C1 1 2021 online

Concepcion, Lunes 5 de Julio de 2021
Certamen Nº1,CEII, IEE
1.- En atención al circuito de la figura , determine
 La función de transferencia de tensiones V0  s  Vi  s 

Determine la respuesta de este circuito ante entrada impulso unitario h  t 

La respuesta del sistema v0  t  ante una excitación escalón unitario

Es este resultado (RAEU) coherente con la respuesta que se espera de este circuito
de acuerdo a su experiencia, comente.
ii  t 
vi  t 
a. Se quiere obtener 𝐻(𝑠) =
L
vL  t 
vR  t 
R
v0  t 
𝑉0(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
Del sistema
→ 𝑉𝑖(𝑡) + 𝑉𝐿(𝑡) + 𝑉𝑅(𝑡) = 0 {
𝑉𝑖(𝑡) = 𝑉𝐿(𝑡) + 𝑉𝑅(𝑡)
𝑉𝑜(𝑡) = 𝑉𝑅(𝑡)
𝑑𝑖(𝑡)
𝑉𝐿(𝑡) = 𝐿
; 𝑉𝑅(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
Cambiando el dominio al dominio d S (Laplace).
𝑉𝐿(𝑠) = 𝐿𝑆𝐼(𝑠) ; 𝑉𝑅(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠) = 𝐿𝑆𝐼(𝑠) + 𝑅𝐼(𝑠)
;
𝑉𝑜(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠)
𝑉𝑜(𝑠)
𝑅𝐼(𝑠)
𝑅𝐼(𝑠)
𝑅
=
=
=
𝑉𝑖(𝑠) 𝐿𝑆𝐼(𝑠) + 𝑅𝐼(𝑠) (𝐿𝑆 + 𝑅)𝐼(𝑠) 𝐿𝑠 + 𝑅
𝑉𝑜(𝑠)
𝑅 ⁄𝑅
1
=
=
𝐿
⁄
𝑉𝑖(𝑠) 𝐿𝑆 + 𝑅 𝑅
𝑅𝑆+1
b. Determine la respuesta de este circuito ante entrada impulso unitario h  t 
1
𝑉𝑜(𝑠) =
𝐿
𝑅𝑆+1
𝑉𝑖(𝑠) → 𝑉𝑜(𝑠) =
𝐸𝑜(𝑠) =
1
𝐿
𝑅+1
(1)
1
𝐿
𝑅𝑆+1
Aplicando la transformada de Laplace:
𝑉𝑜(𝑡) =
1
𝑒
𝐿 ⁄𝑅
−𝑡
⁄𝐿
𝑅
=
𝑅 −𝑅 𝑡
𝑒 𝐿 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
𝐿
c. La respuesta del sistema v0  t  ante una excitación escalón unitario
𝑉𝑜(𝑠) =
1
𝐿
𝑅𝑆+1
𝑉𝑖(𝑠) → 𝑉𝑜(𝑠) =
Utilizando fracciones parciales se tiene que:
𝑉𝑜(𝑠) =
1
𝐿 ⁄𝑅
−
𝑆 (𝐿⁄𝑅)𝑠 + 1
Aplicando la transformada de Laplace inversa se tiene :
𝑉𝑜(𝑡) = 1 −
−𝑡
⁄𝐿
𝑒 𝑅
𝑅
= 1 − 𝑒−𝐿𝑡
1
1
𝐿
𝑆
𝑅𝑆+1
2.- Para el sistema representado por el diagrama de bloques se pide:
1. Salida y (t ) ante una entrada escalón unitario y k  0.02 .
2. Diagrama de Bode de H ( s)  Y ( s) / U ( s) y k  0.125
3. Error e(t ) para la situación 1
U (s )
E (s )
K
10
s ( s  1)
𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝑦(𝑠) ; 𝑌(𝑠) =
𝐸(𝑠) =
Y (s)
10𝐾
𝐸(𝑠)
𝑆(𝑆 + 1)
𝑆(𝑆 + 1)
𝑌(𝑠)
10𝐾
𝑆(𝑆 + 1)
𝑌(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝑌(𝑠)
10𝐾
𝑆(𝑆 + 1)
𝑆(𝑠 + 1) + 10𝐾
[
+ 1] 𝑌(𝑠) = 𝑈(𝑠) → [
] 𝑌(𝑠) = 𝑈(𝑠)
10𝐾
10𝐾
Ecuación de transferencia
𝑌(𝑠)
10𝐾
= 2
𝑈(𝑠) 𝑆 + 𝑆 + 10𝐾
a. Salida y (t ) ante una entrada escalón unitario y k  0.02 .
𝑌(𝑠)
10(0.02)
0.2
= 2
= 2
𝑈(𝑠) 𝑆 + 𝑆 + 10(0.02) 𝑆 + 𝑆 + 0.2
𝑊𝑛2 = 0.2 → 𝑊𝑛 = √0.2 → 𝑊𝑛 = 0.447
2𝑊𝑛 = 1 → 𝑆 =
1
1
→𝑆=
→ 𝑆 = 1.118
2𝑊𝑛
2(0.447)
𝑌(𝑠)
0.2
=
𝑈(𝑠) (𝑆 + 0.7236)(𝑆 + 0.2763)
𝑌(𝑠) =
0.2
𝑈(𝑠)
(𝑆 + 0.7236)(𝑆 + 0.2763)
𝑌(𝑠) =
0.2
1
(𝑆 + 0.7236)(𝑆 + 0.2763) 𝑠
Aplicando transformada inversa de Laplace
𝑌(𝑡) = 1 +
1
1
𝑒 −0.7236𝑡 −
𝑒 −0.2763𝑡
(1)(1.6180)
(1)(0.6180)
𝑌(𝑡) = 1 + 0.6180𝑒 −0.7236𝑡 − 1.6180𝑒 −0.2763𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
c. Error e(t ) para la situación 1
𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝑌(𝑠) ; 𝑌(𝑠) =
𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) −
[1 +
10𝐾
𝐸(𝑠)
𝑆2 + 𝑆
10𝐾
𝐸(𝑠)
𝑆2 + 𝑆
10𝐾
𝑆 2 + 𝑆 + 10𝐾
𝐸(𝑠)
=
𝑈(𝑠)
→
[
] 𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠)
]
𝑆2 + 𝑠
𝑆2 + 𝑆
𝐸(𝑠)
𝑆2 + 𝑆
𝑆2 + 𝑆
= 2
→ 𝐸(𝑠) = 2
𝑈(𝑠)
𝑈(𝑠) 𝑆 + 𝑆 + 10𝐾
𝑆 + 𝑆 + 10𝐾
Ante entrada de escalón unitario Y K=0.02
𝐸(𝑠) =
𝐸(𝑠) =
𝐸(𝑠) =
𝑆2
𝑆2 + 𝑆 1
𝑆(𝑆 + 1)
=
𝑆 2 + 𝑆 + 0.2 𝑆 𝑆(𝑆 2 + 𝑆 + 0.2)
𝑆+1
𝑆+1
=
+ 𝑆 + 0.2 (𝑆 + 0.7236)(𝑆 + 0.2763)
𝐴
𝐵
−0.6180
1.6180
+
=
+
𝑆 + 0.7236 𝑆 + 0.2763 𝑠 + 0.7236 𝑆 + 0.2763
𝐴(𝑆 + 0.2763) + 𝐵(𝑠 + 0.7236) = 𝑆 + 1
𝐴 + 𝐵 = 1 → 0.2763𝐴 + 0.7236𝐵 →
−0.2763𝐴 − 0.2763𝐵 = −0.2763
0.2763𝐴 + 0.7236𝐵 = 1
𝐴 = 1.617 ; 𝐵 = −0.617
𝐸(𝑡) = 1.6180𝑒 −0.2763𝑡 − 0.6180𝑒 −0.7236𝑡
3.-Dibuje y determine el valor de variables y parametros del sistema fluidrico equivalente al circuito
eléctrico mostrado en la figura
Se tiene que determinar
Contenedor de agua
𝑄𝑥
𝑄𝑦
𝑄𝑧
(𝑆) 𝑄 (𝑠) 𝑄 (𝑠)} 𝑠𝑒
𝑄
𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎
Mediante el método de malla
Mallas:
1. 𝑄(𝑠) = 𝑄1
1
1
1
1
2. 𝑄2 (𝐶1𝑆 + 𝑆𝐿1 + 𝐶2𝑆) − 𝐶1𝑆 𝑄1 − 𝐶2𝑆 𝑄3 = 0
3. 𝑄3 (𝑟2 + 𝑆𝐿2 +
1
1
)−
𝑄2
𝐶2𝑆
𝐶2𝑆
=0
𝑄𝑥 = 𝑄1 − 𝑄2
𝑄𝑦 = 𝑄2 − 𝑄3
𝑄𝑧 = 𝑄3
Modelo circuital:
Diagrama de bloques:
Sea:
𝐶1 + 𝐶2
1
1
𝐹(𝑠) = (
+ 𝑆𝐿1)(
)(𝑅2 + 𝑆𝐿2 +
)
𝐶1𝐶2𝑆
𝐶2𝑆
𝐶2𝑆
Luego:
𝑄3 = 𝐻1 (𝑠)/𝑄1
𝑄1 = 𝑄(𝑠)
𝑄𝑧 = 𝑄3
→
𝑄𝑧 𝐹(𝑠)(1⁄𝐶1𝑆)
=
= 𝐻1 (𝑠)
𝐹(𝑠)
𝑄1
1−
𝐶2(𝑠)
Para definir Q2:
1
𝐶1 + 𝐶2
(
)(
+ 𝑆𝐿1)
𝐶1𝑆
𝐶1𝐶2𝑆
𝑄2 =
𝑄1(𝑠)}
1 + 𝐹(𝑠)⁄𝐶2𝑆
Diagrama en bloque:
Luego:
𝑄𝑥 = 𝑄1 − 𝑄2 = 𝑄(𝑠)(1 − 𝐻2 (𝑠)
𝑄𝑦 = 𝑄2 − 𝑄3 = 𝑄(𝑠)(𝐻2 (𝑠) − 𝐻1𝑆 (𝑠))
𝑄𝑧 = 𝑄3 = 𝑄(𝑠)
Entrega:
1.- Archivo Word
2.- Nombre de archivo: C1_1_2021_NombreAlumno, ej C1_1_2021_FrancoHernandez.docx
3.- El certamen es individual
4.- Usar ecuaciones en el editor de ecuaciones
5.- Fecha de entrega: viernes a las 12:00h
6.- Pueden incluir simulaciones a manera de comprobacion de sus resultados
7.- Incluir toda la informacion que Uds. consideren importante para la comprension del analisis de
sus resultados
8.-Se habilitara la plataforma Adecca para la recepcion de sus informes certamen
FHC/fhc