MATEMÁTICA BÁSICA Economía – Modalidad En Línea TAREA #1 Con base en los conocimientos adquiridos, resuelva los siguientes ejercicios, compruebe cada una de sus respuestas: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES En los Ejercicios 1 al 8, resuelve la ecuación factorizando. 1. 0 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 2. 𝑥 2 − 8𝑥 = −12 3. 𝑛2 − 6𝑛 = 0 4. 2𝑤 2 − 16𝑤 = 12𝑤 − 48 5. −𝑦 + 28 + 𝑦 2 = 2𝑦 + 2𝑦 2 6. 0 = 𝑧 2 − 10𝑧 + 25 7. 𝑥 2 − 11𝑥 = −30 8. 𝑎2 − 49 = 0 En los Ejercicios 9 al 15, resuelve la ecuación usando la fórmula cuadrática. 9. −10𝑥 = −25 − 𝑥 2 10. 3𝑥 2 + 5 = 2𝑥 11. 6𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0 12. 𝑥 2 + 121 = −22𝑥 13. 9𝑥 2 + 36𝑥 + 72 = 0 14. 5𝑥 2 − 50𝑥 = −135 15. −31𝑥 + 56 = −𝑥 2 En los Ejercicios 16 al 23, resuelva conforme indique el planteamiento. 1 1 2 1 2 4 3 2 16. Si 𝑅𝑒 = ℝ, encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación: [1 + (3𝑥 − 1)] = 𝑥 − 17. Si 𝑅𝑒 = ℝ, encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación: (1 + 3𝑥)3 − (1 − 𝑥 )3 = 2𝑥 3 18. Un valor de “𝑥” que satisface a la igualdad: 19. Sea el predicado 20. La ecuación 𝑝(𝑥): 𝑥 2 +2𝑥−8 𝑥−8 𝑥 𝑥−2 + = 16 𝑥−4 𝑥+17 𝑥−2 + 𝑥 2 −6𝑥+8 𝑥−4 = 𝑥−4 𝑥−2 𝑥−1 10 + 2 ; 𝑅𝑒 = ℝ. Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN es: 𝑥+5 𝑥 +3𝑥+10 = 𝑥 2 ; ∧ 𝑥 ∈ ℝ, se satisface con 𝑥 igual a: 21. Sea 𝑝(𝑥): √√𝑥 + 2 = √2𝑥 − 4 y 𝑅𝑒 = ℝ. Entonces el conjunto solución está contenido en el intervalo. 22. Sea 𝑅𝑒 = ℝ, encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación √𝑥 + 14 − √𝑥 − 7 = 6 √𝑥−7 23. Dada ecuación: √𝑥 + √𝑥 + 1 = √2𝑥 + 1; Si 𝑅𝑒 = [0, ∞); entonces el conjunto solución es: APLICACIÓN DE ECUACIONES En los Ejercicios 24 al 40, resuelva aplicando los teoremas aprendidos en el tema de ecuaciones de primer y segundo grado. 24. Un hombre invierte al 8% el doble de la cantidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 25. Un colegio destina $60,000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%. ¿Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido? 26. Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9% y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total? 27. A un fabricante le cuesta $2000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de 0,60 por artículo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en 0,90, encuentre cuántos artículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $1000. 28. El costo de publicar cada copia de una revista semanal es de 0,28. El ingreso de las ventas al distribuidor es 0,24 por copia y de los anuncios es de 20% del ingreso obtenido de las ventas en exceso de 3000 copias. ¿Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana para generar una utilidad semanal de $1000? 29. Un vendedor de autos usados compró dos automóviles por $2900. Vendió uno con una ganancia de 10% y otro con una pérdida de 5%, y aún obtuvo una ganancia de $185 en la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil. 30. Un empresario está estableciendo un pequeño negocio. Sus costos fijos son $720 semanales, y planea emplear 48 horas de mano de obra semanales. Él desea asegurar que su ganancia sea igual al costo de la mano de obra y que su producto se venda a sólo 40% sobre el costo total. ¿Qué salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artículos por semana, ¿a qué precio debe venderlos? 31. Royal Realty ha construido una unidad nueva de 60 apartamentos. Del pasado se sabe que si ellos cobran una renta mensual de $150 por apartamento, todas las viviendas se ocuparán; pero con cada incremento de $3 en la renta, es muy probable que un apartamento permanezca vacante. ¿Cuál debe ser la renta que se tiene que cobrar para generar los mismos $9000 de ingreso total que se obtendrían con una renta de $150 y, al mismo tiempo, dejar algunos apartamentos vacantes? 32. Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana a un precio de p dólares por unidad, donde p = 200 – x. Cuesta (2800 + 45x) dólares producir x unidades. a) b) c) d) ¿Cuántas unidades deben venderse cada semana para generar un ingreso de $9600? ¿A qué precio por unidad se generará un ingreso semanal de $9900? ¿Cuántas unidades debe el fabricante producir y vender cada semana para obtener una utilidad de $3200? ¿A qué precio por unidad el fabricante obtendrá una utilidad semanal de $3150? 33. Una Cámara Estatal del Vino compra whisky a $2 una botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas por semana) está dado por x = 24 – 2p, cuando el precio es p. ¿Qué valor de p da un ingreso total de $7 millones por semana? ¿Qué valor de p da, a la Cámara del Vino, una utilidad de $4,8 millones semanales? 34. Un hombre tiene siete años más que su esposa. Hace to años tenía el doble de la edad de ella. ¿cuántos años tiene ahora el hombre? ¿cuántos años tiene ahora la esposa? 35. En ciertos días de la semana, una familia compuesta de padre, madre y niños menores de edad, viajando en tren, pueden acogerse al beneficio de la familia numerosa. Este beneficio consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la mujer y los niños, medio pasaje cada uno. Por otra parte, la familia puede viajar en colectivo, en cuyo caso, cada miembro de la familia paga Pasaje entero, pero, a su vez, cada pasaje cuesta las dos terceras partes del pasaje del tren. Entonces, el número de niños para que el total que se paga en el tren sea igual a lo que se paga en colectivo es: 36. Un comerciante de autos usados compra un auto Toyota y otro Skoda en $29.000 en total. Vende el Toyota y obtiene una ganancia del 10% y en el otro pierde el 5%; y aún así, obtuvo una ganancia de $1.850, por la transacción completa. Entonces el costo inicial del Toyota y del Skoda es: 37. Esteban es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. Él puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de $180 al mes, al subir el alquiler algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada incremento de $5, una habitación quedará vacía, sin posibilidad alguna de alquilarse. Encuentre el alquiler que debería cobrar Esteban, con el fin de obtener un ingreso total de $11.475 38. La cuarta parte de una cierta cantidad de dinero es invertida en el Banco A y la restante en el Banco B. Si el Banco A paga una tasa de interés anual equivalente a un tercio de la que paga anualmente el Banco B. Si el rédito total, de las dos inversiones es equivalente a la que generaría el depositar la cantidad completa de dinero a una tasa del 20% anual, entonces la TASA DE INTERÉS ANUAL QUE PAGA EL BANCO A y la que PAGA EL BANC0 B son, respectivamente: 39. El administrador de cierta empresa tiene como política, no invertir dinero en fabricar un nuevo producto a menos que esté seguro en recibir un 15% de ganancia calculada sobre los costos fijos. La Empresa puede vender todo lo que produce a un precio de $10 por unidad. El costo de fabricación de cada unidad es de $6 y los costos fijos son de $40.000. Entonces el número de unidades que deberá producir y vender de modo que obtenga la ganancia requerida, es: 40. Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100.000. Si un agente recibió $8,500 por ventas de $175.000 y otro recibió $14.800 por ventas de $280.000, entonces los dos porcentajes son: RESOLUCIÓN DE INECUACIONES En los Ejercicios 41 al 50 determine el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades considerando 𝑅𝑒 = ℝ. 41. 2 + 4𝑥 < 6𝑥 + 7 42. 2 < 2𝑥 − 2 ≤ 12 43. 8 − 3𝑥 ≤ 2𝑥 − 7 < 𝑥 − 13 44. 45. 8 𝑥 ≥3 2𝑥 𝑥−4 ≤8 46. −9 < 3𝑐 − 7 < 1 47. 𝑎 + 3 ≤ 3𝑎 + 1 ≤ 𝑎 + 7 48. (𝑣 − 1)(𝑣 + 2) < (𝑣 + 1)(𝑣 − 2) 49. (𝑥 + 3)2 − 3𝑥 ≥ (𝑥 − 1)2 + 5 50. 2 + 5(3 − 𝑏) > 4(𝑏 + 1) APLICACIÓN DE INECUACIONES En los Ejercicios 51 al 60, resuelva aplicando los teoremas aprendidos en el tema inecuaciones lineales. 51. En una fiesta, Olga, Begoña y Salvador hablan de la edad que tienen. Sabemos que la suma de las edades de los tres es inferior a 85 años, que Begoña tiene el doble de años que Olga y que Salvador tiene 15 años más que Begoña. ¿Podrías decir si la persona más joven es ya mayor de edad? 52. Si al triple de un número le restamos diez unidades, resulta mayor que si al doble de este número le sumamos cuatro. ¿Qué números verifican este enunciado? 53. El doble de la suma de un número más tres unidades es más grande que el triple de este número más seis unidades. ¿De qué número se trata? 54. La suma de la mitad y la cuarta parte de un número es más pequeña o igual que el triple de este número menos seis unidades. Encuentra la solución de esta inecuación 55. Un taxi de la empresa EL MILAGREÑO se desplaza hacia Guayaquil a una velocidad comprendida entre 60 km/h y 90 km/h. ¿Entre que valores oscila la distancia del auto al punto de partida al cabo de 3 horas? 56. La fábrica ABC paga a sus representantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500. La fábrica XYZ que es la competencia paga $15 por artículo y $300 fijos. ¿Cuantos artículos debe vender el representante de la competencia para ganar más dinero que el primero? 57. Si un joven es 22 años menor que su padre y 48 años menor que su abuelo, ¿a partir de qué edad la suma de los años que tienen él y su padre será mayor que la edad de su abuelo? 58. Una fábrica paga a sus vendedores $ 880 por artículo vendido, más una cantidad fija de $ 286.100. Si un vendedor quiere que su sueldo sea superior a $ 340.000, ¿cuántos artículos debe vender como mínimo? 59. ¿Cuánto debe medir el largo de un terreno rectangular si su ancho mide 5m y su perímetro no debe exceder los 26m? Representa tu respuesta con un intervalo de números reales. 60. Una compañía celular tiene un plan en el que hay que pagar un cargo fijo mensual de $ 7.500 más $ 120 por minuto hablado. Si Ana quiere que su cuenta no exceda los $ 14.000, ¿cuántos minutos tendría que hablar, como máximo?
