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EC_Tema1_t1_Tics
Ecuaciones Diferenciales. Tarea: Tema 1.
Ecuaciones Difernciales de Primer Orden
Quiahua Altamirano Gabriel
y = ϕ(x)
1. En los problemas siguientes compruebe que la función indicada
es una
solución explícita de la ecuación diferencial dada. Proceda como en el inciso 3),
considerando a simplemente como una función y determine su dominio. Luego
considere a como una solución de la ecuación diferencial y determine su intervalo de
definición I
φ
φ′
y = 25 + y2 ;y = 5tan5x
Solución.
In [1]: x=var('x')
y=function('y')(x)
Ed4=diff(y,x)==25+y^(2)
Ed4.show()
S1=desolve(Ed4,y)
S1.show()
L=solve([S1],y)
show(L)
∂ y(x) = y(x)2 + 25
∂x
1 arctan 1 y(x) = C + x
5 (5 )
[y(x) = 5 tan(5C + 5x)]
La solución es la misma que la del problema debido a que se toma en cuenta una constante de
integración, así que la función
es una solución de la ecuación diferencial.
y = 5tan5x
D = {x|x ≠ π2 + kπ }
Por trigonometría se sabe que el dominio de la función tangente es
El dominio de la función dada sera
El intervalo dado será
D = {x|5x ≠ π2 + kπ }
= {x|x ≠ 10π + kπ5 }
I = (− 10π , 10π ) .
2. Establezca el orden de la ecuación diferencial dada. SI ES ALGEBRAICA, DE SU GRADO.
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Determine si es lineal o no lineal.
(1 − x) y″ − 4xy′ + 5y = cosx
Solución. Primero cambiaremos la notación de la ecuacioón a la notación de Leibniz
2
(1 − x) ddx2y − 4x dydx + 5y = cosx
In [2]: x=var("x")
y=function("y")(x)
A=(-x+1)*(diff(y,1,x))
B=(-4*x)*(diff(y,x))
C=5*y
D=A+B+C==cos(x)
D.show()
2
∂
∂
−4x ∂x y(x) − (x − 1) (∂x)2 y(x) + 5y(x) = cos(x)
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y grado 1.
Identificamos la variable independiente y la dependiente
y es la variable independiente
x es la variable dependiente
La definición 3 de la lectura 1 nos dice que una ecuación diferencial de orden
escribirse en la forma:
n es lineal si puede
n
n−1
an (x) ddxny + an−1 (x) ddxn−1y + ⋯ + a1 (x) dydx + a0 (x)y = g(x)
Comparamos esta forma con la ED ordinaria dada de segundo orden
2
(1 − x) ddx2y + (−4)x dydx + 5y = cosx
d 2y
dy + 5y = cosx es una ecuación diferencial
Con esto comprobamos que (1 − x) 2 − 4x
dx
dx
ordinaria de segundo orden, de primer grado y lineal.
xy
3. En los problemas siguientes determine una región del plano
donde la ecuación
diferencial dada tendría una solución única cuya gráfica pase por un punto
en la
dy
región. x dx
=y
Solución
(x0 , y0 )
x dydx = y
dy = y
x
dydx= f (x,y)
dx
Por tanto
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f (x,y) = yx
∂f = ∂ yx
∂y∂f ∂y
1
=
∂y x
In [8]: x=var("x") #variable independiente
y=function("y")(x)
EDT=diff(y,x)==y/x #ecu dif
sol=desolve(EDT,y)
sol.show()
Cx
Graficamos el campo de direcciones
In [18]: y,x=var('y x')
CD=plot_slope_field(y/x,(x,-10,10),(y,-10,10))
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In [10]: Lista=[k for k in [-10..10]]
for k in Lista:
G=implicit_plot(k*x==y,(x,-10,10),(y,-10,10))
CD=CD+G
show(CD)
/opt/sagemath-9.1/local/lib/python3.7/site-packages/matplotlib/font_manager.py:
283: UserWarning: Matplotlib is building the font cache using fc-list. This may
take a moment.
'Matplotlib is building the font cache using fc-list. '
4. En los problemas siguientes determine una región del plano xy donde la ecuación
diferencial dada tendría una solución única cuya gráfica pase por un punto en la
dy
región.
dx
= y2/3
(x0 , y0 )
f (x,y) = y2/3
Solución. Comprobamos el dominio de
, ya que sabemos que al ser una raiz
puede ser negativa, así solucionamos la desigualdad
y no
In [11]: y=var("y")
f(x)=y^2/3<0
Z=solve([f(x)],y)
show(Z)
[]
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Esto demuestra que en ningún punto la función sera menor que 0, así que decimos que es
continua en todos los número reales.
Ahora comprobamos el dominio de la derivada parcial de
f respecto a y.
In [12]: x,y=var("x,y")
f(x,y)=y^(2/3)
P=f.diff(y)
P.show()
(x,y) ↦ 2 1
3y 3
In [13]: y=var("y")
m(x)=3*y^1/3==0
T=solve([m(x)],y)
show(T)
[y = 0]
y es igual a 0, ya que el denominador se
y > 0 y < 0 existe un intervalo en x0 en el cual
La derivada parcial de la función es discontinua cuando
vuelve . Por lo tanto, en cualquier semiplano
ó
el problema tiene única solución.
0
y = x21+C es una familia uniparamétrica de soluciones de la
ecuación diferencial de primer orden y′ + 2xy2 = 0 . Determine una solución del PVI de
primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada.
y ( 12 ) = −4
5. En los problemas siguientes,
Solución.
y′ = −2xy2 , ED
y ( 12 ) = −4, Condición inicial
y = x2 1+ C , Solución
sustituyendo la condicion inicial en la solución
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In [14]: x=var("x")
y=function("y")(x)
Ed1=diff(y,x)+2*x*y^2==0
Ed1.show()
Sol1=desolve(Ed1,y)
Sol1.show()
M=solve([Sol1],y)
show(M)
2xy(x)2 + ∂x∂ y(x) = 0
1 = 1 x2 + C
2y(x) 2
1
y(x)
=
[
x2 + 2C ]
Hay que recordar que
constante
C es una costante por ende al multiplicarla con 2 sigue siendo la misma
In [15]: Sol2=desolve(Ed1,y,ics=[1/2,-4])
Sol2.show()
A=solve([Sol2],y)
show(A)
1 = 1 x2 − 1
2y(x) 2 4
2
y(x)
=
2
[
2x − 1]
− y2⎯dx − √⎯1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
− x2⎯dx = 0,y(0) = √23
√⎯1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6. En los problemas siguientes encuentre una solución explícita de los problemas de
valores iniciales dados.
Solución
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dy = 0
dx ⎯ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√1 − x2 √1 − y2⎯
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In [4]: x=var("x") #variable independiente
y=function("y")(x)
PVI=diff(x)/(sqrt(1-x^2))-diff(y)/(sqrt(1-y^2))==0
solpiv= desolve(PVI,y, ics=[0,sqrt(3)/2])
solpiv.show()
arcsin(y(x)) = 13 π + arcsin(x)
7. Las ED siguientes son de coecientes homogéneos. Resuélvalas usando las sustituciones
adecuadas.
dy
dx
= y−x
y+x .
Solución.
In [16]: x=var("x")
y=function("y")(x)
ed2=diff(y,x)==(y-x)/(y+x)
ed2.show()
S6=desolve(ed2,y)
S6.show()
∂ y(x) = − x − y(x)
∂x
x + y(x)
x + 1 log(x2 + y(x)2 ) = C
− 12 arctan( y(x)
) 4
8.- Determine si las ED son ED exactas. Si lo son, resuélvalas usando el método adecuado.
(5x + 4y)dx + (4x − 8y3 ) dy = 0
In [5]: x=var("x")
y=function("y")(x)
Ad=(5*x+4*y)*diff(x)+(4*x-8*y^3)*diff(y)==0
Ad.show()
desolve(Ad,y).show()
desolve(Ad,y,show_method=true)
−4 (2y(x)3 − x) ∂x∂ y(x) + 5x + 4y(x) = 0
−2y(x)4 + 52 x2 + 4xy(x) = C
Out[5]: [-2*y(x)^4 + 5/2*x^2 + 4*x*y(x) == _C, 'exact']
9.- Resuelva las ED siguientes:
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x dydx − y = x2 sinx
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In [6]: x=var("x")
y=function("y")(x)
ED=x*diff(y,x)-y==x^2*sin(x)
ED.show()
sol=desolve(ED,y)
sol.show()
desolve(ED,y,show_method=true)
x ∂x∂ y(x) − y(x) = x2 sin(x)
(C − cos(x))x
Out[6]: [(_C - cos(x))*x, 'linear']
dy = y (xy3 − 1)
dx
10 Resuelva la ecuación diferencial dada:
.
Solución.
In [7]: x=var("x")
y=function("y")(x)
Ed=diff(y,x)==y*(x*y^3-1)
Ed.show()
Sol=desolve(Ed,y)
Sol.show()
∂ y(x) = (xy(x)3 − 1)y(x)
∂x
e(−x)
1
( 13 (3x + 1)e(−3 x) + C) 3
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