Funciones Lineales: Problemas Resueltos y Aplicaciones Prácticas

“AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LA SOBERANÍA NACIONAL”
FUNCION LINEAL
ÁREA:
Pensamiento Lógico
DOCENTE:
Jacinto Gutiérrez Alarcón
CICLO: I
INTEGRANTES:





Serrano Díaz Luz Maribel
Asenjo Gonzales Jeysson Hansler(No trabajó)
Izquierdo Abanto Dorelly Mercedes
Hinostroza Robles Jorge Edinson (No trabajó)
Vílchez Benites Cesar Augusto
2022
PENSAMIENTO EN ACCIÒN
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1. Recibo de energía eléctrica.
En el siguiente recibo (mayo 2022) de un usuario, se muestra el detalle del consumo y el detalle de
importes:
a. Complete todos los detalles de consumo y de importes.
DETALLE DEL CONSUMO
Lectura actual (20/05/2022)
Lectura anterior (21/04/2022)
Consumo (kWh)
Precio de 1 kWh
15006
14793
213
S/ 0.6521
DETALLE DE IMPORTES (S/)
Reposición y mantenimiento de conexiones
Cargo fijo
Cargo por energía
Alumbrado público
SUBTOTAL (mes actual)
I.G.V.
TOTAL (mes actual)
1.29
3.16
138.8973
11.00
154.3473
18%
27.782514
b. Represente la ecuación de la función lineal “cargo por energía”.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Lectura actual: 15006
C=L2-L1
Lectura anterior: 14793
C=15006-14793
Consumo: C =?
C=213
Precio de 1 KWH=P: s/0.6521
Ce=C*P
Cargo por energía: Ce=?
Ce= 213*0.6521
Ce=138.8973
Interpretamos el resultado: El cargo por energía fue S/138.8973
c. De mantenerse constante los montos de la reposición y mantenimiento de conexiones, el cargo
fijo y el alumbrado público, para junio 2022, represente la ecuación de la función lineal del
“subtotal”, luego calcule el subtotal para un consumo de 225 kWh
Identificamos los datos
significativos
• Reposición y mantenimiento de
Conexiones = 1.29
• Cargo fijo = 3.16
• Alumbrado público = 11.00
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
C = 138.8973 - 154.3473
C = 15.45
C = 154.3473 X 225
C = 34.728
Interpretamos el resultado: Subtotal para un consumo de 225 kWh es 34.728
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2. La compra de un departamento en comas
El señor Abraham está interesado en comprar un departamento en las Torres de las Cerezas, del
distrito de Comas, Lima, a la inmobiliaria Nexus S.A. El inmueble está valorizado en S/200 900 con
una cuota inicial mínima del 10% a un plazo máximo de 20 años, cuenta con el beneficio del programa
Mi vivienda, el bono del buen pagador (BBP) y el bono verde. Asimismo, deberá tener un buen
comportamiento en el Sistema Financiero, sustentar ingresos netos de S/3300 netos a través de boletas
de pago con una antigüedad laboral mínima de 12 meses consecutivos + una DJ o Constancia de
ingresos adicionales + título de profesión, los empleadores deberán de estar bien reportados en el
Sistema Financiero.
Simulación Hipotecaria
Valor venta
Cuota inicial (10%)
BBP
Bono verde
Préstamo bancario
(valor venta - cuota inicial – BBP – Bono verde)
Valor de cuota mensual (1.02% del valor del préstamo
bancario).
Montos (en soles)
200 900
19 600
5 400
155810
1589.262
(*) Plazo de 20 años. La cuota mensual y todos los cálculos posteriores van con dos decimales.
(**) Cuota aproximada, el Banco podría dejar sin efecto dicha Simulación Hipotecaria sin previo aviso dependerá del
entorno financiero, cambio de producto, política u otras variables.
a. ¿Cuál es el valor del préstamo bancario y el valor de la cuota mensual?
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
Identificamos los datos significativos
•Préstamo bancario
(valor venta – cuota inicial – BBP – Bono
verde)
(valor venta – cuota inicial – BBP – Bono verde)
•Valor de
200900-20090-19600-5400= 155810
cuota mensual
(1.02% del valor del préstamo bancario).
(1.02% del valor del préstamo bancario).
=155810*1.02% = 1589.262
Interpretamos el resultado: El señor Abraham deberá pagar el 1.02% del préstamo
bancario mensualmente un pago de 1589.262 soles
b. Determine la ecuación de la función pago total acumulado por Abraham en relación con el número
de cuotas pagadas. Considere la cuota inicial en dicha ecuación.
Identificamos los datos significativos
•Número de cuotas pagadas: 20 años
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
PT(X) = (1589.262(meses)) – 20090
•Cuota inicial: 20090
•Función pago total acumulado: F(PX)
•Valor cuota mensual:1589.262
Interpretamos el resultado: PT(X) = (1589.262(meses)) – 20090
c. ¿Cuánto habrá pagado en total (acumulado) hasta los 12 años 5 meses por el departamento?
Identificamos los datos
significativos
•Tiempo = 12 años y 5 meses
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
PT (X)= (1589.262(149)) - 20090
PT (X)= 216 710
Interpretamos el resultado: El valor de 216710 habrá en total en 12 años y 5 meses
d. ¿Cuánto pagaría (acumulado) finalmente por el departamento en el plazo de 20 años?
Identificamos los datos
significativos
•
Tiempo = 20 años
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
PT(X)= (1589.262(240))-20090
PT(X)= 361 333
Interpretamos el resultado:Pagará por el apartamento en un plazo de 20 años 361 333
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 3.
Waterlight: así es la lámpara que funciona con agua de mar
Se trata de un dispositivo que proporciona energía eléctrica utilizando agua salada. La lámpara puede
producir luz durante 45 días con sólo medio litro de agua de mar y ha sido diseñada para ofrecer una
solución al problema de la ausencia de energía eléctrica del pueblo indígena wayú.
¿Cómo funciona?
Esto ocurre gracias a la ionización de un electrolito compuesto de agua
salada, que convierte el magnesio de su interior en electricidad. Así lo
explica al área de Material Eléctrico Miguel Ángel Mojica, el diseñador del
producto, un colombiano afincado en Valencia. "La lámpara cuenta con tres
módulos, el agua entra por arriba y se somete al proceso de ionización al
bajar. De esta manera, lo que consigue el agua salina es recargar la
batería", señala sobre una lámpara que puede generar hasta 4,5 voltios
y producir luz durante 45 días sólo con medio litro de agua salina.
Fuente:
y: Tiempo de producción de luz
(días)
https://material-electrico.cdecomunicacion.es/noticias/sectoriales/47637/lampara-que-funciona-con-agua-demar#:~:text=Se%20trata%20de%20un%20dispositivo,el%C3%A9ctrica%20del%20pueblo%20ind%C3%ADgena%20
way%C3%BA.
50
B (500 ; 45)
40
30
20
A (0; 0)
10
0
0
100
200
300
400
x: Cantidad de agua de mar (ml)
500
600
a. Calcule el valor de la pendiente.
Identificamos los datos
significativos


Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
A=(0,0)
Valor de la pendiente: A = (0,0)
Valor de la pendiente: B = (500,45)
B=(500,45)
M=
𝑌2 − 𝑌1 = 45 – 0 = 45 = 0.09
𝑋2 − 𝑌1 500 − 0
500
Interpretamos el resultado: Es una pendiente positiva ya que es (m>0) una
pendiente creciente.
b. Determine el modelo matemático del tiempo de producción de luz en función a la cantidad de
agua de mar.
Identificamos los datos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
significativos
estrategia
Tiempo de producción= 45 días
Y = MX + B
¿Cantidad de agua de mar X=?
Y = TIEMPO DE PRODUCCION DE LUZ + CANTIDAD DE
AGUA DEL MAR
Y = (DIAS) + (ML)
Interpretamos el resultado: El modelo matemático del tiempo de producción de
la luz en función a la cantidad de agua de mar es 500 ml
c. ¿Cuánto tiempo funcionará la lampara si tiene 150 ml de agua de mar?
Identificamos los
datos significativos
Función=X
Agua de mar =150ml
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Y=MX+B
Y=150÷11.1
Y=13.5
Interpretamos el resultado: Con 150 ml de lámpara de agua de mar funcionara
13.5 días.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 4. Casos de feminicidio.
El feminicidio se refiere a la violencia contra las mujeres. Los casos fueron aumentando con el
paso de los años. La tabla 1 muestra los casos ocurridos desde el año 2015 al 2018.
Tabla 1
Perú: casos de feminicidio, 2015-2018
Cantidad de víctimas
de feminicidio
84
106
131
150
Año
2015
2016
2017
2018
Fuente (página 18): https://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/publicaciones_digitales/Est/Lib1659/cap02.pdf
a. De la tabla 1, use solamente los datos reales de la cantidad de feminicidios en los años 2015 y
2018 para encontrar el valor de la pendiente. Considere x=0 para el año 2015; x=1 para el año
2016; y así sucesivamente.
Identificamos los datos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
significativos
Años / Feminicidio
(X;Y)=(0;84);(1;106);(2;131);(3;150)
2015
84
M=106 – 84/0-1
2016
106
M= 22/-1
2017
131
M= -22
2018
150
Interpretamos el resultado: La pendiente de los feminicidios entre los años 2015 y
2018 es -22
b. Determine la ecuación de la cantidad de feminicidios en función a los años transcurridos. Use los
datos del paso “a”.
Identificamos los datos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
significativos
(X;Y)= (0;84);(1;106)
Y= mx + b
106= -22(1) + b
106+22=b
128 = b
𝐹𝑥 = -22 + 128
Interpretamos el resultado: La función lineal de los años transcurridos es 𝐹𝑥 = -22+128
c. Al realizar el ajuste lineal de los datos de la tabla 1 obtenemos la ecuación estimada
(y=22.3x+84.3) cuya gráfica se muestra en la figura 1. ¿Qué diferencias encuentras con respecto
a la ecuación obtenida en el paso “b”?
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
Identificamos los datos significativos



Tiempo: 4 años x =2019 - 2015 = 4
Ecuación f(x) = 22x +84
Estime la cantidad defeminicidios
F (4) = 22(4) + 84
F (4) = 88 + 84
F (4) = 172
para el
año 2019
Interpretamos el resultado: : La cantidad estimada de feminicidios para el año 2019 está
de 172.
Figura 1
y: Número de víctimas por
feminicidio
Ecuación estimada de la cantidad de feminicidios
160
140
120
100
80
60
40
20
0
y = 22.3x + 84.3
R² = 0.9975
0
1
2
3
x: Tiempo (años)
x=0 (año 2015); x=1 (año 2016); ...
d. Empleando las ecuaciones del paso “b” y “c” estime la cantidad de feminicidios para el año 2019.
Identificamos los datos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
significativos
Y = x/22 + 2011,18 y = 22,3n + 84,3
X + 2011,18x = 0(2015)84x = 1
22
(2016) 106x = 2
(2017) =131x = 3
(2018) = 150x = 4
(2019) = 216
Interpretamos el resultado: Para el año 2019 es de 216 víctimas.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 5. Población penitenciaria por delito de feminicidio.
La población penitenciaria recluida por feminicidio muestra una tendencia creciente desde el año
2015 hasta el año 2015 según se observa en la tabla 2.
Tabla 2
Evolución de la población penitenciaria recluida por feminicidio, 2015-2019
Población penitenciaria por
delito de feminicidio
182
236
354
484
548
Año
2015
2016
2017
2018
2019
Fuente (página 47): https://conadisperu.gob.pe/observatorio/wp-content/uploads/2021/05/Feminicidio-y-violenciacontra-la-mujer-2015-2019.pdf.
a. De la tabla 2, use solamente los datos reales de la población penitenciaria por delito de feminicidio
en los años 2015 y 2019 para encontrar el valor de la pendiente. Considere x=0 para el año 2015;
x=1 para el año 2016; y así sucesivamente.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Años / Feminicidio
(X;Y)=(0;182);(1;236);(2;354);(3;484);(4;548)
2015
182
M=236 – 182/0-1
2016
236
M= 54 /-1
2017
354
M= -54
2018
484
2019
548
Interpretamos el resultado: La pendiente de los feminicidios entre los años 2015 y
2019 es -54
b. Determine la ecuación de la población penitenciaria por delito de feminicidio en función a los
años transcurridos. Use los datos del paso “a”.
Identificamos los datos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
significativos
(X;Y)= (0;84);(1;106)
Y= mx + b
236= -54(1) + b
236+54=b
290= b
𝐹𝑥 = -54 + 290
Interpretamos el resultado: La función lineal de los años transcurridos es 𝐹𝑥 = -54+290
c. Al realizar el ajuste lineal de los datos de la tabla 2 obtenemos la ecuación estimada
(y=98x+164.8) cuya gráfica se muestra en la figura 2. ¿Qué diferencias encuentras con respecto a
la ecuación obtenida en el paso “b”?
Identificamos los datos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
significativos
(y=98x+164.8)
Y = 90x + 164.8
Y + x = 164.8/90
Y + x = 1.83
Interpretamos el resultado: El ajuste lineal de la tabla 2 es de 1.83
y: Población penitenciaria por
delito de feminicidio
Figura 2
Ecuación estimada de la población penitenciaria por delito de feminicidio
600
500
400
y = 98x + 164.8
300
R² = 0.9819
200
100
0
0
1
2
3
x: Tiempo (años)
x=0 para el año 2015; x=1 para el año 2016; ...
4
d. Empleando las ecuaciones del paso “b” y “c” pronostique la cantidad de feminicidios para el año
2022.
Identificamos los datos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
significativos
2015-0
x = -54y + 290
2016-1
y=98x+164.8
2022-7
Interpretamos el resultado: si en el año 2015 fueron 0 y en el 2016 fueron uno la gráfica da
una representación progresiva de 1 dando como resultado para el 2022 = 7
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 6. Empresas de taxi.
La empresa de taxis HUBER cobra S/ 5 como “tarifa mínima” y luego S/
0.90 por cada kilómetro recorrido. En cambio, la empresa de taxis ZAZA
cobra S/ 7 como “tarifa mínima” y luego S/ 0.80 por cada kilómetro
recorrido.
a. Determine el modelo matemático correspondiente a cada empresa.
Identificamos los datos
significativos
La empresa de taxis HUBER
cobra S/ 5 como “tarifa mínima”
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
HUBER
C(D) =5+0.90.D
y luego S/ 0.90 por cada
kilómetro recorrido. En cambio,
DONDE: D=Km, C(D) =SOLES
la empresa de taxis ZAZA cobra
ZAZA
S/ 7 como “tarifa mínima y luego
S/ 0.80 por cada kilómetro
recorrido
C(D)=7+0.80.D
DONDE: D=KM , C(D)=SOLES
Interpretamos el resultado: Los modelos matemáticos obtenidos son: C(D)= 5+0.90D, y C(D)=
7+0.80D.
b. ¿Cuánto costará una carrera de 24 km en cada empresa?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
HUBER
HUBER
C(D) =5+0.90.D
C(D) =5+0.90.D
DONDE: D=Km, C(D)= SOLES
C(24)= 5+ 0.90(24)=141.6
ZAZA
C(D)=7+0.80.D
DONDE: D=KM , C(D)=SOLEs
ZAZA
C(D)=7+0.80.D
C(24)= 7+0.80(24)=187.2
Interpretamos el resultado: Por un recorrido de 24 km, la empresa HUBER cobraría 141.6
soles, y la empresa ZAZA cobraría 187.2 soles.
c. Desde el punto de vista económico, ¿cuál de las dos empresas conviene para un recorrido de
10 km?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
HUBER
HUBER
C(24)= 5+ 0.90(24)=141.2
C(24)= 5+ 0.90(24)=141.2
ZAZA
C 141.2 = 5 + 0.90(10) = 59
C(24)= 7+0.80(24)=187.2
ZAZA
C(24)= 7+0.80(24)=187.2
C 187.2 = 7 + 0.80(10) = 78
Interpretamos el resultado: La empresa que conviene es de Huber con 78 soles por 10
kilómetros.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 7. Depreciación de un automóvil.
Juan compró un automóvil nuevo por el precio de $ 20 000, y se deprecia linealmente por 5 años
a partir de su compra. Además, se sabe que, al cabo de 5 años de uso su precio será de $ 12 000.
a. Determine el modelo matemático que expresa el precio del automóvil en función del tiempo de
antigüedad.
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
Identificamos los datos significativos
•Automóvil nuevo por el precio de $ 20 000
•Se deprecia linealmente por 5 años
•Su precio será de $ 12000
2 000 = 20 000 – a (5)
A (5) = 20 000 - 12 000
A (5) = 8 000
A = 8000/5
A = 1,600
Interpretamos el resultado: El precio del automóvil en función del tiempo de
antigüedad es de $1,600, el valor disminuye
b. ¿Cuánto será el precio del automóvil al cabo de 4 años? Utilice el modelo encontrado en “a”.
Identificamos los datos
significativos


Automóvil nuevo por el precio
de $ 20 000
A = 1,600
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
F(t) = 20 000 - 1,600(4)
F(t) = 20 000 - 6,400
F(t) = 13,600
Interpretamos el resultado: Al cabo de 4 años el auto valdrá 13,600 $.
c. ¿Cuántos años deben trascurrir, para que el automóvil tenga un precio de $ 15 200?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
15 200 = 20 000 - 1,600(x)


Automóvil nuevo por el precio
de $ 20 000
A = 1,600
1,600(x) = 20 000 - 15 200
(x) = 4,800/1,600
(×) = 3
Interpretamos el resultado: Deben trascurrir 3 años para que el auto cueste $ 15 200.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 8. Producción y venta de estabilizadores.
La compañía BH ELECTRICAD dedicada a la fabricación de estabilizadores tiene costos fijos de
$6 000 mensuales y un costo unitario de producción de $15 por estabilizador. El precio de venta
unitario es de $27, además, se produce y vende “𝑥” estabilizadores.
Determine:
a. La función costo.
C=6000+(12+2+1) x
C=6000+15 x
b. La función ingreso.
Ingreso=precio de venta por cantidad de
unidades.
c. La función utilidad.
(6000 + 15x)
6000 - 15x
6000
d. ¿Cuántos estabilizadores debe producir y vender mensualmente para recuperar su
inversión? ¿Cuánto fue su inversión?
La función utilidad se define como:
Utilidad = Ingresos - Costos
U(x) = 27x - (6000 + 15x)
U(x) = 27x - 6000 - 15x
U(x) = 12x - 6000
e. Calcule la cantidad de estabilizadores que se debe producir y vender para obtener utilidades
mensuales de $12 000.
12000 = 12x-6000
12000+6000 = 12x
x = 1500 estabilizadores
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 9. Producción y venta de zapatos.
Gracimer E.I.R.L es una empresa con amplia experiencia en el diseño y confección de calzado
para damas. Si el costo fijo asciende a 𝑆/12 000, y el departamento de producción estima que
para este presente mes el costo unitario de cada par de S / 90 , además se proyecta que cada par
de zapatos se venderá a S /140 .
Determine:
a. La función costo.
C = 𝐶𝐹 + 𝐶𝑉
C = 1200 + 90x
b. La función ingreso.
I = 𝑃𝑉 (𝑥)
I = 140x
c. La función utilidad.
𝑈𝑃 = 𝐼𝑥 − 𝐶𝑥
𝑈𝑃 = 140x – (1200 + 90x)
𝑈𝑃 = 140x – 1200 – 90x
𝑈𝑃 = 50x - 1200
d. ¿Cuántos pares de zapatos debe producir y vender mensualmente para recuperar su inversión?
¿Cuánto fue su inversión?
140x – 12 000 – 90x = 0
I= 140x
50x = 12 000
I = 140(240)
x = 12 000/50
I = 33 600
x = 240
e. Calcule la cantidad de pares de zapatos que se debe producir y vender para obtener utilidades
mensuales de S/30 000.
U = 𝐼𝑋 – 𝐶𝑋
30 000 = 140x –(12 000 + 90x)
30 000 = 140x – 12 000 – 90x
30 000 + 12 000 = 50x
42 000 = 50x
42 000/50 = x
840 = x
Para obtener utilidades de 30 000 soles debe producir y vender 840 zapatos.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 10. Producción y venta de polos.
La empresa 𝐄&𝐌 fabrica y vende polos con diseños de la selección peruana. Los mencionados polos
tienen un precio unitario de venta de S/ 22 y un costo unitario de S/ 12. Si los costos fijos mensuales
ascienden a S/ 3 000.
Determine:
a. La función costo.
CT = 12 x + 3000
b. La función ingreso.
I= 22 x
c. La función utilidad.
U = I = - CT = 22 x - (12 x + 3000)
U = 10x - 3000
c. ¿Cuántos polos debe producir y vender mensualmente para recuperar su inversión? ¿Cuánto fue
su inversión?
22 x = 12 x - 3000
10 x = 3000
x = 300 polos
d. Calcule la cantidad de polos que se debe producir y vender para obtener utilidades mensuales de
S/5 000.
10 x - 3000 = 5000
2000 = 10 x
x = 200 polos