Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez PROBLEMAS RESUELTOS DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS 7) Una pelota de tenis de 60 g lleva una velocidad horizontal de 10 m/s cuando se le aplica un raquetazo (ver la figura). Después de este, la velocidad de la pelota es de 25 m/s (también horizontal) y forma un ángulo de 15o con la dirección inicial. Si el tiempo de contacto es de 0.05 s, determinar la fuerza media (en módulo, dirección y sentido) que le aplica la raqueta. 1 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 8) Se dispara una granada de 5 kg con una celeridad inicial de 250 m/s y una dirección de 65º, según se indica en la figura. En el punto más alto de su trayectoria, explota la granada partiéndose en dos. El pedazo de 2 kg llega al suelo en x = 700 m, y = 2600 m, en el instante t = 45 s. a) Obtener cuándo y dónde llegará al suelo el pedazo de 2 kg. b) Determinar el módulo de la fuerza media que actúa durante la explosión, si la misma dura un tiempo de 0.008 s. Determinar las coordenadas espaciales de la explosión: Numeramos las partículas, antes y después de la explosión Ecuaciones del movimiento de la partícula 1: la partícula 1 explota en el punto más alto, encontremos las coordenadas donde explota y el instante donde explota. 2 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Tras la explosión: Cinemática de la partícula 2. de donde resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, dado por la ecuación vectorial anterior, obtenemos las coordenadas de la velocidad inicial de la partícula 2. Tras la explosión: Cinemática y dinámica de la partícula 3. Conservación del momento lineal 3 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez sustituyendo los valores numéricos obtenemos: t- > 48.1044 La posición de la masa 3 una vez llegada al suelo es: Determinar el módulo de la fuerza media que actúa durante la explosión si la misma dura un tiempo de 0.005 s: Determinamos la fuerza media que ocurre durante la explosión, a partir del teorema del momento lineal. La explosión de la masa 1, y su conversión en la masa 2 y 3, se describe como dos cambios de momento, en los cuales las partículas 2 y 3 antes de explotar llevan la velocidad de la partícula 1, justo en el instante de la explosión y después de explotar, las velocidades de las partículas 2 y 3 justo después de la explosión. 4 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 9) Considerar el sistema de tres partículas de igual masa (m) mostrado en la figura. Una partícula está localizada en el origen del sistema de referencia, otra se encuentra a una distancia 2b del origen a lo largo del eje y, y la tercera se encuentra a una distancia b del origen a lo largo del eje x. En el instante inicial las dos primeras partículas se encuentran en reposo, y la tercera se mueve en la dirección positiva del eje y con celeridad vo. Determinar: a) La posición del centro de masas del sistema en el instante inicial. b) La velocidad del centro de masas en el instante inicial. c) Si sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores, ¿cuál será la velocidad del centro de masas 10 s después del iniciado el movimiento. d) ¿Cuál será la velocidad de la tercera partícula, la que inicialmente tenía velocidad, 10s después de iniciado el movimiento? a) La posición del centro de masas del sistema en el instante inicial. b) La velocidad del centro de masas en el instante inicial. 5 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez c) Si sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores, ¿cuál será la velocidad del centro de masas 10 s después del iniciado el movimiento. Si el sistema está aislado, no actúan fuerzas exteriores, la velocidad del centro de masas permanece constante. d) La velocidad de la partícula dependerá de las fuerzas interiores del sistema. 11) Dos bloques de masas m1 y m2 respectivamente están en contacto con los lados opuestos de un muelle de longitud naturall0, y constante k. El muelle se comprime una longitud l < l0, colocando una cuerda de manera que mantenga a ambos bloques en esta separación. Los bloques se encuentran sobre una superficie horizontal, de rozamiento despreciable, y orientados de manera que la línea de separación entre ellos, sea paralela al eje x, como se muestra en el siguiente. En un instante dado se corta la cuerda y los bloques se mueven. Determinar: a) Velocidad del centro de masas justo en el instante en que se corta la cuerda. b) Velocidad de las partículas 10 segundos después de que se corte la cuerda. c) Velocidad del centro de masas del sistema 10 segundos después de que se corte la cuerda. a) Si consideramos los dos bloques y el muelle como un sistema, las únicas fuerzas que actúan sobre el mismo son la gravedad y la reacción normal de la superficie. Estás dos fuerzas se compensan, puesto que no hay aceleración vertical del sistema, y la resultante total del sistema es nula. Puesto que el cm inicialmente se encontraba en reposo, la velocidad del centro de masas es nula, vcm / o 0 . Suponiendo que la masa del muelle es nula, esta última ecuación describe la cinemática de los dos bloques. b) En ausencia de fricción tanto la energía mecánica como el momento se conservan, de manera que a partir de estas dos ecuaciones, podemos obtener las velocidades de los dos bloques, tras la rotura de la cuerda. Llamaremos instante inicial al tiempo justo antes de la rotura de la cuerda, e instante final al tiempo justo después de la rotura. 6 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Sustituyendo la ecuación de la conservación del momento, (6) en la ecuación de la conservación de la energía (9), obtenemos: cuya resolución es: Sustituyendo la expresión de v2 en la ecuación 6 obtenemos: Debido a la ausencia de rozamiento, tras la rotura de la cuerda, las velocidades de las partículas permanecen constantes. c) Velocidad del centro de masas del sistema 10 segundos después de que se corte la cuerda. Puesto que la resultante de las fuerzas externas es nula, la velocidad del centro de masas permanece constante, y en todo instante de tiempo es nula. 7 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 11) A una caja de 10 kg que descansa sobre una superficie horizontal, según se indica en la figura, se le aplica una fuerza F horizontal, tal que el módulo de la misma varía con el tiempo según se muestra en la gráfica. Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético valen 0.4 y 0.3, respectivamente, determinar: a) El instante de tiempo en el que la caja comienza a deslizar. b) La máxima velocidad de la caja y el instante en que la alcanza. c) El instante de tiempo en el cual cesa el deslizamiento. Realizamos el diagrama de sólido libre de la masa de 10 kg: Aplicando las leyes de Newton: Sobre la masa actúa en el eje horizontal la fuerza impulsiva F (t ) y otra fuerza que depende del tiempo, la fuerza de rozamiento Fr , pero cuya dependencia con t desconocemos. El impulso mecánico de las fuerzas que dependen del tiempo será nulo, hasta el instante t1 en que la masa m comienza a moverse, llegará a un máximo en el instante t2, en que la fuerza de rozamiento sea igual a la fuerza de rozamiento cinética, a partir de t2 8 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez comienza a decrecer y valdrá cero cuando la masa deje de deslizar, en el instante t3. La caja comenzará a moverse, una vez que la resultante de las fuerzas horizontales sea mayor que la fuerza de rozamiento máximo. Sea t1 el instante donde la fuerza impulsiva F (t ) iguala a la fuerza de rozamiento máximo, sea t2 el instante de tiempo cuando F (t ) se iguala al decremento de la fuerza de fricción cinética, y sea t3 el instante de tiempo cuando la caja comienza a dejar de deslizar. a) El instante de tiempo en el que la caja comienza a deslizar. En el intervalo 0 < t < t 1, la caja está en reposo: el bloque comenzará a deslizar justo en el instante t 1 en que la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo: en la figura siguiente representamos el instante t1. En el plano (t, F), a partir de la recta que une (t1, 39.240) con (10, 50), podemos determinar t1. La ecuación de la recta es: 9 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez b) La máxima velocidad de la caja y el instante en que la alcanza. Instante en que alcanza la máxima velocidad: Máxima velocidad alcanzada: 10 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez c) El instante de tiempo en el cual cesa el deslizamiento. Para tiempos posteriores a t2, t > t2, el impulso mecánico que actúa sobre el bloque y por lo tanto la velocidad del mismo, decrece hasta que se hace nulo, en un instante t3 tal que: En ese instante de tiempo la fuerza F tiene un valor: 11 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez P.-Determinar el centro de masa de una varilla rectilínea, de sección transversal constante, y cuya densidad lineal de masa va aumentando linealmente conforme nos distanciamos de uno de sus extremos, siguiendo la ley: 0 kx Tomemos el eje x a lo largo de la varilla; la densidad lineal vendrá expresada en la forma 12 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez P. Un cuerpo cae verticalmente, explota en dos fragmentos iguales cuando se encuentra a una cierta altura de 2000 m y tiene una velocidad de caída de 60 m/s. Inmediatamente después de la explosión uno de los fragmentos se mueve hacia abajo a 80 m/s. Obtener la posición del centro de masas del sistema 10 s después de la explosión. Resolveremos el problema de dos maneras equivalentes. En primer lugar usaremos la proposición que acabamos de demostrar, el cm tiene velocidad constante si las fuerzas exteriores tienen impulsos nulos, en segundo lugar usaremos la conservación del momento lineal.La figura muestra un esquema de la situación. En t = 0 s el cuerpo se encuentra en y0 = 2000 m respecto de un punto ubicado verticalmente abajo, escogido como referencia arbitraria, moviéndose libremente en el vacío, sujeto a la fuerza de atracción gravitacional. En consecuencia, su movimiento es uniformemente acelerado, siendo su aceleración de magnitud igual a g. En t = 10 s ocurre una explosión, generada por fuerzas internas que cumplen la tercera ley de Newton, por lo tanto las fuerzas internas, de acción y reacción, no generan impulso mecánico, y la única fuerza externa es el peso, cuyo impulso mecánico es despreciable, puesto que la explosión transcurre en un intervalo de tiempo muy pequeño. Así pues el momento lineal del sistema se mantiene constante antes y después de la colisión y por lo tanto la velocidad del centro de masas permanece constante: Resolvamos ahora el problema haciendo uso de la conservación del momento lineal y de la definición de centro de masas del sistema de partículas. Despejando la vm2/O : 13 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Calculemos ahora la posición del centro de masas: P. Amortiguamiento en una caída. Estimar desde que altura puede caer un hombre, cuyas piernas tienen una longitud l, sin lastimarse, suponiendo que cae de pie y amortigua el impacto sobre el piso, doblando las piernas. Justificar si el sistema hombre-suelo se puede considerar aislado en el choque, entendiendo por choque el proceso que se extiende desde que los pies tocan el suelo con las piernas estiradas, hasta que el movimiento se detiene y las piernas están flexionadas. Tener en cuenta que la resistencia mecánica del esqueleto, para que el saltador no se rompa los huesos, es aproximadamente de 10 veces el peso del mismo. Consideremos la colisión del hombre, de las piernas del hombre con el suelo. Las fuerzas que actúan sobre el hombre son el peso, W ; fuerza externa y la reacción del suelo sobre el hombre, que despreciando rozamientos será toda normal, N , la fuerza normal de contacto normal debida a la impenetrabilidad del suelo, se desconoce de antemano. Supongamos que el sistema de partículas hombre-suelo se puede tratar como aislado, esto es el impulso mecánico del peso se considera despreciable, y se conserva la cantidad de movimiento en la colisión. ¿ Cómo podemos verificar esta hipótesis en el cálculo?. Nuestra hipótesis implica que durante el intervalo t que dura el frenado podemos despreciar el impulso del peso. 14 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Consideremos el instante de tiempo en el cual los pies del hombre toman contacto con el suelo, hasta que el hombre queda quieto con las piernas flexionadas y no quebradas. En el instante t1, cuando el saltador llega al suelo tras saltar de una altura h su velocidad es v1 2 gh . Entre el instante 1 y el 2, el saltador decelera flexionado las piernas, supongamos que esta deceleración es constante, si podemos considerar nuestro sistema como aislado, llamemos a esta deceleración a . Si la longitud de las piernas es l, la velocidad final del saltador, una vez haya flexionado las piernas es aproximadamente v 2 2 a l l. Bajo la hipótesis de que el sistema es aislado y el momento se conserva entre los instantes 1 y 2, esas dos velocidades tienen que valer lo mismo: Estimemos el valor de la deceleración a . Para que el saltador no se rompa las piernas N F * 10 mg , según expresa el enunciado en la resistencia mecánica del esqueleto. En el límite: de donde: Luego la máxima altura desde la cual se puede caer sobre un piso rígido sin lastimarse es unas 10 veces la longitud de las piernas. Considerando una longitud media para las piernas de unos 0;75 m, la máxima altura desde la cual se puede caer sobre un piso rígido sin lastimarse más es alrededor de unos 7.5 m, aproximadamente la altura de un segundo piso (Se ruega encarecidamente al lector que no intente obtener una comprobación experimental) de la estimación realizada. Falta verificar que se cumple nuestra hipótesis de sistema aislado. El tiempo de frenado es t 2l , durante el cual a ocurre una variación de momento debido al impulso mecánico de la fuerza interna, en int este caso la normal, de I ma t . Por otra parte la variación de impulso mecánico de la fuerza externa, en este caso el peso durante el tiempo de frenado, vale I ext mgt , de manera que: 15 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez P.-Una pieza de maquinaria, de masa M, está constituida por un disco de material homogéneo, de radio R, al que le falta una porción circular de radio R/2, tal como se indica en la figura: a) Determinar la posición del centro de masas. Solución: P.-Los centros de tres esferas están en línea recta sobre un plano horizontal, no se tocan entre sí y sus masas son m1, m2 y m3, tal que m1 = 5m2. La primera se mueve hacia la derecha con una velocidad V1= V, mientras que las otras están en reposo. Después del segundo choque, la segunda ,, esfera se mueve con una velocidad V 2 V hallar: a) La masa m3. b) Número de choques que se producen y velocidades finales de cada partícula. Se supone que todos los choques son elásticos. Solución: P.-Localizar el centro de masas de la siguiente figura plana de densidad superficial de masa σ (homogénea). Y σ 45 mm 27 mm 45 mm X 16 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez PROBLEMAS DE MASA VARIABLE Problema .1 La capsula de la primera etapa de un cohete de dos, pesa 500 N vacía, transporta un peso de 3750 N de combustible que quema a razón de 100 N/s y lo expulsa a 2100m/s. Cuando se ha agotado el combustible de la primera etapa, se desprende su capsula y se enciende la segunda. Esta segunda capsula pesa 375 N vacía y contiene 2750 N de combustible que se quemará a razón de 75 N/s y lo expulsa a 2100 m/s. Si se utiliza este cohete para lanzar un cuerpo (carga útil) de 250 N de peso, obtener: a) Empuje inicial que se ejerce sobre el cuerpo. b) Velocidad del cohete cuando se desprende la primera etapa. c) Máxima velocidad del cuerpo que se lanza. a) Empuje inicial que se ejerce sobre el cuerpo A partir del enunciado del problema deducimos que: b) Velocidad del cohete cuando se desprende la primera etapa. Aplicamos la segunda ley de Newton para sistemas de masa variable. La única fuerza externa es el peso, por lo tanto la resultante de las fuerzas externas en cada instante de la dinámica es el peso del cohete. 17 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Escribiendo por comodidad de notación: obtenemos la siguiente expresión para la aceleración: Integrando la ecuación del movimiento (5), obtenemos la velocidad en todo instante de tiempo. Masa inicial del cohete: donde: m1 = masa de fuselaje inicial de primera etapa mco1 = masa de combustible inicial de primera etapa m2 = masa de fuselaje inicial de segunda etapa mco2 = masa de combustible inicial de segunda etapa mu = masa de carga útil a depositar en órbita. Masa del cohete mientras se quema el combustible de la primera etapa Ecuación diferencial del movimiento mientras se quema el combustible de la primera etapa 18 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Veamos al ritmo que se quema la masa de la primera etapa: donde b1 100 kg / s . Para determinar k, tenemos en cuenta que inicialmente 9.81 conocemos la masa de combustible no quemado: Veamos el instante en que se ha quemado todo el combustible de la primera etapa Instante en que se quema todo el combustible de la primera etapa, llamaremos a ese tiempo t1 19 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Velocidad del cohete cuando se ha quemado la primera etapa c) Máxima velocidad del cuerpo que se lanza. Ecuación diferencial del movimiento para la segunda etapa Veamos el instante en que se ha quemado todo el combustible de la segunda etapa 20 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Instante en que se quema todo el combustible de la primera etapa, llamaremos a ese tiempo t2 Problema .2 Una cadena flexible de longitud total L y de masa total M se suspende de modo que su extremo inferior está justo al nivel del suelo y se suelta. Determine la reacción que ejerce el suelo sobre el montón que se acumula mientras la cadena cae. (Se supone que los eslabones son infinitesimales y que no rebotan en el suelo). 21 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Consideramos al montón de cadena que se acumula en el suelo como un sistema de masa variable Problema .3 Una cadena de 6 m de longitud y densidad 0.5 kg/m está amontonada en el suelo como muestra la figura. Su extremo superior está unido a un hilo ligero que pasa sobre una polea pequeña y exenta de rozamientos; del otro extremo del hilo pende un bloque de 1.5 kg. Si se suelta el sistema a partir del reposo con y0 = 1m (un metro de cadena levantada), determinar: a) La máxima celeridad hacia arriba que alcanzará el extremo superior de la cadena. b) La máxima altura alcanzada por la parte superior de la cadena. c) Tensión del cable para cualesquiera distancia y. d) La aceleración de la masa de 1.5 kg en cualquier instante. e) Aceleración de la masa de 1.5 kg cuando y = 3m. 22 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez a) La máxima celeridad hacia arriba que alcanzará el extremo superior de la cadena. La rama izquierda de la polea es un sistema de masa variable, puesto que m = m(y), e y = y(y), de manera que m = m(t). Aplicaremos la segunda ley de Newton para sistemas de masa variable: donde, R simboliza el sumatorio de fuerzas externas sobre el elemento de masa variables, a la aceleración del sistema de masa variable, y v la velocidad del sistema de masa variable. Al ser la cadena homogénea: Separando variables Dividiendo la ecuación anterior por l, y agrupando factor común en a: Para obtener una diferencial exacta en la ecuación anterior, multiplicamos y dividimos por "Multiplicando por dy e integrando" 23 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Donde hay que determinar k a partir de las condiciones iniciales, t = 0, v (y=1) =0 Introducimos el valor de k en la expresión de v(y) a) La máxima celeridad hacia arriba que alcanzará el extremo superior de la cadena. 24 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez b) La máxima altura alcanzada por la parte superior de la cadena. La máxima altura que alcanzará. Por lo tanto la cadena sube hasta la distancia donde la velocidad se hace cero, el contrapeso de 1. 5 kg no puede hacer subir toda la longitud de cadena posible. c) Tensión del cable y d) aceleración de M para cualesquiera distancia y. Tomamos las ecuaciones de la dinámica, introducimos la función v(y) y despejamos a y T. 25 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez e) Aceleración de la masa de 1.5 kg cuando y=3 m. 26 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .3 El ensamble mecánico mostrado en la figura, se corresponde con un sistema de combustible de un reactor nuclear, tiene un peso de 3000 N. Suspendido en una posición vertical en H y en reposo inicialmente, se le suministra una velocidad de subida de 1.5 m/s en 0.3 s. Determinar la tensión media que actúa en los cables AB y AC durante este intervalo de tiempo. 27 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 28 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .4 El pilón P tiene una masa de 800 kg y está 29 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 30 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 31 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .5 Tres esferas idénticas, A, B y C están en línea recta sobre un plano horizontal. Se lanza A contra B con una velocidad de 4 m/s (B y C están en reposo, inicialmente). Determinar cuántos choques se producen, y las velocidades de las tres partículas tras ellos, sabiendo que el coeficiente de restitución es e = 0.5. 32 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .6 Una cuña de masa M = 100 kg y ángulo θ = 35º descansa sobre un cuerpo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sobre la cuña se encuentra un cuerpo de masa m = 70 kg que puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie de la cuña, bajo la acción de la gravedad. Considerando que en el instante inicial el sistema se encuentra en reposo y H = 2m, calcular: Velocidad de la cuña y del cuerpo cuando el cuerpo ha descendido una distancia vertical de 1.25 m. 33 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .1 Una barra delgada uniforme, AB, de 3 kg de masa y 800 mm de longitud cuelga de un plano vertical por un pivote exento de rozamientos y recibe el impacto de una bala de 0.03 kg que queda incrustada en ella, como muestra la figura. Si la velocidad inicial de la bala es de 350 m/s, determinar: a) Velocidad de rotación del conjunto bala-barra inmediatamente después del impacto. b) La fuerza media de contacto entre la barra y la bala, para una duración del impacto de 0.001 s. c) El módulo medio de la fuerza que sobre la barra ejerce el pasador, exento de rozamiento, situado en A, para una duración del impacto de 0.001 s. d) El máximo ángulo que girará la barra después del impacto. 34 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Teniendo en cuenta la tercera ley de Newton: La fuerza que ejerce la bala sobre la barra es la misma y de sentido opuesto que la que ejerce la barra sobre la bala. Aplicando el teorema del momento lineal a la bala, antes y después del impacto: Aplicando el teorema del momento lineal a la barra, antes y después del impacto: 35 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 36 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .2 Un hombre tira de un cable de masa despreciable como muestra la figura. El cable pasa por una polea de masa despreciable y rozamiento nulo, y termina en un gancho H, de masa despreciable, que recoge una cadena de densidad lineal de masa λ = 2 kg/m. El hombre de la figura ejerce una fuerza sobre el cable tal que el gancho H asciende con velocidad constante de 0.4m/s. Inicialmente la cadena de la figura se encuentra en reposo sobre el suelo. Determinar: a) El empuje que actúa sobre la cadena en todo instante de tiempo. b) La fuerza que el hombre ejerce sobre el cable en todo instante de tiempo. Problema .3 Un cubo de masa M (cuando está vacío) está sujeto por una cuerda a una polea. El cubo está ascendiendo desde un pozo y contiene una masa inicial de agua m. La cuerda ejerce una fuerza constante F sobre el cubo con el agua. El cubo tiene agujeros en su base por la que escapa el agua a un ritmo constante tal que el cubo está vacío después de un tiempo T. a) Determinar la masa de agua del cubo en todo instante de tiempo b) Determinar el empuje que sufre el cubo. c) Velocidad del cubo en el instante en que se queda vacío. 37 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .4 Un coche de carbón vacío de masa m0 parte del reposo bajo la acción una fuerza aplicada de magnitud F. Al mismo tiempo, el carbón empieza a llenar el coche a un ritmo constante b, desde una tolva de carbón en reposo a lo largo de la pista, dispuesta para tal uso. a) Encontrar el empuje que actúa sobre el vagón. b) Encontrar la velocidad del vagón cuando una masa de carbón mc ha sido transferido al vagón. 38 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 39 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .5 Un vagón de carga de la masa mc = 1000 kg contiene una masa de arena ms = 300 kg. En t = 0 una fuerza horizontal constante de magnitud F = 10 N se aplica en la dirección del desplazamiento y, al mismo tiempo se abre un orificio en la parte inferior, para permitir que el flujo de arena salga del vagón a una tasa de constante de 10 g/s. Encontrar: a) El empuje que sufre el vagón. b) La velocidad del vagón de carga en todo instante de tiempo. c) La reacción del suelo sobre el vagón, suponiendo rozamiento despreciable, en todo instante de tiempo. d) La velocidad del vagón cuando el vagón se ha vaciado. 40 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez Problema .3 Obtener la posición del centro de masas, respecto al referencial dado, de un semiaro uniforme de radio R y cuya densidad de masa lineal, aumenta linealmente conforme nos desplazamos por la misma en sentido horario. 41 Sistemas de partículas Grado de ingeniería – Física –Curso2016/2017 Juan José Miralles Canals – Manuel Sánchez Martínez 42
