Álgebra para Postulantes: Leyes, Polinomios y Más

C O LECCIÓN EL POSTULANTE
ÁLGEBRA
COLECCIÓN EL POSTULANTE
ÁLGEBRA
E d it o r ia l
ÁLGEBRA - C o l e c c i ó n
S a iv a d o rT im o te o
El Po s t u l a n t e
© S a iv a d o rT im o te o
D iseño de p o rta d a : M ig u e l Bendezú
C o m p o sició n de in te rio re s : Blanca Llanos
R esponsable de e d ic ió n : Alex Cubas
© E ditorial San M a rco s E. I. R. L., e d ito r
jr. Dávalos Lissón 135, Lima
Telefax: 33 1-1 522
RUC 20 2 6 0 1 0 0 8 0 8
E -m a il: in fo rm e s @ e d ito ria ls a n m a rc o s .c o m
P rim era e d ic ió n : 2007
Segunda e d ic ió n 2013
T ira je : 1000 e je m p la re s
H echo el d e p ó s ito legai en la B ib lio teca N acion al del Perú
R egistro N.° 20 12 -1 1 9 9 7
ISBN 9 7 8 -6 1 2 -3 0 2 -9 1 9 -7
R egistro de P royecto E d ito ria l N.° 3 1 5 0 1 0 0 1 2 0 0 7 8 0
P roh ib ida la re p ro d u c c ió n to ta l o parcial de esta obra,
sin previa a u to riza ció n escrita de! a u to r y de! e d ito r.
Im p re so en el Perú / P rin te d i r Perú
Pedidos:
Av. G arciiaso de la Vega 974, Lima
Telefax: 42 4 -6 5 6 3
E -m ail: v e n ta s lib re ria @ e d ito ria ls a n m a rc o s .c o m
w w w .e d ito ria is a n rn a rc o s .c o m
C om posició n, a ia g ra m a ció n e im p re sió n :
E d ito ria l San M a rco s de A n íb a l Paredes G alván
Av. Las Lomas 1600, U rb. M a n g o m a rca , S. j. L.
RUC 1 0 09 098 43 44
ÍNDICE
Le ye s d e e x p o n e n íe s ..........................................................................................................................................................
9
P o lin o m io s ................................................................................................................................................................................
17
P ro d u c to s n o ta b le s ...............................................................................................................................................................
23
D iv is ió n d e p o lin o m io s .........................................................................................................................................................
28
F a c to rlz a c ió n ...........................................................................................................................................................................
37
F ra c c io n e s a lg e b ra ic a s ........................................................................................................................................................
43
B in o m io d e N e w to n ..............................................................................................................................................................
49
R a d ic a c ió n ................................................................................................................................................................................
54
N ú m e ro s c o m p le jo s ..............................................................................................................................................................
60
E c u a c io n e s ...............................................................................................................................................................................
64
D e s ig u a ld a d e s e in e c u a c io n e s ........................................................................................................................................
74
P ro g re s io n e s ...........................................................................................................................................................................
85
L o g a ritm o s .................................................................................................................................................................................
90
PRESENTACION
E d ito ria l S a n M a rc o s p re s e n ta al p ú b lic o la C o le c c ió n El P o s tu la n te , e la b o ra d a ín te g ra m e n te p e n s a n d o
en las n e c e s id a d e s a c a d é m ic a s d e lo s jó v e n e s q u e a s p ira n a a lc a n z a r un a v a c a n te en las u n iv e rs id a d e s ,
in s titu to s y c e n tro s s u p e rio re s d e e s tu d io a nive l n a cio n a l.
La C o le c c ió n El P o s tu la n te re ú n e lo s te m a s re q u e rid o s p o r los p ro s p e c to s d e a d m is ió n , lo s c u a le s son
d e s a rro lla d o s d id á c tic a m e n te , co n te o ría e je m p lific a d a y e je rc ic io s p ro p u e s to s y re s u e lto s , d e a lto g ra d o
d e d ific u lta d , c o n los c u a le s se b u sc a d o ta r a lo s jó v e n e s d e lo s c o n o c im ie n to s b á s ic o s n e c e s a rio s pa ra
e n fre n ta r n o s o lo lo s d iv e rs o s e x á m e n e s d e a d m is ió n , s in o a fia n z a r lo s s a b e re s d e su fo rm a c ió n e s c o la r
y a lc a n z a r un a fo rm a c ió n in te g ra l q u e le s p e rm ita , en el fu tu ro p ró xim o , d e s a rro lla r un a v id a u n iv e rs ita ria
ex ito s a .
F in a lm e n te , d e s e a m o s h a c e r un re c o n o c im ie n to al s ta ff d e d o c e n te s lid e ra d o s p o r S a lv a d o r T im o te o , P e ­
d ro d e C a s tro , J o rg e S o la rl y N a th a li F a lcó n , p ro fe s o re s d e a m p lia tra y e c to ria e n la s m e jo re s a c a d e m ia s
de n u e s tro pa ís, q u ie n e s ha n e n tre g a d o lo m e jo r de su e x p e rie n c ia y c o n o c im ie n to s en el d e s a rro llo de
lo s c o n te n id o s .
- E L E D IT O R -
LEYES DE EXPONENTES
POTENCIACION
E s a q u e lla o p e ra c ió n m a te m á tic a d o n d e , d a d o s
d o s e le m e n to s lla m a d o s b a s e (b) y e x p o n e n te (n)
se c a lc u la un te rc e r e le m e n to lla m a d o p o te n cia .
E x p o n e n te n e g a tiv o SI x es un n ú m e ro rea l no
nu lo , y si n es un e n te ro p o s itiv o , d e fin im o s
1 /x n
E je m p lo s :
N o ta c ió n :
bn = P
3~3 = — = —
27
3
l_
4- 2 = 1
4 2 16
b: b a se , b e lE
n: e x p o n e n te , n e Z
P: p o te n c ia , P E l
E je m p io s :
( -
2 )'
( - 2 ,3
(-3
r 2=
1
í- 3 .r
SI x e y son re a le s no nu lo s, n es un e n te ro p o s itiv o
i x r n / v \n
= —1
-—\
En 54 = 62 5, la b a s e es 5, el e x p o n e n te es 4 y
la p o te n c ia es 62 5.
e n to n c e s
a 3, a q u í a e s la ba se , 3 es el e x p o n e n te y a 3 es
u n a p o te n c ia in d ic a d a .
E je m p lo s :
y)
PRINCIPALES EXPONENTES
E x p o n e n te n a tu ra l. S i n es c u a lq u ie r e n te ro p o ­
s itiv o y b e s un n ú m e ro re a l, d e fin im o s .
bn =
si n = 1
r b
b ' b x b .. b; si n > 2
n veces
= 3 = 27
N ó te s e q u e no h e m o s d e fin id o 0 n, e s ta e x p re s ió n
n o tie n e se n tid o :
p u e s si: 0 11 = — = - = 3 e n to n c e s 0 n no e x is te .
0n 0
E je m p lo s :
61 = 6
T e o re m a . Si x e y s o n n ú m e ro s re a le s y m, n son
e n te ro s , ta l q u e x m, x n, y n e x is te n , e n to n c e s
£ F = V3
H U 1 X1 X1 X1 = ±
\2¡
2 2 2
2
16
X X
( - 2 ) 7 = (—2 )(—2 )(—2 )(—2 )(—2 ){—2 )(—2) = - 1 2 8
(x y )n = x ny n
( í í - H
625
16
r - i - i r -
= X"’
x'r
-= X
X
x / 0
;y
0
(í)
_1_
16
(x m)n = x mn
X
-= x y -
( " 3 ) 4 = ( 3 ) ( —3 ) ( —3 )(—3 ) = 81
E je m p lo s :
- 3 4 = —(3 4) = - 8 1
- 2 3 = —(2 3) = - 8
6 3 v 6 4 \ 62 x = 6 3 + (~4) * 2 = 6 1 = 6
E x p o n e n te c e ro . Si a es c u a lq u ie r n ú m e ro rea l no
—
= 3 2_(~3> = 3 1 = 3
nulo,
.
E je m p lo s :
( | ) = 1 ; ( - 7 ) ° = 1; ( /5 )° = 1 ; ( - | )
=1
27f
92
' 9
3 n " 2 = 3 n x 32 = 9 x 3 n
3 (2 5 ") = 3 (5 2") = 3 (5 ")2
N ó te s e q u e n o h e m o s d e fin id o 0°, e s ta e x p re s ió n
no tie n e un s ig n ific a d o útil.
Si b es un n ú m e ro rea l y m , n, p s o n e n te ro s e n ­
to n c e s:
10
¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
E sta s e x p re s io n e s no e s tá n d e fin id a s en IR (no e x is ­
te n), e s ta s e s tá n en el c a m p o d e los im a g in a rio s .
E s im p o rta n te o b s e rv a r q u e "Va c u a n d o e x is te , es
un n ú m e ro rea l único.
P o r e je m p lo :
T e o re m a . Si n es un n a tu ra l, n > 2, x e y son re a le s
ta le s q u e n/ x y n/ y e x is te n , e n to n c e s
RADICACION EN IR
n/ x n/ y = n/x y
iT e s el s ím b o lo ra d ica l
n es el ín dice; n e IN a n > 2
n/a = b a e s el ra d ic a n d o (c a n tid a d ra d ic a l)
b es la ra íz e n é s im a
•
n/y
= n f^-; si y A 0
1y
" V W = mn/x ; si m es un a n a tu ra l, m 5:2, y las
ra íc e s In d ic a d a s e x is te n
x: n es im p a r
[x|; n es p a r
P o r e je m p lo , en s/3 2 = 2, el ín d ic e es 5, el ra d ic a n ­
d o es 32 y la ra íz q u in ta e s 2.
E je m p lo s :
O b s e r v a c io n e s :
1.
2.
4/ 8 4/3 2 = 4/8 ,. 32 = 4/2 5 6 = 4
Si a > 0 y n es un e n te ro p o s itiv o , n > 2; e n to n ­
ces e x is te un ú n ic o rea l b
0, ta l q u e b n = a.
El n ú m e ro b se lla m a ra íz e n é s im a d e a y se
d e n o ta p o r n/a
- M = ¡ J M = 3/2 7 = 3
3f3
' 3
3M
SI a < 0 y n es un e n te ro p o s itiv o im p a r n > 3,
e n to n c e s e x is te un b < 0, ta l q u e b n = a. En
e s te c a s o e s c rib im o s b = n/a y la lla m a m o s la
raíz e n é s im a d e a.
3/ / 72 9 = 6Í7 2 9 = 3
V( — 4 )2 = I 4 | = 4
EXPONENTES RACIONALES
F in a lm e n te n/0 = 0
1.
D e la s d e fin ic io n e s
n( á = b si y s o lo si b n= a
= 12/2
n
e
IN
A
Si x es un n ú m e ro real y n es un na tura l (n > 2),
e n to n c e s d e fin im o s :
„1/n _ nr
Vx (s u p o n ie n d o q u e n¡x e x is te )
n >2
C u a n d o n = 2, es u s u a l e s c rib ir /a en lu g a r
E je m p lo s :
d e 2/a y lla m a r a -la la ra íz c u a d ra d a d e a. A l
4 1,2 = 2/ 4 = 2
=2
g °,5 = g1/2 = y g = 3
n ú m e ro 3/a se le lla m a la ra íz c ú b ic a d e a.
E je m p lo s :
=4
= 3
27
% 1 = 3, pu e s: 34 = 81
2 7 1/3 = 3/2 7 = 3
16025 = 1 6 1/4 = 4/T 6
3'T _8 = - 2 , pu es: ( ~ 2 ) 3 = - 8
■Í9 = 3, pu es: 32 = 9
3/6 4
8 1 1,4 = 4/8 1
64
4/ l 6 = 2, pu es: 24 = 16
=2
S e a m /n un n ú m e ro ra c io n a l irre d u c tib le y n
un n a tu ra l (n > 2). L u e g o , si x e s un n ú m e ro
real, ta l q u e n/ x e x is te , d e fin im o s .
N ó te se q u e no h e m o s d e fin id o n/a c u a n d o a < 0 y n
es un e n te ro p o s itiv o par. La ra z ó n d e e s to c o n s is te
e n q u e p a ra to d o n ú m e ro real b, b 11 es no n e g a tiv o
c u a n d o n e s par.
E je m p lo s :
P o r e je m p lo : / - 4 ; 4/ - 5; 6V— 1 0 0 ;...; 2rV(—T
•
x m,n =
3 1 2 5 2' 5 = ( 5/3 1 2 5 )2 = (5 )2 = (5 )2 = 25
Á
|
11
EJERCICIOS RESUELTOS
( ~ 2 7 ) 2/3 = ( 3Á ~ 2 7 )2 = ( - 3 ) 2
4 - ^ . {^
lg ebr a
= 2- 5 = ± = ±
2b
1.
C a lc u la r el v a lo r de: [(1 /3 )~ 2 + (1 /2 )~ 4] 1/2
Resolución:
6 4 0 ,6 = 6 4 2 /3 = Á 6 4 2 = 4 2 = 16
A p lic a n d o la p ro p ie d a d d e e x p o n e n te s n e ­
g a tiv o s :
8 5 /3 = ( 3/8 f = (2)5 = 32
[3 2 + 24] 1'2 = [2 5 ]1'2 =
cY lo ta :-------------------------
2.
Con juntos num éricos
¡2 5 = 5
C a lc u la r el v a lo r de:
[(1 /2 ) 2 + 2(1 /3 )~ 2 + (1 /3 )" 3] ° 5
R esolución:
A p lic a n d o la p ro p ie d a d d e e x p o n e n te s n e g a ti­
vos: [22 + 2 (3 )2 + (3 )3] 1'2 = [4 + 18 + 2 7 ]1'2
= [4 9 ]1,2 = Í4 9 = 7
3.
R e d u c ir la e x p re s ió n :
X =
( x m ) 1/m _ ( x 1 + 1/m Jm/( m + 1) _j_ ir y ^ 2 m
Resolución:
¡ U
E = (x )
I
—x
m + 1\ I m \
2m
m
+ x m
E = x - x + x2 = x2
P ro p ie d a d e s :
•
a° = 1
4.
Resolución:
i a \n _ a^
\ b I ~ bn
R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s e q u iv a le n te s :
(a n)m = a nm
•
a '"
— = am n
" /a " = a; n es im p a r
nla T b = a nVb
n / I
"Va^ = a p/n
n/ Á
M =
nJ
2
V
2n + n2
n+2
",
n (n + 2 )
—
V2 n‘
n+ 2
M = nJ — —— = " ! ¥ = n/4
2"
Vb
nH 7 = 2 2 /7
’ =
S im p lific a r: M = n
(a b )n = a nb n
5.
If
a 1/n = J _ = J _
a=1,n
ÁÁ
H a lla r la fra c c ió n d e c im a l e q u iv a le n te a la s i­
g u ie n te e x p re s ió n :
E =
£ ______
¡7 2 + Í5 0 - Í 8
Resolución:
E fe c tu a n d o : E =
/2
73 6 (2 ) + /2 5 ( 2 ) - /4 ( 2 )
12
j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
E =
Ü
6 /2 + 5 /2 - 2 /2
.
= J L = 1
9 /2
9
e
9.
- 2 í 2 n'
S im p lific a r la e x p re s ió n : E ;
2 ( 2 " +3)
Resolución:
6.
R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :
E fe ctu a r: P = 8
R esolución:
E =
2 n x 2 4 - 2 (2 n)
2 n(2 4 —2)
14
7
2 n(1 6 )
16
8
En e je rc ic io s d e p o te n c ia s d e e x p o n e n te s en
c a d e n a s e e m p ie z a las re d u c c io n e s d e la p o ­
te n c ia e x tre m a . A sí:
__4- o.5
1_
40,5
, ^ 4 - 0 .5 _
10.
1_ _ _ J_
2
1 ;2
_
1
= ^
27"
Resolución:
R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :
1
_
= 7 ^ 3
1
1
1
2 7 1'3
3-Í27
3
^
3 n3 3 - 3 ( 3 n)
3 n{2 7 - 3)
E =
— = -------------------- — ¿4
3 ( 3 n)(3 )
3"
11.
-1/3 _
,R t3 — 3 (3 n)
3 ( 3 n 1!
1
27“
S im p lific a r la e x p re s ió n : E
1
_ _1_
8 1/3
C a lc u la r el v a lo r de:
2 X+ 4 + 36 Í2 .X " 2)
E =2 x + s _ 2 ( 2 XX 3) - 4 { 2 X _1) - 6 ( 2 X~ 1)
3/8
P = 1/2 = 0,5
Resolución:
7.
H a lla r el v a lo r d e x en:
=27
2 x (2 4 ) + 3 6 ( 2 x /2 2 )
E =
Resolución:
2 X2 5 - 2 ( 2 X2 3) - 4 ( 2 X)(2 1) — 6 ( 2 x/2 )
R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s e q u iv a le n te s :
3 3 *.3 _
v W = 27
__________ (1 6 )(2 X) + (9 ) ( 2 X)
o3
(3 2 ) (2 X) - (1 6 )(2 X) - (8 )(2 X) - ( 3 ) (2 X)
Id e n tific a n d o e x p o n e n te s :
A
« 2 + 1 /x
„
Oo
1=3
, pe ro: 1 = 3 U
1
3 x/3
=> 0 = 2 + 1/x
E = ^ >
5 (2 ")
c. E = 5
x = -1 /2
12. C a lc u la r el v a lo r de : E
8.
S im p lific a r: E = a b 23»,a 1b~2 l a " 1b
R esolución:
E lim in a n d o ra d ic a le s y e s c rib ie n d o b a jo la fo r­
m a e x p o n e n c ia l:
E = a b 2a - 1/V
[4 '4
V.nl2
Resolución:
T ra n s fo rm a n d o , p a ra e s c rib ir en b a se 4:
(8 4,3P = [(23)4/3] = (24 r n= f(22)2] " = 4 -
2/3a - 1/6b 1/6
R e d u c ie n d o p o te n c ia s d e ig u a l ba se :
E = a
4 3(8 4
( i _ ! _ ! j (2 -2 + 1 )
3 6 b ' 3 6/
R e e m p la z a n d o en la e x p re s ió n p ro p u e s ta :
E =
( 4 3) ( 4 - 2n!
( 4 3) ( 4 - 2n)
4 3 2n
( 4 14 " n)2
( 4 1 ""n)2
4 2 ' 2n
=> E = a lí2b 3''2 = la -Z b 3 = í a b l b
E = b la b
£
^ 3 —2n —(2 —2n) _ ^ 3 —2n —2 + 2n _
^
Á
13. C a lc u la r el v a lo r de: E ;
216 x 353 x 803
Resolución:
15 4 x 1 4 9 x 3 0 2
T ra b a ja n d o c o n el d e n o m in a d o r:
R e s o lu c ió n :
-n ^ ¡ 4 x W
lg e br a
¡
13
= c-i^ 4 1x 4 n'2 = ^ 4 1+n/2
D e s c o m p o n ie n d o e n fa c to re s p rim o s:
E -
n+2U ~ r = n- 4 ( 2 ^ r = 3 2 ^ 7 - 2
(-3 > 7 ) 6 ( 7 " ' 5 '3 ( 2 4 x 5 ) 3
(3 x 5 ) 4 (2 x 7 )9 (2 x 3 x 5 f
n+ 2
= 2 "+ 2 = 2
P or p ro p ie d a d :
E =
R e e m p la z a n d o y d e s c o m p o n ie n d o :
3 S ■. 7 6 - 7 3 v 5 3 x 2 12 x 5 3
334 x 5£ 4 v,.
x 2o9 x. 7 xw 2o2 xw q2
3 w
x c5 2
p — nj 2 x 2
nJTjñ
. p —2
M u ltip lic a n d o p o te n c ia s d e b a s e s ¡guales:
E =
3 6 x 7 9 x 5 6 x 2 12
17. C a lc u la r: E = n.
3 6 x 7 9 x 5 6 x 2 11
E = 2 1/ 22,9
11 _
o 1 2 - 11 _
= 02 1'
E = 2
10n + 15n + 6 n
5~~n + 2 ~ n + 3 ~ n
Resolución:
T ra n s fo rm a n d o el d e n o m in a d o r:
14.
C a lc u ia r el v a ío r de: E = { 3j3/ 3^ }
1 0 n + 15n + 6 n
R e s o lu c ió n :
nl
E s c rib ie n d o ia ra íz p rin c ip a l en la fo rm a e x p o ­
5n
n e n c ia l. E = | 3 ' 3/”' 3 }
,3 -1 1 6
1.
i
i)
1
1
= ( 3 )36 '
3"
6
( 10 " + 15 n + "
E = n |6 n + 1 5 n + 1 0 n
V 5 n x 2 n .x 3 n
3 -1 /6
- W ” (
3 -I/6
+ ±
2n
D a n d o c o m ú n d e n o m in a d o r e n el d e n o m in a ­
d o r d e la raiz:
T ra n s fo rm a n d o lo s e x p o n e n te s :
E = 1(3)3
J_ + ±
1
36
I
l1 0 n + 1 5 R+ 6 n
1
I
na 1 1 0 n + 15" + 6 n
y
(5 x 2 x 3 f
E = nV ( 3 0 )n = 30
= 3 3° = 3 1
E = 3
15. S im p lific a r la e x p re s ió n :
j- EJER C IC IO S PROPUESTOSs j
E = { m _1[m (m 3)1/2]1/
3 <3)(3)
R e s o lu c ió n :
1.
C a lc u le : 33
E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s :
3
i1/5
= > E = m 2m 5 m 5 = m
i
16. C a lc u la r. P = n
+1
55
a ) 73
d) 1
E = m
2.
x
b) 12
e ) 77
C a lc u le A y ES
\-i
c) 75
14
| C
o l e c c ió n
E l Po s tu la n te
9 - 2- V 5 °
a) x
d ) 5x
{ ( 2 - 3~ 1)2
a) 5; 2
d ) 4; 7
.( ( x 5)4 )3
c = '¡
b) 1; jt; 2
e ) 2: 71; 5
c) 1;
el exponente final de: /x"/x7>Tes
cular n.
Si
7/4,
5
(x2)(x4)(x6)(x8)(x10)
(x )(x 3)(x5)(x7)(x9)
12. Si: x 4 0, re d u ce :
a) x 5
d) x 1'
cal­
c) 3
b) 2
e) 5
a) 1
d) 4
71;
c) 3
b) 0
e) 5
a) 2
d) 1
B = 'l n f n
3/3
a ) 3; t i; 3
d) 1; 71; 4
5.
Si: x A 0, s im p lific a r:
C a lc u le A , B y C:
A = -/s + / 6 + /6 + ... ;
4.
c) 3x
c) 2; 3
b) 1; 2
e ) 5; 9
11.
3.
b) x2
e ) 7x
c) 2x
b) x
e) x ‘
13. S i se c u m p le : x x = 6, h a lla r: x 6
a) 12
d ) 12
b) 2
e ) 18
c) 6
C a lc u le el v a lo r d e x, en: 2*-Í2 = 3/ 4 x
a) 2
d ) 1/4
b) - 3 / 2
e ) 5/3
c) 1/2
14. C a lc u le : 4/ ( - 2 ) 47°
a) 1
d) 2
b) - 2
e) 6
c) 3
R educe:
a) 27
d) 20
7.
b) 48
e) 30
E n c o n tra r el v a lo r d e
vn
ine
,(3/3 -2 )3Í3
c) 4 9
15.
n, si d e s p u é s
d e re d u cir:
3TÓ® i
R e d u c e : 13/9 ’
}
a) 1
d ) 12
b) 3
e) 81
c) 9
IN, s e o b tie n e : 4 1
a) 5
d) 1
b) 4
e ) 10
c) 9
16. Si se c u m p le qu e: x ' 1/x = 2 , c a lc u la r: /x
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
Si: x 2 2>!— 2, c a lc u le : x ' /2x
b) ¡5
e) 8
a ) Í2
d) 2
c) 4Í2
í i v 1r£ )
[\ i
2 \41
Si: a a = 2 h a lle : a a3+1
a) 4
d ) 10
b) 2
e ) 12
17. C a lc u le :
r
c) 8
a) 4
d) 4 0
--1 2
/ 1 '_3
+ — I
’ ó 1 8- 1 /f ”
V1 2 5 /
b) 21
e ) 20
1
c) 30
18. SI x x = 5, in d ic a r el e x p o n e n te d e a x en: a x
10. R ed uce:
ix ix /x
a) 5
d) 4
b) 3
e) 7
c) 2
Á
19. Si: x y V O, s im p lific a r A y B:
A -
x
-2
-2
+ y
— ;
B =
a) 1
d) 5
8 x 3y 4
(x y )
4 x ~ 1y 2
a) x 2 + y 2; 2 x 4y ” 6
c) x - y; x J/y
e ) x + y: x 3/y 5
b) x + y; x 3/y 2
d) x + y; x/y
c) 3
b) 2
e) 8
26. S i s e c u m p le qu e: x x
lg e br a
=3
c a lc u le : x 3 + x ”3 + x 6 + x x6
a) 21
d) 4 2
b) 25
e) 28
c) 37
b) 3 /7
e ) 3/91
c) 1/4
20. Si: x v = 2, c a lc u le : <x xV)y ( x 3) V( 4 v )'
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
27. E fe c tu a r: 3
21. E fe c tu a r A y B:
A = ¡2
x
3/ 2
x
a) 1/2
d ) 1/9
6/9 ■4Í9 , Á 9
6¡2 :
20/ 9 „ 5Í9
a ) 2; 3
d) 1 :2
c) 7: 2
b) 5; 2
e ) 4; 2
28. S im p lific a r:
a ) 20
d ) 30
22. In d iq u e el v a lo r re d u c id o de la e x p re s ió n :
( 6/ 7 )
a) 2
d) 9
23 . Si: n
¡3 + .27 + .12
/3
29.
b) 5
e ) 15
e
30.
81 v e c e s
b) 84
e) 90
b) 35
e) 4 0
c) 25
S im p lific a r:
d i ' 3 ' 4 i ) ' 3Í
a) 287
d ) 123
81 x 81 x 8 1 ... 81
c) 12
S ea : x x = 5; halle: (x x)
a) 2 0
d) 28
c )7
IN y a d e m á s :
110 4 )(3 0 3 1( 4 2 3)
(5 4 )(2 5 0 )(6 0 2 )(7 0 2)
+(t
b) 281
e) 4 3 5
c) 23 5
10 v e ce s
c a lc u le : n2 + 1
31. R e d u c e : (5 5 /5 X J 5 5 - 10/5)1 2 ,
a ) 20
e ) 10
b) 30
e ) 15
c) 4 0
2 4 . Si: a a = 2, c a lc u le : 3J (a a2 + aa* a )1/a
3 )1
d) 4
a) 21
d ) 26
32. S im p lific a r:
b) 24
e) 30
c) 25
(1 0 5 )(6 5)(2 4 )
(4 8 2)( 15 4 )(4 3)
c) 3
b) 2
e) 5
a) 2
d ) 4 /3
b) 5/2
e ) 3/8
c) 5/6
25. H a lle el e x p o n e n te fin a l d e x
33. S e a x > 1 y a d e m á s : x x = x x'
b v e ce s
( x a)bc( x bc) V cx ac..'.x acx ac.
( ( X 3 a )b f
c a lc u le : x 3x
x * 0
a) 2
d) 5
b) 3
e) 7
c) 8
|
15
16
34.
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
c) x
a) x7
b) x 3
d) x ~ 5
e) x - 20
o n - 4 _ n v on + 2
35.
S im p lific a r:
—
2 x 2n
; x e 1N
£1)
Ui
s
<
J
u
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
c) 1/3
b) 3
e) 1/5
a) 2
d ) 1/2
; x e ¡R+
S im p lific a r:
a
a
a
b
b
c
b
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
a
a
b
d
a
c
d
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
c
a
a
a
a
a
a
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
c
d
b
a
d
b
b
29 .
30.
31.
32.
33.
34.
35.
c
a
c
b
c
e
d
X
POLINOMIOS
N o ta c ió n m a te m á tic a . Es la q u e p e rm ite d ife re n ­
c ia r la s v a ria b le s d e la s c o n s ta n te s .
P(x; y; z) = 2 a x 3 - 5 b x y z
variables
constantes
E llo s se d e n o m in a rá n té rm in o s s e m e ja n te s y tie ­
n e n c o m o p ro p ie d a d q u e la s u m a d e té rm in o s s e ­
m e ja n te s se re d u c e n a un s o lo té rm in o s e m e ja n te
y s e o b tie n e s u m a n d o lo s c o e fic ie n te s a c o m p a ñ a ­
d o d e la m is m a p a rte v a ria b le , p o r e je m p lo :
S e a n : 4 x 7y; 57ix7y; a b x 7y
=» 4 x 7y + 57ix7y + a b x 7y = (4 + 5 ji + a b )x 7y
E x p re s io n e s a lg e b ra ic a s . S o n a q u e lla s e x p re s io ­
ne s d o n d e la s o p e ra c io n e s q u e s e usa n s o n s o lo
la s d e a d ic ió n , s u s tra c c ió n , m u ltip lic a c ió n , d iv is ió n ,
p o te n c ia c ió n , ra d ic a c ió n e n tre s u s v a ria b le s , e n un
n ú m e ro lim ita d o d e c o m b in a c io n e s .
S o n e je m p lo s d e e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s :
Q (x; y) — ——————+ Í 3 y — 5
71
R (x; y; z ) = 3 + 5x + lo g 2 /xy z
•
S e d e fin e al p o lin o m io c o m o la e x p re s ió n a lg e b ra i­
c a d o n d e lo s e x p o n e n te s d e la s v a ria b le s s o n e n ­
te ro s p o s itiv o s y e s tá d e fin id o p a ra c u a lq u ie r v a lo r
q u e s e d é a s u s v a ria b le s.
S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s :
P (x) = x 2 + 5x - y
.
POLINOMIO
T (x ; y) = ^
+ 6
•
2
4x2
GRADO DE UN POLINOMIO
Vxy
S o n e je m p lo s d e e x p re s io n e s n o a lg e b ra ic a s lla ­
m a d a s ta m b ié n tra s c e n d e n te s :
Es la c a ra c te rís tic a q u e d is tin g u e a u n a fa m ilia d e
p o lin o m io s , e s te g ra d o se h a lla s e g ú n la c a n tid a d
d e v a ria b le s .
K (x) = c o s x - 1
P o lin o m io d e u n a s o la v a ria b le . El g ra d o
e s tá d a d o p o r e! m a y o r e x p o n e n te d e la v a ­
ria b le . P o r e je m p lo :
N (x) = xxX - 1
M (x; y; z ) = 3 + 6 x + lo g x /x y z
R (x) = 1 + x + x 2 + ...
La s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s p u e d e n s e r ra c io n a ­
le s o irra cio n a le s .
N (x: y) = 57i x 2,7
y
P (x) = - 6zx; Q (x: y) = 2 0 0 0 x 2y 7
V e m o s q u e la s e x p re s io n e s N y Q p re s e n ta n d i­
fe re n te s c o e fic ie n te s p e ro la m is m a p a rte v a ria b le
y d ic h a s v a ria b le s e s tá n e le v a d a s al m is m o e x p o ­
ne nte .
es d e g ra d o 6;
N (z) = x 7 +
(v a ria b le z )
-
2 z 2x -
z3
1
e s d e g ra d o 3.
M (x; y ) = 7 x 2y 8 es d e g ra d o a b s o lu to : 10
re s p e c to a x (G R ): 2
re s p e c to a y (G R ): 8
p a rte v a ria b le
S o n e je m p lo s d e té rm in o a lg e b ra ic o :
P (x) = x 4 + 3 x 3 + 7 x 6
M o n o m io s d e v a ria s v a ria b le s . El g ra d o
o g ra d o a b s o lu to se rá la s u m a d e lo s e x p o ­
n e n te s d e to d a s su s v a ria b le s m ie n tra s q u e
su g ra d o c o n re s p e c to a un a v a ria b le o g ra d o
re la tiv o s e rá el e x p o n e n te d e la v a ria b le en re ­
fe re n c ia . P o r e je m p lo :
T é rm in o a lg e b ra ic o . Es a q u e lla e x p re s ió n a lg e ­
b ra ic a e n la q u e no se e n la z a a la s v a ria b le s m e ­
d ia n te la a d ic ió n y la s u s tra c c ió n , p re s e n ta d o s p a r­
te s q u e s o n el c o e fic ie n te y la p a rte lite ra l o p a rte
v a ria b le .
c o e fic ie n te -
M (x; y) = 5 x 2y + ( - 6 x 3y 5) + 1
N (x) = x 2 - 6 x 3 + 5 x 6
T (x ) = x 2 + 2 x 2 + 7 x 2
+
•
P o lin o m io de d o s o m á s té rm in o s co n u n a
v a ria b le . El g ra d o o g ra d o a b s o lu to e s tá d a d o
p o r el m a y o r g ra d o d e lo s m o n o m io s q u e in­
te rv ie n e n , m ie n tra s q u e el g ra d o re la tiv o (G R )
lo d a rá el m a y o r e x p o n e n te d e la v a ria b le en
re fe re n c ia . P o r e je m p lo :
18
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
P(x; y) = 7 x 2y 3 - 4 x 5y6 + 6 x 7y2
S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s m ó nico s:
G ra d o a b s o lu to (G A ):
A (x) = 1 + x2 + 3x; B(x) = 7 - 2x2 + x 3: C (x) = x
m a y o r {5; 11; 9 } = 11
2.
P o lin o m io h o m o g é n e o . E s a q u e l en ei qu e
c a d a té rm in o tie n e el m is m o g ra d o a b so lu to .
S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s h o m o g é n e o s :
A (x; y) = 6 x 4y 2 + 3 x y 5 - y 6, su g ra d o d e h o m o ­
g e n e id a d e s 6.
3.
P o lin o m io c o m p le to . E s a q u e l p o lin o m io qu e
p re s e n ta to d o s sus e x p o n e n te s d e s d e el m a ­
y o r h a sta el d e té rm in o in d e p e n d ie n te .
G ra d o re la tiv o (G R )
G R (x ) = m a y o r {2; 5: 7 } - 7
G R (y ) = m a y o r {3; 6; 2 } = 6
R e p re s e n ta c ió n g e n e ra l d e p o lin o m io s d e una
s o la v a ria b le
P (x) = a 0 + a ,x + a 2x 2 + a 3x 3 + , . . . + a nx n, d o n d e :
a 0; a y ...: a n: c o e fic ie n te s
S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s c o m p le to s :
A (x ) = 7 a 3 x 2 + x + 4 x 3
B(x; y) = x y 2 + x y + x 2 es co m p le to respe cto a y.
C (x; y) = x 3y + x2y2 + x + 2 y 3 es c o m p le to
re s p e c to a x y ta m b ié n re s p e c to a y.
a n: c o e fic ie n te p rin c ip a l, si a n A 0
a 0: té rm in o in d e p e n d ie n te .
Si a n = 1 =■ P (x) se lla m a m ó níco
C a s o s p a rtic u la re s
n = 1: P (x) = a 0 + a ^ p o lin o m io linea l, si a A
0.
4.
P o lin o m io o rd e n a d o . Si lo s e x p o n e n te s de
un a v a ria b le p re s e n ta n un o rd e n ya s e a a s ­
c e n d e n te o d e s c e n d e n te re s p e c to a e s ta v a ­
ria b le s e rá o rd e n a d o .
n = 2: P (x) = a 0 + a ,x + a2x 2, p o lin o m io c u a d rá tico, si a 2 A 0.
n = 3: P (x) = a 0 + a ,x + a 2x 2 + a 3x 3, si a 3 A 0,
p o lin o m io c ú b ico .
S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s o rd e n a d o s :
P(x; y) = y fix 2 + y 4x 3 + y 2x 5 + x 6y es o rd e n a d o
d e s c e n d e n te m e n te re s p e c to a y m ie n tra s qu e
re s p e c to a x lo es en fo rm a a s c e n d e n te .
IGUALDADES DE POLINOMIOS
D o s p o lin o m io s so n ig u a le s o id é n tic o s si s o n del
m is m o g ra d o y p o s e e n el m is m o v a lo r p a ra c u a l­
q u ie r v a lo r a s ig n a d o a su v a ria b le o v a ria b le s (qu e
d e b e n s e r e q u iv a le n te s ).
Es decir, al s e r Id é n tico s p re s e n ta rá n los m is m o s
c o e fic ie n te s en té rm in o s s e m e ja n te s .
P (x) = a0 + a-|X + a2x2 + ... + a nx n es Igual a
Q (x ) = b0 + b-,x + b2x 2 + ... + b nx n o sea,
P(x) = Q (x) =>
a0 =
b0 A a 1 = b-i
A a2 =
b2 A
... Aan =
bn
<=}'lo ia :----------------------------------------------------------------------------------------_
;
•
En to d o p o lin o m io d e d o s o m á s té rm in o s
la s u m a d e s u s c o e fic ie n te s se o b tie n e
e v a lu a n d o el p o lin o m io p a ra x = 1. Es
d e c ir, s u m a d e c o e fic ie n te s e s P (1 ) o
P (1 ; 1) o P (1; 1; 1) (se g ú n la c a n tid a d de
v a ria b le s ).
•
En to d o p o lin o m io su té rm in o in d e p e n ­
d ie n te se o b tie n e e v a lu a n d o d ic h o p o lin o m ió p a ra x = 0. E s d e cir: té rm in o in d e p e n ­
d ie n te : P (0 ) o P (0; 0) o P (0; 0; 0) (se g ú n la
c a n tid a d d e v a ria b le s ).
•
A q u e l p o lin o m io q u e c u m p le s im u ltá n e a ­
m e n te c o n la d e fin ic ió n 3 y 4 se d e n o m i­
na n c o m p le to s y o rd e n a d o s , p o r e je m p lo ,
P(x) = x3 + x2 + 4x - 2 es c o m p le to y o r­
d e n a d o d e s c e n d e n te m e n te m ie n tra s qu e
R (x) = 1 - x - x 2 - x 3 - x 4 es c o m p le to y
o rd e n a d o a s c e n d e n te m e n te .
¡
|
|
|
I
P o r e je m p lo :
P (x) = x (x + 3) + (2 - x )3 es Id é n tico a
I
Q (x) = x 2 + 6; p u e s P (1 ) = Q (1 ); 7 = 7
R (x) = 2 x 2 - 13x + 2 2 es id é n tic o a:
T (x ) = 22 - 13x + 2 x 2 y a q u e los c o e fic ie n te s de
té rm in o s s e m e ja n te s son ig u a le s.
POLINOMIOS ESPECIALES
1.
P o lin o m io m ó n ic o . E s un p o lin o m io d e una
v a ria b le q u e tie n e c o e fic ie n te p rin c ip a l 1 se le
d e n o m in a m ó n ico .
!
Á
|
19
E je m p lo s :
1.
Si P(x) = 3x + x2 + 6, c a m b ie m o s a x por (x - 1):
En to d o p o lin o m io c o m p le to y o rd e n a d o
el n ú m e ro d e té rm in o s es su g ra d o m á s
uno, el p o lin o m io P a n te rio r e s d e g ra d o 3
v e m o s q u e su c a n tid a d d e té rm in o s es 4
el p o lin o m io R e s d e c u a rto g ra d o y p o se e
c in c o té rm in o s .
=> P (x - 1) = 3(x - 1) + (x - 1)2 + 6
=> P (x - 1) = 3x - 3 + x 2 - 2x + 1 + 6
A. P (x - 1) = x2 -t- x + 4
2.
SI Q (x) = x° + x 7 + 1, h a lle m o s Q ( - x ) , c a m ­
b ia n d o x p o r - x :
E je m p lo :
=* Q ( —x) = ( —x )5 + ( - x ) 7 + 1
S ie n d o P (x - 1) = x 2 + 4, h a lla r su té rm in o in d e ­
p e n d ie n te m á s la s u m a d e c o e fic ie n te s . A p a re n te ­
m e n te e s te e je m p lo p a re c e ob vio , p u e s s e p u e d e
p e n s a r q u e su té rm in o in d e p e n d ie n te e s 4 y la
s u m a d e c o e fic ie n te s e s 1 + 4 = 5, pe ro ¡cuidado!
la v a ria ble es (x - 1) lu e g o p a ra c a lc u la r la s u m a de
c o e fic ie n te s h a lle m
(1 ) pa ra x - 1 = 1 =» x = 2
.-. P (1 ) = 2 2 + 4 = 8, a s im is m o el té rm in o in d e p e n ­
d ie n te : P (0) p a ra x - 1 = 0 => x = 1
.-. Q ( - x ) = - x 5 - x 7 + 1
P (0) = 12 + 4 = 5
3.
Si P (b) = 4 b 2 - 8 b 3 + 4 b - 1, h a lle m o s P (b/2);
c a m b ia n d o b p o r b/2:
a . P (b /2 ) = b 2 - b 3 + 2 b - 1
4.
CÁLCULO DE VALORES NUMÉRICOS Y CAMBIO
DE VARIABLE EN POLINOMIOS
V a lo r n u m é ric o . El v a lo r n u m é ric o es el re s u lta d o
q u e se o b tie n e al re e m p la z a r la v a ria b le d e un p o ­
lin o m io p o r a lg ú n nú m e ro .
Si P (x - 1) = x 2 + 9, h a lle m o s P (x)
Lo o b te n d re m o s c a m b ia n d o a x p o r (x - 1)
¡C u id a d o ! no ig u a le así: x = x - 1 p u e s lo
p u e d e c o n fu n d ir y lle g a rá en a lg u n o s c a s o s a
o b te n e r a b su rd o s.
P ara re a liz a r c o rre c ta m e n te el c a m b io d e v a ­
ria b le v e a m o s d o s fo rm a s :
La v a ria b le q u e se d e s e a c a m b ia r (en e s te
c a s o x - 1) se fo rm a en el s e g u n d o m ie m ­
bro m e d ia n te un a rtificio .
A sí: P (x - 1) = (x - 1 + 1)2 + 9 re a liz a n d o
el c a m b io : (x - 1) p o r x o b te n d re m o s :
P (x) = (x + 1)2 + 9
E je m p lo :
Si P (x) = x b ^ 1 - 2 x b + 8; b e IN h a lle m o s P(2),
lo o b te n d re m o s c u a n d o su v a ria b le se a 2 es
d e c ir x = 2.
=» P (x) = x 2 + 2x + 1 + 9
P (2 ) = 2 b T , - 2 / 2 b + 8
A. P (x) = x 2 + 2 x + 10
.-. P (2 ) = 8
La v a ria b le q u e se d e s e a c a m b ia r, es d e ­
cir, (x - 1) se ig u a la a un a le tra (d istin ta
d e x) lle v a m o s to d o a e s ta n u e v a le tra, es
d e cir: x - 1 = b =* x = b + 1 re e m p la z a n d o
o b te n d re m o s P (b ) = (b + 1 )2 + 9 o p e ra n d o
P (b ) = b2 + 2 b + 1 + 9
Si Q (x: y) = 2 x 2 - 3 x y 2 + y; h a lle m o s Q (3; - 1 ) ,
lo o b te n d re m o s c u a n d o la c o le c c ió n (x; y) s e a
ig u a l a (3; - 1 ) , e s decir, x = 3; y = - 1
Q (3; - 1 ) = 2 (3 )2 - 3 ( 3 ) ( - 1 ) 2 + ( - 1 )
a.
lg e br a
Q (3; - 1 ) = 8
P (b) = b2 + 2b + 10
CYLata¿:-----------------------------------I
i
¡
En to d o p o lin o m io c o n s ta n te s ie m p re s e ob tie n e n el m is m o v a lo r n u m é ric o p a ra c u a lq u ie r v a lo r d e su v a ria b le , es decir, si:
P (x) = k => P (x 0) = k, V x 0
a . P (x) = x 2 + 2x + 10
.
I
\
C a m b io d e v a ria b le . C o n s is te e n re e m p la z a r v a ­
ria b le s p o r o tra s v a ria b le s .
CV L o t a / : - - -
i
I
;
;
------------------
A l re a liz a r un c a m b io d e v a ria b le en el p o lin o m ió su g ra d o ; té rm in o in d e p e n d ie n te ; c o e fic ie n te s no se a lte ra n . E s d e cir, o b te n d re m o s
p o lin o m io s e q u iv a le n te s .
.
;
;
;
20
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
3.
E je m p lo s :
1.
2,
r - 15 + 7 x í > - p - i 6
s e a c o m p le to y o rd e n a d o en fo rm a d e s c e n ­
d e n te .
Resolución:
C o m o el p o lin o m io e s tá o rd e n a d o en fo rm a
d e s c e n d e n te los e x p o n e n te s va n d is m in u y e n ­
d o d e s d e el p rim e ro h a sta eí te rc e ro . A d e m á s
es c o m p le to , e n to n c e s el m e n o r e x p o n e n te
q u e e s ig u a l a c e ro (p o r s e r té rm in o in d e ­
p e n d ie n te ) c o rre s p o n d e al te rc e ro , el a n te rio r
ig ua l a 1 y el p rim e ro ig u a l 2, así:
Si: P (x) = 2 x + 6 A Q (x + 1) = 2 x + 8
v e m o s q u e Q (x + 1) = 2(x + 1) + 6
En e s te c a s o P (x) y Q (x) s o n e q u iv a le n te s
s e g ú n la no ta an te rio r. S e ría e rró n e o p la n te a r
q u e P (x) e s Id é n tico a Q (x + 1) p u e s p o se e n
d ife re n te s v a ria b le s .
b - p + 16 = 0
...( 1 )
m - p + 15 = 1
...( 2 )
m -1 8 = 2 = > m = 2 0
En (2): 2 0 - p + 15 = 1 => p = 3 4
En (1): b - 3 4 + 16 = 0 = s b = 1 8
EJERCICIOS RESUELTOS
1,
H a lla r m, p y b pa ra q u e el p o lin o m io :
P (x ) = 5 x m - 13 - 15 x n'
P (x) = 3x4 al re e m p la z a r x p o r z: P (z) = 3 z 4 o
re e m p la za n d o x po r (x - 1): P(x - 1) = 3(x - 1 )4
o re e m p la z a n d o x p o r x6: P (x 6) = 3(x°)4: to d o s
e llo s p o s e e n el m is m o g ra d o 4: c o e fic ie n te
p rin c ip a l 3. es decir, h e m o s o b te n id o p o lin o ­
m io s e q u iv a le n te s ,
El g ra d o del s ig u ie n te m o n o m io es 8:
4.
3x6
Si: f(x + 1) = 3x + 7; h a lla r: f(x - 2)
Resolución:
9 x 4 3/ x m f 2 x ^
f(x + 1) = 3x + 7
| + 3; + 4 ]
h a lla r el v a lo r d e m.
Resolución:
Luego:
E lim in a n d o ra d ic a le s:
(3 x 6)5/ 9 ( X4/5)x m/15( 30/ 2 x )m/3°
5.
R e d u c ie n d o p o te n c ia s d e ig ua l base:
_ 4 m
3
l 30J 2 x
f(x - 2) = 3(x - 2 ) + 4 = 3x - 6 + 4
f(x - 2) = 3x - 2
m
H a lla r m /n si el p o lin o m io :
P (x; y) = 3 x my n(2 x 2m 1 1 + 7 y 6n + 1) e s h o m o ­
5 + 15 + 3ü
géneo.
D e a c u e rd o al e n u n c ia d o d e l p ro b le m a , la e x ­
p re sió n es d e g ra d o 8, es de cir:
Resolución:
6 + —+ — + —
5 15
30
P (x; y) = 6 x 3m 4 1y n + 2 1 x :>l y 7n T 1
m = 12
E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s :
t,
t2
S i : f ( x ) = ^ , x =é 1, c i= - 1 ; h a lla r el v a lo r
C o m o e s h o m o g é n e o , se c u m p le :
de: f[f(x )].
G A (t-i) = G A (t2) => 3m + 1 + n = m + 7 n + 1
Resolución:
3m - m = 7 n - n => 2 m = 6n
X+ c
X- 1
P o r d a to : f(x ) =
1
X -
E fe ctu a n d o o p e ra c io n e s y re d u cie n d o :
x (c + 1l
f[f(x)] =
(c + 1)
= x
1
+ c
m _ 6. m
n _ 2'
o
n
H a lla r la s u m a d e c o e fic ie n te s del s ig u ie n te
p o lin o m io :
4
bCa+t) i o ~
K2
y ' 2 + — x 3 y^3 + —- ybd
P (x; y) = ax + bx
b
a
si es h o m o g é n e o .
Á
Resolución:
Si: P (x — 1) = 2x + 1
h a lla r: Q (x + 1)
S i es h o m o g é n e o , se c u m p le :
G A (t,) = GA(12) = G A (t3) = G A (t4)
(p)
(y )
Q (x ) =
(P )
12
16 =>
:
=* Q (x) = x - 2
=> Q (x + 1) = (x + 1) - 2
.-. Q (x + 1) = x - 1
H a c ie n d o : (p) = (y)
Á '¡ aTb
P [Q (x)¡ = 2 x - 1
C o m o P [Q (x)¡ = 2x - 1, 2 Q (x ) + 3 = 2 x - 1
(«
...
..(a - b)/b .
j” EJERCICIOS PROPUESTOS
ab
a
.
b d'b
i
lb/
1.
S i f(x ) = x 41 + 5 1 2 x 32 + 3; h a lla r: f ( —2)
=4 = 2
d e aq uí: a /b = 2 =» a = 2b
(e)
2.
R e e m p la z a n d o (e) en (p)
2 b = b2
Si: f(x ) = x " + 2 4 3 x 94 + 2x + 6; ha lla r: f ( - 3 )
8 )1
d) 4
b = 2
c) 3
b) 2
e) 5
a) 1
d) 4
a/b
(2 b ) = (b )21
|
.( 0 )
S u s titu y e n d o (p) en (9) se ob tie ne :
„a /b
21
P (x - 1) = 2x + 1
[ :<2 ; + 3 t
H a c ie n d o : (a ) = (<t>)
a b = ba =■ a = ba'b
|
Resolución:
a b = bi a a " b + 12 : 3 + 13 = ba
(a )
A
lg ebra
b) 0
e) 5
c) 3
En (e): a = 2 (2 ) = 4
La s u m a d e c o e fic ie n te s del p o lin o m io es:
3.
a ) 10
d ) 13
a + b + a /b + b2/a = 4 + 2 + 4 /2 + 4 /4
= 6 + 2 + 1 =9
7.
Si: P (x 3 + 5) = x 6 + x 3 + 7: c a lc u la r: P (7)
4.
S i la e x p re sió n :
b ) 11
e ) 14
S i: P (x 5 + 2 ) = x 10 + x 5
a ) 10
d) 5
P (x :y :z ) — X2y " 4 JJ y 3z 3x 3v 132 + x 3z 3y 3 x ' 32 + X3y 3z 3x + 3y
c) 12
a
3: h a lla r: P (3)
b ) 21
e ) 51 2
c) 3
e s h o m o g é n e a , h a lla r su g ra d o a b so lu to .
Resolución:
5.
S i es h o m o g é n e a , lo s g ra d o s a b s o lu to s de
c a d a té rm in o d e b e n s e r ig u a le s, e s d e cir:
3 + 3 + 3y + 3z
x + y +z 43
a ) 10x + 1
d ) 10x - 6
3 + 3 + 3x + 3z
x + y + z + 3
3 + 3 + 3x + 3y
x + y + z + 3
6.
7.
(x n ' 2i3x n f4
Sí:
G A (P )
6 (3 + x + y + z !
3 (x + y + z + 3 )
= G A (P )
.-. G A (P ) = 2
c) 10x - 5
b) 3x - 1
e ) 6x + 3
c) 6x - 3
es d e 6.° g ra d o ; h a lla r: n
( x nf
3 + 3 + 3 y + 3 z +- 3 + 3 + 3 x + 3 z + 3 + 3 + 3 x + 3y
x + y + z + 3 + x + y + z + 3 + x + y + z + 3
b) 10x + 3
e ) 10x + 6
Si: F (x + 4 ) = 2x + 3: h a lla r: F (3 x + 1)
a ) 2x + 1
d )6 x + 2
= G A (P )
U s a n d o la p ro p ie d a d d e s e rle d e ra z o n e s
ig u a le s:
A p a rtir d e : P (3 x + 1) = 1 5 x — 4; h a lla r:
P (2 x + 3)
8 )1
d) 4
Si
b) 2
e) 5
c) 3
( x m + 2)4 ( x rnr 3
— es a e 4 ' g ra d o ; h a lla r; m
( x 3 )2
22
¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
a) 1
d) 4
9.
*c ) 3
b) 2
e) 5
El g ra d o d e M (x )N (x ) es 10 y el g ra d o de
n2), en:
(m + n - 3 )x 2y + (m
M 3( x ) - N 2(x)
a) 2
d) 8
b) 5
e ) 12
c) 6
a) 1
d) 5
a) 10
d ) 15
c) 3
b) 2
e) 7
Si se c u m p le : 6 x 2 - 10x(a
c a lc u la r: a + b
b) 12
e ) 17
n - 2)x y = 0
c) 6
b) 4
e ) 10
17. Si el p o lin o m io :
10. E l g ra d o d e M ( x ) N ( x ) e s 7 y e l g ra d o d e
M(x) a N (x) es 3. C alcular el grado de: M (x) - N(x)
11.
16. H a lla r: (m 2
M ( x )N 3( x ) es 16. C a lc u la r el g ra d o de:
a) 7
d ) 21
c) 3
b) 2
e) 5
a) 1
d) 4
x)
ee
P (x; y: z) = x ab + x 7 y ba + x 2Qz 12
e s h o m o g é n e o , c a lc u la r: (a
a )1
d) 16
b x 2 + 10x.
b )2
c) 9
b) 3
e ) 25
S a b ie n d o q u e el p o lin o m io :
P (x) = (a x + b )(x - 1) + c (x 2 + x + 1) es Id én­
c) 13
tic o a: Q (x) = 2 x 2 + 5x - 1, c a lc u la r: a + b - c
12 . SI se c u m p le : x2 - 2 x (a - x) = b x 2 + 8x, c a lc u -
a) 1
d )2
b ) -1
e )3
c) 0
lar: a - b
a) - 3
d) - 7
b) - 4
e) -1
19. C a lc u la r: m + n + p, si
c) - 5
1y5
x m + ’ y 2 + x 2py q -
P (x; y) = 5 x m ‘ 2
es h o m o g é n e o d e g ra d o 7
13. H a lla r m - n - p, si se s a b e q u e el p o lin o m io :
x m - n + 15 + x p - n + 6 0S o o m _
P (x) — x m ~ 10
p le to y o rd e n a d o e n fo rm a d e s c e n d e n te .
a) 2
d) 8
b) 4
e ) 10
c)
6
a) 5
d ) 15
c) 8
b) 7
e) 18
20. Si: P (x + 3) = 5x + 7
P [Q (x ) - 3] = 15x + 2, c a lc u la r: P [Q (1 )]
14. H a lla r a + b + c, si se s a b e q u e el p o lin o m io :
a) 32
d ) 81
b) 35
e) 120
c) 37
e s c o m p le to y
+ x“
P(x)
o rd e n a d o e n fo rm a d e s c e n d e n te .
a) 1
d) 5
b) 2
e) 7
c) 3
15. H a lla r m + n - p, en:
(m - n - 2 )x 4 + (m + n ~ 5 )x 2 + (p - 1) s 0
1.
2.
3.
4.
c
b
d
d
5.
6.
7.
8.
e
c
d
b
9.
10.
11.
12.
b
d
d
d
13.
14.
15.
16.
c
d
d
c
17.
18.
19.
20.
c
a
b
a
PRODUCTOS NOTABLES
POLINOMIO PRODUCTO
E je m p lo :
A p a rtir d e la m u ltip lic a c ió n a lg e b ra ic a A (x )B (x ) d e ­
fin im o s el p ro d u c to c o m o el re s u lta d o d e la m u l­
tip lic a c ió n a lg e b ra ic a , es decir, s ie n d o A (x ) y B (x)
e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s o b te n d re m o s :
Siendo P(x) = (x3 + 2)3: Q(x) = (x4 - 1 )5 y R(x) = (x7 - 2 f
hallar el grado de P (x)Q (x) + Q (x)R (x)
C (x ) d o n d e : A (x )B (x ) = C (x)
R e c o rd e m o s q u e el g ra d o d e la s u m a e s ta rá d a d o
p o r el g ra d o d e l m a y o r s u m a n d o , e n to n c e s h a lle ­
m os:
Si A (x ) y B (x) s o n p o lin o m io s C (x) se d e n o m in a rá
p o lin o m io p ro d u c to c u m p lié n d o s e que:
Resolución:
G [C (x )] = G [A (x )] + G [B (x )]
G ra d o d e P (x )Q (x )
P a ra el c á lc u lo d e l p ro d u c to u s a re m o s la le y c o n ­
m u ta tiv a y d is trib u tiv a d e lo s rea les:
G ra d o d e Q (x )R (x )
= G [P (x )] + G [Q (x)] = 2 x 3 + 4 x 5 = 26
a b = ba; a (b + c) = ab + ac
E je m p lo :
= G [Q (x )] + G [R (x )j = 4 x 5 + 7 x 2 = 34
L u e g o el g ra d o de la s u m a in d ic a d a s e rá 34.
M u ltip lica r:
A (x ; y) = 2 x 2y + 3y: B(x; y ) = 5x + 2 x 4y2
O b te n d re m o s :
A (x; y )B (x ; y) = (2 x 2y - 3 y )(5 x + 2 x 4y2)
= 10 x 3y + 4 x 6y 3 + 15xy + 6x4y3
P (x) = (x 2 - x + 1): Q (x) = x 3 + 4
O b te n d re m o s :
P (x )Q (x ) = (x - x + 1)(x3 + 4)
PRODUCTO NOTABLE
E s el p ro d u c to q u e al a d o p ta r c ie rta fo rm a p a rtic u ­
lar, e v ita q u e se e fe c tú e la o p e ra c ió n d e m u ltip li­
c a c ió n e s c rib ie n d o d ire c ta m e n te el re s u lta d o . Los
p rin c ip a le s p ro d u c to s n o ta b le s son:
•
T rin o m io c u a d ra d o p e rfe c to . El d e s a rro llo
de un b in o m io al c u a d ra d o n o s d a el c u a d ra ­
do de l p rim e r té rm in o , m á s el d o b le del p rim e r
té rm in o p o r el s e g u n d o té rm in o , m á s el c u a ­
d ra d o d e l s e g u n d o té rm in o .
(a + b )2 = a2 + 2 a b + b2
P (x )Q (x ) = x 5 + 4 x 2 - x4 - 4 x + x 3 + 4
(a - b )2 = a 2 - 2 a b + b2
T e o re m a
Si el g ra d o d e P (x) es a c o n (a > 1), el g ra d o d e
P n(x) s e rá n a c o n n e IN, n > 1
C o n s e c u e n c ia s :
a 2 + 2a + 1 = (a + 1)2
•
P ru e b a :
P o r s e r n 6 IN y n > 1, P n(x) e s tá d e fin id a c o m o el
p ro d u c to Pn(x) = P (x )P (x )P (x ) ... P (x)
a 2 - 2a + 1 = (a - 1 f
a 2 + b2 = (a + b )2 - 2a b
a 2 + b2 = (a - b )2 + 2a b
Id e n tid a d e s d e L e g e n d re
n veces
(a + b )2 + (a - b )2 = 2 (a 2 + b2)
lu e g o el g ra d o d e P (x ) se rá la s u m a d e lo s g ra d o s
d e lo s p o lin o m io s ig u a le s a P (x), es de cir:
(a + b )2 - (a - b )2 = 4 a b
G P n(x) = G [P (x)] + G [P (x)] + G [P (x)] + ... + G [P (x)]
(a + b )4 - (a - b )4 = 8 a b (a 2 + b2)
Id e n tid a d d e L a g ra n g e
. G [P n(x)] = n G [P (x )]
(a x + by )2 + (a y - b x )2 = (a 2 + b2)(x 2 + y 2)
C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
D ife re n c ia d e c u a d ra d o s . El p ro d u c to d e d o s
b in o m io s u n o q u e p re s e n ta la s u m a d e 2 e x ­
p re s io n e s y el o tro la d ife re n c ia d e la s m is m a s
e x p re s io n e s es el c u a d ra d o d e la p rim e ra , m e ­
nos el c u a d ra d o d e la se g u n d a .
p o r el s e g u n d o al c u a d ra d o , m á s el c u b o d e l
s e g u n d o té rm in o .
b)3 =
a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b3
-b )3=
a 3 - 3 a 2b + 3 a b 2 - b3
(a +
(a
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
C o n s e c u e n c ia s :
(a m + b n)(a m - b n) = a 2m - b 2n
(a + b )3 = a 3 + b 3 + 3 a b (a + b)
(a - b )3 = a 3 - b 3 - 3 a b (a - b)
C o n s e c u e n c ia s :
•
x - y = ( I x + / y ) ( / x - / y ) : x e I R +; y e I R +
(a - b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a 2n + h 2")...
nfl + 1
ofl + 1
= a2 - b2
D e s a rro llo d e un trin o m io al c u a d ra d o . Al
d e s a rro lla r un trin o m io al c u a d ra d o se o b tie n e
la su m a d e los c u a d ra d o s d e lo s tre s té rm in o s ,
m á s el d o b le d e la s u m a d e lo s p ro d u c to s to ­
m a d o s d e d o s en d o s (p ro d u c to s b in a rio s ).
•
•
(a + b )3 + (a - b )3 = 2 a (a 2 + 3 b 2)
(a + b )3 - (a - b )3 = 2 b (3 a 2 + b 2)
S u m a y d ife re n c ia de c u b o s
(a - b )(a 2 + a b + b2) = a 3 + b3
(a - b )(a 2 + a b + b2) = a 3 - b3
PROPIEDADES AUXILIARES
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(a b + ac + be)
C o n s e c u e n c ia :
(ab + ac + b e )2 = (a b )2 + (a c )2 + (b e )2 +
2 a bc(a + b + c)
M u ltip lic a c ió n d e b in o m io s co n un té rm in o
en c o m ú n . A l m u ltip lic a r d o s b in o m io s con
un té rm in o e n c o m ú n se o b tie n e : el c o m ú n al
c u a d ra d o , m á s el p ro d u c to d e la s u m a d e no
c o m u n e s p o r el c o m ú n , m á s el p ro d u c to d e no
co m u n e s , es decir:
D e s a rro llo d e un trin o m io al c u b o
(a + b + c )3 = a 3 + b 3 + c 3 +
3 (a + b )(b + c) (c + a)
(a + b + c )3 = a 3 + b 3 + c 3 +
3(a + b + c )(a b + be + ca ) - 3abc
P ro d u c to d e m u ltip lic a r b in o m io s c o n un
té rm in o c o m ú n
(x + a )(x + b)(x + c) = x 3 + (a + b + c )x 2 +
(a b + be + c a )x + abe
(x - a )(x - b )(x - c) = x3 - (a + b + c )x 2 +
(ab + be -i- c a )x + ab e
(x + a )(x + b) = x2 + (a + b )x + ab
Id e n tid a d trin ó m ic a (A r g a n ’d)
C o n s e c u e n c ia s :
(x + a )(x - b) = x2 + (a - b)x - ab
(x - a )(x - b ) = x 2 - (a + b)x + ab
• (x m + a )(x m + b) = x 2!TI + (a + b )x nl + ab
D e s a rro llo d e un b in o m io al c u b o . A l d e ­
s a rro lla r un b in o m io ai c u b o s e o b tie n e : el
c u b o d e l p rim e r té rm in o , m á s el p ro d u c to
d e l trip le d e l p rim e ro al c u a d ra d o p o r el s e ­
g u n d o , m á s el p ro d u c to d e l trip le d e l p rim e ro
(X 2 + x + 1 )(x2 - X + 1) = X4 + x 2 + 1
(x 2 + x y + y 2)(x 2 - x y + y 2) = x 4 + x 2y 2 + y 4
En g e n e ra l:
(x2m + x my n + y 2n)(x 2m - x my n + y 2n) =
X4m _|_ x 2m y 2n - f y 4n
Id e n tid a d e s ad ic io n a le s (id e n tid a d de G au s s)
a3 + b3 + c3 - 3abc =
(a + b + c )(a 2 + b2 + c 2 - a b - be - ca)
Á lgebra ¡
R esolución:
(a + b )(b + c )(c + a ) + a b e =
(a + b + c )( a b + b e + c a )
.
•
x4 + 4 = (x2 + 2 x + 2 )(x 2 -
H a c ie n d o el c a m b io d e v a ria b le :
2x + 2)
A = k
x9
Ig u a ld a d e s c o n d ic io n a le s
Si: a + b + c = 0
S e v e rific a n :
b3
A d e m á s : k + 1/k + 2 = 7 + 2
ik a
9 => / k + - 1
=
ik
ik
3
=
...( 1 )
S e pide : E = 4ik + 4J J
Ik
a3
c 3 = 3abc
•
( a 2 + b 2 + c 2 )2 = 2 ( a 4 +
a
A k A - = 7
k
c a )2 = (ab )2 + (be)2 + (c a )2
a
•
a
= 1
k
a
a 2 + b2 + c2 = - 2 ( a b + be + ac)
(ab A be
25
/ a 2 + b 2+ c 2
b 4+
a3 + b3 +
c3
c4)
\
a 5 + b 5+ c5
E le v a n d o al c u a d ra d o : E 2 = ¡ i k
l
P e ro d e (1): E 2 = (3
I a 2 + b 2 + c 2 j| a 5 + b 5 +
c5 \
a 7 + b 7+ c7
A
A
-L
Vk
A
2
2 ) => E = Í5
E v a lu a r la s ig u ie n te e x p re s ió n :
(x - 3 y )2 - 4 y (2 y - x) A 8
S i s a b e m o s qu e: (x - y) = 8
1 EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Resolución:
L la m a n d o E a la e x p re s ió n d a d a y e fe c tu a n d o
o p e ra c io n e s :
E = x 2 - 6xy a 9y2 - 8y2 A 4xy a 8
H a lla r el e q u iv a le n te d e la e x p re s ió n :
1 + x (x + 1)(x + 2 )(x a 3)
Resolución:
E = x 2 - 2xy
E fe c tu a n d o lo s p ro d u c to s c o n v e n ie n te m e n te :
1 a x ( x A 1)(x
+ 2 )(x
+
3)
f
t
t
t
1
+ (x2
+ 3x)(x2 + 3x
2)
+
R e a liz a n d o el c a m b io d e v a ria b le :
x 2 + 3x = k
L u e g o : 1 + k(K +
= 1 + k2 +
2)
2k
= (k + 1 f
R e e m p la z a n d o en : (k + 1)2
2.
R e d u c ir:
(x +
y
8
A
A
8 = 72
H a lla r el v a lo r q u e a s u m e la e x p re s ió n :
x 2 a y2 x a 2y
2y
U
xy
2x
x a 3y
x
y
x
4
a
y
Resolución:
+ z )3 + 2 (x 3 +
3(x +
y
y3
+ z 3) -
+ z)(x2
a
y2
+ z 2)
Resolución:
H a lla n d o la re la c ió n e n tre x e y d e la c o n d ic ió n
d e l p ro b le m a , se tiene :
1 , 1 _
X
4
yx A y
^ (y + x > _
15
xy
4___
( x a y)
D e s a rro lla n d o p o r p ro d u c to s n o ta b le s y s im ­
p lific a n d o té rm in o s s e m e ja n te s :
(x
3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 + 3 x 2y A 3 x z z + 3 y 2x + 3 y 2z +
x2 - 2xy
3 z 2x a 3 z 2 y + 6 x y z - 3 x 3 - 3 y 3 - 3 z 3 - 3 x y 2 -
F in a lm e n te : x ~ y = 0 =>x = y
R e e m p la z a n d o en la e x p re s ió n cu yo v a lo r se
pide , se tie n e :
3xz2 -
3yx2 -
3yz2 - 3zx2 -
3zy2 = 6xyz
9
3.
y2
R e e m p la z a n d o : E = 8 2
s i: — A — = •
(x 2 + 3x + 1)2
a
E = (x - y) 2 A 8
P e ro p o r c o n d ic ió n : (x - y) = 8
S a b ie n d o q u e
—
x9
la e x p re s ió n : 4 ~
v x9
—
a
a
+
= 7 ,
h a lla r el v a lo r de
A
y )2 = 4 x y =» (x
A
A
y)2 - 4 x y = 0
y 2 = 0 =» (x -
U = x2 + x 2 + _x a 2x
x (x )
2x
U = 2 a ~ a
— = 4
2 2
y )2 =■- 0
x
2x
3x
a
26
| C o le c c ió n 1 E l P o s t u l a n t e
6.
S im p lific a r la e x p re s ió n :
2v z
gx2
E =
b) - 1
6 )1
a) - 2 5
d ) 25
6.
2 v 2y 2 + g x 2
R e d u c ir:
(x 2 + 8 x + 11)2 - (x + 1)(x + 3 )(x + 5 )(x + 7)
a) 2
d ) 16
g*
s a b ie n d o qu e: y - z = R
Resolución:
7.
T ra b a ja n d o c o n el ra d ic a n d o :
b)
e)
b) 4 c 2
e) 1 6 c2
c) 9c
E fe c tu a r: (a + 3b + c )2 + (a + 2 b + c)2 2 (a + b + c )(a + 4 b + c)
a) 5a 2
d) 3a2
9.
4 c) 8
20
R e d u c ir: (a + b + 5 c )2 + (a + b + 4 c )2 2 (a + b + c )(a + b + 8c)
a ) c2
d) 25c2
8.
c) 4 9
b) 5 b 2
e) 4 a 2
c) 5 c 2
Si: a + b + c = 0; re d u cir:
(2a + b + c )3 + (a + 2 b + c )3 + (a + b + 2 c )3
a) - 3
d) 3
[ "
1.
e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ' "
E fe ctu a r:
(x
+
3 )2
+
(x
-
]
c)
b) - 1 6
e ) -2 2
/ a + 2 b \2
i
c
r
4 )(x -
3.
)2 + ( x + 4 ) 2 -
a) - 4
d) -1
b) - 3
e) 0
(x +
c)
5)2
Si: - + - =
x
y
calcular:
c) 10
4
x
+y
2
2
R
xy
2x
b) 2
e) 5
a) 1
d) 4
c) 3
E fe ctu a r:
a) 1
d) 4
b) 2
e )5
c) 3
R e d u c ir: x 2 - (3 x + 1 )(3 x + 2) + 2 (2 x + 1 f
a) - 2 x
d )x
5.
I
b) 8
e) 14
-2
4 x 2 - (2x + 1)2 - 4 (x + 1)2 + (2 x + 3 )2
4.
a + 3c \2 + / 2 b + 3 c \2
b
d) 12
R ed ucir:
(x + 3 )2 - (:
l
a) 6
5)
—18
11.
2.
c) - 3 a b c
10. Si: a + 2 b + 3c = 0; re d u cir:
3 )2 (x -
a) - 1 4
d) - 2 0
b) 3 a b c
e) 0
b) - x
e)
c) 0
2x
E fe ctu a r:
(x + 1)(x - 2 )(x + 3 )(x - 4 ) - (x 2 - x - 7 )2
12. Si: (x + y )2 = 4xy
c a lc u la r: P =
x2 + y2
x + 3y
xy
2x
b) 2
e) 5
a) 1
d) 4
c) 3
13. S im p lific a r:
R =
(a + b )(a 3 - b 3) + (a - b )( a 3 + b 3 )
2a4 - 2 b 4
Á
a) O
d) 3
c )2
b) 1
e) 4
a) 1
d )4
c) 3
b) 2
e) 5
. x + y + xy
15. Si
xy
i
1
\x
b) 2
e )5
c) 3
(X 6 + 1)
a) 1
d) 4
1
b) 2
e) 5
c) 3
22. C a lc u la r: P = 16V(3 )(5 )(1 7 )(2 5 7 ) + 1
+ -b
y
b) 2
e) 5
a) 1
d) 4
27
21 . C a lc u la r:
P = (1 - x)(1 + X + x 2)(1 + x)(1 - X + X 2) +
x + y + 4
x + y
c a lc u la r: P = x y
¡
20 . Si: a + b + c = O
c a lc u la r: P = (a + b )(a + c )(b + c) + ab e + 5
(x + y)2 - (x - y)2
14. S im p lific a r:
xy
a) 1
d) 4
lg e b r a
a) 1
d) 4
c) 3
c) 3
b) 2
e) 5
23 . S¡! 9 + b + c — O
16.
Si: Á + .y
Y x
c a lc u la r: R ¡
(3 a + b)3 + (3 b + c )3 + (3 c + a )3
(3 a + b )(3 b + c )(3 c + a )
c a lc u la r: R = x 3y 3
a) 1
d) 4
17.
Si: a = Í 2 + 1
b) 2
e) 5
24.
b = ¡2 - 1
A
b )2
e) 5
a) 1
d) 4
c) 3
Si: a + b + c = O
c a lc u la r: P =
c a lc u la r: P = a 2 + b2 + 3a b
a) 2
d) 7
18.
19.
Si: x - 1 = Á 2
b) 3
e) 9
a
25.
y + 1 = 3¡2
(a + b )(a + c )(b + c )
b) - 2
e) 3
a) -1
d) - 5
c) 5
c) 3
SI: x 4 - y 4 = 6
A
c) - 3
x 2 - y2 = 3
c a lc u la r: R = x 3 + 3 x y + 3 x y 2 + y 3
h a lla r: R = (x + y )2 + (x - y )2
a) 2
d ) 16
a) 1
d) 4
b) 4
e ) 32
Si: x + y + z = O
ix + y
ha lla r: P =
a) 1
d) 9
c) 8
ID
Lü
JL _ + _x_
x + z
y + z
b) 3
e ) 12
c) 6
<
J
u
1.
2.
3.
4.
5.
c) 3
b) 2
e) 5
c
a
d
b
a
6.
7.
8.
9.
10.
d
d
b
b
e
11.
12.
13.
14.
15.
d
d
b
d
b
16.
17.
18.
19.
20.
b
e
d
d
e
21.
22.
23.
24.
25.
b
b
c
c
d
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
¡D E N U D A D FUNDAMENTAL DE LA DIVISION
S e a n D (x), d (x ) d o s p o lin o m io s no c o n s ta n te s . Al
e fe c tu a r D (x) + d (x ) se o b tie n e n d o s ú n ic o s p o lin o ­
m io s q (x ) y R (x) ta le s qu e:
D (x) = d (x ) q (x ) + R (x)
... (I)
p o lin o m io
p o iln o m io
p o lin o m io
p o lin o m io
d iv id e n d o
d iv is o r
c o c ie n te
re s id u o o resto.
A dem ás:
R (x)
G [D ] = 8
5x4 + x + (
G [d ] = 4
L u e g o , G [q ] = 8 - 4 = 4
=4 - 1
G [R ]„
=3
C rite rio g e n e ra l p a ra d iv id ir. Lo s p o lin o m io s d iv i­
d e n d o y d iv is o r d e b e rá n d e e n c o n tra rs e c o m p le to s
(c a s o c o n tra rio se re p re s e n ta rá c o n c e ro s a los
té rm in o s q u e fa lta n y p o r lo g e n e ra l o rd e n a rlo s en
fo rm a d e s c e n d e n te .
D on de:
D (x)
d (x )
q(x)
R (x)
2x - x + 6x3
E je m p lo :
e
C = . G [R ] < G [d]
El p o lin o m io : P (x) = 3 x - 5 x 3 + x 6 - 8 es e q u iv a ­
Si en (I): R (x) = 0 se d ic e q u e la d iv is ió n es
e x a c ta , lu e g o se te n d ría :
D(x)
= q (x )
d (x )
D (x) = d (x ) q (x )
Si en (I): R (x) = 0 se d ic e q u e la d iv is ió n es
in e x a c ta , d e aq u í:
le n te a: P (x) = x6 + Ox6 + Ox4 - 5 x 3 + Ox2 + 3x - 8
y d ire m o s q u e p re s e n ta a to d o s su s té rm in o s
MÉTODOS PAR A DIVIDIR
M é to d o d e H o rn e r. E s el m á s g e n e ra i y se u tiliza
p a ra d iv id ir p o lin o m io s d e c u a lq u ie r g ra d o
E squem a
D (x) = d (x ) q (x ) + R (x)
D (x ).
q(x)
d (x )
R(x)
d (x)
E je m p lo :
D e ¡a s ig u ie n te id e n tid a d :
x3 + 2 = (x - 1 )(x 2 + x + 1) + 3
c o e fic ie n te s d e l R (x)
S e p o d ría a firm a r:
D (x) = x 3 + ;
! | G [D ]
d (x ) = x - 1
3
q (x) = x2 + x + 1
R (x) = 3
j
U b ic a r la lín e a d iv is o ria c o n ta n d o en el e s q u e m a ,
d e d e re c h a a iz q u ie rd a ta n ta s c o lu m n a s c o m o el
g ra d o de l d iviso r.
G [d]
1
G [R ] < G [d]
0
T e o re m a s
1
E je m p lo :
D ividir:
4 x4 + 9x3 + 6x5 - 1
x + 2x3 - 1
•
G [q] = G [D ] - G [d]
Resolución:
•
G [R ]máx = G [d ] - 1
P re p a ra n d o io s p o lin o m io s :
E je m p lo :
En la s ig u ie n te d iv is ió n : ■
D (x) = 6 x 5 + 4 x 4 + 9 x 3 + Ox2 + Ox
d (x ) = 2 x 3 + Ox2 + x - 1
Á lgebra I
Resolución:
A p lic a n d o H o rn e r:
+
3x - 1 = 0
x = 1/3
X
3
i 2 ;
i
i
1
i
+
+
i
+
i —7
i - 1
1|
5
i 1i
!—2 i '
-6
-3
3
3
3
3
1
1
-2
-1
C o e f. de l q (x )
C o m o G [q ] = 4 - 1
3
C o m o D (x) y d (x ) p re s e n ta n to d o s s u s té rm in o s y
e s tá n o rd e n a d o s en fo rm a d e s c e n d e n te , e n to n c e s
q (x ) y R (x) ta m b ié n d e b e n p re s e n ta r to d o s s u s té r­
m in o s y e s tá n o rd e n a d o s d e s c e n d e n te m e n te .
A d e m á s co m o :
G [q ] - 5 - 3 = 2 y G [R ]máx - - = 3 - 1 = 2, se tiene :
3
= 3, s e tie n e :
=
x
2 -
x
+
2.
D ividir:
x3 - 2x - 3
x —2
R esolución:
i
x - 2 = 0
1
i 0 i i-2
x = 2
1
i 2 i l__4 1 i
2
R e g la d e R u ffin i. Es un c a s o p a rtic u la r de l m é to d o
d e H o rn e r y se u s a rá c u a n d o el d iv is o r e s d e p rim e r
g ra d o o tra n s fo rm a b le a un p o lin o m io linea l.
E s q u e m a d e c o c ie n te s
S u p o n ie n d o q u e el d iv is o r tie n e la fo rm a :
a x + b; a / 0
2x - 1
R e s to = 4
q (x ) = 3 x 2 + 2 x + 3
1x 2 - 1 x -*-2
-1
¡
q (x ) = 1x3 + 1x2 - 2 x - 1 = x 3 + x 2
R (x) =
29
1 -3 :
1
2
2 '
1
1
1
1
2
2
41
_ _ lj
C oe f. d e l q(x)
C o m o : G [q ] = 3 - 1 = 2
T e n e m o s : q (x ) = x 2 + 2 x + 2
R e s to = 1
TEOREMA DEL RESTO
c o e f icie n tes d el D(x)¡
x = —
b
a
X
+
+
+
F in a lid a d . O b te n e r el re s to d e c ie rta s d iv is io n e s
sin n e c e s id a d d e e fe c tu a r la d ivisió n .
I
|
I
c o e fic ie n te s de l q (x )
R e s to
E n u n c ia d o . S e a P (x) un p o lin o m io no c o n s ta n te .
El re s to d e d iv id ir P (x) e n tre (x - m ) v ie n e d a d o
p o r P (m ).
En el e s q u e m a d e R u ffin i el re s to o b te n id o s ie m p re
es un a c o n s ta n te .
E s d e cir:
E je m p lo s :
E je m p lo s :
1.
D ividir:
P (x )
3x - 1
P (x )
R = P (m )
« R = P (3)
R: re sto
Q(x)
x + 6
R = Q ( —6)
30
I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
3.
REGLA PRACTICA
El d iv is o r se ¡gu ala a c e ro (x - m = 0).
S e d e s p e ja la v a ria b le (x = m ).
S e re e m p la z a en el d iv id e n d o o b te n ié n d o s e el
re s to R = P (m ).
E je m p lo :
4.
L o s e x p o n e n te s en c a d a un o d e los té rm in o s
de l d iv id e n d o s o n ig u a le s .
H a y c u a tro fo rm a s d e c o c ie n te s n o ta b le s, q u e
se o b tie n e n c o m b in a n d o lo s sig n o s:
(t T ' T
ó
)
C o m o c o n s e c u e n c ia se p re s e n ta n 4 ca so s:
H a lle el re s to en:
60
2x
E s tu d io d e l p rim e r c a s o : -------------x+ a
x - 2
R esolución:
A p lic a n d o el te o re m a d e l re s to , re g la p rá ctica :
H a c ie n d o u s o d e la re g la p rá ctica :
x -2 = 0
• x = 2
R = 2 (2 )5 + 2 - 6 0
x + a = 0
x = -a
R = (-a )m + am = 0
=» R = 6
H a y d o s c a so s:
C o ro la rio . S e a P (x) un p o lin o m io no c o n s ta n te . El
re s to d e d iv id ir P (x) e n tre (a x + b), d o n d e a A 0,
v ie n e d a d o p o r ( - b/a), es d e cir:
P(x)
ax + b
Q u e m s e a par, luego:
=2 a m A 0
R = ( - a ) m + am = an
N o es c o c ie n te n o ta b le , p o rq u e el re s to es d ife re n ­
te d e cero.
Q u e m s e a im pa r, lu eg o:
R = ( - a ) m + am = - a m + am = 0
E je m p lo :
S i e s c o c ie n te n o ta b le .
. ... . 2 x ¿ + 5x + 7
H a lle el re s to d e d ivid ir:
2x - 1
Resolución:
X^
3^
C o n c lu s ió n : La fo rm a -------------- es C N c u a n d o m
x + a
e s im par.
S ig u ie n d o c o n la re g la p rá ctica , a n te s m e n c io n a d a .
2x - 1 = 0
•
x = 1/2
—m
E s tu d io d e l s e g u n d o c a so :
_m
x+ a
C á lc u lo d e l resto:
•
R - 2(
+
5( +
x + a = 0
R = ( - a ) m - am
7
R = J- + ^ + 7 =* R = 10
2
2
x = -a
P a ra q u e s e a c e ro , m d e b e s e r n ú m e ro par, así:
R = am - am = 0
COCIENTES NOTABLES (CN)
S e d e n o m in a c o c ie n te s n o ta b le s, a c ie rto s c o c ie n ­
te s d e ta l fo rm a q u e sin e fe c tu a r la d iv is ió n , se p u e ­
d e e s c rib ir su d e s a rro llo . S e c a ra c te riz a n p o r s e r
c o c ie n te s e x a c to s .
F o rm a g e n e ra l d e lo s c o c ie n te s n o ta b le s . Todo
c o c ie n te n o ta b le s e p u e d e p re s e n ta r d e la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:
~
a"’
d o n d e se o b s e rv a :
C o n c lu s ió n : La fo rm a
x+ a
es C N c u a n d o m
e s un n ú m e ro par.
E s tu d io d e l te rc e r c a s o : ------------x - a
C á lc u lo de l resto:
x - a = 0
x = a
R = ( a f + am = 2am + 0
C o m o el re s to e s d ife re n te d e c e ro , no es C N
1.
2.
El d iv id e n d o y el d iv is o r tie n e n c a d a u n o d o s
té rm in o s .
Las b a s e s de l d iv id e n d o y d iv is o r (x, a), re s ­
p e c tiv a m e n te , s o n ig u a le s.
C o n c lu s ió n : La f o r m a ------------x - a
ta b le p a ra n in g ú n v a lo r d e m.
no e s c o c ie n te no-
Á
w rn
•
|
31
C u a n d o el d iv is o r es d e la fo rm a (x + a)
los s ig n o s d e lo s té rm in o s de! c o c ie n te son
a lte rn a d o s (+ ) y ( - ) c o m e n z a n d o p o r (+ ).
C u a n d o el d iv is o r es d e la fo rm a (x - a)
lo s s ig n o s d e lo s té rm in o s de l c o c ie n te son
p o sitiv o s .
—m
E s tu d io d e l c u a rto c a s o : -------------x- a
C á lc u lo del resto:
x -a = 0
R = (a )m - a m = 0
lg ebr a
x = a
p irn
w f4"i
C o n c lu s ió n : La fo rm a -------------- es c o c ie n te no ta x - a
c V L a ta .
ble p a ra c u a lq u ie r v a lo r d e m.
----------------
_
El d iv id e n d o en a m b o s c a s o s (a y b) p u e d e
D e s a rro llo d e l c o c ie n te n o ta b le . P ara d e s a rro lla r
el C N s e re a liz a la d iv is ió n p o r R u ffin i, a p lic a d o a
un c a so , p e ro se g e n e ra liz a p a ra lo s tre s c a s o s de
c o c ie n te s n o ta b le s co n la s re g la s p rá c tic a s q u e se
ha rá al fin a l d e la d e m o s tra c ió n .
s e r (x m + a m) o (xm - a m)
E je m p lo s :
1.
x + a = x 4 - x 3a + x2a 2 - x a 3 + a4
2.
^
3.
x - a
x - a
4-
~
xm+ am
S e a el C N -------------- p a ra m = n ú m e ro Im par.
X+ 3
x + a
D iv id ie n d o p o r R u ffin i:
-a
1
0
0
0
..
+am
1
-a
+a2
-a 3
-a m
1
-a 1
+a2
- a 3 ...
+ am_ 1
0
= x 5 - x 4a + x 3a 2 - x 2a 3 + x a 4 - a 5
a
x2 + a4
El c o c ie n te es d e g ra d o = m - 1
=
—1—é
-
( x2) + ( a 4 )
= ( x 2 )4 -
( x 2)3( a 4 ) +
(x2)2(a 4)2 - (x2)(a 4)3 + (a 4)4
q (x ) = x IT1 1 - x m ~ 2a 1 + x m - 3a2 - x m - 4a 3 + ...
o e n fo rm a in m e d ia ta :
v 10
+ am~ 1
x
, _20
+ a . = x 8 - x V + x 4a 8 - x 2a 12 + a 16
D e te rm in a c ió n d e un té rm in o c u a lq u ie ra d e un
c o c ie n te n o ta b le . En fo rm a g e n e ra l:
R e g la s p rá c tic a s p a ra e s c rib ir d e l d e s a rro llo d e
c u a lq u ie r c o c ie n te n o ta b le
1.
2.
3.
4.
5.
El p rim e r té rm in o d e l c o c ie n te es ig u a l al c o ­
c ie n te e n tre el p rim e r té rm in o d e l d iv id e n d o y
el p rim e r té rm in o d e l diviso r.
El ú ltim o té rm in o de l c o c ie n te es Ig ual al c o ­
c ie n te e n tre el s e g u n d o té rm in o d e l d iv id e n d o
y el s e g u n d o té rm in o del d iviso r.
A p a rtir d e l s e g u n d o té rm in o de l c o c ie n te el
e x p o n e n te d e x c o m ie n z a a d is m in u ir d e 1 en
1 h a s ta el v a lo r fin a l.
T a m b ié n a p a rtir d e l s e g u n d o té rm in o d e l c o ­
cie n te , a p a re c e a c o n e x p o n e n te 1 y e n ca d a
té rm in o p o s te rio r su e x p o n e n te a u m e n ta d e 1
e n 1 h a s ta m - 1.
P ara lo s s ig n o s d e ca d a té rm in o se d e b e te n e r
en c u e n ta :
..m i
x
i
.m
a
x±a
= x m . - 1 T x m - 2 a 1 + x m- 3 g 2 + x m
4g 3 +
-1
D e d u c c ió n d e la fó rm u la , p a ra el té rm in o k.
1.er té rm in o : (s ig n o ) x m - 1a 1 “ 1
x m - 2g2 ~
1
x m - 30 3 - 1
4.° té rm in o : (s ig n o ) x 17
10.° té rm in o : (s ig n o ) x lr
k.° té rm in o : (sig n o ) x 7
.'.
tk = (s ig n o ) x 17
32
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
R e g la p a ra el s ig n o
1.
2.
EJERCICIOS RESUELTOS
C u a n d o el d iv is o r es d e la fo rm a (x - a) el
s ig n o d e c u a lq u ie r té rm in o e s p o s itiv o .
1.
C u a n d o el d iv is o r e s d e la fo rm a (x + a ) el
s ig n o d e lo s té rm in o s q u e o c u p a n un lu g a r p a r
son n e g a tiv o s y lo s q u e o c u p a n un lu g a r im p a r
s o n p o sitiv o s .
2m2 -
m -
1): (m - 2 )
R esolución:
A p lic a n d o el te o re m a de l resto:
d = m - 2
D = P (m ) = 3 m 5 - 2 m 4 + 3 m 3 - 2 m 2 - m - 1
H a c ie n d o d = 0, es d e cir: m - 2 = 0 ^ m = 2
E je m p lo :
R = P (2) = 3 (2 )5 - 2 (2 )4 + 3 (2 )3 - 2 (2 )2 - 2 - 1
.-. R = 77
H a lla r el t25 y t40 e n el d e s a rro llo d e l C N :
x150 - a100
2.
x3 + a2
¿ C u á l es el re s id u o d e la s ig u ie n te d iv is ió n ?
(3m 6 - 2 m 4 + 3 m 3 -
Resolución:
D a d o el p o lin o m io : 6 x 3 - 3 x 2 - m x - 6
d e te rm in a r el v a lo r d e m p a ra q u e s e a d iv is i­
b le p o r (2x - 3)
( x 3)50 — (a 2 )50
D a n d o ia fo rm a d e C N : -------------------------; d e d o n d e :
(x ) + (a )
R esolución:
S i un a e x p re s ió n es d iv is ib le e n tre o tra , e s to
im p lic a q u e si s e e fe c tú a la d iv is ió n e n tre a m ­
ba s el re s id u o s e rá nulo.
1.a b a se d e l d iv is o r: (x 3)
2 .a b a se d e l d iv is o r: (a 2)
A p lic a n d o el te o re m a d e l re s to y un a v e z h a ­
lla d o e s te re s id u o s e ig u a la a ce ro , p o r c o n d i­
c ió n d e d iv is ib ilid a d , y s e c a lc u la m.
m = 50
P a ra k = 25: t25 = + (x 3)50 ” 25(a 2)25 ' 1
t25 = + x 75a48
P a ra h a lla r el re s id u o s e hace:
d = 0, es d e cir: 2 x - 3 = 0
=» x = 3/2
P a ra k = 40 : t40 = - ( x 3)5° - 40(a 2)40 “ 1
t40 = - x 30a 78
C o n d ic ió n n e c e s a ria y s u fic ie n te p a ra q u e el
x m -jc o c ie n te
= -= - s e a n o ta b le . E s ta b le c id a s las
xp± a q
_)_ g^
c o n d ic io n e s d e d iv is ib ilid a d el c o c ie n te — i —
xp± a q
s e rá n o ta b le c u a n d o :
x m + a n = ( x p)r ± ( a q)r
xp± a q
donde: pr = m
qr = n
x p± a q
=> r = m /p
. .. ( a )
=>
... (p)
r = n/q
E s de cir, lo s c o c ie n te s e n tre m /p y n/q, d e b e n s e r
e n te ro s e ig u a le s .
N ú m e ro d e té rm in o s d e l c o c ie n te n o ta b le . D e
(« ) y (P):
— = - = n ú m e ro d e té rm in o s d e l c o c ie n te n o ta b le
P
Q
P e ro p o r c o n d ic ió n d e d iv is ib ilid a d : R = 0
E fe c tu a n d o e ig u a la n d o a c e ro re s u lta : m = 5
3.
D e te rm in a r m + n p a ra q u e el p o lin o m io :
4 x 4 + 2 x 3 - m x 2 + 3x + n
s e a d iv is ib le p o r x 2 - 2 x + 1. H a lla r: m + n
R esolución:
P o r c o n d ic ió n d e d iv is ib ilid a d : “ S i.s e d iv id e n
d o s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s d iv is ib le s , el re ­
s id u o d e b e rá s e r id é n tic a m e n te nulo". E fe c ­
tu a n d o la d iv is ió n p o r H o rn e r:
1
2
-1
4
2
8
4
10
-m
-4
20
| 3
n
I
i -1 0
. 2(16 - m) (m - 16)
(16 - m) | (25 - 2m) (m + n -1 6)
Á lgebra ¡
E n to n c e s :
25 -2 m = 0
m + n - 16 = 0
D e (2): m + n = 16
4.
... (1)
...( 2 )
33
D = P (x) = x 3 + m (a - 1)x 2 + a 2(m x + a - 1)
d = x - a + 1
= d = 0 =3 x - (a - 1 ) = 0
x = (a - 1 )
R = P(a - 1) = (a - 1 )3 + m (a - 1)(a - 1 )2 +
H a lla r el re s id u o d e la d iv is ió n de:
2 x 5 + 7 x 4 - 5 0 x 3 - 1 7 3 x 2 - 2 2 x + 60
e n tre x 2 - 2 x - 15
a 2[m (a - 1 ) + (a - 1 )]
R = (a - 1 )3 + m (a - 1 )3 + a 2(a - 1 )(m + 1)
Resolución:
R = (a - 1)3[1 + m ] + a 2(a — 1 )[1 + m]
E fe ctu a n d o la divisió n p o r el m é to d o d e H orner.
R = (a — 1 )(1 + m )(2 a 2 - 2a + 1)
Pero:
R
=0
=> m + 1 = 0
7.
.-. m = -1
S im p lific a r:
xn- i
E = l + A + í : + 2 f : + ... + j ^ + .
a a2 a3 a4
a n ” 1 a n- ! ( a -
Resolución:
S u m a n d o to d o s m e n o s el ú ltim o s u m a n d o :
.-. R = 0
5.
1
x
x2
xn
a
a 2
a3
an+ 1
Q u é v a lo re s d e b e rá n to m a r a y b pa ra q u e el
polinom io: x5 - ax + b s e a d ivisib le entre: x 2 - 4
Resolución:
E s c rib ie n d o el n u m e ra d o r c o m o CN:
P o r c o n d ic ió n d e d iv is ib ilid a d : "S i se d iv id e n
d o s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s d iv is ib le s , el re ­
s id u o s e rá id é n tic a m e n te n u lo ” E fe c tu a n d o la
d iv is ió n p o r H o rn e r:
1_ + _x_ + >c +
a
g2 % 3
xn _
an+ 1 -
a - x
gn+ 1
a n + i — x n+1
— : s u s titu y e n d o en la e x p re s ió n :
o n +1
vn+ 1
E = - -------~ -------+ .
(a -x )
a n+ ( a - x )
E = a ^ + 1 - x n + 1 + x n41
a
ia - x )
a 11 ! 1
1
E =
f
= — !— = (a - X ) " 1
a n+ (a - x )
a - x
E n to n c e s : 16 - a = 0 » a = 16
b = 0 => b = 0
6.
¿ C u á l d e b e rá s e r el v a lo r d e m p a ra q u e el
p o lin o m io : x 3 + m (a - 1)x 2 + a 2(m x + a - 1)
s e a d iv is ib le e n tre x - a + 1?
H a lla r el té rm in o in d e p e n d ie n te del c o cie n te :
( x + a )n - a 11
x
Resolución:
Resolución:
D a n d o la fo rm a de C N y d e s a rro lla n d o :
A p lic a n d o el te o re m a de l re s to p a ra h a lla r el
re s id u o en d ic h a d iv is ió n y p o r c o n d ic ió n de
d iv is ib ilid a d , se ig u a la el re s id u o a cero.
(x + a )n - a "
(x + a ) - a
_____
= (x + a )n 1 + (x + a )n
(x + a )n
34
I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
El té rm in o in d e p e n d ie n te d e l C N es:
P (0) = a n ~ 1 + an 2a ' + an “ 3a2 + ... + a 11“ 1
o
3.
A l d ivid ir:
2 - 5x + 6 x 2 - 7 x 3 + x 4 ,
dar com o
x 3 - 5x + 4x - 1
re s p u e s ta la s u m a d e c o e fic ie n te s del re s id u o .
n té rm in o s
a) 4
d) 1
= a n ~ 1 + a n " 1 + a n ’ 1 + ... + a n “ 1
V
________________ 1
b) - 4
e )0
c) —1
n té rm in o s
.-. P (0) = n a n “ 1
9.
4.
S im p lific a r:
re s to : R (x) = 8x - 4. C a lc u la r: a b ~ 1
E _ x 78 + x 76 + x 74 - ... + x 4 + x 2 + 1
a ) 1 /50
d ) 1/2
x 38 + x 36 + X 34 + ... + x 4 + x 2 + 1
Resolución:
E s c rib ie n d o
com o CN:
el n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r
5.
x2 - 1
6.
c
( x 4(!f - 1 2
x 40 - 1
_ ( x 40 + 1)(x40 - 1)
f- "EJERCICIOS
2.
6x4 + 16x3 + 25x2 + Mx + N
1 + 2x + 3x2
propuesto s'"
c) 3
i
x 3 - 4 x 2 + px - p
El re s to d e la d iv is ió n : -----------------------------x - 3x - 2
b) - 1
e) 2
c) 0
SI los c o e fic ie n te s de l c o c ie n te d e d ivid ir:
a x 2 + bx + c + 8 x 4 + 1 8 x 3
2x + 3
so n n ú m e ro s c o n s e c u tiv o s y el re s id u o es
( - 8 ) , s e ñ a la r: (a + b + c )0,5
!
In d iq u e v e rd a d e ro (V ) o fa ls o (F ) en las p ro p o ­
s ic io n e s s ig u ie n te s :
I. SI R (x) = 0; D (x) = d (x )q (x )
II. G [q (x )] = G [D (x )] + G [d(x)]
III. P a ra e fe c tu a r la d ivisió n , se c o m p le ta y o r­
d e n a en fo rm a c re c ie n te al d iv id e n d o y al
diviso r.
b) V V F
e) FV F
b )-2
e )d 1
a) 1
d) 2
40
7.
a) V F V
d) V F F
c) —1
es u n a c o n s ta n te , h a lla r d ic h o re sto a u m e n ta ­
d o e n p.
x 40 - 1
( x 40 - 1)
1.
Si la sig u ie n te división:
a) 2
d) - 3
x2 - 1
E = — ó------ !— ; e fe c tu a n d o y s im p lific a n d o :
( x2 )20 - 140
.
b) 2
e )3
tie n e re s id u o : R (x) = 0, s e ñ a la r: 3</M + N + 8
(x 2 l4 0 - 1 40
E _ x 80 - 1
• 4 2
u
Al e fe c tu a r: —
— se o b tie n e po r
2x + x -■ 1
a) 1
d )4
8.
b) 2
e )6
c) 3
La s ig u ie n te d iv is ió n :
m x 5 + n x 4 - x 3 + 7 x 2 - 5x - 12
3x2 + x - 4
c) F V V
e s e x a c ta . C a lc u la r: m n
a) 10
d ) 30
H a lla r e l c o c ie n te d e d ivid ir:
b) 15
e) 42
c) 24
12 x4 - 2 x 3 - 1 6 x2 + 8 x - 3
2x2 + x - 3
a) 6 x 2 + 4 x + 3
c) 6 x 2 + 4 x - 3
e) 6 x 2 + 4x
b) 6 x 2 - 4 x + 3
d) 6x2 - 4x - 3
_
9.
.
. , . .. . .. 25x4 + 5x3 + b x 2 + 3 (x + 1)
A p a rtird e la d iv is ió n :----------------------------------1---------5 x2 — 3(x + 1)
c a lc u la r su c o c ie n te e v a lu a d o e n 1, s a b le n d o q u e su re s to es: 5cx.
Á
a) 5
d) 8
b) 6
e )9
c) 7
a) 10
d) - 1 3
s e ñ a la r el c o e fic ie n te del té rm in o lin e a l d e l c o ­
cien te.
a) 2
d )9
b) 3
e ) 12
16.
b ) —11
e) 14
A
P ro p o rc io n a r el c o c ie n te d e d ivid ir:
a) x 2 + ax + a
b) x 2 + bx + b
c) x 2 + ax + b
d ) x 2 + bx + a
e) x 2 + bx + (b - a + ab )
c) 12
A x 5 + B x4 + C x3 + D x2 + Ex + F
x + 1
se re a liz a e m p le a n d o la re g la d e R ufflni, o b te ­
n ié n d o s e el e s q u e m a :
c) 6
x 3 + (b - a ) x 2 + (b - a )x + a - ab
x - a
35
La s ig u ie n te d ivisió n :
-1
11.
|
ca lc u la r: b, + b2 + b 3 + b4 + b 5
10. D e s p u é s d e d iv id ir:
6 x 4 + 1 1 x + 7 ( x + 1)(x2 - x + 1)
lgebra
m
B
C
D
E
F
1
3
5
7
9
n
P
q
r
0
h a lla r la s u m a d e c o e fic ie n te s de l d ivid e n d o .
a) - 2 5
d) 25
b) 50
e) - 5 0
c) 0
17. Si al e fe c tu a r la d ivisió n :
12. A l d ivid ir:
P(x) = x3 + ( - 2 - */7 )x 2 + ( 2 / 7 - 1 5 ) x + 1 5 / 7 + k
e n tre x -■ 17, se e n c o n tró un re s id u o 3k - 8.
E n c o n tra r k.
a) 1
d )4
b) 2
e )5
c) 3
(6 x 4 + A x 3 - 14x2 + B x - 5) : ( - 5 + x + 2 x 2)
se o b tu v o c o m o re s id u o al p o lin o m io (3x + 5),
c a lc u la r: "Va + B - 1
a) 1
d) 4
b) 2
e) 0
c) 3
18. H a lla r el re s id u o d e d ivid ir:
13. D e te rm in a r el v a lo r d e a en la d ivisió n :
a m x 3 + (an + b m )x 2 + (ap + b n )x + bp
2 5 x 4 + (x + a )2 + 2
ax + b
2 + 5x
si el v a lo r n u m é ric o d e su c o c ie n te p a ra x = 0
es ig ua l a 2.
a) 1
d) 3
b) 2
e )6
c) 4
14. D e te rm in a r el re s id u o d e la d ivisió n :
px5 + 2qx4 + (3r - p)x3 _+ _(p_ - 2q)x2 + (2q - p)x + p
si la s u m a d e c o e fic ie n te s del c o c ie n te e s 54.
a) 15
d ) 18
b) 16
e ) 19
2
1
1
3
b3
b4
b) - 1
e) 0
19. A i e fe c tu a r la d iv is ió n :
c) bn
^
! 5x - 1
x + 3x - 4 x + X
se o b tie n e un re s id u o d e p rim e r g ra d o . P ro ­
p o rc io n a r d ic h o re sid u o .
a ) 14x + 3
c) 7 (2 x + 1)
e) 7 (2 x + 3) - 20
b) 14x - 3
d ) 7 (2 x — 1)
c) 17
15. C o n s id e ra n d o el s ig u ie n te e s q u e m a d e H orner:
2
a) 1
d) 2bn
4 ¡ b-i
I
I
I
b5 ; 1
b2
20. Si: 15x4 + 7 x 3 + A x 2 + B x + C se d iv id e e n ­
tre 5 x 2 - x + 3, se o b tie n e un c o c ie n te c u yo s
c o e fic ie n te s v a n d is m in u y e n d o d e 1 en 1 a
p a rtir d e l p rin c ip a l y un re s to 2x + 5. C a lc u la r:
ir ^ c
1
a) - 3
d )2
b) - 2
e )3
c) - 1
36
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
21 . L u e g o d e d iv id ir: 6><3 - 1g x 2 + 19x - 16
3x - 2
27. C u á l es el v a lo r d e m p a ra q u e la d ivisió n :
x 3 + m ía - 1 )x 2 + a 2(m x + a - 1)
------------------------------------------------------------ p o s e a resix- a + 1
h a lla r la s u m a d e l c o c ie n te con el re s id u o .
a) 2 x 2 + 5x + 7
c) 2 x 2 + 5x - 7
e) 2 x 2 + 5x
d ú o id é n tic a m e n te nulo.
b) 2 x 2 - 5x + 7
d) 2x2- 5x - 7
22 . O b te n e r la s u m a d e c o e fic ie n te s d e l c o c ie n te
d is m in u id a c o n el re s to d e la d ivisió n :
a) 1
d) a + 1
b) 4
e) 1
(a 2 - b 2)x3 ■+ (2 a b - 2 b 2)x2 + 4 a b x + 2 b 2 - ab
(a + b )x + b - a
es e x a c ta , h a lla r: (a 2 + b2)(a b )~ 1
c) 3
a) 0
d ) 0 ,5
23. C a lc u la r (m + 2 n ), si el re s to de:
4x4 - x2 + mx + n
b) 1
e ) -0 ,5
2
b) 2
e) 5
c) - 1
29. El e s q u e m a :
es: 2x + 5
2x + x - 3
a) 1
d) 4
c) - a
28. Si ¡a d iv is ió n in d ic a d a :
2 ( x + 1)3 — 3 x 2 - x + 3
a) 5
d) 2
b) a
e) - 1
c) 3
a3
a6
fiv 3 _ 1 T v2 _ % - 3
24. Si el c o c ie n te d e d iv id ir :
-----------2x - 5
a0
-6
-5
a7
a1
2
a2
a4
a5 3
-1 2
a8
a 9 a 10
an
c o rre s p o n d e a la d iv is ió n d e d o s p o lin o m io s
p o r la re g la d e R uffini. O b te n e r: a 0 + a4 + a 8
e s d e la fo rm a m x 2 + nx + p. c a lc u la r:
a) 8
d )0
m " ' p + (n + p )m
a) 8
d ) 17
b) 12
e ) 57
b) 11
e )3
c) 14
30. A l e fe c tu a r la d iv is ió n :
a x 5 + bx4 + (c - a )x 3 + (a - b )x 2 + (b - a )x + a
25. Si el re s id u o d e la d iv is ió n :
_
2x2 + 3x3 + 4x4 + x5 + ax + b
es R (x) = 2 6 x + 17, ha lla r la a ltern ativa correcta.
26 . C alcular a y b, si al e fe c tu a r la sig u ie n te división:
3x2 + x - 2
Id é n tic a m e n te nulo.
a) 12 y - 2
d ) 8 y - 12
b )1 0 y 2
e) 6 y - 6
c )-1 0 y 8
b) 21
e) 45
a) 15
d) 36
b) a + b = 0
c) a b = 0
e) a +
b i1 = 0
a x 5 + b x 4 + 2 x 3 - x 2 -J J x _ + _ 6 e| res|duQ eg
_
el re s to q u e se o b tie n e es 9. S e ñ a la r la s u m a
de c o e fic ie n te s d e l c o cie n te .
x2 - x - 1
a) a = b
d )a + b = 1
c) 5
ÜJ
Lü
>
<
j
□
1.
2.
3.
4.
5.
6.
d
b
b
b
c
d
7.
8.
9.
10.
11.
12.
d
d
d
b
e
d
13.
14.
15.
16.
17.
18.
c) 27
e
d
b
e
b
e
19.
20.
21 .
22 .
23 .
24.
a
a
d
e
c
d
25 .
26.
27.
28.
29 .
30.
a
a
e
b
b
c
FACTORIZACIÓN
FACTOR ALGEBRAICO
N (x) = x 2 + n; (n > 0)
S e d ic e q u e N (x) es un fa c to r a lg e b ra ic o d e P (x)
de g ra d o n > 1; si e x is te un p o lin o m io M (x ) ta l qu e
P (x) = N (x)M (x), es decir, N (x) es un fa c to r d e P (x)
si la d iv is ió n d e P (x) e n tre N (x) es ex a c ta .
• '
E je m p lo s :
P ro p ie d a d e s d e lo s p o lin o m io s irre d u c tib le s en
un c a m p o n u m é ric o
N (x) es p rim o en © y IR
P (x ) = (x + 1 ) ( x + 3)
S u s fa c to re s a lg e b ra ic o s son: x + 1; x + 3:
(x + 1)(x + 3)
•
Todo p o lin o m io de p rim e r g ra d o es irre ductib le .
Si el p o lin o m io P e s irre d u c tib le lo es ta m b ié n
c u a lq u ie r p o lin o m io cP d o n d e c es un e le m e n ­
to d e d ic h o c a m p o (c ■-/■0).
Q (x ) = (x + 3 )(x + 4 )(x + 6)
S u s fa c to re s son: x + 3; x + 4; x + 6:
(x + 3)(x + 4), (x + 3 )(x + 6); (x + 4 )(x + 6):
(x + 3)(x + 4 )(x + 6)
FACTORIZACIÓN
F a c to riz a r un p o lin o m io d e g ra d o n (n # 2) re d u c ti­
b le s o b re un c a m p o n u m é rico , es un p ro c e d im ie n ­
to q u e c o n s is te e n tra n s fo rm a r d ic h o p o lin o m io ,
en un a m u ltip lic a c ió n in d ic a d a d e fa c to re s p rim o s
s o b re un c a m p o n u m é rico .
T e o re m a
D a d o el p o lin o m io m ó n ico : P (x) = (x + a )“ (x + b f
El n ú m e ro d e fa c to re s a lg e b ra ico s es: (a + 1)(p + 1)
cY l a t w : — ------I
;
—
.................—
R (x) = x2 + p, p < 0; p no es c u a d ra d o pe rfe cto
E n to n c e s R (x) es p rim o e n ©
„
N o se c o n s id e ra rá c o m o fa c to r a la u n id a d o
c u a lq u ie r c o n s ta n te .
E je m p lo :
l
I
F a c to ric e P (x) = x 4 -
1
en ©
Resolución:
A p lic a n d o d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :
P o lin o m io re d u c tib le . Un p o lin o m io P d e g ra d o
n > 1 es re d u c tib le e n un c a m p o n u m é ric o si el p o ­
lin o m io se p u e d e d e s c o m p o n e r s o b re e s te c a m p o
en la m u ltip lic a c ió n d e d o s p o lin o m io s d e g ra d o
m e n o re s q u e n.
E je m p lo :
P (x) = x 2 - 3
P (x) = (x2 + 1 )(x 2 - 1)
=> P (x) = (x2 t 1 )(x + 1 )(x - 1)
CRITERIOS PARA FACTORIZAR
C rite rio d e l fa c to r c o m ú n . C o n s is te en b u s c a r
fa c to re s c o m u n e s a to d o s lo s té rm in o s d e un p o ­
lin o m io p a ra lu e g o e x tra e rlo s .
P (x) es re d u c tib le en IR, es d e cir:
P (x) = (x + Í 3 ) ( x - ¡3 )
E je m p lo s :
F a cto rice :
P o lin o m io irre d u c tib le . U n p o lin o m io d e g ra d o n
(n > 1) e s irre d u c tib le s o b re un c a m p o si e n c u a l­
q u ie ra d e s u s d e s c o m p o s ic io n e s u n o d e e llo s es
d e g ra d o ce ro y el o tro d e g ra d o n.
E je m p lo s :
P (x) = 3x + 12
S e tra n s fo rm a e n P (x) = 3(x + 4 )
P (x) es p rim o e n © y IR
P (x: y) = 4 x 2y + 5 x y 2 + xy = x (4 x y + 5 y 2 + y)
P (x; y ) = x y (4 x + 5 y + 1)
L u e g o el p o lin o m io p re s e n ta 3 fa c to re s p ri­
m o s: x; y; 4 x + 5y + 1
F a cto rice :
Q (x; y) = (x + 3)y + (x + 3 )x + (x + 3)
Q (x: y) = (x + 3 )(y + x + 1)
L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p ri­
m o s: (x + 3), (y + x + 1)
38
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
A g ru p a c io n e s . C o n s is te en a g ru p a r té rm in o s c o n ­
v e n ie n te m e n te tra ta n d o q u e a p a re z c a a lg ú n fa c to r
com ún.
E je m p lo s :
F a cto rice :
P (x; y; z ) = x 2 + x y + zx + z y + x + y
P (x; y; z ) = x (x + y) + z (x + y) + (x + y)
P (x; y; z ) = (x + y )[x + z + 1]
L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p ri­
m os: (x + y); [x + z + 1]
F a cto rice :
P (a; b: c) =
a 2+ ab + ac + a 3 + a2b+ a2c
P (a; b; c) =
a (a + b + c) + a 2(a + b+ c)
P (a; b; c) =
P (a; b; c) =
L u e g o , el p o lin o m io
m os: (a + b + c); a;
(a + b + c)[a + a 2]
(a + b + c)a(1 + a)
p re s e n ta tre s fa c to re s p ri­
(1 + a)
Id e n tid a d e s . P o r id e n tid a d e s a lg e b ra ic a s .
E je m p lo s :
F a cto rice :
P(a: b; c) = a2 + b2 + c 2 + a + 2ab + b + 2 a c +
c + 2bc
P(a: b; c) = (a2 + b2 4 c2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c) +
(a + b + c)
P(a; b: c) = (a + b + c)2 + (a + b + c ) . 1
P(a: b; c) = (a + b -i c )(a + b + c + 1)
L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p ri­
m o s: (a + b + c): (a + b + c + 1)
F a cto riza r:
P (x; y) = x 4 + 2 x 2y2 + y4 - (x2 + y 2)(1 + y2)
P(x; y) = (x2 + y 2)2 - (x2 + y 2)(1 + y2)
P (x: y) = (x 2 + y 2)[x 2 + y 2 - 1 - y 2]
P (x; y) = (x2 - y 2)2[x 2 - 1]
P (x; y) - (x2 + y 2)(x + 1)(x - 1)
L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta tre s fa c to re s p ri­
m o s: (x2 + y 2): (x + 1): (x - 1)
A s p a s im p le . F o rm a g e n e ra l d e p o lin o m io a fa c ­
to riza r.
P (x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m
P ro c e d im ie n to : se d e s c o m p o n e lo s e x tre m o s tra ­
ta n d o d e b u s c a r el té rm in o c e n tra l.
P (x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m
a ,x
c ,y n
a 2x r
B x ny m (té rm in o c e n tra l)
D o n d e : B xny m = (a 2C! + a 1c 2)x lly m
L u e g o : P (x; y) = ( a ^ " + c 1y m)(a 2x n + c 2y m)
cVlota: P (x) = a x 2 + bx + c; a
fa c to riz a b le en © o b2
d o p e rfe c to .
P (x) = a x 2 + bx + c; a
fa c to riz a b le en IR « b2
# 0 A a; b; c e © es
- 4 a c es un c u a d ra ­
A 0 a a; b: c e IR es
- 4ac > 0
E je m p lo s :
• P (x) = x 2 + 5x + 1
A n a liz a n d o el d is c rim in a n te se tiene :
A = 52 — 4 (1 )(1 ) > 0
.-. P(x) es factorizable en IR: pero prim o en ©
•
P (x) = 2 x 2 + 3x - 1
A n a liz a n d o el d is c rim in a n te
A = 3 2 - 4 (2 )(1 ) => A = 1
E je m p lo s :
F a cto riza r:
P(x; y) = 3 x 2 + 2 0 x y + 12y2
3xx
2y
x -^ K ^ + 6 y
2xy 1
18 xy r (+ )
’ 2 0 xy
L u e g o : P (x; y) = (3x + 2 y )(x + 6y), el p o lin o ­
m io p re s e n ta d o s fa c to re s p rim o s.
F a cto rice :
P (x) = 1 4 x2 — 3x - 11
14x \ í / r
11
* \ | >
11
x ^ ^ - 1
=> 11 X j
-1 4 X [ (+ )
— -3 x
Lu eg o:
P (x) = (1 4 x + 11 )(x - 1)
El p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p rim o s.
P (x) = A x 2n + B x n + C
D o n d e : m; n
e
IN
A s p a d o b le . F o rm a g e n e ra l del p o lin o m io a fa c ­
to riza r.
Á lgebra |
P(x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m + D x n + E ym + F
39
E je m p lo :
F a cto rice :
ti
t3
*4
t6
P (x) = x4 + 3 x 3 + 7 x 2 + 7x + 6
D o n d e : m; n e IN
P ro c e d im ie n to :
S e a p lic a d o s v e c e s a s p a s im p le e n lo s s ig u ie n te s
té rm in o s : t-,, t2, t3 a t3, t5, t6
F in a lm e n te s o lo p a ra c o m p ro b a r se a p lic a otra
a s p a s im p le con: t,, t4, t6
P (x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m + D x n + E y m + F
ai x"
Í1
L u e g o : P (x;y) = ( a ,x n + c ^ " 1 + L,) (a 2x n + c 2y m + f2)
B a la n ce :
Tenem os: 5x2
F a lta: 7 x 2 - 5 x 2 = ( § )
P (x) = (x2 + 2x + 3 )(x 2 + x + 2)
El p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s c u a d rá tic o s p ri­
m o s (x2 + 2x + 3); (x2 + x + 2).
D iv is o re s b in ó m ic o s . S e a p lic a p a ra fa c to riz a r
p o lin o m io s q u e a d m ite n p o r lo m e n o s un fa c to r li­
neal.
R a íz d e un p o lin o m io . S e a P (x) un p o lin o m io de
g ra d o n > 1.
E je m p lo :
F a cto riza r:
a es ra íz d e P (x) « P (a ) = 0
P (x; y) = 1 5 x2 + 11 x y + 2 y 2 + 16x + 6 y + 4
5x
2
Es de cir, ra íz es el v a lo r q u e a n u la al p o lin o m io .
E je m p lo :
L u e g o : P (x; y) = (5 x + 2 y + 2 )(3 x + y + 2)
P (x) = x 3 + 7x - 8
x = 1 => P (1 ) = 0 => 1 es ra íz d e P (x)
el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p rim o s.
P o s ib le s ra íc e s ra c io n a le s (P R R )
A s p a d o b le e s p e c ia l. F o rm a g e n e ra l del p o lin o ­
m io a fa cto riz a r.
S ea : P (x) = a 0x n +
D o n d e : a 0: a n ¿ 0
P (x) = A x 4n + B x 3n + C x 2n + D x n + E
E je m p lo :
P (x) = 2 x 3 + 5 x 2 - 4x - 3
P r r
P (x) = A x 4n + B x 3n + C x 2n + D x n + E
... + a n _ ,x + a n
[ D iv is o re s d e I a n I
P R R = ± ---------------------- !— H
D iv is o re s d e | a 0 1
D o n d e : n e IN
P r o c e d im ie n to : S e d e s c o m p o n e lo s e x tre m o s
tra ta n d o d e b u s c a r un a p ro x im a d o al té rm in o
c e n tra l:
a-|Xn ~ 1 +
_
D iv is o re s d e 3 j
[D iv is o re s d e 2 j
+ f
PRR= H H H , ; ? 3;f l
B a la n ce :
y
T e n e m o s : (a 1e 2 + a 2e 1)x2n \
F a lta: (C - a 1e 2 - a 2e 1)x 2n = ( £ x ^ ) = (f1x Il)(f2x n)
L u eg o:
P (x) = (a-ix211 + f.,xn + e 1)(a 2x 2n + f2x n + e 2)
P R R = ± 1; +
2
± 3; ± 2
L u e g o el p o lin o m io P (x) p o s ib le m e n te se a n u le
p a ra a lg u n o s d e e s to s v a lo re s .
Si: x = 1 ^ P (1 ) = 0
=> 1 es un a ra íz ra c io n a l d e P (x)
40
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
TEOREMA DEL FACTOR
R esolución:
S e a P (x) un p o lin o m io ta l q u e g ra d o d e P (x) > 1
E = x 3y - x 3z + x 2y2 - x 2y z - y 2z 2 + y z 3 xyz2 + xz 3
E = x 3(y - z) + x 2y (y - z ) - y z 2(y - z ) -
P (a) = 0 o (x - a) es un fa c to r d e P (x)
E je m p lo :
P (x) = x 3 + 2 x 2 - 4 x - 8
SI: x = 2 =3 P (2 ) = 0
=s (x - 2 ) es un fa c to r d e P (x)
L u e g o el p o lin o m io se p u e d e e x p re s a r d e la fo rm a :
P (x) = (x - 2 )Q (x )
x z 2(y - z)
E = (y - z )[x 3 + x 2y - y z 2 - x z 2]
E = (y - z )[x 2(x + y) - z 2(x + y)]
E = (y - z )(x + y )(x 2 - z 2)
E = (y - z )(x + y )(x + z )(x - z)
3.
B u s c a r el e q u iv a le n te d e la e x p re s ió n :
b2 + c 2 - a 2 - d 2 + 2a d + 2 b c
P ro c e d im ie n to p a ra fa c to riz a r
S e a P (x) el p o lin o m io a fa c to riz a r p rim e ro b u s c a ­
m o s un a ra íz ra c io n a l (se a a d ic h a raíz).
Resolución:
(b 2 + 2 b c + c 2) - (a 2 - 2 a d + d 2)
(b + c )2 - (a - d )2
P o r d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :
(b + c + a - d )(b + c - a + d)
L u e g o P (a) = 0 y p o r el te o re m a d e l fa c to r (x - a)
e s un fa c to r d e P (x) e n to n c e s el p o lin o m io se p u e ­
d e e x p re s a r d e la fo rm a : P (x) = (x - a) q (x )
D o n d e q (x ) es el c o c ie n te d e la s ig u ie n te d iv is ió n :
P (x )
4.
en d o n d e pa ra h a lla rla se a p lic a R uffini.
Resolución:
A g ru p a n d o c o n v e n ie n te m e n te :
E = x 6 - (x2 + 8 x + 16)
P la n te a n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :
E = (x 3)2 - (x + 4 )2
E = (x 3 + x + 4 )(x 3 - x - 4 )
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
F a c to riz a r P (x) = x 3 - 2 x 2 - 2 x - 3
Resolución:
B u s c a m o s la s p o s ib le s ra íc e s ra c io n a le s .
PRR = ±
5.
= + 1, ± 3
Resolución:
6.
3
1
-2
-2
-3
3
3
3
1
1
0
Resolución:
=> P (x) = (x - 3 )(x 2 + x + 1)
P (x) = (x - 3 )(x 2 + x + 1)
L u e g o el p o lin o m io tie n e 2 fa c to re s p rim o s.
D e s c o m p o n e r en fa cto re s :
x 3y + x 2y 2 - x 2y z + y z 3 - x y z 2 + x z 3 y 2z 2 - x 3z
U n o d e lo s fa c to re s d e x 4 + 2 x 2 + 9 es:
S e g e n e ra un a d ife re n c ia d e c u a d ra d o s q u i­
ta n d o 4 x 2 y p o n ie n d o 4 x 2. A sí:
E = x4 + 2x2 + 4x2 + 9 - 4 x 2
E = (x4 + 6 x 2 + 9 ) - 4 x 2
E = (x2 + 3 )2 - (2 x )2
E = (x 2 + 2x + 3 )(x 2 - 2x + 3)
coef. d e q(x)
2.
D e s c o m p o n e r el b in o m io x 4 + 4 y 4 en el p ro ­
d u c to d e d o s b in o m io s rea les.
S u m a n d o y re s ta n d o 4 x 2y 2, se tiene :
x 4 + 4 y 4 = (x4 + 4 x 2y2 + 4 y 4) - 4 x 2y 2
x 4 + 4 y 4 = (x2 + 2 y 2)2 - (2 x y )2
x4 + 4 y 4 = (x 2 + 2 x y + 2 y 2)(x 2 - 2 x y + 2 y 2)
D e aquí 3 es una raíz racional porque P (3) = 0
y p o r te o re m a (x - 3) es un fa c to r d e P (x),
lu e g o : P (x) = (x - 3 )Q (x). H a lla n d o Q (x) p o r
P (x )
-R uffini, en la s ig u ie n te d iv is ió n :
x - 3
1
H a lla r un o d e los fa c to re s de: x 6 - x 2 - 8x - 16
7.
F a c to riz a r el s ig u ie n te p o lin o m io :
a 2 + 2 a b + b2 - 2 a - 2 b - 35
R esolución:
A g ru p a n d o c o n v e n ie n te m e n te , se logra:
A lg e b r a |
a) 5
d) 4
(a + b )2 - 2 (a + b) - 35
(a + b )
7
(a + b)
+5
9.
(a + b — 7)(a + b + 5)
41
b) 6
c) 2
e ) h a y 2 re s p u e s ta s .
F a ctorizar: P(x, y) = (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 3
e in d iq u e q u é fa c to r e s prim o .
a )x + y + 9
d) x + y + 1
b )x + y - 2
e ) x + y + 10
c )x
+ y + 2
[^ E J E R C IC IO S PROPUESTOS " I
1.
F a c to rlz a r: 3 a 3b - 4 a 2b + 3 a c - 4c, d a r uno
d e sus fa c to re s .
a ) a 2b + c 3
d) 2a - 3
2.
6.
b) 3
e )6
7.
c) 3
b) 5a b - 1
e) ab - 1
c) 2 a b - 3
F a c to riz a r: (x + y )4 - 5 x y (x + y )2 + 6 x 2y 2, in d i­
c a r un o d e s u s fa c to re s .
b) 2 x 2 - 2 y 2
d) x2 + y 2 + xy
Factorizar: F(x) = (x2 + x + 1)2 - 16x(x + 1) + 23,
s e ñ a la r q u e fa c to r no p e rte n e c e a F(x).
a) x - 3
d) x + 2
8.
c) 4
b) 2
e )5
a) x 2 - y 2
c) x 2 + y 2
e ) x 2 + y 2 - xy
b) x - 1
e) x + 4
c) 9 x 4 + 5 y 2
F a c to riz a r: F(x; y) = (x 2 - y 2)2 - (y 2 - 1)2, in ­
d ic a r un fa c to r p rim o .
a) x + y
d) x 2 + y
b) x - y
e) y - 1
c) x + 1
12. F a c to riz a r: R (x; y) = y 2 - x 2 + 6 x - 9, In d ic a r
el fa c to r p rim o d e m a y o r s u m a d e c o e ficie n te s .
In d ic a r la s u m a d e té rm in o s d e lo s fa c to re s :
6 a 2b2 - 11ab + 3
a) 5 a b - 4
d) 8ab
b) 9 x 4 - 4 y 2
e ) 3 x 2 + 2y
c) 2 b - a
F a c to riz a r: (a 3 + b 3 + c 3)3 - a 3 - b 3 - c 3 e
in d ic a r el n ú m e ro d e fa c to re s p rim o s
a) 1
d )4
5.
11.
C u á n to s fa c to re s p rim o s tie n e : a 7b 5 - a 3b9
a) 2
d )5
4.
b) 2 + b
e) b - 2
a) 6 x 4 - 5 x 2
d) 6 x 4 + 4 y 2
c) 3 a - 4
F a c to riz a r: 2 a 3 + b 3 - a 2b - 2 a b 2 e in d ic a r un
factor.
a) a + 2
d) a - b
3.
b) ab + c
e ) 3a + 4
10. F a c to riz a r: H (x; y) = 5 4 x 8 + 2 1 x 4y 2 - 2 0 y 4 e
in d iq u e un fa c to r p rim o .
c) x + 1
F a cto riza r: (x 2 + 5 )2 + 1 3 x(x 2 + 5) + 4 2 x 2
in d iq u e la s u m a d e c o e fic ie n te s d e un fa c to r
prim o.
a) y +
d) x +
x - 3 b) y - x + 3
2 y - 1 e ) y + 2 + 3x
c )x + y + 2
13. F a c to riz a r: 8 1 a 4 + 9 a 2 + 1, d a r el p ro d u c to de
té rm in o s d e u n o d e s u s fa c to re s .
a) 9 a 2 + 1
d) a 3
.
b) - 2 7 a 3
e ) 27
c) 27 a
14. H a lla r la d ife re n c ia d e io s fa c to re s p rim o s de:
P (x) = (x + 1)(x + 2 )(x + 3 )(x + 4 ) - 3
a) x
b) 2
c) 1
d) 4
e) x 2
15. H a lla r el fa c to r p rim o q u e m á s v e c e s se rep ite :
P (x) = x 4 + 7 x 3 + 1 7 x2 + 17x + 6
a) x +
d) x -
1
3
b) x + 2
e) x - 2
c) x + 3
16. F a c to riz a r: P (x) = x 3 - 12 x2 + 4 7 x - 60 e in ­
d iq u e la s u m a de lo s té rm in o s in d e p e n d ie n te s
d e s u s fa c to re s prim o s.
a ) 10
d ) 12
b ) —14
e ) —12
c) 19
17. F a c to riz a r:
(a - b )2(c - d )2 + 2 a b (c - d )2 + 2 c d (a 2 + b2)
e in d ic a r la s u m a d e sus fa c to re s .
a) a 2 + b2
c) a 2 + b2 + c 2 + d 2
e) c 2 + b
b) c 2 + d 2
d) a 2 - b + c
42
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
18. In d ic a r la s u m a d e los fa c to re s p rim o s o b te n i­
d o s al fa c to riz a r: P (x) = 8 x 3 - 1 2 x2 - 2 x + 3
a ) 6x
d )9 x - 1
b) 6 x - 3
e) 6x - 1
c) 8x + 1
19. F a cto riza r: F (x) = 2 4 x 3 + 1 7 x2 + 11x + 3 e In­
d iq u e la s u m a d e c o e fic ie n te s d e s u s fa c to re s
prim o s.
a) 3
d) 27
b) 15
e ) 11
c )1
21 . F actorizar: (a + b + c + d )2 - a2 - b2 - ac - ad
in d ic a r lu e g o u n o d e lo s fa c to re s prim o s.
b) d + 2 b + c
e )b + c + d
c) a + b+ c
22 . F a c to riz a r el p o lin o m io :
x 2 - y 2 + 2 z 2 - z 2 - 8x + 16, d e c ó m o re s ­
p u e s ta la s u m a a lg e b ra ic a de lo s té rm in o s In­
d e p e n d ie n te s d e lo s fa c to re s p rim o s.
a )-8
d) - 4
26 .
b) 8
e) 0
27 .
b) 4
e )2
23. A l e s c rib ir el p o lin o m io :
x 7 - 4 x 6 + 2 x 4 - 3 x 3 + x 2 - 1 b a jo la fo rm a
(x - 1 )a(x + 1 )b h a lla r el v a lo r d e a - b.
a) 2 a 2 - b c 2
c) 2 a 2 + b - c 2
e) 2 c 2 - b + c
b) 2
c) —1
d ) —2
a) 1
d )4
b) 2
e )5
b 3(a - c2) + c3(b - a 2) + a b c fa b c - 1) +
a 3(c - b2)
b) c 2 - b
e) a2 + b
c) 3
29. In d iq u e u n o d e lo s fa c to re s p rim o s en:
a 3 + b3 - 6 a b + 8
b) a + b + 2
e) a + b + 1
c) a + b + 6
30. In d iq u e la s u m a d e fa c to re s p rim o s en:
(a 2 - b2 - c 2)2 - 4 b 2c2
a)
4a
b) 2 a
0 e ) 5a
c) a
e) 3
24. In d iq u e u n o d e lo s fa c to re s p rim o s en:
a) a 2 - b
d) a 2 - c
b) 2 a 2 + b + c
d) 2 b 2 - a - c
28. In d iq u e el n ú m e ro d e fa c to re s p rim o s en:
(x2 + 5 + 7 x )2 + 3 x 2 + 5 + 2 1 x
d)
a) 1
c) 5
In d iq u e la s u m a
d e fa c to re s p rim o s en:
a4 + 5 b c 2 - a2b - a 2c2 - 2 b 2 - 2 c 4
a) a + b + 3
d) a + b + 5
c) 4
b) 4 a + 4 b + 4 c
d ) 4 a + 3b + c
In d iq u e el n ú m e ro d e fa c to re s prim o s:
(1 8 c + 7 b + 6 a )(a + 3 c + 3b ) + 3 b 2
a) 3
d )6
b) 7
e )-3
a) a + 2 c + d
d )a + b + d
In d iq u e la s u m a d e fa c to re s p rim o s:
8 (a + b + c )3 - (a + b )3 - (a + c )3 [b 3 + 3 b c (b + c) + c 3]
a) 4 a - 4 b - 4 c
c) 4 a + 3b + c
e ) 4 a + 3 b + 3c
c) 7
20. S e ñ a la r el v a lo r d e m p a ra qu e:
P(x; y) = 2 x 2 + m x y + 3y2 - 5y - 2 p u e d a e x p re ­
s a rs e c o m o la m u ltip lic a c ió n d e 2 p o lin o m io s .
a) 0
d) 5
25.
c) c2 - c
1. c
7. c
13. b
19. e
25.
2. d
8. e
14. d
20. b
26. e
b
9. d
15. a
21. b
27. a
c
10. e
16. e
22. a
28. c
5. a
11. c
17. c
23. a
29. c
6. c
12. b
18. b
24. a
30. a
3. d
4.
FRACCIONES ALGEBRAICAS
MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)
A = (x2 + y 2 f z 2)(x 2 + y 2 - z 2)
D e d o s o m á s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s , es la e x ­
p re s ió n d e m a y o r g ra d o p o s ib le q u e e s tá c o n te n id a
c o m o fa cto r, un n ú m e ro e n te ro d e v e c e s e n d ich a s
e x p re s io n e s . P a ra d e te rm in a r el m á x im o c o m ú n
d iv is o r se fa c to riz a n la s e x p re s io n e s y se fo rm a el
p ro d u c to d e lo s fa c to re s c o m u n e s c o n su m e n o r
e x p o n e n te .
B = (x2 + y 2)2 + 2 z 2(x2 + y 2) + z 4
B = (x 2 + y 2 + z 2)2
C = (x4 + 2 x 2z 2 + z 4) - y4 = (x2 + z 2)2 - (y2)2
C = (x2 + z 2 + y 2)(x2 + z 2 - y 2)*
M C D (A ; B; C ) = x 2 + y2 + z 2
M C M (A ; B: C ) = (x2 + y2 + z 2)2(x2 + y 2 - z 2)
(x2 + z 2 - y 2)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
D e d o s o m á s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s , e s la e x ­
p re s ió n d e m e n o r g ra d o p o s ib le q u e c o n te n g a
un n ú m e ro e n te ro d e v e c e s c o m o fa c to r a d ich a s
e x p re s io n e s . P ara d e te rm in a r el m ín im o c o m ú n
m ú ltip lo se fa c to riz a n las e x p re s io n e s y se fo rm a
el p ro d u c to d e lo s fa c to rs c o m u n e s y no c o m u n e s
c o n su m a y o r e x p o n e n te .
E je m p lo s :
1.
H a lla r el m á x im o c o m ú n d iv is o r y el m ín im o
c o m ú n m ú ltip lo de:
3.
H a lla r el M C D y el M C M de:
A = x3
+
B = x3
+
5x2 + 8x + 4
3x2 - 4
C = x3
+
6 x 2 + 12x + 8
R esolución:
F a c to riz a n d o ca d a e x p re s ió n :
A = (x 3 + 2 x 2) + (3 x 2 + 8x + 4 ) fa c to riz a n d o
p o r a s p a s im p le el s e g u n d o p a ré n te s is :
3x
+2
+2
Resolución:
En A: A = x 4(x - a ) - a4(x - a)
E xtrayendo fa cto r com ún y de sa rrolland o x4 - a4:
A = x 2(x + 2) + (3 x + 2 )(x + 2)
A = (x + 2 )(x 2 + 3x + 2)
F a c to riz a n d o p o r a s p a s im p le el s e g u n d o p a ­
ré n te s is :
A = (x - a )(x 2 + a2)(x + a )(x - a); fin a lm e n te :
:x
-
A = (x - a )2(x 2 + a 2)(x + a)
En B: e x tra y e n d o fa c to r c o m ú n :
B = x (x 3 - a x 2 - a 2x + a 3)
B = x [x 2(x - a) - a 2(x - a)]
B = x (x - a )(x + a )(x - a); fin a lm e n te :
B = x (x - a )2(x + a)
M C D (A ; B): (x - a )2(x + a)
+2
+1
A = (x + 2 )(x + 1 )(x + 2 ) = (x + 1)(x + 2 )2
B = x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4
F a c to riz a n d o en lo s d o s p rim e ro s y en lo s d o s
ú ltim o s té rm in o s :
B = x 2(x - 1) + 4 (x 2 - 1)
M C M (A ; B): x (x - a )2(x + a )(x 2 + a 2)
B = x 2(x - 1) + 4 (x + 1 )(x - 1)
H a lla r el M C D y el M C M de:
C = x 3 + 6 x 2 + 12x + 8 = (x 3 + 8) +
B = (x - 1 )(x 2 + 4 x + 4 ) = (x - 1 )(x + 2 )2
2.
A = x 2(x2 + 2 y 2) + (y2 + z 2)(y + z )(y - z)
(6 x 2 + 12 x) = (x 3 + 2 3) + (6 x 2 + 12x)
B = (x2 + y 2)(x 2 + y 2 + 2 z 2) + z 4
C = (x + 2 )(x 2 - 2x + 4 ) + 6 x (x + 2)
C = x4
C = (x + 2 )(x 2 - 2x + 4 + 6x)
a
2 x 2z 2 + z 4
Resolución:
C = (x + 2 )(x 2 + 4 x + 4 ) = (x + 2 )(x + 2 )z
F a c to riz a n d o s e p a ra d a m e n te c a d a e x p re s ió n :
C = (x + 2 )3
A = x 4 + 2 x 2y 2 + (y2 + z 2)(y2 - z 2)
M C D (A ; B; C ) = (x + 2)
A = (x4 + 2 x 2y2 + y 4) - z 4 = (x2 + y 2)2 - (z2)2
M C M (A ; B; C ) = (x + 2 )3(x + 1)(x - 1)
44
I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1
(a -b )(a -c )
E s fra c c ió n a lg e b ra ic a to d a a q u e lla e x p re s ió n q u e
tie n e p o r lo m e n o s un a le tra en el d e n o m in a d o r.
E je m p lo s :
1 2x + 3y
X
X- z
^ _2/ 4zb
4 5
4)(
S ig n o s d e u n a fra c c ió n . En un a fra c c ió n se ha lla n
tre s sig n o s:
1.
2.
3.
S ig n o d e l n u m e ra d o r
S ig n o d e l d e n o m in a d o r
S ig n o d e la fra c c ió n
EJERCICIOS RESUELTOS
S im p lific a r:
x 3 + (2 a + b )x 2 + ( a 2 + 2 a b )x + a 2b
x 3 + (a + 2 b ) x 2 + (b 2 + 2 a b )x + a b 2
C u a n d o no h a y fa c to re s in d ic a d o s . En to d a
fra c c ió n se p u e d e c a m b ia r d o s d e s u s tre s s ig ­
no s y la fra c c ió n no se alte ra . A sí:
p
+ b
0
S im p lific a c ió n d e fra c c io n e s . P ara s im p lific a r
un a fra c c ió n se fa c to riz a el n u m e ra d o r y el d e n o ­
m in a d o r y se e lim in a los fa c to re s c o m u n e s q u e
a c e p ta n .
CAMBIOS DE SIGNOS EN UNA FRACCIÓN
1.
1
■=
(a -b )(a -c )
Resolución:
—3 _ + 3
E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s in d ic a d a s :
+ b
x 3 + 2 a x 2 + b x 2 + a 2x + 2 a b x + a 2b
- b
x 3 + a x 2 + 2 b x 2 + b 2x + 2 a b x + a b 2
E je m p lo :
O rd e n a n d o y fa c to riz a n d o :
S im p lific a r: E
x ( x 2 + 2 a x + a 2) + b ( x 2 + 2 a x + a 2)
Resolución:
x (x 2 + 2bx
C a m b ia n d o d e s ig n o a la fra c c ió n y al n u m e ra ib 2 - a 2)
(b 2 - a 2)
(x +
a )2 ( x
+ b) ^
(x + b)2 (x + a )
2.
S im p lific a r: E =
x +
a
x + b
a b íx 2 + y 2 ) + x y ía 2 + b 2)
a b ( x 2 - y 2) + x y ( a 2 - b 2)
Resolución:
E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s in d ic a d a s :
E je m p lo :
S im p lific a r: E
b 2 ) + a ( x 2 + 2 b x + b 2)
C a d a p a ré n te s is es un b in o m io al cu a d ra d o :
-1
C u a n d o la fra c c ió n tie n e fa c to re s in d ic a ­
d o s . En to d a fra c c ió n si se c a m b ia d e s ig n o
a un n ú m e ro p a r d e fa c to re s , la fra c c ió n n o se
a lte ra ; si se c a m b ia d e s ig n o un n ú m e ro im p a r
d e fa c to re s , la fra c c ió n c a m b ia d e sig n o . A sí:
l-
^ _ a b x 2 + a b y 2 + a 2xy + b 2xy
(a - b) (a - c)
a b x 2 - a b y 2 + a 2x y - b 2x y
(b - a ) (c - a)
Resolución:
a x íb x + a y ) + b y fa y + bx )
C a m b ia n d o d e s ig n o a lo s d o s fa c to re s d e l de
(b - a )(a - c)
n o m in a d o r se o b tie n e : E =
(b - a )(a - c)
a x (b x + a y ) - b y (a y + bx )
E je m p lo :
1
1
S im p lific a r: E = -,
.
(a -b )(a -c )
(a -b )(c -a )
Resolución:
C a m b ia n d o d e s ig n o al fa c to r (c - a ) en la s e ­
g u n d a fra c c ió n , s e o b tie n e :
3.
(b x + a y )(a x + b y )
ax + by
(b x + a y )(a x - by )
ax - by
S im p lific a r: E =
(x + 1)(x2 - 9 ) ( x - 5 ) + 2 7
(x + 2)(x2 - 16 ) ( x - 6 ) + 48
Resolución:
D e s c o m p o n ie n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :
Á lg ebra |
6.
_ ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) + 27
45
H a lla r el p ro d u cto :
E = ( i± Á _ J _ z A y J L + 4 “ X
1- x
1 + x /\4 x
4
(x + 2 )( x + 4 ) ( x - 4 ) (x - 6 ) + 4 8
(x + 1)(x - 3 )(x + 3 )(x - 5 ) + 27
Resolución:
~~ (x + 2 )(x - 4 ) ( x + 4 )( x - 6 ) + 4 8
T ra b a ja n d o co n c a d a fa cto r:
E fe c tu a n d o lo s p ro d u c to s d e d o s e n dos:
_ ( x 2 - 2x - 3 ) (x 2 - 2x - 151 + 27
(1 + X )2 - ( 1 - x ) 2
4x
(1 + x ) ( 1 - x )
1 -x 2
( x 2 - 2x - 8 ) ( x 2 - 2x - 2 4 ) + 4 8
3 + x2 - 4x2
4x
H a c ie n d o x 2 - 2 x = y:
( y - 3 ) ( y - 1 5 ) + 27
E= (Y - 8 )(y - 24 ) + 48
E=
y2 -1 8 y
+ 45 + 27
E
y 2 - 18y + 72
(y — 1 2 )(y — 6)
y - 6
(y - 2 0 )(y - 12)
y - 20
7.
x 2 - 2x - 20
5.
Si x
b
a
a + (a 2 - 1)1/2
a + x
a - x
E =
R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :
c
a2 - b2
b (a -b )
ab
- a ( a - b)
E
a - (a 2 - 1)1/2
E =
ab - a
Resolución:
ab
a - ( a 2 - 1)1/2
H a c ie n d o : (a 2 - 1 )1/2 = x
ab - b
ab
E _ a + (a 2 - 1)1/2
R esolución:
R e d u c ir a su m ín im a e x p re s ió n :
E =
e
8.
— =*
a
a -x
a + x
(a + x )2 - (a - x )2
4ax
R e p o n ie n d o : E :
E = —7- — —r- + ab
ab
a
a
3
R e d u c ir a su m ín im a e x p re s ió n :
x 2 - 2x ~ 6
R e p o n ie n d o v a lo re s d e y: E
4.
Á 3 (1 - x 2 )\ =
4x
1 —x¿
y 2 _ 32y + 192 + 48
y 2 - 32y + 240
3(1 ~ x 2)
4x
4 a ( a 2 - 1)1' 2
4 a ( a 2 - 1)1/
= 4 a (a 2 - 1 )1/2
E fe c tu a r la s ig u ie n te s im p lific a c ió n :
8xy
±1, h a lla r el p ro d u cto :
4 x 2 + 2xy + y 2
E =
( x + 1)2(x 2 - x + 1)2
( x - 1)2(x 2 + x + 1)2
8x3 + y 3
(x 3 + 1 )2
(x3 - 1)
8x3 - y 3
2V
2x + y
Resolución:
Resolución:
T ra b a ja n d o en el in te rio r d e c a d a c o rch e te :
T ra b a ja n d o c o n c a d a u n o d e lo s m ie m b ro s de
la fra c c ió n :
p =
(x + 1)2(x 2 - x + 1)2]2 r( x - 1)2(x 2 + x + 1)2
(x 3 + 1)2
(x 3 - 1)
( x 3 + 1)
( X 3 ~ 1)2
( x 3 + 1)2
(X 3 -
1)2
P = [ I ] 2 A [1 ]2 a P = 1
D =
8 x 2 + 4xy + 2 y 2 - 8xy
2 (4 x 2 - 2xy + y2)
4x + 2xy + y
(4 x 2 + 2xy + y 2
(2 x + y )( 4 x 2 - 2 x y + y 2) 2x - y
(2 x - y )( 4 x 2 + 2 x y + y 2) 2x + y
E = N /D = 2
46
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
9.
R e d u c ir:
E
E —----------1■
T -4 + 2W [(a + -¿Mxd + a)l
2az
"1- a
1+a-
12. S im p lific a r: E
Resolución:
1
1+
P2- Í Í > 4
Resolución:
E fe ctu a n d o o p e ra c io n e s , de a b a jo h a cia arriba:
E =
- if í a - i
F a c to riz a n d o las d ife re n c ia s d e c u a d ra d o s en
el p rim e r p a ré n te s is d e l n u m e ra d o r y d e n o m i­
n a do r:
(1 + a)
-x-
a(1 - a )
(1 + a 2
E =
E = (1 + a 2) ; , (1 + a )
(1 + a )
la 4
(1 + a 2)
(1 + a ) . a _
( 1 + a ) X ( a 2 + 1) _ a
10.
S im p lific a r la e x p re s ió n :
K
1 - a2
E =
E = ■
(1 + a x )2 - ( a + x )2
Resolución:
í i - i
n
T ra b a ja n d o c o n el d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n
y re p re s e n ta n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :
(1 + ax + a + x)(1 + ax - a - x)
E =
A g ru p a n d o y fa c to riz a n d o :
[(1 + a ) + x(1 + a)] . [(1 - a) - x(1 - a)]
a+¿
a
3
1
b
b + i
a
b -1
a
-n
ab + 1 n ab - 1
b
b
ab + 1 ab - 1
a
a
/ a ,°
m = 1
E =
E = 1
(1 + a)(1 + x)(1 - a)(1 - x)
=> (1 - a 2)(1 - x 2)
Toda la fra c c ió n : E =
11.
1 —a2
1
— =
(1 - a )(1 - x )
1 —x
H a lla r la e x p re s ió n e q u iv a le n te a:
I " - EJER C IC IO S P R O P U E S T O S ''|
1.
mi - m!n + m n2 _ n3
, - 2 7
3
/m
a) (x + 1)2(x - 3 )2
b ) ( x + 1)4
c ) ( x + 6 )7
d ) (x + 1)4(x - 3 )4
e ) (x + 1)(x - 1)(x - 3)
Resolución:
Sabemos que: | m - n | = ^
- m_J2 + m n 2 - n 3
2.
R e e m p la z a n d o : E
H a lla r el M C D de:
P (x) = (x + 1)2(x - 3 )4(x + 5 )6
Q (x ) = (x + 1 )2(x + 1 )3(x - 3 )2
R (x) = (x + 1)4(x - 3 )3(x + 6 )7
\ 3
H a lla r el M C M de: P (x) = (x + 1 )2(x - 3 )4
Q (x ) = (x - 3 ) 5 ( x + 4 )2
a ) (x + 1 ) 2(x -
3 )5(x + 4 )
b) x - 3 )6
c) (x + 1 ) 2 ( x - 3 )5(x + 4 )2
Á lg ebra |
d) (x - 3 )4
e) (x + 1 )2(x 3.
3 ) 4 (x
Q (x ) = x 4 + 2 x 3 - 7 x 2 + px + q
es x 2 - 5x - 6. H a lle el g ra d o d e l M C M de
d ic h o s p o lin o m io s .
+ 4 )2
H a lla el M C D d e la s s ig u ie n te s e x p re s io n e s :
a) 1
a - 1x n - 1; b Á " - 2; c - ’ x 11- 3
a) abcx"
d )x n- 2
4.
5.
b) x n/a b c
e) x n ~ 1
10.
c )x n ~ 3
b)
d )a b c x n ~ 4
e )x n~ 5
c )a b c x n ~ 6
abe
11.
E fe c tu a r:
B (x, y, z ) = x a - 1y b + 3z c
b) x 8y 9z 6
d)
e) x 8y 6z 9
2
-
b) 3 /(x —2)
d) 3
b) x - 2
4 e) x +
x2
xy + y
a) 0
d)
7.
a)
d)
c) x + 5
b) x /y
2 e )— 1
x2
+ 2
- 2
x2
c) y/x
1
x2
x2
+ x
+ x
b )x + 4
e) x + 3
Si el M C D d e los p o lin o m io s :
P (x) = x 4 - 9 x 2 + m x + n
c) x - 5
15.
+
es el
16.
x
x2
+
x
1
+
- 2
+ 1
1
1
c)
b ) ^ ± ^
3x + y
d)
b)
d)
b)
e)
1
x -
x -1
x
+ 1
(x + 2 y )2 - y 2
y2 E fe c tu a r: P = - --------------------------- y
(2 x + y ) - x
x - ( 4 x + y)
a ) -TT— —
3y + x
¿ C u á l d e las e x p re s io n e s q u e
se d a n
M C D d e (3 x 3 - 8x + 8) y (x3 - 6x - 4 )7
a )x + 5
d) x + 2
9.
14.
E n c o n tra r el M C D d e lo s p o lin o m io s :
P (x) = x 4 - 5 x 2 + 4
Q (x ) = x 3 + x 2 - 4 x - 4
R (x) = x 3 - 2 x 2 - x + 2
8.
c) 1
4
+
V ■■■- Á _ 1
xy + x
y
x
13. E fe c tu a r: M =
b) x - 1
e ) x (x - 2)
a) x2 - x - 1
c) x 2 - x - 2
e) x - 1
x 2 + 4x
x2 + 6x + 8
c) x 8y 10z 6
S ie n d o : A (x ) = x 2 + 3x - 10
B (x) = x 4 - 2 5 x 2
C (x ) = x 3 + 4 x 2 - 5x
h a lle el M C D ÍA ; B; C ).
a) x - 2
d) x
e) 7
^ x + 6 , x 2 + x - 20
x - x -
x +
6.
d) 6
E fe ctu a r: x2 - x - 2 , x 2 - 2x - 3
x2 - 4
x2 - x - 6
12. R e d u c ir:
C (x, y, z ) = x a ~ 2y b r2z c * 2
in d iq u e el M C M (A ; B; C ).
a ) x 10y6
c) 3
áÍ
a) x +
d)
x
D a d o s lo s m o n o m io s :
A (x , y, z ) = x a ~ 3y b ~ 'z c - 1
x 7y 6z 5
b) 2
a ) 2 /(x + 1 )
c) ( x - 2 ) /( x + 1 )
e )2
H a lla r el M C D d e las e x p re s io n e s :
a x n ~ 3; b x n ~ 4; c x n ~ 5
a )a b c x n ~ 3
47
1e)
E fe ctu a r:
11
,
( a - b )2( a - c )
1
x -1
a) x / ( x - 1 )
c) - 2 / ( x + 1 ) 2
e)
1
2x
3x + y
2
1
,
1
(b -a )(b -c ) ' (c -a )(c -b )
a) abe
c) a b + be + a c
e) 0
E fe c tu a r:
c)
b) a + b + c
d) 1
2
x + 1
2
x2 - 1
,
x -1
(x + 1 )2
b) 1 /(x + 1 )2
d) 3 /(x + 1 )2
48
17.
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
E fe ctu a r:
1 1 a -7 b , 2 x -3 y
E= 7 b -1 1 a
- 3 y + 2x
a) 4
b) 3
c) 2
x + y
x + y
x2 - y3
y3 - xz
e)
d) 1
0
e)
18.
E fe ctu a r: E
1
x(x + y)
b)
n
x (x + ny)
d)
25 ■x2
20 .
1
x (x + ny)
n
x 2 - 5 x + 6 , x + 6x - 27
x2 - 9
x(x + y)
E fe ctu a r: N
(x 2 + 2 x (x 2 + 1f - ( x 2 - 2 x - 1)2
, 2x+1
9 x + 20
a)
a)
d)
19.
0
2x - 1
b)
3
e)
4
c)
2
H a lla r el e q u iv a le n te de:
1
,
1
s =
x(x + y) (x + y)(x + 2y)
1
.
1
(x + 2y) (x + 3y) (x + 3y) (x + 4y)
. n fracciones
b )-i
1
x - 1
d)
x + 1
1.
2.
3.
4.
a
c
c
e
e)
5.
6.
7.
8.
c
c
c
d
C)
X + 1
1
x + 1
9.
10.
11.
12.
d
e
c
e
13.
14.
15.
16.
a
e
e
c
17.
18.
19.
20.
e
d
c
a
BINOMIO DE NEWTON
SIMBOLO FACTORIAL
D a d o un n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n, s e d e fin e su
fa c to ria l al p ro d u c to d e lo s fa c to re s c o n s e c u tiv o s
d e s d e la u n id a d h a sta d ic h o n ú m e ro p ro p u e s to .
P ro p ie d a d e s d e l c o e fic ie n te b in ó m ic o
1.
Si el Indice inferior es cero, el coeficiente vale uno.
(o)-'
2.
N o ta c ió n :
E x is te n d o s n o ta c io n e s : n! y [n
3.
E je m p lo s :
1!
Si el ín d ic e in fe rio r e s la u n d ia d , el c o e fic ie n te
es ig u a l al ín d ic e s u p e rio r:
= 1
= m
S u m a d e c o e fic ie n te s b in ó m ic o s :
Q - ( n T , ) - c ; í )
2! = 1 > 2 = 2
31 = 1 x 2 x 3 = 6
41 = 1 x 2 x 3 x 4 = 2 4
51 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
4.
cY lo ia &/.-■....................................
,
L a s p ro p ie d a d e s s ig u ie n te s s e c u m p le n c u a n ­
d o lo s e le m e n to s son n ú m e ro s n a tu ra le s, d e ­
b ie n d o s e r la b a se m a y o r o ig u a l q u e el o rd e n .
E s to s o p e ra d o re s ta m b ié n s e d e n o m in a n n ú ­
m e ro s c o m b in a to rio s y se le s re p re s e n ta por:
a! = 1 = » a = 0 v a ;
a! = b! => a = b
a! = a (a - 1)!
C” - ( n )
'
C " “ ( n ) = n ! ( m X n"|"i
En g e n e ra l:
n! = 1 x 2 x 3 x . . . x n
•
:n e IN
» ( ™ ) = ( m h n)
e s - 0
- 1
COEFICIENTE BINOMICO
•
E s un o p e ra d o r m a te m á tic o , q u e se u tiliz a p a ra re ­
p re s e n ta r los c o e fic ie n te s q u e se o b tie n e n al d e s a ­
rro lla r la p o te n c ia d e un b in o m io .
• C T .Q -0 ;s ¡m
N o ta c ió n :
U n c o e fic ie n te b in ó m ic o s e re p re s e n ta I
- n
BINOMIO DE NEWTON
I q u e se
le e "c o e fic ie n te b in ó m ic o m s o b re n ” .
E le m e n to s :
1. ín d ic e s u p e rio r o b a s e . Es el n ú m e ro q u e se
ha re p re s e n ta d o c o n m y q u e tie n e v a lo r a rb i­
tra rio .
2.
ín d ic e in fe rio r u o rd e n . E s el n ú m e ro e n te ro
y p o sitiv o , d e s ig n a d o c o n n, q u e in d ic a el to ta l
d e fa c to re s q u e h a y e n el d e s a rro llo .
D e s a rro llo g e n e ra l d e l c o e fic ie n te b in ó m ic o
S e d a e s te n o m b re a la p o te n c ia in d ic a d a d e un
b in o m io .
E je m p lo s :
(a + b )5; (a - b)~ 2; (1 + x ) M/3
DESARROLLO DEL BINOMIO (a + b )n
R e g la p rá c tic a : un c o e fic ie n te c u a lq u ie ra del d e ­
s a rro llo , se o b tie n e m u ltip lic a n d o el c o e fic ie n te a n ­
te rio r al q u e d e s e a m o s c a lc u la r p o r el e x p o n e n te
d e a, y lu e g o d iv id ie n d o e n tre el e x p o n e n te d e b
a u m e n ta d o en la un id ad.
E je m p lo s :
m (m - 1) (m - 2 ) ... (m - n + 1)
0
=
n (n - 1 )(n - 2 ) ... 1
E je m p lo :
/1 2 \ _ (12)(11)(10)(9)(8)
c i>
(5 ) (4 )(3 )(2 )(1 )
= 79 2
(a + b )4 = a4 + 4 a 3b + 6 a 2b 2 + 4 a b 3 + b4
(a + b )“ 2 = a -2 - 2 a ~ 3b + 3a~4b2 - 4 a ~ sb 3 + ...
O b s e rv a c ió n :
Si el e x p o n e n te e s e n te ro n e g a tiv o o fra c c io n a rio ,
el d e s a rro llo a d m ite in fin id a d d e té rm in o s .
50
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
TRIANGULO DE PASCAL
Resolución:
N os s irv e p a ra o b te n e r lo s c o e fic ie n te s del d e s a ­
rro llo d e un b in o m io p a ra e x p o n e n te n a tu ra l.
D e s a rro lla n d o el n ú m e ro c o m b in a to rio y e fe c ­
tu a n d o c a d a s u m a in d ic a d a se c o n s ig u e :
1
1
1
1
1
3
4
2
1
3
6
5
10
1
4
10
1
5
mx x! m!(m + 1)(m + 2)(m + 3)... (m +
3x(m + x ) ! . m . m . m ....... m
(a + b)°
(a + b )1
(a + b )2
(a + b )3
(a + b )4
(a + b )5
1
1
1
T é rm in o g e n e ra l d e l d e s a rro llo de (a
+
x) _ ^RRn
x veces
T ra n s fo rm a n d o c a d a e x p re s ió n in d ic a d a te
n e m o s:
m x (x !)(m + x )l
3 x (m + x )l m x
b)
xi
x (x — 1)1
= x- =
- 1680
3x
3x
(x - 1)! = 5040, es decir: (x - 1)! = 7! de donde:
x - 1 = 7 =* x = 8
d o n d e : (k
t
E n c o n tra r el v a lo r d e x q u e v e rific a :
1) es la p o s ic ió n del té rm in o .
C y_ 4 + 2 C x _3 + C *_2
P ro p ie d a d e s d e l d e s a rro llo d e (a + b )n, n e 2Z+
1.
El n ú m e ro d e té rm in o s q u e re s u lta n es n + 1.
2.
L o s s ig n o s d e lo s té rm in o s se d e fin e n de l e s ­
quem a:
(a + b )n: + , + , + , + .........+
(a - b )n: + ,
( - a - b )n:
3.
la r
a
bp
R esolución:
d e d u c im o s q u e : C x : 4 + 2 C x l3 + C x l 2 = 10
c on la fin a lid a d d e u tiliz a r la p ro p ie d a d d e re ­
d u c c ió n p a ra n ú m e ro s c o m b in a to rio s e x p re ­
s a m o s así: la ig u a ld a d da d a :
.... ±
Si n par: + , + , + , + , .... +
Si n im p a r:
- .......
)n es: S =
(a
+
p )n
c;:J + c;:J + c;:5 + c;:J = io
L u e g o : C x _ 3 + C x . 2 — C ( ' 2 — 10
(en el c a s o p a rtic u ­
D e a c u e rd o con la p ro p ie d a d d e c o m p le m e n to
p o d e m o s e s ta b le c e r que:
= |i = 1 re s u lta S = 2 n)
La s u m a d e los e x p o n e n te s d e l d e s a rro llo de
(a + (í)n (n + 1)
(a “ + b1) es: S exp = i
L
5.
120
T e n ie n d o en c u e n ta que: 120 = 5! fá c ilm e n te
La s u m a d e los c o e fic ie n te s d e l d e s a rro llo d e
(a a +
4.
+,
=
(1 ) (2 )(3 )
10 = (5) (2)
Es d e cir: (x + 1)(x )(x - 1) = (5 )(4 )(3 )
I ______________J
La p o s ic ió n d e l té rm in o c e n tra l o m e d io del
d e s a rro llo se c a lc u la rá con la s re la c io n e s :
x =4
S i n par: n ^ ^
S i n im par:
3.
n + 1.n + 3
E n c o n tra r el v a lo r d e n p a ra q u e el c u a rto té r­
m in o de l d e s a rro llo d e (x2 - y )n c o n te n g a a
x 10.
Resolución:
P o r c o n d ic ió n de l p ro b le m a : t4 = x 10
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
P ro p o rc io n a r el v a lo r de x de
m
3x CT
1 + ± }U + 2_¡1 + — 1...Í1 f i l =
m
m
m
l
mJ
... (I)
H a lle m o s t4 d e l d e s a rro llo d e (x2 - y )n s e g ú n
fó rm u la :
16 80
t4 = C 3 (x 2)n - 3( - y ) 3 = - C 5 x 2n 6y 3
... (II)
C on (I) y (II) te n e m o s : 2n - 6 = 10 ^ n = 8
Á lgebra |
4.
E n c o n tra r el c o e fic ie n te de l té rm in o q u e a d m i­
te a x 20 c o m o p a rte lite ra l en la e x p a n s ió n de:
Resolución:
F in a lm e n te en (a ) s e c o n s ig u e :
t7 = C § = C § = M
2
(1 ) (2 )(3 )
7.
La p o te n c ia d a d a es: (x 3 + x ~ 1) 12i s e a T k * ,
q u ie n c o n tie n e a x 20, lu e g o p o r fó rm u la se te n ­
En la e x p a n s ió n de: (-/x 3 + x ~ 1/3)n, la s u m a de
to d o s los c o e fic ie n te s es ig u a l a 128. H a lla r el
té rm in o q u e c o n tie n e a x 5.
D e a c u e rd o co n la te o ría la s u m a d e to d o s ¡os
O b s e rv a r q u e el c o e fic ie n te p e d id o es:
c o e fic ie n te s de l d e s a rro llo d e ( ( x 3 + y.~V3f
s e c o n s ig u e h a cie n d o : x = 1; v e a m o s :
S u m a d e c o e fic ie n te s = (1 + 1)n= 2 n; P o r
...(1 )
P o r c o n d ic ió n : 3 6 - 4 k = 2 0 => k = 4 ... (2)
F in a lm e n te s u s titu y e n d o (2) e n (1) te n e m o s :
c o n d ic ió n : 2 n = 128 => 2 n
= 27
D e d o n d e se d e d u c e qu e: n = 7. S e a tk + , el
(1 2 )(1 1 )(1 0 )(9 )
(1 )(2 )(3 ) (4)
5.
té rm in o d e ( / x 3 + x ~ 1/3) q u e c o n tie n e a x 5, es
de cir:
,
H a lla r el v a lo r d e n s a b ie n d o q u e la d ife re n ­
c ia e n tre lo s g ra d o s a b s o lu to s d e lo s té rm i­
n o s s e x to y d e c im o s e x to d e l d e s a rr o llo d e
(x4 + y n)2m es 10.
tk + -i = C k (Vx )
P o r c o n d ic ió n : G A (t6) - G A ( t 16) = 10
... (1)
H a lle m o s t6 de: (x4 + y n)2m así:
(1)
1.
2,
4
C k ^ * 9 ~ k ( ^ ~ :jk = C k x ” 2
•= 0
18 - 3k
c) 12
d ) 13
e) 14
S e ñ a le el v a lo r d e l té rm in o in d e p e n d ie n te del
a) 56
d) 126
3.
b) 78
e) 154
c) 84
H a lla r a + k si se s a b e q u e e! c u a rto té rm in o
de l d e s a rro llo d e (x + 2 ) a es u j x k.
4 ■■■ (ex)
C o m o e s te té rm in o no c o n tie n e a x se d e b e rá
c u m p lir qu e:
9 - k
b) 11
d e s a rro llo : 14=- +
Resolución:
1=
Q u é lu g a r o c u p a el té rm in o d e g ra d o 4 8 en el
d e s a rro llo de: (x2 a y 3) 18
a ) 10
e x p a n s ió n de : I í x + —
'
4/ í
tk +
□
EJERCICIOS PROPUESTOS
E n c o n tra r el té rm in o q u e no c o n tie n e a x e n la
S e a tk + 1 el té rm in o p e d id o , e s d e cir:
Ck
(2) (3) (4!)
□
,..(2 )
H a lle m o s : t 16 d e (x4 + y n) así:
+ _ p 2 m /v4\2m-15/.,n\15 _ f'2 m v 8m-60 w15n
'16 - o 15 (x )
(y ) - u 15 x
y
O b s e rv a r que: G A (t16)! = 8m + 15n - 60 ... (3)
S u s titu y e n d o (2) y (3) e n (1) te n e m o s :
8m + 5n - 2 0 - (8 m + 15n - 6 0 ) = 10
- 1 0 n + 4 0 = 10 => n = 3
k
=
= 63 - 11 k = 30
k = 3
L u e g o el té rm in o p e d id o es: t4
t6 = C 2m(x4)2m ~5(y n)5 = C 2mx 8m 20y 6n
O b s e rv a r qu e: G A (t6) = 8 m + 5n - 2 0
. 21 3k
(x 1/3f
P o r c o n d ic ió n : 21 ~ 3k - ^ = 5
2
3
Resolución:
6.
t7 = 84
Resolución:
d rá : T k + k = C l2 (x 3)12 “ k(x " 1)k = c ; 2x 36 “ 4k
C i2
51
a) 6
4.
b) 7
c) 8
d) 9
e) 12
En el d e s a rro llo d e ( x 4 + x~ 3)2n ~ 1 uno d e los
té rm in o s c e n tra le s e s in d e p e n d ie n te d e x. H a ­
lle el n ú m e ro d e té rm in o s .
2
X 3
52
I C
o l e c c ió n
E l Po stu lan te
a) 6
d ) 11
5.
H a lla r n:
a) 1
b) 8
e ) 10
c n+®
/-nn + 4
u n- 1
b) 2
14. S im p lific a r la e x p re s ió n :
c) 12
p _
1
(2 n )l
2 n ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ...( 2 n - 1)
a) n!
d) n
= 1
c) 8
b) (n - 1)!
e) n + 1
c) (n + 1)!
e) 6
d) 4
15. H a lla r el té rm in o in d e p e n d ie n te e n el d e s a rro ­
6.
H a lla r lo s v a lo re s d e x q u e s a tis fa c e n la Ig u a l­
llo de: ^ x 2 - - i j
dad: c 33 = C¡®
a) {0; 2 }
d ) {1: 2; 5 }
7.
b ) {2; 5 }
e ) {2; 3; 4}
c) {0: 2; 5}
P a ra q u e v a lo r d e n se v e rific a
Igualdad:
la s ig u ie n te
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n — 1) = C q +
+
+ ... + C „
p ro p o rc io n a r la s u m a d e los 2 v a lo re s h a lla do s,
a) 8
8.
R e d u c ir: E =
a) x
9.
b ) 15
b) x 2
c) 12
b) 4 9 5
e) 61
16. H a lla r el c o e fic ie n te d e l 7.° té rm in o
d e s a rro llo de : (2 x + y )9
a) 31 2
d ) 521
b) 2 1 5
e) 406
del
c) 67 2
/
1 T^
17. H a lla r el té rm in o c e n tra l de : ^x - — j
a) 2 5 2
d) x
e) x3
d ) 3x
b) - 2 5 2
e) 1
c) 2 5 2 x
18. C a lc u la r el te rc e r té rm in o d e l d e s a rro llo de:
(x + y r 2
R e d u c ir: Ce,2 + C ]? + C ]jj +
a) 5 x 2y
a ) 211
d ) 455
b) 1 8 9
e ) 321
c) 4 6 2
10. H a lla r x: C6 = C 2X_ 16
a ) 10
d) 9
11.
c) 9
e) 6
d )4
+ 4 C ^ 1+ C ^ + 2
c) 2x
a) 8
d ) 132
b ) 11
c) 12
e ) h a y 2 re s p u e s ta s
H a lla rx : C í _2 + ( ^
a) 7
b) 6
d) 4
e) 3
12. H a lla r x e n : ( - J L _ ) C ; : ¿ + ( ^ ) C ; : 2 = 15
19. A q u é e x p o n e n te d e b e e le v a rs e el b in o m io
(x + 2y ) d e m a n e ra q u e el c o c ie n te d e los
c o e fic ie n te s d e lo s té rm in o s d e lu g a re s 11.° y
10.° re s u lte 40.
b) 5
c) 2
d) 6
13. H a lla r el v a lo r d e n : -------------- - = 3
( 2 n)ü
b) 3
e) 8
c) 20 9
lu g a r (k + 1) p o s e e x k + 1. H a lla r d ic h o lugar,
b) 7
c) 9
d ) 11
e) 13
e) 7
2 n(n + 1 )!
a) 2
d) 6
b) 110
e ) 112
i i 1 \17
20. En el d e s a rro llo d e ( x + — ) . el té rm in o de
a) 5
a) 4
c) 3x~ 4y 2
e ) x " 5y 2
a ) 109
d) 208
2 ) 0 ^ 1 3 = 12
c) 5
b) x~4y
d ) 2 x ~ 4y 2
c) 4
21. H a lla r el v a lo r d e n si el té rm in o d e lu g a r 2 5 en
/ 9
1
19
el d e s a rro llo d e ^x + — j c o n tie n e a x .
a) 3 0
d) 70
b) 4 0
e ) 78
c) 6 6
A
22.
H a lla r el s é p tim o té rm in o s a b ie n d o q u e es
in d e p e n d ie n te d e x e n e l d e s a rro llo d e :
b) 8 0
e )1
c) 84
25.
b) (a x 2 - 2b )
c ) ( a 2x + b 2)
d ) ( a x 4 - b)
e) (a 2x2 - 2 b 2)
53
b) 10
e ) 13
c) 11
H a lla r el lu g a r q u e o c u p a el TI d e
154
(
2 3 . En el d e s a rro llo d e la q u in ta p o te n c ia d e un
b in o m io se v e rific a q u e el c u a rto té rm in o es
- 8 0 a 4b 6x 4 y el ú ltim o - 3 2 b 10. H a lla r d ic h o b i­
no m io.
a ) (ax + 2 b )
|
24. D e te rm in a r el v a lo r d e n p a ra q u e lo s té rm in o s
d e lo s lu g a re s 9 y 10 d e (x + 3 )n te n g a n ig ua l
c o e fic ie n te .
a) 9
d ) 12
a ) 50
d) 9 5
lg e br a
a ) 72
d ) 112
w
U
J
N*.
>
<
J
u
1.
2.
3.
4.
5.
d
c
b
b
a
b) 98
e ) 113
6.
7.
8.
9.
10.
c
e
e
e
e
11.
12.
13.
14.
15.
c) 111
d
b
a
a
b
16
17
18
19
20
c
b
c
e
d
21.
22.
23.
24.
25.
c
c
e
c
e
\
y
RADICACIÓN
R a d ic a c ió n es la o p e ra c ió n q u e c o n s is te en h a lla r
u n a c a n tid a d a lg e b ra ic a q, lla m a d a raíz, q u e al s e r
e le v a d a a un c ie rto ín d ic e re p ro d u c e u n a c a n tid a d
d a d a A , lla m a d a ra d ic a n d o o c a n tid a d s u b ra d ic a l.
En g e n e ra l: n/ A = q => A = q 11
E le m e n to s de u n a raíz:
|
í n d i c e ^ ’’
nIÁ
s ig n o ra d ica l
E je m p lo s :
¡ 5 ~ + l2 4
•
VTl - / l 20
T ra n s fo rm a c ió n d e ra d ic a le s d o b le s a ra d ic a le s
s im p le s o s e n c illo s . T o do ra d ic a l d o b le se p u e d e
d e s c o m p o n e r en la s u m a o d ife re n c ia d e d o s ra d i­
c a le s s im p le s . D e d u c c ió n d e la fó rm u la .
En re s u m e n la fó rm u la p a ra d e s c o m p o n e r un a raíz
d o b le en ra íc e s s im p le s es:
= q
i/ a
I— c a n tid a d s u b ra d ic a l o ra d ic a n d o
S ig n o s d e la s ra íc e s
La ra íz d e In d ic e p a r d e un a e x p re s ió n a lg e ­
b ra ic a p o s itiv a tie n e d o s v a lo re s ig u a le s y de
s ig n o s c o n tra rio s (+ ) y ( - ) .
La ra íz de ín d ic e p a r d e un a e x p re s ió n a lg e ­
b ra ic a n e g a tiv a c a re c e de v a lo r rea! y se llam a
ra íz Im a g in a ria ,
La ra íz d e ín d ic e im p a r d e e x p re s io n e s a lg e ­
b ra ic a s tie n e el m is m o s ig n o d e l ra d ic a n d o .
En re s u m e n :
^(T )
= (± )
^ V (-)
= Im a g in a rla
Donde:
±V b =
A -C
C = IA2- B
E s d e c ir q u e , pa ra tra n s fo rm a r ra íc e s d o b le s, en
ra íc e s s im p le s , A 2 - B (c u a d ra d o p e rfe c to ).
E je m p lo :
D e s c o m p o n e r e n ra d ic a le s s im p le s : Vi 1 + 6 / 2
Resolución:
P re v ia m e n te , In tro d u c ie n d o el 6 d e n tro del ra d ica l
in te rio r, y a p lic a n d o la fó rm u la :
Vi 1 + V72 =
... (1)
¡2^ / ( T ) = ( + )
C á lc u lo d e C:
C = Vi 12 - 72 = Vi 21 - 72 = ¡4 9 = 7
RAÍZ DE UN MONOMIO
P ara e x tra e r la ra íz d e un m o n o m io , se d e b e p ro ­
c e d e r así:
S e e x tra e la ra íz de l s ig n o d e a c u e rd o co n la
ley d e s ig n o s p a ra la s raíces.
S e e x tra e la ra íz del c o e fic ie n te .
S e d iv id e n lo s e x p o n e n te s d e las le tra s e n tre
el Ín d ic e d e la raíz.
E je m p lo s :
•
R e e m p la z a n d o e n (1):
h - l + -Í7 2 = 3 + Í2
O b s e rv a c ió n :
E ste e je rc ic io y s u s s im ila re s se p u e d e n re s o lv e r
d á n d o ie la fo rm a d e b in o m io al c u a d ra d o b a jo el ra ­
d ica l y p ro c e d ie n d o d e la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:
4Í8 1 x 12y 8z 24 = 3 x 3y 2z 6
la + b ± 2 la E = '¡(■la + I b f = la ± Ib
•
- 2 x 2y4z 5
RADICALES DOBLES
S e d e n o m in a
ra d ic a l d o b le al q u e p re s e n ta la s i­
g u ie n te fó rm u la g e n e ra l: Í a ± W
A p lic a n d o al e je rc ic io a n te rio r:
fn+ e¡2 = U-l +172 =fñ~+Ux18
= fl1 + 2 -/Í8
Á lgebra |
¡11 + 2-ÍÍ8
= / l
1
+ 2 J9V Í =
Í9 +
2
+ 2/9 x
S
=
2
E je m p lo s :
1.
¡ ( 3 x + 1) + (2 x - 3) + 2 /(3 > T T T )(2 > r^Á 3 ) =
P
/(3 x + 1) + -l(2x - 3)
E = <3x + 1 + / 2 x - 3
Vi 1 + 2-IÍ8 = 3 + 72
Í9 + Í2
3.
C a lc u la r el v a lo r de:
E = / l 2 + / Í 4 Ó - ^ 8 + /2 8 + Vi 1 - 2-/3Ó ¡7 -2 Í8
Resolución:
T ra n s fo rm a n d o c a d a ra d ic a l d o b le s e p a ra d a ­
m e n te , h a c ie n d o q u e s ean d e s a rro llo d e c u a ­
d ra d o p e rfe c to :
S im p lific a r:
E = //2 - l(/56 + 40/2 - ^34+ 26/2 W23 + 37/2 )
Resolución:
N in g u n o d e los ra d ic a le s d o b le s q u e tie n e la
e x p re s ió n p u e d e tra n s fo rm a rs e d ire c ta m e n te
a ra d ic a le s s im p le s , ¿ p o r q u é ? , e n to n c e s , se
re a liz a el p ro d u c to d e ra d ic a le s: E fe ctu a n d o :
E = ¡ ( ( I- 1)(56 - 40(2) - ¡(-Í2 - l)(34 + 26/2) +
¡(-Í2 - 1)<23 + 3 7 ( 2 )
V i2 + / l 4 0 = V i2 + 1/4 x 35
= / 7 + 5 + 2 / 7 T Í r = ¡ 7 + ¡5
E = ^8 0 - 5 6 + 16-/2 - 1/52 - 3 4 + 8 / 2 +
/7 4 ^ 2 3 ^
¡8 + ¡2 8 = ¡8 + M
y
55
u
T^
7 = ¡ 7 + 1 + 2 /7 x 1
= ¡7 + ¡1
¡ r \~ ^ 2 ¡3 0 = ¡ 6 ~+ 5 - 2 -1 6 x 5 = ¡6 - ¡ 5
¡ 7 - 2 Í 6 = ¡6 + 1 - 2 / 6 T T = ¡6 - ( i
E = ^ 2 4 + 1 6 / 2 - ^ 1 8 + 8 / 2 + ^51 - 1 4 / 2
T ra n s fo rm a n d o a ra d ic a l sim p le , ca d a ra d ic a l
do ble:
/ 2 4 + 1 6 /2 = ¡ 2 4 + ¡ ^ ¡ ( d 8
= ¡ w T J T ^ M y d = ¡ 1 6 + (8
S u s titu y e n d o en la e x p re s ió n p ro p u e s ta :
¡2 4 + 1 6 /2 = 4 + 2 / 2
...( 1 )
E = /7 + /5 -(/7 + /T ) + /6 - /5 - ( /6 - /T )
E = (7 + ( 5 - ( 7 - 1 + ¡ 6 - ( 5 - ( 6 + (l
E = 0
2.
/1 8 + 8 / 2 = / l 8 + 2 /3 2
= Vi 6 + 2 + 2 / 1 6 x 2 = ( l 6 + (2
H a lla r la ra íz c u a d ra d a de:
¡1 8 + 8 / 2 = 4 i /2
E2 = 5x - 2 + 2 / 6 x 2 - 7 x - 3
Í5 1 - 1 4 /2 = ¡ 5 1 ^ 2 ¡ ( W x í
Resolución:
A l e x tra e r la ra íz c u a d ra d a se te n d rá :
E = 4 x - 2 + 2 /6 x 2 - 7 x - 3
F a c to riz a n d o p o r el m é to d o d e l a s p a al ra d ic a l
in te rio r se o b tie n e :
... (2)
= ^4 9 + 2 - 2 / 4 9 x 2 = ¡4 9 - ¡2
¡ 5 1 ~ ^ U ¡ ¡ 2 = 7 - (2
...( 3 )
S u s titu y e n d o (1), (2) y (3) en la e x p re sió n :
.-. E = 7
6 x 2 + 7x - 3 = (3x + 1)(2 x - 3)
RACIONALIZACIÓN
S u s titu y e n d o : ¡5 x - 2 + 2 /( 3 x + 1 )(2 x — 3)
Es la o p e ra c ió n q u e c o n s is te en tra n s fo rm a r un d e ­
n o m in a d o r irra c io n a l en o tro e q u iv a le n te q u e sea
ra c io n a l.
D a n d o la fo rm a d e ia ¡ T b ^ ~ 2 ( a b , d o n d e :
a = 3x + 1 ; b = 2 x - 3
F ra c c ió n irra c io n a l. S e lla m a a sí a un a fra c c ió n
en c u y o d e n o m in a d o r e s tá p re s e n te un a raíz.
56
| C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e
F a c to r ra c io n a liz a n te . El fa c to r ra c io n a liz a n te de
un a e x p re s ió n irra cio n a l, es ta m b ié n o tra e x p re s ió n
irra c io n a l q u e m u ltip lic a d a p o r la p rim e ra , la c o n ­
v ie rte en un a e x p re s ió n ra c io n a l. C u a n d o se ra c io ­
n a liz a un a fra c c ió n , d e s a p a re c e to d o s ig n o ra d ic a l
d e l d e n o m in a d o r.
S e d e n o m in a n e x p re s io n e s c o n ju g a d a s a d o s e x ­
p re s io n e s q u e e s tá n fo rm a d a s , un a p o r la s u m a y
o tra p o r la re s ta d e té rm in o s ig u a le s . P o r e je m p lo :
CASOS QUE SE PRESENTAN
E je m p lo s :
P rim e r c a s o . C u a n d o el d e n o m in a d o r irra c io n a l es
un m o n o m io . El fa c to r ra c io n a liz a n te de l d e n o m i­
n a d o r es un ra d ic a l d e ig u a l ín d ic e , el ra d ic a n d o
e s tá e le v a d o a un e x p o n e n te ig ua l a la d ife re n c ia
e n tre el ín d ic e d e la ra íz y el e x p o n e n te in ic ia l del
ra d ic a n d o .
1.
S e d e b e re c o rd a r qu e: ( l a + l b ) ( l a - I b ) = a - b .
P a ra ra c io n a liz a r se m u ltip lic a y d iv id e la
fra c c ió n p o r el fa c to r ra c io n a liz a n te .
R a c io n a liz a r: E =
M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o p o r el:
F R = -la + b + la - b
E _ ,
;
;
la + b ( / a + b + la - b ) = a + b + / a 2 - b 2
( la + b f - ( la - b f
"Ja*
R e s o lu c ió n :
m u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o por: FR = 'Va" “ q
1
" lÜ T 7*
" I J r 7*
nI U * ' " l a r 7*
2.
E _ " la T 7*
"J U
a
5&
3&
R a c io n a liz a r: E = - = — -7= — p r
I + I + I
2 3 5
R e s o lu c ió n :
M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o p o r el
7i ?
E =
R e s o lu c ió n :
El fa c to r ra c io n a liz a n te es:
M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o p o r el fa c to r ra c io ­
n a liz a n te :
y 5l 7 % 7l ?
~ 5la 3 V b 2 7le* X V a 2 3lb 7le 3
( l 2 + -Í3 ) - -Í5
(I 2 + 13) + 1~5 (I 2 + I z ) - JE
(■Í2 + Jzf - (IEf ~
FR = 5l7 23l b 7l ?
1
12
-JE)
+2 /6 + 3 - 5
1 2 ( /2 + 13 - 1 5 ) _ 1 2 (1 2 + l z
FR = 5J ^ 3Jb3^ 7I S Z*
E _
2b
FR = { l 2 + l z ) - l 5
1
R a c io n a liz a r: E ==
\ l la + b + la - b
L o s d e n o m in a d o re s so n c o n ju g a d o s e n tre sí,
e s un p ro d u c to d e s u m a p o r d ife re n c ia q u e da
d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :
-i
R a c io n a liz a r: E = ——
E _
la + b
la + b - I a - b A la + b + / a - b
E je m p lo s :
1.
/a + b
la + b - I a - b
R e s o lu c ió n :
- ................... - - - ,
f i l a t a : .......................
|
I
(■Í5 + 1 2 );(1 5 - Í 2 ) s o n e x p re s io n e s c o n ju g a d a s .
'
_ 5Ja2 x 3Jb x 7le3
abe
S e g u n d o c a s o . C u a n d o el d e n o m in a d o r p re s e n ta
ra d ic a le s d e ín d ic e d o s, s e ra c io n a liz a m u ltip lic a n do y d iv id ie n d o p o r la c o n ju g a d a de l d e n o m in a d o r,
E
2
12(/2 + /3 - I E ) _ 6(/2 + IE - IE)
2/6
le
E = 6 (/2 + / 3 - / 5 ) x /6 = ^
le
+ /T 3 _ /3 Ó
le
e = 2 /3 + 3/2 - Iz ó
j T e rc e r c a s o . C u a n d o el d e n o m in a d o r irra c io n a l es
; un b in o m io o trin o m io c u y o s ra d ic a le s son d e te rc e r
j o rd e n d e la fo rm a :
Á lg ebra |
v 3^ ±
3/ á b + 3lb~2
‘/ 2 ( 3^
( 3^ ± 3/ b ) ( 3/ ? + 3^ b + 3^ ) = a ± b
3/2 + -|)
3V2^ - 3^ + 1
F R = 3/2 + 1
E je m p lo s :
Luego: A
H a c e r ra c io n a l el d e n o m in a d o r de:
E =
-
3x1
S im p lific a n d o : A
U n o d e lo s fa c to re s es el fa c to r ra c io n a liz a n te del
otro.
1.
3 3/2
Luego: A =
S e d e b e re c o rd a r qu e:
57
------Á5+Á2
[ "
+
2
1
e j e r c ic io s
PROPUESTOS " l
R e s o lu c ió n :
F R = V 52 - 3¡ 5
x
2 + V 22
1.
M u ltip lic a n d o n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r d e la
fra c c ió n p o r el FR:
E =
2.
7 ( 3Í2 5 - 3VTo + 3Í 4 )
5 + 2
E fectuar: T = J(2 - /3 )2 + V (2/2 - 3 )2 + <3 + 2/2
a) 2
b) 3
d ) —1
e) 4 / 2 - 1
c) 5
3Í2 5 - VÜD + 3/ 4
2.
R a c io n a liz a r el d e n o m in a d o r:
48
E = ■
a/ 2 i - 3/ 3 + 3/3 5 - 3/5
E fe ctu a r: I = 2 / 1 8 - - / 2 + 4/ í - —
2
a) 3 / 2
d ) —3 / 2
2
b) / 2
e) 0
- 3 /2
c )-/2
R e s o lu c ió n :
3.
F a c to riz a n d o el d e n o m in a d o r:
3/21 - 3l3 + 3/3 5 - 3Í 5 = 3/7 ( 3/3 + 3/ 5 ) -
a) 2x
d) - 2 x
(3/3 + 3/5 ) = (3/5 + 3/3 )(3 /7 - 1)
L u e g o : E = -------------- — -------------( 3 / 5 + 3/ 3 ) ( 3 / 7 - l )
E fe ctu a r: M = <¡x 2 + 2 x + 1 + / x 2 - 2 x + 1
s ie n d o : 0 < x < 1
4.
b) 2
e) 3
E fe c tu a r: P = h + 2 / Í 5 - I l 2 - 2 / 2 7 -
F R = (3 /5 ^ - 3/5 x 3 + 3l ^ ) ( 3f ^ + 3/ 7 + 1 )
V32 + 2 /1 3 5 + / 3
M u ltip lic a n d o n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r d e la
fra c c ió n p o r el fa c o tr ra c io n a liz a n te :
E = 4 8 (3 /2 5 - 3/^5 + 3/ g )(3/4 9 +
c) - 2
a) 3
d) 4
b) - 1
e ) N.A.
+ -i)
(5 + 3 )(7 - 1)
5.
E fe c tu a r: T = Vi 3 + /4 8 - 1/15 - /2 0 0 ¿ I7 + 4 / Í 5 - 1
E = (3/25 - 3/15 + 3/9 )(3/4 9 + 3/7 + 1)
5.
R a c io n a liz a r: A =
c) - 3
33/2
a) ¡2
b) / 5
d )-/T o
e) 3
c) /ÍO
3/4 - 3/2 - 2
R e s o lu c ió n :
F a c to riz a n d o el d e n o m in a d o r:
3 / 4 - 3 / 2 - 3 / i J i= „ 3V 2 ( 3 ^ _ 3/2 + l)
6.
E fe ctu a r: E : 1/1 + 4 ^ 7 + 4 ^
a) 0
b) 1
d )-/5
e) 2
4 /5 - 2
c) <Í5
58
7.
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
E fe c tu a r: _______
________
15. R e d u c ir: N
O = -Í2 x h + Í3 - 1/4 + /i~5 x / 2 + /5
a)
1
d)
- 1
c) /5
b) ¿3
e ) 10
Efectuar:
V = W + Í3 x VVl2
8.
a)
d)
b)
e)
1
¿3
+ 2/35
a) 1
d ) Í 3 + ¡2
- k + 2 fi5
¡2
a)
d)
R e d u c ir: A =
b)
e)
a )-1
d) 2
c) Í2
2
I6 + Í2
:+-
1
2 Í 2 + -Í6
J + J
k +4 /5
d)
+ V13 - 47To
a)
-2
b)
-1
d)
2
e)
12 + 1
E fe ctu a r: E :
1
2 + (2
Í 4 + ~ / Í 2 - h - 124
11.
U--Í7
b) - 1
e ) 1/2
- 1/2
A =
a)
10. E fe ctu a r: L =
3
17. R a c io n a liz a r y re d u cir:
1c) - 2
3 2
-/6 3 +
c)
U 4 - 5 - Í 3 + -¡2 - -Í3
ho-2Í21 -k-2fi5
h +2-114- ¿f + 2¿Í0
9.
b) 2
e ) Í 3 - -Í2
16. E fe c tu a r: A :
c) 3
2
+Í72 -h-Í8
¿14 - V Í8 0 + Í6--Í2Ó
¿11
b) 1
2
e ) 2 -Í2
E fe ctu ar: B =
c) 1
. V5 - -/2Í h --Í5
18.
U-
-/Í5
- U - - I7
19.
c) /2
¿2/2
^
+
2
■¡7 - •Í3
¿TO + ¿7
a ) /3
b)
3
d) 9
e)
3 /3
2 /3 + ñO
c)
R a c io n a liz a r: C =
Í2 + J3 + I 5 ’
a)
d)
-1
b)
- 1/2
1/2
e)
2
12. Reducir: N =
o)1
s e ñ a la r el d e n o m in a d o r.
a) 2
d) 8
^ 1 3 - 2 / 4 0 + h + Í4Q + f n + 6 ¡ 2
b)
e)
4
c) 6
10
133 + 8/2 + h - - Í 8 + Vi 1 — V72
a ) ¿2
b) 3 / 2
d )3 ¿ 2 -1
e) 1
13. Efectuar: T =
/2 -1
c)
20 .
/2 + /5 + Í 7 ’
s e ñ a la r el d e n o m in a d o r.
a)
d)
V28 - 6/ 3 - V 7 - 4/3 + V12 + 6/3
^13-4/3 + J21 - 12/3 + ^19 + 8/3
a) 1
d ) 5/2
14. E fe ctu a r:: I =
b)
e)
R a c io n a liz a r: E =
3 /2
3
c) 2
J(2Í3-3/2)2+ 1/(3 -
2 /3 f
21.
2 b) 4
8e ) 10
c) 6
R a c io n a liz a r: F
5 - -/Í5 + ¿ÍO - -Í6 ’
s e ñ a la r el d e n o m in a d o r.
a) 1
d) 6
b) 2
e ) 12
c) 3
I2 7 -6 M
22. R a c io n a liz a r: F =
a) ~2
d) 1
b) - 1
e) 2
c) 0
7 + ¿15" + ¿21 + ^35
In d ic a r el d e n o m in a d o r.
2 /3
Á lg ebra |
a) 1
d) 6
b) 2
e) 8
c) 4
23. C a lc u la r N = 3i l 6 3^ 1 6 3/ T 6 ! ^
a) 1
d) 4
b) 2
5
b) 2
e ) 2~9
a) 2d ) 2"
59
c) 2 -
27. Si: A = ^ 5 ^3 7 5 /3 7 7 7 ; B = ¡ 3 - ¡ 5 h K 7 .
c) 3
ca lc u la r: A B
a) 1
b) 3
e ) 30
d ) 15
c) 5
24. E fe ctu a r:
a) 1
d) 8
c) 3
28 . C a lc u la r:
a) 16
d) 17
25. C a lc u la r: E =
a) 2
d) 5
26.
H a lla r x:
f í 0 ,3 )
c) 4
tn
iii
>
«
j
u
b) 13
e ) 19
1. c
2. e
3.
4.
5.
6.
+ (0 ,2 5 T 4 - (0 ,5 T 2
b
c
d
c
7.
. 8.
9.
10 .
11.
12.
a
b
c
d
a
e
13.
14.
15.
16.
17.
18.
c) 15
a
c
b
e
b
e
19. c
20 . b
21. b
22. a
23 . d
24 . b
25.
26.
27.
28.
a
a
d
c
__ y
NÚMEROS COMPLEJOS
NÚMEROS IMAGINARIOS
R e s o lu c ió n :
La s c a n tid a d e s im a g in a ria s son la s ra íc e s d e ín d i­
ce p a r d e c a n tid a d e s n e g a tiv a s .
T ra n s fo rm a n d o las p o te n cia s :
E = 5 (1 ) - 3 i 2 + 4 (¡)3 - 8 (1 ) + 4 (¡)1
E = 5 - 3 (—1) + 4 ( —i) - 8 + 4i = 5 + 3 4i - 8 + 4i
E = 0
E je m p lo s :
■ T I; 4^ l 6 ;
U n id a d Im a g in a ria : la c a n tid a d P ^ l s e ie d e n o m i­
na u n id a d im a g in a ria . S e g ú n la n o ta c ió n d e G a u ss ,
la u n id a d im a g in a ria se re p re s e n ta p o r la le tra i.
S im p lific a r: E =
P o r lo ta n to i = P H , y p o r d e fin ic ió n : i2 = - 1
R e s o lu c ió n :
E je m p lo :
E fe c tu a n d o las p o te n c ia s in d ic a d a s :
P^4 = f i P l
= 2P
1 =
2i
E =
E = 1
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA:
3.
¡ - 5 _ ¡ - 1 5 + ¡ - 4 9 _ r 1 8 + ¡ -4 0 0 + 2 ¡ - 1 4
E
I
lí"
C a lc u la r la e x p re s ió n :
6
¡— 50
¡- 2 3
. ¡ -3 5
¡-44 1
II
- i
X
CT>
Ó)
=
—-ú
i3
X
i4 X
II
I
II
I =
I
=
II
-
.4
I X
CM_
I =
II
= ¡
■2 X
\2 = p ~ \ f r i
X
( / = ! ) 1
I
.
1 + i + ¡ + (i2) + i = 1 + i + i - 1 + i = 3i
i + 1 - 1 + i - ( i ) 3 i + 1 - 1 + i + i _ 3i
R e s o lu c ió n :
S e o b s e rv a q u e lo s re s u lta d o s d e la s p o te n c ia s de
la u n id a d im a g in a ria s e re p ite n e n p e rio d o s d e 4 en
4 y e s to s v a lo re s s o n i, 1, - i , 1.
T ra n s fo rm a n d o la s p o te n c ia s :
1 _ J_ + J
¡5
¡15
1
¡49
1
¡18
2
¡400
¡14
T ra n s fo rm a c ió n d e p o te n c ia im, d o n d e m e s e n ­
te ro y p o s itiv o . S u p o n ie n d o q u e s e d e s e a c a lc u la r
im, d o n d e m > 4,
E = J------!-------- !--------- 1-------- L -----------— ; e fe c tú a n-
1.°
d o la s p o te n cia s :
2=
S e d iv id e m e n tre 4, d e d o n d e s e tie n e :
m = 4q + r
1 _J_
¡m = ¡4q + , = |4q x ¡r = (¡4 )q x ¡r = ¡r
.
.-. im = ir
E=
d o n d e : r = 0; 1; 2; 3
' r
r
1 r
_r
¡m — ¡r „
1
=
=
=
=
0 => 1
1 => i
2 => - 1
3 => - i
C o n c lu s ió n : c u a n d o i e s tá e le v a d a a u n a p o te n c ia
p o s itiv a , si el e x p o n e n te es m ú ltip lo d e 4, el
re s u lta d o es la u n id a d , si el e x p o n e n te e s ig u a l a
un m ú ltip lo d e c u a tro m á s 1 el re s u lta d o e s i, si es
ig u a l a m ú ltip lo d e c u a tro m á s 2 el re s u lta d o e s - 1 ,
y si e s ig ua l a m ú ltip lo d e c u a tro m á s 3 el re s u lta d o
e s ig u a l a - i .
E je m p lo s :
1.
1
C alcular: E = 5i 476 - 3i 258 + 4 ¡327 - 8¡392 + 4i 441
1
1 ____ 1_
'~ i3 + ¡
_ j
( - 1)
1, 1
1
1
2
( - 1 ) + 1 + ( - 1)
r ' T
^ r r
( - 1 ) ¡3 ¡3 ¡
_
„
"
NÚMEROS COMPLEJOS
Los n ú m e ro s c o m p le jo s s o n a q u e llo s q u e tie n e n
u n a p a rte rea l y un a im a g in a ria . S i Z = a + bi e s un
n ú m e ro c o m p le jo d o n d e a y b p u e d e n s e r n ú m e ro s
p o sitiv o s , n e g a tiv o s y a ú n nu lo s.
CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS
•
C o m p le jo re a l: es a q u e l c u y a pa rte im a g in a ­
ria es nula.
C o m p le jo p u ro : es a q u e l c u y a p a rte rea l es
nula.
C o m p le jo n u lo : e s a q u e l c u y a p a rte rea l y
p a rte im a g in a ria s o n nu la s.
Á lg ebra ¡
61
C o m p le jo ig u a le s : s o n d o s c o m p le jo s q u e
tie n e n ig u a le s s u s p a rte s re a le s e ig u a le s su s
p a rte s im a g in a ria s . P o r e je m p lo :
Si: a + b i = c + d¡
=»a = c A b = d
C o m p ie jo s c o n ju g a d o s : so n d o s c o m p le jo s
q u e tie n e n ig u a le s s u s p a rte s re a le s e ig u a le s
p e ro d e s ig n o s c o n tra rio s s u s p a rte s im a g i­
n a ria s .
S i:
Z f = a + bi ] S o n d o s c o m p le jo s
Z 2 = a - bi
c o n ju g a d o s
C o m p le jo s o p u e s to s : son d o s c o m p le jo s
q u e tie n e n ig u a le s , p e ro d e s ig n o s c o n tra rio s ,
ta n to s las p a rte s re a le s c o m o la s im a g in a ria s .
Si:
Z-i = a + bi
I S o n do s c o m p le jo s
Z 2 = - a - bi J o p u e s to s
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO
R e p re s e n ta c ió n c a r te s ia n a . S e re a liz a e n un s is ­
te m a d e e je s re c ta n g u la re s o c a rte s ia n o s e n d o n d e
el e je x s irv e p a ra re p re s e n ta r lo s n ú m e ro s re a le s
y el e je y pa ra re p re s e n ta r la s c a n tid a d e s im a g in a ­
rias. A l p la n o fo rm a d o p o r lo s e je s rea l e im a g in a ­
rlo s se le lla m a P la n o d e G a u ss.
C alc u lo del m ód ulo: en el triá ng ulo rectángulo M N O :
(M N )2 + (N O )2 = (M O )2 (p o r P itá g o ra s )
=» b 2 + a 2 = r2
de donde:
r = ia^~~
C á lc u lo d e l a rg u m e n to o á n g u lo 9: e n el triá n g u ­
lo re c tá n g u lo M N O :
0 = a rc ta n (b /a )
ta ñe = b/a
A p o y a d o e n la fig u ra , la fo rm a p o la r d e a + bi, se rá :
a + bi = rcosO + risenO
a + bi = r(c o s 0 + isen 9)j
y a q u e : a = rs e n 0 y, b = rsen©
E je m p lo :
E fe c tu a r: E =
1+i
12 — 5i
1- i
5 -1 2 1
10 + 3i
169
R e s o lu c ió n :
R a c io n a liz a n d o la s d o s p rim e ra s fra c c io n e s :
E =
(1 + i) ( 1 2 + 5 i)
(1 - i) (5 + 121)
12 i
12 - 25¡
En el e je y: i = u n id a d d e m e d id a d e lo s v a lo re s
im a g in a rio s .
En el e je x: 1 = u n id a d d e m e d id a d e lo s v a lo re s
rea les.
E = 12 + 5Í + 12Í — 5 5 + 12Í — 5Í + 12
16 9
~
169
E =
7 + 1 7 Í - 1 7 - 7 I + 10 + 3Í
169
R e p re s e n ta c ió n p o la r o trig o n o m é tric a . P a ra re ­
p re s e n ta r un c o m p le jo d e e s ta m a n e ra es n e c e s a ­
rio c o n o c e r el ra d io v e cto r, c o n o c id o c o n el n o m b re
d e m ó d u lo y el á n g u lo q u e fo rm a e s te c o n la p a rte
p o s itiv a del e je x.
r : ra d io v e c to r o m ó d u lo
0 : á n g u lo o a rg u m e n to d e l m ó d u lo .
10 + 3i
169
[ "
a) 0
d )1
13i
169
e j e r c ic io s p r o p u e s t o s '
b) i
e) - 1
10 + 3Í
169
I
13
l
c) - i
'
62
2.
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
a) 0
d) I
3.
b) i + 1
e) 1
b) 4¡
13. SI a y b
c) “ 4
d) -8
e ) 8i
b) 0
e) - 4 i
b) - 8
c) 4¡
e
a) a = 2b
d) a + b =
c) - 4
c) - 3 / 2
IR, In d ic a r la c o n d ic ió n p a ra q u e :
1
a) - 4
d ) 4¡
e) 8
d) - 4 i
b) 2 a = b
e) a - b =
c) a 2 = b 2
1
14. SI: Z-| — —2 + 3¡ y z 2 = i - z ^ c a lc u la r: lm (z 2)
C a lc u la r: M = (1 + i )4 - (1 - i )4
a) 0
b ) 2 /3
e) - 3 /4
Z = 5 _ L É i se c o n v ie rta e n n ú m e ro real
b + ai
C a lc u la r: M = (1 + i )2 - <1 — i )2
a) 2i
d ) 4i
5.
c) 1 - i
C a lc u la r: R = (2 + 2 ¡)2
a) 4
4.
a ) 1/2
d ) 1/4
C a lc u la r: B = i 4+ ¡“6 + i “8
15.
b) - 2 ¡
,e) 4
c) 2
Si: 3Jx + yi = m + ni
c a lc u la r: A = 11 - - í - )/1 + ^
6.
,3
c ic u la r R .liiif + ll ^ f f
a) 3
d) 0
b )-2
e ) 4i
a) 1
d) 9
c )2 i
16.
7.
C a lc u la r: P = i ó t i _ I j l í
1 -i
1+1
a) 4
d) - 2
b) 0
e ) -41
c) 21
„3
b) 2
e ) 16
c) 3
C a lc u la r: 37 - 2 + 2i - 1
a) 0
d) 2i
b) 1
e) i
c) - 2
17. R e d u c ir: R = 6^ / = I i
8.
a ) 2¡
d) 2
9.
a) 1
d) - i
C a lc u la r: M = ( 1 ± - ! Í +
\1 - i 5 1 + i 5 /
R e d u c ir: M =
a) 0
d) - 2
b) 5¡
e) 4
c) 0
2+ I
b) 4¡
e) 2i
c) 3
a) 0
d )I
11.
b) 1
e) - i
c ) —1
SI: z = 3 + 4i, c a lc u la r: R e (z )lm (z )
a) 6
d ) 12
b) 8
e ) 20
c) 10
c) 1 - i
b) 2
e )5
c) 3
20. C u á n to s v a lo re s p u e d e to m a r:
A = i" + r n; n e IN
a) 2
d) 8
b) 3
e )n
c) 4
21. S a b ie n d o qu e: 3^4 - 2i = a + b¡
c a lc u la r: M =
12. C a lc u la r b p a ra q u e el c o m p le jo :
3 + 4¡
Z = ^
s e a im a g in a rio pu ro.
b) 2000 I
e) 0
19. C a lc u la r n, si: [(1 + i )9 + (1 - i)9] n = 10 24
a) 1
d) 4
10. E fe ctu a r: A = I1 + i 2 + i 3 + i4 + ... + i 1999
c) - 1
18. C a lc u la r: S = i 5 + i 10 + I15 + i20 + ... + i200C
a ) 2000
d) 1
1 - i
b) 0
e )i
a) 2
d) - 4
b4- a 4
2a - b
b) -2
e) 1
c )4
Á lgebra |
22.
C a lc u la r: E = /3~+~4¡ + -13 - 4i
a) 3
d ) 3¡
23.
24.
!_
1+ i
b ) 7 + 3i
e ) 2 + 9i
a) ¡ 2
b) 2
d ) /3
e ) ¡7
- 1
b) 2 ¡
e) 1
c) i
28. H a lla r n en: [(1 + i )6 + (1 - i)5]" = - 5 1 2
1 1 “ 15i
64 i
a) 1
d )4
29.
b) 2
e )5
b ) - 2 16
e ) - 2 19
30. H a lla r k, p a ra qu e: Z =
(1 + i)22
(1 + i )20
( 1 - ¡ ) 20
( 1 - I )16
c) 3
R e d u c ir: ( h + h + 12 + \ ¡ 2 - h
a ) - 2 15
d ) - 2 18
c) - 2
b) 2 0
e) 15
In d ic a r el m ó d u lo de: Z =
a) 0
d) - 1
c) 12 - 5i
b) 4
e ) 1/4
In d ic a r el m ó d u lo de : Z a ) 10
d ) 12
26 .
r_
S im p lific a r: S = 0 + 1 1)(¡ + ^
(i - 7 f
a) 2
d) 1/2
25 .
c) 5
S im p lific a r: R = —§ 9 — + — !—
4 + 3¡ 1 - i
a ) 9 — 6i
d ) 4 + 6i
2
27. R e d u c ir: R = 1 2 Vi - ¡ W
b) 4
e )4 ¡
63
+ lí )
c) - 27
-§ í + a +
s e a ,-je
a + i
1 - al
la fo rm a k¡.
b) 3
e) 2
a) 1
d) 5
c) 25
c) 4
"N
-- - - -
3 + 770(1 - I )
c )3
tn
Ui
>
<
j
ü
1. c
2. e
3.
4.
5.
6.
e
d
b
b
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
c
c
c
c
d
e
13.
14.
15.
16.
17.
18.
c
a
d
e
d
e
19.
20 .
21.
22.
23.
24.
b
b
a
b
a
d
25.
26.
27.
28.
29.
30.
b
a
c
c
b
e
y
ECUACIONES
ECUACIÓN
E je m p lo :
E s un a ig u a ld a d e n tre d o s e x p re s io n e s m a te m á ti­
c a s e n la q u e al m e n o s e s té p re s e n te un a v a ria b le
q u e a h o ra re c ib irá el n o m b re d e in có g n ita .
H a lle el C S en c ada caso:
•
3x + 2 = (x + 1) + 2 x + 1 => C S - IR
A (x ; y; ...; z )
=
p rim e r m ie m b ro
Vx - 2 = h - 2
=> C S = {x e IR / x > 2 }
B (x; y; ...; z)
s e g u n d o m ie m b ro
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
D o n d e : A y B: e x p re s io n e s m a te m á tic a s
A la s e c u a c io n e s d e a c u e rd o al n ú m e ro
s o lu c io n e s p o d e m o s c la s ific a rla s en:
x; y; ...; z: in c ó g n ita s
de
S o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n . U n a s o lu c ió n d e un a
e c u a c ió n e s un a c o le c c ió n d e v a lo re s (de la s In­
c ó g n ita s ), q u e al s e r re e m p la z a d a s e n la e c u a c ió n
tra n s fo rm a n a e s ta , e n u n a p ro p o s ic ió n v e rd a d e ra .
E c u a c io n e s c o m p a tib le s . S o n a q u e lla s q u e p o ­
se e n al m e n o s un a s o lu c ió n . É s ta s p u e d e n ser:
E je m p lo :
2.
S e a la e c u a c ió n x 3 = x
Si x = 0
=> O3 = 0
Si x = 1
=> 13 = 1
1.
D e te rm in a d a s : e n un a e c u a c ió n c o m p a tib le
d e te rm in a d a , sí e s p o s ib le d e te rm in a r la c a n ti­
d a d d e s u s s o lu c io n e s .
In d e te rm in a d a : en un a e c u a c ió n c o m p a tib le
in d e te rm in a d a n o e s p o s ib le d e te rm in a r la
c a n tid a d d e s u s s o lu c io n e s .
E c u a c io n e s in c o m p a tib le s (In c o n s is te n te s ). S on
a q u e lla s e c u a c io n e s q u e no p o s e e n s o lu c io n e s , su
c o n ju n to s o lu c ió n : C S = 0
S ix = - 1 =» ( - 1 ) 3 = - 1
L u e g o 0; 1 y - 1 son s o lu c io n e s d e la e c u a c ió n .
E je m p lo s :
C o n ju n to s o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n (C S ). Es
a q u e l c o n ju n to fo rm a d o p o r to d a s la s s o lu c io n e s
d e d ic h a e c u a c ió n . Si la e c u a c ió n no tie n e s o lu ­
c ió n , e n to n c e s su c o n ju n to s o lu c ió n es el c o n ju n to
v a c ío 0 .
E je m p lo :
S e a la e c u a ció n en x: (x - a )3(x - b )5(x - c )7 = 0
S ix = a =>0 — 0
S ix = b = 0 = 0
S ix = c =>0 = 0
I
j
I
•
En c a s o q u e la e c u a c ió n n o p re s e n te
s o lu c io n e s e n to n c e s el c o n ju n to s o lu ­
c ió n se rá el c o n ju n to n u lo o va cío .
A sí: C S = 0 v C S = { }
E n c a s o la e c u a c ió n p re s e n te in fin ita s
s o lu c io n e s e n to n c e s el c o n ju n to d e va lo re s en el c u a l e x is te la e c u a c ió n se le
d e n o m in a u n iv e rs o .
(x - 1)2 = x 2 - 2x + 1 tie n e C S = IR
=> Ec. c o m p a tib le in d e te rm in a d a p u e s tie n e
in fin ita s s o lu c io n e s .
x + 7 = x + 2 tie n e C S = 0
=> Ec. in c o m p a tib le p u e s no tie n e s o lu c ió n .
ESTUDIO DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA EN x
Sea: l A x = B ]
C S = {a; b; c}
cYlaia•/:-----------------
x + 3 = 5 tie n e C S = {2 }
=> E c. c o m p a tib le d e te rm in a d a .
N
Caso I
Si A ^ 0; x = B /A => C S = {B /A }
La e c u a c ió n p o s e e s o lu c ió n ún ica.
La e c u a c ió n es c o m p a tib le d e te rm in a d a .
C a s o II
Si A = 0 A B = 0: 0 (x ) = 0 => C S = C
La e c u a c ió n p o s e e in fin ita s s o lu c io n e s .
La e c u a c ió n e s c o m p a tib le in d e te rm in a d a .
C a s o III
S i A = 0 A B ± 0: 0 (x ) = B => C S = 0
La e c u a c ió n e s In co m p a tib le .
Á lgebra I
E je m p lo :
S e a la e c u a c ió n en x, co n p a rá m e tro p:
(p - 5 )(p - 2)x = (p - 2 )(p - 3)
Ig u a la n d o c a d a fa c to r a c ero
= 0 =» X1 = - 2
= 0 =» x 2 = - 2
= 0 => x 3 = - 2
S i p = 2 ^ 0 (x ) = 0 =* C S = C
T e n e m o s in fin ita s s o lu c io n e s , lu e g o s e ría
e c u a c ió n c o m p a tib le in d e te rm in a d a .
S i p = 3 =» ( —2)(1 )x = 0 =* C S = {0 }
65
x = - 2 es ra íz d e m u ltip li­
c id a d tre s o ra íz trip le .
una
D o s o m á s e c u a c io n e s s o n e q u iv a le n te s si tie n e n
el m is m o c o n ju n to s o lu c ió n .
} x = 8 e s ra íz s im p le
II
ECUACIONES EQUIVALENTES
= 0
00
N o te n e m o s s o lu c ió n a lg u n a , lu e g o s e ría un a
e c u a c ió n in c o m p a tib le .
1 x = 5 e s ra íz d e m u ltip lij c id a d 2 o ra íz do b le .
CD
X
tí
T e n e m o s 1 s o lu c ió n , lu e g o s e ria u n a e c u a c ió n
c o m p a tib le d e te rm in a d a .
S i p = 5 =» 0 ( x ) 6 i C S - 0
= 0 => x 4 = 5
= 0 => *5 = 5
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
T o da e c u a c ió n p o lin o m ia l d e c o e fic ie n te s n u m é ri­
co s p o s e e p o r lo m e n o s u n a ra íz q u e g e n e ra lm e n te
e s c o m p le ja .
E je m p lo :
C o ro la rio . T o da e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o n
tie n e e x a c ta m e n te n ra íce s c o n ta d a s c o n su re s ­
p e c tiv a m u ltip lic id a d .
Ei: f + T = 14 =>cs = í12}
S e a n la s ra íc e s d e P (x) p o lin o m io d e g ra d o n con
c o e fic ie n te p rin c ip a l a.
E 2: 5 x - 36 = 2 x =* C S = { 1 2 }
E 3: x + 8 = 2 0 => C S = {1 2 }
S o n e c u a c io n e s e q u iv a le n te s
ECUACIONES POLINOMIALES CON UNA INCÓG­
NITA
F o rm a g e n e ra l d e u n a e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra ­
d o n:
P(x) = a 0x n + a ^ "
1 + ... + a n = 0 / a 0 # 0 A n e Z +
R a íz d e un p o lin o m io . D ire m o s q u e a es u n a raíz
d e un p o lin o m io P (x) si y s o lo si P (a ) = 0
C o n s e c u e n c ia : a es ra íz d e P (x) si y s o lo si (x - a )
es fa c to r d e P (x).
E je m p lo :
S ea : P (x) = x 3 - 2 x 2 - x + 2
se o b s e rv a que: P (1 ) = 0; P ( - 1 ) = 0; P (2 ) = 0
L u e g o , - 1 ; 1; 2 s o n ra íc e s d e d ic h o p o lin o m io .
P o r ta n to : (x + 1); (x - 1); (x - 2) s o n fa c to re s de
d ic h o p o lin o m io .
Un m é to d o p rá c tic o pa ra h a lla r la s ra íc e s d e un p o ­
lin o m io e s fa c to riz a r s o b re C al p o lin o m io e ig u a la r
c a d a fa c to r a ce ro .
E je m p lo :
H a lle m o s la s ra íc e s de:
P (x) = (x + 2 ) 3 ( x - 5 )2(x - 8 )
x ,; x..: x . x 4; x . : ...; x.
el p o lin o m io p u e d e e x p re s a rs e d e la s ig u ie n te m a-
P (x) = a(x - x ,)(x - x 2)(x - x 3) ... (x - x n)
E je m p lo :
Un p o lin o m io c o n ra íce s { - 2 ; - 1 ; 1; 2 } es:
P (x) = (x + 2 )(x + 1)(x - 1)(x - 2)
S e a la e c u a c ió n p o lin o m ia l P (x) = 0
L la m a re m o s ra íce s d e la e c u a c ió n p o lin o m ia l
a la s ra íce s d e P(x).
T o da ra íz de la e c u a c ió n e s ta m b ié n s o lu c ió n
d e la e c u a c ió n .
TEOREMA DE CARDANO - VIETTE
S e a la e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o n
P ( x ) = a 0x n + a , x n
1 + a 2x n
C u y a s ra íc e s s o n x-p x 2; x 3; ... x n
S u m a d e ra íc e s
51 = x-| + x 2 + x 3 + ... + x n =
¡ao
S u m a d e p ro d u c to s b in a rio s
_
32
5 2 = X-|X2 + XtX 3 + X2X3 + ... = —
a0
S u m a d e p ro d u c to s te rn a rio s
_
a3
S 2 = X-|X2X3 + X-|X2X4 + x 2x 3x 4 + ... = - —
a0
66
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
P ro d u c to s d e ra íc e s
S n = x ,x 2x 3 ... x n = ( - 1 ) " ~
3ü
1 tx ) = l ( - b ) « x = - |
«
CS = { - | }
T e o re m a (d e p a rid a d d e ra íc e s )
S e a P (x) = 0 un a e c u a c ió n p o lin o m ia l, d e g ra d o
no m e n o r a d o s, d e c o e fic ie n te s re a le s . El n ú m e ro
c o m p le jo (a + b¡) es ra íz d e P (x) = 0 si y s o lo si
(a - b¡) es ra íz d e P (x) = 0; b i= 0.
ECUACIÓN CUADRÁTICA (Ec. de 2.° grado)
E je m p lo :
C o n s tru ir un a e c u a c ió n d e m e n o r g ra d o , un a de
c u y a s ra íc e s es: 5 - 3¡
1.
F o rm a g e n e ra l:
P (x) = a x ‘ + bx + c = 0; a
Resolución:
R e s o lu c ió n :
P o r el te o re m a s i x ,
x 2 = 5 + 3¡ ta m b ié n lo
c io n e s d e m e n o r g ra d o es:
= 5 - 3i e s ra íz e n to n c e s
se rá , lu e g o un a d e las e c u a ­
x2 -
(Xt + x 2)x + x ,x 2
= 0
x2 -
10x + 34 = 0
T e o re m a
S e a P (x) = 0 un a e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o no
m e n o r a d o s, d e c o e fic ie n te s ra c io n a le s . El n ú m e ro
Irra c io n a l (a + I b ) es ra íz de P (x) = 0 si y s o lo si
(a - -ib )e s ra íz d e P (x) = 0; -ib e l
E je m p lo :
S i un a d e las ra íce s d e la e c u a ció n x 2 + ax + b = 0;
(a; b} e © es 3 + Í 2 . H a lle a y b.
P o r fa c to rlz a c ió n :
S ea : 6x 2 - 17x + 12 = 0
» (3 x - 4 )(2 x - 3) = 0
» 3x - 4 = 0 v 2 x - 3 = 0
« x = 4 /3 v x = 3/2
.-. C S =
C o m o los c o e fic ie n te s d e la e c u a c ió n s o n n ú m e ro s
ra c io n a le s , a p lic a m o s el te o re m a .
C o m o X! = 3 + Í2 e s ra íz e n to n c e s x 2 = 3 - - Í 2
ta m b ié n es raíz; fo rm a re m o s la e c u a c ió n
x 2 - (x, + x 2)x + x ,x 2 = 0
x 2 - 6x + 7 = 0
C o m p a rá n d o la c o n x 2 + ax + b se tiene :
a = -6 y b = 7
ECUACIÓN LINEAL (Ec. de 1.° grado)
S o n a q u e lla s e c u a c io n e s p o lín o m ia le s q u e se re ­
d u c e n al a s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l.
P (x) = ax + b = 0 / a ^ 0
4 ,3
3’2
L a s ra íc e s d e la e c u a c ió n son:
x , = 4/3; x 2 = 3/2
P o r fó rm u la :
s e a P (x) = a x 2 + bx + c = 0 / a # 0 p o d e m o s
d e m o s tra r q u e la s ra íc e s d e e s ta e c u a c ió n
v ie n e d a d a por:
x 1: 2
- b ± Ib? - 4 a c
2a
F ó rm u la g e n e ra l d e la e c u a c ió n c u a d rá tic a
A n á lis is d e s u s s o lu c io n e s
S e a la e c u a c ió n c u a d rá tic a :
a x + bx + c = 0
R e s o lu c ió n :
0
a # 0 d e c o e fic ie n te s re a le s
D e fin im o s su d is c rim in a n te (A), a si: A = b - 4 a c
E n to n c e s las ra íce s se rá n :
- b + -ÍK . ..
- b -IX
x2 =
2a
2a
Caso I
Si A = 0 : la s ra íce s son ig u a le s (x-i = x 2) y re a le s .
L a e c u a c ió n p o s e e s o lu c ió n ú n ic a . A d e m á s
a x 2 + bx + c, es un trin o m io c u a d ra d o p e rfe cto .
C a s o II
SI A > 0 : la s ra íc e s so n d ife re n te s (x, ^ x 2) y re a ­
les. La e c u a c ió n p re s e n ta d o s s o lu c io n e s .
C a s o III
Si A < 0: la s ra íc e s s o n c o m p le ja s no re a le s y c o n ­
ju g a d a s . (x-i = u + vi =>x 2 = u - vi); v # 0 .
R e s o lu c ió n :
ax t b = 0 » ax + b + ( - b ) = 0 + ( - b )
« ax + 0 = - b « ax = - b
(C o m o a + 0 => a 1 i 0 ) o a 1ax = a ~ 1 ( - b )
P ro p ie d a d e s :
S e a la e c u a ció n cu a d rá tica : ax 2 + bx + c = 0; a # 0
d e ra íc e s Xt y x 2:
Á
x-, + x 2 = - b /a
S u m a d e ra íce s :
P ro d u c to d e ra íce s : I x 1x 2 = c/a
D ife re n c ia d e raíces:
(Xi + x 2)2 - ( x 1 -
x 2 )2
= 4
x 1x 2
R e c o n s tru c c ió n d e la e c u a c ió n :
x - (x, + x 2)x + x ,x 2 = 0
O b s e rv a c ió n :
La e c u a c ió n a x 2 + bx + c = 0 / a --f- 0, d e ra ic e s
x, y x 2 no nu la s.
P o s e e ra íc e s s im é tric a s « Xt + x 2 = 0
P o s e e ra íc e s re c íp ro c a s « x ,x 2 = 1
j
67
T e o re m a II
T o da e c u a c ió n p o lin o m ia l d e c o e fic ie n te s ra c io n a ­
le s tie n e ra íz (a + Ib), si y s o lo si (a - Ib) e s raíz,
donde a s ® , ib e l
T e o re m a III
Toda e c u a c ió n
c io n a le s
p o lin o m ia l
de
com o
ra íce s
te n d rá
la - Ib; - la - Ib; - la
+
Ib
c o e fic ie n te s
a:
ra ­
Ja + I b ,
si y s o lo si u n a de
e lla s e s tá p re s e n te (la, Ib so n irra c io n a le s ). En
s e g u id a a n a lic e m o s a lg u n a s e c u a c io n e s p o lin o ­
m ia le s d e g ra d o s u p e rio r m u y im p o rta n te s .
ECUACIÓN CÚBICA
L la m a d a ta m b ié n e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o 3
c u ya fo rm a g e n e ra l es:
a x 3 + b x 2 + ex + d = 0 ; a 7 0
T e o re m a
Si la s e c u a c io n e s c u a d rá tic a s :
a x 2 + bx + c = 0: ab e ± 0
m x 2 + nx + p = 0 ; m n p # 0
p o s e e n ig ua l c o n ju n to s o lu c ió n .
S e c u m p le :
lg ebr a
ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPE­
RIOR
S o n a q u e lla s e c u a c io n e s p o lin o m ia le s q u e se re ­
d u c e n a la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:
D o n d e : a 0 7 0, n
e
Z
1 + ... + a n _ ,x + a n = 0
a
n
>
2
R e s o lu c ió n :
P a ra re s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s se ha n d e s a rro lla ­
d o u n a d iv e rs id a d d e té c n ic a s y a rtific io s , q u e e n su
m a y o ría p e rm ite n h a lla r los v a lo re s a p ro x im a d o s
d e sus raíces.
En el p re s e n te c a p ítu lo , b a jo c ie rta s c o n d ic io n e s la
re s o lu c ió n d e a lg u n a s d e e s ta s e c u a c io n e s h a ce
u so d e los s ig u ie n te s te o re m a s :
T e o re m a I
Toda e c u a c ió n p o lin o m ia l d é c o e fic ie n te s re a le s
a d m ite ra íz im a g in a ria (a + bi), si y s o lo sí (a - bí)
e s ra íz im a g in a ria , d o n d e b # 0 .
se p u e d e
o b te n e r la s ig u ie n te e c u a c ió n en x
x 3 + px + q = 0
_a_ _ b _ c
m ~ n _ p
P (x) = a 0x n + a^x"
M e d ia n te la s u s titu c ió n x p o r | x
(D
P a ra s o lu c io n a r la e c u a c ió n an te rio r, d e fin a m o s
. .q. 3/ i/ np >3
,
—j +
j . E n to n c e s la s ra íc e s d e (I) serán :
x, = ° f Y + I I + * ] - % - I I
X2 = 3^ - | + / a W + 3J - ^ - I a W
X3 = 3J - § + V Á w 2 + ^ - | - / Á v
donde: w =
2
+ — i/i = - P r
2
E je m p lo :
R e s u e lv a : x 3 - 15x - 12 6 = 0
R e s o lu c ió n :
I .A = 62 ; Xj = 5 t 1 = 6
H
- H
' M
- i - f ,
- M
.-. C S = { 6 ; -
3 + 2 / 3 i: - 3 - 2 / 3 i}
68
| C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e
ECUACION BICUADRADA
E s a q u e lla e c u a c ió n d e c u a rto g ra d o q u e p re s e n ta
la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:
a x + b x 2 + c = 0 ; abe
X
1” va
-
n 1k
eos
(2k+ 1)jt\
n
( 2 k + 1)7t||
) + ,sen
k = 0 ; 1 ; 2 ; ...; (n - 1 )
0
ECUACIÓN TRINOMIA
T e o re m a s
S e a la b ic u a d ra d a e n x:
E s a q u e lla e c u a c ió n d e tre s té rm in o s y q u e p re s e n ­
ta la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:
a x 4 + b x 2 + c = 0 ; ab e é 0
S i m y n s o n d o s ra íc e s no s im é tric a s , e n to n c e s :
—m y —n ta m b ié n lo se rá n .
Lu eg o:
C S = {m ; - m ; n; - n }
m 2 + n 2 = - b /a
m 2n 2
a x 2n + b x n + c = 0 , d o n d e : a b e ^ 0 n - e Z / \ n > 2
P a ra su re s o lu c ió n h a re m o s un c a m b io de v a ria b le :
x 11 = y. fo rm á n d o s e un a e c u a c ió n c u a d rá tic a cuya
s o lu c ió n es se n c illa , p ro p o rc io n a n d o lu e g o la s s o ­
lu c io n e s d e y a la v a ria b le o rig in a l x n o rig in a n d o
e c u a c io n e s b in o m ia s , d e re s o lu c ió n ya c o n o cid a .
En la e c u a c ió n : ax 211 + b x 11 + c = 0 ha ce m o s:
xr = y
...(1)
R e c o n s tru ir u n a e c u a c ió n b ic u a d ra d a . C o n o ­
c ie n d o d o s ra íce s , c u y a s u m a no s e a ce ro , (no
s im é tric a s ).
a y + by + c = 0 = > y1 ;2 = -
U na e c u a c ió n b ic u a d ra d a en x, d o n d e d o s d e sus
ra íc e s so n m y n ( m + n / - 0 ) v ie n e d a d a por:
- b + ib 2 - 4ac ; y2 =
. y, = --------------2a
En (1):
(m 2 + n 2)x 2 + m 2n 2 = 0
-b ± Ib 2 - 4ac
2a
- b - ■lb2~- 4 a c
2a
- b + ib 2 - 4ac
2a
ECUACION BINOMIA
E s a q u e lla e c u a c ió n d e d o s té rm in o s y q u e p re s e n ­
^ b ^ -_ /b ^ -_ 4 a c _
2a
- b + Ib 2 - 4ac
2a
n -b
/ b 2^ 4 a c
2a
ta la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l: a x n + b = 0
d o n d e : a b # 0; n
e
POLINOMIO RECIPROCO
TL a n > 3
P a ra re s o lv e r e s ta e c u a c ió n - p o d e m o s a p lic a r p ro ­
d u c to s n o ta b le s o lo s c rite rio s d e fa c to riz a c ió n , así
c o m o ta m b ié n las a p lic a c io n e s d e los n ú m e ro s
c o m p le jo s .
En: a x ;l + b = 0
■X '1 =
a
D a d o el p o lin o m io P (x) no c o n s ta n te y d e g ra d o
n con té rm in o in d e p e n d ie n te n o n u lo d ire m o s q u e
P (x) e s re c íp ro c o si y s o lo si s e c u m p le :
P (x) = x n p ( I '
=> x =
P (x) = 2 x 3 - 7 x 2 - 7 x + 2
L u eg o: si: |
x' “
'la
< 0 => x =
COSÍ
?k7T
n
| ( 1 ) = nJ - ^
,
2 k it
+,sen(— )j
k = 0; 1; 2; ...; (n - 1)
Sí: b/a
o - x = ^ | ( - i ) = nj | . nr i
nf \
P (x) = 6x 4 a 35 x 3 + 6 2 x 2 + 3 5 x + 6
ECUACIÓN RECÍPROCA
E s a q u e lla e c u a c ió n c u y o s c o e fic ie n te s d e lo s té r­
m in o s e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s son d e ig ua l
v a lo r: p re s e n ta n la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:
D onde: n
e
TL I n > 2
Á
E s ta s e c u a c io n e s si p re s e n ta n c o m o s o lu c ió n a
m , e n to n c e s ta m b ié n a c e p ta rá n c o m o s o lu c ió n a
x = 1 /m , c o m o m y 1 /m s o n re c íp ro c o s y ra íc e s de
la e c u a c ió n , a e s ta s in g u la rid a d se d e b e el n o m b re
d e e c u a c ió n re c íp ro ca .
P a ra la re s o lu c ió n se d e b e a g ru p a r los té rm in o s
e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s , fa c to riz a r x n/2 (si n
es p a r) pa ra lu e g o re a liz a r el s ig u ie n te c a m b io de
v a ria b le :
x + 1 /x
r x 2 - 1 /x 2 = y 2 - 2
= y => 4 ,
„, ,
,
„
[ x + 1/x 3 = y 3 - 3y
ax4 + bx3 + ex2 + bx + a = 0
E c u a c ió n re c íp ro c a de g ra d o im p ar. C o m o c a ­
so s p a rtic u la re s se tie n e n e c u a c io n e s d e la fo rm a :
S e lla m a así al c o n ju n to d e e c u a c io n e s lin e a le s
con do s o m á s in c ó g n ita s , ia s c u a le s p u e d e n v e rifi­
c a rs e p a ra a lg u n o s v a lo re s a s ig n a d o s a s u s in c ó g ­
n ita s o ta l v e z n u n c a se v e rifiq u e :
E je m p lo :
x + y = 2
x - y = 4
es un s is te m a lin e a l d e d o s e c u a c io n e s c o n d o s in c ó g n ita s
2x + 5y = 0
es un s is te m a linea l
d e 3 e c u a c io n e s con
3 in c ó g n ita s
=> s is te m a lin e a l h o m o g é n e o
3x - 7y = 0
bx5 + bx 4 + ex 3 + ex 2 + bx + a = 0
5x + 7 y + 2 z = 0
2x - y - z = 0
Esta ecua ción tiene c o m o solu ción a: x = 1 v x = - 1 ,
e n to n c e s se p o d rá a p lic a r la re g la d e R u ffin i para
te n e r un a e c u a c ió n d e g ra d o m e n o r a la re s p u e s ta .
3x + y + z = 0
ECUACIÓN FRACCIONARIA
E s a q u e lla q u e se p re s e n ta c o m o la d iv is ió n d e d o s
h (x )
=>
S is te m a lin ea! h o m o g é n e o . E s a q u e l s is te m a
d o n d e sus té rm in o s in d e p e n d ie n te s son ig u a le s a
cero.
a x 7 + b x 6 + ex 5 + d x 4 + d x 3 + ex 2 + bx + a = 0
M
69
E je m p lo :
ax 6 + b x 5 + ex 4 + d x 3 + ex 2 + bx + a = 0
p o lin o m io s , c u y a fo rm a g e n e ra l es:
|
SISTEMA DE ECUACIONES
x + y + 3x = 5
2x + y - z = 4
7x + 9 y - 2z = 14
E c u a c ió n re c íp ro c a d e g ra d o par. C o m o c a so s
p a rtic u la re s p o d e m o s in d ic a r las s ig u ie n te s e c u a ­
cio n e s :
lg ebr a
=0
d o n d e h(x) es un p o lin o m io no c o n s ta n te .
R e s o lu c ió n :
P a ra re s o lv e r e s ta e c u a c ió n , se s u g ie re segu ir, los
s ig u ie n te s p a so s:
f (x)
A s e g u ra r la e x is te n c ia d e la e x p re sió n — - ,
h (x )
p a ra lo c u a l se d e b e a s e g u ra r q u e n(x) A 0 .
D e a q u í se o b tie n e un c o n ju n to d e v a lo re s qu e
p u e d e a s u m ir ia in có g n ita .
P rocura r, en lo p o sib le , tra n s fo rm a r la fra c c io ­
n a ria , en un a p o lin o m ia l; cu ya re s o lu c ió n la
c o n o c e m o s o b te n ié n d o s e un c o n ju n to s o lu ­
ción.
F in a lm e n te el c o n ju n to s o lu c ió n d e ¡a e c u a ­
c ió n fra c c io n a ria , es la in te rs e c c ió n d e los
c o n ju n to s o b te n id o s en los p a s o s a n te rio re s
=> s is te m a lin e a l h o m o g é n e o
S o lu c ió n d e u n s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s
Es una c o le c c ió n d e n ú m e ro s q u e v e rific a n en fo rm a
s im u ltá n e a a un c o n ju n to d e e c u a c io n e s linea le s.
E je m p lo :
El p a r o rd e n a d o (2; 3) es s o lu c ió n d e i s iste m a :
x + y = 5
2x + y = 7
p u e s si a s ig n a m o s a x el v a lo r d e 2 y a y el v a lo r de
3, e n to n c e s se v e rific a n a m b a s e c u a c io n e s .
S o lu c ió n triv ia l d e un s is te m a lin e a l. S e llam a
así c u a n d o la c o le c c ió n d e n ú m e ro s e s tá fo rm a d o
p o r ce ro s.
P o r e je m p lo : (0: 0), (0: 0; 0), (0; 0: 0; 0), etc.: son
s o lu c io n e s triv ia íe s .
S is te m a d e e c u a c io n e s q u e p re s e n ta n s o lu c io ­
nes triv ia le s . Los s is te m a s d e e c u a c io n e s lin e a le s
q u e s o n h o m o g é n e o s , s o n ios q u e p re s e n ta n s o lu ­
c io n e s triv a le s , a sí p o r e je m p lo :
3x + 2y + z = 0
x + y + z = 0
x - y- z = 0
70
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Es un s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s h o m o g é n e o
q u e tie n e c o m o s o lu c ió n ( 0 ; 0; 0).
EJERCICIOS RESUELTOS
El c o n ju n to s o u c ió n d e un s is te m a d e e c u a c io ­
n e s. C o m o el c o n ju n to fo rm a d o p o r la s s o lu c io n e s
d e l s is te m a linea l.
H a lla r las ra íce s d e la e c u a ció n :
C o n ju n to s o lu c ió n d e un s is te m a lin e a l q u e no
p re s e n ta s o lu c ió n . E s el c o n ju n to n u lo o v a c io , es
d e cir: C S = { } o C S = o
R e s o lu c ió n :
M u ltip lic a n d o a m b o s m ie m b ro s d e la e c u a c ió n
x (x - 2 a) ^ a _ x
por
E x iste n la s c o m p a tib le s d e te rm in a d a s , c o m p a ti­
b le s in d e te rm in a d a s e in c o m p a tib le s .
P ro p ie d a d e s
S e a el s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s:
a x + by = c
m x + ny = p
E n to n c e s se c u m p le :
ja n
bm | c u a n d o se tie n e s o lu c ió n ú n ic a (c.
2.
d e te rm in a d o )
2.
|a n = bm
a
bp = nc ¡ c u a n d o tie n e in fin ita s s o ­
ja n = bm
A
(in c o m p a tib le )
REGLA DECRAM ER
S e a el s is te m a s ig u ie n te : ax + by = c
m x + ny = p
3.
AS = I a b I
Im n | ’
1
a
Ibc
o b tie n e :
¿ C u á le s s o n los v a lo re s d e p y q, p a ra q u e las
ra íc e s d e la e c u a c ió n : x 2 + px + q = 0 , se a n
ta m b ié n p y q?
P o r da to : x , = p; x 2 = q
P o r p ro p ie d a d d e la s ra íc e s d e una e c u a c ió n
d e 2 .° g ra d o : Xi + x 2 = - p
x ,x 2 = q
R e e m p la z a n d o lo s v a lo re s d e Xí y x 2 p o r ra ­
z ó n d e e n u n c ia d o : p + q = - p =» q = - 2
pq = q =5 p = 1
S irv e p a ra re s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s lin e a ­
le s con 2 o m á s in có g n ita s .
la e l
Ic
b • Ay =
Ax =
m p
IP n |
■=
S e a n x , y x 2 ra íce s d e la e c u a c ió n :
x 2 + px + q = 0
bp # nc I c u a n d o no tie n e s o lu c ió n
S e de fin e:
Ib
R e s o lu c ió n :
lu c io n e s (c. in d e te rm in a d o )
3.
Ibc . se
a - x
x(x - 2a) + Ib (a - x) - le (a - x) = Ibc - a2
Ordenando e igualando a cero:
x2 - 2ax + a Ib - I b x - a l e + ■
x2 + (le - Ib - 2a)x + a Ib - a
x2 + ( V c - V b - 2 a ) x + (a + V b )(a -V c ) = 0
[x - (a + Vb )][x - (a - Ve)] = 0
Igualando a cero los factores y. despejando:
x-i = a + Vb a x2 = a - Ve
DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE SOLUCIONES,
¿QUÉ CLASES DE SISTEMAS DE ECUACIONES
EXISTE?
1.
IE
Vbc
¿ Q u é v a lo r d e b e te n e r c, e n la e c u a c ió n :
x 2 + 8x + c = 0 p a ra q u e un a ra íz sea in ve rsa
d e la o tra ?
D on de:
A s: d e te rm in a n te re s p e c to al s is te m a
R e s o lu c ió n :
A x: d e te rm in a n te re s p e c to a la in c ó g n ita x
S e a n sus raíces: x, y x 2
A v: d e te rm in a n te re s p e c to a la in c ó g n ita y
P o r p ro p ie d a d d e la s ra íc e s e n una e c u a c ió n
c u a d rá tic a : x ,x 2 = c / 1 ... (I)
P a ra h a lla r lo s v a lo re s d e x e y se u tiliz a las s i­
g u ie n te s re la c io n e s :
x = A x /A s
y = A y /A s
La e c u a c ió n : x 2 - 8x + c = 0
P o r d a to d e l p ro b le m a : x-,x 2 = 1
(El p ro d u c to d e d o s c a n tid a d e s s ie n d o un a la
in v e rs a d e la o tra s ie m p re es la u n id a d )
Á
4.
R e e m p la z a n d o e n (I):
1 = c /1 => 1 = c
- 8x - 1 2 / 7 = - 6 4
...(III)
8x - 2 / 7 = 36
...(IV )
En la e c u a c ió n : 2 x 2 - (m - 1)x + (m + 1) = 0,
¿ q u é v a lo r p o s itiv o d e b e d a rs e a m p a r q u e
la s ra íce s d ifie ra n en un o ?
S u m a n d o (III) + (IV):
- 1 4 / 7 = - 28 => ¿ 7 = 2
7.
R e s o lu c ió n :
2 x 2 - (m - 1 )x + (m + 1 ) = 0
..y = 4
D a d o el s ig u ie n te s is te m a de e c u a c io n e s :
e n c o n tra r el v a lo r d e (x + y).
P o r da to : x , - x 2 = 1 ... (I)
R e s o lu c ió n :
P o r p ro p ie d a d d e la s raíces:
- (m - 1 )
|
5 Ix - 3 / 7 = 3
2 5 x — 9 y = 81
S e a n x 1 y x 2 la s ra íce s d e la e c u a c ió n :
Xi + X2 — —
lg e br a
El s is te m a : 5 / x - 3 / 7 = 3
2 5 x - 9y = 81
(II)
...( I)
...( II)
D e (II): ( 5 /x )2 - ( 3 / 7 )2 = 81
( 5 / x + 3 / 7 ) . ( 5 / x - 3 / 7 ) = 81
S u m a n d o (I) + (II), se lo g ra : x , =
m + 1
D e ( l) : 5 / x + 3 / 7 = 27
S u m a n d o m ie m b ro a m ie m b ro (I) + (III)
R ee m plazan do este valo r en (III), se logra: x 2 = 2
S e lo gra: 1 0 /x
R e e m p la z a n d o x 1 y x 2 en (II):
H a lla r el p ro d u c to d e las ra íce s d e la e c u a ­
c ió n : Vx + 3 - / x - 2 = 5
8.
D a d o el s is te m a d e e c u a c io n e s :
x - y = 1,3
/TÓx - /T o 7 = 1,0
R e s o lu c ió n :
S e tie n e : / x + 3 - f x ~ ^ 2 = 5
e n c o n tra r el v a lo r d e (x + y)
T a m bién : ■Ix + 3 = 5 + -Ix - 2
R e s o lu c ió n :
E le v a n d o al c u a d ra d o :
El s is te m a : x - y = 1,3
x + 3 = 2 5 + 10 l x - 2 + x - 2
=» - 2 0 = 1 0 / x - 2
6.
= 30 ^ x = 9
R e e m p la z a n d o en (II): 2 5 (9 ) - 81 = 9y
D e d o n d e : y = 16
S e pide : x + y = 16 + 9 = 25
m A 1 , O m —1
-1*1
—
h 2 = ---------- , d o n d e : m = 11
4
2
5.
...( III)
.-. - 2 = h - 2
... (I)
/ÍO x - /ÍÓ 7 = 1
D e (I): ( / x + / 7 ) ( / x - / 7 ) = 1,3
La e c u a c ió n no tie n e s o lu c ió n p u e s no e x is te
n in g ú n n ú m e ro rea l ta l q u e su ra íz c u a d ra d a
s e a n e g a tiv a .
D e (II): ¿ T o (/x - J y ) = 1
¿ C u á l es el v a lo r d e y en el s is te m a d e e c u a ­
R e e m p la z a n d o (IV ) e n (III):
c io n e s s im u ltá n e a s : 2 x + 3 /y = 16
( /7 + /7 )
8x - 2 / y = 36
R e s o lu c ió n :
S is te m a : 2x + 3 / 7 = 16
8x - 2 / y = 3 6
M u ltip lic a n d o la (I) p o r - 4 :
.... (I)
...( II)
(¿T -/ 7 ) = ~
...( II)
...( III)
-( IV )
¿10
1 = 1,3
/10
(/x + /7)= 1 , 3 / 1 0
,..(v)
S u m a n d o (V ) + (IV ) m ie m b ro a m ie m b ro :
2 / x = 1 ,3 /1 0 -■ 1
¿To
x = 4,9; y = 3,6
S e pide : x + y = 4 ,9 + 3 ,6 = 8,5
72
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
J
I DE JE R C IC IO S
1.
R e s o lv e r:
- 3 ( 2 x + 7) + ( - 5 x + 6) - 8(1 - 2x) - (x - 3) = 0
a) 2
d) 5
2.
c) 4
b) - 3
e) 7
4.
5.
7.
c) 3/8
a ) x e IR
d ) x e IR - {2 }
c) 3
b) x = 0
e ) x = 3/2
c ) x = 1/3
3 + -—i
c) 3/2
3x - 1\
2 /x + 2 \
3V 6
/
1
4
c) 7 /19
a) 4
b) 3 j
d) 3
e) 1
( 2 n + 1)
a) --------------
2
e) 7
c) 1/35
b) 2/35
e ) 3/17
R e s o lv e r: (x + 3 )3 - x 3 - 9 x 2 = 54
c) 1
x- 6
( n + 1)
b) — - —
2
e)
d)
a)
d) 2
= 7 - x +
e) - 2
^
x - 6
a + b - c
o)
c2
c + a - b
e)
ab e
a + b + c
16. L u e g o d e re s o lve r:
el v a lo r d e ^x 1 + 1
3n
c) —
2
( n - 1)
15. H a lla r el v a lo r d e x en:
d) O
c )2 ]
14. E n la s ig u ie n te e c u a c ió n :
(x + 1) + (x + 2 ) + (x + 3 ) + ... + (x + n) = n 2
d o n d e : n e TL A n > 2 0 0 0 ; el v a lo r d e x es:
R e s o lv e r: (4 - 5 x )(4 x - 5) = (1 Ox - 3 )(7 - 2x)
R e s o lv e r: x - 5 h
x -2
i-
c) 1
b) - 1
(x + 1) —4
—
x -2
3 + — !—
b) 2 /1 3
e ) 19/23
b) 2
b) - 6
d) in d e te rm in a d o
13. R e s o lv e r:
R e s o lv e r: (x - 2 )2 = 1 + (3 - x )2
a) O
10.
b) 5/7
e ) 11/7
b) 18/5
e) 18/15
a) 1/15
d ) 4 /9
9.
x - 3 _ x - 5
R e s o lv e r: 2 x - ( 2x
a) 3
8.
x - 2
R e s o lv e r: — (x + 3) +
= -1 (x - 1) - (x - 3)
3
6 2
a ) 1/13
d ) 13 /15
5
x - 2
b) 2
e) 5
a ) 13/5
d ) 8/5
6.
2+ —
R e s o lv e r: - — 5- = 2 a) 1
d) 4
R e s o lv e r: x - 4 + 2 {5 - x = 8 - x + {2 0 - 4x
12. H a lla r el v a lo r d e x en:
b) O
d) in d e te rm in a d o
. x - 1
R e s o lv e r:
3 )1
d) 2/9
11.
b) - 6
d ) in d e te rm in a d o
a) 6
c) - 6 y 6
e ) in c o m p a tib le
R e s o lv e r: x - (5 - x) = 3 - ( - 2 x + 8 )
a) 5/2
o )1
e) in c o m p a tib le
3.
a) 6
c) 6 y - 6
e ) in c o m p a tib le
PROPUESTOS 1
x - a _ x - b _ x - c
ab
ac
be
b)
d)
a + b - c
b+ c - a
Jy | T | O JC
i
— —— = 3 in d iq u e
/x ~ T l - 2 Í k
Á
a) 4
d ) 2 ,5
17.
,
a (a -x )
R e s o lv e r :—5—
a) a + b
d) b
18.
b) 3 ,5
e) 2
19.
a + b
a) - 6
d) 15
b (b + x)
-----5------------= x
b) a - b
e ) ab
b) a - b
be )
d)
a)
d)
20.
a - b
(a + b )2
R e s o lv e r: 2 x + 3y = 8
c a lc u la r xy
a) 1
d) 4
21 .
b) (a - b )2
e ) ab
b)
e)
A
R e s o lv e r: 2 x + 3y = - 2
h a lla r x + y.
25.
c)
A
b) 10
4 e )3
x — 1 = 1/y
a
3/ 4
c) 12
e) 1/4
a)
d)
3
5x + 7 y = 11
U)
ai
<r
c) 15
R e s o lv e r:
y + =
2
a
x
- y = ■
ca lc u la r: x + y
j
a ) -2 0
d)
c) - 1 5
c) a + b
4 x + 5 y = 14
2
5
24 x + 4 7 y = - 2 2
b) - 3
8)“ Á
R e s o lv e r: — - — 1— = — — ^— + 2
x + a - b
x - a+ b
A
b) - 2
e) - 6
24. R e s o lv e r: x + 1 = 1 /(2 y)
ha lla r: xy
c) a
ab
73
c) - 1
b) 1
e ) 18
a) 5
d) - 1 8
1
|
2 x - 1 6 = 5y
A
23. R esolver: 30x - 23 y = 136
h a lla r xy
c) a
R e s o lv e r: ^ Í 1 - - W - f l - - W
x > a\
x
a)
d)
22. Si: 7x - 9 y = 3 9
in d iq u e xy
c) 3
lgebra
u
3
12
i.
2.
3.
4.
5.
d
d
b
e
d
c) 10
b) 7
e ) 15
6.
7.
8.
9.
10.
c
a
c
c
e
11.
12.
13.
14.
15.
e
d
a
c
b
16.
17.
18.
19.
20.
a
b
a
b
b
21.
22.
23.
24.
25.
c
a
e
d
c
y
DESIGUALDADES E INECUACIONES
DESIGUALDADES
E s a q u e lla c o m p a ra c ió n q u e se e s ta b le c e e n tre
d o s n ú m e ro s re a le s , m e d ia n te los s ím b o lo s : < ; < ;
>; >
L u e g o , se a n a, b
e
IR
Si: a > b se le e a es m a y o r q u e b
a < b se le e a es m e n o r q u e b
a > b se le e a es m a y o r o ig ua l q u e b
a < b se le e a es m e n o r o ig ua l q u e b
D e fin ic ió n d e >
P ru e b a . S e a n a y b n ú m e ro s re a le s , e n to n c e s ( - b )
ta m b ié n es real, lu e g o p o r la L e y d e C la u s u ra p a ra
la a d ic ió n ( + ) en IR se tie n e q u e a + ( - b ) es real,
es d e c ir (a - b)
e
IR.
A p lic a n d o la Le y d e T ric o to m ía p a ra (a - b) e IR:
a - b < 0 v a - b = 0 v a - b > 0 e q u iv a le n te ­
m e n te (p o r la s d e fin ic io n e s ( 1 ), ( 2 ) s o b re < ; > , y
p o r el p rin c ip io : la d ife re n c ia d e d o s n ú m e ro s es
c e ro si y s o lo si son ¡guales).
a < b v a = b v a>b
y<
D a d o s a, b e IR
TEOREMA Y PROPIEDADES DE > Y <
1 . a > b si y s o lo si a - b es p o s itiv o
2 . a < b si y s o lo si b - a e s p o s itiv o
D a d o s a, b, c, d
E je m p lo s :
3 < 5 p o rq u e 5 - 3 = 2 y 2 es p o s itiv o
- 1 0 < - 6 porque - 6 — ( —10) = 4 y 4 es positivo.
7 > 2 p o rq u e 7 - 2 = 5 y 5 e s p o sitiv o .
- 2 > - 7 p o rq u e - 2 - ( - 7 ) = 5 y 5 e s p o sitiv o .
3
2
3
2
1
1
— > - p o rq u e ^ - ■= = — y — es p o s itiv o
4
3
4
3
12 12
D e fin ic ió n d e < y >
D a d o s a, b
1.
2.
e
IR
a < b si y s o lo s i a < b o a = b
a > b si y s o lo si a > b o a = b
L a s p ro p ie d a d e s a < b, a > b, a < b y a > b se
d e n o m in a n d e s ig u a ld a d e s . En p a rtic u la r, a < b y
a > b s e lla m a n d e s ig u a ld a d e s e s tric ta s , m ie n tra s
q u e a < b y a > b re c ib e n el n o m b re d e d e s ig u a ld a ­
de s no e s tric ta s.
D e la d e fin ic ió n d e < y >
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
e
IR,
SI a + 0 y b > 0, e n to n c e s a + b > 0
SI a > 0 y b > 0, e n to n c e s a b > 0
Si a < b y b < c, e n to n c e s a < c; (p ro p ie d a d
tra n s itiv a )
Si a < b, e n to n c e s a + c < b + c
Si a < b y c < d, e n to n c e s a + c < b + d
Si a < b y c > 0, e n to n c e s a c < be
Si a < b y c < 0, e n to n c e s ac > be
La p ro p ie d a d (1) a n te rio r e s ta b le c e q u e la s u m a de
d o s n ú m e ro s p o s itiv o s es p o s itiv a , y la p ro p ie d a d
( 2 ) e s ta b le c e q u e el p ro d u c to d e d o s n ú m e ro s p o ­
s itiv o s es p o sitiv o .
INTERVALOS
S e a I un s u b c o n ju n to d e IR (I
c
IR).
D e c im o s q u e I es un in te rv a lo , si y s o lo si es el
c o n ju n to d e to d o s lo s n ú m e ro s re a le s q u e está n
c o m p re n d id o s e n tre d o s e x tre m o s (q u e p u e d e n s e r
fin ito s o id e a le s ), lla m a d o s e x tre m o s in fe rio r y e x ­
tre m o su p e rio r.
a > 0 si y s o lo si a es p o s itiv o
a < 0 si y s o lo si a es n e g a tiv o
LEY DE TRICOTOMÍA
P a ra c u a lq u ie r n ú m e ro rea l “a ” , un a y s o la m e n te
u n a d e las s ig u ie n te s re la c io n e s se c u m p le :
a < 0 v a = 0 v a > 0
C o r o la r io . P a ra c u a le s q u ie ra d o s e le m e n to s a,
b e IR, una y s o la m e n te un a d e las s ig u ie n te s re la ­
c io n e s se c u m p le : a < b v a = b V a > b
CLASES DE INTERVALOS
Si I es un In te rva lo , p u e d e ser: a c o ta d o o no a c o ­
ta d o .
In te rv a lo a c o ta d o . Es a q u e l in te rv a lo c u y o s e x tre ­
m o s s o n fin ito s.
El c o n ju n to d e lo s n ú m e ro s x q u e s a tis fa c e n la d e s ­
ig u a ld a d a < x < b se d e n o m in a in te rv a lo a b ie rto
y se d e n o ta p o r (a ; b ).
P o r ta n to :
(a ; b ) = (x / a < x + b}
Á lg e b r a |
: (a ; b)
El in te rv a lo c e rra d o d e a a b e s el In te rv a lo a b ie rto
(a ; b ) ju n to c o n lo s d o s e x tre m o s d e l s e g m e n to a
y b, y se d e n o ta p o r [a; bj. A sí:
[a; b] = {x / a < x < b}
x e [a; b]
El in te rv a lo s e m ia b ie rto p o r ia iz q u ie rd a es el
in te rv a lo a b ie rto (a : b ) ju n to c o n el e x tre m o d e re ­
c h o b.
E s te in te rv a lo se d e n o ta p o r (a : b j; d e m o d o q u e
(a ; b] = {x / a < x < b}
a
Figura 1
b
x e (a ; b]
S e d e fin e el in te rv a lo s e m ia b ie rto p o r la d e re c h a
d e m a n e ra s im ila r y s e d e n o ta p o r [a; b ). A sí:
[a; b> = {x / a < x < b}
x e [a; b)
Figura 2
In te rv a lo s no a c o ta d o s . E s a q u e l in te rv a lo d o n d e
al m e n o s un e x tre m o e s el id e a l
o - cc.
(a ; +oc) = {x / x > a}
( - c c ; b ) = {x / x < b}
[a; + c c )= {x / x > a}
( - c o ; b ]= {x / x < b}
( —cc; + o o )— IR
Figura 3
?
*
b
xe(-oo;b)
Figura 4
La fig u ra 3 m u e s tra el in te rv a lo (a ; +cc> m ie n tra s
q u e la fig u ra 4 p re s e n ta el in te rv a lo ( - c c ; b ). O b ­
s e rv e q u e ( - c c ; +oc) re p re s e n ta el c o n ju n to d e to ­
d o s lo s n ú m e ro s rea les.
P a ra c a d a u n o d e lo s in te rv a lo s (a ; b ), [a; b], [a; b)
y (a; b] lo s n ú m e ro s a y b se d e n o m in a n e x tre m o s
d e l in te rv a lo . El in te rv a lo c e rra d o [a; b¡ c o n tie n e a
lo s d o s e x tre m o s , m ie n tra s q u e el in te rv a lo a b ie r­
to (a ; b ) no c o n tie n e a n in g u n o d e s u s e x tre m o s .
El in te rv a lo [a; b ) c o n tie n e a su e x tre m o iz q u ie rd o
p e ro no al d e re c h o , y el in te rv a lo (a ; b] c o n tie n e a
su e x tre m o d e re c h o p e ro no al iz q u ie rd o .
Un in te rv a lo a b ie rto p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o el
in te rv a lo q u e no c o n tie n e a s u s e x tre m o s ; p o r el
c o n tra rio , un in te rv a lo c e rra d o p u e d e c o n s id e ­
ra rs e c o m o el in te rv a lo q u e c o n tie n e a to d o s su s
e x tre m o s .
En c o n s e c u e n c ia , el in te rv a lo [a; +oc) s e c o n s id e ­
ra c o m o un in te rv a lo c e rra d o p o rq u e c o n tie n e a
su ú n ic o e x tre m o a. D e fo rm a s e m e ja n te , ( - 00; b]
e s un in te r v a lo c e rra d o , e n ta n to q u e , (a ; b ) y
( - c o ; b ) son a b ie rto s . Lo s in te rv a lo s [a; b ) y (a ; b]
n o s o n a b ie rto s ni c e rra d o s . El in te rv a lo ( —00¡ + 00)
n o tie n e e x tre m o s , y se c o n s id e ra ta n to a b ie rto
c o m o c e rra d o .
OPERACIONES CON INTERVALOS
El in te rv a lo (a ; bj se m u e s tra en la fig u ra 1, y el
in te rv a lo [a; b ) se p re s e n ta en la fig u ra 2. S e u tili­
z a rá el s ím b o lo +cc (in fin ito p o s itiv o o m á s in fin ito )
y el s ím b o lo -o o (in fin ito n e g a tiv o o m e n o s in fin ito );
sin e m b a rg o , te n g a c u id a d o en no c o n fu n d ir e s to s
s ím b o lo s con n ú m e ro s re a le s , ya q u e n o c u m p le n
la s p ro p ie d a d e s d e d ic h o s n ú m e ro s .
3
-«
S e a n A y B in te rv a lo s , se d e fin e n y se d e n o ta n :
A uB ={xE lR /xeA vxeB }
AnB ={xeE/xeAAxeB}
A - B = {x e IR / x e A a x í B}
C A = A c = A ' = {x e IR/ x £ A }
A ' = c o m p le m e n to d e A re s p e c to a IR
A 1 = IR - A
T e o re m a s a d ic io n a le s . S e a n a, b, c, d, x e IR
V a e IR; a 2 > O
v a , b, c, d e IR+ / a v b
a
c < d=> a c < bd
a b > O « (a > O a b > 0 ) v (a < O a b < 0 )
a b < O <=> (a > O a b < 0 ) v (a < 0 a b > 0)
+00
x
g
75
a > 0 o
— >0
a
a < 0 »
— <0
a
(a ; +co)
76
¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Si a y b tie n e n el m is m o sign o:
3x + 3 > 2 x + 5 o 3 x + 3 + ( - 3 ) > 2x - 5 + ( - 3 )
o 3x > 2 x + 2
=> a ' x ' b o - > - > ■ !
a
x
b
a < x < b
0 < x 2 < m á x {a 2; b2}
b2 < x2 < a2
« 3x + ( —2x) > 2x + ( —2x) + 2
si 0 < a < b
siacO AO cb
si a : b < 0
» x > 2
G rá fic a m e n te :
2
■y
'
+oc
a+ -> 2;V aeIR +
a
L u e g o : C S = [x e IR / x > 2 } = (2 ; + cc)
b + - < 2; V b < : HT
b
INECUACIÓN LINEAL
a + b > 2 ab; V a, b e ffi.
F o rm a g e n e ra l:
a 2 + b 2 + c 2 > a b + a c + be; V a, b, c e IR
INECUACIÓN
E s un a d e s ig u a ld a d q u e se e s ta b le c e e n tre d o s e x ­
p re s io n e s m a te m á tic a s la s c u a le s tie n e n p o r lo m e ­
n o s un a v a ria b le , la c u a l se d e n o m in a rá in có g n ita .
E s ta d e s ig u a ld a d s o lo se v e rific a p a ra a lg u n o s
v a lo re s d e te rm in a d o s d e las in c ó g n ita s o ta l v e z
n u n c a se v e rifiq u e . P o r e je m p lo , la d e s ig u a ld a d :
2 x + 3 > x + 5 e s u n a in e c u a c ió n p o rq u e tie n e un a
in c ó g n ita x, y se v e rific a p a ra v a lo re s d e x m a y o re s
q u e 2. T a m b ié n , la d e s ig u a ld a d : s e n (x ) + 2 > 5,
e s u n a in e c u a c ió n q u e n u n c a s e v e rific a , p o rq u e
lo s v a lo re s de l s e n (x ) e s tá n c o m p re n d id o s en el
in te rv a lo [ - 1 ; 1 ] p a ra to d o x real, e n c o n s e c u e n c ia
s e n (x ) + 2 e s tá en el in te rv a lo [1; 3] y n in g ú n v a lo r
d e e s te in te rv a lo e s m a y o r o ig u a l q u e 5.
S o lu c ió n p a rtic u la r. Es a q u e l v a lo r (o v a lo re s ) de
la in c ó g n ita (o in c ó g n ita ) q u e v e rific a la in e c u a c ió n .
P o r e je m p lo , en la in e c u a c ió n 2 x + 3 > x + 5, una
so lu ció n p a rtic u la r es x = 5, pu es 2 (5 ) + 3 > 5 + 5
es cierto .
T a m b ié n e n la in e c u a c ió n x + y > 2, p a ra x = 1 e
y = 1 la in e c u a c ió n se v e rific a , p u e s 1 + 1 > 2 es
c ie rto , lu e g o ( 1 ; 1 ) e s un a s o lu c ió n pa rtic u la r.
C o n ju n to s o lu c ió n . E s a q u e l c o n ju n to d e n o ta d o
p o r C S q u e a g ru p a a to d a s las s o lu c io n e s p a rtic u ­
la re s (si e x is te n ) d e un in e c u a c ió n . Si la in e c u a c ió n
n o tie n e s o lu c ió n , e n to n c e s d ire m o s q u e el C S es
el c o n ju n to v acio.
R e s o lv e r u n a in e c u a c ió n . S ig n ific a h a lla r un c o n ­
ju n to s o lu c ió n . La re s o lu c ió n se re a liz a s o lo e m ­
p le a n d o p a s o s e q u iv a le n te s , p o r e je m p lo , si q u e ­
rem os:
P (x) = ax + b S 0 |; a f- 0
s ie n d o : a, b e=K
E je m p lo :
D e te rm in e x en a x + b > 0; a < 0
R e s o lu c ió n :
a x + b > 0 => ax + b + ( - b ) > 0 + ( —b)
=> ax > - b ; a < 0
=> “ ( a x ) < ^ ( —b); p u e s I < 0
d
d
d
« x < -b
a
G rá fic a m e n te :
-b/a
L u e g o : C S = j x e IR / x < - - | j = / - x ; C rite rio d e los p u n to s c rític o s . Es u tiliz a d o pa ra
a n a liz a r la v a ria c ió n d e los s ig n o s d e lo s fa c to re s
lin e a le s (de c o e fic ie n te s re a le s ) en un a m u ltip lic a ­
c ió n in d ic a d a .
E je m p lo s :
1.
S e a P (x) = (x - 2 )(x - 7)
Las ra íc e s de l p o lin o m io son: 2 a 7
U b iq u e m o s e s o s v a lo re s en la re cta real.
— CC
2
7
+ 00
La s ra íc e s del p o lin o m io p a rtic io n a n la re c ta IR
e n 3 z o n a s (in te rv a lo s ):
• x e ( -c e ; 2) = » x < 2 = » x - 2 < 0 A
x - 7 < - 5 < 0, lu e g o : (x - 2 )(x - 7) > 0
Á
(2;7)=*2<x < 7 = » 0 < x - 2 < 5 a
- 5 < x - 7 < 0 , lu e g o : (x - 2 )(x - 7 ) < 0
x e (7 ; + o o )
x > 7 s x -2 > 5 a
x - 7 > O, lu e g o : (x - 2 )(x - 7) > O
G rá fic a m e n te : P (x) = (x - 2 )(x - 7)
x e
lg ebr a
|
77
P (x) = a x 2 + bx + c S O
s ie n d o : a, b, c
e
IR
A
a 7A O
R e s o lu c ió n :
C o m o (a
0 ) d iv id im o s a a m b o s m ie m b ro s e n tre
a, te n ie n d o c u id a d o el p o s ib le c a m b io e n el s e n ­
tid o d e la in e c u a c ió n , e n to n c e s te n e m o s :
2
—ce
2.
5
+co
S e a P (x) = (x - 4 )(x + 1)(x - 7), la s ra ic e s
son: - 1 , 4, 7.
U b iq u e m o s e s to s v a lo re s e n la re c ta real.
-00
—1
4
7
+00
L a s ra íc e s de! p o lin o m io p a rtic io n a n a la re c ta
IR en 4 z o n a s (in te rv a lo s )
A n a lic e m o s la s v a ria c io n e s .
P (x)
x -4
x + 1
x - 7
-
-
-
-
-
+
-
+
4 < x < 7
+
+
-
-
x >7
+
+
+
+
F a cto r
Zona
x < -1
-1 < x
4
a (x 2 + | x + - | ) s 0
C o m p le ta n d o c u a d ra d o s d e n tro de! p a ré n te s is .
a ( x2 + 2x( A \ + ^ i _ ^ L + £ ) í 0
' 2a/ 4a2 4a
a | í x
+ b '2
2a /
ai
/ b2 - 4ac
j S O ... ( a )
\
4a
P e ro re c u e rd e q u e b 2 - 4 a c e s el ¡D is c rim in a n te !,
d e n o ta d o p o r A = b 2 - 4 a c.
V a m o s a re e m p la z a r en (a ) y te n d re m o s :
C o m e n z a re m o s c o n el a n á lis is d e lo s c a s o s p o s i­
b le s q u e d e p e n d e n de l d is c rim in a n te .
C a s o I. S i A = O re e m p la z a n d o e n (I), n o s q u e d a :
/
b \2
a x+ —
S O c a n c e lo a c u id á n d o s e d e la v a ria 2a /
c ió n d e sig n o .
En e s te c a s o te n e m o s p o r e je m p lo :
4
-ce
7
+cc
SI se tra ta rá d e re s o lv e r: P (x) > O, te n d ría m o s
q u e : el C S = ( - 1 ; 4 ) u (7 ; +oc)
C u a n d o fo rm a m o s la In e c u a c ió n p o lin o m ia l
¡os v a lo re s d e la s ra íc e s del p o lin o m io to m a n
el n o m b re d e p u n to s c rítico s.
3.
S e a P (x) = (7 - x )(x - 4)
L a s ra íc e s son: 4 y 7 p e ro la s v a ria c io n e s de
s ig n o c a m b ia n .
—oo
4
7
INECUACIONES CUADRÁTICAS
S o n a q u e lla s in e c u a c io n e s d e la fo rm a :
+cc
(x - 2 )2 > O =» C S = IR, p u e s V x e IR , c u m p le
al s e r re e m p la z a d a e n la in e c u a c ió n .
x 2 - 4 x + 4 > 0 o ( x - 2 )2 > 0 , n o ta m o s q u e
se v e rific a x e IR , e x c e p to c u a n d o x = 2.
.■. C S = IR - {2 }
x 2 - 6x + 9 < O o (x - 3 )2 < O, o b v ia m e n te la
in e c u a c ió n tie n e el s ím b o lo q u e h a c e q u e e s ta
in e c u a c ió n se a n o v e riflc a b le p a ra a lg ú n v a lo r
rea l. C S = 0
(x - 7 )2 < O » (x - 7 )2 = O, e n to n c e s te n e m o s
q u e la ú n ic a s o lu c ió n es x = 7.
.-. C S = {7}
C a s o II. Si A = b 2 - 4 a c > O, re e m p la z a n d o e n (I),
te n e m o s lu e g o d e e le v a r al c u a d ra d o y to m a r raíz.
x + f f - ^ j s O
2a I
4a 2 1
78
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
V a m o s a m u ltip lic a r p o r el in v e rs o m u ltip lic a tiv o
d e a y a p ro v e c h a n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s ,
q u e d a rá :
'
x
b , Va
, b
+ t^ + —
x + „
2a 2a A
2a
4.
S e a (3 - x )(5 - x) < 0 o (x - 3 )(x - 5) < 0
Va\ -,0
2a
y p a ra re s o lv e rlo a p lic a re m o s el m é to d o d e ¡ P u n to s
c rític o s !, v a m o s a v e rlo m e jo r en a lg u n o s e je m p lo s :
.-. C S = <3; 5)
E je m p lo s :
En lo p o sib le , u ste d , ha v is to la s v a ria b le s ,
a h o ra a n a lic e m o s q u e p a s a c u a n d o (A < 0).
En el te o re m a s ig u ie n te :
1.
S e a x - 5 x + 4 > 0, fa c to riz a n d o p o r a s p a
sim p le , se tie n e (x - 4 )(x - 1) > 0. Lo s p u n to s
c rític o s s e rá n : 1; 4 (q u e s o n v a lo re s q u e a n u ­
lan c a d a fa cto r).
R e e m p la z a m o s en la re cta n u m é rica .
T e o re m a (trin o m io p o s itiv o ). S ea :
P (x) = a x 2 + bx + c, d o n d e a, b, c e IR a a V 0
S e c u m p le qu e: P (x) > 0, V x e IR » a > 0 A A
D e m o s tra c ió n :
P (x) = a x 2 + bx + c :
2.
_b_'2
2a
< 0
4ak
E m p e z a m o s d e d e re c h a a iz q u ie rd a c o n el
s ig n o + , p u e s lo s c o e fic ie n te s d e x so n p o s iti­
v o s, a d e m á s to m a m o s la p a rte p o s itiv a , pu es
el s ím b o lo e n la in e c u a c ió n es > .
L u e g o C S = ( - c c ; 1] u [4; +oo)
T e n e m o s q u e a > 0 y en el b in o m io :
(b '2
2a
4a2
(+
S e a x 2 - 4 x - 5 < 0, fa c to riz a n d o q u e d a :
(x - 5 )(x + 1) < 0 =» P u n to s c rític o s : 5; - 1
El s ig n o m e n o s con el s ig n o d e l d is c rim in a n te se
h a rá to d o p o s itiv o y s u m a d e p o s itiv o s h a rá n q u e
P (x) sea sie m p re positivo, c u a lquiera qu e sea x e IR.
E je m p lo s :
1.
x 2 + 2x + 3 > 0
Su C S = IR, pues
A = 2 - 4 (3 ) = - 8 < 0, y su c o e fic ie n te p rin c i­
pal es p o sitiv o .
2.
x 2 + 4 x + 7 < 0 => S u C S = 0 , pu es
A = 4 2 - 4 (7 ) < 0 y su c o e fic ie n te p rincipa l es
p o sitivo
= > 0 < x 2 + 4 x + 7 < 0 = > 0 < 0 ¡A b s u rd o !
CS = o
.-. C S = ( - 1 ; 5 )
S e a (x - 2 )(3 - x) > 0 e n to n c e s lo s p u n to s
c rític o s son: 3, 2. C u a n d o re e m p la z o e n la
re cta no e m p e z a re la v a ria c ió n c o n (+ ), s in o
con ( - ) , ¿por qué?
O tra fo rm a : x 2 + 4 x + 7 = x 2 + 4 x + 4 + 3 < 0
(x + 2 )2 + 3 < 0 => C S = 0
N o te q u e e s p o s ib le m u ltip lic a r p o r ( - 1 ) a a m ­
bos m ie m b ro s y nos q u e d a rá ( x - 2 )(x - 3) < 0,
a h o ra te n e m o s en la recta.
C S = [2; 3]
U n te o re m a a n á lo g o s e rá el s ig u ie n te :
a x 2 + bx + c > 0, V x e IR a; b; c e IR ; a V 0
o a >0 a A <0
T e o re m a (trin o m io n e g a tiv o ). Sea:
P (x) = a x 2 + bx + c, s ie n d o a, b, c e IR, a V 0
S e c u m p le qu e: P (x) < 0 , V x e l o a < 0 a A < 0
N o te m o s q u e el p ro d u cto :
Á lg e b r a |
{a <0)
A
(x
l
+ A ) 2_
A
2a /
4a 2
... P (x)
> o
<
79
e s un v a lo r q u e a n u la el fa c to r y q u e re e m p la ­
z a n d o en la in e c u a c ió n o rig in a l te n d ría m o s el
a b s u rd o (0 < 0 ), e s to q u ie re d e c ir q u e x = 1 es
un v a lo r no s o lu ció n .
0
In e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o s u p e rio r. Q u e
ta l si c o n s id e ra m o s el p o lin o m io d e g ra d o n:
.-. C S = ( - 2 ; 3 ) - {1}
Lo m is m o p a sa con x = 7, p e ro c o m o no e s tá
e n el C S no le a fe c ta .
P (x) = a nx n + a n _ 1x 11 1 + ... + a-,x + a 0 a 0 d o n d e
a n A 0, a d e m á s c a d a a¡ e IR; i = {0; 1; 2; 3; ...; n}
C o m o n o s o tro s re c o rd a m o s p o r un c o ro la rio del
T e o re m a F u n d a m e n ta l del Á lg e b ra , se tie n e n n ra í­
ce s la s q u e lla m a m o s x ,, x 2, x 3, x 4
x n.
3.
(x 2 - 4)(1 - x )(x 2 + x + 1 )27(x 2 - 5x - 6 ) > 0
S im p lific a n d o (x 2 + x + 1)27, p u e s x 2 + x + 1
e s p o s itiv o , n o s q u e d a ría (x 2 - 4 )(1 - x)
B ie n , si es q u e to d a s s o n re a le s , p o d e m o s fa c to ­
rizar:
(x 2 - 5x - 6) > 0, p e ro po d e m o s fa cto riz a r y nos
qu ed a: (x + 2 )(x - 2)(1 - x)(x - 6)(x + 1 ) > 0
a n(x - x ,) (x - x 2)(x - x 3) ... (x - x „ ) í O
E n to n c e s p a ra re s o lv e rla le a p lic a re m o s el m é to d o
d e p u n to s c rític o s . P e ro en g e n e ra l p re v ia m e n te
¡sim p lifica r, a lg u n o s fa c to re s d e los q u e ya
c o n o c e m o s el sig n o ! P a ra e llo n o te m o s que:
“x
SI: (x - a )2n + 1 > 0 « (x - a) > 0 ; n e lN
Si: (x - a )2n + 1 < 0 « ( x - a ) < 0 ; n e I N
3
n e ZT
=s. C V A = C = { x + y i / x e I R
4
+ GC
(x - 1)2(x - 3 )(x + 2 )(x - 7 )4 < 0. S im p lific a n ­
do (x - 3 )(x + 2 ) < 0
Los p u n to s c rític o s son: - 2 : 3.
—00
—2
3
A
y <e IR
A
i=
E x p re s io n e s fra c c io n a ria s . C o m o la d iv is ió n p o r
c e ro no e s tá d e fin id a , e n to n c e s el d e n o m in a d o r no
p u e d e s e r ce ro .
de lo c u a l C S = ( - 00; 1] u [2; 3] u [4; +oo>
2.
6
E x p re s io n e s p o lin o m ia le s
P (x) = a 0x n + a^x3 ~ 2 + a 2x n “ 1 + ... + a n; a 0 V 0;
P o r e je m p lo p o d e m o s re s o lve r:
1.
(x — 1 )(x — 2 )(x - 3 )(x - 4 ) > 0
Lo s p u n to s c rític o s son; 1; 2; 3; 4.
2
2
E s a q u e l c o n ju n to fo rm a d o p o r to d o s lo s v a lo re s
q u e g a ra n tiz a n q u e u n a e x p re s ió n m a te m á tic a
q u e d e b ie n d e fin id a ; a sí se tie n e lo s s ig u ie n te s
c a so s:
=> (x - a )2n + 1 > 0
1
1
CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA)
P ru e b a . Si:
(x - a )2n + 1 > 0 » (x - a )2n(x - a) > 0
P e ro (x - a )2n > 0 => x - a > 0
Si: (x - a) > 0 m u ltip lic a n d o p o r (x - a )2n > 0
—00
- 1
L u e g o el C S = ( - * > ; - 2 } u ( - 1 ; 1} u (2 ; 6 )
A n te s d e e s tu d ia r la in e c u a c ió n fra c c io n a ria e
irra c io n a l, v e a m o s un c o n c e p to pre vio:
T e o re m a . S ea n: x, a e IR
1.
2.
-2
+00
N o te m o s q u e el C S = ( - 2 ; 3 ), p e ro ¡cu id a d o !
el fa c to r (x - 1 )2, c a n c e la d o , tie n e a x = 1 , qu e
P íx t
A s í: f(x ) = - Á - L
Q (x )
=» C V A = {x e IR / Q (x ) V 0}
E x p re s io n e s ir r a c io n a le s . E s ta s e x p re s io n e s
e s tá n d e fin id a s s o b re lo s re a le s IR, d e m o d o que:
n/ f( x ) e IR
a.
b.
C u a n d o n e s p a r a n e 2 + a n > 2 A f(x ) > 0
C u a n d o n es im p a r A n e Z + A n > 3 A
f(x ) <G ( — 0 0 ; + 0 0 )
INECUACIÓN FRACCIONARIA
S o n a q u e lla s in e c u a c io n e s q u e se re d u c e n a la s i­
g u ie n te fo rm a g e n e ra l:
80
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
.-. C S = [2; 5)
f ( x ) = ^ £ t g 0; ü[Q(x)! - 1
N o ta r q u e en 5 es a b ie rto p o r el C VA.
d o n d e P y Q s o n p o lin o m io s .
ECUACIÓN IRRACIONAL
°[Q (x)]: G ra d o d e Q (x)
S o n a q u e lla s e c u a c io n e s d e la fo rm a : | P (x) = 0 1
R e s o lu c ió n :
d o n d e P es un a e x p re s ió n irra cio n a l.
C o m o Q (x ) # 0 =s Q 2(x) > 0
R e s o lu c ió n :
M u ltip lic a n d o a a m b o s la d o s d e la in e c u a c ió n siP (x )
g u ie n te : ^ ~ - > 0 p o r Q 2(x) se tie n e :
Q 2(x)
5$
)
>Q2(X,<01
C o n lo c u a l el s e n tid o d e la d e s ig u a ld a d n o s e a l­
te ra.
L u e g o , s im p lific a n d o s e tie n e : Q (x )P (x ) > 0. E sto
ú ltim o s e ría in e c u a c ió n p o lin o m ia l, s ie m p re qu e
Q (x) /- 0.
E n re s u m e n u n a In e c u a c ió n fra c c io n a ria d e la fo rP ( X)
m a: — — 5 0 c o n Q (x ) V 0
U (x )
S e rá e q u iv a le n te a un a In e c u a c ió n p o lin o m ia l:
Q (x )P (x ) t í 0: c o n Q (x ) V o.
E je m p lo :
R e s u e lv a :
3x + 2
6x + 5
P rim e ra m e n te se d e te rm in a el C VA, lu e g o la e c u a ­
c ió n o rig in a l s e re d u c e a o tra e q u iv a le n te m á s
s im p le y la s o lu c ió n o s o lu c io n e s d e e s ta ú ltim a
e c u a c ió n s e a n a liz a n si e s tá o no c o n s id e ra d o en
el C VA.
INECUACIÓN IRRACIONAL
E s a q u e lla in e c u a c ió n q u e s e re d u c e a la s ig u ie n te
fo rm a g e n e ra l:
P (x) 3 0
d o n d e P e s un a e x p re ­
s ió n irra cio n a l.
R e s o lu c ió n :
H a lle el C V A d e P
M e d ia n te pa so s e q u iv a le n te s re d u c ir ¡a in e ­
c u a c ió n o rig in a l y o b te n e r un c o n ju n to s o lu ­
c ió n al c u a l le p o d e m o s lla m a r s o lu c ió n p a rti­
c u la r (S p).
P a ra h a lla r el c o n ju n to s o lu c ió n fin a l in te rc e p ­
ta r el C V A c o n la s o lu c ió n p a rtic u la r (S p); es
d e cir: C S = S p n C V A
< 0
R e s o lu c ió n :
F a c to riz a n d o el n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r s e tie -
(X -2K X -J)
P a ra la re s o lu c ió n d e in e c u a c io n e s d o n d e in te rv e n ­
g a n ra íc e s c u a d ra d a s p o d e m o s a p lic a r lo s s ig u ie n ­
te s te o re m a s :
(x — 5 ) (x — 1)
Lo s v a lo re s a d m is ib le s s e rá n to d o s lo s x e IR, e x ­
c e p to 5 y 1. E s d e cir: C V A = IR - {5; 1}
P ro c e d e m o s a s im p lific a r:
x - 5
< 0
A h o ra tra n s fo rm a m o s a u n a p o lin o m ia l u b ic a n d o el
d e n o m in a d o r e n fo rm a p rá c tic a al la d o de l n u m e ra ­
dor, d e m o d o q u e e s te m u ltip lic a n d o :
(x - 5 )(x - 2 ) < 0
E sta in e c u a c ió n se re s u e lv e en b a s e al m é to d o d e
lo s in te rv a lo s p a ra u n a in e c u a c ió n c u a d rá tic a :
Teorem as. S e a n a, b & IR, e n to n c e s :
/a < b » 0 < a
a
0< b
a
a a b2
i a < b o O < a A O < b A a < b z
b <
- /a » ( 0 < a A b < 0 )v ( 0 < a A 0 < b A b 2 <a)
b < /a » ( 0 < a A b < 0 ) v ( 0 < a A 0 < b A b 2 <a)
Adem ás
p o d e m o s a p lic a r la s ig u ie n te
p ro p ie ­
da d: c u a n d o u n a e x p re s ió n n/ f ( x ) se e n c u e n tra n
m u ltip lic a n d o a o tra s e x p re s io n e s m a te m á tic a s
en un s o lo m ie m b ro y se tie n e c e ro en el o tro
m ie m b ro , e n to n c e s :
Si n es par, se s im p lific a to d a la e x p re s ió n p o r
s e r p o sitiv a .
Á
Si n es impar, se reemplaza n/f(x ) por el ra­
dicando f(x); es decir se elimina el símbolo
radical.
81
E s de cir, el re s u lta d o d e a p lic a r v a lo r a b s o lu to a
un a e x p re s ió n m a te m á tic a n o s d a rá c o m o re s u lta ­
d o s ie m p re u n a e x p re s ió n p o sitiv a .
1.
2.
[2;+co>
b) V x - 2 (x2 - 3x + 2) > 0
« x2 - 3x + 2 > 0 « (x x e
2)(x - 1) > 0
3.
4.
5.
CS = Sp n CVA = [2;
+oo)
6.
7.
Ejem plo:
Resuelva: Áx - 1
5-lx-
2 < 0
R e s o lu c ió n :
Eliminamos los radicales por ser de índice impar,
así: (x - 1)(x - 2 ) < 0
CS = [1; 2]
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, se define
como aquel número real no negativo que se denota
por |x|: donde:
J x; si x es positivo o cero
'x' { - x ; si x es negativo
/ x 2 = |x| ; v x e IR
A d e m á s , si x, y e IR , e n to n c e s :
( —oo¡ 1] u [2; +oo) = Sp
IM
8 . |x +
9.
|x +
10 . |x +
II
=> CVA =
~x~
CVA: x - 2 > 0 s x > 2
X
R e s o lu c ió n :
|x| > 0 ; V x g IR
|x |2 = x 2 ; v x e l
|x| > x ; V x e E
| - x | = |x| ; v x e l
<
Á c - 2 ( x 2 - 3x + 2) > 0
»
I
En ta l s e n tid o , e n u n c ia m o s la s s ig u ie n te s p ro p ie d a d e s:
Ejem plo:
a)
lg e br a
= —
Iy
y| <
y| =
y| <
;y + o
I
|x| + |y| « x, y e E
|x| + |y| « x y > 0
|x¡ + |y| « x y < 0
E c u a c io n e s c o n v a lo r a b s o lu to . S o n e c u a c io ­
ne s q u e se re d u c e n a la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:
| A (x ) = 0 |
d o n d e A es u n a e x p re s ió n c o n v a lo r a b so lu to .
S e p u e d e n u s a r lo s s ig u ie n te s te o re m a s :
1.
2.
|x| = a « (x = a v x — ~ a )
|x|= |b| « x = b v
x = -b
a
a >0
E jem plos:
|5| = 5; solo se borran las barras, pues 5 es
positivo.
|—3| = - ( - 3 ) = 3; al borrar las barras se cam­
bia de signo, de - 3 a 3, pues - 3 es negativo.
In e c u a c io n e s c o n v a lo r a b s o lu to . S o n a q u e lla s
in e c u a c io n e s q u e se re d u c e n a la s ig u ie n te fo rm a
g e n e ra l: A (x ) S 0
D o n d e A e s un a e x p re s ió n c o n v a lo r a b so lu to .
A q u í te n e r en c u e n ta lo s s ig u ie n te s te o re m a s :
O bservación:
Sea x = g - a, reemplazando en la definición, se
tiene:
r g - a;
si (g - a) es positivo o cero
|g - a| = j
_
s¡ ^ _ a) es negativ0
ay
1.
2.
3.
4.
|x|<b
|x| < b
|x| > b
|x| > b
o b>0 A -b < x < b
« b > 0 A —b < x < b
o x > b V x < -b
o x > b v x < -b
E je m p lo s :
Entonces:
r g - a ; g es mayor que a
a - p; p es menor que a
a' ~ {
Ejem plo:
-Í2- 11= fl - 1; pues (2 es mayor que 1
¡1 - Í3 | = /3 - 1; pues 1 es menor que ¡3
R e s u e lv a :
1. |x| < 5 « —5 < x < 5 o C S = ( —5; 5)
2. |x| > 7 o x > 7 V x < - 7
C S = ( —co; —7 ) U ( 7 ; +oo)
3. |x + 3| < 9 o - 9 < x + 3 < 9
|
4.
o - 1 2 < x < 6 « C S = [—12; 6]
|x - 2| > 5 » x - 2 > 5 v x - 2 < - 5
82
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
R e s o lu c ió n :
o x > 7 v x < -3
o x > 7 v x < -3
C S = { — —3] u [7; +nc)
te te o re m a :
- 3 < 0
x 2 + 2x + 6
D a n d o c o m ú n d e n o m in a d o r y m u ltip lic a n d o
P a ra e lim in a r un v a lo r a b s o lu to g e n e ra lm e n te e s te
d e b e e le v a rs e al c u a d ra d o , así te n e m o s el s ig u ie n ­
|x| £ íy| «
3x + 2
E fe c tu a n d o :
. 2 x 2 + 9x + 16 . n
p o r - 1: —
>0
x + 2x + 6
x2 í y2
(« )
A d e m á s : x 2 + 2x + 6 = (x + 1 )2 + 4, e n to n c e s
s ie m p re es p o sitivo .
También: 2x2 + 9x + 16 = 2 [(x 2 + -|x +
EJERCICIOS RESUELTOS
[\
1.
S ix e s m ú ltip lo d e 1 7 q u e s a tis fa c e la s s ¡g u ¡e n te s
2
16/
+ -7 Á]
16 J
(2 x 2 + 9x + 16) = 2 ( x + f f + ^
4/
18’
e n to n c e s s ie m p re es p o sitiv o .
5 ( x 2 - 1 15x — 6 0 0 )
■< 1
d e s ig u a ld a d e s : 0 < ■
x (x + 5)
( a ) s ie m p re se c u m p le pa ra c u a lq u ie r v a lo r
d e x n ú m e ro real.
H a lla r el v a lo r d e x.
R e s o lu c ió n :
R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :
0
5 ( x - 12 0) (x + 5)
■
x (x + 5)
4.
H a lla r la s o lu c ió n d e la d e s ig u a ld a d :
(4 x + 8 )(x 2 - 1 )
---------------------------- < - 1 : d o n d e ; x =7 1
x - 1
< 1
S im p lific a n d o y te n ie n d o p re s e n te q u e x es
m ú ltip lo d e 17 p o sitiv o :
R e s o lu c ió n :
5 (x - 120)
(4 x + 8 )(x + 1 )(x — 1) + 1 < Q
>0 = x
E x p re s a n d o c o n v e n ie n te m e n te :
120
(x — 1 )
5 (x - 120)
D e d o n d e : (4x + 8)(x + 1) + 1 < 0
M e jo r aú n: 4 x 2 + 12x + 9 < 0
Q u e se p u e d e e s c rib ir: (2 x + 3 )2 < 0
Lo cual es a b s u rd o ya q u e pa ra to d o n ú m e ro al
c u a d ra d o s ie m p re s erá m a y o r o igual q u e cero.
< 1 =* x < 150
E n to n c e s un m ú ltip lo d e 17 en el in te rv a lo :
120 x
150 se rá :
.-. x = 136
2.
H a lla r la s o lu c ió n d e la in e c u a c ió n :
- x 2 + 8x - 7 > 0
5.
R e s o lu c ió n :
S e tie n e : - x 2 + 8x - 7 > 0
M u ltip lic a n d o la d e s ig u a ld a d p o r - 1 :
x 2 - 8x + 7 < 0 A (x — 7 )(x — 1) < 0
P o s ib ilid a d e s :
x - 7 > 0 A x - 1 < 0
x 7
x< 1
• x - 7 < 0 ax - 1 >0
x < 7
x> 1
S o lu c io n a n d o la in e c u a c ió n : x < 7; x > 1
R e s o lv e r la in e c u a c ió n :
3 x 2 + 2x > 0 y x 3 + x 2 + x < 0
R e s o lu c ió n :
E x p re s a n d o c o n v e n ie n te m e n te :
...(1 )
x (3 x + 2 ) > 0
1 \2 3
<0
X+ 2) + 4
D e (1):
x 0
A
3x + 2
...(2)
X> 0AX >
=* x > 0
C S = (1 ; 7 )
3.
H a lla r lo s v a lo re s re a le s d e x q u e s a tis fa c e n
s im u ltá n e a m e n te la s d e s ig u a ld a d e s :
x 2 - 3x + 2
x2 + 2x + 6
x < 0
< 3
A
3x + 2 < 0 ; x < 0 a x < - |
Á
D e (2): x
a ) x E (5: +oo)
c) x g [ - 5 ; + co)
e) N. A.
< O
S ie m p re s e rá po sitivo.
E n to n c e s la s o lu c ió n ún ica : x < 0
D e (1) y (2): in te rs e c ta n d o s o lu c io n e s :
-2/3
-o —
83
b) x e ( - o c ; 5)
d) x e ( - o o ; - 5 ;
Resolver: 3ax
a2 - 1 a + 1 '
5
a- 1
;a > 1
S e ñ a le su c o n ju n to s o lu ció n .
2/3
o
|
lg e br a
-o —
a) ( 1 ; + oc)
c) IR — [1; +oo)
e) N. A.
R e s o lv e r: 2x a) x
g
( - oo;
b) x g o
d )< -c c ; 1]
—-— < 7 - x H
—
x - 3
x - 3
b) x g (5 ; + oo)
d) x g ( - o c ; 5] - { 3 }
5]
c ) x e (9 ; 10)
S o lu c ió n d e l s is te m a : x < - -
e ) x e (3 ; 5 )
□
1.
E JERC IC IO S
propuesto s"
R e s o lv e r: x - 8
!
a) x g [ 6 ; 9 )
c) x e [9; 9]
e) N. A.
R e s o lv e r: Á + Á + Á < i + 5
2
3 4
6
In d iq u e el m a y o r v a lo r e n te ro q u e la v e rifica .
a) 0
d) 6
b) 5
e ) no e x is te
R e s o lv e r: ^ — i + -5x
2
4
c) 3
9.
- 2
b) 2
e) 1
4.
5.
c) a
R e s o lv e r:
a(x - b) - b(x - a ) < a 2 - b2; a < b
S e ñ a la n d o el m e n o r v a lo r q u e p u e d e te n e r x.
a) a
d) b
b) a + b
e) - b
R e s o lv e r: 0 < a < b
2 bx
/a + b r 1, , a -
b) x g [9; +oc)
d ) x G [ - 9 ; +oo) - { 6}
R e s o lv e r: x 2 - 10x + 16 > 0
a)
b)
c)
d)
e)
R e s o lv e r:
b) b
e) a
12
10. R e s o lv e r: 2 x 2 + 5x - 12 < 0
c) - 3
a (x + b) + b(x - a) > a 2 - b2; a < b < 0
S e ñ a la n d o el m a y o r v a lo r q u e p u e d e te n e r x.
a) - a
d) 2
10 - x +
a) x g ( - c c ; 2 ) u ( 8 ; +oo)
b ) x e ( 2 ; 8)
c ) x g IR
d) x g ( - 2 ; - 8)
e) N. A.
S e ñ a le un v a lo r q u e la v e rific a .
a) -1
d) 0
12
x - 6
11.
x g ( - 4 ; 3 /2 )
x g ( —ce; —3 /2 ) u (4 ; -feo)
x g ( —cc; —4 ) u (3 /2 ; +cc)
x g IR
N. A.
R e s o lv e r: x - 14x < - 4 9
a) x e (7 ; +oc)
c) x e ( - c c ; 7 )
e) x g o
b) x g ( - 7 ; +cc)
d ) x g ( —oc; - 7 )
12. R e s o lv e r: x 2 - 2 0 x < - (25 + 3 x 2)
a ) x g IR
c) x g o
e ) x g IR - {2 /5 }
c) -
13.
b; x G
d) x
R e s o lv e r: x 2 + x < 1 - x
a ) x g [ - 1 - Í2\ - 1 + Í2\
g
IR - {5 /2 }
{5 /2 }
84
¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
b) x e
( -0 0 ;
a) -2 1
d) - 2 4
- 1 - / 2 ) u [ - 1 + /2 ;+ o o )
c)xe 1 -[-1 -/2;-1
+12]
d ) x e IR - { - 1 - / 2 ; 1 + Í 2 )
e ) H a y 2 c o rre c ta s
a)xe<2;+oo)
d)xe0
e ) N .A
5 - / 2 Í 5 + / 21
20 . R e s o lv e r: |x + 1| > 2 s e ñ a la r el m e n o r v a lo r
e n te ro p o s itiv o q u e v e rific a la in e c u a c ió n .
a) 0
d )3
15. R e s o lv e r: 3 x 2 + x + 8 > 0
a)
b)
c)
d)
e)
x
x
x
x
x
2
e (1 - <2\ 1 + ( )
e IR
e0
g IR - { 1 - Í2 \ 1 + 1 2 }
e IR - {2}
16. R e s o lv e r: 5 x 2 - 2 x + 1 0 < 9
a) x e I R
b ) x e ( l - Í 3 ; 1 + V3>
c) x g I R - (1 - Í 3 ; 1 + Í 3 )
d) x G 0
e) N.A.
21 .
22 .
c) 2
R e s o lv e r: |2x + 3| > 7, d e te rm in a r el n ú m e ­
ro d e v a lo re s e n te ro s q u e no v e rific a n la
In e c u a c ió n .
b) 2
5 e)
c) 4
6
R e s o lv e r: |2x + 5| < 3; In d ic a r la s u m a d e las
s o lu c io n e s e n te ra s.
a) - 1
d ) —10
c) - 6
b) - 3
e ) —12
23. R e s o lv e r: ¡3x + 4¡ < 5 s e ñ a la r la m e n o r s o lu ­
c ió n e n te ra .
a) - 5
d) - 2
b) x e [ 5 ; + 0 0 )
d)xe(-o=;5]
18. R e s o lv e r: (x + 21 )2 + (x + 2 2 )2 > (x + 2 3 )2 d a r
c o m o re s p u e s ta el m e n o r v a lo r e n te ro q u e no
v e rific a la in e c u a c ió n .
b) 1
e )4
a) 1
d)
17. R e s o lv e r: (x - 1 )2 - x 2 > - (x - 2 )2 d a r el
c o n ju n to no so lu ció n .
a) x e [ 1 ; 5]
c ) x e ( - c o ; 1]
e ) x g {1 , 5)
b)xe(-3;3>
djxeIR
c)xe(-3;+oc)
e) N .A .
a ) x e { - 5 -- Í 2 Í ; - 5 + V21)
c) x e
c) - 2 3
19. R e s o lv e r: x — 3> ' 7- < 3
x + 2x + 5
14. R e s o lv e r: x 2 - 5x + 1 < 0
b) x e IR
b) - 2 2
e ) N.A.
tn
y
>
<
j
U
1. b
2. b
3. e
4. b
5. a
b) - 4
e) - 1
6. c
7.
8.
9.
10.
d
b
a
a
11. e
12. d
13. a
14. c
15. b
c) - 3
16.
17.
18.
19.
20 .
d
e
a
d
b
21. e
22. d
23. d
N
PROGRESIONES
PROGRESION ARITMETICA (PA)
E s u n a s u c e s ió n d e n ú m e ro s , en la c u a l c a d a uno
d e e llo s se o b tie n e s u m á n d o le al a n te rio r un a c a n ­
tid a d c o n s ta n te lla m a d a razón.
S ím b o lo s :
tp p rim e r té rm in o
tn: té rm in o d e lu g a r n o e n é s im o té rm in o
r: razón
n: n ú m e ro d e té rm in o s
S n: s u m a d e n p rim e ro s té rm in o s .
R e p re s e n ta c ió n d e un a p ro g re s ió n a ritm é tic a :
^ ti, l 2. *3.
tn - 1 . tn
P o r d e fin ic ió n : tn = tn _ -i + r
De donde:
PROPIEDADES
V a lo r d e un té rm in o c u a lq u ie ra :
tn = t, + (n - 1 )r
E n una PA la s u m a d e d o s té rm in o s e q u id is ­
ta n te s d e lo s e x tre m o s es ig ua l a la s u m a de
lo s e x tre m o s .
S e a la PA: e t, ... tp ... tq ... t n
S ie n d o tp y tq e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s :
ti + tn - tn + tn
3.
M e d io s a ritm é tic o s o d ife re n c ia le s : s o n los té r­
m in o s d e un a PA, c o m p re n d id o s e n tre sus e x tre ­
m o s: -t t , .................... t„
m m edios aritm éticos
In te rp o la c ió n d e m e d io s a ritm é tic o s : es la o p e ­
ra c ió n q u e c o n s is te en fo rm a r un a PA c o n o c ie n d o
los e x tre m o s y el n ú m e ro de m e d io s a in te rp o la r.
S e a n lo s e x tre m o s a y b y m el n ú m e ro d e m e d io s .
a
m + 1
La ra z ó n d e in te rp o la c ió n es:
| r = tn — tn _ |
La p ro g re s ió n a ritm é tic a es c re c ie n te c u a n d o la
ra z ó n e s p o s itiv a y es d e c re c ie n te c u a n d o la ra ­
z ó n e s n e g a tiv a
1.
S n = [2 t 1 + ( n - 1 ) r ] i
S n = (ti + t „ ) i
En un a PA d e un n ú m e ro im p a r d e té rm in o s el
té rm in o c e n tra l es ig u a l a la s e m is u m a d e los
e x tre m o s :
ti + tn
E je m p lo s :
1.
En u n a PA s e c o n o ce :
t 3 + t 6 = 57
t 5 + t 10 = 99
h a lla r la ra z ó n y el p rim e r té rm in o .
R e s o lu c ió n :
P o r la fó rm u la tn - l 1 + (n - 1 )r:
+
t 3 = t, + 2 r
t 6 = t i + 5r
t 3 + tg — 2 ti + 7 r - 57
t í - ti + 4 r
+
tío =
tg + t 3o — 2t-i + 13 r — 9 9
...(2 )
R e s ta n d o (2) - (1) : 6r = 4 2 ; r = 7
E n (1): 2 t, + 7 X 7 = 57; 2 t, = 8 ; t, = 4
r = 7, t-i = 4
tcentrat
En un a PA d e tre s té rm in o s , el s e g u n d o té rm i­
no es m e d ia a ritm é tic a e n tre los o tro s dos.
S e a la PA: 3- t 1f t2, t 3
En la PA: e ..., 5,
47 , .... 159, el n ú m e ro
d e té rm in o s q u e h a y e n tre 4 7 y 159 e s trip le
d e l n ú m e ro d e té rm in o s q u e ha y e n tre 5 y 47.
H a lla r la ra z ó n d e e s ta p ro g re s ió n .
R e s o lu c ió n :
ti + h
5.
...( 2 )
La s u m a d e los n p rim e ro s té rm in o s d e una
p ro g re s ió n a ritm é tic a es ig u a l a la s e m is u m a
d e los e x tre m o s , m u ltip lic a d a p o r el n ú m e ro
d e té rm in o s . E s de cir:
C o n s id e ra n d o la PA d e ra z ó n r:
, 159
P o r da to : -r 5 , ......4 7 ,
n
3n
D e in te rv a lo con e x tre m o s 5 y 4 7
4 7 - 5 = 42
r =
O)
n + 1
n+ 1
86
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
S n: s u m a d e n té rm in o s .
P n: p ro d u c to d e n té rm in o s
D el In te rv a lo con e x tre m o s 4 7 y 159:
159-47
112
...( II)
3n + 1
3n + 1
c o m o se tra ta d e la m is m a P.A. (I) y (II) son
42
112
; de donde:
ig u a le s , e n to n c e s :
n + 1 3n + 1
42
= 7
5 + 1
n = 5; s u st. en (I): r
.-. r = 7
El g u a rd iá n d e un p o zo d e un a h a c ie n d a ha
p la n ta d o a p a rtir d e l po zo , ca d a 5 m e tro s y
en la d ire c c ió n n o rte , un to ta l d e 2 7 á rb o le s
y p u e d e s a c a r a g u a de l p o zo c a d a v e z pa ra
el rie g o d e un s o lo á rb o l. ¿ C u á n to tie n e q u e
a n d a r pa ra re g a r los 2 7 á rb o le s, s a b ie n d o q u e
d e po zo al p rim e r á rb o l h a y 8 m d e d is ta n c ia ?
R epresentación de una progresión geom étrica;
■H- t| : t 2 : t 3 : ... : tn _ i : tn
tn
c Y lo ta /:-
La razón de una PG se halla dividiendo dos tér­
minos consecutivos.
PROPIEDADES
Un té rm in o c u a lq u ie ra :
R e s o lu c ió n :
31.
„ —1 -5 m —( - 5 m —1 -5 m —| -
S e a la PG :
= t , . t2
El e s p a c io q u e re c o rre p a ra lle v a r a g u a
al p rim e r á rb o l y re g r e s a r al p o z o e s:
8 + 8 = 16 m.
El e s p a c io q u e re c o rre p a ra lle v a r a g u a
al s e g u n d o á rb o l y re g re s a r al p o z o es:
13 + 13 = 2 6 m.
3.
P ara el te rc e r á rb o l: 2 6 + 10 = 36 m.
tn = t iq n
( 1)
La ra z ó n d e un PG el p ro d u c to d e d o s té rm i­
n o s e q u id is ta n te s d e lo s e x tre m o s es ig u a l a
p ro d u c to d e los e x tre m o s .
,.............................
2.
tn
P o r d e fin ic ió n : tn = tn _ -¡q
tp .... tq .... tn _ -|. tn
d o n d e tp y tq son e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s
tp tq
3.
A sí, s u c e s iv a m e n te .
t-| tn
En un a PG d e un n ú m e ro im p a r d e té rm in o s el
té rm in o c e n tra l es ig ua l a la ra íz c u a d ra d a del
p ro d u c to d e los e x tre m o s .
La d is ta n c ia to ta l re c o rrid a es:
S = 16 + 2 6 + 3 6 + ...
C o m o la s u m a es d e 2 7 s u m a n d o s :
En u n a PG d e tre s té rm in o s , el s e g u n d o té rm i­
no e s m e d ia g e o m é tric a e n tre el p rim e ro y el
te rc e ro . S ea : +- t-i : t 2 : t 3
S 27 = (2 t, + 2 6 r) 2 7 /2 ; sust. d a to s:
S 27 = (2 v 16 + 26
x
10) 27 /2 ; e fe c tu a n d o :
S 27 = 3 9 4 2 m.
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (PG)
t 2 — Vt-j t 3
5.
Es u n a s u c e s ió n d e n ú m e ro s en la c u a l el p rim e r
té rm in o es d is tin to d e c e ro y c a d a u n o d e lo s té r­
m in o s s ig u ie n te s s e o b tie n e m u ltip lic a n d o al a n ­
te rio r p o r u n a c a n tid a d c o n s ta n te , lla m a d a ra z ó n
d e ¡a PG .
S ím b o lo s :
t¿ p rim e r té rm in o
tn: té rm in o d e lu g a r n o té rm in o e n é s im o
q: razón
n: n ú m e ro d e té rm in o s
En un a PG lim ita d a d e n té rm in o s , el p ro d u c to
d e s u s té rm in o s e s ig u a l a la ra íz c u a d ra d a del
p ro d u c to d e s u s e x tre m o s , e le v a d o al n ú m e ro
d e té rm in o s d e la PG .
J( ti tn)n
6.
La s u m a d e lo s n p rim e ro s té rm in o s d e un a
P G lim ita d a , es:
q tn ~ t;
q —1
(2 )
Á
87
P o r fó rm u la : t 3 = L q 2
t i d n ~ 1q - ti
Sn = —
; de donde:
q- 1
S u s t. d a to s : 1 = — q 2 =>
= -Í2
2
qn- 1
s u s titu y e n d o :
P o r la fó rm u la : tn = t-iqn
,n -
2 5 6 = j - i y / 2 )'
El lím ite d e la s u m a d e los té rm in o s d e un a
P G d e c re c ie n te ilim ita d a es ig u a l al p rim e r té r­
m in o d iv id id o e n tre la d ife re n c ia d e la u n id a d y
la razón : S L =
|
R e s o lu c ió n :
S ustitu ye n d o (1) en (2), se ob tie ne otra fórm ula:
7.
lg ebr a
1
n -1
5 1 2 = ( / 2 )'nr 1 =, 29 = ( 2 ) 2 ; d e do nd e:
9=
18 = n - 1 .-. n = 19
ti
1 -q
En u n a PG el p rim e r té rm in o es 7, el ú ltim o es
4 4 8 y la s u m a 889. H a lla r la ra z ó n y el n ú m e ro
de té rm in o s .
p a ra un a P G d e c re c ie n te : 0
q < 1 cuando
n -> co (se lee: n tie n d e a Infinito).
R e s o lu c ió n :
M edios geom étricos o proporcionales: son los
té rm in o s d e un a PG c o m p re n d id o s e n tre s u s e x ­
tre m o s :
P o r la fó rm u la : tn = ^ q " “ 1; s u stitu ye n d o da tos:
4 4 8 = 7 q n “ 1 => 6 4 = q n/q, d e d o n d e :
:: t ' ^ - t , -
q n = 64 q
m medios geométricos
. . . ( 1)
/ nn - 1 \
P o r la fó rm u la : S n = t 3 ÁL
'
q —1
In terpo lar m edios geom étricos entre dos n úm e­
ros dados. E s fo rm a r un a PG e n tre d ic h o s n ú m e ­
qn- 1\
S ust. d a to s : 88 9
ros. S e a n los n ú m e ro s a y b y el n ú m e ro d e m e d io s
m, la p ro g re s ió n g e o m é tric a será. + a : .......: b
127 :
qn - 1
q-1
1
...(2)
64q - 1
S u s titu y e n d o (1) en (2): 127 = — — — ; de
La ra z ó n de In te rp o la c ió n es:
q-1
donde: q = 2
Ejem plos:
S u s titu y e n d o en (1):
1.
2 n = 6 4 x 2 = 128 = 2 7 .-. n = 7
H a lla r el té rm in o d e lu g a r 16 en la PG :
„
1 . 1 . 1 .
256'128'64""
R e s o lu c ió n :
D ato s: t, =
25 6
n = 16; q = 2
1 t/o \1 6 - 1
El lím ite d e la s u m a d e los té rm in o s d e la PG
/
1
tío = 128
2.
El lim ite d e la s u m a d e lo s in fin ito s té rm i­
n o s d e u n a P G d e c re c ie n te e s el d o b le d e la
s u m a d e s u s n p rim e ro s té rm in o s . H a lla r la
ra z ó n .
R e s o lu c ió n :
A p lic a n d o la fó rm u la : tn = t,q n
S e tiene : t 1B =
4.
En u n a P G se c o n o c e q u e : t, = 1/2, t 3 = 1 y
t n = 2 5 6 , h a lla r la ra z ó n y el n ú m e ro d e té r­
m in o s .
in fin ita es: lim S =
ti
1 -q
...(1)
s ie n d o la s u m a d e los n p rim e ro s té rm in o s :
Sn =
t ,(1 - q n)
1-q
...(2)
P o r c o n d ic ió n del p ro b le m a : 2 S n = llm S
88
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
S u s titu y e n d o (1) y (2) e n e s ta c o n d ic ió n del
p ro b le m a : 2 t-,
2(1 - q n) = 1
M -q n
ti
) 1 - q /
1- q
6.
s im p lific a n d o :
a) n
d) - 4 n 2
1
,
q " = L ; d e d o n d e : q = nJ í
□
□
b) 1,2
e) 3
c) 1,5
8.
9.
b) 16
e) 32
a) 4
d) 15
c) 20
L o s té rm in o s d e lu g a re s 2a y 2 b d e u n a p ro ­
g re s ió n g e o m é tric a son, re s p e c tiv a m e n te , m 2
y n2, ¿ C u á l e s el té rm in o d e lu g a r a + b?
a) mn
d ) (m - n )2
b) (m n )2
e ) m 2 n‘
c) m n /2
b) n ■
e) n
11.
c) 38
b) 9
e ) 14
c) 11
c) n + 3
b) 5
e) 4 5
c) 10
En u n a p ro g re s ió n a ritm é tic a se c o n o c e que:
a 7 = 10 y a 10 = 7. C a lc u la r el té rm in o a 15
a) 3
d) - 3
b) 2
e) 0
12. H a lla r la s u m a : S = 7 + 13
( 6n + 1 )
a) n 2 + 2 n
d) 2 n 2 - 3n
D e un a P .A s e tie n e :
S n - a n = (n - 1)(n + 3); d o n d e :
a n: té rm in o g e n e ra l
S n: s u m a d e lo s n p rim e ro s té rm in o s
SI n es im par, p ro p o rc io n a r el té rm in o c e n tra l.
a) n + 1
d) n + 4
b) 39
e ) 32
10. In d ic a r el m e n o r d e 4 n ú m e ro s e n P.G. s a b ie n ­
d o q u e la s u m a d e s u s e x tre m o s e s 14 0 y la
s u m a d e lo s té rm in o s c e n tra le s e s 60.
Según:
(x - 3 ) : x : (x + 12)
y: Jx : (y + 3)
2 y : 2 x : z; c a lc u la r z
a ) 12
d ) 24
c )1
La s e d a d e s d e un p a d re y s u s d o s h ijo s e s ­
tá n en p ro g re s ió n g e o m é tric a ; el p ro d u c to d e
to d a s la s e d a d e s e s 13 31 . In d ic a r la e d a d del
h ijo m a yo r.
a) 7
d) 13
b) 10; 30; 60 , 90
d) 120, 90; 60, 30
b) 4
e ) 1/4
El té rm in o en la posición 17 de: te 8 : 32 :1 2 8 :...
es ig u a l a 2 k. S e ñ a la r el v a lo r d e k.
a ) 41
d ) 35
M o s tra r lo s c u a tro m e d io s g e o m é tric o s in te r­
p o la d o s e n tre 160 y 5.
a ) 5: 10, 20 ; 4 0
c) 80, 40, 20, 10
e ) 10, 30, 90 , 120
D a d a la p ro g re s ió n a ritm é tic a :
a) 2
d ) 1/2
Si a lo s n ú m e ro s 3; 7 y 13 se le s s u m a una
m ism a c a n tid a d re s u lta , en e s e o rd e n , una
p ro g re s ió n g e o m é tric a . D e te rm in a r la ra z ó n
d e d ic h a p ro g re s ió n .
2.
c) 6n
1
1
1
, o b te n e r:
-b b + c c + a
E JE R C IC IO S PROPUESTOS
a ) 0,6
d) 2,5
b) - 3 n 2
e) 1 2 n 2
1 -q " = ~
7.
q =
En la p ro g re s ió n : + a, b, c, d la s u m a d e sus
té rm in o s es n y la ra z ó n e s 2n . H a lla r: a 2 - d 2
b) 2 n + 3n
e) 3 n 2 - 4n
c) - 2
19 + 25
c) 3 n 2 + 4 n
13. D e u n a p ro g re s ió n a ritm é tic a se s a b e que:
a3 + a5 = 57
a 5 + a 10 = 9 9
¿ A q u é In te rv a lo p e rte n e c e la ra z ó n ?
a ) [0; 6 >
d ) < 6 ; 7]
b) < 0 ; 5]
e) < - 1 ; 0 >
c) < 5 ; 7 >
Á
14. En un a P.A la ra z ó n y el n ú m e ro d e té rm in o s
so n ¡guales, la s u m a d e lo s té rm in o s e s 15 6 y
la d ife re n c ia d e lo s e x tre m o s e s 30. C a lc u la r
el ú ltim o té rm in o .
a) 29
d ) 39
b) 35
e ) 41
c) 37
15. P ro p o rc io n a r la s u m a d e lo s 2 0 p rim e ro s té r­
m in o s d e la s ig u ie n te p ro g re s ió n d e c re c ie n te :
-^ x 2, 2x, 3, ...
a) -5 0 0
d) -3 9 0
b) - 4 2 0
e) -2 8 0
c) -4 0 0
a) 2
d )5
b) 3
e)6
a) 6
d )3
b) 5
e) 2
c) 4
89
ca, a d e m á s : a - d = 7, c a lc u la r:
(a - c )2 + (b - c )2 + (b - d )2
a ) 91
d ) 19
b) 49
e ) 14
c) 34
19. S i al s o lta rs e un a p e lo tita d e s d e 1 m e tro de
a ltu ra , e s ta a d q u ie re e n c a d a re b o te lo s 3/4
d e la a ltu ra a n te rio r, c a lc u la r la d is ta n c ia q u e
re c o rre h a sta q u e s e d e tie n e .
b) 6 m
e) 3 m
c) 5 m
20. S u m a r:
1+/ l _ i U ( i - l W 1
2
c) 4
17. En la p ro g re s ió n : a 3,
30
p el n ú m e ­
ro d e té rm in o s c o m p re n d id o s e n tre 3 y 3 0 es
ig ua l al n ú m e ro d e lo s c o m p re n d id o s e n tre 30
y p. C a lc u la r la
ra z ó n
si a d e m á s la s u m a d e
to d o s lo s té rm in o s e s 570.
|
18. S i: a; b; c; d e s tá n e n p ro g re s ió n g e o m é tri­
a) 7 m
d) 4 m
16. S e in te rp o la n 5 m e d io s a ritm é tic o s e n tre lo s
n ú m e ro s 4 y 2 2 . C a lc u la r la ra z ó n d e in te rp o ­
la ción
lg ebr a
a)
d)
31 \4
6/
2/ 3
1. c
2. c
3. e
4. a
\8
1 ' ' / 1
12/
\ 16
b) 4/ 3
2 e) 3
5.
6.
7.
8.
d
b
d
d
9. c
10 . b
11. b
12. c
1 '>
24/
c) 8/ 3
13.
14.
15.
16.
c
e
d
b
17. d
18. b
19. d
20 . b
LOGARITMOS
S e a n A real, n g IN ta l q u e A n > 0
LOGARITMOS EN LOS REALES
lo g aA n = n lo g a|A|
T e o re m a d e e x is te n c ia y u n ic id a d d e l lo g a ritm o
P a ra to d o p a r d e n ú m e ro s re a le s a y b ta le s q u e
a > 0 , a # 1 y b > 0 , e x is te un ú n ic o n ú m e ro rea l x,
q u e c u m p le : ax = b.
4.
S e a A real, ta l q u e A > 0, n g IN, n > 2
l° 9 a nÍ A = ^ lo g aA
D e fin ic ió n d e lo g a ritm o . S e a n lo s n ú m e ro s re a le s
a y b, si a > 0 , a # 1 y b > 0 , el n ú m e ro rea l x se
d e n o m in a lo g a ritm o de l n ú m e ro b en b a s e a y se
d e n o ta p o r lo g ab si y s o lo si a x = b.
5.
S e a A real, ta l q u e A > 0, m g IR A n G l R
lo g an A m = — lo g aA ; n ¿ 0
: lo g ab <=> ax = b
C o ro la rio . S i se e le v a a u n m is m o e x p o n e n ­
te m (o se e x tra e ra íz e n é s im a ) la b a s e y n ú ­
m e ro de l lo g a ritm o , el v a lo r d e l lo g a ritm o no
se a lte ra .
D o n d e : a: b a s e d e l lo g a ritm o
b: n ú m e ro de l lo g a ritm o
x: lo g a ritm o d e b en la b a se a
lo g aA = lo g amAm = lo g n - n/A ; A > 0
E je m p lo s :
1.
2 = lo g 39 o
6.
32 = 9
Si A > 0 A B > 0
lo g aA = lo g aB » A = B
C a m b io d e base: D a d o lo g ab e IR
S ea : c > 0 a c / 1
lo g c b
lo g ab =
lo g ca
PROPIEDAD
lo g a1 = 0
lo g an a = 1/n
!o g aa = 1
lo g aa n = n
lo g anam = m/n
lo g ba = (lo g ab) 1
lo g ab
a #1
R e g la d e la c a d e n a . Si:
Id e n tid a d fu n d a m e n ta l d e l lo g a ritm o
S i a > 0, a # 1
3 '°a35 = 5
a b > 0 s e c u m p le :
•
a logab = b
( 2 x )log2xa = a
T e o re m a s . S e a la b a s e rea l a, ta l q u e a > 0 a a # 1
1.
S e a n A y B re a le s , ta l qu e: A B > 0
lo g aA B = lo g a|A| + ¡oga|B|
2.
S e a n A y B re a le s , ta l qu.e: A /B > 0
lo g a (A /B )= lo g a|A| - lo g a|B|
a > 0 , a / 1, b > 0, b # 1, c > 0, c # 1 A d > 0
S e c u m p le :
lo g ab lo g bc lo g cd = lo g ad
SISTEMAS DE LOGARITMOS
C a d a b a se d e lo g a ritm o s d e te rm in a un s is te m a
d e lo g a ritm o s en c o n s e c u e n c ia e x is te n in fin ito s
s is te m a s d e lo g a ritm o s p a ra u n a b a s e p o s itiv a y
d ife re n te d e 1. L o s s is te m a s m á s im p o rta n te s son:
S is te m a d e c im a l o d e B rig g s . E s a q u e l s is te m a
d e lo g a ritm o s e n el c u a l la b a s e es 10 .
N o ta c ió n :
lo g 10N = lo gN
Á
S e lee: lo g a ritm o d e N
En g e n e ra l: lo gN =
lgebra
¡
91
PROPIEDADES
P a rte
e n te ra
■?
S e a b > 0, b A 1
P arte
d e c im a l
A
a n tilo g b(lo g bx) = x; v x e IR 4
lo g b(a n tilo g bx) = x; V x e IR
a n tilo g bx a n tilo g by = a n tilo g b(x + y)
(c a ra c te rís tic a s ) (m a n tis a )
T e o re m a . S e a N > 1; el n ú m e ro d e c ifra s en su
p a rte e n te ra v ie n e d a d o por:
n ú m e ro d e c ifra s N = c a ra c te rís tic a + 1
S is te m a h ip e rb ó lic o o n e p e ria n o . E s a q u e l s is ­
te m a c u y a b a s e es el n ú m e ro tra s c e n d e n te d e
E uler:
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
E s ta s fu n c io n e s se d e n o m in a n tra s c e n d e n te s a d e ­
m á s se c a ra c te riz a n p o r s e r u n a in v e rs a d e la otra.
FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a
S e a a un n ú m e ro rea l p o s itiv o y d ife re n te d e 1.
La fu n c ió n f: IR -> IR d e fin id a por: f(x ) = ax
S e d e n o m in a fu n c ió n e x p o n e n c ia l d e b a se a.
- = — + ± + 1 + 1 + ... = 2 , 7 1 8 2 8 1 8 .
,k !
0! 1! 2! 3!
N o ta c ió n :
El d o m in io d e e s ta fu n c ió n es D f = IR y su ra n g o es
R f =
lo g eN = InN
Si 0
Si a
R e s u lta d o s im p o rta n te s
In 1 = 0
Ine = 1
Ine" = n; n g IR
Ine® = e
e lnx = x; x a o
Inx =
lo g x
lo ge
;x > 0
loga = c «
log 1 = 0
log 10 = 1
1 0C = a
lo ga
= lo g ba
lo gb
log 1 0n = n
y
y
y = ax.
1/a
i a
-1 0
a
______ 1
í
x
b > 0; b # 1 ; x > 0
C o ro la rio :
X
Si a > 1, la fu n c ió n f(x ) = a x e s c re c ie n te en
to d o su d o m in io .
3.
La g rá fic a d e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l d e b a s e a
p a s a r p o r el p u n to ( 0 ; 1 ).
4.
Si 0 < a < 1, e n to n c e s :
lím a x = +oc ; lím
5.
X — +oo
ax = 0
S i a 1, e n to n c e s
lím
a x = 0 ; lím
6.
a x 4 z = a xa 2
A s í:
7.
ax z = — ; a A 0
az
b>0, b#1;xeIR
1
2.
A n tilo g a ritm o . S e d e fin e c o m o e! o p e ra d o r
in v e rs o del lo g a ritm o y se d e n o m in a ta m b ié n
e x p o n e n c ia l.
a n tilo g bx = bx;
1/a i
P ro p ie d a d e s de la fu n c ió n e x p o n e n c ia l
1.
Si 0 a < 1, la fu n c ió n f(x ) = a x es d e c re c ie n te
e n to d o su d o m in io .
X — -o o
b > 0, b y i , x > 0
0
a > 1
F ig u ra 2
F ig u ra 1
C o lo g a ritm o . S e d e fin e c o m o el lo g a ritm o en
b a s e b del in v e rs o m u ltip lic a tiv o d e un n ú m e ro
x. A sí:
c o lo g bx = - lo g bx:
-1
0< a < 1
DEFINICIONES
c o lo g bx = lo g b| l
a < 1, la grá fica se m u estra en la fig u ra 1
1, 1a g rá fic a se m u e s tra en la fig u ra 2.
y = ax
lo g x = Í D í _ ; x > 0
a
In 10
1.
(0 ; + o c )
R e s p e c to a la g rá fic a c o n s id e ra m o s d o s ca so s:
X — —o o
X —+ o o
ax =
92
| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
FUNCION INVERSA DE EXPONENCIAL 0 FUNCION
LOGARÍTMICA
D e la s p ro p ie d a d e s 1 y 2 d e d u c e q u e la fu n c ió n
e x p o n e n c ia l d e b a s e a d a d a p o r f(x ) = a x d o n ­
d e a > 0 a ^ 1, es in y e c tiv a e n su d o m in io (IR) y
p o r ta n to a d m ite fu n c ió n in v e rs a q u e e s lla m a d a
fu n c ió n lo g a rítm ic a d e b a s e a y e s tá d e fin id a por:
LOGARITMOS NATURALES Y DECIMALES
C o m o e es un n ú m e ro p o s itiv o y d ife re n te d e 1, las
fu n c io n e s d e fin id a s p o r f(x ) = e x (fu n ció n e x p o n e n ­
c ia l d e b a s e e).
g (x ) = lo g ex (fu n c ió n d e b a s e e)
S o n ta le s que:
1.
g: (0 ; +oo) -> IR ta l q u e
g (x ) = lo g ax (lo g a ritm o d e x en b a s e a)
Dg — (0 ; +oo) y Rg = IR
2.
3.
4.
Df = IR, R f — (0 ; + oc)
D g = (0 ; + oc); R g = IR
U n a es in v e rs a d e la otra.
2 <e <3
S us g rá fic a s se m u e s tra n en la s ig u ie n te figura .
En la fig u ra 3 se m u e s tra la g rá fic a d e g (x ) = lo g ax,
si 0 < a < 1 y e n la fig u ra 4 se m u e s tra la g rá fic a d e
g (x ) = lo g ax, si a > 1 .
A lo g ex se d e n o m in a lo g a ritm o n a tu ra l o n e p e ria n o d e x y se d e n o ta c o m o Inx.
A lo g 10x se d e n o m in a lo g a ritm o d e c im a l o v u l­
g a r d e x y se d e n o ta c o n logx.
0<a < 1
F ig u ra 3
F ig u ra 4
1.
f(g(x)) = x, V x e ( 0; +oc) o al09ax = x; v x e ( 0; +oo)
P o r la fó rm u la d e c a m b io d e ba se , la re la c ió n
e n tre Inx y logx, e s tá d a d a por:
lo g x
lo g x = - ! n í - o Inx
; d e do nd e:
lo ge
a
In10
2.
g (f(x )) = x, V x e IR o lo g a(a x) = x, v x e IR
lo g x = 0 ,4 3 4 3 Inx o Inx = 2 ,3 0 2 6 logx
P o r d e fin ic ió n d e fu n c ió n in ve rsa , te n e m o s :
En re s u m e n : a y = x »
y = lo g ax
P o r e je m p lo , 3 4 = 81 » 4 = lo g 3(8 1 )
P ro p ie d a d e s d e la fu n c ió n io g a rítm ic a d e b a s e a
1.
Si 0 < a < 1 , la fu n c ió n g (x ) = lo g ax e s d e c re ­
c ie n te en su d o m in io (IR+).
2.
Si a > 1, la fu n c ió n g (x ) = lo g ax e s c re c ie n te
e n su d o m in io (IR ").
3.
La g rá fic a d e to d a fu n c ió n lo g a rítm ic a p a sa
p o r el p u n to ( 1 : 0 ).
4.
SI 0 < a < 1, e n to n c e s :
lím lo g ax : +oc y
x -0*
lím lo g ax = -o o
X—+oo
SI a > 1, e n to n c e s :
lím lo g ax :
x - 0*
-oo y
lím lo g ax = +oo
X—-foc
IV.
A u n q u e e s ta s fu n c io n e s so n c a s o s p a rtic u la ­
re s d e la s fu n c io n e s e x p o n e n c ia le s y lo g a rít­
m ic a s e s n e c e s a rio re c o rd a r lo s ig u ie n te :
1.
In (ex) = x
2. e
= x
EJERCICIOS RESUELTOS
H a lla r un a e x p re s ió n e q u iv a le n te a:
x + /x 2- 1
K = log f
x - / x 2- 1
R e s o lu c ió n :
R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s c o n v e n ie n te s :
(x + Vx2 — i ) ( x + Vx2 — i )
( x + Vx 2 — 1 )
( x - / x 2 - i ) ( x + i x 2 - 1>
X2 - ( h 2 - 1f
Á lg e b r a
log
K - lo g X —
Vx 2
—
(5 x + 2 )(2 x - 1) = 0
O
\
x = - - ; x = -+: p e ro x > 0 (p o r d e f. d e lo gx)
5
2
K = io g [ x 2 + 2 x I x 2 - 1 + ( ’I x 2 - 1 ) ]
^ K = lo 9 Á + í x-2.- J . ^ | n n ( x + / ^
f
x - l x 2~ 1
F in a lm e n te , s e pide : K = 2 lo g ( x +
2.
•Ix 2 -
i)
5.
C o n s id e ra m o s la e c u a c ió n :
log(Vx® + 3 7 )
—
= 3
lo g ( /x + 1 )
H a lla r la s s o lu c io n e s rea les.
H a lla r el v a lo r d e b q u e s a tis fa c e la e c u a c ió n :
(!o gb9 )2 - 4 (!o g b9) + 4 = 0
R e s o lu c ió n :
R e s o lu c ió n :
S e tie n e :
H a c ie n d o : lo g b9 = x
3.
93
D e d o n d e : 10 x 2 - x - 2 = 0
1 + x2- 1
x 2 - x2 + 1
x 2 + 2x J x 2
1
I
lo g f / x 3 + 3 7 )
—
= 3
lo g (V x + 1 )
S e tie n e : x 2 - 4 x + 4 = 0; (x - 2 )2 = 0
=s x - 2 = 0 ; x = 2
R e p o n ie n d o : lo g b9 = 2
R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :
P o r d e fin ic ió n : b 2 = 9
F in a lm e n te : b = + -/9 ; b = ± 3 => b = 3
S e e lim in a c o m o s o lu c ió n : b = - 3 ya q u e la
b a se n u n c a e s n e g a tiv a .
to m a n d o a n tilo g a ritm o s a a m b o s m ie m b ro s :
Io g ( Vx 3 + 3 7 ) = Iog ( I x + 1)3
I x 2 + 37 = ( I x + 1)3
h a c ie n d o : I x - a , se tie n e : a 3 + 37 = (a + 1 )3
e fe c tu a n d o : a 2 + a - 12 = 0
d e d o n d e : (a + 4 )(a - 3) = 0
¿ Q u é v a lo r m a y o r d e 7 re s u e lv e la s ig u ie n te
e c u a c ió n : Iog 16 + lo g x + lo g (x - 1 )
a = - 4 , o s e a I x = - 4 (a b s u rd o )
= lo g (x 2 - 4 ) + Iog 15
a = 3, o s e a Vx = 3 => x = 9
la ú n ic a s o lu c ió n se rá 9.
R e s o lu c ió n :
R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s e q u iv a le n te de
com p osición : lo g[1 6x(x - 1)] = lo g[1 5(x2 - 4)]
I " - EJERCICIOS PROPUESTOS
L e vantando logaritm os: 16x(x - 1) = 15(x2 - 4)
x 2 - 16x + 6 0 = 0
= (x - 10 )(x - 6 ) = 0
=>x = 1 0 v x = 6
x = 10
4.
1.
R e s o lv e r: 2 log7<x2 - 7x + 21> = 3 l0974
In d ic a r el m a y o r valo r.
a)
R e s o lv e r la e c u a c ió n :
1 + 2 lo g x - lo g (x + 2 ) = 0
2.
b) 4
a)
d)
L u e g o : Io g 1 0 + lo g x 2 - lo g (x + 2 ) = 0
10 x
= Iog 1
x + 2
3.
10 x
x + 2
c) 2
d) 7
e ) 10
3 Iog (Io g x)
[Iog (Iog
Se tie n e : 1 + 2 lo g x - lo g (x + 2 ) = 0
L e v a n ta n d o lo g a ritm o s:
3
R e s o lv e r la s ig u ie n te e c u a c ió n :
R e s o lu c ió n :
Iog
|
= 1
102
103
x ) j los [|oa (|09 x )l
b) 104
e ) 10 b
S i: lo g (|x| - 1) = 1 + 2 lo g 3^
m a r q u e : 4/¡ V ¡ - 1
= 27
c) 10
l 2 s e p u e d e a fir­
94
| C o le c c ió n E l P o s t u la n t e
a)
b)
c)
d)
e)
Es
Es
Es
Es
Es
un n ú m e ro
un n ú m e ro
un n ú m e ro
m ú ltip lo d e
un n ú m e ro
irra cio n a l.
n e g a tiv o .
im par.
4.
par.
c a lc u la r: J = 2—£/cd
a) 6
b) 2
c) 4
d) 3
e)d1
12. Si: lo ga =-/i~3 - -Í7
lo g b = -Í7 - / T í
Si: lo g (10 + 2V2i) ( f f + - Í 3 f - 8 , resolve r: x xX = n
a ) Í2
d)
5.
b) -Í3
Vio
lo g c = - / T T - / T 3
c) 17
lo g 3a + lo g 3b + lo g 3c
ca lc u la r: P
e )2
lo g a lo1 g b logc
C a lc u la r E, si x = 10/3
a) 3
b) 1
c) 2
d ) 1/3
e) 0
E = lo g x ( 3 lo9L3x + 4 |092x + 6iog.'6x )
a) 11
d) 9
6.
c) 10
b) 3
e) 12
13. R e d u c ir: lo g n{ lo g n 2—4 / n ^ / ñ } s ie n d o n > 1.
a) 1
b) 1/2
c) n
d) - 1
e) - 2
C a lc u la r x, si: 3 lo g x16 + 7 lo g x8 = 22
14. Si: m, n e IR + a lo g mnrn = 3 c a lc u la r el v a lo r de:
a) - -Í8
c) 2 Í 3
b) 2
e) 3/2
d) 2 -Í2
loga
L u e g o d e re s o lve r: 3 1 + logx + 3 2 + logx = 2 3 + |O0X
in d iq u e lo c o rre c to :
a) x = 0 ,0 4
c) 10x - 1 = 0
e ) 1 /x = 100
b) x 2 = x + 1
d )x = 1
l° 9 ( x - 2)7
a) 3
d) - 1
R e d u c ir: F
III. lo g 46 = lo g 642 1 6
b) F F V
e) V F V
c) F V V
16. In d ic a r el v a lo r d e v e rd a d (V ) o fa ls e d a d (F )
en:
1
c) 3
d) 2
e) 1
a) 2
b) 4
d) 7
e ) 7(A
Si se s a b e qu e: a =
b =
c =
bc d
b +
lo g 2b
lo g 2c
lo g 2d
= 128
c = 6
I.
lo g 215 = lo g 2( - 5 ) + lo g 2(—3)
II
lo g 3
¡2 =
III. lo g 57 ^
10. R e s o lv e r: lo g xlo g x7/4 = 7
11.
a logab = b, b > 0 a a e IR
lo g /35 / lo g 54 x lo g 4 /2 7
l0 9 j ab |9 b
b) 4
I.
a) FVF
d) VVF
lo g abn -
a) 5
c) 6
II. !o g s12 - lo g 54 = lo g 58
c) - 2
b) - 3
e) 0
b) - 1 0
e) 7
15. In d ic a r el v a lo r d e v e rd a d (V ) o fa ls e d a d (F )
en:
1
= lo g 74
lo g (x + 1)7
1
R e s o lv e r:
a) - 6
d) - 7
c) 7Í2
( 1)
(2 )
(3)
(4)
(5)
a) F V F
d) F F V
17.
2 lo g 32
1
lo g 75
b) V F V
e) F F F
C) VVV
E n c o n tra r el v a lo r de:
|0g 75 !og5343 + |0g 2-9log9128 - l 0g 51 3 log1325
a) 12
d) 5
b)
e)
10
9
c)
8
Á lg e b r a |
18. C a lc u la r: M = lo g 44 9 lo g 52 lo g 271 25 lo g /73
a) 7
d ) 14
b) 2
e) 49
x |ogxx3 + 2 7 x iogxx = 9 x iogxx2 + 2 7 (x > O A x # 1)
a) 9
d) 1
20.
b)
e)
6
27
lo g 2n + lo g 2| l + ~ ) + !° 92(1 + n + g j
c) 1
19. C a lc u la r x en la ig u a ld a d :
c) 3
C a lc u la r el v a lo r d e n qu e c u m p la la e c u a c ió n :
95
lo g 2 1
a) 62
d) 44
1.
2.
3.
4.
c) 52
b) 4 8
e ) 56
b
d
e
e
5
6.
7.
8.
e
d
c
e
9.
10.
11.
12.
c
c
c
a
13.
14.
15.
16.
d
b
b
d
17.
18.
19.
20.
c
b
c
c
Aritmética
Álgebra
Geometría
Trigonometría
Física
Q uím ica
Razonam iento M atem ático
Razonam iento Verbal
Fiabilidad Verbal
Econom ía y Ed. Cívica
Lógica y Filosofía
Historia del Perú
Historia Universal
Geografía
_engua
Literatura
Anatom ía
Psicología
Biología
ISBN: 978-612-302-919-7