Subido por FRANKLIN JOSE ARIAS ESCARCENA

DINAMICA DE SISTEMAS EJERCICIOS (1)

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Dinámica de Sistemas
Elementos y estructura de un modelo.
Construyendo modelos
Profesor: Javier Torrealdea
Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
Elementos y estructura de un modelo de Dinámica de Sistemas
Introducción
Dinámica de Sistemas es un nombre propio que designa un determinado método
de construcción de modelos de sistemas sociales susceptibles de ser simulados por
ordenador. El origen de esta técnica se remonta a finales de los años cincuenta y su
implantación definitiva se produce durante la década de los sesenta. El desarrollo de este
método se debe al trabajo de J. W. Forrester del Instituto Tecnológico de Massachussets,
el cual por primera vez utilizó técnicas pertenecientes a las disciplinas de ingeniería
automática para el estudio de procesos sociales y económicos. Forrester construyó un
puente entre los métodos empleados por los ingenieros en problemas tecnológicos y los
métodos específicos de estudio de sistemas sociales. Al igual que ocurre en la
automática, la búsqueda de los lazos de realimentación que operan dentro de un sistema
y la forma en que estos determinan el comportamiento dinámico del mismo constituye la
piedra angular sobre la que descansa la Dinámica de Sistemas.
Un aspecto notable del método es su enorme capacidad descriptiva. Los modelos
se representan mediante unos diagramas conocidos como diagramas de flujo. Un
diagrama de flujo es una descripción gráfica del sistema en estudio construida de
acuerdo a unas determinadas reglas. La claridad de estos diagramas en cuanto
representación de la estructura global del sistema y de las relaciones entre las variables
que lo constituyen es tan sorprendente que los modelos pueden ser presentados a no
especialistas y ser inmediatamente entendidos. Ello hace posible su crítica y una
confianza o desconfianza en los modelos fundamentada en un conocimiento completo
de las hipótesis utilizadas en su construcción. Aspecto este nada desdeñable por cuanto,
a menudo, aceptar la simulación por ordenador como medio para conocer la realidad
suele ser más un tema de fe ciega depositada en los modelistas que de análisis racional
de unos modelos que resultan completamente inaccesibles a la mayor parte de los
estudiosos.
En los ámbitos en los que la Dinámica de Sistemas intenta construir modelos de
funcionamiento no suele haber leyes de comportamiento perfectamente establecidas.
Los sistemas objeto de su estudio no están descritos por leyes matemáticas de carácter
cuantitativo preciso y aceptadas unánimemente por la comunidad científica. En estos
sistemas sí que hay expertos que conocen bien aquello con lo que trabajan, pero no
siempre hay unanimidad de criterio entre los propios expertos. Es de notar, por otra
parte, que el reino de las matemáticas es tremendamente limitado dentro del espectro
total del conocimiento. De hecho, la matemática sólo aparece en todo su esplendor
dentro de las regiones más profundas de la física teórica.
No obstante, para que la Dinámica de Sistemas decida ocuparse de un problema,
se requiere que, aun cuando no se conozcan leyes precisas que lo describan, los
elementos que integran el sistema problemático posean atributos cuantificables y puedan
llegar a ser establecidas relaciones funcionales de naturaleza cuantitativa entre dichos
atributos. Así, con esta técnica, se han realizado aportaciones de interés en terrenos tan
diversos como biología, economía, gestión empresarial, urbanismo, psicología y muchos
otros.
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La simulación por ordenador requiere dos tipos de actividad diferentes. La primera
de ellas es la construcción del modelo, se trata de la fase de modelado. La segunda tarea
consiste en la introducción del modelo en el ordenador y en la explotación del mismo de
acuerdo con los objetivos que indicaron su construcción. Se trata de la fase de
simulación propiamente dicha. Aunque ambas fases estén siempre presentes en todo
proceso de simulación por ordenador, deseamos destacar una importante diferencia
relativa al énfasis, a la importancia que se le asigna a cada una de estas dos fases, en
función de los intereses concretos del investigador que recurre a la simulación por
ordenador.
Pues bien, el modelador proveniente de disciplinas tecnológicas pone el énfasis en
la segunda fase, en la ejecución y explotación del modelo. Este modelador construye
modelos, no porque necesite el modelo, sino porque necesita ver que es lo que resulta en
el ordenador. Para él, el modelo no supone ninguna aportación nueva al conocimiento.
De hecho, conocía con toda precisión el modelo a utilizar antes de construirlo, conocía
sus elementos constituyentes y las leyes precisas de interacción entre esos elementos. Lo
que no podía hacer, sin ayuda del ordenador, era obtener la información cuantitativa
precisa que de dichas leyes se infiere. Su interés es, precisamente, esa información
exacta y ha recurrido al ordenador bien por la dificultad técnica de encontrar una
solución analítica de su problema o bien porque encontrarla manualmente le hubiese
llevado un tiempo desmedido. El énfasis, pues, está en la simulación, y en la simulación
cuantitativa precisa. El modelo en sí no ha aportado conocimiento porque las leyes eran
ya conocidas, se disponía ya de una teoría definida. La construcción del modelo ha
podido requerir, que duda cabe, una gran destreza y habilidad por parte del modelador
pero ningún conocimiento realmente nuevo ha aportado el modelo en sí.
Por el contrario, el modelador que trabaja con Dinámica de Sistemas tiene para
con los modelos que produce una relación diametralmente opuesta. Es obvio que
construye modelos para ser simulados por ordenador, pero esto no es lo más importante
o, al menos, no es lo único importante. El modelador se encuentra con un problema
perteneciente a un dominio poco estructurado. No existen leyes universalmente
aceptadas sobre como funciona el sistema en el que se encuadra el problema en estudio.
No se sabe con seguridad siquiera cuáles son los elementos de interés ni como están
relacionados entre sí. Para poder avanzar reúne expertos en el tema y trata de unificar
criterios, trata de llegar a hipótesis consensuadas con las que construir el modelo. A
continuación introduce el modelo en el ordenador y éste establece las consecuencias
dinámicas de las hipótesis utilizadas. Esto es nada más, y tampoco nada menos lo que
muestra una ejecución de simulación. Muestra el resultado de unas hipótesis, las
consecuencias dinámicas de las opiniones de expertos en el sistema bajo estudio. La
mente humana es buena para establecer relaciones estructurales pero lo es menos para
seguir las implicaciones dinámicas de tales relaciones. Así, constantemente podemos
observar como expertos en una determinada materia, coincidiendo en las hipótesis de
partida no están de acuerdo en las consecuencias de dichas hipótesis. El ordenador es
bueno en esta tarea, determina las consecuencias de unas hipótesis de partida con
unicidad.
Hay, por lo tanto, un gran énfasis en la construcción del modelo. Un modelo
terminado supone un conocimiento que previamente no existía. Supone el
descubrimiento de una especie de teoría de funcionamiento del sistema en estudio. Por
lo tanto, la Dinámica de Sistemas es, antes que nada, un método de construcción de
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modelos. Una vez construido el modelo, al simularlo en el ordenador, no se estará
interesado en una respuesta cuantitativa precisa. La búsqueda de valores precisos de las
variables no sería consistente ni con la realidad de los sistemas con los que
habitualmente se trabaja ni con la filosofía general subyacente en la construcción del
modelo. La información que se busca es más bien de tipo cualitativo tal como
tendencias al crecimiento o decrecimiento, al equilibrio o la fluctuación y,
especialmente, si cabe esperar y de qué pueden depender modificaciones radicales de
estas tendencias.
El acuerdo entre expertos que es necesario para construir un modelo posee otra
dimensión de gran dificultad. La vida es infinitamente rica en interacciones, detalles y
matizaciones que confluyen en una determinada situación conflictiva. Un modelo de
Dinámica de Sistemas se construye para arrojar alguna luz sobre los motivos de un
comportamiento anómalo o simplemente, no siendo anómalo, sobre el que desearíamos
actuar o comprender. De la multitud potencialmente infinita de implicaciones que
pueden confluir sobre nuestro problema debemos seleccionar un conjunto que sea
manejable y que sea responsable en lo fundamental del comportamiento en cuestión. O
dicho en otras palabras, debemos extender nuestro consenso no solo a las hipótesis
introducidas sino también a la suficiencia de las mismas, teniendo presente que
necesariamente infinidad de posibles implicaciones deberán quedar fuera de nuestro
modelo. Este es uno de los trabajos más delicados que debe realizar el modelador y
significa que debe abordarse con gran tiento la tarea de definir el propósito del modelo y
la frontera del mismo. A menudo se critican modelos porque no pueden dar cuenta de
aspectos para los que no fueron construidos. No estará de más insistir en que no se
puede evaluar un modelo mas que con referencia al propósito para el que ha sido
construido. No podemos simplemente en abstracto decir que un modelo es bueno o es
malo. La tarea más importante del modelador es definir con precisión el problema que
pretende ser abordado por el modelo. En palabras de Forrester:
" La habilidad de la persona que decide usar un modelo se manifiesta
inmediatamente. Su primera decisión es hacer preguntas pertinentes que tengan
respuestas de interés. Las preguntas triviales no pueden menos que conducir a
respuestas triviales. Las preguntas que son demasiado generales no sirven para centrar
el problema. Las preguntas que son demasiado restrictivas pueden confinar la
investigación en regiones que no contienen ninguna respuesta. Las preguntas que son
imposibles de contestar solo pueden conducir a desencanto".
Elementos y estructura de un modelo
En esta sección presentamos cómo es la estructura de un modelo de Dinámica de
Sistemas. En el primer apartado se hace una presentación somera de los componentes de
un modelo la cual se complementa, en el segundo apartado, con un comentario sobre su
global.
Diagramas causales
Los primeros estadios de la conceptualización de un modelo requieren definir el
propósito del mismo. En función de ello hay decidir qué elementos han de ser tomados
en consideración y cuáles de entre ellos están relacionados de forma que lo que ocurre
en uno afecta de manera inmediata al otro. Por cuanto nuestro interés se centra en la
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variación en el tiempo del valor cuantitativo atribuido a cada elemento (variable), las
influencias buscadas son las que su manifestación consista en que una variable aumente
o disminuya en función de que otra, de la cual depende, experimente algún tipo de
variación. Una forma natural de representar elementos y relaciones es mediante un grafo
orientado. A veces, cuando el sentido de la influencia es conocido, se suele incluir un
signo más o un signo menos que hace alusión a una influencia del mismo sentido o de
sentido opuesto según el caso. Por ejemplo, si la densidad de coches aumenta o
disminuye cabe esperar que el numero de accidentes también aumente o disminuya
respectivamente. Existe, por tanto, una influencia en el mismo sentido. Por el contrario,
las ventas de coches seguramente dependerán del precio de los mismos pero la
influencia será esta vez de sentido opuesto.
Densidad de coches
+
Accidentes
Precio
-
Ventas de coches
Fig.1. Dependencia causal entre variables
Establecer un grafo en el que aparezcan representados todos los elementos que
componen el modelo junto con sus relaciones supone un paso importante en la
definición de la estructura del mismo. Un grafo de esas características se conoce como
diagrama causal o de influencias. No obstante, metodológicamente no es recomendable
la construcción de un diagrama causal exhaustivo como primera fase en la construcción
de un modelo aun cuando diagramas parciales o globales a alto nivel jerárquico puedan
ser buenos como mecanismo de ayuda a la conceptualización. Sin embargo, de cara a
facilitar la comprensión de las hipótesis introducidas en el modelo, es de gran ayuda
disponer de un diagrama causal exhaustivo para la presentación del mismo a un público
interesado. Dicho diagrama causal siempre puede deducirse sin dificultad una vez
finalizada la construcción del modelo.
Lazos realimentados
El tipo de problemas en los que habitualmente trabaja la Dinámica de Sistemas se
caracteriza porque en éstos siempre aparecen relaciones causales estructuradas en bucles
cerrados. Ello no es sorprendente por cuanto detrás de un bucle cerrado de relaciones
causales subyace el principio filosófico de que nada se hace impunemente. Una acción
ejecutada por o sobre un elemento del bucle se propaga por el mismo de manera que
tarde o temprano esa acción repercute sobre sus propios valores futuros. Esto es habitual
en las organizaciones en las que el hombre es una parte más de las mismas, las cuales
constituyen en buena medida nuestro principal objeto de estudio. Conviene distinguir
dos tipos de lazos realimentados, lazos positivos y negativos. Positivos son aquellos en
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los que una variación en un elemento se ve reforzada por las influencias mutuas entre
los elementos. Por el contrario, en los lazos negativos una variación en cualquiera de sus
elementos tiende a ser contrarrestada por las influencias en sentido contrario que se
generan en el lazo. La figura 2 muestra un ejemplo de ambos tipos de lazo.
Población
Población
+
-
+
+
nacimientos
muertes
Fig.2. Lazos positivo y negativo
Es importante notar que dinámicamente un lazo positivo tiende a producir
situaciones de crecimiento o decrecimiento ilimitado, mientras que un lazo negativo
tiende a producir equilibrio. Desde el punto de vista de la causalidad un modelo está
siempre estructurado como un conjunto de lazos positivos y negativos interconectados
entre sí. El comportamiento dinámico del mismo dependerá de cómo se vaya
produciendo la alternancia en el dominio entre la tendencia a crecer o decrecer de los
unos y la tendencia al equilibrio de los otros.
Tipos de variables
Distinguiremos tres tipos de variables en función de su propio cometido en el
modelo. Variables de nivel, variables de flujo y variables auxiliares.
Los niveles suponen la acumulación en el tiempo de una cierta magnitud. Son las
variables de estado del sistema, en cuanto que los valores que toman determinan la
situación en la que se encuentra el mismo.
Los flujos expresan de manera explicita la variación por unidad de tiempo de los
niveles. No es siempre inmediato decidir cuál de los tres tipos será el apropiado para
representar a un elemento determinado del sistema real en estudio. Pensar en un cierto
nivel de agua y en un grifo que lo abastece es una buena metáfora para mejor
comprender los significados respectivos de estos dos tipos de variable.
Las variables auxiliares son, como su nombre indica, variables de ayuda en el
modelo. Su papel auxiliar consiste en colaborar en la definición de las variables de flujo
y en documentar el modelo haciéndolo más comprensible.
Además de las variables reseñadas, en todo modelo habrá también parámetros, o
sea, variables que se mantienen constantes durante todo el horizonte temporal de
ejecución del modelo.
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Organización de las variables y parámetros. Representación gráfica
Toda variable de nivel va unida a una o más variables de flujo las cuales son
responsables de la variación de la primera. De hecho, un nivel sólo cambia en cuanto se
llena o vacía por los flujos que le afectan. Dejaremos que sean las figuras las que
muestren al lector la representación gráfica de los componentes de un diagrama de flujo.
Flujo
Parámetro 2
Nivel
Auxiliar
Contratación
Tiempo de
contratación
Profesores
Diferencia
Parámetro 1
Profesores
necesarios
Fig.3. Organización de las variables de Nivel y Flujo en un diagrama
En la figura 3 puede verse un diagrama de flujo en abstracto y un ejemplo de un
posible fragmento de modelo concreto con idéntica estructura. En él aparece una
variable de nivel junto con una variable de flujo que lo llena. Matemáticamente la
variable de flujo supone la variación por unidad de tiempo del nivel y se representa con
un cierto aspecto de válvula que está controlando el fluir de la magnitud que se acumula
en el nivel. Su valor se establece en función de una variable auxiliar y de un parámetro.
A su vez, la variable auxiliar depende del nivel y de otro parámetro. Las líneas de
información representan la dirección de las relaciones de dependencia entre las
variables.
En todo sistema dinámico autónomo, la variación de sus estados depende de los
valores en que se encuentran dichos estados. Resulta pues natural que un modelo
mantenga la siguiente organización:
I.
Las líneas de información tienen siempre como punto de partida
inicial los niveles o los parámetros (al fin y al cabo un parámetro no tiene otra
misión que la de informar de su valor) y como punto de destino final los flujos.
Dicho de otra manera, las variables de flujo son función de los niveles y de los
parámetros.
II.
Las variables auxiliares forman parte de los caminos de
información. De hecho, usualmente aparecerán variables auxiliares entre la
información que arranca en los niveles y su destino final en los flujos. Estas
variables van configurando la función que finalmente definirá a un flujo, de
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manera que documentan en forma comprensible cada paso en el tratamiento de la
información que determina la definición de la variable de flujo.
III.
Por lo dicho, no tiene sentido un bucle cerrado construido
únicamente con variables auxiliares. En todo lazo cerrado debe de aparecer un
nivel y, en consecuencia, al menos un flujo.
IV.
Cuando un sistema no sea autónomo, es decir, cuando existan
variables exógenas influyendo en el comportamiento del mismo, una o más
líneas de información podrán evidentemente, y excepcionalmente, tener su
origen en una variable auxiliar. Si así no fuera, la variable exógena no podría
influir de ninguna manera en el modelo.
La figura 4 muestra cuatro diagramas, tres de ellos incorrectos, con los que se
pretende ilustrar las ideas comentadas.
El diagrama a) es correcto. En el diagrama b) la información se genera en el flujo
para terminar en el nivel lo cual es incorrecto. Podríamos aceptar como posible la toma
de información desde un flujo. Si bien no es práctica recomendable, cabe pensar que el
valor de un flujo pueda interesar en otra parte del sistema. No obstante, el hecho de
informar a un nivel es algo carente de sentido puesto que un nivel no es un punto de
toma de decisiones. Un nivel solo se ve afectado por la entrada o salida en el mismo de
un flujo real de una magnitud que le hace aumentar o disminuir según el caso. El
diagrama c) es completamente absurdo. Un flujo llenando una variable auxiliar es un
dibujo humorístico para una persona familiarizada con los diagramas de Forrester. Es
algo así como una manguera llenando de gasolina el medidor en lugar del depósito. El
diagrama d) supone un circulo vicioso que sólo es posible cuando se verifique la
igualdad entre todas las variables. No puede configurarse un lazo realimentado sólo con
variables auxiliares.
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Nivel
Flujo
Auxiliar
Parámetro 2
Parámetro 1
(a)
Nivel
Flujo
Parámetro
(b)
Auxiliar
Nivel
Flujo 2
Flujo 1
(c)
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Auxiliar1
Auxiliar 2
(d)
Auxiliar 3
Fig. 4. Algunos errores posibles en el diagrama de flujo, (a) es correcto.
Subsistemas conservativos
En un modelo hay que atribuir dimensiones a sus variables de manera que todas
ellas se midan en unas determinadas unidades de medida. Si los niveles se miden en
unas ciertas unidades, sus flujos asociados deberán medirse en esas mismas unidades
partido tiempo.
Una organización típica es aquella en la que un flujo está ligado a dos niveles de
manera que actúa como una válvula de paso entre los mismos. Lo que sale de uno de
ellos entra en el otro. Pues bien, una regla fundamental de construcción de diagramas de
flujo exige que no puedan mezclarse distintas unidades. De esta manera los niveles se
asocian entre sí en cascada o en paralelo formando estructuras por las que solo circula el
mismo tipo de unidades bajo el control de flujos que se miden en esas mismas unidades
por unidad de tiempo. Esas estructuras son conservativas en el sentido de que si
incluimos en el balance los sumideros y las fuentes la cantidad total de la magnitud
acumulada en las mismas se conserva. La figura 5 muestra un par de subsistemas
conservativos. Nótese que los subsistemas conservativos están por su propia naturaleza
aislados unos de otros. La única conexión posible entre ellos, y, además, necesaria, es a
través de líneas de información que conecten niveles de un subsistema con flujos del
otro.
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( personas/mes)
Contratación
( personas)
Personal en
formación
Aprendizaje
( personas)
( unidades/persona*mes)
Productividad
( personas/mes)
( unidades)
producción
( unidades/mes)
Personal
produciendo
Despidos
Material
bruto
Material
elaborado
( personas/mes)
( unidades)
Fig.5. Dos subsistemas conservativos unidos por líneas de información
Ecuaciones
Todas las relaciones entre las variables deben ser explícitamente cuantificadas. La
forma más frecuente de establecer la relación entre dos variables es mediante una
expresión analítica que proporciona la función que relaciona ambas variables. Poco más
puede decirse en abstracto a cerca de las ecuaciones por cuanto dependerán muy
específicamente de cada situación particular. Conviene, no obstante, hacer un mínimo
comentario referente a cada tipo de variable.
Las ecuaciones de variables auxiliares pueden adoptar cualquier forma analítica
si bien, por su propia naturaleza de variables añadidas para simplificar la descripción, no
tienen porque ser expresiones complicadas. Muchas veces no conoceremos la relación
algebraica precisa pero podremos tener un conocimiento expresable mediante una
gráfica. Esta gráfica se traducirá en una tabla en el momento de su implementación.
Esta forma de establecer dependencias es muy útil cuando nuestro conocimiento de la
relación entre dos variables auxiliares tiene un carácter experimental y, también, cuando
desconociendo la naturaleza exacta de la relación deseamos introducir hipótesis
plausibles para la misma.
Población
euskaldun
Relación
población
euskaldún
Población total
11
Porcentaje
uso
euskara
Graph Lookup - Tabla con los valores
100
0
0
1
Fig. 6. Una ecuación auxiliar implementada mediante una tabla de valores.
Las ecuaciones más problemáticas de decidir siempre son las correspondientes a
algunos flujos. En particular a aquellos que definen las políticas del sistema. Téngase en
cuenta que los cambios en el estado del sistema corresponden a los flujos. Por ello, los
flujos son los puntos del modelo donde se plasman las decisiones importantes. Cuál va a
ser la política de contratación, cuál la de incremento de la inversión, de que dependen
los contagios, son ejemplos de flujos típicos. Una buena parte del esfuerzo de
construcción del modelo deberá dedicarse a la determinación de estos flujos.
Las ecuaciones correspondientes a los niveles son siempre iguales. Un nivel es
siempre y por definición la integración de todos los flujos que le afectan. Tal es así, que
estas ecuaciones pueden ser escritas automáticamente por la máquina si se dispone del
compilador adecuado.
De esta manera, una vez establecidas todas las relaciones, si especificamos los
valores que inicialmente tienen los niveles y atribuimos valores a los parámetros
dispondremos de un conjunto de ecuaciones que el ordenador integrará numéricamente
para proporcionarnos la evolución temporal de las variables. Dicho conjunto de
ecuaciones es el modelo matemático propiamente dicho. Existen compiladores de
simulación específicos de Dinámica de Sistemas.
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Resumen
Un modelo de Dinámica de Sistemas es en última instancia un conjunto de
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. En cualquier caso, el modelador sin
formación específica no tiene por qué reconocer el modelo matemático subyacente. El
esfuerzo del método se centra precisamente en servir de intermediario entre el mundo
real y la representación matemática del mismo que el ordenador va a utilizar para
calcular las evoluciones temporales que consideremos de interés.
Situados en la perspectiva del modelista, su primera tarea consiste en determinar
cuáles son los elementos que integran el modelo de acuerdo con los objetivos
establecidos y decidir cuáles de ellos están relacionados entre sí. En esta tarea puede ser
de ayuda ir construyendo un diagrama que muestre los elementos e ir especificando
aquellos que están relacionados entre sí. Un diagrama de estas características se conoce
como diagrama causal. En un diagrama causal la naturaleza de la relación entre los
elementos no está todavía explicitada, se trata de una fase inicial en la conceptualización
del modelo en la que se establece qué elementos pueden estar directamente relacionados
y cuáles no. Simultáneamente, no después de terminar el diagrama causal, se debe
iniciar la clasificación de las variables que aparecen en el modelo. De acuerdo con las
reglas de modelado de Dinámica de Sistemas hay dos tipos importantes de variables que
deben ser discernidas. Las variables de estado del sistema, llamadas niveles y las
variables responsables del cambio de las variables de estado, llamadas flujos. El
modelador debe de encajar los niveles con los flujos responsables del cambio de los
mismos construyendo subsistemas por los que circula un flujo continuo de una misma
materia desde un nivel a otro o entre un nivel y un sumidero o fuente. A estos
subsistemas, en los que la variación en un nivel se produce a expensas de una variación
opuesta en otro nivel la cuál está regulada por flujos que a modo de válvulas controlan el
fluir de una magnitud entre niveles, les llamamos subsistemas conservativos. El
modelador debe, además, buscar los lazos de realimentación que definen los valores de
las variables de flujo en función de los niveles y las tomas de información que
relacionan entre sí los diversos subsistemas conservativos del modelo. A continuación
debe de precisar las relaciones entre las variables las cuales se establecerán mediante
ecuaciones o relaciones funcionales de naturaleza experimental o hipotética. Las
ecuaciones para los niveles resultan inmediatas de establecer por cuanto suponen la
integración de los flujos que les afectan a partir de un determinado valor inicial. Para
escribir las ecuaciones de los flujos el modelista se valdrá de ecuaciones auxiliares con
idea de documentar la dependencia de los flujos respecto de los niveles. Deberán,
también, especificarse valores de los parámetros.
Bibliografía
Business Dynamics
John D. Sterman, MacGraw-Hill, 2000.
Modelling the Environment
Andrew Ford, Island Press, 1999.
13
Introduction to computer simulation: a system dynamics modelling approach
N. Roberts et al., Addison Wesley, 1983.
Dinámica de Sistemas
J. Aracil y A. Gordillo, Alianza Universidad, 1997.
World Dynamics
J.W. Forrester-Mit Press, 1974.
Software project dynamics; an integrated approach
T.Abdel-Hamid y S.E. Madnick-Prentice Hall 1991.
Software para Dinámica de Sistemas: Vensim
Ventana Systems,Inc., Harvard, Massachusetts.
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Construyendo modelos
Ejercicio 1
Construye un diagrama de flujo (representación de Forrester) y escribe ecuaciones que
se ajusten al contenido semántico que representa cada uno de los siguientes diagramas
causales. Simula cada modelo pero, antes de ver el resultado, dibuja en una hoja de
papel lo que esperas que ocurra. Familiarízate con Vensim.
a)
precio
+
+
cambio en el precio
+
tasa de inflación
b)
temperatura habitación
temperatura café
-
+
diferencia de temperaturas
+
cambio temperatura
+
constante café
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c)
alimento normal per cápita
tasa de mortalidad
-
+
disponibilidad de alimento
muertes
+
+
-
+ alimento per cápita
población
+
-
producción anual de alimento
+
nacimientos
+
tasa de nacimiento
Ejercicio 2
Mientras haya oportunidades de empleo en un núcleo urbano gente se ve atraída hacia el
lugar. El crecimiento de la población, debido a la inmigración, tiende a producir un
incremento en el volumen de negocios dentro del área. La expansión económica
adicional crea oportunidades de empleo adicionales.
Mientras dura el crecimiento económico, el crecimiento de la población tiende a
producir un crecimiento de casas a ritmo elevado para poder acomodar a toda la
población. Suponiendo que sólo se dispone de una extensión fija de terreno para uso
comercial y de viviendas el incremento de casas y locales comerciales hace que
disminuya el terreno para la posible expansión comercial del área. Conforme la falta de
terreno comienza a dificultar el crecimiento, las oportunidades de empleo disminuyen.
La disminución de oportunidades de empleo detiene la inmigración y el incremento de la
población se frena.
Se pide:
Medita y construye un diagrama de flujo y ecuaciones. Dibuja la evolución temporal
esperable.
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Ejercicio 3
Se trata de estudiar la conservación de una determinada población de ballenas sometida
a una extinción importante por acción de la pesca. Si la población se encuentra por
debajo de un cierto umbral se tiene una situación de subpoblación. En esas condiciones
las tasas de nacimiento bajan debido a que por la falta de densidad es difícil que se
encuentren parejas, falta de protección para las crías etc.
Si la población se encuentra por encima de otro umbral máximo se tiene una situación
de superpoblación que determina problemas de densidad relativamente elevada, por lo
que los nacimientos totales tienden a estabilizarse mientras que las tasas de mortalidad
tienden a aumentar.
Se supone que la mortalidad debida a la pesca es proporcional a la población total, pero
que debido al aumento de eficacia en la tecnología pesquera los sistemas de detección
cada vez más sofisticados pueden ir aumentando la constante de proporcionalidad.
Se pide:
¿ Qué salida esperas obtener del ordenador? Dibújala.
1. Diagrama de flujo y ecuaciones. Se supone que podrás acceder a la
información que necesites. No obstante, a falta de información exacta
procura inventarte unos valores razonables para los parámetros que necesites.
2. Si un año especialmente adverso muriesen un numero importante de
ballenas, sea por motivos naturales o por fortuna de la flota pesquera, ¿ qué
pasaría? Dibújalo y compruébalo en la máquina.
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Ejercicio 3. Ballenas
Densidad de referencia
nacimientosfun
muertesfun
Densidad relativa
Efecto en muertes
Efecto en nacimientos
Extension
Densidad
Tasa de nacimientos
Tasa de muertes
Tasa normal nacimientos
Tasa normal muertes
Ballenas
Nacimientos
Muertes
Catastrofe
Ballenasini
Pesca
Constante de pesca
activador pesca
Graph for Ballenas
4M
3M
123 12
3
3
3
1 2
2M
3
2
3
2
3
2
1
2
1
1
2
2
1
1880
Ballenas : pesca08
Ballenas : pesca06
Ballenas : pesca03
1
1910
1940
Time (años)
1
2
1
2
3
1
2
3
2
1
2
3
1
2
3
1
1
1970
3
2000
ballenas
ballenas
ballenas
activador pesca=
STEP(1,1870)
Units: **undefined**
Ballenas = INTEG(+Nacimientos-Muertes-Pesca,Ballenasini)
18
2
1
0
1850
3
3
2
1
1M
3
3
3
Units: ballenas
Ballenasini=
3.1821e+006
Units: ballenas
Catastrofe=
(1/TIME STEP)*PULSE(1940,TIME STEP)
Units: ballenas/año
Constante de pesca=
0.03
Units: uno/año
Densidad=
Ballenas/Extension
Units: ballenas/(kmetro*kmetro)
Densidad de referencia=
0.01
Units: ballenas/(kmetro*kmetro)
Densidad relativa=
Densidad/Densidad de referencia
Units: adimensional
Efecto en muertes = muertesfun(Densidad relativa)
Units: **undefined**
Efecto en nacimientos = nacimientosfun(Densidad relativa)
Units: **undefined**
Extension=
1e+008
Units: kmetro*kmetro
FINAL TIME = 2000
Units: años
INITIAL TIME
Units: años
= 1850
Muertes=
Ballenas*Tasa de muertes+0.4*Ballenas*Catastrofe
Units: ballenas/año
muertesfun(
[(0,0)(4,5)],(0,1),(0.5,1),(1,1),(2,1),(2.22356,1.09649),(2.41692,1.25),(
2.54985,1.42544),(4,5))
Units: adimensional
Nacimientos = Ballenas*Tasa de nacimientos
Units: ballenas/año
nacimientosfun(
[(0,0)(4,2)],(0,0.5),(0.108761,0.719298),(0.217523,0.877193),(0.338369,0.964
912
19
),(0.5,1),(2,1),(2.18731,0.982456),(2.3565,0.938596),(2.53776,0.868421
),(2.70695
,0.798246),(4,0.25))
Units: adimensional
Pesca
Units: **undefined**
SAVEPER = 1
Units: años
Tasa de muertes = Efecto en muertes*Tasa normal muertes
Units: uno/año
Tasa de nacimientos =Efecto en nacimientos*Tasa normal nacimientos
Units: uno/año
Tasa normal muertes=
1/70
Units: uno/año
Tasa normal nacimientos=
1/14
Units: uno/año
TIME STEP = 0.0625
Units: años
Graph Lookup - nacimientosfun
Graph Lookup - muertesfun
5
2
0
0
0
4
20
0
4
Ejercicio 4
Introducción de un producto en el mercado
Un distribuidor de un producto mantiene una política agresiva de introducción del
mismo en el mercado. Para ello destina una parte del beneficio de las ventas a
incrementar el número de vendedores. Pensemos, por ejemplo, que vende ordenadores a
un determinado precio que suponemos constante y que de cada ordenador vendido una
parte del beneficio se destina a mantener vendedores. En conjunto, si sabemos cuál es el
coste de un vendedor y sabemos en un momento dado cuántos son los pedidos totales
que ha recibido la empresa sabremos cuál es el número indicado de vendedores, es
decir, aquellos que pueden mantenerse de acuerdo al presupuesto de que se dispone para
vendedores. El número real de vendedores tiende a ser el de vendedores indicados pero,
por motivos de que hay que contratar a las personas adecuadas, se tarda un tiempo en el
ajuste.
Los pedidos que la empresa consigue dependen, naturalmente, del número de
vendedores y de la eficacia en las ventas de estos. Por eficacia en las ventas de un
vendedor entendemos el número de pedidos que es capaz de conseguir por unidad de
tiempo. En general la eficacia en las ventas dependerá de factores tales como la
habilidad del vendedor, la calidad del producto, los precios y la presión de la
competencia etc. No obstante, a efectos de este ejercicio, supondremos todos estos
factores fijos y que determinan una eficacia media idéntica para cada vendedor que tan
sólo depende del plazo de entrega. El plazo nominal de entrega, y por otra parte
mínimo, es dos meses. En estas condiciones un vendedor puede llegar a conseguir cerca
de 40 pedidos por mes. Conforme el plazo de entrega aumenta los potenciales
compradores irán redirigiendo su compra hacia productos de la competencia. Debe
notarse, y esto es importante, que no se conoce nunca el plazo real de entrega.
Posiblemente se le ha dicho al cliente, y de buena fe, que va a ser dos meses y luego
resulta que son cuatro. Pero, el plazo de entrega que influye en la eficacia en las ventas
no es el plazo real de entrega, sino el plazo conocido. El plazo de entrega se va
conociendo con retraso y es este plazo conocido (el real retrasado) el responsable del
cambio de actitud del potencial comprador.
Conforme los vendedores consiguen pedidos, y en la medida en que no se satisfacen
instantáneamente sino con un cierto retraso, estos se acumulan como pedidos
pendientes. La empresa tiene una capacidad límite de distribución de 2000 unidades por
mes. Mientras los pedidos a satisfacer por unidad de tiempo no excedan esta capacidad
límite la empresa podrá mantener su retraso nominal de dos meses en la entrega. Si más
y más pedidos deben ser satisfechos debido al aumento del número de vendedores,
llegará un momento en el que, al no poder suministrar a la velocidad requerida, el plazo
en la entrega aumentará. Este es de hecho el motivo del aumento del plazo, no un
capricho, sino la imposibilidad de dar abasto.
Supondremos un número inicial de vendedores igual a 10. Un número inicial de pedidos
pendientes igual a 800. La parte del beneficio en ventas que en definitiva se destina a
mantener vendedores 100 Euros. El coste total de un vendedor 2000 Euros/mes. El
tiempo para que el retraso real en la entrega se llegue a conocer 6 meses. El tiempo de
ajuste del número de vendedores a los que requiere el mercado 20 meses.
21
Se pide:
Meditar un rato sobre la estructura global que se está describiendo. ¿Qué
comportamiento cabe esperar?
Construye un modelo preciso. Simúlalo y estudia cómo se comporta al variar algún
parámetro al que pueda ser sensible.
Introducción de un producto en el
mercado.
Eficacia
Vendedores
-
+
+
+
Pedidos
Lazo positivo
de vendedores
Presupuesto
Lazo negativo de
eficacia
+
+
Retraso entrega
22
Tiempo de ajuste de vendedores
vendedoresini
<Eficacia en las ventas>
Vendedores
Contratación
Pedidos
Vendedores indicados
Presupuesto
Coste por vendedor
Fracción destinada a vendedores
<Vendedores>
Lazo positivo de vendedores
Lazo negativo de eficacia en ventas
Pedidos
Plazo normal
Eficacia en las ventas
Pedidos entrantes
Eficacia tabla
Pedidos salientes
Pedidos
Pendientes
Plazo conocido
Flujo percepción
Velocidad de entrega
Tiempo de reconocimiento
Plazo de entrega
Entrega tabla
Límite pendientes
23
50
150
4,000
pedidos/(persona*mes)
personas
pedidos/mes
1
1
1
1
1
3
1
2
3
30
75
2,000
pedidos/(persona*mes)
personas
pedidos/mes
2
2
3
1
3
3
3
2
3
10
0
0
3
pedidos/(persona*mes)
personas
pedidos/mes
3
Eficacia en las ventas : Nominal
2
Vendedores : Nominal
3
3
Pedidos : Nominal
2
2
16
1
32
48
Time (meses)
1
2
1
2
2
3
2
3
3
pedidos/(persona*mes)
personas
pedidos/mes
1
2
3
pedidos/(persona*mes)
2
personas
3
pedidos/mes
2
3
1
pedidos/(persona*mes)
personas
pedidos/mes
2
1
2
3
10
0
0
pedidos/(persona*mes)
personas
pedidos/mes
3
2
1
1
1
0
1
16
24
3
3
2
Eficacia en las ventas : ajustevende 10
2
Vendedores : ajustevende 10
3
3
Pedidos : ajustevende 10
3
3
2
3
2
2
1
30
75
2,000
64
2
3
1
1
1
2
2
0
50
150
4,000
2
32
48
Time (meses)
1
2
1
2
3
2
3
2
3
64
pedidos/(persona*mes)
2
personas
3
pedidos/mes
15
11.25
2
2
1
2
2
Simulation
7.5 Control Paramaters
1
2
1
1
2
INITIAL
3.75 TIME = 0
Units: meses
2
12
12
12
2
1
1
FINAL TIME = 72
Units: meses
SAVEPER = 0.0625
12 12
Units: meses
1
1
2
2
1
1
0
TIME STEP = 0.0625
Units:0meses
12
24
********************************
.eficacia
Plazo conocido : ajustevende 10
********************************
36
Time (meses)
1
Plazo de entrega : ajustevende 10
1
2
48
1
2
1
2
60
1
2
1
2
Eficacia en las ventas = LOOKUP EXTRAPOLATE ( Eficacia tabla , Plazo conocido
/ Plazo normal )
Units: pedidos/(persona*mes)
Eficacia tabla ( [(0,0)-(5,60)],(0,45),(0.513814,42.8873),(1,40),(1.77881,34.6479)
,(2.56129,28.3099),(5,4) )
Units: pedidos/(persona*mes)
Entrega tabla ( [(0,0)-(2,4000)],(0,0),(0.8,1600),(0.92268,1788.73),(1.00515,1901.41)
,(1.18041,1971.83),(1.5,2000),(2,2000) )
Units: pedidos/mes
Flujo percepción = ( Plazo de entrega - Plazo conocido ) / Tiempo de reconocimiento
Units: meses/mes
Límite pendientes = 4000
Units: pedidos
Pedidos = Eficacia en las ventas * Vendedores
Units: pedidos/mes
Pedidos entrantes = Pedidos
Units: pedidos/mes
Pedidos Pendientes = INTEG( Pedidos entrantes - Pedidos salientes , 800)
Units: pedidos
Pedidos salientes = Velocidad de entrega
Units: pedidos/mes
Plazo conocido = INTEG( Flujo percepción , 2)
Units: meses
25
2
72
meses
meses
Plazo de entrega = Pedidos Pendientes / Velocidad de entrega
Units: meses
Plazo normal = 2
Units: meses
Tiempo de reconocimiento = 6
Units: meses
Velocidad de entrega = Entrega tabla ( Pedidos Pendientes / Límite pendientes
)
Units: pedidos/mes
********************************
.Vendedor
********************************
Contratación = ( Vendedores indicados - Vendedores ) / Tiempo de ajuste de vendedores
Units: personas/mes
Coste por vendedor = 2000
Units: euros/(persona*mes)
Fracción destinada a vendedores = 100
Units: euros/pedido
Presupuesto = Fracción destinada a vendedores * Pedidos
Units: euros/mes
Tiempo de ajuste de vendedores = 20
Units: meses
Vendedores = INTEG( Contratación , vendedoresini )
Units: personas
Vendedores indicados = Presupuesto / Coste por vendedor
Units: personas
vendedoresini = 10
Units: personas
26
Ejercicio 5. Meseta Kaibab
La meseta Kaibab tiene una extensión de unos 727000 acres y está situada en la parte
norte del Gran Cañón en Arizona. Con anterioridad a 1907 existía un rebaño de ciervos
de aproximadamente 4000 individuos. En 1907 se estableció una recompensa por la caza
de pumas, lobos y coyotes, todos ellos predadores naturales de ciervos. En un periodo de
unos 15 ó 20 años hubo una aniquilación considerable de estos predadores y,
consecuentemente un inmediato incremento en la población de ciervos.
Para 1918 la población de ciervos había aumentado más de 10 veces. El evidente exceso
de animales en la zona dio lugar a la primera de una serie de advertencias, que
investigadores competentes realizaron, en el sentido de una necesidad urgente de
cambiar la política de recompensas, o de llevar a cabo un rápido proceso de reducción de
ciervos, sacándolos de la región.
En ausencia de predación por sus predadores naturales, o por el hombre como cazador, el
rebaño alcanzó 100000 individuos en 1924. Debido a la falta de comida suficiente el 60%
del rebaño murió en dos inviernos sucesivos. La destrucción de tanta vegetación, debida
al exceso de pastoreo, impidió la recuperación de la reserva de alimentos hasta el punto
de que la muerte de nuevos animales y la reducción de la tasa de natalidad condujo a una
población de la mitad de la que teóricamente podía haber sido mantenida.
27
Se pide:
a) Meditar sobre el tipo de estructura que puede ser responsable del comportamiento
histórico observado.
b) Construye un modelo de Dinámica de Sistemas y utilízalo para simular diversas
hipótesis que desees estudiar.
28
Modelo Kaibab
Predadores
Ciervos
Hierba
Tiempo recuperación +
<Predadores>
Ciervos
Predación
<Ciervos matados>
<Hierba>
Ciervos
Crecimiento ciervos
Alimento per cápita
Tasa ciervos
Alimento necesario
f tasa ciervo
Disponibilidad alimento
29
Predadores
Caza
Crecimiento predadores
Tasa predadores
<Ciervos>
Extensión
Tasa caza
Densidad ciervos
f tasa predadores
Ciervos matados
Predadores
f ciervos matados
<Disponibilidad alimento>
Capacidad hierba
f tiempo creci
Salud terreno
Hierba comida ciervo
Tiempo crecimiento
Pastoreo
f hierba comida
Hierba
Crecimiento hierba
Efecto heladas
f heladas
<Ciervos>
Hierba
<Time>
********************************
.Ciervos
********************************
Alimento necesario = 3
Alimento per cápita = Hierba / Ciervos
Capacidad hierba = 540000
30
Caza = Predadores * Tasa caza * STEP ( 1, 1907)
Ciervos = INTEG( Crecimiento ciervos - Predación , 4000)
Ciervos matados = f ciervos matados ( Densidad ciervos )
Crecimiento ciervos = Ciervos * Tasa ciervos
Crecimiento hierba = Efecto heladas * ( Capacidad hierba - Hierba ) / Tiempo crecimiento
Crecimiento predadores = Predadores * Tasa predadores
Densidad ciervos = Ciervos / Extensión
Disponibilidad alimento = Alimento per cápita / Alimento necesario
Efecto heladas = f heladas ( Time )
Extensión = 800000
f ciervos matados ( [(0,0)-(0.1,120)],(0,0),(0.01,10),(0.0181269,21.7105),(0.0283988,38.8158)
,(0.041994,66.4474),(0.0510574,82.8947),(0.0598187,92.7632),(0.0728097,98.6842)
,(0.1,100) )
f heladas ( [(1900,0)-(1950,1)],(1900,1),(1931.57,1),(1931.57,0.3),(1934,0.3)
,(1934,0.5),(1934,0.5),(1935,1) )
f hierba comida ( [(0,0)-(4,4)],(0,0),(1.00302,2),(1.29305,2.54386),(1.54683,2.84211)
,(1.71601,2.91228),(1.94562,2.98246),(2.39275,2.98246),(2.98489,2.98246)
,(4,3) )
f tasa ciervo ( [(0,-1)-(4,0.4)],(0,-1),(1,0),(1.18557,0.109155),(1.42268,0.16831)
,(1.74227,0.2),(2,0.2),(3,0.2),(4,0.2) )
f tasa predadores ( [(0,-1)-(15,0.2)],(0,-1),(3.78866,-0.243662),(4.76804,-0.104225)
,(6,0),(7.28093,0.043662),(9.02062,0.0690141),(13.6598,0.1),(15,0.1)
)
f tiempo creci ( [(0,0)-(1,20)],(0,20),(0.0463918,15.6338),(0.0876289,12.2535)
,(0.154639,8.30986),(0.242268,5.91549),(0.35567,3.94366),(0.458763,2.25352)
,(0.548969,1.40845),(0.652062,1.05634),(0.744845,0.84507),(0.837629,0.56338)
,(0.93299,0.528169),(1,0.5) )
Hierba = INTEG( Crecimiento hierba - Pastoreo , 540000)
Hierba comida ciervo = f hierba comida ( Disponibilidad alimento )
Pastoreo = Ciervos * Hierba comida ciervo
Predación = Ciervos matados * Predadores
Predadores = INTEG( Crecimiento predadores - Caza , 300)
Salud terreno = Hierba / Capacidad hierba
Tasa caza = 0.3
Tasa ciervos = f tasa ciervo ( Disponibilidad alimento )
31
Tasa predadores = f tasa predadores ( Ciervos matados )
Tiempo crecimiento = f tiempo creci ( Salud terreno )
TIME STEP = 0.125
********************************
.Control
********************************
Simulation Control Paramaters
FINAL TIME = 1940
INITIAL TIME = 1900
SAVEPER = TIME STEP
Graph Lookup - f tiempo creci
20
0
0
1
Tiempo de crecimiento de la hierba en función de la salud del terreno (Hierba/ Capacidad hierba).
Graph Lookup - f hierba comida
4
0
0
4
Hierba comida por ciervo en función
de la disponibilidad de alimento.
32
Graph Lookup - f tasa ciervo
0.4
-1
0
4
Tasa de crecimiento neto de ciervos en función de la disponibilidad de alimento.
Graph Lookup - f tasa predadores
0.2
-1
0
15
Tasa crecimiento de predadores en función de los ciervos matados por predador.
Graph Lookup - f ciervos matados
120
0
0
0.1
Ciervos matados por predador en función de la densidad de ciervos.
33
1
100,000
100
600,000
60
3
3
3
3
3
4
1
1
50,000
50
300,000
30
0
0
0
0
3
2
3
4
2
1
3
1
4
2
1
1
1
1
1905
1
Ciervos : Current
2
Predadores : Current
3
3
Hierba : Current
Disponibilidad alimento : Current
3
1
2
4
2
1925
Time (años)
1
2
1
2
3
1
2
3
4
34
4
2
1
2
3
4
1
2
3
4
4
2
1935
2
3
4
4
2
1
2
3
4
4
2
1
2
3
4
4
2
3
3
3
4
2
1915
1
1
1
4
3
4
2
Ejercicio 6
Cortes en el suministro de heroína aumentan la delincuencia
El Diario Donostiarra
24/Enero/2001
Donostia- La próxima vez que oiga que ha habido una redada policial y que una
cantidad considerable de heroína ha sido aprehendida no crea que las calles de la
ciudad, su coche o su piso van a estar por ello más seguros. De hecho, un estudio
reciente del tráfico de heroína en San Sebastián demuestra que cuanto más se controla el
mercado de heroína resulta más probable que usted sea robado o que su casa sea
desvalijada por un adicto necesitado de su dosis.
El estudio, que va a hacerse público en menos de una semana, ha sido realizado
por la Comisión para el estudio de las drogas dependiente de la Dirección de Sanidad
del Gobierno Vasco. Dada su importancia, muy probablemente tendrá repercusiones
más allá del ámbito de nuestra ciudad. Dicho estudio proporciona la primera evidencia
estadística que pone en entredicho la creencia común de que un aumento de la presión
policial para reducir el suministro de heroína debe conducir a una reducción de la
delincuencia. Por el contrario, el estudio muestra que los embargos de heroína
conducen, tan sólo, a precios más elevados y que como resultado de la subida del precio
la delincuencia aumenta. Las cifras muestran que como resultado de una subida de un
10% en el precio de la heroína la delincuencia aumenta, en promedio, un 3% siendo esta
cifra superior en las zonas menos céntricas de nuestra ciudad.
El estudio se ha basado en un análisis de los precios de la heroína y el número de
delitos relacionados con la droga a lo largo de un periodo de 40 meses desde junio de
1997 hasta setiembre de 2000. Los datos sobre precios se han obtenido de la Brigada de
Narcóticos de la Ertzaintza y las estadísticas sobre delincuencia provienen de los
ordenadores de la Policía Municipal de San Sebastián.
La Comisión para el estudio de las drogas admite que "una comunidad que tuviera
éxito en eliminar o virtualmente eliminar, su suministro de heroína podría solucionar
su problema de drogo delincuencia en no mucho tiempo". No obstante, esto no se ha
conseguido en ningún sitio y la policía lo que consigue es capturar grandes alijos de
droga que reducen tan sólo temporalmente el suministro de heroína.
"Aunque el sentir convencional mantiene que tales esfuerzos conducen a una
reducción de la delincuencia", dice el estudio, algunas personas que conocen mejor el
escenario de la heroína creen que ocurre precisamente lo contrario. Según ellos, "éxitos
marginales en reducir el suministro de heroína conducen a mayor, no menor, índice de
delincuencia".
La Comisión concluye que su estudio sobre tráfico de heroína en San Sebastián
"sugiere que el sentir convencional es erróneo y que la gente más familiarizada con el
problema de la heroína está en lo cierto. Es decir, reducciones temporales en el
suministro y en la disponibilidad de heroína no producen la reducción de delincuencia
que los responsables políticos y el público en general quieren, semejantes esfuerzos
producen un incremento en la delincuencia que nadie desea".
35
Basándote en la descripción anterior se desea que:
a) Definas el objetivo del modelo que vas a construir estableciendo los dos modos
de referencia descritos en la ficción anterior en los que se muestre la evolución temporal
de las variables que consideres de interés.
b) Construyas un modelo de Dinámica de Sistemas capaz de reproducir los dos
modos de referencia establecidos, escribiendo ecuaciones precisas y asignando valores
razonables a los parámetros utilizados.
c) Utilices el modelo para estudiar diversas políticas de actuación o diversos
escenarios posibles analizando los resultados obtenidos.
36
Modelo
Consumo de heroína
Activador2
Consumo
promedio
<Time>Activador 1
Aprehensión
Presión policial
Heroina
Entrada de heroina
f policia
Consumo
<Adictos>
Efecto precio en entrada
Relación
Consumo por adicto
f precio en entrada
Disponibilidad
<Relación precio>
f consumo
Demanda
Relación normal
Dosis normal
37
<Adictos>
Precio de la heroína
Relación precio
Precio
percibido
<Disponibilidad>
Precio normal
Efecto disponibilidad en precio
Precio
Ajuste precio
Precio instantaneo
f disponibilidad en precio
Tiempo ajuste precio
Adictos y delitos
<Precio>
<Dosis normal>
Dinero necesario
Dinero por delito
Heroina
promedio
Frecuencia de delitos
<Heroina>
Capacidad soportable
<Relación normal>
Cambio adictos
Adictos
<Disponibilidad>
Tiempo ajuste
f ajuste
38
Delitos
Ecuaciones
********************************
Adictos y Delitos
********************************
Adictos = INTEG( Cambio adictos , 2000)
Units: Adictos
Cambio adictos = ( Capacidad soportable - Adictos ) / Tiempo ajuste
Units: Adictos/semana
Flujo de ajuste de los adictos a la capacidad soportable.
Capacidad soportable = Heroína promedio / ( Dosis normal * Relación normal )
Units: Adictos
Número de adictos que pueden mantenerse con normalidad con la heroína
promedio.
Delitos = Adictos * Frecuencia de delitos
Units: Delitos/semana
Dinero necesario = Dosis normal * Precio
Units: Pesetas/(semana*adicto)
Dinero semanal necesario para mantener su hábito por adicto.
Dinero por delito = 30000
Units: Pesetas/delito
Dinero que un adicto obtiene por término medio por delito.
f ajuste ( [(0,0)(1,26)],(0,2),(0.0592784,6.77465),(0.113402,10.4366),(0.185567,15.0141),
(0.273196,18.8592),(0.360825,21.9718),(0.443299,23.8028),(0.518041,24.6268),(0.713
918,25.3592)
,(1,26) )
Units: semanas
Tabla que da el tiempo de ajuste de drogadictos en función de la disponibilidad.
Frecuencia de delitos = Dinero necesario / Dinero por delito
Units: Delitos/(semana*adicto)
Numero de veces por semana que un adicto debe delinquir para sostener su
adicción.
39
Heroína promedio = SMOOTH ( Heroína , 52)
Units: Gramos
Promedio a largo plazo de la heroína disponible en el mercado.
Tiempo ajuste = f ajuste ( Disponibilidad )
Units: semanas
********************************
Consumo de Heroína
********************************
Activador 1 = 0
Units: adimensional
Activa (1) o desactiva (0) la presión policial a largo plazo.
Activador2 = 0
Units: adimensional
Activa (1) o desactiva (0) la aprehensión policial puntual.
Aprehensión = 0.2 * Heroína * PULSE ( 2, TIME STEP ) / TIME STEP * Activador2
Units: Gramos/semana
Aprehensión policial puntual de heroína
Consumo = Adictos * Consumo por adicto
Units: Gramos/semana
Consumo por adicto = f consumo ( Disponibilidad )
Units: Gramos/(semana*adicto)
Consumo promedio = SMOOTH ( Consumo , 12)
Units: Gramos/semana
Consumo promediado en tres meses.
Demanda = Adictos * Dosis normal
Units: Gramos/semana
Demanda semanal total de heroína
Disponibilidad = Relación / Relación normal
Units: adimensional
Dosis normal = 3.5
Units: Gramos/(semana*adicto)
Dosis normal media de un adicto a la semana
Efecto precio en entrada = f precio en entrada ( Relación precio )
Units: adimensional
Efecto del precio medio de la heroína en el suministro de heroína hacia la zona.
40
Entrada de heroína = Consumo promedio * Efecto precio en entrada * ( 1 - Presión
policial )
Units: Gramos/semana
f consumo ( [(0,0)(4,4)],(0,0),(0.103093,1.30986),(0.154639,1.77465),(0.247423,2.29577),(0.340206,2.66
197)
,(0.402062,2.85915),(0.463918,3.05634),(0.556701,3.23944),(0.680412,3.38028),(0.82
4742,3.4507)
,(1,3.5),(2,3.5),(3,3.5),(4,3.5) )
Units: Gramos/(semana*adicto)
Tabla de consumo per cápita en función de la disponibilidad
f policia ( [(0,0)(250,1)],(0,0),(53.4794,0),(75.3866,0.0246479),(89.5619,0.0598592),(106.314,0.14436
6)
,(117.268,0.323944),(125,0.5),(125.644,0.75),(247.423,0.75) )
Units: adimensional
f precio en entrada ( [(0,0)(6,5)],(0.123711,0.0528169),(0.340206,0.299296),(0.634021,0.616197)
,(1,1),(1.29897,1.25),(1.79381,1.74296),(2.33505,2.25352),(2.87629,2.65845),(3.44845,
3.02817)
,(4.05155,3.23944),(4.62371,3.32746),(5.01031,3.39789),(5.98454,3.4331) )
Units: adimensional
Efecto del precio en la entrada de heroína. Un precio elevado indica
simultáneamente un déficit de la misma y un mercado atractivo por lo que se
incrementará el flujo de entrada.
Heroína = INTEG( Entrada de heroína - Consumo - Aprehensión , 28000)
Units: Gramos
Heroína a la venta.
Presión policial = f policia ( Time ) * Activador 1
Units: adimensional
Relación = Heroína / Demanda
Units: semanas
Relación heroína a la venta entre demanda total.
Relación normal = 4
Units: semanas
El tiempo que se prevé como deseable para aguantar sin nuevo suministro. Por
debajo de la cantidad de heroína que permite aguantar ese tiempo el mercado empieza a
alarmarse y a considerar que la heroína comienza a escasear.
********************************
41
.Precio de la heroína
********************************
Ajuste precio = ( Precio instantáneo - Precio ) / Tiempo ajuste precio
Units: Pesetas/(semana*gramo)
Flujo de ajuste del precio real al precio instantáneo que es el que corresponde
al equilibrio para esas condiciones de mercado.
Efecto disponibilidad en precio = f disponibilidad en precio ( Disponibilidad )
Units: adimensional
f disponibilidad en precio ( [(0,0)(4,5)],(0,5),(0.113402,3.67958),(0.195876,2.95775),(0.412371,2.02465)
,(0.608247,1.51408),(1,1),(1.75258,0.9),(2,0.9),(3,0.9),(4,0.9) )
Units: adimensional
Efecto de la disponibilidad en el precio de la heroína. El mercado no suele
descender el precio cuando la disponibilidad aumenta, sí al revés.
Precio = INTEG( Ajuste precio , 16000)
Units: Pesetas/gramo
Precio instantaneo = Efecto disponibilidad en precio * Precio normal
Units: Pesetas/gramo
Precio que corresponde según el mercado a la disponibilidad dada. Le llamo
instantáneo en el sentido de que es el que debería ser si el mercado se ajustase
instantáneamente. Pero, no lo hace, lleva un cierto tiempo que el precio sea el que
corresponde.
Precio normal = 16000
Units: Pesetas/gramo
Precio normal de un gramo. A largo plazo, podría tomarse como un nivel.
Precio percibido = SMOOTH ( Precio , 2)
Units: Pesetas/gramo
Promedio del valor del precio en los últimos tres meses.
Relación precio = Precio percibido / Precio normal
Units: adimensional
Relación que nos dice si el precio está más alto o más bajo de lo normal.
Tiempo ajuste precio = 1
Units: semanas
El tiempo de ajuste es muy pequeño en el mercado de heroína. De hecho puede
que los efectos se noten de un día para otro.
********************************
.Control
********************************
42
Simulation Control Paramaters
FINAL TIME = 250
Units: semanas
The final time for the simulation.
INITIAL TIME = 0
Units: semanas
The initial time for the simulation.
SAVEPER = 0.1
Units: semanas
The frequency with which output is stored.
TIME STEP = 0.01
Units: semanas
The time step for the simulation.
Graph Lookup - f ajuste
26
Tabla que da el tiempo de ajuste de
drogadictos en función de la
disponibilidad de heroína.
0
0
1
43
Graph Lookup - f disponibilidad en precio
5
Efecto de la disponibilidad en el
precio de la heroína. El mercado
no suele descender el precio
cuando la disponibilidad aumenta,
sí al revés.
0
0
4
Graph Lookup - f consumo
4
Tabla de consumo per cápita en
función de la disponibilidad
0
0
4
44
Una aprehensión aislada de heroína en t=2
40,000 Gramos
20,000 Pesetas/gramo
6,000 Delitos/semana
2
2
2
2
2
2
2
2
30,000 Gramos
15,000 Pesetas/gramo
4,000 Delitos/semana
2
2
2
3
3
3
3
3
3
1
3
1
1
1
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
5
1
2
3
6
1
2
3
1
1
2
1
3
1
2
3
3
3
1
2
3
2
11
1
2
3
2
12
1
2
3
2
3 1
31
31
1
10
1
2
2
1
7
8
9
Time (semanas)
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
1
0
3
1
20,000 Gramos
10,000 Pesetas/gramo
2,000 Delitos/semana
Heroina : Normal
Precio : Normal
Delitos : Normal
3
3
3
3
13
1
2
2
1
2
3
1
14
15
Gramos
Pesetas/gramo
Delitos/semana
1
2
3
Acción policial intensa que imposibilita la entrada de heroína
40,000
60,000
20,000
2,000
4
Gramos
Pesetas/gramo
Delitos/semana
Adictos
Gramos
Pesetas/gramo
Delitos/semana
Adictos
0
0
0
0
Gramos
Pesetas/gramo
Delitos/semana
Adictos
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
4
1
20,000
30,000
10,000
1,000
4
1
1
1
1
1
4
1
3
2
2
2
3
3
Heroina : Presion Policial
Precio : Presion Policial
Delitos : Presion Policial
Adictos : Presion Policial
25
50
1
2
1
2
3
1
2
3
4
75
3
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
100
125
150
Time (semanas)
1
2
4
3
1
0
4
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
4
3
1
2
3
4
3
4
45
1
2
1
2
3
4
4
4
1
225
250
Gramos
Pesetas/gramo
3 Delitos/semana
4
Adictos
1
2
3
4
1
200
1
2
3
4
1
175
3
Descargar