Cálculo Diferencial Aplicaciones en problemas de Optimización Introducción V = 1000 cc r h Algunas combinaciones Radio (cm) Altura (cm) 2 4 6 8 79.6 19.9 8.86 4.97 10 3.18 Latas de un litro r=2 r=4 r=6 r=8 r = 10 Fabricación de la lata r r h 2pr Material requerido r (cm) 2 46 8 10 h (cm) S (cm2) 79.60 19.90 8.84 4.97 3.18 1025 600 560 652 828 S(r) = 2000/r + 2pr2 Usando Derive para ver la gráfica Problema Un campesino dispone de 200 metros de alambre para cercar un terreno rectangular. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del terreno de modo que el área sea la máxima ? Planteamiento del problema Area = x.y x y Pero como el perímetro del rectángulo es fijo igual a 200 se tiene: 200=2x+2y Podemos expresar el área del rectángulo en términos de una sola variable, esto es f(x)=x(100-x) O sea una función de una variable que tiene por dominio el intervalo [0, 100] El problema reside ahora en la búsqueda del máximos de la función f en el intervalo [0, 100] Los extremos de esa función se encuentran en los extremos del intervalo o en su interior. f(0)=f(100)=0 Mínimo absoluto El máximo tiene que estar en el interior del intervalo. Para su obtención derivamos e igualamos a cero f (x ) = 100 − 2x = 0 x=50 máximo absoluto buscado f(50) = 2500 El terreno es un cuadrado de lado 50 m y el área máxima es 2,500 metros cuadrados Problema Encontrar el radio de la base del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo? 1 Una figura ilustre condiciones problema que las del 2 Plantear la función objetivo. En este caso es el volumen del cilindro V=phr2. 3 Ecuación de enlace. R = (h / 2) + r 2 2 2 h = 2 R −r 2 2 4 Función objetivo en una variable v(r ) = 2pr 5 2 R −r 2 Intervalo de decisión r [0, R ] 2 6 Análisis en los extremos del intervalo. En 0 y en R hay un mínimo. 7 Análisis en el interior del intervalo v(r ) = 2pr (2R 2 − 3r 2 ) R −r 2 2 8 Análisis de puntos críticos 2R − 3r = 0 2 9 2 r = R 2/3 Valor optimo. 4 3R 3 p v(R 2 / 3 ) = 9 10 Respuesta. El radio que produce el cilindro de volumen máximo es : r = R 2/3 y el volumen máximo es : Vm ax 4 3 pR 3 = 9 Ejemplo 1 Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas de una costa rectilínea y quiere llegar a una choza ubicada en la costa que se encuentra a 6 millas del punto de la costa más próximo al bote. Se sabe que la mayor velocidad que este hombre puede alcanzar remando es de 3 mi/h, pero caminando puede ir a 5 mi/h. Se quiere determinar la trayectoria que le permite llegar al pueblo en el menor tiempo. 2 millas 6 millas - - Posibles trayectorias 2 millas 6 millas Respuesta El hombre debe remar hasta un punto de la costa a 4.5 millas del pueblo y continuar a pie por la costa. El tiempo empleado será de 1 hora y 44 minutos. Ejercicio 1 • a) b) Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que: El área total de las dos figuras sea la mínima posible. El área total sea la máxima posible. Ejercicio 2 •Dos aviones A y B vuelan a la misma altura horizontalmente tal como lo muestra la figura. Si la velocidad de A es 16 km/min y la de B es 20 km/min, determine en cuántos segundos los aviones estarán lo mas cerca posible y a qué distancia. 20 km A 20 km B Ejercicio 3 •En una comunidad particular, cierta epidemia se propaga de modo que x meses después del inicio de la epidemia, P es el porcentaje de la población infectada donde: 30 x 2 P= (1 + x 2 ) 2 •¿En cuántos meses se infectará el número máximo de personas y qué porcentaje de la población será este?
