Mohan - Cap 3

CAPÍTULO 3
REVISIÓN DE CONCEPTOS
BÁSICOS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS
3-1
INTRODUCCIÓN
Este capítulo tiene una finalidad doble: 1) la revisión breve de algunas definiciones y conceptos básicos,
fundamentales para el estudio de la electrónica de potencia, y 2) la introducción de suposiciones simplificadas que permiten una evaluación fácil de circuitos de la electrónica de potencia.
3-2
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Se pretende usar, hasta donde sea posible, las letras estándares y símbolos gráficos del Institute of Electrical
and Electronics Engineers (IEEE) [Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos de Estados Unidos].
Además, las unidades pertenecen al Sistema Internacional de Unidades (SI). Con letras minúsculas se representa el valor instantáneo de cantidades que varían como función del tiempo. Con las letras mayúsculas
se representan ya sea los valores de promedio o los de rms. Ejemplo: en la figura 1-4b se muestra un voltaje voi y su valor promedio Voi. Un valor promedio o rms se indica explícitamente o puede ser obvio por el
contexto.
La dirección positiva de una corriente se indica en forma explícita por una flecha de corriente en el
diagrama de circuito. El voltaje en cualquier nodo se define respecto de la tierra de un circuito. Ejemplo: va
es el voltaje del nodo a respecto de la tierra. El símbolo vab se refiere al voltaje del nodo a respecto del nodo
b, donde vab va vb.
3-2-1 DEFINICIÓN DEL ESTADO PERMANENTE (O ESTABLE)
En los circuitos de la electrónica de potencia, los diodos e interruptores cambian en forma constante su
estado activo o inactivo. Por tanto, surge la pregunta: ¿cuándo está uno de estos circuitos en estado permanente? La condición de estado permanente se alcanza cuando las formas de ondas del circuito se repiten con
un periodo T que depende de la naturaleza específica de este circuito.
3-2-2 PROMEDIO DE ENERGÍA Y CORRIENTE rms
Considere el circuito de la figura 3-1, donde el flujo de energía instantáneo del subcircuito 1 al subcircuito
2 es
p(t)
vi
(3-1)
3-2
Subcircuito 1
Circuitos eléctricos
31
Subcircuito 2
Figura 3-1 Flujo de potencia instantáneo.
Tanto v como i pueden variar como función del tiempo. Cuando las formas de onda v e i se repiten con un
periodo T en estado permanente, el promedio del flujo de energía se calcula como
Pprom =
1
T
∫
T
p(t ) dt =
0
1
T
∫
T
En estas condiciones, si el subcircuito 2 consiste únicamente en una carga resistiva, v
ecuación 3-2
Pprom = R
1
T
∫
(3-2)
vi dt
0
Ri y en la
T
(3-3)
i 2 dt
0
En términos del valor rms I de la corriente, el promedio del flujo de potencia se expresa como
RI2
Pprom
(3-4)
La comparación con las ecuaciones 3-3 y 3-4 revela que el valor rms de la corriente es
I =
1
T
∫
T
i 2 ⋅ dt
(3-5)
0
lo que muestra el origen del término raíz cuadrática media (rms).
Si i es una corriente constante de CC, las ecuaciones 3-4 y 3-5 aún son válidas, en tanto los valores
promedio y rms permanezcan iguales.
3-2-3 FORMAS DE ONDA DE CA DE ESTADO PERMANENTE
CON VOLTAJES Y CORRIENTES SINUSOIDALES
Considere el circuito de CA de la figura 3-2a, con una carga inductiva en una operación de estado permanente, donde
v=
2V cos ω t
i=
2 I cos(ω t − φ)
(3-6)
y V e I son los valores de rms. Las formas de onda v e i están trazadas como funciones de ωt en la figura
3-2b.
3-2-3-1
Representación fasorial
Como v e i varían en forma sinusoidal con el tiempo a la misma frecuencia, pueden representarse en un
plano complejo por medio de la proyección de los fasores rotantes sobre el eje horizontal real, como se
muestra en la figura 3-2c. De manera convencional, estos fasores giran en sentido opuesto al de las manecillas del reloj con una frecuencia angular ω, y sus valores de rms (en vez de sus valores pico) sirven para
representar sus magnitudes:
V
Ve jo
e I
Ie
jφ
(3-7)
Al considerar la ecuación 3-6, el diagrama fasorial en la figura 3-2c corresponde al instante en que v
alcanza su valor positivo máximo.
En la ecuación 3-7, V e I están relacionados por la impedancia de carga compleja Z R jωL Ze jφ
en la frecuencia operativa ω de la siguiente manera:
I=
donde I
V/Z.
V
Ve jo
V
=
= e− jφ = Ie− jφ
j
φ
Z
Z
Ze
(3-8)
32
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
Referencia
Carga
Fuente
c)
a)
Figura 3-2 Estado permanente sinusoidal.
b)
3-2-3-2
Potencia, potencia reactiva y factor de potencia
La potencia compleja S se define como
S = VI* = Ve j 0 ⋅ Ie jφ = VIe jφ = Se jφ
(3-9)
En particular a la magnitud de la potencia compleja, también se le llama potencia aparente, se expresa en
las unidades de voltios-amperes, y es
S
VI
(3-10)
La potencia promedio real P es
P = Re[S] = VI cos φ
(3-11)
que se expresa como producto de V y el componente de corriente Ip I cos φ, que está en fase con el voltaje en el diagrama fasorial de la figura 3-2c. El componente fuera de fase es Iq I sen φ. El componente
de corriente en fase ip(t) y el componente de corriente fuera de fase iq(t) se expresan como
i p (t ) =
2 I p cos ωt = ( 2 I cos φ) cos ωt
(3-12)
2 I q sen ω t = ( 2 I sen φ)sen i ω t
(3-13)
y
iq (t ) =
donde i(t) ip(t) iq(t). Estos dos componentes de corriente se trazan en la figura 3-2b.
Cabe notar que ip e iq resultan en los componentes de flujo de potencia instantáneo p1 v ⋅ ip y p2
v ⋅ iq, donde p p1 p2. Tanto p1 como p2 pulsan a 2ω, el doble de la frecuencia de fuente ω. Aquí, p1
tiene un valor promedio dado por la ecuación 3-11; el valor promedio de p2 es cero.
En el diagrama fasorial de la figura 3-2c, sólo Ip ( I cos φ) es responsable de la transferencia de potencia, no Iq ( I sen φ). Es común definir una cantidad llamada potencia reactiva Q con las unidades de
var (voltios-amperios-reactivos) usando Iq. Cuando se define la potencia compleja S P jQ y se usan las
ecuaciones 3-9 y 3-10,
Q = VI sen φ = VI q = (S 2 − P 2 )1/2
(3-14)
3-2
Circuitos eléctricos
33
La carga inductiva que se muestra en la figura 3-2a tiene un valor positivo de φ, donde la corriente se
queda atrás del voltaje. De acuerdo con la ecuación 3-14, una carga inductiva absorbe vars positivos, que
también se llaman vars en atraso. Por el contrario, una carga capacitiva absorbe vars negativos, que también
se llaman vars en adelanto (en otras palabras, suministra vars positivos al sistema eléctrico).
Debe entenderse la importancia física de S, P y Q. El costo de la mayoría de equipos eléctricos, como
generadores, transformadores y líneas de transmisión, aumenta con S VI, pues su nivel de aislamiento
eléctrico y tamaño del núcleo magnético dependen de V, y su tamaño de conductor depende de I. La potencia P tiene una importancia física, pues representa el índice de trabajo útil que se realiza más las pérdidas
de potencia. En la mayoría de las situaciones es deseable que la potencia reactiva Q sea cero.
A partir de la discusión anterior se define otra cantidad que se llama factor de potencia, una medida de
la efectividad con la que la carga absorbe la potencia real:
Factor de potencia
P
P
=
= cos φ
S
VI
(3-15)
que no tiene dimensión. En el caso ideal, el factor de potencia deberá ser 1.0 (es decir, Q debe ser cero) para
absorber potencia con una magnitud de corriente mínima, y por tanto minimizar las pérdidas en el equipo
eléctrico y posiblemente en la carga.
■ Ejemplo 3-1 Una carga inductiva conectada a una fuente de CA de 120 V y 60 Hz absorbe 1 kW
con un factor de potencia de 0.8. Calcúlese la capacitancia requerida en paralelo con la carga para producir
el factor de potencia combinada de 0.95 (en retraso).
Solución
Para la carga:
PL = 1 000 W
SL =
1 000
= 1 250 VA
0.8
QL =
S L2 − PL2 = 750 VA (en retraso)
Por ende, la potencia compleja de la carga es
S L = PL + jQL
= 1 000 + j750 VA
La potencia reactiva jalada por el condensador se representa como −jQC porque la corriente del
condensador se queda adelante del voltaje por 90 . Por tanto, el total de la potencia compleja suministrada de la fuente es
S = ( PL + jQL ) − jQC
= PL + j (QL − QC )
Puesto que el factor de potencia combinada es 0.95 (de retraso),
S=
PL2 + (QL − QC )2 =
PL
0.95
 1

 = 328.7 VA (de retraso)
(QL − QC ) = PL 
−
1
 0.952

y por tanto,
QC
750
328.7
421.3 VA (adelantado)
34
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
Puesto que
QC =
C=
3-2-3-3
V2
V2
=
= V 2 ωC
XC
(1/ωC )
421.3 × 106
= 77.6 µF
2π × 60 × 120 2
■
Circuitos trifásicos
Durante condiciones operativas de estado permanente es posible analizar circuitos trifásicos como el de la
figura 3-3a por fase. Por lo general se supone que la secuencia de fase positiva sea a-b-c. Con valores de
rms para representar las magnitudes,
Ia =
Va
Ve jo
V
=
= e− jφ = Ie− jφ
Z
Z
Ze jφ
I b = I a e− j 2π / 3 = Ie− j (φ + 2π / 3)
(3-16)
I c = I a e j 2π3 = Ie− j ( φ− 2π / 3)
donde I V/Z. Suponiendo que si Z es una impedancia inductiva con un valor positivo de φ, el voltaje de
la fase y los fasores de corriente se muestran en la figura 3-3b.
a)
b)
c)
Figura 3-3 Circuito trifásico.
3-2
Circuitos eléctricos
35
Es posible calcular los voltajes de línea a línea desde los voltajes de fases, al reconocer por ejemplo que
vab va vb. La figura 3-3c muestra fasores de voltaje de línea a línea donde Vab VLLejπ/6 va adelante
de Va por 30 , y la magnitud de voltaje rms de línea a línea es
VLL =
(3-17)
3V
Es posible calcular la potencia por fase como
y Pfase = VI cos φ
Sfase = VI
(3-18)
Por tanto, en un sistema equilibrado, el total de la potencia trifásica se expresa como
S trifase = 3S fase = 3VI = 3VLL I
(3-19)
Ptrifase = 3Pfase = 3VI cos φ = 3VLL I cos φ
(3-20)
y
El circuito trifásico de la figura antecedente opera con el mismo factor de potencia que el factor de
potencia por fase denotado como cos φ.
Se deberá notar que incluso cuando un circuito trifásico opere con voltajes y corrientes no sinusoidales,
su potencia total aún puede calcularse por fase, en tanto el circuito opere en una condición equilibrada y de
estado permanente.
3-2-4 FORMAS DE ONDA NO SINUSOIDALES EN ESTADO PERMANENTE
En los circuitos de electrónica de potencia, las formas de ondas de CC o de CA de baja frecuencia se sintetizan con segmentos de una forma de onda de entrada. El voltaje de motor producido por el inversor de
electrónica de potencia en un accionamiento motriz de CA se muestra en la figura 3-4a. Ocurre a menudo
que la corriente de línea tomada de la fuente principal de alimentación por el equipo de electrónica de potencia se presente muy distorsionada, como se muestra en la figura 3-4b. En estado permanente, este tipo
de formas de onda se repite con un periodo T y una frecuencia de f ( ω/2π) 1/T. Esta frecuencia de repetición se llama frecuencia fundamental, y suele designarse por el subíndice 1. Además de una componente dominante en la frecuencia fundamental, las formas de ondas en la figura 3-4 contienen componentes en
las frecuencias indeseadas que son armónicos (múltiplos) de la frecuencia fundamental. Estos componentes
se calculan con el análisis de Fourier.
3-2-4-1 Análisis de Fourier de formas de ondas repetitivas
En general, una forma de onda no sinusoidal f(t) que se repite con una frecuencia angular ω se expresa
como
∞
f (t ) = F0 + ∑ fh (t ) =
h =1
donde F0
1
2
∞
1
a
2 0
+ ∑ {ah cos(h ωt ) + bh sen (hω t )}
(3-21)
h =1
a0 es el valor promedio. En la ecuación 3-21,
ah =
1
π
∫
2π
f (t ) cos(hωt ) d (ωt ) h = 0 ,. . ., ∞
(3-22)
h = 1,. . ., ∞
(3-23)
0
y
bh =
1
π
∫
2π
f (t ) sen( hω t ) d (ω t )
0
A partir de las ecuaciones 3-21 y 3-22, el valor promedio (al notar que ω
F0 = 12 a0 =
1
2π
∫
2π
f (t ) d (ωt ) =
0
1
T
∫
2π/T)
T
f (t ) dt
0
(3-24)
36
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
a)
Figura 3-4 Formas de ondas no
sinusoidales en estado permanente.
b)
En la ecuación 3-21, cada componente de frecuencia [fh(t)
como fasor en términos de su valor rms,
ahcos(hωt)
Fh = Fh e jφh
bhsen(hωt)] puede representarse
(3-25)
donde la magnitud de rms
Fh =
ah2 + bh2
2
(3-26)
y la fase φh está dada por
tan(φh ) =
(−bh )
ah
(3-27)
Como mostraremos más tarde, el valor de rms de la función f(t) se puede expresar en términos de los
valores de rms de sus componentes de serie de Fourier
∞

1/ 2
 2
F =  F0 + ∑ Fh 2 


h =1
(3-28)
Cabe notar que muchas formas de ondas de CC como la de la figura 3-4 tienen un valor promedio de
cero (F0 0). Además, con la simetría de formas de ondas a menudo es posible simplificar los cálculos
de ah y bh en las ecuaciones 3-22 y 3-23. La tabla 3-1 resume los tipos de simetría, condiciones requeridas
y expresiones para ah y bh.
3-2
Circuitos eléctricos
37
Tabla 3-1 La simetría en el análisis de Fourier
Simetría
ah y bh
Condición requerida
f (−t) = f (t )
Par
Impar
bh = 0
f (−t) = − f (t )
Media onda
ah = 0
f (t ) = − f (t + 12 T )
bh
Par y media onda
2
π
∫
2
=
π∫
f (t ) sen(hω t ) d (ωt )
0
f (t ) cos(hωt ) d (ωt ) para h impar
π
f (t ) sen(hωt ) d (ωt ) para h impar
0
bh = 0 para todos los h
ah = 0
π/2
f (t ) cos(h ωt ) d (ωt )
para h impar
0
paraa h par
para todos los h


4



π
bh = 





 0
∫
3-2-4-2
π
0
∫
Impar y media onda
f (t ) cos(hωt ) d (ωt )
0
π
4




ah =  π





 0
Cuarto de onda impar
π
ah = bh = 0 para h par
ah =
Cuarto de onda par
bh
2
π
∫
2
=
π∫
ah =
π/2
f (t ) sen(h ωt ) d (ωt )
para h impar
0
paraa h par
Distorsión de corrientes de línea
La figura 3-5 muestra una corriente de línea is tomada del suministro de electricidad principal por el equipo
de electrónica de potencia que se desvía considerablemente de una forma de onda sinusoidal. Esta corriente distorsionada también puede generar una distorsión en la tensión suministrada por la fuente de alimentación principal. Sin embargo, la distorsión en el voltaje de suministro suele ser pequeña. Con el fin de simplificar el análisis de modo significativo, se supondrá que el voltaje de entrada por el suministro de energía
sea puramente sinusoidal con la frecuencia fundamental (con ω1 ω y f1 f) como
vs =
2 Vs sen ω1t
(3-29)
La corriente de entrada en estado permanente es la suma de sus componentes de Fourier (armónicos)
como (aquí se supone que no hay ninguna componente de CC en is)
is (t ) = is1 (t ) + ∑ ish (t )
(3-30)
h ≠1
Figura 3-5 Distorsión de
corriente de línea.
38
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
donde is1 es el componente fundamental (de la línea de frecuencia) e ish es el componente en la frecuencia
armónica h, fh( hf1). Estos componentes de corriente en la ecuación 3-30 se expresan como
is (t ) =
2 I s1 sen (ω1t − φ1 ) + ∑ 2I sh sen(ωh t − φh )
(3-31)
h ≠1
donde φ1 es el ángulo de fase entre el voltaje de entrada sinusoidal supuesto vs e is1 (un valor positivo de φ1
significa que la corriente is1 va atrás del voltaje). El valor de rms Is de la corriente de línea se calcula al
aplicar la definición de rms dada por la ecuación 3-5 a la forma de onda de is, como en la siguiente ecuación
(donde T1 1/f1 2π/ω1):
1

I S = 
 T1
∫
1/ 2
dt

T1
is2 (t )
0
(3-32)
Se sustituye is de la ecuación 3-30 en la ecuación 3-32 y, notando que las integrales de todos los términos
de productos cruz (es decir, el producto de dos componentes de frecuencia) son individualmente cero,
(
2
I S = I s21 + ∑ I sh
h≠1
)
1/2
(3-33)
El monto de la distorsión en la forma de onda de voltaje o corriente (aquí en la corriente de entrada) se
cuantifica por medio de un índice llamado distorsión armónica total (total harmonic distortion, THD). El
componente de distorsión idis de la corriente de la ecuación 3-30 es
∑ ish (t )
idis (t ) = is (t ) − is1 (t ) =
(3-34)
h ≠1
Esto se grafica en la figura 3-5. En términos de los valores de rms,
I dis = [ I s2 − I s21 ]1/2 =
(∑ I )
h ≠1
2
sh
1/2
(3-35)
La THD en la corriente se define como
%THDi = 100 ×
I dis
I s1
= 100 ×
= 100 ×
(3-36)
I s2 − I s21
I s1
 I 2
∑  Ish 
s1
h ≠1
donde el subíndice i indica la THD en la corriente. Un índice similar THDv se expresa mediante sus componentes de voltaje en la ecuación 3-36.
En muchas aplicaciones es importante conocer el valor pico Is,pico de la forma de onda is en la figura
3-5 como proporción de la corriente de rms total Is. Esta proporción se define como
Factor de cresta =
3-2-4-3
I s ,pico
Is
(3-37)
Potencia y factor de potencia
Se comienza con la definición básica de la potencia promedio, en la figura 3-5
P=
1
T1
∫
T1
p(t ) dt =
0
1
T1
∫
T1
vs (t )is (t ) dt
0
(3-38)
3-2
Circuitos eléctricos
39
Se usa vs de la ecuación 3-29 e is de la ecuación 3-31 y una vez más se nota que las integrales de todos los
términos de productos cruz son de manera individual cero:
P=
1
T1
∫
T1
2Vssen ω1t ⋅ 2 I s1sen (ω1t − φ1 ) dt = Vs I s1 coosφ1
(3-39)
0
Observe que los componentes de corriente en frecuencias armónicas no contribuyen a la potencia promedio (real) tomada de la fuente de voltaje sinusoidal vs. La potencia aparente S es el producto del voltaje
de rms Vs y la corriente de rms Is (como en la ecuación 3-10 para cantidades sinusoidales),
S
(3-40)
Vs Is
El factor de potencia (PF) es el mismo que en la ecuación 3-15 para cantidades sinusoidales:
P
S
(3-41)
Vs I s1 cos φ1
I
= s1 cos φ1
Vs I s
Is
(3-42)
PF =
Con las ecuaciones 3-39 a 3-41,
PF =
El factor de potencia de desplazamiento (displacement power factor, DPF, que es lo mismo que el factor
de potencia en circuitos lineales con voltajes y corrientes sinusoidales) se define como el coseno del ángulo φ1:
DPF
cos φ1
(3-43)
Por tanto, el factor de potencia con una corriente no sinusoidal es
PF =
I s1
DPF
Is
(3-44)
Por la ecuación 3-35 nos damos cuenta de que una gran distorsión en la forma de onda de corriente generará un valor pequeño de Is1/Is, y por ende un factor de potencia bajo. En términos de las ecuaciones 3-36 y
3-44, el factor de potencia se expresa como
PF =
1
1 + THDi2
DPF
(3-45)
3-2-5 RESPUESTA DE INDUCTORES Y CONDENSADORES
Como lo muestran los fasores en la figura 3-6 en una condición de estado permanente sinusoidal, la corriente va atrás del voltaje por 90 en un inductor y se adelanta al voltaje por 90 en un condensador (capacitor).
Los voltajes y corrientes están relacionados por
IL =
V 
VL
=  L  e− jπ /2
jωL  ωL 
en un inductor
(3-46)
Figura 3-6 Representaciones fasoriales.
40
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
a)
Figura 3-7 Respuesta
de inductores y condensadores.
b)
e
I c = jωCVc = (ωCVc )e jπ / 2
En un inductor, L(diL/dt)
en un capacitor
(3-47)
vL(t), y por tanto,
iL (t ) = iL (t1 ) +
1
L
∫
t
v Ld ξ
t > t1
(3-48)
t1
donde ξ es la variable de integración e iL(t1) es la corriente del inductor en el momento t1. En la figura 3-7a
se aprecia la corriente del inductor en respuesta a un pulso de voltaje donde al principio, en t t1, el inductor tiene una corriente de iL(t1). Se observa que, si bien el voltaje del inductor puede saltar de forma instantánea, la corriente del inductor no puede saltar instantáneamente.
En la figura 3-7b se aprecia la corriente del condensador en respuesta al pulso de corriente, donde vc(t1)
es el voltaje inicial del condensador en t t1. Como C(dvc /dt) ic,
vc (t ) = vc (t1 ) +
1
C
∫
t
ic d ξ
t > t1
(3-49)
t1
donde ξ es la variable de integración. Si un condensador (capacitor) es un dual eléctrico de un inductor, su
corriente puede saltar instantáneamente, pero su voltaje no puede cambiar de modo instantáneo.
3-2-5-1 VL e Ic medios en estado permanente
Ahora consideraremos un concepto frecuente en la electrónica de potencia. Piense en los circuitos de las
figuras 3-8a y 3-9a en estado permanente, aunque los voltajes y corrientes de circuito no sean sinusoidales
ni CC constantes. Una condición de estado permanente implica que las formas de ondas de voltaje y corriente se repitan con un periodo T; es decir,
v(t
v(t) e
T)
i(t
T)
En el caso de un inductor que opere en condición de estado permanente, la sustitución de t
la ecuación 3-48 y el reconocimiento de que iL(t1 T) iL(t1) de la ecuación 3-50 resulta en
o
∫
1
T
(3-50)
i(t)
t1
T en
t1 +T
vLdξ = 0
t1
∫
t1 +T
vL d ξ = 0
(3-51)
t1
donde ξ es la variable de integración. La ecuación 3-51 implica que, en estado permanente, el voltaje medio
del inductor (promediado en un periodo) debe ser cero. Esto se ilustra con las formas de onda de la figura
3-2
Circuitos eléctricos
41
Subcircuito 2
Subcircuito 1
a)
Figura 3-8 Respuesta del inductor en estado
permanente.
b)
3-8b, donde el área A B. Como explicación física de esta propiedad, la integral del voltaje del inductor es
igual al cambio en el acoplamiento indirecto del inductor, y la ecuación 3-51 implica que el cambio neto de
flujo que acopla al inductor en un periodo de repetición es cero, lo cual es condición necesaria para la operación en estado permanente.
En caso de que un condensador opere en condición de estado permanente, sustituir t t1 T en la
ecuación 3-49 y reconocer que vc(t1 T) vc(t1) de la ecuación 3-50 resulta en
∫
t1 +T
ic d ξ = 0
t1
o
1
T
∫
t1 +T
ic d ξ = 0
(3-52)
t1
donde ξ es la variable de integración. La ecuación 3-52 implica que, en estado permanente, la corriente
media del condensador (promediado en un periodo) debe ser cero. Esto se ilustra con las formas de onda de
la figura 3-9b, donde el área A B. Como explicación física de esta propiedad, la integral de la corriente
Subcircuito 2
Subcircuito 1
a)
b)
Figura 3-9 Respuesta del condensador en
estado permanente.
42
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
del condensador es igual al cambio de la carga del condensador, y la ecuación 3-52 implica que el cambio
neto de carga en el condensador en un periodo de repetición es cero, lo cual es condición necesaria para la
operación en estado permanente.
3-3
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Los equipos de electrónica de potencia a menudo tienen componentes magnéticos, como inductores y transformadores. Abordaremos aquí algunos conceptos y definiciones básicos de circuitos magnéticos.
3-3-1 LA LEY DE AMPÈRE
Un conductor de corriente produce un campo magnético de intensidad H cuya unidad SI es amperios por
metro (A/m). Según la ley de Ampère (figura 3-10a), la integral de línea de la intensidad del campo magnético H (con unidades de A/m) es igual a la corriente total (encerrada):
∫ H dl = ∑ i
(3-53)
Para la mayoría de los circuitos prácticos, la ecuación antecedente se escribe como
∑ H k lk
=
k
∑ N m im
(3-54)
m
Para el circuito de la figura 3-10b, la ecuación se vuelve H1l1
Hglg
Nlil.
3-3-2 REGLA DE LA MANO DERECHA
El sentido de un campo H producido por un conductor de corriente se define por la regla de la mano derecha, en la que un tornillo con una rosca derecha se mueve en la misma dirección que el sentido de la corriente. El sentido del campo H se determina por la dirección rotativa del tornillo, como se muestra en la
figura 3-11a. Esta regla se aplica para determinar el sentido del campo H producido en el núcleo de una
bobina como la que se muestra en la figura 3-11b. El sentido de este campo H depende del sentido de la
corriente y de la forma como esté embobinada la bobina.
3-3-3 DENSIDAD DEL FLUJO O CAMPO B
El campo H se relaciona con la densidad del flujo B o campo B por la propiedad del medio donde existan
estos campos:
B
μH
(3-55)
l1 = longitud media de la trayectoria
Entrehierro:
Hg
a)
Núcleo: H1
b)
Figura 3-10 a) Formulación general
de la ley de Ampère. b) Ejemplo
específico de la ley de Ampère en el
caso del devanado en un núcleo
magnético con entrehierro.
3-3
Circuitos magnéticos
43
Campo H
Figura 3-11 Determinación del
sentido del campo magnético
mediante la regla de la mano derecha
en a) el caso general y b) un ejemplo
específico de una bobina conductora
de corriente embobinada sobre un
núcleo toroidal.
b)
a)
donde B está en unidades SI de webers por metro cuadrado (Wb/m2) o tesla (T) (un tesla es igual a un weber
por metro cuadrado), y μ es la permeabilidad del medio en unidades SI de henrys por metro (H/m). La
permeabilidad μ de un medio se define en términos de la permeabilidad del espacio o aire libre, μ0, y una
permeabilidad relativa μr:
μ
μ0 μr
(3-56)
donde μ0 4π 10 7 H/m y μr puede abarcar desde 1.0 para aire o un medio no magnético hasta varios
miles para hierro.
La ecuación 3-55 manifiesta una relación lineal entre los campos B y H, en tanto μ permanezca constante, por ejemplo, en materiales no magnéticos o en los magnéticos que operen en una región lineal, muy
por debajo de su densidad de flujo de saturación Bs, como se muestra en la figura 3-12. Más allá de Bs, un
material magnético comienza a saturarse, como se muestra en la figura 3-12, y la permeabilidad incremental μΔ ΔB/ΔH es mucho más pequeña que su permeabilidad en la región lineal.
3-3-4 CONTINUIDAD DE FLUJO
El campo B o la densidad de flujo representa la densidad de líneas de flujo por área de unidad. El flujo
magnético φ que cruza un área se obtiene mediante la integral de superficie del campo B normal para esta
área,
φ=
∫∫ B dA
(3-57)
A
Puesto que las líneas de flujo magnético forman bucles cerrados, las líneas de flujo que entran en un área
de superficie cerrada deben ser iguales a las que salen de ella. A esto se le llama continuidad de flujo, y se
representa como el íntegro de superficie cerrada de B, que es cero:
φ=
∫∫
(3-58)
B dA = 0
A( superficie cerrada )
Por ejemplo, en el circuito magnético de la figura 3-13, las ecuaciones 3-57 y 3-58 resultan en
B 1 A1
B2A2
B3A3
0
o sea
φ1
φ2
φ3
0
Región lineal
Figura 3-12
Relación entre campos B y H.
44
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
Figura 3-13
Continuidad de flujo.
En general,
∑ φk
(3-59)
=0
k
3-3-5 RESISTENCIA Y PERMEABILIDAD MAGNÉTICAS
La ley de Ampère en la forma de la ecuación 3-54 y la continuidad de flujo dada por la ecuación 3-58 pueden combinarse para definir la resistencia de un circuito magnético. En general, para un circuito magnético
del tipo que se muestra en la figura 3-10b,
∑ H k lk
k
=
l
∑ H k (µ k Ak ) µ k kAk
=
k
l
∑ ( Bk Ak ) µ k kAk
k
=
l
∑ φk µ k kAk
k
= φ∑
k
lk
µ k Ak
donde φk φ para cada k mediante la aplicación de la ecuación de continuidad de flujo de la ecuación 3-58.
Por tanto, de la ecuación 3-54 y la ecuación antecedente se desprende que
φ∑
k
lk
=
µ k Ak
∑ N m im
(3-60)
m
Para cada sección k, el término de la suma del lado derecho de la ecuación 3-60 se define como la reluctancia magnética en la trayectoria de las líneas de flujo magnético:
=
k
lk
µ k Ak
(3-61)
y por tanto,
φ∑
k
=
k
∑ N m im
(3-62)
m
Para la estructura magnética sencilla que se muestra en la figura 3-14,
φ
= Ni
(3-63)
Longitud media de trayectoria l
Área de sección
transversal A
Permeabilidad m
Figura 3-14 Resistencia magnética.
45
3-3 Circuitos magnéticos
Tabla 3-2 Analogía eléctrica-magnética
Circuito magnético
mmf Ni
Flujo φ
Reluctancia
Permeabilidad μ
Circuito eléctrico
v
i
R
l/ρ, donde ρ
resistividad
Como se apreció en la ecuación 3-61, la reluctancia de un circuito magnético depende de la propiedad del
medio magnético μ y su geometría l y A.
Si se conocen k e im en la ecuación 3-62 para circuitos parecidos al de la figura 3-10b, el flujo φ se
calcula como
φ=
∑ N m im
m
∑
(3-64)
k
k
La permeabilidad de un circuito magnético se define como la recíproca de su resistencia:
=
1
(3-65)
3-3-6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
A fin de analizar los circuitos magnéticos, a menudo conviene recurrir a una analogía entre cantidades
magnéticas y eléctricas, dada en la tabla 3-2, válida desde un punto de vista cuasiestático, es decir, en un
instante dado.
Esto lleva a la analogía entre las ecuaciones de circuitos magnéticos y eléctricos de la tabla 3-3.
La figura 3-15a muestra un circuito magnético y la figura 3-15b muestra su análogo eléctrico, que se
puede analizar fácilmente.
Tabla 3-3 Analogía de ecuaciones de circuitos eléctricos-magnéticos
Magnético
Ni
=
φ
φ∑
k
=
l
µA
Ley de Ohm:
=
∑ N m im
Ley de voltaje de Kirchhoff: i ∑ Rk =
k
∑ φk
Eléctrico (CC)
m
v
l
=R=
i
A /ρ
k
Ley de corriente de Kirchhoff:
=0
∑ ik
∑ vm
m
=0
k
a)
b)
Figura 3-15 a) Circuito
magnético. b) Análogo
eléctrico.
46
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
Externo
i debido a e
positivo
debido a i
a)
Figura 3-16 a) Sentido de flujo y
polaridad de tensión. b) Ley de Lenz.
b)
3-3-7 LEY DE INDUCCIÓN MAGNÉTICA DE FARADAY
Considérese una bobina estacionaria con o sin núcleo magnético, como se muestra en la figura 3-16a. Por
convención, se determina que la polaridad de tensión sea positiva en la terminal donde entra la corriente positiva. Aquí se usa el mismo conjunto de referencias que se aplica cuando se indica la ley de Ohm, v Ri.
Después de elegir el sentido de la corriente, se establece el sentido del flujo positivo mediante la regla de la
mano derecha, vertical hacia arriba en la figura 3-16a para una corriente positiva. Luego se relaciona por
medio de la ley de Faraday un acoplamiento indirecto de variación de tiempo de la bobina Nφ al voltaje
inducido como
e=+
d ( N φ)
dφ
= N
dt
dt
(3-66)
donde la polaridad de tensión positiva y el sentido de flujo son como se muestra en la figura 3-16a.
Esta polaridad de tensión inducida se confirma por la ley de Lenz de inducción electromagnética. Tratemos el flujo externo cambiante φe como causa, y la tensión inducida, como efecto. La polaridad de tensión
inducida es tal que circula una corriente (si el circuito está cerrado) para oponerse al cambio del acoplamiento de flujo. Por tanto, en la figura 3-16b, si φe aumenta con el tiempo en el sentido indicado, la polaridad de la tensión inducida se obtiene al cerrar hipotéticamente el circuito por medio de una resistencia R.
La corriente deberá salir de la terminal superior (según la regla de la mano derecha) a fin de oponerse al
cambio en el acoplamiento de flujo de la bobina mediante la producción de φi. Esto implica que la tensión
inducida tendría que ser positiva en la terminal superior de la bobina respecto de la terminal inferior.
3-3-8 COEFICIENTE DE INDUCCIÓN PROPIA
L (AUTOINDUCTANCIA)
Una bobina como la que se muestra en la figura 3-17 tiene una inducción propia o simplemente inducción
L, que se define como
L=
Nφ
o N φ = Li
i
(3-67)
Pendiente L
a)
b)
Figura 3-17 Inducción propia L.
3-3
Circuitos magnéticos
47
donde por lo general, en el rango lineal del material del núcleo, L es independiente de i. Al sustituir Nφ de
la ecuación 3-67 en la ecuación 3-66, se tiene
e=L
di
dL
di
+i
=L
dt
dt
dt
para una bobina estacionaria
(3-68)
En bobinas con núcleos ferromagnéticos, Nφ varía con i, como se muestra en la figura 3-17b, y se
puede linealizar como indica la línea punteada. La pendiente de esta característica linealizada es igual a la
inducción linealizada L.
En la ecuación 3-67, la sustitución para φ de la ecuación 3-63 arroja
L=
N Ni
N2
=
i
(3-69)
lo que muestra que la inducción de la bobina es una propiedad del circuito magnético y es independiente de
i, en tanto no ocurra una saturación magnética.
3-3-9 TRANSFORMADORES
3-3-9-1 Transformadores con núcleos sin pérdida
Un transformador consiste en dos o más bobinas magnéticamente acopladas. La figura 3-18a muestra una
sección transversal de un transformador conceptual con dos bobinas. Suponemos que el núcleo del transformador tiene las características de B-H que se muestran en la figura 3-18b y que B(t) es siempre menos
que Bs. El flujo total φ1 en la bobina 1 está dado por
φ1 = φ + φl1
(3-70)
φ2 = −φ + φl 2
(3-71)
y el flujo total φ2 en la bobina 2 está dado por
En las ecuaciones 3-70 y 3-71, φl1 y φl2 son los flujos de fuga en las bobinas 1 y 2, respectivamente, y están
diagramados en la figura 3-18a. El flujo φ en el núcleo acopla las dos bobinas y está dado por
φ=
N1i1 − N 2i2
=
c
donde
c
N1im
(3-72)
c
es la resistencia del núcleo e im es la corriente magnetizadora dada por la ecuación 3-72 como
im = i1 −
N 2 i2
N1
(3-73)
Los flujos de fuga están indicados por
φl1 =
N1i1
(3-74)
l1
a)
b)
Figura 3-18 a) Sección
transversal de un transformador. b) Características de B-H
del núcleo.
48
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
y
φl 2 =
N 2i2
(3-75)
l2
donde l1 y l2 son las reluctancias de las trayectorias del flujo de fuga. Incluso en transformadores de
buen diseño, los flujos de fuga son una parte no insignificante del total del flujo de las bobinas. Esto resulta en reluctancias de fugas que se deben tomar en cuenta en toda descripción de un transformador.
Los voltajes v1 y v2 en las terminales del transformador están indicados por
v1 = R1i1 + N1
d φ1
dt
(3-76)
y
v2 = −R2 i2 − N 2
d φ2
dt
(3-77)
Las resistencias R1 y R2 dan cuenta de las pérdidas óhmicas en los devanados, causadas por la conductividad
finita de los conductores. Los signos negativos en la ecuación 3-77 son el resultado de poner la polaridad
del voltaje v2 en positivo donde la corriente i2 sale de la terminal de la bobina 2 (donde el sentido de φ2 es
consistente con la regla de la mano derecha aplicada a la bobina 2). Con las ecuaciones 3-70, 3-72 y 3-74
en la ecuación 3-76 para expresar los flujos en términos de las corrientes i1 e i2, tiene
v1 = R1i1 +
N12 di1
N 2 di
+ 1 m
l1 dt
c dt
(3-78)
N 22 di2
N N di
+ 1 2 m
dt
dt
l2
c
(3-79)
De igual modo, el voltaje v2 se expresa como
v2 = −R2 i2 −
La notación en la expresión para v1 (ecuación 3-78) se simplifica mediante la definición de las siguientes cantidades:
la emf (fuerza electromotriz) inducida en la bobina 1 e1 =
N12 dim
di
= Lm m
dt
c dt
(3-80a)
donde
la inducción magnetizadora Lm =
N12
(3-80b)
c
y
la inductancia de fugas para la bobina 1 Ll1 =
N12
(3-81)
l1
Al emplear estas definiciones en la ecuación 3-78 se tiene que
v1 = i1 R1 + Ll 1
di1
di
di
+ Lm m = R1i1 + Ll1 1 + e1
dt
dt
dt
(3-82)
Si el tercer término del lado derecho de la ecuación 3-79 se multiplica por N1/N1 y se define
Ll 2 =
N 22
(3-83)
l2
entonces la ecuación 3-79 se expresa como
v2 = −R2i2 − Ll 2
di2
N2
di2
+
e1 = −R2i2 − Ll 2
+ e2
dt
N1
dt
(3-84)
donde e2 es la emf inducida en la bobina 2.
Las ecuaciones 3-82 y 3-84 forman la base del circuito equivalente al transformador que se muestra en
la figura 3-19a.
3-3 Circuitos magnéticos
49
Transformador
ideal
a)
Figura 3-19 Circuito equivalente para a) un
transformador físicamente realizable, devanado sobre
un núcleo sin pérdidas, y b) un transformador ideal.
b)
3-3-9-2 Transformadores ideales
Algunas veces, el circuito equivalente de un transformador puede simplificarse mediante las siguientes
idealizaciones:
1. R1 R2 0 (es decir, devanados a partir de conductores perfectos).
2.
0 (permeabilidad del núcleo μ ∞) y, por tanto, Lm ∞.
c
3.
∞ así que Ll1 Ll2 0 (flujos de fuga φl1 y φl2 0).
l1
l2
Si se pueden hacer estas idealizaciones, el equivalente del transformador se reduce al equivalente del transformador ideal que se muestra en la figura 3-19b. En las aproximaciones al transformador ideal, las ecuaciones 3-82 y 3-84 se reducen a
N
N
v1
v
v1 = e1
v 2 = e2 = 2 e1 = 2 v1 o
= 2
(3-85)
N1
N1
N1
N2
La ecuación 3-72 se rescribe como
las corrientes como
cφ
N1i1
N2i2
N 2 i2 = N1i 1 o
0 cuando
i1
N
= 2
i2
N1
c
0. Por ende, pueden expresarse
(3-86)
Las ecuaciones 3-85 y 3-86 son la descripción matemática de un transformador ideal. Observe que el circuito
equivalente para el transformador físicamente realizable de la figura 3-19a contiene un transformador ideal.
3-3-9-3 Transformadores con núcleos que tienen histéresis
Si el transformador está devanado en un núcleo magnético que tiene una característica de B-H con histéresis, como se muestra en la figura 3-20, el flujo variante en el tiempo en el núcleo disipará la potencia en el
Figura 3-20 Característica de B-H de un núcleo de un transformador que
tiene histéresis y por ende pérdidas magnéticas.
50
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
a)
Figura 3-21 Circuito equivalente de un transformador, con los efectos de pérdida por histéresis.
a) Los componentes del circuito están en ambos
lados (los lados de la bobina 1 y de la bobina 2)
del transformador ideal. b) Los componentes del
lado secundario (bobina 2) están reflejados a través
del transformador ideal hacia el lado primario
(bobina 1).
b)
núcleo. Esta disipación o pérdida se debe tomar en consideración en el circuito equivalente del transformador. Según la ecuación 3-72, la corriente magnetizadora im es la que genera el flujo en el núcleo, y en el
circuito equivalente magnéticamente sin pérdida de la figura 3-19a, im fluye a través de la inductancia magnetizante Lm. En presencia de pérdidas del núcleo, im aún genera el flujo en el núcleo, así que una manera
conveniente para modelar las pérdidas del núcleo en el circuito equivalente del transformador es por medio
de una resistencia, ya sea en serie con Lm o en paralelo con Lm. La práctica estándar es incluir una resistencia Rm en paralelo con Lm, como se muestra en la figura 3-21a, lo que hace las pérdidas del núcleo iguales
a e12/Rm.
3-3-9-4
Inductancias de fuga por unidad
El total de la inductancia de fuga, vista desde un lado (por ejemplo, desde el lado de la bobina 1) se escribe
como
Ll ,total = Ll1 + Ll′2
(3-87)
donde L l2 es Ll2 reflejado a través del transformador ideal en el circuito equivalente de la figura 3-21a hacia
el lado primario (lado de la bobina 1) del transformador. Aquí, L l2 se expresa como
2
 N1 
Ll′2 =   Ll 2
 N2 
(3-88)
De igual manera, la resistencia de devanado R2 se refleja a través del transformador ideal hacia el lado de la
bobina 1 del circuito equivalente, y se escribe como
 N1 2
R2′ =   R2
 N 2 
(3-89)
En la figura 3-21b se muestra el circuito equivalente resultante para el transformador con todos los componentes no ideales pero aún lineales hacia el lado primario (bobina 1) del transformador. Para el análisis
aproximado en transformadores con valores superiores a unos cuantos kilo-volt-amperios, normalmente es
posible ignorar las resistencias de devanado y suponer que el núcleo magnético es ideal (es decir, R1, R2
0 y Rm, Lm ∞).
El total de la inductancia de fuga Ll,total Ll1 L l2 a menudo se especifica por unidad o porcentaje del
voltaje del transformador y valores de voltios-amperios. Esto se puede ilustrar con un ejemplo.
■ Ejemplo 3-2 Un transformador de 110/220 V, 60 Hz monofásico de 1 kVA tiene una reactancia de
fuga de 4%. Calcule su inductancia de fuga total en a) al lado de 110 V y en b) al lado de 220 V.
Resumen
51
Solución
Si suponemos que el lado de 110 V es el lado 1 y el lado de 220 el lado 2, N1/N2
que Llt1 es la inductancia de fuga total en el lado 1 y Llt2 en el lado 2.
0.5. Supongamos
a) Para el lado 1,
V1, nominal = 110 V
I1, nominal =
Z1, base =
1 000
= 9.09 A
110
V1,nominal
110
=
= 12.1 Ω
I1,nominal
9.09
Por tanto,
Llt1 =
0.04 × Z1,base
= 1.28 mH
2π × 60
b) Para el lado 2,
V2,nominal = 220 V
I 2,nominal =
Z 2, base =
1 000
= 4.54 A
220
V2,nominal
= 48.4 Ω
I 2,nominal
Por tanto,
Llt2 =
Observe que Llt1 = ( N1 /N 2 )2 Llt 2 .
0.04 × Z 2,base
= 5.15 mH
2π × 60
■
RESUMEN
1. El estado permanente en un circuito de electrónica de potencia se define como la condición cuando las
formas de ondas del circuito se repiten con un periodo T que depende de la naturaleza específica del
circuito.
2. Para tensiones y corrientes sinusoidales en circuitos monofásicos y trifásicos están definidas las siguientes cantidades: valores rms, potencia media, potencia reactiva o vars, y factor de potencia.
3. Se repasa el análisis de Fourier para expresar formas de ondas no sinusoidales en estado permanente en
términos de sus componentes de frecuencia armónicos.
4. Se define un índice de distorsión llamado distorsión armónica total (THD) para tensiones y corrientes
no sinusoidales.
5. En caso de tensiones sinusoidales suministradas por el servicio de electricidad público, se definen el
factor de potencia de desplazamiento (DPF) y el factor de potencia (PF) para cargas no lineales que jalan corrientes no sinusoidales.
6. En el estado permanente en circuitos de electrónica de potencia, el promedio de voltaje a través de un
inductor es cero. De igual modo, el promedio de corriente a través de un condensador es cero.
7. Se repasan los siguientes principios básicos: la ley de Ampère, la regla de la mano derecha, la densidad
de flujo o campo B, la continuidad de flujo, y la resistencia y permeabilidad magnéticas.
8. Para el análisis de circuitos magnéticos, se recurre a una analogía entre el circuito magnético y el circuito eléctrico instantáneo. Se repasa la ley de inducción magnética de Faraday y la definición de inducción
propia.
9. Se repasan los conceptos básicos relativos a los transformadores.
52
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
PROBLEMAS
3-1
Con valores rms para representar sus magnitudes, el voltaje a través de una carga y la corriente que entra en ella
son los siguientes en forma de vectores de fáseres:
V
Ve jo
e
I
Ie
jφ
Demuestre que la potencia instantánea p(t) v(t) ⋅ i(t) se escribe como p(t)
el promedio de potencia P VI cos φ y la potencia reactiva Q VI sen φ.
3-2
En el problema 3-1, V
120 V e I
e
j30
P
P cos 2ωt
Q sen 2ωt, donde
A.
a) Trace lo siguiente como una función de ωt:
i)
v, i y p(t)
ii)
ip como se definió en la ecuación 3-12 y p1
v ⋅ ip
iii) iq como se definió en la ecuación 3-13 y p2
v ⋅ iq
b) Calcule el promedio de potencia P.
c) Calcule el valor pico de p2 en la parte a) y Q de la ecuación 3-14.
d) Calcule el factor de potencia de carga (PF). ¿La carga es inductiva o capacitiva? ¿Jala la carga vars positivos?
3-3
Para las formas de onda de la figura P3-3, calcule sus valores medios y los valores rms de los componentes fundamentales y armónicos de la frecuencia.
3-4
En las formas de onda de la figura P3-3 del problema 3-3, A
Calcule sus valores rms totales como sigue:
10 y u
20 (u1
u2
u/2), donde sea aplicable.
a) Con los resultados del problema 3-3 en la ecuación 3-28.
b) Con la definición del valor rms que se da en la ecuación 3-5.
3-5
Consulte el problema 3-4 y calcule lo siguiente:
a) Para cada una de las formas de onda a-e, calcule la proporción de i) el componente de frecuencia fundamental
al valor rms total y ii) del componente de distorsión al valor rms total.
b) Para las formas de onda f y g, calcule la proporción del valor medio al valor rms total.
3-6
2 V sen ωt a una carga monofásica. La corriente que jala la carga corresponSe aplica un voltaje sinusoidal v
de a una de las formas de onda a-e de la figura P3-3. El cruce cero de la corriente de la forma de onda se rezaga de
la forma de onda del voltaje en ωt φ . Con los resultados de los problemas 3-3 y 3-4, calcule la potencia media
que jala la carga, el factor de potencia de desplazamiento (DPF), la distorsión armónica total (THD) y el factor de
potencia de cada forma de onda de los siguientes factores numéricos: V 120 V, A 10 A, φ 30° y u 20°
(u1 u2 u/2), donde sea aplicable.
3-7
Se proporciona una carga inductiva trifásica equilibrada en estado permanente desde una fuente de voltaje trifásico
con una fase de voltaje de 120 V rms. La carga jala un total de 10 kW en un factor de potencia de 0.85 (retrasado).
Calcule el valor rms de las corrientes de fase y la magnitud de la impedancia de carga por fase. Grafique un diagrama de fáseres que muestre los tres voltajes y corrientes.
3-8
Se filtra y aplica un voltaje de entrada de una forma de onda repetitiva a través de la carga de resistencia, como se
muestra en la figura P3-8. Suponga que el sistema está en estado permanente. Suponga que L 5 μH y PCarga
250 W.
a) Calcule el voltaje medio de salida Vo.
b) Suponga que C →∞ de modo que vo(t) Vo. Calcule ICarga y el valor rms de la corriente del condensador ic.
c) En la parte b), trace vL e iL.
3-9
Las formas de onda repetitivas para la corriente que entra en una carga y el voltaje a través de ella en la figura
P3-9 se muestran mediante segmentos lineales. Calcule la potencia media P que entra en la carga.
3-10
En la figura P3-9 se supone que el máximo (mínimo) de la carga de voltaje sea mayor (menor) que Vprom por 1%.
Del mismo modo, en la corriente, la fluctuación alrededor de su valor medio es ±5%. Calcule el error en porcentaje si se supone que el promedio de potencia es VpromIprom, comparado con su valor exacto.
3-11
Un transformador está devanado sobre un núcleo toroidal. Al devanado primario se le suministra un voltaje de onda
rectangular con una amplitud de ±50 V y una frecuencia de 199 kHz. Suponga una densidad de flujo uniforme en
el núcleo y calcule el número mínimo de giros del devanado primario que se requiere para mantener la densidad
de flujo pico en el núcleo debajo de 0.15 Wb/m2 si el área de sección transversal del núcleo es de 0.635 cm2.
Trace las formas de onda del voltaje y densidad de flujo en estado permanente como funciones de tiempo.
Problemas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Figura P3-3
iCarga
15 V
(Carga)
Figura P3-8
53
54
CAPÍTULO 3 Revisión de conceptos básicos de circuitos eléctricos y magnéticos
Imáx
Iprom
Imín
Carga
Vmáx
Vprom
Vmín
Figura P3-9
3-12
Un núcleo toroidal tiene entrehierros distribuidos que hacen que la permeabilidad relativa sea igual a 125. El área
de sección transversal del núcleo es 0.113 cm2, y la longitud media de la ruta, 3.12 cm. Calcule el número de giros
requeridos para obtener una inductancia de 25 μH.
3-13
En el ejemplo 3-2, calcule la regulación del voltaje del transformador en porcentaje, si el voltaje de entrada es
110 V al transformador, que suministra sus kVA de carga completa a una carga con los siguientes factores de potencia:
a) 1.0
b) 0.8 (de retraso)
Observe que la regulación del voltaje del transformador se define como
Porcentaje de regulación = 100 ×
3-14
Vsalida, sin carga − Vsalida, carga complleta
Vsalida, sin carga
Consulte el problema 3-11 y calcule la inductancia magnetizadora Lm si la longitud media de la ruta es igual a
3.15 cm y su permeabilidad relativa μr 2 500.
REFERENCIAS
1.
H.P. Hsu, Fourier Analysis, Simon & Schuster, Nueva York, 1967.
2.
Cualquier texto de introducción a los circuitos eléctricos y campos magnéticos.