UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales En Cálculo I se trabajó funciones de una variable, que al número real , donde se le asigna un único número real indica . Podemos decir que se trabajó en una dimensión. En este curso, Cálculo II, y esta última unidad, haremos una introducción a las funciones que dependen de varias variables, esto es, en varias dimensiones. Los distintos tipos de funciones que estudiaremos son: funciones de varias variables y funciones vectoriales. Estas últimas serán de un solo parámetro. Funciones de varias variables y Superficies Definición: Una función ordenado de dos variables es una regla que asigna a cada par en el conjunto D un número real único denotado con El conjunto D es el dominio de ; es decir, y su rango es el conjunto de los valores que . Convencionalmente se escribe función . para representar el valor que toma la en un punto general variables independientes y . Las variables y se denominan es la variable dependiente. encontrarnos con funciones definidas como ó Podemos en las que las representaciones de sus valores serán correspondientemente, variable dependiente con dependiente con y y como variables independientes ó variable como variables independientes. El dominio será un subconjunto de , en el plano . Para determinar el dominio de una función de dos variables este será el conjunto de todos los pares para los que la expresión dada es un número real bien definido. EJEMPLOS Sea defina el e ilustre el dominio de la función. SOLUCIÓN 1 Dra. Eddy Luz León de León UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales La expresión para tiene sentido si, la expresión dentro de la raíz cuadrada es mayor o igual a 0 junto a que el argumento del logaritmo natural, según la definición de esta función sea mayor estrictamente que cero, así que el dominio debe ser La desigualdad o corresponde a los puntos que están sobre y por encima de la circunferencia o y la desigualdad corresponde a los puntos dentro de la circunferencia excepto los de la frontera. Graficamente es GRÁFICAS Deficnición: Si gráfica de y es una función de dos variables con dominio es el conjunto de todos los puntos en , entonces la , tal que . La gráfica de una función de dos variables se denomina superficie, Para dibujar una gráfica de una función de dos variables se emplean la trazas que la misma deja en un plano. Definamos traza. Definición de Traza: La traza de una superficie de 2 y Dra. Eddy Luz León de León en el plano es la intersección UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Para dibujar superficies en el sistema tridimensional es conveniente conocer algunas de sus trazas con los planos coordenados o planos paralelos a los planos coordenados. Definición de Cilindro: Sea una curva en el plano y sea una recta no paralela al plano. el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a intersectan a y que se denomina cilindro. NO TODOS LOS CLINDROS SON CIRCULARES EJEMPLOS: 1. Grafique el plano SOLUCIÓN Al buscar la intersección del plano con los ejes coordenados obtenemos que el plano no posee intersección con el eje es un punto del eje y del plano dado y el punto , y que el punto es un punto del eje z y del plano. La intersección con el plano cartesianas da como resultado la recta con ecuaciones La intersección con el plano recta con ecuaciones cartesianas La intersección con el plano da como resultado la recta con ecuaciones cartesianas 3 Dra. Eddy Luz León de León da como resultado la UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales 2. Grafique la superficie SOLUCIÓN Note que en la ecuación no aparece la variable , esto quiere decir que los puntos sobre el cilindro cumplen con la igualdad valor arbitrario. Es decir los puntos para sobre la circunferencia que el punto y es cualquier , son todos aquellos que están que es la traza sobre el plano es parte de la suerficie, . Al igual lo será el punto La gráfica es 3. Dibuje el cilindro SOLUCIÓN La traza principal de este cilindro es una parábola en el plano eje . El vértice de la parábola izquierda del eje . 4 Dra. Eddy Luz León de León es el punto y eje paralelo al y abre a la UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Acá les dejo un link con la explicación de cómo dibujar las trazas en los planos coordenados https://youtu.be/_lsEhHCYqnw SUPERFICIES CUADRÁTICAS La gráfica de una ecuación de segundo grado en las varables es una superficie cuadrática, dada en general por una ecuación Dependiendo de los signos y valores relativos de los coeficientes constantes , las superficies cuadráticas se clasifican en 6 tipos. Por simplicidad, ubicamos estas superficies en forma canónica, esto es con el centro o el vértice en el origen de coordenadas, y con los ejes de simetría a lo largo de los ejes coordenados. Para obtener la representación gráfica de una superficie cuadrática es útil dibujar familias de trazas. Veamos las principales superficies y sus gráficas. Consideraremos positivos. 1. EL ELIPSOIDE Algunas trazas son: 5 Dra. Eddy Luz León de León números UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Estas serían las trazas en los planos coordenados. En planos paralelos a los planos coordenados, sustituimos las variables por una constante e identificamos la traza. Esta última ecuación será la ecuación de una elipse siempre que Y se repite para los otros planos. Cuando la superficie es una esfera. z y x Elipsoide 6 Dra. Eddy Luz León de León UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Esfera 2. PARABOLOIDE ELÍPTICO Trazas con los planos coordenados Si tendremos un paraboloide circular. 7 Dra. Eddy Luz León de León UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Paraboloide elíptico 3. CONO ELÍPTICO Trazas con los planos coordenados El eje del cono está indicado por la variable del lado derecho de a igualdad. 8 Dra. Eddy Luz León de León UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Cono elíptico 4. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Algunas trazas En el caso en que Si es un hiperboloide circular de una hoja 9 Dra. Eddy Luz León de León UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Hiperboloide de una hoja 5. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Algunas trazas Esto significa que para no hay gráfica y para las trazas son elipses. El eje central está indicado por la variable que se le antepone el signo más. 10 Dra. Eddy Luz León de León UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales Hiperboloide de dos hojas 6. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO Algunas trazas 11 Dra. Eddy Luz León de León UNIDAD 4. Funciones de varias variables y 2020 funciones vectoriales El punto en (0,0,0) se le conoce como punto silla. Otro nombre dado a esta superficie es Silla de Montar, por su parecido a este objeto. TAREA Grafique, dibujando sus trazas las siguientes superficies. Identifiquelas por sus nombres 12 Dra. Eddy Luz León de León
