La multiplicación en 2º de primaria

TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA
CURSO 2016/2017
CONVOCATORIA
TÍTULO: La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
APELLIDOS/NOMBRE ESTUDIANTE:
MONTIEL DOMÍNGUEZ, JENNIFER
APELLIDOS/NOMBRE TUTOR:
ABÁNADES ASTUDILLO, MIGUEL ÁNGEL
Fecha: 02 de abril del 2017
La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 3
CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO ................................................................................................ 7
I. MODELOS EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS ........................................ 7
1. Empirismo ................................................................................................................ 7
2. Constructivismo. ....................................................................................................... 8
II. TIPOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS ................................................................. 9
1. Problemas de isomorfismo de medidas .................................................................... 9
2. Problemas de producto de medidas ........................................................................ 10
3. Problemas con un espacio único de medidas ......................................................... 12
III. USO DE MATERIALES MANIPULATIVOS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA.. 14
1. La importancia del uso de materiales manipulativos dentro del aula de
matemáticas. ........................................................................................................... 14
2. Clasificación de materiales manipulativos. ............................................................ 16
CAPÍTULO 2. REVISIÓN DEL CURRÍCULO Y LIBROS DE TEXTO .................................... 18
I. QUÉ DICE EL MARCO LEGISLATIVO EN NUESTRO PAÍS ....................................... 18
II. QUÉ DICEN LOS LIBROS DE TEXTO............................................................................. 20
III. METODOLOGÍA UTILIZADA DURANTE LAS PRÁCTICAS ...................................... 21
CAPITULO 3. ACTIVIDADES LLEVADAS AL AULA EN 2016/2017 ................................... 23
I. ELEMENTOS DE LAS ACTIVIDADES ............................................................................ 23
1. Participantes y contexto .......................................................................................... 23
2. Organización de las sesiones y metodología utilizada. .......................................... 24
3. Intervención: secuencias y contenidos ................................................................... 25
4. Recursos ................................................................................................................. 26
II. ACTIVIDADADES DISEÑADAS ...................................................................................... 26
1. Actividad 1. “Aprendemos el concepto de multiplicación” ................................... 27
2. Actividad 2. “Utilizamos la multiplicación en situaciones reales” ........................ 27
3. Actividad 3. “Relacionamos conceptos” ................................................................ 28
4. Actividad 4. “La multiplicación como producto cartesiano” ................................. 30
5. Actividad 5. “Multiplicamos con Lego” ............................................................... 30
CAPÍTULO 4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS. ....................................................................... 32
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
I. RESULTADOS ACTIVIDAD 1 .......................................................................................... 32
II. RESULTADOS ACTIVIDAD 2 .......................................................................................... 35
III. RESULTADOS ACTIVIDAD 3 .......................................................................................... 40
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES ................................................................................................. 43
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 45
ÍNDICE DE TABLAS Y FIGURAS
Figura 1. Modelo funcional unario ................................................................................................ 10
Figura 2. Modelo de recta lineal que muestra que 5 veces 3 es 15 ................................................ 10
Figura 3. Modelo cardinal que muestra que 5 veces 3 es 15 .......................................................... 10
Figura 4. Modelo de matriz ............................................................................................................ 11
Figura 5. Modelo de área de un rectángulo .................................................................................... 11
Figura 6. Modelo de tabla cartesiana ............................................................................................. 12
Figura 7. Modelo de puzle de la Actividad 3 ................................................................................. 29
Figura 8. Estrategia de resolución de la mutiplicación 5x3 .......................................................... 33
Figura 9. Estrategia de resolución .................................................................................................. 33
Figura 10. Estrategia de resolución de la multiplicación 4x4 ........................................................ 34
Figura 11. Ejemplo de propiedad conmutativa ............................................................................. 35
Figura 12. Ejemplo de utilización de las fichas del grupo 1 ......................................................... 36
Figura 13. Ejemplo de utilización de las fichas grupo 3 ................................................................ 37
Figura 14. Ejemplo de utilización de las fichas grupo 2 ............................................................... 37
Figura 15. Estrategia de resolución de problemas grupo 1 ............................................................ 38
Figura 16. Estrategia de resolución de problemas grupo 2 ............................................................ 39
Figura 17. Estrategias de resolución de problemas grupo 3 .......................................................... 39
Figura 18. Ejemplo de resolución del puzle ................................................................................... 41
Figura 19. Ejemplo de la realización del puzle a partir de una pieza ............................................ 42
Tabla 1:Problemas multiplicativos ................................................................................................. 13
Tabla 2: Secuenciación completa de actividades diseñadas para llevar al aula y planificación
inicial de la intervención .......................................................................................................... 25
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
INTRODUCCIÓN
En el trabajo de fin de grado que aquí se presenta bajo el título “La multiplicación en
2º de Primaria: una propuesta desde el trabajo manipulativo”, se describen una serie de
actividades para trabajar contenidos matemáticos, en este caso, la multiplicación en 2º curso
de Primaria, desde un punto de vista lúdico, activo y sin enfatizar el trabajo memorístico. Con
este enfoque se pretende conseguir un aprendizaje significativo introduciendo diferentes
materiales manipulativos en el aula, de manera que los niños sean los protagonistas de su
aprendizaje, consiguiendo así una mayor implicación y motivación por aprender, lo que
finalmente repercutirá en la mejora de la calidad de su aprendizaje matemático.
A lo largo de la historia de la humanidad, hemos visto en muchas ocasiones cómo los
matemáticos han utilizado componentes lúdicos, creativos y manipulativos como punto de
partida de algunas teorías y nociones matemáticas a través de la resolución de problemas. Por
ejemplo, los Pitagóricos, realizaron estudios sobre los números utilizando las configuraciones
que formaban las piedras (De Guzmán, 1984). En la Edad Media, Fibonacci comenzó a
desarrollar la aritmética tratando problemas que serían el comienzo de la teoría de números
utilizando el juego como herramienta. En el siglo XVII hay que destacar a Leibniz en
Alemania, que fue promotor de la actividad lúdica intelectual: “nunca son los hombres más
ingeniosos que en la invención de los juegos […]. Sería deseable que se hiciese un curso
entero de juegos, tratados matemáticamente”, escribía en una carta en 1715 (De Guzmán,
1989, p.62). También, cabe destacar la manera de “hacer matemáticas” de Gauss, Pascal y
Fermat. El primero de ellos, utilizaba juegos de cartas para conseguir intuición sobre el azar,
información que necesitaba para avanzar en sus estudios de Astronomía en los que necesitaba
controlar los errores de medida conociendo bien su distribución estadística. Por otro lado,
Pascal y Fermat fueron los fundadores del Cálculo de Probabilidades, dando solución a un
conjunto de cuestiones sobre los juegos de azar.
Por otra parte, y ya más recientemente, expertos en psicología y en didáctica de las
matemáticas como Piaget, Vygotsky, María Montessori y María Antonia Canals entre otros,
explicaban lo positivo de trabajar la construcción de los objetos matemáticos mediante la
resolución de problemas con la ayuda de la manipulación de materiales estructurados y todos
los beneficios que esto conlleva.
Estas primeras reflexiones y la observación del aula real de primaria durante mis
períodos de prácticas incluidos en mi formación universitaria en el Grado de Educación
Primaria en la URJC, me han llevado a plantearme la siguiente cuestión como punto de
partida de mi Trabajo de Fin de Grado: ¿por qué si los grandes matemáticos utilizaban
materiales manipulativos y el juego como herramienta de aprendizaje, y expertos en
educación matemática han validado la bondad de estos recursos para favorecer el aprendizaje
matemático de los niños, no se utiliza hoy en día esta metodología en muchas escuelas?
Una primera respuesta a esta cuestión podría venir determinada por factores como la
falta de tiempo por parte del profesorado, el número elevado de alumnos por clase, la falta de
materiales, la preferencia a seguir el libro de texto que en general no promociona el trabajo
manipulativo en las actividades que propone, o la falta de formación específica por parte de
los maestros. En este trabajo no se pretende encontrar respuestas completas a la cuestión
planteada anteriormente, pues no es posible analizar todos los factores mencionados como
parte de un trabajo fin de grado. Nos vamos a centrar en desarrollar una propuesta concreta
para ayudar a los profesores noveles a aprender a diseñar e implantar actividades basadas en
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
la resolución de problemas, la manipulación y el juego en el aula de matemáticas de primaria
como complemento a otro tipo de actividades más rutinarias.
Por otra parte, un factor que también me ha influido a la hora de elegir la enseñanza de
las matemáticas como tema central de mi trabajo es el problema de las bajas calificaciones
que, en general, tienen los niños en la asignatura de matemáticas: “el elevado fracaso que se
constata en el aprendizaje de las matemáticas tiene raíces muy profundas y una pluralidad de
causas de diferente naturaleza; raíces ligadas tanto a la dificultad y abstracción de algunos
conocimientos matemáticos como a la deficiente enseñanza que a menudo se hace en las
escuelas” (Chamorro 2003, p.70). Según Ginsburg (1997), las dificultades en el aprendizaje
de las Matemáticas no son una enfermedad incurable sin remedio. Las investigaciones han
mostrado caminos para vencerlas. Uno de ellos es la utilización de estrategias didácticas que
llamen la atención del estudiante y logren vincularlo al aprendizaje.
Siguiendo los dos argumentos explicados anteriormente como motivación de este
trabajo, por un lado ayudar al profesor novel a introducir metodologías activas en el aula de
matemáticas, y por otro lado tratar de vencer con ello las dificultades que muchos alumnos
tienen en el aprendizaje de las matemáticas en Primaria, en este trabajo se diseñará y llevará al
aula una secuencia de actividades en las que la experimentación, la manipulación, la
comunicación y el trabajo colaborativo entre los alumnos, sean las herramientas a su
disposición para resolver las tareas propuestas. El objetivo final en el caso concreto del
aprendizaje de la multiplicación en 2º de Primaria, será que los alumnos se den cuenta de que
multiplicar no es solamente aprenderse de memoria unas tablas, la multiplicación nos ayuda a
resolver muchos problemas de nuestra vida y existen diferentes estrategias para resolver
problemas multiplicativos.
Este trabajo de fin de grado está organizado de la siguiente manera. El punto de
partida del trabajo consiste en investigar acerca de los diferentes modelos de enseñanzaaprendizaje de las Matemáticas. Nos centraremos en los dos modelos más relevantes, el
empirismo y constructivismo, que nos servirán como marco de referencia para interpretar los
comportamientos tanto de los alumnos como del profesor en el aula de matemáticas. Por otro
lado, se expondrán diferentes interpretaciones de la multiplicación que proporcionan los
distintos tipos de problemas multiplicativos, ya que es un aspecto imprescindible para realizar
una correcta presentación didáctica. Por último, se presentarán las ideas de algunos autores
que defienden la postura de utilizar materiales manipulativos en el aula, realizando una
clasificación de estos y conociendo pautas para conseguir una correcta utilización de los
mismos en el aula de Primaria. Estas informaciones de carácter teórico que aparecerán
recogidas en el Capítulo 1 del trabajo, nos ayudarán a elaborar las actividades que se llevarán
a cabo en el aula.
A continuación, en el Capítulo 2, se recopilará lo que dice el currículo oficial de
Primaria en nuestro país, la concreción dada desde la Comunidad de Madrid en la que estoy
realizando mis prácticas, los libros de texto, y otros documentos oficiales sobre el tratamiento
de la multiplicación en esa etapa y sobre la utilización diferentes recursos didácticos en el aula
con el fin de conseguir un aprendizaje significativo. Para completar este análisis desde el
enfoque de la práctica, se incluirá una breve sección al final del Capítulo 2 en la que se
comparará la metodología utilizada en las prácticas del curso 15/16 con la metodología
utilizada en el curso 16/17 al tratar la multiplicación en el aula, al haberse realizado los
periodos de prácticas en dos centros diferentes.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Una vez que el enfoque del trabajo y los estudios previos están completados,
pasaremos entonces en el Capítulo 3 a presentar una propuesta didáctica que constará de
diferentes actividades con las que los alumnos puedan adquirir nuevos conocimientos de la
multiplicación a través de materiales manipulativos. Estas actividades serán descritas
cuidadosamente desde las indicaciones teóricas revisadas en el Capítulo 1, y teniendo en
cuenta las indicaciones que la legislación vigente ofrece para tratar el tema elegido. La
metodología que se va a seguir en las actividades propuestas tendrá al alumno como
protagonista, ya que se quiere conseguir que construya sus propios conocimientos. Se
incluirán además unos análisis previos de las posibles dificultades que podrían aparecer en el
aprendizaje de los alumnos al tratar de resolver estas actividades. Parte de las actividades
presentadas serán llevadas al aula en el curso de segundo de primaria del colegio concertado
San Sebastián situado en la localidad de Getafe durante el periodo de prácticas del curso
2016/17 con la intención de reflexionar, analizar y remediar las dificultades que se puedan
presentar en las diferentes actividades y también constatar las ventajas de utilizar esta
metodología. Los resultados de llevar a la práctica algunas de las actividades propuestas en el
Capítulo 3, serán presentados y discutidos en el Capítulo 4 de este trabajo, que cerraremos
con un último capítulo recogiendo brevemente las conclusiones más importantes del mismo.
En resumen, el principal objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es reflexionar,
desde una breve experiencia práctica tras un proceso teórico inicial de documentación sobre el
uso de materiales manipulativos en las aulas de primaria, sobre cómo conseguir un
aprendizaje significativo de las matemáticas a través de diferentes actividades que actúen
como medio para fomentar la adquisición de nuevos conocimientos matemáticos, y así tratar
de cambiar la percepción que el alumnado tiene en general a la hora de afrontar a esta
asignatura.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO
En este capítulo se abordan los elementos fundamentales que intervienen en el
aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria a partir de investigaciones sobre la
Didáctica de las Matemáticas. Los textos que se han utilizado como referencia para elaborar
este capítulo son: Didáctica de las matemáticas en Educación Primaria (Chamorro, 2003),
Matemáticas para maestros de Educación Primaria (Segovia y Rico, 2011) y Matemáticas
para maestros (Godino, 2004). Este capítulo contará con tres apartados. En el primero se
explicarán los dos modelos más relevantes en la enseñanza de las matemáticas, en el segundo
se describirán los diferentes tipos de relaciones multiplicativas, y, por último, se hablará de
los materiales manipulativos como herramienta didáctica.
I.
MODELOS EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Los modelos teóricos que se van a presentar en este apartado, el empirismo y el
constructivismo, nos sirven como marco de referencia para conocer tanto el comportamiento
de los alumnos, como la toma de decisiones e intervención del maestro en el aula que nos
servirá para dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿cómo ocurre el aprendizaje matemático?
1. Empirismo
El empirismo sostiene que la experiencia es la única forma de conocimiento. Algunos
de los autores que defienden este modelo son: Aristóteles, Locke, Hume y Mill (Schunk,
1997, p.23).
Dentro del modelo empirista destacan las teorías conductuales. Desde una perspectiva
conductista, el aprendizaje se define como un cambio observable en el comportamiento. Los
procesos internos, como el pensamiento y la motivación, son considerados poco relevantes
para el estudio del aprendizaje humano ya que no pueden ser medibles ni observables de
manera directa (Gómez, 2013).
Los principios de las ideas empiristas y conductistas pueden aplicarse para aprender
nuevos conocimientos de manera memorística. Sin embargo, la repetición de nuevos
conceptos no garantiza la asimilación de una nueva conducta, sino solo su ejecución. Por
ejemplo, en el caso de las tablas de multiplicar, el alumno se puede aprender las tablas de
memoria, pero no sabrá cuándo puede utilizar estas operaciones para resolver diferentes
problemas.
Esta concepción del aprendizaje todavía está extendida en la comunidad educativa
entre los profesores de matemáticas. Dentro de este modelo, el profesor explica los contenidos
y el proceso para resolver los diferentes “tipos” de problemas de manera individual, sin
relacionarlo con temas anteriores ni posteriores. El alumno actúa como receptor pasivo de la
información, memoriza la información sin que se tengan en cuenta sus ideas previas. Por lo
tanto, “el alumno aprende lo que el profesor explica en clase y no aprende nada de aquello
que no explica” (Chamorro, 2003, p.37). En este modelo no se le da la oportunidad al
estudiante de construir su propio conocimiento, sino que los saberes los proporciona el
maestro y los escolares se limitan a recibirlos. Por lo tanto, dentro de este modelo de
aprendizaje, no hay cabida para trabajos entre iguales.
En este tipo de aprendizaje el error se relaciona con el fracaso. La evaluación de la
enseñanza consistirá en una prueba donde el alumno responderá las actividades correctamente
siguiendo los pasos que el profesor ha explicado anteriormente para demostrar que ha
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
comprendido los nuevos conceptos. Sin embargo, este modelo de enseñanza no debe ser el
elegido, ya que es de sobra conocido en la comunidad de la educación matemática que para
“hacer matemáticas” el alumno debe resolver problemas construyendo su propio
conocimiento, tanteando con diferentes maneras de resolver un mismo ejercicio y, sobre todo,
equivocándose y aprendiendo de sus errores. Por lo tanto, el profesorado debe entender los
errores como algo necesario para el aprendizaje, ya que la única manera de solucionarlos es
detectándolos y poniendo medios para superarlos siendo conscientes de su origen.
2. Constructivismo
Este modelo parte de la siguiente idea: “aprender matemáticas significa construir
matemáticas” (Chamorro, 2003, p.40). Esta teoría se apoya en varias hipótesis, que
resumimos a continuación en el caso concreto de las matemáticas.
La primera hipótesis se apoya en al aprendizaje basado en la acción. Según Piaget, es
de la acción de la que procede el pensamiento en su mecanismo esencial, constituido por el
sistema de operaciones lógicas y matemáticas (Chamorro, 2003, p.40). El término de acción
en este caso se corresponde con llevar a cabo manipulaciones de determinados materiales para
llegar a la construcción de nuevos conocimientos matemáticos. La utilización de diferentes
materiales para el aprendizaje de esta asignatura nos permite apropiarnos del problema,
comprender la naturaleza de la cuestión, hacer una buena imagen de la situación y también
facilita la construcción de representaciones de los objetos matemáticos a construir.
La segunda hipótesis se fundamenta en que la adquisición, organización e integración
de los conocimientos de los alumnos pasa por momentos de equilibrio y desequilibrio. Este
desequilibrio es necesario para la integración de nuevos conocimientos ya que, el
desequilibrio supone replantearse los conocimientos adquiridos anteriormente dando lugar a
una reorganización de los nuevos conocimientos que se van integrando a los anteriores a
través de los procesos de asimilación y acomodación. “En el curso de la acción sobre un
determinado medio, las contradicciones aparecen en el sujeto como producto de los
desequilibrios, y debe modificar sus representaciones, se produce lo que Piaget ha
denominado acomodación, que supone, básicamente, una modificación en el sujeto causada
por el medio (perturbación). De manera recíproca, las transformaciones realizadas por el
sujeto para dar respuesta a las perturbaciones modifican su organización del medio,
produciéndose entonces un proceso de asimilación. El doble juego acomodación/asimilación
está en el centro de los mecanismos de los procesos de equilibración” (Chamorro, 1991, p.58).
El aprendizaje, bajo esta hipótesis, no es una simple memorización de contenidos ni un saberhacer, sino que para aprender es fundamental volver a empezar, equivocarse, tener curiosidad
y repetir lo que se hace y entender por qué y para qué se hace. En definitiva, el aprendizaje es
un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el sujeto y el medio (situación- problema).
Según Chamorro (2003, p.45), la tercera hipótesis se basa en la teoría sobre los
obstáculos de Brousseau: “el error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la
incertidumbre, del azar, según se creía en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje;
sino el efecto de un conocimiento anterior que tuvo su interés, su éxito, y que ahora se revela
falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son fortuitos e imprevisibles, su
origen se constituye en un obstáculo”. Estos obstáculos son fundamentales en el aprendizaje
de las matemáticas ya que forman parte del proceso de construcción de nuevos
conocimientos. Por lo tanto, los alumnos deben afrontarlos, ser capaces de modificarlos,
superarlos y tomar conciencia de sus limitaciones. Para ello, se necesita un papel activo por
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
parte del profesor que les ponga ante diferentes situaciones donde interactúen con un medio
que les provoque desequilibrios y retroalimentaciones.
La cuarta, y última, hipótesis se apoya en el aprendizaje en grupo para facilitar la
adquisición de conocimientos matemáticos, tanto conceptuales como procedimentales. Esto es
debido a que se producen diferentes interacciones, tanto horizontales (niño-niño) como
verticales (niño-adulto). Según Blaye (1994), citado por Chamorro (2003, p.45), la eficacia de
los conflictos socio-cognitivos:
-
Permiten al alumno tomar conciencia de otras respuestas diferentes a la suya, lo
que le obliga a replantearse su respuesta inicial.
Se llevan a cabo regulaciones sociales para llegar a una respuesta común. Esto
permite al alumno ser más activo cognitivamente.
Las diferentes respuestas que se pueden dar dentro de un grupo sirven para hacer al
alumno pensar sobre aspectos de la tarea que no había considerado y recibir más
información.
Esta última fase es fundamental para el aprendizaje matemático, debido a que la
comunicación entre los componentes del grupo jugará un papel primordial para aprender
conocimientos nuevos. De modo que los alumnos deberán responder a los “por qué”, a los
“para qué” y a los “cómo” de otros compañeros y del profesor siendo capaces de volver sobre
sus propias acciones, describirlas, defenderlas, tomar conciencia de su permanencia y validez,
así como de preguntar acerca de las soluciones aportadas por otros alumnos, ampliando su
campo de conocimiento.
II.
TIPOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
En este apartado se estudiarán los diversos tipos de problemas relacionados con la
multiplicación. Esto es importante para realizar correctamente una presentación didáctica, ya
que el significado de un concepto dependerá del contexto el cual será un factor a tener en
cuenta para la construcción de nuevos conocimientos.
Según Chamorro, los problemas de multiplicación se pueden dividir en tres grupos
atendiendo a las distintas interpretaciones de la multiplicación (Chamorro, 2003).
1. Problemas de isomorfismo de medidas
Estos problemas tratan situaciones donde se establecen isomorfismos entre dos
campos o medidas. Por lo tanto, en este tipo se trabajarán con dos magnitudes distintas.
Godino (2004, p.74), describe este tipo de problemas como “Situación multiplicativa de razón
(ERE) que lo define como situación en la que intervienen dos estados, E1 y E2, que hacen
referencia a magnitudes distintas, y una razón R que expresa el cociente de E2 respecto a E1.
Cuando la incógnita está en la razón R podemos interpretar la situación en términos de reparto
equitativo y cuando está en el estado E1 en términos de agrupamiento o descomposición en
partes iguales”.
Algunos ejemplos de este tipo de problemas serán los siguientes:
-
9
Disponemos de 6 bolsas de caramelos y en cada una de ellas hay 7 caramelos,
¿cuántos caramelos tenemos?
Ayer compré una bolsa de 4 kilos de patatas por 16 euros. ¿Cuánto me hubieran
costado 20 kilos de patatas?
La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
En estos ejemplos se puede ver que cada problema plantea una función de
proporcionalidades entre dos magnitudes: bolsas y caramelos, kilos de patatas y precio.
Para resolver el primer problema, en los primeros cursos de primaria se utilizará la
multiplicación como suma repetida, ya que es la manera más fácil de entender el concepto de
multiplicación. En este proceso basta con sumar los caramelos de una bolsa (7) tantas veces
como bolsas haya, es decir 6 veces. Esto dará lugar a la siguiente operación: 7+7+7+7+7+7 =
7 (caramelos) x 6 (bolsas) = 42. Por lo tanto, se tendrá en cuenta que los dos factores tienen
papeles distintos, utilizando una operación unaria asimétrica. Nos referimos a operación
unaria a aquella que solo necesita el operador y un único operando para calcular el resultado.
Multiplicador
a
b
aXb
Multiplicando
Producto
Figura 1. Modelo funcional unario
Para que los alumnos asimilen la multiplicación como suma repetida podemos utilizar
diferentes modelos: cardinales discretos o lineales (Segovia y Rico, 2011, p. 102).
Figura 2. Modelo de recta lineal que muestra que 5 veces 3 es 15
Figura 3. Modelo cardinal que muestra que 5 veces 3 es 15
2. Problemas de producto de medidas
“En este tipo de problemas tenemos dos campos de medidas (pueden ser el mismo en
algún caso) que se componen para conformar mediante un proceso análogo al producto
cartesiano” (Chamorro, 2003 p.166). Godino (2004, p.74), describe este tipo de problemas
10
La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
como “Situación multiplicativa de combinación (EEE): intervienen dos estados, E1 y E2, que
expresan los cardinales de dos conjuntos o las medidas de cantidades de dos magnitudes y un
tercer estado, Ef, que indica el cardinal del producto cartesiano de esos dos conjuntos o la
medida de la cantidad de magnitud producto”.
Algunos ejemplos de este tipo son los siguientes (Chamorro, 2003, p.166):
-
“Una clase tiene los pupitres dispuestos en forma rectangular de manera que
tenemos 6 filas y 4 columnas. ¿Cuántos pupitres hay en total?”
“Una piscina rectangular mide 15 metros de ancho y 10 de largo. ¿Cuánto mide su
superficie?”
“Para formar el uniforme de un equipo de fútbol, se disponen de 5 camisetas
distintas y 4 pantalones. ¿De cuántas maneras se puede uniformar el equipo?”
Para resolver, los dos primeros ejemplos, tenemos que interpretar la multiplicación
como producto cartesiano, ya que se trata de una operación binaria simétrica en la que ambos
factores desempeñan el mismo papel. Según esta interpretación, una multiplicación se puede
representar mediante dos modelos: de matriz y de área de un rectángulo (Segovia y Rico,
2011, p. 104). Estos modelos en los primeros cursos de primaria nos pueden ser útiles para
que los alumnos puedan visualizar la propiedad conmutativa y distributiva de la
multiplicación.
Figura 4. Modelo de matriz
Figura 5. Modelo de área de un rectángulo
Por otro lado, el tercer ejemplo, también se puede resolver utilizando la siguiente tabla
cartesiana, donde podemos ver que los distintos uniformes se corresponden con los elementos
del producto cartesiano (Chamorro, 2003, p. 166).
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Figura 6. Modelo de tabla cartesiana
3. Problemas con un espacio único de medidas
Este tipo de problemas son parecidos a los de comparaciones aditivas, con la
diferencia de que en este la comparación utiliza un coeficiente multiplicativo (razón). En estos
problemas aparece un campo de medidas con un operador (escalar) que relaciona ambas
cantidades (Chamorro, 2003 p.168). Godino (2004, p.74), describe este tipo de problemas
como “Situación multiplicativa de comparación (ECE) en el cual intervienen dos estados, E1
y E2, que hacen referencia a una misma magnitud y una comparación, C, que indica el
número de veces que hay que repetir uno de los estados para igualarlo al otro”.
Algunos ejemplos de problemas de situación multiplicativa de comparación son:
-
“Rosa tiene 5 muñecas y su hermana cuatro veces más. ¿Cuántas tiene su
hermana?”
“Alex tiene 25 monedas y su primo Paco tiene cinco veces más monedas. ¿Cuántas
monedas tiene Paco?”
Una vez analizados los diferentes problemas que se pueden dar para trabajar la
multiplicación se llega a la conclusión de que los contextos asociados a los problemas de
isomorfismo de medidas son más fáciles de entender para el alumno. Esto es debido a que se
introduce o construye una nueva operación a partir de un conocimiento previo como es la
suma. Sin embargo, los problemas de producto de medidas no parten de ningún conocimiento
previo, por lo que su asimilación será más difícil en los primeros cursos de primaria, pero es
interesante tenerlos en cuenta para utilizarlos para estudiar algunas propiedades de la
multiplicación como la propiedad conmutativa y la propiedad distributiva, a través de los
modelos de matriz o de área de un rectángulo expuestos anteriormente. En definitiva,
Chamorro (2003, p.165) cita a Maza (1991) que expone: “Para conseguir esta unificación
conceptual de la multiplicación, se deben tender lazos entre ambos problemas, lazos que
permitan al alumno descubrir que las distintas formas de resolverlo son, en realidad, una
sola”.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Tipos de problemas multiplicativos
Isomorfismo de
medidas
Factores que
intervienen.
Intervienen dos
estados E1 y E2,
como magnitudes
distintas; una razón
(R) que expresa el
cociente de E2
respecto a E1.
Modelo de recta
lineal. Modelo
Representación cardinal.
Ejemplos:
Producto de medidas
Espacio único de medidas
Intervienen dos estados E1
y E2 que expresan los
cardinales de dos conjuntos
o las medidas de cantidades
de dos magnitudes y un
tercer estado Ef que indica
el cardinal del producto
cartesiano.
Intervienen dos estados E1
y E2 que hacen referencia
a una misma magnitud y
una comparación C que
indica el número de veces
que hay que repetir uno de
los estados para igualarlo
al otro.
Modelo de matriz.
Modelo de
Modelo de área de un rectángulos.
rectángulo.
Tabla cartesiana
o
Disponemos de 6
bolsas de caramelos
y en cada una de
ellas hay 7
caramelos, ¿cuántos
caramelos tenemos?
Una clase tiene los pupitres
dispuestos en forma
rectangular de manera que
tenemos 6 filas y 4
columnas. ¿Cuántos
productos hay en total?
Rosa tiene 5 muñecas y su
hermana cuatro veces más.
¿Cuántas tiene su
hermana?
Ayer compré una
bolsa de 4 kilos de
patatas por 16 euros.
¿Cuánto me
hubieran costado 10
kilos?
Una piscina rectangular
mide 15 metros de ancho y
10 de largo. ¿Cuánto mide
la superficie?
Alex tiene 25 monedas y
su primo Paco tiene cinco
veces más monedas.
¿Cuántas monedas tiene
Paco?
Para formar el uniforme de
un equipo de fútbol, se
disponen de 5 camisetas
distintas y 4 pantalones. ¿De
cuántas maneras se puede
uniformar el equipo?”
Tabla 1. Problemas multiplicativos
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barras
La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
III.
USO DE MATERIALES MANIPULATIVOS COMO HERRAMIENTA
DIDÁCTICA
Dentro de este apartado vamos a estudiar algunos argumentos a favor de la utilización
de materiales manipulativos para favorecer el aprendizaje dentro de las aulas de primaria.
Además, se describirán más detenidamente los materiales más importantes que se pueden
considerar para la enseñanza y aprendizaje de la multiplicación.
Antes de pasar a explicar los diferentes puntos de este apartado incluimos la definición
del término material que vamos a considerar a lo largo del texto. Para nosotros, un material
manipulativo será “Todo objeto, juego, medio técnico, etc. capaz de ayudar al alumno a
suscitar preguntas, sugerir conceptos o materializar ideas abstractas” (Álvarez, 1996 p.9).
1. La importancia del uso de materiales manipulativos dentro del aula de matemáticas
Muchos autores han investigado sobre las ventajas de utilizar materiales manipulativos
dentro del aula de matemáticas para la adquisición y desarrollo de nuevos conocimientos, así
como la aplicación de estos en distintas actividades o juegos.
Entre ellos cabe destacar a Alsina y Planas (2008) que exponen que la manipulación
de materiales didácticos en el aula es una manera eficaz y divertida de descubrir nuevos
conceptos, y de profundizar en los ya conocidos. Además, el uso de diferentes materiales
manipulativos en el aula, ya sea a través de juegos o actividades, desarrolla la capacidad de
construir nuevas ideas siendo ayudados por el profesor que actuará como guía en procesos
clave del aprendizaje.
Continuando con los autores que defienden una metodología activa y lúdica en la
enseñanza de las matemáticas, cabe destacar a María Montessori (1915) que creó uno de los
primeros métodos activos que se ha aplicado en educación infantil y en los primeros cursos de
primaria. Estos métodos se basan en fundamentos psicopedagógicos como el respeto a la
espontaneidad del niño, la libertad para realizar las actividades que se deseen, la autoactividad
de acuerdo con los intereses; y su disposición para favorecer su desarrollo. En esta
metodología destaca la función del profesor como facilitador de material didáctico de acuerdo
a la edad del niño. El maestro debe incentivar a los alumnos para que mantengan contacto con
los diferentes materiales didácticos con el objetivo de crear curiosidad y fomentar el
aprendizaje a través de recursos manipulativos y experimentación de los objetos.
Además de María Montessori, a lo largo del tiempo ha habido otros
investigadores/profesores que han defendido el uso de materiales manipulativos en las aulas.
Mª Antonia Canals (2001) defiende que el material manipulativo facilita el paso a la
abstracción, ya que se fomenta el descubrimiento y hace posible un aprendizaje sólido y
significativo, lejos de posturas contrarias, donde se ven estas actividades como un obstáculo o
una pérdida de tiempo.
Cascallana (2002) afirma que, dentro de la sociedad, y en concreto, dentro de un aula,
existe una gran heterogeneidad, lo cual implica que la utilización de una sola estrategia no
contempla las posibles diferencias y necesidades de cada alumno. Por ello, sostiene la
importancia de utilizar otros medios o recursos como pueden ser los materiales manipulativos.
Además, rechaza las explicaciones verbales, la utilización de la pizarra y el trabajo individual
como único recurso. Esto se debe a que este tipo de enseñanza hace que se produzca en
ocasiones una mayor desigualdad entre el alumnado, ya que, por ejemplo, el alumnado que
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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tenga un pensamiento más ligado a lo práctico tendrá peores notas y, por lo tanto, la tasa de
abandono escolar será mayor (García, s.f, p.3).
Por otro lado, Rico (1997) da importancia al uso de materiales manipulativos al
considerarlos como un componente fundamental para articular el diseño, desarrollo y
evaluación de las unidades didácticas. Además, Decroly (1965) añade que el uso de materiales
manipulativos aplicados a juegos educativos, favorece el desarrollo de esquemas de
pensamiento, por lo que la enseñanza debe propiciar un ambiente lleno de situaciones que el
niño pueda abordar, que favorezcan su autonomía y que lo estimulen a aprender haciendo.
Finalmente, y a modo de resumen, siguiendo las ideas de González Mari (2010)
incluimos a continuación algunas ventajas del uso de materiales manipulativos en el aula de
matemáticas:
-
Motiva a los alumnos, generando interés por aprender.
Modifica positivamente las actitudes hacia la matemática y su aprendizaje.
Facilita el desarrollo del currículo.
Potencia una enseñanza activa, creativa y participativa.
Permite adquirir procedimientos matemáticos.
Permite el trabajo individual y de grupo, favoreciendo la autonomía de los
alumnos.
El uso de materiales manipulativos en el aula nos ayuda a realizar diferentes
actividades matemáticas que sean atractivas y estimulantes para el aprendizaje.
El uso de estos nos ayuda a adaptar las actividades a diferentes niveles, respetando
las características individuales de los alumnos.
Suponen buenos instrumentos para diagnosticar y evaluar.
Para que sucedan todas estas ventajas, los materiales utilizados deben cumplir las
siguientes características (Alsina, 2004; Bracho, 2001):
-
-
Los materiales educativos utilizados en clase deben satisfacer las necesidades de
los alumnos. Además, deben adaptarse a la edad y al desarrollo intelectual de cada
uno de ellos.
Con frecuencia los materiales más sencillos y económicos son los que resultan más
educativos y proporcionan mayores satisfacciones a docentes y alumnos.
Los materiales deben invitar a la manipulación y a la experimentación.
La elección de los materiales didácticos debe utilizarse en función de los objetivos
que se quieran conseguir.
Los materiales didácticos deben cubrir las carencias o déficit de los alumnos.
Los materiales didácticos usados en el aula deben ser polivalentes, es decir, tienen
que tener diferentes usos con el fin de que nos sirvan para conseguir diversos
objetivos.
Por último, es importante resaltar las ventajas que tiene la aplicación de estos
materiales manipulativos en el diseño e implementación de juegos en el aula. En ese sentido,
Alsina (2004) hace referencia al siguiente “Decálogo del juego” en las clases de matemáticas:
-
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El juego es la parte de la vida más real de los niños y, utilizándolo como recurso
metodológico permite hacerles ver la necesidad y la utilidad de aprender las
matemáticas.
La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
-
-
-
-
Las actividades lúdicas permiten que los alumnos estén más motivados a la hora de
enfrentarse a diferentes problemas. Lo que permite que se impliquen más en el
desarrollo del aprendizaje obteniendo mejores resultados.
Es fundamental tratar diferentes tipos de conocimientos, habilidades y actitudes
hacia las matemáticas.
Los niños se enfrentan a aprender nuevos conocimientos sin miedo al fracaso
inicial. Esto es debido a que el error no se considera como fracaso sino como una
nueva oportunidad para aprender.
Respeta las diferencias entre el alumnado, ya que el juego permite a todos
participar en función de sus propias capacidades.
Desarrolla, entre otros, la atención, concentración, percepción, memoria,
resolución de problemas, búsqueda de estrategias que son primordiales para el
aprendizaje de esta materia.
Los diferentes juegos favorecen la socialización entre los alumnos y la propia
autonomía personal.
El currículum actual aconseja tener en cuenta la utilización de materiales lúdicos y
crear actividades para acercar a la realidad a los alumnos.
Favorece el aprendizaje significativo.
2. Clasificación de materiales manipulativos
En primer lugar, se va a incluir una clasificación de materiales manipulativos dada por
Cascallana (2002). En esta clasificación se distinguen dos clases de materiales: estructurados
y no estructurados.
El material no estructurado es cualquier elemento que el niño manipula durante su
crecimiento, siendo muy útil para su desarrollo cognitivo. Dentro de este material nos
encontramos juguetes representativos que se utilizan en los primeros años de enseñanza para
contar, clasificar y seriar, como, por ejemplo, los coches, bloques de construcciones, etc. La
manipulación de estos objetos es fundamental para el desarrollo cognitivo de los alumnos, ya
que favorece la generalización de conceptos, la adquisición de sus propios esquemas y
despiertan el interés. Asimismo, conlleva el conocimiento físico y social de los mismos. Por
ejemplo, la utilización de plastilina o palillos conlleva conocimiento físico, ya que aprenden
nuevas propiedades partiendo del descubrimiento a través de los sentidos. También, conlleva
conocimiento social, debido a que los alumnos intentan explicar por medio de expresión oral
lo que han descubierto a los demás compañeros.
El material estructurado es el que ha sido diseñado específicamente para la enseñanza
de las matemáticas. La mayoría de estos materiales se pueden utilizar de diferentes maneras
dependiendo del objetivo que se persiga y de la edad de los alumnos, son elementos
multiusos, como por ejemplo el ábaco, las regletas y el geoplano.
A la hora de diseñar diferentes actividades tenemos que tener en cuenta que ambos
tipos de materiales son complementarios, debido a que los materiales no estructurados nos
pueden servir como base y ayuda para llevar a cabo la explicación de un concepto concreto a
través de materiales estructurados. También, debemos insistir en la importancia del papel del
maestro a la hora de organizar actividades en las que se utilicen estos materiales con el fin de
alcanzar los objetivos propuestos.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Otra clasificación que hemos analizado y nos parece interesante mencionar es la
propuesta por Ortiz, A. (2001) en González Mari (2010) que según la finalidad o utilidad los
distingue en:
-
-
Materiales que sirven para observar, concretar conceptos y profundizar propiedad.
Estos pueden ser preparados anteriormente por el profesor o pueden ser preparados
o construidos por los alumnos. Dentro de estos cabe destacar las regletas, los
ábacos, los materiales para construir poliedros, etc.
Instrumentos constructores que sirven para construir modelos como, por ejemplo,
la regla, la escuadra, el compás, etc.
Medios provocadores o evocadores de situaciones problema o para pensar como
pueden ser el tangram, los puzles, etc.
Juegos y pasatiempos matemáticos.
Materiales relacionados con las nuevas tecnologías como, por ejemplo, ordenador,
calculadora, vídeo... Además, hay que destacar programas como GeoGebra,
CaRMetal, KBruch, … (Molina, Valle, Alvarado, Bolaños y Martínez, L, s.f).
Por otro lado, vemos conveniente analizar los tipos de juegos que se pueden dar en el
aula, ya que a través de materiales manipulativos se pueden diseñar muchos de ellos para
fomentar el aprendizaje. Según la clasificación propuesta por Villabrille (s.f), los juegos
matemáticos se pueden dividir según tres criterios en reglados y libres, de estrategia y azar, y,
por último, colectivos e individuales. Describimos a continuación las características más
relevantes en la definición de cada uno de estos tipos.
Los juegos matemáticos libres y reglados son aquellos en los que los alumnos aceptan
y cumplen una serie de reglas que le dan una estructura al juego o en los que los alumnos
juegan libremente sin seguir ninguna regla que guíe el juego. Estos ganan importancia en las
primeras etapas de los alumnos, ya que permiten reconocer, visualizar y explorar diferentes
estrategias para conseguir el objetivo propuesto por el profesor. Estos juegos tienen que
cumplir los siguientes requisitos: fijar reglas que permitan dicha actividad y concreción de
reglas, la cuales determinarán claramente, la salida, avance, capturas, bloqueos, desbloqueos y
finalización (Pérez, 1998).
Por otro lado, los juegos matemáticos de azar se utilizan para desarrollar el concepto
de probabilidad matemática y despertar en los alumnos la intuición sobre el azar. Son juegos
en los cuales las posibilidades de ganar o perder dependen del azar y no solo de los
conocimientos de los alumnos.
Los juegos de estrategia se centran en fomentar el desarrollo de diferentes estrategias
para la solución de los diferentes problemas que se propongan (Corbalán y Deulofeu, 1996).
Dentro de los juegos de estrategia podemos distinguir dos tipos dependiendo del número de
jugadores implicados en el juego. Los primeros son los llamados juegos solitarios en el que un
jugador, de forma individual, es capaz de crear estrategias para alcanzar el objetivo del juego.
Los segundos son los llamados juegos bipersonales, en los cuales se retan dos personas (o dos
equipos de personas) para conseguir construir la estrategia ganadora antes que su oponente
siguiendo las reglas del juego (Corbalán y Deulofeu, 1996).
En definitiva, es importante que los profesores utilicen diferentes metodologías para
hacer frente a la diversidad del alumnado que se puede encontrar en el aula de primaria,
utilizando otros recursos como, por ejemplo, materiales manipulativos a través de la
resolución de problemas en formato de juegos.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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CAPÍTULO 2. REVISIÓN DEL CURRÍCULO Y LIBROS DE TEXTO
En este apartado, se analizará el marco legislativo en nuestro país, haciendo hincapié
en el área de las matemáticas. Por otro lado, se explicará cómo se trabajan los diferentes
contenidos, relacionados con la multiplicación, que componen el libro de matemáticas usado
durante el periodo de prácticas 16/17.
I.
QUÉ DICE EL MARCO LEGISLATIVO EN NUESTRO PAÍS
El currículo para Educación Primaria en la Comunidad de Madrid (Decreto 89/2014,
de 24/07/2015) se desarrolla a partir de las indicaciones ofrecidas en el BOE (Real Decreto
126/2014, de 28 de febrero), por el que se establece el currículo básico de la Educación
Primaria.
La legislación entiende por currículo el conjunto de los objetivos, competencias
básicas, contenidos, métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada una de las
enseñanzas (LOE, art. 6.1, 2006). Por lo tanto, el currículo es el instrumento principal de
trabajo del que dispone el profesor, como agente encargado de llevar a cabo planes de
formación de sus estudiantes en las diferentes áreas.
El currículo establece que la finalidad de la Educación Primaria es garantizar una
formación integral del alumno. Es importante dentro de esta etapa procurar la integración de
las distintas experiencias y aprendizajes de los alumnos, adaptándose a sus ritmos de trabajo.
Este aspecto es especialmente relevante en matemáticas, debido a que en el área de las
matemáticas la resolución de problemas requiere muchas capacidades básicas como: leer,
reflexionar, planificar, establecer estrategias y procedimientos y revisarlos, modificarlos si es
necesario, comprobar que la solución es correcta y comunicar los resultados. Esto es
justamente lo que establece la metodología constructivista, explicada anteriormente en el
marco teórico, donde los alumnos deben ser capaces de afrontar los errores, superándolos
construyendo sus propias estrategias para que den lugar a nuevos conocimientos.
Dentro de los objetivos de la etapa de primaria referentes al área de las matemáticas
destacamos los siguientes: (Decreto 89, art. 4, 2014 p. 12)
-
-
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“Desarrollar hábitos de trabajo individual y de equipo”. Esto tiene relación con la
última hipótesis de la metodología constructivista en la que destacaba el
aprendizaje en grupo para facilitar la adquisición de conocimientos y estrategias
matemáticas. Para poner en práctica el trabajo en equipo es necesario realizar
actividades externas al libro de texto, ya que, como explicaremos en el siguiente
apartado, en general desde los libros de texto analizados no se incluyen este tipo de
actividades. En la propuesta didáctica que veremos posteriormente se pondrá en
práctica el trabajo en equipo a través de la elaboración de diferentes actividades
con ayuda de material manipulativo.
“Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de
problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo,
conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a
las situaciones de su vida cotidiana”. Es fundamental que los alumnos disfruten del
uso de las matemáticas y reconozcan el valor y la importancia que tiene el
aprendizaje de estas en su día a día.
La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Por otro lado, cabe destacar la importancia de las competencias para integrar los
diferentes aprendizajes. Cada una de las áreas contribuye al desarrollo de diferentes
competencias, y a su vez, cada una de las competencias básicas se alcanzará como
consecuencia del trabajo en varias áreas o materias (Segovia y Rico, 2011, p.31). En relación
a las matemáticas vamos a destacar las siguientes competencias contempladas en la LOMCE
(Ley orgánica para la mejora educativa, 2013):
-
-
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. “En el
currículo español consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números,
sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento
matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como
para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la
realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el
mundo laboral” (Segovia y Rico, 2011, p. 31). Por lo tanto, esta competencia
implica la realización de actividades matemáticas en diferentes situaciones y
contextos como sea posible, dando lugar a procesos de razonamiento por parte del
alumno en busca de una solución.
El estudio PISA define competencia matemática como “capacidad para identificar
y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir
juicios bien fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y
satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo” (OCDE, 2003 p.28).
Competencia aprender a aprender. Esta posee dos dimensiones fundamentales. La
primera de ellas, adquirir conciencia de las propias capacidades del proceso, así
como las estrategias necesarias para desarrollarlas ya sea individualmente, con
ayuda de otras personas o recursos. Por otro lado, implica tener sentimiento de
competencia personal, que fomente la motivación, la confianza en uno mismo y las
ganas por aprender. Para eso es necesario conocer las carencias y las
potencialidades propias. Estas últimas nos ayudarán a superar las primeras a base
de motivación y voluntad, aumentando la seguridad para afrontar nuevos retos de
aprendizaje. Es importante tener conciencia de las capacidades que favorecen al
aprendizaje para obtener un rendimiento básico y personalizado con ayuda de
distintas estrategias y técnicas de estudio, de trabajo cooperativo o por proyectos,
resolución de problemas, de planificación y organización de actividades de forma
efectiva. Esto implica desarrollar la curiosidad de plantearse preguntas, intentar
encontrar todas las respuestas posibles ante una misma situación mediante
diferentes estrategias o metodologías, dando lugar a transformar los diferentes
conceptos en conocimientos propios, relacionando e integrando la nueva
información con los conocimientos previos y con la propia experiencia personal y
sabiendo aplicar los nuevos conocimientos y capacidades a situaciones parecidas y
contextos diversos que nos permitan utilizarlos en la vida cotidiana (García, 2015,
p.3).
Para finalizar se puede observar, en la página 49 del Decreto 89, 2014, la importancia
de utilizar diferentes metodologías dando paso a diversos recursos como pueden ser
materiales manipulativos en la actividad matemática diaria, dado que el uso constante de estos
nos ayudará a desarrollar la capacidad de razonamiento de los alumnos, podrán construir su
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
propio conocimiento y les ayudará a enfrentarse a las matemáticas de una manera más
motivadora y menos derrotista, entre otras cosas.
II.
QUÉ DICEN LOS LIBROS DE TEXTO
Durante la realización de las prácticas en este año, 2016/2017, he podido acceder al
libro de matemáticas de segundo de primaria y al manual didáctico del profesor. Esto me ha
permitido estudiar las distintas actividades que se presentan en ambos libros en relación a la
multiplicación, tema elegido para su estudio en este trabajo.
Los libros utilizados en mi colegio de prácticas son de la editorial Santillana y se
desarrollan dentro del proyecto “Saber hacer” (Reguera, García, Puyanes y Sánchez, 2015). El
proyecto “Saber hacer” de Santillana proporciona a los maestros herramientas para acercarse
a una educación activa. Esto se debe a que dentro del material podemos ver que, en la guía
didáctica del maestro, aparte de venir las soluciones de los distintos problemas que se
plantean en el libro, te recomiendan actividades cooperativas, activas y lúdicas que te
permiten complementar las demás actividades propuestas en el libro del alumno para el tema.
Los ejes fundamentales del proyecto “Saber hacer” son cuatro según describen en su página
web (http://www.saberhacer.es/): “el aprendizaje basado en competencias, la innovación
metodológica, la atención individualizada y el desarrollo de un sistema de evaluación eficaz”.
Sin embargo, analizando cuidadosamente el recurso, se observa que la realidad es diferente.
En primer lugar, el libro de matemáticas de los alumnos presenta la misma estructura
en todos los temas. En todas las unidades hay una breve explicación sobre algún concepto
nuevo seguido de actividades donde solo se trabaja ese concepto dejando a un lado lo visto en
unidades anteriores. Esto provoca que los alumnos respondan de manera automática a los
diferentes ejercicios que se plantean utilizando los conceptos que han visto en la lección
siguiendo el procedimiento que viene en el libro y que es explicado por el profesor. Por lo
tanto, los estudiantes no hacen uso del razonamiento matemático, ya que saben que en esa
unidad solo hay actividades relacionadas con el concepto que han estudiado justo previamente
y las resuelven de forma memorística y automatizada, en general, siguiendo el procedimiento
que viene expuesto en el libro. Luego, en todas las unidades hay un apartado de problemas
que presentan una similitud constante por lo que los escolares los realizan de forma
sistemática utilizando el contenido que han visto en ese tema sin pensar otras formas de
resolución de dichos problemas. Por último, al final de cada tema hay un repaso con
actividades similares a las que han estado haciendo a lo largo de este. Todo esto lleva a que
los alumnos no produzcan su propio conocimiento, sino que esperan a que el profesor les diga
“el método” para resolver las diferentes actividades, sin dar lugar a que los alumnos razonen e
intenten llegar a la solución buscando sus propias estrategias (Carrillo y Contreras, 1995),
dando lugar al modelo empirista explicado anteriormente en el Capítulo 1 de este trabajo.
En segundo lugar, el libro de los alumnos de dicha asignatura no presenta ninguna
actividad para trabajar en grupo independientemente del profesor. Aunque este tipo de
actividades sí lo podemos encontrar en el manual didáctico del profesor, parece que ante la
falta de tiempo y la presión que tienen los profesores, tanto por parte de la administración
como por parte de los padres, por terminar los libros de texto no se suelen realizar. Esto hace
que los estudiantes no se enfrenten a situaciones reales ni a diferentes contextos reforzando de
nuevo un aprendizaje memorístico individual.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Por último, la editorial Santillana en el proyecto “Saber hacer” ofrece junto a los libros
material manipulativo. En el caso de segundo de primaria, el material consiste en unas
láminas con números, una baraja de decimales, fracciones y porcentajes, y unas láminas de
medida, magnitudes y unidades. Teniendo en cuenta los diversos contenidos, este material se
queda escaso, ya que, por ejemplo, para algunos temas como la multiplicación no propone
explícitamente ningún tipo de material para construir y comprender su significado.
III.
METODOLOGÍA UTILIZADA DURANTE LAS PRÁCTICAS
Durante mis prácticas en diferentes colegios he observado diferentes metodologías
docentes. En el curso 2015/2016 en el colegio Mariana Pineda (Getafe) utilizaban una
metodología en la que no había libros, utilizaban diversas fichas y actividades diseñadas por
el profesor para aprender nuevos conceptos en las distintas asignaturas. Esto nos permitía
llevar al aula actividades más variadas, tener más libertad a la hora de llevar las tareas al aula
en diferentes contextos, más tiempo para hacer actividades lúdicas, utilizar diferentes recursos
como la pizarra digital, materiales manipulativos, etc. Además, el profesor diseña y lleva a
cabo actividades adaptándolas a las debilidades y fortalezas de los diferentes alumnos de cada
grupo. En definitiva, el trabajar sin libros de texto da al docente una mayor libertad para
diseñar sus actividades y secuenciarlas de manera adecuada basándose en las características
de sus alumnos consiguiendo así un mayor aprendizaje. Sin embargo, este tipo de enseñanza
exige una mayor implicación por parte del profesor, ya que tiene que invertir mucho tiempo
en la preparación de sus clases como se explicará ampliamente más abajo. Por otro lado, esta
forma de trabajar permite a los alumnos en mayor medida aprender de forma transversal e
integradora logrando que las asignaturas no formen compartimentos estancos, sino un
aprendizaje global y armonioso, fomentando así la creatividad, el trabajo en grupo, la
curiosidad, el espíritu crítico, etc.
Sin embargo, la metodología utilizada en el curso 2016/2017 en el colegio San
Sebastián de Getafe en el que he realizado las prácticas durante los meses de noviembre hasta
marzo, está basada en seguir de forma lineal los contenidos que vienen en el libro de texto y
no se centra en la diversidad del alumnado. Esta metodología limita mucho al docente, en
general es muy cerrada y es difícil diseñar y realizar otro tipo de actividades en las que se
usen diferentes recursos como puede ser la pizarra digital o elementos manipulativos. Esto da
lugar a que los niños aborden las actividades desmotivados, ya que como hemos explicado
anteriormente, los libros de texto, Santillana, siempre siguen la misma estructura en todos los
temas por lo que el aprendizaje se hace monótono y aburrido. Según mi experiencia en el
colegio mencionado anteriormente, para la profesora es prioritario terminar el libro de texto
cuanto antes, por lo que utiliza una metodología empirista donde los alumnos aprenden de
memoria a resolver diferentes situaciones, explicadas anteriormente por la profesora, no
dando la oportunidad al alumno de razonar e intentar resolver los diferentes problemas de
diversas maneras. Además, en esta forma de trabajo en el aula no tienen cabida las actividades
en grupo ni las destinadas a un aprendizaje personalizado, y tampoco la resolución de
problemas en contextos de la vida cotidiana, ya que es difícil terminar los temas dentro de la
temporalización que marca el libro incluyendo actividades externas a este.
Por último, vamos a analizar algunas ventajas e inconvenientes del uso del libro de
texto. El mayor problema de no utilizar libro de texto es la dificultad que les supone a los
maestros elaborar su propio material para impartir nuevos conocimientos adaptándose a las
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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fortalezas y las debilidades de su clase. Además, para llevar a cabo esta metodología se
necesita un trabajo colaborativo por parte de todos los docentes, ya que es importante que
trabajen por ciclos y a nivel de toda la etapa de primaria a la hora de diseñar actividades y
secuenciarlas. Sin embargo, para un profesor es relativamente fácil dar clase siguiendo un
libro de texto, en el que los contenidos teóricos aparecen ya secuenciados con los ejercicios
propuestos para cada tema. Para conseguir un buen proceso enseñanza-aprendizaje lo
adecuado sería que el docente que utilice libros de texto, también se implique en analizarlos
previamente, en diseñar y complementar las unidades con diferentes actividades, incluir
materiales, etc.
Una de las desventajas de no utilizar libro de texto es que los padres se pueden sentir
un poco perdidos a la hora de apoyar a sus hijos en el estudio, aunque esto a veces puede
resultar una ventaja, ya que los niños al no obtener toda la ayuda de los padres se
responsabilizan más de sus tareas y ponen más interés a la hora de realizarlas.
Por último, una ventaja de no utilizar libros de texto es que la diversidad de
actividades y recursos que se pueden utilizar en el aula para aprender los contenidos motiva a
los alumnos y crea un ambiente en el aula que les anima a adquirir nuevos conocimientos
necesarios para comprender el mundo que les rodea. Lo más importante para el aprendizaje
es tener niños curiosos por descubrir y aprender cosas nuevas a través de la experimentación y
el hábito de indagación.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
CAPITULO 3. ACTIVIDADES LLEVADAS AL AULA EN 2016/2017
En este apartado se va a describir una propuesta de una secuencia de actividades que
se llevará a cabo en el aula de 2º del Colegio San Sebastián durante el curso 2016/2017
aprovechando el período de prácticas.
Una gran parte de los estudiantes se enfrentan a la asignatura de matemáticas con
miedo debido a la falta de comprensión de los contenidos. Esto da lugar a que los alumnos
aborden esta asignatura con una mentalidad derrotista pensando que no lo van a entender, que
son muy difíciles. Esta mentalidad, junto a una metodología empirista donde el profesor no
actúa de guía y donde las actividades están limitadas por el libro de texto, provoca que los
niños se bloqueen ante nuevos retos, impidiéndoles experimentar, crear sus propios
conocimientos, mostrar interés por la asignatura y participar en clase. Por esto es necesario en
las aulas, sobre todo en primaria, cambiar hacia una metodología más dinámica en la que el
alumno aprenda los diferentes conceptos manipulando objetos, observando, experimentando,
indagando, etc. Esta metodología activa conlleva una implicación “extra” inicialmente por
parte del profesorado, ya que los materiales tienen que estar bien elegidos y diseñados para
conseguir determinados objetivos. Por lo tanto, en las actividades que vamos a llevar a cabo
en el aula se utilizará el modelo constructivista donde sean los alumnos los que creen sus
propios conocimientos a través de la manipulación de diferentes materiales.
Además, las actividades tendrán como objetivo principal el que los alumnos consigan
aprender el concepto de la multiplicación con números naturales a partir de la resolución de
problemas. En las primeras actividades se utilizarán problemas de isomorfismo de medidas,
ya que son más fáciles al partir de una operación conocida, como es la suma, para aprender
este nuevo concepto como hemos visto en el Capítulo 1 en el que se describía el marco
teórico de este trabajo. Sin embargo, otras actividades se elaborarán con el fin de que
aprendan la propiedad conmutativa de la multiplicación utilizando el modelo de área del
rectángulo o el modelo de matriz visto también anteriormente. Además, en todas las
actividades, los alumnos verán que no hay un solo método para resolver los problemas, sino
que se puede llegar a una misma solución de diferentes maneras.
I.
ELEMENTOS DE LAS ACTIVIDADES
Durante las sesiones, el maestro actuará como guía de nuevos conocimientos
consiguiendo que los alumnos se impliquen y estén motivados ante las diferentes actividades
favoreciendo el aprendizaje. Además, creará entre los alumnos un ambiente afectivo, cálido y
familiar, que les proporcione seguridad y confianza, y facilite la interacción y la socialización
entre el alumnado.
A continuación, se van a describir los distintos elementos utilizados en el diseño de las
actividades que se van a llevar a cabo en el aula.
1. Participantes y contexto
Como hemos mencionado al inicio de este capítulo, el centro en el cual se llevarán a
cabo las actividades descritas a lo largo de este capítulo aprovechando mi estancia durante el
periodo de prácticas durante el curso 2016-17, es el Colegio San Sebastián, situado en el
municipio de Getafe en la Comunidad de Madrid. El centro se encuentra en una zona
socioeconómica media o medio baja y, en la actualidad, se perciben muchos problemas por
desempleo. El Colegio San Sebastián es concertado y con gran influencia de familias
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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extranjeras. El centro ofrece equidad garantizando la igualdad de oportunidades, inclusión
educativa y la no discriminación. Los recursos disponibles en este centro son escasos, ya que
muchas de las clases no disponen de elementos que favorecen el aprendizaje como las
pizarras digitales, sala de ordenadores, sala de juegos, etc.
Las actividades diseñadas se desarrollarán en un grupo de 2º de Educación Primaria.
La clase está formada por un grupo reducido de alumnos, ya que solo cuenta con 10 niños, 5
chicas y 5 chicos. Por lo tanto, nos encontramos ante un grupo equilibrado, en cuanto al sexo
del alumnado. Sin embargo, en cuanto a las características de aprendizaje, es un grupo muy
diverso, aunque en su mayoría se muestra muy receptivo hacia el aprendizaje, socialmente
está bien integrado y no presenta dificultades reseñables de convivencia. Su disposición a la
participación en las actividades escolares es baja debido a que la mayor parte del tiempo usan
el libro de forma individual.
A lo largo de este curso los alumnos estudiarán la multiplicación, por lo que se ha
visto conveniente aprovechar la experiencia del Prácticum para utilizar materiales
manipulativos que favorezcan el aprendizaje de la multiplicación. Además, esto nos hará
reflexionar sobre las ventajas e inconvenientes de la utilización de estos materiales para
adquirir nuevos conocimientos matemáticos.
2. Organización de las sesiones y metodología utilizada
En este apartado se explicarán los pasos que se han tenido en cuenta para el diseño y la
implementación de las actividades que se van a llevar a cabo en el aula, ya que la
organización, tanto del tiempo como del espacio, es muy importante a la hora de llevar
cualquier práctica al aula. Además, en el Colegio San Sebastián las clases son de 45 minutos
por lo que la organización es muy importante en cada sesión. Por otro lado, se va a explicar la
metodología que vamos a utilizar durante las sesiones.
Todas las sesiones empezarán con una breve explicación por parte del profesor, donde
les planteará la actividad que se va a llevar al cabo en el aula. Los alumnos escucharán
atentamente y preguntarán dudas en el caso de que sea necesario. El profesor se cerciorará
cuestionando a algunos alumnos de que han entendido bien la consigna dada. Para esta fase de
apertura se emplearán entre 5 y 10 minutos.
Con respecto a la organización espacial, en las actividades que sean por grupos los
alumnos se organizarán en diferentes mesas, en un lado de la mesa se pondrán algunos
alumnos y enfrente se situarán los demás miembros del grupo para facilitar la interacción
entre el grupo. En el caso de las actividades por parejas, los asientos mantendrán la misma
posición que en las demás clases y serán los alumnos los que se muevan de sitio al lado de la
pareja que les corresponda en cada actividad. Luego, el alumno encargado del material lo
repartirá a sus compañeros para que ya comiencen a resolver el problema planteado
experimentando con los diferentes materiales manipulativos creando sus propias estrategias y
conocimientos, compartiéndolas y poniéndolas en común con los compañeros del grupo para
su validación. Para ello se necesitarán entre 25 y 30 minutos.
Por último, por turnos y guiados por el profesor, los alumnos explicarán al resto de la
clase que método han utilizado para resolver las diferentes actividades y por qué funciona
correctamente (validación). A partir, de los diferentes argumentos de los alumnos el profesor
pondrá en común y organizará el saber matemático de la actividad. Esta fase tomará entre 5 y
10 minutos.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Con respecto a la metodología, estará ubicada dentro de un enfoque constructivista, de
forma que prime el proceso de aprender, las acciones de los alumnos y el modo de construir
sus conocimientos frente a la simple acumulación de conceptos. Por lo tanto, se antepondrán
los aprendizajes significativos frente a los acumulativos, y se proporcionará para ello multitud
de estímulos que refuercen la relación entre lo que conocen y la nueva información a través de
la utilización de materiales manipulativos
3. Intervención: secuencia y contenidos
En la siguiente tabla se expone la secuenciación de las actividades que se van a llevar
a cabo en el aula, indicando las fechas en las que se van a realizar, la duración de cada una y
los contenidos que se van a trabajar.
ACTIVIDADES EN EL AULA
Nombre de la
actividad
Nº
Actividad 1
“Aprendemos el
concepto de
multiplicación”
Secuenciación
1 de marzo
Contenidos
Duración
Aprender el concepto de
multiplicación interpretada como
45 minutos
sumas repetidas (conexión con
conocimientos previos)
“Utilizamos la
multiplicación en
3 de marzo
situaciones
reales”
Resolver problemas de la vida
cotidiana utilizando la
multiplicación (como
isomorfismo de medidas)
45 minutos
“Relacionamos
conceptos”
10 de marzo
Relacionar conceptos
relacionados con la
multiplicación (isomorfismo y
producto de medidas)
45 minutos
Actividad 4 “”La multiplicación
como producto de 16 de marzo
medidas”
Multiplicación representada con
modelo de matriz.
Actividad 2
Actividad 3
Actividad 5
“Multiplicamos
con Lego
(producto de
medidas)”
21 de marzo
45 minutos
La propiedad conmutativa.
Entender la multiplicación a
través del modelo de matriz.
45 minutos
Tabla 2. Secuenciación completa de actividades diseñadas para llevar al aula y
planificación inicial de la intervención
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
4. Recursos
Contaremos con los siguientes recursos para desarrollar las actividades descritas.
-
-
II.
Recursos personales: en todas las sesiones de esta intervención, participarán tanto
el tutor titular como el profesor de prácticas (yo), que serán los encargados de
guiar la clase y dar las explicaciones pertinentes en cada momento. Además,
mientras que los alumnos resuelven las actividades, podrán resolver sus dudas
siempre que lo necesiten.
Recursos materiales: Tomando como referencia los diferentes materiales
estudiados en el Capítulo 2 de este trabajo, en las actividades se van a usar
materiales no estructurados como: fichas de colores, “post-it”, pegatinas, plastilina,
etc. Además, según la finalidad, se van a usar materiales que sirven para observar,
concretar conceptos y profundizar propiedades como las piezas Lego y medios
provocadores o evocadores de situaciones problema o para pensar como los puzles.
Recursos espaciales: el aula habitual de trabajo.
ACTIVIDADADES DISEÑADAS
En este apartado se describen en detalle las actividades diseñadas que se llevarán al
aula de 2º de primaria según la planificación de la Tabla 2.
Todas las actividades diseñadas tendrán en común la utilización de materiales
manipulativos. En las actividades diseñadas el material manipulativo tendrá diferentes
funciones que destacamos a continuación antes de describir las actividades.
En la Actividad 1, los alumnos usarán el material manipulativo con el objetivo de
aprender el concepto de multiplicación. A partir del material dado los alumnos podrán llegar
a la solución usando el modelo cardinal o a través de la suma repetida del número.
En la Actividad 2, el objetivo es que los alumnos aprendan a resolver problemas que
se les puedan presentar en su vida cotidiana. Para ello, se les ha planteado problemas de
isomorfismo de medidas. En estos problemas el uso de material les ayudará a visualizar
mejor el enunciado de estos y descubrir que se pueden resolver mediante la suma repetida de
un mismo número o mediante una multiplicación.
En cuanto a la Actividad 3, el objetivo es observar si se han aprendido los conceptos
dados en las actividades anteriores y añadir conceptos nuevos a partir de la formación de un
puzle. Los materiales que se presentan les ayudarán a relacionar los conceptos previos con los
nuevos, ya que se usarán tanto problemas de isomorfismo de medidas como problemas de
producto de medidas.
En la Actividad 4, se trabajará la interpretación de la multiplicación como producto de
medidas. El objetivo es afianzar la representación de matriz visto en la actividad anterior
mediante material manipulativo. Además, la utilización de estos materiales para representar
diferentes multiplicaciones nos servirá para visualizar la propiedad conmutativa de la
multiplicación de números naturales.
Por último, el objetivo de la Actividad 5 es aprender diferentes maneras de representar
la multiplicación usando el producto de medidas. El material manipulativo que se usará para
esta actividad serán las piezas Lego, ya que es un material con el que los alumnos están más
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
familiarizados. Se usará el material para que los alumnos identifiquen que multiplicación se
corresponde con la representación de cada pieza.
A continuación, describimos las actividades, indicando cómo se organiza el aula, los
objetivos, los materiales, las variables didácticas y los contenidos matemáticos trabajados en
cada una.
1. Actividad 1. “Aprendemos el concepto de multiplicación”
El objetivo específico es entender el concepto de multiplicación de números naturales
a través de un concepto ya conocido previamente por los alumnos, la suma de números
naturales, utilizando materiales manipulativos.
La actividad se realizará por parejas. Cada alumno tirará por turnos dos dados. Para
evitar números muy grandes se sustituirá la cara que corresponde al 6 con un número
comprendido entre el 1 y el 5. Con las dos cifras que salgan en los dados realizarán una
multiplicación. Para llegar al resultado, se ayudarán con “post-its” y fichas de colores. Cada
grupo tendrá que buscar una estrategia para llegar a la solución de las multiplicaciones que les
van a ir saliendo utilizando los materiales que se les han proporcionado.
A continuación, apuntarán en una tablilla con 6 huecos la multiplicación con su
correspondiente solución. Una vez que los huecos de todos los alumnos estén completos, se
realizará un juego, ya que como hemos visto en el Capítulo 1 de este trabajo, estos tienen
diversas ventajas para el aprendizaje. El juego que se va a realizar es el bingo, la profesora
tirará los dados e irá diciendo la multiplicación con el resultado correspondiente. Durante este
proceso, aparecerá la propiedad conmutativa de la multiplicación, debido a que la profesora
puede obtener con los dados el 5 y el 4, y decir 5x4 =20, y algún niño podría preguntar si
puede tachar 4X5= 20. Cada alumno, individualmente, tachará, si corresponde, la
multiplicación citada por la profesora. El juego finalizará cuando alguno de los niños tache
todos los números de su tabla.
Una variable didáctica de esta actividad puede ser utilizar dados o ruletas de 10 caras
con el fin de poder incluir las tablas de multiplicar del 1 al 10 y con ello aumentar el número
de combinaciones posibles y el número de resultados posibles. Además, en cursos superiores,
se pueden reducir los materiales manipulativos, es decir, se les puede proporcionar solo uno
de los materiales para que lleguen al resultado.
En esta actividad una dificultad que pueden presentar los alumnos es inicialmente
bloqueo al ver los diferentes tipos de materiales que pueden usar. Además, como no están
acostumbrados a trabajar en grupo les costará explicar su estrategia y ponerse de acuerdo con
los demás compañeros para llegar al resultado.
2. Actividad 2. “Utilizamos la multiplicación en situaciones reales”
El objetivo específico es utilizar la multiplicación en situaciones reales con ayuda de
materiales manipulativos.
En esta actividad, los alumnos podrán poner en práctica el concepto de la
multiplicación enfrentándose a situaciones que pueden encontrar en su día a día. Para ello, se
van a dividir en grupos de tres personas, teniendo en cuenta tanto las características
personales como las académicas, formando así grupos equilibrados.
El profesor les repartirá una hoja con los siguientes problemas:
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
1. Ana compra 3 lápices de 2 euros cada uno. Luis compra 6 lápices de 6 euros cada
uno. ¿Cuánto se ha gastado Ana? ¿Cuánto se ha gastado Luis? ¿Cuántos lápices ha
comprado Luis más que Ana?
2. Rocío celebra su cumpleaños la próxima semana. Ha invitado a tres personas a su
fiesta. A cada invitado le va a regalar tres chupa-chups. ¿Cuántos chupa-chups
necesitará comprar como mínimo?
3. Paula ha ido al mercadillo de su barrio y ha comprado cuatro postales de 3 euros
cada una, dos paquetes de cromos a 1 euro cada paquete y tres pines a 2 euros cada
uno. ¿Cuánto se ha gastado Paula en total?
En primer lugar, cada grupo leerá de forma detenida cada problema y subrayarán los
datos que se les proporcionan en cada uno de ellos. Mientras realizan la lectura, el profesor se
encargará de montar una especie de mercado en su mesa con todos los elementos que
aparecen en los problemas (lápices, chupa-chups, pines, cromos y postales), indicando el
precio en cada uno de ellos. A continuación, los alumnos tendrán que hacer uso de las fichas
de colores y de los materiales que se les proporciona para llegar a la solución de los diferentes
problemas. Una vez que los alumnos van resolviendo los diferentes problemas utilizando el
material manipulativo, tendrán que plasmar en la ficha todas las operaciones realizadas e
indicar la resolución del problema. Una vez terminen todos los grupos, se pondrán las
estrategias de solución de los problemas en común con el fin de que lleguen a la conclusión
de que un mismo problema se puede resolver de diferentes maneras.
Una variable didáctica en esta actividad puede ser cambiar el enunciado de los
problemas usando números mayores de 10 con el fin de introducir a los alumnos a la
multiplicación con números de dos cifras. Otra variable didáctica que se puede dar es que, a
partir de los diferentes materiales didácticos, sean los alumnos los que inventen un problema
que se pueda resolver utilizando la multiplicación. Otra puede ser no dar materiales a los
alumnos para resolver los problemas.
3. Actividad 3. “Relacionamos conceptos”
El objetivo específico de esta actividad es relacionar propiedades y representaciones
de la multiplicación a través de la construcción de puzles.
Esta actividad se realizará en grupos. El puzle constará de 6 piezas compuestas por
una multiplicación de dos factores del 1 al 9. El resultado correspondiente a cada
multiplicación vendrá representado de 6 formas distintas: la suma correspondiente a la
multiplicación dada, en el modelo cardinal, en el modelo matriz, ilustrando la propiedad
conmutativa de la multiplicación, el resultado de la propia multiplicación y un problema cuyo
resultado estará representado en una de las piezas. Un ejemplo del puzle sería el siguiente:
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Figura 7. Modelo de puzle de la Actividad 3
En el puzle se combinan diferentes sistemas de representación de una multiplicación
(simbólico numérico, icónico gráfico y situación contextualizada a través del lenguaje natural
escrito). Dentro de un mismo sistema de representación, se presentan varias representaciones
favoreciendo la flexibilidad matemática del alumno dentro de ese sistema (por ejemplo en el
icónico gráfico hay dos modelos, el cardinal y el de matriz, y en el simbólico numérico está el
producto, la suma y el total).
Cada grupo tendrá que superar tres fases. En la primera fase, a cada grupo se le dará
una bolsa con las piezas de dos puzles mezcladas. En la segunda, a cada grupo se le dará una
bolsa con las piezas de tres puzles mezcladas. Y en la tercera y última fase, tendrá mezcladas
las piezas de cuatro puzles. La profesora reparte las bolsas con las piezas a cada grupo en cada
fase. Una vez tengan las piezas, los alumnos tienen que montar los puzles correspondientes
viendo la relación que hay entre las distintas representaciones del mismo objeto matemático.
Una vez que han formado los puzles correspondientes a la primera fase, la profesora se
acercará a la mesa y verá si los puzles están bien realizados y les hará preguntas sobre la
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
relación entre las diferentes piezas para que conviertan verbalmente un sistema de
representación en otro. Luego, la docente repetirá el proceso hasta finalizar todas las fases. El
grupo que finalice antes las tres fases se llevará un diploma con el fin de motivar a los
alumnos.
Como variante didáctica, el profesor puede dar a los diferentes grupos de alumnos las
plantillas de los puzles para que sean ellos mismos quienes las completen con las diferentes
multiplicaciones que ellos elijan siguiendo el patrón. Posteriormente, los alumnos las
recortarán para luego intercambiarlas entre los diferentes grupos de la clase. Estos grupos
tendrán que armar el puzle previamente hecho por sus compañeros.
4. Actividad 4. “La multiplicación como producto de medidas”
El objetivo específico es entender la multiplicación mediante la representación de
matriz y demostrar la propiedad conmutativa de la multiplicación de números naturales a
través de materiales manipulativos.
Esta actividad se hará por parejas. La profesora repartirá una cubitera por pareja y
bolas realizadas con papel de aluminio. Luego, irá sacando cartas al azar con diferentes
multiplicaciones de dos números entre 1 y 5. Para esta actividad se parte de la actividad
anterior, ya que los alumnos, con ayuda de las preguntas que les ha ido haciendo la profesora,
al terminar las diferentes fases del puzle, han ido comparando diferentes representaciones de
una multiplicación en los diferentes puzles que han ido formando, entre ellas la representación
en forma de matriz. Los alumnos descubrirán que el número de bolas en cada fila vertical,
siendo este el lado más corto de la cubitera, corresponde con uno de los factores y que el
número de bolas de cada fila horizontal corresponde con el otro. A continuación, la profesora
dirá una multiplicación y los alumnos tendrán que llegar al resultado partiendo de la
información que se ha trabajado en la actividad anterior. Para ello, los alumnos tendrán que
introducir las bolas de papel en la cubitera de manera que lleguen a la solución correcta de la
multiplicación contando las bolas tras representar la multiplicación dada. Con esta actividad
la profesora aprovechará para que los alumnos representen la misma multiplicación, pero con
los factores cambiados de orden con el objetivo de que los niños comprueben de forma visual
que el resultado es el mismo, dando lugar a la introducción de la propiedad conmutativa.
Para finalizar, se repartirá a los alumnos una hoja con diferentes multiplicaciones
acompañadas de una cuadrícula, donde tendrán que representarlas y resolverlas ayudándose
con pegatinas de colores.
Una variable didáctica que la profesora puede considerar en esta actividad, es que los
alumnos comprueben los resultados de una tabla en concreto que estén estudiando en ese
momento a partir de esta actividad (dejarles las tablas a la vista). Otra variable puede ser
cambiar los materiales manipulativos, en vez de una cubitera, usar una plantilla de mayor
tamaño que nos permita trabajar más tablas de multiplicar. También se podría plantear
trabajar la propiedad distributiva con este tipo de material y la representación con modelo
matriz.
5. Actividad 5. “Multiplicamos con Lego”
El objetivo específico es aprender la relación entre una multiplicación y una posible
representación de la misma a través de las piezas Lego.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Esta actividad se realizará individualmente y por parejas. En primer lugar, los alumnos
cogerán una pieza de la caja de Lego. Observando los pivotes de las piezas de lego, los
alumnos tendrán que descubrir qué multiplicación o multiplicaciones se corresponde con ella
y el resultado de la misma con el número total de pivotes de la pieza.
Más tarde, por parejas, cogerán dos piezas de lego realizando lo mismo que en el caso
anterior. Tendrán que contar los pivotes correspondientes para obtener los números de la
multiplicación y el resultado, que tendrán que anotar en un folio. Para aumentar la dificultad,
el profesor podrá ir añadiendo más piezas, con el objetivo de asegurar que los conceptos han
sido asimilados.
Una variante didáctica de esta actividad puede ser la de dar a los alumnos un folio que
tenga escrito diferentes multiplicaciones. En esta variante, los alumnos tendrán que elegir una
o varias piezas lego para representar las distintas multiplicaciones del folio y anotar sus
resultados. Otra sería no dejarles las fichas de Lego y que tengan que dibujarlas.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
CAPÍTULO 4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS
En este capítulo se van a explicar los resultados de las actividades anteriores realizadas
en un aula de 2º de Primaria del Colegio San Sebastián (Getafe) durante la primera quincena
de marzo del 2017. Debido a que este colegio utiliza una metodología basada en el libro de
texto solo se han podido realizar en la clase las tres primeras actividades por falta de tiempo.
Las actividades han sido diseñadas para un grupo de 10 alumnos. A la hora de llevar a
cabo las propuestas el número de alumnos varió en las 3 actividades. En una de ellas, por
problemas de salud. En otra, porque coincidía con la clase de apoyo y la última, porque
algunos niños tenían que ausentarse durante algunos minutos para poder terminar el regalo del
día del padre. Por lo que, durante las actividades, se han organizado los alumnos que se
encontraban en cada una de ellas, formando grupos equilibrados para favorecer la interacción
entre los niños dando lugar a un mayor aprendizaje entre iguales, consiguiendo un clima
adecuado.
A continuación, se van a detallar los resultados de las tres actividades que se han
realizado en el aula con ayuda de mi tutora de prácticas, Verónica, durante tres sesiones de 45
minutos cada una como se había planificado.
I.
RESULTADOS ACTIVIDAD 1
El nombre de la Actividad 1 es “Aprendemos el concepto de la multiplicación”. En
esta actividad, los alumnos con ayuda de “post-its” y fichas de colores tenían que llegar al
resultado de diferentes multiplicaciones. Para luego realizar el juego del bingo con los
resultados que les han ido saliendo y que han sido anotados.
Para comenzar, los alumnos se dividen por parejas. Para ello, se levantan todos de su
sitio y se van al inicio de la clase donde se van formando las parejas teniendo en cuenta las
características de los estudiantes con el objetivo de crear parejas equilibradas para favorecer el
aprendizaje. Finalmente, se crean tres parejas y un trío debido a que falta una alumna por
enfermedad.
Una vez que los alumnos se han colocado en las mesas al lado de sus respectivas
parejas, se empieza a explicar la actividad que van a realizar. Durante la explicación, se van
realizando preguntas a los alumnos para asegurarnos de que entienden perfectamente en qué
consiste esta. Tras comprobar que han entendido la actividad planteada, el encargado del
material de ese día pasa a repartir los materiales que les van a servir de ayuda para llegar a la
resolución.
Durante la fase de acción, las parejas comienzan a tirar los dados por turnos y a
plantearse cómo pueden llegar al resultado con los materiales que les hemos proporcionado.
Uno de los grupos utiliza el modelo cardinal usando tanto los “post-its” como las fichas de
colores para llegar al resultado de la multiplicación.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Figura 8. Estrategia de resolución de la multiplicación 5x3
Sin embargo, los otros algunos alumnos no saben cómo introducir los “post-its” para
resolver la actividad y utilizan solo las fichas de colores para llegar al resultado de la
multiplicación. Algunos utilizan la suma repetida de un mismo número y otros el modelo de
matriz.
Figura 9. Estrategia de resolución
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Figura 10. Estrategia de resolución de la multiplicación 4x4
Durante la actividad hay que destacar que al principio a algunas parejas les costaba
trabajar juntos, ya que cuando le tocaba a uno de la pareja tirar los dados el otro no le
ayudaba. Esto es debido a que están acostumbrados a hacer las actividades individualmente.
Sin embargo, una vez que les recordabas que debían de trabajar juntos para llegar al resultado,
empezaban a comunicarse y a resolver las multiplicaciones cooperando con el compañero.
En algunas parejas, los miembros llegaban de diferente manera al resultado de la
multiplicación con lo que podían ver que se puede llegar a un mismo resultado de diferentes
maneras. Sin embargo, otras parejas utilizaban la misma forma de llegar a la solución.
Además, durante la actividad, algunas parejas se han dado cuenta de la propiedad
conmutativa, debido a que en algunas ocasiones les salían en los dados los mismos números,
pero en distinto orden, como podemos ver en la siguiente imagen:
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
Figura 11. Ejemplo de propiedad conmutativa
Una vez que todos los alumnos tienen la tablilla completa, se empieza la segunda parte
de la actividad en la que los alumnos juegan al bingo. El introducir el juego del bingo a la
actividad fue un acierto, ya que es un juego competitivo, como se explica en el Capítulo 1,
donde consigue ganar el primero que marca las seis casillas. Esto hace que los alumnos se
motiven y quieran volver a realizar la actividad para volver a jugar. Además, me ha permitido
constatar varias de las bondades del uso del juego que he descrito en el marco teórico. Por
problemas de tiempo no se pudo repetir la actividad.
Para finalizar, realizamos una reflexión grupal. Para ello, pongo una multiplicación en
la pizarra y las diferentes parejas nos cuentan cómo han usado los materiales para llegar al
resultado. Luego, pongo la misma multiplicación en distinto orden y les reto a que
individualmente lleguen al resultado utilizando los materiales de alguna de las maneras que
han explicado sus compañeros, viendo así si han adquirido diferentes maneras de llegar al
resultado de una multiplicación. Además, así me cercioro de que todos entienden y saben
representar gráficamente la propiedad conmutativa.
II.
RESULTADOS ACTIVIDAD 2
El nombre de la actividad es “Utilizamos la multiplicación en situaciones reales”. En
esta actividad, los alumnos tienen que resolver tres problemas que se les puede dar en la vida
real con ayuda de materiales manipulativos.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Al igual que en la actividad anterior, primero se formarán tres grupos de tres personas
cada uno de ellos. Los grupos serán distintos que los de la actividad anterior para permitir a
los alumnos que trabajen con todos los miembros de la clase, consiguiendo así una mayor
unión de grupo. Así mismo, al igual que la actividad anterior, se tendrán en cuenta sus
fortalezas y debilidades para crear grupos equilibrados.
En primer lugar, el profesor explica la actividad, haciendo hincapié en la situación
matemática que se va a trabajar. Los alumnos escuchan con atención las explicaciones del
profesor, mientras que este les hace preguntas para ver si están entiendo perfectamente la
actividad que se va a desarrollar. Tras asegurarnos de que han comprendido la actividad, se
les reparte la ficha con los diferentes problemas.
Una vez que todos los grupos tienen la ficha, se les aconseja que hagan una lectura
comprensiva de los problemas, leyéndolos atentamente y subrayando los datos, mientras el
profesor coloca los materiales junto con sus precios a modo de “mercado” en su mesa. Luego,
el encargado de clase repartirá las fichas de colores que les ayudarán a resolver los problemas.
A continuación, empieza la fase de acción. Con todos los materiales que tienen los
alumnos deben buscar la solución a los problemas y apuntar las operaciones en sus
respectivas fichas. Para ello, los alumnos se acercan al mercado que se ha montado
previamente y cogen los materiales que necesiten. Luego, se ayudan con las fichas de colores
para llegar al resultado. Dos de los grupos usan las fichas como si fueran dinero agrupándolas
debajo de cada material como se puede ver en la figura 12 y 13. Sin embargo, el otro grupo
usaban por un lado las fichas y por otro lado los materiales como se puede observar en la
figura 14.
Figura 12. Ejemplo de utilización de las fichas del grupo 1
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Figura 13. Ejemplo de utilización de las fichas grupo 3
Figura 14. Ejemplo de utilización de las fichas grupo 2
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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En cuanto a las estrategias que usan a la hora de plasmar en papel la operación del
problema son distintas, en algunos casos usan la multiplicación y en otros casos, la suma de
un mismo número como se puede ver en las siguientes imágenes:
Figura 15. Estrategia de resolución de problemas grupo 1
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Figura 16. Estrategia de resolución de problemas grupo 2
Figura 17. Estrategias de resolución de problemas grupo 3
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Algunas observaciones que se han encontrado a la hora de resolver los problemas son:
-
-
-
-
El grupo 2 se bloqueó a la hora de realizar el problema de los chupa-chups. Para
que siguieran adelante con la actividad se les dijo que pensaran que es el
cumpleaños de uno de los miembros del grupo y que tenía que repartir tres chupachups a cada invitado. La dramatización, representación del problema, les ayudó a
entender el problema y seguir adelante con él.
Algunos grupos se dan cuenta que los problemas se pueden resolver usando tanto
la suma de un mismo número como la multiplicación. En la figura 16 y 17 se
puede ver como algunos grupos combinan en los diferentes problemas la suma
repetida de un mismo número y la multiplicación.
El grupo 1, el último problema intentaban resolverlo juntando todos los datos. Por
eso, para ayudarles se les dijo que primero intentaran averiguar el precio de los
diferentes objetos por separado, olvidándose de los demás datos del problema.
La comunicación entre los grupos era buena, todos los miembros del equipo
escuchaban a sus compañeros e intervenían en la actividad.
Finalmente, cuando todos los grupos han terminado los problemas, se resuelven en
común exponiendo las diferentes estrategias que se pueden usar para llegar al resultado. A
través de las estrategias empleadas se muestra a los alumnos que tanto la multiplicación como
la suma repetida de un mismo número es válida para llegar al resultado de los problemas. Esto
les da flexibilidad a la hora de resolver problemas y les ayuda a identificar qué forma para
ellos es la mejor en cada caso.
III.
RESULTADOS ACTIVIDAD 3
El nombre de la actividad es “Relacionamos conceptos”. En esta actividad, los
alumnos tienen que construir diferentes puzles relacionando las piezas con las
multiplicaciones.
Para empezar, se van a formar tres tríos equilibrados pero diferentes a los formados en
las dos actividades anteriores. Cada grupo se va a colocar en una mesa de la manera que se ha
indicado en el punto de la organización espacial en el capítulo anterior para fomentar una
mayor interacción entre todos los miembros del equipo.
En la fase de apertura, se plantea la situación matemática que se va a trabajar en esta
actividad. Al igual que en las actividades anteriores, durante la explicación se irá realizando a
los diferentes grupos preguntas para cerciorarnos de que están entendiendo cómo hay que
desarrollar la actividad. Cuando estamos seguros de que todos los grupos han entendido a la
perfección el proceso, se da comienzo a la fase de acción.
En esta fase, se les va a entregar a los alumnos diferentes puzles con las piezas
mezcladas, el número de piezas dependerán de la fase del juego en la que se encuentren, como
viene desarrollado en el diseño de la actividad.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Figura 18. Ejemplo de resolución del puzle.
Los grupos utilizan diferentes estrategias para construir los puzles. Uno de los grupos,
primero dividían las piezas relacionando los conceptos y después hacían el puzle. Otro de los
grupos iba construyendo el puzle cada vez que encontraban una pieza que se correspondía con
la que acababan de poner. Esto les hacía bloquearse, ya que a veces los dos conceptos que
estaban relacionados no encajaban, haciéndoles creer que se habían equivocado al elegir las
piezas. A este grupo se le indicó que la mejor forma de montar el puzle era reunir todas las
piezas relacionadas primero y después empezar a montarlo, ya que no todas las piezas de un
mismo grupo tenían la misma forma. El tercer grupo, era el que trabajaba de forma más
independiente, ya que se dividían los puzles y solo se centraban en encontrar las piezas de su
puzle. Para evitar esto, se ha pensado que hubiera sido más interesante o adecuado que entre
todas las piezas de las diferentes fases solo hubiera relación entre 7 de ellas, formando así un
único puzle, garantizando el trabajo cooperativo entre los miembros del grupo.
Cuando se diseñó la actividad no se tuvo en cuenta que algunos grupos podían
terminar antes que otros. Por ello, durante la sesión se me ocurrió retar a los alumnos que iban
terminando a que fueran ellos quienes dibujarán el puzle en la pizarra por turnos, mientras los
demás grupos iban terminando. Para ello, se dibujó en la pizarra el contorno de las piezas de 4
puzles y se les indicaba la pieza donde viene escrita la multiplicación. A partir de esa ficha,
tenían que formar el puzle completo. Una vez terminaban de formar el puzle, lo borraban y
ponían una multiplicación al siguiente compañero. Además, los compañeros que estaban
esperando a realizar el puzle, les ayudaban y les corregían cuando no dibujaban alguna pieza
correctamente.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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Figura 19. Ejemplo de la realización del puzle a partir de una pieza
Para finalizar la actividad, cada grupo explica a los demás cómo se han organizado
para realizar los puzles, qué les ha parecido la actividad, qué formas de representar una
multiplicación han aprendido, etc. Una vez que todos han terminado de exponer su opinión se
genera un debate sobre cuál creen que es para ellos la mejor forma de resolver esta actividad.
Además, se puede observar como los alumnos aprenden a relacionar propiedades y
representaciones de la multiplicación de manera lúdica y no de manera memorística como se
hace tradicionalmente en muchas aulas. Por último, se le entrega el diploma a los alumnos
del grupo que han tardado menos tiempo en realizar el puzle.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
Para la realización de este Trabajo de Fin de Grado, primero se han analizado, dentro
del marco teórico, los diferentes modelos de aprendizaje que nos podemos encontrar en la
enseñanza de las matemáticas, los tipos de problemas relacionados con la multiplicación y la
importancia del uso de materiales manipulativos como herramienta didáctica. Más tarde, se
revisa lo que dice el marco legislativo de nuestro país en relación a la enseñanza de las
matemáticas en Primaria, se analizan los libros de texto y se comparan diferentes
metodologías usadas durante las prácticas del curso 2015/16 y el 2016/2017. Todo esto nos
servirá de ayuda para finalmente, diseñar una secuencia de actividades que se lleva a la
práctica en un aula real de Primaria, estudiando los resultados obtenidos y el trabajo realizado
en el aula por parte de los alumnos.
El objetivo principal de este trabajo, era diseñar y llevar al aula de 2º de Educación
primaria diferentes actividades basadas en la manipulación de materiales que ayuden al
aprendizaje y consolidación de la multiplicación en Primaria, usando una metodología
constructivista. Después de realizar las actividades en el aula se analiza cómo los alumnos
desarrollan el pensamiento matemático, construyendo y creando sus propias estrategias para
aprender el concepto de la multiplicación, a partir de materiales manipulativos con ayuda de
la interacción entre los miembros de la clase.
En el capítulo donde se analizan las actividades llevadas a cabo en el aula, se muestra
cómo se cumplen los objetivos mencionados anteriormente. Durante las actividades, se ha
demostrado que se pueden utilizar diferentes recursos como pueden ser los materiales
manipulativos para aprender diferentes conceptos, en este caso los relacionados con la
multiplicación. Además, hemos podido ver que la utilización de los materiales y juegos ha
favorecido el interés del alumnado por las matemáticas, ya que estos se mostraban más
participativos y motivados en el desarrollo y la realización de las actividades.
También, durante la propuesta, se ha observado un cambio de metodología en los
alumnos, ya que han pasado de escuchar la explicación y realizar las actividades del libro de
forma sistemática, a construir sus propios conocimientos, trabajar en grupos, etc. Este cambio
de metodología ha tenido una respuesta positiva en los estudiantes a la hora de enfrentarse a
las diferentes actividades. Por eso, y tras los resultados obtenidos, es primordial animar a
promover el uso de diferentes materiales en las aulas para conseguir que la enseñanza de las
matemáticas sea más eficiente.
Por otro lado, hay que destacar las ventajas de tener solo 10 alumnos en clase para
realizar las diferentes actividades, ya que es más fácil organizar la clase, prestar atención
individualizada, en el caso de tener alguna duda se les puede atender más rápido para que
puedan seguir realizando la actividad, etc. En el caso de realizar estas actividades con un
mayor número de alumnos, se requerirá más trabajo por parte del maestro, ya que no es lo
mismo realizar materiales para 10 alumnos que para 25, las dudas se resolverían en voz alta,
ya que varios grupos pueden tener la misma duda y además, se pediría la participación de
otros profesores del centro que estuvieran libres o también a las familias que pudieran asistir,
con el fin de que este tipo de actividades no se limiten solo a clases minoritarias .
El desarrollo de este trabajo me ha permitido profundizar sobre diferentes
metodologías y diferentes recursos que se pueden utilizar en el aula para aprender contenidos
matemáticos. Además, el haber estado en un centro me ha permitido vivir en primera persona
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
la planificación de actividades y la instrucción de estas, permitiéndome reflexionar sobre la
práctica para volver a planificar. Esto me va a ayudar a seguir aprendiendo, diseñando y
perfeccionando diferentes actividades en un futuro como docente. Por otro lado, he visto la
importancia de continuar formándome sobre diferentes recursos que se puedan usar en el aula
en el área de las matemáticas, con los que poder diseñar futuras unidades didácticas,
fomentando un aprendizaje más profundo de las matemáticas en el alumnado.
Para finalizar, quiero agradecer, tanto a mi tutora de prácticas del año 2015/16 como a
mi tutora de este año 2016/17 de los centros escolares en los que he estado. A la primera de
ellas, por sus consejos y por enseñarme una metodología en la que no se usaban los libros. A
la segunda, por dejarme realizar la secuencia de actividades en el aula y participar en ella.
También, quiero agradecer a la profesora de Didáctica de las Matemáticas, Nuria Joglar
Prieto, por todos sus consejos que me han ayudado a elaborar el Trabajo de Fin de Grado. Por
último, dar las gracias a todos los alumnos por su participación y entrega en cada una de las
actividades.
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La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
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BIBLIOGRAFÍA
-
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-
-
-
-
-
-
45
ALSINA, A. (2004). Desarrollo de competencias matemáticas y recursos lúdico
manipulativos: para niños y niñas de 6 a 12 años. Madrid: Narcea
ALSINA, A. Y PLANAS, N. (2008). Matemática inclusiva: Propuestas para una
educación matemática accesible. Madrid: Narcea.
ÁLVAREZ, A. (1996). Actividades de matemáticas con Materiales Didácticos.
Madrid: Narcea.
BRACHO, R. (2001). El gancho matemático. Granada: Port Royal.
CANALS, Mª.A. (2001). Vivir las matemáticas. Barcelona: Octaedro.
CARRILO, J Y CONTRERAS, L. (1995). Un modelo de categorías e indicadores
para el análisis de las concepciones del profesor sobre la matemática y su
enseñanza. Revista Educación Matemática, nº 3, Vol. 7. Disponible en:
http://www.revista-educacion-matematica.org.mx/descargas/Vol7/3/06Carrillo.pdf
(consultado el: 12 de marzo del 2017).
CASCALLANA, M. T. (2002). Iniciación a la matemática. Madrid: Santillana
CHAMORRO M.C. (2003). Didáctica de las matemáticas en Educación Primaria.
Madrid: Pearson Educación.
CHAMORRO, C. (1991): El aprendizaje significativo en el área de las
matemáticas. Madrid: Alhambra - Logman.
CORBALÁN, F. Y DEULOFEU, J. (1996). Juegos manipulativos en la enseñanza
de las matemáticas. Uno, revista de Didáctica de las Matemáticas,7, 71-80.
DECRETO 89/2014, de 24/07/2015, por el que se establece el currículo de la
Educación Primaria en la Comunidad de Madrid. Disponible en:
http://www.bocm.es/boletin/CM_Orden_BOCM/2014/07/25/BOCM-201407251.PDF (Consultado el: 9 de febrero de 2017).
DECROLY, O. (1965). Iniciación general al método Decroly y ensayo de
aplicación a la escuela primaria. Buenos Aires, Argentina: Losada.
DE GUZMÁN, M. (1984). Juegos matemáticos en la enseñanza. Actas de las IV
Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas. Santa Cruz de
Tenerife, 10-14.
DE GUZMÁN, M. (1989). Juegos y matemáticas. Revista Suma 4. Disponible en:
https://revistasuma.es/IMG/pdf/4/061-064.pdf (consultado el: 30 de enero de
2017).
FUENTES, J. (2016). Transición de Educación Infantil a Educación Primaria:
algunas reflexiones desde la modelización y la comunicación en matemáticas.
Trabajo de fin de Grado, Universidad Rey Juan Carlos.
GARCÍA, A. (S.F) Dinámica de aula: atención a la diversidad y propuestas para
el desarrollo de un clima de convivencia que facilite el proceso de enseñanza y
aprendizaje. Disponible en:
http://recursos.cepindalo.es/moodle/file.php/213/moduloIIIb/at_diversidad.pdf
(consultado el: 30 de marzo de 2017).
GARCÍA, S. (2015). Aprender a aprender: competencia básica en el marco
europeo de la educación obligatoria. Revista de estudios e investigación en
psicología y educación, ISSN-e 2386-7418, nº 1.
GINSBURG, H. (1997). Mathematics Learning Disabilities: A view from
developmental psychology. Journal of Learning Disabilities, 30(1), 20-33.
La multiplicación en 2º de primaria: Una propuesta desde el trabajo manipulativo.
Jennifer Montiel Domínguez
-
-
-
-
-
-
-
-
46
GODINO, J.D, BATANERO, C.Y FONT, V. (2003). Fundamentos de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para maestros. Granada:
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
GODINO, J. D. (2004). Didáctica de las matemáticas para maestros. Granada:
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
GÓMEZ, M. (2013). Tema 3: teorías de la educación. Material no publicado.
GONZALEZ MARÍ, J.L. Recursos, Material didáctico y juegos y pasatiempos
para Matemáticas en Infantil, Primaria y ESO: consideraciones generales.
Didáctica de las matemáticas, Universidad de Málaga.
LEY 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa (LOMCE).
Disponible en: https://www.boe.es/diario_boe/txt.php?id=BOE-A-2013-12886
(consultado el: 7 de febrero de 2017).
LEY ORGÁNICA 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE). Disponible en:
https://www.boe.es/buscar/pdf/2006/BOE-A-2006-7899-consolidado.pdf
(consultado el: 7 de febrero de 2017).
MOLINA, C., VALLE, M., ALVARADO, J., BOLAÑOS, O., Y MARTÍNEZ, L.
(Sf). Software Educativos Libres como herramientas didácticas para la enseñanza
de las Matemáticas. Disponible en: http://www.rebelion.org/docs/182070.pdf
(consultado el: 16 de mayo del 2017).
MONTESSORI, M. (1915). Autoeducación. Pedagogía científica. Barcelona:
Araluce.
OECD (2003). Informe PISA. Aprender para el mundo de mañana. Disponible en:
https://www.oecd.org/pisa/39732493.pdf (consultado el: 6 de febrero de 2017)
PÉREZ, G. (1998). Investigación Cualitativa, Retos e Interrogantes: II Técnicas
y análisis de datos. Editorial la Muralla, S.A. Madrid
PRIETO, B. (s.f). Materiales manipulativos en el proceso de enseñanzaaprendizaje de las matemáticas. Universidad de Valladolid.
REAL DECRETO 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo
básico de la Educación Primaria. Disponible en:
http://www.boe.es/boe/dias/2014/03/01/pdfs/BOE-A-2014-2222.pdf (consultado
el: 7 de febrero de 2017).
REGUERA, P., GARCÍA, M., PUYANES, N., Y SÁNCHEZ, I. (2015).
Matemáticas 2º de primaria saber hacer (mochila ligera). Madrid: Santillana.
RICO, L. (1997). La educación matemática en la enseñanza secundaria.
Barcelona: Horsori.
SCHUNK, H. (1997). Teorías del aprendizaje. México: Prentice hall Hispano
Americana S.A.
SEGOVIA, I Y RICO, L. Matemáticas para maestros de Educación Primaria.
Madrid: Pirámide.
VILLABRILLE, B. El juego en la enseñanza de las matemáticas. Disponible en:
http://goo.gl/FKJZZR (consultado el: 5 de febrero de 2017).