Producción y operaciones Como plantear un problema de programación lineal mas ejemplos. Gerardo Nava Serrano Teoría: Plan de mejora; Maximizar utilidades Las empresas tienen como meta obtener la mayor rentabilidad en sus actividades; para ello debe aprovechar al máximo sus recursos disponibles tales como: talento humano, insumos, equipos, planta, dinero, entre otros. La programación lineal se presenta como una herramienta muy útil, para ayudar a encontrar la mejor solución en las empresas para lograr esta meta. En este post aprenderás cómo plantear un problema de programación lineal. Es importante mencionar que en este post abordaremos solamente los aspectos teóricos y el planteamiento de las ecuaciones de programación lineal También puedes revisar las siguientes entradas: Cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico. Cómo resolver un problema de programación lineal con Solver-Excel 2016. 4 calculadoras online para resolver problemas de programación lineal. Método Simplex Paso a Paso: Ejemplos de Maximizar y Minimizar. La programación lineal hace referencia a varias técnicas de modelamiento matemático; para asignar, en forma óptima, los recursos limitados a distintas demandas que compiten por ellos. Cómo identificar un problema de programación lineal: Por lo tanto el problema buscar elegir la asignación óptima de vengadores para derrotar a Thanos (demanda); minimizando la destrucción en la tierra y teniendo en cuenta la cantidad de vengadores disponibles (recursos limitados). La solución la encontrarás al final del post. Como te puedes dar cuenta, los usos que se le puede dar a la programación lineal, dependen únicamente de que tan creativos podamos ser. Cómo identificar un problema de programación lineal: Para que un determinado problema se plantee mediante programación lineal debe cumplir las siguientes condiciones: • Tener restricciones o recursos limitados. Por ejemplo: cantidad limitada de trabajadores, número máximo de clientes que se puede atender o límite de capacidad de un proceso. • Buscar un objetivo explícito cómo maximizar los ingresos o minimizar los costos. • Linealidad, es decir, debe tener proporcionalidad. Las ecuaciones que generan las variables de decisión son lineales. • Homogeneidad (las características de las variables de decisión y de los recursos son iguales). Por ejemplo: todas las horas que trabaja una persona son igual de productivas o los productos fabricados en una máquina son idénticos. • Divisibilidad, es decir que los productos y recursos se pueden presentar en fracciones. • No negatividad, quiere decir que las variables de decisión deben ser positivas o cero; es decir no se puede fabricar una cantidad negativa de productos. Cómo plantear un problema de programación lineal: Los elementos de un problema de programación lineal, corresponden al de un proceso de optimización, donde tenemos: Variables de decisión: Son las variables que están bajo el control de la persona que toma las decisiones. Sus valores óptimos se determinarán al resolver el problema. ¿Qué tipo de solución podemos obtener en un problema de Programación Lineal? Los tipos de soluciones que podemos encontrar en un problema de Programación Lineal son: Única: Los valores de las variables de decisión son únicos. Múltiple: Las variables de decisión pueden tomar múltiples valores. No acotada (ausencia de solución): No existe un valor extremo o límite para la función objetivo, por lo que puede decirse que el problema carece de solución. No factible: cuando no existe una combinación de valores de las variables de decisión que cumplan todas las restricciones. Usos de la Programación Lineal • Flujo de producción: Determinamos el flujo óptimo para fabricar un producto que debe pasar en secuencia por varias estaciones de trabajo, donde estación tiene sus costos y características de producción. • Programación de transporte: Sirve para programar múltiples recorridos de cierta cantidad de vehículos para atender a los clientes o llevar los materiales que se transportarán entre diferentes plazas. Cada vehículo puede tener diferente capacidad de carga y de desempeño. Usos de la Programación Lineal • Manejo de inventarios: Encontrar la combinación óptima de productos que se tendrán en inventario dentro de una red de almacenes. • Programación de personal: Cuando se requiere elaborar un plan de personal que permita atender la demanda variable esperada con el menor número posible de empleados. • Control de desperdicios: Cuando se requiere cortar algunos materiales como el acero, cuero, tela o alguna lámina de material; mediante programación lineal se puede calcular cómo reducir el desperdicio al mínimo. Estos son algunos de los usos más comunes donde se utiliza la programación lineal. En general, cualquier problema de optimización que cumpla las condiciones mencionadas puede ser resuelto con programación lineal. Usos de la Programación Lineal Entre los usos de la programación lineal tenemos: • Planificación Agregada de Ventas y Operaciones: Se busca minimizar los costos de producción en un corto plazo (tres y seis meses) que logre satisfacer la demanda esperada. Las limitantes que se presentan son: la capacidad de producción esperada, el tamaño de la fuerza de trabajo y los niveles de inventario. Los costos asociados en este tipo de problema son los salarios normales y de tiempo extra, contrataciones y despidos, subcontratación y costo de manejo de inventarios. • Planificación de productos: Trata de encontrar la mezcla óptima de productos, considerando que los productos requieren diferentes recursos y tienen distintos costos. Como ejemplo podemos encontrar la mezcla óptima de elementos químicos para gasolina, pinturas, dietas para el ser humano y alimento para animales. Planteamiento problemas de programación lineal. Ejericicio 1 : “The Avengers”: Infinity War. https://www.plandemejora.com/como-plantear-un-problema-de-programacion-lineal/ Ejericicio 1 : “The Avengers”: Infinity War. Problema 1 Ejemplo con “The Avengers”: Ejemplo relacionado a Infinity War: Imagina que para vencer a Thanos se requiere cierta cantidad de energía (como mínimo un poder de pelea de 81 000 ), para lo cual dispones de diferentes vengadores con 3 niveles de energía. Thor, Hulk, Ironman, Starlord, Visión, Dr. Strange y Wanda tienen un nivel de energía 1 (poder de pelea de 7000); Capitán América, Black Panter, Spiderman, Soldado del Invierno, Máquina de Hierro, Groot, Drax y Ant Man tienen un nivel de energía 2 (poder de pelea de 5000); y finalmente Hawkeye, Black Widow, Rocket, Falcon, y Gamora tienen un nivel de energía 3 (poder de pelea de 4 000). Si durante la pelea utilizamos a un héroe de nivel 1, la destrucción en la tierra será de 500 km2 ; si utilizamos un héroe de nivel 2, será de 325 km2 y si utilizamos un héroe de nivel 3, será de 250 km2 . Cada vengador adicional que participe suma al área de destrucción de la tierra de acuerdo a su nivel. Determinar la cantidad de vengadores por nivel a utilizar para vencer a Thanos y minimizar la destrucción en la tierra. Problema 2 Planteamiento problemas de programación lineal. Ejercicio 2 : Taquería “Tacoste”. (taquería “tacomiendo”) https://www.plandemejora.com/como-plantear-un-problema-de-programacion-lineal/ Taquería Tacoste; El chef principal (encargado de la parrilla) de “Tacoste”, está tratando de decidir cuál es la mejor manera de asignar las materias primas disponibles a los cuatro platillos especiales del viernes por la noche. La decisión se debe tomar temprano por la tarde porque tres de los platillos se deben empezar a preparar ya (albóndigas, tacos y picadillo). La tabla que está enseguida contiene la información sobre los alimentos en inventario y las cantidades requeridas por cada platillo. No hay otros hechos importantes para la decisión del chef. A continuación, se presenta la demanda de mercado estimada y el precio de venta. El chef quiere maximizar el ingreso porque ya ha comprado todos los materiales, los cuales están en el • Problema 3 Optimizan en la fabricación de lámparas Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2 . Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Problema 4 Material escolar Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Problema 5 Optimización para la alimentación en granja En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Problema 6 Programación lineal en la elaboración de medicinas Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? Problema 7 Ejercicio sobre ofertas de ropa Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/pl/ejercicios -y-problemas-resueltos-de-programacion-lineal.html#tema_material-escolar
