 f
( x0 , y0 )
∂x∂y
Med ord: Hvis f er konveks så er
( x0 , y0 ) et minimum.
matematik formelsamling
Det er vist i tabellen hvilket type punkt, der er tale om.
Punkt
A
AC − B2
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
>0
<0
>0
>0
<0
=0
Type
lokalt minimum
lokalt maksimum
saddelpunkt
et af de ovenstående
Optimering med bibetingelser
Vi vil gerne finde den optimale værdi af f ( x, y) således at g( x, y) = c.
Lagrangefunktionen opstilles:
L( x, y) = f ( x, y) − λ( g( x, y) − c)
Førsteordensbetingelser
Enhver løsning ( x0 , y0 ) til problemet skal være et stationært punkt
for Lagrangefunktionen og overholde bibetingelsen. Følgende skal
derfor være gældende:
∂L
=0
∂x
∂L
=0
∂y
g( x, y) = c
Globale andenordensbetingelser (Teorem 18.5.1)
Hvis L er konkav så er ( x0 , y0 ) et maksimum for f ( x, y).
Hvis L er konveks så er ( x0 , y0 ) et minimum for f ( x, y).
Lokale andenordensbetingelser (Teorem 18.5.2)
0 2
0 0
0 2
00
00
00
00
00
00
D ( x, y, λ) = f 11
− λg11
g2 − 2 f 12
g1
− λg12
g1 g2 + f 22
− λg22
Hvis D ( x0 , y0 , λ) < 0 så er ( x0 , y0 ) en lokal løsning til maksimeringsproblemet.
Hvis D ( x0 , y0 , λ) > 0 så er ( x0 , y0 ) en lokal løsning til minimeringsproblemet.
Integration
Definition (ubestemt integral):
Z
f ( x ) dx = F ( x ) + C,
where: F 0 ( x ) = f ( x ).
9
matematik formelsamling
Definition (bestemt integral):
Z b
a
b
F ( x ) = F (b) − F ( a)
f ( x ) dx =
a
Generelle regler
Z
a f ( x ) dx = a
Z
Z
f ( x ) dx
a dx = ax + C
x a +1
+ C,
a+1
Z
x a dx =
Z
1
dx = ln | x | + C,
x
Z
e x dx = e x + C
a 6 = −1
x 6= 0
1 ax
e + C, a 6= 0
a
Z
1 x
a + C, a > 0, a 6= 1
a x dx =
ln a
Z
e ax dx =
Z
ln x dx = x ln x − x + C,
x>0
Regler for bestemte integraler
Z b
a
Z a
a
Z b
a
Z c
a
Z b
a
f ( x ) dx = −
Z a
b
f ( x ) dx
f ( x ) dx = 0
α f ( x ) dx = α
f ( x ) dx =
Z b
a
Z b
a
f ( x ) dx +
f ( x ) + g( x ) dx =
Z b(t)
a(t)
f ( x ) dx
Z b
a
Z c
b
f ( x ) dx
f ( x ) dx +
f ( x ) dx = F (b(t)) − F ( a(t))
Z b
a
g( x ) dx
10
matematik formelsamling
Regler for sammensatte funktioner
Integration af en sum eller forskellen imellem to funktioner:
Z
f ( x ) ± g( x ) dx =
Z
f ( x ) dx ±
Z
g( x ) dx
Partiel integration (ubestemt integral):
Z
f ( x ) g0 ( x ) dx = f ( x ) g( x ) −
Z
f 0 ( x ) g( x ) dx
Partiel integration (bestemt integral):
Z b
a
b
f ( x ) g0 ( x ) dx =
f ( x ) g( x ) −
Z b
a
a
f 0 ( x ) g( x ) dx
Integration ved substitution (ubestemt integral)
Z
f ( g( x )) g0 ( x ) dx =
Z
f (u) du
Integration ved substitution (bestemt integral):
Z b
a
f ( g( x )) g0 ( x ) dx =
Z g(b)
g( a)
f (u) du
Lineær algebra
Matrix algebra
Summen af to matricer med samme dimensioner
C = A+B
⇐⇒
cij = aij + bij
Multiplikation med en skalar
B = αA
⇐⇒
bij = αaij
Matrix multiplikation
n
C = AB
⇐⇒
cij =
∑ aik bkj
k =1
A er en matrix med dimension m × n og B er en matrix med dimension n × p. I dette tilfælde har matrix produktet C = AB dimension
m × p.
A, B og C er matricer og α og β er skalarer.
(A + B) + C = A + (B + C)
A+B = B+A
A+0 = A
11
matematik formelsamling
A + (−A) = 0
(α + β)A = αA + βA
α(A + B) = αA + αB
(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
(αA)B = A(αB) = αAB
Identitetsmatrix

1 0

0 1
In = 
 .. ..
. .
0
···
···
..
.
···
0

0

0
.. 

.
1
In er en kvadratisk n × n matrix In med 1 i de diagonale elementer
og 0 alle andre steder.
For enhver n × n matrix A gælder:
AIn = In A = A
Transponerede matrix

a11 a12 · · ·

 a21 a22 · · ·
A=
..
 ..
 .
.
am1 am2 · · ·

a1n

a2n 
.. 

. 
amn

=⇒
a11

 a12
A0 = 
 ..
 .
a1n
a21
a22
..
.
a2n
···
···
···

am1

am2 
.. 

. 
amn
A0 er den transponerede af A og har dens rækker og søjler byttet
rundt i forhold til A.
Regler for transponering
(A0 )0 = A
(A + B)0 = A0 + B0
(αA)0 = αA0
(AB)0 = B0 A0
Determinant
Determinanten af en 2 × 2 matrix
|A| =
a11
a21
a12
= a11 a22 − a21 a12
a22
12
matematik formelsamling
Determinanten af en 3 × 3 matrix, hvor vi benytter Sarrus’s regel
|A| =
+
a11
+
a12
+
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
−
−
−
Determinanten af en 3 × 3 matrix, hvor vi benytter udvikling langs
den første række
|A| = a11
a22
a32
a
a23
− a12 21
a31
a33
a
a23
+ a13 21
a31
a33
a22
a32
Den generelle determinant ved brug af udvikling langs en søjle j:
|A| = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj
hvor Cij er cofaktorerne:
Cij = (−1)i+ j Dij
og Dij er den underdeterminant af matricen man får ved at slette den
i’te række og den j’te søjle fra A.
Den generelle determinant ved brug af udvikling langs række i:
|A| = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin
hvor Cij er cofaktorerne.
Eksempel på udvikling langs anden række:
10
0
2
2
0
1 −1
√
10
1 −1
10 0
1
√
−1
0
2
2+2
2+4
= (−1)(−1)
2
0
4 + 2(−1)
2 1
0
1
0
4
2 −1
5
2 0 −1
0 −1
5
!
1 −1
1
2+3 10
= − 2(−1)
+ 4(−1)
−1
5
2 −1
!
√
0
1+1 1
1+3 2 1
+ 2 10(−1)
+ 1(−1)
0 −1
2 0
√
= − (−2 · 4 − 4 · (−12)) + 2 (10 · (−1) + 1 · (−2))
√
= −40 − 12 2
Regler for determinanter
|A0 | = |A|
|AB| = |A||B|
|αA| = αn |A|
hvor A har dimension n × n
13
matematik formelsamling
Invers matrix
A kvadratisk matrix A har en invers matrix A−1 hvis |A| 6= 0, og
A−1 A = AA−1 = I
hvor I er identitetsmatricen.
Regler for matrix inversion
Hvis A og B er invertible n × n matricer, så gælder følgende:
( A −1 ) −1 = A
(AB)−1 = B−1 A−1
( A 0 ) −1 = ( A −1 ) 0
(αA)−1 = α−1 A−1
Den inverse af en 2 × 2 matrix
A=
a11
a21
a12
a22
!
Hvis |A| 6= 0, så gælder
A
−1
1
=
|A|
a22
− a21
− a12
a11
!
Systemer af lineære ligninger
Et system af m lineære ligninger med n ubekendte
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
Systemet kan også opskrives på matrix form: Ax = b, hvor


 
 
a11 a12 · · · a1n
x1
b1

 
 

 a21 a22 · · · a2n 
 x2 
 b2 
 
 
A=
..
.. 
 ..
 x =  ..  b =  .. 
 .
 . 
 . 
.
. 
am1 am2 · · · amn
xn
bm
Et system af n lineære ligninger med n ubekendte har en unik løsning, hvis determinanten ikke er lig med 0: |A| 6= 0.
14
matematik formelsamling
Cramer’s regel for to ligninger med to ubekendte.
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
Hvis |A| 6= 0 så er løsningen
x1 =
b1
b2
a12
a22
|A|
x2 =
a11
a21
b1
b2
|A|
Cramer’s regel for tre ligninger med tre ubekendte:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
Hvis |A| 6= 0, så er løsningen
x1 =
b1
b2
b3
a12 a13
a22 a23
a32 a33
|A|
x2 =
a11
a21
a31
b1 a13
b2 a23
b3 a33
|A|
Løsning ved brug af den inverse matrix
x = A −1 b
x3 =
a11
a21
a31
a12
a22
a32
|A|
b1
b2
b3
15
matematik formelsamling
Appendiks: Baggrundsviden
Brøker
b
a·b
=
c
c
a
a·c
=
b
b
c
a·
a
b
c
a
b
c
d
=
a
b·c
=
a·d
b·c
a·c
a c
· =
b d
b·d
Kvadratsætninger
( a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
( a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
( a + b)( a − b) = a2 − b2
Potens
am · an = am+n
am
= am−n
an
( am )n = am·n
( a · b)m = am · bm
a m
am
= m
b
b
a0 = 1
a−m =
√
m
√
n
1
am
1
a = am
m
am = a n
√
√ √
a·b = a· b
r
√
a
a
= √
b
b
√
1
a = a2
16
matematik formelsamling
Kvadratisk ligning
ax2 + bx + c = 0
Diskriminanten er defineret som
D = b2 − 4ac
Hvis D > 0, så er der to løsninger (rødder) som er givet ved:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Hvis D = 0, så er der en løsning givet ved:
x=
−b
2a
Hvis der er to løsninger x1 og x2 , så kan den kvadratiske ligning
skrives som:
a( x − x1 )( x − x2 ) = 0
Dette kaldes faktorisering af den kvadratiske ligning, eftersom den
nu er skrevet som et produkt of to faktorer.
Eksponential- og logaritmefunktioner
Den naturlige logaritme
y = ln( x ) ⇔ x = ey
ln(e) = 1
ln( a · b) = ln( a) + ln(b)
a
= ln( a) − ln(b)
ln
b
ln ( ar ) = r · ln( a)
Logaritmefunktionen med base 10
y = log( x ) ⇔ x = 10y
log(10) = 1
log( a · b) = log( a) + log(b)
a
log
= log( a) − log(b)
b
log ( ar ) = r · log( a)
17
matematik formelsamling
Den naturlige eksponentialfunktion
y = exp( x ) = e x
y = e x ⇔ x = ln(y)
e x ey = e x +y
ex
= e x −y
ey
Eksponentialfunktion med base a
y = ax
ekx = (ek ) x = a x ,
a x ay = a x +y
ax
= a x −y
ay
hvor a = ek
18