SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACIÓN DE TOLMAN OPPENHEIMER VOLKOFF

CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS
MAESTRÍA EN CIENCIAS MATEMÀTICAS
UDG
“ECUACIÓN DE TOLMAN OPPENHEIMER VOLKOFF ”
Proyecto Final
AUTOR:
Carlos Giovanni Hernandez Hernandez
PROFRESOR:
Dr. Juan Antonio Licea Salazar
Guadalajara, Jalisco
6 de diciembre de 2022
2
Índice general
1. Introducción
5
2. Ecuación TOV
2.1. Solución analítica a la ecuación TOV clásica . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
3. Soluciones numéricas
3.1. Un método Runge-Kutta implícito .
3.1.1. Orden del método numérico
3.1.2. Estabilidad absoluta . . . .
3.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Otros RK . . . . . . . . . .
3
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11
11
11
12
14
15
4
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Introducción
Este trabajo esta basado en la tesis de Licenciatura de Abraham Emmanuel Guerra Rodriguez “ECUACIÓN DE TOLMAN OPPENHEIMER VOLKOFF".
Las estrellas son cuerpos celestes de gran tamaño, constituido por plasma, compuestos
principalmente por hidrógeno y helio, que producen luz y calor. Para estrellas como nuestro sol, la presión del gas es alimentada por las reacciones nucleares calientes en su núcleo.
Sin embargo, se sabe que existen muchos tipos de estrellas con masa y temperatura variables. Aunque la vida de las estrellas se complica por su dinámica única, sus estados finales
están señalados por el agotamiento del combustible térmico. Nuevamente, dependiendo de
la masa de la estrella, puede colapsar para formar un agujero negro o (quizás después de
una explosión tipo colapso) encontrar otros medios para oponerse a la gravedad. En este
punto nos enfocamos en estrellas relativistas para las cuales la energía interna relativista
contribuye significativamente a la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff.
En 1939 Oppenheimer y Volkoff propusieron un modelo que estudia estrellas compactas que después fue modificado a métricas simétricamente esféricas por Tolman. Dicho
modelo es conocido como las ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV), dichas
ecuaciones provienen de la relatividad general y nos permiten calcular la presión como
función del radio de un objeto isotrópico con simetría esférica, que está en equilibrio hidrostático gravitacional [1].
En este trabajo, anexaremos resultados relevantes de los modelos usados en [1] para la solución de de las ecuaciones TOV para estrellas compactas de material degenerado (enanas
blancas y estrellas de neutrones) . Cabe recalcar que dichos objetos poseen una masa máxima que depende de su radio, porque para un cierto valor nos indicará que la estrella
colapsará.
5
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capítulo 2
La ecuación de
Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)
Esta es la ecuación de Tolman Oppenheimer Volkoff (TOV) para el equilibrio hidrostático de un objeto esféricamente simétrico.
G [ P(r ) + ρ(r )][ M (r ) + 4πr3 P(r )]
dP
=−
.
dr
r [r − 2GM (r )]
(2.1)
Donde r es el radio y ρ(r ) es la densidad de energía y P(r ) es la presión, Ademas la masa
M (r ) se encuentra encerrada en un cascarón esférico de radio r de acuerdo a
M(r ) = 4π
Z r
0
r ′2 ρ(r ′ )dr ′ ,
donde el factor anterior es definido tal que el elemento infinitesimal representa el volumen
del cascarón de radio r ′ y espesor dr ′ . La masa total es M = M( R) y G es la constante
de gravitación universal, la cual es una constante física obtenida de forma empírica, que
determina la intensidad de la fuerza de atracción gravitatoria entre los cuerpos y se puede
expresar como:
G = 6.67384(80) x10−11
2.1.
N ∗ m2
kg2
Solución analítica a la ecuación TOV clásica
La ecuación TOV es una ecuación diferencial ordinaria que no posee soluciones analíticas de manera natural, suponiendouna densidad ρ(r ) = ρ constante podremos encontraremos una solución analítica.
Reescribiendo la ecuación (2.1) de la siguiente manera de acuerdo a [4] obtenemos
dP
G (ρc2 + P)(mc2 + 4πr3 P)
=−
.
dr
rc2 (rc2 − 2Gm)
7
(2.2)
8
CAPÍTULO 2. ECUACIÓN TOV
Si se considera una cáscara esferica de espesor dr a una distancia r desde el centro su
masa estará dada por
dM (r ) = ρ(r )4πr2 dr.
Integrando obtenemos
4
πρr3 .
3
Sustituyendo (2.3) en (2.2) y agrupando variables
m (r ) =
(2.3)


4Gπ 
dr
dP
.
=
−
8πGρr2
(ρc2 + P)(3P + ρc2 )
3c4
1 − 3c2
(2.4)
La presión de un cuerpo celeste de esta categoría depende del radio del cuerpo, esto es,
entre más pequeño el radio, más presión habrá [4]. Dicho lo anterior integraremos desde
la presión máxima del centro de la esfera (pc ) hasta la presión (p), en cuanto al radio,
integraremos desde un radio igual a cero, cabe aclarar que un radio cero es imposible, pero
nos dara una buena aproximación a radios muy pequeños. Asi
Z p
pc
4πG
dP
=− 4
2
2
(ρc + P)(3P + ρc )
3c
Z r
0
rdr
1−
8πGρr2
3c2
.
(2.5)
Del lado derecho en (2.5) realizamos el cambio de variable
8πGρr2
3c2
16πGρr
du = −
,
3c2
u = 1−
Aplicando la sustitución obtenemos
4πG
3c4
Z r
0
3c2 du
.
16πGρru
(2.6)
Con el cambio de variable modificamos los limites; El nuevo límite superior es 1 −
Para el límite inferior si r = 0, el nuevo límite inferior es 1, entonces
4πG
3c4
Z r
0
8πGρr2
1−
3c2 du
4πG3c2
du
3c2
= 4
16πGρru 3c 16πGρ 1
u
8πGρr2
1
= 2 ln 1 −
.
4c ρ
3c2
Z
8πGρr2
.
3c2
Integrando el lado izquierdo de (2.5) nos queda
2
2
Z p
dP
1
ρc + 3p
ρc + 3pc
=
ln
− ln
.
2
2
2ρc2
ρc2 + p
ρc2 + pc
pc ( ρc + P )(3P + ρc )
(2.7)
(2.8)
(2.9)
2.1. SOLUCIÓN ANALÍTICA A LA ECUACIÓN TOV CLÁSICA
Combinando (2.8) y (2.9) y haciendo álgebra obtenemos
r
ρc2 + 3pc
8πGρr2
ρc2 + 3p
=
1
−
.
ρc2 + p
ρc2 + pc
3c2
9
(2.10)
Usando el echo de que necesitamos un equilibrio hidrostaticopara para encontrar el radio
de la estrella, con p( R) = 0. Se obtiene una relación entre la masa y la densidad de energía
de la estrella insertando las condiciones de frontera p = 0 y r = R en la ecuación (2.10)
r
8πGρR2
ρc2 + 3pc
1−
1= 2
,
ρc + pc
3c2
2
2
8πρG 2
ρc + pc
=1 −
R ,
2
ρc + 3pc
3c2
"
2
2 #
2
3c
ρc
+
p
c
R2 =
1−
.
(2.11)
8πρG
ρc2 + 3pc
Finalmente al aplicar la condición de P(r = 0) = pc en la ecuación anterior nos permite
eliminar la presión central pc , de esta manera obtenemos
q
q
2GMr2
1 − c2 R3 − 1 − 2GM
c2 R
2
q
.
(2.12)
p = ρc q
2GMr2
3 1 − 2GM
−
1
−
c2 R
c2 R3
La relación M/R incrementa de forma monótona, cuando el radio incrementa, con una
densidad constante ρ, presión central pc y masa M = 4πR3 ρ/3. Por lo tanto cuanto más
materia tiene una estrella se requiere una gran presión para ser contrabalanceada [4].
10
CAPÍTULO 2. ECUACIÓN TOV
Figura 2.1: Presión de una estrella de densidad constante como función del radio. h determina la tasa de decrecimiento del radio.
Capítulo 3
Soluciones numéricas
3.1.
Un método Runge-Kutta implícito
En el método de Euler directo, usamos la información sobre la pendiente o la derivada
de y en el paso de tiempo dado para extrapolar la solución al siguiente paso de tiempo. El
error para el método es O(h2 ), lo que resulta en una técnica numérica de primer orden. Los
métodos de Runge-Kutta son una clase de métodos que utilizan juiciosamente la información sobre la ’pendiente’ en más de un punto para extrapolar la solución al paso de tiempo
futuro.
M. Kamrul Hasan et al 2013 [2] sugieren un método numérico Runge-Kutta con una modificación adecuada para obtener mejores aproximaciones cuando se tiene una singularidad
en el punto inicial del tiempo. Dicho método es
u n +1
3.1.1.
h
( u n +1 − u n )
h
3 f xn + , un +
+ f ( x n +1 , u n +1 ) .
= un +
4
3
3
(3.1)
Orden del método numérico
El método Runge-Kutta modificado de (3.1) es el método numerico candidato a ser el
mas efectivo para nuestro de la ecuación TOV. A continuación se realizará el análisis de las
regiones de estabilidad y convergencia del método.
Expandimos en series de Taylor y haciendo r = h/3 y s = 31 (y( xn+1 ) − y( xn )).
i
h2 ′′
hh 3
2
y + hy + y + O(h ) =y +
3 f + r f x + s f y + O ( h ) + f ( x n +1 , y n +1 ) ,
2
4
h2
h
hy′ + y′′ + O(h3 ) = 3 f + r f x + s f y + f ( xn+1 , yn+1 ) + O(h3 ),
2
4
2
h
h
hy′ + y′′ + O(h3 ) = 3 f + r f x + s f y + f ( xn+1 , yn+1 ) .
(3.2)
2
4
′
11
12
CAPÍTULO 3. SOLUCIONES NUMÉRICAS
Expandiendo el término f ( xn+1 , yn+1 ) = f ( xn + h, yn + h)
f ( xn + h, yn + h) = f ( xn + h, yn + h f ( xn , yn ) + O(h2 ))
= f ( xn , yn ) + h f x + [h f ( xn , yn ) + O(h2 )] f y + O(h2 )
= f + h ( f x + f y f ) + O ( h2 ).
(3.3)
Asimismo para el término s de (3.2)
s=
y n +1 − y n
1
hf
= (yn + hy′n + O(h2 ) − yn ) =
+ O ( h2 ).
3
3
3
(3.4)
Juntando todo lo anterior obtenemos
i
h2 ′′
hh
3
2
h f + y + O(h ) = 3 f + r f x + s f y + f + h( f x + f y f ) + O(h ) ,
2
4
h2 ′′
h
y + O(h3 ) = 3r f x + 3s f y + h( f x + f y f ) + O(h3 ),
2
4
i
2
h ′′
hh
y + O(h3 ) = (h) f x + (h f + O(h2 )) f y + h( f x + f y f ) ,
2
4
2
h ′′
h
y + O(h3 ) = 2h( f x + f y f ) , +O(h3 )
2
4
h2 ′′
h2
y + O ( h3 ) = ( f x + f y f ).
(3.5)
2
2
El error de truncamiento τn+1 depende de los términos implícitos en la expansión de la
serie de Taylor [3], si suponemos que |y′′′ (ξ )| ≤ M, M ∈ R de (3.5) se sigue
h2
h2
( f x + f y f ) + O ( h3 ) = ( f x + f y f )
2
2
2
O(h ) =τn+1 .
De aqui tenemos que el error de truncamiento del método numérico es de orden 2.
3.1.2.
Estabilidad absoluta
Para hacer el análisis de estabilidad absoluta a (3.1) consideremos el problema de
Cauchy
y′ = f ( x, y) = λy, t > 0.
y(0) =1.
Así, definiremos a la región de estabilidad absoluta A como sigue
A = {z = hλ ∈ C : |un | → 0 cuando tn → ∞}.
3.1. UN MÉTODO RUNGE-KUTTA IMPLÍCITO
13
De esta manera un método es absolutamente estable si |un | → 0 cuando n → ∞.
Haciendo la sustitución y′ ( x ) = f ( x, y) = λy para (3.1) tenemos
h
( y n +1 − y n )
y n +1 = y n +
3λ yn +
+ λyn+1 ,
4
3
h
un+1 =un + [3λun + λun+1 − λun + λun+1 ]
4
h
=un + [2λun + 2λun+1 ]
4
λh
2 + λh
u n +1 1 −
un ,
=
2
2
2 + λh
u n +1 =
un .
2 − λh
(3.6)
Al iterar el resultado anterior obtenemos
un =
2 + λh
2 − λh
n
.
Para que un tienda a 0 requerimos
2+z
< 1,
2−z
Figura 3.1: Grafico representativo de la región donde es absolutamente estable.
La Figura 3.1. nos muestra que A = C− por lo que se concluye que el metodo numerico
es absolutamente estable.
14
3.2.
CAPÍTULO 3. SOLUCIONES NUMÉRICAS
Resultados
Se utilizaron diversos metodos numericos para poder evaluar el desempeño de cada uno
en la resolucion de nuestra ecuación de tolman-oppenheim-volkoff.
Usando la ecuación diferencial (2.12) que se resolvio analiticamente en el capitulo anterior es una manera de calcular la presión P con respecto al radio r, suponiendo una densidad
constante ρ.
En la Figura 3.2 se muestran las soluciones con diversos metodos numéricos; anexando
a la misma, se encuentra una gráfica con un considerable acercamiento que nos permite
apreciar de una manera más visual a los métodos más cercanos a la solución analitica. Se
utilizó una densidad constante ρ = 1 × 104 a pesar de que en la realidad la densidad no
es constante en una estrella a medida que cambia el radio pero sirve de manera ilistrativa y
controlada.En (2.12) observamos que a medida que nos alejamos del centro de una estrella,
la presión decrece, hasta llegar a presión P nula.
El análisis del comportamiento de la masa con respecto al radio no en necesario, pues al
ser la densidad constante se puede determinar su comportamiento como un polinomio de
grado 3 gracias a la ecuación (2.3).
Figura 3.2: Solución Analítica a TOV ordinaria utilizando distintos métodos numéricos en
todo el dominio de análisis.
3.2. RESULTADOS
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Figura 3.3: Errores a escala logarítmica para la ecuación TOV ordinaria con densidad ρ
constante.
3.2.1.
Otros RK
Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge- Kutta de
cuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución
real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones
necesarias.
Es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos convencionales (como separación de variables). Hay variaciones en el método de Runge-Kutta
de cuarto orden pero el más utilizado es el siguiente:
k1 = f (yn , tn )
k1
h
k2 = f (yn + , tn + )
2
2
h
k2
k3 = f (yn + , tn + )
2
2
k4 = f (yn + h, tn + k3)
h
yn+1 =yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
6
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
16
CAPÍTULO 3. SOLUCIONES NUMÉRICAS
Un metodo tambien muy conocido de tercer orden es :
k1 = f (yn , tn )
h
h
k2 = f (yn + , tn + k1)
2
2
k3 = f (yn + h, tn + hk1 + 2hk2)
h
yn+1 =yn + (k1 + 4k2 + k3)
6
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Comparando el RK implicito con estos dos explicitos, se observa un mejor desempeño en
RK implicito a pesar de que el orden es menor, esto se observa en la figura 3.4.
Figura 3.4: Errores a escala logarítmica de metodos RK.
Bibliografía
[1] José González. Ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para estrellas compactas,
representación paramétrica e influencia de la constante cosmológica. Facultad de
Ciencias Físico-Matemáticas, 2011.
[2] M. S. Alam M. Bellal Hossain M. Kamrul Hasan, M. Suzan Ahamed. An Implicit
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[3] Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, and Fausto Saleri. Numerical mathematics, volume 37. Springer Science & Business Media, 2010.
[4] C Valderrama. Solución de la estructura de estrellas compactas utilizando correcciones relativistas. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, 2015.
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