Clase Ecuaciones Diferenciales 02-03-2022

Unidad II - Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior 2.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes Soluciones: Raíces = Soluciones Raíces Reales Diferentes Raíces Reales Repetidas Raíces Complejas Conjugadas 𝒚′′ − 𝟏𝟎𝒚′ + 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟒 𝟑 𝟐 𝒅 𝒅 𝒅 𝒅 𝟒 𝟑 𝟐 𝑫 = 𝟒,𝑫 = 𝟑,𝑫 = 𝟐,𝑫 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑫𝟐 𝒚 − 𝟏𝟎𝑫𝒚 + 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎 (𝑫𝟐 − 𝟏𝟎𝑫 + 𝟐𝟒)𝒚 = 𝟎 (𝑫𝟐 − 𝟏𝟎𝑫 + 𝟐𝟒)𝒚𝒄 = 𝟎 Reglas de Factorización, Fórmula General (𝑫𝟐 − 𝟏𝟎𝑫 + 𝟐𝟒)𝒚 = 𝟎 (𝑫 − 𝟔)(𝑫 − 𝟒)𝒚 = 𝟎 Raíces Reales Diferentes 𝑫𝟏 = 𝟔, 𝑫𝟐 = 𝟒 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝑫𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝑫𝟐 𝒙 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟒𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝟔𝒙 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟔𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝟒𝒙 𝒚′′ + 𝟏𝟔𝒚′ + 𝟔𝟒𝒚 = 𝟎 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚 + 𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝒚 = 𝟎 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝟒 𝒅𝟑 𝒅𝟐 𝒅 𝟒 𝟑 𝟐 𝑫 = 𝟒,𝑫 = 𝟑,𝑫 = 𝟐,𝑫 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑫𝟐 𝒚 + 𝟏𝟔𝑫𝒚 + 𝟔𝟒𝒚 = 𝟎 (𝑫𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟔𝟒)𝒚 = 𝟎 (𝑫 + 𝟖)(𝑫 + 𝟖)𝒚 = 𝟎 (𝑫 + 𝟖)𝟐 𝒚 = 𝟎 Raíces Reales Repetidas 𝑫𝟏 = −𝟖, 𝑫𝟐 = −𝟖 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝑫𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆𝑫𝟐 𝒙 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆−𝟖𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆−𝟖𝒙 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝟑𝒚 = 𝟎 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚 +𝟐 + 𝟑𝒚 = 𝟎 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝟒 𝒅𝟑 𝒅𝟐 𝒅 𝟒 𝟑 𝟐 𝑫 = 𝟒,𝑫 = 𝟑,𝑫 = 𝟐,𝑫 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑫𝟐 𝒚 + 𝟐𝑫𝒚 + 𝟑𝒚 = 𝟎 (𝑫𝟐 + 𝟐𝑫 + 𝟑)𝒚 = 𝟎 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟐, 𝒄 = 𝟑 −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 −𝟐 ± √(𝟐)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟑) −𝟐 ± √𝟒 − 𝟏𝟐 −𝟐 ± √−𝟖 𝒙= = = = = 𝟐𝒂 𝟐(𝟏) 𝟐 𝟐 −𝟐 ± √−𝟖 −𝟐 ± √(−𝟏)(𝟖) −𝟐 ± √−𝟏√𝟖 −𝟐 ± 𝒊√𝟖 −𝟐 ± 𝒊√𝟐𝟑 𝒙= = = = = = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 −𝟐 ± 𝒊√𝟐𝟐 (𝟐) −𝟐 ± 𝒊√𝟐𝟐 √𝟐 −𝟐 ± 𝟐𝒊√𝟐 𝒙= = = = −𝟏 ± 𝒊√𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Raíces Complejas Conjugadas 𝑫𝟏 = −𝟏 + 𝒊√𝟐, 𝑫𝟐 = −𝟏 − 𝒊√𝟐, 𝒂 = −𝟏, 𝒃 = √𝟐 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒃𝒙 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆−𝒙 𝒄𝒐𝒔 √𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏 √𝟐𝒙 Actividad 02-03-2022 Horario 12:00-13:00: 𝒚′′ − 𝟑𝟎𝒚 + 𝟐𝟎𝟎𝒚 = 𝟎 𝒚′′ − 𝟔𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝟎 𝒚′′ + 𝒚′ + 𝒚 = 𝟎

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