See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/341165763 Principios de la Hidráulica 2 Book · May 2020 CITATIONS READS 0 6,113 1 author: Washington Ramiro Sandoval Erazo Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE 34 PUBLICATIONS 126 CITATIONS SEE PROFILE Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Diseño de Obras Hidrotécnicas View project All content following this page was uploaded by Washington Ramiro Sandoval Erazo on 06 May 2020. The user has requested enhancement of the downloaded file. 2 Principios de la Hidráulica 2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D. 2013 Rev.2020 A mi Familia, a quienes más valoro y amo: Mi esposa Elena, mis hijos; Lina, Nasty y Ramiro y a mis nietos Luciana y Santy. Principios de la Hidráulica 2 “El Chambo… se golpea contra peñascos, salta convertido en espuma, se hunde en sombríos vórtices, vuelve a surgir a borbotones, se retuerce como un condenado, brama como cien toros heridos, truena como la tempestad, y mezclado luego con el otro río continúa con mayor ímpetu cavando abismos y estremeciendo la tierra" Juan León Mera (Cumandá) PREFACIO "Hay cosas que para saberlas no basta con haberlas aprendido" (Séneca), para saberlas hay que haberlas aplicado y enseñado y de esta interrelación creativa surge la sabiduría, proceso complejo, pero cuyo resultado final deja huella en la naturaleza. El material de este texto es la base teórica que todo profesional de Ingeniería Civil debe conocer para introducirse en el mundo de las obras hidráulicas. Para comprensión de los temas tratados, se necesita el conocimiento previo de las propiedades de los fluidos, de hidrostática, de los principios de la hidrodinámica y se requiere disponer de cierta destreza en el uso y aplicación de la ecuación de Bernoulli. El autor agradece a la Escuela Politécnica del Ejército por el apoyo en la publicación del presente trabajo y en especial al Ing. José Luís Carrera, Catedrático de la EPN, por su valiosa colaboración en la revisión y recomendaciones dadas a este libro. Este trabajo al ser un esfuerzo personal, no está exento de errores, por lo que cualquier inquietud o comentario sobre su contenido dirigirla al correo electrónico del autor [email protected]. Autor Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 5 Principios de la Hidráulica 2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 6 Principios de la Hidráulica 2 CONTENIDO Pág. CAPITULO I PERDIDAS EN TUBERIAS 1.1. Origen de las Resistencias (Pérdidas) 1.2. Pérdidas por Longitud (Primarias) 1.2.1. Régimen Laminar 1.2.2. Régimen Turbulento 1.3. Pérdidas Locales o de Forma 1.3.1. Métodos 1.3.2. Expansión Brusca de un Flujo 1.4. Carga y Potencia de una Bomba 11 15 15 15 21 21 23 38 CAPITULO II LINEAS Y REDES DE CONDUCCION 2.1. Conceptos Generales 2.2. Tuberías Simples 2.2.1. Cálculo de Tuberías Simples Cortas 2.2.2. Cálculo de Tuberías Simples Largas 2.3. Tuberías Complejas 2.3.1. Tuberías de Diferente Diámetro Unidas en Serie 2.3.2. Tuberías en Paralelo 2.3.3. Red Abierta 2.3.4. Conducto con Descarga Uniformemente Distribuida 2.3.5. Tuberías Anulares o Cerradas 2.4. Redes de Distribución 2.4.1. Expresión para la Determinación de Pérdidas por Fricción 2.4.2. Cálculo Hidráulico 2.4.3. Procedimiento de Cálculo Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 44 46 49 51 52 52 56 60 62 65 67 68 69 73 Página 7 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO III FLUJO EN CANALES 3.1. Flujo Uniforme 3.1.1. Ecuación Básica del Movimiento Uniforme 3.1.2. Determinación del Calado Normal 3.1.3. Sección Hidráulica Optima 3.1.4. Canales de Sección Cerrada Cálculo Hidráulico 3.2. Flujo no Uniforme en Canales 3.2.1. Ecuación Diferencial del Flujo No Uniforme Gradualmente Variado 3.3. Energía Específica de una Sección 3.3.1. Tirante Crítico 3.3.2. Pendiente Crítica 3.4. Formas de la Superficie Libre 3.5. Diseño de la Superficie Libre 3.5.1. Puntos de Control 78 79 81 86 88 89 91 93 97 99 101 102 105 107 CAPITULO IV VERTEDEROS 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. Elementos de los Vertederos Clasificación de los Vertederos Ecuación de Caudal para Vertederos Vertederos de Pared Delgada 4.4.1. Coeficiente de Caudal de un Vertedero de Pared Delgada 4.4.2. Coeficiente de Inmersión 4.4.3. Otros Vertederos de Pared Delgada 4.5. Vertederos de Cresta Ancha 4.6. Vertederos de Perfil Curvo 4.6.1. Vertederos de Perfil Práctico 4.7. Contracciones Laterales en los Flujos 110 111 115 118 118 119 120 121 125 126 129 CAPITULO V FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS 5.1. Condiciones de Flujo 5.2. Flujo Libre en Orificios Pequeños de Pared Delgada 5.2.1. Velocidad y Caudal del Flujo 5.3. Flujo a Través de un Orificio Sumergido Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 131 132 135 137 Página 8 Principios de la Hidráulica 2 5.4. Descarga Libre a través de un Orificio Grande 5.5. Flujo a través de Toberas o Pared Gruesa 5.5.1. Velocidad y Gasto en una Tobera 5.5.2. Formación de Vacío en las Toberas 5.6. Flujo bajo Compuertas 5.6.1. Flujo Bajo una Compuerta Plana no Sumergida 5.6.2. Compuertas Inclinadas y Curvas 140 141 142 144 147 148 150 CAPITULO VI CONJUGACION DE AGUAS 6.1. Cambios de Pendientes en Canales 6.1.1. Cambio de Régimen Fluvial a Torrencial 6.1.2. Cambio de Régimen Torrencial a Fluvial 6.2. El Resalto Hidráulico 6.2.1. Ecuación del Resalto para un Cauce Prismático 6.2.2. Pérdida de Carga en el Resalto 6.2.3. Longitud del Resalto Hidráulico 6.3. Conjugación de Aguas en Vertederos 6.3.1. Tirante Contraído al Pie de la Presa 6.3.2. Colchón de Aguas Tipo Pozo 6.3.3. Colchón de Aguas Tipo Muro 6.4. Caídas 6.4.1. Rápidas 6.4.2. Escalones 6.5. Conjugación de Aguas con Deflector Tipo Esquí 153 153 154 154 156 159 161 163 165 168 170 172 172 174 175 CAPITULO VII FLUJO DE SEDIMENTOS EN CAUCES ABIERTOS 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. Concentración de Sedimentos o Turbidez Velocidad de Caída de las Partículas Movimiento de los Azolves Transporte de Fondo 7.4.1. Formas del Fondo 7.5. Azolves en Suspensión 7.6. Transporte Total de Sedimentos Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 183 185 188 189 194 196 198 Página 9 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO VIII FLUJO VARIABLE EN EL TIEMPO (NO ESTACIONARIO) 8.1. Ecuación de Bernoulli para el Flujo Variable 8.1.1. Tubería de Sección Constante 8.2. Golpe de Ariete (Choque Hidráulico) 8.2.1. Presión de Choque y Velocidad de Difusión 8.2.1.a. Tubería Absolutamente Rígida 8.2.1.b. Paredes Elásticas 8.3. Flujo No Estacionario en Rápidamente Variado en Canales. Ondas Móviles 8.3.1. Tipos de Ondas 8.3.2. Las Olas Según sus Causas 8.3.3. La Superficie Libre de una Onda Movil 8.3.4. Velocidad de Desplazamiento de la Onda 8.4. Flujo No Estacionario en Orificios 8.4.1. Desagüe con Carga Variable y Aflujo Constante 8.4.2. Flujo de un Tanque a Otro 199 200 201 203 203 205 208 208 209 211 212 214 214 218 BIBLIOGRAFIA 221 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 10 Principios de la Hidráulica 2 CAPÍTULO I PÉRDIDAS EN TUBERÍAS 1.1. ORIGEN DE LAS RESISTENCIAS (PÉRDIDAS) Un flujo al actuar sobre la superficie de un cuerpo genera un gradiente de velocidad como resultado de la presencia de esfuerzos de corte o rozamiento, a su vez implica cierta transformación de energía (pérdida) que es proporcional a la superficie de acción, por lo que se dice que las fuerzas de resistencia producen pérdidas por contacto con la superficie. La fuerza de resistencia, al movimiento de un cuerpo o un fluido en contacto con un cuerpo, se descompone en una componente normal y otra de corte o tangencial; la primera corresponden a la presión que el fluido ejerce sobre el cuerpo y la segunda a la suma los esfuerzos rasantes, como se muestra en la figura 1.1. La sumatoria de los esfuerzos cortantes en la superficie del cuerpo de A a B generan las pérdidas por fricción. Figura 1.1 Perfil Aerodinámico Trunco Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 11 Principios de la Hidráulica 2 En los puntos B y B` de la superficie del cuerpo, debido a la desaceleración del flujo, por causa de los esfuerzos cortantes, así como por la existencia de un gradiente positivo de presiones, que se opone al movimiento por la forma del cuerpo, la capa de fluido se desprende del cuerpo, formando en la parte posterior una estela de vórtices, las cuales generan una pérdida por fricción. Indudablemente, el punto de desprendimiento B o separación de la capa adyacente depende de la forma del cuerpo. Este fenómeno conduce a que la suma de los esfuerzos de presiones en los extremos anterior y posterior del cuerpo no esté en equilibrio. A la fuerza resultante de este fenómeno se la llama fuerza de forma o resistencia de forma. A la transformación de energía, producto de este fenómeno, se le denomina pérdida de forma o local. Las causas que producen la transformación de energía, da origen a la clasificación de las llamadas pérdidas de energía que son de dos tipos: pérdidas por longitud o primarias y pérdidas locales o secundarias. Pérdidas primarias son producto de las fuerzas de resistencia por contacto del fluido con los bordes de los cauces o contornos de los cuerpos y el rozamiento entre las mismas capas de los fluidos. Pérdidas secundarias se generan por los vórtices producto de la forma de las paredes del cauce, el contorno de los cuerpos y las condiciones de flujo, razón por la cual se les denomina pérdidas locales o de forma (pérdidas en accesorios). La magnitud de las fuerzas de resistencia dependen de factores como: Velocidad del flujo, parámetros geométricos, rugosidad y otros factores. Las características geométricas más importantes de un flujo, figura1.2, son: A- área de la sección transversal del flujo, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 12 Principios de la Hidráulica 2 χ- parte del perímetro por la cual el flujo tiene contacto con las paredes del cauce, llamado perímetro mojado, R- radio hidráulico, R = A/ χ Figura 1.2 Características Geométricas de Flujos El radio hidráulico para un cauce rectangular es, R= b*h b + 2h (1.1) Para un conducto circular a sección llena, D 2 R= 4 =D D 4 (1.2) El radio hidráulico no es una relación que representa la forma ni dimensión del flujo, este determina condiciones de flujo geométricamente semejantes, por ejemplo: un canal de sección rectangular y una tubería de sección circular pueden tener el mismo radio hidráulico; así, para un canal rectangular de dimensiones h = 2m y b = 4m, y la tubería de diámetro D=4, su radio hidráulico es R=1. La rugosidad k de las paredes de la tubería, también juega un papel importante en la resistencia al desplazamiento del flujo para un régimen turbulento. El grado de influencia en las pérdidas de energía de la rugosidad k depende del espesor de la Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 13 Principios de la Hidráulica 2 subcapa de flujo laminar δ, presente en los contornos de la tubería en régimen turbulento. La existencia de la subcapa laminar δ la detectó el físico alemán Ludwing Prandtl, estudiando la distribución de la velocidad en el régimen turbulento. Este espesor δ no es constante y disminuye al aumentar el número de Reynolds, por lo que se pueden presentar tres casos relacionados a las alturas de las rugosidades, figura 1.3: a. Cuando las rugosidades de la tubería son menores al espesor de la subcapa laminar, éstas no influyen en la formación de pérdidas y se denomina flujo en la zona de pared lisa o tubería lisa figura 1.3.a; b. Si la magnitud de las rugosidades corresponden a la de la subcapa laminar, éstas intervienen conjuntamente con el número de Reynolds en el valor de las pérdidas y se conoce como zona de pared de transición, figura 1.3.b; c. Cuando las rugosidades son mayores que el espesor de la subcapa laminar, tenemos que su influencia en las pérdidas es significativa y se conoce como zona de pared rugosa o tubería rugosa, figura 1.3.c. Figura 1.3 Condiciones de Flujo según la Rugosidad Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 14 Principios de la Hidráulica 2 1.2. PÉRDIDAS POR LONGITUD (PRIMARIAS) Las pérdidas de carga por función a lo largo de una tubería, tanto para el régimen laminar como para el turbulento, determinamos con la ecuación de DarcyWeisbach. hr = 1 v2 D 2g (1.3) donde: - coeficiente de pérdidas, 1 – longitud de la tubería, v - velocidad del flujo, D – diámetro de la tubería g – aceleración de la gravedad. 1.2.1. Régimen Laminar El coeficiente de pérdidas en el régimen laminar es: = 64 / Re (1.4) Como se puede ver, el coeficiente de pérdidas para el régimen laminar depende únicamente del número de Reynolds. 1.2.2. Régimen Turbulento A) Ley de Pared Lisa. Una pared se puede considerar lisa si el número de Reynolds del flujo es menor a cierto valor Re*, o sea Re < Re* = 10 D/k Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (1.5) Página 15 Principios de la Hidráulica 2 Donde, k es la rugosidad de la tubería en mm. En el flujo turbulento depende de muchos factores y su dependencia del número de Reynolds es más compleja. Prandtl dedujo teóricamente la ecuación de para tuberías lisas de la siguiente manera: En la ecuación de Darcy-Weisbach (1.3) el diámetro de la tubería representó a través del radio hidráulico, entonces v2 hr =i= 1 4R 2 g donde; i - es el gradiente hidráulico o pendiente hidráulica y corresponde a la pérdida de energía por unidad de longitud. Después de varios reemplazos obtuvo una ecuación que tiene la siguiente forma. 1 ( ) = A lg Re − B , (1.6) donde: A y B son constantes. Experimentalmente se demostró que A = 2 y B = 0,8; por consiguiente; 1 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D ( ) = 2 lg Re − 0,8 , (1.7) Página 16 Principios de la Hidráulica 2 Esta es la ecuación de Prandtl para la determinación de , que se le conoce como Ley de Paredes Lisas. Para determinar con esta ecuación se debe realizar varias aproximaciones sucesivas. Para valores de Re 105 se recomienda el uso de la expresión de Blasius (1913), para tuberías lisas. = B) 0,316 Re 0, 25 (1.8) Ley de Pared Rugosa. La condición para considerar a una pared rugosa es: Re Re** = 500 D k (1.9) El estudio detallado de flujos en conductos rugosos lo realizó Nikuradse. Sus investigaciones fueron en diferentes tuberías con rugosidades formadas artificial y uniformemente, por medio de granos de arena graduada de distintos tamaños; con rugosidades relativas k D de 1/30 a 1/1014, figura 1.4. Figura 1.4 Resultados Experimentales de Nikuradse Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 17 Principios de la Hidráulica 2 De estas investigaciones se obtuvo que, el coeficiente no depende del número de Reynolds después de cierto valor, donde solo influye la rugosidad de la tubería. El valor del número de Reynolds a partir del cual deja de depender es aproximadamente el dado por la ecuación (1.9). En esta zona la viscosidad no influye sobre el flujo y la resistencia al movimiento tiene una relación cuadrática con la velocidad y por eso se le denomina a ésta; zona de pared rugosa o zona de resistencia cuadrática. Según Nikuradse, se debe determinar con la siguiente ecuación: 1 = 2 lg(D 2k ) + 1,74 (1.10) En base a los resultados de Nikuradse, que como se dijo fueron en una rugosidad uniforme, se pudo establecer que la rugosidad interna de cualquier tubería comercial se puede expresar en términos de la rugosidad uniforme k de Nikuradse, llamada rugosidad equivalente. Esta rugosidad equivalente se obtiene midiendo la pérdida de carga en las tuberías comerciales y reemplazando el valor de en la ecuación (1.10). Ciertos valores de la rugosidad equivalente k presentamos en la tabla 1.1. Otra ecuación aplicable a la zona de pared rugosa es la propuesta por Shifrinson. = 0,11(k D)0, 25 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (1.11) Página 18 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 1.1. Valores de Rugosidad Equivalente k TIPO DE TUBERÍA k (mm) Vidrio, plomo, cobre, latón 0,0015 a 0,01 PVC y mangueras plásticas 0,06 a 0,07 Mangueras de caucho 0,03 Tubos industriales de latón 0,025 Hierro fundido nuevo 0,02 a 0,1 Hierro fundido con protección interior de asfalto 0,014 a 0,018 Hierro fundido medio oxidado 0,3 a 0,7 Hierro galvanizado 0,15 a 0,3 Acero laminado nuevo 0,04 a 0,1 Acero soldado nuevo 0,05 a 0,1 Asbesto-cemento nuevo Concreto centrifugado nuevo 0,16 0,15 a 0,3 Concreto en galerías, encofrado madera C) normal 1,0 a 2,0 Concreto armado con acabado liso 0,2 a 0,3 Pared de Transición. Nikuradse experimentalmente demostró que existe una zona en la cual depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad, a esta zona le denominó de transición. Posteriormente Colebrook y White realizaron investigaciones con tuberías cubiertas con granos distribuidos en forma aislada y al azar, obteniéndose resultados que tenían mayor coincidencia con los correspondientes a tuberías comerciales, especialmente para la zona de transición. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 19 Principios de la Hidráulica 2 Colebrook y White utilizando los conceptos de las ecuaciones de Prandtl y Nikuradse proponen una única expresión de para todo el régimen turbulento, que es: k 2,51 = −2 lg + , 3,7 D Re 1 (1.12) y se le conoce como ley de transición de Colebrool-White. A. D. Altshul, en base a datos experimentales propios propuso la siguiente expresión: 68 k + Re D 0, 25 = 0,11 (1.13) En las ecuaciones (1.12) y (1.13) es característico que para valores altos de Re es más representativo el miembro que considera la rugosidad, y cuando la rugosidad relativa es pequeña las ecuaciones describen la ley de las tuberías lisas. Con el fin de simplificar el cálculo de se crearon una serie de ábacos y nomogramas, como el propuesto por Moody L. F, el cual no se presenta en este texto por las facilidades actuales de resolución de las diferentes ecuaciones, especialmente la (1.13). Las diferentes expresiones y nomogramas contienen cierto error, que aproximadamente es; para tuberías lisas en un 5% y para rugosas en un 10%. En cierto tipo de problemas, en los cuales se desconoce el diámetro u otro parámetro y por lo tanto el número de Reynolds, como primera aproximación se recomienda tomar los valores de = 0,02 a 0,03. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 20 Principios de la Hidráulica 2 Las tuberías en el transcurso del tiempo, por diferentes causas, cambian su rugosidad y en estos casos se utiliza la fórmula de Colebrook. k t = k + t , (mm) (1.14) Donde: k – la rugosidad en el material nuevo kt – rugosidad después de t años de explotación - velocidad de aumento de la rugosidad Dependiendo del grado de mineralización del fluido = 0,025 a 3 mm/año. Para tuberías de acero galvanizado en la ciudad de Quito = 0,10 a 0,30 mm/año, Sandoval (1993). Para renovar la capacidad de descarga de las tuberías con incrustaciones de minerales se deben utilizar métodos mecánicos o químicos de limpieza, que no se trata en el presente texto. 1.3. PÉRDIDAS LOCALES O DE FORMA 1.3.1. Métodos Las pérdidas locales, o resistencia de forma, son las que se producen en singularidades tales como: Entradas y salidas de conductos, cambios de sección, contracciones, expansiones, codos, tés, diafragmas, válvulas y todo tipo de accesorios y obstrucciones localizadas en el interior de conductos. Existen tres métodos de valorar las pérdidas hidráulicas locales que son: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 21 Principios de la Hidráulica 2 1. Por métodos teóricos directos de valorización. Por este método se ha logrado resolver muy pocos casos, como por ejemplo, expansión brusca de sección, giro gradual de un flujo, confluencia de dos corrientes y otros. 2. Por medio de la fórmula hf = v2 2 g (1.15) Donde, hf son las pérdidas de energía en accesorios, es un coeficiente obtenido experimentalmente y se le denomina coeficiente de pérdidas locales o de forma o secundarias; los valores están dados en la tabla 1.3. Este coeficiente depende de la viscosidad del fluido, la velocidad y la forma geométrica del elemento analizado. 3. Por medio de la fórmula de pérdidas por longitud hf = le v 2 D2 g donde, le es una longitud equivalente en magnitud a las pérdidas producidas por la forma, dados en la tabla 1.2, por consiguiente: = le D Este método se recomienda para los casos en los cuales el diámetro y el material de la tubería son constantes, ya que las pérdidas totales, por longitud y forma, se determinan en una sola ecuación. h = Ing. Washington Sandoval E., Ph.D D (l + le) v2 2g (1.16) Página 22 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 1.2 Longitud Equivalente para Pérdidas Longitud equivalente (m) para diferentes diámetros ACCESORIOS 12,7 mm 25,4 mm 38,1 mm Entrada 0,22 0,45 0,70 Reducción 0,15 0,30 0,42 Expansión 0,23 0,50 0,73 Redondeado 0,30 0,60 0,90 Arista viva 0,80 1,70 2,60 Suave a 90º 0,25 0,52 0,80 Brusco a 90º 0,32 0,68 1,00 Leve a 45º 0,19 0,38 0,56 0,80 1,70 2,60 0,25 0,52 0,80 0,80 1,70 2,60 Globo 4,00 8,00 13,0 De cierre 0,10 0,19 0,25 De pie con coladera 1,10 2,50 3,60 De retención (check) 0,80 1,70 2,60 MEDIDOR 6,00 13,00 20,0 CODOS GIROS TES VALVULAS 1.3.2. Expansión Brusca de un Flujo Para el esquema mostrado en la figura 1.5 queremos determinar las pérdidas producidas entre las secciones 1 y 2, para lo cual, aplicamos el teorema de cambio de cantidad de movimiento en estas secciones. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 23 Principios de la Hidráulica 2 Fx = P1 − P2 + P3 = p1 A1 − p2 A2 + p1 ( A2 − A1 ) mv = Q (v1 − v 2 ) t con lo que, − p2 A2 + p1 A2 = Q(v2 − v1 ) Figura 1.5 Expansión Brusca en una Tubería así: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Q (v2 − v1 ) = p1 − p2 A2 Página 24 Principios de la Hidráulica 2 Esta expresión dividimos para g y el caudal le expresamos a través del área y la velocidad, v2 p p (v2 − v1 ) = 1 − 2 g g g o, 2 v2 vv p p − 1 2 = 1− 2 g g Sumamos a cada uno de los miembros v1 2 2 g 2 2 2 2 v1 vv v v p p v −2 1 2 + 2 + 2 = 1 − 2 + 1 , 2g 2g 2g 2g 2g o, v1 p2 v2 (v1 − v2 ) 2 + = + + 2g 2g 2g p1 2 2 (1.17) Ahora apliquemos la ecuación de Bernoulli en las mismas secciones: p1 2 + 2 v1 p v = 2 + 2 + hr 2g 2g Comparando esta ecuación con la (1.17) vemos que existe una completa analogía, siendo: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 25 Principios de la Hidráulica 2 hr = hf = (v1 − v2 ) 2 , 2g (1.18) Tomando en consideración la ecuación de continuidad tenemos que: 2 2 A v hf = 1 − 1 1 . A2 2 g Así, el coeficiente de pérdidas de forma es A = 1 − 1 A2 2 (1.19) En el caso particular de que A2 A1 (salida a un tanque), 1,0 y la pérdida de energía h f = v1 2 g 2 Los demás valores de coeficiente de pérdidas secundarias para diferentes cambios de forma se presentan en la tabla 1.3. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 26 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 1.3 Valores del Coeficiente de Forma ESPECIFICACIONES ESQUEMA ENTRADA A CONDUCTOS A tope 0,5 0,10 a 0,05 Abocinado Entrante 1,0 EXPANSIONES Y = (k + / 8sen )(( A2 − A1 ) / A2 )2 REDUCCIONES o 5 7,5 10 15 30 45 k 0,17 0,27 0,42 0,7 1,18 1,1 Expansión gradual (difusor cónico o prismático) Se determina con V1 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 27 Principios de la Hidráulica 2 Expansión brusca A = 1 − 1 A2 2 Diafragma-orificio (según Altshul) 1 = − 1 , Ao A Reducción brusca, se A2 A1 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 determina con respecto 2 = 0.57 + 0,043 1,1 − Ao A 0,45 0,39 0,35 0,28 0,2 0,09 a V2 Reducción gradual, se determina con + A = 1 2 1 − 2 16sen A1 2 respecto a V2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 28 Principios de la Hidráulica 2 GIROS (CODOS) Giro gradual = 90 k 90 = (0,2 + 0,001(100 )8 ). D r 90o ; k = sen 90o ; k = 0,7 + 0,35 / 90o Giro brusco TES (DIVISION DE 0,16 0,32 0,56 0,81 1,19 2,24 2,0 FLUJOS) Las flechas indican los sentidos del flujo 3,0 0,1 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 29 Principios de la Hidráulica 2 1,5 1,2 0,5 VALVULAS Los valores son para válvulas abiertas Válvula de tapón 2,0 a 3,0 Válvula de tapón diagonal Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 0,4 a 2,0 Página 30 Principios de la Hidráulica 2 Válvula de compuerta a/D 0,3 0,5 0,6 10 o 0 10 0,7 0,8 1,0 2,1 1,0 0,44 0,17 0,05 20 30 40 50 Válvula de mariposa 0,4 0,52 1,54 3,91 10,8 32,6 Válvula de macho o 10 20 30 40 50 60 0,05 0,29 1,56 5,47 17,3 52,6 Válvula de retención o (check) 5,25 2,40 2,00 1,85 1,80 1,55 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 10 20 30 40 50 60 Página 31 Principios de la Hidráulica 2 Válvula de pie con D 40 50 65 80 alcachofa 12,0 10,0 8,80 8,00 D 100 150 200 300 7,0 6,0 5,2 3,7 MEDIDORES DE AGUA de eje vertical D 12,7 15,0 20 30 40 3,93 8,8 10 12,7 10 de eje horizontal D 50 80 100 150 200 250 2 1,0 0,82 0,80 0,88 0,92 REJILLAS = ki (s/b) 4/3 sen ki-coeficiente de forma s-espesor de las barras b-espaciamiento entre barras -ángulo de inclinación de las rejas con respecto al sentido del flujo Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 32 Principios de la Hidráulica 2 EJEMPLO 1.1. Dada una tubería de acero soldado nuevo por el cual fluye un caudal Q = 25 l/s de petróleo ligero a 20º C ( = 25 10−6 m 2 / s ) , por una tubería de 500m de longitud y diámetro D = 120 mm. Determinar las pérdidas por distancia o fricción. Datos: Q = 25 l/s = 0,025 m3/s l = 500 m D = 120 mm = 0,12 m = 25.10-6 m2/s k = 0,05 mm (según tabla 1.1) a) Determinamos el régimen del flujo: v= A= Q 0,025 = = 2,21m / s A 0,01131 D 2 = 4 Re = vD (0,12) 2 4 = = 0,01131m 2 2,21.0,12 = 10608 25.10 −6 Re 2000 Por consiguiente el régimen es turbulento b) Definimos la zona del régimen turbulento Re * = 10 D 120 = 10 = 24000 k 0,05 Re Re* corresponde a la zona de pared lisa. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 33 Principios de la Hidráulica 2 c) Calculamos el coeficiente de pérdidas por distancia, para esta zona se recomienda las ecuaciones (1.5) y (1.6) - según Blasius = 0,316 /(10608) 025 = 0,031 - según Prandtl, como primera aproximación utilizamos el valor obtenido según Blasius 1 = 2 lg(10608 0,031) − 0,8 = 0,0304 como se ve la diferencia entre los valores obtenidos es despreciable, por lo que tomamos = 0,031 d) Determinamos las pérdidas de carga en el flujo h f = 0,031 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 500 2,212 = 32,19m. 0,12 19,6 Página 34 Principios de la Hidráulica 2 EJEMPLO 1.2. Determinar la carga H del sistema compuesto por dos tuberías de hierro galvanizado (l1=150 m y l2=50 m) como se muestra en la figura 1.6, se tiene un flujo de Q = 7,5 l/s de agua a 15º C, ( = 1,14 10−6 m 2 / s) . La válvula al final de la tubería es de compuerta y está abierta en un 50%. Datos: Q = 7,5 l/s a/D = 0,5 = 1,14.10-6 m2/s k = 0,15 mm (según tabla 1.1) l1 = 150 m l2 = 50 m Figura 1.6 Esquema de Cálculo para el Ejemplo 1.2. Separamos los flujos según los diámetros de las tuberías a) Calculamos velocidades y Reynolds A1 = 0,152 = 0,01767m 2 ; 4 A2 = 0,00196m 2 ; Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 35 Principios de la Hidráulica 2 V1 = 0,0075 = 0,42m / s 0,01767 V 2 = 3,83m / s Re 1 = 0,42.0,15 = 55263 1,14.10 −6 > Recr Re 2 = 3,83.0,05 = 167982 1,14.10 −6 > Recr El régimen del flujo para las dos tuberías es turbulento, determinamos la zona del flujo. 150 = 10000 0,15 50 Re 2 * = 10 = 3300 0,15 150 = 500000 0,15 50 Re 2 * * = 500 = 166667 0,15 Re1 * = 10 Re1 * * = 500 Re1 * Re1 Re 2 * * Zona de transición Re 2 * Re 2 * * Re 2 Zona de pared rugosa b) Calculamos la carga H, para lo cual aplicamos Bernoulli en las secciones 1-1 y 2-2, figura 1.6. zo + po + vo 2 2g = z2 + p2 + v2 2 2g + hr donde: z o = H ; z 2 = 0; p o = p 2 ; = 1; vo / 2 g 0 2 2 v H = 2 + hr 2g Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 36 Principios de la Hidráulica 2 y; hr = hr1 + hr2 + hf3 + hf4 + hf5 , hr = 1 2 2 2 2 2 l1 v1 l v v v v + 2 2 2 + ent 1 + red 2 + vol 2 D1 2 g D2 2 g 2g 2g 2g determinamos los valores de los coeficientes 1 = 0,11 (68/55263 + 0,15/150)0,25 = 0,024 según ecuación (1.11) 1 = 0,11 (0,15/50)0,25 = 0,026 según ecuación (1.9) cent = 0,5 según tabla (1.3) red = 0,39; para A2/A1 = 0,1 según tabla (1.3) vol = 2,10; para a/D = 0,5 según tabla (1.3) 2 2 v v1 3,832 0,422 = = 0,748m 0,009m ; 2 = 2 g 19,6 2 g 19,6 hr1 = 0,024 · (150/0,15) · 0,009 = 0,216 m hr2 = 0,046 · (50/0,05) · 0,748 = 19,45 m hf3 = 0,50 · 0,009 = 0,004 m hf4 = 0,39 · 0,748 = 0,29 m hf5 = 2,1 · 0,748 = 1,57 m H = v 2 / 2 g + hr = 0,748 + 21,531 = 22,279m 2 H = 22,28m Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 37 Principios de la Hidráulica 2 1.4. CARGA Y POTENCIA DE UNA BOMBA Analicemos el esquema presentado en la figura 1.7. Se bombea desde un pozo A a un tanque B, un determinado caudal Q. Para mantener este caudal Q, la bomba comunica a cada unidad de peso del líquido determinada cantidad de energía, la energía específica que la bomba le comunica al líquido se llama carga y su magnitud es igual a la diferencia de las cargas hidrodinámicas (energías específicas) a la salida y a la entrada de la bomba, secciones 4-4 y 3-3 en la figura 1.7. Figura1.7 Esquema de un Sistema de Bombeo La potencia de una bomba está dada por la ecuación P= g Q Ht Ing. Washington Sandoval E., Ph.D , (vatios) (1.20) Página 38 Principios de la Hidráulica 2 Donde: Ht es la carga de la bomba y es el coeficiente de rendimiento total de la bomba. Ht = e4 − e3 (1.21) La energía específica de la sección 3-3 está compuesta por la energía inicial en la sección 1-1 menos las pérdidas que se producen de esta sección hasta 3-3. Tomamos la ecuación de Bernoulli para estas secciones, z1 + p0 2 + p v1 v2 = z3 + 3 + + h1−3 2g 2g o, e1 = e3 + h1−3 e3 = e1 − h1−3 La ecuación de Bernoulli para las secciones 4-4 y 5-5 2 p p v v2 z4 + + = z 5 + 5 + o + 5 + h4−5 , 2g 2g p4 e4 = e5 + h4−5 , según la ecuación (1.21) Ht = z 5 + p5 + po 2 + 2 v5 p v + h4−5 − z1 − o − 1 + h1−3 , 2g 2g 2 v1 0 2g Ht = z 5 − z1 + p5 / + v5 / + h4−5 + h1−3 , 2 Como: z 5 − z1 + p5 =H Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 39 Principios de la Hidráulica 2 Ht = H + v5 / 2 g + h1−5 2 Aquí la velocidad v5 es igual a la velocidad del sistema v y la energía específica formada por este miembro v2/2g se pierde desde la sección 5-5 a la 6-6, (h5-6). Así, Ht = H + h1−6 (1.22) EJEMPLO 1.3 Una bomba de 2,5 kw de potencia, de coeficiente de rendimiento 0,75, debe abastecer un caudal de 0,6 m3/min de agua a 15º C, a un recipiente cuyo nivel se encuentra a 10m arriba del nivel del pozo de bombeo. La tubería es de acero galvanizado en uso (k = 0,4 mm), de una longitud de 30m, con tres codos de giro gradual de 90º de r = 5D, una válvula de pie con alcachofa, una válvula de regulación completamente abierta y una de retención con un ángulo de abertura = 50º. Determinar el diámetro necesario de la tubería. Figura 1.8 Sistema de Bombeo del Ejemplo 1.3 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 40 Principios de la Hidráulica 2 Datos: p = 2500 W = 0,75 Q = 0,6 m3/min = 0,01 m3/s H = 10 m l = 30 m D/r = 0,2 = 50º k = 0,4 mm = 1,14 · 10-6 m2/s = 1000 kg/m3 Desarrollo: Según la ecuación (1.20) tenemos que, 2500 = 1000* 9,8* 0,01* Ht/0,75 Ht = 19,13 m. De la ecuación (1.22)’ despejando tenemos que, h1−2 = Ht − H = 19,13 − 10,0 = 9,13m. Determinamos la sumatoria de todas las pérdidas: h1−2 = (1 / D + e + 3 c + v + ch + s )v 2 / 2 g (a) Donde: e = es el coeficiente de entrada (válvula de pie), c = coeficiente de pérdidas en codos, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 41 Principios de la Hidráulica 2 v = coeficiente de la válvula de regulación, ch = coeficiente de la válvula de retención (check), s = coeficiente de pérdida por salida del flujo. Los coeficientes , e, c, dependen de la magnitud del diámetro, que no se conoce, por esta razón, consideremos las pérdidas en accesorios iguales a un 50% de las pérdidas por longitud, por lo que: h1− 2 1,5(1 / D)v / 2 g = 1,5(1 / D)v / 2 g = 1,5(1 / D) 2 2 8 Q2 2 g D4 , Si asumimos = 0,025 en esta igualdad, tenemos: 9,13 = 1,5 0,025 30 8 0,012 /( 2 9,8 D 5 ) , de donde; D = 0,061 m Siendo este valor una aproximación, tomamos como magnitud para los cálculos el diámetro estándar más próximo D = 75 mm = 0,075 m; A = 0,08 2 / 4 = 0,00442m 2 V = 0,01 / 0,005 = 2,26m / s Re = 2,26 0,075 1,14 10 −6 = 148.917 Re ** = 500 80 / 0,4 = 93.750 como: Re > Re** , el flujo es en la zona de pared rugosa, por lo que; = 0,11 4 0,4 / 75 = 0,0297 0,03 Tomando los valores de las pérdidas de forma de la tabla 1.2 para D = 75 mm: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 42 Principios de la Hidráulica 2 e = 8,27 -aproximando entre D=65 y D=80, c = 3,024, v = 2,5, ch = 1,8 s = 1,0 Reemplazando los valores calculados en la ecuación (a), tenemos 9,13 (0,03 30 / 0,075 + 8,27 + 3(3,024) + 2,5 + 1,8 + 1) 2,26 2 / 19,6 = 9,03 El resultado nos indica que el diámetro de 75mm es casi igual al necesario para obtener la igualdad exacta. Si tomamos una tubería de diámetro menor, por ejemplo D = 50mm, la sumatoria de pérdidas nos daría mayor a 9,13 m. Por lo que como diámetro definitivo establecemos D = 75mm. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 43 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO II LINEAS Y REDES DE CONDUCCION DE AGUA 2.1 CONCEPTOS GENERALES Las líneas y redes de conducción de agua están compuestas por un conjunto de tuberías y desde el punto de vista del cálculo hidráulico, las tuberías se dividen en cortas y largas, simples y complejas. Tuberías cortas. Son aquellas que, por condiciones técnicas, los cálculos hidráulicos se realizan minuciosamente, considerando todas las pérdidas, tanto locales como por longitud, y no se desprecia la altura de velocidad. Aquí, la magnitud de las pérdidas locales es comparable a las de superficie, como por ejemplo en una tubería de presión de una central hidroeléctrica. El procedimiento del cálculo hidráulico de las tuberías cortas se expuso en el capítulo anterior. Tuberías largas. Se llaman aquellas en las que predominan las pérdidas por longitud; las pérdidas locales y la altura de velocidad en primera instancia se pueden despreciar. Las pérdidas locales son menores al 30% del total de las pérdidas de carga, ejemplo: las tuberías de conducción de agua potable. Tuberías simples. Son aquellas en las que el diámetro del conducto, así como el caudal, son constantes en toda su longitud. Tuberías complejas. son todas las tuberías que no se contemplan en las simples, incluyendo las mallas o redes, tanto abiertas como cerradas. En el cálculo de líneas y redes de conducción es muy frecuente el uso de la ecuación de Chezy, Q = AC Ri , Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (2.1) Página 44 Principios de la Hidráulica 2 Conde C – es el coeficiente de Chezy Partiendo de esta ecuación se puede determinar el gradiente hidráulico. i= hr Q2 = 2 2 1 AC R Si representamos, K = AC R , (2.2) Q=K i , (2.3) La ecuación (2.1) se escribirá: K, (m3/s)- se le denomina Factor de Forma o Caudal, y es el caudal que fluye por una tubería si su gradiente es igual a la unidad. Como se nota claramente de la ecuación (2.2), el valor de K depende de las condiciones geométricas del conducto y de su rugosidad. Pero, según la ecuación (2.3), para un caudal y gradiente dados, existe un solo valor de K, representado por Ko y se le denomina Factor de Gasto o Caudal Característico, de tal manera que: Ko = Según Manning, C= Q i (2.3a) 1 1/ 6 R , y n es el coeficiente de rugosidad dado en la tabla n 2.1. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 45 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 2.1. Valores para el Coeficiente de Rugosidad “n” CARACTERISTICAS DE LA SUPERFICIE PVC, superficies esmaltadas, barnizadas. n 0,009 Pléxiglass (Mica) Enlucido de cemento puro 0,010 Tubos limpios de cerámica y acero 0,011 Tubos de hierro galvanizado. Hormigonado bueno 0,012 Tubos de alcantarillado buenos. Tubos de suministro de agua con algún tiempo en uso. 0,013 Tubos de suministro y alcantarillado con incrustaciones. 0,014 Mampostería de piedra y ladrillos colocados 0,015 rudimentariamente. Canales cubiertos por una capa de lodo. 0,018 Canales sin revestimiento de suelo compactado o roca de superficie regular. 0,020 Canales de tierra en condiciones normales. Ríos y 0,025 arroyos en condiciones óptimas. Canales y ríos en condiciones relativamente malas. 0,030 Canales y ríos con muchas piedras, algas y basuras. 1.5 0,040 2.2 TUBERIAS SIMPLES Para analizar el cálculo hidráulico de tuberías simples se consideran dos esquemas de flujo: flujo con descarga libre y flujo con descarga sumergida. Descarga Libre. El esquema con flujo con descarga libre se muestra en la figura 2.1. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 46 Principios de la Hidráulica 2 Figura 2.1 Flujo con Descarga Libre En la figura, al plano o línea de energía se le conoce también, como gradiente de energía y a la línea piezométrica como línea de nivel hidráulico o línea de cotas totales; este último nombre es debido a que esta línea está constituida por la altura geodésica z y la piezométrica p/ . Como se sabe, estas líneas muestran el cambio de cada uno de los componentes de la ecuación de Bernoulli a lo largo del flujo. Escribimos la ecuación de Bernoulli para este esquema: p at 2 2 p v v z1 + + 1 = z 2 + at + 2 + hr 2g 2g y, 2 z1 − z2 = H = v2 + hr 2g como, v2 = v (velocidad de la tubería) tenemos: v2 l v2 v2 , H= + + 2g D 2g 2g Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 47 Principios de la Hidráulica 2 o, H= v2 l 1 + + 2g D (2.4) Descarga Sumergida. El esquema de flujo con descarga sumergida presentamos en la figura 1.10. Figura 1.10 Flujo con Descarga Sumergida La ecuación de Bernoulli para este caso es: p at 2 2 p v v z1 + + 1 = z 2 + at + 2 + hr 2g 2g de donde: z1 − z 2 = H = hr y, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 48 Principios de la Hidráulica 2 hr = l v2 v 2 (v − v2 ) 2 + + D 2g 2g 2g , Siendo el último miembro de esta igualdad, el correspondiente a la pérdida de salida del flujo al tanque; como la velocidad v2 es despreciable por ser la velocidad del flujo en el tanque, l v2 v2 v2 H = hr = + + D 2g 2g 2g , Así: H= v2 l + + 1 2g D (2.5) Como vemos, esta ecuación es idéntica a la ecuación (2.4) del flujo con descarga libre, permitiéndonos llegar a la conclusión de que el método de cálculo para los dos esquemas es igual. La diferencia física entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) consiste en que, la altura de velocidad para una descarga libre no se pierde y puede ser utilizada, por ejemplo, para dar movimiento a una rueda hidráulica o una turbina Pelton. Mientras que para una descarga sumergida, la altura de velocidad se pierde a la salida del flujo al tanque. 2.3 CÁLCULO DE TUBERÍAS SIMPLES CORTAS Por razones obvias, para el cálculo hidráulico la longitud de las tuberías es un parámetro dado, quedando tres problemas tipos: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 49 Principios de la Hidráulica 2 PRIMERO; dados Q y d, determinar H. Este es el caso más sencillo, ya que consiste en la aplicación directa de la ecuación (2.4). SEGUNDO; dados la carga H y el diámetro d, determinar el caudal Q. La solución es mediante los siguientes pasos: 1) Tomar = 0,02 a 0,03 2) Determinar 3) Determinamos v reemplazando los valores en la ecuación (2.4) 4) Con v determinamos Re 5) Con Re determinamos 6) Regresamos al paso 3 7) Si i = i −1 se conoce v 8) Calculamos A 9) Q = A · v TERCERO; dados H y Q, determinar el diámetro d. La solución se determina con los siguientes pasos: 1) d 53,5 (Q) 0,35 ; (Q = l / s) 2) Tomamos d = dST 3) Determinamos A 4) Determinamos v 5) Determinamos Re 6) Determinamos 7) Determinamos 8) Determinamos Hi 9) Comparamos Hi con H dado 10) di+1>di si Hi > H ; y di+1<di si Hi < H 11) D solución corresponde al valor más cercano a Hi H dado. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 50 Principios de la Hidráulica 2 2.4 CÁLCULO DE TUBERÍAS SIMPLES LARGAS Las tuberías largas son aquellas en las cuales las pérdidas locales se desprecian y los cálculos hidráulicos se resuelven utilizando la ecuación lv 2 8lQ 2 H = = d 2 g g 2 d 5 (2.7) si, r= 8l g 2 d 5 , entonces H = rQ 2 (2.8) El cálculo se facilita más si se supone, como en la mayoría de los casos, que el flujo corresponde a la zona de pared rugosa, o sea y C, no dependen del número de Reynolds. En este caso se utiliza la ecuación: H= Q2 l K2 (2.9) Los valores de K se obtienen con la ecuación (2.2) para cada uno de los diámetros, o con la tabla 2.2, dividiendo el valor dado para 103 y la rugosidad. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 51 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 2.2. Valores del Factor de Forma K = F/n (según la ecuación de Manning) 2.5 DIAMETRO F.103 DIAMETRO F.103 mm m3/s mm m3/s 12 0,002 150 1,980 19 0,008 200 4,264 25 0,017 250 7,731 40 0,058 300 12,571 50 0,106 350 18,963 75 0,312 400 27,073 80 0,370 450 37,064 100 0,672 500 49,088 125 1,218 TUBERÍAS COMPLEJAS Como elementos de una tubería compleja se consideran las tuberías de diferente diámetro unidas en serie y/o en paralelo, tuberías con caudal variable en su trayectoria, redes abiertas, redes cerradas, etc. 2.5.1 Tuberías de diferente diámetro unidas en serie Son tuberías de diferentes diámetros colocadas en línea como se muestra en la figura 2.3. Suponemos que el conducto está compuesto por n tramos de diferentes diámetros. Es obvia la siguiente igualdad: H = hi = h1 + h2 + ... + hn Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (2.10) Página 52 Principios de la Hidráulica 2 Siendo: h1, h2, …, las pérdidas de carga en las tuberías de diámetros d1, d2, … Aquí despreciamos las pérdidas de forma o locales, razón por la cual, cada una de las pérdidas por longitud se determinan. hi = Q2 l ; 2 i Ki (2.11) Figura 2.3 Tuberías Unidas en Serie Como los factores de gasto Ki, los caudales y las longitudes li, son diferentes para cada tubería, reemplazando en la ecuación (2.10) obtenemos: H= Q1 2 K1 l + 2 1 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Q2 2 K2 2 l 2 + ... + Qn 2 Kn 2 ln (2.12) Página 53 Principios de la Hidráulica 2 Para el caso particular en que Q = constante (no existen descargas en las diferentes tuberías) se tiene que, l l l H = Q 2 1 2 + 2 2 + ... + n 2 K2 Kn K1 (2.12)’ EJEMPLO 2.1. Del tanque elevado A se abastece de agua a los edificios, B, C, D y E, con una tubería con algún tiempo en uso; consumiéndose en cada uno de estos 8 l/s. Para las dimensiones y niveles mostrados en la figura 2.4, determinar el nivel de agua en el tanque A y las alturas piezométricas en los puntos B, C, D, E. Figura 2.4 Esquema para el Ejemplo 2.1. Los caudales y los factores de gasto en cada uno de los tramos son: Q A− B = Q1 = 32l / s = 0,032m 3 / s QB −C = Q2 = 24l / s = 0,024m 3 / s QC − D = Q3 = 16l / s = 0,016m 3 / s QD − E = Q4 = 8l / s = 0,008m 3 / s Tomamos, según la tabla 2.1, un coeficiente de rugosidad n = 0,013, y con ayuda de la tabla 2.2 determinamos; Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 54 Principios de la Hidráulica 2 K 1 = K 2 = 4,264 10 −3 / 0,013 = 0,328m 3 / s K 3 = 1,980 10 −3 / 0,013 = 0,152m 3 / s K 4 = 0,672 10 −3 / 0,013 = 0,052m 3 / s La ecuación de equilibrio de pérdidas es H = h AB + hBC + h CD + hDE , o, H= Q1 2 K1 l + 2 1 Q2 2 K2 2 l2 + Q3 2 K3 3 l3 + Q4 2 K4 2 l4 Reemplazando valores: H = (0.032 / 0,328) 2 470 + (0,024 / 0,328) 2 230 + (0,016 / 0,152) 2 280 + + (0,008 / 0,052) 2 275 = 4,47 + 1,23 + 3,10 + 6,52 = 15,32m Con el valor obtenido calculamos el nivel del agua HA y los demás niveles piezométricos; H A = 12 + H = 27,32m, H B = H A − h AB = 27,32 − 4,47 = 22,85m, H C = H B − hBC = 22,85 − 1,23 = 21,62m, H D = H C − hCD = 21,62 − 3,10 = 18,52m. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 55 Principios de la Hidráulica 2 2.3.2 Tuberías en Paralelo Supongamos que tenemos un conducto principal con caudal Q, que se divide en el punto B en n ramales de diferentes longitudes li y diámetros di, que se unen en el punto C, figura 2.5. Figura 2.5 Tuberías Unidas en Paralelo El problema básico en este caso consiste en la determinación de los caudales Q1, Q2 , …, Qn y la pérdida de carga H que se produce en el tramo desde el punto B al C. La carga en el punto B es Hb y en el punto C es Hc y la pérdida de energía del punto B al C, como se ve en la figura 2.5, es H y es la misma pérdida independiente de la trayectoria que siga el flujo. Para cada ramal las pérdidas de carga que se producen son iguales a: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 56 Principios de la Hidráulica 2 H = Hb – Hc, En cada uno de los ramales tenemos: H= H= Q1 2 K1 l = 2 1 Q2 2 K2 2 Qi 2 Ki 2 li l 2 = ... = (2.13) Qn 2 Kn 2 (2.13)’ ln sabemos que, Q = Q1 + Q2 + ... + Qn (2.14) Escogiendo por pares los elementos de la ecuación (2.13)’ y expresándoles a través de un solo caudal, por ejemplo Q1, tenemos que: Q2 = Q1 K2 l1 l 2 K1 (2.15) Qn = Q1 Kn K1 l1 l n Reemplazando estas igualdades en la ecuación (2.14) obtenemos: K K K Q = Q1 1 + 2 l1 l 2 + 3 l1 l3 + ... + n l1 l n K1 K1 K1 (2.16) De esta ecuación determinamos el caudal Q1 perteneciente al primer ramal. Conociendo Q1 reemplazamos en el sistema de ecuación (2.15) y obtenemos todos los valores de los caudales Q2, Q3, … Qn. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 57 Principios de la Hidráulica 2 La pérdida de carga H obtenemos utilizando la ecuación (2.13) con los datos correspondientes a cualquier ramal. EJEMPLO 2.2. De un tanque elevado A se abastece un caudal Q = 48l/s, a una piscina B, a través de tres tuberías unidas en paralelo, figura 2.6. Determinar el nivel de la superficie del tanque A y los caudales en cada una de las tuberías, si estas son de PVC. Figura 2.6 Esquema de Abastecimiento en Paralelo Datos: Q = 0,048m 3 / s 1 = 200mm l1 = 615m 2 = 150mm 3 = 100mm l 2 = 510m l 3 = 436m n = 0,009 según tabla 2.1. De la ecuación de equilibrio de pérdidas tenemos: 2 Q Q H = 1 l1 = 2 K1 K2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 2 Q l 2 = 3 K3 2 l 3 Página 58 Principios de la Hidráulica 2 La condición de continuidad es, Q = Q1 + Q2 + Q3 , Reemplazando (ver ecuación 2.15) Q = Q1 + Q1 K2 K1 l1 l 2 + Q1 K3 l1 l3 K1 De donde: 0,048 Q1 = 1+ 1,980 615 0,672 615 + 4,264 510 4,264 436 = 0,0283 m 3 / s Aquí se reemplazó directamente el valor de F en vez de K, ya que la relación de los factores de gasto no se altera. Reemplazando Q1 en la primera igualdad obtenemos que, Q2 = 0,0143m 3 / s , y Q3 = 0,0055m3 / s La pérdida de carga es, H = 615 * 0,02832 /(4,264 * 10−3 / 0,009) 2 = 2,19m Siendo la cota del nivel de agua en el tanque H A = 14,50 + 2,19 = 16,69m Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 59 Principios de la Hidráulica 2 2.5.3 Red Abierta Veamos el caso más simple, cuando la tubería principal se divide en dos ramales, figura 2.7. Figura 2.7 Esquema de una Red Abierta Supongamos que se conocen las cotas ZA, Z1, Z2, así como las longitudes y los diámetros de todas las tuberías que conforman la red, y es necesario determinar los caudales del conducto principal y los ramales Q, Q1 y Q2. De la figura 2.5 tenemos que: Z A − Z1 = H1 = hA− B + hB−C y Z A − Z 2 = H 2 = hA−B + hB−D Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 60 Principios de la Hidráulica 2 hA-B, hB-C y hB-D, son las pérdidas de carga pertenecientes al conducto principal y a los ramales BC y BD. Por consiguiente; H1 = Q Q2 L + 12 l1 2 K K1 (2.17) 2 Q Q2 H 2 = 2 L + 2 2 l2 K K2 de donde: 2 Q Q2 L = H 1 − 1 2 l1 2 K K1 (2.17)’ 2 2 Q Q L = H 2 − 2 2 l2 2 K K2 Igualando estas ecuaciones y despejando Q2, tenemos: Q2 = K2 l2 (H 2 − H 1 + l1 Q1 2 K1 2 ) (2.18) De la condición de continuidad sabemos que, Q = Q1 + Q2 (2.19) Así, Q = Q1 + Ing. Washington Sandoval E., Ph.D K2 l2 (l Q 1 1 2 K1 + H 2 − H 1 2 ) (2.20) Página 61 Principios de la Hidráulica 2 Reemplazando esta ecuación en la primera del sistema (2.17) tenemos: L H1 = 2 K K Q1 + 2 l2 (l 1 Q1 2 K1 2 2 2 Q1 + H 2 − H 1 + 2 l1 K1 ) (2.21) La expresión obtenida es una función de Q1 y se puede resolver por aproximaciones sucesivas. Una vez determinado éste, se puede obtener el caudal del segundo ramal. Si z1 = z2, H1 = H2 o, Q1 2 K1 2 l1 = Q2 2 K2 2 l2 (2.22) Por consiguiente, el caudal total se determina con la ecuación (2.19). 2.5.4 Conducto con Descarga Uniformemente Distribuida El sistema que se presenta en la figura 2.8 es común para sistemas de riego, drenaje y distribución de agua en pequeñas poblaciones. En el sistema presentado, por cada unidad de longitud el caudal disminuye en un valor medio Qd/l. Siendo Qd el caudal distribuido (para un sistema de drenaje se puede suponer que es el caudal receptado, manteniéndose la forma de cálculo). El caudal distribuido Qd más el caudal de paso Qp, forman el caudal Q que se abastece del tanque elevado A. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 62 Principios de la Hidráulica 2 Figura 2.8 Distribución Uniforme de Caudal Analicemos las pérdidas de carga en este conducto con ciertas simplificaciones. En la sección C a la distancia X de la sección inicial B, el caudal es menor en la cantidad Qd X l , El caudal en la sección C es: Qc = Qp + Qd − Qd X l (2.27) Supongamos que en cualquier sección de la tubería se puede determinar el gradiente hidráulico con la ecuación de Chezy para el flujo uniforme, Qc = Kc ic o sea, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 63 Principios de la Hidráulica 2 Qc 2 ic = Kc 2 Kc, depende del diámetro de la tubería y la rugosidad, y esos parámetros en este caso no cambian para todo el flujo, entonces Kc tomamos igual a K de la tubería dada. Así: 1 Qd ic = 2 Qp + Qd − X K l 2 (2.28) Para una longitud diferencial dx la disminución de carga se determina, dH = ic dx Reemplazando la ecuación (2.28) en ésta y desarrollando obtenemos: 2 Qd 2 (Qp + Qd )X + Qd2 X 2 dx2 dH = (Qp + Qd ) − 2 l l K , Integramos esta relación de 0 a l, l H= 2 2 1 (Qp + Qd )2 X − Qd (Qp + Qd ) X + 1 Qd2 X 3 2 l 3 l K 0 Reemplazando y simplificando, H= l 2 1 Qp + QpQd + Qd 2 2 3 K (2.29) Aproximadamente esto es: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 64 Principios de la Hidráulica 2 H l (Qp + 0,55Qd ) 2 K2 (2.30) Cuando, Qp = 0 H= l Qd 2 2 3K (2.31) Como se puede observar de la ecuación (2.30) y ecuación (2.31), las pérdidas de energía para un conducto con descarga uniforme es menor a la pérdida que se produce si Qd se descargaría de manera concentrada al final de la conducción (punto D del sistema). 2.5.5 Tuberías Anulares o Cerradas Para el análisis de tuberías anulares supongamos que tenemos el esquema de la figura 2.9, donde el caudal principal Q se divide en el nudo A en Q1 y Q2 de sentidos opuestos, y en cada uno de los nodos se descargan los caudales q1, q2 y q3. Es obvio que, hay un nodo, llamado de unión (por ejemplo el nodo 2), al cual fluye el líquido de los dos sentidos. Para este punto la carga debe ser mínima y por consiguiente la suma de las pérdidas en un sentido, debe ser igual al del otro sentido, siempre y cuando el punto analizado sea realmente el punto de unión. En este tipo de problemas generalmente se conoce el caudal Q, los caudales descargados en los nodos, las longitudes y los diámetros de las tuberías; deseándose conocer la distribución de caudales, el punto de unión y las pérdidas de nodo a nodo. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 65 Principios de la Hidráulica 2 Figura 2.9 Ejemplo de un Sistema Anular Cerrado Para realizar los cálculos tenemos que definir un punto de unión, en este caso para la figura 2.9, suponemos que es el 2, de tal manera que las pérdidas de carga h(A-1-2) debe ser igual a la pérdida h(A-3-2). Así, Q1 2 K1 2 l1 + Q3 2 K3 2 l3 = Q2 2 K2 2 l2 + Q4 2 K4 2 l4 (2.23) Las ecuaciones de continuidad son: Q1 = q1 + Q3 Q2 = Q3 + Q4 = q1 + q 2 + q3 − Q1 q 2 = Q3 + Q4 (2.24) Q3 = Q1 − q1 Q4 = q1 + q 2 − Q1 Reemplazando este sistema en la ecuación (2.23) obtenemos: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 66 Principios de la Hidráulica 2 Q1 2 K1 l 2 1 2 ( Q1 − q1 ) + l K3 2 3 = (q1 + q 2 + q3 − Q1 )2 K2 2 l2 2 ( q1 + q 2 − Q1 ) + l K4 2 4 (2.25) Por aproximaciones sucesivas se obtiene el valor de Q1 y demás caudales del sistema (2.24). Se permite un desequilibrio del 5% en la magnitud de las pérdidas, calculadas para los dos sentidos. 2.6 REDES DE DISTRIBUCION Las redes de distribución se dividen en principales y secundarias: La red principal se utiliza para la distribución de agua en una zona o población, y la red secundaria se utiliza para el abastecimiento interno de viviendas, edificios u otras obras de consumo de agua. En esta sección nos dedicaremos al cálculo hidráulico de las redes principales de distribución, dejando a un lado los parámetros de su diseño que corresponden a otro curso. Las condiciones hidráulicas y geométricas dependen de la topografía del territorio, de la planificación de la ciudad, localización de las calles, localización de pequeños y grandes consumidores (escuelas, fábricas, etc.), condición social de la población, etc. La demanda de agua depende del clima, población y tipo de industrias de la zona. Actualmente el consumo doméstico por persona por día es de 250 a 300 l. Para la determinación de la demanda se debe recurrir a la bibliografía especializada y normas de diseño. Para una zona determinada, el agua se puede distribuir en base a dos formas de red: en paralelo figura 2.10a y en mallado o reticulado figura 2.10 b. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 67 Principios de la Hidráulica 2 (a) (b) Figura 2.10 Formas de Redes de Distribución Para la distribución de agua en zonas urbanas, las normas de diseño recomiendan el sistema de mallado como el más adecuado, debido a que, una interrupción del servicio en determinado ramal no suspende el servicio a los demás ramales, lo que no se puede evitar en el sistema ramificado. 2.6.1 Expresión para la Determinación de Pérdidas por Fricción El cálculo de las pérdidas de carga se realiza con la ecuación de DarcyWeissbach, dada de la forma descrita en la ecuación (2.8); o a través de la ecuación general (2.33) que sirve para representar a cualquier expresión de determinación de pérdidas: hr = rQm , (2.33) donde, r depende de la fórmula que se utilice y las características de la tubería; m, es el exponente que depende del tipo de relación existente entre las pérdidas y la velocidad del flujo para la fórmula dada. Para la ecuación de Darcy-Weissbach m=2, y r= Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 8l g 2 D 5 , (2.34) Página 68 Principios de la Hidráulica 2 Existen varios métodos para el cálculo de redes de distribución, siendo el más práctico el de Hardy Cross, que consiste en una aproximación sucesiva del equilibrio de pérdidas o equilibrio de caudales. Otro método que se utiliza en la práctica es la semejanza eléctrica, donde la caída de presión se sustituye por el voltaje y el caudal por la intensidad. 2.6.2 Cálculo Hidráulico Analicemos el sistema mostrado en la figura 2.11, donde es necesario determinar los caudales en cada uno de los ramales. Para el análisis de la red están dados los caudales de consumo o demandas en cada nodo q1, q2, …, y por lo tanto el caudal total Q, además, están dadas las longitudes y el tipo de tuberías. Después de la numeración de los nodos se realiza una distribución inicial de los caudales de diseño, según del caudal de entrada Q y las demandas qi. Figura 2.11 Red de Distribución Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 69 Principios de la Hidráulica 2 Designados los caudales en cada uno de los ramales, se procede a determinar los diámetros estándar económicamente más convenientes. de (0,7a1,3) Q (2.35) donde, de - es el diámetro económico recomendado, en metros. Q es el caudal en m3/s. Existen otras expresiones como la del autor, cuyas unidades son mm = 53,5(l s) 0,35 . d = 53,5Q 0,35 (2.35)’ De esta forma, se determinan los valores de r para cada uno de los ramales. Se sabe que, la distribución real de caudales tiene que satisfacer la primera y segunda leyes de Kirchhoff: 1) El equilibrio de caudales en cada uno de los nodos. Qij + qi = 0 (2.36) 2) El equilibrio de las pérdidas en cada uno de los circuitos elementales. hij = (r Q m ) ij = 0 (2.37) Donde; i, j corresponden a la numeración de los nodos de cada uno de los ramales del circuito. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 70 Principios de la Hidráulica 2 Al establecer estas ecuaciones obtenemos un sistema cuya resolución es posible de diferentes maneras. En la práctica se ha difundido el método de Hardy Cross (1936) que utiliza el método de iteraciones de Newton para la resolución de las ecuaciones y consiste en lo siguiente: Definidos rij y Qij en cada tramo, se determinan para éstos las pérdidas de carga. hij = (r Q m ) ij Considerándose que las pérdidas de carga en cada tramo, de cada uno de los circuitos, son positivas si tienen el mismo sentido que el giro de las manecillas del reloj, en caso contrario negativas. Generalmente, en la primera distribución de caudales la suma de las pérdidas de carga no es igual a cero hij 0 = hk , Donde, k es el número del circuito. Con estas consideraciones establecemos el siguiente sistema de ecuaciones para el esquema de la figura 2.9, para m = 2; (rQ 2 )12 + (rQ 2 ) 25 − (rQ 2 ) 58 − (rQ 2 )18 = hI (rQ 2 ) 23 + (rQ 2 ) 34 − (rQ 2 ) 45 − (rQ 2 ) 25 = hII (2.38) (rQ 2 ) 58 + (rQ 2 ) 56 − (rQ 2 ) 67 − (rQ 2 ) 78 = hIII Los valores hI , hII y hIII , son las cantidades con las que difieren de cero la suma de las pérdidas para cada uno de los circuitos, por ser la primera aproximación. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 71 Principios de la Hidráulica 2 El acercamiento de h a cero es posible con una distribución adicional de caudales en cada uno de los circuitos, en un valor - Q , que por ahora desconocemos. Incluyendo en los circuitos este decremento de caudal Q , obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: r12 (Q12 − QI ) 2 + r25 (Q25 − QI + QII ) 2 − r58 (Q58 + QI − QIII ) 2 − r18 (Q18 + QI ) 2 = 0 r23 (Q23 − QII ) 2 + r34 (Q34 − QII ) 2 − r45 (Q45 + QII ) 2 − (2.39) − r25 (Q25 − QI + QII ) = 0 2 r58 (Q58 + QI − QIII ) 2 + r56 (Q56 − QIII ) 2 − r67 (Q67 + QIII ) 2 − − r78 (Q78 + QIII ) 2 = 0 Abrimos paréntesis en la primera ecuación del sistema (2.39) y agrupamos de la siguiente manera: (rQ 2 )12 + (rQ 2 ) 25 − (rQ 2 ) 58 − (rQ 2 )18 − 2(rQ)12 + (rQ) 25 + (rQ) 58 + (rQ)18 QI + 2(rQ) 25 QII + 2(rQ) 58 QIII = 0 La primera parte de esta ecuación es igual a hI , la segunda es: 2 (rQ) ij QI para el circuito I, y por consiguiente la ecuación toma la forma, hI − 2 [( rQ) ij ] I QI + 2(rQ) 25 QII + 2(rQ) 58 QIII = 0 (2.40) Aquí se desconocen los valores de QI , QII y QIII y los valores de hI , hII y hIII se conocen después de la primera distribución de caudales. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 72 Principios de la Hidráulica 2 El método de Cross supone la simplificación de esta ecuación suprimiendo los valores que contienen QII y QIII , de tal manera que la ecuación (2.40) es igual a: hI − 2 [( rQ) ij ]I QI = 0 o, [( rQ 2 ) ij ] I hI QI = = 2 [( rQ) ij ] I 2 [( rQ) ij ] I O, para cualquier Q correspondiente a los diferentes circuitos. Qk = [( rQ 2 ) ij ]k 2 [( rQ) ij ]k (2.41) La utilización de esta ecuación simplifica las operaciones para la determinación de Q , pero es necesario una mayor cantidad de iteraciones para la determinación del valor real de Q k . 2.6.3 Procedimiento de Cálculo Una vez diseñada la configuración de la red de distribución se deben seguir los siguientes pasos: I. Atribuir unos caudales hipotéticos Qij a las diversas tuberías del sistema, de tal manera que se cumpla en los nodos la condición. Qij + qi = 0 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 73 Principios de la Hidráulica 2 II. Asignar los diámetros de acuerdo a la ecuación (2.35). III. Calcular el valor de r para cada tubería de acuerdo a la ecuación (2.34) o de la expresión que se obtiene al reemplazar a través del coeficiente de Chezy. r = 10,3n 2 l D 5,33 , o r = IV. l K2 (2.42) Dividir la red en circuitos cerrados asegurando que cada tubería esté incluida en por lo menos un circuito. V. Calcular el valor de hr para cada tubería con la ecuación (2.8). hr = (r Q 2 ) ij VI. Determinar la suma algebraica de las pérdidas en cada circuito. VII. Calcular los valores de hrij/Qij para cada elemento, y su sumatoria para cada circuito cerrado. VIII. Determinar la corrección Q que hay que aplicar a los caudales supuestos en cada circuito, utilizando la expresión (2.41). Q = IX. hrij 2 (r Q) ij = hrij hrij 2 Qij Revisar los caudales de acuerdo con la ecuación Q = Qij Q Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 74 Principios de la Hidráulica 2 considerando Q con el signo contrario al obtenido en el paso VII. X. Repetir el proceso hasta que se obtenga por convergencia la exactitud de equilibrio deseada. Actualmente existen programas para simular el flujo en redes de distribución, los cuales disminuyen completamente el tiempo de cálculo, aumentan el grado de exactitud y dan la posibilidad de analizar varias alternativas, se puede sugerir el programa EPANET 2.0 en español, de disponibilidad gratuita. EJEMPLO 2.3. Para la red mostrada en la figura 2.12 determinar los caudales que pasan a través de cada ramal y las pérdidas de carga que se producen en estos, considerando que la tubería es de PVC. Figura 2.12 Red de Distribución de Agua de Tres Circuitos Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 75 Principios de la Hidráulica 2 Definimos el coeficiente de rugosidad de la tubería de PVC, según la tabla 2.1, n = 0,009. Asignamos caudales hipotéticos a cada uno de los ramales; con estos caudales definimos un diámetro referencial y calculamos el parámetro r para cada ramal. Todos los cálculos están representados en la tabla 2.3. El ejemplo de cálculo de equilibrio de caudales y pérdidas lo realizamos con el apoyo de una hoja electrónica, en la cual se realizaron dos iteraciones, dando como resultado los valores expuestos en la tabla 2.4. En la tabla 2.5, se muestran los valores calculados con los programas LOOP y EPANET; que, comparados con los obtenidos en la hoja electrónica se nota una pequeña diferencia, producto de las pocas iteraciones realizadas en la tabla 2.4. Tabla 2.3 Cálculos Preliminares Ramal Lontigud Caudal Diámetro Resistencia L (m) (Q (l/s) (mm) r 103 1 100 15,0 125 5,4 2 120 6,0 75 99,1 3 150 2,5 50 1075,8 4 80 1,0 50 573,8 5 150 2,0 50 10,75,8 6 80 2,0 50 573,8 7 120 2,0 50 860,7 8 80 7,5 75 66,1 9 120 3,5 50 860,7 10 300 1,0 50 2151,7 11 120 1,5 50 860,7 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 76 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 2.4 Análisis de Equilibrio de Caudales (Hoja Electrónica) CIR. I II RAM. r*10-3 Qi*103 r*Qi2 r*Qi Q 2 99,1 +6,0 +3,568 594,6 +0,16 6 573,8 +2,0 +2,295 1147,6 +0,16 7 -860,7 -2,0 -3,443 1721,4 +0,16 8 -66,1 -7,5 -3,718 495,8 +0,16 -1,298 3959,4 Q Q Qi r*Qi2 r*Qi Q +6,16 +3,760 610,4 +0,03 +0,09 +2,25 +2,905 1291,0 +0,03 -0,04 +2,24 -0,14 -1,98 -3,374 1704,2 +0,03 -0,01 -1,96 -7,34 -3,561 485,2 +0,03 -7,31 -0,270 4013,8 Qi +6,19 3 1075,8 +2,5 +6,724 2689,5 -0,09 +2,59 +7,216 2786,3 +0,04 +2,63 4 573,8 +1,0 +0,574 573,8 -0,09 +0,91 +0,452 522,2 +0,04 +0,95 5 -1075,8 -2,0 -4,303 2151,6 -0,09 -0,14 -2,23 -5,350 2399,0 +0,04 -0,01 -2,20 6 -573,8 -2,0 -2,295 1147,6 -0,09 -0,16 -2,25 -2,905 1291,0 +0,04 -0,03 -2,24 +0,700 3875,7 -0,587 6998,5 5 1075,8 +2,0 +4,303 2151,6 +0,14 +0,09 +2,23 +5,350 2399,0 +0,01 -0,04 +2,20 7 860,7 +2,0 +3,443 1721,4 +0,14 -0,16 +1,98 +3,374 1704,2 +0,01 -0,03 +1,96 9 -860,7 -3,5 -10,54 3012,4 +0,14 -3,36 -9,717 2892,0 +0,01 -3,35 10 -2151,7 -1,0 -2,152 2151,7 +0,14 -0,86 -1,591 1850,5 +0,01 -0,85 11 860,7 +1,5 +1,936 1291,0 +0,14 +1,64 +2,315 1411,5 +0,01 +1,65 -3,014 10328, -0,269 10257, III Tabla 2.5 Caudales para el Ejemplo 2.3 PROCESO RAMAL MANUAL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15,00 6,19 2,63 0,95 2,20 2,24 1,96 7,31 3,35 0,85 1,65 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D LOOP Q (l/s) 15,00 6,27 2,60 1,10 2,09 2,17 1,92 7,23 3,31 0,81 1,69 EPANET 15,00 6,35 2,63 1,13 2,21 2,21 1,99 7,15 3,16 0,66 1,24 V (m/s) 1,22 1,44 1,34 0,58 1,12 1,13 1,01 1,62 1,61 0,34 0,94 Página 77 Principios de la Hidráulica 2 CAPÍTULO III FLUJO EN CANALES 3.1. FLUJO UNIFORME Uniforme se llama al movimiento en el cual los parámetros del flujo, en secciones diferentes, permanecen constantes. Esta condición implica que la sección en el tramo analizado del cauce permanezca constante. En el movimiento uniforme la línea de energía, el plano de la superficie libre y la pendiente de la solera del canal tienen que ser paralelos, como se muestra en la figura 3.1. Figura 3.1 Movimiento Uniforme en Cauces Abiertos En esta figura tenemos que: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 78 Principios de la Hidráulica 2 i= dhr , es el gradiente hidráulico dl I =− d ( z + h) , es la pendiente de la superficie libre del cauce, dl is = − dz , es la pendiente de la solera del cauce. dl En el movimiento uniforme: 3.1.1. i = I = is Ecuación Básica del Movimiento Uniforme La ecuación principal del movimiento uniforme en cauces abiertos es la ecuación de Chezy. v = C Ri (3.1) Aquí, C es el coeficiente de Chezy determinado en base a las siguientes relaciones: a) Con la ecuación analítica C = 8g / (3.2) - se determina con las ecuaciones (1.12), (1.13) u otras, previo el reemplazo del diámetro a través del radio hidráulico, D = 4R. Este procedimiento se utiliza para cualquier tipo de régimen de flujo, pero existe la dificultad en la determinación del coeficiente de rugosidad k. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 79 Principios de la Hidráulica 2 b) Con expresiones empíricas, desarrolladas bajo la consideración de que C = f (k , Re, R ) De las fórmulas empíricas, la más difundida es la de Manning propuesta en 1890, C = R1 / 6 / n , [ m1 / 2 / s ] (3.3) donde, n es el coeficiente de rugosidad según la tabla 2.1. N. Pavlovsky (1925) considera variable el valor exponencial del radio hidráulico y propone determinar de la siguiente manera, C = Ry /n, (3.4) donde, y = 1,5 n , para R < 1, y = 1,3 n , para R > 1. I. Agroskin propone: C = 17,72 lg R + 1 / n , (3.5) Altshul y V. Teyn para cauces naturales, cuyos lechos estén formados con grava y arena, canales no revestidos que acarreen azolves, recomiendan la siguiente fórmula: C = (14,8 / i 1 / 6 ) − 26 , Ing. Washington Sandoval E., Ph.D i<0,03 (3.6) Página 80 Principios de la Hidráulica 2 Existen varias fórmulas para el paso del coeficiente de rugosidad n al de rugosidad equivalente k, las cuales se pueden simplificar en la siguiente expresión: n= k 1/ 6 70 (3.7) Del procesamiento de los datos obtenidos por Ivad-Zade (1983), en varios canales artificiales se obtuvo la ecuación: 𝑛 = 0,014𝑑 0,176 3.1.2. (3.7b) Determinación del Calado Normal Como calado o tirante normal conocemos a la profundidad que se establece en un canal con flujo uniforme y se lo representa con ho. Existen varios métodos para el cálculo de este calado; a continuación analizaremos tres métodos, para lo cual son necesarios los siguientes datos geométricos e hidráulicos. Para el canal trapezoidal mostrado en la figura 3.2 tenemos: Figura 3.2 Condiciones Geométricas de los Canales Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 81 Principios de la Hidráulica 2 b, ancho de la base del canal; m = ctg , inclinación de las paredes laterales con respecto a la horizontal o talud; Q, caudal o gasto; is = i, pendiente del lecho del canal. Con los cuales se calcula: Área de una sección trapezoidal: A = [b + (m1 + m2 )h / 2]h , (3.8) Perímetro mojado: = b + h( 1 + m1 2 + 1 + m2 2 ) , (3.9) Radio Hidráulico: R = A/ (3.10) Cuando el canal es trapecial, m1 = m2; A = (b + mh)h , (3.8)’ = b + 2h 1 + m 2 (3.9)’ Para canales triangulares b = 0, y para rectangulares = 900 (m=0). a) Método analítico Se aplica en canales de sección geométrica definida y constante (canales prismáticos) utilizando la ecuación Q = AC Ri Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 82 Principios de la Hidráulica 2 en donde cada una de las variables se le deja expresado en función de h. b) Método del Factor de Gasto o Caudal Característico Para cauces naturales no siempre existen ecuaciones en función de h, por lo que se puede encontrar la solución con ayuda de las ecuaciones (2.2) y (2.3a): K = AC R , Ko = Q / i Para las condiciones dadas conocemos el caudal característico Ko, por esto, la solución consiste en determinar un valor de K, de tal manera que K = Ko. Esta condición se cumple dándose valores de h en las ecuaciones (3.8) y (3.9) y calculando el factor de gasto K, hasta obtener el valor buscado de Ko, por aproximaciones sucesivas. c) Método del Exponente Hidráulico Según Bakhmeteff los factores de gasto con sus profundidades, para un mismo canal, guardan la siguiente relación: K1 K2 2 x h = 1 , h2 donde, x es el exponente hidráulico del cauce, considerado constante para cada cauce natural o artificial. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 83 Principios de la Hidráulica 2 La solución, según este método, consiste en tomar dos profundidades h1 y h2, determinar K1 y K2, de tal manera se puede obtener el valor del exponente hidráulico: x= 2 lg( K1 / K 2 ) (3.10) lg(h1 / h2 ) Una vez determinado este exponente hidráulico, calculamos el tirante normal con la expresión: ho = hi ( Ko / K i ) 2 / x (3.11) Los métodos b y c son aplicables prioritariamente en cauces naturales, pero se puede aplicar también en prismáticos. Se considera un cauce prismático al de sección geométrica definida y constante a todo lo largo En el caso de tener como dato h y como incógnita b, se sigue el procedimiento descrito en los métodos a y b. EJEMPLO 3.1. Determinar el tirante normal ho en un canal trapecial de tierra, si b = 1,5 m; Q = 2 m3/s; m = 1 y la pendiente i = 0,005. Para canales de tierra, según la tabla 2.1, n = 0,025. METODO a) Q = AC Ri , donde, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 84 Principios de la Hidráulica 2 A = (1,5 + h)h = 1,5 + 2 2 h R= C= A = (1,5 + h)h 1,5 + 2 2 h 1 R1 / 6 0,025 Resolviendo se tiene que h = ho = 0,62 m METODO b) Calculamos en base a la tabla 3.1, en la cual se utiliza la fórmula de Manning para el coeficiente de Chezy. Siendo, Ko = Q / i = 2 / 0,005 = 28,28. Nos damos como primer tirante para el cálculo de K, h1 = 1m, obteniendo que K1 > Ko, por lo que tomamos h2 = 0,5 m al cual le corresponde K2 = 19,60. Después de varias iteraciones encontramos que ho = 0,62 m, cuyo valor de K es el más próximo a Ko. Tabla 3.1 Cálculo del tirante normal No. h A R K I 1 2,5 4,328 0,578 69,39 II 0,5 1,0 2,91 0,343 19,60 0,62 1,314 3,25 0,403 28,71 . . N Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 85 Principios de la Hidráulica 2 METODO c) En este método, también, nos damos dos profundidades que pueden ser h1 = 1 m y h2 = 0,5 m, obteniéndose los valores de K expuestos en la tabla 3.1, con ayuda de los cuales calculamos el exponente hidráulico, x= 2 lg(69,39 / 19,60) = 3,64 lg(1 / 0,5) y el tirante normal con la ecuación (3.11) 28,28 ho = 1 69,39 2 / 3, 64 = 0,61m Como se puede notar, de los dos métodos, el más rápido es el del exponente hidráulico. Existiendo un cierto error admisible debido a que, como se ha demostrado actualmente, el exponente hidráulico es ligeramente variable. 3.1.3. Sección Hidráulica Óptima Sección hidráulica óptima se llama a la sección transversal A de un canal que tiene la capacidad máxima de escurrimiento o caudal. Si analizamos la ecuación Q = AC Ri , notamos que, tanto el área A, el gradiente i y la rugosidad n de canal, están dados, por lo que un valor máximo del caudal obtendremos para Rmax, que corresponde a un valor mínimo del perímetro mojado. Analicemos una sección trapecial por ser más general, así = b + 2h 1 + m 2 , Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 86 Principios de la Hidráulica 2 y, A = (b + mh)h , b = A / h − mh , de donde, Remplazando, = A / h − mh + 2h 1 + m 2 , = A / h + h(2 1 + m 2 − m) Derivando por h, considerando que A y m constantes: d / dh = − A / h2 − m + 2 1 + m2 = 0 , Sustituyendo A 0= (b + mh)h − m + 2 1 + m2 2 h 0 = −b / h − m − m + 2 1 + m 2 o, b / h = 2( 1 + m 2 − m ) (3.12) Si tomamos la segunda derivada de esta ecuación obtenemos un valor positivo, lo que nos indica que la ecuación (3.12) es el mínimo de la función. La ecuación (3.12) nos da la relación hidráulica óptima de un canal trapecial, para un canal rectangular el talud m igualamos a cero, y obtenemos b/h = 2. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 87 Principios de la Hidráulica 2 En general, el radio hidráulico óptimo es Rop = = (b + hm)h b + 2h 1 + m 2 = 2h 2 ( 1 + m 2 − m) + mh 2 2 h( 1 + m 2 − m) + 2h ( 1 + m 2 ) = 2h 1 + m 2 − mh 4 1 + m 2 − 2m , Rop = h / 2 3.1.4. (3.13) Canales de Sección Cerrada Los canales de sección cerrada comprenden los túneles, conductos y diferentes tuberías a través de los cuales el líquido fluye a gravedad. En este caso el líquido puede o no llenar toda la sección. Figura 3.3 Secciones de Canales Cerrados a) Circular, b) Rectangular, c) de Baúl, d) Herradura, e) Ovalada Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 88 Principios de la Hidráulica 2 Cálculo Hidráulico. Para el cálculo hidráulico de canales de sección cerrada se utiliza también, la ecuación de Chezy, pero debido a la gran complejidad de las expresiones algebraicas para la determinación del área, el perímetro mojado y el radio hidráulico, se utilizan tablas o monogramas para simplificar el cálculo. Entre los métodos de mayor sencillez tenemos el gráfico, en el cual se utilizan las relaciones: a = f1 ( K h / K H ) = f (Qh / QH ) , b = f 2 (Vh / VH ) , donde: a – es la relación de llenado para el caudal dado; Kh, Qh – factor de gasto, y el caudal para el tirante h; KH, QH – factor de gasto y caudal para la sección llena; Vh – velocidad del flujo con el tirante h; VH – velocidad del flujo para la sección llena. En la figura 3.4 presentamos relaciones a y b para conductos de sección circular y tipo baúl. EJEMPLO 3.2. Determinar el caudal y la velocidad del flujo, en un tubo de alcantarillado con pendiente i = 0,001 y diámetro D = 500 mm, para una relación de llenado h/H = 0,7. Solución: Según la tabla 2.1; n = 0,014, A = 0,5 2 / 4 = 0,1963m 2 ; Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 89 Principios de la Hidráulica 2 R = D / 4 = 0,5 / 4 = 0,125m ; C = 0,1251 / 6 / 0,014 = 50,51 ; Q = AC Ri = 0,1963 50,51 0,125 0,001 = 0,1108 m3 / s ; VH = C Ri = 0,565m / s Para la relación de llenado 0,7, según figura 3.4a, obtenemos: a = 0,82 y b = 1,13; de donde: Qh = a QH = 0,82 0,1108 = 0,091m 3 / s ; Vh = b VH = 1,13 0,565 = 0,638m / s . Figura 3.4a Curvas de Caudal y Velocidad para Canales Circulares Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 90 Principios de la Hidráulica 2 Figura 3.4b Curvas de Caudal y Velocidad de Canales Tipo Baúl 3.2. FLUJO NO UNIFORME EN CANALES Una de las principales tareas del estudio del flujo no uniforme en canales es la determinación de las diferentes formas de los perfiles de la superficie libre y por consiguiente los tirantes que se establecen a lo largo del flujo. Conocemos que para el flujo no uniforme la velocidad media V, el tirante h, la pendiente de la superficie libre I, etc., no se mantienen constantes a lo largo del flujo, figura 3.5. Para cauces con pendiente del lecho del canal o solera is constante, el tirante h cambia a lo largo del cauce y el perfil de la superficie libre es una línea curva. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 91 Principios de la Hidráulica 2 Figura 3.5 Flujo No Uniforme en Canales Si el flujo es retardado, figura 3.6a, el tirante h aumenta a lo largo de éste y la superficie libre forma una curva llamada de remanso o presión. Para un flujo acelerado el tirante disminuye y la superficie forma una curva de derrame o depresión, figura 3.6b. a) Curva de Remanso b) Curva de Derrame Figura 3.6 Formas de la Superficie Libre Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 92 Principios de la Hidráulica 2 3.2.1. Ecuación Diferencial del Flujo no Uniforme Gradualmente Variado Recordemos que tener un flujo gradualmente variado implica que la distribución de la presión es hidrostática para el plano normal al flujo, lo que nos permite aplicar la ecuación de Bernoulli en cualquier sección. En la figura 3.5 se puede ver que, H=z+h diferenciando y dividiendo para –dl obtenemos, − dH dz dh =− − , dl dl dl como, − dH =I dl − y dz = is dl resulta que, I = is − dh dl (3.18) Por otro lado, la energía específica entre dos secciones está dada por la ecuación de Bernoulli. z+h+ v 2 2g + hr = const. Remplazando z + h = H, tenemos: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 93 Principios de la Hidráulica 2 H+ v 2 2g + hr = const. Derivando para dl. dH d (v 2 / 2 g ) dhr + + =0 , dl dl dl de donde, − dH d (v 2 / 2 g ) dhr = + dl dl dl Como; -dH/dl = I ; i = dhr/dl d (v 2 / 2 g ) I= +i dl (3.19) Analicemos los miembros de la derecha de la ecuación: Según la ecuación de Chezy tenemos que, i = v 2 /(C 2 R) = Q 2 /( A 2 C 2 R) , además; d (v 2 / 2 g ) d (Q 2 / 2 gA2 ) Q 2 d (1 / A2 ) = = , dl dl 2g dl El área de una sección invariable en el tiempo es función de la longitud l y la profundidad h, el diferencial total de la función A es: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 94 Principios de la Hidráulica 2 dA = A A dl + dh , l h por lo que, d (1 / A 2 ) = −2 dA / A 3 = − 2 A A dl + dh ; 3 h A l y, d (1/ A2 ) / dl = − 2 A A dh + ; A3 l h dl Un incremento de área A = B h; donde B es el ancho del cual en la superficie libre, figura 3.7, tenemos que Figura 3.7 Incremento del Área en un Canal A/ h = B Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 95 Principios de la Hidráulica 2 Por lo tanto: d (v 2 / 2 g ) / dl = −Q 2 (A / l + Bdh / dl) / gA3 Reemplazando esta ecuación y la de Chezy en la ecuación (3.19) obtenemos: I =− Q 2 3 gA (A / l + Bdh / dl) + Q 2 / A2C 2 R (3.20) Igualando las ecuaciones (3.18) y (3.20) is − dh / dl = − Q 2 gA3 (A / l + Bdh / dl) + Q 2 /( A2C 2 R) , De donde, Q 2 A Q2 is + − dh gA3 l A 2 C 2 R = dl Q 2 1− B gA3 (3.21) Esta es la ecuación diferencial del movimiento no uniforme para canales abiertos de sección variable. En cauces prismáticos (sección constante), el área no depende de la longitud l, por consiguiente A/ l = 0, tomando la ecuación (3.21), la siguiente forma: Q2 dh A2C 2 R = dl Q 2 1− B gA3 is − Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (3.22) Página 96 Principios de la Hidráulica 2 De acuerdo con Altshul (1977), el coeficiente de Coriolis es igual a: 𝛼 = 1 + 208/𝐶 2 3.3. (3.23) ENERGIA ESPECIFICA DE UNA SECCION Como energía específica de una sección, se conoce a la parte de la energía del flujo determinada por el tirante h y la altura de velocidad v2/2g, sin la consideración de la energía específica de posición, de tal manera que: e = h + v 2 / 2 g (3.24) Esta energía corresponde a cada sección y es independiente una de otra sección, razón por la cual e2 = e1 , figura 3.8, lo que no se puede decir de la energía específica total E. Figura 3.8 Energía Específica de una Sección Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 97 Principios de la Hidráulica 2 Para el flujo uniforme la energía específica de una sección se mantiene constante, o sea 𝑒1 = 𝑒2 , donde: e1 = h1 + v1 / 2 g , 2 e2 = h2 + v2 / 2 g 2 Para un canal, con caudal dado, la energía específica de la sección depende del tirante h, y siempre es positiva, e>0; e = f (h) = h + Q 2 / A 2 2 g 0 (3.24)’ Si analizamos gráficamente la ecuación (3.24)’, tenemos que: si h → 0 , entonces A → 0 , Q 2 /( A 2 2 g ) → , y e → ; si h → , entonces A → , Q 2 /( A 2 2 g ) → 0 , y e → ; La representación gráfica de la energía específica de una sección hidráulica se muestra en la figura. 3.9. La ecuación (3.24), tiene un valor mínimo, correspondiente a un valor de la profundidad llamada tirante crítico. Figura 3.9 Variación de la Energía Específica Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 98 Principios de la Hidráulica 2 3.3.1. Tirante Crítico El tirante crítico corresponde a la energía mínima de una sección, y analíticamente se obtiene derivando la ecuación (3.23) de d (h + Q 2 / 2 gA2 ) Q 2 dA =0= = 1− 3 dh dh gA dh Como dA/dh = B (ver figura 3.7), tenemos que, 0 = 1 − Q 2 B / gA3 , o, A3 Q 2 = B g (3.25) Esta expresión nos determina el tirante crítico de canales de cualquier sección geométrica, resolviéndose esta por aproximaciones sucesivas o gráficamente. Para un cauce de sección rectangular es fácil determinar la magnitud del tirante crítico, ya que A = b hcr, b 3 hcr 3 / b = Q 2 / g de donde: hcr = 3 Q 2 / g b 2 (3.26) Introduciendo el concepto de caudal unitario o específico a la relación q = Q/b, tenemos: hcr = 3 q 2 / g Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (3.26’) Página 99 Principios de la Hidráulica 2 Para canales prismáticos este autor propone resolver la siguiente ecuación por aproximaciones sucesivas, asignando como primer valor hcr= 1. ℎ𝑐𝑟 = [𝛼𝑄2 {𝑏+(𝑚1 +𝑚2 )ℎ𝑐𝑟 }/𝑔]1/3 𝑚 +𝑚 [𝑏+( 1 2 )ℎ𝑐𝑟 ] (3.27) 2 El tirante crítico tiene gran importancia física, ya que permite dividir a las corrientes en dos tipos de flujo. Si el flujo posee una profundidad mayor que el tirante crítico éste se denomina subcrítico, tranquilo o fluvial, y si su profundidad es menor al tirante crítico, se denomina flujo supercrítico, rápido o torrencial. Las condiciones físicas para estos flujos son diferentes e influyen drásticamente en las condiciones de diseño en las obras hidráulicas. Como parámetro determinante de un régimen subcrítico o supercrítico se tiene el Número de Froude, que es la relación adimensional entre la velocidad media del flujo y la velocidad de difusión de las ondas en el agua √𝑔ℎ. 𝐹𝑟 = 𝑉 √𝑔ℎ (3.28) Si, Fr < 1 – el régimen en subcrítico Fr = 1 – régimen crítico Fr > 1 – régimen supercrítico Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 100 Principios de la Hidráulica 2 3.3.2. Pendiente Crítica Crítica se llama la pendiente a la cual, dado un caudal Q, se establece un flujo uniforme con una profundidad igual al tirante crítico. La pendiente crítica, también sirve de parámetro de comparación para la determinación de flujos subcríticos y supercríticos; si la pendiente del canal es menos que la crítica, el régimen es fluvial y si es mayor, es torrencial. La pendiente crítica se encuentra a partir de la ecuación de Chezy. i = Icr = Q 2 / Acr 2 Ccr 2 Rcr EJEMPLO 3.3 Determinar el tipo de flujo que se establece en un canal rectangular de pendiente is = 0,005, ancho b=10m y un caudal Q=20m3/s. Si el canal tiene un revestimiento de hormigón. Solución: Según la tabla 2.1, el coeficiente n= 0,014 Calculamos el tirante crítico, tomando = 1 (Con la ec.3.2, =1,047) hcr = 3 202 / 9,8 102 = 0,745m Por lo tanto: Acr = 10 · 0,745 = 7,45m2 cr = 10 + 2 · 0,745 = 11,2m Rcr = 7,45/11,5 = 0,65m Ccr = (0,65)1/6/0,014 = 66,48 m1/2/s Icr = 202/(7,452*66,482* 0,65) = 0,0025 Como tenemos que, 0,005 = is > Icr = 0,0025, entonces el flujo es supercrítico, rápido y torrencial. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 101 Principios de la Hidráulica 2 3.4. FORMAS DE LA SUPERFICIE LIBRE Dependiendo del valor de la pendiente de la solera del canal is y de la pendiente crítica se puede obtener la siguiente clasificación: is < icr pendiente suave is > icr pendiente pronunciada is = icr pendiente crítica is = o pendiente horizontal is < o pendiente adversa Para determinar las diferentes formas de la superficie libre expresamos la ecuación (3.22) de la siguiente forma: Q2 2 h K 2 = i 1 − ( Ko / K ) = s l Q 2 / g Q 2 / g 1− 3 1− 3 A /B A /B is − (3.29) donde: Ko – caudal característico correspondiente al flujo uniforme, K – factor de gasto de la tirante existente h, Q 2 / g - función que corresponde a la profundidad crítica, A3/B – función que corresponde a la profundidad existente. Esta ecuación nos expresa la variación de la profundidad a lo largo del flujo. El valor positivo de h/ l corresponde a las curvas de remanso y el negativo a las curvas de derrame. Para el análisis de la superficie libre simplifiquemos la ecuación (3.29) a la siguiente forma: h 1 − f (ho / h) = is l 1 − f (hcr / h) La existencia del tirante crítico y del tirante normal, dividen al flujo en tres zonas, a cada una de las cuales le corresponde una forma, expuestas en la tabla 3.2. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 102 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 3.2 Formas de la Superficie Libre FORMAS DE LOS PERFILES 1. PENDIENTE SUAVE is<icr . h/ l = +/+ REMANSO TIPO M2 ho>h>hcr f(ho/h)>1 f(hcr/h)<1 M1 h/ l = -/+ DERRAME TIPO M3 ho>hcr>h f(ho/h)>1 f(hcr/h)>1 M2 hcr M3 Is<icr h/ l = -/REMANSO TIPO S1 h>hcr>ho f(ho/h)<1 f(hcr/h)<1 2. PENDIENTE PRONUNCIADA Is>icr . TIPO S (Steep) S h/ l = +/+ 1 REMANSO TIPO S2 hcr>h>ho f(ho/h)<1 f(hcr/h)>1 hcr S 2 h0 ECUACION (3.28) TIPO M1 h>ho>hcr f/ho/h)<l f(hcr/h)<l TIPO M (Mild) h0 ANALISIS DE LA S 3 h/ l = +/- Is>icr DERRAME TIPO S3 hcr>ho>h f(ho/h)>1 f(hcr/f>1 h/ l = -/REMANSO Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 103 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 3.2 Formas de la Superficie Libre (Continuación) 3. PENDIENTE CRITICA TIPO C1 h>ho=hcr f/ho/h)<1 f(hcr/h)<1 is = icr . TIPO C h/ l = +/+ REMANSO TIPO C2 ho=hcr>h f(ho/h)>1 f(hcr/h)>1 C1 h0=hcr C3 h/ l = -/- Is=icr 4. PENDIENTE HORIZONTAL REMANSO TIPO H2 h>hcr f(ho/h)>1 f(hcr/h)<1 is = 0 . TIPO H h/ l = -/+ H2 hcr DERRAME TIPO H3 hcr>h f(ho/h)>1 f(hcr/h)>1 H3 Is=0 5. PENDIENTE ADVERSA is < 0 . TIPO A h/ l = -/+ DERRAME TIPO A3 hcr>h f(ho/h)>1 f(hcr/h)>1 A2 hcr h/ l = -/REMANSO TIPO A2 h>hcr f(ho/h)>1 f(hcr/h)<1 A3 Is<0 h/ l = -/REMANSO Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 104 Principios de la Hidráulica 2 3.5. DISEÑO DE LA SUPERFICIE LIBRE La ecuación (3.29) describe diferencialmente la forma de la superficie libre y se resuelve mediante diferentes métodos desarrollados por varios autores. En la actualidad, debido al uso más frecuente de los microcomputadores es posible la solución de esta ecuación en base a métodos numéricos, una de las cuales corresponde a la integración por el método de los trapecios. l= 12 11 dl = h2 h1 (l / h)h , (3.30) Conociendo el valor de h1 y estableciendo un h, se puede determinar h2 y la longitud a la cual ésta existe, hasta obtener el valor de h2 o h1 dados. A continuación presentamos el método desarrollado por Pavlovsky como resultado de la integración de la ecuación. (3.29): A) Para canales is > 0 is N l = 2 − 1 − (1 − Fr 2 )( 2 − 1 ) (3.31) donde, N = ( 2 − 1) /(h2 − h1 ), 1 = K1 / K o , 2= K 2 / K o i = 1,151 lg 1 + i , 1 − i i = 1,151 lg i + 1 , i − 1 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D si, h < ho si, h > ho Página 105 Principios de la Hidráulica 2 Fr = ( C is B) /( g ) 2 2 2 Aquí, Fr corresponde al valor medio de las características del flujo para las secciones 1 y 2. B) Para canales is = 0 icr N l = Fr 2cr ( 2 − 1) − ( 2 − 1 ) , (3.32) donde, 2 = K 2 / K cr , 1 = K1 / K cr ; 3 1 = 1 / 3 ; 3 2 = 2 / 3 , Frcr = ( Ccr icr Bcr ) /( g cr ) , 2 2 C) Para canales is < 0 is N l = −( 2 − 1) + (1 + Fr 2 )( 2 − 1 ) (3.33) donde, 1 = K1 / K 0* ; 2 = K 2 / K 0* Ko*, corresponde a un valor ficticio de ho, tomando el valor absoluto de la pendiente, is . = arctg ( ) . Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 106 Principios de la Hidráulica 2 3.5.1. Puntos de Control Para definir el perfil de una superficie libre, a más de la geometría del canal, se debe conocer al menos en un punto la velocidad o caudal y el tirante del flujo, a estos puntos se les conoce como puntos de control. La ubicación del punto de control depende del régimen del flujo. Para regímenes subcríticos, las condiciones de aguas abajo son las que imponen la forma del perfil, y en esa zona debe encontrarse el punto de control; para el régimen supercrítico las condiciones de aguas arriba son las determinantes. EJEMPLO 3.4 Determinar el perfil de la superficie libre para un canal rectangular de hormigón, el cual cambia de pendiente de suave a pronunciada (is = 0,1) y se muestra en la figura 3.10. El ancho del canal es b = B = 2m, la longitud L =50 m y el caudal Q = 1,8 m3/s. Figura 3.10 Perfil de la Superficie Libre en una Rápida Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 107 Principios de la Hidráulica 2 Solución. Para un canal de hormigón, según la tabla 2.1, el coeficiente de rugosidad n = 0,014. Para el tramo inicial, de pendiente suave, suponemos que el flujo es uniforme y corresponde a la entrada de la rápida o canal de pendiente pronunciada. Calculamos el caudal característico, Ko = 1,8 = 5,69m3 / s 0,1 Siguiendo el procedimiento descrito en el ejemplo 3.1, obtenemos el tirante normal: h1 = 0,44 ; K1 = 28,52 ; h2 = 0,4 ; K 2 = 24,79 , x = 2,93 ho = 0,146m 0,15 m El paso del régimen fluvial al torrencial es a través del tirante crítico y este se establece en el punto correspondiente al cambio de pendiente, siendo este un punto de control. Calculamos el tirante crítico: hcr = 3 1,82 (9,8 2 2 ) = 0,436m. Con el apoyo de la ecuación (3.31) de Pavlovsky obtenemos el perfil de la superficie libre, cuyos resultados se muestran en la primera parte de la tabla 3.3. Y los resultados del método de integración directa de la ecuación (3.29) en las tres últimas columnas de la mencionada tabla. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 108 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 3.3 Perfil de la Superficie Libre con los métodos de Pavlovsky e integración directa. h A x R C K æ ho B φ Fr Δl Σl 0,435 0,87 2,87 0,30 58,54 28,0 4,93 0,15 2,00 0,21 24,37 F(x) Δl Σl -0,04 0,425 0,85 2,85 0,30 58,38 27,1 4,76 0,15 2,00 0,21 24,41 0,00 0,00 -0,80 0,00 0,00 0,415 0,83 2,83 0,29 58,22 26,2 4,60 0,15 2,00 0,22 24,45 0,01 0,02 -1,64 0,01 0,02 0,405 0,81 2,81 0,29 58,05 25,2 4,44 0,15 2,00 0,23 24,48 0,02 0,04 -2,57 0,02 0,04 0,395 0,79 2,79 0,28 57,88 24,3 4,27 0,15 2,00 0,24 24,51 0,03 0,07 -3,61 0,03 0,07 0,385 0,77 2,77 0,28 57,70 23,4 4,12 0,15 2,00 0,25 24,53 0,04 0,11 -4,76 0,04 0,11 0,375 0,75 2,75 0,27 57,52 22,5 3,96 0,15 2,00 0,26 24,55 0,05 0,16 -6,06 0,05 0,16 0,365 0,73 2,73 0,27 57,33 21,6 3,80 0,15 2,00 0,27 24,57 0,07 0,23 -7,52 0,07 0,23 0,355 0,71 2,71 0,26 57,14 20,8 3,65 0,15 2,00 0,28 24,59 0,08 0,31 -9,16 0,08 0,32 0,345 0,69 2,69 0,26 56,94 19,9 3,50 0,15 2,00 0,29 24,59 0,10 0,42 -11,03 0,10 0,42 0,335 0,67 2,67 0,25 56,73 19,0 3,34 0,15 2,00 0,31 24,60 0,12 0,54 -13,16 0,12 0,54 0,325 0,65 2,65 0,25 56,51 18,2 3,20 0,15 2,00 0,32 24,60 0,14 0,68 -15,60 0,14 0,68 0,315 0,63 2,63 0,24 56,29 17,4 3,05 0,15 2,00 0,34 24,59 0,17 0,85 -18,43 0,17 0,85 0,305 0,61 2,61 0,23 56,06 16,5 2,90 0,15 2,00 0,36 24,57 0,20 1,05 -21,70 0,20 1,05 0,295 0,59 2,59 0,23 55,82 15,7 2,76 0,15 2,00 0,38 24,55 0,24 1,28 -25,54 0,24 1,29 0,285 0,57 2,57 0,22 55,57 14,9 2,62 0,15 2,00 0,40 24,52 0,28 1,56 -30,08 0,28 1,57 0,275 0,55 2,55 0,22 55,31 14,1 2,48 0,15 2,00 0,43 24,49 0,33 1,89 -35,51 0,33 1,89 0,265 0,53 2,53 0,21 55,05 13,4 2,35 0,15 2,00 0,46 24,44 0,39 2,28 -42,06 0,39 2,28 0,255 0,51 2,51 0,20 54,77 12,6 2,21 0,15 2,00 0,49 24,39 0,46 2,73 -50,08 0,46 2,74 0,245 0,49 2,49 0,20 54,48 11,8 2,08 0,15 2,00 0,52 24,32 0,55 3,28 -60,09 0,55 3,29 0,235 0,47 2,47 0,19 54,17 11,1 1,95 0,15 2,00 0,57 24,25 0,66 3,94 -72,81 0,66 3,96 0,225 0,45 2,45 0,18 53,85 10,4 1,82 0,15 2,00 0,62 24,16 0,81 4,75 -89,42 0,81 4,77 0,215 0,43 2,43 0,18 53,52 9,7 1,70 0,15 2,00 0,67 24,06 1,00 5,75 -111,82 1,01 5,78 0,205 0,41 2,41 0,17 53,17 9,0 1,58 0,15 2,00 0,75 23,94 1,27 7,02 -143,41 1,28 7,05 0,195 0,39 2,39 0,16 52,80 8,3 1,46 0,15 2,00 0,84 23,81 1,65 8,67 -190,81 1,67 8,72 0,185 0,37 2,37 0,16 52,41 7,7 1,35 0,15 2,00 0,96 23,66 2,26 10,93 -268,95 2,30 11,02 0,175 0,35 2,35 0,15 52,00 7,0 1,23 0,15 2,00 1,13 23,49 3,35 14,28 -420,04 3,44 14,47 0,165 0,33 2,33 0,14 51,57 6,4 1,13 0,15 2,00 1,42 23,29 5,82 20,10 -828,09 6,24 20,71 0,155 0,31 2,31 0,13 51,11 5,8 1,02 0,15 2,00 2,32 23,08 18,82 38,91 -5546,39 31,87 52,58 La curva se acerca asintóticamente al tirante normal, por lo que, a la distancia de 39m, se puede decir que, ya se tiene la profundidad normal. Por el método de integración de trapecios se tendría que a los 50m alcanza el valor del tirante normal. En la actualidad hay diferentes programas libres disponibles cómo el HCANALES, que resuelven este y otros problemas. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 109 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO IV VERTEDEROS Si en la solera de un canal, natural o artificial, se coloca una obra para el paso del flujo sobre ésta, el nivel de la superficie libre de la corriente superficial se eleva hasta que el caudal que pasa sobre la estructura es igual al caudal que fluye por el canal. A esta estructura sobre la cual se vierte el líquido libre o controlado se le denomina vertedero o vertedor hidráulico. 4.1. ELEMENTO DE LOS VERTEDEROS Siguiendo el sentido del flujo, al sector o zona anterior a cualquier estructura se le denomina “aguas arriba” y al tramo posterior “aguas abajo”. En la figura 4.1 presentamos los parámetros característicos de un vertedero y son: Figura 4.1 Parámetros de los Vertederos H - tirante o carga de un vertedero, se denomina a la altura de la lámina vertiente medida a la distancia 1 > 3H aguas arriba del vertedero. s - ancho de la cresta o borde, de la parte horizontal superior de un vertedero. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 110 Principios de la Hidráulica 2 b - longitud de la cresta. p1, p2 - alturas del vertedero de aguas arriba y aguas abajo. ha - profundidad o tirante del flujo en la zona de aguas abajo. B - ancho del canal de acercamiento. Vo - velocidad de acercamiento al vertedero. Existen otros parámetros que influyen en la descarga de un vertedero, como: La forma del canal de acercamiento, la forma de la cresta, la profundidad del nivel de aguas abajo, etc., etc. 4.2. CLASIFICACION DE LOS VERTEDEROS A los vertederos se los clasifica de diferentes maneras, de las cuales presentamos las siguientes: I. POR SU PERFIL a) Pared Delgada. Son aquellos, en los cuales el ancho de la cresta s no influye en la forma de la lámina vertiente, debiéndose cumplir la condición s < 0,67H, figura 4.2 Figura 4.2 Vertedero de Pared Delgada Figura 4.3 Vertedero Poligonal b) Perfil Poligonal. El ancho de la cresta s toma valores de 0,67H a 2,00H, figura 4.3. Además, los taludes aguas arriba y aguas abajo tienen Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 111 Principios de la Hidráulica 2 cualquier inclinación con respecto a la horizontal y están determinados por los ángulos 1 y 2 . c) Cresta Ancha. El ancho de la cresta varía entre 2H<s<10H figura 4.4. Para este valor de s las pérdidas por longitud todavía son despreciables. Figura 4.4 Vertedero de Cresta Ancha Figura 4.5 Vertedero de Cresta Redondeada d) Cresta Redondeada. Figura 4.5. Su perfil, generalmente, se diseña según la superficie inferior de una vena líquida que se derrama libremente, cuya carga corresponde al caudal de proyecto. Se les conoce con el nombre de vertederos de perfil práctico o Creager – Ofitzérov. En esta clasificación se incluyen los vertederos de perfil circular, de perfil parabólico y otros. II. POR LA FORMA DEL ORIFICIO VERTIENTE La forma geométrica del orificio depende de las condiciones de funcionamiento que el diseñador considera es adecuada para cada aplicación y hay triangulares, rectangulares, trapeciales, circulares, ovalados y otros Figura 4.6. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 112 Principios de la Hidráulica 2 a) b) c) d) b) e) Figura 4.6 Vertederos Según su Orificio a) Rectangulares, b) Trapeciales, c) triangulares, d) curvos, e) combinados. III. POR SU CONFIGURACION EN EL PLANO a) Vertederos Extendidos. La cantidad del líquido que se vierte por un vertedero depende de la longitud de la cresta b, razón por la que, para aumentar la cantidad de descarga del vertedero, a las crestas en el plano se les da diferentes formas como se muestra en la figura 4.7. b) Figura 4.7 Vertederos Extendidos Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 113 Principios de la Hidráulica 2 c) Cresta Cerrada. Figura 4.8. Guardan relación con los aliviaderos tipo pozo, que están conectados a un túnel. Entre estos se encuentran los abocinados (conocidos como aliviaderos Morning Glory), los de pétalos de margarita y otros. Figura 4.8 Cresta Cerrada IV. POR SU POSICION RESPECTO AL SENTIDO DEL FLUJO La posición del vertedero con respecto a la dirección del flujo de llegada también da el nombre a estos, por ejemplo los mostrados en la figura 4.9. Figura 4.9 Vertederos según el Sentido del Flujo a) normales, b) diagonales y c) laterales. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 114 Principios de la Hidráulica 2 V. SEGÚN EL TIRANTE DE AGUAS ABAJO Se les clasifican en sumergidos y no sumergidos, figura 4.10. En el caso de que, el tirante de aguas abajo ha sea menor que p2 el vertedero no está sumergido, en caso contrario es un vertedero sumergido. La condición de sumergido influye directamente en la capacidad de paso del flujo por el vertedero. Figura 4.10 Vertederos No Sumergido y Sumergido 4.3 ECUACIÓN DE CAUDAL PARA VERTEDEROS La ecuación de gasto para vertederos la obtenemos a partir de la ecuación de Bernoulli para los puntos 1 y 2 figura 4.11. Figura 4.11 Determinación de la Ecuación de Caudal Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 115 Principios de la Hidráulica 2 2 2 2 2 v u u u h1 + o = 2 + 2 = 2 (1 + ) , 2g 2g 2g 2g Donde: h1 es variable y vo2/2g = const. 2 v h1 + o = h01 , 2g y, 1 + = 1 / Cv , 2 De donde, u2 = Cv 2 g h01 (4.1) El caudal es igual a: Q = u 2 dA . A El tirante h01 toma valores de cero a Ho. Ho 2 Q = Cv 2 g h10 bdh = Cv b 2 g Ho 3 / 2 . 3 0 Si, m = 2 Cv 3 Q = mb 2 g Ho 3 / 2 , Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (4.2) Página 116 Principios de la Hidráulica 2 Esta es la ecuación principal de vertederos, donde a m se le conoce como coeficiente de gasto o caudal. En ciertos casos la ecuación (4.2) se utiliza reemplazando Ho a través de H, y la velocidad de acercamiento se le considera en el coeficiente de gasto, y se escribe, Q = mo b 2 g H 3 / 2 2 v donde: mo = m1 + o 2 gH (4.3) 3/ 2 Si, mo 2 g = C0 , entonces Q = C0 bH 3 / 2 , (4.4) Siendo ésta, otra de las formas en que se representa a la ecuación de caudal para vertederos, muy difundida en la bibliografía americana. Para considerar la variación de caudal en los vertederos no sumergidos o sumergidos, se introduce un coeficiente adicional a la ecuación (4.3) llamado coeficiente de inmersión ns. Para vertederos no sumergidos ns = 1 y sumergidos ns < 1. Así: Q = ns mo b 2 g Ho 3 / 2 (4.5) Experimentalmente se ha demostrado que el coeficiente de caudal m frecuentemente toma valores de 0,3 a 0,6 o, para la ecuación (4.4) 1,0 < C < 2,7, pero según la forma del labio pueden tomar otros valores. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 117 Principios de la Hidráulica 2 4.4 VERTEDEROS DE PARED DELGADA Los vertederos de pared delgada se utilizan, comúnmente, en calidad de medidores de caudal, figura 4.12.a a) b) Figura 4.12 Condición de Flujo en Pared Delgada En este tipo de vertederos, en la parte posterior, pueden establecerse presiones menores a la atmosférica, eliminar este fenómeno se consigue poniendo en contacto la superficie inferior de la lámina vertiente con el medio ambiente. La presión negativa modifica el caudal de descarga y la forma de la lámina vertiente como se muestra en la figura 4.12.b. 4.4.1 Coeficiente de Caudal de un Vertedero de Pared Delgada La apreciación del coeficiente de caudal m se realiza en base a ecuaciones empíricas y tenemos: Bazin m = 0,405 + Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 0,003 H (4.6) Página 118 Principios de la Hidráulica 2 R. Chugaev, para valores de p1 > 0,5 y H > 0,1m mo = 0,4 + 0,005 H p1 (4.7) H. Smith, (British Standard) 2 H m = mo = 0,6161 − 0,1 3 b (4.8) La utilización de las ecuaciones presentadas u otras, en su mayoría, dan un error aproximado del orden del 1 a 2%, aceptables en la determinación de caudales. 4.4.2 Coeficiente de Inmersión Para la determinación del coeficiente de inmersión se utilizan tablas, gráficos y ecuaciones dadas en la mayoría de los manuales de hidráulica; aquí presentamos la ecuación de Bazin. h ns = 1,051 + 0,2 s 3 z / H p2 (4.9) Figura 4.13 Vertedero de Pared Delgada Sumergido Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 119 Principios de la Hidráulica 2 Para un vertedero de pared delgada sumergido, con un tirante de aguas abajo que sobrepase el borde o cresta en una magnitud mayor a 0,1H, en el vertedero se forma una lámina ondulada como se muestra en la figura 4.13. 4.4.3 Otros Vertederos de Pared Delgada Por facilidades constructivas y utilidad en la medida de caudales son bastante comunes los vertederos de orificio triangular y trapecial. Vertedero de Orificio Triangular. Se muestra en la figura 4.14a. Para éstos vertederos, es muy difundidas las ecuaciones de King y Tomson siempre y cuando ese ángulo de abertura = 90º y la ecuación de Grava para los ángulos 22º 118º : a) b) Figura 4.14 Vertederos Triangular y Trapecial Ecuación de King Q = 1,343 H 2, 47 (4.10) Q = 1,4 H 5 / 2 (4.11) Ecuación de Tomson Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 120 Principios de la Hidráulica 2 Ecuación de Grava Q = 1,331(tg / 2) 0,996 H 2, 47 (4.12) Vertedero con Orificio Trapecial. Figura 4.14b. La ecuación para la determinación de caudal, aplicable para ctg = 1 / 4 , es: Q = 1,86bH 3 / 2 , 4.5 (4.13) VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA Anotemos la ecuación de energía específica de una sección localizada sobre la cresta del vertedero, figura 4.15: e = z+h+ v 2 Q 2 = z+h+ 2g 2 gb2 h 2 (4.14) Figura 4.15 Flujo en un Vertedero de Cresta Ancha Según Bakhmeteff (1912), el tirante que se establece sobre la cresta de un vertedero es aquel, al cual la energía de la sección del flujo alcanza su valor mínimo. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 121 Principios de la Hidráulica 2 La ecuación (4.14) diferenciamos por dh para encontrar el mínimo de energía, de Q 2 = 1− 2 3 = 0 , dh gb h de donde: h = 3 Q 2 / gb2 = hcr (4.15) Como se definió en el capítulo anterior, hcr es el tirante crítico, por lo que: ( Acr vcr ) 2 b 2 hcr 2 hcr = = = vcr 2 2 2 gb gb gb Q 2 2 por consiguiente, hcr = v cr 2 g (4.16) Esta relación utilizaremos para determinar el valor del tirante sobre la cresta. Anotamos la ecuación de Bernoulli para las secciones 1 y 2 de la figura 4.15. 2 2 2 v v v H + o = hcr + cr + cr , 2g 2g 2g el coeficiente depende de la forma de la cresta, y 2 v H + o = Ho , 2g Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 122 Principios de la Hidráulica 2 por lo que: 2 vcr (1 + ) , 2g Ho = hcr + y: vcr = 1 1+ 2 g ( Ho − hcr ) , reemplazando, 1 = Cv , 1+ Cv - es el coeficiente de velocidad para el vertedero 2 vcr 2 = Cv ( Ho − hcr ) , 2g También, 2 vcr 2 = 2 Cv ( H − hcr ) , g y según la ecuación (4.16): hcr = 2Cv ( Ho − hcr ) 2 Consideremos hcr = kHo, entonces: kHo = 2Cv ( Ho − kHo) , 2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 123 Principios de la Hidráulica 2 De donde: k= 2C v 2 1 + 2C v , 2 (4.17) La inexistencia de pérdidas hidráulicas en el vertedero (flujo ideal) corresponde para un valor de Cv = 1,0 nos daría el valor máximo sobre la cresta del vertedero: h= 2 Ho. 3 La ecuación de caudal según Bakhmeteff es, Q = b hcr Cv 2 g ( Ho − hcr ) o, Q = Cvb k Ho 2 g ( Ho − kHo) = Cvb k 1 − k 2 g Ho3 / 2 , Si, m = Cv k 1 − k , entonces: Q = m b 2 g Ho 3 / 2 , Para, Cv = 1 obtenemos m = 0,385, que corresponde al valor máximo del coeficiente de caudal para un vertedero de cresta ancha. Generalmente m = (0,30 a 0,35). El coeficiente de caudal m para un vertedero de cresta ancha con aristas vivas, se puede determinar con la ayuda de la ecuación de A. Berezinsky, Figura 4.15: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 124 Principios de la Hidráulica 2 m = 0,32 + 0,01 3− p1 H p 0,46 + 0,75 1 H , (4.19) Para vertederos con aristas redondeadas a la entrada, con r/H 2, el coeficiente de gasto según A. Berezinsky es: p1 H m = 0,36 + 0,01 3 p1 1,2 + 2H 3− (4.20) . Para un régimen sumergido en la ecuación de caudal se introduce el coeficiente de inmersión ns. Q = ns mb 2 g Ho 3 / 2 , ℎ donde, ns se puede apreciar con la siguiente ecuación, aplicable para 0,75 ≤ 𝐻𝑠 ≤ 0 0,98. ℎ𝑠 ℎ𝑠 2 ℎ𝑠 3 𝑛𝑠 = 26,799 − 96,532 (𝐻𝑜) + 121,55 (𝐻𝑜) − 51,607 (𝐻𝑜) 4.6 VERTEDEROS DE PERFIL CURVO Los vertederos de perfil curvo son todos aquellos que, no están considerados como vertederos de pared delgada ni como de cresta ancha y, se caracterizan por tener sus aristas redondeadas. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 125 Principios de la Hidráulica 2 Según su perfil existen tres tipos principales que son: 1) Vertederos de perfil práctico o Creager – Ofitzarov figura 4.16 a 2) Perfil curvo con cresta horizontal figura 4.16 b 3) Perfil alargado figura 4.16 c. Figura 4.16 Vertederos de Perfil Curvo 4.6.1 Vertederos de Perfil Práctico Se denomina así, al vertedero cuyo perfil se diseña según la trayectoria de la lámina interior de una vena líquida en derrame libre a través de un vertedero de pared delgada. Figura 4.16 a. En base a los resultados experimentales de Creager-Ofitzérov se determina la trayectoria de la vena vertiente, cuyas coordenadas presentamos en la tabla 4.2. Para obtener las del vertedero diseñado se deben multiplicar los valores de la tabla por la carga H. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 126 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 4.2 Coordenadas de un Vertedero de Perfil Práctico Figura 4.17 Vertederos de Perfil Práctico El coeficientes de caudal para el vertedero de la figura 4.16a tiene el valor de m = 0,49; y para el mostrado en la figura 4.16 b, si el tramo horizontal = 0, se tiene que m = 0,48. Para 0,3H < s <2,5H (figura 4.16 b), el coeficiente de gasto se determina con la ecuación de A. Berezinsky, m = 0,36 + 0,1 2,5 − s / H 1 + 2s / H (4.21) Para vertederos sumergidos el coeficiente de inmersión está dado por la siguiente relación obtenida del trabajo de Pavlovsky. ℎ𝑠 3 ℎ𝑠 2 ℎ𝑠 𝑛𝑠 = 1,0 − 1,2924 (𝐻𝑜) + 1,0682 (𝐻𝑜) − 0,3291 (𝐻𝑜) Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (4.22) Página 127 Principios de la Hidráulica 2 El Bureau of Reclamation de los Estados Unidos recomienda diseñar el perfil de los vertederos como se muestra en la figura 4.18, en el que se consideran cuatro opciones de inclinación de la pared de ingreso al vertedero. Las más utilizadas son la pared vertical (90°) y la 3:3 (45°). Figura 4.18 Perfil del vertedero USBR Los valores de los coeficientes están presentados en el manual de Diseño de presas Pequeñas (1982, págs. 304-310), sin embargo, de manera aproximada, algunos de los coeficientes presentamos a continuación. Para un paramento vertical (90°) 𝑉02 /2𝑔 𝐾 = 0,4985 + 0,3802 𝑛 = 1,8722 − 0,5945 𝑅1 𝐻0 𝑅2 𝐻0 𝐻0 𝑉02 /2𝑔 = 0,5277 − 0,3282 = 0,2317 − 0,4776 𝐻0 𝑉02 /2𝑔 2 ) 𝐻0 , (4.23) 𝑉02 /2𝑔 2 ) 𝐻0 , (4.24) − 2,6894( + 2,0862( 𝑉02 /2𝑔 𝐻0 𝑉02 /2𝑔 𝐻0 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D − 2,127( 𝑉02 /2𝑔 2 ) 𝐻0 + 1,5152( , 𝑉02 /2𝑔 2 ) 𝐻0 (4.25) , (4.26) Página 128 Principios de la Hidráulica 2 Si, P/H0 0,5 𝑃 2 𝑃 𝐶0 = 1,716 + 1,576 (𝐻 ) − 1,635 (𝐻 ) , 0 (4.27) 0 Si, P/H0 0,5 𝑃 2 𝑃 𝑃 3 𝐶0 = 2,047 + 0,1276 (𝐻 ) − 0,0443 (𝐻 ) + 0,0052 (𝐻 ) , 0 0 (4.28) 0 Q = C0 bHo3 / 2 (4.29) Con inclinación del paramento 3:3 (45°): 𝐾 = 0,5397 − 0,0091 𝑛 = 1,7803 − 0,5677 𝑅1 𝐻0 = 0,45 + 0,4161 𝑉02 /2𝑔 𝐻0 𝑉02 /2𝑔 𝐻0 𝑉02 /2𝑔 𝐻0 − 0,316( 𝑉02 /2𝑔 2 ) 𝐻0 + 2,4068( − 2,7622( − 5,1233( 𝑉02 /2𝑔 2 ) 𝐻0 𝑉02 /2𝑔 2 ) 𝐻0 𝑉02 /2𝑔 3 ) , 𝐻0 , (4.31) , (4.32) 𝑅2 = ∞ , 𝐶45 𝐶0 4.7 (4.30) (4.33) 𝑃 𝑃 2 𝑃 3 = 1,0552 − 0,1252 (𝐻 ) + 0,0993 (𝐻 ) − 0,025 (𝐻 ) , 0 0 0 (4.34) CONTRACCIONES LATERALES EN LOS FLUJOS Generalmente, el ancho del canal de acercamiento es mayor que el de la lámina que se vierte (longitud de la cresta), por tal razón, el flujo sufre una contracción al pasar por el vertedero. Además, sobre la cresta del vertedero puede ser necesario el colocar pilas para el apoyo de compuertas y/o puentes, figura. 4.19, las que producen contracciones del flujo adicionales. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 129 Principios de la Hidráulica 2 Figura 4.19 Contracción de la Lámina Vertiente Debido a la contracción del flujo, la longitud efectiva de la cresta be es menor que la longitud real de ésta (be < b). Siendo el caudal que se vierte por el vertedero igual a: Q = m be 2 g Ho 3 / 2 La longitud efectiva be se determina con la fórmula de Francis. be = b − 0,1 n Ho (4.35) Donde, n es el número de contracciones; es el coeficiente hidrodinámico de las pilas, se toman según la figura 4.20. =1,0 =0,7 =0,7 =0,4 Figura 4.20 Coeficiente Hidrodinámico de Pilas. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 130 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO V FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS El estudio de los flujos a través de orificios es de gran importancia por su aplicación en obras hidráulicas de diferente tipo y se inicia con la expresión de Torricelli, obtenida de manera analítica, u = 2 gH (5.1) Muchos investigadores trataron de demostrar esta hipótesis pero, fue Daniel Bernoulli quien explicó el fenómeno físico del flujo a través de orificios, que fueron completados posteriormente por G. Venturi. 5.1. CONDICIONES DE FLUJO EN ORIFICIOS Las condiciones de flujo a través de orificios pueden ser diferentes, tales como: Carga constante o variable. Orificio con descarga libre, figura 5.1a; semisumergida, figura 5.1b; y sumergida , figura 5.1c. Orificio pequeño o grande. Orificio en pared delgada, figura 5.1a, b y c; o en pared gruesa (toberas), figura 5.2 d y e. Figura 5.1 Flujo a través de Orificios de Pared Delgada Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 131 Principios de la Hidráulica 2 Figura 5.2 Flujo a través de Orificios de Pared Gruesa La importancia de conocer las condiciones de flujo radica en que estas influyen directamente en la magnitud de la velocidad de salida y en el caudal de descarga. 5.2. FLUJO LIBRE EN ORIFICIOS PEQUEÑOS DE PARED DELGADA Analicemos el flujo mencionado para una carga o caída constante (H = const). En este caso los parámetros hidráulicos permanecen invariables con respecto al tiempo (flujo estacionario). En un tanque con orificio circular, el fluido se dirige hacia el orificio desde todos los lados y forma la vena líquida que sale a través de éste, figura 5.3. La vena líquida, a una distancia de 0,5 veces el diámetro del orificio, se contrae y su sección transversal es mínima y se le llama sección contraída. La relación del área de la sección contraída Ac para el área del orificio Ao, se conoce como coeficiente de contracción . = Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Ac Ao (5.2) Página 132 Principios de la Hidráulica 2 Para un orificio circular, el diámetro de la vena en la sección contraída es dc = 0,8do. Por consiguiente el coeficiente de contracción es: d = c do 2 2 0,8d = = 0,64 do La contracción del flujo, o sea la formación de la sección contraída, se debe a que la velocidad media de esta sección es mayor que la velocidad media del flujo en la sección del orificio, figura 5.3. Figura 5.3 Diagrama de Velocidades en la Vena Líquida Analicemos la distribución de la velocidad en la sección contraída y en el plano del orificio. Supongamos que el fluido es ideal y que todas las partículas salen del orificio con la misma velocidad e igual a la dada por la ecuación (5.1). Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 133 Principios de la Hidráulica 2 El caudal de salida depende de las proyecciones de la velocidad al eje horizontal, siendo que las líneas de corriente en la sección misma del orificio no proyectan toda la velocidad a la horizontal, el diagrama de velocidades resulta como el que se muestra en la figura 5.3. No así para la sección contraída, donde todas las líneas de flujo son paralelas y por consiguiente tenemos un diagrama de velocidades rectangular. Comparando los dos diagramas de velocidad concluimos que, la velocidad media del flujo en el orificio es menor a la de la sección contraída, razón por la cual existe esa diferencia de áreas, Vo V → Ac Ao . Aclaremos los conceptos de orificio pequeño y pared delgada. Se ha demostrado experimentalmente que para orificios de diámetro menor a 0,1H, la distribución de la velocidad en la sección contraída se puede tomar como el de la figura 5.3, produciéndose un error no mayor al 5% en la determinación de la velocidad de salida del flujo. Para orificios de mayor diámetro se tiene que, la diferencia de cargas entre la actuante en la parte superior y la parte inferior del orificio es tal que, el diagrama de velocidades no es uniforme, figura 5.7, produciéndose mayor error en la determinación de la velocidad media y del caudal de salida, si se toma la carga media en el cálculo de estos valores. En conclusión, si se cumple la condición dada por la ecuación 5.3 el orificio es pequeño, en caso contrario grande. d 0,1 H Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (5.3) Página 134 Principios de la Hidráulica 2 Se considera que un orificio es en pared gruesa, cuando la vena líquida que pasa a través de éste topa las paredes interiores del orificio en una sección posterior a la contraída, llenando el flujo toda la sección de salida. Figura 5.2. Como esta condición de contacto de la vena líquida depende de la velocidad del flujo y de la longitud del orificio, para mantener las condiciones de pared delgada se debe cumplir que l (3a 4)d . 5.2.1. Velocidad y Caudal del Flujo Anotemos la ecuación de Bernoulli para las secciones 1-1 y 2-2 en la figura 5.4. 2 vo p2 v2 v2 z1 + + 1 = z2 + + + 2g 2g 2g p1 Figura 5.4 Determinación de la Velocidad y Descarga a través de un Orificio Pequeño La velocidad en la sección 1-1 es despreciable, en comparación a la velocidad en la sección 2-2. El coeficiente Coriolis tomamos = 1,0 . El coeficiente valora Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 135 Principios de la Hidráulica 2 todas las pérdidas hidráulicas producidas entre las dos secciones. Por lo que, la ecuación anterior se transforma en: z1 − z 2 = v2 v2 , + 2g 2g Reemplazando; z1 – z2 por H, donde H es la carga al centro del orificio: H= v2 (1 + ) , 2g v= 1 1+ de donde: siendo, Cv = 1 , 1+ 2 gH , el coeficiente de velocidad, obtenemos la ecuación definitiva para la velocidad de descarga, v = Cv 2 gH (5.4) Experimentalmente se ha determinado que = 0,06, por consiguiente Cv = 0,97. Este valor permanece constante para números de Reynolds mayores que 105, con valores menores que este, el coeficiente de velocidad Cv disminuye. Determinamos el caudal de desagüe. Q = Ac v = Ac C v 2 gH , Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 136 Principios de la Hidráulica 2 Conociendo que Ac = Ao y Ao tomamos como A, Q = A C v 2 gH , Reemplazando C v por Cq , tenemos Q = Cq A 2 gH , (5.5) Donde: Cq es el coeficiente de gasto o caudal, que para orificios pequeños es Cq = C v = 0,64·0,97 = 0,62 . Se puede ver que, el coeficiente de gasto depende en su mayoría del coeficiente de contracción y no del de velocidad. En otras palabras, la capacidad de desagüe de un orificio depende de la contracción del flujo para una misma carga H. La contracción de un flujo es perfecta cuando el orificio se encuentra ubicado a una distancia l > 3d de las paredes laterales. En caso contrario la contracción es afectada y Cq es mayor que el dado anteriormente. 5.3. FLUJO A TRAVES DE UN ORIFICIO SUMERGIDO Analicemos un orificio lo suficientemente sumergido con flujo estacionario como el presentado en la figura 5.5. Figura 5.5 Flujo a través de un Orificio Sumergido Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 137 Principios de la Hidráulica 2 Determinamos la velocidad en la sección 2-2 en base a la ecuación de Bernoulli entre 1-1 y 2-2. H1 + v12 v v 2 = H2 + + 2 2g 2g 2g En este caso se podría considerar que existe una velocidad de acercamiento, por consiguiente. H1 − H 2 + 2 v1 v2 v2 = + 2g 2g 2g , de donde, v= como: Cv = 1 + 1 + ,y; 2 g ( H 1 − H 2 + v1 / 2 g ) , 2 H1 − H 2 = H v = C v 2 g (H + v1 / 2 g ) 2 (5.16) La ecuación obtenida es similar a la del flujo libre, ecuación (5.4), pero como se ve, la magnitud de la velocidad depende de la diferencia de niveles de las superficies libres o niveles energéticos. El caudal se determina con la ecuación, Q = Cq A 2 g (H + v1 / 2 g ) 2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (5.7) Página 138 Principios de la Hidráulica 2 Si, la velocidad de acercamiento V1 = 0, tenemos que el caudal es: Q = CqA 2 gH (5.7)’ Experimentalmente se ha demostrado que los valores de los coeficientes, Cv y Cq son los mismos que para flujo libre. En el caso de dos o más orificios, la velocidad de salida del flujo a través de éstos es la misma, independientemente de la profundidad a la que se encuentran, ya que la velocidad depende de la diferencia de los niveles energéticos existentes, ecuación (5.7)´, cómo se ve en la figura 5.6, v1 = v2. Figura 5.6 Velocidad para Varios Orificios Sumergidos Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 139 Principios de la Hidráulica 2 5.4. DESCARGA LIBRE A TRAVES DE UN ORIFICIO GRANDE Para orificios grandes, con una abertura a > 0,1H, el diagrama de velocidad en la sección contraída no es posible considerarle constante, estableciéndose en esta sección un diagrama de velocidades como el mostrado en la figura 5.7. Figura 5.7 Flujo Libre a través de un Orificio Grande La determinación del caudal para un orificio rectangular (muy frecuentes en obras hidráulicas), es posible mediante el siguiente procedimiento: Para una sección infinitesimal de flujo, dA = bdH, es posible aplicar la formula de flujo a través de orificios pequeños, así: dQ = Cq dA 2 gH = Cq b 2 gH dH , Integrando la ecuación entre H1 y H2 obtenemos el caudal total del orificio, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 140 Principios de la Hidráulica 2 H2 Q = Cq b 2 g H dH , H1 y, Q = (2 / 3)Cq b 2 g ( H 2 3/ 2 − H1 3/ 2 ) (5.8) Ecuación con la que determinamos el caudal que pasa a través de un orificio grande, sin embargo, no es muy exacta ya que al integrar se considera que Cq = constante. Y este coeficiente puede variar de acuerdo a las condiciones de ubicación del orificio. 5.5. FLUJO A TRAVES DE TOBERAS O PARED GRUESA Toberas se llaman a los tubos cortos en los cuales es posible despreciar las pérdidas por longitud, y pueden ser de diferentes formas: cilíndricas, cónicas convergentes o divergentes, abocinadas /boquillas), etc. Figura 5.8. Figura 5.8 Tipos de Toberas (a. Venturi; b. Interior; c. Convergente; d. Divergente; e. Boquilla) Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 141 Principios de la Hidráulica 2 Existe una longitud mínima que debe tener una tobera, que es la condición de pared gruesa, o sea l > (3 a 4)d. Además, su carga H no debe ser mayor a Hlim valor que definiremos posteriormente. En una tobera el flujo a la salida ocupa toda la sección de salida, por consiguiente, el coeficiente de contracción = 1,0 y el coeficiente de gasto es igual al de la velocidad Cq = Cv. 5.5.1. Velocidad y Gasto en una Tobera Al entrar a la tobera el flujo se contrae por causas explicadas anteriormente y la velocidad en la sección n-n, figura 5.9, es igual a la del flujo sin tobera y mayor que la velocidad a la salida de esta, vc > v. La contracción del flujo, con su aumento de velocidad, condiciona el aparecimiento de vacío en la sección n-n. En realidad este debe existir ya que, según la ecuación de Bernoulli, para un mismo plano el aumento de velocidad produce una disminución de presión, y siendo la presión a la salida de la tobera la atmosférica, en la sección n-n debe ser menor a ésta. La ecuación de Bernoulli para las secciones 1-1 y 2-2 es: 2 v1 v2 H+ = + h1−2 2g 2g Las pérdidas de carga están conformadas por las de contracción a la entrada hasta la sección n-n y las de expansión en la zona posterior a esta sección (las pérdidas por longitud se consideran despreciables desde el concepto mismo de tobera). De esta forma las pérdidas son iguales a: vc (vc − v) 2 = + , 2g 2g 2 h1−2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 142 Principios de la Hidráulica 2 Figura 5.9 Flujo a través de una Tobera Despreciando la altura de velocidad en la sección 1-1 la ecuación queda: v (v − v) 2 v2 H= + c + c , 2g 2g 2g 2 Conociendo que; v c = v 2 v2 v2 v2 1 H= + + − 1 , 2g 2 g 2 2 g de donde, v= 1 1 + +(1 −1) 2 2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 2 gH = Cv 2 gH Página 143 Principios de la Hidráulica 2 Considerando que: = 0,06 y = 0, 64; entonces Cv = 0,82. Como el flujo en la sección 2-2 llena toda el área interior de la tobera, Cq = Cv = 0,82 , El caudal de igual manera determinamos con la ecuación (5.5). 5.5.2 Formación de Vacío en las Toberas La ecuación de Bernoulli entre las secciones 1-1 y n-n es: po 2 pc 2 v v H+ = + c + c , 2g 2g de donde: po − pc 2 = hvac = vc (1 + ) − H , 2g pero, vc = v y v = Cv 2 gH , hvac = (1 + ) hvac 2 Cv H −H , 2 Cv 2 = H 2 (1 + ) − 1 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (5.9) Página 144 Principios de la Hidráulica 2 Conocido que: = 0,06; Cv = 0,82 y = 0,64; entonces hvac 0,75H (5.10) De esta ecuación se puede determinar el valor máximo de la carga H. Siendo que el máximo valor de vacío es igual a: hv max = p at , La carga límite por condición de vacío máximo es: H lim 1,3 pat , (5.11) Este valor límite nos informa que, para una carga mayor el flujo pierde continuidad, por lo que es necesario adoptar o diseñar toberas con entrada gradual y otras precauciones como la aireación del flujo. A continuación se presentan ciertos valores de coeficientes para diferentes toberas y boquillas para números de Re > 105. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 145 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 5.1 Coeficientes para Orificio y Toberas FIGURA Cv Cq 0,64 0,97 0,62 1,0 0,82 0,82 0,98 0,96 0,94 OBSERVACION = 13º 1,0 0,5 0,5 5°< < 13° 1,0 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 0,7 0,7 Página 146 Principios de la Hidráulica 2 5.6. FLUJO BAJO COMPUERTAS La regulación de caudales en orificios, canales y vertederos, se realiza por medio de compuertas, y en éstas, la cantidad de flujo que se escurre es proporcional a la abertura de la compuerta. Las compuertas pueden tener diferentes formas, las más comunes son las planas y las de forma de un segmento de circunferencia. En la figura 5.10 a, b se muestran ejemplos de éstas. a. Compuerta Plana b. Compuerta Tipo Segmento Figura 5.10 Flujo Bajo Compuertas Los flujos al pasar bajo las compuertas sufren una contracción en el plano vertical y a cierta distancia de la compuerta se observa la formación de un tirante contraído hc, igual a: hc = a , (5.12) donde; es el coeficiente de contracción vertical. En el análisis del escurrimiento bajo compuertas se considera el flujo bidimensional, el coeficiente de contracción solo corresponde al plano vertical, las contracciones laterales pueden considerarse en base a la ecuación (4.22). Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 147 Principios de la Hidráulica 2 5.6.1. Flujo Bajo una Compuerta Plana no Sumergida Anotemos la ecuación de Bernoulli para una sección anterior a la compuerta y la sección del tirante contraído, figura 5.10 a) 2 2 2 v v v H + o = hc + c + c , 2g 2g 2g en donde; 2 g ( H o − hc) = vc (1 + ) , 2 o, vc = 1 (1 + 2 g ( H o − hc) , vc = C v (2 g ( H o − hc) , Además; hc = a, vc = C v 2 g ( H o − a) (5.13) En la sección del orificio la velocidad media es, v = vc = C v 2 g ( H o − a) . Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 148 Principios de la Hidráulica 2 El caudal Q = ab v = ab C v 2 g ( H o − a ) o, Q = ab Cq 2 g ( H o − a) (5.14) El coeficiente de contracción depende del grado de abertura a la compuerta y de la carga H. Para pequeñas aberturas (a/H < 0,1 y Re > 105), el coeficiente de contracción es = 0,615. Si la relación a/H > 0,75 el escurrimiento corresponde a un flujo sobre un vertedero o un canal con una perturbación que produce una pérdida de forma. Los valores de para 0,1 < a/H < 0,75, están dados por la ecuación: 𝑎 𝑎 2 𝑎 3 𝜖 = 0,6089 + 0,0787 ( ) − 0,1944 ( ) + 0,3489 ( ) 𝐻 𝐻 𝐻 El coeficiente de velocidad para compuertas planas en canales es Cv = 0,96 y si se encuentran sobre vertederos curvos Cv = 0,85 a 0,95. La determinación de la abertura necesaria para descargar un caudal dado se realiza por aproximaciones sucesivas (tanteo), tomando el coeficiente de contracción = 0,62 como primera aproximación. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 149 Principios de la Hidráulica 2 5.6.2 Compuertas Inclinadas y Curvas Las ecuaciones que se obtuvieron para compuertas planas verticales, son válidas y para compuertas inclinadas y curvas, como las presentadas en la figura 5.11. Figura 5.11 Compuertas Inclinada y Radial Indudablemente, los coeficientes de contracción y caudal son diferentes a los obtenidos para compuertas planas verticales. En este caso, depende del ángulo de inclinación de la compuerta con respecto a la horizontal. Mientras mayor es el ángulo mayor es la contracción y menores son el coeficiente y el caudal. El coeficiente de contracción para valores de < 90º se determina con la fórmula de K. Jimitsky. = 1 1 + 0,53sen3 (5.15) Para valores de > 90º el coeficiente de contracción es demasiado pequeño por lo que no se recomienda el diseño con ángulos de estas magnitudes. Para compuertas con el borde inferior redondeado o compuertas cilíndricas, el coeficiente de contracción se aproxima a la unidad. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 150 Principios de la Hidráulica 2 Para una compuerta ubicada sobre un vertedero de perfil práctico, el coeficiente de velocidad Cv = 0,95 y los valores del coeficiente de contracción se determina con la tabla 5.2 o la ecuación (5.15) según sea el caso. EJEMPLO 5.1 Tres cámaras están comunicadas entre sí por toberas y orificio como se muestra en la figura 5.12. Determinar el caudal y los niveles de las superficies libres en cada cámara, si el diámetro de la tobera d1 = 0,1m; el de la tobera cónica d2 = 0,2m y el diámetro del orificio d3 = 0,1. La diferencia total de los niveles es H = 5m. Figura 5.12 Flujo a través de Varios Orificios La ecuación (5.5) se cumple para todos los casos y considerando que Q1 = Q2 = Q3, Cq1 A1 2 gh1 = Cq 2 A2 2 gh2 , y Cq1 A1 2 gh1 = Cq3 A3 2 gh3 , de donde: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 151 Principios de la Hidráulica 2 h2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 Cq1 A1 Cq 2 A2 h1 = h1 (Cq1 / Cq 2 ) 2 (d1 / d 2 ) 4 y h3 = Cq1 A1 Cq 3 A3 h1 = h1 (Cq1 / Cq 3 ) 2 (d1 / d 3 ) 4 Geométricamente tenemos que H = h1 + h2 + h3 , y, según la tabla 5.1, Cq1 = 0,82; Cq2 = 0,94 y Cq3 = 0,62: obtenemos: h2 = (0,82 / 0,94) 2 (0,1 / 0,2) 4 h1 = 0,0476h1 , h3 = (0,82 / 0,62) 2 (0,1 / 0,1) 4 h1 = 1,7492h1 así, H = h1 + 0,0476h1 + 1,7492h1 = 5 de donde: h1 = 1,79m ; h2 = 0,09m y h3 = 3,12m El caudal obtenemos con h1 en la ecuación (5.5) Q = 0,82 (0,05) 2 19,6 1,79 = 0,0381m 3 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 152 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO VI CONJUGACION DE AGUAS Como Conjugación de Aguas entendemos a los fenómenos físicos que suceden en cambios de pendientes o niveles en los canales, especialmente en lo relacionado a la forma de la superficie libre y todas las características del flujo. En este capítulo analizaremos las conjugaciones de aguas más comunes que se presentan en las obras hidráulicas. 6.1. CAMBIOS DE PENDIENTES EN CANALES Para diferentes pendientes del lecho de un canal la profundidad normal no es la misma, ya que a un cambio de pendiente le corresponde un cambio de profundidad. Existen varias combinaciones de valores de las pendientes, pero solo analizaremos las que producen cambios de un régimen a otro. 6.1.1 Cambio de Régimen Fluvial a Torrencial El paso de régimen fluvial a torrencial en canales, para flujo estacionario, se produce al cambio de pendiente de is < icr a una pendiente is > icr. Como se estudió en el Capítulo III, para todos los casos de régimen fluvial el tirante normal siempre está sobre el tirante crítico y para el torrencial éste está bajo el tirante crítico, por lo que la superficie libre que se forma es una curva de derrame, la cual pasa por el valor correspondiente a la profundidad crítica, figura 6.1. Figura 6.1 Conjugación de Aguas de Régimen Fluvial a Torrencial Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 153 Principios de la Hidráulica 2 La superficie libre en este proceso no sufre cambios bruscos de profundidad y el tirante pasa de un valor normal a otro de manera gradual. 6.1.2 Cambio de Régimen Torrencial a Fluvial La conjugación de aguas es mucho más compleja en el paso de régimen rápido a fluvial, éste corresponde a una pendiente inicial is > icr y pasa a is < icr. En estas condiciones de paso de régimen, la superficie libre tiene un cambio brusco y es siempre a través del fenómeno físico llamado resalto hidráulico, figura 6.2. Figura 6.2 Conjugación de un Régimen Torrencial a un Fluvial 6.2. EL RESALTO HIDRAULICO El paso del flujo supercrítico a subcrítico solo es posible con la formación del llamado salto o resalto hidráulico, que no es más que una elevación brusca de la superficie libre. El resalto hidráulico puede tener dos formas: la primera con la formación de un remolino superficial figura 6.3a, llamado resalto directo y la segunda con la formación de una onda, que se transmite aguas abajo, llamado resalto ondulado. Figura 6.3b. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 154 Principios de la Hidráulica 2 Los principales elementos geométricos del resalto directo son: la primera y segunda conjugadas h1 y h2, y son los calados en las secciones anterior y posterior al resalto hidráulico; la altura del resalto h = h2 − h1 ; la longitud de resalto ls, que, en este caso, corresponde a la proyección del remolino del resalto a la horizontal. El punto B, en la figura 6.3a, nos marca el término del remolino superficial o la línea divisoria entre el flujo y el contraflujo superficial. Hay una zona posterior a la del resalto, lps, en la cual las macro turbulencias y la disipación de energía producidas por el resalto se mantienen todavía. Figura 6.3a Resalto Hidráulico Directo Figura 6.3b El Resalto Hidráulico Ondulado Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 155 Principios de la Hidráulica 2 6.2.1 Ecuación del Resalto para un Cauce Prismático Una de las principales tareas en el estudio del resalto hidráulico es la determinación de sus conjugadas h1 y h2, y es posible tomando como volumen de control la zona del resalto y aplicado el concepto de cambio de cantidad de movimiento, figura 6.4. Suponiendo una pendiente casi horizontal, despreciando las fuerzas de resistencia y aplicando el cambio de cantidad de movimiento para las secciones 1 y 2 tenemos: P1 − P2 = − o1 v1 A1 + o 2 v2 A2 , 2 2 2 donde; o1 o 2 1,0 P1 = A1Z1 ; P2 = A2 Z 2 Z1 y Z2 son las profundidades a los centroides de A1 y A2. Figura 6.4 Volumen de Control en el Resalto Hidráulico Así, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 156 Principios de la Hidráulica 2 Q 2 Q 2 A1Z1 − A2 Z 2 = − + , gA1 gA2 simplificando y agrupando: Q2 Q2 + A1Z1 = + A2 Z 2 , gA1 gA2 (6.1) a ésta se le conoce como ecuación principal del resalto hidráulico. Y tenemos que los únicos parámetros variables son; el área y la profundidad al centroide Z, de esta manera: Q2 + ZA = f (h) , gA la función f (h ) se le denomina función del resalto, por lo que la ecuación (6.1) está representada por: f (h1 ) = f (h2 ) Gráficamente esta ecuación se muestra en la figura 6.5. La determinación de una de las conjugadas, es posible, si se conoce la otra conjugada, con la ayuda de la ecuación (6.1). La función del resalto hidráulico posee un valor mínimo y éste corresponde a la profundidad crítica, figura 6.5. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 157 Principios de la Hidráulica 2 Figura 6.5 Gráfica de la Función del Resalto Para cauces rectangulares en la ecuación (6.1) tenemos que: A = bh y Z = h/2, de donde h Q 2 h1 Q2 + bh1 = + 2 bh2 , gbh1 2 gbh2 2 dividiendo para b, Q2 gb 2 1 1 h2 2 − h1 2 − = , 2 h1 h2 2Q 2 gb 2 h2 − h1 = (h2 − h1 )(h1 + h2 ) , h h 1 2 o, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 158 Principios de la Hidráulica 2 simplificando en (h2 – h1) y como Q2/gb2 = hcr3 obtenemos 2 2 h1h2 + h1 h2 − 2h 3 cr = 0 , (6.2) de donde: h h1 h2 = 1 + 8 cr 2 h1 3 h h2 h1 = 1 + 8 cr 2 h2 3 − 1 , (6.3) − 1 (6.4) y, La relación (hcr / h1 ) 3 = Q 2 /( gb 2 h1 2 h1 ) = v1 2 / gh1 = Fr1 2 , por lo que: h1 = h2 2 1 + 8Fr 2 − 1 2 (6.3)’ h2 = h1 2 1 + 8Fr 1 − 1 2 (6.4)’ y 6.2.2 Pérdida de carga en el Resalto De la aplicación de la ecuación de Bernoulli y el uso de la función del resalto ecuación (6.1), se tiene que la pérdida en el resalto hidráulico es Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 159 Principios de la Hidráulica 2 hr = (h2 − h1 ) 3 = E . 4h1h2 (6.5) Este valor corresponde a la pérdida de energía o energía disipada en todo el resalto hidráulico, que corresponde a la longitud del remolino más la longitud donde la variación de velocidad, con respecto a la zona de aguas abajo, es despreciable. Investigaciones realizadas por Kusnetzov (1983) nos demuestran que, la energía disipada en el remolino del resalto hidráulico es una parte de la energía calculada con la ecuación (6.5), la diferencia de energía es la que se disipa en una zona posterior a éste. Según Kusnetzov, la energía que se disipa en la zona misma del resalto hidráulico es: 2 2 v v Es = h1 + 1 − h2 − cr 2g 2g (6.6) Y la energía que se disipa en la zona posterior al resalto, 2 E ps = h2 + 2 vcr v − ha − a , 2g 2g (6.7) donde: va y ha son la velocidad y el calado de aguas abajo del resalto, si ha = h2. 2 2 v v E ps = cr − 2 2g 2g (6.8) La condición para la existencia de un resalto directo es de que (Fr1)2 > 3, para valores 1< (Fr1)2 < 3 tenemos el resalto ondulado. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 160 Principios de la Hidráulica 2 Para el resalto hidráulico ondulado, figura. 6.3b, la altura desde el lecho del cauce hasta la cima de la primera onda se determina con la ecuación de Kusnetzov: 2 h h2 = h1 + 0,5 cr − 0,16hcr h1 (6.9) 6.2.3 Longitud del Resalto Hidráulico Según Taraymovich (1966), Ohtsu (1990) y Márquez (2006), en el resalto hidráulico se pueden considerar tres longitudes características, figura 6.6: ̅̅̅̅ ). a) La longitud del remolino, ( 𝐴𝐵 b) La longitud donde el tirante se iguala al nivel de aguas abajo, ( ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ). c) La longitud donde la velocidad del flujo se estabiliza y no difiere ̅̅̅̅). Longitud a la que significativamente de la velocidad de aguas abajo, (𝐴𝐷 prácticamente la energía del resalto se disipa completamente. Figura 6.6 Longitudes en el Resalto Hidráulico Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 161 Principios de la Hidráulica 2 La longitud del remolino ls se determinar con la ayuda de varias ecuaciones empíricas como las siguientes: Einwachter 𝑙𝑠 = 8,3ℎ1 (𝐹𝑟1 − 1) , Kumin ls = 5,67(h2 − h1 ) , Kusnetzov ls = 16,7(hcr − h1 ) , Ohtsu ls = 3,7h2 , Pavlosky ls = 2,5(1,9h2 − h1 ) , Sáfranez ls = 6h1 Fr1 , Sandoval 𝑙𝑠 = ℎ1 (−0,1𝐹𝑟12 + 7,5𝐹𝑟1 − 4,1) , Schaumián ls = 3,6(h2 − h1 )(1 + h1 / h2 ) 2 , (6.10) Al ser la ecuación de S. Kusnetzov de origen semiempírico es la que se recomienda para su uso. Para determinar la longitud a la que el nivel de las profundidades se igualan ls 2, ̅̅̅̅ ), figura 6.6, se pueden sugerir las siguientes expresiones: (𝐴𝐶 Márquez 𝑙𝑠2 = 9,8ℎ1 (𝐹𝑟1 − 1) , Silvester 𝑙𝑠2 = 9,5ℎ1 (𝐹𝑟1 − 1)1,01 , USBR 𝑙𝑠2 = 6,1ℎ2 , Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (6.11) Página 162 Principios de la Hidráulica 2 Woycicki ℎ 𝑙𝑠2 = (ℎ2 − ℎ1 ) (8 − 0,05 ℎ2 ) , 1 Con fines prácticos, para el diseño de protecciones del lecho del cauce aguas abajo, es importante conocer la longitud posterior al remolino del resalto figura ̅̅̅̅-𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ), para lo cual existen las siguientes expresiones: 6.6, lps =lT - ls ; (𝐴𝐷 Chertousov Kumin 𝑙𝑝𝑠 = 2,5𝑙𝑠 , 𝑙𝑝𝑠 = 8ℎ𝑐𝑟 , Ohtsu 𝑙𝑝𝑠 = 3,9ℎ2 , Vuizgo l ps = 0,4ho / n (6.12) ho - es el tirante normal aguas abajo (h2) y, n - coeficiente de rugosidad del lecho. 6.3. CONJUGACION DE AGUAS EN VERTEDEROS La lámina líquida que se derrama sobre el cimacio del vertedero llega a aguas abajo a gran velocidad, lo que corresponde a un régimen supercrítico y las condiciones físicas de aguas abajo, generalmente, corresponden a un flujo subcrítico, por lo que se tienen todas las condiciones para que se forme el resalto hidráulico. La solera de aguas abajo es horizontal o con una ligera pendiente, por lo que, es necesario un radio de transición entre la curvatura del vertedero y la pendiente de la solera, figura 6.7. La transición se logra trazando dos líneas tangentes al vertedero y a la solera, en cuya bisectriz se encuentra ubicado el centro del radio R, dado por la siguiente expresión: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 163 Principios de la Hidráulica 2 R 5hc (6.13) Figura 6.7 Cambio de Pendiente tras un Vertedero Desde el punto de vista hidráulico, el resalto puede presentarse de las siguientes tres posiciones posibles, figura 6.8. I. resalto libre y corrido, II. resalto libre al pie de presa, III. resalto sumergido. Figura 6.8 Ubicación del Resalto Aguas Abajo de un Vertedero Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 164 Principios de la Hidráulica 2 El criterio de estas tres ubicaciones es la siguiente: Si, ha < h2 el resalto está libre y desplazado hacia aguas abajo a cierta distancia de la presa; ha = h2 el resalto está libre al pie de la presa, en una posición llamada crítica (al pie del vertedero); ha > h2 el resalto se encuentra sumergido. Estos criterios del resalto también se aplican en el caso de flujos bajo compuertas. 6.3.1 TIRANTE CONTRAÍDO AL PIE DE LA PRESA. Determinemos la posición del resalto hidráulico en un cambio de pendiente de i > icr a i <icr, como el mostrado en la figura 6.8; supongamos que el resalto se forma inmediatamente en la sección de cambio de pendiente (II forma). En este caso el calado hc corresponde a la primera conjugada del resalto y ha a la segunda conjugada, entonces ha = h2 = hc 2 1 + 8Frc − 1 2 En el caso de que ha sea menor a la segunda conjugada h2, el resalto se desplaza hacia aguas abajo a la distancia l, en la cual, forma una curva de remanso hasta el instante en que la profundidad del resalto hidráulico h1, tiene como segunda conjugada h2 igual a ha. Con el fin de determinar, cuál es la segunda conjugada h2 que se necesita para las condiciones dadas de aguas abajo, hay que determinar la profundidad contraída hc que se establece al pie de la presa, figura 6.9. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 165 Principios de la Hidráulica 2 Figura 6.9 Determinación del Calado Contraído Supongamos que tenemos dados el caudal Q y la caída T. Apliquemos la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2. T + v0 / 2 g = hc + vc / 2 g + vc / 2 g , 2 2 2 Si, T0 = T + v0 2 / 2 g , remplazando tenemos; To = hc + vc ( + ) / 2 g , 2 To = hc + Q2 ( + ) , 2 b 2 hc 2 g de donde; Q= Ing. Washington Sandoval E., Ph.D 1 b hc 2 g (To − hc ) , + Página 166 Principios de la Hidráulica 2 conocemos que, Cv = 1 , reemplazando y despejando: + hc = Q b C v 2 g (To − hc ) (6.14) Como ésta es una ecuación de tercer grado, se resuelve por aproximaciones sucesivas. Como primer valor de hc se toma: hc Q b Cv 2 gTo El coeficiente de velocidad depende del tipo de vertedero y de su altura. Para presas pequeñas de perfil Creager Cv = 0,97; una mejor apreciación de este coeficiente se obtiene con la ecuación (6.21). En el caso de compuertas sobre los vertederos estos coeficientes son menores (Cv=0,90). En la práctica de la ingeniería hidráulica, conocemos la profundidad del sector de aguas abajo ha, por lo que se procede de la siguiente manera: Tomamos h2 = ha y calculamos la primera conjugada del resalto h1 = ha 2 1 + 8Fr −1 , 2 a y comparamos: si, h1 > hc, el resalto está corrido; y para h1 = hc el resalto está al pie del vertedero, y si hc > h1 el resalto está sumergido. En el caso de que el resalto esté alejado del pie de la presa, se debe dibujar la curva de remanso en la longitud tal que hc se una con h1 en base a algún método dado en el Capítulo III. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 167 Principios de la Hidráulica 2 Como el desplazamiento del resalto hacia aguas abajo acarrea mayores gastos en la protección del lecho del cauce. Es frecuente que, en obras de ingeniería la conjugación de aguas se diseña de tal manera que, el resalto se encuentra a pie de presa o ligeramente sumergido con un coeficiente de inmersión ns = 1,05 a 1,10 que tendría como fin el evitar la socavación del lecho. Para evitar el corrimiento del resalto del pie de la presa, para cuando h2 > ha, se diseña un colchón de aguas, que permite controlar la posición del resalto hidráulico y concentrar, en lo posible, la disipación de la energía en un solo sitio. Existen varias formas de crear un colchón de aguas, los más comunes son: Mediante un estanque tipo pozo, con un muro o pared y la combinación de estos. 6.3.2 Colchón de Aguas Tipo Pozo En la figura 6.10 se muestra un colchón de aguas tipo pozo, el cual debe tener suficiente profundidad d para que el resalto y sus turbulencias no se desplacen hacia aguas abajo. Figura 6.10 Colchón de Aguas Tipo Pozo Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 168 Principios de la Hidráulica 2 El cálculo del colchón de aguas consiste en determinar la profundidad del pozo d y la longitud lp. Para un funcionamiento normal del pozo, hp tiene que ser mayor o igual a la segunda conjugada del resalto, tomada como primera conjugada la profundidad contraída. h1 = hc y h p = ns h2 En donde, h p = ns hc 2 1 + 8Frc − 1 2 (6.15) De igual manera, de la figura 6.10 tenemos que, h p = d + ha + Z , (6.16) Igualando y despejando obtenemos la profundidad de pozo; d = ns hc 2 1 + 8Fr − 1− h − Z 2 a (6.17) Donde: hc se determina según (6.14), hc = Q b Cv 2 g (To + d − hc ) , (6.17)’ Z - se determina como una pérdida de carga a la entrada de un vertedero de cresta ancha, o entrada a un canal; Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 169 Principios de la Hidráulica 2 Q2 Q2 Z = − , 2 2 2 2 2 2 gCv ba ha 2 gb p h p (6.18) Q2 1 1 Z = − 2 2 2 2 2 gb C v ha hp (6.18)’ Aquí, Cv = 0,8 a 0,9; La dependencia de todas las magnitudes del valor de d implica una resolución por aproximaciones sucesivas. La longitud del pozo lp se diseña de tal manera que en éste quepa el resalto hidráulico. Según Pavlovsky lp se puede tomar aproximadamente igual a la longitud del remolino. l p = (1,0 a 0,8)ls (6.19) El USBR y otros autores recomiendan tomar igual a la longitud ls2, ecuaciones 6.11. 6.3.3 Colchón de Aguas Tipo Muro En la mayoría de los casos, económicamente no conviene que el pozo sea muy profundo, ya que esto produce un aumento del volumen de obras y por ende un aumento de los costos. Para ciertos casos es posible la construcción de un muro cuya función es mantener al resalto sumergido al pie de la presa, figura 6.11. El cálculo hidráulico del muro es más sencillo que el cálculo de la profundidad del pozo, y utilizamos la ecuación (6.15), h p = ns Ing. Washington Sandoval E., Ph.D hc 2 1 + 8Fr −1 , 2 c Página 170 Principios de la Hidráulica 2 hc = Q bCv 2 g (To − hc ) Figura 6.11 Colchón de Aguas Formado por un Muro De la figura 6.11, tenemos que hp = Hp + C, de donde: C = hp − H p , (6.20) y Hp es la carga sobre el muro, el cual se calcula como un vertedero, Q = mb 2 g H p 3/ 2 Un diseño más económico del colchón de aguas se obtiene de la combinación de un pozo con un muro, cuyo cálculo hidráulico es la combinación de los dos métodos expuestos anteriormente, figura 6.12. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 171 Principios de la Hidráulica 2 Figura 6.12 Colchón de Aguas Formado con un Pozo y Muro 6.4 CAIDAS Se entiende como caída a una variación brusca de niveles del terreno, entre los cuales se deben diseñar las obras hidráulicas necesarias para la conjugación de las aguas de arriba con las de abajo. Las obras hidráulicas más frecuentes en estos casos son las Rápidas y los Escalones. Entendiéndose como rápidas a los canales de pendiente pronunciada is > icr, y escalones la sucesión de varias caídas libres del flujo, hasta vencer la depresión. 6.4.1 RÁPIDAS Los elementos constitutivos de una rápida son: Canal de entrada, sección de entrada o vertedero, canal de pendiente pronunciada, estanque de disipación y canal de salida o de empate con aguas abajo, figura 6.13. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 172 Principios de la Hidráulica 2 Figura 6.13 Esquema de una Rápida La sección de control, generalmente, se diseña como un vertedero de cresta ancha o de perfil redondeado, figura 6.13, ya que ésta obra se utiliza para regulación de caudales por descarga libre o mediante compuertas y sirve de unión entre el canal de acercamiento y la rápida misma (el canal de acercamiento puede o no existir). En algunos casos, en este tramo se prevé una reducción del flujo, que puede ser gradual o brusca. El canal de régimen torrencial (supercrítico) se diseña de sección rectangular y el cálculo hidráulico consiste en determinar el tirante normal, el tirante crítico y la variación de la superficie libre en éste, que es de derrame. La profundidad del flujo en la sección de entrada del canal se toma igual al tirante contraído tras el vertedero (en el caso de estar presente) y al tirante crítico, si el derrame es directo (sin vertedero). Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 173 Principios de la Hidráulica 2 El tirante al final de la rápida se puede apreciar, de manera aproximada, suponiendo que se tiene al final del canal un tirante contraído, calculado con la ecuación (6.14), cuyo coeficiente de velocidad Cv se determina con la siguiente expresión propuesta por V. Borovkov (1979) para rápidas con revestimiento de hormigón. 1 0,0015 1+ (T − H o ) 4 / 3 , Cv is (6.21) donde: is = sen, es la pendiente del canal. En la sección de salida es común el diseño de un colchón de aguas, tema expuesto en las páginas anteriores. Adicionalmente, puede estar presente una expansión del flujo que, generalmente, es gradual y con un grado de divergencia lateral no mayor a 7º. Esta expansión es con el fin de disminuir el caudal unitario en el sector de aguas abajo y por consiguiente la segunda conjugada del resalto, y así empatar más favorablemente con el flujo de aguas abajo. 6.4.2 ESCALONES Los escalones se utilizan para caudales relativamente pequeños en suelos firmes, de preferencia en roca. A más de las huellas y contrahuellas estas estructuras también tienen una sección de entrada y otra de empate con aguas abajo, figura 6.14. El cálculo hidráulico consiste en determinar las longitudes de las huellas y contrahuellas y por consiguiente el número de escalones. La longitud de caída libre del flujo l1 se calcula con la siguiente expresión de M. Chertousov, l1 = 1,64 H o (C + 0,24H o ) Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (6.22) Página 174 Principios de la Hidráulica 2 Figura 6.14 Escalones Hidráulicos La longitud lp, es la necesaria para contener por lo menos al resalto hidráulico y se la calcula con la ecuación (6.19), y la longitud l2 depende de la topografía y del número de huellas necesarias para vencer la caída. Desde el punto de vista hidráulico es preferible que en cada escalón se forme un colchón de aguas, ya que esto mejora notablemente la disipación de la energía. 6.5 CONJUGACION DE AGUAS CON DEFLECTOR TIPO ESQUI Un deflector tipo esquí es más conveniente que una rápida o un escalón, debido a que las obras de conjugación a ejecutarse son menores a las analizadas anteriormente y su diseño es posible siempre y cuando existan las condiciones, especialmente geológicas, para su construcción. El cálculo de este tipo de conjugación consiste en la determinación de la longitud de alcance del chorro lanzado por el deflector hacia aguas abajo, longitud que tiene que ser suficiente para no poner en peligro cualquier obra adyacente al punto de caída al chorro o el medio ambiente; y el cálculo de la profundidad de socavación que produce la caída del chorro. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 175 Principios de la Hidráulica 2 Para determinar la longitud de alcance del flujo se analiza el movimiento de una partícula que sigue la trayectoria del eje central del chorro. La solera a la salida del vertedero o canal tiene un deflector con un ángulo de desprendimiento , con el cual sale el flujo a la velocidad v1, figura 6.15. Figura 6.15 Deflector Tipo Esquí La trayectoria de la partícula del eje central se describe con la siguiente ecuación: z = x tg − gx 2 /(2v1 cos2 ) 2 (6.23) Si se conoce v1 y el ángulo del deflector . Generalmente = 25º a 35º, el alcance L del chorro es: 2 v 2 L = k a 1 cos (sen + sen2 − 2 gz2 / v1 ) , g donde: (6.24) ka es el coeficiente de aireación del flujo, que para flujos con Fr12 < 35, ka = 1; y para Fr12 > 35, ka = 0,8 a 0,9. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 176 Principios de la Hidráulica 2 z2 = - (zs + h1cos/2) Para la determinación de la profundidad de socavación hs existen varias fórmulas empíricas, una de las cuales es la propuesta por M. Vuizgo, q 0,567 ( z1 + z 2 ) / g hs = 5,13 K (d 90% + 0,2) 0,3 0 ,15 donde: (6.25) K es el coeficiente de desprendimiento del flujo del deflector (K = 1,0 a 0,4), para deflectores en vertederos de grandes presas K = 0,7. q = Q/b, caudal unitário (m3/s)/m. d90% diámetro de las partículas en mm, que corresponden al 90% de la masa del suelo en el sitio de impacto del chorro. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 177 Principios de la Hidráulica 2 EJEMPLO 6.1 Diseñar una presa vertedora y un colchón de aguas en un río que en cuya sección de cierre se tienen los siguientes datos, figura 6.16: Nivel Máximo de Aguas Arriba (NMA) = 24, Nivel del Lecho del Río = 18,5, Tirante Aguas Abajo ha = 2m, Ancho del Cauce para ha, b = 6,2 m, Caudal de Diseño Q = 29,4 m3/s. Figura 6.16 Sección de Cierre para el Diseño de una Presa A. Cálculo del Vertedero Utilizamos la ecuación (4.2). Para no afectar la magnitud del caudal unitario, la longitud de la cresta del vertedero tomamos igual a b = 6,2m. Por ser un vertedero tipo Creager-Ofizerov m = 0,49, por lo tanto: Q Ho = m b 2 g 2/3 29,4 = 0,49·6,2· 19,6 2/3 = 1,68m. Calculamos la velocidad de acercamiento vo, considerando la profundidad del flujo en Aguas Arriba, T = 24 - 18,5 = 5,5 m. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 178 Principios de la Hidráulica 2 vo = Q / bT = 29,4 /(6,2·5,5) = 0,862m / s , H = H o − vo / 2 g = 1,68 − 0,04 = 1,64m. 2 de donde: Cota de la cresta del vertedero = 24 – 1,64 = 22,36. En esta cota se ubican las coordenadas de diseño del vertedero, calculadas con la tabla 4.2, modificadas con el valor de H = 1,64. X 0,000 0,164 0,328 0,492 0,656 0,984 1,312 1,640 Z 0,207 0,059 0,011 0,000 0,011 0,098 0,241 0,420 X 1,968 2,296 2,778 3,280 4,100 4,920 5,740 6,560 Z 0,644 0,927 1,432 2,025 2,624 4,631 6,260 8,085 Determinamos el tirante contraído ecuación (6.14) tomando Cv = 0,97; hc = 29,4 6,2·0,97· 19,6(5,54 − hc ) = 0,493m. Calculamos la segunda conjugada considerando h1 = hc = 0,493m, siendo el número de Froude: Fr 2 = v1 / gh1 = (Q / bh1 ) 2 / gh1 = 9,622 /(9,8·0,493) = 19,15, 2 h2 = 0,493 1 + 8 19,15 − 1 = 2,81m, 2 ha < h2, por consiguiente el resalto se recorre del pie de la presa y es necesario el diseño de un colchón de aguas. B. Diseño del Colchón de Aguas Diseñemos un colchón de aguas tipo pozo y como primera aproximación tomamos, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 179 Principios de la Hidráulica 2 d = h2 − ha = 2,81 − 2,00 = 0,81 0,8m. La profundidad del pozo cambia las condiciones del flujo aguas abajo y por consiguiente el tirante contraído, calculándose nuevamente con la ecuación (6.14): hc = 29,4 6,2·0,97· 19,6(5,54 + 0,8 − hc ) = 0,46m , para este tirante el número de Froude es Fr2 = 23,57. La profundidad en el pozo en forma aproximada, h p d + ha = 0,8 + 2,0 = 2,8m , Tomando Cv = 0,85 (para arista viva), calculamos Z: (29,4) 2 Z = 19,6 6,2 2 1 1 − = 0,25m . 2 2,8 2 (0,85 2) Según la ecuación (6.17) tenemos: d = 1,1 (0,46 / 2) 1 + 8 23,57 − 1 − 2,0 − 0,25 = 0,98m. Tomamos d = 1,0m y realizamos una segunda iteración, con los siguientes resultados: hp = 1,0 + 2,0 + 0,25 = 3,25m. Z = 0,29m. hc = 0,45m, Fr2 = 25,19 d = 0,985m. Por razones constructivas tomamos, definitivamente, d = 1,0m, lo que aumenta ligeramente el coeficiente de inmersión. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 180 Principios de la Hidráulica 2 Siendo la cota del fondo del pozo 17,5. Figura 6.17. Determinamos la longitud del pozo lp = ls: lp = 16,7(hcr − h1 ), hcr = 3 29,4 2 /(9,8 6,2 2 ) = 1,32m, h1 = hc = 0,45m, lp = 16,7(1,32 − 0,45) = 14,53 14,5m. Para completar el cálculo de la conjugación de las aguas determinamos el radio de curvatura con el cual empatamos el vertedero diseñado con el pozo, según ecuación (6.13): R = > 5h1 = 2,25m, en este caso tomamos R = 2,3m. Las demás condiciones de conjugación se ejecutan analíticamente, geométricamente y en base a consideraciones constructivas. Figura 6.17 Diseño de un Vertedero con Colchón de Aguas Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 181 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO VII FLUJO DE SEDIMENTOS EN CAUCES ABIERTOS Los flujos, tanto en cauces naturales como artificiales, arrastran y transportan ciertas cantidades de material sólido llamado azolves o sedimentos. Formando de esta manera una corriente de dos componentes; líquido y sólido. Las partículas sólidas transportadas por el flujo se dividen en arrastre de fondo y en suspensión. El agua al pasar por cauces no revestidos ejecuta una acción de lavado del suelo, produciendo una socavación general del cauce o socavaciones parciales. Los azolves no solamente se forman por la acción de flujo, sino también por otros factores como el viento. Los sedimentos son de diferente tamaño y forma. Las partículas más grandes tienen generalmente la forma esférica o una forma cercana a ésta, o la de elipsoide que es común para los cantos rodados. Las partículas más pequeñas tienen una forma geométrica irregular o en forma de placas o láminas. Para el estudio de los sedimentos se ha sugerido caracterizar la geometría exterior a través del coeficiente de forma (Ff), para cuyo cálculo se han sugerido varias fórmulas, de las cuales las más usadas son: 2 d Ff = e , a b Ff = c a b (7.1) , (7.1)’ donde: a, b y c son las dimensiones de la partícula (longitud, ancho y espesor); de, es el diámetro equivalente al de una esfera cuyo volumen corresponde al de la partícula. El diámetro equivalente se determina con la ecuación, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 182 Principios de la Hidráulica 2 d e = 3 6V / , (7.2) aquí, V es el volumen de la partícula. También, para la determinación del diámetro equivalente se utiliza la relación, d e = (a + b + c) / 3 , (7.2)’ esta relación no es aplicable para partículas muy planas. Además del factor de forma, para caracterizar a los sedimentos se utilizan ciertos diámetros obtenidos del análisis de la curva granulométrica de todos sus componentes. 7.1. CONCENTRACIÓN DE SEDIMENTOS O TURBIDEZ Para determinar el grado de concentración de sedimentos en un flujo utilizamos el concepto de turbidez, siendo ésta la cantidad de sedimentos que contiene un volumen determinado de mezcla de agua y sedimentos. La turbidez se puede expresar en función de su masa o volumen. El caudal volumétrico de la mezcla agua-sedimentos es igual Qm = Qs + Q, (7.3) donde: Qm es el caudal de la mezcla (m3/s); Qs es el caudal de sedimentos (m3/s); Q es el caudal de agua (m3/s). El caudal másico es, m Qm = s Qs + Q , (7.4) aquí: m , s , , son las densidades de la mezcla, sedimentos y del agua (kg/m3). Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 183 Principios de la Hidráulica 2 Se considera que el valor promedio de la densidad de los sedimentos de los ríos es de s = 2650 Kg/m3. De la ecuación (7.4) obtenemos que la concentración de sedimentos Gs es, G s = s Qs , (kg/m3) (m3/s) = kg/s (7.5) por lo tanto, la turbidez media del flujo o concentración, en kg/m3, es: T = Gs/Qm (7.6) Si en esta ecuación consideramos que Qm = Q tendremos una buena aproximación del valor de la turbidez. (7.6)’ T = Gs/Q La turbidez también se expresa en partes por millón (ppm). Para ríos de llanura y montaña G. Lopatin la ecuación 7.7, en la que se observa la relación de la turbidez con el gradiente de la superficie libre I, la profundidad del flujo H, la velocidad de caída de las partículas w y a la rugosidad del cauce n. T = 4 H I /(n 2 w) , (kg/m3) (7.7) La turbidez es un parámetro que se determina experimentalmente y generalmente, los valores obtenidos por medio de ecuaciones empíricas no siempre dan valores satisfactorios o la ecuación es válida y aplicable para determinadas cuencas. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 184 Principios de la Hidráulica 2 7.2. VELOCIDAD DE CAIDA DE LAS PARTICULAS En el estudio del movimiento de los azolves uno de los factores más importantes es la velocidad uniforme de caída de las partículas en el agua en reposo w. Para determinar una relación entre la velocidad de caída w y las dimensiones de la partícula, consideremos las fuerzas actuantes sobre una partícula que cae en un fluido en reposo. Supongamos que la partícula sólida es más pesada que el agua y tiene la forma esférica, en este caso, ésta cae por la acción de la siguiente la fuerza, 1 p = d 3 g ( s − ) , 6 (7.8) Al movimiento de la partícula se opone una fuerza igual a, F = Cz A v 2 / 2g . (7.9) Aquí: Cz - es el coeficiente de arrastre o coeficiente de resistencia de la partícula; A es el área, y es igual a la proyección de la partícula a un plano normal al del movimiento; v – la velocidad relativa del movimiento de la partícula en el fluido. El coeficiente de arrastre Cz depende de muchos parámetros, entre éstos del número de Reynolds y de la forma de la partícula. En la figura 7.1 se muestra la dependencia de Cz del número de Reynolds (Re = wd/ ), para una forma esférica. Figura 7.1 Coeficiente de Arrastre Cz para Partículas Esféricas Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 185 Principios de la Hidráulica 2 Para partículas esféricas y valores pequeños de Reynolds (Re < 1), de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, se obtiene que: F = 3 wd , (7.10) De las ecuaciones (7.9) y ecuación (7.10) Cz = 24 Re (7.11) De la igualdad entre P y F se obtiene la ecuación para la determinación de la velocidad uniforme de caída w para cuando Re < 1, w = gd 2 (s / ) − 1 18 (7.12) Se ha demostrado que esta ecuación es válida hasta valores de Re 104 a 105, para diámetros de la partícula d < 0,05 mm. Los regímenes de flujo que aparecen de la interrelación de la partícula con el agua (fluido) dependen de la velocidad de caída w y del diámetro de la partícula. En el régimen laminar la velocidad de caída no depende de la forma de la partícula. En condiciones normales la zona de resistencia cuadrática (zona en la cual la velocidad de caída no depende de la viscosidad) aparece cuando Re 500. La velocidad real de caída de los sedimentos es mucho menor a la obtenida teóricamente por la ecuación (7.12), ya que en la determinación de la velocidad w no se considera la influencia de las partículas adyacentes y por tanto, la perturbación entre partículas en el proceso de caída. La ecuación (7.12) para el caso general tiene la forma: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 186 Principios de la Hidráulica 2 w= d g ( s / ) − 1 , 6 Cz (7.13) Para utilizar esta ecuación es indispensable conocer la relación experimental Cz = f(Re), para cada forma de partícula. El tamaño de las partículas de los azolves es diferente, por lo tanto poseen diferentes velocidades de caída. Para el cálculo de la velocidad media de caída, que represente a todo el flujo de sedimentos, se utiliza la curva granulométrica de éstos, la cual se la divide en varias fracciones (cuatro o cinco) y para cada fracción se determina la media aritmética de la velocidad de caída wi; w i = ( w1 + w2 ) / 2 , (7.14) o la media geométrica; w i = ( w1 + w2 + w1 ·w2 ) / 3 , (7.14)’ Donde, w1 y w2 son las velocidades de caída de las partículas extremas de cada fracción. En la tabla 7.1 tenemos las velocidades de caída en función el diámetro. Con las velocidades parciales de caída wi se calcula la velocidad media representativa de los azolves wm = 0,01 wi ·pi , (7.15) Donde, pi es el porcentaje en peso de las fracciones independientes tomadas de la curva granulométrica para el cálculo de wi. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 187 Principios de la Hidráulica 2 Tabla 7.1 Velocidad de Caída de las Partículas para Ff = 0,8, (Shterenligth, 1984) d w REGIMEN DE (mm) (m/s) CONTORNO arcilla 0,001 0,00000078 Laminar limo 0,01 0,000078 0,05 0,00195 0,10 0,01 0,50 0,06 1,00 0,12 1,50 0,17 2,00 0,21 2,50 0,25 3,00 0,27 5,00 0,35 10,00 0,49 20,00 0,69 30,00 0,85 cantos 50,00 1,10 rodados 100,00 1,55 MATERIAL arena grava 7.3. transición turbulento MOVIMIENTO DE LOS AZOLVES Para el estudio del transporte de sedimentos consideremos el movimiento de partículas correspondientes a suelos no cohesivos. Las partículas se trasladan de dos maneras: 1) En suspensión, formando los azolves que llevan el mismo nombre y, 2) Por el fondo, que a su vez pueden desplazarse rodando por el lecho del cauce o en forma de saltos que se intercalan con deslizamientos. Una misma partícula en ciertas condiciones puede ser parte de los azolves de fondo y en otras, puede pasar a formar parte de los azolves en suspensión. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 188 Principios de la Hidráulica 2 Al pasar una partícula del reposo al movimiento, en ciertos casos, se observa movimientos de deslizamiento o giro por el fondo en forma discontinua y en otros, las partículas se separan del fondo dando saltos discontinuos que permiten el traslado de las partículas hacia aguas abajo. 7.4. TRANSPORTE DE FONDO Veamos el mecanismo de acción del flujo sobre las partículas sólidas localizadas en el fondo de un cauce, Figura 7.2. En éste suponemos que el eje x coincide con la dirección del flujo. Figura 7.2 Acción del Flujo sobre Partículas del Fondo Es común el estudio de la acción de flujos sobre partículas, tanto de fondo como de suspensión, en un plano bidimensional, por lo que solo se consideran las componentes de las fuerzas px, pz y el momento que aparece con respecto al punto C de contacto con las partículas adyacentes, Figura 7.2. La componente pz corresponde a la fuerza instantánea de sustentación y es el resultado de la acción del peso propio de la partícula, el empuje ascensional y las fuerzas hidrodinámicas, tales como la viscosidad, gradiente de presión, etc. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 189 Principios de la Hidráulica 2 El gradiente de presión depende de las condiciones en las cuales se produce el desprendimiento del flujo de la partícula, por lo tanto, puede adquirir valores tanto positivos como negativos. Como resultado de la acción de las fuerzas descritas y en determinadas condiciones, la partícula puede separarse del fondo. De las observaciones realizadas por Diementev y Shterenligth, en partículas de arena, se obtuvo que la fuerza instantánea de elevación disminuya a medida que se separa la partícula del fondo, cuando no existen condiciones para mantenerla en suspensión. Al alcanzar la partícula una distancia con respecto al fondo l = 0,8d, la fuerza de elevación disminuye hasta cero. El ángulo de separación de la partícula con respecto a la horizontal es aproximadamente de 25º. La velocidad del flujo a la cual se inicia el movimiento de las partículas, se le denomina velocidad crítica de deslizamiento Vc. Para velocidades menores que ésta las partículas permanecen en reposo y para velocidades mayores, éstas se pondrán en movimiento. Existe otra manera de considerar el equilibrio de las partículas al movimiento, en base a los esfuerzos tangenciales desarrollados por el flujo, denominados esfuerzos de corte críticos c . La ecuación más sencilla para la determinación de la velocidad crítica de inicio de la erosión es; Vc = A gd (7.16) donde, d es el diámetro medio de las partículas (m); A es una coeficiente empírico para el cual se han propuesto varias maneras de determinación: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 190 Principios de la Hidráulica 2 Según Izbash, A = 1,7 s − 1 , (7.17) aquí, s es el peso específico de los sedimentos (T/m3). Studenichnikov propone la ecuación, A = 1,15( H / d )1 / 4 , (7.18) donde, H es la profundidad del flujo sobre la partícula. Para Goncharov, A = 0,95 lg(8,8H / d max ) (7.19) Además de las citadas, para la determinación del coeficiente A, existen otras ecuaciones de mayor complejidad. Analicemos la ecuación (7.16) considerando A según la ecuación (6.17). Si tenemos dos partículas de diferente diámetro d1 y d2 y deseamos encontrar la relación d1/d2 obtenemos que: 2 d1 Vc1 = d 2 Vc 2 2 (7.20) esta relación nos muestra que, si tomamos las velocidades medias de dos ríos cuya relación sea V1/V2 = ½, tenemos que la relación entre los diámetros de las partículas que pueden acarrear d1/d2 = ¼. En este caso, la velocidad de un cauce es apenas el doble de la del otro, pero es capaz de arrastrar partículas de diámetro cuatro veces más grandes. Por esta razón, los ríos de montaña transportan cantos o bloques rocosos de gran tamaño, no así los de llanura. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 191 Principios de la Hidráulica 2 Expresiones más complejas, obtenidas del análisis de estabilidad de las partículas en estado límite, son las propuestas por Mirtsjulava: para suelos no cohesivos, Vc = (lg 8,8H / d ) 2m( s − )d + C / 0,44n , (7.21) y para suelos cohesivos, Vc = (lg8,8H / d ) 2m[( s − )d + 1,5k C ] / 2,6n , (7.22) donde: m, es el factor de condiciones naturales (m = 1 para suelos cohesivos y m = 1,05 a 1,20 para no cohesivos); n, es el factor de sobrecarga, para d < 1mm, n = 1 + d /(0,05 + 0,3d ) , y para d = 1mm, n = 4; k, es la probabilidad de desviación del coeficiente de cohesión de su valor medio (k = 0,05 a 0,075); C, es el coeficiente de resistencia de las partículas al desprendimiento del suelo, para suelos cohesivos C es igual al valor de la cohesividad. Para suelos no cohesivos, C = 0,172/d Como se expreso anteriormente otra forma de analizar el transporte de sedimentos es en base a los esfuerzos de corte y los desarrollados por una corriente son: = g v 2 / C 2 , (7.23) donde, C es el coeficiente de Chezy. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 192 Principios de la Hidráulica 2 El valor obtenido con la ecuación (7.23) se compara con los valores obtenidos de esfuerzos de corte crítico c . La ecuación más sencilla para la determinación de c es la presentada por Leliavsky S. c = 1,65d . (7.24) En base a un análisis dimensional y a resultados experimentales A. Shields propuso el diagrama mostrado en la Figura 7.3, para la determinación de los esfuerzos de corte críticos. Figura 7.3 Diagrama de SHIELDS para la Determinación de los Esfuerzos de Corte Crítico. u* = c / - es la velocidad rasante; – es el espesor de la subcapa laminar, = 11,6 / u* Este diagrama tienen el único inconveniente de que no se puede determinar directamente el valor de los esfuerzos críticos, siendo necesario realizar aproximaciones sucesivas. Como primera aproximación se recomienda el valor obtenido con la ecuación (7.24). Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 193 Principios de la Hidráulica 2 El gasto de azolves de fondo por unidad de ancho qf (caudal unitario) es posible determinar con la ayuda de la ecuación de Levi I. para valores de d/H > 1/300; q f = 2(v / gd ) 3 (d / H )1 / 4 (v − vc )d , (7.25) donde: v, es la velocidad media del flujo; vc, la velocidad crítica de iniciación del movimiento de las partículas. El gasto unitario de azolves qf está dado en kg/s por cada metro de ancho. 7.3.1. Formas del Fondo La separación de las partículas del fondo así como su asentamiento implican que el perfil del lecho o solera del cauce sufrirá ciertas transformaciones en su forma. Anteriormente, anotamos que el inicio del movimiento de las partículas depende de una velocidad crítica, el transporte de sedimentos depende de la velocidad del flujo, por tal razón la forma del perfil del fondo también dependerá de la velocidad. Las fuerzas principales actuantes en el transporte de sedimentos son las gravitacionales, por esta razón, para caracterizar los perfiles del fondo, se utiliza el número de Froude (Fr2 = v2/gH). Las diferentes formas del fondo que se producen por la acción del flujo, se muestran en la figura 7.4. Inicialmente suponemos que tenemos un perfil casi horizontal (figura 7.4a). Si el flujo tiene una velocidad mayor que la crítica para el inicio del movimiento de las partículas, pero Fr << 1, éste tomará la forma de un sistema de rizos (figura 7.4b), que en realidad es un sistema de ondas Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 194 Principios de la Hidráulica 2 asimétricas que se forman del material en un movimiento. La longitud de los rizos son 0,5 a 2 veces su altura. Figura 7.4 Formas del Fondo de un Cauce a) Forma Inicial de la Solera; b) Formación de Rizos en el Fondo; c) Rizos y Dunas; d) Dunas; e) Horizontal; f) Ondas; g) Antidunas. Si la velocidad del flujo aumenta, los rizos pasan a formar ondas asimétricas de mayor tamaño llamadas dunas (figura 7.4c y d). La longitud de las dunas es, aproximadamente, 5 a 30 veces su altura. Al alcanzar el número de Fraude un valor igual a la unidad los rizos y las dunas desaparecen y el fondo prácticamente se vuelve horizontal (figura 7.4e). Si el número de Fraude aumenta a más de la unidad, se forma un sistema de ondas simétricas (figura 7.4f) y posteriormente toma la forma de un sistema de antidunas (figura 7.4g) si continúa aumentando Fr. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 195 Principios de la Hidráulica 2 Todas las formas estudiadas no son estables con respecto a su posición, sino que se trasladan en dirección del flujo en el transcurso del tiempo. 7.4. AZOLVES EN SUSPENSION Las partículas, una vez que se han desprendido del fondo bajo la acción de las fuerzas hidrodinámicas actuantes, pueden mantenerse en suspensión trasladándose tanto en dirección del flujo como en sentido vertical. La velocidad de la partícula en el sentido vertical es fluctuante, tomando tanto valores positivos como negativos. La velocidad a la cual las partículas pasan al estado de suspensión se denomina velocidad sin sedimentación vss o velocidad de transporte (velocidad media a la cual las partículas no se sedimentan). Esta velocidad para Joukovsky se determina con la ecuación; v ss = 0,24 + 0,29H . (7.26) Según Kennedy esta velocidad es igual a; vss = cH b , (7.27) Donde, c y b son coeficientes que dependen del tipo y concentración de sedimentos y se determinan experimentalmente para cada cauce y cuenca (c = 0,8 a 1,1 ; b = 0,64 a 0,66). Las ecuaciones de Joukovsky y Kennedy son de uso muy frecuente debido a la sencillez de éstas. Existen ecuaciones más complejas como las propuestas por Studenichnikov B. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 196 Principios de la Hidráulica 2 vss = 0,9 g ( s / ) − 1( H d )0,15 , (7.28) y por Levi I.; v ss = 0,01( w / d )(%d 0, 25 / 0,01) 0, 25 (0,0225/ n) R , (7.29) donde: %d0,25 - es el porcentaje en peso de las partículas de diámetro menores a 0,25mm; n - es el coeficiente de rugosidad del cauce; R, el radio hidráulico del cauce. Existen trabajos experimentales más generales sobre el proceso de desprendimiento y transporte de sedimentos, uno de éstos es el de Hjulstrom F., figura 7.5, Figura 7.5 Diagrama de Hjulstrom-Postma para la Determinación de las Condiciones del Flujo de los Sedimentos Hjulstrom propuso el diagrama de la figura 7.5 (líneas continuas), en el que se relaciona el diámetro medio de las partículas con la velocidad del flujo. Este diagrama se obtuvo experimentalmente utilizando partículas no cohesivas y el Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 197 Principios de la Hidráulica 2 diámetro uniforme. Posteriormente, Postma H. complementa el diagrama basado en pruebas de campo y laboratorio más generales. Las líneas A-D (figura 7.5) nos muestran límites más reales de las condiciones de erosión y suspensión de las partículas. 7.5. TRANSPORTE TOTAL DE SEDIMENTOS El transporte total de sedimentos acarreados por un flujo es igual a la suma de los sedimentos llevados en suspensión más los arrastrados por el fondo, Qs = Qsp + Qf Es obvio que, Qs se obtiene utilizando las ecuaciones dadas anteriormente. Existen varias ecuaciones por medio de las cuales se pude determinar el gasto total unitario de los sedimentos, una de éstas es la ecuación de Engelund H. q s = 0,05 s v 2 d 50% s /( s − )d 50% 3 / 2 , g ( s / ) − 1 (7.30) Donde: d50%, es el diámetro de las partículas correspondientes al 50% en peso de la curva granulométrica. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 198 Principios de la Hidráulica 2 CAPITULO VIII FLUJO VARIABLE EN EL TIEMPO (NO ESTACIONARIO) Flujo no estacionario o variable en el tiempo es aquel en el cual sus parámetros y características cambian con respecto al tiempo. 8.1. ECUACION DE BERNOULLI PARA EL FLUJO VARIABLE Tenemos la ecuación de Bernoulli para dos secciones de un tubo elemental figura 8.1, para el cual se analizan todas las fuerzas actuantes, inclusive la inercial; F =m du du = dA·dl· dt dt (8.1) Figura 8.1 Ecuación de Bernoulli para un Flujo no Estacionario donde: du = (u / l )dl + (u / t )dt . Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 199 Principios de la Hidráulica 2 Sumando las ecuaciones (8.1) a la ecuación de Bernoulli tenemos: z1 + p1 / + u 21 / 2 g − ( z2 + p2 / + u 2 2 / 2 g ) = h1−2 + 1 u ( )dl g t Al último de estos miembros se le conoce como Carga Inercial; hin = 1 u dl , g t así, la ecuación de Bernoulli para el flujo no estacionario es: z1 + p1 / + u 21 / 2 g − ( z 2 + p2 / + u 2 2 / 2 g ) = h1−2 + hin 8.1.1. (8.2) TUBERIA DE SECCION CONSTANTE Para un diámetro constante la velocidad a lo largo de la tubería permanece constante y solo es una función del tiempo, en este caso: hin = 1 u 1 du dl = (l 2 − l1 ) , g t g dt o, hin = l dv g dt (8.3) siendo la ecuación de Bernoulli; z1 + p1 / + u 21 / 2 g − ( z 2 + p 2 / + u 2 2 / 2 g ) = h1− 2 + (l / g )dv / dt (8.4) Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 200 Principios de la Hidráulica 2 8.2.GOLPE DE ARIETE (CHOQUE HIDRAULICO) Golpe de ariete se denomina al aumento (o disminución) de la presión debida a la variación brusca de la velocidad. Por ejemplo: cierre instantáneo de válvulas en una tubería. Este proceso físico fue descrito por Joukovsky (1898), en el cual al fluido se le considera no viscoso, pero compresible. Todo el fenómeno comprende cuatro fases principales, para su explicación consideremos el movimiento de un líquido por una tubería desde un reservorio, en cuyo extremo existe una válvula, figura 8.2. PRIMERA FASE. En el instante en que se cierra la válvula las partículas que se encuentran cerca de ésta, con una velocidad v, adquieren la velocidad cero, pero este proceso de estancamiento no es instantáneo para todo líquido, sino que, poco a poco se desplaza desde la sección de cierre hasta el embalse a una velocidad c, figura 8.2. A su vez, toda la columna de líquido que adquirió v = 0 está sujeta a una compresión por la columna de líquido todavía en movimiento, produciéndose un incremento de presión igual a p , conocido como presión de choque. Figura 8.2 Golpe de Ariete Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 201 Principios de la Hidráulica 2 Todo este proceso de comprensión y difusión de la onda de choque a lo largo de toda la tubería se realiza en un tiempo t. Surgiendo un volumen de longitud l, debido a la comprensión que sufre el líquido, que es ocupado por las partículas del embalse. La velocidad de difusión de la onda de choque golpe de ariete es: c = l/t (8.5) donde, l es la longitud de la tubería. SEGUNDA FASE. Al terminar la primera fase, en el interior del conducto existe una presión p +Δp con respecto al embalse, por esta razón se inicia el desplazamiento del líquido de la tubería hacia el embalse con una velocidad v, restableciéndose en ésta una presión p. TERCERA FASE. Continuando el desplazamiento el líquido al embalse, llega un instante en que el fluido se desprende de la válvula, en este instante se inicia la tercera fase, en la cual se produce un decremento de presión en una magnitud Δp, que se difunde desde la válvula al reservorio. Al final de esta fase existe un desequilibrio entre la presión del embalse y la tubería. CUARTA FASE. Por la diferencia de presiones, correspondiente a la tercera fase, el líquido del reservorio inicia un nuevo movimiento a la tubería, igualando la presión poco a poco desde la sección del embalse hacia la válvula. Al final de esta fase existen condiciones idénticas a las anteriores a la primera fase. En el caso de mantenerse cerrada la válvula el fenómeno continúa hasta que se produce su amortiguamiento. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 202 Principios de la Hidráulica 2 8.2.1. Presión de Choque y Velocidad de Difusión El siguiente análisis corresponde al caso de un cierre de válvula rápido, t < 2 l/c. Para este esquema presentado en la figura 8.2 apliquemos cambio de cantidad de movimiento. m (0 − v ) = P , t Conociendo que, P = p − ( p + p)A = − A p ; t = l /c; m = Al , − A v l / t = − A c v = − Ap simplificando p = v c (8.6) Determinemos la velocidad de difusión c, para lo cual, se consideran dos casos: a) tubería rígida y b) tubería elástica. 8.2.1.a Tubería Absolutamente Rígida Conocemos que la energía cinética para el fenómeno esquematizado en la figura 8.2 es: Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 203 Principios de la Hidráulica 2 m(0 − v 2 ) = P dl , 2 de donde; − Alv 2 / 2 = P dl La integral de esta ecuación comprende el trabajo T, que realizan las fuerzas de presión, desde T1 = 0 (para la fuerza junto a la válvula por tener desplazamiento dl = 0) hasta T2= p*A* l/2 (debido a que la fuerza cambia desde cero hasta p*A), de donde; − A l v 2 / 2 = p A l / 2 , y, p = − v 2 l / l (8.7) Según la ley de Hooke la deformación relativa es: − ∆𝑙 ∆𝑝 = 𝑙 𝐾 Siendo, K el módulo de elasticidad volumétrico del fluido, reemplazada esta expresión en la ecuación (8.7) tenemos, p = v 2 K / p , de donde, p = v K Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (8.8) Página 204 Principios de la Hidráulica 2 Comparando esta ecuación con la (8.6), vemos que: v c=v K , y, c = K/ (8.9) Esta ecuación coincide con la velocidad de difusión de las ondas sonoras en los fluidos. Conociendo que para el agua K = 19,62 · 108Pa, y = 1000kg/m3, c = 19,62·108 / 103 = 1400m / s 8.2.1.b. Paredes Elásticas Cuando el material que conforma las paredes de la tubería es capaz de deformarse aumenta su volumen interior, por acción de la presión interna. Para una sobrepresión p, la deformación de una tubería se la puede representar de la siguiente manera figura 8.3. El volumen interior de la tubería aumenta en un valor ΔV= A*l, el cual es ocupado por el líquido, lo que genera un “volumen de compresión aparente” (compresión del líquido más deformación de las paredes), que es considerado, para fines de cálculo, con un módulo de elasticidad aparente Ka, menor al de paredes rígidas K. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 205 Principios de la Hidráulica 2 Figura 8.3 Variación de Volumen por Sobrepresión Por consiguiente la velocidad de difusión del golpe de ariete es menor e igual a, c = Ka / (8.10) donde: Ka es el módulo de elasticidad aparente del líquido, calculado con la siguiente ecuación, 1 1 D = + Ka K e E Aquí, D, e y E, son el diámetro, espesor y módulo de elasticidad de la tubería. Por consiguiente, c= Ing. Washington Sandoval E., Ph.D K K D 1 + E e (8.11) Página 206 Principios de la Hidráulica 2 o, c= K/ (8.11)’ K D 1+ E e Esta ecuación para el agua es, c = 1400/ 1 + ( K / E )(D / e) Los valores de K/E se pueden determinar con la tabla 8.1, de acuerdo al tipo de material. Tabla 8.1 Tabla de Relación K/E (Bolshakov,1989) MATERIAL K/E Acero 0,01 Asbesto 0,11 PVC 0,68 a 0,73 Plástico 1 a 1,45 Hormigón 0,1 a 0,14 Hierro galvanizado 0,065 a 0,09 Caucho 333 a 1000 EJEMPLO 8.1 Determinar el incremento máximo de presión p, para un cierre instantáneo de una válvula de una tubería de acero, de diámetro D = 400mm, espesor e = 7mm, si la velocidad del flujo es v = 1,85 m/s. DESARROLLO: Módulo de elasticidad del acero E = 19,6 1010 Pa, de donde: K/E = 0,01, Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 207 Principios de la Hidráulica 2 D/e = 400/7 = 57,14 La velocidad de difusión es: c = 1400/ 1 + 0,01 57,14 = 1116,82m / s El incremento de presión: p = 1000 · 1,85 · 1116,82 = 2066,12 · 103Pa. 8.3. FLUJO NO ESTACIONARIO RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES. ONDAS MOVILES Las ondas móviles en canales es un fenómeno no estacionario que se observa en las avenidas de corrientes naturales, en canales de acercamiento, desagües, etc. 8.3.1. Tipos de Ondas El súbito aumento o disminución de caudal en un cauce abierto produce una onda móvil u ola. Existen cuatro tipos básicos de ola: según el sentido de propagación (aguas arriba o aguas abajo) y según el cambio de profundidad (aumento o disminución). Cuando la ola se desplaza aguas arriba se denomina Onda de Remanso y si se desplaza aguas abajo Onda de Avenida. La ola que produce aumento de profundidad es positiva o negativa si produce disminución. Las olas positivas son esencialmente estables y pueden ser de frente pronunciado figura 8.4a y de frente ondulado figura 8.4b. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 208 Principios de la Hidráulica 2 a. b. Figura 8.4 Ondas de Frente Pronunciado y Ondulado Las olas negativas son siempre inestables y no se puede mantener una ola con frente pronunciado; la razón de que esto ocurra es que, las partículas superiores del líquido al estar situadas en una zona de mayor profundidad se mueven más rápidamente, haciendo más gradual la disminución de la profundidad a lo largo del flujo, figura 8.5. a. b. Figura 8.5 Ondas Negativas de Frente Pronunciado y Ondulado 8.3.2. Las Olas Según sus Causas Los diferentes tipos de olas que se producen en la naturaleza se muestran en la figura 8.6 y son: a) La ola positiva de remanso, aparece por una disminución del caudal de paso en la zona de aguas abajo. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 209 Principios de la Hidráulica 2 b) La ola negativa de avenida se produce por una disminución de caudal en la zona de aguas arriba. c) La ola positiva de avenida corresponde a un aumento brusco de caudal en el flujo aguas arriba. d) La ola negativa de remanso es producto del aumento de caudal en la zona de aguas abajo. Figura 8.6 Tipos de Olas El simple aumento o disminución de caudal no implica la formación de una onda móvil. Para que aparezca una ola es necesario que el número relativo de Froude del flujo, Fri = (vi − c) 2 / ghi , Calculando para la primera y segunda secciones, cambie de un número menor a un número mayor que la unidad o viceversa. En otras palabras el cambio del número de Froude tiene que ser tal, que uno de los dos números sea mayor y el otro menor que la unidad. Si los dos números relativos de Froude son mayores a la unidad o menores a ésta, la ola no aparece. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 210 Principios de la Hidráulica 2 Una expresión cómoda para representar el aparecimiento de una ola es: Fr1 − 1 0 , Fr2 − 1 8.3.3. (8.12) La Superficie Libre de una Onda Móvil El análisis matemático de una onda en canales abiertos no es tan simple como se supone de la ecuación obtenida anteriormente. Después del paso de una ola por algún punto del canal la profundidad no es constante y la forma del perfil de la superficie libre cambia con el tiempo, gracias al cambio de nivel y a la influencia de las fuerzas de viscosidad (rozamiento) como se muestra en la figura 8.7. Figura 8.7 Desarrollo de una Onda Positiva de Remanso Analicemos la secuencia del fenómeno mostrado en la figura anterior. La onda aparece por el cierre de una compuerta en el canal, y se mueve en sentido contrario al del flujo (ola positiva de remanso). La onda irá ocupando las posiciones 1, 2, 3, 4 al paso del tiempo. Poco a poco la superficie libre se irá elevando y se transformará en una superficie horizontal, esta elevación de la altura, cerca de la compuerta, puede llegar a ser muchas veces mayor que la misma ola, lo que se debe considerar para no tener consecuencias lamentables. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 211 Principios de la Hidráulica 2 8.3.4. Velocidad de Desplazamiento de la Onda Para una onda móvil, como la que se muestra en la figura 8.8, consideramos que entre las secciones 1 y 2, las cuales se desplazan a la misma velocidad de la onda, la superficie libre es estacionaria, lo que implica que la velocidad relativa de la onda c es igual a cero. Por esta razón, las velocidades en las secciones 1 y 2 toman los valores de: v1 – c y v2 – c. Figura 8.8 Onda Móvil y Onda Estacionaria Aparente Utilizando la ecuación de continuidad entre las secciones 1-1 y 2-2, figura 8.8b obtenemos que, (v1 – c)A1 = (v2 – c)A2 (8.13) o, (v2 – c) = (v1 – c)A1/A2 Analicemos el cambio de cantidad de movimiento para estas secciones; P1 − P2 = A2 (v 2 − c) 2 − A1 (v1 − c) 2 , (8.14) conocemos que: P1 = A1 hc1 , P2 = A2 hc 2 y = / g Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 212 Principios de la Hidráulica 2 Reemplazando en la ecuación (8.14) estos valores y la ecuación (8.13), tenemos: A1hc1 − A2 hc 2 = A21(v1 − c) 2 / gA2 − A1 (v1 − c) 2 / g de donde, A h − A2 hc 2 (v1 − c) 2 = 12 c1 , g ( A 1 / A2 ) − A1 Despejando obtenemos la velocidad de difusión de la onda: c = v1 − g A2 A1 hc1 − A2 hc 2 , A1 ( A 21 / A2 ) − A1 (8.15) Esta ecuación nos permite encontrar la velocidad de la onda para cualquier forma de canal, dificultándose su resolución para canales no prismáticos. Si la velocidad v1 = 0; entonces c es la velocidad de difusión de una onda en aguas en reposo. Para un canal rectangular y canales lo suficientemente anchos: c = v1 gh2 (h1 + h2 ) / 2h1 (8.16) El signo (+) corresponde al caso en el cual la profundidad h1 es mayor que h2 y en caso contrario, h1 < h2, el signo (-) Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 213 Principios de la Hidráulica 2 8.4. FLUJO NO ESTACIONARIO EN ORIFICIOS El flujo no permanente en orificios se presenta para los casos en los cuales la carga es variable, cambiando también los parámetros como el caudal, velocidad, presión, etc. La determinación de la velocidad y el caudal es posible con la ecuación de Bernoulli, para el análisis se toma intervalos de tiempo infinitamente pequeños y en los límites de cada intervalo el flujo se considera estacionario. Uno de los principales problemas que se resuelve, para flujos a través de orificios con cargas variables, es la determinación del tiempo que transcurre al variar el nivel, de un valor H1 a H2. 8.4.1. Desagüe con Carga Variable y Flujo Constante Analicemos un tanque de sección variable con descarga libre, figura 8.9. Figura 8.9 Flujo no Estacionario a través de un Orificio Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 214 Principios de la Hidráulica 2 Al reservorio de un origen exterior llega cierto caudal afluente Qaf = const. Para un flujo estacionario con descarga Qaf, a través del orificio de área A, es necesaria una carga Haf, que se puede determinar de la ecuación: Qaf = Cq A 2 g H af , (8.17) de donde: H af = Qaf 2 2 g Cq 2 A 2 (8.17)’ Si la carga inicial H1 coincide con Haf, el flujo es estacionario, en caso contrario son posibles dos casos: PRIMERO. Si H1 < Haf, por el orificio se descarga un caudal menor al afluente, Q < Qaf. El volumen del líquido en el reservorio aumenta y de igual manera la carga y el caudal de desagüe, hasta que el caudal que pasa a través del orificio sea igual al afluente, y el flujo se transforma en estacionario. SEGUNDO. Si H1 > Haf, se descarga un caudal Q mayor a Qaf; por lo que el nivel del reservorio disminuye poco a poco, hasta que sea igual a Haf y por consiguiente Q = Qaf. Determinamos el tiempo que tarda en variar la carga de un valor H1 a H2. En un instante de tiempo t, la carga es H y el área del reservorio , figura 8.9. Para un intervalo de tiempo dt, a través de orificio se descarga un volumen igual a: dV = Q dt Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (8.18) Página 215 Principios de la Hidráulica 2 El volumen de líquido que fluye hacia el reservorio es: dVaf = Qafdt , (8.19) y el cambio de volumen en el reservorio, según (8.18) y (8.19): dVr = (Qaf – Q)dt , o, dVr = (Qaf − CqA 2 gH )dt (8.20) volumen que también es igual a; dVr = dh (8.21) Igualando (8.20) y (8.21), dH = (Qaf − CqA 2 gH )dt , o, dH = CqA 2 g ( H af − H )dt , de donde: dt = dH CqA 2 g H af − H (8.22) Para la integración de esta ecuación cambiamos de variable: y = H af − H Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 216 Principios de la Hidráulica 2 , y, dy = − dH 2 H , o, dH = −2 H dy = 2( y − H af )dy Así, la ecuación (8.22) después de los reemplazos es: dt = H af 1 − y CqA 2 g 2 dy , considerando que el coeficiente de gasto Cq permanece constante, t= 2 CqA 2 g aquí, y1 = H af − H1 ; y2 y1 H af 1 − y dy , (8.23) y 2 = H af − H 2 La integración de la ecuación (8.23) se realiza para los siguientes casos: 1) El área del reservorio con la profundidad no cambia, = const., entonces se puede sacar fuera del signo de la integral, y por consiguiente; t= 2 CqA 2 g H af − H1 H − H + H ·ln 1 2 af H − H af 2 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D (8.24) Página 217 Principios de la Hidráulica 2 2) El área del reservorio es variable con la carga H. En este caso, también, hay dos alternativas; a) La relación vs. H está dada por una ecuación, por lo tanto es posible la integración de la ecuación (8.23). b) La relación vs. H es difícil de expresar analíticamente (como por ejemplo los embalses naturales o artificiales. En este caso se busca una solución aproximada, que puede ser la integración de la ecuación (8.23) por el método de los trapecios. 8.4.2. Flujo de un Tanque a Otro Supongamos que tenemos dos tanques A y B unidos a través de un conducto y que existe una diferencia de niveles entre las superficies libre figura 8.10. Ninguno de los tanques se abastece del exterior, en este caso el nivel del tanque A disminuye y el del B aumenta, siendo la diferencia de niveles cada vez menor, hasta que la diferencia sea cero. Figura 8.10 Flujo de un Tanque a Otro Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 218 Principios de la Hidráulica 2 Toda diferencia de niveles H en cualquier instante de tiempo es, H = Z 1 – Z2 , entonces un decremento d H = dZ1 – dZ2. (8.25) A un aumento de volumen en el tanque B le corresponde a un decremento en A, - 1 dZ1 = 2 dZ2 , − dZ 2 = 1 dZ1 2 , Reemplazando en la ecuación (8.25), + 1 dZ1 , dH = 2 2 o, dZ1 = 2 dH 1 + 2 (8.26) El volumen de líquido que disminuye del tanque A, es igual al caudal que pasa por el conducto en un intervalo de tiempo dt, así: − 1 dZ1 = Cq A 2 gH dt , Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 219 Principios de la Hidráulica 2 reemplazando dZ1 según la ecuación (8.26) y despejando dt, dt = − 1 2 dH (1 + 2 )CqA 2 g H , de donde, después de la integración entre H1 y H2 t= 21 2 ( H 1 − H 2) (1 + 2 ) CqA 2g (8.27) El tiempo en el cual se nivelan las dos superficies corresponde para H2 = 0. Si el segundo tanque es de gran capacidad ( 2 → ) , la posición de la superficie libre, no cambia en el tiempo (vaciado de un tanque), y éste se determina como sigue: t= 21 H 1 (8.27) Cq A 2 g Si a esta ecuación le multiplicamos y le dividimos para H 1 obtenemos en el numerador 1 H1, que es el volumen inicial del tanque A y en el denominador el gasto a través del orificio para la carga H1. Esto significa que, el tiempo que se demora en vaciarse un tanque es el doble del tiempo que se demora en desaguar un volumen semejante, por un orificio con carga constante, por lo que la ecuación de vaciado de un tanque sería: 𝑡= 2 𝐻 𝐶𝑞 𝐴√2𝑔𝐻 Ing. Washington Sandoval E., Ph.D = 2𝑉 𝑄 (8.28) Página 220 Principios de la Hidráulica 2 BIBLIOGRAFIA Abramov H. N. y Otros, (1977). Cálculo de Redes de Conducción de Agua. Moscú, Rusia. Stroyizdat. Aguirre, P. J. (1980). Hidráulica de Sedimentos. Caracas, Venezuela. Cidiat. Altshul, A. D. (1977). Ejemplos de Cálculos Hidráulicos. Moscú, Rusia. Stroyizdat. Andreevskaya, A. B. y Otros (1970). Tareas de Hidráulica. Moscú, Rusia. Energía. Bogomolov, A. I. y Otros (1977) Ejemplos de Cálculos Hidráulicos. Moscú, Rusia. Transport. Bogomolov, A. I. y Otros (1979). Flujos de Superficie Libre con Alta Velocidad. Moscú, Rusia. Stroyizdat. Bureau of Reclamation (1982). Diseño de Presas Pequeñas, México. 11ª Edición. Editorial Continental S. A. Chow, V. (1983). Hidráulica de los Canales Abiertos. Bogotá, Colombia. McGraw Hill. Chugaev, R. R. (1982). Hidráulica (Mecánica Técnica de Fluidos). Leningrado (San Petersburgo), Rusia. Energoizdat. Domínguez, F. (1999). Hidráulica. Santiago de Chile, Chile. Editorial Universitaria S. A. French, R. H., (1988). Hidráulica de Canales Abiertos. México. McGraw-Hill. Frost, W. y Moulden, T. (1977). Manual de Turbulencias. New York , USA. Plenum Press. Hughes, W. F. (1970). Dinámica de los Fluidos. México, México. McGraw-Hill. Ilinij, I. I. (1982). Centrales Hidráulicas. Moscú, Rusia. Energoizdat. John, J. Haberman, W. (1974). Introducción a la Mecánica de Fluidos, Madrid, España. Prentice Hall I. Kiselev, P. G. y Otros (1972). Manual para Cálculos Hidráulicos. Moscú, Rusia. Energía. Kiselev, P. G. (1980). Hidráulica (Principios de la Mecánica de Fluidos). Moscú, Rusia. Energía. Kuznetzov, S. K. (1983).Teoría y Cálculos de la Hidráulica de Aguas Abajo. Lvov. Ucrania. Manual de Bombas (1977). Barcelona España. Editorial Blume. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D Página 221 Principios de la Hidráulica 2 Márquez, M. C. (2006). Caracterización Paramétrica de Resaltos Hidráulico Libres y Sumergidos Partir de Medidas de Velocidades Instantáneas con Equipo Doppler. Cartagena, Colombia. Universidad Politécnica de Cartagena. Mataix, C. (1981). Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas. México, México. Ed. Harla. Mcdowell, D. O’Connor, B. (1977). Hidráulica de Mareas en Estuarios. London, Inglaterra. Macmillan Press. Nedrigi, B. et al (1983). Manual de Diseño de Estructuras Hidráulicas. Moscú, Rusia. Etroyizdat. Nekrasov, B. (1978). Hidráulica. Moscú, Rusia. Editorial Paz. Pashkov, N. Dolgachev, F. (1985). Hidráulica y Máquinas Hidráulicas. Moscú, Rusia. Ed. Mir. Patrashev, A. Kivako, L. Gorriy, S. (1970). Hidromecánica Aplicada. Moscú, Rusia. Boenizdat. Rocha, A. (1998). Introducción a la Hidráulica Fluvial. Lima, Perú. Universidad Nacional de Ingeniería. Rodriguez, R. (2008). Hidráulica II (Hidráulica de Canales). Oaxaca, México. E-book. Sharp, J. J. (1981). Modelación Hidráulica. London, Inglaterra. Ed. Butterworth. Shterenligt, D. B. (1984). Hidráulica. Moscú, Rusia. Energiatomizodat. Slisskiy, S. M. (1979). Cálculos Hidráulicos de Estructuras Hidráulicas Grandes. Moscú, Rusia. Energía. Sotelo, A. G. (1974). Hidráulica General, Vol I (Fundamentos). México, México. Limusa S. A. Stepanov, R. M. y Otros (1984). Manual de Hidráulica para Riego. Moscú, Rusia. Kolos. Streeter, V. Wylie, W. (1981). Mecánica de los Fluidos. México, México. McGraw Hill. Taraymovich, I. (1966). Protección de Aguas Abajo de Presas Vertedoras. Moscú, Rusia. Editorial Energía. Webber, N. B. (1969). Mecánica de Fluidos para Ingenieros. Bilbao, España. Urmo. Zhelezniakov, G. y Otros, (1983). Manual de Diseños de Obras Hidráulicas. Moscú, Rusia. Stroyizdat. Ing. Washington Sandoval E., Ph.D View publication stats Página 222
