Ejercicios de Física Dinámica J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos, DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 1. Un bloque de 5 kg está sostenido por una cuerda y se tira de él hacia arriba con una aceleración de 2 m/ s2. a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? b) Una vez que el bloque se haya en movimiento se reduce la tensión de la cuerda a 49N, ¿Qué clase de movimiento tendrá lugar? c) Si la cuerda se aflojase por completo se observaría que el cuerpo recorre aún 2m hacia arriba antes de detenerse, ¿Con qué velocidad se movía? J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? T ∑ F = ma T − mg = ma T = m(a + g ) T = 5(2 + 9.8) = 59 N mg J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica b) Una vez que el bloque se haya en movimiento se reduce la tensión de la cuerda a 49 N, ¿Qué clase de movimiento tendrá lugar? T ∑ F = ma T − mg = ma 49 a= − 9.8 = 0 m/s2 5 movimiento uniforme mg J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS T a= −g m Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica c) Si la cuerda se aflojase por completo se observaría que el cuerpo recorre aún 2 m hacia arriba antes de detenerse, ¿Con qué velocidad se movía? T vf = vi + at 0 = vi − gt t= vi g 1 2 vi2 1 vi2 1 vi2 h = vit − gt = − = 2 g 2 g 2 g mg 1 vi2 h= 2 g J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS vi = 2 gh = 4·9.8 = 6.26 m/s Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica Un caballo no quiere tirar de su carro. Las razones que da el caballo son: “De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza que yo ejerzo sobre el carro será contrarrestada por una fuerza igual y opuesta que ejercerá dicho carro sobre mí, de manera que la fuerza neta será cero y no tendré posibilidad de acelerar el carro” ¿Cuál es el error de esteEscuela razonamiento? J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos Politécnica Superior DFISTS Universidad de Alicante Dinámica 2. Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 15 kg, apoyados el uno contra el otro, descansan sobre un suelo perfectamente liso. Se aplica al bloque m1 una fuerza F = 40 N horizontal y se pide: a) Aceleración con la que se mueve el sistema b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. Resolver el mismo problema para el caso en que el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el suelo sea de 0.02. J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 2. Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 15 kg, apoyados el uno contra el otro, descansan sobre un suelo perfectamente liso. Se aplica al bloque m1 una fuerza F = 40 N horizontal y se pide: a) Aceleración con la que se mueve el sistema b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. m1 F J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS m2 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Aceleración con la que se mueve el sistema. F 40 a= = = 1.14 m/s2 m1 + m2 20 + 15 F = (m1 + m2 )a b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. En el bloque de masa m2: N1 F2 = m2a = 15⋅1.14 = 17.1 N F N2 P1 F1 F2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS P2 En el bloque de masa m1: F1 = F2 = 17.1 N Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Aceleración con la que se mueve el sistema. F 40 a= = = 1.14 m/s2 m1 + m2 20 + 15 F = (m1 + m2 )a b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. La aceleración de m2: N1 F2 = 17.1 N F N2 P1 F1 F2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS P2 a= F2 17.1 = = 1.14 m/s2 m2 15 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Aceleración con la que se mueve el sistema. F 40 a= = = 1.14 m/s2 m1 + m2 20 + 15 F = (m1 + m2 )a b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. La aceleración de m1: N1 F N2 P1 F1 F2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS P2 F − F1 = 40 −17.1 = 22.9 N F − F1 22.9 a= = = 1.14 m/s2 m1 20 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica Resolver el mismo problema cuando el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el suelo es de 0.02. a) Aceleración con la que se mueve el sistema. N1 = m1 g ⎫ ⎬ N 2 = m2 g ⎭ N1 F P1 FR1 F’1 F’2 N2 FR2 P2 Fr1 = µm1 g ⎫ ⎬ Fr 2 = µm2 g ⎭ F − Fr1 − Fr 2 = (m1 + m2 )a' F − µg (m1 + m2 ) a' = m1 + m2 40 − 0.02 ⋅ 9.8 ⋅ 35 a' = = 0.94 m/s2 35 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica Resolver el mismo problema cuando el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el suelo es de 0.02. b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. En el bloque de masa m2: N1 F P1 FR1 F2 '−Fr 2 = m2a' F2 ' = Fr 2 + m2a' F’1 F’2 N2 P2 FR2 F2 ' = 0.02 ⋅15 ⋅ 9.8 + 15 ⋅ 0.94 = 17.04 N En el bloque de masa m1: F1 ' = F2 ' = 17.04 N J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 3. Un cuerpo desliza a lo largo de un plano inclinado con un ángulo de 30º y luego continúa moviéndose sobre el plano horizontal. Determinar el coeficiente de rozamiento si se sabe que el cuerpo recorre en el plano inclinado la misma distancia que en el horizontal. v=0 at 30º J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS v a’t’ Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante v=0 Dinámica La velocidad inicial del tramo inclinado y la velocidad final del tramo horizontal son nulas. Plano inclinado: 1 2 e = at vf = vi + at vf = at 2 Plano horizontal: 1 e' = vi ' t '− a' t '2 vf ' = vi '−a' t ' 2 vi ' = a' t ' v=0 at 30º J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS v a’t’ v=0 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica La velocidad al final del tramo inclinado el igual a la velocidad al inicio del tramo horizontal: vf = at vi ' = a' t ' vf = vi ' at = a 't ' La distancia recorrida en el plano inclinado es igual a la distancia recorrida en el tramo horizontal 1 e = at 2 e = e' 2 2 2 1 1 at = a 't ' 2 2 1 2 2 e' = vi ' t '− a' t ' = a' t ' − a' t ' = a' t ' 2 2 2 a = a' t = t' J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica Plano inclinado: F = mg sin θ − µmg cos θ a = g (sin θ − µ cos θ) Plano horizontal: F ' = µmg a' = µg sin 30º µ= = 0.268 1 + cos 30º sin θ µ= 1 + cos θ v=0 at 30º J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS v Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante a’t’ v=0 Dinámica 4. Por una pista horizontal cubierta de nieve, se desliza un trineo, de masa m = 105 kg, con velocidad v = 36 km/h. El coeficiente de rozamiento entre el trineo y la nieve es de µ = 0.025. Calcula: a) El tiempo que tardará en pararse el trineo. b) Distancia recorrida antes de pararse. v0 N mg FR J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) El tiempo que tardará en pararse el trineo. Fr = µmg = 0.025 ⋅105 ⋅ 9.8 = 25.7 N Fr = ma a= Fr 25.7 = = 0.24476 m/s2 m 105 vi 36000 t= = = 40.86 s a 3600 ⋅ 0.24476 v0 N vf = vi − at = 0 mg FR J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica b) Distancia recorrida antes de pararse. 1 2 1 x = vit − at = 10 ⋅ 40.86 − 0.24476 ⋅ 40.86 2 = 204.3 m 2 2 v0 N mg FR J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 5. Un bloque de 16 kg y otro de 8 kg se encuentran sobre una superficie horizontal sin rozamiento unidos por una cuerda A y son arrastrados sobre la superficie por una segunda cuerda B, adquiriendo una aceleración constante de 0.5 m/s2. Calcúlese la tensión de cada cuerda. a mA=8kg TA J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS A TA mB=16kg TB Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a mA=8kg TA TA = mA a ⎫ ⎬ TB − TA = mB a ⎭ A TA mB=16kg TB TB = (mA + mB )a = (8 + 16)0.5 = 12 N TA = mA a = 8 ⋅ 0.5 = 4 N J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 6. Calcular las aceleraciones de los bloques A y B de masas 200 kg y 100 kg suponiendo que el sistema parte del reposo, que el coeficiente de rozamiento entre el bloque B y el plano es de 0.25 y que se desprecia la masa de las poleas y el rozamiento de las cuerdas. B A 30º J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica El espacio recorrido por el bloque B es el doble del recorrido por el bloque A. aB = 2aA La ec. de Newton para la polea, bloque A y bloque B: T = 2T ' ⎫ ⎪ mA g − T = mA aA ⎬ T '−µmB g cos θ − mB g sin θ = mB aB ⎪⎭ T’ T’ T’ T A mA.g J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS B mB.g.sen30º mB.g FR 30º Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica mA g − 2µmB g cos θ − 2mB g sin θ = mA aA + 2mBaB aB = 2aA aA = mA g − 2µmB g cos θ − 2mB g sin θ = 0.92 m/s2 mA + 4mB aB = 2aA = 1.84 m/s2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 7. Un ascensor que pesa 8 toneladas está sometido a una aceleración dirigida hacia arriba de 1m/s2. a) Calcular la tensión del cable que lo sostiene. b) ¿Qué fuerza vertical hacia arriba ejercerá el ascensor sobre un viajero que pesa 80 kg? T a=1m/s2 _ M.g J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS + Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Calcular la tensión del cable que lo sostiene. mg − T = ma 8000⋅ 9.8 − T = 8000(−1) T = 8000 ⋅10.8 = 86400 N b) ¿Qué fuerza vertical hacia arriba ejercerá el ascensor sobre un viajero que pesa 80 kg? mg − F = ma F = m(g − a) F = 80[9.8 − (−1)] = 864 N J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 8. Una autopista tiene 7.2 m de ancho. Calcula la diferencia de nivel entre los bordes externo e interno del camino a fin de que un automóvil pueda viajar a 80 km/h (sin experimentar fuerzas laterales) alrededor de una curva cuyo radio es de 600 m. N FN=m.a N=m.v2/R d α m.g α e=7.2m J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante R=600m Dinámica N v2 FN = maN = m R FN=m.a N=m.v2/R d α R=600m α m.g e=7.2m v 2 ⎫ N sin α = m ⎪ R ⎬ N cos α = mg ⎪⎭ v2 d tan α = = gR e J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS 2 v 2e (80000 / 3600) ⋅ 7.2 d= = = 0.6 m gR 9.8 ⋅ 600 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 9. A través de una polea que permanece inmóvil, pasa una cuerda de la cual están suspendidas tres masas de 2 kg cada una. Encuentra la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda que une las cargas A y B. D B A J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica TC − mg = ma ⎫ ⎪ mg − TB + TA = ma ⎬ ⎪ mg − TA = ma ⎭ TC = TB TC Sumando… g = 3a a= g 3 mC.g 2 2 TA = mg − ma = mg = 2 ⋅ 9.8 = 13.06 N 3 3 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante TB mB.g TA TA mA.g Dinámica 10. Un punto material de masa m está suspendido de un hilo inextensible y sin masa de longitud L. El otro extremo está fijo al eje vertical que gira con velocidad angular constante ω, arrastrando en su rotación al hilo y a la masa m. Determinar, en función de ω, el ángulo que forman el hilo y la vertical. θ L T R=Lsenθ J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS FC Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante m.g Dinámica θ v2 2 ⎫ FC = m = mω R ⎪ ⎪ R ⎬ F ⎪ tan θ = C ⎪⎭ mg FC = mω2 L sin θ⎫ ⎬ FC = mg tan θ ⎭ L T R=Lsenθ FC mω2 L sin θ = mg tan θ g cos θ = 2 ωL m.g J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 11. Una mesa de 26 kg es arrastrada por el suelo por una fuerza constante de 230 N, siendo µ = 0.5 el coeficiente de rozamiento. a) Hállese la aceleración de la mesa. b) Calcúlese la fuerza normal sobre cada pata. F 90 cm 90 cm 90 cm G 60 cm J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Hállese la aceleración de la mesa. F − R1 − R2 = ma F − µN1 − µN2 = ma N1 + N2 = mg Al arrastrar no deberá volcar: ∑M G =0 − F ⋅ 0.3 − N2 ⋅ 0.9 − µN2 ⋅ 0.6 − µN1 ⋅ 0.6 + N1 ⋅ 0.9 = 0 F − 2N1 + 4N2 = 0 0.3 N2 0.6 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS 2 R 0.9 F G m.g N1 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante 1 R Dinámica a) Hállese la aceleración de la mesa. 2 F − N1 − N 2 = 2ma ⎫ ⎪ N1 + N 2 = mg ⎬ F − 2 N1 + 4 N 2 = 0 ⎪⎭ 460 − N1 − N 2 = 52a ⎫ ⎪ N1 + N 2 = 254.8 ⎬ 230 − 2 N1 + 4 N 2 = 0⎪⎭ 205.2 a= = 3.94 m/s2 52 F G m.g N1 N2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS 2 R Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante 1 R Dinámica a) Calcúlese la fuerza normal sobre cada pata. 460 − N1 − N 2 = 52a ⎫ ⎪ N1 + N 2 = 254.8 ⎬ 230 − 2 N1 + 4 N 2 = 0⎪⎭ N2 = 46.6 N N1 + N 2 = 254.8⎫ ⎬ N1 − 2 N 2 = 115 ⎭ 3N2 = 139.8 N1 = 254.8 − N2 = 208.2 N F G m.g N1 N2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS 2 R Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante 1 R Dinámica 12. Se deja caer un cuerpo de densidad 0.8 g/cm3 y 1000 cm3 de volumen desde una altura de 78.4 m sobre benceno, de densidad 0.9 g/cm3. Calcula el tiempo que tardará en alcanzar la profundidad máxima. ¿Cómo funciona un termómetro de Galileo? Se trata de una columna cilíndrica de vidrio cerrada con un líquido transparente. En el interior hay varias “esferas” de vidrio de distinta densidad, con una chapita en la cual se marca una temperatura. J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica Velocidad con la que llega el cuerpo a la superficie: v = 2 gh = 2 ⋅ 9.8 ⋅ 78.4 = 39.2 m/s v 39.2 = 4s Tiempo que tarda: t1 = = g 9.8 Cuando se sumerge, aparece el empuje como fuerza de frenado: F = E − P = ma a= ρ benceno − ρcuerpo ρcuerpo J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS ρ bencenoVg − ρcuerpoVg = ρcuerpoVa 0.9 − 0.8 g= 9.8 = 1.225 m/s2 0 .8 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica Tiempo que tarda en parar es: vf = 0 = vi − at2 vi 39.2 t2 = = = 32 s a 1.225 Y por lo tanto, el tiempo total en alcanzar la profundidad máxima es la suma de los dos tiempos: t total = t1 + t2 = 32 + 4 = 36 s J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 13. Una masa puntual de 2 kg describe una curva en el espacio. La curva tiene por ecuaciones: x = t 3 , y = t − 2t 2 , z = 1 4 t 4 , a) b) c) d) siendo t el tiempo. Calcula al cabo de 2 segundos: Los vectores velocidad y aceleración. El vector cantidad de movimiento. El momento cinético respecto al origen. La fuerza que actúa sobre la masa puntual. J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Los vectores velocidad y aceleración. dx vx = = 3t 2 dt dy vy = = 1 − 4t dt dz 3 vz = =t dt v x (t = 2 ) = 12 m/s v y (t = 2 ) = −7 m/s v z (t = 2 ) = 8 m/s v(t = 2) = 12i − 7 j + 8k m/s J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Los vectores velocidad y aceleración. dv x ax = = 6t dt dv y ay = = −4t dt dv a z = z = 3t 2 dt a x (t = 2 ) = 12 m/s 2 a y (t = 2 ) = −4 m/s 2 a z (t = 2 ) = 12 m/s 2 a(t = 2) = 12i − 4 j + 12k m/s2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica b) El vector cantidad de movimiento. p = mv = 2(12i − 7 j + 8k ) = 24i −14j + 16k kg ⋅ m/s c) El momento cinético respecto al origen. L = r × p = (8i − 6j + 4k )× (24i −14j + 16k ) L = −40i − 32 j + 32k kg ⋅ m2 / s d) La fuerza que actúa sobre la masa puntual. F = ma = 2(12i − 4 j + 12k ) = 24i − 8j + 24k kg ⋅ m/s2 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 14. El vector de posición de un punto material de 2 kg, que se desplaza en el plano XY es: r = 3ti + 4t 2 j Calcula: a) El momento respecto al origen de coordenadas de la fuerza responsable de su movimiento. b) El momento lineal de la partícula. c) El momento angular de la partícula respecto al origen de coordenadas. J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) El momento respecto al origen de coordenadas de la fuerza responsable de su movimiento. r = 3ti + 4t 2 j dr d p = mv = m = m 3ti − 4t 2 j = 6i + 16tj kg ⋅ m/s dt dt dp F= = 16 j N dt ( i ) j k M = r × F = 3t 4t 2 0 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS 16 0 = 48tk N ⋅ m 0 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica b) El momento lineal de la partícula. dr d p = mv = m = m 3ti − 4t 2 j = 6i + 16tj kg ⋅ m/s dt dt ( ) c) El momento angular de la partícula respecto al origen de coordenadas. i j L = r × p = 3t 4t 2 6 16t J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS k 0 = 24t 2k kg ⋅ m 2 /s 0 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica 15. Un proyectil sale por la boca de un arma con una velocidad de 500 m/s. La fuerza resultante ejercida por los gases sobre el proyectil viene dada por: F = 800 − 2·105 t (SI) a) Construye un gráfico de F en función de t. b) Halla el tiempo que estuvo el proyectil dentro del arma si F en la boca del arma valía sólo 200 N. c) Halla el impulso ejercido sobre el mismo y su masa. J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica a) Construye un gráfico de F en función de t. F = 800 − 2·105 t t(s) F(N) 0 10-7 10-6 (SI) 10-5 10-4 10-3 800 799.98 799.8 798 780 600 F es una recta con pendiente negativa -2·10-5 N/s (decreciente) y ordenada en el origen 800 N. J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica b) Halla el tiempo que estuvo el proyectil dentro del arma si F en la boca del arma valía sólo 200 N. 5 F = 800 − 2·10 t = 200 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS 800 − 200 t= = 0.003 s = 3 ms 5 2·10 Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante Dinámica c) Halla el impulso ejercido sobre el mismo y su masa. dp F= dt t dp = Fdt t ( p − p0 = ∫ Fdt t0 ) p = ∫ 800 − 2·105 t dt = 800t − 105 t 2 t0 5 2 5 ( I = p = 800t − 10 t = 2.4 − 10 3·10 m= −3 2 ) = 2.4 − 0.9 = 1.5 kg·m/s I 1.5 = = 0.003 kg v 500 J. C. Moreno Marín y S. Heredia Avalos DFISTS Escuela Politécnica Superior Universidad de Alicante
