Tarea 1 “Derivadas” Jesús David Gómez Ávila Liceo Nueva Generación Caculo Diferencial Norberto Alejandro Vázquez Gómez 23 Oct 2022 Objetivo: Interpretar geométrica y matemáticamente el concepto de derivada, aplicando las reglas de diferenciación en la derivación de cualquier tipo de función derivable para la solución de ejercicios de aplicación. Ejercicios: A continuación, se presentan los ejercicios, asignados para el desarrollo de Tarea 1 “Derivadas” debe desarrollar los ejercicios propuestos. Para TODOS los ejercicios, hallada la derivada esta se debe 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝒉→𝟎 𝒉 𝒇′ (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Asignación Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓 𝟑 𝒇(𝒙) = 𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 𝒇(𝒙) Ejercicio 4 Ejercicio 5 𝟐 𝟑 𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑 𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟓 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙) = −𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 𝟏 1. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓 1 → 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 + 5 3 1 → 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 5 3 1 1 → 𝑓(𝑥+ℎ) = 𝑥 3 + 𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 5 3 3 → 𝑓´(𝑥) → 𝑓´(𝑥) 1 3 1 𝟏 𝑥 + 𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ2 + 3 ℎ3 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 5 − 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓 3 = lim ℎ→0 ℎ 1 ℎ(𝑥 2 + 𝑥ℎ + ℎ2 + 4𝑥 + 2ℎ ) 3 = lim ℎ→0 ℎ 1 → 𝑓´(𝑥) = lim 𝑥 2 + 𝑥ℎ + ℎ2 + 4𝑥 + 2ℎ ℎ→0 3 1 → 𝑥 2 + 𝑥(0) + (0)2 + 4𝑥 + 2(0) 3 → 𝑓´(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 2. 𝒇(𝒙) = 𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 → 𝑓(𝑥+ℎ) = 4 − (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) → 𝑓(𝑥+ℎ) = 4 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 𝑥 3 − 3𝑥 2 ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3 4 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 𝑥 3 − 3𝑥 2 ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3 − 𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ℎ→0 ℎ → 𝑓´(𝑥) = lim −2𝑥ℎ − ℎ2 − 3𝑥 2 ℎ − 3𝑥ℎ2 − ℎ3 ℎ→0 ℎ → 𝑓´(𝑥) = lim ℎ(−2𝑥 − ℎ − 3𝑥 2 − 3𝑥ℎ − ℎ2 ) ℎ→0 ℎ → 𝑓´(𝑥) = lim → 𝑓´(𝑥) = lim − 2𝑥 − ℎ − 3𝑥 2 − 3𝑥ℎ − ℎ2 ℎ→0 → −2𝑥 − 0 − 3𝑥 2 − 3𝑥(0) − (0)2 → 𝑓´(𝑥) = −2𝑥 − 3𝑥 2 𝟐 3. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑 2 → 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 + 4(𝑥 + ℎ)2 − 3 3 2 → 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 4(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 3 3 → 𝑓´(𝑥) → 𝑓´(𝑥) 2 3 2 𝟐 𝑥 + 2𝑥 2 ℎ + 2𝑥ℎ2 + 3 ℎ3 + 4𝑥 2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 3 − 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑 3 = lim ℎ→0 ℎ 2 ℎ(2𝑥 2 + 2𝑥ℎ + 3 ℎ2 + 8𝑥 + 4ℎ ) = lim ℎ→0 ℎ 2 → 𝑓´(𝑥) = lim 2𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 8𝑥 + 4ℎ ℎ→0 3 2 → 2𝑥 2 + 2𝑥(0) + (0)2 + 8𝑥 + 4(0) 3 → 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 2 + 8𝑥 4. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟓 → 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 + ℎ)3 − (𝑥 + ℎ)2 − 5 → 𝑓(𝑥+ℎ) = (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) − (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 5 → 𝑓(𝑥+ℎ) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 5 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 5 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟓 ℎ→0 ℎ → 𝑓´(𝑥) = lim ℎ(3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 − 2𝑥 − ℎ ) ℎ→0 ℎ → 𝑓´(𝑥) = lim → 3𝑥 2 + 3𝑥(0) + (0)2 − 2𝑥 − (0) → 𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 5. 𝒇(𝒙) = −𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 → 𝑓(𝑥+ℎ) = −2 + (𝑥 + ℎ)2 + (𝑥 + ℎ)3 → 𝑓(𝑥+ℎ) = −2 + (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + (𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) −2 + 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 ℎ→0 ℎ → 𝑓´(𝑥) = lim ℎ(2𝑥 + ℎ + 3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 ) ℎ→0 ℎ → 𝑓´(𝑥) = lim → 𝑓´(𝑥) = lim 2𝑥 + ℎ + 3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 ℎ→0 → 2𝑥 + 0 + 3𝑥 2 + 3(0) + 02 → 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 2 En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2. Asignación Ejercicio 1 𝒇(𝒙) Ejercicio = 𝐥𝐧(𝟑𝒙)𝟐𝒙 + (𝟗𝒙𝟐 + 𝟐)𝟑 Ejercicio 2 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝟒)𝟐 + 𝐥𝐧(𝟐𝒙)𝒙 Ejercicio 3 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟓𝒙)−𝟑𝒙 + (𝟓 − 𝒙𝟑 )𝟑 Ejercicio 4 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟔𝒙)𝟑𝒙 + (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 Ejercicio 5 𝒇(𝒙) = (𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟐 + 𝐥𝐧(𝒙)𝟐𝒙 1. 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟑𝒙)𝟐𝒙 + (𝟗𝒙𝟐 + 𝟐)𝟑 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛(3𝑥) + (9𝑥 2 + 2)3 → 𝑓´(𝑥) = 2 𝑙𝑛(3𝑥) + 1 (3)(2𝑥) + 3(9𝑥 2 + 2)3 (18𝑥) 3𝑥 → 𝑓´(𝑥) = 2 𝑙𝑛(3𝑥) + 2+54𝑥(9𝑥 2 + 2)3 2. (𝒙𝟑 + 𝟒)𝟐 + 𝒍𝒏(𝟐𝒙)𝒙 → 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 + 4)2 + 𝑥 𝑙𝑛(2𝑥) → 𝑓´(𝑥) = 2(𝑥 3 + 4) (3𝑥 2 ) + 1 𝑙𝑛(2𝑥) + 1 (2)(𝑥) 2𝑥 → 𝑓´(𝑥) = 6𝑥 2 (𝑥 3 + 4) + 𝑙𝑛(2𝑥) + 1 3. 𝐥𝐧(𝟓𝒙)−𝟑𝒙 + (𝟓 − 𝒙𝟑 )𝟑 → 𝑓(𝑥) = −3𝑥(ln(5𝑥)) + (5 − 𝑥 3 )3 → 𝑓´(𝑥) = −3𝑥 ln(5𝑥) + 1 (5)(−3𝑥) + 3(5 − 𝑥 3 )2 (−3𝑥 2 ) 5𝑥 → 𝑓´(𝑥) = −3𝑥 ln(5𝑥) − 3 − 9𝑥(5 − 𝑥 3 )2 4. 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟔𝒙)𝟑𝒙 + (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 → 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑙𝑛(6𝑥) +(4𝑥 2 + 1)2 → 𝑓´(𝑥) = 3 ln(6𝑥) + 1 (6)(3𝑥) + 2(4𝑥 2 + 1) + 8𝑥 6𝑥 → 𝑓´(𝑥) = 3 ln(6𝑥) + (3𝑥) + 16𝑥(4𝑥 2 + 1) 5. 𝒇(𝒙) = (𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝟐 + 𝟐𝒙 𝐥𝐧 𝒙 1 → 𝑓(𝑥) = 2(1 + sin 𝑥) cos 𝑥 + 2 ln 𝑥 + (2𝑥) 𝑥 → 𝑓´(𝑥) = 2 cos 𝑥(1 + sin 𝑥) + 2 ln 𝑥 + 2 → 𝑓´(𝑥) = 2 cos 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + 2 ln 𝑥 + 2 → 𝑓´(𝑥) = 2 cos 𝑥 + sin(2𝑥) + 2 ln 𝑥 + 2