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Jesús Gómez tarea de Cálculo Diferencial (1)

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Tarea 1 “Derivadas”
Jesús David Gómez Ávila
Liceo Nueva Generación
Caculo Diferencial
Norberto Alejandro Vázquez Gómez
23 Oct 2022
Objetivo: Interpretar geométrica y matemáticamente el concepto de derivada, aplicando las
reglas de diferenciación en la derivación de cualquier tipo de función derivable para la
solución de ejercicios de aplicación.
Ejercicios:
A continuación, se presentan los ejercicios, asignados para el desarrollo de Tarea 1
“Derivadas” debe desarrollar los ejercicios propuestos.
Para TODOS los ejercicios, hallada la derivada esta se debe
1. De acuerdo con la definición de derivada de una función
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉→𝟎
𝒉
𝒇′ (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
Asignación
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio
𝟏
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓
𝟑
𝒇(𝒙) = 𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑
𝒇(𝒙)
Ejercicio 4
Ejercicio 5
𝟐 𝟑
𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟑
= 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟓
𝒇(𝒙) =
𝒇(𝒙) = −𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑
𝟏
1. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓
1
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 + 5
3
1
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 5
3
1
1
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = 𝑥 3 + 𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 5
3
3
→ 𝑓´(𝑥)
→ 𝑓´(𝑥)
1 3
1
𝟏
𝑥 + 𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ2 + 3 ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 5 − 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓
3
= lim
ℎ→0
ℎ
1
ℎ(𝑥 2 + 𝑥ℎ + ℎ2 + 4𝑥 + 2ℎ )
3
= lim
ℎ→0
ℎ
1
→ 𝑓´(𝑥) = lim 𝑥 2 + 𝑥ℎ + ℎ2 + 4𝑥 + 2ℎ
ℎ→0
3
1
→ 𝑥 2 + 𝑥(0) + (0)2 + 4𝑥 + 2(0)
3
→ 𝑓´(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥
2. 𝒇(𝒙) = 𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = 4 − (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 )
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = 4 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 𝑥 3 − 3𝑥 2 ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3
4 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 𝑥 3 − 3𝑥 2 ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3 − 𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑
ℎ→0
ℎ
→ 𝑓´(𝑥) = lim
−2𝑥ℎ − ℎ2 − 3𝑥 2 ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3
ℎ→0
ℎ
→ 𝑓´(𝑥) = lim
ℎ(−2𝑥 − ℎ − 3𝑥 2 − 3𝑥ℎ − ℎ2 )
ℎ→0
ℎ
→ 𝑓´(𝑥) = lim
→ 𝑓´(𝑥) = lim − 2𝑥 − ℎ − 3𝑥 2 − 3𝑥ℎ − ℎ2
ℎ→0
→ −2𝑥 − 0 − 3𝑥 2 − 3𝑥(0) − (0)2
→ 𝑓´(𝑥) = −2𝑥 − 3𝑥 2
𝟐
3. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
2
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 + 4(𝑥 + ℎ)2 − 3
3
2
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 4(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 3
3
→ 𝑓´(𝑥)
→ 𝑓´(𝑥)
2 3
2
𝟐
𝑥 + 2𝑥 2 ℎ + 2𝑥ℎ2 + 3 ℎ3 + 4𝑥 2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 3 − 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑
3
= lim
ℎ→0
ℎ
2
ℎ(2𝑥 2 + 2𝑥ℎ + 3 ℎ2 + 8𝑥 + 4ℎ )
= lim
ℎ→0
ℎ
2
→ 𝑓´(𝑥) = lim 2𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 8𝑥 + 4ℎ
ℎ→0
3
2
→ 2𝑥 2 + 2𝑥(0) + (0)2 + 8𝑥 + 4(0)
3
→ 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 2 + 8𝑥
4. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟓
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 − (𝑥 + ℎ)2 − 5
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) − (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 5
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 5
𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 5 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟓
ℎ→0
ℎ
→ 𝑓´(𝑥) = lim
ℎ(3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 − 2𝑥 − ℎ )
ℎ→0
ℎ
→ 𝑓´(𝑥) = lim
→ 3𝑥 2 + 3𝑥(0) + (0)2 − 2𝑥 − (0)
→ 𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥
5. 𝒇(𝒙) = −𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = −2 + (𝑥 + ℎ)2 + (𝑥 + ℎ)3
→ 𝑓(𝑥+ℎ) = −2 + (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 )
−2 + 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑
ℎ→0
ℎ
→ 𝑓´(𝑥) = lim
ℎ(2𝑥 + ℎ + 3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 )
ℎ→0
ℎ
→ 𝑓´(𝑥) = lim
→ 𝑓´(𝑥) = lim 2𝑥 + ℎ + 3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2
ℎ→0
→ 2𝑥 + 0 + 3𝑥 2 + 3(0) + 02
→ 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 2
En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas
de la derivación.
2.
Asignación
Ejercicio 1
𝒇(𝒙)
Ejercicio
= 𝐥𝐧(𝟑𝒙)𝟐𝒙 + (𝟗𝒙𝟐 + 𝟐)𝟑
Ejercicio 2
𝒇(𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝟒)𝟐 + 𝐥𝐧(𝟐𝒙)𝒙
Ejercicio 3
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟓𝒙)−𝟑𝒙 + (𝟓 − 𝒙𝟑 )𝟑
Ejercicio 4
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟔𝒙)𝟑𝒙 + (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
Ejercicio 5
𝒇(𝒙) = (𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟐 + 𝐥𝐧(𝒙)𝟐𝒙
1. 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟑𝒙)𝟐𝒙 + (𝟗𝒙𝟐 + 𝟐)𝟑
→ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛(3𝑥) + (9𝑥 2 + 2)3
→ 𝑓´(𝑥) = 2 𝑙𝑛(3𝑥) +
1
(3)(2𝑥) + 3(9𝑥 2 + 2)3 (18𝑥)
3𝑥
→ 𝑓´(𝑥) = 2 𝑙𝑛(3𝑥) + 2+54𝑥(9𝑥 2 + 2)3
2. (𝒙𝟑 + 𝟒)𝟐 + 𝒍𝒏(𝟐𝒙)𝒙
→ 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 + 4)2 + 𝑥 𝑙𝑛(2𝑥)
→ 𝑓´(𝑥) = 2(𝑥 3 + 4) (3𝑥 2 ) + 1 𝑙𝑛(2𝑥) +
1
(2)(𝑥)
2𝑥
→ 𝑓´(𝑥) = 6𝑥 2 (𝑥 3 + 4) + 𝑙𝑛(2𝑥) + 1
3. 𝐥𝐧(𝟓𝒙)−𝟑𝒙 + (𝟓 − 𝒙𝟑 )𝟑
→ 𝑓(𝑥) = −3𝑥(ln(5𝑥)) + (5 − 𝑥 3 )3
→ 𝑓´(𝑥) = −3𝑥 ln(5𝑥) +
1
(5)(−3𝑥) + 3(5 − 𝑥 3 )2 (−3𝑥 2 )
5𝑥
→ 𝑓´(𝑥) = −3𝑥 ln(5𝑥) − 3 − 9𝑥(5 − 𝑥 3 )2
4. 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟔𝒙)𝟑𝒙 + (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
→ 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑙𝑛(6𝑥) +(4𝑥 2 + 1)2
→ 𝑓´(𝑥) = 3 ln(6𝑥) +
1
(6)(3𝑥) + 2(4𝑥 2 + 1) + 8𝑥
6𝑥
→ 𝑓´(𝑥) = 3 ln(6𝑥) + (3𝑥) + 16𝑥(4𝑥 2 + 1)
5. 𝒇(𝒙) = (𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟐 + 𝟐𝒙 𝐥𝐧 𝒙
1
→ 𝑓(𝑥) = 2(1 + sin 𝑥) cos 𝑥 + 2 ln 𝑥 + (2𝑥)
𝑥
→ 𝑓´(𝑥) = 2 cos 𝑥(1 + sin 𝑥) + 2 ln 𝑥 + 2
→ 𝑓´(𝑥) = 2 cos 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + 2 ln 𝑥 + 2
→ 𝑓´(𝑥) = 2 cos 𝑥 + sin(2𝑥) + 2 ln 𝑥 + 2
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