Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
1. CONVECCIÓN
y
y
(Concepto general).
w(y)
w(y)
w(y)
Tf
qC
TS
Ty
Ty
Desarrollo de las capas limite de velocidad y térmica, en la
transferencia de calor por convección entre n flujo y una
superficie plana
⇒
El término "Convección" indica la transferencia
de calor entre una superficie y un-fluido en movimiento,
cuando éstos se encuentran a temperaturas diferentes. Por
consiguiente el mecanismo físico de la transferencia de
calor por convección - -implica difusión de energía debida
al movimiento caótico molecular mas la transferencia de
energía debido, Al movimiento másico.
⇒
La transferencia de calor por convección -se
clasifica en:
• "Convección natural", (Qc)n, (flujo del fluido debido a
variación de ρ).
• "Convección forzada", (Qc) f, (flujo de fluido inducido
por fuerzas externas)
(Qc)f > (Qc)n
⇒
La energía transferida por convección es en
general, "energía sensible del fluido". En procesos con
cambio de fase (ebullición condensación), en adición se
tiene transferencia de "calor latente".
⇒
La ley que gobierna este modo de transferencia
de calor, es la "Ley de enfriamiento de Newton".
[W ]
Qc = hcA(Ts − Tf ) ⎡ W
⎢
q c = hc(Ts − Tf )
⎣
⎤
M 2 ⎥⎦
(1.4)
(1.5)
⇒
El coeficiente de transferencia de calor-por
convección (he) depende de las condiciones de las capas
limite (geometría y -rugosidad de la superficie, naturaleza
del movimiento del fluido, y propiedades-de transporte).
Tabla (1.1) Valores típicos del coeficiente de
transferencia de calor por convección
hc
Procesos
(W / m 2 k)
Convección natural.
Convección forzada.
Gases líquidos.
Convección con cambio de
fase:
ebullición
o
condensación.
5-25
25-250
50-20 000
259A
2 500-100 000
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
Toda sustancia cuya superficie se encuentre a una
⇒
temperatura finita, emite ondas electromagnéticas.
⇒
En la ausencia de un medio intercurrente (vacío), el
calor neto entre dos superficies a temperaturas finitas diferentes,
será transferido por el modo "radiación térmica".
⇒
La emisión de radiación térmica, se atribuye a los
cambios en configuración de los electrones de los átomos
constituyentes de la materia de la superficie emisora. Esta
energía es transportada por ondas electromagnéticas y originadas
a expensas de la energía interna de la materia emisora. La
transferencia por radiación térmica se realiza con mayor
eficiencia en un vació.
⇒
El flujo máximo de calor, emitido por radiación
térmica (radiador ideal o "cuerpo negro"), está definido por la
"Ley de Stefan - Boltzmann"
2. RADIACION TERMICA
(Conceptos generales).
Emisión de radiación térmica desde una superficie (sólido,
líquido o gas) a una temperatura finita (Ts)
T1
[W ]
Q r = σA Ts 4
q r = σ Ts 4 ⎡ W 2 ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
T2
[
σ = 5.67 × 10 −8 W / m 2 K 4
La constante de Stefan – Boltzmann
⇒
La radiación térmica emitida desde la superficie de una
sustancia real, será:
Intercambio neto de radiación térmica entre dos superficies a
temperaturas finitas diferentes.
Alrededor
es (TA).
qr
[W ]
Qr = ε σ A Ts 4
⇒
La propiedad "emisividad" (E), indica la eficiencia de
emisión de una sustancia real, comparada con el radiador ideal.
⇒
Para el caso en el que una superficie pequeña es
rodeada por otra mucha mayor, el intercambio neto de radiación
se determina mediante la expresión siguiente.
Área
Tf , hc
Intercambio
neto
de
]
(
)
Qr = εAσ Ts4 − TA4 [W ]
Transferenci
a de calor
por
qconvección
C
⇒
Superficie de emisividad (ε) y
área (A) a una temperatura (TS).
Intercambio de radiación térmica entre una superficie pequeña y
otra mayor que la rodea completamente.
⇒
es
(
)
qr = εAσ Ts4 − TA4 ⎡ W 2 ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
Qr = hrA(Ts − TA )
[W ]
[W / m ]
La expresión anterior también se puede expresar cono
qr = hr (Ts − TA )
(
2
)[
]
El coeficiente de transferencia de calor por radiación
hr = εσ(Ts + TA ) Ts 2 + TA 2 W / m 2 k
(hr) depende fuertemente de la temperatura.
⇒
Para el caso en el que (Qc) sea equivalen te a (Qr), (Ts
>> TA y hc pequeño), la expresión para determinar el flujo de
calor en el modo combinado convección radiación térmica, será:
Qcr = Qc + Qr
Qcr = {[hcA(Ts − Tf )] + [hrA(Ts − TA )]}[W ]
Para valores más moderados de (Ts), en relación a (TA), y
valores altos de (hc) (convección forzada), se puede despreciar la
radiación térmica.
260A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
⇒ 3.1 Concepto General.
El término "Conducción" refiere la transferencia de calor
que ocurre a través de un medio estacionario (so1ido,
líquido o gas), cuando existe un gradiente de temperatura
(diferencia de temperaturas a través de una distancia). El
mecanismo físico de la Conducción es la difusión de
energía debido a la actividad caótica molecular o atómica
de la materia.
3. CONDUCCIÓN
⇒ 3.2 Ecuación general
coordenadas cartesianas.
Volumen de control diferencial (dx,dy,dz) para análisis de conducción en
coordenadas cartesianas.
de
conducción
en
⇒ El balance de energía en el volumen de control
será:
E e + E g − E s = E a ; Eg = q Ax
.
[(qx ) + (qy) + (qz)] + [q dxdydz] −
[(qx + dx ) − (qy + dy) − (qz + dz)] =
Tabla (2.1). Condiciones limite para la ecuación de difusión de calor en la
superficie (x=0).
(2.20)
T(x, )
x
2. Flujo de calor constante en la
superficie:
a). Flujo de calor finito.
∂T
−k
dx
∂T
∂x
x =0 =
(2.21)
T(x, )
qx
qs
x =0 = 0
∂T
−k
x =0 =
∂x
hc[T∞ − T(0, θ)]
∂T
∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ .
⎜⎜ k
⎟⎟ + ⎜ k
⎟+
⎜k
⎟ + q = ρC p
∂θ
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
⇒ Si la conductividad térmica (k) es una constante
independiente de la posición o la temperatura, la ecuación
anterior se puede expresar como:
(2.22)
T(x, )
x
3. Condición de convección en la
superficie.
⇒ La forma general de la "ecuación de difusión de
calor (ecuación de calor), en coordenadas cartesianas"
será :
∂ 2T
x
b). Superficie adiabática o aislada.
∂T
⎡
⎤
⎢ρC p ∂θ dxdydz⎥
⎣
⎦
Ts
1. Temperatura constante en la
superficie.
T(0,∞)=Ts
T (0, )
(2.23)
T(x, )
T∞; hc
x
⇒
∂x
(
2
+
∂ 2T
∂y
2
+
Donde α = k / ρC p
∂ 2T
∂z
)
2
+
q 1 ∂T
=
k α ∂θ
es la "difusividad térmica".
Un valor alto de (α) implica que-un medio es más eficaz
en la transferencia de energía por conducción que en el
almacenamiento de energía (Ea).
⇒ Para las condiciones de "estado continuo" no se
tendrá cambio en la energía almacenada, y la ecuación de
difusión de energía se reduce a:
∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ .
⎜k
⎟ + ⎜k
⎟+
⎜k
⎟+q =0
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
⇒ Para
condiciones
de
"estado
continuo
unidimensional"; esto es, no se tiene cambio en (Ea) y no
se tiene (Ég), la "ecuación-de difusión de energía en
coordenadas cilíndricas" se reduce a,
∂ ⎛ ∂T ⎞
⎟=0
⎜k
∂x ⎝ ∂x ⎠
261A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
⇒ 3.3 Ecuación General de Conducción en Coordenadas
Cilíndricas.
La forma general de la "ecuación de difusión de calor en coordenadas
cilíndricas" será:
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤
∂T ⎤
⎡
⎜⎜ k
⎟⎟⎥ + ⎢ ⎜ k
⎟⎥ + ⎢ 2
⎜ kr
⎟⎥ + q = ⎢ρCp ⎥
⎢
∂θ ⎦
⎣
⎣ r ∂r ⎝ ∂r ⎠⎦ ⎣ r ∂φ ⎝ ∂φ ⎠⎦ ⎣ ∂z ⎝ ∂z ⎠⎦
Volumen diferencial se control, (dr, rd , dz) para análisis
de conducción en coordenadas cilíndricas.
⇒ Para "condiciones de estado continuo"; esto es, sin cambios en la
energía almacenada (Éa), y sin generación de calor "la ecuación general
de difusión en coordenadas cilíndricas", será:
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞
⎟=0
⎜ kr
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
⇒ 3.4 Ecuación General de Conducción en Coordenada Esféricas.
⇒ La "ecuación general de difusión de calor en coordenadas
esféricas" es,
(
)
−1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤
⎡ 1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞⎤ ⎡ 2
2
⎟⎥ +
⎜k
⎟⎥ + ⎢ r sen ψ
⎜ kr
⎢ 2
∂φ ⎜⎝ ∂φ ⎟⎠⎦
∂r ⎠⎦ ⎣
⎣ r ∂r ⎝
⎡ 2
−1 ∂ ⎛
∂T ⎤
∂T ⎞⎤
⎡
⎟⎟⎥ + q = ⎢ρCp
⎜⎜ ksenψ
⎢ r senψ
∂θ ⎥⎦
∂ψ ⎠⎦
∂ψ ⎝
⎣
⎣
(
Volumen de control diferencial (dr . r senψ dØ.rdψ) para
análisis de conducción en coordenadas esféricas (r, Ø, ψ)
(T1>T2)
T1
x
⇒ Para "condiciones de estado continuo unidimensional"; esto es (∆
Ea=0) y (Eg=0) la "ecuación de difusión de calor en coordenadas
esféricas", será:
∂ ⎛ 2 ∂T ⎞
⎟=0
⎜r
∂x ⎝ ∂r ⎠
T2
Qx
∆x
Conducción continua unidimensional a través de una
barra de material sólido.
)
⇒
3.5 Conducción Unidimensional, Estado Continuo.
⇒ 3.5.1 Ecuación de Conducción para condiciones de Estado
Continuo Unidimensional
⇒ La ecuación de conducción para condiciones de estado continuo
unidimensional, (∆ Ea=0 y Eg=0) es la "Ley de Fourier"
⎛ dT ⎞
Qx = −kA⎜
⎟[W ]
⎝ dx ⎠
⎛ dT ⎞
2
qx = −k⎜
⎟ W/m
dx
⎝
⎠
[
]
La ley de Fourier es una generalización basada en evidencia
experimental. . Esta es una expresión vectorial, la cual indica que el
flujo de calor es normal a una isoterma y en la dirección del
decrecimiento de la temperatura. Esta ley es aplicable para toda la
materia, independiente mente de su estado (sólido, liquido, o gas).
262A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
⇒
T(x)
(dT/dx)<0 ; (-)
qx>0 ; (+)
3.5.2 Conductividad Térmica (k).
⇒ La "Conductividad térmica" (k), es una propiedad de
transporte la cual indica la velocidad a la cual es transferida la
energía térmica en el proceso de difusión (K), depende de la
estructura física dé la materia.
(dT/dx)>0 ; (+) T(x)
qx<0 ; (-)
k=-qx/(dT/dx) [W/mk]
qx
x
(a)
T(x)
(dT/dx)>0 ; (+)
qx<0 ; (-)
⇒ El flujo de calor por conducción se incrementa al
incrementarse la conductividad térmica.
qx
x
⇒
(b)
(dT/dx)<0 ; (-) T(x)
qx>0 ; (+)
qx
k=ke+kr
⇒ Para metales puros:
(ke>>kr) y (ke) es determinada por la ley de Wiedeman–FranzLorez
qx
x
(c)
x
(d)
ke=Lo T/ρe; ρe=ρo+ρ’(T)
Relación entre el sistema de coordenadas, dirección del flujo de
calor, y el gradiente de temperatura en una dimensión.
Zinc
Plata
METALES PUROS
Níquel
Aluminio
ALEACIONES
Hielo
Óxido
Plásticos
SÓLIDOS NO METALICOS
Fibras
Espumas
SISTEMAS ISLANTES
Mercurio
Aceite Agua
LIQUIDOS
Anhídrido
Carbónico
Hidrógeno
GASES
0.01
0.1
1
10
(k). Para el estado sólido.
(Ke) es independiente de (T)
⇒
Para só1idos no metálicos
k=f(kr)
(k) se incrementa al incrementarse (T) hasta 100 °C , para
valores cercanos a esta temperatura, (k) alcanza su valor
máximo.
⇒
Para aleaciones:
(ke) es menor que para metales puros. En general, el efecto neto
es de que-al incrementarse (T), se incrementara (k).
100
1000
[W / m ºK]
Rangos de conductividad térmica (k) para varios estados de la
materia a condiciones normales de temperatura y presión.
⇒
(k). Para sistemas aislantes.
Estos sistemas están compuestos de materiales de baja
conductividad térmica, e incluyen los modos de transferencia de
calor de conducción, convección y radiación.
263A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
Un parámetro importante cara estos sistemas es su "densidad en
masa" ( ρm )
ρm =
⇒
masa del solido
volumen total
(k). Para el estado fluido (gases y líquidos)
⇒ La conductividad térmica (k) de los gases y líquidos,
generalmente es más pequeña que la de los sólidos.
kα(ηϖmλ)
Conductividad térmica de sólidos selectos a diferentes
temperaturas
⇒
Para los gases:
( ϖm ) se incrementa al incrementarse
(T) y decrecer ( ); por lo cual (k) se incrementa al incrementarse
(T) y decrecer ( )
⇒ Puesto que (nαp) y ( =p-1), (k) es independiente de (P) a
presiones no muy - elevadas.
⇒
Para los líquidos no-metálicos:
(k) decrece al incrementarse (T), con excepción del agua y la
glicerina.
También generalmente se observa que (K) decrece al
incrementarse ( ).
Conductividad térmica de algunos gases seleccionados, a presión
normal y a diferentes temperaturas.
Conductividad térmica de líquidos no-metálicos,
condiciones de saturación y a diferentes temperaturas.
⇒ Para los líquidos metálicos:
El valor de (k) es mucho mayor que el de los líquidos nometálicos.
bajo
264A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
∆
x=0
EXPRESIONES
⇒ 3.5.3 La pared plana.
Las expresiones que se definen a continuación son para el estado
x=x+∆x
Qxc
T∞1
continuo unidimensional; esto es,
Ts1
⇒ Distribución de temperatura. (Tx).
Para condiciones de stado continuo, unidimensional y
conductividad térmica constante, (k), la temperatura a través de
la pared plana varia linealmente con (x). Por tanto la expresión
que define la distribución de temperatura en la pared plana es:
Ts2
Fluido en
movimien
to T∞1, hc
T∞2
k
(x)
Qxc
T∞1
1/hc1A
(Rtc)1
⎧
x ⎤⎫
⎡
T(x ) = ⎨Ts 1 − ⎢(Ts 1 − Ts 2 ) ⎥ ⎬
Δ
x ⎦⎭
⎣
⎩
Fluido en
movimien
to T∞2, hc
Ts2
Ts1
x/kA
(Rtx)
⇒ Resistencia térmica (Rt).
Existe una analogía entre la difusión de calor y la carga eléctrica.
La resistencia eléctrica esta definida por el coeficiente de la
diferencia de potencial y el flujo de energía eléctrica.
La resistencia térmica, en general esta definida por el cociente de
la diferencia de temperatura y el flujo de calor.
T∞2
1/hc2A
(Rtc)2
Transferencia de calor, condiciones de estado continuo
unidimensional, a través de una pared plana. (a). Distribución de
temperatura; (b). Circuito térmico equivalente.
qxc =
(T∞1 − Ts 1 ) (Ts 1 − Ts 2 ) (Ts 2 − T∞ 2 )
=
⎛ 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ hc1 ⎠
⎛x⎞
⎜ ⎟
⎝k⎠
=
⎛ 1
⎜⎜
⎝ hc 2
⎞
⎟⎟
⎠
⎡W⎤
⎢ 2⎥
⎣m ⎦
⇒ La resistencia térmica de conducción (en base a la figura
anterior):
⎡⎛ Ts − Ts 2
R tx = ⎢⎜⎜ 1
Qx
⎣⎝
(Ts 1 − Ts 2 )
⎡⎛ T − Ts 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ −1 ⎡ k ⎤
⎟⎟⎥ = ⎜
R tc = ⎢⎜⎜ ∞1
⎟ ⎢ ⎥
Qc
⎠⎦ ⎝ hcA ⎠ ⎣ W ⎦
⎣⎝
⎡⎛ Ts − T∞ 2
R tc = ⎢⎜⎜ 2
Qc
⎣⎝
n
⎡ oK⎤
R T = ∑ R ti ⎢
⎥
⎢⎣ W ⎥⎦
i =1
x
R tx =
kA
1
R tc =
hcA
Donde la resistencia térmica total, será:
Qxc =
⎡k⎤
⎢W⎥
⎣ ⎦
(T∞1 − Ts 1 ) (Ts 1 − Ts 2 ) (Ts 2 − T∞ 2 )
Rtc 1
=
Rtx
=
Rtc 2
⎞
Qxc = ⎛⎜ ΔT
⎟
⎝ RT ⎠
⎡ (T − T∞ 2 ) ⎤
Qxc = ⎢ ∞1
⎥ [W ]
RT
⎣
⎦
(T − Ts 1 ) (Ts 1 − Ts 2 ) (Ts 2 − T∞ 2 )
Qxc = ∞1
=
=
⎛ x ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎝ kA ⎠
⎝ hc1 A ⎠
⎝ hc 2 A ⎠
⎡ (T − T∞ 2 ) ⎤
Qxc = ⎢ ∞1
⎥ [W ]
RT
⎦
⎣
∑ [Rtc1 + Rtcx + Rtc 2 ]⎢ W ⎥
i =1
−1
O en términos de la “diferencia total de la temperatura”, (∆T), y
la “resistencia térmica total”, (RT).
⇒ Para el caso de circuito térmico, equivalente (serie),
conducción – convección, de la figura anterior, se tendrá:
n =3
⎞⎤ ⎛ 1 ⎞
⎟⎟⎥ = ⎜
⎟
⎠⎦ ⎝ hcA ⎠
⇒ Circuito térmico equivalente.
⇒ El circuito térmico equivalente provee una herramienta útil
para la conceptualización y cuantificación de los problemas de
transferencia de calor.
En base a lo anterior, la cantidad de calor transferido debe
determinarse considerando por separado cada elemento del
circuito.
RT
Q
qxc =
A
Qc = hcA(Ts − T∞ ) (W)
RT =
⎞⎤ ⎛ x ⎞ ⎡ k ⎤
⎟⎟⎥ = ⎜
⎟ ⎢ ⎥
⎠⎦ ⎝ kA ⎠ ⎣ W ⎦
⇒ La resistencia térmica de convección (en base a la figura
anterior):
qxc=Parámetro especifico que no depende del área total si no
que es por unidad de área.
qx =
(ΔE a = 0), y (E g = 0) .
⎡ oK⎤
⎣⎢
⎦⎥
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤
⎟⎟⎥
⎟⎟ + ⎜
R T = ⎢⎜⎜
⎟ + ⎜⎜
⎣⎢⎝ hc1 A ⎠ ⎝ kA ⎠ ⎝ hc 2 A ⎠⎦⎥
Qxc=Parámetro de tipo extensivo que depende del área.
265A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
⇒ 3.5.4. La pared plana múltiple.
Para sistema múltiple es conveniente trabajar con un “coeficiente
total de transferencia de calor”, (U), y la expresión para determinar
el flujo de calor será:
T∞1
Qxc = [UAΔT ] [W ]
T∞4 ; hc2
TS1
T∞1 ; hc1
TS2
ka
kb
xa
xb
Fluido en
movimiento.
Qxc
T∞1
TS1
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ hc1A ⎠
TS2
⎛ xa ⎞
⎟
⎜
⎝ kA ⎠
⇒ Caso flujo serie.
La ecuación anterior es análoga a la ley de enfriamiento de
Newton; por tanto, el coeficiente total (U) esta relacionado a la
resistencia térmica total (RT), esto es:
Fluido en
TS3 movimiento.
kc
T∞4
⎡ W ⎤
U = [R T A ]−1 ⎢ 2 o ⎥
⎣m K⎦
xc
TS3
⎛ xb ⎞
⎟
⎜
⎝ kA ⎠
⎛ xc ⎞
⎜
⎟
⎝ kA ⎠
T∞4
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ hc 2 A ⎠
⎡ oK⎤
R T = (UA )−1 ⎢
⎥
⎣⎢ W ⎦⎥
Transferencia de calor, condición de estado continuo
unidimensional a través de una pared plana múltiple (caso flujo
serie).
Para la figura del “caso flujo serie”,
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ x a
⎟⎟ + ⎜⎜
U = [R T A ]−1 = ⎢⎜⎜
⎣⎢⎝ hc 1 ⎠ ⎝ k a
ΔT = (T∞1 − T∞ 2 )
Qxc
b
kb
c
kc
ka
xa
xb
(Rtx)b
Yb TS1
a
Yc
Y
X
Qxc
d
kd
xc
TS1
TS2
TS4
TS4
TS3
(Rtx)d
(Rtx)a
(Rtx)c
Transferencia de calor por conducción a través de una pared
plana múltiple (caso flujo serie – paralelo).
Continuación 1.
(R tx )b
(R tx )c
(R tx )bc
⎧
⎪
⎪⎪⎛ x
U = ⎨⎜⎜ a
⎪⎝ k a
⎪
⎪⎩
⎧
⎪
⎪
(Yb + Yc )
=⎨
⎡
⎪ ⎛⎜ k b Yb ⎞⎟ ⎛⎜ k c Yc
⎪ ⎢⎜ x ⎟ + ⎜ x
⎩ ⎣⎢⎝ b ⎠ ⎝ c
⎧
⎪
⎞ ⎪
(Yb + Yc )
⎟+⎨
⎟
⎡
⎠ ⎪ ⎛ k b Yb ⎞ ⎛ k c Yc
⎪ ⎢⎜⎜ x ⎟⎟ + ⎜⎜ x
⎩ ⎣⎢⎝ b ⎠ ⎝ c
RT =
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦⎥
−1
o
TS2
i =1
(R tx )a
⎡x ⎤
=⎢ a⎥
⎣ ka ⎦
(R tx )b
⎡x ⎤
=⎢ b⎥
⎣ kb ⎦
⎡⎛ 1
⎢⎣⎝ R tx
(R tx )bc = ⎢⎜⎜
(R tz )bc
Continuación 1.
266A
TS4
TS3
∑ (R tx )i = [(R tx )a + (R tx )bc + (R tx )d ]
n =3
ó
⎫
⎪
⎞⎪⎪ ⎡ m 2 o K ⎤
⎟⎬ ⎢
⎥
⎟
⎠⎪ ⎣⎢ W ⎦⎥
⎪
⎪⎭
[ K]
⎞ ⎛ 1
⎟+⎜
⎟ ⎜ hc
⎠ ⎝ 2
Qxc = [UAΔT ] [W ]
TS1
⎫
⎪
⎪ ⎡m2 o K ⎤
⎥
⎬ ⎢
⎞⎤ ⎪ ⎣⎢ W ⎦⎥
⎟⎥ ⎪
⎟
⎠⎦⎥ ⎭
⎫
⎪
⎪ ⎛ xb
⎬ + ⎜⎜
⎤
⎞ ⎪ ⎝ kb
⎟⎥ ⎪
⎟
⎠⎦⎥ ⎭
⎞ ⎛ xc
⎟+⎜
⎟ ⎜k
⎠ ⎝ c
⇒ Caso flujo serie – paralelo.
Los arreglos serie – paralelo no son unidimensionales, en realidad
este es un caso de flujo bidimensional. La medida de desviación del
caso unidimensional depende de las resistencias térmicas relativas,
en las trayectorias alternas.
Se puede obtener soluciones aproximadas para los casos serie –
paralelo, utilizando las “herramientas unidimensionales”, siempre y
cuando las conductividades térmicas (k) de los materiales en
paralelo no sean sustancialmente diferentes.
La solución unidimensional aproximada consiste en reducir el
circuito serie – paralelo a un caso serie. Considerando el caso de la
figura anterior:
(Rtx)d
Qxc
(Rtx)a
(Rtx)bc
⎡ x ⎤ ⎡m2 o K ⎤
=⎢ b ⎥ ⎢
⎥
⎣ Yb k ⎦ ⎢⎣ W ⎦⎥
⎡ x ⎤ ⎡m2 o K ⎤
=⎢ c ⎥ ⎢
⎥
⎣ Yc k ⎦ ⎢⎣ W ⎦⎥
⎞ ⎛ xb
⎟+⎜
⎟ ⎜k
⎠ ⎝ b
⎡m2 o K ⎤
⎥
⎢
⎣⎢ W ⎦⎥
⎡m2 o K ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ W ⎥⎦
⎞ ⎛ 1
⎟ +⎜
⎟ ⎜R
⎠ b ⎝ tx
⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟
⎠ c ⎥⎦
−1
⎡ (R tx )b (R tx )c ⎤
=⎢
⎥
⎣⎢ (R tx )b + (R tx )c ⎦⎥
ó
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
⇒ Resistencia térmica de contacto (Rtco).
En los sistemas múltiples la caída de temperatura a través de la
interfase entre materiales puede ser apreciable. Esta caída de
temperatura se atribuye a la resistencia térmica de contacto.
Qcontact
⎡⎛ (T − Tb ) ⎞⎤
⎟⎟⎥
R tco = ⎢⎜⎜ a
Q
⎠⎦
⎣⎝
Q
Ta
a
∆
T
b
Tb
T
Qhueco
a
b
X
Caída de temperatura debido a la resistencia térmica de contacto.
Tabla (2.2). Rango aproximado de valores de resistencia térmica
para interfases metálicas bajo condiciones de vacío.
RESISTENCIA TÉRMICA, (Rico)x104m2 ºK/W
Presión de contacto
100 kN/m2
10 000 kN/m2
Acero inoxidable
6 – 25
0.7 – 4.0
Cobre
1 – 10
0.1 – 0.5
Magnesio
1.5 – 3.5
0.2 – 0.4
Aluminio
1.5 – 5.0
0.2 – 0.4
Fuente: Fried, E., “Termal Conduction Contibution to Heat Transfer
at Contacs”
⎡m2 o K ⎤
⎥
⎢
⎣⎢ W ⎦⎥
La existencia de una resistencia térmica de contacto finita, es
función de la rugosidad de las superficies en contacto y la
presión de la unión. La transferencia de calor en la interfase se
realiza por conducción a través de los puntos de contacto y
convección y/o radiación a través de los huecos, siendo estas dos
resistencias en paralelo.
La experiencia térmica de contacto. (Rtco) decrecerá al decrecer
la rugosidad superficial e incrementar la presión de unión.
No obstante las teorías que se han desarrollado para la
predicción de la (Rtco), los resultados más confiables son los
obtenidos experimentalmente.
Tabla (2.3). Variación de la resistencia térmica para interfase en
aluminio–aluminio (10 m rug–sup.) bajo 105Pa de presión contacto.
FLUIDO
Resistencia térmica (Rtco)x104m2 ºK/W
Aire
2.75
Helio
1.05
Hidrogeno
0.720
Aceite de silicio
0.525
Glicerina
0.265
Misma fuente.
Aislante
Qx
Superficie
Adiabática
T1
To, A(x)
Z
Y
⇒ 3.5.5. Alternativa para análisis de conducción.
Para el análisis de la conducción a través de la materia se puede
usar un procedimiento alternativo el cual consiste en partir de las
ecuaciones de cambio en forma diferencial e integrar; esto es:
Qx+dx
X1
X
Xo
X
Qx
⎛ dT ⎞
Qx = −kA⎜
⎟[W ]
⎝ dx ⎠
⎛ dT ⎞
2
qx = − k⎜
⎟ W/m
dx
⎠
⎝
dx
[
Transferencia de calor por conducción a través de un sólido con
(k)T y A(x).
⎫
⎧
⎪⎪ πa 2 k (T1− T2 ) ⎪⎪
Qx = ⎨
⎬[W ]
⎪ 4⎡X1−1 − X 2 −1 ⎤ ⎪
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ⎢⎣
⎧⎪
⎫
⎡ 4Qx ⎤ ⎡ −1
−1 ⎪
T(x ) = ⎨(T1) − ⎢
⎥ ⎢X1 − X ⎤⎥ ⎬[°K ]
2
⎣
⎦
⎪⎩
⎪⎭
⎣⎢ πa k ⎦⎥
⎡
⎡
⎢
⎢
⎢
T(x ) = (T1) − (T1 − T 2) ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣⎢
⎡
⎡
⎢
⎢
⎢
T(x ) = (T1) + (T1 − T 2) ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎣
1
1
−
X1 X
1
1
−
X1 X 2
1
1
−
X X1
1
1
−
X1 X 2
⎤⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ ⎦⎥
⎤⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ ⎥⎦
]
Si (k) es independiente de la temperatura y (A) es uniforme, la
expresión toma la forma ya conocida.
Qx = ∫
x
x0
T
dx
= − ∫ k (T )dT
T
0
A(x )
Para resolver problemas de difusión de calor (conducción) con
formas integradas de las ecuaciones respectivas, solo puede
hacerse para las condiciones de estado continuo unidimensional
con (k9 constante y (A) uniforme.
267A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
Fluido en
Ts1
Movimiento.
T∞1 , hc1
Fluido en movimiento
T∞2 , hc2
r
Ts2
Ts1
r1
L
r2
(Qxc)r T∞1
Ts1
1
hc1 2πr1L
Ts2
Ts2
T∞2
1
h (r2 r1 )
2 π k L hc 2 2πr21L
⇒ 3.5.6 El Cilindro Hueco.
Los sistemas cilíndricos frecuentemente experimentan gradientes
de temperatura solo en la dirección radial, por lo cual pueden ser
tratados como unidimensionales Además, bajo condiciones de
estado continuo (Éa = 0) y sin generación de calor (Éa = 0),
estos sistemas pueden analizarse usando el método normal
(ecuaciones integradas) o el método alternativo (sección 3.5.5).
⇒ Distribución de temperatura, T(r).
A partir de la ecuación general de difusión en coordenadas
cilíndricas, para condiciones de estado continuo unidimensional
(sección 3.3), la distribución de temperatura en el cilindro hueco,
en -el sentido radial, será
⎧
⎡
⎪
⎢ (Ts − Ts ) ⎛ r
⎪
2
ln⎜⎜
T(r ) = ⎨Ts 2 + ⎢ 1
r
⎢
1
⎝ r2
⎪
ln
⎢
⎪⎩
r2
⎣
Transferencia de calor condición convección a través de un
cilindro hueco.
Ts4
Ts3
Ts2
T∞1
hc2
T∞1
hc2
La distribución de temperatura asociada con la conducción
radial, T(r), a través del cilindro es logarítmica.
⇒ Ecuación de Conducción Radial.
Ts1
T∞1
hc2
r1 r2 r
3
r4
T∞1
Ts1
A
B
(Qx )r
L
C
⎛ dT ⎞
= − kA⎜
⎟
⎝ dr ⎠
(Qx )r
Ts2
Ts3
(Qxc)r
⎤⎫
⎞⎥ ⎪⎪
⎟⎟⎥ ⎬
⎠⎥ ⎪
⎥⎪
⎦⎭
Ts4
= − k (2πrL )
dT
(dr / r )
Integrado para el caso del cilindro hueco simple, con (k)
independiente de la temperatura, la expresión para calcular la
can ti dad del calor transferido por conducción, será:
T∞4
(Qx )r
(Rtc)1 (Rtc)A (Rtc)B (Rtx)C (Rtc)4
Distribución de temperatura para un cilindro hueco de capas
múltiples.
=
2πkL(Ts1 − Ts 2 )
⎛r
ln⎜⎜ 2
⎝ r1
⎞
⎟⎟
⎠
[W ]
⇒ Resistencia Térmica (Rt)r
Considerando el caso del cilindro hueco -simple de la figura
anterior:
⇒ La "resistencia térmica de conducción radial", será:
(R tx )r
⇒
⎡ ⎛ r2 ⎞ ⎤
⎢ ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
r1 ⎡ K ⎤
= ⎢⎢ ⎝ ⎠ ⎥⎥ ⎢ ⎥
2πLk ⎣ W ⎦
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
(Rtc1)r = [hc12πr1L]−1 [K / W ]
"resistencia térmica de convección radial", será:
(Rtc 2)r = [hc 22πr 2 L]−1 [K / W ]
⇒ 3.5.7 El Cilindro Hueco de Capas Múltiples
Como se estableció anteriormente, para sistemas múltiples es
conveniente trabajar con el coeficiente total de transferencia de
calor (U).
En general, se tendrá:
(Q)r = [ΔT / RT ] = [UAΔT ] = [U(2πrL)ΔT ][W ]
(q )r = [(Q)r / L] = [U(2πr )ΔT ][W / m]
268A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
Ts4
EXPRESIONES
T∞1
hc2
Ts3
Ts2
T∞1
hc2
Ts1
T∞1
hc2
r1 r2 r
T∞1
3
r4
A
B
L
C
Para coordenadas cilíndricas (utilizando U) se debe tener
cuidado de especificar la superficie de transferencia de calor (A)
con la que se trabajará (interior o exterior); esto es,
UiAi=UeAe=[RT]-1
Para el caso de la pared cilíndrica de capas múltiples de la figura
anterior, se tendrá:
⇒ Considerando la superficie interior (Ai),
(Qxc)r=UiAi∆T=[Ui(2πriL)(T∞4–T∞1)] [W]
ó
(qxc)r=[(Qxc) r/L]=[Ui(2πriL)(T∞4–T∞1)] [W/m2]
⎡⎛ 1
Ui = ⎢⎜⎜
⎣⎢⎝ hci
Ts1
Ts2
Ts3
(Qxc)r
Ts4
⇒
T∞4
(Rtc)1 (Rtc)A (Rtc)B (Rtx)C (Rtc)4
⎞ ⎛ r1 r2
⎟ ⎜
⎟ + ⎜ ka ln r
1
⎠ ⎝
⎞ ⎛ r1
r3
⎟ ⎜
⎟ + ⎜ kb ln r
2
⎠ ⎝
⎞ ⎛ r1 r4
⎟ ⎜
⎟ + ⎜ kc ln r
3
⎠ ⎝
⎞ ⎛ r1 1 ⎞⎤
⎟ ⎜
⎟
⎟ + ⎜ r hc ⎟⎥
⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎥⎦
−1
Ui=[W/m2 ºK]
Considerando la superficie exterior (Ae).
(Qxc)r=Ue∆T=[Ueπre)(T∞4–T∞1)] [W]
ó
(qxc)r=[(Qxc) r/L]=[Ue2πre)(T∞4–T∞1)] [W/m2]
Distribución de temperatura para un cilindro hueco de capas
múltiples.
⎡⎛ 1
Ue = ⎢⎜⎜
⎢⎣⎝ hci
⎞ ⎛ r1 r2
⎟ + ⎜ ln
⎟ ⎜ ka r
1
⎠ ⎝
⎞ ⎛ r1
r ⎞ ⎛r
r ⎞ ⎛ r 1 ⎞⎤
⎟ + ⎜ ln 3 ⎟ + ⎜ 1 ln 4 ⎟ + ⎜ 1
⎟
⎟ ⎜ kb r ⎟ ⎜ kc r ⎟ ⎜ r hc ⎟⎥
2⎠ ⎝
3⎠ ⎝ 4
2 ⎠⎥⎦
⎠ ⎝
−1
Ue=[W/m2 ºK]
Otra forma de las expresiones anteriores, será:
(Qxc)r=[(2πL∆T) / RT] [W]
(qxc)r=[(Qxc)r / L]=[(2π∆T) / RT) [W/m2]
RT =
∑ (R Ti )r
n
i =1
Para el caso de la pared cilíndrica múltiple de la figura anterior,
se tendrá:
(Qxc)r==[2πL(T∞4–T∞1)] / RT
[W]
(qxc)r=[2π(T∞4–T∞1)] / RT [W / m ]
RT =
∑ (R Ti )r = [(Rtc)1 + (Rtx )A + (Rtx )B + (Rtx )C + (Rtc)2]
n
i =1
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ ln r2 r1 ⎞ ⎛ ln r3 r2
⎟+⎜
R T = ⎢⎜⎜
⎟ + ⎜⎜
⎟
⎢⎣⎝ hc1r1 ⎠ ⎝ ka ⎠ ⎝ kb
⎞ ⎛ ln r4 r3 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤
⎟⎥
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟
⎠ ⎝ kc ⎠ ⎝ hc 2 r4 ⎠⎥⎦
RT=[ m ºK/ W]
269A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
re
ri
⇒ 3.5.8. Radio crítico (rcr). Sistemas cilíndricos.
En sistemas cilíndricos de capas múltiples se tiene que al agregar
o incrementar el espesor de material aislante, aparentemente se
reducen las perdidas de calor de este. Sin embargo, el efecto de
agregar material aislante, sobre la transferencia de calor en el
cilindro, es doble; esto es el agregar material aislante de baja
conductividad térmica, incrementará la resistencia a la
conductividad (Rtx), pero también incrementará el área
convectiva de transferencia de calor, reduciendo en consecuencia
la resistencia térmica de convección (Rtc).
Dado lo anterior, de la ecuación de calor y de la segunda
derivada, se obteniene el “radio critico”.
rcr=[k/hc] [W]
El “radio critico” (rcr) es el radio exterior (re) para el cual se
tendrá el máximo flujo de calor y la mínima resistencia térmica
total; esto es, para:
⇒ (re = rcr ) → (Qxc )r = (Qxc ) max . y (R T ) = (R T min )
Fluido
hc; T∞
TSi
TSe
Aislamiento (k)
(Qxc)r TSi
TSe
(Rtx)
T∞
(Rtc)
(Qxc)
R
[W] [mºK/W]
(Qxc)max
(RT)
(RT)min
(Rtx)
(Qxc)
⇒ (re > rcr ) → (Qxc )r decrecerá y (RT) se incrementará, al
incrementarse el radio de aislamiento (r).
⇒ (re < rcr ) → (Qxc )r se incrementara y (RT) decrecerá, al
incrementarse el radio de aislamiento (r).
⇒ 3.5.9. La esfera hueca (Coordenadas Esféricas).
⇒ Distribución de temperatura a través de la esfera hueca esta
determinada por la expresión:
(Rtc)
⎡⎛ re ⎞⎛ r − ri ⎞
⎤ ⎫⎪
⎪⎧
T(r ) = ⎨Tsi − ⎢⎜ ⎟⎜
⎟(Tsi − Tse )⎥ ⎬[K ]
⎪⎩
⎦ ⎪⎭
⎣⎝ r ⎠⎝ re − ri ⎠
ri
⇒ Ecuación de conducción en coordenadas esféricas.
La ley de Fourier en forma diferencial para condiciones de
a = 0)
y
estado continuo unidimensional, esto es, (ΔE
r
(Qxc)r
re
(E g = 0) , será:
(Qxc)r+dr
TSe
dr
TSi
Transferencia de calor por conducción a través de una esfera
hueca.
(Qx )r = −kA(dT dr )[w ]
Utilizando el método alternativo para análisis de conducción,
para condiciones de estado continuo unidimensional; y la
conductividad térmica como función de la temperatura k(t), la
expresión será:
(Qxc)r re dr
4π ∫ r 2
ri
= − ∫ k (T )dT
Tse
Tsi
Suponiendo independientemente de la temperatura a la
conductividad térmica (k), la expresión resultante de la
integración, será:
(R t ) = ΔT Q
⎡oK ⎤
W ⎥⎦
⎢⎣
⇒ La resistencia térmica de conducción en coordenadas
esféricas, será:
⇒ La ecuación de calor utilizando esta forma de las
resistencias será:
(Qxc)r =
4π(Tsi − T∞ )
{[(1ri)− (1re)] k}+ [hc r ]
2 −1
e
[W ]
( ri)− (1re)
⎧⎡ 1
(Rtx )r = ⎪⎨⎢
⇒
270A
⎪⎩⎢⎣
⎤ ⎫⎪ o
⎥ ⎡ K ⎤
k ⎥ ⎬ ⎢⎣
W ⎥⎦
⎦ ⎪⎭
La resistencia térmica de convección será:
(Rtc)r=[hc re2]-1 [ºK/W]
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
€
EXPRESIONES
r3
r2
r1
(Qxc)r
T∞2 (Rtc)1 Ts1 (Rtx1)r Ts2 (Rtx2)rTs3 (Rtc)2 T∞2
Circuito térmico equivalente para un sistema esférico de capas
múltiples con transferencia de calor, conducción–convección.
⇒ La esfera hueca de capas múltiples.
⇒ Ecuación de conducción.
La ecuación general de conducción para condiciones de estado
a = 0 ) y (E g = 0 ) , para una
continuo unidimensional con (ΔE
esfera hueca de capas múltiples, será:
(Q)r=[4πU∆T] [W]
Donde el coeficiente total de transferencia de calor (U), para el
sistema esférico del circuito térmico equivalente con dos
resistencias de convección y dos de conducción, será:
⎡⎛ 1
U = ⎢⎜
⎢⎣⎜⎝ hc r12
⎡n
⎤
U = [R T ] − 1 = ⎢∑ (Rti )r ⎥
⎣ i =1
⎦
−1
⎞ ⎛ (r1 )−1 (r2 )−1 ⎞ ⎛ (r2 )−1 (r3 )−1 ⎞⎛ 1
⎟⎜
⎟+⎜
⎟+⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟⎜ hc r 2
k1
k2
3
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
−1
U=[W/ ºK]
Esfera hueca de capas múltiples, con (re=rcr).
⇒ 3.5.11. Radio Crítico (rcr). Sistemas Esféricos.
En sistemas esféricos de capas múltiples se presenta la misma
situación que en los sistemas cilíndricos de capas múltiples
(sección 3.5.8).
De manera similar a como se determina para el cilindro; para la
esfera, en base a la ecuación de conducción en coordenadas
esféricas para condiciones de estado continuo unidimensional,
(∆Ėa)=0 y (Ėg=0),
Y es la segunda derivada, el "radio critico" para la esfera es.
rcr =[2 k/hc] [m]
El "radio critico" es el radio exterior para el cual se tendrá el
máximo flujo de calor y la mínima resistencia térmica total esto
es, para:
⇒ (re= rcr)→(Qxc)r=(Qxc)max
y
⇒ (RT)=(RT)min
⇒ (re> rcr)→(Qxc)r decrecerá y (RT)se incrementara al
aumentar el radio de aislamiento (r)
⇒ (re< rcr)→ (Qxc)r se incrementara y (RT) decrecerá, al
incrementarse el radio de aislamiento (r)
271A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
A
T∞ ; hc
T∞ ; hc
Qc=hcA(Ts–T∞)
Ts
Ts, A
a). Superficie lisa.
b). Superficie aletada.
Uso de “Aletas” para incrementar la transferencia de calor
desde una pared plana.
⇒
Transferencia de Calor en Superficies Extendidas.
⇒ Concepto General.
El término "superficie extendida" es común mente usada en
referencia a un sólido, el-^ cual experimenta la transferencia de
energía en forma de calor, por conducción dentro de sus limites,
así como transferencia de calor por convección y / o radiación entre sus limites y los alrededores.
La aplicación más frecuente de las "Superficies extendidas" es
para incrementar la difusión de calor entre un sólido y un fluido
contiguo (Líquido o gas). Tal "superficie extendida" es referida
como "Aleta".
El dispositivo "Aleta" es la opción más viable, desde el punto de
vista técnico económica, para incrementar la cantidad de calor a
transferir, al incrementar (con la "Aleta" el área de la superficie en
la cual ocurre la convección; esto es, reduciendo la resistencia
térmica de convección.
⇒ Ecuación General de Energía para la “Superficie
Extendida” o “Aleta”.
Suponiendo "condiciones unidimensionales" en la dirección
longitudinal (x), ya que los cambios de temperatura en la
dirección-longitudinal son mucho mayores que los existentes en la
dirección transversal.
Adicionalmente se consideran condiciones de "estado continuo",
con conductividad térmica (k) constante, (Ég=0), se desprecia porradiación (qr=0), y (hc) uniforme sobre la superficie.
Ejemplos de tubos Aletados típicos para intercambio de calo
El balance energía será:
Qx=[Qx+dx+dQc]
donde,
Qx=-kAt+(dT/dx)
Qx+dx=Qx+dQx/dx (dx)
Tipos de Aletas; a) Aleta recta de sección transversal uniforme;
b) Aleta recta de sección transversal no-uniforme; c) Aleta
anular; d) Aleta espiga
dQc=[hc dAs (T-T∞)]
Sustituyendo en la ecuación del balance de energía, se obtiene la
forma general de la ecuación de energía para las condiciones antes
citadas
⎫
⎧⎪⎡ d ⎛
dT ⎞⎤ ⎡ hc dAs
(T − T∞ )⎤⎥ ⎪⎬ = 0
⎟⎥ − ⎢
⎨⎢ ⎜ A t
dx ⎠⎦ ⎣ k dx
⎪⎩⎣ dx ⎝
⎦ ⎪⎭
dQc
dAs
Qx
At(x)
Qx+dx
dx
Z
X
Y
X
⎧⎪⎛ d 2 T ⎞ ⎡⎛ 1 dAt ⎞ dT ⎤ ⎡ 1 hc dAs
⎫
(T − T∞ )⎤⎥ ⎪⎬ = 0
⎟
⎨⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎢⎜
⎥−⎢
⎦ ⎪⎭
⎩⎪⎝ dx ⎠ ⎣⎝ At dx ⎠ dx ⎦ ⎣ At k dx
ó
Balance de energía para una superficie extendida.
272A
Transferencia de calor
Formulario
3.6.3. Aletas con área de sección Trasversal Constante.
T∞; hc
At
T∞; hc
e
Tb
y
Tb
x
At
a
Qx
P=2a+2e
At=ae
L
Qx
D
P=2πr
P=πD
At=(πD2/4)
L
Tabla (2.4). Distribución de temperatura y pérdidas de calor para aletas de sección transversal constante.
CASO
A
CONDICIO DEL EXTREMO
(x=L)=
Transferencia de calor por
convección:
hcθ(L ) = −k (dθ / dx ) x = L
(dθ dx ) x = L = 0
DISTRIBUCION DE TEMPERATURA
( / b)=
⎧
⎪ [cosh (m(L − x ))] +
⎪
⎨
⎪
[cosh(mL)] +
⎪
⎩
⎧ cosh[m(L − x )]⎫
⎨
⎬
⎩ cosh (mL ) ⎭
Adiabático:
B
θ(L ) = θ L
D
ηa =
Aleta infinita
(L → ∞ ) :
e − mx
(L)=0
[hcP kAt ]
2.87
TRANSFERENCIA DE CALOR
EN LA ALETA (Qa)=
⎧
⎤⎫
⎡⎛ hc ⎞
⎪ [senh (mL)] + ⎢⎜⎜
⎟⎟ cosh (mL)⎥ ⎪
⎪
⎦⎥ ⎪
⎣⎢⎝ mk ⎠
M⎨
⎬
⎡⎛ hc ⎞
⎤⎪
⎪
⎪ [cosh (mL)] + ⎢⎜⎜ mk ⎟⎟senh (mL)⎥ ⎪
⎢⎣⎝
⎥⎦ ⎭
⎠
⎩
tanh (mL)
ECUACION
No.
2.82
2.86
⎡
⎛ θL ⎞ ⎤
⎟⎥
⎢ cosh (mL ) − ⎜
⎝ θb ⎠ ⎥
⎢
M
⎢
⎥
senh (mL )
⎢
⎥
⎣
⎦
2.88
M
2.90
At
2.89
tanh (mL )
12
2.80
2.85
⎫
⎧ ⎡⎛ θL ⎞
⎤
⎪ ⎢⎜⎜
⎟⎟senh (mx )⎥ + [senh (m(L − x ))] ⎪
⎪
⎪ ⎢⎣⎝ θb ⎠
⎥⎦
⎬
⎨
[senh(mL)]
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩
Temperatura prescrita:
C
⎤⎫
⎡⎛ hc ⎞
⎟⎟senh (m(L − x ))⎥ ⎪
⎢⎜⎜
⎦⎥ ⎪
⎣⎢⎝ mk ⎠
⎬
⎡⎛ hc ⎞
⎤
⎪
⎟senh (mL)⎥
⎢⎜⎜
⎟
⎪
⎢⎣⎝ mk ⎠
⎥⎦
⎭
ECUACION
No.
⇒ 3.6.4. Eficiencia de la aleta (εa)
La eficiencia de la aleta (εa) sirve para determinar si el uso de una
determinada aleta sirve para incrementar la dispersión de calos.
Lc
⎡Qa
⎤
⎢⎣ (hcAtb θb )⎥⎦
Atb=e(2πr1)
P=[2πr2+e]2
D
En cualquier diseño racional el valor de (εa) debera ser tan grande
como sea posible. En general el uso de aletas raramente se
justifica a menos que (εa≥2)
⇒ Para aletas de sección trasversal uniforme:
(εa)puede obtener dividiendo la expresión apropiada de (Qa) , de
tabla (2.4) por (hc Atb θb ) .
L
⇒
e
Fluido ambiente
hc; T∞
Aleta anular de sección
transversal rectangular.
(tb)
273A
Para la aproximación de la “ aleta infinita (caso D):
⎤
εa = ⎡(kP)
(hcAt)⎥⎦
⎢⎣
0.5
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
QT=Qa+Qc; N • ηa =
EXPRESIONES
⇒ Redimiendo de la Aleta (ηa).
Otra media del comportamiento térmico es el “Rendimiento de
la aleta” ( a) (implica el grado de eficiencia)
Qa
Q max
η a = (Qa Qmax ) = {Qa [hc(A TA ) θb]}
Qa=N aQmax; As=[H(N(e))](2πr1)
Qc=hcAs(Tb – Tα)
As=[H(2πr1), área sin aletado en el cilindro por convección.
As=a[H – Ne] [m2], para una aleta recta de perfil real.
H
Aleta anular de perfil
rectangular.
La ecuación anterior ha probado ser particularmente útil para
tratar aletas con área de sección transversal no uniforme
Para numerosas configuraciones de aleta se dispone; en forma
grafica de la soluciones de la ecuación de ( a)
Tb
⇒
Para aletas rectangulares, triangular y parabólica
⇒
Para “aletas anulare”
e
r1
L
Fluido
T∞
hc
η a ≡ (Qa Qmax )
Qmax = [hc P Lc θb] [W ]
[
(
)]
Qmax ≡ 2π hc r 2 2c - r 21 [W ]
Qa= flujo relativo de calor (transferencia de calor en la aleta o
perdida de calor real por aleta).
r2
Y~X
Lc=L
Ap=L e/3
Y
e/2
L
Fig. (2.27). Rendimiento de aletas rectas
perfil
rectangular,
triangular
y
parabólico.
a(%)
Lc=L+e/2
Ap=Lc e
e/2
Lc=L
Ap=L e/2
Lc3/2(hc/kAP)1/2
Fig. (2.28). Rendimiento de anulares de
perfil rectangular.
a(%)
r1
r2
r2c=r2+e/2
e Lc=L+e/2
L
Ap=Lc e
Lc3/2(hc/kAP)1/2
274A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
4. INTERCAMBIADORES DE CALOR.
(a)
4.1 Conceptos Generales.
El proceso de intercambio de calor entre dos fluidos que se
encuentran a temperatura diferentes y separadas por una pared
sólida se lleva a cabo utilizando el dispositivo denominado
"Intercambiador de Calor"
Existen diversos tipos de intercambiadores de calor, los cuales
pueden ser clasificados de acuerdo a (revisar anexo 5B
"Clasificación de los Intercambiadores -de Calor):
- Los procesos de transferencia
- La compactibilidad (densidad de la superficie) .
- Las características de construcción
- Los arreglos de flujo
Número de fluidos diferentes
- Mecanismo de transferencia de calor
(b)
Intercambiador de calor; (a) Flujo paralelo; (b) Contra flujo
⎡ 1BTU ft ∗ hr ∗ º F ⎤
⎥
⎢
⎣1.73073 W m º k ⎦
Intercambiadores de calor con flujo cruzado, (a) ambos fluidos
sin mezclarse; (b) un fluido mezcla do y el otro sin mezclarse
⎡1BTU ft ∗ hr ∗ º F ⎤
⎢
⎥
⎣ 5.678 W m º k ⎦
Intercambiadores de calor del tipo "carcaza y tubos", con un
paso en carcaza y un paso en tubos.
Intercambiadores de calor del tipo "carcaza y tubos"; (a) un paso
en carcaza y dos pasos en tubo; (b) dos pasos en carcaza y cuatro
pasos en tubo.
275A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
x
hc(i)
k1
k
hc(e)
hc(i) re
ri
hc(e)
(b)
(a)
Nomenclatura para el coeficiente total de transferencia de calor
asociado con:
(a) una pared plana;
(b) una pared cilíndrica
⇒ 4.2 Factor de Ensuciamiento.
⇒ La parte esencial y más incierta en el análisis de un
intercambiador de calor, es la determinación del "coeficiente total de
transferencia de calor" (U), las ecuaciones anteriormente definidas
para este parámetro son aplicables solo para "Superficies limpias".
⇒ Durante la operación de los intercambiadores, sus superficies
sufren ensuciamientos debido a impurezas en el fluido, formación de
herrumbre y otras reacciones entre el fluido y el material de la pared.
Este depósito sobre la superficie puede incrementar sustancialmente la
resistencia a la transferencia de calor. Este efecto puede ser tratado
introduciendo en la ecuación de (U), una resistencia adicional
denominada "Factor de ensuciamiento", (RE).
⇒
⇒
Para la pared cilíndrica:
Tabla 5.1. Factores representativos de ensuciamiento.
Fluido
RE (m2 ºK/W)
Agua de mar y agua tratada de 0.0001
alimentación para caldera (menor de
50º C).
Agua de mar y agua tratada de 0.0002
alimentación para caldera (mayor de
50º C).
Agua de río (menor de 50º C).
0.0002 – 0.0001
Aceite combustible.
0.0009
Liquido refrigerante.
0.0002
Vapor (sin aceite de cojinete).
0.0009
Referencia: “Standards of the Tubular Exchange
Manufactures Association” Ltd. Ed. Tubular Exchanger
Manufaturers Association, New Cork, 1978.
⇒ El valor de (RE) de la temperatura de operación, la velocidad del
flujo-y el tiempo de servicio del intercambiador de calor.
⇒
4.3 Balance de Energía.
Tabla 5.2. Valores representativos del coeficiente total de
transferencia de calor.
⇒
Para e flujo caliente:
⇒
Para el fluido frío
Fluido
• Agua con Agua.
• Agua con Aceite.
• Condensador de vapor (agua en los
tubos).
• Condensador de amoniaco. (agua en
los tubos).
• Condensador de alcohol.
• Intercambiador de calor de tubos
aletados (agua en los tubos, aire en
flujo cruzado).
•
mc
Tf(e)
25 – 50
Tf(S)
Q = {mc(Cp )c[(Tc ) e − (Tc ) s ]} [W ]
Q = {mf (Cp )f [(Tf ) s − (Tf ) e]} [W ]
⇒ Las temperaturas indicadas en las expresiones anteriores, son los
valores medios de las mismas, en las localizaciones designadas.
800 – 1400
250 – 700
Fluido frío. Q
•
mf
−1
⇒ El balance de energía, considerando el -intercambiador de calor
con dos fluido:, considerando que la transferencia de ---calor hacia los
alrededores, el cambio en energía cinética y potencial, son
despreciables, será
1000 – 6000
Tc(S)
Tc(e)
⎡⎛ 1 ⎞
⎞⎛ re 1 ⎞⎤
⎛ re re ⎞ ⎛ re
⎟⎟⎥
⎟⎟ + (R E )e + ⎜ ln ⎟ + ⎜ (R E ) i ⎟⎜⎜
Ue = ⎢⎜⎜
ri ⎠ ⎝ ri
⎠⎝ ri (hc ) i ⎠⎦
⎝k
⎣⎝ (hc )e ⎠
U (W/m2 ºK)
850 – 1700
110 – 350
Fluido caliente. Q
Para la superficie exterior
Área de la
superficie de
(A) transferencia
de calor.
Balance total de energía para los fluidos caliente y frió de un
intercambiador de calor con dos fluidos.
276A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
⇒ Diferencia Medida Logarítmica de Temperatura (DMLT).
⇒ La Diferencia de temperatura entre el-fluido caliente y frió,
varía con la -posición en el intercambiador de calor por lo
anterior, y dada la conveniencia de trabajar con una ecuación de
la forma:
Q = [UA(Δ Tm )]
Donde (Δ Tm) es un "valor medio" de la diferencia de
temperatura a través del intercambiador de calor.
⇒ En base a lo anterior y realizando un-balance de energía, y
teniendo que:
dQ = [U(Δ T ) dA ]
dQ = - Cc dTc
dQ = Cf dTf
Cc = [mc (Cp ) c] [J kg - s]
donde las "capacidades caloríficas" de los fluidos caliente (Ce),
y frió (Cf),son:
Cf = [mf (Cp ) f ] [J kg - s]
la diferencia inedia logarítmica de temperatura (DMLT), en
forma diferencial, será:
d
(ΔT ) = - U[(1 Cc ) + (1 Cf )] dA
ΔT
⎡ ΔT2 ⎤
ln ⎢
⎥ {- UA[[(Tc )e - (Tf )e ] − [(Tc )s − (Tf )s ]]}
⎣ ΔT1 ⎦
Integrando se obtendrá:
⇒
(DMLT ) = (Δ T2 - Δ T1) = (DMLT ) = (Δ T1 - Δ T2 )
ln (Δ T2 Δ T1)
ln (Δ T1 Δ T2 )
2
1
Q
Tc ; Cc
Tc+dTc
dA
Tf ; Cf
dQ
Área de la
superficie de
transferencia de calor.
Tc(e) Tc ; Cc
1
∆T1 ∆Tm
Para un intercambiador de calor con -"Flujo Paralelo", la
temperatura de -salida del flujo frió nunca excederá la del fluido
caliente.
En las expresiones siguientes se consideran valores promedio
para (Cp)f , (Cp)c y (U).
Área de la
cantidad de
energía transferida.
Q = UA (DMLT) FP [W ]
(Δ T 2 - Δ T 1) [K ]
ln(Δ T 2 Δ T 1)
(Δ T 1)FP = (Tc 1 - Tf 1) = [(Tc ) e - (Tf ) e] [K ]
(Δ T 2)FP = (Tc 2 - Tf 2) = [(Tc ) s - (Tf ) s] [K ]
dTc
(DMLT) FP =
Tc(S)
∆T2
dQ
Tf(S)
dTf
Tf(e)
⇒ 4.4 Intercambiador de Calor con Flujo Paralelo.
En un intercambiador de calor con "flujo paralelo", la diferencia
de temperatura (ΔT) es inicialmente grande pero decae
rápidamente al incrementarse (x) aproximándose a cero
asintótica mente
Tf+dTf
dx
T
La forma general de la (DMLT), será :
Tf ; Cf
x
2
Distribución de temperatura para un intercambiador de calor con
" flujo paralelo".
277A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
1
⇒
2
Tc+dTc
Q
Tc ; Cc
EXPRESIONES
Área de
la superficie
de transferencia
de calor.
Tf+dTf
Tf
dQ
Cf
T
∆T1 ∆Tm
(DMLT) FF = [((ΔT2 − ΔT1 ) ln (ΔT2 ΔT1 ) )] [K ]
dTc
dQ
(Δ T 1)FF = (Tc 1 - Tf 1) = [(Tc ) e - (Tf ) s] [K ]
(Δ T 2)FF = (Tc 2 - Tf 2) = [(Tc ) s - (Tf ) e] [K ]
Tc(S)
dTf
∆T2
Tf(S)
x
2
1
Distribución de Temperatura para un Intercambia donde Calor a
Contra flujo
(Cc>>Cf)
condensación
T
⇒ En el intercambiador de calor a "Contra flujo" se tiene en
cuenta la transferencia de calor entre las porciones calientes de
los dos fluidos en la entrada, así como entre las porciones frías
en la salida.
⇒ Para esta configuración de flujo, la temperatura de salida
del fluido frió puede exceder la temperatura de salida del fluido
caliente.
⇒ En las expresiones siguientes se consideran valores
promedio para (Cp)f , (Cp)c y (U).
Q = UA (DMLT) FP [W ]
dx
Tc ; Cc
Tc(e)
ó
Vapor
⇒ 4.6 Evaluación de las configuraciones de flujo paralelo
y contra flujo paralelo y contra flujo.
⇒ Para las mismas condiciones de temperatura de entrada y
salida en un intercambiador de calor, se tiene que:
(DMLT) FF > (DMLT) FP
En consecuencia a lo anterior, considerando el mismo valor de
(U) y un valor dado de (Q), se tendrá que el área retransferencia
de calor necesaria para un intercambiador de calor con arreglo a
contra flujo (A) será más pequeña que la necesaria para un
arreglo con flujo paralelo (A)FP
(A)FF < (A)FP
⇒ En conclusión la configuración de "Contra flujo" es más
eficiente que la de "Flujo Paralelo"
⇒ 4.7 Condiciones Especiales de Operación.
Existen ciertas condiciones especiales bajo los cuales pueden
operar los intercambiadores de calor, las cuales se muestran en
las figuras siguientes:
Cc
T2
Agua
Cf
T1
1
4.5 ínter cambiador de calor a Contra flujo.
2
x
Condición especial de un intercambiador de calor (Ce » Cf) ó
condensación de un vapor.
278A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
T
EXPRESIONES
⇒ 4.8 Intercambiadores de calor de pasos múltiples
Para propósito de análisis para este tipo de intercambiadores de
calor se pueden usar las ecuaciones anteriores, y la única
modificación es en cuanto a la corrección de la (DMLT),
incluyendo un factor de correlación (F); esto es,
(DMLT)CF = F (DMLT) CF
El “factor de corrección”, (F) se puede obtener de su
representación grafica en las figuras siguientes:
Te
Gases de combustión.
(Cc<<Cf) ó
evaporación
de un
liquido
Cc
dT=0
(Cc → ∞).
Cf
1
Fluyendo agua. 2
ts
te
x
Ts
Condición especial de un intercambiador de calor. Un liquido en
evaporación (Cc<<Cf).
T
F
(Cc=Cf)
∆T1=∆T
Te − Ts
RR Te − Ts
tsts−−tete
Cc
Cf
P=
1
2
ts − te
Te − Ts
x
Condición especial de un intercambiador de calor a contra flujo
con capacidades caloríficas equivalentes de los fluidos (Cc=Cf).
Figura (5-12). Factor de corrección para un intercambiador de
calor del tipo carcaza y tubos con un paso en carcaza y pasos
múltiples de dos tubos (dos, cuatro, etc., pasos en tubo).
Te
ts
te
Ts
F
R
Te − Ts
ts − te
P=
ts − te
Te − Ts
Figura (5-13). Factor de corrección para un intercambiador de
calor del tipo carcaza y tubos con dos pasos en carcaza y
cualquier multiplo de cuatro pasos en tubo (cuatro, ocho, etc.,
pasos en tubo).
279A
Transferencia de calor
Formulario
CONCEPTO
EXPRESIONES
⇒ 4.9 Análisis de ínter-cambiadores de Calor. Método
Eficiencia-NUT".
En el análisis de Intercambiadores de calor, en los cuales solo se
conocen las temperaturas de entrada, la utilización del método
con (DMLT) Implica un -proceso iterativo. En tales casos es
preferible usar un método que proporcione una solución
aproximada, siendo éste el denominado "Método EficienciaNUT".
⇒ 4.9.1 Cantidad Máxima de Calor, (Qmax).
La cantidad máxima de calor que se puede transferir, (Q max),
en un intercambiador de calor, se determina para el fluido
(caliente o frío), que experimente la máxima diferencia de
temperatura; esto es.
Qmax= {Cmin [(Tc)e-(Tf)e]}
Donde (Cmin) será igual a (Ce) ó (Cf) -cualquiera que sea el
menor, y (Cmax) -será cualquiera de los dos que sea el mayor.
Cc= mc (Cp) c
[W/°K]
Cf= mf (Cp) f
[W/°K]
Te
te
ts
Ts
F
R
Te − Ts
ts − te
P=
ts − te
Te − Ts
Figura (5-14). Factor de corrección para un Ínter cambiador de
calor con flujo cruzado de un solo pasó con ambos fluidos sin
mezclarse
Te
ts
te
⇒ 4.9.2 Eficiencia (ε).
La eficiencia (ε), se define como el cociente de la cantidad real
de calor transferido (Q) y la cantidad máxima que se puede
transferir (Qmax); esto es,
ε = (Q / Q max)
ε = {[Cc((Tc)e − (Tc)s)] /[C min((Tc)e − (Tf )e)]}
ε = {[Cf ((Tf )s − (Tf )e)] /[C min((Tc)e − (Tf )e)]}
Q = [εC min((Tc)e − (Tf )e)]
Ts
CcΔTc
CcΔTc
∈=
C min ΔT max
C min ΔT max
C min
C min
C = Cr =
C = Cr =
C max
C max
N = NUT
N = NUT
∈=
F
R
Te − Ts
ts − te
P=
ts − te
Te − Ts
Figura (5-15). Factor de corrección para un intercambiador de
calor con flujo cruzado de un solo pasó con un solo fluido
mezclado y el otro sin mezclarse.
⇒ 4.9.3 Numero de unidades de transferencia (NUT).
El (NUT) es un parámetro adimensional usado extensivamente,
para el análisis de los intercambiadores de calor, definido por el
cociente de la cantidad de calor transferido por grado de
diferencia promedio de temperatura entre los fluidos y la
cantidad de calor transferido por grado de cambio de
temperatura para el fluido de mínima capacidad calorífica.
(NUT) = [(UA)/Cmin]
280A
