modelado numerico de la dispersion de contaminantes asociados al flujo atmosferico
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Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá Daniel Alfonso García Lozano Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Bogotá, Colombia 2012 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá Daniel Alfonso García Lozano Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de: Magister en Ingeniería Mecánica Director: MSc. I.M. Carlos Humberto Galeano Ureña Línea de Investigación: Simulación de fenómenos de transporte Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Bogotá, Colombia 2012 Agradecimientos Agradezco a todas las personas que hicieron parte del desarrollo de este trabajo, de manera muy especial a mi director el profesor Carlos Humberto Galeano por su constante apoyo y guía durante la construcción del modelo numérico; al profesor Diego Alexander Garzón y Juan Miguel Mantilla por su consejos y correcciones y al profesor Luis Carlos Belalcazar por su orientación sobre los procesos reactivos presentes en los entorno urbanos. Igualmente doy gracias a mi familia por su compañía y apoyo incondicional, y a mis amigos que estuvieron presentes durante el desarrollo de este trabajo. A mi familia y amigos IX Resumen El siguiente trabajo presenta el desarrollo de un algoritmo numérico para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que incluyen los términos advectivo, difusivo, reactivo y representan matemáticamente el proceso de transporte de masa para predecir de manera cuantitativa la dispersión de contaminantes atmosféricos reactivos sobre un centro urbano. Para esto se implementó el método numérico de los elementos finitos o FEM formulación convencional de elementos finitos presenta oscilaciones en la solución de problemas altamente advectivos como el de dispersión de contaminantes atmosférico fue necesario incluir una técnica de estabilización como es el método Petrov-Galerkin en contracorriente o SUPG. Se consideraron dos métodos para la solución de este sistema de ecuaciones: el método tradicional solucionando todos los términos de las ecuaciones diferenciales de forma acoplada y el método Split, en el cual se separa el término que representa el proceso reactivo eliminando la no linealidad en el sistema de ecuaciones debida a la dependencia entre substancias reactivas; para este último método los procesos advectivo-difusivo y reactivo son solucionados por medio de un procedimiento en cascada. Por medio de la comparación entre estos dos métodos fue posible apreciar las ventajas y desventajas de cada uno así como la eficacia en la simulación con respecto a los resultados encontrados en la bibliografía. Se concluyó que el método Split es el más adecuado para solucionar este tipo de problemas debido a su fácil implementación, además de presentar un tiempo de cómputo y un costo computacional menor al método acoplado. Palabras clave: Método de los elementos finitos, SUPG, Proceso difusivo-advectivo, proceso reactivo, método Split, dispersión de contaminantes atmosféricos reactivos. X Abstract This work presents the development of a numerical algorithm for solving a system of partial differential equations including the advective, diffusive, reactive terms and represents mathematically the mass transport process to predicting the dispersion of air reactive pollutants on an urban center. For this we implemented a finite element numerical method or FEM and an implicit time discretization scheme. Also given that the conventional finite element formulation presents fluctuations in troubleshooting of highly advective problem like atmospheric pollutant dispersion, was necessary to include a stabilization technique such as streamline upwind Petrov-Galerkin method or SUPG. We considered two methods for solving this system of equations: the traditional method that solve all the terms of the differential equations in the attached form and the Split method that separates the term representing the reactive process removing the nonlinearity of system equation due to the dependence between reactive substances, for the latter method advective-diffusive and reactive phenomenon are solved by means of a cascade process. Through the comparison between these two methods was possible to appreciate the advantages and disadvantages of each as well as efficiency in the simulation with respect to the results found in the literature. It was concluded that the Split method is best suited to solve these problems because of its easy implementation and also presents a computational cost and time less than the coupled method. Keywords: Finite element method, SUPG, advective-diffusive process, reactive process, split method, dispersion of reactive pollutants. Contenido Agradecimientos V Resumen IX Lista de figuras XIII Lista de tablas XIX Lista de símbolos y abreviaturas ................................................................................... XXI Introducción 1 1 Antecedentes y Justificación ...................................................................................... 7 1.1 Modelos de flujo atmosférico............................................................................... 8 1.1.1 Método de solución DNS (Direct Numerical Simulation). ...................... 10 1.1.2 Método de solución LES (Large Eddy Simulation). .............................. 11 1.1.3 Método de solución RANS (Reynolds Average Navier-Stokes). ........... 12 1.1.4 Método de solución DES (Detached Eddy Simulation). ........................ 13 1.1.5 Modelos turbulentos. ............................................................................ 13 1.2 Modelos de transporte de sustancias sobre entornos urbanos.......................... 22 2 Modelos de transporte de sustancias. ...................................................................... 27 2.1 Modelos Gaussianos. ....................................................................................... 27 2.2 Modelo lagrangianos (de partículas). ................................................................ 29 2.3 Modelos eulerianos. .......................................................................................... 31 2.3.1 Término de ......................................................................... 32 2.3.2 Término de difusión molecular ............................................................. 33 2.3.3 Término de difusión turbulenta. ............................................................ 34 2.3.4 Término de fuente. ............................................................................... 39 2.3.5 Término de reacción. ........................................................................... 40 2.3.6 Consideraciones. ................................................................................. 45 2.3.7 Aplicación. ........................................................................................... 46 3 -reacción... 47 3.1 Planteamiento del método de los elementos finitos. .......................................... 47 3.1.1 Aplicación de la técnica de estabilización de Petrov-Galerkin en contracorriente o SUPG. ...................................................................... 50 3.1.2 Formulación bidimensional empleando elementos cuadriláteros lineales. ............................................................................................... 52 3.1.3 Formulación tridimensional empleando elementos hexaédricos lineales. ............................................................................................... 55 XII Contenido 3.2 Integración numérica. ........................................................................................57 3.3 ..................................................................59 3.4 Método de separación de operadores. ..............................................................60 3.4.1 Método Yanenko. .................................................................................61 3.4.2 M S g “S S g” .......................62 4 Planteamiento y solución de problemas de validación del código. ............................64 4.1 Descripción del código desarrollado. .................................................................64 4.1.1 Inicialización del problema. ...................................................................65 4.1.2 Proceso de solución. ............................................................................71 4.1.3 Solución por paso de tiempo. ...............................................................72 4.2 Problemas de validación inicial. .........................................................................74 4.2.1 Rotación de cuerpos sólidos. ................................................................74 4.2.2 Movimiento advectivo de una función Gaussiana. ................................78 4.2.3 Problema de ROBER............................................................................81 4.2.4 S “B ” .....................................................................84 4.3 Análisis de resultados del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split (Diseño de experimentos). ........................................89 4.3.1 Análisis del término reactivo. ................................................................91 4.3.2 Análisis de la interacción de los términos de adveccion, difusión y reacción. .............................................................................................110 4.3.3 Conclusiones ......................................................................................123 5 Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos ...125 5.1 Modelado de la dispersión de contaminantes atmosféricos dentro de un entorno urbano ................................................................................................125 5.1.1 Modelado del flujo atmosférico ...........................................................126 5.1.2 Modelado de dispersión de contaminantes .........................................129 5.2 Resultados ......................................................................................................141 6 Conclusiones ..........................................................................................................160 6.1 Aportes del trabajo ..........................................................................................160 6.2 Productos y publicaciones ...............................................................................161 6.3 Trabajos futuros...............................................................................................161 Bibliografía 163 A. Anexo: Diseño de experimentos para el análisis de interacción entre los términos ............................................................176 B. Anexo: Selección del paquete solucionador del flujo atmosferico. ..........................178 C. Anexo: Datos de la velocidad y selección de la velocidad media del viento. ...........185 D. Anexo: Resúmenes de los artículos aceptados producto de esta tesis. ..................187 E. Anexo: Resúmenes de los artículos desarrollados en la maestría. .........................188 Lista de figuras Pág. Figura 1.1. Corredor urbano europeo (A) y representación bidimensional de un corredor urbano donde se presenta el campo de rotación del flujo atmosférico (Dabberdt et al., 1973) (B). ..................................................... 22 Figura 2.1. Trasporte de contaminantes con base en un comportamiento gaussiano................................................................................................... 28 Figura 2.2. Modelado del transporte de contaminantes por medio de un esquema de trayectoria. ............................................................................................ 30 Figura 2.3. Numero de Schmidt turbulento como función de la altura [110]. ................ 38 Figura 3.1. finitos. ........................................................................................................ 47 Figura 3.2. Funciones de forma para un elemento unidimensional lineal en coordenadas globales y locales respectivamente....................................... 49 Figura 3.3. Función de ponderación sin modificación y modificada por medio de la técnica de estabilización Petrov-Galerkin en contracorriente respectivamente. ........................................................................................ 51 Figura 3.4. Elemento cuadrilátero lineal en coordenadas globales (A) y coordenadas locales (B). ............................................................................ 52 Figura 3.5. Funciones de forma para un elemento cuadrilátero lineal. N1 (A), N2 (B), N3 (C) y N4 (B). ................................................................................... 53 Figura 3.6. Elemento hexaédrico lineal en coordenadas globales (A) y coordenadas locales (B). ............................................................................ 55 Figura 3.7. Procedimiento de solución por medio del método Yanenko. ..................... 62 Figura 3.8. P “S S g S ” .......................................................................................................... 63 Figura 4.1. Diagrama de flujo del procedimiento de solución por medio del código desarrollado. .............................................................................................. 65 Figura 4.2. Formato archivo de malla. .......................................................................... 66 Figura 4.3. Formatos archivo de condiciones iniciales (A) y generación elemental (B). ............................................................................................................. 66 Figura 4.4. Formato archivo de condición de bordes. ................................................... 67 Figura 4.5. Formato archivo de campo de velocidades y coeficiente de difusión másica. ...................................................................................................... 68 Figura 4.6. Formato archivo de designación de sustancias. ......................................... 68 Figura 4.7. Formato archivo del mecanismo de reacción y las tasas de reacción. ....... 69 Figura 4.8. Archivo de cambio de unidades. ................................................................ 70 XIV Lista de figuras Figura 4.9. Formato archivo procedimiento de solución. ...............................................70 Figura 4.10. Diagrama de flujo del procedimiento de solución del componente difusivo-advectivo del sistema de ecuaciones tipo DAR. .............................72 Figura 4.11. Archivo de resultados del problema solucionado. ........................................73 Figura 4.12. Archivo del seguimiento del proceso de solución. .......................................73 Figura 4.13. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de rotación de cuerpos sólidos. .....................................................................................75 Figura 4.14. Campos de concentraciones finales para los casos (A) con malla gruesa y (B) con malla fina del problema de rotación de cuerpos sólidos. .......................................................................................................77 Figura 4.15. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de transporte de una campana Gaussiana. .....................................................79 Figura 4.16. Campos de concentraciones obtenidos a los 0, 0.26, 0.52 y 0.8 segundos de simulación el caso de transporte de una campana Gaussiana. Resultado exacto (A) y modelado (B). ......................................80 Figura 4.17. Concentración nodal de la solución analítica (A) y la solución numérica, así como el error numérico nodal (C) y el error cuadrático medio (D) para 800 pasos de simulación del transporte de una campana Gaussiana. .................................................................................................81 Figura 4.18. Perfiles del comportamiento de las sustancias C1 (A), C2 (B) y C3 (C) en un intervalo de 0 a 1E6 segundos para el problema de ROBER. .........83 Figura 4.19. Campos de concentración de las sustancias X y Y obtenidas por medio del modelo numérico (A) y (B), obtenidos por Twizell et al. (C) y (D) y h (E) ( ) “B ” ...................86 Figura 4.20. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la sustancia X (A) y la sustancia y (B) para el primer caso de “B ” ..............................................................................................87 Figura 4.21. Campos de concentración para el caso 2 de las sustancias X y Y. .............88 Figura 4.22. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la sustancia X (A) y la sustancia y (B) para el segundo caso de “B ” ..............................................................................................88 Figura 4.23. Dominio del problema de prueba para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. .............89 Figura 4.24. Campo de velocidad del problema de prueba para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. ...........................................................................................................90 Figura 4.25. Condición inicial del NO, O3 (A) y NO2 (B) para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. ...........................................................................................................91 Figura 4.26. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo simplificado. ..........................................92 Figura 4.27. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo simplificado. ....................................93 Lista de figuras XV Figura 4.28. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo simplificado. ............................................................................................... 94 Figura 4.29. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo simplificado. .. 95 Figura 4.30. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. ........................................................................................... 96 Figura 4.31. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. ........................................................................................... 96 Figura 4.32. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo completo. ............................................. 98 Figura 4.33. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo. ........................................ 98 Figura 4.34. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo. ................................................................................................... 99 Figura 4.35. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo. .... 100 Figura 4.36. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 101 Figura 4.37. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 102 Figura 4.38. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos........................... 103 Figura 4.39. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos. .................... 104 Figura 4.40. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo con ácidos................................................................................. 105 Figura 4.41. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo con ácidos. ............................................................................................... 106 Figura 4.42. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 107 Figura 4.43. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. ......................................................................................... 107 Figura 4.44. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 5[s]. .............................................. 108 Figura 4.45. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 2[s]. .............................................. 108 Figura 4.46. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 5E-3[s]. ......................................... 109 Figura 4.47. Gráficas de efecto sobre la concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación. ............. 113 XVI Lista de figuras Figura 4.48. Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación. .................. 114 Figura 4.49. Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 1200 segundos de simulación. ........................................... 115 Figura 4.50. Graficas de efecto sobre los balances molares de oxígeno (A) y nitrógeno (B) elementales. ........................................................................ 116 Figura 4.51. Grafica de efectos sobre el tiempo de CPU. ............................................. 116 Figura 4.52. E n y difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. .......................................................................... 117 Figura 4.53. E y difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. ........................................................... 117 Figura 4.54. E concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. .......................................................................... 118 Figura 4.55. Efectos debidos a la interacción entre la malla y el proceso de difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación..................................................................... 119 Figura 4.56. E ( ) (B) a los 600 segundos de simulación. ..................................................... 119 Figura 4.57. Conservación molar del oxígeno y el nitrógeno para el caso en el que se presenta un sumidero de masa (Caso 17). .......................................... 120 Figura 4.58. Efecto medio del mecanismo de reacción sobre el balance molar del oxígeno elemental. ................................................................................... 120 Figura 4.59. Efecto medio de la malla y el paso de tiempo sobre el tiempo de CPU. ... 121 Figura 4.60. Efecto medio de los modelos numéricos sobre el tiempo de CPU. .......... 122 Figura 5.1. Ubicación geográfica del sector urbano de la ciudad de Bogotá analizado. ................................................................................................. 126 Figura 5.2. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de energía cinética turbulenta (B) y disipación d la energía cinética turbulenta (C). ........................................................................................... 129 Figura 5.3. Modelo computacional del sector urbano de la ciudad de Bogotá analizado. ................................................................................................. 129 Figura 5.4. Entorno urbano bidimensional seleccionado para la simulación de dispersión de contaminantes. ................................................................... 130 Figura 5.5. Campo de velocidades en x para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B). ..................................................................................... 131 Figura 5.6. Campo de velocidades en y para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B). ..................................................................................... 131 Figura 5.7. Viscosidad turbulenta para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B). ..................................................................................... 131 Lista de figuras XVII Figura 5.8. Campo de velocidades en z para el modelo tridimensional ...................... 132 Figura 5.9. Malla utilizada para discretizar el dominio bidimensional del entorno urbano. ..................................................................................................... 133 Figura 5.11. Mecanismo de reacción entre las sustancias NO, NO2 y O3 .................. 136 Figura 5.12. Datos usados para el cálculo de la tasa de reacción fotolítica del NO2 a nivel del suelo y un ángulo de zenith solar igual a 40°........................... 137 Figura 5.13. Angulo de Zenith Solar ............................................................................. 138 Figura 5.14. Radiación solar global para los días 27, 28, 29 de febrero de 2021 medidos en la estación de medición IDRD. .............................................. 139 Figura 5.15. Expresión matemática del TSR. ............................................................... 139 Figura 5.10. Condiciones de borde del modelo bidimensional de dispersión de contaminantes atmosféricos. .................................................................... 140 Figura 5.16. Campo de velocidad en x simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá. ................................................................. 141 Figura 5.17. Campo de velocidad en y simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá. ................................................................. 141 Figura 5.18. Campo de viscosidad turbulenta simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá. .......................................... 141 Figura 5.19. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el primer caso solucionado. ......................................................................... 142 Figura 5.20. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el primer caso solucionado. ......................................................................... 143 Figura 5.21. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el primer caso solucionado. ......................................................................... 144 Figura 5.22. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el primer caso solucionado. ......................................................................... 145 Figura 5.23. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el primer caso solucionado. ......................................................................... 146 Figura 5.24. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el primer caso solucionado. ......................................................................... 147 Figura 5.25. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO y O3 para el primer caso de Baker [38]. La línea continua y discontinua representan el perfil de concentración para un tiempo de simulación de 90 y 60 segundos respectivamente....................................................................... 148 Figura 5.26. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO, NO2 (A) y O3 (B) para el segundo caso de Baker [38].La línea continua y discontinua representan el perfil de concentración para un tiempo de simulación de 90 y 60 segundos respectivamente .......................................................... 149 Figura 5.27. Campos de concentración de las sustancias NO (A), NO2 (B) y O3 (C) en el corredor vial de la carrera 35A a los 3600 segundos de simulación. ............................................................................................... 150 Figura 5.28. Dominio computacional implementado para el modelo tridimensional. ..... 151 Figura 5.29. ( ) (B) . 151 XVIII Lista de figuras Figura 5.30. Campos de velocidad en x (A), y (B), z (C), energía cinética turbulenta (D), disipación de energía cinética turbulenta (E) y viscosidad turbulenta (F) resultados del modelo CFD sobre el dominio computacional del sector urbano seleccionados. ...................................... 152 Figura 5.31. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de energía cinética turbulenta (B) y disipación d la energía cinética turbulenta (C). ........................................................................................... 153 Figura 5.32. Cortes transversales del dominio computacional de la intersección entre la carrera 35A y la calle 60 a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio. ............................................. 153 Figura 5.33. Campo de velocidad en x para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio................................................................................. 154 Figura 5.34. Campo de velocidad en y para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio................................................................................. 154 Figura 5.35. Campo de velocidad en z para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio................................................................................. 154 Figura 5.36. Campo de viscosidad turbulenta para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio. ........................................................................ 155 Figura 5.37. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1. .............................................................. 155 Figura 5.38. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2. .............................................................. 156 Figura 5.39. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1. .............................................................. 156 Figura 5.40. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2. .............................................................. 157 Figura 5.41. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1. .............................................................. 157 Figura 5.42. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2. .............................................................. 158 Lista de tablas Tabla 1.1 Tabla 1.2. Tabla 1.3. Tabla 2.1. Tabla 2.2. Tabla 3.1. Tabla 3.2. Tabla 3.3. Tabla 3.4. Tabla 3.5. Tabla 4.1. Tabla 4.2. Tabla 4.3. Tabla 4.4. Tabla 4.5. Tabla 4.6. Tabla 4.7. Tabla 4.8. Tabla 4.9. Tabla 4.10. Tabla 4.11. Tabla 4.12. Pág. Valor de constantes empíricas del modelo Standard k-ε ............................ 17 Valor de constantes empíricas del modelo Realizable k-ε .......................... 18 Valor de constantes empíricas del modelo RNG k-ε .................................. 20 Números de Schmidt usados en estudios de transporte de contaminantes sobre entornos urbanos [107]. ............................................ 39 Velocidades de reacción. ............................................................................. 42 Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un elemento cuadrilátero lineal. ........................................................................ 52 Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un elemento hexaédrico lineal. ......................................................................... 55 Formulación cuadratura Gaussiana para elementos de diferentes dimensiones. ............................................................................................... 58 Coordenadas de los puntos a evaluar en el elemento y valor de los pesos para (A) un elemento unidimensional, (B) un elemento bidimensional y (C) un elemento tridimensional. .......................................... 59 Métodos de solución temporal del esquema de Theta ................................ 60 Problemas de prueba. ................................................................................. 74 Planteamiento del problema de rotación de cuerpos sólidos. ...................... 75 Formulación del campo de concentración inicial. ......................................... 76 Planteamiento del problema de transporte de una campana Gaussiana. .... 78 Velocidades de reacción y Concentraciones iniciales para el problema de ROBER. .................................................................................................. 82 Concentraciones de sustancias, Velocidades de reacción, coeficientes difusivos y Concentraciones iniciales usados en el sistema de “B ” ............................................................................................... 85 Características del modelo numérico para solucionar el sistema de “B ” ............................................................................................... 85 Mecanismo de reacción simplificado. .......................................................... 92 Mecanismo de reacción completo................................................................ 97 Mecanismo de reacción completo con ácidos. ........................................... 103 F .............................................................. 110 Variables respuesta del diseño factorial multinivel para el estudi .............................................................. 111 XX Lista de tablas Tabla 4.13. Representación de los factores de diseño. ................................................. 113 Tabla 4.14. Diferencias en concentración de las sustancias NO y O3 entre los modelos acoplado y en Split. ...................................................................... 122 Tabla 4.15. Diferencias en concentración de la sustancia NO2 entre los modelos acoplado y en Split. .................................................................................... 122 Tabla 5.1. Parámetros de los perfiles de velocidad, energía cinética turbulenta y disipación de la energía cinética turbulenta para la construcción de la condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. ................................................ 128 Tabla 5.2. modelos físicos tridimensional y bidimensional. ......................................... 132 Tabla 5.3. Clasificación vehicular de la campaña sobre la carrera 30. ........................ 134 Tabla 5.4. Longitud transversal de las vias que componen la carrera 30 entre las calles 57 y 61. ............................................................................................ 135 Tabla 5.5. Emisiones de NOx sobre la carrera 30. ...................................................... 135 Tabla 5.6. Masa molecular de las sustancias NO y NO2............................................. 136 Tabla 5.7. Emisiones de NO y NO2 sobre la carrera 30. ............................................. 136 Tabla 5.8. Emisiones de NO y NO2 sobre la calle 35A. .............................................. 136 Tabla 5.9. Concentraciones iniciales de las sustancias O2 y O3................................. 140 Tabla 5.10. Tasas de reacción para las reacciones químicas presentes en el problema de estudio. .................................................................................. 140 Tabla 5.11. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el primer caso solucionado. ............................................................................................... 145 Tabla 5.12. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el segundo caso solucionado. ...................................................................................... 147 Tabla 5.13. Emisiones de NO, NO2 y O3 en los dos casos de Baker. .......................... 149 Lista de símbolos y abreviaturas Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI Densidad Velocidad en la dirección | | t ti tf / Magnitud de la velocidad vectorial Coordenadas espaciales globales Tiempo Tiempo inicial de simulación Tiempo de simulación Paso de tiempo Presión Cargas externas al fluido Energía Temperatura Coeficiente de conductividad térmica ̅ ̅ ̅ ̅ Fuente/Sumidero de energía Presión filtrada con el método LES Velocidad filtrada con el método LES Presión media Velocidad media Velocidad media Numero adimensional de Prandtl turbulento Fuente de energía cinética turbulenta Fuente de disipación de energía cinética turbulenta Concentración de sustancias Flujo de emisión de contaminantes Altura efectiva de la fuente de contaminantes en chimeneas Posición de partículas. Tensor diagonal de difusividad - Definición XXII Lista de símbolos y abreviaturas Símbolo Término Fuente/sumidero de sustancias Componente fluctuante de la concentración de sustancias Coeficiente de difusividad molecular Transporte advectivo Transporte difusivo Coeficiente de difusión turbulenta Distancia media recorrida por una ̅ partícula sobre un campo de velocidades ̃ Varianza de la fluctuación de la velocidad Correlación entre las velocidades de dos puntos en el espacio Escala de tiempo lagrangiana Escala de longitud lagrangiana Separación entre partículas No. de partículas vecinas por unidad de separación Coeficiente dependiente de la tasa de disipación de la energía en el fluido Numero adimensional de Schmidt turbulento Coeficiente de difusión térmico turbulento Constante de von Karman Constante universal turbulenta Velocidad de fricción Unidad SI Definición - - - Tasa o velocidad de reacción ̌ Tasa especifica de reacción Numero de reacciones químicas presentes en el mecanismo Frecuencia de colisión de partículas entre sustancias Constante del gas Energía de activación Radio de las moléculas Constante de Boltzman Masa reducida de las sustancias Fotón de luz solar Frecuencia del fotón de luz Coeficiente de fotodisociación Flujo solar Funciones de ponderación - - Número de puntos de aproximación - Ejes coordenados locales Jacobiano - Numero de nodos por elemento Lista de símbolos y abreviaturas Símbolo Término | | Determinante del jacobiano Longitud característica del elemento Numero de Peclet adimensional XXIII Unidad SI Definición - Símbolos con letras griegas Símbolo Término Parámetro del esquema temporal Esfuerzo viscoso Unidad SI - Definición Viscosidad del fluido Viscosidad dinámica del fluido Delta Kronecker - Esfuerzo SGS Esfuerzo de Reynolds ̅ Energía cinética turbulenta Energía cinética turbulenta para los modelos SGS Viscosidad turbulenta Tensor de velocidad de deformación Magnitud del tensor de velocidad de deformación Disipación de la energía cinética turbulenta Coeficiente de expansión térmica Disipación especifica de energía turbulenta Desviación estándar de la dispersión de contaminantes para el método gauss Esfuerzo de cizalladura del viento Desviación estándar de la fluctuación de la velocidad. Longitud de onda Sección eficaz de absorción de las moléculas Rendimiento cuántico de fotolisis Angulo de Zenit Parámetro de perturbación - - Absorción de luz solar ° - XXI V Lista de símbolos y abreviaturas Abreviaturas Abreviatura FEM SUPG CFD DNS LES RANS DAG Término Finite element method Streamline upwind Petrov-Galerkin Computational fluid dynamics Direct numerical simulation Large eddy simulation Reynolds Average Navier-Stokes Diffusion-Advection-Reaction Introducción La contaminación del aire es un problema ambiental que se remonta aproximadamente a unos seis mil años atrás, cuando los seres humanos encendían fogatas en cuevas y cabañas contaminando el aire circundante. A partir de ese momento las actividades humanas han venido generando contaminación del aire como la observada por el filósofo romano Séneca en Roma en el año 61 a.C, o la encontrada en Londres en el siglo XI que originó la prohibición de la quema de carbón en la cuidad. Sin embargo el problema de contaminación actual, dentro las ciudades, se origina con la revolución industrial debido a la introducción de los combustibles fósiles como fuente primaria de energía, y es agravado por el uso masivo del automóvil unos años después. A lo anterior debe ser agregado el grave y vertiginoso incremento de la población durante el último siglo. En la actualidad los sectores industriales y el tráfico urbano son las principales fuentes de contaminación atmosférica, causantes de las altas concentraciones de polvo, hollín y smog [1]. Debido a los efectos nocivos que lleva consigo la contaminación atmosférica, esta ha pasado a ser de interés público, y desde mediados del siglo XX, tanto la comunidad científica, como las autoridades ambientales y las organizaciones de la salud han desarrollado arduos estudios sobre la contaminación en entornos urbanos como se observan en [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], donde realizan mediciones por medio de estaciones de monitoreo o predicciones por medio de simulación numérica de la concentración de los contaminantes, así como estimaciones de las fuentes móviles y fijas que se observan en las ciudades, de forma que se puedan desarrollar medidas adecuadas para intentar reducir la concentración de los contaminantes en la atmósfera; además de estudios de efectos a la salud pública como en [12]. Como conclusión de algunos de estos estudios, los investigadores encontraron que la contaminación no se ha estancado en las últimas décadas y que seguirá aumentando peligrosamente mientras no se encuentre una solución. 2 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá En algunos estudios como [3], [13] y [14], se afirma además que por encima del sector industrial de una ciudad, el tráfico urbano es la fuente más significativa de contaminantes, debido al aumento del parque vehicular no solo por las necesidades de la población para transportarse en la ciudad, sino también al aumento desmesurado de la población mundial en las últimas décadas. Asimismo en [15] se afirma que el entorno en el que se encuentran los focos que emiten contaminantes juega un papel importante frente a la concentración de los contaminantes debido a que no en todos los casos el entorno cuenta con las mismas características, y por tanto un espacio puede ser más propenso a la acumulación de contaminantes que otro. Las especies contaminantes seleccionadas en los estudios de contaminación atmosférica debido al tráfico urbano dependen esencialmente del tipo de combustible; para el caso de motores de gasolina, los contaminantes emitidos son esencialmente una mezcla de NO2 y NO, en la cual más del 90% es NO, además de CO e hidrocarburos debidos a la combustión incompleta como a diferentes factores como evaporación del combustible, escape de aceite, entre otros. Además en algunos combustibles se adiciona el tetraetilo de plomo para aumentar el índice de octano de los combustibles, y por esta razón es que se generan compuesto de plomo como fuentes de contaminación. En cuanto a los motores diesel, los contaminantes producidos son principalmente partículas sólidas (material particulado), lo que da lugar a los humos negros, hidrocarburos no quemados, NO y anhídrico sulfuroso. [1], [16]. Estas sustancias contaminantes presentan un fuerte impacto sobre la flora y la fauna circundante, afectando los recursos naturales como el agua y el suelo; y generando deterioro en las estructuras como edificios, estatuas, entre otras. Además llevan consigo un efecto nocivo para la salud humana, en especial en los grandes núcleos urbanos y áreas fuertemente industrializadas. Un ejemplo de esto es el CO, el cual es un contaminantes asfixiante que básicamente afecta los glóbulos rojos del organismo reduciendo la capacidad de los mismos para transportar oxígeno a los diferentes órganos, y por lo mismo afectando en gran medida las capacidades normales con las que cuenta el ser humano. Otro contaminante nocivo para la salud pública es el benceno, el Introducción 3 cual aumenta el riesgo de sufrir cáncer si se tiene un prolongado tiempo de exposición a este [12] y [17]. El material particulado o PM es un contaminante generado por motores diesel que también afecta la salud humana, este contaminante se relaciona con el aumento en la frecuencia de cáncer pulmonar, muertes prematuras, síntomas respiratorios severos, irritación de ojos y nariz, iniciación del asma y agravamiento en caso de enfermedades cardiovasculares [18]. Así mismo los óxidos de nitrógeno o NOx son contaminantes muy peligrosos para la salud humana debido a que son de los más tóxicos, estos afectan principalmente el tracto respiratorio produciendo enfermedades respiratorias como enfisema, bronquitis crónica, entre otros. El objetivo principal de los estudios de contaminación atmosférica es el diagnóstico del comportamiento de los contaminantes a través del tiempo, puesto que con esta información se puede planificar proyectos para reducir la concentración de contaminantes mediante métodos que faciliten la ventilación en los sectores más afectados, leyes que ayuden a controlar la contaminación, restricciones que eliminen la emisión de contaminantes, etc.; además de brindar ideas para una posible planificación territorial y determinación de puntos de monitoreo atmosférico en los sectores más importantes en relación a la magnitud de la contaminación. Esto puede observarse no solo en varias investigaciones presentadas en revistas de investigación, sino además en proyectos de tesis y software diseñados para el estudio de la calidad del aire a nivel de meso-escala como el presentado por meteosim en Barcelona, España o el CMAQ producido por CMAS. En la actualidad una de las herramientas más usadas para estudiar el comportamiento de los procesos físicos presentes en la naturaleza y provocados artificialmente es el modelado numérico, esto debido a que presenta grandes ventajas frente a otros métodos de estudio. Entre estas se encuentra la posibilidad de desarrollar el análisis tanto de procesos como de sistemas reales sin los inconvenientes de tiempo y costo que presentan los otros métodos de estudio. Por esto mismo es de gran utilidad en los procesos de diseño llevados a cabo en casi todos los campos de la ingeniería, algunos ejemplos de esto son el diseño de motores de combustión interna, de calderas, de 4 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá turbinas, de bombas, de aeronaves, de barcos, de automóviles, de circuitos electrónicos, de estructuras como edificios, entre otros. Por medio del modelado numérico se construyen representaciones matemáticas de procesos físicos para estudiar el comportamiento de los mismos frente a efectos llevados a cabo por diferentes factores. Para obtener una adecuada representación numérica es necesario seleccionar de manera cuidadosa el método matemático utilizado como base para la construcción de la simulación. Entre los métodos más usados se encuentran los métodos de pequeños subdominios que son representados por medio de un conjunto de ecuaciones algebraicas solucionadas por medio de diferentes técnicas algebraicas que son fácilmente implementadas computacionalmente. E diferencias finitas, el método de los volúmenes finitos y el método de los elementos finitos, este último es uno de los métodos más avanzados y además presenta excelentes resultados en la mayoría de los ámbitos donde ha sido usado [19]. Adicionalmente cuenta con varios complementos llamados técnicas de estabilización como es el caso del método de las líneas características y el método de Petrov-Galerkin en contracorriente o SUPG, los cuales son usados para reducir y eliminar las oscilaciones indeseables que aparecen debido a inestabilidades numéricas presentes en los modelos numéricos computacionales usados para simular el comportamiento físico de flujos de cualquier índole [20]. Debido a lo anterior el modelado numérico es una herramienta adecuada para estudiar el comportamiento de los contaminantes atmosféricos debidos a emisiones del tráfico urbano y cada vez más usada por la comunidad científica y las entidades encargadas del control de la calidad del aire en los centros urbanos. Uno de es el método de los elementos finitos o FEM no solo por presentar buenos resultados a la hora de modelar estos tipos de fenómenos físicos, sino también por los estudios que se han realizado para la eliminación de las inestabilidades que se presentan en estas herramientas. Introducción 5 El presente documento se estructura de la siguiente manera: en el siguiente capítulo se hace una revisión del estado del arte de los métodos de estudio llevados a cabo sobre la contaminación atmosférica tanto en los centros urbanos como en la atmosfera circundante así como del modelado de los flujos atmosféricos. El segundo capítulo se enfoca en el planteamiento del modelo numérico de transporte de masa para estudiar el comportamiento de las sustancias contaminantes. La formulación numérica por elementos finitos de la ecuación de transporte de masa es presentada en el tercer capítulo. En el cuarto capítulo se presentan los casos de prueba para comprobar el buen funcionamiento del modelo numérico, así como una adecuada representación de los procesos físicos. En el quinto capítulo se plantea el problema de dispersión de contaminantes atmosféricos debido a las sustancias contaminantes emitidas por el tráfico urbano en un sector de la ciudad de Bogotá. En la parte final del documento se presentan las conclusiones, así como una breve discusión sobre los trabajos futuros derivados de esta tesis. 1 Antecedentes y Justificación A partir de las múltiples investigaciones que se han realizado sobre la contaminación atmosférica en diferentes ciudades del mundo, así como del comportamiento atmosférico, no solo se ha llegado a conocer la variedad de contaminantes que se emiten al ambiente, sino también a comprender que el flujo de aire atmosférico interviene fuertemente en la distribución espacio-temporal de estos contaminantes, transportándolos y dispersándolos, al igual que le sucede a cualquier sustancia vertida dentro un fluido en movimiento. Debido a esto, varios de los estudios del comportamiento de los contaminantes en los entornos urbanos no solo se enfocan en los contaminantes en sí, sino en los flujos atmosféricos ya que estos afectan de manera significativa la concentración de contaminantes atmosféricos en las ciudades. Las investigaciones desarrolladas para analizar el comportamiento de los contaminantes en los entornos urbanos se efectúan por tres diferentes metodologías: la primera de estas se fundamenta en el método observacional (experimentos de campo) como los realizados en [21], [22] y [23], la segunda es por medio de los modelos físicos de flujos de contaminantes a través de túneles de agua o viento como en [24], [25] y [26], y finalmente por medio de los modelos numéricos como en [27], [28], [29], [30] y [31]. Es de destacar que debido al acelerado desarrollo de los sistemas de cómputo, así como de los métodos de cálculo numérico, las últimas investigaciones de dispersión de contaminantes se han centrado en el modelado numérico, relegando en muchos casos las demás técnicas a métodos de validación final. Un buen recuento de los más importantes trabajos y avances en el modelado de dispersión de contaminantes en la atmósfera es mostrado en [1]. En el estudio de la dispersión de contaminantes por medio de los modelos numéricos se incluye un modelo adicional implementado para capturar el comportamiento del flujo atmosférico debido a la importancia de este sobre los procesos de dispersión. Estos modelos son conocidos normalmente como Modelos de flujo atmosférico. 8 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 1.1 Modelos de flujo atmosférico. La simulación de los flujos atmosféricos se trata por medio de la dinámica de fluidos computacional o CFD por sus siglas en ingles. Esta es una rama de la mecánica de fluidos que implementa el modelado numérico como base para simular y analizar el comportamiento de los flujos mediante la solución de las ecuaciones que representan las leyes de conservación de la masa, del momento y de la energía en los fluidos [19] y [32]. La conservación de la masa de los fluidos es una ley fundamental de la materia por medio de la cual se especifica que sin importar los efectos que presenten sobre cualquier sustancia sea que afecten o no la concentración de esta, la masa de todo el sistema debe mantenerse sin cambios. La ley de la conservación de la masa es presentada en la ecuación 1.1. ( ui ) 0 t xi Donde y es la velocidad media del fluido en la dirección (1.1) respectivamente la densidad del fluido. Los fluidos que presentan cambios en el volumen capaces de alterar significativamente la densidad del mismo son llamados flujos compresibles y se rigen por medio de la ecuación 1.1, no obstante en casos en donde las densidades permanecen aproximadamente constantes a lo largo del espacio y del tiempo es posible considerarlos como incompresibles lo que conlleva a una simplificación de la ecuación que representa la conservación de la masa como se observa en 1.2. (ui ) 0 xi (1.2) Por otro lado la ley de conservación del momento es implementada para calcular los campos de velocidades que representan el movimiento de los fluidos en el espacio. Esta es una de las leyes más complejas de calcular de manera numérica debido a que la conservación del momento debe realizarse a través del espacio en cada una de las direcciones de manera acoplada. Las ecuaciones que representan la conservación del momento para fluidos newtonianos son llamadas ecuaciones de Navier-Stokes (Ec. 1.3). u j t p ij [( u j )ui ] gj xi x j xi (1.3) 1. Antecedentes y Justificación 9 u u 2 u ij i j ij k x j xi 3 xk Donde (1.4) es la velocidad media del fluido en la dirección es la densidad del fluido, viscosidad de los fluidos, y es la presión, respectivamente, es el esfuerzo viscoso (Ec. 1.4), es la es una fuerza externa como es el caso de la gravedad para la dirección perpendicular a la superficie del planeta. Por ultimo pero no menos importante se encuentra la ley de conservación de la energía, esta ley constituye el primer principio de la termodinámica que dice que la energía no puede crearse ni destruirse, solo se puede transformarse, por lo tanto la cantidad total de la energía siempre permanecerá constante. La representación matemática de la ley de conservación de la masa es presentada en 1.5. E T [ ui E ] pui ijui giui qH k t xi x j xi xi xi Donde es la energía, dirección presión, es la densidad, respectivamente, es el esfuerzo viscoso, es una fuerza externa y (1.5) es la velocidad media del fluido en la es la temperatura, la conductividad térmica, es la el coeficiente de conductividad térmica del fluido, es una fuente/sumidero de energía. En el caso de los flujos atmosféricos y en especial en los estudio de dispersión de contaminantes en las atmosferas urbanas y circundantes a estas, es simplificado el modelo de dinámica de fluidos computacional o CFD al estudio de un fluido incompresible esto principalmente a las bajas velocidades presentes en estos casos, lo cual conlleva al uso simplificado de las representaciones matemáticas de las leyes de conservación de masa y momento. Este sistema de ecuaciones usado para el estudio de fluidos incompresibles es conocido como ecuaciones de Navier-Stokes para flujo incompresible. Entre los métodos existentes para solucionar este sistema de ecuaciones se encuentran los métodos DNS, LES y RANS [19] y [33], estos modelos son los más usados no solo para el estudio de dispersión de contaminantes sino también para el estudio del 10 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. comportamiento de los fluidos en varias ramas de la ingeniería. A continuación se presenta una breve explicación de cada uno de estos métodos. 1.1.1 Método de solución DNS (Direct Numerical Simulation). Existen varios procesos físicos que se presentan sobre los fluidos en movimiento que dependen de diferentes factores relacionados con el tipo de fluido y las características del entorno en el que se encuentra. Uno de los más importantes es el proceso turbulento presente en la mayoría de los casos donde encontramos un fluido en movimiento, el análisis de este proceso es muy complejo y en la mayoría de los casos es necesario el uso de una combinación de datos experimentales y modelo matemáticos para poder simular el efecto de este sobre el fluido. E S las ecuaciones que representan las leyes de la conservación, entre estas las ecuaciones de Navier-Stokes y así poder simular y analizar el comportamiento de los fluidos. Sin embargo y debido a que este método soluciona directamente el sistema de ecuaciones es obligatorio usar una escala espacial lo suficientemente pequeña para capturar de manera adecuada el proceso turbulento como lo es la escala de kolmogorov. La escala de kolmogorov llamada así por Andrey Nikolaevich Kolmogorov que formulo esta teoría en 1941 [19], [34], es conocida como la escala donde ocurre el proceso de disipación de la turbulencia transformando la energía cinética en calor. Es Debido a lo anterior el método el DNS es uno de los métodos que cuenta con un gran costo computacional. En cuanto a modelos atmosféricos urbanos, se necesitaría de computadores con enormes capacidades para poder llegar a simular los flujos atmosféricos en un pequeño sector urbano, de manera completa por medio de este método. 1. Antecedentes y Justificación 11 1.1.2 Método de solución LES (Large Eddy Simulation). A diferencia del método DNS, en el método LES o large eddy simulation se realiza un filtrado espacial de las ecuaciones que representan las leyes de conservación, debido a esto es posible capturar el comportamiento del fluido pero solo hasta cierta escala, la cual es lo suficientemente grande para no incluir el proceso turbulento. Para representar lo que ocurre a escala más pequeña el método LES implementa un modelo adicional llamado SGS (sub-grid scale), con el que se incorporan los efectos en el fluido debido a la turbulencia, a la energía cinética y a la disipación de esta en calor. A diferencia del método DNS este método cuenta con un costo computacional mucho menor esto debido al filtrado espacial y al uso de un modelo de turbulencia que eliminan la necesidad de usar una escala tan pequeña como la micro-escala de Kolmogorov [19]. Debido al filtro espacial que se implementa en este método para representar el comportamiento de un fluido incompresible las ecuaciones de conservación de masa y de momento deben reformularse como en 1.6, 1.7 y 1.8 (ui ) 0 xi SGS 1 p 1 ij ij [u j ui ] gj t xi x j xi xi (1.6) u j u u j 2 u i ij k x j xi 3 xk ij (1.7) (1.8) Donde ̅ y ̅ son la presión y la velocidad filtras o de escala resoluble respectivamente. El tercer término en el lado derecho de la ecuación 1.7 surge de los términos conectivos no-lineales, este término es llamado SGS stress y es por medio de este que se incorporan los modelos SGS para resolver los procesos turbulentos que se llevan a cabo a pequeña escala [36]. Este método es muy usado para el estudio del flujo atmosférico dentro de las investigaciones de dispersión de contaminantes en entornos urbanos como se puede observar en [37], [38], [39], [40] y [41]. 12 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 1.1.3 Método de solución RANS (Reynolds Average NavierStokes). El método RANS se basa en la descomposición de las variables que describen el fluido como es el caso de la velocidad y la presión en una componente media, la cual es solucionada por medio de las ecuaciones que representan las leyes de la conservación, y una componente fluctuante debida a la turbulencia que debe ser simulada por medio de la implementación de un modelo de turbulencia conocidos con el nombre de Reynolds stress model. Este método es el más usado para describir el comportamiento de los flujos turbulentos debido principalmente a que los costos computacionales se encuentran muy por debajo de los requeridos por los métodos DNS y LES, y sus resultados son satisfactorios [19]. Debido a la descomposición realizada sobre las variables, para representar el comportamiento de un fluido incompresible las ecuaciones de conservación de la masa y de momento deben reformularse como en 1.9, 1.10 y 1.11 (ui ) 0 xi u j t (1.9) R 1 p 1 ij 1 ij [u j ui ] gj xi x j xi xi u u j 2 u i ij k x x 3 xk j i ij Donde ̅ y ̅ (1.10) (1.11) son la presión y velocidad media. El término adicional al lado derecho de la ecuación de momento surge de los componentes fluctuantes debidos a la turbulencia del fluido, este término es llamado Reynolds Stress y es por medio de este que se incorporan los modelos de turbulencia para resolver los procesos turbulentos. Adicionalmente ̅ se expresa como en 1.12 debido a lo planteado por la hipótesis de Boussinesq [42]. u u 2 u 2 ijR uiuj T i j ij k ij x j xi 3 xk 3 (1.12) 1. Antecedentes y Justificación 13 Este es el método más utilizado en los estudios de dispersión de contaminantes y algunos de estos estudios son [38], [43], [44], [45], [46], [47] y [48]. 1.1.4 Método de solución DES (Detached Eddy Simulation). Aunque los tres métodos presentados anteriormente son los más conocidos y usados, no son los únicos que han sido desarrollados para solucionar las ecuaciones de conservación, a medida que se han realizado avances se han creado nuevos métodos, como el método DES o Detached Eddy Simulation, el cual es un método hibrido que combina los mejores aspectos de los métodos LES y RANS, en el DES las regiones cercanas a los bordes del dominio son solucionadas como si se usara un método RANS, mientras que las demás regiones se solucionan de manera que se usara un método LES [49]. 1.1.5 Modelos turbulentos. Debido al filtrado que aplica el método LES a las ecuaciones de conservación o la descomposición de las variables realizada por el método RANS, es necesario implementar un modelo adicional para solucionar los componentes que fueron separados, de forma que la simulación del flujo llevado a cabo por medio de estos métodos se aproxime de buena forma a la realidad. Los modelos que han sido desarrollados para resolver los componentes separados se dividen en dos variantes, dependiendo del método de simulación numérica empleado. Para el caso del método LES los modelos son llamados modelos SGS y se encargan de modelar el comportamiento del fluido a pequeña escala, mientras que para el caso del método RANS los modelos se llaman modelos de turbulencia y se encargan se modelar el comportamiento fluctuante del fluido. 1.1.5.1 Modelos SGS o SUB-GRID SCALE MODELS. Para modelar las características turbulentas a pequeña escala que fueron filtradas al usar el método LES se han usado varios modelos, entre estos están el modelo de Smagorinsky (Smagorinsy model), el modelo dinámico a pequeña escala (Dynamic subgrid scale model) y el modelo dinámico de energía cinética a pequeña escala (Dynamic Subgrid Kinetic Energy model). 14 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 1.1.5.1.1 Smagorinsky model. El modelo de Smagorinsky fue propuesto por Smagorinsky y Lili en 1960, este es el más simple de los modelos usados para resolver el componente filtrado por el método LES, y por esto es uno de los más usados. Para modelar el comportamiento del fluido a pequeña escala, este modelo relaciona el término SGS stress con el tensor de velocidad de deformación o Strain rate tensor del espacio filtrado, basándose en la hipótesis de Boussinesq por medio de la ecuación 1.13 [36]. u u 2 u ijSGS T i j ij k x j xi 3 xk Donde (1.13) es la viscosidad turbulenta o eddy viscosisty, que es definida para este modelo como: T (C)2 S Para esta expresión matemática intervalos 0.1-0.2, (1.14) es una constante que se encuentra entre los es la escala de longitud del filtro y ̅ magnitud del tensor de velocidad de deformación donde 1 u u j Sij i 2 x j xi √ es la es: (1.15) La combinación del método LES con el modelo de Smagorinsky ha sido empleado en varios estudios relacionados con la dispersión de contaminantes en entornos urbanos. Algunos de estos estudios han sido plasmados en artículos como en [35], donde se presenta un estudio de los regímenes del flujo existente y sus valores umbral en un entorno urbano, usando diferentes relaciones de aspecto y relaciones de altura relativa; o en [42], donde se presenta el estudio del comportamiento del flujo atmosférico incluyendo los procesos turbulentos y el efecto de este sobre los contaminantes presentes en un entorno urbano. Otros estudios que usan el método LES y el modelo de Smagorinsky son [49], [50], [51], [52], [53] y [41]. 1. Antecedentes y Justificación 15 1.1.5.1.2 Dynamic sub-grid scale model. “ El Dynamic sub-g E ” g G rmano y su grupo de trabajo en 1991. Este modelo es sencillamente una modificación del modelo de Smagorinsky en donde el coeficiente de Smagorinsky pasa a ser una variable dependiente del espacio y del tiempo [35]. Al igual que el modelo anterior, el Dynamic subgrid scale model también ha sido empleado en estudios relacionados con la dispersión de contaminantes, como es el caso de [39], en el cual se realiza la simulación del comportamiento del flujo atmosférico y del contaminante en un modelo de entorno urbano. Otro estudio fue plasmado en [40], donde se usa un programa comercial para estudiar la estructura turbulenta del fluido y el mecanismo de dispersión asociado a este sobre el domino es un jardín cerrado el cual se asemeja a una cavidad. 1.1.5.1.3 Dynamic sub-grid kinetic energy model. El Dynamic Subgrid Kinetic Energy Model fue desarrollado por Kim y Menon en 1997. Este modelo es una variante del modelo original Dynamic sub-grid scale donde el coeficiente de viscosidad turbulenta depende de la energía cinética turbulenta y se calcula por medio de la ecuación 1.16 [54]. T (C)kSGS (1.16) La energía cinética turbulenta se define en la ecuación 1.17 y es calculada por medio de la ecuación de transporte 1.18. kSGS 1 2 uk uk2 2 3/2 ij u i ksgs kSGS T kSGS u j C kSGS t x j x j x j k x j (1.17) (1.18) Algunos de los estudios que usan el modelo Dynamic subgrid kinetic energy para desarrollar la simulación de flujo atmosférico y estudiar la dispersión de contaminantes han sido presentados en [55] y [56]. 16 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 1.1.5.2 Modelos de turbulencia (REYNOLDS STRESS MODELS). Para modelar la componente fluctuante debida a la turbulencia de los fluidos filtrada al usar el método RANS se han desarrollado varios modelos, entre estos se encuentran los modelos de dos ecuaciones omega ( - -epsilon ( - models), los modelo de dos ecuaciones - models) y el modelo de Reynolds Stress o Reynolds Stress model (RSM). -ε MODEL. 1.1.5.2.1 El modelo de dos ecuaciones k-épsilon ( - ) fue propuesto inicialmente en 1968 por Harlow y Nakayama, pero el desarrollo de este método se realizó hasta el año 1972 por Jones y Launder. Este es uno de los modelos más comúnmente utilizados para solucionar la componente filtrada por el método RANS por esto es considerado un modelo turbulento estándar en la industria. El modelo se compone de dos ecuaciones para representar la turbulencia de los flujos. La primera ecuación (Ec. 1.19) define la energía cinética turbulenta que se representa con la variable ( ), mientras que la segunda (Ec. 1.20) define la disipación de la energía turbulenta representada con la variable ( ) [42], [57]. 1 [ ui ] t xi x j R T ij u j F T T S x j xi PrT xi 1 [ ui ] t xi x j T x j R ij u j F T T 2 C 1 C 3 C S xi PrT xi 2 ⁄ Donde (1.19) es la viscosidad turbulenta, ⁄ (1.20) es el número adimensional de Prandtl turbulento para energía que oscila entre 0.7 a 0.9, ⁄ ⁄ turbulencia, es el coeficiente de expansión térmica, es una carga externa, y es la difusividad térmica por son las fuentes de energía cinética turbulenta y de disipación de la energía cinética turbulenta respectivamente y son las constantes empíricas del modelo de turbulencia. 1. Antecedentes y Justificación 17 Este modelo está compuesto por tres variantes que son conocidas como Standard model, Realizable - model y RNG - model. 1.1.5.2.1.1 STANDARD -ε MODEL. El modelo estándar -épsilon fue desarrollado en 1974 por Launder y Spalding. En este modelo se especificaron los valores de las constantes empíricas, que se encuentran en las ecuaciones usadas para definir la energía cinética turbulenta y la disipación de energía cinética turbulenta, como se muestra en la Tabla 1.1 [58]. Tabla 1.1 Valor de constantes empíricas del modelo Standard k-ε. Constantes Valor C 0.09 C 1 C 2 C 3 1.44 k PrT ScT 1.92 1.44 1.0 1.3 0.7 0.9 Esta primera variante solo puede ser usada para predecir los flujos completamente turbulentos. Adicionalmente presenta algunas desventajas como son la inexacta predicción de los flujos en donde se presentan altos gradientes de presión, separación del fluido debido a la forma del dominio y rápidos cambios de dirección del fluido, además de su falta de aplicabilidad en las subcapas viscosas cerca de los contornos del modelo, debido a esto no es muy adecuado para estudios del flujo sobre mecanismo como compresores, toberas, etc. No obstante este modelo es usado frecuentemente en estudios de dispersión de contaminantes y ha demostrado predecir adecuadamente la componente turbulenta de los flujos atmosféricos en entornos urbanos como en [43], donde se realiza una simulación del flujo atmosférico y la dispersión de contaminantes en un sector urbano para entender los procesos dinámicos que ocurren en el fluido y como estos afectan a la dispersión del contaminante concluyendo que el método numérico es capaz de predecir razonablemente bien el flujo como la dispersión de contaminantes. También en [59], se 18 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. presenta un estudio del flujo y la dispersión de contaminantes en un entorno urbano, en el cual compraran los resultados de la simulación numérica con datos obtenidos en un estudio experimental y concluyen que los resultados de la simulación numérica se adecuan razonablemente bien a los obtenidos con el estudio experimental. Otros estudios que usan el modelo estándar 3.1.1.1.1.2. REALIZABLE épsilon son [28], [33], [60], [61] y [62]. -ε MODEL La variante desarrollada por Shih, Liou, Sabbir y Zhu en 1995 presenta una modificación de la ecuación de disipación de energía turbulenta así como en el coeficiente [63]. Esta variación es relativamente mejor que el modelo Standard -épsilon en los casos de alto gradiente, separación de flujos, flujos rotacionales, flujos libres, entre otros [64]. La nueva ecuación de disipación de energía turbulenta deducida en este modelo es presentada en 1.21 [63], [64]. 1 [ ui ] t xi x j T x j F T T 2 C 1 S C 3 S C 2 PrT xi Donde es la viscosidad cinemática del fluido. Asimismo el coeficiente (1.21) pasa a ser dependiente del flujo medio y de las propiedades turbulentas del fluido. Adicionalmente el valor de las demás constantes empíricas para este caso es presentado en la Tabla 1.2 [65]. Tabla 1.2. Valor de constantes empíricas del modelo Realizable k-ε. Constantes Valor C 1 max 0.43, / (5 ) C 2 1.9 C 3 1.44 k PrT ScT 1.0 1.2 0.7 0.9 1. Antecedentes y Justificación Donde ̅ 19 ⁄ . Este modelo no es tan utilizado como el Standard j -ε atmosféricos y la dispersión de contaminantes en un entorno urbano, sin embargo existen algunos estudios como el presentado en [65], en el cual realiza un estudio de dispersión de contaminantes emitidos por una chimenea en el techo de un edificio y en [66] en el que se realiza una comparación entre el modelo -épsilon y un modelo experimenta para concluir que aunque el modelo numérico presenta resultados aproximados al diseño experimental se encuentra sobrevalorados cerca de los bordes del dominio. 1.1.5.2.1.2 RNG -ε MODEL. La variante RNG -epsilon o Re-normalization Group -epsilon model fue propuesta por Yakhot y Orszag en 1986 y desarrollada por Yakhot y Smith en 1992. En esta variante se usa el método re-normalization group o RNG para renormalizar las ecuaciones de NavierStokes lo cual conlleva a una modificación en la ecuación de disipación de la energía turbulenta así como en las constantes empíricas del modelo. Debido a la implementación del método RNG, este modelo contempla el movimiento que contribuye a la difusión turbulenta en todas las escalas de movimiento lo que conlleva a una mejor predicción de los procesos turbulentos a costo de usar entre el 10 al 15% más de tiempo de simulación que el modelo estándar -ε [67]. La ecuación de disipación de la energía turbulenta es modificada obteniendo la ecuación 1.22 [68]. 1 [ ui ] t xi x j T x j R ij u j F T T 2 C 1 C 3 C*2 S xi PrT xi El nuevo término (1.22) que se presenta en la ecuación 1.22 por medio de la ecuación 1.23 20 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. C 3 1 0 C*2 C 2 3 1 Donde ̅ ⁄ , ̅ √ , y (1.23) ̅ . Asimismo el valor de las constantes empíricas es presentado en la Tabla 1.3 [67]. Tabla 1.3. Valor de constantes empíricas del modelo RNG k-ε. Constantes Valor C 0.0845 C 1 C 2 C 3 k 1.42 PrT ScT 1.68 1.42 0.7194 0.7194 0.7 0.9 Al igual que el modelo k-épsilon estándar esta variante también es ampliamente utilizada en los estudio de dispersión de contaminantes para solucionar la componente turbulenta de los flujos atmosféricos. Uno de los estudios que implementa este modelo es presentado en [68] donde además de simular los flujos atmosféricos y la dispersión de contaminantes también se tiene en cuenta los procesos reactivos entre especies contaminantes y el calentamiento de las superficies debido a la irradiación solar. También en [69] usan el modelo RNG -épsilon para estudiar los efectos de la dirección del viento en el flujo atmosférico urbano mostrando que los cambios en la dirección afectan la circulación del flujo atmosférico y en consecuencia la distribución espacial de los contaminantes. Otros artículos donde se expone el uso del modelo RNG -épsilon son [70], [71], [72], [73] y [74]. 1. Antecedentes y Justificación 1.1.5.2.2 21 -ω MODEL. Este modelo fue el primer modelo de turbulencia de dos ecuaciones que se construyó, fue desarrollado por Kolmogorov en 1942. Al igual que el modelo -épsilon es usado para solucionar la componente turbulenta y cuenta con dos ecuaciones que representan la turbulencia de los flujos. La primera ecuación define la energía cinética turbulenta que se representa con la variable ( ), mientras que la segunda define la disipación especifica que se representa con la variable ( ) [75]. Este método presenta mejores resultados que el modelo -epsilon al predecir el comportamiento de los fluidos cerca de las superficies de contorno donde se presentan las capas límite de los fluidos, pero a su vez es más inexacto al momento de describir los procesos físicos lejos de estas. Asimismo es un modelo numéricamente estable, especialmente a bajos números de Reynolds en donde obtiene soluciones más rápidamente y a un menor costo computación que el modelo -épsilon [75], [76]. Algunos de los estudios de dispersión de contaminantes que han implementado este modelo de turbulencia son [48], [77] y [78]. 1.1.5.2.3 REYNOLDS STRESS MODEL. E R ” “ “R - ” “S ” “S - -order g” Launder en 1975 y a diferencia de los anteriores modelos resuelve directamente el término Reynolds Stress sin usar el concepto de viscosidad turbulenta [79] y [80]. Para esto los componentes del término Reynolds Stress se calculan por medio de la inclusión de 4 a 6 ecuaciones diferenciales parciales no lineales dependiendo si se trabaja en 2 o 3 dimensiones [81] y [82]. Debido no solo al número de ecuaciones sino al acoplamiento entre ellas, se requiere de un esfuerzo de cálculo considerable para que el modelo converja. Sin embargo es considerado el mejor modelo de turbulencia debido a que predice el comportamiento turbulento de los fluidos de manera precisa aun en los casos más complejos. Algunos ejemplos son la simulación de flujos rotacionales a gran escala, flujos altamente turbulentos dentro de cámaras de combustión, flujos rotacionales y secundarios en pasaje y ductos. 22 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. El modelo RSM también es usado en el estudio de dispersión de contaminantes en la atmosfera. Algunos artículos donde se usó este modelo para la solución del componente turbulento del fluido fueron [82], en donde se demuestra que este modelo es la mejor alternativa en comparación al modelo -épsilon, debido a que predice la energía cinética turbulenta y la disipación de energía con mayor precisión, y [83] donde concluyen que el modelo RSM presenta resultados más reales de los campos de flujos de aire alrededor de los edificios que los modelos Standard -epsilon y RNG -epsilon. 1.2 Modelos de transporte de sustancias sobre entornos urbanos. Debido a las dificultades que conlleva el simular y predecir de manera adecuada el comportamiento de los flujos atmosféricos sobre los entornos urbanos los modelos de transporte que se han desarrollado hasta el momento se han centrado en estudiar la dispersión de contaminantes sobre dominios idealizados como es el caso de los entornos geométricos llamados corredores urbanos. Este último es una adecuada traducción para “S ” (Figura 1.1), nombre original para este dominio en particular. A B Figura 1.1. Corredor urbano europeo (A) y representación bidimensional de un corredor urbano donde se presenta el campo de rotación del flujo atmosférico (Dabberdt et al., 1973) (B). Este problemas se estudia comúnmente por medio de modelos tridimensionales debido a las geometrías complejas que se presentan en los entornos urbanos y que no pueden ser 1. Antecedentes y Justificación 23 capturada desde una perspectiva bidimensional, sin embargo en algunos casos de gran interés para el estudio de la calidad del aire, como son los sectores residenciales de las ciudades presentan un esquema repetitivo que puede ser tratado a través de modelos bidimensionales sin incurrir en errores. Las primeras investigaciones para el estudio del comportamiento de los contaminantes dentro de los entornos urbanos son los realizados por Johnson et al. [84] en 1971, Ludwing y Debberdt [85] en 1972, Debberdt et al. [86] en 1973, Hotchkiss y Harlow [36] en 1973 y Nicholson [43] en 1975. Desde estos primeros intentos hasta el día de hoy, se han realizado numerosas investigaciones, enfocadas al estudio de la sensibilidad de diferentes factores que influyen en el comportamiento de los contaminantes en los entornos urbanos. Algunos de estos factores son: - la geometría del entorno urbano: la cual es incorporada al estudio por medio de diferentes parámetros, como la relación de aspecto que representa la relación entre la distancia entre edificio a lado y lado de una calle y la altura de los mismos, así como la altura relativa de los edificios, algunos de los estudios donde analizan los entornos urbanos por medio de estos parámetros son [28], [29], [43] [52] y [87]. - las reacciones químicas: dado que las reacciones químicas generadas al interior del gas contaminante y/o con el oxígeno atmosférico pueden cambiar la distribución de concentración al producir y consumir una u otra especie química además de provocar cambios en la temperatura del ambiente circundante. Aunque no se encuentran muchos trabajos que incorporen estos términos reactivos en los procesos de dispersión atmosférica de contaminantes, algunos trabajos que esbozan estos efectos son [37], [92], [88] y [89]. - la temperatura: que afecta el comportamiento del flujo atmosférico, llevando a un cambio en la dispersión de los contaminantes, así como también a variaciones en las tasas con la que se desarrollan muchas de las reacciones químicas involucradas. Algunos estudios que incorporan el efecto de la temperatura se encuentran en [30] y [67]. - el flujo atmosférico: es el factor que más influye sobre este tipo de fenómenos, pues además de definir la magnitud de los términos de transporte, las componentes 24 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. turbulentas de los campos de velocidad modifican significativamente los procesos de dispersión, jugando un papel preponderante en la caracterización de los términos de difusión (difusión turbulenta) [28], [29], [30], [87]. Adicionalmente la magnitud y dirección de la velocidad de entrada del flujo de aire al entorno define la forma del flujo al interior del mismo, tal como se presenta en [28], [29], [77] y [90]. Asimismo existe un amplio espectro de métodos de solución numérica implementados en los estudios de dispersión de contaminantes así como en varios problemas de flujo como de dispersión que implican la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales entre estas la de Difusión- -Reacción. Efectivamente muchos de los trabajos desarrollados en forma previa emplean técnicas como las diferencias finitas [47], [52], [91], los elementos finitos [55] y los volúmenes finitos [28], [31], [40], [43], [46], [67], [76], [77], [88], [92] entre otros. Con el fin de reducir los costos computacionales demandados por la solución numérica, algunos modelos de flujo atmosférico y dispersión de contaminantes son reducidos a dos dimensiones, como en [28], [45], [52], [92], aunque son muchos los estudios en los que se implementan soluciones tridimensionales, como se observa en [40], [43], [46], [93]. Adicionalmente la selección del esquema de solución depende de las capacidades computacionales con las que cuenta el autor y las necesidades del estudio. Cabe aclarar que aunque los resultados de los modelos 2D y 3D tienen sus diferencias [28], las dos variantes logran representar el flujo y la dispersión de contaminantes en calles razonablemente bien, esto es demostrado en [28], [29], [43] y [93]. En conclusión, en muchos de los estudios mencionados, las diferentes variantes y metodologías empleadas para el análisis del comportamiento del contaminante en un entorno urbano, se ha logrado, además de caracterizar el comportamiento del flujo y la circulación entre las calles, ponderar el efecto de varios factores como la geometría del modelo, la trayectoria de los flujos atmosféricos, la intensidad turbulenta, entre otros [28], [29], [30], [31], [47], [52], [76], [87]. El presente proyecto pretender el desarrollo de una formulación por elementos finitos para la solución de una ecuación de Difusión- -Reacción, dentro de un modelo para ser utilizado en el análisis de la dispersión de los contaminantes en un entorno urbano caracterizado por la presencia de edificaciones y construcciones urbanas además 1. Antecedentes y Justificación 25 de fuentes de contaminación vehicular fijas. Dentro de esta formulación será necesario el estudio del flujo atmosférico turbulento al interior de este dominio específico, empleando las ecuaciones de Navier-Stokes, un modelo de turbulencia y un software de dinámica de fluidos computacional. Más allá de lograr modelar los fenómenos de transporte y dispersión para una masa de gas, se pretende incorporar al modelo los términos reactivos y por ende sus efectos, que tiene origen en la cinética de reacción de las especies químicas que componen los gases contaminantes y el aire atmosférico. Los términos reactivos permiten analizar y diferenciar la forma como diferentes especies químicas que hacen parte de las emisiones contaminantes se concentra en diferentes zonas espaciales. Con esto se pretende aportar a los estudios previamente mencionados sobre la dispersión atmosférica de contaminantes en calles. Así mismo se pretende aplicar el modelo desarrollado a un ambiente urbano particular en la ciudad de Bogotá de modo que se muestre este tipo de análisis como valioso para estudios de contaminación ambiental futuros, una posible planificación territorial y la determinación de puntos de monitoreo de contaminación atmosférica en los sectores más importantes, además de ayudar a proveer de soluciones prácticas que contemplen la reducción de los niveles de contaminación. 2 Modelos de transporte de sustancias. El transporte de masa es un proceso físico que ocurre comúnmente en la naturaleza. Este proceso es el responsable de que sustancias y compuestos sean transportados y dispersados a través de diferentes entornos como son la atmosfera terrestre, los cuerpos de agua, entre los que se encuentran las aguas superficiales y las aguas subterráneas, y a través de sistemas de ingeniería como reactores, plantas térmicas y turbinas. Estas sustancias y compuestos pueden presentarse en varios de estos entornos debido a procesos naturales, como es el caso de la emisión de cenizas en los volcanes, las sustancias exhaladas por los organismos vivos, así como por procesos artificiales, como son la emisión de sustancias contaminantes debido a la combustión de combustibles fósiles o el vertimiento de aguas negras o sustancias contaminantes en ríos. Asimismo la industria basa muchos de sus procesos en este fenómeno, como es el caso de los laboratorios clínicos los cuales desarrollan los medicamentos por medio de un proceso de transporte de masa que termina en una deposición de partículas sólidas las cuales al ser aglomeradas conforman los medicamentos. Debido a la necesidad de entender mejor el comportamiento de este proceso físico se han desarrollado diferentes modelos numéricos capaces de replicar el transporte de masa a través de varios entornos físicos. Estos modelos se clasifican en modelos gaussianos, lagrangianos y modelos eulerianos. 2.1 Modelos Gaussianos. Este tipo de modelo es usado en los casos en los que el transporte de sustancias puede ser descrito exitosamente utilizando una distribución gaussiana, normalmente se usa para simular la dispersión de los contaminantes emitidos por chimeneas, presentes en plantas térmicas, carboneras, entre otras. 28 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 2.1. Trasporte de contaminantes con base en un comportamiento gaussiano. En este caso se considera que las sustancias luego de ser emitidas al entorno, son transportadas en una dirección y a una velocidad específica dependiendo del flujo y el proceso de dispersión se lleva a cabo por las turbulencias existentes en las direcciones perpendiculares al movimiento del fluido. Este modelo simula el proceso de dispersión por medio de la ecuación 2.1, desarrollada por O. G. Sutton en 1932 en [94], como se muestra en la Figura 2.1. y Q C ( x, y, z ) exp 2 y 2 u y z Donde 2 z H 2 z H 2 exp exp 2 z2 2 z2 es la concentración de contaminante en un punto con coordenadas es el flujo de emisión del contaminante, efectiva de la fuente y y es la velocidad del viento, (2.1) , es la altura son coeficiente de dispersión turbulenta que pueden ser expresadas como desviaciones estándar en las direcciones y y z respectivamente. 2. Modelos de transporte de sustancias. 29 Este modelo ha sido usado ampliamente para la predicción del comportamiento de los contaminantes que son emitidos a grandes alturas y algunos de los artículos que presentan este modelo como base del estudio son [95] y [96]. Sin embargo también puede ser usado en los estudios de dispersión de contaminantes vertidos en cuerpos de agua como los son los ríos, los océanos, entre otros. Este modelo es normalmente aplicado para predecir la dispersión de las sustancias en un ámbito no reactivo debido a que este fenómeno adicional, que existe comúnmente en la naturaleza, no es fácilmente acoplado, sin embargo existen algunos modelos gaussianos que comprenden los procesos reactivos pero para casos muy específicos. 2.2 Modelo lagrangianos (de partículas). Los modelos lagrangianos son modelos que usan un sistema de referencia que se ajusta al movimiento de las sustancias, lo cual significa que el análisis realizado por este medio es llevado a cabo por el seguimiento de un volumen de control que va cambiando su posición de acuerdo con la velocidad y la dirección del flujo. Estos modelos hace uso de un cierto número de partículas ficticias para predecir el comportamiento de una o varias sustancias presentes en un campo de flujo así como para estimar la concentración de las sustancias en diferentes lugares y tiempos dentro del dominio de simulación. Los efectos sobre las sustancias pueden ser modelados internamente entre cada partícula como es el caso del comportamiento reactivo entre sustancias, o por medio de la predicción de las trayectorias de las partículas, debido a los desplazamientos y choques efecto del campo de velocidades y las fluctuaciones turbulentas del flujo presente en el dominio. Adicionalmente por medio de las trayectorias es posible deducir la concentración y el comportamiento de los contaminantes en el entorno de simulación [97], [98]. 30 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 2.2. Modelado del transporte de contaminantes por medio de un esquema de trayectoria. Existe algunas variante del modelo lagrangiano entre estas el modelo de nubes g “L g g G ” E se predice el movimiento de las partículas efecto de los campos de velocidad y las fluctuaciones del fluido debido a la turbulencia por medio de un esquema lagrangiano y adicionalmente el comportamiento interno de las partículas se simula basándose en una distribución gaussiana de forma que las partículas van creciendo continuamente en volumen, dependiendo de los efectos dispersivos que se simulen por medio de esta. A diferencia del modelo estándar, en este modelo se puede presentar sobre posición entre partículas (nubes). Para obtener la posición de las partículas en el espacio en cada paso de tiempo, así como las trayectorias de las partículas sobre el dominio de simulación este modelo hace uso de la ecuación 2.2. xtpi1 xtpi t u( xt ) uit Donde es la posición de la partícula en el tiempo (2.2) , es el valor de la velocidad media del fluido en la posición donde se encuentra la partícula en el tiempo y es la velocidad de difusión debida a las fluctuaciones dadas por las vorticidades más pequeñas que no alcanzan a estar incluidas en el campo de velocidades [98] [99] [100] [101]. 2. Modelos de transporte de sustancias. 31 Varios autores han realizado estudios por medio del modelo lagrangiano tanto para analizar la trayectoria de las sustancias contaminantes, como en la investigación realizada por Ryu y Baik expuesta en [98], en el que se presenta un estudio de la trayectoria de las partículas en el interior de una cavidad urbana; como para predecir la concentración de los contaminantes en el interior de un entorno urbano, como en [93] y [102]. Este modelo es aplicado en evaluaciones de calidad de aire en donde se presentan grandes desplazamientos de las sustancias donde no es necesario una resolución muy grande para obtener una predicción adecuada del comportamiento de las sustancias, adicionalmente es adecuado para los casos en los que existen limitaciones en la información sobre las emisiones y el comportamiento del fluido presente en la región de simulación. Este modelo sin embargo presenta una gran desventaja y es que para modelar problemas que necesitan gran resolución requieren de una enorme cantidad de partículas para predecir de forma adecuada la concentración de las sustancias en el entorno de simulación y esto implica un costo computacional grande así como un costo temporal enorme. 2.3 Modelos eulerianos. Los modelos eulerianos son unos de los modelos más completos a la hora de modelar los fenómenos de transporte. Estos modelos se fundamentan en calcular para cada punto del espacio en cada instante de tiempo el valor de las propiedades y concentraciones de las sustancias contaminantes dependiendo de si estos ocupan o no los puntos en el instante específico. Para esto se describe numéricamente el comportamiento de las sustancias o compuestos contenidos dentro de un volumen fijo de manera global por medio de una ecuación de transporte conocida comúnmente como ecuación de difusión- -reacción (Ec.2.3). Ci [u j Ci ] t x j x j Ci Ki fi x j i 1,, Nc en Ω (2.3) 32 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Donde es la concentración media del contaminante , campo de velocidades del flujo presente en el dominio de simulación, diagonal de difusividad, representa el es el tensor es la fuente o generación externa para cada sustancia y es el número de sustancias o especies consideradas en el estudio [43]. Esta ecuación es modificada como en 2.4 para los casos en los que es necesario incluir los efectos debido a los fenómenos turbulentos, así como a procesos naturales relacionados directamente con la interacción entre sustancias como es el caso de los procesos reactivos. Otros procesos que pueden ser incluidos son los procesos fisicoquímicos como es el caso de la deposición que para un estudio atmosférico se deben principalmente a la humedad y la lluvia. Ci [u j Ci ] t x j x j Ci uj ci Ri fi Di x j x j En esta ecuación ̅ es la velocidad media del flujo, i 1,, Nc en Ω y son las fluctuaciones en la velocidad y la concentración respectivamente debidas a la turbulencia, difusividad molecular para cada sustancia , (2.4) es la es el término que representa los procesos reactivos entre sustancias. En la ecuación 2.4 el primer término representa la variación en el tiempo de las concentraciones de las substancias sobre un punto en específico dentro del entorno de simulación, es debido a esto que se conoce como derivada local o tendencia local en el tiempo. Los demás términos son presentados de manera más completa a continuación: 2.3.1 Término de advección. E movimiento de los fluidos causado por la variación de las propiedades como son la presión y la temperatura, así como por la presencia de otros procesos artificiales. El transporte advectivo ( ) se expresa como una función del campo vectorial de los fluidos a lo largo del dominio (Ec. 2.5). 2. Modelos de transporte de sustancias. 33 J a u j Ci Donde es la velocidad del fluido en la dirección sustancia . Remplazando (2.5) y es la concentración de la en la ecuación de conservación de las especies (Ec. 2 ) (E 2.7). c J t x j Ci [u j Ci ] t x j (2.6) (2.7) Como se puede observar esta ecuación es una simplificación de la ecuación 2.4, donde solo se incluyen los efectos de dispersión debido al movimiento de los fluidos. 2.3.2 Término de difusión molecular Este término considera la difusión molecular, que es un proceso físico que conlleva a la dispersión de las sustancias presentes en un espacio debido a los movimientos aleatorios que presentan sus moléculas. Por medio de este proceso las sustancias tienden a difundirse en el espacio hasta lograr una uniformidad de la concentración presente en el mismo, esto por medio del transporte de las sustancias desde regiones de alta concentración hacia regiones de baja concentración. Los movimientos moleculares que comprenden este tipo de difusión solo dependen de la temperatura, la viscosidad y el tamaño de las moléculas de las sustancias, debido a esto es que el proceso de difusión molecular se presenta aun cuando no existe una diferencia de concentración de los contaminantes en el espacio. La difusión de las sustancias en el espacio se representa matemáticamente por medio de la primera ley de Fick (Ec. 2.8). J d Di Ci x j (2.8) 34 Donde Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. es la tasa de transporte de sustancias por difusión, sustancia , es la concentración de la es el coeficiente de difusión para la sustancia que representa la facilidad en que una sustancia puede dispersarse en un fluido, y el signo negativo presente en la ecuación se debe a que el transporte de sustancias se realiza en sentido contrario al gradiente de concentración. Remplazando en la ecuación de conservación de las especies (Ec. 2.6) se obtiene la segunda ley de Fick (2.9) o ecuación de transporte de sustancias por difusión [103], donde se incluye el término de difusión molecular presente en la ecuación 2.4. Ci Ci Di t x j x j (3.9) 2.3.3 Término de difusión turbulenta. Este término considera la dispersión de sustancias debió a las fluctuaciones (turbulencia) presente en los fluidos. Este proceso llamado difusión turbulenta genera una deformación anisotr h fluctuaciones aleatorias presentes en los flujos turbulentos generando un efecto dispersor sobre las sustancias [104]. Los efectos turbulentos son incluidos en el modelo numérico por medio del segundo término de la derecha en la ecuación de difusión- -reacción (Ec. 2.4). Este término conocido como el término de difusividad turbulenta se encuentra relacionado con las fluctuaciones del flujo por medio de . Debido a la complejidad del cálculo directo del término turbulento, este último se modela por medio de la ecuación 2.10. uj ci Kci Donde Ci x j (2.10) es el coeficiente de dispersión turbulenta. Este coeficiente es el encargado de introducir los efectos de dispersión sobre las sustancias debido al comportamiento turbulento de los fluidos y debido a que la turbulencia no es un proceso isotrópico este coeficiente debe ser calculado para cada punto dentro del dominio. 2. Modelos de transporte de sustancias. 2.3.3.1 35 Estimación del coeficiente de difusión turbulento. 2.3.3.1.1 Estimación del coeficiente difusivo por medio de la teoría de Taylor. Uno de los primeros desarrollos para calcular la magnitud del coeficiente de difusión turbulenta fue por medio de los estudios de turbulencia de G. I. Taylor en 1921, donde demostró que el coeficiente de difusión turbulenta está fuertemente ligado a las propiedades del flujo. Taylor por medio de la ecuación 2.11, con la que se calcula la distancia recorrida de una partícula a través del tiempo, y considerando la variación del desplazamiento de la partícula debido a las fluctuaciones presentes en el flujo formulo la ecuación 2.12 [105]. t x u j d (2.11) 0 T t X 2 2u 2 R d dt (2.12) 0 0 Donde ̅̅̅̅ es la distancia media recorrida por la partícula, ̃ de la fluctuación de la velocidad y ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ es la varianza es el coeficiente de correlación entre los valores de velocidad de la partícula en cualquier instante y el valor de velocidad de la misma partícula después de un intervalo de tiempo . El coeficiente depende del intervalo de tiempo, donde para largos periodos de tiempo es igual a 0 mientras que para intervalos de tiempo próximos a 0 es igual a 1. Para calcular el tiempo máximo o la distancia máxima de recorrido de las partículas en el que es lo suficientemente grande para considerar que no se presentan fluctuaciones significativas debido a la turbulencia, se usan las ecuaciones 2.13 y 2.14. TL R d (2.13) 0 LL uTL Donde y (2.14) son la escala de tiempo lagrangiana y la escala de longitud lagrangiana respetivamente. 36 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Taylor por medio de la ecuación 2.13 reformulo la ecuación 2.12 para calcular la fluctuación de la distancia media recorrida por las partículas debido a la turbulencia presente en los fluidos (Ec. 2.15). dX2 2u 2TL dt (2.15) Para calcular el coeficiente de difusión turbulenta por medio de la ecuación 2.15, se considera la ecuación ⁄ que relaciona la desviación estándar de la distribución de la concentración a través del tiempo con el coeficiente de difusión. Considerando la distancia media recorrida de una partícula debido a la turbulencia equivalente a la desviación estándar de la dispersión de las partículas, el término de difusión turbulenta puede escribirse como 2.16. Kc u 2TL (2.16) Este coeficiente de difusión turbulenta solo puede ser usado cuando el intervalo de tiempo es superior a tiempo inferior a . Asimismo para el caso en el que se cuenta con un intervalo de , el coeficiente de difusión turbulenta es igual a 2.17. 1 Kc u 2t 2 Para este caso (2.17) no es constante y aumenta linealmente con el tiempo. 2.3.3.1.2 Estimación del coeficiente difusivo por Richardson. Richardson, el cual en 1926 investigo y demostró que la difusividad debido a la turbulencia está fuertemente ligada a la extensión espacial de la nube de la sustancia, es decir la dispersión de las partículas de la nube está ligada a la separación entre las mismas, describió la dispersión relativa por medio de una ecuación de difusión (Ec.2.18) [106]. q , t 1 2 2 F t q , t (2.18) En esta ecuación Richardson definió la variable , como la separación entre partículas y la función como el número de partículas vecinas por unidad de separación . Este “ - gh g h” E 2. Modelos de transporte de sustancias. 37 difusividad turbulento Richardson lo estableció de manera empírica siguiendo la ley de los 4/3, de forma que y por medio de la adición de una constante dependiente de la tasa de disipación de energía en el fluido, el coeficiente de difusión turbulenta quedo como , dond α disipación de la energía en el fluido. E implementando la micro-escala de Kolmogorov que fue propuesta por Kolmogorov en 1941, donde se presentan el coeficiente de disi g (ε) el coeficiente de difusión turbulenta fue reformulado obteniendo la ecuación 2.19. Kc k0 1 3 Donde 43 (2.19) es una constante adimensional. 2.3.3.1.3 Estimación del coeficiente difusivo por medio del número de Schmidt. Otra forma de calcular el coeficiente difusivo turbulento es por medio del número de Schmidt turbulento. Con este número es posible relacionar las ecuaciones de NavierStokes, discretizadas por medio de los métodos de solución LES o RANS, con la ecuación de transporte de sustancias. El número de Schmidt turbulento llamado así en honor a Ernst Schmidt, es un número adimensional definido como el cociente entre el coeficiente de difusión turbulento de cantidad de movimiento y el coeficiente de difusión de masa turbulento. Este número de Schmidt se define como en 2.20 [107], [108]. Sct Donde T (2.20) Kc es el número de Schimdt turbulento, es la viscosidad turbulenta y es el coeficiente de difusión de masa debido a la turbulencia. Este número es similar al número adimensional de Schmidt el cual relaciona la difusión molecular de cantidad de momento con la difusión de masa molecular y análogo en transferencia de calor al número de Prandtl turbulento, el cual se define como , donde fluido. es el coeficiente de difusión térmica debido a la turbulencia del 38 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. El número de Schmidt ha sido estudiado ampliamente por varios investigadores los cuales han desarrollado diferentes métodos de cálculo que se encuentran relacionados con las vorticidades, las difusiones moleculares y la distancia a las superficies sólidas. Un ejemplo es la ecuación 2.21, formulada usando el método estándar Monin-Obukhov por Sawford and Guest en 1988 [109]. Sct Donde T Kc vu* z C0 1 W4 u*4 m es la constante de von Karman, (2.21) es la cizalladura del viento adimensional, es la desviación estándar de la fluctuación en la velocidad vertical del fluido, disipación de energía cinética turbulenta, es una constante universal turbulenta y es la es la velocidad de fricción. Algunos de los números de Schmidt que han sido calculados y son usados hoy en día se presentan en la Figura 2.3 [110]. Figura 2.3. Numero de Schmidt turbulento como función de la altura [110]. En esta figura se presentan adicionalmente los resultados de un estudio experimental desarrollado por Konrad Koeltzch donde se modela la emisión de sustancias en tres alturas diferentes en un túnel de viento y se presentan los números de Schmidt calculados a diferentes alturas desde la superficie inferior. La dimensión de la altura en la figura es normalizada con el espesor de la capa límite igual a 90 mm. 2. Modelos de transporte de sustancias. 39 Entre los números de Schmidt más usados se encuentran presentado por Spalding en 1971 y con el cual los modelos numéricos presentaban grandes similitudes con los experimentos, y calculado por Launder en 1978 para la turbulencia cerca de las superficies sólidas. Para el caso del transporte de sustancias contaminantes sobre los entornos urbanos también se han desarrollado varios estudios para calcular el número de Schmidt. Algunos de los números de Schmidt calculados y normalmente usados en este caso de transporte de masa se presentan en la Tabla 2.1 [107]. Tabla 2.1. Números de Schmidt usados en estudios de transporte de contaminantes sobre entornos urbanos [107]. Sct Autor Año 0.63 Lien et al. Li y Stathopoulos Wang y McNamara Zhang et al. Brzoska et al. Delaunay Baik et al. Kim et al. Santiago et al. 2006 0.7 0.7 0.77 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 1997 2006 1996 1997 1996 2003 2003 2007 2.3.4 Término de fuente. Las diferentes fuentes de sustancias contaminantes que son emitidas a la atmosfera debido a fenómenos naturales como artificiales, son clasificadas en fuentes fijas y fuentes móviles. Las fuentes fijas son puntos de emisión de sustancias que se encuentran estáticas en el tiempo y que son representadas matemáticamente por medio del término fuente como una tasa de masa emitida al entorno por unidad de volumen. Algunos ejemplos de estas fuentes son las instalaciones industriales presentes dentro de las ciudades o en sectores alejados a los entornos urbanos, así como las instalaciones domesticas como es el caso de los sistemas de calefacción. 40 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Por otra parte las fuentes móviles a diferencia de las fuentes fijas se desplazan en el espacio como es el caso de los automóviles, los barcos y las aeronaves los cuales emiten sustancias contaminantes a la atmosfera mientras se encuentran en movimiento. Para modelar matemáticamente este fenómeno es necesario incluir el desplazamiento del punto o volumen de emisión, esto por medio de la adaptación de una función gaussiana o simplemente con el cambio de posición de la fuente en el espacio luego de un intervalo de tiempo. 2.3.5 Término de reacción. Entre las sustancias contaminantes presentes en la atmosfera se encuentran los contaminantes primarios, que son las sustancias emitidas directamente a la atmósfera tanto por las fuentes fijas como por las fuentes móviles, algunas de estas especies contaminantes que se emiten en los entornos urbanos son: Los compuestos de Azufre (SOx), que resultan de la oxidación del azufre presente en la quema de combustibles fósiles. Entre estos el compuesto de azufre emitido en mayores cantidades a la atmósfera es el SO2. Los hidrocarburos (HC), que resultan de la combustión incompleta en los vehículos son compuestos orgánicos que contienen carbono e hidrógeno, y al igual que SO2 se presentan en grandes cantidades sobre las ciudades. Los óxidos de nitrógeno (NOx), que resultan de la oxidación del N2 presente en la quema de combustibles fósiles. El óxido de nitrógeno o NO es un gas incoloro y toxico que resulta directamente de la oxidación incompleta del N2, mientras que el NO2 es un gas irritante y asfixiante proveniente de la oxidación del NO, siendo un subproducto en los procesos de combustión. Los óxidos de carbono, entre los cuales se encuentra el CO que es una sustancia tóxica producida por la quema incompleta de combustibles a base de carbono. Este contaminante se presenta en grandes cantidades en el interior y alrededor de las ciudades. Otro compuesto presente en esta familia es el CO2 el cual es una sustancia asfixiante para los seres vivos. 2. Modelos de transporte de sustancias. 41 Adicionalmente existen otras familias de sustancias presentes en la atmosfera que son resultado de las reacciones químicas entre las diferentes sustancias emitidas o presentes en la atmosfera. Estas sustancias son conocidas como contaminantes secundarios y algunos son: El SO3 que es un compuesto formado a partir del SO2 y es el responsable del smog así como del H2SO3, el cual es un contaminante secundario responsable de la lluvia acida. Este último se genera debido a la reacción química entre el SO3 y la humedad presente en la atmosfera. Y el NO3 que es otro contaminante secundario procedente de la oxidación del NO2 con el O3 y posee un papel importante en la formación del smog fotoquímico. Para contemplar estos contaminantes secundarios que se forman en la atmosfera es necesario adicionar un término a la ecuación de transporte de masa de las sustancias, este término llamado término reactivo es el encargado de modelar los procesos de formación y eliminación del contaminante mientras se encuentra en el dominio del problema. Para modelar estos procesos por medio del término de reacción se debe representar matemáticamente los mecanismos cinéticos por los cuales se llevan a cabo, así como la velocidad o cinética de reacción con que transcurren estas reacciones químicas, que depende de factores como la temperatura, la presión y las concentraciones de las sustancias involucradas en las reacciones. El término reactivo es básicamente una tasa de generación/eliminación de una sustancia contaminante debida a las reacciones químicas presentes en el sistema. Este término es expresado en 2.22. Ri ri Donde (2.22) es la tasa o velocidad de reacción de la especie presente en la reacción . La tasa de reacción se compone de dos parámetros como se observa en la ecuación 2.23. ri [ki ][ fc] (2.23) 42 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Donde [ ] es la tasa específica de reacción y [ ] es una función que depende de la concentración de las sustancias presentes en la reacción, así como del número de sustancias presentes en el proceso reactivo. La función [ ] fue determinada por medio de estudios experimentales debido a la necesidad de establecer la relación existente entre la velocidad de reacción de los mecanismos de reacción y de la concentración de las sustancias presentes en esta. Para el caso de una reacción molecular simple la función [ ] se define como en 2.24 [ fc] Cir Ckr Donde y (2.24) son coeficiente que representan el orden de reacción para cada sustancia. Para calcular las velocidades de reacción de las demás sustancias presentes en la reacción es posible usar la relación de los co observa en Tabla 2.2. Tabla 2.2. Velocidades de reacción. R Reacción química Velocidades de reacción a[ A] b[ B ] c[C ] d [ D] rA k AC A CB rB b / a rA rC c / a rA rD d / a rA r rA r r B C D a b c d Donde las letras en mayúscula representan las sustancias químicas y las letras en minúsculas los coeficientes estequiométricos. Para el caso en el que el sistema o mecanismo de reacción cuente con más de un proceso reactivo, lo cual ocurre normalmente en la naturaleza, es necesario primero calcular las velocidades o tasas de reacción netas de todas las sustancias como se observa en 2.25. ri ri ,1 ri ,2 Donde ri , Nr j 1 ri , j Nr (2.25) es el número de reacciones presentes en el mecanismo de reacción. Adicionalmente para calcular las tasas específicas de reacción es posible implementar 2. Modelos de transporte de sustancias. 43 algunos métodos como son la teoría del estado de transición, la ecuación de Arrhenius, la teoría de las colisiones, y en el caso en el que se presenten procesos reactivos debido a la irradiación solar la teoría de la fotodisociación. 2.3.5.1 Teoría del estado de transición. La teoría del estado de transición fue desarrollada por Eugene Wigner, Henry Eyring, Maichel Polanyi y Meredith Gwynne Evans en 1935.Esta teoría propone que para que se produzca un proceso reactivo entre sustancias, las moléculas primero necesitan llegar a un equilibrio químico donde se disocian formando un complejo activado para luego generarse los productos de la reacción. 2.3.5.2 Ecuación de Arrhenius. La ecuación de Arrhenius es una expresión matemática que fue formulada por Jacobus H ‘ H 1884 S h 1889 E presentada en 2.26, fue obtenida mediante observaciones experimentales para calcular entre otras cosas la dependencia de la tasa específica de reacción frente a la temperatura. k A e En la ecuación 2.26 la constante EA RT (2.26) representa la frecuencia de colisión entre sustancias y es calculada de manera experimental, es la temperatura, es la constante del gas y es la energía de activación que es la cantidad mínima de energía necesaria para que se genere el proceso reactivo. El valor de la constante así como de la energía de activación han sido calculados de manera experimenta y se pueden encontrar en la bibliografía. 2.3.5.3 Teoría de las colisiones. La teoría de las colisiones fue desarrollada por Max Trautz y William Lewis en 1918. Esta teoría propone que para producirse una reacción química, es necesario que se experimenten colisiones entre partículas. 44 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Esta teoría además permite la deducción teórica de la ecuación de Arrhenius dándole un sentido físico. La expresión matemática formulada por medio de esta teoría para calcular el valor de la tasa específica de reacción es presentada en 2.27. 1/2 k rA rB 2 E A 8kBT RT e r Donde ̆ y ̆ son los radios de las moléculas, es la masa reducida, (2.27) es la constante de Boltzman, es la temperatura, es la constante del gas y es la energía de activación que es la cantidad mínima de energía necesaria para que se produzcan las reacciones. 2.3.5.4 Teoría de la fotodisociación. Un caso especial que debe ser mencionado debido a que ocurre comúnmente en la atmósfera es la reacción de fotolisis o fotodisociación, este tipo de reacción se da por medio de la interacción entre uno o más fotones de luz y las moléculas de una sustancia. La fotolisis ocurre cuando los fotones que cuentan con suficiente energía para romper los enlaces químicos de las moléculas colisionan con estas últimas y dan lugar a la descomposición de las sustancias. Las reacciones de este tipo se representan normalmente como en 2.28. A hv B C Donde (2.28) representa el fotón de luz de frecuencia . Para este caso la tasa o velocidad de generación/eliminación está dada por ri [ J i ][Ci ] (2.29) Donde [ ] es el coeficiente de fotodisociación y es calculado usando la ecuación 2.30 1 J i a , T r , T I , d 2 Donde y (2.30) son el intervalo espectral sobre el cual las moléculas de la sustancia pueden disociar, se es la sección eficaz de absorción de las moléculas de la sustancia , es el rendimiento cuántico de la fotolisis y disociación molecular, es la temperatura y, es flujo solar capaz de causar la es la longitud de onda y es el Angulo de 2. Modelos de transporte de sustancias. zenit. La interacción entre y 45 representa el número de fotones que son absorbidos al colisionar con las moléculas de la sustancia [111]. El coeficiente de fotodisociación es homologa a la tasa específica de reacción por lo tanto en el caso en que se presente un proceso reactivo debido a la fotolisis en paralelo con otras reacciones químicas, como ocurre normalmente en el entorno atmosférico, es posible incluir directamente la tasa o velocidad de generación/eliminación debida al proceso de fotolisis en las velocidades de reacción netas. 2.3.6 Consideraciones. Debido a que la ecuación de difusión- -reacción se encuentra ligada al comportamiento de los flujos del entorno, es necesario incluir y solucionar las ecuaciones básicas de la dinámica de fluidos como son el principio de conservación de masas, del momento y de la energía, así como las ecuaciones necesarias para comprender los efectos de turbulencia del fluido, para un procesos de simulación de transporte de masa. [112] En algunos casos en los que las sustancias o especies que se presentan en el entorno de simulación exhiben valores de concentración lo suficientemente bajos, como es el caso de las especies contaminantes presentes en las atmosferas urbanas, es válido suponer que estas no afectan el comportamiento del fluido y por tanto la predicción del flujo realizado por medio de las ecuaciones básicas de la dinámica de fluidos puede obtenerse independiente del análisis de transporte de masa. Entre las ventajas que presenta este modelo está la facilidad de predecir el comportamiento de una o varias sustancias cuando se presentan esquemas complejos de emisión, un ejemplo de esto son los sectores industriales urbanos que presentan numerosas y diversas fuentes de emisión sobre un área específica. Asimismo en los casos en donde es importante tener en cuenta los procesos reactivos entre sustancias, debido a que pueden llegar a jugar un papel importante en el comportamiento de las sustancias, como es el caso de los estudios sobre contaminantes secundarios, los cuales solo son productos de la reacción entre los contaminantes que son emitidos a la atmosfera. Asimismo por su fácil implementación y su notable apreciación de diversos 46 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. efectos debidos a diferentes procesos presentes normalmente en esta clase de problemas. 2.3.7 Aplicación. Varias de las investigaciones que se han realizado por medio de los modelos eulerianos se basan tanto en el análisis del recorrido de los contaminantes, que a diferencia de los modelos lagrangianos, se refiere a la trayectoria de la nube de los contaminantes, como en la predicción de la concentración de los mismos en el espacio dentro del dominio. [17] [28], [29] y [43]. Además en algunas de las investigaciones también se analizaron los efectos de los procesos naturales como en [76] donde se estudiaron las reacciones químicas y su efecto sobre la dispersión espacial y temporal de las sustancias, [70] donde se estudió el efecto del calentamiento de las superficies, debido a la irradiación solar, en el comportamiento del fluido así como en la dispersión de contaminantes y [30] donde se realizó un análisis de los efectos sobre el flujo y el transporte de sustancias debido a la interacción entre el proceso reactivo y el calentamiento de las superficies dentro del dominio debido a la irradiación solar. En algunos casos también se analiza la perturbación sobre los flujos y el transporte de masa debida al constante cambio en el entorno como es el caso de los automóviles en movimiento [113]. Otros estudios presentados sobre el comportamiento de las sustancias contaminantes sobre un ambiente urbano son presentados en [5], [12], [20], [36]. 3 ormulación por elementos finitos de la ecuación de difusión-ad ección-reacción. Una de las técnicas numéricas comúnmente utilizada para solucionar la ecuación diferencial del transporte de sustancias o ecuación de - -reacción (DAR) es el método de los elementos finitos o FEM por sus siglas en ingles. Este método es uno de los más precisos no solo por la capacidad de predecir de manera satisfactoria la mayoría de los fenómenos físicos que se presentan en la naturaleza, sino además por la capacidad de eliminación de inestabilidades numéricas [114]. 3.1 Planteamiento del método de los elementos finitos. El método de los elementos finitos o FEM por sus siglas en inglés g equeñas sub-regiones o elementos compuestos por un número determinado de puntos llamados nodos que interconectan a los elementos formando una malla como se observa en la Figura 3.1. Figura 3.1. Discreti ación del dominio por medio del método de los elementos finitos. El primer paso de la implementación del método de los elementos finitos para solucionar la ecuación DAR (Ec. 3.1) es la aplicación del método de los residuos ponderados. Por 48 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. medio de esto se obtiene la formulación por residuos ponderados en la forma fuerte (Ec. 3.2). Ci [u j Ci ] t x j x j C Wl t i Ci Di x j x j C Kci i Ri fi x j d W [ u C ] d W l j i l x j x j (3.1) C Di Kci i x j d (3.2) Wl Ri d Wl f i d Donde son las funciones peso, representa las sustancias y la dirección de la derivada dependiendo de la dimensión del problema. Aplicando integración por partes sobre el término de segundo orden que representa el fenómeno de difusión se obtiene la forma débil de esta ecuación como se observa en 3.3. Wl d W [ u C ] d l j i x x j j C Di Kci i x j C Wl Ri d Wl fi d Wl Di Kci i d x j C Wl t i d Suponiendo una aproximación discreta elemental lineal para la variable (3.3) (Ec. 3.4), la ecuación de residuos ponderados debilitada pasa a ser escrita como en 3.5 No Cie N mCme ,i (3.4) m 1 Donde es la aproximación elemental lineal, es el número de puntos usados para la aproximación que es igual al número de nodos que presenta son las funciones de forma lineales definidas para el elemento, y son los valores nodales de la variable solución . Para el caso de un elemento unidimensional de dos nodos las funciones de forma son presentadas en la Figura 3.2. 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 49 -reacción. Figura 3.2. Funciones de forma para un elemento unidimensional lineal en coordenadas globales y locales respectivamente. e No e Cm ,i e Wl N m d t m 1 No W u N m d e Wl D Kc N m d e C e e l j i i m ,i e e x j x j x j m 1 e C e e i d e e Wl Ri d e Wl f d e Wl Di Kci x j (3.5) Adicionalmente la ecuación 3.5 es mapeada a un sistema coordenado local para facilitar el proceso de resolución de las ecuaciones así como el cálculo de las funciones de forma, como se observa en 3.6. No Cme ,i Wl N m J d j m 1 e t No W u N m J d Wl D Kc N m J d C e i l j e j i j m ,i x x x m 1 j j j e e e Ci d e Wl Ri J d j Wl f J d j e Wl Di Kci e x j e Donde (3.6) son los ejes coordenados locales y | | es el determinante del jacobiano que relaciona el espacio global con el espacio de mapeo. Por simplicidad la ecuación debilitada de residuos ponderados en coordenadas locales es presentada en su forma matricial (Ec. 3.7). [C ]e Donde Cme ,i t [ A]e [ D]e Cme ,i [ R]e [ F ]e (3.7) 50 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. No [C ]e Wl N m J d j (3.8) m 1 e No [ A]e Wl u j m 1 e N m J d j x j (3.9) Wl N Di Kci m J d j x j m 1 e x j No [ D]e [ R]e Wl Ri J d j (3.11) e [ F ]e Wl f J d j e Wl Di Kci e (3.10) Ci d e x j (3.12) Donde [ ] , [ ] , [ ] y [ ] son las matrices capacitiva, advectiva, difusiva y reactiva elemental y [ ] es el vector de cargas elemental. Para obtener la solución en el dominio global se debe ensamblar las ecuaciones elementales en su forma matricial (Ec. 3.7) de manera tal que la ecuación matricial resultante represente el comportamiento de la solución en la región completa del problema (Ec.3.13). [C ] Ci [ A] [ D] Ci [ R] [ F ] t (3.13) Donde [ ] es la matriz capacitiva, [ ] es la matriz advectiva, [ ] es la matriz difusiva, [ ] es la matriz reactiva y [ ] es l vector de cargas. 3.1.1 Aplicación de la técnica de estabilización de PetrovGalerkin en contracorriente o SUPG. En la formulación convencional de elementos finitos conocida con el nombre de BubnovGalerkin la función peso es considerada igual a las funciones de forma , no obstante en problemas altamente advectivos como es el caso de la dispersión de contaminantes atmosférico se presentan inestabilidades numéricas en la solución siendo necesario incluir una técnica de estabilización como es el método Petrov-Galerkin en contracorriente o SUPG. 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 51 -reacción. Por medio de la técnica de estabilización se realiza una modificación de las funciones de peso de forma que se afecte la ponderación de los resultados nodales y se reduzcan las oscilaciones presentes debido a los procesos altamente advectivos como se presenta en la Figura 3.3. La función peso modificada por medio del SUPG es presentada en la ecuación 3.14. Figura 3.3. Función de ponderación sin modificación y modificada por medio de la técnica de estabilización Petrov-Galerkin en contracorriente respectivamente. Wl N m Donde dirección h u j N m 2 j u x j (3.14) es la longitud característica del elemento, ̅ es la velocidad media en la , | | es la magnitud de la velocidad vectorial y es el parámetro de perturbación que se obtiene por medio de 3.15. 1 1 Pe 0 Donde Pe 1 (3.15) Pe 1 es el número de Peclet adimensional definido como | ̅| ⁄ . Por medio de la modificación de las funciones peso se introduce implícitamente una cierta cantidad de difusión artificial en los elementos solo en la dirección del campo de velocidades elemental para eliminar las oscilaciones producidas por las altas velocidades presentes en el modelo [115]. 52 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 3.1.2 Formulación bidimensional empleando elementos cuadriláteros lineales. Los elementos cuadriláteros lineales son elementos de primer orden bidimensional que se encuentran compuestos por cuatro nodos posicionados en las esquinas del mismo como se observa en la Figura 3.4. A B Figura 3.4. Elemento cuadrilátero lineal en coordenadas globales (A) y coordenadas locales (B). Las funciones de forma en coordenadas locales implementadas en la formulación por elementos finitos al utilizar estos elementos como base para el procedimiento de del dominio de estudio son presentadas en la Tabla 3.1 y la Figura 3.5. Tabla 3.1. Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un elemento cuadrilátero lineal. Propiedades Coordenadas globales Coordenadas locales Funciones de forma Valor x j ( x, y) j ( , ) j [1,1] 1 1 N1 (1 )(1 ) N3 (1 )(1 ) 4 4 1 1 N 2 (1 )(1 ) N 4 (1 )(1 ) 4 4 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 53 -reacción. A B C D Figura 3.5. Funciones de forma para un elemento cuadrilátero lineal. N1 (A), N2 (B), N3 (C) y N4 (B). Asimismo la matriz de transformación jacobiana así como su determinante deben ser calculados para este elemento en particular, de forma que se pueda relacionar el espacio global con el espacio local. La matriz de transformación jacobiana para este tipo de elemento es presentado en 3.16. x J x Donde y 4 xi i 1 y 4 xi i 1 Ni Ni Ni i 1 4 Ni yi i 1 4 x i (3.16) 54 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. N1 ( 1) 4 N 2 (1 ) 4 N 3 (1 ) 4 N 4 (1 ) 4 N1 ( 1) 4 N 2 ( 1) 4 N 3 ( 1) 4 N 4 (1 ) 4 (3.17) Y el determinante del jacobiano se expresa como en 3.18. J J11 J 22 J 21 J12 x y x y (3.18) Asimismo para un problema bidimensional la función de ponderación es expresada como en 3.19 debido a la implementación de la técnica de estabilización SUPG. Wl N m h ux N m u y N m 2 u x u y (3.19) Por último las integrales del dominio elemental deben remplazarse para un elemento bidimensional, debido a esto las matrices [ ] , [ ] , [ ] , [ ] y el vector [ ] se deben modificar como se observa en 3.19, 3.20, 3.21, 3.22 y 3.23 respectivamente. 1 1 [C ]e Wm N m J d d (3.19) N m N m [ A] Wmux J d d Wmu y J d d x y 1 1 1 1 (3.20) 1 1 1 1 1 1 e N N W W 1 1 x Di Kci xm J d d 1 1 y Di Kci ym J d d 1 1 [ D]e 1 1 (3.21) 1 1 [ R] Wm Ri J d d e 1 1 1 1 [ F ]e Wm f J d d e Wm Di Kci 1 1 Ci C d e e Wm Di Kci i d e x y (3.22) (3.23) 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 55 -reacción. 3.1.3 Formulación tridimensional empleando elementos hexaédricos lineales. Los elementos hexaédricos lineales son elementos de primer orden tridimensional que se encuentran compuestos por ocho nodos posicionados en las esquinas del mismo como se observa en la Figura 3.6. A B Figura 3.6. Elemento hexaédrico lineal en coordenadas globales (A) y coordenadas locales (B). Para la formulación tridimensional del método de los elementos finitos usando elementos hexaédricos lineales son implementadas las funciones de forma en coordenadas locales presentes en la Tabla 3.2. Tabla 3.2. Funciones de forma expresada en coordenadas locales para un elemento hexaédrico lineal. Propiedades Coordenadas globales Coordenadas locales Funciones de forma Valor x j ( x, y, z ) j ( , , ) j [1,1] 1 1 N1 (1 )(1 )(1 ) N 5 (1 )(1 )(1 ) 8 8 1 1 N 2 (1 )(1 )(1 ) N 6 (1 )(1 )(1 ) 8 8 1 1 N 3 (1 )(1 )(1 ) N 7 (1 )(1 )(1 ) 8 8 1 1 N 4 (1 )(1 )(1 ) N8 (1 )(1 )(1 ) 8 8 56 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. La matriz de transformación jacobiana para este tipo de elemento es presentado en 3.24. x x J x y y y z 8 xi i 1 z 8 xi i 1 z 8 xi i 1 Ni Ni Ni 8 x i 1 i 8 y i 1 i 8 y i 1 i N i N i N i N i i 1 8 N i zi i 1 8 N i zi i 1 8 z i (3.24) Donde N1 (1 )(1 ) 8 N 2 (1 )(1 ) 8 N 3 (1 )(1 ) 8 N 4 (1 )(1 ) 8 N 5 (1 )(1 ) 8 N 6 (1 )(1 ) 8 N 7 (1 )(1 ) 8 N8 (1 )(1 ) 8 N1 (1 )(1 ) 8 N 2 (1 )(1 ) 8 N 3 (1 )(1 ) 8 N 4 (1 )(1 ) 8 N 5 (1 )(1 ) 8 N 6 (1 )(1 ) 8 N 7 (1 )(1 ) 8 N8 (1 )(1 ) 8 N1 (1 )(1 ) 8 N 2 (1 )(1 ) 8 N 3 (1 )(1 ) 8 N 4 (1 )(1 ) 8 N 5 (1 )(1 ) 8 N 6 (1 )(1 ) 8 N 7 (1 )(1 ) 8 N8 (1 )(1 ) 8 (3.25) El determinante del jacobiano se expresa como en 3.26. J J11 J 22 J 33 J12 J 23 J 31 J 21 J 32 J13 J13 J 22 J 31 J 21 J12 J 33 J11 J 23 J 32 (3.26) La función peso es expresada como en 3.27 teniendo en cuenta la implementación de la técnica de estabilización SUPG. Wm N m h ux N m u y N m uz N m 2 u x u y u z (3.27) 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 57 -reacción. Por último las integrales del dominio elemental deben remplazarse para un elemento tridimensional, debido a esto las matrices [ ] , [ ] , [ ] , [ ] y el vector [ ] se deben modificar como se observa en 3.28, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32 respectivamente. 1 1 1 [C ]e Wm N m J d d d 1 1 1 (3.28) N m N m [ A] Wmux J d d d Wmu y J d d d x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e N m Wmu z J d d d z 1 1 1 1 1 1 (3.29) N W Di Kci m J d d d x x 1 1 1 1 1 1 [ D] e N W Di Kci m J d d d y y 1 1 1 1 1 1 (3.30) N W Di Kci m J d d d y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ R]e Wm Ri J d d d 1 1 1 (3.31) 1 1 1 [F ] e W f J d d d m 1 1 1 C C e Wm Di Kci i d e e Wm Di Kci i d e x y (3.32) 3.2 Integración numérica. Los métodos numéricos son una herramienta útil para solucionar integrales esto debido a que son más fáciles de solucionar lo cual conlleva a que presenten un costo mucho menor frente a una solución directa, adicionalmente la implementación de estos métodos es más fácil en especial cuando se necesita solucionar integrales complejas como las que se pueden presentar en las discretizaciones llevadas a cabo por medio de los elementos finitos. 58 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Uno de los métodos usado para solucionar las integrales presentes en la espacial llevada a cabo por medio del método de los elementos finitos es la cuadratura Gaussiana, este método de solución es uno de los métodos más precisos y adicionalmente se implementa sobre un rango de -1 a 1, lo cual es conveniente debido al mapeo realizado sobre las funciones de forma [19]. Para solucionar numéricamente las integrales por medio de la cuadratura Gaussiana se usa la siguiente expresión. d 2n f f ( n )n O 2 n 1 f ( )d n 1 d P 1 Donde (3.33) es el número de puntos a evaluar en el dominio del elemento, dentro del dominio del elemento donde es evaluada la función y es un punto es el peso dependiendo del número de puntos de gauss. La ecuación 3.33 es modificada como se observa en la Tabla 3.3 dependiendo de las dimensiones del dominio del elemento, donde el elemento unidimensional es una línea, el elemento bidimensional es un cuadrilátero y el elemento tridimensional es un cubo. Tabla 3.3. Formulación cuadratura Gaussiana para elementos de diferentes dimensiones. Elemento Formulación Unidimensional 1 1 1 Bidimensional 1 1 1 1 1 Tridimensional 1 1 1 1 P f ( )d f ( n ) j n 1 P P f ( , )d d f ( n ,r )nr n 1 r 1 P P P f ( , , )d d d f ( n ,r , q )nrq n 1 r 1 q 1 La coordenada de los puntos evaluados dentro del dominio así como el valor de los pesos para una cuadratura Gaussiana de orden 2 son mostrados en la Tabla 3.4. 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 59 -reacción. Tabla 3.4. Coordenadas de los puntos a evaluar en el elemento y valor de los pesos para (A) un elemento unidimensional, (B) un elemento bidimensional y (C) un elemento tridimensional. Elemento mapeado a coordenadas locales Putos de gauss 1 1 3 2 1 3 Peso 1 1 1 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 2 1 3 1 2 1 3 3.3 Técnicas de discreti ación temporal Para solucionar la componente temporal en la ecuación 3.13 cias finitas conocido como el esquema de Theta, por medio de este método se discretiza el tiempo modificando la ecuación debilitada de residuos como se observa en 3.34. 60 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. C t 1 i Cit [C ] t 1 [ A] [ D] Cit 1 [ R] t 1 [ A] [ D] Cit [ R] [ F ] Donde el superíndice t se refiere al paso de tiempo, el parámetro del esquema. Por medio de (3.34) es el incremento temporal y el se selecciona el método de solución temporal dependiendo del valor que se seleccione como se observa en la Tabla 3.5. Tabla 3.5. Métodos de solución temporal del esquema de Theta Parámetro Método de Solución Forward-Euler (Explicito) Crank-Nicolson (Semi-implícito) Backward-Euler (Implícito) Estabilidad Condicionalmente estable Condicionalmente estable Incondicionalmente estable 3.4 Método de separación de operadores. Al modelar el comportamiento de diferentes sustancias en un entorno en particular por medio del método de los elementos finitos es necesario implementar un sistema de ecuaciones debilitadas de residuos ponderados (Ec. 3.34), donde cada una de las ecuaciones representa una sustancia en particular. El termino reactivo existente en estas ecuaciones es uno de los responsables que se presenten acoplamientos entre ecuaciones de transporte de masa debido a la interacción entre sustancias presente en los mecanismos de reacción, así como por no linealidades dependiendo de la complejidad del proceso reactivo. Debido a lo anterior el proceso de solución por medio del método de los elementos finitos es más complejo obligando a utilizar no solo intervalos de tiempo de solución pequeños, sino además la implementación de procesos iterativos como un Newton-Rapshon en cada paso de tiempo lo cual conlleva a un costo computacional enorme así como un tiempo de computo mucho mayor [116]. 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 61 -reacción. E “ g h ” g herramienta útil para solucionar esta clase de problemas eliminando las desventajas que provoca el acoplamiento debido a los términos de reacción. Esta técnica fue originalmente desarrollada para reducir los modelos numéricos multidimensionales a un número determinado de modelos unidimensionales, de forma que se podían solucionar individualmente haciendo que el procedimiento de solución fuera más fácil y en algunos casos más rápido. P -difusiónreacción son divididas en un número determinado de expresiones matemáticas para solucionar independientemente los términos presentes en estas ecuaciones por medio de diferentes métodos de solución. Existen varios métodos de separación de operadores entre esto se encuentra el método de Yanenko y el método simetrizado de Strang [117]. 3.4.1 Método Yanenko. El método Yanenko es un método de separación de operadores que se basa en dividir la ecuación de transporte de masa en dos componentes (Ec. 3.35). L t Donde donde L L1 L2 es la variable respuesta, (3.35) c y representan los dos componentes en los que es separada la ecuación de transporte de masa. El procedimiento de solución implementado para este caso es un proceso en cascada donde primero es calculado el componente obtenida se calcula el componente y con el valor de la variable respuesta , como se observa en la Figura 3.7, la representación matemática de este procedimiento es presentado en 3.36. Adicionalmente los dos componentes son solucionados sobre el mismo intervalo de tiempo, aunque dependiendo del fenómeno físico es posible realizar sub-pasos de tiempo para capturar de forma adecuada estos fenómenos. 62 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 3.7. Procedimiento de solución por medio del método Yanenko. L t t 1/2* t L1t 1/2* 1 L1t t t 1 t 1/2* Lt21 1 Lt21/2* t (3.36) Por medio del método de Yanenko la ecuación 3.34 es dividida en las dos expresiones matemáticas (Ec.3.35-3.36) solucionadas en cascada para cada paso de tiempo. C t 1/ 2* i C t 1 i Cit 1/2* Cit [C ] t 1 t [ R] 1 [ R] t [C ] [ A] [ D] Cit 1 1 [ A] [ D] Cit 1/2* [ F ] t (3.37) (3.38) La primera ecuación es usada para resolver el término de reacción, mientras que por medio de la g Para resolver la ecuación 3.37 es posible implementar un solucionador de ecuaciones diferenciales ordinarias. 3.4.2 Método simetri ado de Strang o “Symmetrized Strang”. El método simetrizado de Strang es otro método basado en la división de la ecuación de transporte de masa en dos componentes donde el procedimiento de solución consta de tres pasos como se presenta en la Figura 3.8. 3. Formulación por elementos finitos de la ecuación de - 63 -reacción. Figura 3.8. Procedimiento de solución por medio del método “Symmetri ed Strang Split”. Asimismo la representación matemática del procedimiento de solución es presentada en 3.39. L t t 1/2 t L1t 1/2 1 L1t t / 2 t 1/2* t 1/2 Lt21/2* 1 Lt21/2 t t 1 t 1/2* L1t 1 1 L1t 1/2* t / 2 (3.39) El procedimiento de solución desarrollado para este método inicia con la solución del primer componente sobre la mitad del paso de tiempo ( ), seguido de la solución del segundo componente sobre el paso de tiempo completo ( ) y para finalizar se soluciona de nuevo el primer componente sobre la mitad del paso de tiempo ( ). Para este método la ecuación 3.34 es dividida en las mismas expresiones matemáticas que en el método de Yanenko (Ec.3.35-3.36). Donde la primera ecuación es usada para resolver el término de reacción y con g 4 Planteamiento y solución de problemas de validación del código. En este capítulo se describe el algoritmo desarrollado por medio de la formulación planteada en el capítulo anterior para predecir la dispersión de sustancias por medio de la solución de un sistema de ecuaciones tipo DAR. Asimismo se presentan algunas pruebas de escritorio presentes en la literatura para comprobar la validez de las simulaciones obtenidas por medio del algoritmo numérico. En estas pruebas se solucionan problemas de transporte de sustancias debidos a procesos advectivos, difusivos y reactivos. Igualmente se presenta un problema de validación basado en el cálculo del campo de concentraciones del mecanismo reactivo simplificado de la familia del NOx sobre un campo de velocidades rotacional. En este caso se presentaran y comparan los resultados obtenidos por medio del modelo desarrollado con el esquema simetrizado de Strang de separación de operadores y el modelo estándar acoplado. 4.1 Descripción del código desarrollado. El código para la solución de sistemas de ecuaciones tipo DAR fue desarrollado en el lenguaje FORTRAN 90 implementando el procedimiento de solución presentado en la Figura 4.1. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 65 Figura 4.1. Diagrama de flujo del procedimiento de solución por medio del código desarrollado. Donde tf es el tiempo de simulación. Para mayor claridad del procedimiento de solución se presenta a continuación el seguimiento del proceso paso a paso. 4.1.1 Inicialización del problema. Como primero y luego de haber seleccionado el problema así como la región de estudio, por medio de una malla compuesta por un número finito de elementos los cuales a su vez se componen de un número dado de nodos dependiendo del tipo de elemento así como de las dimensiones de estudio. 66 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. La información de la malla es guardada en un archivo que luego es leído por el algoritmo desarrollado. El archivo de malla es escrito en el mismo formato usado por los archivos de entrada del software comercial de elementos finitos ABAQUS, como se observa en la Figura 4.2 “ ”. Figura 4.2. Formato archivo de malla. Por medio de la malla es posible complementar los demás parámetros de entrada como son las condiciones iniciales del problema, las condiciones de borde y la generación elemental si es el caso. Estos datos son calculados por medio de algoritmos de preprocesamiento desarrollados en el paquete MATLAB y escritos en archivos separados. Los formatos de los archivos que contienen las condiciones iniciales así como la generación elemental son presentados en la Figura 4.3. A B Figura 4.3. Formatos archivo de condiciones iniciales (A) y generación elemental (B). 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 67 Donde el archivo de condiciones iniciales contiene un listado de valores de la variable solución para todos los nodos en el tiempo inicial, y el archivo de generación elemental contiene una lista de valores de generación para cada uno de los elementos que componen la malla. Asimismo el formato del archivo que contiene la información de las condiciones de borde es presentado en la Figura 4.4. Figura 4.4. Formato archivo de condición de bordes. Donde los nombres en rojo representan la posición en la cual se deben escribir los valores numéricos de los parámetros para la introducción de las condiciones de borde del problema en el algoritmo, además los nodos que componen las condiciones de borde se incluyen en filas de 6 nodos como se observa en el recuadro azul. Los archivos de condiciones iniciales, generación y condiciones de borde son nombrados “ ” “ ” “ ” 68 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. y representa la variable solución a la que pertenecen los datos. es el número de variables respuesta presentes en el sistema de ecuaciones. Los campos de velocidad y los coeficientes de difusión son escritos para cada nodo del h “ ” E h presentado en la Figura 4.5. Figura 4.5. Formato archivo de campo de velocidades y coeficiente de difusión másica. Donde , respectivamente y y son las velocidades del flujo en las direcciones es el coeficiente de difusión. Para el caso en el que se seleccione un problema sobre un entorno bidimensional el formato del archivo es simplificado a tres columnas que contienen la información de las velocidades en , y el coeficiente de difusión. Para incluir el mecanismo de reacción así como las sustancias y las tasas de reacción, se implementan dos archivos escritos en el formato presentado en la Figura 4.6 y la Figura 4.7 respectivamente. Figura 4.6. Formato archivo de designación de sustancias. En el primer archivo (“ ”) se designan las sustancias o variables de solución que se presentan en el mecanismo de reacción mientras que el segundo archivo (“ ”) contiene la información del mecanismo completo de reacción escrito como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, así como las expresiones matemáticas para calcular las tasas de reacción. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 69 Figura 4.7. Formato archivo del mecanismo de reacción y las tasas de reacción. Para el cálculo de las velocidades de reacción así como para la transformación de unidades usada en el proceso de solución del sistema de ecuaciones de reacción se incluye un archivo adicional el cual es presentado en la Figura 4.8. 70 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 4.8. Archivo de cambio de unidades. P ú h “ ” del código así como datos adicionales necesarios para la solución. El formato del archivo es presentado en la Figura 4.9. Figura 4.9. Formato archivo procedimiento de solución. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 71 Donde el número de ecuaciones hace referencia al número de variables respuesta presentes en el estudio que a su vez es igual al número de ecuaciones presentes en el “ sistema. E ” algoritmo imprime los resultados. Adicionalmente y debido a que este algoritmo presenta la posibilidad de solucionar el sistema de ecuaciones tipo DAR de manera acoplada se incluye el parámetro de la condición de convergencia (Resmax) para el procedimiento de Newton-Raphson necesario en esta variación. Por último son incluidos los valores de tolerancia para el solucionador de ecuaciones diferenciales ordinarias, necesarios para el caso en el que se implementa el esquema de separación de operadores. El primero representa la tolerancia relativa del sistema, y los demás los valores de tolerancia para cada una de las variables respuesta. El último parámetro es un dato de inicialización para el solucionador de ODEs que es igual a 1. 4.1.2 Proceso de solución. En el algoritmo es posible seleccionar entre los métodos de separación de operadores de Yanenko y Strang sin embargo en el procedimiento de solución (Figura 4.1) se implementó el método simetrizado de Strang, esto debido a que es un método de segundo orden en el tiempo lo que conlleva a una mejor precisión en los cálculos. Para solucionar los pasos que competen el componente reactivo del sistema de ecuaciones, primer y tercer paso para el método de Strang, se implementó una traducción al leguaje Fortran90 del solucionador de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias VODE. Igualmente para solucionar el paso donde se presentan los componentes de difusión y g S g se implementó el procedimiento presentado en la Figura 4.10 y el solucionador de sistemas de ecuaciones matriciales incluido en el paquete de algebra lineal LAPACK. 72 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 4.10. Diagrama de flujo del procedimiento de solución del componente difusivo-advectivo del sistema de ecuaciones tipo DAR. 4.1.3 Solución por paso de tiempo. El algoritmo soluciona el sistema de ecuaciones para cada paso de tiempo e imprime los resultados en un archivo llamado “ ”. Este archivo es escrito basado en el formato de lectura usado por el paquete comercial Tecplot (Figura 4.11) para problemas solucionados por medio del método de los elementos finitos. Para cada paso de tiempo se imprimen en columnas la posición nodal, los campos de velocidad, el coeficiente de difusión y los valores de las variables solución del problema seguido de una lista en la que se presentan los nodos que pertenecen a cada uno de los eleme 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 73 Figura 4.11. Archivo de resultados del problema solucionado. Además de los resultados también se presenta un archivo de seguimiento del proceso de solución, este archivo es nombrado “ ” (Figura 4.12). Figura 4.12. Archivo del seguimiento del proceso de solución. 74 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Donde ti es el tiempo inicial del problema. En este archivo se imprimen además los tiempos de CPU usados para solucionar cada paso de tiempo así como el tiempo de CPU final. 4.2 Problemas de validación inicial. En la primera sección se presentan cinco problemas de prueba que fueron implementados y sus resultados fueron comparados con los datos reportados en la literatura. Las pruebas numéricas que se desarrollaron se presentan en la Tabla 4.1. Tabla 4.1. Problemas de prueba. Problema de prueba Rotación de cuerpos solidos Movimiento advectivo de una función Gaussiana Problema de ROBER S “B ” Fenómeno físico Reacción Difusión Reacción 4.2.1 Rotación de cuerpos sólidos. El primer problema de prueba fue usado para verificar la simulación del proceso advectivo en el modelo numérico. La base del problema es simular el transporte de una concentración inicial, que se encuentra sobre un campo de velocidades, sin que se presenten grandes distorsiones de forma [115]. La ecuación que representa matemáticamente este problema es una simplificación de la ecuación de transporte de masa (Ec. 4.1), donde los términos de difusión y reacción son eliminados. La expresión matemática que representa el problema de rotación de cuerpos solidos es presentada en 4.2. C [u j C ] t x j x j C D x j x j C Kc R f x j C [u j C ] 0 t x j Donde es la concentración y ̅ es la magnitud de la velocidad en la dirección . (4.1) (4.2) 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 75 El planteamiento del problema que fue solucionado por medio del modelo numérico formulado es presentado en la Tabla 4.2. Tabla 4.2. Planteamiento del problema de rotación de cuerpos sólidos. Representación Gráfica Característica Magnitud Dominio del problema (0,1)x(0,1) Dirichlet en las cuatro esquinas del dominio Condiciones de bode [ Campo de velocidades Intervalo de tiempo ( ]. v( x, y) (0.5 y, x 0.5) 10E-3-3 ) Tiempo de solución 2 Esquema temporal Backward-Euler El campo de concentraciones inicial está compuesto de tres geometrías que son Un cilindro ranurado, un cono puntiagudo y un cono suavizado, como se observa en la Figura 4.13. Figura 4.13. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de rotación de cuerpos sólidos. Estas geometrías se construyeron por medio de las ecuaciones matemáticas presentadas en la Tabla 4.3. 76 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Tabla 4.3. Formulación del campo de concentración inicial. Geometría Posición eje de revolución Construcción matemática Cilindro ranurado ( x0 , y0 ) (0.5,0.75) 1 Si x x0 0.025 y 0.85 C ( x, y ) En otro caso 0 Cono puntiagudo ( x0 , y0 ) (0.5,0.25) C ( x, y) 1 r ( x, y) Cono suavizado ( x0 , y0 ) (0.25,0.5) Donde r ( x, y) S 1 0.15 C ( x, y) 1 cos( r ( x, y)) 4 x x0 y y0 2 2 1 E medio de una malla formada por 2500 elementos y 2601 nodos, mientras que en la segunda se utilizó una malla de 9801 elementos y 10000 nodos. 4.2.1.1 Resultados La solución exacta para este problema en particular viene dado por la conservación de la forma del campo de concentraciones mientras este es transportado por el campo de velocidades presente en el dominio. El campo de concentraciones obtenido por los dos modelos planteados luego de que transcurriera el tiempo suficiente para que la condición inicial rotara media revolución es presentado en la Figura 4.14. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. A 77 B Figura 4.14. Campos de concentraciones finales para los casos (A) con malla gruesa y (B) con malla fina del problema de rotación de cuerpos sólidos. Como se observa para los dos casos se presentó una distorsión de la geometría inicial del campo de concentraciones, esto se debe principalmente a la técnica de estabilización SUPG, a la resolución de la malla y a las pequeñas inestabilidades que se logran presentar en los modelos numéricos. Como se comentó anteriormente la técnica de estabilización SUPG reduce las oscilaciones presentes en el modelo computacional por medio de la introducción de difusión artificial, esta difusión artificial provoca un efecto de dispersión en el modelo generando que la geometría inicial del campo de concentraciones no sea preservada. Adicionalmente y debido a que la difusión artificial incluida por la técnica de estabilización SUPG es directamente proporcional al tamaño de los elementos presentes en la malla, la solución obtenida con una malla gruesa presenta una distorsión del campo de concentraciones mucho mayor que en el caso solucionado con una malla fina. 78 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 4.2.2 Movimiento advectivo de una función Gaussiana. El problema de transporte de una función Gaussiana es ampliamente utilizado para validar los modelos numéricos desarrollados con el propósito de modelar los e y difusión simultáneamente [116]. L g 4.3 C [u j C ] t x j x j Donde C D 0 x j (4.3) es la concentración, ̅ es la magnitud de la velocidad en la dirección y es el coeficiente de difusión de masa. El planteamiento del problema es presentado en la Tabla 5.4, donde se puede ver el tamaño del dominio, las condiciones de borde y las características del campo de flujo, así como el esquema temporal usado. Tabla 4.4. Planteamiento del problema de transporte de una campana Gaussiana. Característica Magnitud Dominio del problema (0.25,0.25)x( 0.25,0.25) Dirichlet en las cuatro esquinas Condiciones de bode del dominio [ ] Campo de velocidades v( x, y) (4 y, 4 x) Coeficiente difusivo 5E-5 Intervalo de tiempo ( ) 10E-3 Tiempo de solución /2 Esquema temporal Backward-Euler Para este caso la configuración inicial del campo de concentraciones es dada por la ecuación 4.4, por medio de la cual se construye una campana gaussiana dentro de un dominio cuadrado como se observa en la Figura 4.15 [117]. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. ( x x0 )2 ( y y0 )2 C ( x, y) exp 2 2 En esta ecuación ( gaussiana y ) 79 (4.4) son las coordenadas del centro de la campana es la desviación estándar. Figura 4.15. Condición inicial del campo de concentraciones para el caso de transporte de una campana Gaussiana. La malla usada para discretizar espacialmente el dominio del problema cuenta con 2500 elementos y 2601 nodos. 4.2.2.1 Resultados La solución exacta para este problema de prueba es dada por la ecuación 4.5. C ( x, y , t ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 2 exp 2 2 4( D)t 2 2 4( D)t (4.5) En la Figura 4.16 se presentan los campos de concentraciones obtenidos por medio del modelo numérico y la ecuación 4.5 para diferentes tiempos de simulación. 80 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. A B Figura 4.16. Campos de concentraciones obtenidos a los 0, 0.26, 0.52 y 0.8 segundos de simulación el caso de transporte de una campana Gaussiana. Resultado exacto (A) y modelado (B). Adicionalmente en la Figura 4.17 son presentados los valores de concentración nodal para cada paso de tiempo, el error nodal y el error cuadrático medio. A B C D 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 81 Figura 4.17. Concentración nodal de la solución analítica (A) y la solución numérica, así como el error numérico nodal (C) y el error cuadrático medio (D) para 800 pasos de simulación del transporte de una campana Gaussiana. Como se observa en la Figura 4.16-B la mancha obtenida por medio de la simulación presenta un alargamiento en dirección al flujo rotacional. Esto puede deberse a la difusión artificial que se presenta en esta misma dirección al implementar el método de estabilización SUPG. Debido a lo anterior el proceso dispersivo simulado difiere ligeramente de la solución exacta. En la Figura 4.17 se observa que la diferencia entre los resultados obtenidos con el modelo numérico y la ecuación 4.5 no sobrepasa el valor de 0.08 lo cual solo representa un 8% en relación al valor inicial de concentración de 1. Asimismo se observa que el error cuadrático medio es pequeño, del orden de 2E-4, y además que este comienza a disminuir luego de los 150 pasos de simulación. 4.2.3 Problema de ROBER. El problema de ROBER fue propuesto por H.H. Robertson en 1966 [118] para representar matemáticamente la cinética de una reacción auto-catalítica. El mecanismo de la reacción es presentado en 4.6, donde , y , y son las velocidades de reacción y son las sustancias químicas. k1 C1 C2 k2 C2 C2 C3 C2 (4.6) k3 C2 C3 C1 C3 El modelo matemático formulado para solucionar el problema de ROBER consiste en un sistema rígido de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales definidas como en 4.7. dCi f Ci , i 1, 2,3 dt Donde es una función que depende del valor de la variable respuesta (4.7) . Esta función es presentada en 4.8 para cada una de las tres ecuaciones del sistema reactivo. 82 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. f (C1 ) k1C1 k3C2C3 f (Ci ) f (C2 ) k1C1 k3C2C3 k2C22 f (C ) k C 2 3 2 2 (4.8) Los datos de las velocidades de reacción así como el valor de concentración inicial para cada una de las sustancias son presentados en la Tabla 4.5. Tabla 4.5. Velocidades de reacción y Concentraciones iniciales para el problema de ROBER. Característica Velocidades de reacción Condiciones iniciales Magnitud k1 0.04 k2 3107 k3 104 C1 (0) 1 C2 (0) 0 C3 (0) 0 El problema es solucionado en el intervalo de tiempo de 0 a 1E8 segundos, con tres pasos de tiempo iguales a 1E-4, 1E-3 y 1 segundos. Los pasos de tiempo fueron seleccionados para capturar de forma adecuada el proceso de generación y eliminación de las sustancias presentes en el problema y adicionalmente reducir los costos computacionales que conllevaría el uso de solo un paso de tiempo pequeño en relación al intervalo de tiempo presentado. Los perfiles de comportamiento de las sustancias obtenidos por medio del modelo numérico, así como los mostrados en [118] se presentan en la Figura 4.18. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. A 83 B C Figura 4.18. Perfiles del comportamiento de las sustancias C1 (A), C2 (B) y C3 (C) en un intervalo de 0 a 1E6 segundos para el problema de ROBER. Como se observa los resultados obtenidos por medio del modelo numérico presentan una excelente aproximación al comportamiento de las sustancias presentado por Robertson en [118]. Adicionalmente se puede concluir que el uso de un paso de tiempo mayor para reducir el costo computacional del problema hubiera provocado que la simulación entregara una predicción pobre del proceso reactivo. 84 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 4.2.4 Sistema de “Brusselator”. E “B ” para describir un tipo de reacción auto-catalítica, como son la formación de ozono debido a la triple colisión de átomos de oxígeno o las reacciones enzimáticas. Por medio de este sistema se modela el comportamiento reactivo de las sustancias así como los efectos debidos a la difusión molecular. E “B presentado en 4.9, donde individual y , , , , y ” son las velocidades de reacción para cada reacción son sustancias químicas. k1 A X k2 B X Y D (4.9) k3 2 X Y 3X k4 X E En este mecanismo los valores de , , y son conocidos y constantes por lo tanto el modelo matemático formulado se reduce a solo dos ecuaciones diferenciales ordinarias (Ec. 4.10). X k1 B k2 X 2Y k3 AX k4 X t x j X k3 AX k2 X 2Y t x j C DX x j (4.10) C DY x j En la Tabla 4.6 [119], [120] se presenta los valores de las sustancias y , los datos de las velocidades de reacción, los coeficientes de difusión y la concentración inicial para cada una de las sustancias y , “B ” 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 85 Tabla 4.6. Concentraciones de sustancias, Velocidades de reacción, coeficientes difusi os y Concentraciones iniciales usados en el sistema de “Brusselator”. Características Bruss 1 Bruss 2 A 1 1 B 2 0.5 ki 1 1 DX ,Y 0.002 0.002 X ( x, y, 0) 2 0.25y 0.5x2 0.333 x3 Y ( x, y, 0) 1 0.8x 0.5 y 2 0.333 y3 Concentraciones sustancias conocidas Velocidades de reacción Coeficientes difusivos Condiciones iniciales Asimismo el tamaño del dominio, las condiciones de borde y los datos temporales son presentados en la Tabla 4.7. Tabla 4.7. Características del modelo numérico para solucionar el sistema de “Brusselator”. Característica Magnitud Dominio del problema (0,1)x(0,1) Tipo Neumann en las cuatro esquinas del dominio. 0.001 5 Backward-Euler Condiciones de bode Intervalo de tiempo ( ) Tiempo de solución Esquema temporal Los campos de concentraciones de y obtenidos para el primer caso (Bruss 1) son presentados y comparados con los resultados obtenidos por Arshed Ali [119] y por Twizell et al. [120], en la Figura 4.19. 86 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. A B C D E F Figura 4.19. Campos de concentración de las sustancias X y Y obtenidas por medio del modelo numérico (A) y (B), obtenidos por Twizell et al. (C) y (D) y por Arshed Ali (E) y ( ), para el primer caso de “Brusselator”. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 87 Adicionalmente se construyó una gráfica de concentraciones a través del tiempo (Figura 4.20) sobre el punto que representa el centro del dominio para poder comparar esta información con la presentada por Arshed Ali en [119]. A B Figura 4.20. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la sustancia X (A) y la sustancia y (B) para el primer caso de “Brusselator”. Como se observa en los campos de concentraciones (Figura 4.19) así como en los perfiles de concentración del punto medio del dominio (Figura 4.20), los resultados obtenidos por medio del modelo numérico son muy similares a los obtenidos por los otros autores. Para el segundo caso (Bruss 2), los campos de concentraciones obtenidos para las sustancias X y Y son presentados en la Figura 4.21. 88 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. A B Figura 4.21. Campos de concentración para el caso 2 de las sustancias X y Y. La comparación entre los perfiles de concentración a través del tiempo obtenido por medio del modelo numérico y presentado por Whye-Teong Ang en [121] sobre el punto medio del dominio, son presentados en la Figura 4.22. A B Figura 4.22. Perfiles de concentración entre 0 y 5 segundos de simulación de la sustancia X (A) y la sustancia y (B) para el segundo caso de “Brusselator”. Al igual que en el primer caso, el modelo numérico presenta una excelente aproximación a lo presentado por Whye-Teong Ang en el artículo [121]. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 89 4.3 Análisis de resultados del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split (Diseño de experimentos). El problema de prueba que se implementó para la validación representa el transporte de las sustancias reactivas NO, NO2 y O3 dentro de un campo de velocidades rotacional en un dominio cuadrado. El mecanismo de reacción seleccionado incluye parte de las especies contaminantes presentes en la atmosfera de los centros urbanos debido a los gases emitidos por varios mecanismos y que afectan negativamente a los seres vivos. Adicionalmente el dominio fue seleccionado debido a su similitud con el problema de “ ” j diferencia que es posible capturar la conservación de sustancias dentro del dominio. La representación matemática de este problema está dada por la ecuación 4.11. Ci [u j Ci ] t x j x j C Di Kc i x j Ri fi (4.11) El dominio del problema es una placa rectangular con dimensiones de 20x20 metros como se observa en la Figura 4.23, además todas las fronteras presentan condiciones de borde del tipo Neumann (Ec. 4.12). Figura 4.23. Dominio del problema de prueba para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. 90 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. N Ci nj 0 x j (4.12) El campo de velocidades representa un flujo rotacional como se muestra en la Figura 4.23 y la Figura 4.24. Este campo es basado en una campana gaussiana y su representación matemática es presentada en 4.13. Figura 4.24. Campo de velocidad del problema de prueba para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. U Fv e Donde y x cx y cy / 2*a 2 2 2 son las coordenadas del centro del dominio, los puntos dentro del dominio, (4.13) y es la amplitud de la campana y son las coordenadas de es el valor máximo de velocidad. La condición inicial se muestra en la Figura 4.25, donde las concentraciones para las sustancias NO y O3 al principio del problema son cero, mientras que para la sustancia NO2 se presenta una campana de concentración con un valor máximo igual a 10 [ppb] y una concentración total en el dominio igual a 2552.7 [ppb]. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. A 91 B Figura 4.25. Condición inicial del NO, O3 (A) y NO2 (B) para la validación del modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. La validación del mod los códigos son comparados con los presentados por Sasha Madronich en el capítulo “ h h Stra h G h h Ch g ” “ h R h g ” [1 2]. 4.3.1 Análisis del término reactivo. Se probaron tres mecanismos de reacción que representan el comportamiento de las sustancias NO, NO2 y O3. Para solucionar el sistema de ecuaciones se implementó un modelo numérico desarrollado por medio del esquema acoplado, un modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split y un tercer modelo construido en el software MATLAB. Adicionalmente se utilizaron tres pasos de tiempo diferentes iguales a 5, 2 y 5E-3 segundos. 4.3.1.1 Mecanismo simplificado. En el primer caso se probó el sistema de reacción utilizado por Baik et al. [76]. Los datos sobre el sistema reactivo se presentan en la Tabla 4.8. 92 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Tabla 4.8. Mecanismo de reacción simplificado. Mecanismo de reacción NO2+hv=>NO+O3 O3+NO=>NO2+O2 Sustancias presentes en la reacción NO, NO2, O3 Tasas de reacción Kr(1)=8.14e-3*(0.97694+8.37e-4*(T-273.15)+4.5173e-6*(T-273.15)^2) Kr(2)=44.05e-3*exp(-1370/T) T=Temperatura Para este caso las unidades de concentración utilizadas son [ppb], esto debido a que las constantes de reacción están formuladas para interactuar con estas dimensiones en particular. Los resultados de las simulaciones del fenómeno físico de transporte de sustancias desarrollados por medio del mecanismo simplificado y los intervalos de tiempo de 5 [s] y 5E-3 [s] son presentados en la Figura 4.26 y la Figura 4.27 respectivamente. Figura 4.26. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo simplificado. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 93 Figura 4.27. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo simplificado. Como se puede observar en los dos perfiles de comportamiento para el caso del modelo acoplado el proceso reactivo es aparentemente más completo que los otros dos modelos, esto debido posiblemente a las oscilaciones numéricas incluidas a la hora de usar un modelo robusto. Sin embargo y en relación a la magnitud de las concentraciones presentes en la reacción la diferencia entre los comportamientos de sustancias simulados no es significativa. Asimismo se observa que sin importar el modelo utilizado no se observa una sensibilidad notable frente al paso de tiempo. Adicionalmente se desarrolló un análisis cuantitativo de los efectos de la selección del modelo numérico y el paso de tiempo a los 200, 400, 600 y 800 segundos de simulación para cada una de las sustancias. Los resultados del análisis son presentados en la Figura 4.28 y la Figura 4.29 para las sustancias NO, O3 y NO2 respectivamente. 94 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Data Means 3.2400E-08 Data Means 3.8400E-08 MODELO A coplado Split Matlab MODELO A coplado Split Matlab 3.8300E-08 3.8200E-08 3.2300E-08 3.2200E-08 Mean Mean 3.8100E-08 3.8000E-08 3.7900E-08 3.7800E-08 3.2100E-08 3.7700E-08 3.7600E-08 3.2000E-08 3.7500E-08 5[s] 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) A 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) B Data Means 3.9500E-08 3.9250E-08 MODELO Acoplado Split Matlab 3.9500E-08 3.9250E-08 3.9000E-08 Mean Mean Data Means 3.9750E-08 MODELO A coplado Split Matlab 3.9000E-08 3.8750E-08 3.8750E-08 3.8500E-08 3.8500E-08 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) C 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) D Figura 4.28. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo simplificado. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. Data Means 8.7000E-09 Data Means 3.2000E-09 MODELO A coplado Split Matlab MODELO A coplado Split Matlab 3.0000E-09 8.6000E-09 2.8000E-09 8.5000E-09 Mean Mean 95 2.6000E-09 8.4000E-09 2.4000E-09 8.3000E-09 2.2000E-09 5[s] 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) A 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) B Data Means Data Means 2.2000E-09 MODELO A coplado Split Matlab 2.2000E-09 MODELO A coplado Split Matlab 2.0000E-09 2.0000E-09 Mean Mean 1.8000E-09 1.8000E-09 1.6000E-09 1.6000E-09 1.4000E-09 1.4000E-09 1.2000E-09 1.2000E-09 1.0000E-09 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) C 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) D Figura 4.29. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo simplificado. Como se observa en las figuras anteriores los valores de concentración obtenidos por medio del modelo acoplado difieren un poco de los obtenidos por los otros dos modelos, lo cual confirma que el modelo acoplado simula un proceso reactivo más completo. Asimismo los modelos en Split y de Matlab no son sensibles al paso de tiempo usado para solucionar el modelo entre el rango de 5E-3 a 5 segundos, mientras que el modelo acoplado si presenta sensibilidad a este factor en especial en los primeros 600 segundos de simulación, mientras el procesos reactivo no ha empezado a estabilizarse. Por medio de un análisis de conservación molar elemental es posible verificar si el modelo numérico conserva la masa total de las sustancias presentes en el modelo como ocurre en un proceso físico real. Para esto se realizan los perfiles de concentración de 96 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. las sustancias de oxígeno (Figura 4.30) y nitrógeno (Figura 4.31), los cuales son los elementos principales de los compuestos NO, NO2 y O3. Figura 4.30. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. Figura 4.31. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. Los perfiles de conservación molar para los tres pasos de tiempo son similares debido a esto solo se presentaron los obtenidos por medio del paso de tiempo igual a 5 segundos. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 97 Como se puede observar en la Figura 4.30 el problema presenta una generación molar de oxigeno que viola la conservación molar del mismo, sin embargo esta generación no se debe a ningún problema del tipo numérico sino al mecanismo de reacción en sí, esto debido a las simplificaciones realizadas en el mecanismo para reducir la complejidad del modelado numérico. No obstante los tres modelos presentan una conservación molar del nitrógeno adecuada, por lo tanto cualquiera de estos modelos puede considerarse adecuado para modelar mecanismos de transporte sencillos. 4.3.1.2 Mecanismo completo. En el segundo caso se probó el sistema de reacción completo que representa el proceso de producción de ozono en la troposfera debido a los óxidos de nitrógeno NOx. Los datos sobre el sistema reactivo se presentan en la Tabla 4.9. Tabla 4.9. Mecanismo de reacción completo. Mecanismo de reacción NO2+hv=>NO+O O+O2+M=>O3+M O3+NO=>NO2+O2 Sustancias presentes en la reacción O, O2, NO, NO2, O3 Tasas de reacción Kr(1)=8.14e-3*(0.97694+8.37e-4*(T-273.15)+4.5173e-6*(T-273.15)^2) Kr(2) = 217.5971294*(T/300)^-2.4 Kr(3) = 1.806642449e6*exp(-1500/T) T=Temperatura Las unidades de concentración usadas en este mecanismo son [mol/m3], debido a las unidades estándar de las tasas de reacción para este mecanismo. Los resultados de las simulaciones desarrolladas por medio del mecanismo completo para los intervalos de tiempo de 5 [s] y 5E-3 [s] son presentados en la Figura 4.32 y la Figura 4.33 respectivamente. 98 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 4.32. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo completo. Figura 4.33. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo. En este caso se puede observar una ligera diferencia en el perfil de concentración de las sustancias entre los modelos acoplado y en Split con el modelo de Matlab, esta diferencia se presenta entre los 100 y los 500 segundos de simulación. Adicionalmente y 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 99 al igual que el mecanismo simplificado se observa un comportamiento reactivo mayor entre las sustancias para el caso solucionado con el modelo acoplado. Asimismo se observa que ninguno de los modelos utilizados presenta una sensibilidad notable al paso de tiempo. Los resultados de un análisis cuantitativo similar al desarrollado en el mecanismo anterior son presentados en la Figura 4.34 y la Figura 4.35 para las sustancias NO, O3 y NO2 respectivamente. Data Means 3.2400E-08 Data Means 3.8400E-08 MODELO A coplado Split Matlab 3.2200E-08 MODELO A coplado Split Matlab 3.8200E-08 3.8000E-08 Mean Mean 3.2000E-08 3.1800E-08 3.7800E-08 3.7600E-08 3.1600E-08 3.7400E-08 3.7200E-08 3.1400E-08 5[s] 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) A 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) B Data Means Data Means 3.9400E-08 MODELO Acoplado Split Matlab 3.9200E-08 3.9250E-08 Mean 3.9000E-08 Mean MODELO A coplado Split Matlab 3.9500E-08 3.8800E-08 3.8600E-08 3.9000E-08 3.8750E-08 3.8400E-08 3.8500E-08 3.8200E-08 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) C 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) D Figura 4.34. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo. 100 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Data Means Data Means 3.5000E-09 MODELO A coplado Split Matlab 9.2000E-09 3.2500E-09 Mean Mean 9.0000E-09 8.8000E-09 MODELO A coplado Split Matlab 3.0000E-09 8.6000E-09 2.7500E-09 8.4000E-09 2.5000E-09 8.2000E-09 5[s] 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) A 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) B Data Means Data Means 2.4000E-09 MODELO Acoplado Split Matlab 2.4000E-09 2.2000E-09 MODELO A coplado Split Matlab 2.2000E-09 2.0000E-09 Mean Mean 2.0000E-09 1.8000E-09 1.6000E-09 1.8000E-09 1.6000E-09 1.4000E-09 1.4000E-09 1.2000E-09 1.0000E-09 1.2000E-09 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) C 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) D Figura 4.35. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo. Como primero se confirmar por medio de estas gráficas que el modelo acoplado presenta el mismo comportamiento reactivo observado en el mecanismo anterior, evidencia de esto es que a los 600 y 800 segundos se observa una concentración mayor de NO, O3 y una concentración menor de NO2 a lo presenciado en los otros dos modelos. Como segundo aunque se observa que entre los 200 y 600 segundos de simulación los resultados del modelo acoplado y en Matlab tienden a parecerse esto se debe al proceso sobre reactivo que presenta el modelo acoplado y que conlleva a que los perfiles de reacción se corten en el momento en el que el proceso reactivo comienza a estabilizarse. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 101 Adicionalmente para este mecanismo los resultados obtenidos por medio de los tres modelos numéricos presentan sensibilidad al paso de tiempo por lo menos entre los primeros 600 segundos de simulación. Las diferencias entre los resultados del modelo en Split y Matlab en los primeros pasos puede deberse a la presencia de oscilaciones numéricas que alcanzan a afectar relativamente el comportamiento simulado de las sustancias en especial por los bajos ordenes de magnitud en los que se modela la concentración. Para verificar la conservación de masa total de los modelos usados en el mecanismo completo se construyeron los perfiles de concentración del oxígeno y de nitrógeno como se observa en la Figura 4.36 y la Figura 4.37 respectivamente. Figura 4.36. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. 102 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 4.37. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. Al igual que en el mecanismo anterior el paso de tiempo no influye en los perfiles de concentración del oxígeno y el nitrógeno, por lo tanto solo se presentaron las gráficas de los resultados obtenidos con un paso de tiempo igual a 5 segundos. Como se evidencia para el mecanismo completo se preservan tanto las moles de oxigeno como las de nitrógeno, implicando que todos los modelos numéricos pueden considerarse adecuados para modelar mecanismos de transporte similares. 4.3.1.3 Mecanismo completo con ácidos. En el tercer caso se probó un sistema de reacción completo el cual representa no solo la producción de ozono en la troposfera debido a los óxidos de nitrógeno NOx sino también la producción de dos sustancias contaminantes que conllevan a la lluvia acida. Los datos para este caso se presentan en la Tabla 4.10. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 103 Tabla 4.10. Mecanismo de reacción completo con ácidos. Mecanismo de reacción Sustancias presentes en la reacción NO2+hv=>NO+O O+O2+M=>O3+M O, O2, O3+NO=>NO2+O2 NO, NO2, O3 OH+NO2+M => HNO3+M SO2, OH, HNO3, HOSO2 OH+SO2+M => HOSO2+M Tasas de reacción Kr(1)=8.14e-3*(0.97694+8.37e-4*(T-273.15)+4.5173e-6*(T-273.15)^2) Kr(2) = 217.5971294*(T/300)^-2.4 Kr(3) = 1.806642449e6*exp(-1500/T) Kr(4) = 6.527913883e5*(T/300)^-3 Kr(5) = 1.196784211e5*(T/300)^-4.3 T=Temperatura Las unidades de concentración usadas en este mecanismo son [mol/m3]. Los resultados obtenidos de la simulación del fenómeno físico de transporte de sustancias desarrolladas por medio de este mecanismo para los intervalos de tiempo de 5 [s] y 5E-3 [s] son presentados en la Figura 4.38 y la Figura 4.39. Figura 4.38. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos. 104 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 4.39. Comportamiento de las sustancias obtenidas con un paso de tiempo dt=5E-3 [s] por medio del mecanismo completo con ácidos. Los resultados obtenidos por medio de este mecanismo presentan una gran similitud con los del caso anterior. Se presenta la misma ligera diferencia entre los modelos Acoplado y Split con el modelo en Matlab, así como el comportamiento reactivo elevado del modelo acoplado y la mayor sensibilidad frente al intervalo de tiempo en frente al mecanismo simplificado. Adicionalmente se desarrolló un análisis cuantitativo similar al desarrollado en los casos anteriores y los resultados son presentados en la Figura 4.40 y Figura 4.41 la para las sustancias NO, O3 y NO2 respectivamente. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. Data Means 3.2400E-08 Data Means 3.8400E-08 MODELO Acoplado Split Matlab 3.2200E-08 105 MODELO Acoplado Split Matlab 3.8200E-08 3.8000E-08 Mean Mean 3.2000E-08 3.1800E-08 3.7800E-08 3.7600E-08 3.7400E-08 3.1600E-08 3.7200E-08 3.1400E-08 3.7000E-08 5[s] 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) A 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) B Data Means Data Means 3.9400E-08 MODELO Acoplado Split Matlab 3.9200E-08 3.9250E-08 3.9000E-08 3.8800E-08 Mean Mean MODELO A coplado Split Matlab 3.9500E-08 3.8600E-08 3.9000E-08 3.8750E-08 3.8400E-08 3.8500E-08 3.8200E-08 3.8000E-08 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) C 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) D Figura 4.40. Concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo con ácidos. 106 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Data Means Data Means MODELO A coplado Split Matlab 9.2000E-09 8.8000E-09 Mean Mean 9.0000E-09 3.5000E-09 MODELO A coplado Split Matlab 3.2500E-09 3.0000E-09 8.6000E-09 2.7500E-09 8.4000E-09 2.5000E-09 8.2000E-09 5[s] 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) A 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) B Data Means Data Means MODELO Acoplado Split Matlab 2.4000E-09 2.2000E-09 2.0000E-09 1.8000E-09 Mean Mean 2.0000E-09 MODELO A coplado Split Matlab 2.2000E-09 1.8000E-09 1.6000E-09 1.6000E-09 1.4000E-09 1.4000E-09 1.2000E-09 1.0000E-09 1.2000E-09 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) C 5[s] 2[s] 5E-3[s] INTERVALO DE TIEMPO (dt) D Figura 4.41. Concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación por medio del mecanismo completo con ácidos. Como se observa los perfiles de concentración a través del tiempo obtenidos con este mecanismo para las sustancias NO, NO2 y O3 son idénticos a los obtenidos con el mecanismo anterior. Adicionalmente se graficó el comportamiento del oxígeno y el nitrógeno para verificar si los modelos conservan la masa al usar como base el mecanismo de reacción completo con ácidos. En la Figura 4.42 y Figura 4.43 se presentan los gráficos de comportamiento. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 107 Figura 4.42. Perfil de conservación molar del oxígeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. Figura 4.43. Perfil de conservación molar del nitrógeno obtenido con un paso de tiempo dt=5[s]. Para este mecanismo de reacción los tres modelos preservan tanto las moles de oxigeno como las de nitrógeno de manera similar a lo observado con el mecanismo completo, sin embargo en este caso se presentan fluctuaciones más discontinuas en la conservación del nitrógeno que las observadas en los dos casos anteriores. 108 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 4.3.1.4 Validación del término reactivo. Para verificar la adecuada predicción del comportamiento de las sustancias se realizó una comparación gráfica entre los resultados obtenidos con los tres métodos numéricos y los presentados por Sasha Madronish en [122]. En la Figura 4.44, Figura 4.45 y Figura 4.46 se muestran los perfiles de concentración solucionados con un paso de tiempo igual a 5, 2 y 5E-3 segundos respectivamente. A B Figura 4.44. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 5[s]. A B Figura 4.45. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 2[s]. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. A 109 B Figura 4.46. Comparación del comportamiento de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) solucionadas por medio de un dt= 5E-3[s]. Como se observa en las gráficas los perfiles de concentración obtenidos por medio de los modelos numéricos para todos los pasos de tiempo exhiben un comportamiento similar al presentado por Sasha Madronich en [122], No obstante los valores de concentración de las sustancias NO y O3 son sobrestimadas así como la concentración de la sustancia NO2 es subestimada al parecer por una simulación sobrevalorada del comportamiento reactivo mayor entre sustancias llevando consigo a una elevada generación y eliminación de sustancias. Este efecto de sobre-reacción puede deberse a oscilaciones presentes en los modelos numéricos que afectan relativamente los perfiles de concentración, así como por las simplificaciones presentes en los mecanismo de reacción que limitan a las sustancias a solo reaccionar entre estas, lo que no ocurre normalmente en la naturaleza. Entre los modelos numéricos desarrollados el modelo en Split aparentemente es el más adecuado para solucionar problemas de este tipo. Esto se debe primero a presentar los perfiles de concentración más aproximados al perfil experimental presentado en [122], así como por su mencionado bajo costo y tiempo de cómputo en la literatura. 110 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 4.3.2 Análisis de la interacción de los términos de adveccion, difusión y reacción. Hasta el momento no se han aplicado los efectos advectivos y difusivos en la simulación. Estos fenómenos físicos se presentan normalmente en la naturaleza, el primero debido al campo de velocidades del fluido que para el caso de prueba seria el flujo de aire atmosférico, y el segundo se presenta por la turbulencia del mismo fluido, así como por la difusión intrínseca que presentan los gases llamada difusión molecular. En un adecuado proceso de simulación de transporte de masa reactiva, es de esperar que los efectos advectivos y difusivos no perturben notablemente el proceso reactivo entre sustancias, así como también que se capture la dispersión es Para comprobar que los modelos simulan de manera adecuada el comportamiento de las sustancias contaminantes luego de adicionar los efectos advectivos y difusivos, se realizó un proceso de verificación donde se implementó un diseño factorial multinivel. Primero fue necesario decidir cuales iban a ser los factores de diseño, puesto que sin una adecuada selección el diseño de experimentos no presentaría resultados confiables y el análisis planteado sobre la simulación de los efectos seria inexacta. Los factores de diseño seleccionados son presentados en la Tabla 4.11. Tabla 4.11. Factores de diseño del diseño factorial multinivel para el estudio de los términos de ad ección y difusión. FACTOR Niveles Valor Unidades Gruesa 121 Nodos Malla Fina 1681 Nodos Pequeño 5E-1 [s] Paso de tiempo (dt) Grande 2 [s] Simplificado 2 Ecuaciones Mecanismo de reacción Completo 3 Ecuaciones Molecular 1E-5 [m2/s] Coeficiente difusivo Turbulento 1 [m2/s] Pequeño 0.01 [m/s] Valor máximo de velocidad Grande 10 [m/s] Acoplado Modelo numérico Split - 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 111 Donde los primeros dos factores fueron seleccionados debido a que se encuentran relacionados directamente con los métodos de solución y pueden afectar los resultados. Los tres factores intermedios están relacionados con los procesos físicos que se incluirán en el problema, donde el factor del mecanismo de reacción contiene los mecanismos completo y simplificado presentados anteriormente, el factor de coeficiente difusivo es incluido para agregar los efectos dispersivos debidos a un fenómeno de turbulencia como a la difusión molecular y el coeficiente advectivo que se incluye debido a los efectos que presentan las diferentes magnitudes de velocidad para un mismo problema. El último factor es el más importante debido a que por medio de este es que se realiza la comparación entre el modelo numérico acoplado y el modelo numérico desarrollado con el esquema Symmetrized Strang Split. Por medio de los factores multinivel que se seleccionaron se construyó un diseño de experimentos completo que consta de 64 casos. La configuración del diseño de experimentos es presentado en el ANEXO A. Tabla 4.12. Variables respuesta del diseño factorial multinivel para el estudio de los términos de ad ección y difusión. Variables respuesta Balance molar [O] Balance molar [N] Concentración T1 Concentración T2 Concentración T3 Concentración T4 Concentración Final Tiempo de CPU Definición Comparación entre la concentración inicial y final de las moles de oxígeno. Comparación entre la concentración inicial y final de las moles de nitrógeno. Concentración de las sustancias en los 200 segundos de simulación. Concentración de las sustancias en los 400 segundos de simulación. Concentración de las sustancias en los 600 segundos de simulación. Concentración de las sustancias en los 800 segundos de simulación. Concentración de las sustancias en los 1200 segundos de simulación. Tiempo de CPU para cada caso solucionado. Unidades [%] [%] [mol/m] [mol/m] [mol/m] [mol/m] [mol/m] [-] 112 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Por ultimo fueron seleccionados los parámetros y propiedades presentes en el problema que pueden ser usados como variable respuesta para analizar el efecto de los factores sobre los resultados de las simulaciones. Las variables respuesta seleccionadas para el diseño de experimentos son presentadas en la Tabla 4.12. Entre las variables respuesta se encuentran la concentración de las sustancias a los 200, 400, 600, 800 y 1200 segundos de simulación, por medio de esta se verificara cuáles de los factores perturba más el comportamiento de las sustancias a través del tiempo de simulación. Asimismo se encuentran dos parámetros que representan la conservación molar del oxígeno y el nitrógeno elemental. Por medio de estos parámetros es posible verificar que factores afectan la conservación de masa total y en qué porcentaje. Por último se encuentra el tiempo de CPU, este es uno de las variables respuesta de gran importancia debido a que por medio de esa no solo se conocerá que factores afectan en mayor medida el tiempo necesario para solucionar el problema sino además corroborar o no si el modelo en Split presenta una reducción de tiempo significativa frente a un modelo acoplado. 4.3.2.1 Resultados del diseño factorial Con los resultados obtenidos del diseño de experimentos y por medio de un análisis factorial es posible calcular los efectos de cada uno de los factores sobre el comportamiento de las sustancias NO, NO2 y O3, la conservación de la masa total del sistema y el tiempo de simulación. A continuación se presentan las gráficas de efecto, por medio de las cuales es posible observar los efectos de los factores así como de sus interacciones sobre las variables respuesta. Los efectos son presentados en su forma estandarizada absoluta debido a la ventaja frente a los órdenes de magnitud usados en este problema, adicionalmente los factores son simbolizados en las gráficas por medio de letras como se observa en la Tabla 4.13. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 113 Tabla 4.13. Representación de los factores de diseño. Factor Definición A Malla B Paso de tiempo [ ] C Mecanismo de reacción D Coeficiente difusivo [ ] E Valor máximo de velocidad [ ] F Modelos numérico En la Figura 4.47 y la Figura 4.48 se presentan los efectos de todos los factores sobre el comportamiento de las sustancias a los 200, 400, 600 y 800 segundos de simulación. D D E E DE DE AE AE SD=5.386 0 5 10 15 20 Efecto estandarizado absoluto 0 SD=11.7 15 54 20 5 10 Efecto estandarizado absoluto A B D D E AE DE AE 0 AD SD=14.87 10 12 14 516 2 4 6 8 Efecto estandarizado absoluto C 0 E DE SD=16.98 10 12 14 9 16 2 4 6 8 Efecto estandarizado absoluto D Figura 4.47. . Gráficas de efecto sobre la concentración de las sustancias NO y O3 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación. 114 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. DE F AE DF C EF AF B D D DE E E AD A AE AD A F DF EF AF SD=4.236 SD=2.01 0 3740 10 20 30 Efecto estandarizado absoluto 0 10 20 30 40 Efecto estandarizado absoluto A B D D DE DE E AE F DF EF E AD A AE F DF EF AD A SD=4.955 0 5 10 15 20 25 30 35 Efecto estandarizado absoluto C SD=5.185 0 5 10 15 20 25 30 35 Efecto estandarizado absoluto D Figura 4.48. . Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia NO2 a los 200 (A), 400 (B), 600 (C) y 800 (D) segundos de simulación. Como se observa en las g g L que también afecta el comportamiento de las sustancias sin embargo esto se debe a la resolución de la malla que afecta la precisión de los modelos y por tanto la simulación de las sustancias. Entre los efectos significativos también se encuentra el método numérico, aunque en unos ordenes de magnitud menor. Para el paso de tiempo igual a 1200 segundos o paso final de la simulación, las gráficas de efecto son presentadas en la Figura 4.49. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. D D DE AE E AE F DF EF 0 115 AD AD A A SD=5.104 20 25 830 5 10 15 Efecto estandarizado absoluto A 0 SD=21.11 8 10 8112 2 4 6 Efecto estandarizado absoluto B Figura 4.49 . Gráficas de efecto sobre la concentración de la sustancia NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 1200 segundos de simulación. Como se observa en las gráficas la concentración final de las sustancias NO, NO2 y O3 es afectada por los mismos factores que afectan el comportamiento de las sustancias a través del tiempo de simulación. Los efectos sobre los balances molares de oxígeno y nitrógeno elementales son presentados en la Figura 4.50. En estas gráficas se puede observar que para el balance molar del oxígeno el factor de mayor importancia es el mecanismo de reacción, mientras que para el balance molar de nitrógeno aunque se presentan factores dentro de los efectos significativos, estos pueden considerarse despreciables debido a que son lo suficientemente pequeños en relación al tiempo de simulación y a la concentración de nitrógeno presente en la atmosfera. 116 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. C DE D E CD AE AD AE D AD A SD=0.728 0 SD=1.477 2 50 60 70 10 20 30 40 Efecto estandarizado absoluto 0 1 2 3 47 5 6 Efecto estandarizado absoluto A 7 B Figura 4.50 . Graficas de efecto sobre los balances molares de oxígeno (A) y nitrógeno (B) elementales. Los factores que afectan el tiempo de CPU son presentados en la Figura 4.51. Por medio de esta grafica además de observar los efectos de los factores sobre el tiempo de simulación es posible verificar cuál de los dos modelos numéricos presenta un tiempo de cómputo mucho menor, lo que significa una ventaja debido a que este es uno de los parámetros dentro de los modelos numéricos que siempre se busca minimizar. A F AF CF C AC BF B AB SD=4681 0 2 5 10 4 6 8 Efecto estandarizado absoluto 12 Figura 4.51 . Grafica de efectos sobre el tiempo de CPU. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 117 4.3.2.2 Análisis. g Como se observa en la Figura 4.52 y la Figura 4.53 de generación de NO y O3 así como la tasa de eliminación del NO2. Esto puede deberse a la dispersión espacial generada por estos procesos, que tiende a homogenizar la concentración de todas las sustancias a través del tiempo amplificando el dominio en el que se puede efectuar el fenómeno reactivo y produciendo que las sustancias reaccionen de forma más completa. 2550 Coeficiente difusivo Valor maximo de velocidad Valor maximo de velocidad 200 Concentracion 2500 2450 2400 2350 175 150 125 100 75 2300 50 Molecular Turbulento Bajo Molecular Alto Turbulento A Bajo Alto B Figura 4.52 . Efecto medio de los procesos de ad ección y difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. 2550 400 2500 300 Concentracion 2450 Concentracion Concentracion Coeficiente difusivo 225 2400 2350 2300 200 100 2250 2200 0 Bajo Alto Valor maximo de velocidad A Bajo Alto Valor maximo de velocidad B Figura 4.53 . Efectos debidos a la interacción entre los procesos de ad ección y difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. 118 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Adicionalmente y por medio de la Figura 4.53 presentarse un fenómeno difusivo de gran magnitud los efectos debidos a procesos advectivos no son significativos. Por otro lado la malla es otro de los factores que afecta los resultados de la simulación, esto debido a su influencia directa en la precisión del modelado como se observa en la Figura 4.54. Por medio de esto y teniendo en cuenta la literatura presente sobre este tema se puede concluir que una malla de baja resolución podría llegar a provocar un resultado erróneo o por lo menos inexacto. 2408 150 2406 140 Concentracion Concentracion 2404 2402 2400 2398 2396 130 120 2394 110 2392 Gruesa Fina Gruesa Malla A Fina Malla B Figura 4.54 . Efecto medio de los procesos de ad ección y difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. El efecto más importante presente en este problema se da por la interacción entre la malla y los facto (Figura 4.55 y Figura 4.56), esto debido a que el comportamiento de las sustancias simulado se encuentra muy relacionado con los procesos de advecc una malla adecuada para predecir correctamente estos procesos puede presentarse un error numérico en la simulación. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 2550 119 250 2500 Concentracion Concentracion 200 2450 2400 2350 150 100 2300 50 2250 Molecular Turbulento Coeficiente difusivo Molecular Turbulento Coeficiente difusivo A B Figura 4.55. Efectos debidos a la interacción entre la malla y el proceso de difusión sobre la concentración de las sustancias NO, O3 (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. 250 2500 200 Concentracion Concentracion 2450 2400 2350 150 100 50 2300 Bajo Alto Valor maximo de velocidad A Bajo Alto Valor maximo de velocidad B Figura 4.56. Efectos debidos a la interacción entre la malla y el proceso de ad ección sobre la concentración de las sustancias O, O (A) y NO2 (B) a los 600 segundos de simulación. Este es el caso de los sumideros de masa. En algunos casos en particular se presencia la aparición de sumideros de masa al centro del dominio debido a oscilaciones numéricas que no logran estabilizarse al usar mallas de bajo orden en el problema. El sumidero de masa es un problema que conlleva a la eliminación de las sustancias afectando no solo la conservación molar de los elementos químicos sino el perfil de 120 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. concentraciones de las sustancias presentes en el modelo. La grafica de conservación molar para un caso en el que se presenta este problema es presentada en la Figura 4.57. Figura 4.57. Conservación molar del oxígeno y el nitrógeno para el caso en el que se presenta un sumidero de masa (Caso 17). Adicionalmente los balances molares del oxígeno y el nitrógeno elemental son afectados por otros factores y sus interacciones. En el caso del oxígeno el efecto más significativo se debe al factor que representa el mecanismo de reacción, sin embargo es un efecto que no debe ser tomado en cuenta debido a que su presencia se debe a la simplificación que presenta el mecanismo simplificado y que obliga a la generación de átomos de oxigeno dificultando la conservación de este elemento. Como se observa en la Figura 4.58 se presenta un efecto medio entre el 90 y el 100% lo que representa el porcentaje de generación de oxígeno en el mecanismo simplificado para cumplir con la demanda de oxigeno de la reacción. 90 80 70 [%] 60 50 40 30 20 10 0 Simplificado Completo Mecanismo de reaccion Figura 4.58 . Efecto medio del mecanismo de reacción sobre el balance molar del oxígeno elemental. 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 121 Los demás factores no perturban el balance molar de oxigeno más allá del 6.742%, lo cual es un valor irrelevante teniendo en cuenta los órdenes de magnitud en los que se lleva a cabo el proceso reactivo y por tanto pueden considerarse como factores con efectos no significativos. Lo mismo ocurre con el balance molar del nitrógeno donde la perturbación no sobrepasa el 4.374%. Esta perturbación posiblemente ocurre por la presencia de oscilaciones numéricas debidas al uso de mallas de baja resolución o casos altamente advectivos. Asimismo el tiempo de CPU es perturbado por varios de los factores como se observa en la Figura 4.51. La malla y el paso de tiempo como se puede observar en Figura 4.59 son unos de los factores que más afectan el tiempo de solución debido a los costos computacionales que conllevan, de igual forma el mecanismo de reacción también afecta el tiempo de CPU debido a los costos computacionales que conlleva un número mayor de sustancias en la simulación. Malla 60000 Paso de tiempo Tiempo de CPU [s] 50000 40000 30000 20000 10000 0 Gruesa Fina Pequeno Grande Figura 4.59 . Efecto medio de la malla y el paso de tiempo sobre el tiempo de CPU. Así también el tiempo de CPU se ve perturbado por el factor que representa el modelo numérico como se observa en la Figura 4.60. Por medio de esta gráfica se observa que el modelo en Split necesita un tiempo de CPU aproximadamente diez veces menor que el modelo acoplado para solucionar el problema de prueba. 122 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. 50000 Tiempo de CPU [s] 40000 30000 20000 10000 0 Acoplado Split Modelo numerico Figura 4.60 . Efecto medio de los modelos numéricos sobre el tiempo de CPU. Por último y como se observa en la Tabla 4.14 y la Tabla 4.15 los perfiles de concentración de las sustancias obtenidos por medio del modelo acoplado y el modelo en Split difieren ligeramente. En estas tabas se presentan las diferencias en unidades [ppb] así como en porcentaje, obtenido dividendo el efecto por la concentración de la sustancia media para cada paso. Tabla 4.14. Diferencias en concentración de las sustancias NO y O3 entre los modelos acoplado y en Split. NO / O3 Efecto 200[s] 400[s] 600[s] 800[s] 1200[s] Valor 7.91 13.92 16.37 18.32 19.89 % 0.39 0.59 0.68 0.76 0.82 Tabla 4.15. Diferencias en concentración de la sustancia NO2 entre los modelos acoplado y en Split. NO2 Efecto 200[s] 400[s] 600[s] 800[s] 1200[s] Valor 7.91 13.91 16.36 18.32 19.89 % 1.43 7.14 12.86 16.45 19.98 Para las sustancias NO y O3 la diferencia entre los modelos no sobrepasa los 20 [ppb] que en relación al valor medio de concentración que se encuentra entre los 1993.3 y los 2410.27 [ppb] no presenta un valor significativo. En cuanto a la sustancia NO2 la 4. Planteamiento y solución de problemas de validación del código. 123 diferencia entre los modelos es menor al 20% de perturbación frente al valor medio de concentración que se encuentra entre 99.5 y 551.3 [ppb], sin embargo y debido a que esta sustancia conlleva un proceso de eliminación y presenta valores de concentración pequenos puede ser considerado irrelevante la diferencia entre los modelos. La diferencia que contienen las sustancias NO, NO2 y O3 entre modelos numéricos es idéntica lo que daría peso a la hipótesis que el la perturbación de los resultados se debe esencialmente a al modelado del proceso de reacción entre sustancias. 4.3.3 Conclusiones Uno de las mayores problemáticas que presenta la simulación de los fenómenos de transporte es la conservación de la masa y en especial cuando adicional a lo aunque por medio de los modelos desarrollados el comportamiento de las sustancias es ligeramente perturbado, la conservación molar se preserva en especial con el mecanismo de reacción completo, por lo tanto cualquiera de los modelos numéricos es adecuado para solucionar esta clase de problemas. El modelo en Slip es el que ha presentado mayor factibilidad para simular y predecir fenómenos físicos que se pueden –difusión-reacción, esto debido a su aproximada predicción de los perfiles de concentración presentado en [122], así como por su bajo costo y tiempo de CPU obtenidos de solucionar los términos no lineales presentes por el termino reactivo, de manera separada usando diferentes métodos de solución. Asimismo el modelo en Split no presenta una mayor dificultad de implementación frente al modelo acoplado. 5 Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos En los capítulos anteriores se presentó el planteamiento y la formulación del modelo numérico para solucionar problemas que se -difusión-reacción aplicando el método de los Elementos finitos, la técnica de estabilización de Petrov-Galerkin en contracorriente y el método de separación de “S S g S ” mbién se desarrollaron varios casos y problemas de prueba por medio de los cuales se mostró que el modelo numérico es bastante exacto. 5.1 Modelado de la dispersión de contaminantes atmosféricos dentro de un entorno urbano La contaminación atmosférica debido a las emisiones del tráfico urbano es uno de los temas de estudio de mayor importancia en los centros urbanos esto debido a los efectos perjudiciales para la salud que pueden generar algunas de las sustancias emitidas. Para Bogotá la importancia de estos estudios se ve reforzada por el desmesurado incremento del parque automotor en los últimos años así como la presencia de automóviles que no cumplen con las normas establecidas para limitar las emisiones de contaminantes al ambiente lo que comprende un riesgo potencial para la salud pública. Por lo cual el desarrollo de un algoritmo para la simulación de la dispersión de sustancias contaminantes en la atmosfera sobre los entornos urbanos a nivel de micro escala seria de utilidad esto debido a que esta herramienta permitiría predecir el comportamiento de las sustancias contaminantes dentro del espacio aéreo del entorno urbano ayudando a los estudios de contaminación ambiental futuros así como ayudando al planeamiento de soluciones prácticas que contemplen la reducción de los niveles de contaminación reduciendo de esta forma el riesgo para la salud pública. 126 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. El modelo desarrollado se probó en el estudio de la dispersión de los contaminantes NO, NO2 y O3 sobre un dominio de prueba que representa un sector urbano de la ciudad de Bogotá ubicado en el costado accidental de la carrera 30 frente al Coliseo el Campin en la localidad de Teusaquillo. En la Figura 5.1 se muestra la ubicación del sector seleccionado para la construcción del modelo físico. Figura 5.1. Ubicación geográfica del sector urbano de la ciudad de Bogotá analizado. Este sector es adecuado para probar el modelo numérico esto debido a la presencia de vías como la carrera 30 que presenta un alto tráfico vehicular y vías secundarias que no cuentan con mucha presencia vehicular. 5.1.1 Modelado del flujo atmosférico El comportamiento del flujo atmosférico es uno de los parámetros de entrada al modelo de dispersión y es por esto que debe ser calculado con anterioridad para predecir el comportamiento de los contaminantes. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos P Navier-S k j R S 127 “R g ” muy por debajo de los requeridos por los otros modelos y además presenta resultados satisfactorios a la hora de modelar flujos en especial con velocidades similares a las que se presentan normalmente dentro y en los alrededores de los centros urbanos, asimismo los resultados obtenidos en varios artículos validan la selección del método al presentar resultados satisfactorios en relación a modelos experimentales desarrollados en túneles de viento u obtenidos por medio de estudios de campo. Así mismo el modelo de turbulencia que se seleccionó para acompañar el método de solución numérica es el modelo de viscosidad turbulenta RNG k-épsilon esto debido a que simulan bastante bien el comportamiento turbulento de los fluidos mientras no se presenten gradientes altos de presiones o flujos de alta velocidad. La solución numérica para el modelo de flujo atmosférico se obtuvo por medio del paquete de licencia libre Openfoam (ANEXO B). 5.1.1.1 Condiciones de bode del modelo de flujo atmosférico. Para modelar el comportamiento del flujo atmosférico sobre el entorno urbano se calculó como primero las condiciones del flujo atmosférico sobre la superficie que representa la entrada del fluido al dominio del problema por medio de las ecuaciones presentadas por Castro y Apsley en 1997 en el artículo [123]. u* y ln z h uin ( y ) kv y0 u zh 1 2 z 2 u 1 in ( y ) C1/2 * h in ( y ) (5.1) z 0.9h (5.2) z 0.9h C3/4 in3/2 kv y (5.3) Estas ecuaciones representan los perfiles de velocidad (Ec. 5.1), de energía cinética turbulenta (Ec. 5.2) y de disipación de la energía cinética turbulenta (Ec. 5.3), donde , 128 , Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. , , y son la velocidad de fricción, la velocidad del viento media, la energía cinética turbulenta ambiente, la longitud de la rugosidad, la altura de la capa limite y la constante de von Karman respectivamente además Los valores seleccionados para , y y es una constante igual a 0.0845. son presentados en la Tabla 5.1 Tabla 5.1. Parámetros de los perfiles de velocidad, energía cinética turbulenta y disipación de la energía cinética turbulenta para la construcción de la condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. Parámetro Valor 0.05 100 1.52 0.08 Unidades [m] [m] [m/s] [m/s] La longitud de la rugosidad es un parámetro que representa la distancia teórica a la cual la velocidad del fluido es cero debido a los obstáculos que se presentan en el entorno. El valor de 0.05 metros fue escogido basado en la suposición de un terreno plano con presencia de obstáculos aislado esto sin incluir el montaje del museo de Arena. Para el valor de la altura de la capa limite se utilizó el presentado en el artículo [77] de Kim y Baik. La velocidad del viento media se seleccionó basada en la información presentada por la secretaria distrital de medio ambiente. Los datos de la magnitud de la velocidad del viento seleccionado son presentados en el ANEXO C. El valor de la velocidad de rugosidad es calculada por medio de la educación 5.4 u* u kv ln y y0 (5.4) Igualmente la dirección del viento fue seleccionada considerando el caso donde las emisiones de los vehículos que transitan sobre la carrera 30 son transportadas y dispersadas sobre el sector urbanizado. Los perfiles de velocidad, energía cinética turbulenta y disipación de la energía cinética turbulenta obtenidos para este caso se presentan en la Figura 5.2. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos A B 129 C Figura 5.2. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de energía cinética turbulenta (B) y disipación d la energía cinética turbulenta (C). Adicionalmente las condiciones de borde empleadas para las fronteras solidas son de velocidad igual a cero o velocidad nula. 5.1.2 Modelado de dispersión de contaminantes El modelo físico que representa el sector urbano en tres dimensiones es presentado en la Figura 5.3. Figura 5.3. Modelo computacional del sector urbano de la ciudad de Bogotá analizado. 130 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Donde las dimensiones del dominio son de edificios en azul presentan una altura igual a con una altura igual a metros, adicionalmente los metros y los edificios en café cuentan metros. Para la simulación de dispersión de contaminantes se implementó un dominio bidimensional como se muestra en la Figura 5.4, esto debido a que el desarrollo del modelo se realizara en dos dimensiones. Figura 5.4. Entorno urbano bidimensional seleccionado para la simulación de dispersión de contaminantes. Para realizar una simulación adecuada de la dispersión de contaminantes se seleccionó la posición del dominio bidimensional sobre el entorno urbano donde los campos de velocidad así como los valores de energía cinética turbulenta y disipación de la energía cinética turbulenta obtenidos sobre el dominio bidimensional y el modelo físicos tridimensional son similares (Figura 5.5, Figura 5.6 y Figura 5.7), así como también las velocidades en la dirección transversal al plano bidimensional son lo suficientemente pequeñas para considerar sus efectos insignificantes sobre la dispersión de contaminantes en el entorno urbano (Figura 5.8). 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos A 131 B Figura 5.5. Campo de velocidades en x para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B). A B Figura 5.6. Campo de velocidades en y para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B). A B Figura 5.7. Viscosidad turbulenta para los modelos tridimensional (A) y bidimensional (B). 132 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Figura 5.8. Campo de velocidades en z para el modelo tridimensional L dispuso para la solución del modelo del flujo atmosférico sobre el dominio tridimensional y bidimensional fue desarrollada por medio de elementos hexaédricos y cuadriláteros respectivamente. El número de elementos y nodos para cada caso son presentados en la Tabla 5.2. Tabla 5.2. umero de nodos y elementos usados en la discreti ación de los modelos físicos tridimensional y bidimensional. Modelo Elementos Nodos Tridimensional 43795 49397 Bidimensional 8850 9158 Para el modelado de dispersión de contaminantes sobre el dominio bidimensional se implementó la misma malla usada para el cálculo del comportamiento del flujo atmosférico de forma que se pudiera utilizar directamente los datos calculados de velocidad y turbulencia, de forma que no se necesitara de ningún preproceso adicional que podría conllevar a una reducción de la precisión del cálculo del campo de velocidad así como de los valores de la energía cinética turbulenta y la disipación de la energía cinética turbulenta. En la Figura 5.9 se presenta la malla implementada para el cálculo del problema de transporte de sustancias sobre el dominio bidimensional. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 133 Figura 5.9. Malla utilizada para discretizar el dominio bidimensional del entorno urbano. Adicional al campo de velocidades es necesario calcular el coeficiente de difusión debido a la turbulencia que se presenta en el flujo atmosférico, para esto como se comentó en el capítulo 2.3.3 existen varios métodos entre esto la implementación del número adimensional de Schmidt turbulento, por medio del cual se relaciona el coeficiente de difusión másica con la viscosidad turbulenta del flujo. El número de Schimdt seleccionado para calcular el coeficiente de difusión másica turbulenta sobre el dominio bidimensional que representa una sección del entorno Bogotano es igual a 0.7, esto debido no solo a que es uno de los números de Schmidt implementados en estudios de transporte de contaminantes sobre entorno urbanos como los desarrollados por Li y Stathopoulos, y Wang y McNamara, sino también porque es uno de los números de Schmidt más usados para el cálculo de dispersión de sustancias debido a los procesos turbulentos de los fluidos. Este número fue presentado por Spalding en 1971 y en los estudios en donde se ha implementado han presentado buenas aproximaciones al comportamiento experimental de las sustancias. El siguiente paso fue calcular los valores de emisión de NOx sobre la carrera 30 para incluirlos en el modelo numérico. Estos datos fueron obtenidos de la campaña de medición realizada por el departamento de ingeniería química de la Universidad Nacional de Colombia sobre la carrera 30 entre las calles 57 y 61 los días 27, 28 y 29 de Febrero de 2012. El procedimiento que se utilizó para calcular la emisión de las sustancias NOx en el ambiente debido al tráfico urbano es presentado a continuación: Primero se realizó una medición de la cantidad de vehículos que transitaron durante tres días por la carrera 30 entre la calle 57 a la calle 61, estos datos se organizaron dependiendo del tipo de vehículo así como de la hora del día en el que transitaron. En la Tabla 5.3 se presenta la clasificación utilizada en este estudio. 134 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Tabla 5.3. Clasificación vehicular de la campaña sobre la carrera 30. Clasificación Símbolo Automóviles L Colectivos CP, CG Buses y Busetas BT, B, AL Buses escolares pequeños, ESP grandes y ambulancias Bus intermunicipales INT Camiones de 2 ejes pequeño C2P Camones de 2 o más ejes grandes C2G, C3, >C3 Motos M Luego se seleccionaron los factores de emisión para cada categoría vehicular (Tabla 5.3). Clasificación Factor de emisión [ 1.5978 L 3.8059 CP, CG 10.5073 BT, B, AL 5.99, 15.21, 1.01 ESP 15.21 INT 5.0968 C2P 6.9535 C2G, C3, >C3 0.2381 M ] Por medio de los datos medidos así como los factores de emisión se calculó la cantidad de sustancias emitidas por segundo sobre la carrera 30. Para esto se implementó la ecuación 5.7. Em Donde Fe Nveh 3600 es la cantidad de sustancias emitida por segundo, (5.7) es el factor de emisión y es el número de vehículos que transitan por hora. Las unidades de la cantidad de sustancias emitida por segundo son [ ⁄ ]. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 135 Tabla 5.4. Longitud transversal de las vias que componen la carrera 30 entre las calles 57 y 61. Vía 1- Norte-Sur 2- Norte-Sur (Rápido) 3- Sur Norte Longitud 10 6 12 Unidades [m] [m] [m] Para el calculó de la emisión de sustancias por unidad de volumen se midió el ancho de las tres vías que componen la carrera 30 (Tabla 5.4) y se consideró una altura de emisión igual a 0.5 metros y por medio de la ecuación 5.8 se obtuvo el valor de emisión por unidad de volumen para cada una de las vías. Ema Donde es el ancho de la vía y Em l a (5.8) es la altura promedio de emisión de las sustancias. Los valores de emisión calculados para cada una de las vías son presentados en la Tabla 5.5. Tabla 5.5. Emisiones de NOx sobre la carrera 30. Emisiones totales de NOx [ ] Vía 8 a.m. 9 a.m. 10 a.m. Promedio N-S 0.462 0.443 0.421 0.442 N-S (R) 0.570 0.614 0.606 0.597 S-N 0.605 0.519 0.570 0.564 Con los valores de emisión promedios de la masa molecular para las sustancias para cada una de las vías y considerando y (Tabla 5.6) así como su relación de concentraciones igual a 24/76, se calcularon los valores de emisión en [ estas sustancias. Los valores calculados son presentados en la Tabla 5.7. ] para 136 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Tabla 5.6. Masa molecular de las sustancias NO y NO2. Sustancia Masa molecular [ ] 30.00615 46.00558 Tabla 5.7. Emisiones de NO y NO2 sobre la carrera 30. Vía N-S N-S (R) S-N [ ] [ ] 1.28E-05 1.28E-06 1.72E-05 1.72E-06 1.63E-05 1.63E-06 Extrapolando los datos medidos sobre la carrera 30 se calculó el número de vehículos promedio que transita por la calle 35A y realizando el mismo procedimiento usado para calcular los valores de emisión sobre la carrera 30, se obtuvo el valor de emisión de las sustancias y . Los valores de emisión para la calle 35A son presentados en la Tabla 5.8. Tabla 5.8. Emisiones de NO y NO2 sobre la calle 35A. [ ] [ 4.39E-7 ] 4.39E-8 C g difusión se incluyeron los procesos reactivos que se presentan entre estas sustancias sobre la atmosfera urbana (troposfera). El mecanismo de reacción implementado es presentado en la Figura 5.10. NO2 hv NO O k2 O O2 M O3 M k3 O3 NO NO2 O2 Figura 5.10. Mecanismo de reacción entre las sustancias NO, NO2 y O3 En el mecanismo de reacción además de las sustancias NO, NO2 y O3 se presentan las sustancias O2 y O debido a esto el modelo de transporte debe incluir no solo el análisis 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 137 de las primeras tres sustancias sino además el comportamiento en el espacio de las sustancias O2 y O dando así un sistema de cinco ecuaciones tipo DAR. El proceso de fotodisociación de la sustancia NO2 es representado matemáticamente como un proceso reactivo normal con la diferencia que la tasa de reacción para este caso sería igual a la tasa de disociación debida a la irradiación solar llamada tasa de reacción fotolítica. Para calcular este coeficiente se implementó la ecuación 5.5 propuesta por Shetter. J NO 2 J NO 2(25C ) 0.97694 8.37 E 4 T 273.15 4.5173E 6 T 273.15 2 (5.5) Donde la tasa de reacción fotolítica a 25 Celsius es calculada por medio de la ecuación 2.30 considerando que el proceso de disociación debido a la irradiación solar para la sustancia NO2 ocurre solo en el intervalo de longitud de onda de 290 a 430 nm. Los datos de la sección eficaz de absorción de las moléculas, el rendimiento cuántico de la fotolisis y el flujo solar para el caso en el que se presenta un ángulo de Zenith solar igual a 40° son presentados en la Figura 5.11, estos datos son extraídos del libro de física y química atmosférica de Seinfield y Pandis [125]. Figura 5.11. Datos usados para el cálculo de la tasa de reacción fotolítica del NO2 a nivel del suelo y un ángulo de zenith solar igual a 40°. Como se observa en la tabla el valor calculado para la tasa de reacción fotolítica es igual a [ ]. 138 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. En el modelo se estudia el proceso de dispersión de sustancias en las horas de la mañana aproximadamente entre las 8 y las 9 am por lo tanto el valor de la tasa de disociación para la sustancia NO2 calculada para un ángulo de zenith solar de 40° es adecuado para el estudio. Cabe aclarar que el ángulo de zenith solar es el ángulo que se forma entre una línea vertical (zenith) perpendicular a la superficie terrestre en un punto y la línea imaginaria que conectar este punto con el sol como se observa en la Figura 5.12. Figura 5.12. Angulo de Zenith Solar Adicional a la ecuación 2.30 se han desarrollado varias expresiones matemáticas por medio de las cuales se puede calcular el valor del coeficiente de fotodisociación, entre estas se encuentra la desarrollada por Schere y Demerjain en 1978 que se compone de tres ecuaciones que permiten el cálculo del coeficiente de fotodisociación para la sustancia NO2 por medio de la radiación solar global o TSR por sus siglas en inglés y el ángulo de zenith solar. Las ecuaciones propuestas por Schere y Demerjain son presentadas a continuación: J NO 2 1.09 E 4 J NO 2 TSR 4.23E 4 0 47 Cos J NO 2 TSR 5.82 E 4 47 64 TSR 0.997 E 4 1.2 E 3 1 Cos 64 90 (5.6) Este modelo incluye los efectos de la nubosidad y la bruma directamente por medio de la radiación solar global lo que representa una ventaja sobre los otros métodos de cálculo del coeficiente de fotodisociación. Para calcular el coeficiente de fotodisociación del NO2 en el problema planteado por medio de las ecuaciones presentadas en 5.6, se extrajo la información de la radiación solar global (TSR) de la red de monitoreo de Calidad del Aire de Bogotá (RMCAB) para 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 139 los días 27, 28 y 29 de febrero de 2012 sobre el punto de monitoreo más cercano al entorno urbano seleccionado para el estudio (Figura 5.13). Figura 5.13. Radiación solar global para los días 27, 28, 29 de febrero de 2021 medidos en la estación de medición IDRD. Por medio de la información obtenida de la estación de medición se construyó una expresión matemática para calcular el TSR promedio dependiendo del ángulo de zenith solar entre las 8 y las 10 de la mañana (Figura 5.14). TSR 0.14 2 29.389 1476.7 Figura 5.14. Expresión matemática del TSR. Con la ecuación presentada en la Figura 5.14 y la primera ecuación presentada en 5.6 se calcula el coeficiente de fotodisociación entre las 8 y 10 am horario en el cual se desarrollara el modelado del proceso dispersivo del comportamiento de los contaminantes NO, NO2 y O3 sobre el entorno urbano seleccionado. 140 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Las tasas de reacción de la segunda y la tercera reacción presentes en el mecanismo de reacción presentado en la Figura 5.10 son calculadas por medio de las ecuaciones “Ch h S E K Ph 17” S h U 10 J 2011. Las ecuaciones así como los parámetros son presentados en la Tabla 5.9. Tabla 5.9. Tasas de reacción para las reacciones químicas presentes en el problema de estudio. Reacción Ecuación k2 O O2 M O3 M k3 O3 NO NO2 O2 T kr2 A 300 kr2 A e Parámetros m EA RT A 217.597 m 2.4 A 1.81E6 EA 1500 R Unidades m6 mol 2 s 3 m mol s Las condiciones de borde empleadas en el modelo numérico son condiciones tipo Neumann homogéneas como se presenta en la Figura 5.15. Bordes Condición de borde Neumann Homogéneo Figura 5.15. Condiciones de borde del modelo bidimensional de dispersión de contaminantes atmosféricos. Asimismo las condiciones iniciales de la simulación presentan un ambiente atmosférico sin presencia de NOx. Las concentraciones iniciales planteadas para este problema son presentadas en la Tabla 5.10. Tabla 5.10. Concentraciones iniciales de las sustancias O2 y O3. Sustancia Concentración inicial [ 8.1086 7.74E-7 0 ] 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 141 La simulación de la dispersión de contaminantes atmosféricos se realizó entre las 8 y las 9 de la mañana con un paso de tiempo de simulación igual a 1 segundo. El esquema temporal implementado es el esquema Backward-Euler. 5.2 Resultados El campo de velocidades obtenido en estado estable así como los valores de la viscosidad turbulenta, parámetro necesario para el cálculo del coeficiente de difusión turbulenta de masa, son presentados en la Figura 5.16, Figura 5.17 y Figura 5.18. Figura 5.16. Campo de velocidad en x simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá. Figura 5.17. Campo de velocidad en y simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá. Figura 5.18. Campo de viscosidad turbulenta simulado para el modelo físico bidimensional del entorno urbano de Bogotá. Para la simulación de la dispersión de contaminantes se desarrollaron dos variantes dependiendo del método de cálculo del coeficiente de fotodisociación empleado. Para el 142 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. primer caso en el cual se implementó el método de solución del coeficiente de fotodisociación por medio de la ecuación 2.30 y un ángulo de zenit solar igual a 40 grados se obtuvo la predicción del comportamiento de la sustancia NO, NO2 y O3 presentadas en la Figura 5.19, Figura 5.20 y Figura 5.21 respectivamente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Figura 5.19. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el primer caso solucionado. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 143 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Figura 5.20. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el primer caso solucionado. 144 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Figura 5.21. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el primer caso solucionado. Lo primero que se puede observar con el comportamiento de las sustancias a través del tiempo es que para los casos en los que no se presenta un cambio abrupto en el comportamiento del flujo atmosférico, la distribución de las sustancias emitidas a la atmosfera alcanzan un estado de estabilidad aproximadamente a los 30 minutos (1800 segundos) de haberse iniciado el proceso de emisión dentro del dominio en estudio. Asimismo también es posible observar que el edificio presente al costado occidental de la carrera 30 genera un efecto de acumulación de las sustancias NO y NO2 sobre la zona peatonal afectando principalmente a los transeúntes así como a las personas que residen en esta edificación. Adicionalmente sobre el extremo opuesto se presenta un vórtice que genera un efecto de estancamiento de las sustancias sobre el corredor vial presente en este sector del domino urbano. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 145 Los valores máximos de concentración de las sustancias NO y NO2 (Tabla 5.11) se encuentran localizados sobre la carrera 30 y la vía peatonal presenta al costado occidental de la misma. Tabla 5.11. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el primer caso solucionado. Sustancia NO NO2 Concentración Unidades Máxima 3.4075E-5 4.1664E-6 Para el segundo caso, en el cual se calculó el coeficiente de fotodisociación por medio de la expresión matemática propuesta por Schere y Demerjai, se obtuvieron los resultados presentados en la Figura 5.22, Figura 5.23 y Figura 5.24 para las sustancias NO, NO2 y O3 respectivamente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Figura 5.22. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el primer caso solucionado. 146 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Figura 5.23. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el primer caso solucionado. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 147 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Figura 5.24. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el primer caso solucionado. Al igual que en el caso anterior las sustancias alcanzan un comportamiento estable aproximadamente a los 30 minutos de iniciado el proceso de emisión de los contaminantes sobre la carrera 30 y carrera 35A. Adicionalmente los valores máximos de concentración (Tabla 5.12) observados para este caso presentan un incremento ligero en relación a los resultados obtenidos en el caso anterior esto posiblemente por la implementación del coeficiente de fotodisociación dependiente del ángulo de zenit solar. Tabla 5.12. Concentración máxima de las sustancias NO y NO2 para el segundo caso solucionado. Sustancia NO NO2 Concentración Unidades Máxima 3.999E-5 4.2497E-6 148 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos por medio de los dos casos solucionados es posible concluir que para el estudio de dispersión de las sustancias NOx cualquiera de los dos métodos implementados para el cálculo del coeficiente de fotodisociación es adecuado, sin embargo se aconseja implementar la expresión matemática desarrollada por Schere y Demerjain para los casos en los que es posible medir u obtener los datos de radiación solar global promedio sobre el sector de estudio. Adicionalmente los contornos de concentración de las sustancias NO, NO2 y O3 que fueron obtenidos por medio del modelo numérico para los dos casos desarrollados presenta una distribución consistente con los resultados mostrados por Baker et al. en el artículo [37]. Baker et al. presenta los perfiles de concentración promedio de las sustancias NO, NO2 y O3 modelados para dos casos de dispersión de contaminantes sobre un corredor urbano. El primer caso presenta una condición de borde tipo cíclico sobre los bordes de entrada y salida del flujo y los perfiles de concentración promedio de las sustancias NO y O3 obtenidas para este caos son presentados en la Figura 5.25. Figura 5.25. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO y O3 para el primer caso de Baker [37]. La línea continua y discontinua representan el perfil de concentración para un tiempo de simulación de 90 y 60 segundos respectivamente. Asimismo en la Figura 5.26 se presentan los perfiles de concentración de NO, NO2 y O3 del segundo caso, el cual cuenta con las mismas condiciones de borde y difiere del primer caso únicamente en el valor de la emisión de las sustancias en el dominio. Los valores de emisión para los dos casos calculados por Baker et al. son presentados en la Tabla 5.13. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos A 149 B Figura 5.26. Perfiles de concentración promedio de las sustancias NO, NO2 (A) y O3 (B) para el segundo caso de Baker [37].La línea continua y discontinua representan el perfil de concentración para un tiempo de simulación de 90 y 60 segundos respectivamente Tabla 5.13. Emisiones de NO, NO2 y O3 en los dos casos de Baker. Caso 1 2 [ ] [ 11.2 112 ] 1.7 17 Los contornos de concentración obtenidos por medio del modelo numérico desarrollado presentan un comportamiento de las sustancias similar al presentado en la Figura 5.25 y la Figura 5.26, donde la concentración de las sustancias NO y NO2 decrecen con la altura mientras que la concentración del ozono (O3) se incrementa. El aumento de la concentración de las sustancias NO y NO2 cerca del suelo se debe principalmente por la emisión de estas sustancias en los puntos específicos dentro del dominio así como los fenómenos de estancamiento debido a las vorticidades del flujo atmosférico y el proceso reactivo presente en el modelo. Así mismo la baja concentración de ozono sobre la superficie del entorno urbano es causa principal de los procesos reactivos que consumen el ozono para la producción de otras sustancias. Adicionalmente la relación de concentración de las sustancias dentro de los corredores urbanos presenta un comportamiento similar al observado en los dos casos solucionados por Baker et al. Como se observa en la Figura 5.27 para el caso de la carrera 35A las sustancias NO y NO2 cerca de la cara del sotavento presentan una mayor concentración que cerca de la cara del barlovento mientras que para el ozono (O3) se presenta el efecto contrario. 150 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. A B C Figura 5.27. Campos de concentración de las sustancias NO (A), NO2 (B) y O3 (C) en el corredor vial de la carrera 35A a los 3600 segundos de simulación. La razón de que la sustancia O3 presenta un comportamiento inverso a las sustancias NO y NO2 se debe a que al aire rico en ozono entra al corredor vial por el lado del barlovento del corredor vial. Por medio de los dos casos anteriores es posible observar el comportamiento de los contaminantes atmosféricos sobre el entorno urbano, sin embargo para el análisis de la dispersión de contaminantes sobre corredores urbanos con geometrías complejas que no pueden ser predichos por medio de un modelo bidimensional es necesaria la implementación de un modelo tridimensional. La variante en tres dimensiones del algoritmo programado fue implementada en un tercer caso para la simulación del transporte de las sustancias NO, NO2 y O3 sobre la intersección que se presenta entre la carrera 35A y la calle 60. En este caso solo se tuvo en cuenta la emisión de contaminantes que se presenta sobre la carrera 35A desarrollando un estudio particular del comportamiento de las sustancias presentes en la atmosfera urbana debido al tránsito de vehículos sobre esta vía. El dominio computacional construido del cruce entre la carrera 35A y la calle 60 se extrajo del modelo computacional del entorno físico presentado en la Figura 5.3 como se observa en la Figura 5.28. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 151 Figura 5.28. Dominio computacional implementado para el modelo tridimensional. L h empleando 18830 nodos y 16640 elementos como se observa en la Figura 5.29. A B Figura 5.29. Dominio computacional (A) y discreti ación espacial (B) del tercer caso. Para calcular los campos de velocidad así como los valores de viscosidad turbulenta se construyó una condición de borde de entrada de flujo por medio de los datos de 152 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. velocidad, energía cinética turbulenta y disipación de energía cinética turbulenta obtenidos del modelo CFD calculado sobre el dominio computacional del sector urbano seleccionado completo (Figura 5.30). Los perfiles de la condición de borde para este caso son presentados en la Figura 5.31. A B C D E F Figura 5.30. Campos de velocidad en x (A), y (B), z (C), energía cinética turbulenta (D), disipación de energía cinética turbulenta (E) y viscosidad turbulenta (F) resultados del modelo CFD sobre el dominio computacional del sector urbano seleccionados. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos A B 153 C Figura 5.31. Condición de borde de entrada del campo de velocidades en el problema de dispersión de contaminantes. Perfiles de velocidad (A), de energía cinética turbulenta (B) y disipación d la energía cinética turbulenta (C). Donde la línea en azul presenta el perfil extraído de los datos calculados por medio del modelo CFD y la línea negra representa la aproximación matemática implementada para la construcción de la condición de borde de entrada de flujo en el tercer caso. Los resultados obtenidos del modelo CFD se presentan sobre tres cortes realizados en el dominio, transversales a la carrera 35A (Figura 5.32). Los campos de velocidad para las direcciones x, y y z en unidades de [m/s] son presentadas en la Figura 5.33, Figura 5.34 y Figura 5.35; adicionalmente el valor de la viscosidad turbulenta en [m2/s] es presentado en la Figura 5.36. A B C Figura 5.32. Cortes transversales del dominio computacional de la intersección entre la carrera 35A y la calle 60 a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio. 154 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. A B C Figura 5.33. Campo de velocidad en x para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio. A B C Figura 5.34. Campo de velocidad en y para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio. A B C Figura 5.35. Campo de velocidad en z para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio. 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos A B 155 C Figura 5.36. Campo de viscosidad turbulenta para el modelo físico bidimensional sobre los cortes a 7.5 metros (A), 15 metros (B) y 22.5 metros (C) de la cara posterior del dominio. Solucionado el modelo de fl j la dispersión de contaminantes sobre el dominio computacional para un tiempo de simulación igual a 1350 segundos. Los resultados de la simulación son presentados a continuación para los pasos de tiempo iguales a 150, 300, 450, 900 y 1350 segundos. [ ] [ ] Figura 5.37. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1. [ ] 156 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. [ ] [ ] Figura 5.38. Evolución de la concentración de la sustancia NO en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2. [ ] [ ] Figura 5.39. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1. [ ] 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 157 [ ] [ ] Figura 5.40. Evolución de la concentración de la sustancia NO2 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2. [ ] [ ] Figura 5.41. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 1. [ ] 158 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. [ ] [ ] Figura 5.42. Evolución de la concentración de la sustancia O3 en el tiempo para el tercer caso solucionado, parte 2. Como se observa el fenómeno de rotación de las sustancias sobre el corredor urbano de la carrera 35A es diferente al observado en el modelo bidimensional, esto debido a la modificación del flujo atmosférico que se presenta en este dominio por la presencia de la intersección entre las vías modeladas. Asimismo sobre la intersección de las vías (carrera 35A y calle 60) los contaminantes son transportados directamente a través de la calle 60 hasta el exterior del dominio de estudio, debido a que el flujo atmosférico es paralelo al corredor urbano generando un fenómeno de arrastre de sustancias a través del dominio computacional. La diferencia que se presenta sobre los valores de concentración de las sustancias NO, NO y O3 sobre el dominio de estudio tridimensional se debe principalmente por la no implicación de la emisión de sustancias sobre la carrera 30, así como por el transporte y extracción de los contaminantes que se lleva a cabo por el flujo atmosférico que se presenta sobre el corredor vial de la calle 60. Con los resultados obtenidos en este caso es posible corroborar que los modelos bidimensionales no son adecuados para estudio de dispersión de contaminantes sobre entornos con geometrías complejas como ocurre en el modelo tridimensional seleccionado, donde las perturbaciones del flujo atmosférico cerca de las esquinas presentes en el cruce entre la carrera 35A y la calle 60 afectan el comportamiento de las 5. Modelado numérico del problema de dispersión de contaminantes atmosféricos 159 sustancias, lo cual no puede ser capturado en su totalidad por medio de un modelo bidimensional. Por medio de los casos solucionados en este capítulo se puede concluir que los algoritmos numéricos desarrollados para los dominios bidimensional y tridimensional presentan ventajas notables para el estudio de dispersión de contaminantes debido a que pueden ser fácilmente implementados para simular el comportamiento de cualquier sustancia contaminante sobre cualquier dominio de estudio. Asimismo pueden ser utilizados en estudios de emisión particulares como se observó en el tercer caso desarrollado en este capítulo (caso tridimensional), lo cual presenta un mayor grado de dificultad en los otros métodos de estudio existentes. 6 Conclusiones 6.1 Aportes del trabajo El trabajo actual es un paso importante para el desarrollo de modelos más realistas sobre el estudio de dispersión de contaminantes en corredores viales así como en sectores urbanos incluyendo varios aspectos de dispersión y reacción química para capturar el comportamiento de este fenómeno físico. En este trabajo se desarrollaron dos modelos numéricos implementando el método d P -G k reacción que representa el proceso de dispersión de los contaminantes en un entorno urbano. El algoritmo fue programado en lenguaje FORTRAN y validado a través de problemas de prueba y la comparación con un estudio de dispersión de contaminantes presentado en la literatura. En el presente trabajo se analizan los fenómenos que se presentan e estudiados en diferentes artículos y textos, así como el proceso de reacción que es uno de los fenómenos más importantes en los estudios de dispersión de contaminantes debido a los efectos de perturbación sobre la concentración de las sustancias. E matemáticamente el fenómeno de dispersión presenta un elevado costo computacional así como una compleja implementación debido al acoplamiento entre ecuaciones y a la no linealidad que conlleva el término que representa los procesos reactivos entre sustancias. Debido a lo anterior en este trabajo se implementó un novedoso método por medio del cual el problema es dividido en un número determinado de sub-problemas que 6. Conclusiones 161 son solucionados de manera separada y luego sus resultados son acoplados para obtener el resultado del proceso de dispersión global. Por medio de este método se logró no solo reducir los costos computacionales del modelo numérico para solucionar un problema de dispersión de contaminantes, sino además mantener una elevada precisión en el cálculo de las ecuaciones diferenciales que representan el fenómeno de dispersión obteniendo así predicciones adecuadas del comportamiento de las sustancias. 6.2 Productos y publicaciones Como producto de este trabajo se realizó un artículo (Anexo B), aceptado para ponencia oral en el décimo congreso en mecánica computacional realizado entre los días 8 y 13 de J 01 S P B “S Por otro lado, el desarrollo del E g S gS j ” j g h problemas en los que se presenta un efecto advectivo predominante. El algoritmo desarrollado es altamente flexible de forma que puede ser empleado para múltiples tipos de problemas que se expresan a través de la ecuación diferencial del transporte de sustancias. 6.3 Trabajos futuros Entre los trabajos que se pueden desarrollar con base en el problema solucionado esta una comparación más a fondo con un estudio de campo o experimental sobre el fenómeno de dispersión de contaminantes para desarrollar un proceso de optimización en el algoritmo desarrollado para realizar una mejor predicción de la calidad del aire sobre los entornos urbanos. La optimización del algoritmo numérico para la reducción del costo computacional innecesario lo cual presenta grandes ventajas no solo en la reducción del tiempo de 162 Modelado numérico de la dispersión de contaminantes asociada al flujo atmosférico dentro de un entorno urbano especifico de la Ciudad de Bogotá. computo, sino adicionalmente en la capacidad del mismo para la simulación de problemas de mayor tamaño espacial y temporal no solo en un ámbito bidimensional sino también tridimensional. Para complementar el modelo de dispersión de contaminantes se está desarrollando un modelo de dinámica de fluidos computacional conocido con el nombre de Characteristic Based Split, este modelo es solucionado por medio del método de los elementos finitos y un esquema en Split para solucionar las ecuaciones que representan matemáticamente la conservación de la masa, el momento y la energía para un problema de este tipo. Con este se busca mejorar la aproximación de los estudios de dispersión de contaminantes al modelar paralelamente el comportamiento de los fluidos así como la introducción de los efectos debidos al calentamiento de las superficies presentes en estos problemas debido a la irradiación solar, así como el estudio del microclima que se genera en los entorno urbanos debido a las temperaturas de emisión de los gases contaminantes. Asimismo se podría implementar un método estocástico a la formulación del modelo numérico como es el caso del método de los elementos finitos estocásticos espectrales o SSFEM por sus siglas en inglés, para incluir los comportamiento estocásticos de algunos de los fenómenos físicos que se modelan en estos problemas como es el caso de la turbulencia en los fluidos, los procesos difusivos de las sustancias, entre otros. Bibliografía [1]. J. Fenger. Urban air quality. Pergamon, Atmospheric Environment 33: 4877-4900, 1999. [2]. A. Bardeschi, A. Cpolucci, V. Gianelle, M. 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Casos de prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Malla Paso de tiempo Mecanismo de reacción Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Completo Completo Completo Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Completo Completo Completo Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Completo Completo Completo Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Máxima Coeficiente Velocidad difusivo de flujo Molecular Pequeño Molecular Pequeño Molecular Pequeño Molecular Pequeño Molecular Pequeño Molecular Pequeño Molecular Pequeño Molecular Pequeño Turbulento Pequeño Turbulento Pequeño Turbulento Pequeño Turbulento Pequeño Turbulento Pequeño Turbulento Pequeño Turbulento Pequeño Turbulento Pequeño Molecular Grande Molecular Grande Molecular Grande Molecular Grande Molecular Grande Molecular Grande Molecular Grande Molecular Grande Turbulento Grande Turbulento Grande Turbulento Grande Turbulento Grande Turbulento Grande Método numérico Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Acoplado Anexos 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 177 Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Gruesa Fina Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Pequeño Pequeño Grande Grande Completo Completo Completo Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Completo Completo Completo Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Completo Completo Completo Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Completo Completo Completo Simplificado Simplificado Simplificado Simplificado Completo Completo Completo Completo Turbulento Turbulento Turbulento Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Molecular Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Turbulento Grande Grande Grande Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Pequeño Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Grande Acoplado Acoplado Acoplado Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split Split B. Anexo: Selección del paquete solucionador del flujo atmosférico. En la actualidad existen muchos paquetes tanto comerciales como de licencia libre desarrollados para solucionar problemas de dinámica de fluidos computacional. Algunos de los paquetes más conocidos y utilizados son Fluent, Openfoam, CFDdesign, Comsol, Flotran y Elmer. La mayoría de estos algoritmos fueron desarrollados basándose en el método de solución de los volúmenes finitos y solo algunos como Comsol y Elmer implementan el método de los elementos finitos. Entre los paquetes CFD mencionados se seleccionaron Fluent Y Openfoam como candidatos debido a su amplio uso en los temas de dinámica de fluidos atmosféricos. Para seleccionar el paquete más apropiado se desarrolló un diseño factorial en el software Minitab basado en el problema de prueba presentado en la Tabla B.1. Tabla B.1. Planteamiento del problema de prueba para la selección del paquete CFD. Dominio del problema Características del problema Método de RANS solución Modelo de RNG kturbulencia epsilon Condones de borde Velocidad Entrada Presión (Ent) K Epsilon Velocidad Paredes (Par) Presión Superior (Sup) Salida (Sal) Velocidad Presión Velocidad Presión Valores (Ec. 5.1) P 0 (Ec. 5.2) (Ec 5.3) P 0 v ny 0 P 0 v 0 Diseño de experimentos Anexos Donde 179 [ ] es la velocidad de fricción, [ ] es la altura de la capa limite y [ ] es la rugosidad, es la constante de von karman. Los factores de diseño seleccionados son presentados en la Tabla B.2. Tabla B.2. Factores de diseño del problema de prueba para la selección del paquete CFD. FACTOR Niveles Fluent Paquete Openfoam Gruesa Malla Fina Refinada dPout Condición de borde de Salida (B. C.) Pout Valor Paquete Comercial Paquete libre 488 5285 1751 P 0 P0 Unidades Elementos Elementos Elementos [ ⁄ ] [ ] El primer factor de diseño representa el paquete CFD de esta forma se puede comparar los resultados obtenidos por medio de los dos paquetes para concluir cuál de los dos es el más adecuado para ser implementado. Adicional al paquete CFD se incluyeron dos factores, uno que representa la resolución de la malla y otro que representa el tipo de condición de presión en el borde de salida, esto para incluir en el estudio los efectos debidos al tamaño de los elementos usados en la malla así como el tipo de condición de salida que es seleccionado para el problema de prueba. Los casos del diseño de experimentos obtenidos por medio de los factores de diseño seleccionados son presentados en la Tabla B.3. Tabla B.3. Diseño de experimentos del problema de prueba para la selección del paquete CFD. Casos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Paquete Openfoam Fluent Openfoam Fluent Fluent Fluent Fluent Fluent Openfoam Openfoam Openfoam Openfoam Malla B.C. Salida Gruesa dPout Refinada dPout Fina Pout Gruesa Pout Fina Pout Fina dPout Refinada Pout Gruesa dPout Gruesa Pout Refinada Pout Refinada dPout Fina dPout 180 Anexos Finalmente las variables respuesta seleccionadas son presentadas en la Tabla B.4. Tabla B.4. Variables respuesta del problema de prueba para la selección del paquete CFD. Variables respuesta Unidades Presión [Pa] Velocidades [m/s] K [m2/s2] Epsilon [m2/s3] Tiempo de CPU [s] Estas variables respuesta fueron seleccionadas convenientemente para comparar los resultados obtenidos por medio de los dos paquetes de datos así como para observar los efectos causados por los factores de diseño sobre la solución del problema planteado. Las primeras cuatro variables respuesta son evaluadas en cuatro puntos dentro del dominio de simulación, esto debido a que con un solo punto no es posible hacer un análisis profundo de los efectos de los factores sobre los resultados. Estos puntos son presentados en la Figura B.1. Figura B.1. Puntos de evaluación de los valores de presión, velocidad, k y épsilon para el problema de prueba para la selección del paquete CFD. Adicionalmente las coordenadas de los cuatro puntos son presentadas en la Tabla B.5. Anexos 181 Tabla B.5. Coordenadas de los puntos de evaluación de los valores de presión, velocidad, k y epsilon para el problema de prueba para la selección del paquete CFD. Punto 1 2 3 4 [ ] [ ] 20 21 22 15.6 4.5 20.75 37 20.75 Con el diseño factorial completo así como la solución de todos los casos planteados se prosiguió al análisis de resultados. Primero se presentan los efectos principales de los factores sobre el valor de la presión, la velocidad, k y épsilon para el primer punto. 1.12 0.24 0.0 1.04 0.20 Openfoam Malla 0.4 0.2 0.0 0.4 Gruesa Fina Refinada Fluent Openfoam Malla k [m2/s2] Fluent 1.20 1.12 1.04 Gruesa Fina Refinada Condicion de borde (Salida) Condicion de borde (Salida) 1.20 0.20 0.28 0.24 0.0 1.04 0.20 A dPout=0 B Pout=0 Fluent Openfoam Malla 0.24 1.12 Pout=0 0.024 0.28 0.2 dPout=0 0.030 Gruesa Fina Refinada 0.018 epsilon [m2/s3] 1.20 Paquete Paquete 0.28 0.2 Velocidad [m/s] Presion [Pa] Paquete Paquete 0.4 Fluent Openfoam Malla 0.030 0.024 0.018 Gruesa Fina Refinada Condicion de borde (Salida) Condicion de borde (Salida) 0.030 0.024 dPout=0 Pout=0 0.018 C dPout=0 Pout=0 D Figura B.2. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el primer punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD. Como se observa en las gráficas las diferencias que se presentan entre los resultados obtenidos con los dos paquetes en relación al valor medio de las variables no son significativas, asimismo el tipo de condición de borde no influye notablemente en los resultados. En cuanto a la malla se observa un efecto mayor sobre los resultados aunque a un nivel no tan relevante. Para los demás puntos los efectos principales de los factores sobre la presión, la velocidad, k y epsilon se presentan en las figuras B.3, B.4 y B.5. 182 Anexos 0.09 0.004 0.2 0.06 0.003 0.0 0.03 Openfoam Malla 0.4 0.2 0.0 0.4 Gruesa Fina Refinada Fluent 0.002 Openfoam epsilon [m2/s3] Fluent Velocidad [m/s] Presion [Pa] Paquete Paquete Paquete 0.4 Malla 0.09 0.06 0.03 Gruesa Fina Refinada 0.004 0.003 0.002 0.09 0.004 0.06 0.003 0.0 0.03 Pout=0 dPout=0 A Gruesa Fina Refinada Condicion de borde (Salida) 0.2 dPout=0 Openfoam Malla Condicion de borde (Salida) Condicion de borde (Salida) Fluent 0.002 Pout=0 dPout=0 C B Pout=0 D Figura B.3. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el segundo punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD. Paquete Paquete 1.2 0.45 0.9 Openfoam Malla 0.60 0.45 0.30 Gruesa Fina Refinada 0.6 0.9 Gruesa 1.2 0.45 0.9 0.30 0.6 Pout=0 A Openfoam Malla 0.6 0.4 0.2 Gruesa Fina Refinada Condicion de borde (Salida) 0.60 dPout=0 Fluent Openfoam 1.2 Condicion de borde (Salida) 0.1 0.2 Fluent Malla 0.6 Paquete 0.2 0.4 k [m2/s2] Fluent Velocidad [m/s] Presion [Pa] 0.30 Paquete 0.6 0.6 Fina Refinada 0.0 epsilon [m2/s3] 0.60 0.1 0.0 Gruesa Fina Refinada 0.2 0.1 dPout=0 B 0.2 Condicion de borde (Salida) 0.2 Pout=0 Openfoam Malla Condicion de borde (Salida) 0.4 dPout=0 Fluent 0.0 Pout=0 C dPout=0 Pout=0 D Figura B.4. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el tercer punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD. 0.33 -0.25 0.30 Openfoam Malla 0.00 -0.25 -0.50 Gruesa Fina Refinada Condicion de borde (Salida) 0.00 Fluent Malla 0.36 0.33 0.30 Gruesa 0.36 Fina Refinada Condicion de borde (Salida) 0.33 -0.25 0.30 -0.50 dPout=0 A Pout=0 dPout=0 B Pout=0 0.85 0.090 0.80 0.084 0.75 Openfoam k [m2/s2] Presion [Pa] Fluent Velocidad [m/s] -0.50 Paquete Paquete Paquete 0.36 0.078 Fluent Openfoam Malla 0.85 0.80 0.75 Gruesa Fina Refinada epsilon [m2/s3] Paquete 0.00 Fluent 0.090 0.084 0.078 Gruesa Fina Refinada Condicion de borde (Salida) Condicion de borde (Salida) 0.85 0.090 0.80 0.084 0.75 Openfoam Malla 0.078 dPout=0 C Pout=0 dPout=0 Pout=0 D Figura B.5. Efecto de los factores sobre los valores de Presión (A), velocidad (B), k (C) y épsilon (D) para el cuarto punto del problema de prueba para la selección del paquete CFD. Anexos 183 Como se observa en las gráficas anteriores los efectos principales de los factores para los demás puntos seleccionados dentro del dominio son muy similares a los observados en el primer punto. Como primero las diferencias presentes en los resultados debido al paquete CFD aparentemente mantiene la misma variación frente al valor medio, adicionalmente el tipo de condición de borde de presión de salida no presenta una variación relevante en los resultados, y para el caso de la malla en los demás puntos se presenta una aproximación entre los datos obtenidos con una malla fina y una malla refinada. Por último se presentan los efectos de los factores sobre el tiempo de CPU en la Figura B.6. Paquete Malla Condicion de borde (Salida) Tiempo de CPU [s] 250 200 150 100 50 0 Fluent Openfoam Gruesa Fina Refinada dPout=0 Pout=0 Figura B.6. Efecto de los factores sobre el tiempo de CPU en el problema de prueba para la selección del paquete CFD. Como se puede observar en la gráfica de efecto el paquete comercial Fluent necesita aproximadamente 5 veces el tiempo de CPU que necesita Openfoam para solucionar el mismo problema de dinámica de fluidos. Adicionalmente era de esperar que el tiempo de CPU fuera inversamente proporcional a la resolución de la malla debido a que un mayor número de elementos conlleva a un costo computacional mayor que a su vez se representa como un tiempo de CPU mayor. En cuanto a la condición de borde es lógico que el uso de una condición de borde tipo dirichlet conlleve a un tiempo mayor de CPU, esto se debe al paso adicional que se debe realizar para incluir este tipo de condición de borde en el algoritmo. 184 Anexos Conclusión Con lo observado hasta el momento se puede afirmar que sin importar que paquete CFD se use para solucionar modelos numéricos de este tipo, se obtendrán resultados muy similares, no obstante es preferible el paquete de licencia libre Openfoam esto debido a que presenta un tiempo de CPU y un costo computacional (no presentado en el diseño de experimentos) menor, además siendo un paquete no comercial es posible modificar el código para implementar procesos adicionales en el estudio, condiciones de borde dependientes de variables y parámetros de estudio, entre otros. C. Anexo: Datos de la velocidad y selección de la velocidad media del viento. Para el cálculo de la velocidad del viento sobre el entorno seleccionado se utilizó la información presentada por la red de monitoreo de calidad del aire de Bogotá (RMCAB) en el informe trimestral de calidad del aire de Bogotá para el segundo trimestre del 2011. En el capítulo 4 del informe se presentan los datos meteorológicos medidos a través de los meses de Abril, Mayo y Junio de 2011. En la Tabla C.1 se presenta los datos de la velocidad del viento promediadas mensualmente para las horas de la mañana entre las 7 y las 12 am. Tabla C.1. Velocidad del viento mensual promedio entre las 7 y las 12 am en el segundo trimestre de 2011. Considerando la proximidad de la estación IDRD en el parque Simon Bolivar así como la similitud de la consideración del tipo de terreno para la condición de borde de entrada del fluido se selección la velocidad promedio medida en esta estación como base para la construcción del perfil de velocidades. 186 Anexos Teniendo en cuenta que la altura del punto de medición se encuentra a 10 metros de altura, como se observa en la Tabla C.2, y la velocidad medida es de 1.1 [m/s], se calcula por medio de la ecuación 5.1 la velocidad del viento media ( ) obteniendo un valor igual a 1.52 [m/s]. Tabla C.2. Descripción de la estación de monitoreo de la red RMCAB IDRD ubicada en el parque Simón Bolívar. D. Anexo: Resúmenes de los artículos aceptados producto de esta tesis. Resumen del artículo presentado en el WCCM, 10th World Congress on Computational Mechanics, realizado en la ciudad de Natal, Brasil, entre los días 8 y 13 de Julio de 2012. Formulation of a reactive-diffusive-convective model solved by the finite element method coupled by symmetrized strang split Daniel Alfonso García Lozano, [email protected] Carlos Humberto Galeano Ureña, [email protected] Abstract This work develops a mass transport model coupled with a reactive kinetics model through the Finite element method, to simulate the behavior of pollutants substances in an urban atmosphere. In this work a Symmetrized Strang Split method is used to couple the mass transport model with the reactive kinetics model. This split method solves separately the diffusion, advection and reaction effects in a cascade process. The formulation of the mass transport process is showed and its results are compared with a fully coupled finite element method. This comparison is important to show the solution time and computational cost and validity of the split model. Keywords: Finite element method, Symmetrized Strang Split, mass transport model, cascade process. E. Anexo: Resúmenes de los artículos desarrollados en la maestría. Resumen del artículo presentado en el encuentro nacional de investigación ENID, realizado en la ciudad de Bogotá, Colombia, entre los días 24 y 26 de agosto de 2011. Implementación del método de elementos finitos estocásticos espectrales para la solución de las ecuaciones de difusión Adel F. Sarmiento, Daniel A. García y Diego A. Garzón-Alvarado Resumen En este artículo se pretende implementar el método de los elementos finitos estocásticos para la solución de modelos de difusión cuando se presenta incertidumbre con respecto al coeficiente de difusión. Se presentan las ecuaciones básicas de difusión, y como se representan e incorporan los términos de las expansiones estocásticas de Karhunen-Loeve, que representan el coeficiente de difusión y las expansiones en polinomios del caos para expresar las variables de solución, y se muestra su implementación para solucionar computacionalmente. Palabras Clave— Elementos finitos estocásticos espectrales, difusión, expansiones de Karhunen-Loeve. Resumen del artículo presentado en el encuentro nacional de investigación ENID, realizado en la ciudad de Bogotá, Colombia, entre los días 24 y 26 de agosto de 2011. Análisis de problemas de dinámica de fluidos solucionados mediante el método Smoothed Particle Hydrodynamics Ricardo Reyes, Edgar A. Patiño, Daniel A. García y Diego A. Garzón-Alvarado Resumen En este trabajo se presenta una aplicación para la solución de problemas benchmark que describen el comportamiento de un fluido sobre una geometría definida (Dam Break, driven cavity y transferencia de calor bidimensional). Se emplean las ecuaciones de Navier-Stokes para describir el comportamiento del fluido, realizando la formulación, la discretización y la implementación del problema por medio del método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), el cual es un método basado en una formulación lagrangiana. Se solucionan los problemas benchmark y se comparan con otros métodos de solución ampliamente validados. El método SPH ofrece una forma eficiente de solucionar los problemas de contacto y superficies libres en los fluidos, simplificando la discretización e implementación en los problemas de fluidos sobre geometrías definidas. 190 Anexos Resumen del artículo presentado en el WCCM, 10th World Congress on Computational Mechanics, realizado en la ciudad de Natal, Brasil, entre los días 8 y 13 de Julio de 2012. PARTICLE METHOD FOR THE SOLUTION OF STOCHASTIC PROBLEMS: FORMULATION Ricardo Reyes Sotomayor, [email protected] Adel F. Sarmiento, [email protected] Daniel A. Garcia, [email protected] Juan M. Mantilla, [email protected] D. A. Garzón-Alvarado [email protected] Edgar A. Patiño, [email protected] Abstract This work presents the initial approach of to a novel method for numerical solution of stochastic differential equations, showing the proper formulation for the stochastic term in a Lagrangian method. The mathematical formulation for the uncertainty properties terms of the model, based in the Karhunen –Loeve expansions used in the spectral stochastic finite element method (SSFEM). The particle method used is the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), which is modified to represent the randomness of the output variables that are affected by the stochastic inlet properties behavior. This method formulation acquires importance for the solution of high deformation problems where there exists an uncertainty on the model properties. Keywords: Smoothed Particle Hydrodynamics, Stochastic Spectral Methods, Stochastic Differential Equation. Anexos 191 Resumen del artículo presentado en el WCCM, 10th World Congress on Computational Mechanics, realizado en la ciudad de Natal, Brasil, entre los días 8 y 13 de Julio de 2012. IMPLEMENTATION OF THE METHOD SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS TO SOLVE PLASTIC DEFORMATION IN METALS Edgar A. Patiño, [email protected] Ricardo Reyes, [email protected] Daniel A. Garcia, [email protected] Adel F. Sarmiento, [email protected] Jose M. Arroyo, [email protected] Abstract This work implements the numerical method of Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) to solve plastic deformation problems. The SPH is a meshfree particle method, based on a Lagrangian formulation; this is a computationally efficient method that provides precision and stable solutions to integral and differential equations. This formulation includes the continuum mechanics equations for solids, modified by the Johnson-Cook model to represent the plastic behavior of metallic materials. Benchmarks problems and experimental validation are provided. Keywords: Smoothed Particle Hydrodynamics; Plastic Deformation
