EJERCICOS RESUELTOS DE CONJUNTOS CONVEXOS
Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cuáles son convexos;
a. 𝑆1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 /𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4}
Solución
Si lo hacemos gráficamente, representemos el conjunto. Para ello dibujamos el límite
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 = 22 (circunferencia de radio 2).
Definimos la expresión:
𝑥2 + 𝑦2 = 4
Y lo representamos como aparece:
Ahora determinemos en que lado de la
circunferencia se sitúa el conjunto.
Tomemos un punto fuera de la circunferencia,
por ejemplo (3,3). Y comprobemos si cumple la
condición que impone el conjunto este punto.
32 + 32 = 9 + 9 = 18 ≤ 4
Evidentemente no la cumple y por lo tanto el
conjunto se sitúa
circunferencia.
hacia
adentro
de
la
Tomemos los puntos (1, -1) y (2,0) que
pertenecen al conjunto según lo muestra la
siguiente gráfica y segmento que los une queda
totalmente contenido en el círculo. Así
gráficamente para cualquier par de puntos (x, y)
de 𝑆1 , el segmento que los está totalmente
contenido en dicho conjunto.
Por lo tanto el conjunto 𝑆1 es convexo.
1
b. 𝑆1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 /𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 4}
Solución
Representemos gráficamente el conjunto. Para ello dibujamos el límite 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 =
22 (circunferencia de radio 2).
Definimos la expresión:
𝑥2 + 𝑦2 = 4
Y su gráfica es como aparece a continuación:
Ahora determinemos en que lado de la
circunferencia se sitúa el conjunto.
Tomemos un punto fuera de la circunferencia,
por ejemplo (1,-1). Y comprobemos si cumple la
condición que impone el conjunto este punto.
12 + (−1)2 = 1 + 1 = 2 ≤ 4
Evidentemente no lo cumple y por lo tanto el
conjunto se sitúa hacia afuera
de la
circunferencia, representado con el color azul.
Tomemos
los
puntos (-2, 1) y
(2,1)
que
pertenecen
al
conjunto según lo
muestra
la
siguiente gráfica y
segmento que los
une
queda
totalmente
contenido en el
círculo. Así gráficamente para cualquier par de puntos (x, y) de 𝑆1 , el segmento que los
une no está totalmente contenido en dicho conjunto. Por lo tanto el conjunto 𝑆1 NO es
convexo.
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