0
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
ROBOT CURIOSITY EN MARTE HASTA 2020
1
GUÍA PARA USAR ESTE CUADERNO DE TRABAJO
Aquí se abordan los conceptos previstos en el programa de estudios de Matemáticas I,
que corresponde al nivel medio superior universitario del sistema Colegio de Ciencias y
Humanidades.
Se sugiere utilizar este Cuaderno de Trabajo con cualquiera de estos propósitos:
• Apoyar en el aula el estudio de la asignatura. En cuyo caso el Cuaderno de Trabajo
puede ser parte de una metodología integral que desarrolle hábitos de estudio y
habilidad para comprender, manejar y elaborar significados.
• Como material substituto para aprendices de la materia que se vean impedidos de
asistir al 100% de sus clases.
• Como recurso para el alumno del Programa de Apoyo al Egreso.
• Preparar la presentación de exámenes extraordinarios y especiales, aun sin contar
con la presencia de un profesor.
• Aprender tópicos matemáticos de nivel básico para el bachillerato.
No se trata de un texto convencional. La presentación de los temas se hace de tal
manera que su aprendizaje resulte de fácil acceso, pero su diseño demanda del lector
que aprenda haciendo, por ello es necesaria su participación activa, constante y
disciplinada, comprobando sus respuestas con las soluciones que aparecen al final del
Cuaderno.
En los cursos es recomendable resolver en equipo ciertos ejercicios y problemas, porque
además de su valor socializante contribuye a mantener el interés y a retroalimentar los
conocimientos y habilidades adquiridos.
Con nuestros mejores deseos.
Los autores
Profesores que colaboraron en la 1ª. versión de este Cuaderno: Guadalupe Islas Caballero, Juan Castro
Mora, Efraín Montuy González y María de los A. Franco López Portillo.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
COMPETENCIAS GENERALES POR ADQUIRIR
Resolver problemas que requieran operar con números enteros y racionales.
Utilizar diferentes representaciones en la comprensión de fenómenos que involucren
una variación proporcional directa y de tipo lineal.
Reducir una ecuación dada a otra más simple.
Resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones.
Resolver problemas que den lugar a ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de
ecuaciones.
Conocer y aplicar estrategias para la solución de problemas.
2
La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo que está
continuamente abierto ante nosotros para que lo observemos. Pero el libro
no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en
que está compuesto. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus
caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las
cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin
ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.
Galileo
ÍNDICE
GUÍA PARA USAR ESTE CUADERNO DE TRABAJO……………………....……1
OBJETIVOS GENERALES DE APRENDIZAJE………………………….…...……1
UNIDAD I
NÚMEROS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS……………………..……...3
UNIDAD II
VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
Y FUNCIONES LINEALES……………………………………………………47
UNIDAD III
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA……….…..89
UNIDAD IV
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES…………..………….…...……131
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS……………………..………...……….…….183
BIBLIOGRAFÍA….…….…………………….……………………...………………..190
3
UNIDAD I
NÚMEROS Y OPERACIONES
ARITMÉTICAS
NÚMEROS
Al describir y responder a situaciones cotidianas es necesario utilizar números y operar con
ellos; por ejemplo, para saber qué calificación necesitas obtener en el último examen parcial
de Historia si tu meta es obtener un promedio mínimo de 8; cuando requieres saber cuánto
pagar por una camisa que tiene el 15% de descuento, etc.
Los números que comúnmente utilizamos se conocen como números Reales.
Los números reales se clasifican en racionales e irracionales. Es racional todo número que
pueda expresarse como el cociente de dos números enteros, por el contrario, es irracional el
número que no pueda expresarse como el cociente de dos números enteros.
Los números racionales contienen a los números enteros, éstos a su vez contienen a los
números naturales:
NÚMEROS REALES
NÚMEROS FRACCIONARIOS
NÚMEROS
IRRACIONALES
(CON INFINIDAD DE
CIFRAS EN SU PARTE
DECIMAL SIN
FORMAR PERIODOS)
ENTEROS NEGATIVOS
Y EL CERO
ENTEROS POSITIVOS
NÚMEROS
RACIONALES
NÚMEROS
ENTEROS
NÚMEROS
NATURALES
El conjunto de números naturales generalmente se representa por medio de N y está
formado por la infinidad de elementos que se pueden usar cuando se cuenta:
N = {1, 2, 3, 4 . . .} (Los puntos suspensivos indican que la lista continúa indefinidamente. Se
lee: “N es igual al conjunto formado por 1, 2, 3, 4. . . hasta infinito”.)
El conjunto de números enteros lo forman los naturales (enteros positivos), los naturales con
signo negativo (enteros negativos) y el cero; se denota por Z (del alemán Zahl):
Z = {. . . − 3, − 2, − 1, 0 , 1, 2, 3, 4 . . .}
Si se consideran sólo los enteros mayores que cero, se tienen los enteros positivos:
Z + = {1, 2, 3, 4 . . .}
4
Los números naturales se pueden representar en una recta con sólo determinar una unidad
fija de medida y un orden. Convencionalmente se toma el orden creciente hacia la derecha y
el decreciente hacia la izquierda:
1
2
3
4
5
6
7…
En la recta anterior, entre dos números naturales consecutivos ¿hay otro natural? ____
Al agregar en la misma recta el cero y los enteros negativos a los números naturales, se
forma el conjunto de números enteros, entonces la convención es que el sentido positivo sea
hacia la derecha y el negativo hacia la izquierda:
-
+
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
En la recta anterior, ¿entre dos números enteros consecutivos hay otro entero? ____
La ubicación del cero en la recta numérica se toma como origen. Los enteros son números
ordenados porque en esa recta los números positivos se ubican a la derecha del origen y
aumenta su valor a medida que se alejan de él, los negativos se colocan a la izquierda y
disminuye su valor a medida que se alejan del mismo.
Al tomar un número cualquiera de la recta numérica, todos los números que están a su
derecha son mayores que él y todos los números que estén a su izquierda son menores que
él. Tómese por caso -2:
Son números menores que –2
–4
–3
Son números mayores que –2
–2
–1
0
1
2
3
4
Por ejemplo – 4 < –2 (se lee -4 es menor que -2).
Recuérdese que los dígitos son números enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), y son los
números que usamos en el sistema decimal.
Con ellos se pueden formar números de dos, tres, cuatro... etc. cifras, que mantienen un
orden y pueden ser localizados en la recta numérica.
Por estar ordenados, podemos decir que un número positivo de dos cifras es menor que un
número de tres cifras (sin que la primera sea cero):
97 < 123 (se lee 97 es menor que 123)
O bien que un número positivo de cuatro cifras es mayor que uno de dos:
4 897 > 35 (se lee 4 897 es mayor que 35)
O bien que un número negativo de 3 cifras es mayor que otro negativo de 4 cifras:
-350 > - 2721
5
EJERCICIOS
En cada espacio subrayado escribe la palabra faltante.
1. El conjunto de números Reales está formado por los números: _____________ e
_____________.
2. El conjunto de números enteros está formado por el cero y los números: ____________ y
____________.
3. Por su nombre Zahl en alemán, los números enteros se denotan por la letra ___ y son:
{..., __, __,
__, __,
}
0 , __, __, __, __, __, . . . .
4. El número 7243 es ________ que 7121.
mayor/menor
5. El número -236 es ________ que -121.
mayor/menor
6. Forma todos los números que puedas con los dígitos 1, 6 y 9, utilizando una vez cada
dígito:
____________________________________________________.
¿Cuál es el menor? ______ ¿Cuál es el mayor? ______. Ordénalos de menor a mayor.
______ < ______ < ______ < ______ < ______ < ______
(el menor) .
(el mayor) .....
7. Usando una sola vez los dígitos 1, 9, 3, 7 y 2,
El mayor número que se puede formar es ________ , el menor es ________ .
8. Los números enteros que se escriben con cuatro dígitos van del _______ al 9 999
inclusive. Es decir, se necesitan cuatro dígitos para escribir los números mayores que 999
pero menores que ________.
Se necesitan cinco dígitos para escribir los números mayores que ________ pero menores
que _________.
9. Escribe el número más pequeño que puedas, utilizando 7 dígitos ___________.
10. Escribe el número más grande que puedas, utilizando 8 dígitos _____________.
11. Escribe 5 números menores que –5 ___________________.
12. Escribe 5 números mayores que –5 ___________________.
13. Los números enteros 3, 5 y 7 son menores que _____.
14. Los números enteros –10, -9 y –8 son mayores que _____.
15. Escribe el signo de desigualdad que corresponda:
-8 __ 3
5 __ -2
1 __ 0
-10 __ -11
0 __ -1
149 __ 150
6
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Aplica el algoritmo de la suma, resta, multiplicación y división que den como resultado un
número entero y escribe dentro de los cuadritos los números que faltan.
3
1
minuendo
1
6
3
8
sustraendo
diferencia
Utilizando el algoritmo es fácil encontrar que los números de los cuadritos de arriba deben
ser 5, 4 y 2. ¿Cómo lo compruebas? __________________________________
2
9
7 2
×
8 4
6 1 8
1 0
+
1 7
2
5
287 3
7
1
6 5
¿Está bien hecha la multiplicación? ____. ¿Por qué? __________________________
Al operar con números enteros se utilizan las reglas de los signos, que son diferentes al
sumar, restar, multiplicar o dividir.
Califica con verdadero (V) o falso (F) cada enunciado. Si es falso da un ejemplo.
1. La suma de dos números enteros negativos siempre es negativa: ___
2. La suma de dos enteros positivos siempre es positiva: ___
3. La resta de dos enteros positivos siempre es positiva: ___
_________________
4. La resta de dos enteros negativos siempre es negativa: ___
______________
5. Un entero positivo menos uno negativo es siempre negativa: ___ ________
6. Un entero negativo menos un entero positivo resulta siempre negativo ___
7. El producto de dos enteros con diferente signo es negativo: ___
8. El cociente de dos enteros con el mismo signo es positivo: ___
9. Al elevar un negativo a una potencia, el resultado es positivo: ___ ___________
10. Si se multiplican tres números negativos y luego se divide el resultado entre un entero
negativo, el resultado es negativo: ___ _____________________________
En las siguientes tablas se resumen las reglas (cruza columna gris con renglón gris).
Suma ó
Resta
+
−
+
+
−
El signo
del mayor
El signo
del mayor
−
Multiplicación
o División
+
−
+
+
−
−
−
+
7
EJERCICIOS
I. Practica las sumas con enteros:
1. La figura de abajo es un cuadrado mágico. Tiene la propiedad de que al sumar los tres
números de cada diagonal, renglón o columna, el resultado es siempre el mismo. Verifícalo.
18
21
6
3
15
27
24
9
12
2. Los chinos conocían los cuadrados mágicos hace 5 000 años. Usando sólo los naturales
del 1 al 9, completa un cuadrado mágico cuya suma, en los términos antes indicados, sea 15.
4
7
8
3. Completa los siguientes cuadrados con números enteros para que resulten mágicos.
a)
b)
11
7
10
c)
-13
-19
9
4. Escribe los primeros
nueve números naturales
dentro de los círculos de
cada triángulo, de tal manera
que la suma en cada lado
resulte lo que se indica
d)
2
-11
-3
0
-17
12
-2
17
5. PUEDO ADIVINAR TU EDAD…(válido en este año 2017)
20
Efectúa las operaciones en tu cuaderno mientras lees.
1. Piensa en el número de personas que más aprecias (más de una, pero menos de 10).
2. Multiplica ese número por 2.
3. Agrégale 5.
4. Multiplícalo por 50.
5. Si ya pasó tu cumpleaños, agrégale 1767... Si no, agrégale 1766.
6. Ahora réstale el año en que naciste.
El resultado debe ser una cifra de tres números.
El primer número es el número de personas que más aprecias.
Los otros dos números representan...¡TU EDAD! ¿Sí o no?
8
16
3
10
12
1
6. Completa el cuadrado
mágico de 4x4 que Alberto
Durero, artista del Renacimiento
alemán, trazó en su grabado en
metal titulado Melancolía.
Debe cumplir estas condiciones:
La suma mágica (34) debe resultar al sumar
filas, columnas, diagonales principales y cuatro
submatrices (cuadrados de 2x2 esquinados) en
las que puede dividirse el cuadrado.
Lo mismo debe resultar al sumar los números
de las esquinas, los cuatro números centrales,
los dos números centrales de las filas (o
columnas) primera y última, etc.
¿En qué año se realizó la obra? El año se indica en las
dos cifras centrales de una fila. _______.
http://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_I
II. Los números enteros son muy útiles para resolver problemas, compruébalo.
1 ¿Cuál fue la fecha de inicio del siglo XXI? __________________________.
2. Pitágoras nació el año 570 a. C. y en el año 585 a. C. hubo un eclipse de sol. ¿A qué edad
vio Pitágoras el eclipse? ______________________________________.
3. A cuatro personas el Sr. Pérez les debe $356, $234, $3 440 y $2 325. A él, dos amigos le
deben $2 500 y $3 500. ¿Cuál es el estado financiero del Sr. Pérez?
Una de las formas de resolver este problema es la siguiente:
Debe: (-356) + (-234) + (-
) + (-
) = -________
Le deben: 2 500 + 3 500 = +_______
El estado financiero del Sr. Pérez es: (-
)+(
) = _______
4. Durante una brusca onda fría, la temperatura bajó 3 grados en una hora. En la siguiente
hora bajó 2 grados más y en la tercera bajó otros 3 grados, pero en la cuarta hora subió un
grado. ¿Cuál fue el cambio total de temperatura?
Esta es una forma de resolver el problema: (-3) + (-
) + (-3) + 1 = ____
5. Un submarino se sumergió 20 m; enseguida 15 m. dos veces; después 5 m. tres veces; y
finalmente 3 m. ocho veces. Calcula la posición del submarino en su mayor profundidad.
Puede resolverse así: (-20) + (2) (-
)+(
) (-5) + (
) (-
) = ________________
= ____
6. El valor de ciertas acciones en la Bolsa de Valores cambió así: el lunes bajaron 11 puntos;
el martes bajaron 4; el miércoles se mantuvieron estables; el jueves bajaron 17; el viernes
subieron 21. Determina el cambio neto.
Esta es una forma de hacerlo: (-11) + (-4) + (
) + (-17) + (
) = ____
9
7. Un piloto bajó 7 200 m, niveló su aparato y a
continuación descendió otros 2 100 m. Después de
volar durante un tiempo a esta altura, para tocar
tierra descendió otros 2 400 m. ¿Cuánto en total
descendió el avión?
Completa la solución:
(-7200) + (-2100) + (-
) = ________
8. Un jugador de futbol americano logró estas
yardas en cinco jugadas consecutivas: 15, -13, 3, -14, 7. Señala con flechas los avances y
retrocesos hasta encontrar su posición final.
-12
-6
0
6
12
18
9. Para comprar muebles que se requieren en una escuela primaria, la Cooperativa formada
por padres y maestros necesitaba tener más de $7 300 en la tesorería. Con ese fin
presentaron una obra de teatro, de la que recibieron $9 950 por la venta de boletos, la
coreografía les costó $1800, en la impresión de programas gastaron $1500 y les pagaron
$740 por incluir ciertos anuncios comerciales en los programas de mano.
Obtén la cantidad neta que les quedó.
____________________________________________________________
¿Cuál dato está de más para resolver el problema? ________________________________
10. ¡Piensa!
Manuel y Paco pasean, charlando sobre sus respectivas familias.
- Por cierto, pregunta Manuel, ¿qué edades tienen tus tres hijas?
- El producto de sus edades es 36, dice Paco, y su suma igual al número de tu casa.
Tras meditar unos instantes, Manuel dice: me falta un dato.
- Es verdad, acepta Paco. Se me olvidó decirte que la mayor toca el piano.
¿Qué edades tienen las tres hijas? _____, _____ y ______.
Pistas. Si el producto de las edades es 36, piensa en todas las posibilidades (8) para expresar las edades.
Los dos conocen el número de la casa donde vive Manuel. Observa las sumas y plantéate por qué dice que le
falta un dato.
La mayor toca el piano. ¿Qué indica? ¡No tiene nada que ver con la música!
10
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
CONCEPTOS BÁSICOS
Imagina una unidad cualquiera. Por ejemplo, es una unidad un segmento de recta, un terreno
rectangular, un pastel y una infinidad de cosas más.
Al dividir una unidad en partes iguales; a cada parte se le denomina fracción. A la unidad se
le asocia el número 1 y a cada parte se le asocia un número fraccionario.
Observa, una unidad se divide en dos partes iguales:
Dos medios forman una unidad:
2
2
=1
Una unidad se divide en tres partes iguales (en los espacios subrayados escribe los números
que se deben asociar):
----
----
1
11
1
----
----
----
----
----------
Tres tercios forman una ________:
___ =
Una unidad se divide en cinco partes iguales:
¿Cuántos quintos forman una unidad? ___:
___ =
11
¡Reto!:
Una unidad se divide en un número cualquiera n de partes iguales (escribe lo
que falta):
1
1
1
n
1
n
1
n
1
…
…
¿Cuántos enésimos forman una unidad? __ ,
…
n
= __
n
Una unidad se divide en sextos.
2
el
6
denominador (6) indica el número de partes iguales en
que se dividió la unidad; el numerador (2) indica el
número de esas partes que se tomaron.
Si de esta unidad se toman dos sextos, en
En
3
, ¿qué indica el denominador? ______________
10
____________________________________________,
¿Qué indica el numerador? ______________________
____________________________________________ .
¡Reto!:
5
En , ¿qué indica el denominador? ____________________________
2
____________________________
¿Qué indica el numerador? ______________________________________________ .
¿Cuántas unidades se necesitan tener para poder tomar
5
? _____ ¿Cuánto sobra?
___
2
12
En la recta numérica se pueden asociar números fraccionarios a sus puntos, por ejemplo:
¡Reto!: ¿En la recta anterior, qué fracción le corresponde a P, situado a la
mitad entre –1 y 0? ____.
¿Qué número le corresponde a Q? _____.
Las fracciones se clasifican como propias (cuando el numerador es menor que el
denominador), impropias (cuando el numerador es mayor que el denominador) y mixtas
(cuando se indica la suma de un número entero con una fracción). Indica la clase:
3
4
12
es _________, 5 es mixta e indica la suma de ___ más ___ ,
es ___________ .
5
14
9
1 2 4 −5 −8
,
Fracciones como , , ,
. . . tienen algo en común: tanto el numerador como el
2 3 7 4 32
denominador son números enteros. Lo mismo sucede con expresiones como:
5
5
,
15
−3
, −
7
7
,
− 12
4
,
150
− 75
. . .
pero éstos en realidad son números enteros disfrazados, porque
5
5
= 1,
15
−3
= -5, etc.
Todo número que se pueda expresar como el cociente de dos números enteros
es, por ese hecho, número racional. Excepto cuando el denominador sea cero.
Observa:
7 es número racional porque, por ejemplo, 7 =
14
2
- 0.5 es número racional porque, por ejemplo, -0.5 =
−1
2
1.8 es número racional porque, por ejemplo, 1.8 = 18
10
0.333... es número racional porque, por ejemplo, 0.333... = 1
3
0.1760606... es número racional porque 0.1760606... =
1743
9900
1.5714285714285... es racional porque 1.5714285714285... =
(los puntos suspensivos indican
la repetición interminable del 3).
(los puntos suspensivos indican
la repetición interminable del 60).
11
(los puntos suspensivos
7
indican la repetición
interminable de __________ ).
Los tres números finales en la lista anterior tienen una cantidad interminable de cifras en la
parte decimal, pero se repiten de manera periódica.
Si sucede lo anterior, los números son racionales; o sea, números que se pueden expresar
como el cociente de dos números __________. Excepto cuando el denominador sea ___.
13
Existen números que aun cuando tienen una cantidad interminable de cifras en su parte
decimal, éstas no forman periodos. En ese caso no se pueden expresar como el cociente de
dos números enteros, es decir, no son racionales. Esto sucede con el número π, 2 etc.
π = 3.1415926...
2
= 1.4142135...
Estos números son irracionales y, como sucede con los racionales, su número es infinito.
Los racionales junto con los irracionales forman el conjunto de números _________ (si no
sabes consulta el diagrama al inicio de la Unidad I).
¡Reto!
Localiza en esta recta numérica
-3
2
y
1
.
2
-
+
-3
-2
-1
¿Cuántos números racionales hay entre
-3
0
y
1
2
3
4
1
? _______________________________.
2
2
¿Cuántos números racionales hay entre dos racionales cualesquiera? ________________.
EQUIVALENCIA
Los dos rectángulos iguales de la derecha se dividieron
en cuartos y en octavos.
Se puede apreciar (parte sombreada) que tomar
equivalente a tomar
2
4
es
4
. Es decir:
8
2 4
=
4 8
Por ser fracciones equivalentes, las multiplicaciones
cruzadas dan el mismo resultado:
2(8) = 4(4)
3
4
−3
8
y
y
2
no son equivalentes porque
7
6
3(7) ≠ 4(2)
sí son equivalentes porque -3 (-16) = 8(6)
− 16
48 = 48
Haz cálculos mentales para indicar, con SI o NO, la equivalencia de las fracciones.
2
5
y
6
15
(
)
1
5
y
2
7
(
)
3
−2
y
6
−4
(
)
−4
3
y
−8
9
(
)
14
En general, para que a = c sea válida, debe suceder que _________.
b
d
De una fracción cualquiera se puede obtener otra equivalente de dos maneras:
1ª. Multiplicando tanto al numerador como al denominador por el mismo número
(excepto por cero).
Por ejemplo: Al multiplicar numerador y denominador de
equivalente
6
8
. Por tanto:
¿Cómo se obtiene
15
3
4
=
4
por dos se obtiene su
6
8
a partir de
21
3
5
7
? ___________________________________________
2ª. Dividiendo numerador y denominador entre el mismo número (excepto entre cero).
Por ejemplo: Al dividir numerador y denominador de
3
2
. Por tanto:
21
14
entre 7 se obtiene su equivalente
14
3
=
¿Cómo se obtiene
21
2
4
a partir de
9
20
45
? ____________________________________________
¡Reto!: Escribe una fracción equivalente a a :
.
b ____
Escribe una equivalente a
3x
:
6 y _____
Simplificar una fracción significa encontrar su equivalente mediante una división:
34
se simplifica al dividir entre 2 el numerador y el denominador:
14
30
35
34
14
se simplifica al dividir el numerador y el denominador entre ___:
=
17
7
30
=
____
35
Bruno divide en dos partes iguales un terreno; si la mitad de una de esas partes la siembra de
alfalfa, ¿qué fracción del terreno está sembrando de alfalfa?
____.
La mitad de
1
2
puede obtenerse así:
O así:
De la misma manera:
tercera parte de
1
4
.=
O así:
tercera parte de
1
4
.=
mitad de
1
2
1
mitad de
2
=
=
=
=
1
2
( 21 ) =
1
2
2
=
15
FICHA DE TRABAJO
I. Recuerda: una fracción se transforma en otra equivalente si se cambian a la vez tanto el
signo del numerador como del denominador. Es decir, si tanto el numerador como el
denominador se multiplican por –1.
3
Por ejemplo:
=
5
−3
−3
−5
5
=
3
3
−5
−5
=
−3
5
Observa las fracciones anteriores. Puedes concluir que el signo menos puede colocarse
indistintamente en el denominador o en el numerador de la fracción, o bien antes de la
“raya de quebrado”:
−2
2
=
7
−7
= −
2
7
Encuentra las fracciones equivalentes escribiendo lo que falta.
a)
5
=
b)
3
-3
x 2x
e) =
4
f)
6
=
7
−3
−6
=
c) −
1
5
g)
1
2
=
−7
=
−1
2
2
=−
y
y
d)
5
−35
8 −8
=
20 20
h)
II. En cada paréntesis marca con “palomita” ( ) cuando se trate de fracciones equivalentes y
con “tache” ( ) cuando no lo sean (resuelve mentalmente):
a)
1
5
(
)
13 − 13
,
18 − 18
(
2 10
d) −
g)
,
a 43a
,
b 43b
(
)
)
b)
3 4
,
4 3
e)
− 40 - 20
,
14
7
(
x 2x
,
5 7
)
h)
(
)
(
c)
)
f)
i)
−9
2
,
9
−1 2
,
3 6
4
,
(
−2
6
15 17
)
(
)
(
)
III. Del conjunto de números enteros {. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,. . .}, expresa los siguientes
como el cociente, a su vez, de dos números enteros:
1=
2=
3=
0=
-1 =
-2 =
-32 =
851 =
IV. ¿Existe un número entero que no se pueda expresar como el cociente de dos números
enteros a su vez? ____. ¿Existe un número natural que no sea entero? ____
V. De un pastel, Emiliano se comió una tercera parte, mientras Nestor sólo comió dos sextas
partes. ¿Quién quedaría más satisfecho si estaban igual de hambrientos? ______________ .
Sigue. . .
16
VI. Sombrea en cada figura la fracción que se indica.
1
3
2
6
3
4
1
16
a) Si el hexágono tiene un área de 15 cm2, ¿cuál es el área de lo que sombreaste?
______
.
b) El área del decágono es 20 cm2, ¿cuánto mide la quinta parte de su área? ______, en
consecuencia, ¿cuánto mide el área de la parte que sombreaste? _______ .
c) ¿Cuánto sombreaste del rectángulo, si su área total es de 16 cm2? _______ .
d) ¿Cuánto sombreaste del círculo, si su área total es de 22 cm2? (simplifica tu respuesta y
déjala expresada como una fracción) __________.
VII. Tres personas hicieron una prueba de inteligencia. La primera contestó correctamente
4
7
de las preguntas, la segunda contestó en forma correcta 44 y la tercera contestó tantas como
la mitad de las que contestó la primera más la mitad de las que contestó la segunda. ¿Quién
resultó ser más inteligente de acuerdo a la prueba, si ésta constó de 77 preguntas?
____________________________________________________________________
VIII. Una expresión, como por ejemplo
− 12
, donde tanto el numerador como el denominador
7
son números enteros, recibe varios nombres. Escribe dos más:
Quebrado, división, cociente, ___________, ___________
IX. Si vaso y medio de agua cuesta $1.50, ¿cuánto costarán 5 vasos? _______.
¡Reto!: En “La Parisiense” venden un metro de tela de 60 cm. de ancho en
$50.00. En “Junquillo” venden un metro de la misma tela, pero de 80 cm.
de ancho, en $70.00. ¿En cuál venden más barato? ________________
17
RAZÓN COMO PORCENTAJE, PROMEDIO, FRECUENCIA, PROBABILIDAD. . .
Si una fracción se utiliza para comparar dos magnitudes, se denomina razón.
Por ejemplo: En un mapa se indica que la escala es de 1 a 20 000 cm.; esto quiere decir que
cada centímetro en el mapa representa 20 000 cm. de longitud real. Esto se escribe así:
1
20000
(esta razón se lee: 1 es a 20 000).
¡Reto!:
Si en otro mapa se indica que la escala es de 3 a 60 000 cm., ¿se trata de una
situación diferente a la anterior? Explícalo:
___________________________________________________________________
Imagina que te venden 1 caja de chocolates en 100 pesos. Esto lo puedes expresar con la
1
(1 es a 100).
razón
100
¿En cuánto te venderían 2 cajas de chocolates? ___________. Lo cual se expresa así:
1
=
2
(se lee: 1 es a 100 como 2 es a 200)
100
200
¿En cuánto te venderían 3 cajas? ________. ¿En cuánto 75 cajas? __________.
Es decir:
3
1
=
(1 es a 100 como 3 es a 300)
100
300
1
100
=
75
7 500
( _________________________________________________________ )
Porcentaje
20% de A es lo mismo que 20 centésimos de A y es lo mismo que 20 por A entre 100:
20% de A =
20
100
A=
20 A
100
El porcentaje de un número “x” se puede escribir de varias maneras indistintas. Por
ejemplo, el 5 por ciento de 80:
5% de 80,
1
5 80
5
(80) , ( ) ,
5(80)
100
100
100
Resuelve mentalmente:
¿Cuál es el 20% de 300? ____ ¿Cuál es el 8% de 50? ___ ¿El 35% de 70? ______.
¿Qué me conviene más, el 30% de 66 o el 66% de 30? ____________.
18
Se quiere saber qué tanto por ciento es 24 de 40. Para averiguarlo conviene establecer una
equivalencia de razones:
40 es al 100 por ciento como 24 es a “x por ciento”:
40 24
=
100 x
Entonces: 40 x = 24(100),
y por lo tanto: x = 60
Es decir, 24 es el 60% de 40.
¡Reto!
En la gráfica circular de la derecha
se representa la población escolar
por nivel de la UNAM, en el año lectivo 2013-2014
(Fuente: Agenda Estadística UNAM 2014).
Si la población total era de 337 763 alumnos,
a) ¿Cuántos alumnos tenía el Bachillerato?
______________
b) ¿Cuántos alumnos tenía la Licenciatura?
______________
c) En la gráfica, ¿cuántos grados de la
circunferencia ocupa el sector que corresponde
al Posgrado?
__________
Promedio
En un torneo de futbol, el jugador A metió 3 goles en 8 partidos. Esto se puede expresar
como un promedio de goleo, así
3
= 0.375
8
El promedio de goleo del jugador B que metió 6 goles en 16 partidos fue:
Otro jugador, C, metió 4 goles en 9 partidos, por lo tanto su promedio fue:
6
16
4
9
= 0.375
= ______ .
19
¡Reto!:
Juvenal es un tirador de arco que da en el blanco en 7 de cada 13
veces que lo intenta, mientras que Fortino acierta en 5 de 11 tiros.
¿Quién es más certero?
Resuelve sin efectuar divisiones. Idea: Para comparar las razones conviértelas en
fracciones con el mismo denominador, para ello multiplica numerador y denominador de cada
fracción por un mismo número, de tal manera que ambas resulten con el mismo denominador:
Juvenal: 7
Fortino: 5
13
11
El promedio de Juvenal ¿fue mejor, peor o igual al de Fortino? _______
Frecuencia
Imagina una moneda sin grosor que se lanza 30 veces en total y en 12 ocasiones cae
“águila”. La ocurrencia de las “águilas” se puede expresar como una frecuencia relativa o
razón:
12
30
=
6
15
=
2
5
(al simplificar)
De un total de 84 veces que se lanzó una moneda, cayó “águila” en 40 ocasiones ¿cuál fue
la frecuencia relativa de los resultados (simplifícala)?
.
_____ = _____
Probabilidad
De los dos resultados posibles que hay al lanzar una moneda (“águila” y “sol”), uno de dos
es águila, se dice entonces que la probabilidad de que una moneda caiga águila es
1
2
.
¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga sol? ___.
Al lanzar un dado, de los seis resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6) tres son pares
(2, 4 y 6); entonces, la probabilidad de que caiga número par es:
3
6
=
1
2
¿Cuál es la probabilidad de que caiga número impar? ___ = ___ .
¿Cuál es la probabilidad de que caiga en número “mayor que 4”? ___ = ___
Cuatro de las 52 cartas de una baraja son ases, entonces ¿cuál es la
probabilidad de que en un juego me den un as? ___ = ___
20
FICHA DE TRABAJO
Trata de contestar haciendo los cálculos mentalmente. Lo poco que requieras escribir hazlo
en el margen de la hoja.
I.- A una fiesta se invitó a 25 personas pero faltaron 4; meses después se organizó otra fiesta
y faltaron 8. ¿Cuántas personas fueron invitadas a la segunda fiesta si se sabe que la razón
de ausentismo fue la misma? ____.
II.- En un camión para 40 pasajeros sólo viajan 15.
a) ¿Qué fracción de asientos va desocupada? (simplifica)
b) ¿Qué fracción de asientos va ocupada? (simplifica)
__________.
_________.
III.- En la figura:
a) La razón que compara la altura del
edificio con la altura del árbol es:
20
(se lee 20 es a 8).
8
b) La razón que compara la estatura
de la persona mayor con la estatura
del niño es:
______.
c) Al ser las razones anteriores equivalentes, se cumple la igualdad:
____________
¿Cuál es la estatura del niño? ___________.
IV.- El promedio de bateo de un jugador de beisbol llegó a ser de 0.333… Expresa ese
promedio como una razón
. ¿Cuántos jits conectó en 10 juegos? ___ .Supón que siguiera
___
bateando con la misma eficacia, ¿cuántos jits debieran esperarse en 30 juegos? ____.
V.- Al lanzar un dado, ¿por qué se dice que la probabilidad de que caiga 5 es igual a
1
?
6
(Para tu respuesta piensa lo que representa el numerador 1 y el denominador 6)
___________________________________________________________________.
VI.- De los 32 millones de mexicanos que tienen 15 años o más se calcula que 5.4 millones
son analfabetas (Proceso.com.mx, 25 de abril de 2015) ¿qué porcentaje son analfabetas? _____.
VII.- Los habitantes de la zona metropolitana de la Cd. de México (integrada por 16
delegaciones, 59 municipios del Estado de México y uno de Hidalgo) constituyen el 18% del
total de la República Mexicana (112 millones). ¿Cuántos habitantes hay en zona
metropolitana de la Cd. De México? __________.
21
ORDEN
4
5
De
y
¿cuál es mayor?
3
2
Dos números racionales se pueden comparar entre sí de, al menos, tres maneras:
1. Representándolos en la recta numérica.
Por ejemplo: 4 y 5
2
3
6
3
4
2
3
3
0
-1
Se cumple que
Otro ejemplo: -
1
4
3
6
2
5
2
2
5
4
>
(se lee: 5 es mayor que
2
3
2
4 ),
3
porque
3
5
4
está a la derecha de .
2
3
8
3
y- :
3
2
-6
3
-8
3
-3
-2
-3
2
-1
1
0
8
3
8
3
< - (se lee: - 8 es menor que - 3 ) porque - está a la izquierda de - .
3
2
3
2
3
2
Representa los números racionales y en medio de ellos escribe el signo “mayor que” (>) o
“menor que” (<) según corresponda:
9
7
a)
4
3
Así, -
0
-1
b)
-
4
3
-3
-
1
2
3
11
5
-2
-1
0
1
Los símbolos “>” y “<” se conocen como signos de desigualdad.
2
3
22
2. Otra forma de comparar números racionales consiste en calcular su valor en forma
11 17
decimal. Por ejemplo, para comparar
y
se efectúa la división.
20
13
11
= 0.846
13
17
= 0.85
20
Por lo tanto
11
< 17
13
20
Escribe el signo de desigualdad válido: a) 13
45
37
125
b)
42
31
c) 30
677
500
121
29
120
3. Una manera más de comparar dos números racionales es transformándolos a fracciones
con el mismo denominador. Por ejemplo, para comparar 3 y 9 :
8
3 (7)
21
=
8 (7)
56
(
7
3
se transforma en una fracción equivalente multiplicándola por 7, que es el
8
denominador de la otra fracción)
72
9 (8)
=
7 (8)
56
(
9
se transforma en una fracción equivalente multiplicándola por 8, que es el
7
denominador de la otra fracción)
Ya con el mismo denominador se puede afirmar que
3
9
21
72
<
porque
<
.
8
7
56
56
3
6
y
son equivalentes. Compáralas y descubre porqué.
7 14
___________________________________________________________________.
Con el método de comparación anterior transforma las fracciones al mismo denominador y
relaciónalas con “>” ó “<”, como en el inciso a) siguiente:
Las fracciones
a)
10
2 2 (5)
=
= 15
3 3 (5)
Por lo tanto
4 4 (3) 12
=
=
5 5 (3) 15
b) − 13 =
− 12
=
6
141
=
100
320
=
301
5
2
4
<
3
5
c)
−8
=
11
3
=
7
e)
4
=
9
20
=
45
d)
¡Reto! Sin efectuar operación alguna
escribe el signo de desigualdad:
15
72
-86
72
23
FICHA DE TRABAJO
Trata de escribir lo menos posible, sólo si fuera necesario hazlo al margen de la hoja.
1
2
1
I.- ¿Cuál es mayor
ó ? ____.
¿Cuál es mayor -3 ó ? ____.
7
7
8
II.- Observa esta sucesión de fracciones:
1 1 1 1
, , , (el numerador no cambia y el denominador, ¿aumenta o disminuye? __________)
2 3 4 5
a) A mayor denominador, el valor de la fracción ¿aumenta o disminuye? ___________.
1 1
b) ¿Si a > b, entonces > ? ____.
a b
III.- Observa lo que pasa en estas fracciones:
6 6 6 6 6 6 6
, , , , , , …
2 3 4 5 6 7 8
↑
1 1 1 1 1
,
, , , …
-2 − 1 1 2 3
↑
a) ¿Cuál es el valor de las fracciones señaladas con las flechas? ____.
b) A la derecha de las flechas, ¿cómo es el denominador con respecto al numerador?
________. Cuando esto sucede, ¿cómo es el valor de la fracción con respecto a la unidad,
mayor o menor? ________.
c) Observa las fracciones del lado izquierdo. A la izquierda de la flecha, ¿cómo es el
denominador con respecto al numerador? ________, ¿cómo es el valor de la fracción con
respecto a la unidad, mayor o menor? ________.
d) Observa las fracciones del lado derecho. A la izquierda de la flecha, ¿cómo es el
denominador con respecto al numerador? ________, ¿cómo es el valor de la fracción con
respecto a la unidad, mayor o menor? _________ .
Si la fracción es negativa, con respecto a la unidad, ¿es mayor o menor? _______.
a
a
e) De lo anterior: si >1, entonces a > __ ;
si < 1, entonces a < __
b
b
IV.- Dos maratonistas abandonaron la carrera antes de llegar a la
8
7
meta. El primero recorrió del trayecto, el otro
¿Quién llegó
9
8
más cerca de la meta si la ruta mide 42 Km? ____________.
¿Cuántos Km. le faltaron al que llegó más cerca de la meta?
__________.
V.- Indica el número entero que hace correcta cada desigualdad:
a)
3
<
3
1
b)
m
>
5
5
(con m positivo)
c)
-8
>
7
7
d)
3 3
<
p
(con p positivo)
24
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
SUMA Y RESTA:
1. Si el denominador es el mismo, basta con efectuar con los numeradores las operaciones
indicadas y conservar el denominador, hazlo directo como se muestra en el inciso a):
a)
7 4 11
+ =
2 2 2
b)
9
2
+
=
31 31
c)
7 4
+ =
5 5
d)
13
26
=
532 532
e)
8 4 12
- + =
9 9 9
f)
7
4
1
−
−
=
2 1 21 21
g)
2 3
+ =
a a
h)
7 4
− =
x x
j)
m m
+
=
2
2
i)
z z
- =
3 3
2. Cuando los denominadores difieren, conviene calcular su mínimo común múltiplo (m.c.m.),
también conocido como mínimo común denominador (m.c.d.).
El m.c.m. de dos números enteros es el menor múltiplo común; se encuentra efectuando el
producto de sus factores primos (un número entero es primo si sólo es divisible entre la
unidad y entre sí mismo, excepto el 1).
Por ejemplo, para obtener el m.c.m. de 45 y 18, a ambos se les saca mitad, tercera, etc.,
hasta llegar a 1:
45
18
3
(se saca tercera)
15
6
3
(se saca tercera)
5
2
5
1
2
2
(se saca quinta)
(se saca mitad)
1
Al multiplicar los factores primos: 3(3) (5) (2) = 90, ∴ m.c.m. (45 y 18)=90 (se lee
el mínimo común
múltiplo de 45 y 18 es igual a 90).
Al sumar o restar números racionales de denominadores distintos, se puede proceder así:
2 3
+
8 6
1° Se calcula el m.c.m. de los denominadores.
a) Ejemplo:
8
6
2
4
3
2
2
3
2
1
3
3
1
m.c.m.(8, 6) = 2(2)(2)(3) = 24
25
2° El m.c.m., que resultó ser 24, se divide entre cada
denominador y el resultado se multiplica por el
numerador respectivo.
2 3 6 + 12
+ =
8 6
24
3° Se suman (o restan) los numeradores y se simplifica
el resultado.
18 3
=
24 4
b) El concepto de m.c.m. permite resolver problemas, por ejemplo:
Alma y Jaime se encontraron hoy en la biblioteca. Si Alma va a la biblioteca cada 6 días y
Jaime va cada 7 días, ¿cuántos días pasarán para que se vuelvan a encontrar en la
biblioteca?, (la biblioteca abre todos los días).
Idea: Alma va en múltiplos de 6 y Jaime va en múltiplos de 7.
Los días que transcurren para que Alma asista a la Biblioteca son:
{6, 12, ____, ____, ____, ____, ____, ____,…}
Los días que transcurren para que Jaime asista a la Biblioteca son:
{ ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____,…}
(Los múltiplos de 6)
(Los múltiplos de 7)
Es evidente que m.c.m. (6,7) = ______.
O bien, calculándolo por el método visto antes:
7
6
____
1
6
____
1
1
Es decir, Alma y Jaime se volverán a encontrar en la Biblioteca dentro de ____ días.
Practica el cálculo del m. c. m. efectuando estas operaciones:
a)
11 2
- =
15 5
b)
3 5 7
+ +
=
7 4 32
c) 4
11
3
3
- 2 −1 =
20
4
80
En una suma sencilla (o resta) se aconseja convertir las fracciones al mismo denominador.
Sin utilizar calculadora ni hacer operaciones por escrito, haz primero la conversión:
2 1 2
+ = +
9 3 9
9
=
11 2
- =
15 5
-
=
32 2 4
- + =
21 7 3
-
+
=
¡Reto!: Calcula convirtiendo al mismo denominador sin hacer operaciones aparte:
d)
12 9
− =
53 53
e)
125 5
− =
24 6
f)
17 18
+
=
3
9
g)
3 3
- =
2 4
h)
b b
+ =
9 3
i)
p 1
+ =
5 5
26
3. El máximo común divisor (M.C.D.) de dos números es el mayor de sus divisores
comunes, se obtiene calculando los divisores comunes y multiplicándolos.
Para obtener el m.c.d. de 45 y 18 se identifican los divisores comunes:
45
36
3
(se saca tercera a ambos números)
15
12
3
5
4
(se saca tercera a ambos números)
(ya no hay divisor común a los dos números)
El resultado de multiplicar : 3(3) = 9, es el máximo común divisor: M.C.D.(45, 18) = 9 (se lee el
máximo común divisor de 45 y 18 es igual a 9).
a) ¿Cuál es el M.C.D. de 24 y 36?
24
36
3
(se saca tercera a ambos números)
8
12
___
(se saca _________ a ambos números)
4
6
___
(se saca _________ a ambos números)
2
3
(_______________________________________________)
∴ M.C.D.(24, 36) = ____ (se lee el máximo común divisor de 24 y 36 es igual a _____)
b) El concepto de M.C.D. permite resolver problemas, por ejemplo:
Un comerciante tiene cartulinas de 120 cm. de largo por 90 cm de ancho. Para
venderlas, decide cortarlas (dividirlas) en cuadrados, pero de tal manera que no queden
pedazos sobrantes, ¿de qué medida deben ser el lado de los cuadrados que corte?
Los divisores del largo (120) son: {120, 40. 30, 24, 20, 15, 12, 10, 8, 6, 5. 4, 3, 2, 1}
Los divisores del ancho (90) son: {90, 45, 30, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2, 1}
Para asegurar que no haya sobrantes, identifico al mayor de los divisores comunes, que es
_____; es decir: M.C.D.(120, 90) = ____
Calculándolo por el método visto antes:
120
90
2
60
45
____
12
9
3
4
3
Lo cual quiere decir que medida de los cuadrados que corte debe ser de ____ cm.
27
FICHA DE TRABAJO
LEE, COMPRENDE, RESUELVE Y CONTESTA.
I. Resuelve sin escribir las operaciones. Para ello convierte mentalmente una de las
fracciones en otra equivalente, de tal manera que tengan el mismo denominador:
a)
1 3
+ =
2 4
b)
3 1
+ =
10 5
c)
7
2
+
=
9
81
II. El Sr. Ávila les repartió un terreno a sus tres hijos: al primero le correspondieron
del mismo y al segundo
3
partes
7
3
. ¿Cuántos metros le correspondieron al tercer hijo si el terreno
8
mide 500 m2? __________.
III. Tres varillas miden, la primera
13
5
3
m de largo, la segunda m y la tercera
m. ¿Cuál es
16
8
8
la longitud total de las 3 varillas? _______.
IV. Un obrero haría cierto trabajo en 12 días, otro lo haría en 8 días. ¿Qué fracción del
trabajo harían los dos juntos en un día? Sugerencia: define qué fracción del trabajo haría en un día
cada obrero si trabajara solo.
_____ .
V. Un camión debe recorrer 180
2
1
Km. para llegar a una ciudad. Si ha recorrido 123 Km.
5
2
¿Cuántos Km. le faltan para llegar? Sugerencia: realiza por un lado la operación con
los números enteros y por otro la operación con los fraccionarios.
______ .
VI. En abril pesaba 76 3 Kg., en junio había bajado 6
4
2
Kg. y en julio aumenté
3
1
1 Kg. ¿Cuánto llegué a pesar en julio? _______.
2
VII. Una casa tiene 4 pisos y su altura es de 15
1
m. El primer piso mide 3 3 m. de alto, el
4
10
segundo 3 6 m. y el tercero 3 8 m. ¿Cuánto mide el cuarto piso? __________.
7
9
VIII. Max gana 50 pesos por hora y Santiago 110 pesos por hora. Al terminar cada quien su
jornada de trabajo resultó que ambos habían ganado lo mismo, ¿cuál es el menor número de
horas que Max debió haber trabajado? Calcula mentalmente.
_______
11 h.
28
HAZ LAS OPERACIONES EN UN CUADERNO.
IX. Eloy desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo
que cada caja contenga el mismo número de manzanas que de naranjas, y el
mayor número posible. Halla el número de naranjas de cada caja y el número
de cajas necesarias.
______________________________________________________________________
1 2 4 n a ran ja s en c ad a c aj a; c a j as d e n a r an j a s: 1 0 3 ; ca ja s d e man z an as : = 9 7 ; ca jas n e ce s ar ia s: 2 0 0
X. Demetrio tiene bolsas de higos metidos en dos huacales. En el huacal A tiene bolsas de
24 higos cada una y no sobra ningún higo. En el huacal B tiene bolsas de 20 higos cada una
y tampoco sobra ningún higo. El número de higos en el huacal A es igual que el que hay en
el huacal B. ¿Cuántos higos como mínimo hay en cada huacal?
______________________________________
Se debe calcular el m.c.m entre los números. El número mínimo de higos en cada caja es 120.
XI. A Mariano le recetan Paracetamol en tabletas para tomarse una cada 8 horas; también le
recetan pomada que debe untarse cada 12 horas. Si se acaba de tomar la pastilla y ponerse
la pomada, ¿dentro de cuántas horas deberá hacer lo mismo?
________
24 h.
XII. Por la parada “Polyforum” del metrobús que circula por la avenida Insurgentes, en la Cd.
de México, pasan los que van a “El Caminero” cada 8 minutos, los que van a “Dr. Gálvez”
pasan cada 15 minutos y los que van a “Baja California” pasan cada 18 minutos. Si acaban
de llegar al mismo tiempo a esa parada, ¿dentro de cuántos minutos, como mínimo,
coincidirán de nuevo?
________________________________________________
Se debe calcular el m.c.m de los 3 números. Los metrobuses se volverán a encontrar en el paradero dentro de 360 minutos.
XIII. En un laboratorio se van a mezclar tres compuestos para obtener
varias muestras. Del primero se tienen 10 mg, del segundo 15 mg y del
tercero 90 mg. Se necesita saber el número máximo de muestras posibles,
de manera que haya la misma cantidad de cada compuesto en cada una.
¿Cuántas muestras podremos hacer? ¿Cuántos mg. de cada compuesto
contendrá cada muestra?
_____________________________________________________
S er í an 5 mu es tr a s co n 2 mg d el p ri me r co mp u e sto , 3 mg d el s e gu n d o co mp u es to y 1 8 mg d el ú lti mo
c o mp u e sto .
29
MULTIPLICACIÓN
Un rectángulo se divide en quintos y se toman dos quintos (figura de la izquierda):
1
5
1
5
1
5
1
5
1
3
1
3
1
3
De los
2
1
se tomó (figura de la derecha).
5
3
La parte sombreada del segundo rectángulo representa
rectángulo. O sea:
Un tercio de dos quintos =
1
2
2
de ; a su vez representa
del
3
5
15
2
1 2
=
35
15
2
se puede entender como el resultado de multiplicar numerador por numerador
15
y denominador por denominador.
La fracción
¡Reto!: Escribe el resultado de la multiplicación
a c ____
=
b d
Al multiplicar números racionales se podrían simplificar antes de obtener un resultado:
3 5
=
16 9
18 26
=
13 9
1
3 (5)
5
=
(se sacó 3ª)
16 (9)
48
3
2 2
18 (26)
= 4 (se sacó 9ª y 13a)
13 (9)
1 1
Simplifica primero y luego escribe el resultado (no olvides los signos):
a)
− 2 15
=
5 18
b)
3 34
=
17 - 27
c)
2 7 44
=
11 3 8
30
DIVISIÓN
ACUÉRDATE…
Dividir cierta cantidad de cosas entre un número sugiere la idea de
repartir.
Si repartes 10 cosas entre 2 personas, a cada una le tocan 5:
10
= 5, esto es cierto porque 5 veces 2 es igual a 10
2
Si esas 10 cosas las repartes entre cuatro personas, a cada una le tocan dos y media:
10
= 2.5, esto es cierto porque 2.5 (4) = 10
4
En la práctica, un reparto no siempre tiene validez; por ejemplo, el reparto anterior sería
válido si se tratara de rebanadas de pastel, pero no la tendría si fueran focos.
Por otra parte, si las 10 cosas no se repartieran, sería absurdo decir que a cada persona le
tocó tal o cual cantidad. Matemáticamente el “reparto” entre cero personas:
10
0
es inexplicable, pues no existe ningún número que al multiplicarse por 0 resulte 10.
La división de cualquier cantidad entre cero no es válida; también se dice: no tiene
sentido, es imposible o está indeterminada.
¡Cuidado con las divisiones entre cero encubiertas!
a
x
no es válida para b = 0,
no tiene sentido si x = 1
b
x −1
0
8
8
Escribe el resultado:
=
=
=
8
8
0
¿Para qué valores de x no son válidas estas fracciones?
Por ejemplo:
a
no es válida si x = ____.
x
5
no es válida si x = ____.
x+3
Recíproco de un número racional:
1
El recíproco de un número x es .
x
1
El recíproco de 5 es , el recíproco de 61 es ___, el recíproco de -6 es ____.
5
1
3
5
−4
1
El recíproco de es , es decir . El recíproco de
es
, es decir
3
5
3
7
5
31
En cada producto que sigue se multiplica un racional por su recíproco, encuentra los
resultados:
−8 9
=
9 −8
35
=
53
1
4 =
4
−1
(− 7 ) =
7
Por lo tanto, el producto de un número por su recíproco siempre es ___.
1
1
x•
= 1 ( también se conoce como el inverso multiplicativo de x).
x
x
¡Reto!: el recíproco de
1
a
a b
___
es , es decir
; además:
•
= ___.
a
b
b a
b
= 1
El recíproco de (m – n) es ____, además (m – n)
1
1
es a .
El recíproco de un número a es , y viceversa, el recíproco de
a
a
Existe un número que no tiene recíproco. ¿Cuál es? ____.
La división de dos números racionales se puede obtener así (dibuja las flechas que faltan):
a
c
ad
÷
=
b
d
bc
Si la división se cambia por una multiplicación y la segunda fracción
a
d
c
se transforma en
d
c
ad
d
=
¡se obtiene el mismo resultado que al dividir!
c
bc
b
4 2
2
Ejemplo, para dividir ÷ se transforma en multiplicación y se cambia
por su recíproco:
9 3
3
(su recíproco),
•
2 1
4 3 4 (3)
2
. =
=
9 2 9 (2)
3
3 1
Transforma estas divisiones en multiplicaciones por el recíproco, después obtén el resultado
más simplificado posible:
a)
8 4
÷ =
15 5
b)
7
28
÷
=
35
5
c)
54 27
÷
=
20 30
32
3
Las divisiones de números racionales suelen aparecer en esta otra forma: 4
2
5
Para efectuarlas se puede expresar de la manera usual y calcular el resultado:
3
4 = 3 ÷ 2 = 3(5) = 15
2 4 5 4(2) 8
5
Sin embargo, para hacerlo directamente recuerda estos nombres:
3
extremos medios 4 =
2
5
Observa, dividir estas fracciones equivale a dividir el producto de los extremos entre el
producto de los medios:
Extremos medios
3
4 = 15
2 8
5
(producto de los extremos entre el producto
de los medios).
En los cocientes con quebrados es importante ubicar la “raya principal”, por ejemplo, no es lo
3
3
mismo: 4 = , que: 3 = 21 (la raya principal se debe alinear con el signo =).
7 28
4 4
7
Escribe el resultado sin efectuar pasos intermedios y simplifica:
5
a) 7 =
2
3
4
b) 9 =
9
6
17
d) 11 =
2
11
8
e) 19 =
4
3
g) 4 =
3
4
x
h) 8 =
x
16
6
c) 15 =
2
10
f)
i)
2
=
5
7
a
=
a
13
p
q
j)
=
r
s
33
FICHA DE TRABAJO
Se pretende que razones aplicando tus conocimientos.
I.- Escribe como una razón:
a) La fracción de días completos que han transcurrido de este mes
_____.
b) La fracción de meses completos que han transcurrido de este año
c) La fracción de años completos que han transcurrido de este siglo
_____.
_____.
II. ¿Qué tanto por ciento de intereses obtiene un inversionista al año, si recibe $9 200.00 por
un capital fijo de $ 150 000.00? ______.
III.- De manera aproximada, ¿cuántas horas del día duermes? ____. En consecuencia, ¿qué
porcentaje del día estás despierto? _____.
IV.- Federico le regala un ramo de flores a su novia. La mitad son rosas y la tercera parte son
6 alcatraces, ¿Cuántas flores le regaló? ____.
V. El salario bruto es el otorgado a una persona sin descontar los impuestos. A Karime le
1
3
descuentan por impuestos
de su salario bruto. De lo que recibe toma
partes para
5
4
gastos familiares y el resto lo destina a sus gastos personales.
a) ¿Qué fracción de lo que recibe es para sus gastos personales?
____.
34
¿Qué fracción de su salario bruto es para gastos familiares? ____.
¿Qué fracción de su salario bruto es para gastos personales?
____.
¿Cuánto toma para gastos personales si su salario bruto es de $5 800.00? _______.
VI.- Rocío camina 1 Km. en
VII.- Si en un vaso caben
leche? ____.
1
5
de hora ¿cuántos Km. caminará en 3
de hora?
_______.
6
12
3
l de leche, ¿cuántos vasos se llenan con 7 litros de
4
VIII.- Calcula planteando una división:
1
2
da ?
3
9 ____.
24
16
b) ¿Qué número multiplicado por
da
?
5
125 ____.
a) ¿Qué número multiplicado por
c) Si
5
5
de un número son ¿cuál es el número?
____.
2
3
35
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS I.1
1. La división de 9 entre 4 se indica por 9 . El quebrado 12 indica la división de ____
6
4
entre ___.
2. Son formas equivalentes para expresar la división de 17 entre 5:
5 17
, 17 ÷ 5, 17/5 ó _____
3. ¿Cuáles son las formas para indicar la división de 11 entre 20?
_______, ______, ______, ó _____
12
4. Calcula el resultado del quebrado 7 ; es decir, conviértelo a su forma decimal (al
calcularlo escribe los números alineados en columnas):
7 1 2
¿Cuál es el dividendo? ____
¿Cuál es el divisor? ____
¿Cuál es el cociente o forma decimal? ________
5. En
7
el numerador es mayor que el ______________, en consecuencia, ¿cómo es el
2
resultado comparado con 1? ________ y es una fracción ____________.
6. Calcula hasta milésimos el resultado de 3/7; es decir, conviértelo a su forma decimal
(en la operación escribe los números alineados en columna y calcula). _______
7. En 15/20 el numerador es menor que el _______________, por lo tanto, comparado
con 1 el resultado es ________ y se llama fracción ___________.
8. Marca con palomita ( ) si las fracciones son equivalentes y con tache ( ) si no lo son.
2/5 y 1/4
(
)
-3/1 y -21/7 (
)
2/a y 6/3a
(
)
8/9 y 24/27 (
)
1/2 y 9/18
(
)
-1/x y 1/-x
(
)
4/3 y 3/2
)
7/11 y 11/7 (
)
a/b y 7a/7b
(
)
(
9. Escribe 5 fracciones equivalentes a 1/5 ____________________.
10. Escribe la fracción equivalente después del signo igual, escogiéndola del renglón de
abajo. El primer inciso está resuelto.
a)
3
9
=
5 15
b)
8
=
4
c)
2
14
1
=
7
8
30
d)
9
15
15
=
9
4
2
e)
5
3
120
=
70
12
7
f)
4
=
15
36
11. Una fracción equivalente a 5 es 5/1. En este caso diremos “se racionalizó” el 5.
Racionaliza:
8:
7.2 :
___
____
-5:
____
12. Reduce a su mínima expresión como en el caso resuelto.
188/36 = 94/18 = 47/9
950/30 =
420/1470 =
640/72 =
13. Convierte los siguientes números:
A novenos: 4 = 36/9
A doceavos: 2 =
A séptimos: 6 =
A quintos: 3 =
_____
______
______
14. Cuatro centésimos se puede escribir así: 0.04, o así: 4/100. Expresa las siguientes
fracciones decimales en forma de quebrados simplificados.
0.7 =
0.005 =
3.5 =
1.758 =
8.10 =
17.1 =
10.04 =
0.2864 =
15. Completa la siguiente tabla:
Quebrado
Quebrado
simplificado
4/20
1/5
Resultado en
forma decimal
7/13
144/-84
-22/99
16. Las fracciones que tengan un número infinito de cifras en su parte decimal, pero que
formen periodos, se pueden expresar como el cociente de dos enteros. A esa clase de
números se les denomina ______________.
Dado un número con esas características, siempre se podrá expresar como el cociente de
dos enteros. Enseguida se ilustra con el número 0.333… (Escribe lo que falte):
Si se denota con “n” al número, entonces: n = 0.333333…
Como n forma periodos de una cifra, se multiplica por 10 y se obtiene 10n = 3.333...
37
Entonces se resta:
10n = 3.33333…
n = 0.333333…
Al restar: 9n = __
Al dividir entre 9 ambos lados:
Al simplificar:
Por lo tanto: 0.333333… =
n=
3
9
n = ------
1
(el número quedó expresado como el cociente de dos enteros y por lo
3
tanto se trata de un número racional).
17. Expresa 35.262626... y 1.021021021... en forma de quebrado (los puntos suspensivos
indican que los periodos en la parte decimal se repiten indefinidamente).
18. Contesta SÍ o NO:
6 es divisible entre 6 ____
80 es divisible entre 8 ____
13 es divisible entre 0 ____
1 es divisible entre 8 ____
5 es divisible entre 20 ____
48 es divisible entre 6 ____
49 es divisible entre 9 ____
21 es divisible entre 3 ____
82 es divisible entre 2 ____
3 es divisible entre 12 ____
63 es divisible entre 7 ____
Todo número es divisible entre
________________________
19. Escribe los primeros cinco...
Múltiplos de 3
{ _____, 6 , _____, _____, _____ }
Múltiplos de 10 { ____, _____, _____, _____, _____}
Múltiplos de 11 { ____, _____, _____, _____, _____}
Múltiplos de 12 { ____, _____, _____, _____, _____}
Múltiplos de 15 { ____, _____, _____, _____, _____}
38
20. Calcula el m.c.m. de:
a) 9 y 6
b) 15 y 24
c) 35 y 27
m.c.m. de 9 y 6 = ____
m.c.m. de 15 y 24 = ____
m.c.m. 35 y 27= ____
¡Reto!:
Expresa el número diez empleando sólo cinco nueves. ________
39
POTENCIAS
La primera potencia de un número es el mismo número: 41 = 4, x1 = x, (-0.3)1 = _____
Expresa la segunda potencia (o cuadrado) del número como el producto de ese número por
si mismo, multiplica y escribe el resultado:
42 = 4 x 4 = 16
(-5)2 = ______ =
(0.01)2 = _________ =
a2 = _____
La 3ª. potencia es el producto de de un número por sí mismo ¿cuántas veces? ___ .
Primero desarrolla la potencia y enseguida obtén el resultado, como en 43 = 4 x 4 x 4 = 64
03 =_______ = __, (0.3)3 = ____________ = ____, (-5)3 =________ = _____ 100 = __
101= ___ 102 = _____ = ____ 103 = _______ = ______ 1011 = _______________
¿Qué relación hay entre el exponente y el número de ceros? ________________.
Si b es un número real y n un entero, sucede que: bn = b b b . . . b
n factores
En esta expresión:
b
exponente
n
base
El exponente indica el número de veces que se toma la base como factor.
Recuerda las leyes de los exponentes:
xn
= xn -m (con x ≠ 0)
xm
1
x -n = n (con x ≠ 0)
x
xn x m = xn+m
(xn ym )p = xnp ymp
(xn )m = x nm
x 0 =1 (con x ≠ 0)
Utiliza las leyes de los exponentes para simplificar y llegar al resultado:
a) 22 23 = ____ = ____
b) (32)4 = ____ = ______
d) 70 = ___
f) 5-3 =
h)
85
= =_____ =______
82
k) 2 -3 =
n)
e) 81 = ___
____
=
___
75
____ ___
= ____ =
=
7
7
i)
___
=
_____
63
=
=
63 _____ ___
3
4
l)
−1
= ____ = ___
ñ) (-4)3(-4)-3 = _____ = __
c) 52 24 = _______ = _____
g) 1-5 =
___
3
5 5
3 3
j)
2
=
___
=
= ___ = ______
5
m) − 2 = ___ = ____
3
o) (24 52)2 = ______ = ___
p) 0-1= ___ q) 10-2= _____ r) 10-3 = ______ s) 10-4 = ________ t) 10-12 = __________
40
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al operar con números enteros debemos tener en mente la siguiente prioridad.
1° Los símbolos de agrupación
2º Potencias
3° Multiplicaciones o divisiones
4° Sumas o restas
Cuando la operación contenga signos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves) es
necesario efectuar las operaciones yendo del interior hacia el exterior.
2
-{3 – [5 (4 – 2) + 7] -3 + 2 [(-1 + 3)2 - 5] }
Para realizar la siguiente operación:
2
Primero se resuelven los paréntesis interiores:
-{3 – [5 (2) + 7] -3 + 2 [(2)2 – 5] }
Ahora las potencias y multiplicaciones del interior:
-{3 – [10 + 7] -3 + 2 [4 – 5] }
2
2
Las operaciones que agrupan los corchetes:
La potencia y la multiplicación:
Sumas y restas:
-{3 – 17 -3 + 2 [-1] }
-{3 – 17 -3 + 2}
-{–___}
Multiplicación de signos:
____
Ejercicios:
a) 2 + 3 (4) =
b) -12 (-4) =
c) (-2)6 =
d)
w7
w
5
e) (x2y3)(x5y4) =
=
Desarrolla la solución con el signo “=” en columna, como en el ejemplo resuelto:
f) 9 + 11(9) - 4(3)2=
9 + 99
g) -4 + (-3) – (-8) + (-4) – (12) =
-4(9) =
108
-36 = 72
h) 9 (-8 + 6) + 9 –4 (7 – 3) =
i) (9 – 1) (4 + 6) – (3 + 1) =
j) 2 (-2)3 + 4 (5) –2 (4) – (-3 + 8)2 =
k) 3 {(-2)3 –5 [(-2)3 + 3 (-2)] + 1} =
32 − (2 + 5)
=
l)
(3 − 1)4
23 − (7 + 9 )
m)
=
(4 + 5)4
3
2
3
4 7
n) − =
2 4
2
2
3
5 1 3
ñ) + − =
3 2 2
41
RADICALES
Además de los exponentes enteros se pueden utilizar exponentes fraccionarios de la forma
n
m
, donde n y m son números enteros y m ≠ 0 .
Una potencia de la forma
n
m
a
se define como radical y se puede expresar como una raíz:
índice
n
m
a
Por lo tanto 5
5
−3
2
3
radicando
= m an
n
(Se lee: raíz emésima de a )
es la raíz cuadrada de 53 , o sea 5
2
3
2
= 2 53 .
3
es el recíproco de 5 2 , que a su vez es la raíz cuadrada de 53 : 5
−3
2
=
1
5
Completa:
a)
1
36 2
=
=±6
-3
d) 81
4
=
b)
1
3
81
5
32 =
c) 5
e) 49
=
−1
2
2
2
3
2
=
1
53
=
= ____ =
4
Problema. Los astrónomos clasifican las estrellas por su intensidad luminosa. Cuando I1
representa la intensidad de una estrella que es cien veces más que la intensidad de otra, I2, y
r la razón entre dos intensidades sucesivas, se cumple que:
r=
¡Reto! La expresión
k
5
I1
I2
¿Cuál es el valor de r ? _____ .
x n . y m = k x n ⋅ k y m se lee: “la raíz k’ésima del producto
de dos potencias (xn, yn) es igual al producto de las raíces k’ésimas de cada
potencia” y es una de las leyes de los radicales. En un libro, o en Internet,
busca la ley parecida para cocientes de potencias. No olvides anotar la
referencia.
_____________________
Aplica la definición de radical y las leyes de los radicales para encontrar el resultado:
2 ⋅3
6
a.
c.
3
86 =
4
=
⋅
=
b.
d.
513
511
5 3
=
1715 =
=
42
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS I.2
Califica con falso o verdadero cada enunciado.
I.
1. La suma de dos números enteros positivos es positiva. (
2. La suma de dos números enteros negativos es positiva. (
)
)
3. La resta de un número positivo menos un negativo es negativa. (
)
4. El cociente de dos números enteros de diferente signo es negativo. (
5. Al elevar un número negativo a potencia par el resultado es positivo. (
)
)
6. Al elevar un número negativo a potencia impar el resultado es negativo. (
)
II. Resuelve.
1. A la derecha dibuja con curvas
cerradas un diagrama en que se
muestre la relación entre números
naturales, enteros, racionales e
irracionales.
Unidos, todos los conjuntos anteriores forman el conjunto de números ________ .
2. Al multiplicar tres números negativos y luego dividirlos entre un número negativo, la
solución tiene signo _____________, por ejemplo._____________________ .
3. ¿Existe algún número tal que al elevarlo al cuadrado el resultado es negativo?
Sí (
) No (
) Apoya tu respuesta con dos ejemplos.
1er ejemplo: ____________
2º Ejemplo: _____________
4. La diferencia entre dos números negativos es positiva cuando el minuendo:
________________________________________________ Ejemplo: ___________.
5. Si 3 x 2 = 2 + 2 + 2, ¿qué significado tendría –3 x –2? _______________________
_____________________________________________________________________
III. Simplifica.
a) (-3)4 =
b) (-10)5 =
c) 98/7 =
d) -125 / -5 =
e)
3
343 =
f) -14 - (-12) - (13) + (-21) + (12) =
43
{
]}
[
g) - 3 (1 - 2) 25 + 2 3 + 6 - 3 27 (2 + 4) + 3( -3 - 1 =
i)
h) (8 – 2)(4 – 3)-(4 – 2)(5 – 4) =
[ {
}
]
j) 2 4 − 2(3 − 5) − 4(−1 + 2) + 3 16 + 8(2) − 1 =
− 9(−6) + 2(−3) 3 − 2(28)
=
− 4(5) + 12(2) 2
− 2(−8) + 5(−3) + (−3) 3
k)
=
− 3(−2) + 5(2)
IV. Resuelve sin equivocarte:
1. En la página 264 del libro Miles de Millones de Carl Sagan (1998) se dice:
“… El presupuesto anual de Rusia es de unos 30 000 millones de dólares.
Otro tanto representa el de China. Los presupuestos militares de Irán, Irak,
Corea del Norte, Siria, Libia y Cuba suman unos 27 000 millones de
dólares. El gasto de Estados Unidos supera en un factor de tres al de todos
esos países juntos, y supone el 40% de los gastos militares mundiales.”
Según Sagan, el total de gastos militares mundiales era de _______________________.
2. Si la devaluación fue de 5% el año pasado, un peso ahora vale 95 cts. Supón que la
devaluación anual se mantiene igual en el futuro, ¿cuánto valdrá el peso dentro de 10
años? ___________ .
44
3. Una cigarra llamada Cicadas emerge de la tierra cada 12 años
y cierto tipo de oruga tiene ciclos de vida cada ocho años. Si
los ciclos de la cigarra y la oruga coincidieron en 1990,
determina el próximo año en que volverán a coincidir._______ .
4. En una reunión de amigos nos dimos cuenta de que si formábamos grupos de 2 en 2
se formarían grupos exactos, lo mismo sucedía si se hacían grupos de 3 en 3, de 4 en
4 o de 5 en 5. ¿Cuántos habíamos en la reunión? _____ .
5. Piensa sin escribir. La suma de dos números es 50; si uno de ellos es 10, determina el
producto de ambos números. _____ .
6. Un camión viaja hacia el norte a una velocidad de 100 Km/h, otro parte del mismo
punto y a la misma hora hacia el sur a una velocidad de 90 Km/h. Determina la
distancia entre los autos después de 3 horas. ______ .
7. MI automóvil rinde 12 Km. por litro de gasolina en la ciudad y 15 Km. por litro en
carretera. Si salí a carretera y gasté 15 litros, luego entré a la ciudad y gasté 23 litros,
¿qué distancia recorrí? _______ .
45
8. ¿Qué tipo de número resulta cuando se restan dos números impares? ___________.
9. Para medir distancias interestelares, los astrónomos utilizan como unidad de medida
el año luz, o sea la distancia que recorre la luz en un año (la luz recorre 3 x 106 Km.
en un segundo). ¿A qué distancia equivale un año luz?
Sugerencia: haz la conversión de
Km
s
a
Km
min
considerando que cada minuto tiene 60 s, luego convierte a
Km
considerando que cada hora tiene 60 min., después a Km considerando que cada día tiene 24 h. y
h
día
finalmente a Km considerando que cada año tiene 365 días. Del resultado podrás deducir la respuesta.
año
10. El tiempo que tarda un péndulo en hacer una oscilación completa (ida y vuelta) se
llama periodo. Si el péndulo consta de una bola suspendida de un hilo cuya longitud L
se mide en cm., el periodo T (en segundos) se puede calcular mediante la fórmula
T = 2π
L
980
. ¿Cuál es el periodo de un péndulo cuyo hilo mide 88.2 cm? _______ .
V. Resuelve mentalmente:
a) –10 + 8 – 5 + 23 =
d) 46 (-
1
)=
12
g) (-6)3 =
b) –43 – (-25) =
c) 24 – (-42 ) =
e) (2)10 =
f) -875 ÷ -7 =
h) 126 / -2 =
i)
3
− 64 =
11. Una estudiante resolvió un ejercicio como se muestra enseguida, pero tuvo un error,
encuéntralo y corrígelo.
Ejercicio:
Solución:
10( 4 - 7 ) +5( -3 +6 ) 2
25
=
10( -3 ) +( -15 +30 ) 2
− 30 + (15) 2
=
=
5
5
− 30 + 225 195
= 39
=
5
5
¿Cuál fue su error?
________________________________________________________________
46
12. Da la respuesta correcta.
a. Si el número 34279X35 es divisible entre tres, ¿qué valor tiene X? ____ .
b. Si se divide 5 473 entre 81, el cociente es 67; determina el residuo en forma de
fracción, sin resolver la división.
_____
c. Sin usar calculadora ni escribir, ¿cuál es la tercera parte de (3)3? ____
d. Al dividir 34 567 entre 45, se obtiene un residuo. ¿Cuál es el menor número que
hay que sumarle al dividendo para que la división sea exacta? ____
e. En esta sustracción hacen falta cifras, escríbelas en los cuadritos.
1
−
8
9
5
.
6
4 1
13. La afirmación “El cociente de dos números enteros es otro número entero”, ¿es falsa o
verdadera? F ( ) V ( ) ¿Se cumple sin excepción? _____ Escribe tres ejemplos.
_____________________________________________________________________
14. Las lecturas de temperatura de una semana, hechas diariamente a las 8 de la mañana,
fueron: 13°, 5°, -6°, -9°, -14°, -5° y 2°. Encuentra la temperatura promedio de las 8 de la
mañana, en esa semana. ____ .
1
1
1
1
15. Los delanteros de un equipo de futbol pesan, en Kg.: 78 , 72 , 75 , 69 y 76. ¿Cuál
2
4
5
3
es su peso promedio? _____ .
16. Sigue las instrucciones:
a. Indica tu peso p en kilogramos: _____ Indica tu estatura e en
metros y centímetros: ______. Calcula e2 : _________
b. Divide p entre e2 :
__________ (Este número es tu Índice de Masa Corporal, IMC).
Si el valor que obtuviste de tu IMC es mayor que 25, es recomendable que consultes a un
médico porque puedes tener sobrepeso u obesidad.
¡Reto!
¿Cuál es el resultado de sumar los números enteros del 0 al 100?
Idea: Encuentra un patrón que te permita calcular la suma rápidamente sin tener que sumar
uno por uno los cien números.
Respuesta: _______ .
47
UNIDAD II
VARIACIÓN DIRECTAMENTE
PROPORCIONAL Y FUNCIONES
LINEALES
Al estudiar fenómenos naturales, sociales, psicológicos, etcétera, muchas veces es
necesario establecer la relación entre dos
o más variables, y al mismo tiempo saber
cuánto y cómo cambia una al cambiar la
otra.
Por ejemplo, el tiempo de construcción de
una casa disminuye al aumentar el
número de albañiles (hasta cierto límite),
al aumentar el número de automóviles que
consumen gasolina en una ciudad
aumenta la cantidad de gases tóxicos en
el ambiente, al aumentar el desempleo
aumenta la cantidad de vendedores ambulantes etc.
Cuando dos variables están relacionadas de manera tal que al cambiar el valor de una
necesariamente cambia el valor de la otra, se puede establecer una relación entre
ellas. Esa relación en muchos casos puede ser una función matemática; en páginas
adelante podrás estudiar este concepto.
En esta Unidad también identificarás (a partir de una tabla de valores o de una gráfica)
las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables; reconocerás la
ordenada al origen y la pendiente en la gráfica de una función lineal, asimismo
resolverás problemas de variación directa e inversa.
48
FUNCIÓN
ESTUDIA CON CUIDADO.
En un tinaco lleno de agua se mide la presión a diferentes profundidades y se obtienen
los valores que se muestran en la tabla.
Profundidad (h)
(cm)
Presión (P)
2
(g/cm )
60
57
120
114
180
171
240
228
300
285
369
342
h
De acuerdo a los valores obtenidos, al aumentar la profundidad del tanque aumenta la
presión.
Porque la presión P depende de la profundidad h, se dice que la presión es la variable
dependiente o función y la profundidad la variable independiente.
Los valores de la variable independiente (profundidad) que están en la primera
columna forman parte del dominio de la función.
Los valores de la variable dependiente (presión) que están en la segunda columna,
forman la imagen (o rango) de la función.
A cada valor de la profundidad (en el dominio) le corresponde sólo un valor de la
presión (en la imagen), por lo tanto la relación entre las dos variables, profundidad y
presión, es una función.
Por lo anterior, se dice que la presión es una función de la profundidad.
Una función es una relación que se establece entre dos conjuntos de valores, de tal
manera que a un elemento del primer conjunto -llamado dominio- le corresponde sólo
un elemento del segundo conjunto -llamado imagen o rango-.
El dominio contiene los valores de la variable independiente; la imagen contiene los
valores de la variable dependiente.
¡Atención! PUEDES PASAR A LA SIGUIENTE PAGINA SÓLO SI ANTES EXPLICAS
EL CONTENIDO DE ESTA LECCIÓN CON TUS PALABRAS. ¡PERO SIN LEERLA!
49
FUNCIÓN
EN CADA ESPACIO SUBRAYADO ESCRIBE LA PALABRA FALTANTE.
¡Cuidado! Solamente al terminar de resolver la página podrás ver las respuestas. ¡no
consultes la página anterior!
TIEMPO
(años)
TASA DE CRECIMIENTO
DE LA POBLACIÓN*
1990-1995
2.1%
1995-2000
1.6%
2000-2005
1%
2005-2010
1.8%
* Reporte del INEGI (Instituto Nacional de
Geografía, Estadística e Informática) citado
por CNN México, 2011 en:
http://mexico.cnn.com/nacional/2011/07/08/,
La tasa de crecimiento de la población
mexicana se puede apreciar en el cuadro de
la izquierda.
a) ¿La tasa de crecimiento de la población
depende del tiempo o el tiempo depende
de la tasa de crecimiento de la población?
___________________________________
___________________________________
La variable independiente es el tiempo.
La variable dependiente es:
___________________________________________.
b) Al conjunto de valores del
independiente) se le llama dominio.
tiempo
(variable
Al conjunto de valores de la variable dependiente se le llama _________ o ________ .
c) La relación entre el tiempo y la tasa de
crecimiento de la población es una función,
porque a cada valor del dominio le
corresponde sólo ___ valor de la
__________ o _________.
d) Se dice que la tasa de crecimiento de la
población es una ____________ del tiempo.
Una función es una relación entre dos conjuntos de valores, de tal manera que a un
elemento del primer conjunto (llamado dominio) sólo le puede corresponder un
elemento del segundo conjunto (llamado ___________ o __________ ).
El dominio contiene los valores de la variable independiente; la imagen o rango
contiene los valores de la variable ______________ o ___________ .
NO PARES DE ESTUDIAR, CONTINÚA EN LA PÁGINA SIGUIENTE. . .
50
FUNCIÓN
LLENA LOS ESPACIOS SUBRAYADOS.
El salario quincenal que una empresa otorga a sus choferes de nuevo ingreso varía de
acuerdo con su edad, según la tabla de abajo.
EDAD (AÑOS)
SALARIO ($)
18-25
26-33
34-41
42-49
50-57
2 750
3 200
3 500
3 200
2 750
a) ¿La edad depende del salario o el salario depende
de la edad? __________________________________.
∴ La edad es la variable __________________ .
b) El salario es la variable ________________ .
c) Los valores de la columna de la derecha forman el
conjunto llamado __________ o _________ .
d) Los valores de la columna de la izquierda forman
el conjunto llamado _____________ .
e) ¿A cada valor de la variable independiente (edad), le corresponde sólo un valor
de la variable dependiente (salario)? sí (
)
no ( )
f) Escribe F si es falso, V si es verdadero:
I. La edad depende del salario.
(
)
II. El salario depende de la edad.
(
)
III. La relación entre las dos variables sí es
una función. ( )
Una función es una _____________ entre dos conjuntos de valores, de tal manera
que a un elemento del primer conjunto (llamado _____________) le puede
corresponder ______ ____ elemento del segundo conjunto (llamado __________ o
_________ ).
Los valores de la variable independiente forman el conjunto llamado ____________;
los valores de la variable dependiente forman la __________ o _________ .
NO INTERRUMPAS EL ESTUDIO, PASA A LA PAGINA SIGUIENTE. . .
51
FUNCIÓN
CONTESTA CON CLARIDAD Y LIMPIEZA.
En vez de tablas ahora se utilizan diagramas. En los tres siguientes, “x” representa a la
variable independiente, “y” a la dependiente.
X
Y
a
A
b
B
c
C
d
.
.
.
D
.
.
.
z
Z
x
y
M
N
12
2
(-1)
1
Isaac
Laura
22
(-2)
P
4
Irma
2
Q
Boris
Yordan
Cuco
Mafafa
y
x
x
y
I. En los tres casos los valores “x” forman el _____________, y los valores “y”
constituyen la ___________ o _________ .
II. ¿La relación entre los conjuntos X e Y es una función? sí ( ) no ( ). ¿Por qué?
____________________________________________________________________
III. ¿La relación entre M y N es una función? sí ( ) no ( ) ¿Por qué?
____________________________________________________________________
IV. ¿La relación entre P y Q es una función?
sí ( ) no ( ) ¿Por qué?
____________________________________________________________________
V. ¿Qué es una función? ________________________________________________
_____________________________________________________________________
VI. ¿Los valores de cuál variable están en qué conjunto de la función? ____________
_____________________________________________________________________
SIGUE HASTA TERMINAR ESTE TEMA. . .
52
FUNCIÓN
LEE CON ATENCIÓN Y CONTESTA.
La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro son variables.
El perímetro del cuadrado depende de la longitud del lado; es
decir, la variable independiente es _________________________.
En el diagrama de abajo se ilustra la relación entre algunos valores
de la longitud del lado y el perímetro de un cuadrado:
L
1
El dominio es el conjunto ___.
La imagen es el conjunto ___.
P
p=4λ
2
2.5
4
.
.
.
12.8
.
.
.
λ
p
3.2
A cada valor de λ (lambda) en el dominio le
8
10
corresponde su cuádruplo en la imagen, lo
cual se expresa a través de la relación
p = 4λ
también llamada regla de correspondencia,
fórmula o ecuación.
La regla de correspondencia p = 4 λ ¿es una función? ____ ¿Por qué?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
En cualquier función, ¿a un valor del dominio le podrían corresponder dos de la
imagen? ___ ¿Dos valores del dominio podrían corresponder a un mismo valor en la
imagen? ___.
Con la función p = 4λ, ¿qué valor de p le corresponde a λ = 5? ____. ¿Qué valor de p
le corresponde a λ = 0.5? ____ ¿Qué valor de λ le corresponde a p = 8? ____.
Con respecto a la longitud del lado (λ), el perímetro (p) es:
(
) La cuarta parte
(
) La mitad
(
) Igual
(
) El cuádruplo
SI LO DESEAS, TOMA UN DESCANSO. . .
53
FUNCIÓN
PREPARA ESCUADRAS Y LÁPIZ.
Un cocodrilo en cautiverio de la especie Crocodylus acutus tuvo el crecimiento que se
muestra en la siguiente tabla, la cual dio como resultado la gráfica de la derecha:
AUMENTO EN LA TALLA DEL COCODRILO A PARTIR DE SU
CAPTURA
75
Tiempo a partir
de su captura
(meses)
Talla
(cm.)
70
0
45
60
1
45
2
50.1
3
55.1
4
58.2
5
61.8
6
66
7
71.2
TALLA (CMS.)
65
55
50
45
40
35
30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
TIEMPO TRANSCURRIDO (MESES)
Por convención, en las gráficas los valores de las imágenes se representan en el eje
de las ordenadas; en el de las abscisas se representan los valores del ____________ .
Con líneas punteadas paralelas a los ejes, sobre la gráfica, se indica que al valor 7 del
dominio (eje de las abscisas) le corresponde la imagen 71.2 (eje de las ordenadas).
Haciendo un trazo parecido sobre la gráfica, localiza la talla del cocodrilo al primer mes
de haber sido capturado (imagen de 1). ¿Cuál es? _____.
¿Cuál era la talla del cocodrilo al ser capturado (imagen de 0)? _____.
En este caso, a dos valores del dominio (0 y 1) les
corresponde la misma imagen (45). Por lo tanto, ¿se
trata de una función? _____. ¿Por qué?
__________________________________________
__________________________________________ .
¿Cuál es la imagen de 1.5? ______.
54
FUNCIÓN
Juan Salas vende computadoras. De acuerdo al número y marca que logre vender
obtiene una comisión económica. Al registrar sus resultados de los últimos 7 meses
obtiene la gráfica de abajo.
a. ¿Cuál es la variable
dependiente?
_________________________ .
b. ¿Cuál es la variable
independiente?
_________________________ .
c. Traza una recta punteada
que sea paralela al eje de las
ordenadas, que corte al eje de
las abscisas en 16 y llegue al
punto marcado en la gráfica.
A partir del mismo punto de la
gráfica,
traza
una
recta
punteada que sea paralela al
COMISION OBTENIDA POR LAS COMPUTADORAS
VENDIDAS
COMISIÓN MENSUAL (x100$)
70
60
50
40
10
11
12
13
14
15
16
17
18
NÚM. DE COMPUTADORAS
eje de las abscisas y que corte al eje de las ordenadas.
d. ¿Cuánto dinero (imagen) recibió Juan cuando vendió 16 computadoras (valor en
el dominio)? _________ .
Realiza los mismos trazos, pero ahora parte del valor 15 en el eje de las abscisas.
e. ¿Cuánto dinero (imagen) recibió Juan cuando vendió 15 computadoras (valor en
el dominio)? _____________ . f. ¿Se trata de una función? ____ .
g. ¿Por qué no es función? ______________________________________________
______________________________________________
¡Reto!
¿Cuál de los diagramas
de la derecha representa
una función? ____ .
35
40
35
30
25
20
15
10
5
0
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
0
5
I
II
10
55
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II.1
Con estos ejercicios comprobarás lo aprendido. Evita consultar las páginas anteriores,
concentra tu atención y resuelve.
1. Relaciona los elementos mediante flechas.
Función
Dominio
Imagen
valores de la variable
dependiente
valores de la variable
independiente
relación
2. ¿Qué son el dominio y la imagen de una función? __________________________
____________________________________________________________________.
3. La fórmula para calcular el perímetro de un círculo es P = πD, P es el perímetro, D el
diámetro y π = 3.14159... ¿Cuál es la variable dependiente? _______________ . ¿Cuál
es la variable independiente? ___________________. ¿A un valor del diámetro le
pueden corresponder dos del perímetro? _____ .
4. La energía E que contiene la luz se puede calcular
mediante la ecuación de Planck:
E = hν
donde E está expresada en ergs; ν (nu), la frecuencia
de esa radiación expresada en s-1 (unidades por
segundo) y h una constante con valor de 6.6 x 10-27 erg-s.
En los espacios subrayados del diagrama, escribe las
letras que representan las variables en la ecuación E = h ν , la regla de
correspondencia y los valores que faltan (la energía E se expresa en 1013 erg, la
frecuencia en 1014 s-1).
___
___
_______
1
6.6
2
13.2
3
19.8
4
_____
5
_____
A
B
El conjunto A es el ___________; B es la
__________ o _________ .
La variable dependiente es la __________; la
independiente es la ______________ .
Esta relación es una función porque: ______
_____________________________________
_____________________________________
56
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
ESTUDIA CON MUCHA ATENCIÓN.
Se midió el voltaje (V) entre dos puntos de un circuito
eléctrico, al suministrarle diferentes intensidades de corriente
eléctrica (I), obteniéndose la siguiente tabla:
l (amperes)
V (volts)
V
(volts/amp)
I
6.3
7.5
9.4
13.1
18.5
12.6
15
18.8
26.2
37
2
2
2
2
2
V
En la tabla se observa que la relación
entre el voltaje y la corriente es una
función, tal que:
a) Al aumentar el valor de la variable
independiente (I) también aumenta el valor
de la variable dependiente (V).
b) La razón o cociente que resulta al dividir la variable dependiente (V) entre la
independiente (I), es una constante, igual a 2.
Cuando se cumplen las condiciones a) y b) anteriores, la función es una relación de
proporcionalidad directa. Se dice entonces que la variable dependiente V es
directamente proporcional a la variable independiente I.
Para cualquier pareja de valores de V e I siempre se cumple que:
V
=2
I
Al despejar V en la igualdad anterior se aprecia mejor la relación de
proporcionalidad directa entre las dos variables:
V = 2I
la cual es una regla de correspondencia, fórmula o
ecuación, y al 2 se le llama constante de proporcionalidad.
¡Ojo! También resulta que
I 1
1
=
y por lo tanto I = V , es decir, puede decirse a la
V 2
2
inversa que la variable independiente I es directamente proporcional a la variable
dependiente V con constante de proporcionalidad
1
2
.
Una variable es directamente proporcional a otra si se cumplen dos condiciones:
1ª Al aumentar el valor de una variable aumenta el valor de la otra.
2ª Al calcular la razón o cociente de cualquier valor de la variable dependiente,
entre el respectivo valor de la independiente, siempre se obtiene el mismo
valor, es decir, una constante.
¡CUIDADO!: SÓLO PUEDES PASAR A LA SIGUIENTE PÁGINA SI EXPLICAS
ESTA LECCIÓN CON TUS PALABRAS Y SIN CONSULTAR EL TEXTO.
57
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
COMPLETA EN LOS ESPACIOS SUBRAYADOS.
Una comerciante de ropa al mayoreo vende vestidos para
señora, en un precio que fija de acuerdo al número de
prendas solicitadas (ver la tabla):
No. de
prendas
Precio ($)
Razón
n
P
100
1000
P
n
_____
200
1950
_____
300
2900
_____
400
3850
_____
500
4800
_____
600
5775
_____
a) ¿Al aumentar el valor de la variable
independiente (número de prendas) aumenta el
valor de la dependiente (precio)? Sí ( ) no ( ).
b) En la tercera columna escribe la razón entre los
valores de las dos variables.
¿La razón es siempre la misma? Sí ( ) no ( ).
c) ¿El precio es directamente proporcional al número de prendas? Sí ( ) no ( ) ¿Por qué?
_________________________________________
__________________________________________ .
d) ¿Existe constante de proporcionalidad en este caso? Sí ( ) no ( ).
En una función se dice que una variable es directamente proporcional a otra, cuando al
aumentar una aumenta la otra, y siempre se obtenga como resultado el mismo valor.al
calcular la ________ (cociente) de cada valor de la variable dependiente entre el
respectivo valor de la variable ___________________ .
En una función, una variable es directamente proporcional a la otra si se cumplen
estas dos condiciones:
1. Al aumentar el valor de la variable independiente debe aumentar el valor de la
variable _______________.
2. Al calcular la razón entre las dos variables el resultado debe ser una
_____________ .
¡CONTINÚA EL ESTUDIO! PASA A LA SIGUIENTE PÁGINA. . .
58
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
LLENA LOS ESPACIOS.
En una función, una de las variables es directamente proporcional a la otra cuando al
aumentar una, la otra __________ y siempre se obtiene como resultado
el mismo valor al calcular la razón o ___________ de los valores de la
variable _______________ entre los respectivos valores de la variable
_________________ .
Al calcular el perímetro (P) de varias pistas circulares para baile, con
diferente diámetro (D), José Cruz encontró los valores de la siguiente
tabla:
Perímetro (P)
(m)
15.708
21.9912
26.7036
34.5576
43.9824
Diámetro (D)
(m)
5
7
8.5
11
14
c) Al cociente
P
D
P
D
a) El perímetro es una función del diámetro.
La variable dependiente es el ____________.
Por lo tanto, la variable independiente es el
______________ .
b) Al aumentar el diámetro ¿qué pasa con el
perímetro? (ver la tabla) ________________ .
del perímetro entre el diámetro se le llama _______ o ___________ .
d) Calcula y escribe los valores de la tercera columna.
La razón
P
D
¿tiene el mismo valor para todas las mediciones? Sí ( )
no ( ). ¿Cuál
es el valor redondeado hasta diezmilésimas? _________. ¿Con qué letra griega se
representa ese valor? ___.
e) Por lo tanto, para cualquier pareja de valores de P y D se cumple que:
P
=π
D
Al despejar P se obtiene:
P = πD donde π es la constante de ___________________ .
¿Reconoces la fórmula anterior? Se utiliza para calcular el perímetro de un círculo
cuando se conoce el valor de su diámetro.
f) Lo anterior significa que, en un círculo, el perímetro (variable dependiente) es
________________ _______________ al diámetro (variable independiente).
¡NO TE DETENGAS! TE CONVIENE SEGUIR ESTUDIANDO. . .
59
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
CONTESTA CON CLARIDAD.
a) Una función es una relación de proporcionalidad directa cuando se cumplen dos
condiciones ¿Cuáles? __________________________________________________
____________________________________________________________________ .
b) Los valores de ciertas variables “x” y “y” se representan en la tabla de abajo. En
ésta, al aumentar el valor de x aumenta el valor de y.
x
y
x1
y1
y
x
y
x2
y2
x
y
x
x3
y3
y
x
.
.
.
=k
1
2
=k
2
3
=k
3
.
.
.
.
.
.
y
xn
1
yn
x
n
n
=k
En la tercera columna de la tabla se representa la _________
o el ____________ entre las variables.
c) ¿Cómo es el resultado de dividir una variable entre otra?
___________ .
¿Cuál es su "valor" en este caso? ___.
d) ¿Es y directamente proporcional a x? Sí ( ) no ( ) ¿Por
qué? ____________________________________________
________________________________________________ .
e) ¿Cuál es la fórmula que relaciona x con y? _______ .
f) A k se le llama ___________ ___ ____________________.
A cada uno de los cocientes de la tercera columna se le llama
razón.
y
Al considerar dos razones cualesquiera, por ejemplo
x
2
2
=k,
y
x
n
= k ; puesto que
n
ambas son iguales a k, son iguales entre sí:
y
x
2
2
=
y
x
n
(es una proporción)
n
La igualdad de dos razones es una proporción.
AQUÍ TERMINA ESTE TEMA, PUEDES TOMAR UN DESCANSO
60
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II.2
PON ATENCIÓN Y RESUELVE.
1. De las tablas de valores que aparecen abajo, marca con
las que representen una
relación de proporcionalidad directa entre las variables. La variable de la segunda
columna es la dependiente.
t
d
f
P
x
Y
z
S
b
A
0
1
2
3
4
5
0
1
4
6
16
20
10
20
30
40
50
2.5
5
7.5
10
12.5
4
5
7
12
24
25
2
2.5
3.5
6
12
12.5
1
2
3
4
5
0.8
0.4
0.2
0.1
0
7.5
5.5
2.2
1.1
0.5
7.5
5.5
2.2
1.1
0.5
( )
( )
( )
( )
( )
Para cada relación de proporcionalidad directa que identificaste, escribe la regla de
correspondencia. Al hacerlo escribe la variable dependiente a la izquierda del signo =:
_________
________
________.
2. Completa las tablas de tal manera que la relación entre las variables sea de
proporcionalidad directa (la variable dependiente está en la segunda columna). Debajo
de cada tabla, expresa la regla de correspondencia en forma de igualdad, al hacerlo
escribe la variable dependiente antes del signo =.
u
V
g
F
m
E
f
I
q
Q
w
P
1
2
1
4
1
7
1.7
1.7
.3
__
36
___
0
____
2
___
3
3
.5
__
42
7
7.5
____
1
__
3
___
4.5
4.5
.9
__
48
___
10
____
2
4
___
9
9
1
__
54
___
13.5
2.7
5
1
5
5
___
11.8
11.8
1.1
11
60
___
14.5
____
__
21
21
66
___
20
____
5
2
_______
_______
3. En esta proporción:
_______
12
3
=
_______
_______
28
x
Al multiplicar por 3x en ambos lados, resulta:
3x
12
3
=
28
x
3x
Es decir: 12x = 84
x=
x=
____
_______
61
4. Escribe la relación de proporcionalidad a partir de las condiciones dadas, como en el
inciso a).
a)
L es directamente proporcional a w. Si w = 15, entonces L = 150.
Por ser L directamente proporcional a w: L = kw
Sustituyendo los valores:
150 = k (15), entonces k = 10
Por lo tanto: L = 10w
b) Q es directamente proporcional a q. Si q = 21, entonces Q = 3.
c) J es directamente proporcional a m. Cuando m = 9, entonces J = 4.
5. En cada inciso que sigue existe una relación de proporcionalidad directa entre las
variables. Procede como en el inciso a) para calcular el valor faltante en cada caso.
a) m1 = 18; n1 = 8; n2 = 6; m2 = ¿?
b) g1 = 21 ; v2 = 6 ; v1 = 3 ; g2 = ¿?
Por ser relación de proporcionalidad directa:
m1
n1
=
m2
n2
(se lee m1 es a n1 como m2 es a n2)
Al sustituir los valores numéricos:
18 m 2
=
8
6
18
(6) = m2
8
Al efectuar operaciones: 13.5 = m2
O sea m2 = 13.5
Al multiplicar por 6 ambos lados:
c) y2= 2.5; x2 = 10; x1 = 40; y1 = ¿?
d) g1 = 1.5; h2 = 10.95; g2 = 7.3; h1 = ¿?
62
63
6. La ley de Hooke establece: La fuerza F requerida para estirar un resorte x unidades
desde su posición natural, es directamente proporcional
a x.
Si una fuerza de 5 kg estira un resorte, cuya longitud
natural es de 25 cm, hasta una longitud de 29 cm ¿qué
peso lo estirará hasta 30 cm? __________.
7. El periodo P de un péndulo es el tiempo en que realiza una oscilación
completa y varía directamente con la raíz cuadrada de su longitud λ
(lambda). Si el periodo de un péndulo de 81 cm es de 1.62 s, ¿cuál es el
periodo de otro péndulo de 144 cm de longitud?
=
3 4
→ z = ___
2
s 1
=
z 8
→ y = ___
3 6
=
0
14
→ x = ___
5y
=
2x
69
8. Mentalmente despeja y efectúa las operaciones:
→ s = ___
9. Investiga cuál es la diferencia entre una proporción, una "regla de tres" directa y la
equivalencia de dos fracciones.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
10. Arturo, Javier y Paco invirtieron en un negocio. Arturo aportó
15 000 pesos, Javier 22 000 y Paco 45 000. Si después de un
año la ganancia fue de 600 000 pesos, ¿cómo se debe repartir
de forma directamente proporcional a lo invertido?
11. Si una bebida consiste en un 80 % de zumo y el resto
de licor, y el 90 % de zumo y el 10 % del licor son agua.
¿Cuál es el porcentaje de agua contenida en la bebida?
¡Reto! En los dos
triángulos de la figura, se
cumple que 9 es a 6,
como 15 es a x. Establece
la proporción y calcula el
valor de x.
64
PROPORCIONES
REVISA LA TABLA:
x
y
x
y
1
y
1
x
x2
y2
y
x
x3
y3
.
.
.
.
.
.
xn
yn
1. Vamos a suponer que tanto los valores x1, x2, x3,...,xn como
los valores y1, y2, y3,...,yn , aumentan a medida que es mayor
el subíndice:
y
x
y
x
y
x
1
=k
1
x1 < x2 < x3 < . . . < xn (x1 es menor que x2, éste a su vez
2
y1 < y2 < y3 < . . . < yn
=k
2. Además, véase la 3ª columna, la razón para cada pareja
(x, y) siempre es constante (con valor desconocido k).
2
3
3
n
menor que x3, y así hasta xn)
=k
Al cumplirse las dos condiciones anteriores se dice que “y” es
directamente proporcional a “x”.
.
.
.
Las dos primeras razones (tercera columna) son iguales a la
misma constante, k:
y
=k
n
x
1
=k
1
y
x
2
=k
2
Aplicando este principio matemático: si dos cosas (en este caso
y
x
1
1
,
y
x
2
) son iguales
2
a una tercera (en este caso k), entonces son iguales entre sí:
y
y
1
2
x
x
=
1
2
Esta igualdad entre dos razones es una proporción.
Se lee así: y1 es a x1 como y2 es a x2.
En la proporción anterior, a los valores “y1“ y “x2“ (donde se empieza y se termina de
leer) se les llama extremos. A los valores “x1“ y “y2“ se les llama medios.
Si en ambos lados de la proporción se multiplica por x1 x2 y se simplifica, se obtiene:
x
y
x
y
1
2
2
=
1
Es decir, en una proporción el producto de los extremos es igual al producto de
los medios.
PROSIGUE TU ESTUDIO SIN DETENERTE. . .
65
PROPORCIONES
EN LOS ESPACIOS SUBRAYADOS ESCRIBE LO QUE FALTA.
u
u1
u2
u3
...
un
v
v1
v2
v3
...
vn
v
En la tabla, "u" es la variable
independiente y "v" la dependiente.
=
3
u2
=c
c
v2
u
u1
=c
3
v1
v
u
...
vn
un
=c
u < u < u < . . .< u
1
2
3
n
v1 < v2 < v3 < . . .< vn
La variable v es directamente proporcional a u porque se cumplen dos condiciones:
1.- Al aumentar el valor de u aumenta el de ___ .
2.- La razón
v
en todos los casos es igual a una _____________ .
u
Por lo tanto la relación entre v y u es:
v = __ __
La segunda y tercera razones de la tabla:
v2
,
u2
v3
son iguales a la misma constante c .
u3
Por lo tanto las dos razones son iguales:
v2
u2
=
v3
u3
donde v2 y u3 son los _____________ .
La anterior es una igualdad de dos razones y se llama ______________ ; se lee: v2 es
a u2 como ____ es a ____ . En consecuencia:
v 2 u 3 = ______
Es decir, el producto de los _____________ es igual al producto de los ___________ .
¡NO PARES! PASA A LA PÁGINA SIGUIENTE. . .
66
PROPORCIONES
LEE CON ATENCIÓN Y CONTESTA.
h
V
h
V
Completa la tabla de la izquierda.
5
5 1
=
1
5
2
10
________
3
15
________
4
20
________
5
25
________
_
En esta tabla V es la variable dependiente, por lo tanto h es
la variable ___________________ .
Para que sean directamente proporcionales, V y h deben
cumplir dos condiciones:
1ª condición. Que al aumentar el valor de ___ también
aumente el valor de ___; ¿se cumple? _____.
2ª condición. Que la razón
V
siempre sea igual a una
h
____________, ¿es así ?_____.
Dos razones cualesquiera
V
de la tabla son:
h
5
15
=5 ,
=5
1
3
Por ser ambas razones iguales al mismo valor (5), son iguales entre sí, es decir:
5 15
=
(a esta igualdad se le llama proporción)
1
3
En la proporción anterior, 5 y 3 son los ___________ ; 1 y 15 son los ___________ .
AQUÍ NO TERMINA EL TEMA, SIGUE ESTUDIANDO. . .
67
PROPORCIONES
CONTESTA LAS PREGUNTAS.
x
x
f
x
f
1
f
f
1
x
x2
x3
.
.
.
xn
f2
f3
.
.
.
fn
1
En la tabla de la izquierda, la variable dependiente es f. Además, se
cumple que: x1 < x2 < x3 <. . . < xn
= 5
f1 < f2 < f3 <. . . < fn
1
f
2
x
2
f3
x3
= 5
2. Fundamenta tu anterior respuesta.
=5
.
.
.
..
f
n
x
n
1. ¿Es f directamente proporcional a x? ____ .
a) _____________________________________________________
b) _____________________________________________________
3. Escribe la proporción que se forma con las dos primeras razones.
= 5
____________
4. ¿Cómo se lee la proporción anterior? ____________________________ .
5. ¿Qué es una proporción? ________________________________________ .
6. ¿Cuáles son los medios de la proporción anterior? _______ .
7. ¿Cuáles son los extremos? _________ .
8. Si en la proporción se pasa cada denominador al otro lado de la igualdad, en lo que
resulta, ¿qué propiedad se hace evidente?
____________________________________________________________________
FIN DE TEMA. PUEDES TOMAR UN DESCANSO. . .
68
GRÁFICA DE UNA RELACION DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
CONCENTRA TU ATENCIÓN EN ESTA LECTURA.
A partir del primer triángulo de abajo se construyen otros, cambiando el valor (b) de la
base y manteniendo constante la altura (h):
Área:
h
h
h
b=2
b=3
b=4
b=5
A = 10
A = 15
A = 20
A = 25
h
h
b=1
A=5
El valor del área (A) depende del valor de la base (b). Por lo tanto, la variable
dependiente o función es A y la independiente es b; es decir, A es función de b.
Para representar la relación entre A y b en un plano cartesiano, la variable dependiente
o función A (valores del rango) se indica sobre el eje de las ordenadas (vertical). La
variable independiente b (valores del dominio) se indica sobre el eje de las abscisas
(horizontal).
Con las parejas de
valores (b, A) se construye la gráfica. Esta resulta
ser una serie de puntos
en línea recta como se
muestra a la izquierda.
A
.
30
.
.
20
A = 5b
Al calcular el cociente o
razón
.
el resultado es 5. Por lo
.
10
tanto
.
A
= 5, y al despejar
b
resulta:
b
1
A
en cada triángulo
b
2
3
4
5
denomina constante de proporcionalidad.
6
A = 5b
es decir, es una relación
de proporcionalidad directa, donde a 5 se le
Cuando la gráfica de una relación es una línea recta y además pasa por el origen,
significa que la relación entre las variables es de proporcionalidad directa.
SI YA COMPRENDISTE, NO PIERDAS EL RITMO ¡TE CONVIENE CONTINUAR!
69
ESTUDIA SIN DISTRAERTE Y CONTESTA.
Un biólogo realizó
mediciones de la
presión (P) a distintas
profundidades (h) en
un estanque (ver la
tabla).
La presión depende
de la profundidad; o sea, P es la variable
dependiente y h la variable independiente. P es
función de h.
kg
P 2
m 1.5
h (m)
P
h
1
3
4.5
6
7.5
2
3
4
5
1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
Los valores obtenidos se pueden representar en un plano cartesiano. Para ello, en el
eje de las ordenadas (vertical) del plano se indica la variable dependiente o
___________ P (cuyos valores se denominan imágenes y forman el Rango).
En el eje de las abscisas (horizontal) se indica la variable _________________ h.
La gráfica son los puntos
marcados en el plano
cartesiano de la derecha.
P
8
.
Se cumplen dos condiciones:
1. La gráfica es una línea
recta.
6
2. La recta pasa por el
_________ .
4
.
______
.
Por tanto, la relación entre las
variables P y h es de
.
2
.
proporcionalidad _________ .
h
1
2
3
4
5
6
Al calcular la razón P entre h, resulta ser igual a _____ . En consecuencia, la relación
de proporcionalidad entre estas variables se expresa así:
___ = _____
Al despejar: P = _______ (donde la constante de proporcionalidad es ____)
La gráfica de una relación de proporcionalidad directa entre dos variables es una línea
________ que pasa por el __________.
70
LEE SIN DISTRAERTE Y CONTESTA CON CUIDADO.
Una fábrica de lápices labiales ofrece a sus clientes los
siguientes costos (C), de acuerdo a la cantidad solicitada
(n). Completa la tabla aproximando hasta milésimas:
n (piezas)
C ($)
10
68
20
128
30
188
40
248
50
308
C
n
1. La razón
C
n
¿tiene el mismo valor en todos los casos? sí ( ) no ( ).
2. Los costos dependen de la cantidad de lápices labiales solicitados? _____ .
En este ejemplo se denotó a la variable dependiente con ____; y a la variable
independiente con ____ . Es decir, ____ es función de ____.
3. El Dominio lo forman los valores de ___ , las imágenes (Rango) los valores de ___ .
Al representar los valores anteriores en un plano cartesiano, se obtiene la gráfica de
abajo (escribe las variables en el extremo de cada eje).
4. Para esta relación:
__
a) Al aumentar el valor de n
¿aumenta el de C? sí ( ) no ( ).
300
b) La gráfica ¿es una recta que
pasa por el origen? sí ( ) no ( ).
.
.
240
.
c) ¿Si n = 0, entonces C = 0?
sí ( ) no ( ).
Por lo anterior, la relación entre C y
n ¿es de proporcionalidad directa?
sí ( ) no ( ) ¿Por qué?
____________________________
____________________________
____________________________
___________________________ .
180
.
120
60
.
10
20
30
40
50
__
71
PON ATENCIÓN AL LEER Y CONTESTA.
Un cuerpo de 1 Kg. de peso en la Tierra pesaría
diferente en otros planetas, porque la fuerza de
gravedad tiene diferentes valores, como se muestra en
tabla:
Gravedad (g)
en m/s2
Peso (P) en
Kg.
la
Tierra
Mercurio
Marte
Júpiter
Neptuno
9.8
3.53
3.82
24.9
13.8
1
0.36
0.39
2.54
1.41
1. En este caso ¿qué depende de qué?, ¿la fuerza de gravedad depende del peso, o el
peso depende de la fuerza de gravedad? ________________________________,
¿cuál es la variable independiente? ___________________________, ¿cuál es la
variable dependiente? __________.
2. Para representar los valores anteriores en un plano cartesiano, ¿cuál variable se
representa sobre el eje de las abscisas (eje horizontal), la dependiente o la
independiente? _______________________.
¿Cuál sobre el eje de las ordenadas (eje vertical)? _____________________.
P
3. Los valores de la variable
independiente, g, forman el conjunto
llamado ____________.
.
2.5
Los valores de la variable dependiente,
P, forman las _____________ o Rango.
2
1.5
.
.
1
0.5
0
..
5
10
15
20
25
g
4. Localiza los puntos en el plano y
traza la gráfica.
¿La gráfica se aproxima a una línea
recta? ____. ¿Pasa por el origen? ____
Por lo tanto, se trata de la gráfica de
una relación de proporcionalidad
___________ .
5. Al dividir P entre g, ¿es aproximadamente el mismo valor en todos los casos? ____.
¿Qué valor aproximado le darías a la constante de proporcionalidad? ______.
6. Escribe la relación entre P y g a un lado de la recta.
72
CONTESTA CORRECTAMENTE.
Una cisterna recibe cierto volumen (V) de agua por minuto como se indica en la tabla.
¿Cuál variable depende de cuál? _______
t (min.)
1
2
3
4
5
_________________________________.
V (lt.)
12.5
25
37.5
50
62.5
V
(lt./min.)
t
12.5 12.5 12.5 12.5 12.5
Entonces, V es la variable ______________ y t la variable _____________________ .
Siempre sucede que:
V
t =
______, por lo tanto V = ______ t (se trata de una relación de
proporcionalidad directa, donde la constante de proporcionalidad es ______).
La relación entre V y t se puede mostrar en un plano cartesiano donde:
a) En el eje vertical o de las ______________ se representa la variable dependiente
que es ___.
b) En el horizontal o de las _____________ se representa la variable independiente
que es __ .
c) En el eje vertical se indican los valores de las ______________.
d) En el horizontal se indican los valores del conjunto llamado ____________.
____
Con los valores de la tabla
construye la gráfica de la
relación entre V y t.
_______
62.5
50
e) En esta gráfica se cumplen
dos condiciones:
37.5
1ª. Los puntos forman una
línea ________ . 2ª. Además,
pasa por el ________ .
25
f) ¿Qué forma se obtiene al
representar cualquier relación
de proporcionalidad directa?
12.5
______________________ .
1
2
3
4
5 ____
¿Por dónde pasa?
_______________________ .
PUEDES TOMAR UN DESCANSO. . .
73
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE
ESTUDIA ESTA LECCIÓN:
En el diagrama de arriba, a la
derecha, al variar z de z1 a z2, se
produce una variación en Q de Q1
a Q2 (las variaciones se indican con
flechas).
Abajo, al variar en la misma medida
h -de h1 a h2-, se produce una
variación en T de T1 a T2.
Pero sólo la recta Q pasa por el
origen. Por consiguiente, sólo la
relación entre P y z es de
proporcionalidad directa.
En Q = 0.7z, al valor 0.7 de la
constante de proporcionalidad se le
conoce como pendiente de la recta.
Q
Q = 0.7 z
Q2
varia ción
Q1
..
..
varia ción
z
T
T
2
T = 10h + b
variación
En T = 10 h + b, el valor 10 es la
pendiente de la recta.
1.- Observa que por tener una
pendiente mayor, la recta T se
acerca más a la vertical que la recta
Q (la recta T forma un mayor
ángulo de inclinación con el eje de
las abscisas).
T
1
b
..
2.- La misma variación sobre el eje
de las abscisas ( z1 z 2 = h1 h 2 )
provoca mayor variación en la recta
de mayor pendiente (T) que en Q:
..
variación
h
h
1
h2
T1 T2 > Q1 Q 2
Las razones de las variaciones se relacionan así:
variación de Q
variación de T
>
, es decir,
variación de z
variación de h
TT > QQ
hh
zz
1
1
2
2
1
1
2
donde h h = z z
1
2
1
2
2
¿COMPRENDISTE TODO?, SI ES ASÍ, PASA A LA SIGUIENTE PÁGINA.
74
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE
ESCRIBE LO QUE FALTA.
Examina la gráfica de la derecha.
Las tres rectas pasan por el origen, y
son tales que al aumentar a aumenta
F. Por eso representan relaciones de
proporcionalidad ___________ .
Indica la pendiente en cada relación:
F = 2a
pendiente = __
F=a
pendiente = __
F = 0.5a pendiente = __
La recta de menor pendiente forma el
menor ángulo de ______________;
la de mayor pendiente forma el
mayor ángulo de ______________ .
En la recta de pendiente 1, si a varía
una unidad (por ejemplo de 2 a 3),
¿cuántas unidades varía F? _____.
F
F = 2a
8
6
F = a
4
3
B
F = 0 .5 a
2
1 .5
1
A
O
1
2
3
4
5
a
B
Fija tu atención en el triángulo rectángulo OAB marcado
en la gráfica y reproducido a la derecha.
La longitud del cateto OA es ___. (Escríbelo en la figura).
La longitud del cateto AB es ___. (Escríbelo en la figura).
La tangente del ángulo AOB se define como el cociente
del cateto opuesto AB entre el cateto adyacente OA.
O
A
¿Cuál es el resultado de esa división? ___ .
Entonces la tangente del ángulo AOB es ___.
¿De cuántos grados es el ángulo de inclinación? (consúltalo en tablas o en calculadora) ____ .
Una recta de pendiente 1 forma un ángulo de 45º con el eje de las abscisas.
Fíjate en la gráfica. Al variar a de 2 a 3 sobre el eje de las abscisas, produce
diferentes variaciones en F. Escribe > ó < según corresponda:
(variación en F = 2 a) ___ (variación en F = a)
(variación en F = 0.5 a) ___ (variación en F = a)
O sea, para la misma variación de a, a mayor pendiente, mayor variación de F.
SIGUE ESTUDIANDO. . .
75
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE
CONTESTA LAS PREGUNTAS.
¿Cuál de las gráficas representa una
relación de proporcionalidad directa?
(marca con ).
I( )
II ( )
I
Q
Q = 3r
ambas ( )
¿Cuál es el valor de la pendiente de la
recta en I? ___ .
r1
¿Cuál es el valor de la pendiente de la
recta en II? ____ .
Q = 0.7 r + b ( )
Una recta que forme un ángulo de
inclinación de 45º con el eje r tiene
una pendiente igual a __ .
r
II
Q
Al variar r, por ejemplo de r1 a r2, la
variación de Q es mayor para la
relación (marca con ):
Q=3r ( )
r2
Q = 0.7r + b
b
r1
r2
r
Observa las gráficas y deduce: Para la misma variación de r, entre mayor sea la
pendiente, ¿cómo será la variación de Q? ________ .
DESCANSA SI LO DESEAS. . .
76
ÁNGULO DE INCLINACIÓN, RAPIDEZ DE VARIACIÓN Y PENDIENTE
ESTUDIA CON DETENIMIENTO.
En la gráfica de la derecha sólo se
consideran las rectas de pendientes 1 y
2; ubícate ahí en la posición 2 sobre el
eje de las “a”.
8
Observa la recta l:
6
F
F = 2a
II
F = a
Al aumentar “a” una unidad en el eje de
las abscisas (de 2 a 3), en el eje de las
ordenadas también F aumenta una
unidad (de 2 a 3), es decir:
4
var iación de F = 1 (igual a 1, que es el
var iación de a 1
2
I
3
1
valor de la pendiente)
Por la razón que resulta, se dice
que la rapidez de variación de F con
respecto a “a” es de 1 a 1.
..
..
2
3
45º
1
4
5
a
Observa la recta II:
Al aumentar “a” una unidad en el eje de las abscisas (de 2 a 3), F aumenta dos
unidades en el eje de las ordenadas (de 4 a 6):
variación de F = 2 (igual a 2, que es el valor de la pendiente)
variación de a 1
Es decir, su rapidez de variación es de 2 a 1.
O sea, F tiene mayor rapidez de variación en la recta II (precisamente la de mayor
pendiente) porque en esa recta la misma variación de “a” provoca una mayor
variación de “F” que en la recta I.
OJO ¡DETENTE A REPASAR!, LUEGO CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA. . .
77
ÁNGULO DE INCLINACIÓN, RAPIDEZ DE VARIACIÓN Y PENDIENTE
LEE, PIENSA Y CONTESTA.
y
¿Las rectas de la primera gráfica, representan relaciones de proporcionalidad
directa? ____. ¿Por qué?
________________________________
III
20
II
15
La pendiente de la recta con el mayor
ángulo de inclinación es ____; la
pendiente de la recta con el menor
ángulo de inclinación es ____ .
I
10
5
¿El ángulo de inclinación de la recta de
2
1
enmedio es 45°? ______ .
3
5
4
x
En la gráfica de abajo, si “x” varía una unidad, “y” varía 1/2 en la recta I, es decir, su
rapidez de variación es de 1/2 a 1:
rapidez de
variación de
variación =
variación de
y
1
y
1
= 2 =
x
1
2
21
II
(Este resultado es el valor de la ____________)
variación de y
=
=
10
y = (x/2) + 5
variación de x
(El resultado es el valor de la ______________).
En conclusión, la rapidez de variación es
15
13
La rapidez de variación de la recta II es
de ___ a ___:
rapidez de variación =
y = 8x + 5
20
5
I
6
5.5
1
2
x
3
4
5
el valor de la ______________ .
Es decir, en la recta I por cada unidad que “x” aumenta, “y” aumenta
1
2
; a la vez, en
la recta II “y” aumenta ____ unidades. Por tanto, y tiene más rapidez de variación en
la recta ____, porque la misma variación de x provoca mayor variación de y en esa
recta.
PROSIGUE EN LA SIGUIENTE PÁGINA. . .
78
ÁNGULO DE INCLINACIÓN, RAPIDEZ DE VARIACIÓN Y PENDIENTE
CONTESTA CORRECTAMENTE A PARTIR DE LA GRÁFICA.
¿Cuál de las rectas representa una
relación de proporcionalidad directa?
A ( ) B ( ) Las dos ( ) Ninguna ( )
P
P= ( v/4) + 12
15
14.25
13.5
A
12
¿Por qué? _______________________ .
El ángulo de inclinación de la recta B es
mayor de 90º.
¿Cuál es la pendiente de la recta con
menor ángulo de inclinación? (escríbela
como quebrado) __.
Si sobre la recta A aumenta v de 6 a 9
(variación positiva de 3 unidades),
resulta que P también aumenta de
_____ a _____ (variación positiva de
0.75 unidades).
9
P=v-6
6
3
0
-3
B
variación
negativa
3
v
3
6
9
15
3
-6
En la recta A, ¿qué resulta al dividir
variación de P
variación de v
? ____. Este es precisamente el valor de su ____________ .
Fíjate en la recta B. Al aumentar v de 6 a 9 (variación positiva de 3 unidades),
sobre la recta B resulta que P tiene una disminución de ____ a ____ (variación
negativa de 3 unidades, o sea variación de P = -3).
En la recta B,
variación de P
variación de v
= --------- = ___ Este es el valor de su _____________ .
¡Reto!
En la gráfica de arriba, ¿cuál de las rectas representa mayor rapidez
de variación, A o B? ___ ¿Por qué?
______________________________________________________
_______________________________________________________________
¿Cuál de las rectas tiene mayor pendiente, A o B? ___ .¿Por qué?
________________________________________________________________
SI DESEAS TOMAR UN DESCANSO, LO PUEDES HACER. . .
79
ECUACIÓN DE UNA RELACIÓN LINEAL
ESTUDIA CON ATENCIÓN.
En la gráfica I, la ordenada al origen
(intersección con el eje de las ordenadas) es
-1 y la recta no pasa por el origen.
La pendiente se obtiene al dividir cierta variación de la función E sobre su eje, entre la
variación correspondiente de x, por ejemplo:
pendiente =
variación de E
variación de x
=
6
2
E
14
12
6
8
=3
Con los valores anteriores se establece la
relación entre las variables o ecuación de la
recta:
3
6
5
4
2
E = 3x - 1 (3 es el valor de la pendiente, -1
De la misma manera, la pendiente se puede
obtener al dividir cierta variación de la función P
sobre su eje, entre la variación correspondiente
sobre el eje T, por ejemplo:
variación de P 2
Pendiente =
= = 2 (Como la recta pasa
variación de T 1
x
-1
-2
el de la ordenada al origen).
En la gráfica II, la ordenada al origen es 0 y al
variar T una unidad, P varía dos.
I
10
1
3
2
4
2
1
6
5
P
(7, 14)
14
12
II
10
(5,10)
8
6
4
por el origen, la pendiente se pudo haber calculado como la
razón de la ordenada a la abscisa de cualquier pareja de
coordenadas (por ejemplo 5,10): pendiente = 10/5).
2
1
2
3
4
5
6
Por lo tanto, la ecuación de la recta es:
P = 2T + 0 (2 es el valor de la pendiente y 0 su ordenada al origen)
Relaciones como las anteriores cuya gráfica es una línea recta, se llaman lineales.
En la gráfica III, al aumentar d aumenta H; sin
embargo, como la gráfica no es una línea recta,
H no es proporcional a d.
Además, si d varía 1 unidad, H puede variar 3 (de
1 a 4), o puede variar 5 (de 4 a 9) etc. Esto
significa que tampoco la variación de H es
proporcional a la variación de d.
7
T
H
9
III
4
1
1
2
3
d
SÓLO SI COMPRENDISTE SIGUE LEYENDO. . .
80
ECUACIÓN DE UNA RELACIÓN LINEAL
ESTUDIA CON ATENCIÓN.
W
En la gráfica I, ¿cuál es el valor de la ordenada al
60
origen? ____ .
48
¿Es W directamente proporcional a f ? sí ( ) no ( )
Si f aumenta 1 unidad, ¿cuánto aumenta W ? ___.
24
Pendiente de la recta = --------- = ____ .
18
12
La ecuación de la línea recta es: W = __________ .
0
¿Es U directamente proporcional a r ?
2
1
-12
La variación de W con respecto a la variación de f,
¿es directamente proporcional? _____ ¿Por qué?
__________________________ .
En la gráfica II, ¿cuál es el valor de la ordenada
al origen? ___ .
I
30 36
3
f
1
U
21
18
15
sí ( )
no ( )
12
¿Cuánto vale la pendiente de la recta? ____ .
¿Cuál es la ecuación de la recta? _________.
II
9
6
(20,6 )
3
(10, 3)
10
En la gráfica III, si g aumenta 2 unidades,
¿cuántas aumenta A? ___________________.
20
30
40
50
60
r
70
A
3
2.4
¿Es A directamente proporcional a g?
sí ( )
no ( )
2.2
2
1.5
III
1
¿La variación de A es directamente proporcional a
la variación de g?
sí ( )
no ( ).
0
2
4
6
g
-1
POR EL MOMENTO PUEDES CORTARLE, SI LO DESEAS.
81
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II.3
RESUELVE CON LIMPIEZA Y ESMERO.
1. Si una recta coincide o es paralela al eje de las abscisas ¿cuál es el valor de su
pendiente? ______.
2. Un segmento de recta que coincide con el eje de las abscisas, comienza en 0 y
termina en 5. Si con centro en el origen el segmento gira en sentido contrario al de las
manecillas del reloj, hasta llegar a 180º:
a) ¿Cuál es el valor de su pendiente en 0º, 45º, 135º y 180º?
____________________________________________________________
b) Al coincidir con el eje de las ordenadas, ¿cuál es el valor de su pendiente?
_____________________________________________________________.
3. Escribe abajo de cada gráfica la ecuación de la recta:
a)
y
y=x+5
y=x-5
y=x
y=5
b)
y
y
x
x
x
x
____________
____________
p
p
____________ ____________
p
p=7q
p = (1/7) q
p=q
q=7
q
___________
s
s = -12
s = -t
s = -t + 12
s = -t – 12
p
q
q
q
c)
y
____________
____________ ____________
s
s
s
t
____________
t
t
t
___________
____________
____________
4. La ordenada al origen es la ordenada del punto donde una recta corta al eje de las
ordenadas, ¿qué sería la abscisa al origen? _________________________________
____________________________________________________________________.
82
5. En la comunidad X, al representar durante
septiembre la cosecha de maíz (en toneladas) en
función del tiempo transcurrido (en días), se obtuvo una
línea recta con ordenada al origen 2 y pendiente 3.
¿Cuál fue la cosecha por día? _____________. En otra
comunidad vecina, Y, se hizo la misma gráfica, en el
mismo mes, y se obtuvo también una línea recta con
ordenada al origen 0 y pendiente 4. ¿Cuál fue la
cosecha por día? _____________.
¿En cuál de las dos comunidades la rapidez de
variación de la cosecha fue mayor?
__________________________ .
6. ¿Qué forma tiene y por dónde pasa
necesariamente la gráfica de una relación de
proporcionalidad
directa?
__________________________________________.
7. Abajo, dibuja una recta que no pase por el origen y
que las coordenadas de uno de sus puntos sean (4, 2).
C
___
COMUNIDAD X
___
2
0
1
t
2
C
___
COMUNIDAD Y
___
0
1
2
t
¿Cuál es su pendiente? _______________________.
8. Completa la tabla.
Ecuación
y=x
y = 7x
y = 4x + 9
y = (1/2)x -12
y = -x
y = -13x -3/8
y=8
x = -1
Pendiente
Ángulo con el eje x.
(mayor, menor o igual a 45º)
Ordenada al
origen
83
84
9. En la gráfica I:
L
60
a) La ordenada al origen es ____.
50
b) ¿Es L directamente proporcional a d? ____.
15
c) ¿Es la variación de L directamente proporcional a
la variación de d? ____.
40
30
I
20
d) Al calcular la razón, es decir, al dividir cierta
variación de la función L entre la correspondiente
variación de la variable d, se obtiene la pendiente de la
10
d
1
recta, ¿cuál es su valor? _____.
Por lo tanto, la ecuación de la recta es: _________.
1
10. A la derecha se graficó la ecuación E = m.
E
a. Traza la gráfica de las siguientes relaciones
(usa sólo lápiz y regla):
3
2
E=m+2
1
E=m-2
0
-1
E = -m
2
1
2
3
4
5
6 m
1
2
3
4
5
6 m
-2
-3
b. Sobre la misma figura traza la gráfica de las
siguientes relaciones (usa sólo lápiz y regla,
visualiza los ángulos al tanteo):
E
3
2
E = 2m
1
E = -2m
0
-1
E = 2m – 3
-2
-3
11. En la relación J = -3g + 5,
a. ¿Cuál es el valor de J si g = -2? ____ .
b. ¿Cuál es el valor de g si J = 5? ____ .
Al representar J = -3g + 5:
c. ¿Cuál es la ordenada al origen? ____ .
d. ¿Cuál es la abscisa al origen? ____ .
e. ¿Cuál es la pendiente? ____ .
3
85
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
ESTUDIA CON DETENIMIENTO.
Las razones y proporciones se aplican en ciertos problemas. Por ejemplo:
I.- Al convertir unidades en un mismo sistema o de un sistema a otro.
La frontera entre México y Estados Unidos de Norteamérica es de 3 326 Km. ¿A
cuántas millas equivale? (1 milla = 1.609 Km.)
m
k
9
0
6
.
1
=
i
m
1
m
k
6
x 2
3
3
Se establece la proporción:
(x es a 3 326 Km como 1 milla es a 1.609 Km)
Se despeja: x = 3 326 km millas
Se calcula:
1.609 km
x = 2067.122 millas (es la longitud de la frontera).
II.- En escalas de planos geográficos, topográficos, etc.
En un mapa de la República Mexicana cada centímetro
representa 20 Km. Si en el mapa la distancia de
Acapulco, Gro., a Playa Azul, Mich., es de 14.2 cm en
línea recta ¿Cuál es la distancia real en Km?
La proporción es:
a 1 cm)
x
20 Km
(x es a 14.2 cm como 20 Km es
=
14.2 cm
1 cm
Al despejar: x =
14.2 cm
20 Km
1 cm
x = 284 Km (es la distancia de Acapulco, Gro., a Playa Azul, Mich.)
III.- En problemas de Geometría Plana.
Un obelisco proyecta una sombra de 30 m,
mientras una estaca de 1 m. de altura proyecta la
suya de 2 m. ¿Cuál es la altura del obelisco?
Debido a que los lados correspondientes de los
triángulos son proporcionales:
h
h
1m
=
(h es a 30 m como 1 m es a 2 m)
30 m 2 m
30 m 1 m
En consecuencia: h =
⇒ h = 15 m. (es es
2m
la altura del obelisco).
1m
30 m
2m
SI COMPRENDISTE, AVANZA A LA SIGUIENTE PAGINA. . .
86
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
COMPLETA LA RESOLUCIÓN DE ESTOS PROBLEMAS DONDE SE APLICAN RAZONES
Y PROPORCIONES.
1. Conversión de unidades de un sistema a otro:
¿Cuántos litros contiene un envase de 2 300 cm3? Un litro equivale a 1 000 cm3.
Completa la proporción y el despeje de “x”;
x
=
2 300 cm 3
1 lt
x=
(1 lt)
x = 2.3 lt
2. Utilización de escalas en planos.
En el plano de una casa, el área verde es de 34 cm2. Si la escala es de 1 cm a 2m,
¿cuál es la superficie del área verde en m2?
(≈ se lee equivale a). Si
1 cm ≈ 2 m, al elevar al cuadrado se obtiene 1 cm2 ≈ 4 m2.
La proporción es (no olvides escribir las unidades):
x
=
4 m2
(x es a _________ como 4 m2 es a ________ ).
(4 m2 )
x=
x = 136 m
2
3. En Geometría Plana.
La sombra de un árbol mide 6 metros. Al mismo
tiempo la sombra de Luis, de 1.78 m de estatura,
mide 90 cm. ¿Cuál es la altura h del árbol? (A la
derecha haz el dibujo de la situación).
Primero se convierten los 90 cm. a m:
1m
x
=
100 cm 90 cm
90 cm
x=
(m) ⇒ x = 0.90 m
100 cm
6m
=
⇒h=
m
0
9
.
h
m
6
La proporción en los triángulos de la figura que
dibujaste es:
(1.78 m) ⇒ h = 11.86 m.
CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA. . .
87
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
AL RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS ESCRIBE LAS PROPORCIONES Y
HAZ UN DIBUJO PARA ILUSTRAR LA SITUACIÓN PLANTEADA.
1. Un jugador de basquetbol mide 6 pies y 7 pulgadas de alto. ¿Cuánto mide en
centímetros? (1 pie = 30.5 cm; 1 pul = 2.5 cm). Ayuda: plantea dos proporciones.
2. La distancia de Chihuahua (Chihuahua) a Torreón (Saltillo) es de 456 Km. En un mapa
que se está dibujando en escala de 1 cm a 3 000 000 cm ¿de qué tamaño debe ser la línea
que una las dos ciudades?
3. Un edificio proyecta una sombra de 22 m. Al mismo tiempo, un poste cercano de 5 m. de
altura proyecta una sombra de 4 m. ¿Cuál es la altura del edificio?
SI LO PREFIERES TOMA UN DESCANSO
88
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II.4
RESUELVE EN TU CUADERNO
1. De la Cd. de México a Guadalajara, por carretera sobre la ruta Toluca-MoreliaSalamanca, hay una distancia de 680 Km. Si se viaja a una velocidad promedio de
80 Km/h ¿Cuánto tiempo durará el viaje del D. F. a Guadalajara? Ayuda: en una hora se
recorren 80 Km. en promedio.
2. La velocidad “c” de la luz en el vacío es de 300 000 000 m/s. ¿Cuántos Km. recorre
en un segundo?
3. Tres y medio galones de pintura. ¿Cuántos litros son? (1 galón equivale a 3.785 lt).
4. Una bomba casera para agua tiene una potencia de tres cuartos de HP (horse power
o caballos de fuerza) ¿De cuántos watts (w) es su potencia si 1w = 0.00134 HP?
5. Dos escaleras están recargadas en forma
paralela sobre un muro, como se muestra en
la figura 1. ¿Cuál es la altura del muro?
6. Un hombre desea medir el ancho AB de un río
utilizando un teodolito (figura 2).
Para hacerlo, camina sobre la orilla 10 m. en
dirección perpendicular a AB y clava una
estaca
(punto
C).
De
C
camina
perpendicularmente 5 m hasta D y después
paralelamente al río hasta estar en línea recta
con AC (punto E).
La distancia DE resulta ser de 3.7 m. ¿Cuánto
mide el ancho AB del río?
7. En un mapa topográfico del Estado de Puebla,
el Popocatépetl mide 10.9 cm de alto.
Si la escala es de 1 a 50 000 centímetros.
¿Cuál es la altura del Popocatépetl en m?
2m
1.5 m
4.5 m
Figura 1
A.
.
B
.C
10
5
D 3.7
E
Figura 2
8. De Tijuana a Cabo San Lucas, en la península de Baja California, hay una distancia
de 1692 Km. Si en un mapa la distancia entre las dos ciudades es de 8.46 cm. ¿A
qué escala se dibujó el mapa?
9. El “Nevado de Toluca” tiene una altura de 4 558 m.
¿Cuántos centímetros mediría en una maqueta
con escala de 1 a 40 000 centímetros?
10. Un arquitecto debe incluir una terraza cuadrada de
16 m2 de superficie en el plano de una residencia.
Si la escala de su diseño es de 1 a 100 cm.
¿Cuánto medirá el área de la terraza en el plano?
89
11. Escribe la relación entre las
siguientes variables por medio de una igualdad matemática.
a) La potencia W generada por una batería es directamente proporcional a la
corriente I que circula por un alambre.
b) La fuerza F que se aplica sobre un cuerpo es directamente proporcional a la
aceleración a. La constante de proporcionalidad es la masa m del cuerpo.
c) La potencia P es directamente proporcional al recíproco del tiempo t. La
constante de proporcionalidad es el trabajo T. ¿Esta relación podría considerarse
de proporcionalidad inversa? ¿Por qué?
Ayuda: Convierte las unidades lineales a unidades de
12. La luz recorre 300 000 kilómetros en un segundo. Se dispara un haz de
luz desde la Tierra, ¿cuánto tardará en llegar si se dirige:
a) A la Luna que se encuentra a una distancia de 384 400 Km.
b) Al Sol, a una distancia promedio de 149.5 millones de Km.
c) A Alfa Centauri, la estrella más cercana a la Tierra,
después del Sol, a 40 billones de Km?
13. Una función lineal f(x) es una función dada por f(x) = mx + b .
a) ¿Qué representa m?
b) ¿Qué representa b?
c) ¿Qué valor debe tener b para que la función sea una relación de
proporcionalidad directa?
14. El salario mensual S de un vendedor es tal que recibe 45% de la venta (v),
cualquiera que sea, pero debe dar 900 pesos a la empresa por concepto de gastos
diversos.
a) Expresa el salario S como una función de la venta v.
b) ¿Qué venta mensual debe tener para no ganar ni perder?
c) ¿Con qué venta mensual saldría perdiendo $900.00?
d) ¿Con qué venta mensual saldría perdiendo $1 000.00?
e) ¿Con qué venta mensual saldría ganando $9000.00?
15. Una empresa renta un automóvil con la siguiente tarifa: $200.00 por día, más $0.50
por kilómetro recorrido
a) Expresa la tarifa del día, T, como una función del
kilometraje recorrido d.
b) Aun sin manejar el automóvil, en un día, ¿cuánto
tendría que pagar?
c) Si dispongo sólo de $500.00 para un día, ¿cuántos
kilómetros como máximo puedo recorrer?
d) ¿Cuánto pagaría por un día en que recorriera 400 kilómetros?
90
CONVIENE APRENDER A PENSAR ALGEBRAICAMENTE. . .
Si practicas el pensamiento abstracto, adquirirás mayor destreza para resolver
exitosamente diversas situaciones de tu vida. Tu mente será más ágil y sentirás mayor
seguridad en ti mismo.
En este juego puedes practicar tu pensamiento abstracto (concéntrate y sigue las
instrucciones al pie de la letra):
1. Piensa un número entero (escríbelo aquí para que no se te olvide ___).
2. Al número que pensaste súmale el número que sigue.
3. Al resultado del paso anterior súmale 7.
4. Divide el resultado entre 2.
5. A lo que quedó réstale el número que pensaste originalmente.
¡El número que quedó es 4! ¿Cierto?
El acertijo anterior se resuelve con álgebra. Veamos la manera:
1. No se sabe cuál número
pensaste.
Es una incógnita a la que llamaremos x.
2. Hay que sumarle el número
que sigue, o sea, x + 1.
La suma es x + (x + 1) = 2x + 1.
3. Se suma siete.
2x + 1 + 7 es igual a 2x + 8.
4. Se divide el resultado entre 2.
(2x + 8) / 2 = x + 4
5. Se resta el número que
habías pensado.
Es decir, se resuelve: x + 4 - x . Pero
curiosamente el resultado de esta
operación es 4.
Por lo tanto, el número que quedó es 4.
UNIDAD III
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
Mediante un método, que para facilidad se ha dividido en seis pasos, en esta Unidad
resolverás problemas algebraicos de un tipo particular: los que dan lugar a ecuaciones
lineales.
Son seis los pasos básicos:
° Comprende el problema.
° Representa algebraicamente los datos y la
incógnita.
° Plantea la ecuación, es decir, la igualdad que
involucre a la incógnita.
° Resuelve la ecuación.
° Enuncia en lenguaje común la respuesta.
° Comprueba la respuesta.
Igual que un atleta que se prepara para vencer, si aplicas lo anterior, corriges tus errores y
buscas una mejora continua, seguramente adquirirás una mayor habilidad para resolver
problemas mediante la solución de ecuaciones lineales.
¿QUE ES UN PROBLEMA?
¿Has tenido problemas alguna vez?
Seguramente sí, todos los seres humanos tenemos problemas, en eso podemos decir que
somos iguales. Pero somos diferentes en la manera de entenderlos y resolverlos.
Ante un problema nuestra primera responsabilidad es comprender porqué lo es.
En general, una situación puede ser problemática cuando:
1.- Nos impide lograr una meta que nos hemos propuesto
alcanzar.
2.- Nos provoca un sentimiento negativo, como inseguridad,
pesimismo, frustración, etc.
3.- Representa un reto que se debe enfrentar.
En Matemáticas un problema (algebraico, aritmético, geométrico etc.) es
una cuestión novedosa por resolver. Emprender la solución requiere de
un método; es decir, de una serie de pasos que conduzcan a obtener las
respuestas correctas en el menor tiempo posible.
No existen recetas para resolver problemas algebraicos, pero los siguientes
son recomendables.
pasos
PRIMER PASO: En primer lugar es indispensable entender el problema, ¡lo mismo se aplica
a cualquier problema de la vida!
Guillermo Salazar tenía un problema: con mucha frecuencia se equivocaba al
efectuar divisiones algebraicas en los exámenes de Matemáticas. Para resolverlo se
dedicó a repasar y a resolver una gran cantidad de ejercicios por su cuenta; pero en
el siguiente examen se volvió a equivocar en varias ocasiones.
Guillermo empezó con la solución antes de entender realmente en qué consistía su
problema. Analizó la situación, tomó en cuenta la opinión de sus maestros y terminó
por concluir que realmente su problema era que a los exámenes llegaba con muchas
dudas sin aclarar.
En consecuencia aplicó una estrategia diferente, centrando sus esfuerzos ya no en
resolver tantos ejercicios sino en aclarar todas las dudas que le surgían al resolverlos.
¡Y lo logró! Aprobó el examen con 9 de calificación.
¿Cuál es el primer paso para iniciar la solución de un problema?______________
¿Alguna vez has querido resolver un problema sin haberlo comprendido?____ .
Cuando leas un texto, debes hacerlo cuidadosamente. Prueba tu comprensión:
Participas en una carrera de autos, si rebasas al que va en segundo lugar, ¿en qué lugar te
colocas? ____________.
En la misma carrera de autos, si rebasas al que va en último lugar, ¿en qué lugar te colocas?
________________________________________________.
Encuentra el resultado sin escribir ni usar calculadora: Toma 1 000 y súmale 40. Al resultado
agrégale 1 000. Luego súmale 30. Vuelve a sumarle 1 000. Súmale 20. Agrégale 1 000 más. Por
último súmale 10. ¿Cuánto resulta? ________.
El papá de Luis es muy ordenado y tiene cinco hijos: Jaza, Jase, Jazi, Jaso… ¿Cuál es el
nombre del 5º hijo? _______.
SEGUNDO PASO: Consiste en representar algebraicamente los datos y la incógnita. Para
hacerlo, es necesario saber traducir lo esencial del lenguaje común en el que está escrito el
problema, al lenguaje algebraico.
El lenguaje algebraico utiliza símbolos como:
x, y, a, etc. (números, cantidades)
⇒ (entonces)
± (más o menos)
= (igual a)
n
(raíz enésima)
> (mayor que)
x, ( ), *, (por)
÷, , / (entre)
< (menor que)
∴ (por lo tanto)
− (menos)
+ (más)
TERCER PASO. Es el planteamiento de la ecuación; o sea, de una igualdad que involucre a
la incógnita. Esta tarea será posible si sabes traducir correctamente oraciones del lenguaje común
al algebraico.
CUARTO PASO. Se aplican las reglas y técnicas del Álgebra para resolver la ecuación o
ecuaciones planteadas, es decir, para saber el valor de las incógnitas.
QUINTO PASO. Consiste en dar respuesta a las interrogantes del problema, enunciando la
respuesta en lenguaje común lo más claramente posible.
SEXTO PASO. Se verifica la validez de las respuestas encontradas, comprobando que cumplan
las condiciones expresadas en el enunciado del problema.
Los pasos descritos los aplicarás en adelante con frecuencia. Si te lo propones, con disciplina,
concentración y perseverancia serás cada vez más competente en la solución de problemas.
SIN CONSULTAR EL TEXTO, ¿PUEDES DESCRIBIR CADA PASO RECOMENDABLE PARA
RESOLVER UN PROBLEMA? SI ES ASÍ. . . PRÉMIATE CON UN DESCANSO. . .
PRIMER PASO PARA RESOLVER UN PROBLEMA ALGEBRAICO. . .
Entender en qué consiste un problema requiere imaginar el lugar en que se da e identificar
y comprender:
El ambiente,
El significado de las palabras y las expresiones,
Los datos relevantes y
La cuestión por resolver
Ejemplo: Celia y Dámaso son esposos, viven en Cuba y pesan 118 libras y 69 kilos,
respectivamente. Se van a pasear a un parque y deciden jugar en un “sube y baja”;
al subirse quedan entre sí a una distancia de 2.7 m. ¿Cuál debe ser la posición del
fulcro para que haya equilibrio?
El entendimiento del problema se facilita cuando uno se imagina el ambiente en el que se da.
En este caso podría ser una imagen como la de esta
fotografía, en la que dos personas buscan el equilibrio en
un
parque de Cuba.
La comprensión queda incompleta cuando se desconoce el
significado de las palabras. Tal vez en este ejemplo la
palabra fulcro pudiera desconocerse, en tal caso se debe
inmediatamente al diccionario.
acudir
¿Qué es un fulcro? __________________________________________ .
El enunciado del problema suele contener información irrelevante. Por ejemplo, de nada sirve
saber que los esposos se llamen Celia y Dámaso; si se llamaran Martha y Vicente en nada
cambiaría el problema. Da dos ejemplos más de datos irrelevantes del problema
_____________________________________________ .
Es importante identificar los datos relevantes, es decir, los que si fueran otros modificarían el
resultado o solución del problema. Por ejemplo, es relevante lo que pesan las personas,
porque si fueran otros valores cambiaría en consecuencia la posición del fulcro para mantener
el equilibrio. Menciona otro dato relevante: _______________________________ . Entre los
datos relevantes siempre estarán las condiciones del problema. Por ejemplo, que estén a una
distancia de 2.7 m.
Con frecuencia la información no es uniforme y debe “traducirse”, ya sea mediante cálculos,
deducciones o investigaciones. En este problema habría que convertir los pesos de las dos
personas a las mismas unidades, por ejemplo a kilos, para ello se averigua a cuántas libras
equivale un kilogramo (equivale a 2.20 libras) y mediante una regla de tres se obtiene que 118
libras equivalen a 53.63 kilogramos.
Una forma de saber si has comprendido un problema es: una vez leído, debes ser capaz de
imaginar el ambiente en que se da y enunciarlo con tus propias palabras, de una manera
consciente, es decir, entendiéndolo en su totalidad.
SEGUNDO PASO PARA RESOLVER UN PROBLEMA ALGEBRAICO. . .
REPRESENTAR ALGEBRAICAMENTE LOS DATOS Y LA INCÓGNITA
En los espacios subrayados escribe en lenguaje algebraico las expresiones dadas en
lenguaje común. Recuerda algo importante: la letra que se utilice para denotar un número, una
cantidad o una magnitud puede ser cualquiera, aunque la costumbre sea utilizar "x" e “y” para
indicar las incógnitas, o en ocasiones la letra con la que se inicia una palabra, por ejemplo,
para número se utiliza n, para velocidad v, etc.
LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
1. Un número.
n
2. El doble de un número.
2n
3. El quíntuplo de un número.
____
4. Un número aumentado en 1.
n+1
5. Un número aumentado en 47.
______
6. Un número disminuido en 7
n–7
7. Un número disminuido en 84.
_______
8. Un número supera en tres a otro.
n (otro número)
m = n + 3 (m representa “un número”)
9. Un número supera en 76 a otro.
___ ( _____________ )
_________ ( _________________ )
10. Un camino es seis unidades menos
largo que otro.
o (otro camino)
c = o - 6 (c representa “un camino”)
11. Un terreno es 52 m2 menor que otro.
___ (otro terreno)
________ ( _________________ un terreno)
12. El número de personas que trabajan
en cada una de dos empresas si
suman 135.
13. Los pagos de renta de dos casas si
por las dos se pagan $ 3 000.00 al
mes.
14. Los pesos en Kg de Fito y de Pepe si
juntos pesan 49.
15. Los ahorros de Martha y Edson si entre
ambos juntaron 20 000 pesos.
n (personas de la 1ª empresa)
135 - n (personas de la 2ª empresa)
___ ( _______________________ )
__________ ( ____________________ )
Peso de Fito = f
Peso de Pepe p = 49 - f
__________________________ ;
_______________________________
16. Tres enteros consecutivos.
x, x + 1, x + 2 (x es un número entero).
17. Cuatro enteros consecutivos.
__, _____, _____, _____
18. Un número par.
2x (Si x es un número entero diferente de cero,
19. Dos números pares consecutivos.
2x,
20. Tres números pares consecutivos.
__, _____, _____
(_______________________________)
21. Un número impar.
2x + 1 (x es un número entero)
22. Tres números impares consecutivos.
2x + 1, 2x + 3, 2x + 5 (x número entero).
23. Cuatro números impares consecutivos.
_____, _____, _____, _____ (x es entero).
24. La diferencia de los cuadrados de dos
pares consecutivos.
(2x + 2)2 – (2x)2 (x número entero).
25. La diferencia de los cuadrados de dos
impares consecutivos.
__________________
26. La fortuna de Rafael es el doble de la
de Raymundo.
r (fortuna de Raymundo)
R = 2r (fortuna de Rafael)
27. Un tinaco tiene la mitad de la capacidad
de otro.
___ ( ___________________________ )
entonces su doble es par).
2x + 2 (x representa un número entero).
______ (capacidad de un tinaco)
28. Un ganadero tiene 8
vacas menos del triple de
las que tiene otro
ganadero.
29. Un comerciante vende 78 productos
más que el quíntuplo de lo que vende otro.
v2 (vacas del otro ganadero)
v1 = 3 v2 - 8 (vacas de un ganadero)
___ ( ___________________________ )
__________ ( ____________________ )
30. El 9% de cierta cantidad de dinero (x)
en pesos.
9
1
x ó 9
x ó 0.09 x
100
100
31. El 15% de cierta cantidad de dinero (x)
en pesos.
32. El descuento del 9% sobre cierta
cantidad de dinero (x) en pesos.
____x ó __ ( _____ )x ó ______x
En cualquiera de estas formas:
d=x-
9
x,
100
ó d = x - 9 1 x
100
ó d = x - 0.09x
33. El descuento del 30% sobre cierta
cantidad de dinero (y) en pesos.
En cualquiera de estas formas:
d = y - ____ y
(
)
ó d = y -___ _____ y
ó d = y -_____ y
34. La cantidad de alcohol en x litros de
una solución de alcohol al 75%.
En cualquiera de estas formas:
75
A=
x
100
1
A = 75
x
100
A = 0.75x
35. La cantidad de plata en z kilos de una
aleación de plata al 63%.
En cualquiera de estas formas:
P = ____z
P = ____ (______)z
P = ______z
36. La cantidad de ácido en x - 3 litros
de una solución de ácido al 31%.
En cualquiera de estas
formas:
a = 31 (x - 3)
100
a = 31 1 (x - 3)
100
a = 0.31(x - 3)
37. La cantidad de aluminio en x + 7 kilos
de una aleación de aluminio al 25%.
En cualquiera de estas formas:
A = -------- (
)
A = ___ (______)(
A = _________(
)
)
SI LO PREFIERES, DESCANSA UN POCO. . .
TRADUCCIÓN AL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
Recuerda: la velocidad (v) es la distancia recorrida (x) por unidad de tiempo (t):
v =
x
t
t =
x
v
Es una sola fórmula expresada en tres formas diferentes.
x = vt
RESUELVE mentalmente y escribe la solución.
1. La velocidad x de un automóvil que avanza “y”
kilómetros en “t” horas, (las unidades se indican entre
corchetes).
2. La distancia x recorrida por un corredor de maratón
que avanza a 40 Km durante t - 2 horas.
h
3. Si Carolina maneja durante 30 minutos y recorre 40
kilómetros, ¿a qué velocidad viaja en Km ?
x=
y Km
t h
x = _______ [ ____ ]
30 min =
h
v=
1
h
2
40
= 80 Km
h
1
2
4. ¿Cuál fue la velocidad de Asela en Km si caminó 12
90 min = ___ h
Km. en 90 min?
v = --------- = ___
h
5. La velocidad de Hugo en su auto si en t hrs recorre 60
Km.
6. La velocidad del avión que recorre x
Km. en t horas.
v=
60 Km
t h
v = -----
7. Un tren viaja a una velocidad promedio de 80 Km
¿En cuánto tiempo recorre x kilómetros?
h
8. El tiempo que tarda un tráiler en recorrer una distancia
“d” (Km) a una velocidad “x” (Km/h).
9. La distancia x recorrida por una partícula atómica a
105 Km en t - 3 horas.
h
t=
x
[h ]
80
t = ______ [__ ]
x = 105 (t - 3) [Km]
Nota: Cuando en un fenómeno las velocidades de los cuerpos son cercanas a
la velocidad de la luz, dejan de tener validez las relaciones como d = vt.
10. La distancia d de la ciudad de México a Morelia, si a
un promedio de 100 Km se hacen 3.7 horas de viaje.
d = ____________
11. La distancia x recorrida en t + 0.05 horas por un
proyectil que se desplaza a “y” Km .
]
x =__________ [____
h
= _____
h
¿SIGUES O DESCANSAS UN MOMENTO?. . .
TRADUCCIÓN AL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ANTES DE SEGUIR, RECUERDA CÓMO SE CALCULA:
* Perímetro de un triángulo: suma de las longitudes de sus
lados.
* Área de un triángulo: su base por su altura.
* Perímetro de un cuadrado: cuatro veces la longitud de su lado.
* Área de un cuadrado: la longitud de su lado al cuadrado.
* Perímetro de un rectángulo: el doble de su base más el doble de su altura.
* Área de un rectángulo: el producto de su base por su altura.
Además: * La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º.
* Dos ángulos son complementarios cuando suman 90º; suplementarios cuando
suman 180º y conjugados si suman 360º.
Traduce al lenguaje algebraico (las figuras no están a escala).
1. Las dimensiones de un triángulo si
su base supera en 2 unidades al triple
de su altura.
h
3h+2
Altura = h
Base = 3h+2
2. Las dimensiones de un triángulo si
su base es menor por 8 cm que la
mitad de su altura.
___________
_____________
3. Las dimensiones de un triángulo si la
suma de su base y su altura es de 31
m.
31-x
x
Altura = 31-x
Base = x
4. Las dimensiones de un triángulo si la
suma de su base y su altura es de 512
m.
______________ _________
5. El perímetro de un triángulo equilátero
cuyos lados miden z unidades cada uno.
z
P = 3z
6. El perímetro de un triángulo equilátero
de lado b.
______
7. El perímetro de un triángulo isósceles
si los lados iguales miden la mitad del
desigual.
x/2
x/2
x
P = x + 2(
x
)
2
∴P=x+x
P = 2x
8. El perímetro de un triángulo isósceles
si los lados iguales miden cada uno 6
unidades más que el desigual.
_______
P = __________
∴ P = ____________
P = __________
____
9. El perímetro de un triángulo escaleno
si el primero de sus lados mide lo doble
del segundo y el tercero lo triple del
primero.
10. El perímetro de un triángulo
escaleno si el primero de sus lados mide
lo triple del segundo y el tercero lo
séxtuplo del segundo.
2x
2º lado: x
3(2x)=6x
P = x + 2x + 6x ⇒ P = 9x
2° lado: x
1er. Lado: ___
3er. lado:
_____________ ⇒ ________
11. El área de un terreno triangular si su
base mide 12 m. más que su altura.
y
y + 12
A=
(y + 12)y
=
2
12. El área de un terreno triangular si su
base es 17 m menor que su altura.
h
h - 17
13. El complemento de un ángulo α.
14. Uno de los ángulos suplementarios si el
otro mide 3x – 1 grados.
15. El suplemento del ángulo de z + 7 grados.
_______
16. El conjugado de un ángulo β (beta).
________
_________ = _________
180 - (3x - 1)
___________
17. El tercero de los ángulos interiores de un
triángulo si la suma de los otros dos es 3x.
180 - 3x
18. El primero de los ángulos interiores de un
triángulo si la suma de los otros dos es 9x.
__________
19. Los ángulos interiores de un triángulo si el
2º es 10º mayor que el 1º y el 3º mide 22º
menos que el doble del 2º.
20. Los ángulos interiores de un triángulo si el
1º es 75º menor que el 2º y el 3º mide 20º
más que el doble del 1º.
21. El perímetro de un tablero de ajedrez
cuadrado cuyo lado mide x - 7 metros.
Primero: x Segundo: x + 10
Tercero: 2(x + 10) - 22
Primero: ______ Segundo: ___
Tercero: _____________
x-7
P = 4(x - 7)
22. El perímetro de un mural cuadrado cuyo
lado mide 21 - n unidades.
_______
_________ = ________
y
23. El área de la cubierta cuadrada de una
mesa que mide “y” metros de lado.
A = y2
24. El área de una lámpara cuadrada de z
metros de lado.
______
¿SIGUES O DESCANSAS UN MOMENTO?. . .
25. El área de un mapa cuadrado, cuyo lado
mide a – x unidades.
a-x
A = (a – x)2
26, El área de una pantalla de monitor
cuadrada, cuyo lado mide x + 2 unidades.
_________________________
27. La base de una pintura mural es tres
unidades menor que su altura.
altura = x
base = x - 3
28. Lo largo de un terreno rectangular supera
por 32 m a su ancho.
largo = ________
ancho = ___
1.9x
29. El área de una fotografía rectangular cuya
altura es 1.9 veces su base.
A = 1.9x (x)
2
A = 1.9x
x
30. El área del frente del Partenón de Atenas,
un frente rectangular cuya base mide 1.6
veces su altura.
____
A = _________= ______
____
31. El área de un rectángulo cuyo ancho es
40 m menor que la mitad de su largo.
(x/2) - 40
x
A = x ( x - 40 )
2
32. El área de una barda rectangular cuya
altura es 96 cm mayor que la tercera parte de
su base.
________
___
A = ____________
= _____________
33. El perímetro de un techo rectangular cuyo
ancho es la quinta parte de su largo.
x/5
x
P=
12x
5
_________
34. El perímetro de una cancha rectangular
de futbol cuyo ancho es 175 m menor que el
triple de su largo.
__
P = ____________
= ____________
35. La base de un cuadro sin marco mide el
séptuplo de su altura. Si el marco mide 3 cm de
ancho, ¿cuál es el perímetro del cuadro
incluyendo al marco?
x+6
x
7x
P = 2(7x+6) + 2(x+6)
P = 16x + 24
7x+6
36. La base de un cuadro sin marco (incluida la
“marialuisa”, que es la franja rectangular antes
del marco), mide 24 cm más que su altura. Si el
marco mide 7 cm, ¿cuál es el perímetro del
cuadro con marco? (Simplifica el resultado).
__
P = _______________
______
P = _______________
P = __________
______________
37. Las dimensiones del terreno rectangular
que ocupa un edificio, con todo y banqueta, si
el terreno mide de largo 30 m más que de
ancho y la banqueta que rodea al edificio mide
2.5 m.
38. Las dimensiones de una piscina
rectangular, con todo y banqueta que la rodea,
si la piscina mide de ancho 9 m menos que de
largo y la banqueta mide 2 m de ancho.
__________
x
x+30
x+35
x+5
Ancho = x + 5
Largo = x + 35
___
________
___
______
____________ ; ______________
PUEDES DESCANSAR…
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE ORIGINAN ECUACIONES LINEALES
La solución de cualquier problema debe iniciarse sólo cuando se haya comprendido. Lee con
atención este:
El día de su cumpleaños, Irma recibió como regalo $41 000.00 de parte de sus
dos hijos. Si su hija Laura le regaló el triple de lo que le regaló su hijo Isaac,
¿cuánto dinero le regaló cada uno?
¿Entendiste el problema? Para comprobarlo cubre el enunciado para que no lo puedas
ver y contesta las siguientes preguntas, ¿listo?
a) ¿Cuántas personas son importantes en el problema? ______ .
b) Hay dos condiciones, una es que la suma de dinero regalada es de $41
000.00, ¿cuál es la otra? __________________________________ .
c)
¿Qué se pide encontrar? ________________________________________ .
Lee el enunciado del problema y comprueba tus respuestas. Si contestaste correctamente, quiere decir que
comprendiste el problema y puedes iniciar su solución. En caso de haber fallado o no haber contestado,
vuelve a leerlo y da tus respuestas.
El siguiente paso consiste en escribir en forma algebraica las incógnitas y los datos. Para hacerlo,
lee nuevamente el enunciado del problema. . .
INCÓGNITA Y DATOS:
Cantidad que le regala Isaac = x (incógnita)
Cantidad que le regala Laura = 3x
Nota: cuando haya varias igualdades, los signos “=” se deben alinear en columna.
Se plantea la ECUACIÓN
x + 3x = 41 000
Se RESUELVE la ecuación:
4x = 41 000 (se sumaron los términos semejantes)
41 000 (se dividió entre 4 en ambos lados de la igualdad)
x
=
4
x = 10 250 (se realizó la operación)
Con este resultado sabemos que Isaac le regaló a su mamá $10 250.00
Como Laura le regaló el triple de lo que le regaló su hijo Isaac, entonces:
Regalo de Laura = 3($10 250.00) = $30 750.00
Se ENUNCIA la respuesta: Isaac le regaló $10 250.00 y Laura le regaló $30 750.00
Se COMPRUEBA que se cumplen las condiciones del problema:
1ª Las dos cantidades deben sumar $41 000.00:
$10 250.00 + $30 750.00 = $41 000.00
2ª Laura le regalo el triple de lo que le regaló Isaac: $30 750.00 = 3($10 250.00)
$30 750.00 = $30 750.00
¿ENTENDISTE EL PROCEDIMIENTO? AVANZA SI ES ASÍ. . .
LEE CON ATENCIÓN EL PROBLEMA Y LLENA LOS ESPACIOS SUBRAYADOS.
Me compré un par de zapatos y un pantalón. Si los zapatos me costaron lo triple del pantalón,
¿cuánto me costó el pantalón y cuánto los zapatos si gasté $ 950.00?
¿Entendiste el problema? Compruébalo cubriendo el enunciado para que no lo puedas ver y contestando las
siguientes preguntas, ¿ya?
a) ¿De cuántas prendas se trata? ______
b) Hay dos condiciones: 1ª condición: __________________________________
2ª condición: ___________________________________
c) ¿Qué se desea saber?: ____________________________________________
Enseguida verifica si tus respuestas están correctas leyendo el enunciado del problema.
El primer paso para resolver el problema consiste en escribir en forma algebraica los _______ y la
___________. Esta información se obtiene del enunciado del problema.
INCÓGNITA Y DATOS: Los zapatos me costaron lo triple del pantalón:
Precio del pantalón = p (incógnita)
Precio de los zapatos = ____
Considerando que gasté $ 950.00 la ECUACIÓN es:
p + ____ = ____
RESOLVIENDO:
4p = 950
p = 950
(se sumaron las "p")
(se dividió entre 4 en ambos lados)
p =__________ (se calculó el cociente)
Con este resultado sabemos que el pantalón costó: $ ___________
Como los zapatos costaron el triple, su precio fue de: 3 ( _______ ) = _________
Respuesta: El pantalón me costó: _______ y los zapatos me costaron: _________
Se COMPRUEBA que se cumplen las _______________ del problema:
1ª condición: pagué $950.00 por los zapatos y el pantalón: ____ + _____ = 950
2ª condición: los zapatos me costaron el triple del pantalón: 3 ( _______ ) = ________
¿Se cumplen las dos condiciones? sí ( )
.
no ( ). En caso afirmativo el problema está resuelto. .
PRACTICA EL PROCEDIMIENTO. . .
El profesor Adolfo Franco dictó dos conferencias a las que asistieron
personas. La asistencia a la segunda excedió en 30 a la primera
¿Cuántas personas asistieron a cada conferencia?
124
Si comprendiste, cubre el enunciado para que no lo veas. ¿Ya?
¿Cuántas conferencias dictó el profesor? ___ . La 1ª condición es
________________________.
¿Cuál
es
la
2ª
que:
condición?
_____________________________________ .¿Qué se quiere encontrar? __________
_______________________________ .Verifica tus respuestas en el enunciado del problema.
Enseguida escribe la INCÓGNITA y los DATOS en lenguaje algebraico. El número de personas
que asistieron a la 2a. conferencia excedió en 30 a las que asistieron a la 1a:
número menor = n (incógnita)
número mayor = _____
Porque la suma de los dos números es 125, la ECUACIÓN es:
____ + (______) = ______
Resolviendo:
____ + ______ = ______
(se eliminó el paréntesis)
____ + ____ = ______ (se sumaron las _____ )
_____ = ______ (se restó _____ en ambos lados)
___ = ______ (se dividió entre dos en ambos lados)
Por lo tanto, uno de los números es ______ ¿es el menor o el mayor? ____________.
El número mayor excede al menor en 30, entonces el otro número es ________.
RESPUESTA: el número de personas que asistieron a la 1a. conferencia fue _____;
el número de personas que asistieron a la 2a. conferencia fue _____.
Se COMPRUEBA que se cumplen las ______________ del problema:
1ª condición: a las dos conferencias asistieron ______ personas. Sí se cumple porque:
______+______ = ______.
2ª condición: la asistencia a la segunda excedió en 30 a la primera. Se cumple porque al calcular
la diferencia entre el número mayor y el menor _____ - ______ = ______
Por lo tanto, el problema está resuelto.
¡ENHORABUENA! ¡PUEDES TOMAR UN DESCANSO!
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS III.1
Resuelve los problemas siguientes. Cuando sea posible dibuja un diagrama de la situación
descrita en el enunciado y no te olvides de escribir los signos de igualdad en columna.
¡Cerciórate primero de haber comprendido el problema!
1.- Las cuentas bancarias de Dora y Gerardo
suman $50 000.00 y la cuenta de Dora supera
a la de Gerardo por $17 000.00 ¿Cuánto
dinero tiene cada uno?
2.- Lupita Ramos obtuvo un crédito de
$175 000.00 por parte de dos bancos.
El primer banco le otorgó $35 000.00
más que el otro. ¿Cuánto dinero le
prestó cada banco?
3.- El señor Enrique Alvarez les regala a sus
dos hijos un terreno de 200 metros cuadrados
de superficie. Al mayor le regala 70 metros
cuadrados más que al menor. ¿Cuántos
metros cuadrados le regala a cada uno?
4.- Un ranchero posee 648 cabezas de
ganado entre
reses y
borregos. Si el
número de
borregos
duplica al de reses, ¿cuántas cabezas
tiene de cada especie?
5.- Ana Pérez tiene dos hermanas, una es
mayor que la otra por un año. Si la suma
de sus edades es 47 ¿cuántos años tiene
cada una?
6.- La distancia por carretera de Mérida a
Cancún es de 322 Km, pasando por Chichen
Itzá. Si la distancia de Chichen Itzá a
Cancún es 82 Km mayor que la de Mérida a
Chichen Itzá, ¿qué distancia hay de Mérida
a Chichen Itzá y de ésta a Cancún?
7.- Tengo un total de 140 libros, unos son 8.- Las
de Química y otros de Biología. Si tengo alturas de
el triple de Biología que de Química las
pirámides
¿cuántos tengo de cada materia?
del Sol y de
la Luna en
Teotihuacán, México, suman 111 m. Si la
pirámide de la Luna es 19 m menos alta,
¿cuál es la altura de ambas pirámides?
9.- Juan gasta a la semana la cuarta parte
de lo que gasta Víctor. Si la suma de sus
gastos semanales es $700.00, ¿cuántos
pesos a la semana gasta cada uno?
10.- México y Canadá juntos tienen una
superficie de 11.17 millones de Km2. Si la
superficie de México es 7.25 millones de
Km2 menor que la de Canadá, ¿cuál es la
superficie de cada país?
11.- Uno de dos ángulos complementarios 12.- Si uno de dos ángulos suplementarios
mide 6º más que el doble del otro. es el cuádruplo del otro, obtén ambos.
Encuentra las medidas de los dos
ángulos.
13.- Determina los tres números impares 14.- ¿Cuáles son los tres números pares
consecutivos tales que la suma del primero y
consecutivos cuya suma sea 69.
el segundo supera en 40 al tercero?
15.- La diferencia de los cuadrados de 16.- El segundo ángulo de un triángulo mide
dos enteros pares consecutivos es 84. 3 veces lo que el primero y el tercer ángulo
mide 12º menos que dos veces el primero.
¿Cuáles son los números?
Calcula las medidas de los ángulos.
MÁS PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
PON ATENCIÓN. El largo de un vivero rectangular mide 30 m menos
el doble de su ancho, y su perímetro es de 420 m. ¿Cuáles son sus
dimensiones?
que
Sin ver el enunciado, indica las dos condiciones del problema.
1ª ______________________________________________________
2ª ______________________________________________________
¿Qué se pregunta? __________________________________________
En la figura de abajo se representa el vivero y sus dimensiones.
x
DATOS:
Ancho: x
Largo: 2x - 30
Perímetro: 420 m
2x - 30
ECUACIÓN Y SOLUCIÓN:
La suma de los cuatro lados del vivero es el perímetro, o sea:
2 (x) + 2(2x - 30) = 420
Al multiplicar para eliminar los paréntesis:
2x + 4x - 60 = 420
Al sumar términos semejantes: 6x – 60 = 420
Al sumar 60 en ambos lados para despejar 6x: 6x = 480
Al dividir entre 6 para despejar x:
x = 80
∴ Ancho = 80 m ⇒ Largo = 2(80) - 30 = 130 m
Respuesta: El vivero mide 80 m de ancho y 130 m de largo.
COMPROBACIÓN:
1ª. Condición: el largo debe medir 30 m menos que el doble de su ancho.
Como el doble de su ancho es 160 m, entonces su largo (que resultó ser de 130 m) es 30
m menor. Es decir, se cumple la condición.
2ª. Condición: Su perímetro debe ser de 420 m.
Se trata de un rectángulo, entonces su perímetro se obtiene sumando dos veces su
ancho más dos veces su largo:
Perímetro = 2(80) + 2 (130)
= 160 + 260
= 420 m
SI ENTENDISTE, PUEDES CONTINUAR. . .
PROBLEMAS QUE ORIGINAN ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
COMPLETA SIN EQUIVOCARTE:
La altura de una pintura al óleo es 18 cm menos que el doble de su base. Si la pintura se monta
en un marco que mide 9 cm de ancho y el marco tiene un área de 3 996 cm2, ¿cuáles son las
dimensiones de la pintura sin el marco?
Sin ver el enunciado di en qué consiste el problema. Si es correcto, continúa. . .
DATOS:
Pintura sin marco:
Base
Altura
Área
__
________
____________
Pintura con marco ______
___
____________
ECUACIÓN:
marco
El área del marco es de 3 996 cm2, entonces:
área de la pintura con marco - área sin marco = 3 996 cm2
Lo anterior expresado en forma matemática es: _____________________ = 3 996 cm2
SOLUCIÓN:
Al eliminar paréntesis en la ecuación: ______________________ = 3 996 cm2
Al sumar términos semejantes:
_____ = 3 996 cm2
x = 74 cm
∴ Altura = 2x - 18
= __________
= _______
=
Respuesta: Las dimensiones de la pintura son: base = ______ , altura = ________
COMPROBACIÓN de que se cumplen las condiciones del problema:
La altura de la pintura debe ser 18 cm. menos que el doble de la base. Es decir:
altura = 2(base) - 18
Substituyendo valores encontramos:
130 = ___________
130 = _________
130 = _____
Al cumplirse la condición, el problema está __________ .
NO TE DETENGAS. . .