conversion-electromecanica-de-la-energia-utfsm-muller-2001

UNIVERSIDAD
TÉCNICA
FEDERICO
SANTA MARÍA
Departamento de Electricidad
Conversión
Electromecánica
de Energía
J.Müller
2001
ÍNDICE
1.
EL CIRCUITO MAGNÉTICO
1-5
1.1
Introducción
1-5
1.2
Prototipo y aproximaciones
1-6
1.3
Circuitos magnéticos
1-10
1.4
Imanes permanentes
1-14
2.
EL REACTOR
2-17
2.1
Introducción
2-17
2.2
Efectos físicos en el reactor
2.2.1
Dispersión magnética
2.2.2
Pérdidas en el fierro
2.2.3
Corriente magnetizante compleja
2.2.4
Pérdidas en el cobre
2-20
2-20
2-21
2-26
2-27
2.3
Circuito equivalente.
2.3.1
Circuitos electromagnéticos.
2.3.2
Circuito equivalente del reactor
2-29
2-29
2-33
2.4
2-35
3.
Tensión inducida
EL TRANSFORMADOR
3-38
3.1
Introducción
3-38
3.2
Dispersión inductiva y esquema de acoplamiento inductivo
3-39
3.3
El transformador de potencia.
3.3.1
Circuito equivalente
3.3.2
Diagrama fasorial
3.3.3
Funcionamiento en vacío
3.3.4
Funcionamiento en cortocircuito estacionario
3.3.5
Funcionamiento con carga
3-42
3-43
3-47
3-51
3-51
3-54
4.
DEVANADOS
4-59
4.1
Introducción
4-59
4.2
Corrientes y campo magnético en el entrehierro
4.2.1
Bobinas acortadas, el factor de cuerda
4.2.2
Bobinas distribuidas, factor de zona
4.2.3
Devanados de corriente alterna
4.2.4
Campo giratorio mediante devanado trifásico
4.2.5
La distribución de inducción en el entrehierro
4-60
4-66
4-68
4-70
4-73
4-76
4.3
Tensión inducida en un devanado
4.3.1
Tensión inducida en una bobina de paso completo
4.3.2
Tensión inducida en una bobina de paso acortado
4.3.3
Tensión inducida en un grupo de bobinas
4.3.4
Tensión inducida en un devanado de corriente continua
4-77
4-79
4-82
4-82
4-84
4.4
4-86
5.
Inductancias propias y mutuas de devanados
FUERZAS ELECTROMAGNÉTICAS
5-89
5.1
Introducción
5-89
5.2
Fuerza y energía, una visión sistémica
5-90
5.3
Transductores de movimiento limitado
5.3.1
Torque de reluctancia
5.3.2
Torque de excitación
5-93
5-95
5-98
5.4
Máquinas rotatorias, conversión continua de energía
5-101
5.5
Resumen
5-105
6.
MÁQUINA DE CORRIENTE CONTINUA
6-106
6.1
Introducción
6-106
6.2
Características constructivas
6-107
6.3
Principio de funcionamiento
6-109
6.4
Ecuaciones de equilibrio eléctricas
6-111
6.5
Ecuación de equilibrio mecánica
6-115
6.6
Funcionamiento estacionario
6.6.1
Distribución del campo en el entrehierro
6.6.2
Efecto desmagnetizante de la reacción de armadura
6.6.3
Autoexcitación
6.6.4
Conmutación
6.6.5
Características estacionarias como generador
6.6.6
Características estacionarias como motor
7.
MÁQUINA SINCRÓNICA
6-116
6-117
6-118
6-121
6-122
6-125
6-128
7-132
7.1
Introducción
7-132
7.2
Características constructivas
7-133
7.3
Principio de funcionamiento
7-134
7.4
Ecuaciones de equilibrio eléctricas
7.4.1
Circuito equivalente por fase
7.4.2
Efecto de la saturación
7.4.3
Diagrama fasorial
7-135
7-140
7-141
7-142
7.5
7-146
Potencia y momento
7.6
Condiciones de funcionamiento especiales
7.6.1
Cortocircuito estacionario
7.6.2
Carga reactiva inductiva pura
7-150
7-150
7-152
7.7
7-153
Determinación experimental de la reactancia sincrónica
7.8
Funcionamiento en red infinita
7.8.1
Variación de la excitación
7.8.2
Variación del momento
7.8.3
Lugar geométrico de la corriente
8.
MÁQUINA ASINCRÓNICA
7-155
7-157
7-157
7-158
8-161
8.1
Introducción
8-161
8.2
Características constructivas
8-162
8.3
Principio de funcionamiento
8-164
8.4
Ecuaciones de equilibrio eléctricas
8-166
8.5
Circuito equivalente y diagrama fasorial
8-171
8.6
Potencia y momento
8-175
9.
EJERCICIOS
9-180
1. El circuito magnético
1.1
Introducción
Desde los tiempos de Oersted (1820) se sabe que corrientes eléctricas producen
campos magnéticos. Esta relación fundamental se expresa analíticamente en la ley de
Ampere:
r
r
∫ H • ds = I
(1.1.1)
que recoge la evidencia empírica que, a lo largo de una trayectoria cerrada rs
cualquiera, la integral de la componente de la intensidad del campo magnético H
paralela al camino de integración es igual a la totalidad de la corriente I abrazada por
ese camino de integración.
La relación (1.1.1) es completamente general e independiente de las características
del medio que atraviesa el camino de integración cerrado. Mediante ella se rpuede
calcular la corriente abrazada por éste si se conoce la distribución espacial de H .
En la práctica es más común el problema inverso, res decir, normalmente existe la
necesidad de determinar la distribución espacial de H creada por una distribución de
corrientes conocida.
La solución de este problema requiere de un despliegue matemático considerable y,
aún así, sólo es posible encontrar soluciones analíticas rigurosas para medios
isotrópicos de geometrías muy simples. Sin embargo, estos métodos forman la base
para algorítmos que permiten lograr soluciones numéricas aún para las situaciones
más complejas.
Si bien los programas para el cálculo numérico de campos dan respuestas
cuantitativas satisfactorias para situaciones específicas, estas, por su naturaleza, no
permiten una visión global y subsiste la necesidad de contar con soluciones analíticas,
aunque estas sean aproximadas, que permitan apreciar la influencia de los
parámetros sobre la solución.
Las formas geométricas y las características de los materiales usados en la mayor
parte de los dispositivos electromagnéticos prácticos, como los transformadores y las
máquinas eléctricas rotatorias, permiten simplificar el problema y formular soluciones
analíticas aproximadas.
Para concretar estas ideas y entender la naturaleza de las aproximaciones necesarias
se analiza primeramente el caso de una bobina toroidal.
1-6
capítulo 1 : circuito magnético
1.2
Prototipo y aproximaciones
Considérese un solenoide de sección circular formado por N vueltas de alambre de
cobre aislado, uniformemente distribuidas, doblado de manera que sus dos secciones
extremas se toquen, dejando en el interior un espacio toroidal (figura 1.2.1).
espiras
ri
r
re
sección q
Figura 1.2.1 Electroimán toroidal
Si por la bobina circula una corriente i, creará en el interior del toroide un campo
magnético cuyas líneas de fuerza, por consideraciones de simetría, serán
necesariamente circunferencias concéntricas.
También es la simetría lar que permite concluir que a lo largo de una línea de fuerza
de radio r el módulo de H debe permanecer constante, ya que todos los puntos sobre
esa circunferencia son equivalentes en cuanto a su relación con la distribución de
corrientes.
Considerando estos hechos, que nacen de la geometría y de la distribución de
r
corrientes considerada, la evaluación de la integral en (1.1.1) es inmediata, ya que H
es tangente a la circunferencia. Para el espacio interior del toroide rige entonces:
H( r ) =
iN
2π r
.
(1.2.1)
Para el espacio exterior vale H( r ) = 0 , ya que la corriente total abrazada por un
camino de integración concéntrico con el toroide es cero y cualquier punto sobre esa
1-7
capítulo 1 : circuito magnético
trayectoria está en la misma condición respecto a la distribución espacial de corrientes
(simetría).
El campo magnético está confinado al interior del toroide.
En la figura 1.2.2, que corresponde a la H(r)
representación gráfica de la relación (1.2.1),
se puede apreciar que el campo en el interior Hi
del toroide no es homogéneo. Sólo si las
dimensiones del toroide son tales que (re-ri ) He
<< ri , vale decir, para una sección pequeña y
un radio interior grande, el campo puede ser
considerado aproximadamente homogéneo
con un valor para H igual al promedio de los
valores extremos.
En adelante se supone que esa condición
está satisfecha.
ri
re
r
Con campo homogéneo, la inducción B es
constante sobre la sección del toroide, por lo Figura 1.2.2 Distribución H(r) en un
electroimán toroidal.
que el flujo se calcula simplemente como
Φ = Bq = µ 0 H q = µ 0
Nq
i.
2πr
(1.2.2)
Considérese ahora que el interior del toroide esté relleno con material ferromagnético
de permeabilidad µ >> µ0 . De acuerdo con (1.2.1) el valor de H no es afectado por el
cambio de núcleo. En cambio la inducción B y el flujo Φ sí se incrementan. La misma
corriente i produce ahora un flujo µr = µ /µ0 veces mayor. La amplificación del flujo
por el núcleo ferromagnético se puede explicar en términos del efecto orientador
sobre los imanes moleculares, originalmente desordenados, ejercido por el campo
producido por la corriente i .
Supóngase que el toroide haya sido dividido en dos partes iguales, de sección
semicircular, una ocupada por material ferromagnético de permeabilidad µ y la otra
por material nomagnético de permeabilidad µ0 (figura 1.2.3).
Como no se ha alterado ni la simetría, ni la corriente de excitación i, la modificación
planteada no afecta a la intensidad del campo H(r) , que sigue descrita por la relación
(1.2.1). La diferencia de permeabilidad sólo afecta a la división del flujo entre los dos
semitoroides.
1-8
capítulo 1 : circuito magnético
i
fierro
Ni
aire
a)
b)
Figura 1.2.3 Semitoroide de material ferromagnético con
a)
Excitación magnética distribuida
b)
Excitación magnética concentrada
De acuerdo con la relación (1.2.2) el flujo en el semitoroide de material ferromagnético
vale:
q
Nq
Φ fe = Bfe = µ
i ,
(1.2.3)
2
4πr
mientras que el flujo en el semitoroide de material nomagnético vale :
Φa = Ba
q
Nq
= µ0
i .
2
4πr
(1.2.4)
Como µ >> µ0 , Φfe >> Φa , es decir, el flujo por el material nomagnético es sólo una
pequeña fracción del flujo por el material magnético , por lo que en primera
aproximación se puede suponer que el flujo por el material nomagnético es
despreciablemente pequeño y que todo el flujo se encuentra en el volumen del
semitoroide de material magnético.
Este resultado permite relajar la exigencia inicial de un enrollado uniformemente
distribuido sobre el núcleo, mediante la cual se garantizaba la circularidad de las
líneas de fuerza y se limitaba el campo al interior del toroide.
Al utilizar material de alta permeabilidad para el núcleo del toroide , la alta
permeabilidad hace que el flujo siga esencialmente confinado al volumen del toroide,
aunque las espiras del enrollado se concentren en un sector del núcleo, dejando al
resto del núcleo descubierto. En esta circunstancia, el campo creado por el devanado
uniformemente distribuido es aproximadamente igual al campo creado por el
devanado concentrado en un sector del toroide, por lo que en este segundo caso
también se puede usar la relación (1.2.2) para calcular el flujo. Este recurso es de
gran utilidad para la obtención de soluciones analíticas aproximadas.
1-9
capítulo 1 : circuito magnético
Siempre con la intensión de introducir
aproximaciones razonables que permitan
la formulación de soluciones analíticas,
considérese nuevamente al núcleo toroidal
de material ferromagnético, para analizar
las consecuencias de un pequeño corte
radial de ancho la sobre la distribución del
campo magnético (figura 1.2.4).
Φ
i
r
N
la
Por efecto del corte desapareció la
simetría y, con ella, la línea argumentativa
que anteriormente permitió obtener Figura 1.2.4 Relativo a la formulación de
un modelo para un toroide
importantes
conclusiones
sobre
la
con entrehierro.
distribución espacial del campo.
Sin embargo, la presencia de material ferromagnético de alta permeabilidad,
eventualmente apoyado por un enrollado uniformemente distribuido a lo largo del
núcleo, hace que el flujo quede confinado esencialmente al volumen del toroide,
excepto en la región próxima al corte o entrehierro.
Dada la dificultad de determinar el campo en el entrehierro y en su entorno inmediato,
se hace una suposición simplificatoria, es decir, se formula un modelo, asumiendo
que las líneas de fuerza siguen siendo circunferencias en la región problemática.
Esto implica que la inducción en el núcleo ferromagnético y en el aire debe tener el
mismo valor:
Bi = Ba ,
de lo que sigue que
µ Hi = µ 0 Ha ,
(1.2.5)
donde Hi es la intensidad del campo magnético homogéneo en el interior del material
ferromagnético, mientras que Ha es su valor en el entrehierro.
De acuerdo con el modelo, el campo es homogéneo tanto en el núcleo como en el
entrehierro y HI y Ha son constantes. En consecuencia
r
r
∫ H • ds = H
l i + Ha l a = N i
con l i = 2 π r − la .
i
(1.2.6)
A partir de las relaciones (1.2.5) y (1.2.6) se determina la intensidad del campo en el
entrehierro como :
1-10
capítulo 1 : circuito magnético
Ha =
Ni
.
µ0
l +l
µ i a
(1.2.7)
Si bien el valor numérico calculado mediante esta relación es algo superior al real, la
expresión tiene el mérito de mostrar claramente la influencia de los parámetros sobre
el resultado.
Por las características del modelo, el flujo en el núcleo y en el entrehierro es
necesariamente el mismo y vale
Φ = µ 0 Ha q =
Ni
li
l
+ a
µq µ0 q
,
(1.2.8)
donde q es la sección del toroide, igual a la del entrehierro.
Si los parámetros en (1.2.8) fuesen conocidos, la relación permitiría determinar con un
grado de aproximación razonable el flujo en el entrehierro producido por cierta
excitación magnética, como también la excitación magnética necesaria para obtener
un determinado flujo en el entrehierro. Lamentablemente la permeabilidad µ de los
materiales ferromagnéticos no es constante, ni se conoce de antemano, por lo que el
valor práctico de la expresión (1.2.8) es limitado.
El toroide con entrehierro puede ser considerado como el prototipo de las máquinas
eléctricas en lo que a la determinación del campo magnético se refiere y las
aproximaciones y consideraciones practicadas en relación con él pueden ser
aplicadas sin mayor dificultad a geometrías más generales si se respeta las
restricciones que limitan su validez. Los conceptos y técnicas para ello necesarias son
el motivo del párrafo siguiente.
1.3
Circuitos magnéticos
Para un circuito de corriente continua, formado por la conexión en serie de una fuente
de tensión V y de dos conductores de longitudes l1 y l2, secciones q1 y q2 y
conductividades σ1 y σ2 respectivamente, la corriente se calcula como :
I=
V
=
R1 + R2
V
l1
l
+ 2
σ1 q 1 σ2 q 2
(1.3.1)
1-11
capítulo 1 : circuito magnético
Al comparar (1.3.1) con (1.2.8) salta a la vista la correspondencia formal entre ambas
relaciones. Esta correspondencia a llevado a introducir el concepto circuito magnético
en analogía con el circuito eléctrico de corriente continua.
Para ello se establece las siguientes analogías :
Corriente
Tensión
Resistencia
I
V
R
⇔
⇔
⇔
Flujo
Excitación magnética
Reluctancia
Φ
F
ℜ
Extendiendo la analogía a las leyes de Ohm y de Kirchhoff, se tiene que en el circuito
magnético rige:
F
ℜ
Φ=
(en cada elemento)
(1.3.2)
∑Φ
=0
(en cada nodo)
(1.3.3)
∑F
=0
(en cada malla)
(1.3.4)
i
i
i
i
Como consecuencia de lo anterior, los elementos del circuito magnético, es decir, las
reluctancias, se combinan de la misma manera como se combinan las resistencias en
el circuito eléctrico.
Sin embargo, hay una característica fundamental del circuito eléctrico que, en general,
no tiene su equivalente en el circuito magnético : la constancia de los parámetros.
Efectivamente, la reluctancia, que para cada tramo con campo homogéneo -de
longitud l, sección q y permeabilidad µ - se calcula como
ℜ=
l ,
µq
(1.3.5)
en el caso de materiales ferromagnéticos, depende fuertemente del grado de
saturación, determinado por el flujo.
En consecuencia, los circuitos magnéticos, en general, serán nolineales y por lo tanto
para ellos dejan de ser aplicables los métodos de análisis basados en el principio de
superposición, que son justamente los que han hecho de la teoría de circuitos una
herramienta tan poderosa .
Frente a esta situación, y como la nolinealidad se expresa habitualmente a través de
la característica de magnetización Bmax(Hef ), en la práctica se prefiere usar
directamente las variables de campo B y H.
1-12
capítulo 1 : circuito magnético
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.6
8.0
9.0
10
2.5
Wb 
B 2 
m 
A
H 
m 
4
11 ⋅10
2.4
Chapa silicosa
2.3
2.2
2.1
2.0
1.9
 Wb 
B 2 
m 
1.8
Chapa silicosa
1.7
Acero fundido
1.6
1.5
1.4
1.0
1.3
0.9
1.2
0.8
1.1
0.7
Fierro fundido
1.0
0.6
0.9
0.5
0.8
0.4
0.7
⋅10
4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
 A
H 
m 
Figura 1.3.1. Curva de magnetización B( H) de algunos
materiales ferrromagnéticos
La característica de magnetización es suministrada por el fabricante del material. La
figura 1.3.1 muestra esta característica, a modo de ejemplo, para algunos materiales
comunes.
Para ilustrar el tratamiento de los problemas asociados con la nolinealidad,
considérese nuevamente el toroide con entrehierro de la figura 1.2.4., para el cual se
desea determinar la excitación magnética necesaria para producir un determinado
flujo en el núcleo.
Como el flujo y las dimensiones del toroide son conocidas, se calcula B = Φ q , valor
con el que se entra a la característica del material del núcleo para determinar Hi .
Dado que el flujo supuestamente está limitado a la sección del núcleo, la inducción en
el entrehierro es la misma que en el núcleo, por lo que Ha = B µ 0 . Finalmente se
calcula la excitación magnética o fuerza magnetomotriz i N = Hi l i + Ha l a .
Supóngase ahora que la excitación magnética sea conocida y que se desea
determinar el flujo correspondiente.
1-13
capítulo 1 : circuito magnético
Como sólo se conoce
∑H
i
li
, pero no los sumandos, no se puede determinar el
i
valor de Hi en cada tramo del circuito magnético. Esto implica que el problema no
tiene una solución directa y que es necesario recurrir a un procedimiento iterativo.
Para ello se asume un flujo y se calcula la excitación magnética necesaria, que se
compara con el dato inicial. Si los dos valores no coinciden dentro de un margen de
error razonable, se modifica apropiadamente el valor supuesto para el flujo y se repite
el procedimiento hasta lograr la convergencia.
Otro problema que carece de una solución analítica directa corresponde a la
distribución de un flujo conocido Φt entre dos ramas en paralelo. La figura 1.3.2
muestra esta situación y la relación entre flujos y fmms para cada una de las ramas en
paralelo. Se aprecia que mediante el artificio de representar la relación entre flujo y
fmm para una de las ramas en el cuarto cuadrante usando una abscisa común para
las fmms, el flujo total Φt también queda representado por un trazo y es posible
obtener una solución gráfica para el problema.
Φ1
Φt
Φt
Φ 1(F 1)
Φ2
Φ1
F1=F 2
0
Φ2
F
Φ 2(F 2)
Figura 1.3.2 Relación entre flujos y fmm en un circuito
magnético formado por dos elementos en paralelo
Pero también en este caso se puede recurrir al procedimiento iterativo y suponer un
valor para el flujo Φ1 por una de las ramas. El flujo por la otra rama se determina como
Φ2 = Φt − Φ1. Para cada flujo se determina la inducción correspondiente y con ella se
entra a la respectiva característica de magnetización para obtener el valor de H en
cada rama. El criterio de iteración, que verifica si la distribución de flujos es la
correcta, es en este caso la igualdad de las fuerzas magnetomotrices en las dos
ramas : H1 l1 = H2 l 2 .
1-14
capítulo 1 : circuito magnético
Para completar el análisis de los circuitos magnéticos es necesario incluir la
posibilidad que el flujo tenga su origen en un imán permanente en vez de tenerlo en
una corriente. Esto es materia del párrafo siguiente.
1.4
Imanes permanentes
El material ferromagnético incluido en los circuitos magnéticos hasta aquí
considerados está caracterizado por un lazo de histéresis muy estrecho, cuyas ramas
ascendente y descendente pueden ser consideradas en primera aproximación como
coincidentes. La inducción B y la intensidad de campo H están relacionadas en forma
unívoca.
Bi
curva de desmagnetización
característica del entrehierro
P
Br
BP
curva virgen
Hc
HP
Hi
Figura 1.4.1. Característica magnética de un material
magnéticamente duro magnetizado hasta la
saturación y luego desmagnetizado.
Pero también existen materiales con un lazo de histéresis muy marcado. Una vez
magnetizado el material, la inducción no vuelve a cero cuando se anula la corriente,
sino a un valor conocido como inducción remanente Br. Para llevar la inducción a cero
es necesario invertir la excitación magnética. El valor de la intensidad de campo
(negativa) para el cual la inducción se hace cero se conoce como fuerza coercitiva Hc .
Las curvas virgen y de desmagnetización de la figura 1.4.1 ilustran la relación entre B
y H descrita.
Los imanes permanentes (de creciente importancia tecnológica) están hechos de este
tipo de material (aleaciones NiCo,SmCo,NdFe) y para su caracterización importa el
segundo cuadrante de la característica B(H).
Sea un
núcleo toroidal magnetizado mediante la aplicación de una fuerza
magnetomotriz, que, después de alcanzar cierto valor máximo, es reducida a cero. En
1-15
capítulo 1 : circuito magnético
esas condiciones la inducción en el interior del toroide toma el valor de remanencia ,
Bi = Br, y la intensidad de campo es cero (Hi = 0).
Considérese ahora el corte radial de ancho la a
través del núcleo representado en la figura 1.4.2
qi
De acuerdo con la ley de Ampere debe
cumplirse que
Hi ⋅ l i + Ha ⋅ l a = 0 ,
li
(1.4.1)
la
por lo que
H a = −H i
li
.
la
(1.4.2)
Se puede apreciar que, como consecuencia del
corte, Hi es ahora distinto de cero y que su
sentido es inverso al de Ha en el corte.
Figura 1.4.2 Relativo a la aplicación
de la Ley de Ampere a
un imán permanente.
En el entrehierro formado por el corte rige:
Ba = µ 0 H a
(1.4.3)
La condición de continuidad para el flujo implica que
q i Bi = q a Ba .
(1.4.4)
En el caso del imán toroidal, suponiendo un entrehierro suficientemente estrecho, las
secciones qi y qa pueden ser consideradas como iguales, lo que hace que en ese
caso la inducción en el núcleo sea igual a la inducción en el entrehierro.
Las restricciones (1.4.2) a (1.4.4) implican la siguiente relación entre Bi y Hi :
Bi = −µ 0
l i qa
H
l a qi i
(1.4.5)
que en el plano B(H) corresponde a una recta por el origen en el segundo cuadrante.
Como, por otra parte, los valores de Bi y Hi están relacionados por la característica de
magnetización del material, los valores de Bi y Hi que satisfacen ambas condiciones
se encuentran necesariamente sobre la intersección de las dos características: la
recta del entrehierro y la curva de magnetización. Este punto P se conoce como punto
de trabajo.
1-16
capítulo 1 : circuito magnético
La representación gráfica de estas relaciones en la figura 1.4.1 permite apreciar que,
como consecuencia del corte, la inducción en el núcleo se reduce del valor de
remanencia Br a BP. De la relación (1.4.5) se desprende que la reducción está
directamente relacionada tanto con la geometría del imán como con la del entrehierro.
Para aclarar el papel de las geometrías en el logro de un determinado valor de la
inducción en el entrehierro amplifíquese (1.4.5) con Bi y luego reemplácese Bi por Ba
de acuerdo con (1.4.4). De esa manera se logra
Ba =
qi l i
µ BH ,
q a la 0 i i
(1.4.6)
donde se aprecia que, para volúmenes dados, la inducción en el entrehierro sólo
depende del producto Bi Hi , el que a su vez depende de la ubicación del punto de
trabajo sobre la característica de magnetización. Para un punto determinado (que
corresponde aproximadamente a la intersección de la característica con la diagonal
del rectángulo Br Hc ) el producto alcanza su valor máximo. Este valor máximo es un
parámetro básico para la caracterización de los imanes permanentes.
Con los valores para Bi y Hi correspondientes al producto máximo se determina la
sección más favorable para el imán a partir de (1.4.6) y (1.4.4).
Material magnético
Tierras raras-Cobalto
Neodimio-Fierro-Boro
Alnico (Al-Ni-Co-Fe)
Br (T)
0,92
1,20
0,73
Hc (kA/m)
705
860
34
(BH) max ( kJ/m3)
167
240
10
Tabla 1.4.1 Valores característicos para imanes permanentes.
2. El reactor
2.1
Introducción
Fue Faraday quien se preguntó (1822) si a la observación fundamental de Oersted no
le debía corresponder una relación causal inversa. Si una corriente estacionaria
convierte en imán al fierro que rodea, ¿por qué un imán permanente no produce
corrientes estacionarias en las espiras que lo rodean?
Nueve años después encontró la respuesta a esa interrogante, la que hoy se conoce
como la ley de Faraday y que en su formulación integral establece que:
∫
r
r
dΨ
E • ds = −
dt
(2.1.1)
es decir, que, a lo largo de un rcamino de integración cerrado, la integral de la
componente del campo eléctrico E paralela al camino de integración es igual a la
rapidez de variación del flujo Ψ enlazado por ese camino de integración. Esta ley
constituye una de las piedras angulares de la Electrotecnia, pues establece la relación
entre el campo eléctrico y el campo magnético que lo origina.
Debido a la relación existente entre la intensidad del campo eléctrico y la densidad de
corriente asociada a ese campo:
r
r j
E=
σ
y a la relación entrerla intensidad del
campo magnético H y la corriente
abrazada por éste, planteada por la
ley de Ampere, esta y la ley de
Faraday constituyen también el nexo
entre la teoría de campos y la teoría
de circuitos.
(2.1.2)
1
i
r
v
2
Para ilustrar esta relación considérese
nuevamente a un reactor toroidal con
núcleo de aire en cuyo interior se
desarrolle un campo que en primera Figura 2.1.1. Reactor en forma de toroide
aproximación puede ser considerado
como homogéneo (figura 2.1.1). El campo eléctrico en el interior del conductor
enrollado sobre el núcleo también sea homogéneo.
2-18
capítulo 2 : reactor
Con esta aproximación y considerando la relación (2.1.2), la integral curvilínea cerrada
del primer miembro de la ecuación (2.1.1) toma la forma:
∫
r r 1
E • ds =
σ
2
∫1
1
r
r
r
r
j12 • ds + E12 • ds
∫2
(2.1.3)
donde el camino de integración cerrado se ha dividido en dos tramos, el primero de los
cuales va de 1 a 2 por el conductor y corresponde al primer término del segundo
miembro de (2.1.3) mientras que el segundo va de 2 a 1 a través de la fuente.
Como los campos son paralelos al camino de integración, las integrales del segundo
miembro de (2.1.3) se convierten en integrales simples cuya integración es trivial,
obteniéndose que :
∫
r
r
l
E • ds = cu ⋅i − v = Rcu i − v
σq cu
(2.1.4)
donde lcu es la longitud del conductor entre 1 y 2, qcu es su sección transversal, σ la
conductividad y j12 la densidad de corriente constante sobre la sección y a lo largo del
conductor. La tensión v corresponde a la diferencia de potencial entre 1 y 2, impuesta
por la fuente.
Se aprecia que el campo asociado a la corriente en el conductor del toroide ha
quedado representado circuitalmente por una resistencia equivalente, en la que se
disipa la misma energía que en el conductor original.
En cuanto al segundo miembro de (2.1.1), se había establecido anteriormente (párrafo
1.2) la siguiente relación entre el flujo en el interior del toroide y la corriente que lo
produce:
Φ= µ
Nq
⋅i
2π r
(2.1.5)
Considerando que este flujo es enlazado N veces por el conductor, el flujo total
enlazado por el camino de integración 1-2 vale
Ψ = NΦ = µ
q
N2 ⋅ i ,
2π r
(2.1.6)
apreciándose que para medios de permeabilidad constante el enlace de flujo Ψ es
directamente proporcional a la corriente i. El factor de proporcionalidad lo constituye la
inductancia
2-19
capítulo 2 : reactor
L=
µq 2
N = ΛN 2
2π r
,
(2.1.7)
cuyo valor depende de la geometría del circuito magnético a través de la permeancia
Λ.
Se aprecia que el campo magnético en el interior del toroide ha quedado representado
por una inductancia equivalente en la que se acumula la misma energía que en el
campo original.
i
Reemplazando
finalmente
las
relaciones (2.1.4) y (2.1.6) en (2.1.1)
se logra, después de reagrupar los
términos, la siguiente ecuación:
Rcu =
v
di
v = Ri + L
,
dt
(2.1.8)
Ψ
&
L=
l cu
σ ⋅q
cu
µq 2
N
2π r
que corresponde a la ecuación de
Kirchhoff
para
la
malla
RL
Figura 2.1.2. Circuito galvánico equivalente
representada en la figura 2.1.2.
para el reactor toroidal.
Las leyes de Ampere y de Faraday,
que son relaciones entre variables de campo que dependen del espacio y del tiempo,
se han reducido a las leyes de Kirchhoff, que son relaciones entre variables de circuito
que sólo dependen del tiempo.
Desde el punto de vista energético las ecuaciones (2.1.1) y (2.1.8) son totalmente
equivalentes y la malla de la figura 2.1.2 constituye el circuito equivalente del
dispositivo de la figura 2.1.1. Cada elemento del circuito equivalente representa un
efecto físico del dispositivo original, como la conversión de energía eléctrica en calor, la
acumulación de energía magnética y la relación entre la corriente y el enlace de flujo.
Las variables de terminales del circuito equivalente son idénticas con las del dispositivo
original.
Estas características, junto con la mayor simplicidad de la teoría de redes, hacen
deseable disponer de un procedimiento para derivar en forma sistemática el circuito
equivalente de dispositivos electromagnéticos más complejos, para poder caracterizar y
analizar su comportamiento en términos de las variables de terminales.
Para ello es necesario examinar previamente los efectos físicos más comunes en los
dispositivos electromagnéticos.
capítulo 2 : reactor
2.2
2-20
Efectos físicos en el reactor
El objetivo fundamental de un reactor es la acumulación de energía magnética. Por
razones económicas, en su construcción se trata de ocupar un mínimo de material
activo (fierro, cobre), lo que implica el uso de densidades de flujo y de densidades de
corriente lo más altas que sea posible, sin que las pérdidas en el fierro y las pérdidas
en el cobre determinen un calentamiento superior al admisible para el material aislante
utilizado.
El uso de valores elevados para la inducción determina la saturación del núcleo, que se
refleja en la disminución de la permeabilidad de éste. Como consecuencia de lo
anterior, una cierta fracción del flujo se dispersa del camino magnético previsto (a
través del núcleo) y se cierra a través del aire. Eso implica la aparición de un circuito
magnético adicional, en paralelo con el correspondiente al núcleo (figura 2.1.1).
Cuando se excita al reactor con corrientes de alta frecuencia se hace sentir el campo
eléctrico entre las capas del devanado y entre estas y el núcleo. Las correspondientes
corrientes de desplazamiento ahora se hacen significativas en comparación con la
corriente por el devanado y alteran la distribución de tensión a lo largo del devanado y
la relación entre las variables de terminales. Este efecto se puede incluir en el circuito
equivalente mediante capacitancias, pero no será considerado en este capítulo.
2.2.1 Dispersión magnética
Por flujo de dispersión se entiende aquella
fracción del flujo total que no contribuye a un
propósito determinado. El propósito del núcleo
del reactor es servir de camino de baja
reluctancia para el flujo creado por el
devanado. Por lo tanto, el flujo que no sigue
ese camino es considerado como flujo de
dispersión.
Del esquema de la figura 2.2.1 se desprende
que el flujo de dispersión del reactor se cierra
principalmente por el aire, a través de vías
paralelas a las del flujo principal.
Figura 2.2.1 Flujo de dispersión de un
reactor.
La introducción del concepto dispersión
magnética implica la división del espacio en dos regiones, una asociada al flujo
principal y otra asociada al flujo de dispersión. A cada una de estas regiones está
adscrita una fracción de la energía magnética total.
2-21
capítulo 2 : reactor
Φσ
i
N
Φm
Φt
Figura 2.2.2. Esquema de un circuito magnético
equivalente para el reactor.
Φ t = Φm + Φσ .
Este punto de vista es recogido
por el modelo de la figura 2.2.2,
formado por un circuito magnético
ideal con dos ramas en paralelo.
El entrehierro incluido en cada
rama es tal que la energía
magnética acumulada en él sea
igual a la de la respectiva región
del
espacio
que
se
está
modelando.
De acuerdo con el modelo
(2.2.1)
Al introducir la fuerza magnetomotriz común y las permeancias correspondientes a
cada rama se logra:
Φt = Λ m F + Λ σ F = ( Λ m + Λ σ )Ni .
(2.2.2)
Para representar correctamente la energía
Wm σ =
1
1
Φσ F = Λ σN 2 i 2 ,
2
2
(2.2.3)
asociada al campo de dispersión, la permeancia de la rama de dispersión debe ser tal
que
Λσ =
2W m σ
N 2i 2
. ,
(2.2.4)
donde el valor de W m σ se supone conocido.
La distinción entre campo en el aire y campo en el fierro se hace necesaria porque el
campo en el aire es conservativo, mientras que el campo en el fierro, cuando es
alterno, es disipativo. Este último aspecto estaba explícitamente excluido en el toroide
de la figura 2.1.1 y será el objetivo del próximo párrafo.
2.2.2 Pérdidas en el fierro
La expresión para el flujo reproducida en (2.1.5) sólo es rigurosamente válida en el
caso de una excitación continua o cuando el núcleo está formado por material no
conductor. Cuando el núcleo es de material ferromagnético y es excitado por corrientes
2-22
capítulo 2 : reactor
alternas, el flujo alterno induce corrientes adicionales, que circulan en el interior del
núcleo, abrazando el flujo que las induce. Estas corrientes parásitas modifican la
distribución del flujo sobre la sección del núcleo, haciéndola inhomogénea, y también
son la causa de la conversión irreversible de energía eléctrica en calor, conocida como
pérdidas de Foucault o de corrientes parásitas.
El efecto amplificador de flujo de los materiales ferromagnéticos puede interpretarse
cualitativamente postulando la existencia de imanes moleculares. Cuando el material
es sometido a un proceso de magnetización alterna estos imanes tienen que
reorientarse dos veces por ciclo, lo que requiere de energía, cuya transformación en
calor puede atribuirse al roce entre los imanes moleculares durante su reorientación.
La cantidad de energía convertida en calor por cada ciclo es proporcional al área del
lazo de histéresis, conociéndose esas pérdidas como pérdidas de histéresis.
Para los fines de la modelación de estos efectos físicos mediante el circuito equivalente
basta su análisis cualitativo sobre la base de aproximaciones relativamente groseras,
que permiten evitar desarrollos matemáticos más complejos, pero mantienen la
información relevante.
2.2.2.1
Pérdidas de Foucault.
Considérese una platina de material
ferromagnético de resistencia específica ρ,
de longitud l y sección rectangular tal, que
el espesor d sea mucho menor que el
ancho b (figura 2.2.3). En el interior de la
platina exista un campo alterno sinusoidal
de frecuencia angular ω que en primera
aproximación puede ser considerado como
homogéneo.
d
Φm
b
l
Un circuito coincidente con los lados de la
sección rectangular abrazaría un flujo cuyo
valor máximo sería Φm = Bm b ⋅ d , al
Figura 2.2.3. Platina de material
suponer que el campo es homogéneo, y
ferromagnético.
en él se induciría la tensión
vi =
d
(Φ sen ωt ) = ωΦ m cos ωt = 2Vi cos ωt
dt m
(2.2.5)
que haría circular una corriente limitada sólo por la resistencia de ese circuito.
Dadas las proporciones de la platina, para la resistencia del circuito se puede plantear
en primera aproximación
capítulo 2 : reactor
R≈ρ
2b
.
d
⋅l
2
2-23
(2.2.6)
Considerando las relaciones (2.2.5) y (2.2.6), las pérdidas por corrientes parásitas por
unidad de volumen estarían dadas por
PF 1 Vi 2
ω2 B m 2 d 2
= ( )≈
V V R
4ρ
(2.2.7)
donde V = bdl es el volumen de la platina.
A pesar de las aproximaciones usadas en su obtención, la relación (2.2.7) refleja
adecuadamente la influencia de los principales parámetros sobre las pérdidas por
corrientes parásitas. Así se aprecia que éstas pueden ser reducidas notablemente a
través de la disminución del espesor de la platina y mediante el aumento de la
resistencia específica.
Esta conclusión se refleja en la práctica en el uso de chapas silicosas de 0,35 mm de
espesor, aisladas eléctricamente entre sí, para la construcción de núcleos y circuitos
magnéticos sometidos a excitación alterna.
Por otra parte, el uso de chapas aisladas no solamente atenúa la magnitud de las
corrientes parásitas, sino que, al fijarles los circuitos por los cuales pueden circular,
también limita su desarrollo espacial sobre la sección del núcleo, con lo que se
recupera una distribución de inducción prácticamente homogénea.
En consecuencia, para frecuencias industriales (50Hz) los núcleos laminados pueden
ser modelados con el concepto de circuito magnético y el único fenómeno adicional que
hay que considerar son las pérdidas debidas a las corrientes parásitas.
Para fines prácticos las pérdidas en el fierro debidas a las corrientes parásitas o
pérdidas de Foucault se expresan como
PF = CF Bm
2
2
2
 f   d 
  
 m W
 50   0,5 
(2.2.8)
donde m es la masa en kg y CF es la cifra de pérdidas por corrientes parásitas, que
corresponde a las pérdidas en W en 1kg de chapas de 0,5mm de espesor, medidas
para una inducción máxima de 1T y una frecuencia de 50Hz.
La cifra de pérdidas por corrientes parásitas CF varía entre valores del orden de 0,16
W/kg para chapas de grano orientado para uso en transformadores y valores del orden
de 0,8 W/kg para el uso en motores de potencia fraccionaria.
capítulo 2 : reactor
2.2.2.2
2-24
Pérdidas por histéresis
En el análisis precedente se había supuesto tácitamente que la permeabilidad del
material del núcleo era constante. Ahora se relajará esa restricción para examinar más
detenidamente una característica nolineal propia de los materiales ferromagnéticos y
sus consecuencias.
Resulta que la característica de magnetización de los materiales ferromagnéticos no es
unívoca, vale decir, a un determinado valor de la intensidad del campo H no le
corresponde un valor de inducción B único, sino que ese valor depende de la historia
magnética previa del material.
En un material ferromagnético sometido a una magnetización alterna de amplitud y
frecuencia constantes se establece finalmente un estado cíclico que en el plano B-H
toma la forma del lazo de histéresis .Esta característica empírica refleja el efecto de la
saturación y de la histéresis sobre el campo magnético y constituye el punto de partida
para el análisis que sigue.
Para fijar las ideas, considérese nuevamente un reactor de núcleo toroidal
ferromagnético de radio r y sección q. El campo, confinado al volumen del toroide,
puede ser considerado homogéneo. La resistencia del enrollado de N vueltas sea
despreciable.
La energía suministrada al campo a través de los terminales de la bobina en el lapso dt
vale:
dW = p dt = iv dt = iNdΦ = iNq dB
pero como
iN = 2π r H
dW = 2πrq HdB = V HdB ,
(2.2.9)
donde V = 2πrq es el volumen del toroide.
En consecuencia, la energía magnética suministrada al campo cuando la inducción B
varía desde un valor inicial B1 hasta un valor final B2 vale
B2
W = V ∫ HdB
(2.2.10)
B1
y como se trata de un campo homogéneo, la densidad de energía, o energía por unidad
de volumen, queda expresada por la relación:
2-25
capítulo 2 : reactor
B2
w = ∫ HdB
.
(2.2.11)
B1
Esta última relación es válida para cualquier campo, ya que todo campo puede ser
tomado por homogéneo si se considera regiones suficientemente pequeñas. Su
interpretación geométrica corresponde a un elemento de área en el plano B-H.
Esta interpretación permite visualizar las pérdidas de histéresis por ciclo y por unidad
de volumen como el área encerrada por el lazo de histéresis.
B
Para comprobarlo, basta recorrer el
lazo de histéresis de la figura 2.2.4
+Bmax
c
durante un ciclo de la excitación. En el
+Br
primer cuarto de ciclo H varía entre 0 y
d
+Hmax y la inducción B lo hace entre Br y +Bmax . La energía absorbida
corresponde al área entre la rama
ascendente (abc) de la curva H(B) y el
eje de ordenadas. En el segundo
+Hc
H
-Hc
cuarto de ciclo H varía entre +Hmax y 0
b +Hmax
0
-Hmax
y la inducción B lo hace entre +Bmax y
+Br. El área bajo la rama descendente
(cd) de la curva H(B) y el eje de
ordenadas es ahora negativa y
corresponde a la energía devuelta a la
a
fuente. De manera que la energía por
-Br
unidad de volumen neta absorbida
- Bmax
desde la fuente durante el primer
semiciclo de la función de excitación
(corriente) corresponde al área abcd0a
Figura 2.2.4.Lazo de Histéresis
en la figura 2.2.4. La continuación del
análisis durante el segundo semiciclo
de la corriente permite comprobar la relación entre el área del lazo de histéresis y la
energía disipada por unidad de volumen del núcleo en cada ciclo debido a la histéresis.
A Steinmetz se debe la siguiente expresión empírica para las pérdidas específicas por
histéresis
x
w H = ηBmax
(2.2.12)
cuyos parámetros η y x deben ser determinados experimentalmente para cada material
específico. Para fines analíticos se supone que el exponente de Steinmetz toma el
valor x=2.
En consecuencia, las pérdidas por histéresis para un núcleo de volumen V excitado
con corrientes de frecuencia f valen
capítulo 2 : reactor
2
PH ≈ ηfBmax
V
2-26
(2.2.13)
Para fines prácticos se utiliza la fórmula
 f 
2
 m W
PH = CH Bmax
 50 
(2.2.14)
donde m es la masa del núcleo en kg, CH es la cifra de pérdidas por histéresis que
corresponde a las pérdidas en W en 1 kg de material, medidas para una inducción
máxima de 1 T y frecuencia igual a 50 Hz.
CH varía típicamente entre 0,4W/kg para chapas de transformadores y 1,6W/kg para
chapas de motores de potencia fraccionaria.
2.2.3 Corriente magnetizante compleja
La forma peculiar del lazo de histéresis implica una relación nolineal entre la inducción
B y la intensidad de campo H y por lo tanto entre la tensión y la corriente magnetizante.
Al aplicar al devanado de excitación una tensión sinusoidal se fuerza que el flujo, y por
lo tanto la inducción, sea sinusoidal. La característica B(H) nolineal determina que H y
por lo tanto la corriente magnetizante sean nosinusoidales, es decir, que junto a la
componente fundamental aparezcan armónicas impares.
La figura 2.2.5 ilustra la obtención gráfica de la forma de onda de la corriente a partir de
la forma de onda de la inducción y del lazo de histéresis estático, trazado con línea
llena (no incluye el efecto de las corrientes parásitas).
Como el circuito equivalente está compuesto por elementos lineales y por esa razón no
puede reproducir efectos nolineales, la corriente magnetizante compleja tiene que ser
reemplazada por una corriente sinusoidal equivalente cuyos parámetros característicos:
amplitud, frecuencia y fase están determinados por las siguientes exigencias:
Amplitud:
El valor efectivo de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual al
valor efectivo de la corriente compleja que reemplaza
I = I12 + I 32 + I 52 + .......
(2.2.15)
2-27
capítulo 2 : reactor
B,Φ
Φ
iH
i H+iF
iF
wt
i, H
Lazo estático
Lazo dinámico
Figura 2.2.5. Determinacion gráfica de la corriente de excitación del
reactor.
Frecuencia: La frecuencia de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual a la
frecuencia fundamental de la corriente compleja que reemplaza
f = f1
(2.2.16)
Fase:
El ángulo de fase de la corriente sinusoidal equivalente respecto a la
tensión inducida Vi debe ser tal que las pérdidas sean las mismas
 P + PF 
ϕ = arccos H
 .
 Vi I 
(2.2.17)
2.2.4 Pérdidas en el cobre
Al integrar la expresión (2.1.3) se había supuesto que el campo eléctrico en el interior
del conductor fuera homogéneo. Esto se cumple en el caso de corrientes continuas, por
lo que la potencia disipada en el conductor al circular una corriente continua de
intensidad I por él vale
Pcu = V I = R I 2
l
donde R = ρ es la resistencia de corriente continua.
q
(2.2.18)
2-28
capítulo 2 : reactor
Esta relación se puede reescribir como
Pcu = ρ
l
2
(
q j ) = ρ j 2 Vcu
q
,
(2.2.19)
con Vcu=ql volumen del conductor, de la que se desprende que las pérdidas por unidad
de volumen están dadas por
p cu = ρ j 2
,
(2.2.20)
relación de validez general, ya que cualquier campo puede ser tomado como
homogéneo si se considera regiones suficientemente pequeñas.
En cambio con excitación alterna el volumen del conductor es ocupado por un campo
magnético alterno que induce en el conductor corrientes parásitas que alteran la
distribución de la densidad de corriente sobre la sección del conductor haciéndola
nohomogénea, por lo que las pérdidas deben determinarse a partir de
Pcu ,ca = ∫∫∫ ρ j 2dVcu = ρ l ∫∫ j 2 dq
Vcu
.
(2.2.21)
q
Resulta que para distribuciones nohomogéneas
I2
∫∫ j dq > q
q
2
(2.2.22)
donde I es el valor efectivo de la corriente en el conductor.
En consecuencia, Pcu,ca > R I2 = Pcu,cc , es decir, las pérdidas con corriente alterna de
igual valor efectivo que una corriente continua son mayores que las causadas por la
corriente continua.
En la práctica se considera este hecho definiendo una resistencia para corriente alterna
Rca > R tal que
Pcu ,ca = Rca I 2 ,
(2.2.23)
reduciendo de esta manera el problema a uno homogéneo equivalente. El valor de la
resistencia equivalente para corriente alterna depende de la geometría de la bobina, de
la sección de los conductores y de la frecuencia. Para frecuencias industriales (50Hz) el
valor es del orden de un 10% superior al de la correspondiente resistencia para
corriente continua.
2-29
capítulo 2 : reactor
2.3
Circuito equivalente.
Por circuito equivalente de una máquina o dispositivo electromagnético se entiende una
red de elementos concentrados (resistencias, inductancias, capacitancias), donde cada
elemento representa un efecto físico (acumulación o disipación de energía) asociado al
dispositivo original.
En forma más general el término también se aplica a la red que se obtiene de la
anterior mediante transformaciones de esta que mantengan la identidad de los
terminales de la red (y dispositivo) original.
Para la derivación sistemática de estos circuitos equivalentes resulta conveniente
introducir previamente algunos elementos de la teoría de los circuitos
electromagnéticos.
2.3.1 Circuitos electromagnéticos.
En general, la noción de circuito involucra la aproximación “campos homogéneos”
(eventualmente equivalentes) limitados a una región del espacio. Con esta
aproximación se hace posible la integración de las ecuaciones de Faraday y de Ampere
y con ello, la descripción del problema en términos de parámetros, que dependen de
las dimensiones geométricas y de las propiedades eléctricas o magnéticas de los
medios, y de variables que sólo son funciones del tiempo.
En el caso de los circuitos electromagnéticos, a esta característica fundamental de los
circuitos se agrega el hecho que su forma topológica siempre puede ser obtenida por
inspección del dispositivo físico que se pretende modelar.
Para fijar las ideas, considérese nuevamente el reactor toroidal de la figura 2.1.1, pero
ahora su núcleo sea de material ferromagnético de permeabilidad y resistividad finitas y
constantes.
En consecuencia, en él se acumulará energía magnética y, en caso de flujo alterno,
también se producirán pérdidas.
La energía acumulada en el campo, que se concentra en el núcleo, es igual a la
densidad de energía (en el caso lineal igual a 12 BH ) por el volumen del toroide:
Wm =
1
µH 2 ⋅ 2πrq
2
Reemplazando H =
Wm =
(2.3.1)
im N
queda
2π r
1 q
1
µ
N 2 ⋅ i m 2 = Li m 2
2 2π r
2
(2.3.2)
2-30
capítulo 2 : reactor
Se aprecia que la energía magnética queda expresada en términos del parámetro
inductancia (L) y de la variable corriente (im).
Si ahora también se consideran las pérdidas en el fierro, estas se determinan como
Pfe = C( f )Bm2 ⋅ 2πrq = C(f )Φ 2m ⋅
2πr
q
,
(2.3.3)
donde C( f ) es la cifra de pérdidas por unidad de volumen para cierta frecuencia f y una
inducción máxima de 1T.
Considerando que con excitación sinusoidal V = ωNΦm / 2 , se logra la expresión
Pfe = C( f )
2πr
1 2
2
=
V .
2
2 2 ⋅V
qω N
Rfe
(2.3.4)
donde las pérdidas quedan expresadas en términos del parámetro resistencia ( Rfe ) y
de la variable tensión (V).
De las relaciones (2.3.2) y (2.3.4) se desprende que desde el punto de vista energético
el dispositivo original de la figura 2.1.1 es equivalente al modelo de la figura 2.3.1,
donde el núcleo real ha sido reemplazado por un núcleo ideal provisto de dos bobinas
ideales de N vueltas cada una, a cuyos terminales están conectadas respectivamente
una inductancia, que acumula la energía magnética que estaba asociada al núcleo real
(impedancia magnética conservativa), y una resistencia, en la que se disipa la energía
equivalente a las pérdidas en el fierro del núcleo real (impedancia magnética
disipativa).
Φ
A cada bobina ideal se puede asociar una
fuerza magnetomotriz, relacionada con el
µ
∞
flujo abrazado por esa bobina mediante una
i1
RFe
v
σ
0 N
impedancia magnética:
v1
N
F = ZmΦ
im
N
L
Figura 2.3.1. Circuito electromagnético
de un electroimán con
núcleo de fierro.
(2.3.5)
Al reemplazar la fuerza magnetomotriz en
términos de la corriente, F = NI , y el flujo en
términos de la tensión inducida por él en la
bobina, V = jωNΦ , se logra una relación
entre la impedancia magnética y la
impedancia “eléctrica” , Z = V / I , conectada
a los terminales de la bobina ideal:
2-31
capítulo 2 : reactor
Zm =
jωN 2
Z
(2.3.6)
En términos de las variables flujo y fuerza magnetomotriz y del parámetro impedancia
electromagnética el dispositivo original puede ser reducido al circuito electromagnético
de la figura 2.3.2.
Φ
En el caso más general, un circuito
electromagnético
está
constituido
por
combinaciones en serie y en paralelo de
impedancias electromagnéticas, que pueden
Zm1
F1
ser reducidas a impedancias equivalentes.
Φ
Para encontrar la expresión correspondiente a
F
una combinación serie de dos impedancias
electromagnéticas
(figura
2.3.3)
debe
Zm2
F2
considerarse que el flujo es común a los dos
elementos y que la fuerza magnetomotriz
equivalente es igual a la suma de las fuerzas
magnetomotrices correspondientes a cada
elemento:
Figura 2.3.2. Circuito electromagnético
serie
F= F +F
(2.3.7)
1
2
Expresando las fuerzas magnetomotrices de los elementos en términos de las
correspondientes impedancias electromagnéticas y del flujo común se obtiene:
 1
1
F = jωN 2  +
⋅ Φ
 Z1 Z2 
(2.3.8)
Φ
F1
N
Z1
Φ
⇔
F2
N
F
N
Z1
Z2
Figura 2.3.3.Reducción de dos impedancias
magnéticas en serie
Z2
2-32
capítulo 2 : reactor
Se aprecia que la impedancia magnética equivalente
 Z + Z2 
Z m = j ωN 2  1

 Z1 ⋅ Z2 
(2.3.9)
está formada por una bobina ideal de N vueltas a cuyos terminales está conectada una
impedancia que corresponde a la conexión en paralelo de las impedancias asociadas a
cada elemento.
Φ
Φ1
F
N
Φ2
Z1
N
Φ
Z2
⇔
F
Z1
N
Z2
Figura 2.3.4.Reducción de dos impedancias magnéticas
en paralelo.
Para encontrar la impedancia magnética equivalente de una combinación en paralelo
de dos elementos (figura 2.3.4) debe considerarse que ahora la fuerza magnetomotriz
es común a ambos elementos, mientras que el flujo resultante es igual a la suma de los
flujos por cada elemento:
Φ = Φ1 + Φ 2
(2.3.10)
Reemplazando el flujo a través de cada elemento en términos de la fuerza
magnetomotriz común y de las correspondientes impedancias magnéticas se obtiene:
Φ=
Z1 + Z 2
⋅F
jωN 2
(2.3.11)
de lo que se desprende que la impedancia magnética equivalente vale en este caso:
Z m = j ωN 2
1
.
Z1 + Z 2
(2.3.12)
Está formada por una bobina de N vueltas a cuyos terminales está conectada una
impedancia equivalente a la conexión serie de las impedancias correspondientes a
cada elemento.
2-33
capítulo 2 : reactor
Topológicamente las impedancias magnéticas y eléctricas se comportan como
elementos duales.
Los conceptos hasta aquí desarrollados son suficientes para la obtención sistemática
de los circuitos equivalentes de aparatos electromagnéticos.
2.3.2 Circuito equivalente del reactor
El procedimiento general para la obtención del circuito equivalente consiste en:
•
La fijación de la topología del circuito
magnético ideal que incluya a todos
los flujos que se quiera representar.
•
Φ
Φm
I
La inclusión, en los lugares que
corresponda, de las impedancias
magnéticas correspondientes a los
efectos físicos que se desee
representar.
R
N
Φσ
• La
reducción
del
circuito
electromagnético resultante, mediante
combinaciones en serie o en paralelo
Figura 2.3.5. Circuito magnético ideal del
de
impedancias
magnéticas,
reactor con dispersión.
manteniendo la identidad de los
terminales externos.
Φm
Φ
Φσ
I
R
N
N
N
RFe
N
Lm
Lσ
Figura 2.3.6 Circuito electromagnético del reactor
Para el caso específico del reactor
se puede identificar un flujo
común, abrazado por la bobina de
excitación, que fuera de ella,
debido a la permeabilidad finita
del fierro del núcleo y a la
eventual
presencia
de
un
entrehierro, se divide en un flujo
por el núcleo y en un flujo por el
aire. La correspondiente topología
del circuito magnético ideal se
muestra en la figura 2.3.5, donde
la bobina de excitación real ha
sido
convenientemente
reemplazada por una bobina ideal
y una resistencia en serie que
representa las pérdidas en el
cobre de la bobina real.
2-34
capítulo 2 : reactor
Si ahora se supone en primera aproximación que las pérdidas en el fierro pueden ser
asociadas solamente al flujo en el núcleo, se las puede representar mediante la
correspondiente impedancia magnética (disipativa) ubicada en esa rama del circuito
magnético.
Las energías magnéticas asociadas respectivamente a los flujos en el núcleo y en el
aire se representan mediante sendas impedancias magnéticas (conservativas) en las
correspondientes ramas del circuito magnético.
La figura 2.3.6 muestra el circuito electromagnético obtenido en la forma descrita.
Φ
m
I
R
Lσ
N
N
Lσ
Figura 2.3.7 Reducción del circuito electromagnético
R Fe
Los pasos siguientes son
puramente rutinarios y
consisten en la reducción
de las dos impedancias
en
serie
a
una
impedancia equivalente y
de las dos impedancias
en
paralelo
a
otra
impedancia equivalente
(figura 2.3.7) y luego en
la reducción de las dos
impedancias en serie,
resultantes
de
la
operación anterior, a una
sola
impedancia
equivalente (figura 2.3.8).
El resultado final de estas operaciones es una red eléctrica conectada en paralelo con
un reactor ideal. Este último equivale a un circuito abierto, ya que no absorbe corriente
(H=0), y por lo tanto puede ser ignorado.
Toda la información relevante respecto al reactor está contenida en la red eléctrica. Ella
constituye el circuito equivalente del reactor. Cada elemento representa un fenómeno
físico de éste que ha sido considerado en el proceso de modelación. Su impedancia de
entrada es igual a la del reactor original, si se asigna los valores adecuados a los
cuatro parámetros.
Si se intenta determinar los valores de los cuatro parámetros a partir de mediciones de
tensión, corriente y potencia en los terminales del reactor se encuentra que estas
mediciones sólo permiten determinar dos parámetros: una resistencia equivalente y
una inductancia equivalente. No es posible determinar separadamente, por ejemplo, la
inductancia de dispersión. Este hecho pone límites prácticos en el momento de
formular el modelo de un dispositivo electromagnético, pues un modelo cuyos
parámetros no pueden ser verificados empíricamente es de poca utilidad práctica.
2-35
capítulo 2 : reactor
Φm
I
R
i=0
Lσ
Lm
RFe
circuito equivalente
N
reactor ideal
Figura 2.3.8. Resultado final de la reducción del circuito
electromagnético del reactor
2.4
Tensión inducida
En su formulación más general de la ecuación (2.1.1), la ley de Faraday no impone
ninguna restricción sobre la forma en que varía el flujo con el tiempo. Sólo establece
que cada vez que varíe el flujo enlazado por un circuito cerrado se inducirá una tensión
en éste.
Ψ
T
Ψmax
Ψmin
t
Figura 2.4.1 Función periódica de período T
Considérese ahora el importante caso particular en el que el flujo es una función
periódica del tiempo (figura 2.4.1):
ψ (t ) = ψ (t + T )
(2.4.1)
2-36
capítulo 2 : reactor
El valor medio de la tensión inducida por la variación del flujo durante el período T está
dado por la expresión
Vmed
1
=
T
t 1 +T
∫v dt
(2.4.2)
t1
que, al reemplazar v =
dψ
y cambiar los límites correspondientemente, toma la forma
dt
ψ2
Vmed
1
1
= ∫ dψ = ( ψ (t 1 + T ) − ψ (t 1 ))
T ψ1
T
(2.4.3)
donde se puede apreciar que el valor medio de la tensión inducida sólo depende del
valor inicial y del valor final del flujo enlazado, siendo independiente de los valores
intermedios. Esto implica que sobre un período el valor medio de la tensión inducida es
cero.
Si ψ (t) es tal que el valor máximo Ψmax y el valor mínimo Ψmin están separados por un
semiciclo, el valor medio vale
Vmed =
2
( Ψ − Ψmin )
T max
(2.4.4)
y si adicionalmente Ψmax = −Ψmin = Ψm , la expresión para el valor medio de la tensión
inducida se reduce a
Vmed =
4Ψm
T
(2.4.5)
Si el circuito inducido corresponde a un devanado concentrado, cuyas N vueltas
enlazan todas el mismo flujo Φm , entonces Ψm = NΦm y
Vmed = 4 f N Φm .
(2.4.6)
La relación entre el valor efectivo V y el valor medio se conoce como factor de forma
ξ=
V
,
Vmed
cuyo valor depende de la forma de onda.
Para ondas sinusoidales el factor de forma vale
(2.4.7)
capítulo 2 : reactor
ξ=
π
2 2
= 111
,
2-37
(2.4.8)
y por lo tanto el valor efectivo de la tensión inducida vale en este caso:
V = 4,44 f N Φ m .
(2.4.9)
Esta forma más especializada de la ley de Faraday es el punto de partida para el
dimensionamiento de máquinas y dispositivos de corriente alterna.
3. El transformador
3.1
Introducción
La ley de Faraday establece la relación entre la tensión inducida en un circuito y la
rapidez de la variación del flujo enlazado por ese circuito, dejando abierto el origen del
flujo y de la causa de la variación del flujo.
Si el origen del flujo enlazado por un circuito (1) se encuentra en la corriente que circula
por otro circuito (2), se dice que esos dos circuitos están acoplados inductivamente.
Esta influencia inductiva recíproca se caracteriza mediante la inductancia mutua L12 =
L21, parámetro que en conjunto con las inductancias propias de esos circuitos L1 y L2
permite describir el flujo enlazado por cada circuito en términos de las corrientes i1 y i2
en esos circuitos:
ψ1 = L1 i1 + L12 i 2
ψ2 = L21 i1 + L2 i 2
(3.1.1)
Los valores de las inductancias mutuas y de las inductancias propias dependen de la
geometría de los circuitos y de la permeabilidad del medio. En presencia de materiales
ferromagnéticos el valor de la permeabilidad depende del grado de saturación, por lo
que las inductancias dejan de ser constantes.
Para evitar las dificultades implícitas en el hecho que todas las inductancias sean
nolineales se ha buscado formas alternativas para describir el acoplamiento inductivo
entre bobinas a través de la definición de esquemas de acoplamiento inductivo
basados en flujos ficticios.
Debido a la distribución espacial de los circuitos no todo el flujo enlazado por el circuito
inductor es también enlazado por el circuito inducido. El acoplamiento magnético es
imperfecto y se habla de dispersión inductiva.
En la teoría clásica del transformador de dos devanados, cuyo estudio es el objetivo de
este capítulo, el acoplamiento inductivo imperfecto se modela definiendo un flujo común
a ambos devanados y sendos flujos de dispersión, cada uno acoplado sólo con uno de
los devanados. Se supone los flujos de dispersión se cierran principalmente por el aire,
por lo que las correspondientes inductancias serán constantes.
El circuito magnético ideal así definido se completa para formar el circuito
electromagnético a partir del cual se logra en forma rutinaria el circuito equivalente del
transformador, de cuyos parámetros inductivos solamente uno depende de la
saturación.
3-39
capítulo 3: transformador
Sobre la base de ese modelo se analiza las características de funcionamiento del
transformador de dos devanados.
3.2
Dispersión inductiva y esquema de acoplamiento inductivo
Sean dos circuitos de geometría cualquiera, rodeados de un medio de permeabilidad
constante µ0 . Los enlaces de flujo de esos circuitos están definidos por la relaciones
(3.1.1) y los parámetros L 1 , L 2 y L12 pueden ser determinados mediante mediciones en
los terminales de los dos circuitos. La resistencia de los circuitos sea despreciable.
Para los circuitos rige respectivamente:
v1 =
dψ1
dt
(3.2.1)
v2 =
dψ 2
dt
(3.2.2)
Supóngase ahora que el circuito 2 esté cortocircuitado , es decir, v2 = 0.
De acuerdo con (3.2.2) esto implica que el flujo enlazado por el circuito 2 debe
permanecer constante, lo que en ausencia de corriente continua significa que debe ser
cero.
Considerando esto en (3.1.1) se logra la siguiente expresión para el flujo enlazado por
el circuito 1 estando el circuito 2 cortocircuitado:
 L L 
ψ1 = 1 − 12 21  L1 i1
L1 L2 

(3.2.3)
Como ψ2 = 0 , el flujo producido por la corriente i1 en esas condiciones no puede
enlazar el devanado 2 y debe cerrarse a través de vías de dispersión.
La expresión entre paréntesis se conoce como coeficiente de dispersión total
σ = 1−
L12 L21
L1 L2
(3.2.4)
es una medida del grado de acoplamiento inductivo entre los dos circuitos y tiene una
estrecha relación con el coeficiente de acoplamiento k de la teoría de redes:
σ = 1− k 2
(3.2.5)
capítulo 3: transformador
3-40
σ varía entre 0 para circuitos perfectamente acoplados y 1 para circuitos totalmente
desacoplados.
El sistema de dos bobinas de geometría indefinida hasta aquí considerado no posee un
circuito magnético en el sentido del concepto definido en el capítulo 1.
Sin embargo, mediante una conveniente manipulación de las ecuaciones (3.1.1) es
posible crear las ficciones flujo común y flujos de dispersión.
Para ello las ecuaciones (3.1.1) se reescriben en forma amplificada como sigue:
ψ1 = L1 i1 + L12 i 2 + λ1L21 I1 − λ1L2 1 i 1
ψ2 = L2 i 2 + L21 i 1 + λ2 L12 i 2 − λ 2 L12 i 2
(3.2.6)
donde λ1 y λ2 son constantes arbitrarias .
Reagrupando los términos de (3.2.6) se logra
ψ1 = ( L1 − λ1 L12 ) i 1 + L12 ( λ1 i1 + i 2 )
ψ2 = (L2 − λ2 L12 ) i 2 + L12 ( λ2 i 2 + i1 )
(3.2.7)
donde puede apreciarse que como resultado de la manipulación los enlaces de flujo ψ1
y ψ2 aparecen formados por dos componentes : una debida exclusivamente a la
corriente del propio circuito y otra en que participan las corrientes de ambos circuitos.
A las componentes
ψσ1 = ( L1 − λ1L12 ) i1 = Lσ1 i1
ψσ2 = (L2 − λ 2 L12 ) i 2 = Lσ2 i 2
(3.2.9)
se las denomina enlaces de flujo de dispersión, mientras que a las componentes
ψm 1 = L12 ( λ1 i1 + i 2 )
ψm 2 = L12 (λ 2 i 2 + i 1 )
(3.2.10)
se las denomina enlaces de flujo principal.
Entre los coeficientes arbitrarios λ1 y λ2 se puede establecer una relación, si se exige
que las inductancias de dispersión Lσ1 y Lσ2 definidas en (3.2.9) se anulen cuando el
coeficiente de dispersión total σ se hace cero.
Reemplazando
capítulo 3: transformador
L1 = λ1L12 + Lσ1
3-41
(3.2.11)
L2 = λ 2 L12 + Lσ 2
en la relación (3.2.4) queda:
σ = 1−
λ1λ 2 L212 + Lσ1Lσ2
L212
+ L12 ( λ1Lσ1 + λ 2 Lσ2 )
(3.2.12)
de donde se desprende que con Lσ1 = Lσ2 = 0 σ sólo se anula si
λ1λ 2 = 1
.
(3.2.13)
El establecimiento de una relación, exigible desde el punto de vista de la física, entre el
coeficiente de dispersión total σ , que es una medida del grado de acoplamiento de los
circuitos reales, y las inductancias de dispersión ficticias Lσ1 y Lσ2 , que representan el
acoplamiento imperfecto en el esquema de acoplamiento inductivo, reduce el número
de parámetros arbitrarios a uno solo:
λ1 =
1
λ2
(3.2.14)
del que se puede disponer de acuerdo con la ventaja analítica que se busque. Así, por
ejemplo, si se hace λ1 = L1 L12 , resulta de (3.2.9) que Lσ1 = 0 , lo que puede ser muy
conveniente en algunas ocasiones.
En el caso del transformador de potencia,
con sus dos devanados de N1 y N2 vueltas
Φm
respectivamente,
estrechamente
acoplados a través de un núcleo común
de material ferromagnético, la teoría
Φ σ1
clásica del transformador de dos
devanados dispone del parámetro λ1
postulando el esquema de acoplamiento
Φ σ2
inductivo de la figura 3.2.1 con un flujo
ficticio Φm , que enlaza todas las N1
vueltas del devanado (1) y todas las N2
vueltas del devanado (2).Es decir, impone Figura 3.2.1 Esquema de coplamiento
inductivo
Ψm1 = N1 Φ m
(3.2.15)
Ψm 2 = N 2 Φ m
que al reemplazar (3.2.10) y (3.2.14) toma la forma
capítulo 3: transformador
3-42
L12 ( λ1 i1 + i 2 ) = N1 Φ m
L12 (
1
i + i ) = N2 Φm
λ1 2 1
(3.2.16)
Al multiplicar la primera de estas ecuaciones por N2 y la segunda por N1 y formar la
diferencia, queda finalmente
N
( N2 λ1 − N1 ) i1 + (N2 − 1 ) i 2 = 0
,
(3.2.17)
λ1
relación que debe cumplirse para cualquier valor de i1 e i2 , por lo que los coeficientes
de i1 y de i2 deben ser nulos, lo que se cumple si
λ1 =
N1
N2
.
(3.2.18)
Como se verá, la introducción de un esquema de acoplamiento inductivo permite
describir el comportamiento del transformador en forma simple y superar la dificultad
asociada a la influencia de la saturación del núcleo sobre las inductancias, pero no
autoriza a pensar que los flujos tan arbitrariamente definidos tienen existencia real.
Deben ser considerados como ficciones y en cada caso particular hay que averiguar
hasta qué punto son identificables con los flujos existentes en el dispositivo que se está
modelando.
La importancia práctica del esquema de acoplamiento inductivo reside en el hecho que
en las principales máquinas eléctricas es efectivamente posible asociar
razonablemente los flujos del esquema con flujos existentes en diferentes regiones de
la máquina, siendo de ese modo posible determinar los correspondientes parámetros a
partir de la geometría de la máquina.
3.3
El transformador de potencia.
La transmisión eficiente de energía eléctrica desde los lugares de generación a los de
consumo requiere del uso de diferentes niveles de tensión que se logran mediante
transformadores de potencia.
El transformador de potencia monofásico consiste, en lo esencial, en un núcleo cerrado
de chapas de alta permeabilidad, sobre el cual están dispuestas dos bobinas. La figura
3.3.1 muestra en forma esquemática un dibujo en corte.
Para la construcción del núcleo se emplea casi exclusivamente chapas de grano
orientado, laminadas en frío, de 0,3mm de espesor, con cifras de pérdidas del orden de
0,3W/kg, con las que se alcanza inducciones de 1,7 a 1,9T.
3-43
capítulo 3: transformador
Núcleo
Bobina primaria
Bobina secundaria
Figura 3.3.1.Esquema del transformador
técnico de dos devanados
La alta permeabilidad del núcleo hace que éste se constituya en camino preferencial
para el flujo, por lo que la mayor parte de éste se cierra a través del núcleo, enlazando
así a ambos devanados. Pero como la permeabilidad del núcleo no es infinita, también
habrá flujo por el aire.
Debido a la extensión geométrica de las bobinas, una parte del flujo por el aire también
está enlazado con ambas bobinas, pero su efecto es insignificante, comparado con el
del flujo en el núcleo. Este hecho autoriza a identificar el flujo en el núcleo con el flujo
común Φm definido en el esquema de acoplamiento inductivo.
Si bien la parte del flujo por el aire que enlaza a ambos devanados es despreciable en
comparación con el flujo por el núcleo, no lo es en absoluto en comparación con la
totalidad del flujo por el aire. En consecuencia no es posible identificar el flujo por el
aire con el flujo de dispersión del esquema de acoplamiento inductivo. Dispersión
magnética y dispersión inductiva son conceptos diferentes.
Sólo si se anula el flujo común, lo que de acuerdo con (3.2.10) ocurre si N1i1 + N2 i2 = 0 ,
el aire estaría ocupado exclusivamente por flujo de dispersión. Esta situación se da
aproximadamente en cortocircuito.
3.3.1 Circuito equivalente
La definición del esquema de acoplamiento inductivo y la posterior identificación del
flujo común de ese esquema con el flujo por el núcleo del transformador de potencia ha
convertido la obtención del circuito equivalente del transformador en un ejercicio casi
rutinario, si se considera la metodología desarrollada en el capítulo 2.
3-44
capítulo 3: transformador
Φm
Φσ2
V2
V1
Φσ1
N1
N2
Figura 3.3.2.Esquema de acoplamiento inductivo
del transformador.
En la figura 3.3.2 se reproduce el dibujo en corte del transformador superponiéndole el
esquema de acoplamiento inductivo definido en el párrafo anterior. De él se aprecia
claramente la topología del circuito magnético ideal de la figura 3.3.3.
Φm
R1
R2
Φ σ2
N1
Φσ 2
N2
Figura 3.3.3. Circuito magnético ideal del transformador
Tal como se hizo en el caso del reactor, las bobinas reales, de N1 y N2 vueltas
respectivamente, se reemplazan por bobinas ideales, sin pérdidas, en serie con las
cuales se conectan sendas resistencias, cuyo valor es tal que las pérdidas generadas
en ellas sean iguales a las pérdidas que se producen en las bobinas reales.
Si ahora se incluye la energía magnética asociada a cada campo de dispersión
mediante una impedancia magnética conservativa por la cual circula el correspondiente
flujo y la energía magnética y las pérdidas en el núcleo mediante sendas impedancias
magnéticas, conservativa y disipativa respectivamente, en serie con el flujo común, se
logra el circuito electromagnético de la figura 3.3.4
3-45
capítulo 3: transformador
R1
Rfe
Lm
N1
N1
Φm
Φσ1
N1
R2
Φσ2
N2
Lσ2 N2
N1 Lσ1
Figura 3.3.4. Circuito electromagnético del transformador
con dispersión y pérdidas.
Φm
R1
V1
Lσ2
Lσ1
Lm
Rfe
N1
R2
N2
V2
Figura 3.3.5 Reducción del circuito electromagnético.
La reducción de este circuito electromagnético según las reglas vistas en el capítulo 2.
lleva al circuito de la figura 3.3.5, donde el transformador real, con dispersión y
pérdidas, aparece reemplazado por un transformador ideal, con núcleo de
permeabilidad infinita, sin dispersión ni pérdidas, en cuyo primario y secundario están
conectados elementos concentrados que representan los efectos ausentes en el
transformador ideal. El conjunto formado por el transformador ideal y los circuitos
eléctricos en el primario y en el secundario es equivalente al transformador real al que
reemplaza.
Es costumbre hacer aparecer todas las resistencias e inductancias en un solo circuito
acoplado galvánicamente. Para ello basta reemplazar las dos impedancias magnéticas
en serie de la figura 3.3.5 por una equivalente, con bobina ideal de N1 vueltas, cuya
fuerza magnetomotriz es igual a la suma de las fuerzas magnetomotrices
correspondientes a cada una de las impedancias.
3-46
capítulo 3: transformador




 N12 N22 
1 
2 1
F = F1 + F2 = Φ ( Z m 1 + Z m 2 ) = Φ j ω 
+
 = Φ j ω N1  + 2

Z 1 N1
 Z1 Z 2 
Z


2
N22


(3.3.1)
Se aprecia que la impedancia magnética equivalente posee N1 vueltas, a cuyos
terminales está conectada la impedancia Z1 en paralelo con la impedancia modificada
N 
Z ′2 = Z 2  1 
 N2 
2
(3.3.2)
conocida como la impedancia del secundario reducida al primario.
En el caso específico de la figura 3.3.5, la impedancia vale:
2

V  N 
V′
Z ′2 =  R2 + j X σ 2 + 2   1  = R2′ + j X 2′ + 2
I2   N2 
I 2′

donde
V2′ =
N1
V
N2 2
(3.3.3)
(3.3.4)
se conoce como la tensión secundaria referida al primario y es la tensión inducida por
el flujo común en la bobina de N1 vueltas e
I′2 =
N2
I
N1 2
(3.3.5)
se conoce como la corriente secundaria referida al primario y es la corriente que en la
bobina de N1 vueltas produce la misma fuerza magnetomotriz que la corriente I2 en la
bobina de N2 vueltas.
El cuociente
n=
N1
N2
se conoce como relación de transformación del transformador.
(3.3.6)
3-47
capítulo 3: transformador
Como resultado de la reducción descrita se obtiene el circuito equivalente del
transformador referido al primario, representado en la figura 3.3.6, en la que se ha
suprimido la bobina ideal, ya que la corriente por ella es nula.
I ′2
I1
R1
V1
jωΨ1
Xσ1
X’σ2
jωΨm Xm
Rfe
R’2
jωΨ2′
V2′
Figura 3.3.6. Circuito equivalente galvánico del transformador.
Nótese que en el proceso de reducción de los parámetros del secundario al primario
estos se transformaron de manera que la potencia disipada y la potencia reactiva
permanezcan invariantes:
I 22 R2 = I 2′ 2 R2′
e
I 22 X 2 = I 2′ 2 X 2′
(3.3.7)
El circuito equivalente aquí derivado es el punto de partida para el análisis de las
características de funcionamiento del transformador en estado sinusoidal estacionario.
3.3.2 Diagrama fasorial
Para el análisis del funcionamiento en estado sinusoidal estacionario se recurre
convenientemente a la representación de las variables en el dominio de frecuencias a
través de la transformación fasorial.
Las variables transformadas admiten una representación gráfica en el plano complejo
que se conoce como diagrama fasorial y que representa un modelo matemático
equivalente a las ecuaciones de Kirchhoff.
La fundamentación teórica del método fasorial fue desarrollada en el curso de redes,
por lo que aquí sólo se insistirá en la importante cuestión de los sentidos y polaridades
de referencia, sin las cuales un diagrama fasorial queda ambiguo.
Tensión y corriente son magnitudes alternas periódicas cuyo sentido cambia con cada
semiciclo. Se dice que la tensión o corriente es positiva cuando su sentido coincide con
una dirección de referencia establecida arbitrariamente como positiva y que es negativa
cuando su sentido es opuesto a la dirección de referencia.
Antes de poder establecer una relación coherente entre las variables de un circuito es
pues necesario fijar las referencias positivas para la tensión y la corriente en cada
elemento, lo que se hace con las flechas de referencia usuales.
3-48
capítulo 3: transformador
Existen dos combinaciones de referencias posibles:
• La corriente positiva entra al elemento por el terminal positivo, lo que implica
considerar a la potencia absorbida por el elemento como positiva. Se habla de
convención carga.
• La corriente positiva sale del elemento por el terminal positivo, lo que implica
considerar a la potencia entregada por el elemento como positiva. Se habla de
convención fuente.
Ambos sistemas de referencia son equivalentes y la elección de uno u otro es un
asunto de conveniencia.
Históricamente la convención carga ha tenido una difusión más amplia y suele ser
preferida por ese motivo. Esta preferencia conduce a expresiones como “ en una
inductancia la corriente está atrasada respecto a la tensión en 90º “, que sólo tienen
sentido si se explicita el sistema de referencia usado y que sin esa información
adicional son ambiguas.
Para aclarar esto considérese una inductancia con referencias correspondientes a la
convención fuente. Cuando la corriente pasa por cero, la energía acumulada en la
inductancia también vale cero. Por lo tanto, durante el primer cuarto de ciclo que sigue
al paso de la corriente por cero el elemento absorbe energía de la fuente, energía que
es transferida al campo magnético. Debido al uso de la convención fuente, la potencia
absorbida por el elemento es considerada negativa. Durante el segundo cuarto de ciclo,
la energía acumulada en el campo es devuelta a la fuente, lo que implica que en el
segundo cuarto de ciclo la potencia es positiva. Si durante el primer semiciclo la
i
v
v
i
V
ωt
L
0
Figura 3.3.7
π
2π
Relación de fase entre tensión y corriente en una
inductancia con convención fuente algebraica.
corriente es positiva, el signo de la potencia exige que durante el primer cuarto de ciclo
la tensión tiene que ser negativa y que durante el segundo cuarto de ciclo debe ser
positiva. Esta relación es satisfecha por una tensión que corresponde a una
cosinusoide negativa, lo que en términos fasoriales significa que la corriente está
adelantada a la tensión en 90º. La figura 3.3.7 ilustra la relación descrita.
3-49
capítulo 3: transformador
Del análisis anterior se desprende que es imprescindible la fijación de la referencia
positiva para tensión y corriente en cada elemento y si bien esto puede hacerse en
forma arbitraria, resulta conveniente usar sistemáticamente el mismo sistema de
referencia para todos los elementos del circuito.
Con este preámbulo, considérese ahora la construcción del diagrama fasorial del
transformador, para lo cual se fija convenientemente las referencias en la forma
indicada en la figura 3.3.8.
I1
R1
Xσ1
Im
V1
Xm
Xσ2
a
I0
I ′2
R2
Ic′
I fe
Vi RFe
V2′
Z’∠ϕ
Figura 3.3.8. Circuito equivalente con carga referido al primario.
Debido a la gran diferencia entre los módulos de los fasores por representar, sólo tiene
sentido construir un diagrama cualitativo, cuya construcción comienza
convenientemente en la impedancia de carga conocida, supuesta óhmico-inductiva, y
que fija una determinada relación de fase entre tensión y corriente.
Para las referencias consideradas, la corriente I′c está atrasada respecto a la tensión
V2′ en un ángulo menor que 90º, por lo que la corriente I′2 , cuya referencia es opuesta
a la de Ic′ , debe estar adelantada respecto a V2′ en un ángulo mayor que 90º. La caída
de tensión en la resistencia R2′ está en fase con la corriente I′2 , mientras que la caída
de tensión en la reactancia inductiva X 2′ está adelantada en 90º respecto a esa
corriente. Restando estas caídas de tensión fasorialmente de la tensión V2′ se logra la
tensión inducida por el flujo común Vi .
La corriente magnetizante Im está atrasada en 90º respecto a Vi′ , mientras que la
corriente de pérdidas Ife está en fase con Vi . La suma de Im y de Ife da lugar a la
corriente de vacío I 0 .
La corriente I1 se encuentra aplicando la ley de nodos de Kirchhoff al nodo a del
circuito equivalente, es decir, restando fasorialmente I′2 de I 0 .
Ahora se puede determinar las caídas de tensión en Xσ1 y en R1 , que sumadas a Vi′ ,
permiten determinar V1 . El diagrama fasorial del transformador está completo.
3-50
capítulo 3: transformador
V1
I1R1
jI1X σ1
Vi
jI′2 X σ′ 2
I ′2R2′
V2′
ϕ1
I1
ϕ2
I ′2
I0
Im
IFe
I′2
Figura 3.3.9. Diagrama fasorial del transformador
con carga óhmica inductiva.
La aplicación consecuente de un sistema de referencia a todos elementos y puertas del
circuito equivalente hace que el diagrama fasorial sea más transparente . En el caso de
aplicar la convención carga, en las puertas que absorben potencia el ángulo de fase
entre la tensión y corriente correspondientes es menor que 90º , mientras que en las
puertas que entregan potencia el ángulo de fase es mayor que 90º. En el diagrama
fasorial de la figura 3.3.9 , dibujado con las referencias de la figura 3.3.8, se aprecia
que el transformador, visto desde la red, es una carga, mientras que visto desde la
carga es una fuente.
3-51
capítulo 3: transformador
3.3.3 Funcionamiento en vacío
Se dice que el transformador funciona en vacío cuando sus terminales primarios están
conectados a la red y sus terminales secundarios están abiertos. En esas condiciones
la corriente en el devanado secundario es nula y el transformador se comporta como un
reactor. El circuito equivalente se reduce al de la figura 3.3.10, para el que rige el
diagrama fasorial de la figura 3.3.11.
I1
I 2′ = 0
Lσ1
R1
I Fe
Im
V1
Lm
RFe
V2′
Figura 3.3.10.Circuito equivalente galvánico en vacío.
Para tensiones aplicadas iguales o menores que la tensión nominal el grado de
saturación del núcleo es moderado y la corriente de vacío es muy pequeña (< 1% de la
corriente nominal para núcleos con chapas de grano orientado ) y reactiva.
En consecuencia, en vacío las pérdidas en el devanado primario son también muy
pequeñas, por lo que predominan las pérdidas en el fierro. Pérdidas en vacío y
pérdidas en el fierro pasan a ser sinónimos.
Por lo pequeño de la corriente de vacío, las caídas de tensión en la resistencia y la
reactancia de dispersión primaria son muy pequeñas en relación con la tensión
aplicada, por lo que rige aproximadamente:
V1
4,44 f N1 Φ m
N
=
= 1 =n
V20 4,44 f N2 Φ m N2
,
(3.3.8)
donde V20 es la tensión inducida en vacío en el devanado secundario. Esta
proporcionalidad se usa para determinar experimentalmente la relación de
transformación n.
3.3.4 Funcionamiento en cortocircuito estacionario
Se dice que un transformador funciona en cortocircuito cuando los terminales del
devanado primario están conectados a la red y los terminales del devanado secundario
están cortocircuitados (Zc = 0).
3-52
capítulo 3: transformador
En esas condiciones la corriente absorbida suele ser tan alta, que, en comparación, la
corriente en la rama de magnetización puede ser despreciada. El circuito equivalente
se reduce al de la figura 3.3.12 para el cual rige el diagrama fasorial de la figura 3.3.13.
En cortocircuito con tensión reducida las pérdidas en el fierro disminuyen
cuadráticamente con la tensión inducida, por lo que pueden considerarse despreciables
en comparación con las pérdidas en los devanados. Pérdidas en cortocircuito es
sinónimo de pérdidas en los devanados.
Icc
Xσ
Re
Vcc
Figura 3.3.12. Circuito equivalente del
transformador en cortocircuito.
Vcc
Icc
ϕcc
Figura 3.3.13. Diagrama fasorial de un
transformador en cortocircuito.
Al despreciar la corriente en la rama de magnetización queda:
I1 = −I′2
,
(3.3.9)
lo que equivale a i 1 N1 + i 2 N2 = 0 , por lo que, de acuerdo con (3.2.10), el enlace de
flujo común se hace cero y el flujo en el aire corresponde en buena aproximación al
flujo de dispersión. Este hecho se aprovecha para calcular la reactancia de dispersión
total, o de cortocircuito, Xσ , a partir de la geometría de las bobinas.
3-53
capítulo 3: transformador
Los parámetros del circuito equivalente de la figura 3.3.12
X σ = X σ 1 + X σ′ 2
Re = R1 + R2′
y
(3.3.10)
se pueden determinar a partir de mediciones de tensión, corriente y potencia en el
transformador cortocircuitado, excitándolo con tensión reducida. Estos parámetros son
constantes, por lo que en cortocircuito la relación entre tensión aplicada y corriente es
lineal (figura 3.3.14).
Vn
Vcc
In
I cc
Figura 3.3.14 Relación entre tensión y corriente
en cortocircuito
Se define como corriente nominal a aquella corriente que en régimen estacionario
determina un calentamiento del devanado igual al admisible para la clase de aislación
usada en la construcción de las bobinas (60ºC).
Se define como tensión de cortocircuito a la tensión que hay que aplicar a los
terminales de entrada, con los terminales de salida cortocircuitados, para que la
corriente de entrada sea igual a la corriente nominal.
Vcc = I n Z e
(3.3.11)
con Z e = Re2 + X σ2
(3.3.12)
En la práctica se prefiere entregar la tensión de cortocircuito como fracción de la
tensión nominal, o tensión base, del devanado en que fue medida:
v cc =
Vcc
(pu)
Vn
(3.3.14)
capítulo 3: transformador
3-54
Expresada en esa forma, la tensión de cortocircuito relativa es numéricamente igual al
valor relativo de la impedancia de cortocircuito:
v cc =
I n Ze Z e
=
= z e (pu)
Vn
Zb
donde Z b =
Vn
In
(3.3.15)
(3.3.16)
es la impedancia base del transformador.
Se define como corriente de cortocircuito nominal a la que circula por los terminales de
entrada, estando los terminales de salida cortocircuitados, cuando la tensión aplicada
es igual a la tensión nominal.
I cc =
Vn
Ze
(3.3.17)
Expresada en por unidad, es decir, referida a la corriente nominal, o corriente base, la
corriente de cortocircuito nominal es igual al valor recíproco de la tensión de
cortocircuito en (pu).
Icc
V
1
1
= n =
=
(pu)
In
I n Z e z e v cc
(3.3.18)
Así, un transformador cuya tensión de cortocircuito es de 5%, o 0,05 pu, tiene una
corriente de cortocircuito nominal de 20 pu, es decir, de veinte veces la corriente
nominal.
También existe una relación directa entre las pérdidas en los devanados, o pérdidas en
el cobre, y la resistencia equivalente. Expresadas en por unidad, ambas magnitudes
son numéricamente iguales:
pcu n =
Pcu n
Pn
I n2 Re Re
=
=
= re (pu)
I n Vn Z b
(3.3.19)
3.3.5 Funcionamiento con carga
Transformadores de potencia se operan normalmente en redes de tensión y frecuencia
aproximadamente constantes, lo que implica que el flujo en el núcleo
3-55
capítulo 3: transformador
Φ=
V1
4,44 f N1
y, por lo tanto la saturación, también es constante. Como se mencionó anteriormente,
la corriente de vacío en esta condición es muy pequeña y puede ser despreciada frente
a la corriente de carga, por lo que el circuito equivalente se reduce al de la figura
3.3.15.
*
I
Re
*
Xσ
V1′
V2
Figura 3.3.15. Circuito equivalente simplificado para la
determinación de la regulación
Sobre la base de este circuito equivalente se puede determinar la variación de la
tensión en el secundario a plena carga , o carga nominal, en relación con el
correspondiente valor en vacío. Esta variación se conoce como la regulación del
transformador:
ε=
V20 − V2
V20
(3.3.20)
Para obtener una expresión explícita para la regulación en términos del ángulo de fase
de la carga y de los parámetros del transformador, considérese el diagrama fasorial
correspondiente al circuito equivalente de la figura 3.3.15, representado en la figura
3.3.16.
Del diagrama fasorial se tiene que
Vϕ = V20 − V2
(3.3.21)
y, de acuerdo con Pitágoras, que
V2 = V202 − Vϕ′′ 2 − Vϕ′
.
Reemplazando esta última expresión en (3.3.21) queda:
(3.3.22)
3-56
capítulo 3: transformador
2

 Vϕ′′  

Vϕ = Vϕ′ + V20 1 − 1 − 


 V20  


.
(3.3.23)
Vϕ′′
V1′
Vϕ
Vσ
Vϕ′
Vr
V2
V1′ = V20
V2
ϕ
Figura 3.3.16 Diagrama fasorial
para la determinación de
la regulación.
Considerando que normalmente
2
 Vϕ′′ 

 << 1 ,
 V20 
se puede aproximar la raíz cuadrada mediante los dos primeros primeros términos de
su desarrollo en serie de potencias:
2
2
 Vϕ′′ 
1  Vϕ′′ 
1− 
 ≈ 1− 
 + ... ,
2  V20 
 V20 
por lo que (3.3.23) se reduce a
3-57
capítulo 3: transformador
Vϕ = Vϕ′ +
Vϕ′′ 2
(3.3.24)
2V20
y (3.3.20) toma la forma:
Figura 3.3.17
Regulación del transformador,
línea llena (roja): fórmula “exacta” (3.3.27),
línea segmentada: fórmula “aproximada” (3.3.29).
ε=
Vϕ
V20
=
Vϕ′
V20
2
1  Vϕ′′ 
+ 
 .
2  V20 
(3.3.25)
Del diagrama fasorial de la figura 3.3.16 se desprenden las siguientes relaciones:
Vϕ′ = Vr cos ϕ + Vσ sen ϕ
Vϕ′′ = −Vr sen ϕ + Vσ cos ϕ
.
(3.3.26)
Dividiendo (3.3.26) por V20 y reemplazando el resultado en (3.3.25) se logra finalmente
la siguiente relación para la regulación:
ε = v r cos ϕ + v σ sen ϕ +
1
2
v r sen ϕ − v σ cos ϕ]
[
2
(3.3.27)
3-58
capítulo 3: transformador
donde v r =
Vr
(pu)
V20
y
vσ =
Vσ
(pu)
V20
son las caídas de tensión, en (pu), en la resistencia equivalente y la reactancia de
dispersión respectivamente. En virtud de la relación (3.3.15) rige:
v r = r (pu)
y
v σ = x σ (pu)
(3.3.28)
por lo que (3.3.27) es la expresión buscada para la regulación en términos de los
parámetros y del ángulo de fase de la carga.
En la figura 3.3.17 el trazo con línea continua corresponde a la evaluación de (3.3.27),
mientras que el trazo con línea segmentada corresponde a la expresión aproximada
ε = r cos ϕ + x σ sen ϕ
(3.3.29)
Se aprecia que para cargas capacitivas (ϕ<0) la regulación puede resultar negativa, lo
que significa que la tensión secundaria aumenta con la carga por sobre el valor de
vacío.
4-59
capítulo 4 : devanados
4. Devanados
4.1
Introducción
Las ideas y conceptos desarrollados en los capítulos precedentes son plenamente
aplicables al transformador de núcleo acorazado representado esquemáticamente en la
figura 4.1.1. La inclusión de entrehierros en la columna central sólo repercute en un
aumento de la corriente magnetizante y no cambia la naturaleza del aparato.
γ
Figura 4.1.1. Transformador acorazado con un grado de
libertad mecánico.
Los rasgos topológicos propios del dispositivo de la figura 4.1.2 - estructura cilíndrica
concéntrica, conductores alojados en ranuras practicadas en las superficies cilíndricas no alcanzan a ocultar su identidad esencial con el transformador de la figura 4.1.1.
x1
γ δ
R
µfe= ∞
Hfe=0
Sin embargo, la girabilidad del devanado
secundario - rotor - respecto al devanado
primario - estator - introduce un grado de libertad
adicional que hace de este dispositivo algo más
que un transformador, convirtiéndolo en el
prototipo de las máquinas eléctricas rotatorias,
cuyas características de funcionamiento se
explican en los capítulos siguientes a partir del
campo magnético en el entrehierro.
Figura 4.1.2. Transformador giratorio Interesa entonces determinar la distribución
como prototipo de la
espacial del campo en el entrehierro a partir de
máquina eléctrica.
las corrientes que circulan en los conductores
4-60
capítulo 4 : devanados
alojados en las ranuras del estator y del rotor.
El deseo de lograr una solución analítica hace necesario modelar el problema e
introducir algunas suposiciones simplificadoras. En este sentido, se considera que el
campo en el entrehierro es homogéneo en sentido axial, despreciándose el efecto de
los extremos. Igualmente se considera que la variación del campo en dirección radial es
despreciable si el ancho del entrehierro es mucho menor que el radio interior del
estator.
Las consideraciones planteadas reducen el problema de campos tridimensional a uno
unidimensional equivalente. El campo en el entrehierro es considerado como un campo
unidimensional que sólo depende de la coordenada tangencial. Este modelo permite la
obtención de soluciones analíticas simples y suficientemente exactas para fines
prácticos.
Estas soluciones se hacen más transparentes si se considera en forma independiente la
determinación del campo en el entrehierro creado por las corrientes en los devanados y
la determinación de las tensiones inducidas por el campo en el entrehierro en los
devanados. Esto, sin perder de vista que en la máquina real las leyes de Ampere y de
Faraday se cumplen simultáneamente.
4.2
Corrientes y campo magnético en el entrehierro
En las máquinas prácticas las ranuras están distribuidas en forma regular a lo largo de
la periferia del estator o del rotor. Por ello resulta conveniente tratar primeramente el
caso de la corriente en una ranura, cuyo resultado se puede generalizar a distribuciones
de cualquier número de ranuras mediante la aplicación del principio de superposición.
Considérese
entonces
la
situación
representada en forma esquemática en la
figura 4.2.1, donde circula corriente por una
sola ranura infinitamente estrecha alojada en
un medio magnético de permeabilidad infinita.
i
La situación en el estator es similar a la ya
analizada en el capítulo 1, cuando se introdujo
la noción circuito magnético para el núcleo
toroidal de alta permeabilidad y excitación
concentrada: el flujo se cierra preferentemente
por el estator, desviándose sólo una pequeña
Figura 4.2.1. Modelo del devanado
fracción a través del entrehierro.
con una ranura.
Si el flujo ( que tiende a infinito ) se supone
4-61
capítulo 4 : devanados
restringido al yugo del estator, las líneas de fuerza tienen que ser circunferencias
concéntricas, a lo largo de las cuales -por razones de simetría- la intensidad del campo
magnético Hy es constante.
Por otra parte, el flujo en el rotor es finito, por lo que la inducción también es finita y la
permeabilidad infinita del fierro hace que la intensidad del campo magnético en el rotor
sea nula.
En consecuencia, la aplicación de la ley de Ampere a lo largo de una de las líneas de
fuerza circulares de radio r del estator permite escribir:
i
(4.2.1)
2πr
y su aplicación al camino de integración de la figura 4.2.2 establece que
H y ( x) =
H y ⋅ r ⋅ x + f (x ) − f (0 + ) = 0 ,
(4.2.2)
donde f(x) es la fuerza magnetomotriz (fmm) correspondiente a la coordenada angular
x. El origen de x coincide con la ubicación de la ranura por la que circula la corriente i.
x1
H
H
i
r
Figura 4.2.2. Distribución esquemática del campo debido
a la corriente en una sola ranura ubicada en
el estator.
De (4.2.2) se despeja
f ( x ) = f (0 + ) −
i x
2π
.
(4.2.3)
Como el flujo neto que entra a la superficie del rotor debe ser nulo, debe cumplirse que
4-62
capítulo 4 : devanados
2π
∫ f ( x )dx = 0
(4.2.4)
0
de donde se desprende que f ( 0 + ) =
f (x ) =
i
, con lo que
2
i 
x
1− 
2
π
(4.2.5)
Se aprecia que la aplicación elemental de la ley de Ampere permite establecer que la
distribución de fmm causada por la corriente en una ranura corresponde a la función
diente de sierra representada en la figura 4.2.3.
F(x)
-π
i
2
x
0
π
Figura 4.2.3. Distribución a lo largo del entrehierro de la componente
radial de la fmm debida a la corriente de una sola ranura.
Esta función es periódica (con período 2π), pero discontinua, por lo que se obtiene
ventajas analíticas reemplazándola por su desarrollo en serie de Fourier:
f( x ) =
i 2 ∞ senνx
∑
2 π ν =1 ν
( ν = 1,2,3,.....)
(4.2.6)
En la figura 4.2.4 están representados los primeros tres términos del desarrollo, que
junto con la fundamental exhibe armónicas pares e impares.
Cada bobina tiene dos lados, alojados en sendas ranuras, separadas en un paso de
bobina. El paso de bobina corresponde al arco menor que media entre las dos ranuras y
en la práctica se expresa en número de ranuras (p.ej. 7 ó 1-8). En un devanado de una
capa, que se caracteriza por tener un solo lado de bobina en cada ranura, el paso de
bobina está determinado por la periodicidad deseada para la distribución espacial de
fmm.
4-63
capítulo 4 : devanados
i 2
f (x ) =
2π
F(x)
∞
sen ν x
ν
ν=1
∑
ν=1
i
2
π
π
0
ν=3
x
ν =2
Figura 4.2.4. Representación del desarrollo en serie
de Fourier de la función diente de sierra.
Considérese primeramente una bobina diametral (figura 4.2.5), cuya distribución de
fmm se logra superponiendo las distribuciones correspondientes a dos ranuras
desplazadas en π radianes, por las cuales circulan corrientes de igual magnitud pero de
signo opuesto (figura 4.2.6):
f (x ) =
i 2
2π
∞
sen ν x i 2
−
ν
2π
ν =1
∑
∞
sen ν( x − π)
ν
ν =1
∑
(4.2.7)
x
R
τp
R
Figura 4.2.5. Dos excitaciones de signo opuesto,
desplazadas en un paso polar, forman una
bobina de paso completo.
La distribución resultante
i 4
f (x ) =
2π
∞
∑
ν =1
sen ν x
ν
( ν = 2g + 1
con g = 0, 1. 2, 3,.....)
(4.2.8)
4-64
capítulo 4 : devanados
corresponde a una forma de onda rectangular (figura 4.2.6) que sólo contiene
armónicas impares, ya que las armónicas pares de las dos distribuciones en (4.2.7) se
cancelan. Su componente fundamental tiene período 2π, el máximo valor posible.
τp
R
i
2
x
-π
0
π
Figura 4.2.6. Distribución de fmm de una
bobina de paso completo
obtenida por superposición.
x
1
2'
1'
2
Figura 4.2.7. Distribución de las excitaciones
magnéticas para un devanado
de p=2 pares de polos.
Para disminuir el período a la
mitad es necesario aumentar los
puntos de excitación alternados
- caracterizados por puntos y
cruces,
que
representan
respectivamente corrientes que
salen del y que entran al plano del
dibujo - al doble. La figura 4.2.7
muestra como se logra esta
distribución mediante el empleo
de dos bobinas (1-1’) y (2-2’)
desplazadas en π radianes, cuyos
pasos de bobina
han sido
reducidos a la mitad, es decir, a
π/2 radianes. Las dos bobinas
deben conectarse eléctricamente
en serie (1’ con 2) para garantizar
la igualdad de las corrientes por
ellas.
La figura 4.2.8 muestra la distribución de fmm correspondiente. Se aprecia que la fmm
es constante entre puntos de excitación y “salta” en estos en un monto igual a la
excitación (corriente total en la ranura). El valor medio de la distribución de fmm es cero.
Estos resultados son generales y permiten trazar directamente la distribución de fmm
correspondiente a una distribución de corrientes dada. Se comienza en cualquier ranura
y se registran los “saltos” correspondientes a cada ranura con corriente, considerando el
4-65
capítulo 4 : devanados
signo de esta. El resultado es una onda escalonada cuyo valor medio es cero. El eje de
abscisas se traza de manera que las áreas sobre y bajo él sean iguales.
F(x)
0
2'
2
0
π/2
π
τp
1'
3π/2
1
x
2π
R
Figura 4.2.8. Distribución de la fmm de un
devanado de 2 pares de polos.
La expresión analítica para la distribución resultante se logra superponiendo las
distribuciones correspondientes a los 2p=4 puntos de excitación, desplazados
relativamente en π/2 radianes:
i 2
f (x ) =
2π
∞
π
1
∑ ν (sen νx − sen ν(x − 2 ) + sen ν(x − π) − sen ν(x −
ν =1
3π
))
2
(4.2.9)
donde ν = 1, 2, 3,....
El resultado
f( x ) =
i 4 ∞ p
∑ senνx con ν = p( 2g + 1) g = 0,1,2,3,......
2 π ν =2 ν
(4.2.10)
permite apreciar que ahora la armónica de orden más bajo es ν=p=2, cuyo período es
2π/p=π, que se repite p veces a lo largo de la periferia. Esta componente se conoce
como la fundamental.
Dado que a la fundamental le corresponde la longitud de onda mayor, es costumbre
normalizar su período a 2π y expresar las armónicas en relación a ella. Para ello se
introduce una nueva unidad de medida angular, el radián eléctrico, definido por la
relación
2πp[rad el ] = 2π[ rad geom ]
,
(4.2.11)
4-66
capítulo 4 : devanados
que establece la equivalencia:
1 rad geom = p rad el
(4.2.12)
donde p es el número de períodos de la fundamental a lo largo de la periferia, o, en la
jerga eléctrica, el número de pares de polos del devanado.
En términos del arco medido en radianes eléctricos la relación (4.2.10) se reescribe
como
∞
i 4
sen ν ′x
f (x ) =
2 π ν′= 1 ν ′
∑
donde ν ′ =
ν
= 2g + 1
p
con g = 0, 1, 2, 3,....
(4.2.13)
es el número de orden de la armónica en relación con la fundamental.
Para la fundamental se tiene la relación:
f 1( x ) =
i 4
sen x
2π
(4.2.14)
La comparación de (4.2.8) con (4.2.13) lleva a la conclusión que el uso de la medida
angular “radianes eléctricos” reduce el análisis de una distribución de periodicidad p al
análisis de una distribución de periodicidad 1. En otras palabras, en términos de
radianes eléctricos el problema de la figura 4.2.8 se reduce al problema de la figura
4.2.6.
En los desarrollos que siguen se asume tácitamente que los arcos están expresados en
radianes eléctricos, salvo que se indique explícitamente otra cosa.
4.2.1 Bobinas acortadas, el factor de cuerda
La unidad práctica de un devanado es la bobina. El lado de bobina, como unidad del
devanado, sólo es una abstracción que facilita la determinación sistemática de la
distribución de fmm en el entrehierro. Siempre existen al menos dos lados de bobina
excitados por corrientes de signo opuesto. En consecuencia, los términos creados para
describir propiedades de la distribución de los conductores a lo largo de la periferia se
refieren siempre a la bobina.
En las distribuciones de fmm de las figuras 4.2.6 y 4.2.8 se puede distinguir
semiperíodos de π radianes eléctricos que coinciden con los de la fundamental. Los
semiperíodos de la fundamental se denominan polos. El arco cubierto por un polo se
conoce como paso polar y siempre corresponde a π radianes eléctricos. En las figuras
4-67
capítulo 4 : devanados
4.2.5 y 4.2.7 el paso polar es igual al paso de bobina y se habla de bobinas de paso
completo.
Considérese ahora la situación
representada esquemáticamente en
la figura 4.2.9, donde los lados de la
bobina no se encuentran sobre un
diámetro, sino sobre una cuerda. La
bobina es de paso acortado.
x
i
τb
R
R
τp
R
La distribución de fmm resultante
α
para esta disposición de corrientes
se
logra
superponiendo
las
distribuciones de “diente de sierra” Figura 4.2.9. Dos excitaciones desplazadas en
un paso de bobina ( τ b ) menor que
correspondientes a los respectivos
el paso polar ( τp ), forman una
lados de bobina , según se muestra
bobina de paso acortado.
en la figura 4.2.10.
Analíticamente se tiene que
i 2
f (x ) =
2π
i 4
f (x ) =
2π
∞
sen ν x i 2
−
ν
2π
ν =1
∞
sen ν ( x − π + α )
ν
ν =1
∑
∑
∞
να  sen ν ( x + α 2)

2
ν
∑ cos
ν =1
donde ν = 2g + 1
(4.2.15)
(4.2.16)
con g = 0,1, 2, 3,...
Al comparar ahora (4.2.16) con (4.2.8) se aprecia que, como consecuencia del
acortamiento del paso de bobina, las
amplitudes de las armónicas resultan
ponderadas con el factor de cuerda
f(x)
π
-π
0
τb/R
 να 
f cν = cos  ≤ 1
 2 
.
(4.2.17)
x
α
Figura 4.2.10 Distribución de fmm de una
bobina acortada
En el acortamiento del paso de
bobina el diseñador de un devanado
tiene una poderosa herramienta para
atenuar fuertemente las amplitudes
de ciertas armónicas al costo de una
leve disminución de la amplitud de la
fundamental.
4-68
capítulo 4 : devanados
Por ejemplo, suponiendo que se pueda realizar el acortamiento α = π / 6 , resultaría
fc5=0,259, fc7=-0,259 y fc1=0,966, es decir, las amplitudes de la quinta y de la séptima
armónica se habrían reducido aproximadamente a la cuarta parte del valor que tendrían
en una bobina de paso completo, mientras que la amplitud de la fundamental sólo se
habría reducido en 3,4%.
4.2.2 Bobinas distribuidas, factor de zona
Normalmente se pretende crear
en el entrehierro un campo cuya
distribución espacial se aproxime
a una sinusoide. Para realizar
esta
distribución
ideal
se
requeriría un número infinito de
ranuras y corrientes diferentes en
cada ranura.
i
q
x
β β
q=3
Si bien esta solución no es
realizable en la práctica, sugiere
que se puede mejorar la forma de
onda de la distribución espacial
de fmm aumentando el número de Figura 4.2.11. Devanado distribuido en q ranuras,
en cada una de las cuales circula la
puntos de excitación. Se aprecia
q-ava parte de la corriente total.
subjetivamente que la distribución
de la figura 4.2.12 es “más
sinusoidal” que la de la figura 4.2.6.
Considérese entonces que la excitación magnética esté distribuida igualitariamente en q
ranuras, espaciadas regularmente en el ángulo β, que cubren una zona qβ de la
periferia, como se muestra en la figura 4.2.11.
La expresión analítica correspondiente a la distribución de fmm de la figura 4.2.12 se
logra nuevamente a través de la superposición de las distribuciones parciales de cada
ranura y se resume en la siguiente serie de Fourier:
f( x ) =
i 4 ∞ sen( qν β 2 ) sen ν( x − ( q − 1) β 2 )
2 π∑
ν
ν =1 qsen( ν β 2 )
con ν = 2g + 1
y
(4.2.18)
g = 0,1, 2, 3,...
Al comparar los coeficientes de Fourier de las expresiones (4.2.18) y (4.2.8) se constata
que, como consecuencia de la distribución de la excitación sobre una zona, las
4-69
capítulo 4 : devanados
amplitudes de las armónicas resultan ponderadas con el factor de zona o de
distribución:
fz ν =
sen( qνβ 2)
≤1
q sen( νβ 2)
(4.2.19)
f
i
q
x
π
0
−π
β
Figura 4.2.12. Distribución de un grupo de q bobinas de paso completo.
f zν
1
0.9
0.9
0.3
0.9
0.3
0.2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
ν
Figura 4.2.13. Espectro del factor de zona para un
devanado distribuido con q=3 y β=30º.
Este factor también es una función periódica de ν y la figura 4.2.13 muestra el espectro
(valor absoluto del factor de distribución como función del número de orden de las
armónicas) correspondiente a un caso específico. Se aprecia que en general el factor
de zona afecta selectivamente a las diferentes armónicas, pero que también hay
armónicas que no son mayormente afectadas.
capítulo 4 : devanados
4-70
Del análisis anterior se concluye que mediante el uso juicioso del acortamiento y de la
distribución es posible generar distribuciones espaciales de fmm esencialmente
sinusoidales en el entrehierro de las máquinas eléctricas.
4.2.3 Devanados de corriente alterna
Las máquinas prácticas están provistas de Z ranuras uniformemente distribuidas a lo
largo de la periferia del estator o del rotor, de manera que el ángulo entre ranuras
consecutivas β está dado por
β=
2π p
Z
(4.2.20)
El ángulo de acortamiento del paso de bobina α es necesariamente un múltiplo entero
de β.
El devanado ocupa todas las ranuras y está formado por bobinas de igual número de
vueltas, interconectadas de manera de producir la distribución espacial de fmm
deseada.
En el caso que las bobinas sean de paso completo se requiere de Z/2 bobinas para
completar el devanado, ya que cada lado de bobina ocupa una ranura. Se le conoce
como un devanado de una capa.
Si en cambio se utiliza bobinas de paso acortado, el número de bobinas necesarias es
Z y cada ranura tiene que alojar a dos lados de bobina. Se habla de un devanado de
dos capas.
Cuando se trata de devanados para alimentación polifásica las bobinas se
interconectan formando grupos que ocupan zonas simétricamente desplazadas a lo
largo de la periferia. Las corrientes en todas las bobinas de un grupo están en fase, por
lo que esos grupos de bobinas se denominan fases.
La figura 4.2.14 representa en forma esquemática una fase (en desarrollo) de un
devanado trifásico cuyo paso polar es de 9 ranuras (paso 1-10), formado por bobinas
acortadas cuyo paso de bobina es de 7 ranuras (paso 1-8), donde se puede apreciar
dos características de un devanado acortado: la existencia de las dos capas (línea llena
corresponde al lado de bobina que se encuentra en la capa superior, línea segmentada
corresponde al lado de bobina que se encuentra en la capa inferior) y la existencia de
dos grupos de bobinas, desplazados en un paso polar, que forman la fase. También se
muestra la interconexión de estos dos grupos para producir la distribución de fmm
deseada, caracterizada por la distribución de puntos y cruces indicada en la vista en
corte de la parte superior de la figura.
4-71
capítulo 4 : devanados
Como consecuencia del acortamiento del paso de bobina el número de puntos de
excitación aumentó de 3 a 5 y la intensidad de la excitación dejó de ser la misma en
todos los puntos, con lo que la distribución espacial de corriente de la fase se acerca en
cierta manera a la distribución ideal mencionada al comienzo del párrafo 4.2.2. Esto
también se refleja en la mayor “sinusoidalidad” que se aprecia subjetivamente en la
distribución de fmm de la parte inferior de la figura 4.2.14.
La correspondiente expresión analítica en la forma de una serie de Fourier puede
obtenerse en principio recurriendo a la superposición de ondas “diente de sierra”, a
pesar de existir un procedimiento directo más eficiente para el caso de las ondas
escalonadas como la de la figura 4.2.14.
a)
Capa superior
Capa inferior
τp
τb
b)
f(x)
iN
2 q
c)
π
0
iN
2
β
x
α
Figura 4.2.14. Distribución de bobinas y fmm correspondientes a
una fase de un devanado trifásico.
Sea N el número total de vueltas en serie de las bobinas de una fase de un devanado
m-fásico distribuido en Z/m ranuras.
Entonces cada una de las Z/m bobinas tiene Nm/Z vueltas y el “salto” producido por un
lado de bobina en la distribución de fmm es
∆ fmm =
Nm
⋅i
Z
.
(4.2.21)
capítulo 4 : devanados
4-72
Con esto se determina la siguiente expresión para el desarrollo en serie de Fourier de la
onda de fmm correspondiente a una fase de un devanado distribuido y acortado:
f( x ) =
i N4 ∞
 να  sen (νqβ 2 ) sen ν (x − ( q − 1) β 2 + α 2 )
cos   ⋅
⋅
∑
2 p π ν =1
ν
 2  q sen(νβ 2)
(4.2.22)
donde se ha introducido convenientemente el número de ranuras por polo y por fase
q=
Z
2pm
(4.2.23)
Se aprecia que la amplitud de cada armónica está ponderada por un factor que es igual
al producto del factor de cuerda por el factor de zona y que se conoce como el factor de
devanado correspondiente a esa armónica:
f d ν = fc ν ⋅ f z ν
(4.2.24)
Para un devanado concentrado ( f z ν = 1) de paso completo ( f c ν = 1) el factor de
devanado vale 1 y la amplitud de la ν-ésima armónica de ese devanado está dada por:
Fc ν =
4 1 iN
π ν 2p
(4.2.25)
mientras que la amplitud de esa misma armónica para un devanado distribuido está
dada por:
Fd ν =
4 1 iNf d ν
.
π ν 2p
(4.2.26)
De estas dos expresiones se desprende que para una determinada armónica ν un
devanado distribuido puede pensarse reemplazado por un devanado concentrado
equivalente de Nfdν vueltas.
El producto Nef ν = N ⋅ f d ν
(4.2.27)
se denomina el número de vueltas efectivo del devanado para la ν-ésima armónica.
Para apreciar el efecto de la distribución y del acortamiento del devanado sobre la
forma de onda de la distribución espacial de la fmm la siguiente tabla resume el caso en
que q=3, β=2π/18 y α=2β.
4-73
capítulo 4 : devanados
ν
fdν
Fcν
Fdν
1
0,9019
1
0,9019
3
0,3333
0,3333
0,1111
5
0,0378
0,2000
0,0076
7
0,1359
0,1429
0,0194
9
0,3333
0,1111
0,0370
11
0,1359
0,0909
0,0124
Si se introduce como cifra de mérito el factor de distorsión armónica total, definido como
11
∑F
2
ν
%THD = 100
ν= 3
(4.2.28)
F1
se obtiene
concentrado
distribuido y acortado
distr.y acort. sin tercera armónica
%THD
36,4
13,3
2,7
donde en la última fila se ha incluido el caso sin tercera armónica y sus múltiplos, que
corresponde a la situación normal para devanados trifásicos.
Al compara las amplitudes de las fundamentales de las ondas de fmm se observa que
en este caso la reducción del contenido armónico tuvo el “costo” de una disminución de
la amplitud de la fundamental en casi 10%.
4.2.4 Campo giratorio mediante devanado trifásico
La alimentación de un devanado trifásico simétrico con corrientes trifásicas simétricas
crea una distribución espacial de fmm de amplitud constante que se desplaza a lo largo
del entrehierro con velocidad angular constante. Tal distribución se conoce como un
campo giratorio y ocupa un lugar central en la teoría de las máquinas de corriente
alterna.
Sean tres grupos de bobinas, similares al grupo de la figura 4.2.14, distribuidas
simétricamente a lo largo de la periferia interior del estator. La figura 4.2.15 representa
esta situación en términos de tres fases concentradas equivalentes, cuyo número de
vueltas es igual al número de vueltas efectivo para la fundamental.
La representación de la figura 4.2.15a corresponde a un corte transversal a través del
estator y la de la figura 4.2.15b corresponde al desarrollo del manto de cilindro interior
del estator. Las cruces y las flechas indican los sentidos de referencia positivos para las
corrientes en los conductores así marcados.
4-74
capítulo 4 : devanados
Supóngase ahora que cada fase está alimentada con una de las corrientes pertenecientes al sistema de corrientes trifásico simétrico de la figura 4.2.16.
π
x
3
2'
π
3
1
1'
2π
x
0
3
3'
2
2' 1
a)
3' 2
1' 3
b)
Figura 4.2.15. Devanado trifásico elemental.
i
i1
i2
i3
2i
π
6
π
6
ωt
La figura 4.2.17 muestra la
distribución espacial de fmm
resultante y la fundamental
correspondiente para los tres
instantes sucesivos, separados
en ∆ωt=π/6, marcados en la
figura 4.2.16.
Debido al desfasamiento entre
las
tres
corrientes,
la
combinación de los valores
instantáneos correspondientes
a cada instante representado es
diferente, lo que se traduce en
t1 t2 t 3
el corrimiento espacial relativo
Figura 4.2.16. Sistema de corrientes trifásico simétrico. de la onda de fmm observable
en la figura 4.2.17.
La expresión analítica para la
0
2π
4-75
capítulo 4 : devanados
fundamental de la onda de fmm resultante se logra superponiendo las fundamentales
asociadas a cada una de las tres fases:
f ( x, t ) = f1 ( x , t ) + f 2 ( x , t ) + f 3 ( x, t )
(4.2.29)
donde, con el origen para la coordenada x definido en la figura 4.2.15 en el eje
magnético de la fase 1, las componentes correspondientes a las tres fases están dadas
por:
f(x,t)
ω t1
2' 1
©
3'
2
1'
0
3
x
π
6
ω t2
0
x
π
6
ω t3
0
x
Figura 4.2.17. Distribución de la fmm giratoria para 3
instantes sucesivos.
f1 ( x , t ) =
2IN ef 1 4
cos x cos ωt
2p π
f2 ( x ,t ) =
2IN ef 1 4
cos( x − 2π 3 )cos( ωt − 2π 3 )
2p π
f3 ( x ,t ) =
2IN ef 1 4
cos( x − 4π 3 )cos( ωt − 4π 3 )
2p π
(4.2.30)
4-76
capítulo 4 : devanados
Considerando la relación trigonométrica
cos( x )cos( y ) =
1
2
[cos( x + y ) + cos( x − y )]
,
(4.2.31)
la suma del segundo miembro de (4.2.29) se reduce a
f ( x, t ) =
3 2IN ef 1 4
cos( x − ωt )
2 2p π
.
(4.2.32)
La amplitud de la onda resultante es constante e igual a 3/2 veces la amplitud de una de
las componentes . La coordenada para la cual se produce el valor máximo se obtiene
de la condición cos(x-ωt)=1, como
x = ωt
(4.2.33)
y se traslada a lo largo del entrehierro con velocidad angular constante
dx
=ω
dt
en
rad el / s
(4.2.34)
La estructura de la relación (4.2.32) corresponde a la de la onda propagatoria de la
acústica, por lo que en este contexto, donde sepropaga en dirección tangencial en el
entrehierro, se la denomina onda o campo giratorio.
En cambio las relaciones (4.2.30) tienen su equivalente acústico en las ondas
estacionarias, caracterizadas por nodos espacialmente fijos. En el contexto
electromagnético estas expresiones se conocen como campos alternos.
Además de la fundamental, las distribuciones de fmm de las tres fases contienen
armónicas. Las armónicas impares no múltiplos de la tercera producen campos
giratorios como la fundamental, en cambio las terceras armónicas (y sus múltiplos) se
anulan y no producen campos resultantes en el entrehierro, como ya se había
adelantado al final del párrafo 4.2.3.
4.2.5 La distribución de inducción en el entrehierro
Los párrafos precedentes se refieren a la determinación de la distribución de fmm en el
entrehierro como función de la coordenada angular x .
Dado que el modelo en que se basa el análisis presupone que la permeabilidad del
fierro, tanto del estator como del rotor, tiende a infinito y que por lo tanto el valor de H
en el fierro es despreciable, la intensidad de la componente radial del campo magnético
en cualquier punto del entrehierro está relacionada con la fmm en ese punto a través de
la relación
4-77
capítulo 4 : devanados
H( x, t ) =
f ( x, t )
δ( x, t )
,
(4.2.35)
donde δ(x,t) es el ancho radial del entrehierro para la coordenada x en el instante t.
Como la permeabilidad en el entrehierro es constante e igual a µ0 , se tiene que
B( x, t ) =
µ0
f ( x, t )
δ( x, t )
.
(4.2.36)
Se aprecia que sólo si la permeancia por unidad de superficie
Λ( x, t ) =
µ0
δ( x, t )
(4.2.37)
es constante, como en el modelo de la figura 4.1.2, la onda de inducción es
proporcional a la onda de fmm. En cambio, si el entrehierro no es constante, como en el
modelo de la figura 4.1.1, una onda de fmm sinusoidal produce una onda de inducción
con armónicas.
4.3
Tensión inducida en un devanado
La ley de Faraday relaciona la tensión inducida en un circuito con la rapidez de la
variación del flujo enlazado por ese circuito sin pronunciarse sobre el origen de la
variación de flujo. Este puede estar en la variación de la corriente en el propio circuito,
como en el caso del reactor, en la variación de la corriente en otro circuito, como en el
caso del transformador o en el desplazamiento relativo de los circuitos, como en el caso
de los dispositivos de las figuras 4.1.1 y 4.1.2.
En este último caso el flujo enlazado por los circuitos es también una función de la
coordenada angular γ que caracteriza la posición relativa de los dos devanados.
En consecuencia se puede anotar para la tensión inducida en el devanado del estator
del dispositivo de la figura 4.1.2
v1 =
d
∂ψ 1 ∂ψ 1 dγ
ψ 1 (γ ,t ) =
+
dt
∂t
∂γ dt
(4.3.1)
donde la aplicación de la regla de la cadena separó las dos causas de la variación del
enlace de flujo.
El primer término se debe a la variación del flujo causada por la variación de las
corrientes con el tiempo y se conoce como tensión transformatórica :
4-78
capítulo 4 : devanados
v 1t =
∂ψ 1
∂t
(4.3.2)
El segundo término se debe al movimiento relativo entre los dos circuitos, ubicados
respectivamente en el rotor y en el estator, y se conoce como tensión rotacional :
v 1 rot =
∂ψ 1 dγ
∂γ dt
.
(4.3.3)
El enlace de flujo ψ1 se determina a partir de la distribución de inducción en el
entrehierro.
Supóngase ahora que el devanado del rotor esté excitado con corriente continua y que
produzca una distribución de inducción cosinusoidal en función de una coordenada x2
cuyo origen coincide con el eje magnético del devanado:
b( x 2 , t ) = B cos x 2
(4.3.4)
Para un observador ubicado en el rotor se trata de una distribución invariante en el
tiempo. Esta situación no cambia si el rotor gira uniformemente con velocidad angular
ω=dγ/dt .
Sin embargo, para un observador fijo respecto al estator, cuyo sistema de coordenadas
x1 tiene su origen en el eje magnético de la bobina del estator y está relacionado con el
sistema de coordenadas del rotor a través de la relación (figura 4.1.2)
x1 = x 2 + γ = x 2 + ω t ,
(4.3.5)
ese campo se ve como un campo giratorio
b( x 1, t ) = B cos( x 1 − ω t )
(4.3.6)
y ese observador interpretaría la tensión inducida en la bobina del estator como una
tensión rotacional debida al movimiento del campo giratorio respecto a la bobina.
Supóngase ahora que el devanado del rotor esté abierto y que la bobina del estator esté
alimentada con una corriente alterna de frecuencia angular ω , que produce un campo
alterno cuya fundamental está descrita por
b( x1 , t ) = Bcos ωt cos x1
.
(4.3.7)
Para el observador fijo respecto al estator la tensión inducida por este campo en el
devanado del estator sería una tensión transformatórica.
4-79
capítulo 4 : devanados
Pero en virtud de la relación trigonométrica (4.2.31) la relación (4.3.7) se puede
reescribir como
b( x 1, t ) =
B
B
cos( x1 − ω t ) + cos ( x 1 + ω t )
2
2
(4.3.8)
e interpretar como la superposición de dos campos giratorios cuya amplitud es igual a la
mitad de la amplitud del campo alterno y que giran con frecuencia angular ω en sentidos
contrarios.
Frente a esta “realidad” el observador fijo respecto al estator puede cambiar de opinión
y sostener que la tensión en la bobina es la superposición de dos tensiones
rotacionales.
De estas consideraciones se desprende que la determinación de la tensión inducida en
un devanado puede reducirse a la determinación de la tensión rotacional debida a uno o
más campos giratorios, punto de vista que se adopta en lo que sigue.
4.3.1 Tensión inducida en una bobina de paso completo
Considérese una bobina (1-1’) de paso completo ( τ b = τ p ) formada por N vueltas
alojadas en dos ranuras de un estator cuyo radio interior sea R y cuya longitud axial sea
l.
(ωt+ϕ1)
b(x,t)
B mcos(x 1 -ωt-ϕ 1 )
1
x1
1’
0
π
2
x1
1
-
π
2
1’
δ
R
Figura 4.3.1.
Flujo enlazado por una bobina de paso
completo.
4-80
capítulo 4 : devanados
En el entrehierro exista un campo giratorio de origen cualquiera
b( x 1, t ) = Bm cos( x 1 − ω 1t − ϕ1 )
.
(4.3.9)
El flujo enlazado por la bobina (1-1’), representada esquemáticamente en la figura 4.3.1,
se calcula integrando la densidad de flujo b( x 1, t ) sobre la superficie abrazada por la
bobina, limitada por la longitud axial del estator y por las coordenadas x1 = -π/2 y x1 =
+π/2 . Al formar el elemento de área debe considerarse el arco en radianes geométricos
(x1/p). Así se logra
+ π /2
ψ(t ) = N
∫ b(x ,t ) lRd ( x
1
1
p ) = N 2Bm
− π /2
Φp =
lR
cos( ω 1 t + ϕ1 )
p
2
Bm τ p l
π
l
Bm
2
Bm
π
1
τp =
πR
p
1’
Figura 4.3.2. Interpretación geométrica del
flujo por polo.
Ψm = N Φ p
.
(4.3.10)
Si se invoca la interpretación
geométrica de la integral como
“área bajo la curva”, el flujo
enlazado por la bobina es
proporcional al área neta bajo
la onda de inducción, es decir,
a la diferencia entre las áreas
sobre y bajo el eje de abscisas
en la figura 4.3.1.
El flujo enlazado es máximo
cuando la onda de inducción
está centrada en el eje
magnético de la bobina (figura
4.3.2) y es igual a N veces el
flujo por polo:
(4.3.11)
La tensión inducida, interpretada como tensión de rotación, con ω 1 t = γ , se calcula
como
v=
dψ ∂ψ dγ
=
= − Ψm ω 1 sen( ω 1t + ϕ1 )
dt
∂γ dt
(4.3.12)
y su valor efectivo vale
V=
ω 1 Ψm
2
=
2π
2
f N Φ p = 4,44 f N Φ p
,
(4.3.13)
4-81
capítulo 4 : devanados
expresión que por supuesto es plenamente coincidente con (2.4.9), derivada en forma
más abstracta al final del capítulo 2 y que podría haberse invocado directamente, ya
que para la ley de Faraday no tiene significación la causa de la variación de flujo.
Para algunos fines resulta conveniente contar con una forma alternativa a (4.3.12) que
explicite la inducción en el entrehierro.
En la figura 4.3.3 se aprecia que el desplazamiento de la onda de inducción en dγ
determina la variación diferencial del flujo enlazado por la bobina
dψ = N( B1 l R
por lo que
dγ
dγ
− B1' l R )
p
p
∂ψ N l R
=
( B1 − B1' )
∂γ
p
(4.3.14)
(4.3.15)
b(x1,t)
B1
1
B1'<0
dγ
1'
x1
dγ
B1’
Figura 4.3.3. Variación del enlace de flujo para un
desplazamiento relativo diferencial.
dγ
= ω 1 , que reemplazada junto con (4.3.15) en (4.3.12) permite
dt
obtener la expresión alternativa
Por otra parte,
v (t ) = N l R
ω1
( B1 − B1' ) .
p
(4.3.16)
Para una bobina de paso completo B1 = - B 1’ , por lo que (4.3.16) se reduce en ese caso
a
v ( t ) = 2 N l u B1
(4.3.17)
donde u = ω1R/p es la velocidad tangencial del campo respecto a la bobina.
4-82
capítulo 4 : devanados
Como en (4.3.17) B1 = b(x1) es el valor de la inducción en el entrehierro correspondiente
a la coordenada de la bobina, se tiene que con velocidad constante la función v(t) es
una réplica de la función b(x). Esta propiedad se utiliza para obtener una imagen de la
distribución espacial de la inducción en el entrehierro mediante una bobina exploratoria
(paso completo, N=1),conectada a un osciloscopio.
4.3.2 Tensión inducida en una bobina de paso acortado
En el caso de una bobina de paso acortado (τb < τp) el flujo enlazado por la bobina
también es máximo, aunque menor que Φp, cuando el máximo de la onda de inducción
coincide con el eje magnético de la bobina (figura 4.3.4) y vale:
+( π− α )/ 2
Φm =
∫ b( x , t ) l R d ( x
1
1
p ) = cos(α 2) Φ p
(4.3.18)
−( π− α )/ 2
donde
cos(α 2) = fc
, es el factor de cuerda para la fundamental obtenido
anteriormente en el párrafo 4.2.1.
Consecuentemente el valor efectivo de la tensión inducida se reduce a
∼φm <φp
x1
α 1 π−α
2
π
1' α
2
V = 4,44 f N fc Φ p
(4.3.19)
Se aprecia que la tensión inducida en
una bobina de paso acortado de N
vueltas es equivalente a la tensión
inducida en una bobina de paso
completo con un número de vueltas
igual al número de vueltas efectivo
Nef=fc N < N.
Figura 4.3.4. Flujo máximo enlazado por
una bobina acortada.
4.3.3 Tensión inducida en un grupo de bobinas
Considérese ahora un grupo de q bobinas iguales, cada una de N/q vueltas, ubicadas
en ranuras separadas en forma regular en un ángulo β = 2πp/Z (figura 4.2.11) y
conectadas en serie.
La tensión inducida en el grupo es igual a la suma de las tensiones inducidas en cada
bobina.
4-83
capítulo 4 : devanados
β
Las tensiones inducidas por el campo
giratorio en cada una de las q bobinas
tienen la misma amplitud y frecuencia,
pero están desfasadas relativamente en
un ángulo igual al de su desplazamiento
espacial.
V
β
β/2
β
β
r
Vq
Figura 4.3.5. Tensión resultante de un grupo
de q=3 bobinas.
V
= r sen(q β / 2)
2
y
La tensión resultante corresponde
entonces a la suma fasorial de la
tensiones inducidas en las bobinas
individuales, según está representado
en la figura 4.3.5, de la que se
desprende que
Vq
= r sen(β / 2)
2
(4.3.20)
es decir, que
V = qVq
sen( q β / 2)
= qVq f z ,
q sen(β / 2)
(4.3.21)
donde fz es el factor de zona o de distribución para la fundamental, definido
anteriormente en el párrafo 4.2.2. y que ahora puede reinterpretarse como el cuociente
fz =
suma geométrica de las tensiones inducidas
suma aritmética de las tensiones inducidas
(4.3.22)
Como en principio las q bobinas pueden ser de paso acortado, se tiene, al reemplazar
(4.3.19) en (4.3.21), que
V = 4,44 f N f d Φ p = 4,44 f Nef Φ p
(4.3.23)
con f d = f z fc y Nef = fd N .
Esto lleva a la conclusión que , para el efecto de determinar la tensión inducida, un
grupo de bobinas, eventualmente con acortamiento, puede ser reemplazado por una
sola bobina de paso completo, cuyo número de vueltas sea igual al número de vueltas
efectivo del grupo de bobinas que reemplaza.
4-84
capítulo 4 : devanados
4.3.4 Tensión inducida en un devanado de corriente continua
Un devanado de corriente continua (figura 4.3.6) es un devanado distribuido de dos
capas, formado por bobinas iguales, conectadas todas en serie de manera de formar un
devanado cerrado, sin principio y sin fin. Las conexiones entre las bobinas se realizan
en segmentos de cobre (delgas) aislados eléctricamente entre si.
4
5
3
6
2
7
cabeza bobina
delantera
Pieza polar
1
Conmutador
8
cabeza bobina trasera
largo activo
7
8
1
2
3
4
5
6
cabeza bobina delantera
Conmutador
Figura 4.3.6. Esquema de un devanado de corriente continua.
Delga
El conjunto de delgas forma una
estructura cilíndrica, el conmutador o
colector (figura 4.3.7) sobre cuyo manto
rozan
escobillas
o
carbones,
desplazados relativamente en un paso
polar, que dividen el devanado en dos
circuitos en paralelo (figura 4.3.6). El
devanado de corriente continua siempre
está alojado en el rotor de la máquina.
Interesa determinar la tensión inducida
entre un par de escobillas cuando el
rotor gira con velocidad constante
respecto a una distribución espacial de inducción fija al estator.
Figura 4.3.7. El conmutador.
4-85
capítulo 4 : devanados
Contrariamente al caso de las máquinas de corriente alterna, en máquinas de corriente
continua no se busca una distribución espacial de inducción sinusoidal y la distribución
ideal corresponde a una distribución alternada donde la inducción es constante en casi
todo el paso polar, excepto en una zona estrecha en los extremos de cada paso polar,
donde la inducción es cero. La distribución práctica tiende a tener forma trapezoidal
(figura 4.3.8).
Bm
1
Bi
i
2
3
4
5
6
7
8
x
β
Figura 4.3.8. Distribución de la componente radial de la
inducción en el entrehierro
Según se aprecia en la figura 4.3.6, las escobillas dividen el devanado en dos circuitos
(ramas) en paralelo, cada uno formado por Nd /2 bobinas de N vueltas por bobina,
siendo Nd el número de delgas del conmutador.
La tensión inducida en la i-ésima bobina de una de las ramas es según (4.3.16)
vi = NlR
ω1
Bi − B j
p
(
)
j=i+
con
Nd
2
(4.3.24)
y la tensión total inducida en las Nd /2 bobinas de una rama es
Nd /2
V=
∑v
(4.3.25)
i
i =1
Nd /2
Considerando que Bj = -Bi y que
∑
i =1
Bi +N d / 2 =
Nd
∑B
i
,
i =1+ N d / 2
el reemplazo de (4.3.24) en la expresión (4.3.25) permite reescribirla como
ω
V = Nl R 1
p
Nd
∑B
i
i =1
(4.3.26)
4-86
capítulo 4 : devanados
Para un número suficientemente grande de delgas, el valor medio de la inducción radial
en el entrehierro vale (figura 4.3.8)
Bm =
∑B
i
(4.3.27)
Nd
Por otra parte, el valor medio de la inducción o densidad de flujo está dado por la
relación
Φp
(4.3.28)
τ p l πR l
p
Al reemplazar (4.3.27) y (4.3.28) en (4.3.26) se logra finalmente la fórmula buscada
para la tensión entre el par de escobillas de un devanado de corriente continua de dos
polos (p=1) como
Bm =
Φp
=
V = z f Φp
(4.3.29)
donde z = 2 N Nd
(4.3.30)
es el número total de conductores del devanado del rotor (armadura , inducido) y
ω
f = 1
2π
es la frecuencia de giro del rotor.
4.4
Inductancias propias y mutuas de devanados
Para fines analíticos es frecuente la
descripción de la acción de devanados
en términos de las inductancias propias y
mutuas asociadas a ellos. Interesa
entonces establecer relaciones entre
esos parámetros y las dimensiones
geométricas de la máquina en la que
están montados los devanados
Con este objetivo considérese el
dispositivo doblemente cilíndrico de la
figura 4.4.1. El entrehierro δ sea
constante y los devanados distribuidos
del estator y del rotor tengan
respectivamente N1 y N2 vueltas y p
x1
γ
N1
x2
N2
Figura 4.4.1. Relativo al acoplamiento
inductivo de dos
devanados.
4-87
capítulo 4 : devanados
pares de polos. El radio del rotor sea R y su longitud axial l.
Supóngase ahora que el devanado del rotor sea excitado por la corriente i2 .
Al limitar el análisis a la fundamental de la distribución espacial de fmm se tiene que la
amplitud de esta, de acuerdo con la relación (4.2.26), vale
F2 =
4 i 2 N ef 2
π 2p
(4.4.1)
y que la amplitud de la onda de inducción correspondiente, de acuerdo con (4.2.36),
vale
B2 =
4 µ 0 i 2 Nef 2
π δ 2p
(4.4.2)
El flujo por polo vale (figura 4.3.2)
Φp =
2
πR l
B2
π
p
(4.4.3)
a partir del cual se calcula el enlace de flujo del devanado, correspondiente a flujo en el
entrehierro, como
ψ 2 = Nef 2 Φ p =
4
Rl 2
µ0
Nef 2 i2
π
δ p2
.
(4.4.4 )
El factor de proporcionalidad entre el flujo enlazado por la bobina y la corriente que
produce ese flujo se conoce como inductancia. En consecuencia, la inductancia propia
del devanado del rotor vale
L2 =
ψ2 4
Rl 2
= µ0
Nef 2
i2
π
δ p2
(4.4.5)
La onda de inducción producida por el devanado del rotor en el entrehierro es una
cosinusoide centrada en el eje magnético del devanado del rotor, el que está
desplazado en el ángulo γ respecto al eje magnético del devanado del estator. En
relación con un sistema de referencia x1, cuyo origen se encuentra en el eje magnético
del devanado del estator, la onda de inducción tiene la expresión
b2 ( x 1 ) = B2 cos( x1 − γ )
(4.4.6)
El enlace de flujo del estator debido a la corriente del rotor se calcula como
4-88
capítulo 4 : devanados
+π/ 2
ψ 12 = Nef 1B 2
∫
cos( x 1 − γ )lRd(
−π/ 2
x1
)
p
(4.4.7)
4
Rl
ψ 12 = µ 0 2 Nef 1 Nef 2 cos γ i 2
π δp
(4.4.8)
Se aprecia que el flujo enlazado por el estator varía como función del ángulo γ y que la
inductancia mutua entre los dos devanados vale
L12 =
ψ 12 4
Rl
= µ 0 2 Nef 1 Nef 2 cos γ
i2
π δp
(4.4.9)
Los coeficientes de inductancia propia y de inductancia mutua contienen toda la
información geométrica del aparato pertinente al campo en el entrehierro.
En general, el acoplamiento inductivo entre los dos devanados del dispositivo de la
figura 4.1.2 puede ser descrito simplemente en términos de las variables de terminales
y de las inductancias propias y mutuas mediante las ecuaciones
d
d
L1i 1 ) + ( L12 i 2 )
(
dt
dt
d
d
v 2 = R2 i 2 + (L2 i 2 ) + (L21i 1 )
dt
dt
v 1 = R1i1 +
(4.4.10)
Al limitar el análisis a la componente fundamental del campo en el entrehierro las
inductancias propias y mutuas corresponden a expresiones como (4.4.5) y (4.4.9), con
las que (4.4.10) toma la forma más simple
di1
d
+ L12 ( i2 cos γ )
dt
dt
di
d
v 2 = R2 i 2 + L2 2 + L21 ( i1 cos γ )
dt
dt
v 1 = R1i1 + L1
(4.4.11)
donde L 1 , L2 y L12 = L 21 son constantes.
Sistemas de ecuaciones como (4.4.11) constituyen el punto de partida para el análisis
transitorio de las máquinas eléctricas.
Para ese objetivo la información de detalle sobre el devanado se ha hecho innecesaria
y basta conocer los valores numéricos de las inductancias involucradas, que pueden ser
obtenidos experimentalmente para cada máquina específica. El problema se ha
reducido a un problema de circuitos acoplados inductivamente.
5. Fuerzas electromagnéticas
5.1
Introducción
La idea del campo electromagnético fue desarrollada originalmente (Faraday, Maxwell)
como un medio conceptual, alternativo a la teoría de la acción a distancia, para
establecer la relación entre fuerzas y sus causas. Así, por ejemplo, la fuerza entre dos
conductores por los que circulan sendas corrientes vino a ser considerada como la
fuerza ejercida por el campo magnético creado por la corriente en uno de los
conductores sobre la corriente (cargas en movimiento) en el otro conductor.
Son estas fuerzas las que evidencian la existencia de un campo y que permiten
asociarle energía.
Desde la introducción de la idea de campo se ha hecho uso de conceptos figurativos,
como las líneas de fuerza o las propiedades elásticas de estas, para permitir la
“interpretación física” de la acción del campo. Así, la visualización de la distribución
espacial del campo mediante una red de cuadrados curvilíneos informa también sobre
la distribución de las fuerzas superficiales y sobre su carácter electrodinámico (fuerzas
sobre corrientes) o magnético (fuerzas sobre superficies limítrofes entre medios de
diferente permeabilidad).
Cuando sólo interesa determinar la fuerza resultante sobre cierto cuerpo, en
abstracción de su distribución espacial, resulta conveniente determinarla recurriendo al
principio de la conservación de la energía y al método de los trabajos virtuales.
La adopción de esta metodología tiene la ventaja de la generalidad, pues abarca tanto
a las fuerzas electrodinámicas como a las magnéticas y porque también es aplicable al
campo eléctrico.
El precio de la generalidad es la pérdida de la “interpretación física” del origen de las
fuerzas, lo que en algunos casos puede conducir a equívocos. Por ello es conveniente
el uso complementario del método energético y de los procedimientos de la teoría de
campos.
Para
favorecer la creación de imágenes personales, tan necesarias para la
comprensión de fenómenos complejos, los desarrollos de los párrafos siguientes se
limitan a sistemas simples con un solo grado de libertad mecánico. Esto no les quita
generalidad, ya que un movimiento tridimensional siempre puede pensarse generado a
partir de tres movimientos unidimensionales, para cada uno de los cuales vale la
conclusión, que sólo habrá una fuerza resultante en dirección de una coordenada
determinada si un movimiento virtual en la dirección de esa coordenada produce
variación de la energía acumulada en el campo.
5-90
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
5.2
Fuerza y energía, una visión sistémica
Para la determinación de las fuerzas de origen electromagnético se supone que el
sistema electromecánico (transductor, máquina eléctrica) está formado por un
subsistema eléctrico y por un subsistema mecánico, acoplados mediante un campo
magnético conservativo.
Como se trata de sistemas en los cuales las frecuencias de la variables eléctricas y las
velocidades mecánicas son relativamente bajas, su descripción energética sólo
requiere de cuatro formas de energía:
•
•
•
•
Energía eléctrica (Wel ), suministrada por las fuentes al subsistema eléctrico.
Energía mecánica (W mec), asociada al subsistema mecánico.
Energía magnética (W mgn), asociada al campo magnético de acoplamiento.
Energía calórica (Wcal), asociada a los fenómenos disipativos en los subsistemas
eléctrico y mecánico (pérdidas en el cobre, pérdidas en el fierro, pérdidas por roce).
i1
v1
f,x
CAMPO
CONSERVATIVO
δx
in
vn
Puertas eléctricas
Wmgn
Puerta mecánica
Figura 5.2.1.Sistema electromecánico de n puertas
eléctricas y una puerta mecánica
Estas cuatro formas de energía
están relacionadas a través del
principio de la conservación de
la energía, conocido también
como primera ley de la
termodinámica, (formulado por
K.Mohr en 1837 como “la
energía no se crea ni se
destruye, sólo se transforma”).
Considérese ahora el sistema
electromecánico conservativo
con n puertas eléctricas y una
puerta o grado de libertad
mecánico (x) de la figura 5.2.1,
donde
para
las
puertas
eléctricas rige la convención
carga y para la puerta
mecánica la convención fuente.
Piénsese un desplazamiento virtual positivo δx del nodo mecánico, sobre el cual actúa
la fuerza electromagnética fe, cuya referencia positiva coincide con la de x .
Durante el desplazamiento virtual el campo realiza sobre el terminal mecánico el
trabajo virtual δWmec =feδx , se produce un aumento virtual de la energía acumulada en
5-91
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
el campo magnético δWmgn y se absorbe la energía eléctrica virtual δWel de las fuentes
que alimentan el subsistema eléctrico.
En virtud del principio de conservación de la energía, en un sistema conservativo (sin
pérdidas) la energía que entra menos la energía que sale debe ser igual al incremento
de la energía en el sistema:
δWel − δW mec = δW mgn
(5.2.1 )
Reemplazando en (5.2.1) la expresión para δWmec se obtiene
fe =
δW el − δW mgn
.
δx
(5.2.2)
Si se imagina el desplazamiento virtual realizado de manera tal que los enlaces de flujo
permanezcan constantes (δψi = 0), la energía eléctrica absorbida no varía durante el
desplazamiento virtual
δW el =
∑i
⋅ δψ i =0
i
(5.2.3)
i
y (5.2.2) se reduce a
fe = −
δW mgn
δx
,
(5.2.4)
ψ i = cte
lo que se expresa matemáticamente como
fe = −
∂W mgn ( ψ i ,x )
.
∂x
(5.2.5)
Alternativamente, si el desplazamiento virtual se imagina realizado manteniendo las
corrientes constantes (δ ii = 0), la expresión (5.2.2) toma la forma
fe =
∂W el ( i i ,x ) ∂W mgn ( i i ,x )
−
.
∂x
∂x
(5.2.6)
Mediante la relación (transformación de Legendre)
W mgn ( i i ,x )=
∑i
i
⋅ ψ i − W mgn ( i i ,x )
(5.2.7)
i
se define la función coenergía magnética W mgn y su uso reduce la relación (5.2.6) a
5-92
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
fe =
∂W mgn (i i ,x )
∂x
ya que
∑i
i
,
(5.2.8)
∂ψ i ∂W el (i i ,x )
=
.
∂x
∂x
(5.2.9)
En el caso de sistemas magnéticamente lineales rige
ψi =
∑L
i j
⋅i j
j
W mgn ( i i ,x )=
1
2
, por lo que
∑L
i j
(5.2.10)
(x ) i i i j
(5.2.11)
i, j
y, de acuerdo con (5.2.7), energía magnética y coenergía magnética son ahora
numéricamente iguales. Sin embargo, debe respetarse escrupulosamente las variables
independientes usadas en (5.2.5) y (5.2.8) so pena de obtener un signo erróneo para la
fuerza de origen electromagnético.
ψ
ψ(i)
Ψ
Wmgn
W mgn
0
i
I
Figura 5.2.2. Interpretación de la energía y la
coenergía como áreas en el plano ψ-i.
Para sistemas con un grado de
libertad eléctrico y un grado de
libertad mecánico la relación
expresada por (5.2.7) tiene una
interpretación geométrica simple
en términos de áreas en el plano
(ψ,i) , como puede apreciarse en
la figura 5.2.2, donde se observa
también que tanto el valor de la
energía magnética como el de la
coenergía
magnética
sólo
dependen de los valores finales
del enlace de flujo (Ψ) y de la
corriente
(I)
y
son
independientes de la forma en
que se alcanza esos valores
finales.
De (5.2.5) y (5.2.8) se desprende que sólo se desarrollan fuerzas electromagnéticas
si la energía (coenergía) asociada al campo varía con el desplazamiento.
Esta es una conclusión fundamental y perfectamente general.
Las ideas generales hasta aquí expuestas se comprenden mejor si se aplican a
situaciones concretas que permiten hacer asociaciones con la experiencia subjetiva.
5-93
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
Para evitar dificultades matemáticas innecesarias se supondrá que los sistemas
electromecánicos poseen características magnéticas ψ(i) lineales y que los campos son
unidimensionales.
5.3
Transductores de movimiento limitado
La mayor parte de las máquinas y aparatos electromagnéticos basan su acción en
campos confinados espacialmente mediante circuitos magnéticos de material
ferromagnético de alta permeabilidad, interrumpidos por entrehierros relativamente
estrechos.
De la física experimental se sabe que sobre las superficies limítrofes entre materiales
de diferente permeabilidad (permitividad) se desarrollan fuerzas magnéticas (eléctricas)
que la teoría de campos interpreta a través de las propiedades elásticas que asocia a
las líneas de fuerza: las líneas de fuerza tienden a acortarse y a separarse.
La
fuerza magnética por unidad de área se conoce como tensión de Maxwell y su
dirección, normal a la superficie limítrofe, es desde el medio de mayor permeabilidad al
de menor permeabilidad.
x
Sección q
armadura
F
φ
N
µ→ ∞
Considérese ahora el dispositivo
elemental de la figura 5.3.1. Su núcleo
esté formado por chapas silicosas de
permeabilidad infinita en las que las
corrientes parásitas sean despreciables.
El campo en el entrehierro sea
homogéneo.
Sobre la superficie de la armadura que
enfrenta el entrehierro el campo
magnético desarrolla fuerzas - se deben
i
a la tendencia de las líneas de fuerza a
Figura 5.3.1. Dispositivo elemental para
acortarse - que tienden a disminuir el
demostrar la fuerza de Maxwell. entrehierro.
La determinación de la fuerza resultante sobre la armadura mediante la relación (5.2.8)
requiere de la formulación de una expresión para la coenergía asociada al campo
magnético en términos de la corriente. Para ello se puede suponer que la energía
magnética sólo se acumula en el volumen correspondiente al entrehierro V=qx, ya que
con un entrehierro finito el flujo y la inducción también serán finitos y la permeabilidad
infinita del núcleo implica que, es decir, que la densidad de energía magnética en el
núcleo es cero.
Como el campo en el entrehierro se supuso homogéneo, la energía se expresa
simplemente como producto de la densidad de energía por el volumen:
5-94
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
W mgn = 21 BH ⋅ qx = 12 µ 0 H 2 ⋅ qx
(5.3.1)
La relación entre H e i se obtiene aplicando la ley de Ampere a lo largo del camino de
integración indicado en la figura 5.3.1, recordando que Hfe=0.
H=
iN
x
.
(5.3.2)
Reemplazando (5.3.2) en (5.3.1) se logra
W mgn ( i,x )= 12 µ 0 N 2
q 2
i
x
.
(5.3.3)
Por otro lado, en términos de la inductancia asociada a la bobina y la corriente rige la
expresión general
W mgn ( i,x )= 12 L( x ) i 2 ,
(5.3.4)
y por comparación de coeficientes se tiene que en este caso la inductancia vale
L( x )= µ 0
q 2
N .
x
(5.3.5)
Como se trata de un sistema magnéticamente lineal, la energía y la coenergía son
iguales y la expresión (5.2.8) toma la forma
fe =
∂W mgn (i ,x ) 1 2 dL
µ qN 2
= 2i
= − 12 i 2 0 2
∂x
dx
x
(5.3.6)
o, en términos de variables de campo,
f e = − 12 µ 0 H 2 ⋅ q
(5.3.7)
Se aprecia que la fuerza es negativa en relación con las referencias elegidas en la
figura 5.3.1, es decir, su sentido es del medio de mayor permeabilidad al de menor
permeabilidad. Su valor por unidad de superficie es
σ e = 12 µ 0 H 2 =
B2
2µ 0
(5.3.8)
y corresponde a la tensión de Maxwell para campos homogéneos.
La fórmula (5.3.8) constituye el punto de partida para el dimensionamiento de
electroimanes.
5-95
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
5.3.1 Torque de reluctancia
Te
β
d
γ
Φ
N
Considérese ahora el dispositivo
ilustrado esquemáticamente en la
figura 5.3.2, formado por un
núcleo fijo, provisto de una bobina
de N vueltas, y una armadura
rotatoria,
separados,
cuando
están
alineados,
por
un
entrehierro cilíndrico de ancho d.
El núcleo y la armadura sean
ideales.
Al desplazar la armadura desde la
posición de simetría en un ángulo
γ , las líneas de fuerza del campo
Figura 5.3.2. Dispositivo elemental para demostrar se deforman con lo que aparece
el momento de reluctancia.
una distribución de fuerzas sobre
las caras planas del rotor que da
lugar a un torque resultante, salvo para las posiciones γ=0, γ=90º, γ=180º y γ=270º,
para las cuales la distribución de las líneas de fuerza es simétrica respecto al eje de
simetría principal del motor, por lo que el momento resultante desaparece. En el
intervalo 0<γ<90º el momento es negativo en relación con la referencia positiva de la
figura 5.3.2, mientras que en el intervalo 90º<γ<180º el momento es positivo. Se
aprecia que el momento siempre es tal que tiende a alinear el rotor con el eje de
simetría del estator.
i
La determinación cuantitativa del torque resulta compleja, ya que requiere del
conocimiento de la distribución espacial del campo magnético como función del ángulo
γ.
Frente a la imposibilidad de poder contar con una solución analítica para el problema
de campo planteado se hace necesario bajar las exigencias y conformarse con una
solución aproximada de validez limitada.
Considerando que para valores relativamente pequeños del ángulo γ la mayor parte de
la energía del campo se encuentra asociada al volumen del entrehierro limitado por las
caras cilíndricas, se puede formular el siguiente modelo que a primera vista parece algo
burdo: toda la energía está en el volumen entre las superficies cilíndricas.
Con este modelo y las denominaciones de la figura 5.3.2 se obtiene las siguientes
expresiones para la energía magnética en el entrehierro de ancho radial d y largo axial
l:
Wmgn = 2r (β + γ )dl ⋅ 12 µ 0H2
para -β<γ<0
(5.3.9)
5-96
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
Wmgn = 2r (β − γ )dl ⋅ 12 µ 0H2
para 0<γ<β .
(5.3.10)
Aplicando la ley de Ampere a lo largo del camino de integración cerrado indicado en la
figura 5.3.2 se establece que
H=
iN
2d
(5.3.11)
por lo que (5.3.9) y (5.3.10) pueden ser reescritos como
Wmgn (i, γ) = 21 µ 0
rl
(β + γ )N2 ⋅ i2 = 12 L 1 ( γ) ⋅ i 2
2d
(5.3.12)
y
Wmgn (i, γ) = 21 µ 0
rl
(β − γ )N2 ⋅ i2 = 12 L 2 ( γ ) ⋅ i2
2d
,
(5.3.13)
obteniéndose el momento a partir de la relación (5.2.8), adaptada convenientemente al
desplazamiento giratorio, como
Te =
∂Wmgn (i, γ)
∂γ
=
1
2
dL(γ ) 2
⋅i
dγ
,
(5.3.14)
expresión que para los respectivos rangos de γ toma las formas explícitas
Te = µ 0
rl 2 2
N ⋅i
4d
para -β<γ<0
(5.3.15)
para 0<γ<β
(5.3.16)
y
Te = −µ 0
rl 2 2
N ⋅i
4d
La dependencia del torque del cuadrado de la corriente implica que, aún en sistemas
magnéticamente lineales, la conversión electromecánica de energía es un fenómeno
nolineal.
La figura 5.3.3 ilustra la variación de la inductancia propia y del torque (con i=cte) con el
desplazamiento angular del rotor (γ). Se puede observar que, coincidentemente con el
análisis cualitativo, el torque es nulo para γ=0º, γ=90º, γ=180º y γ=270º, es positivo para
-β<γ<0 y es negativo para 0<γ<β.
A primera vista este resultado puede parecer paradójico, ya que al despreciar el campo
en el aire fuera del entrehierro también desaparecen las fuerzas de tracción sobre las
caras planas del rotor, causantes del momento.
5-97
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
Sin embargo, la contradicción es sólo aparente, ya que sobre las caras curvas también
actúan fuerzas de presión tangenciales debidas a la tendencia de las líneas de fuerza a
separarse, aspecto que no se había mencionado explícitamente en la discusión
anterior.
De manera que no hay contradicción entre los resultados obtenidos a través de la
aplicación del criterio energético y los esperables a partir de los conceptos de la teoría
de campos.
T
L
−β
+β
π
2
(π−β)
π
(π+β)
γ
Figura 5.3.3. Variación de la inductancia y del torque para
el momento idealizado de la figura 5.3.2.
Los resultados cuantitativos de la figura 5.3.3 pueden ser mejorados, si se considera
que el valor mínimo de la inductancia propia no es cero sino un valor finito, estimado de
alguna manera. Las curvas segmentadas de la figura 5.3.3 ilustran el efecto de la
corrección.
De acuerdo con lo expuesto, el dispositivo sólo desarrolla momento si el rotor es
anisotrópico, es decir, si no posee las mismas propiedades magnéticas en todas las
direcciones radiales, pues solamente de esa manera se produce variación de la
energía magnética con el desplazamiento angular.
Expresado en la terminología de los circuitos magnéticos, debe variar la reluctancia de
éste para que haya momento. Por esta razón el momento generado en esas
condiciones se conoce como momento de reluctancia.
Un rotor cilíndrico no daría lugar a la formación de momento.
5-98
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
5.3.2 Torque de excitación
Para que un dispositivo de
x1
simetría cilíndrica, como el de la
γ
Longitud axial : l
figura
5.3.4,
desarrolle
momento, el rotor debe estar
d
equipado con un devanado por
Te
i1
el cual circule corriente. Este
x2
N2
devanado, ubicado en ranuras,
N1
permite que haya variación de la
i2
energía
magnética
o
deformación de las líneas de
fuerza - con el desplazamiento
angular del rotor (γ).
Figura 5.3.4. Dispositivo elemental para demostrar el
momento de excitación.
La determinación del momento
desarrollado por el dispositivo de la figura 5.3.4 pasa por la determinación de la energía
magnética asociada a él.
Para ello se recurre convenientemente a la distribución de fmm resultante (figura 5.3.5),
obtenida a partir de la superposición de las distribuciones de fmm rectangulares
correspondientes a las bobinas concentradas del estator y del rotor respectivamente.
De ella se puede apreciar que la intensidad del campo resultante y, con ella, la
densidad de energía magnética en el entrehierro, toma sólo dos valores:
wms = 21 µ o (H1 + H2 )
y
2
(5.3.17)
w md = 21 µ o (H1 − H2 ) .
2
(5.3.18)
La energía magnética total en el entrehierro se obtiene al multiplicar las densidades de
energía por los correspondientes volúmenes y sumar luego las energías parciales así
obtenidas
Wmgn = 2 w ms (π − γ )rdl + 2w md γ rdl
[
(
= µ rdl[πH + 2(π − 2 γ )H H
)
(
Wmgn = µ 0 rdl (π − γ ) H12 + 2H1H2 + H22 + γ H12 − 2H1H2 + H22
Wmgn
0
Wmgn = 12 µ 0
2
1
1
2
+ πH22
]
)]
πrl 2 2
πrl
πrl 2 2
N1 ⋅ i1 +µ 0
N1N2 (π − 2 γ ) ⋅ i1i2 + 12 µ 0
N2 ⋅ i2
2d
2d
2d
(5.3.19)
5-99
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
f
F1+F2
F1
F2
π
x
π/2
−π/2
0
−π
d
γ
Figura 5.3.5. Distribución de la fmm a lo largo del
entrehierro del dispositivo de la figura 5.3.4.
Por otra parte, la expresión general para la energía asociada a un sistema de n bobinas
dada en (5.2.11), para el caso de 2 bobinas, se reduce a
W mgn = 21 L1 ⋅ i12 + L12 ⋅ i1i 2 + 21 L2 ⋅ i22
(5.3.20)
y por comparación de coeficientes con (5.3.19) se establece que las inductancias
propias y mutuas valen respectivamente:
L1 = µ 0
πrl 2
N
2d 1
,
(5.3.21)
L2 = µ 0
πrl 2
N
2d 2
,
(5.3.22)
L 12 = µ 0
(π − 2 γ )rl N N
1
2d
2
para
0≤ γ ≤π
.
(5.3.23)
Se aprecia que sólo la inductancia mutua L12 es función de la posición angular γ del
rotor, por lo que la expresión para el momento se reduce a
Te =
∂Wmgn (i, γ)
∂γ
=
dL12 ( γ)
i1 i2
dγ
(5.3.24)
y considerando a (5.3.23) toma la siguiente forma explícita:
Te = −
γ
rl
µ 0 N1N2 i1i 2
γ
d
para
0≤ γ ≤π
,
(5.3.25)
5-100
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
cuya representación gráfica como función de δ, para i1 e i2 constantes, muestra la figura
5.3.6.
Se puede observar que,
Te
L12
para un desplazamiento γ
entre los ejes magnéticos
del estator y del rotor
dado,
el
momento
γ
0
−π/2
π/2
electromagnético
que
π
−π
actúa sobre el rotor tiene
un sentido tal que tiende
a
alinear
los
ejes
magnéticos del estator y
Figura 5.3.6. Variación de la inductancia y del torque para del rotor.
el modelo idealizado de la figura 5.3.4.
Alternativamente también
podría decirse que el momento nace de la tendencia de los campos del estator y del
rotor a alinearse.
Si se considera que inducción en el entrehierro producida por el devanado del estator
vale
B1 = µ 0
i1N1
2d
para
−
π
π
<x<
2
2
y
i N
B1 = −µ 0 1 1
2d
(5.3.26)
para
π
 2 < x ≤ π

 −π ≤ x < π

2
la ecuación (5.3.25) puede reescribirse como
Te = 2 r ⋅ B1 l N2 i 2 = 2r ⋅ f e
donde
f e = B1 l N2 i 2
(5.3.27)
(5.3.28)
tiene la estructura de la fórmula de Lorentz para la fuerza sobre un conductor de
longitud l y corriente i2N2 que se encuentra en un campo magnético homogéneo de
inducción B1 de orientación normal al conductor.
Debido a la equivalencia entre las relaciones (5.3.27) y (5.3.24) es legítimo considerar
al momento, formalmente, como si se debiera a fuerzas electrodinámicas sobre los
conductores del rotor, aunque, en rigor, el momento se debe a fuerzas magnéticas que
actúan sobre las paredes de las ranuras.
5-101
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
Sobre el conductor en la ranura prácticamente no actúan fuerzas tangenciales, ya que
la alta permeabilidad del fierro hace que la mayor parte del flujo que cruza el
entrehierro siga por el fierro, por lo que el flujo en las ranuras corresponde
fundamentalmente al flujo de dispersión, causado por la propia corriente en la ranura.
Este flujo es paralelo al fondo de la ranura y determina fuerzas sobre el conductor
dirigidas hacia el fondo de la ranura, que por lo tanto no producen momento.
5.4
Máquinas rotatorias, conversión continua de energía
La mantención de un proceso continuo de conversión de energía eléctrica a energía
mecánica, o viceversa, requiere que el valor medio del trabajo mecánico realizado en
cada revolución del rotor debe ser distinto de cero:
1 2π
T dγ ≠ 0
2π ∫0 e
(5.4.1)
Esta condición no es satisfecha por los dispositivos giratorios analizados en el párrafo
anterior, si las corrientes en el devanado del estator y en el devanado del rotor son
corrientes continuas. Una mirada a los gráficos de las figuras 5.3.3 y 5.3.6 permite
corroborar esta afirmación. En ambos casos el momento medio para una revolución es
cero.
Supóngase ahora que la bobina del dispositivo de la figura 5.3.2 esté alimentada por
pulsos de corriente cuya duración corresponda a un cuarto de revolución, como ilustra
la figura 5.4.1.
En esas condiciones el momento electromagnético sería positivo en los intervalos
− π 2 < γ < 0 y π 2 < γ < π y nulo en los intervalos 0 < γ < π 2 y π < γ < 3π 2 , por lo
que quedaría satisfecha la condición (5.4.1) y, gracias a la inercia, el movimiento del
rotor sería prácticamente continuo.
Te , i
i
Te
γ
−π
−
π
2
0
π
2
π
Figura 5.4.1. Relativo a la conversión de energía en
dispositivos de reluctancia.
La alimentación de la
bobina con pulsos de
corriente
positivos
y
negativos
alternados
(figura 5.4.2) no altera la
forma del momento, ya que
éste, de acuerdo con
(5.3.14),
depende
del
cuadrado de la corriente de
excitación.
Nótese que la frecuencia
de
la
componente
5-102
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
fundamental de la onda de corriente de la figura 5.4.2 es igual a la frecuencia de giro
del rotor.
Esto lleva a la conclusión que el dispositivo alimentado con corriente alterna de
frecuencia angular ω1 e impulsado a velocidad angular ωm=ω1 debe desarrollar un
momento medio.
Te , i
i
Te
γ
−π
−
π
2
0
π
2
π
Figura 5.4.2. Relativo a la conversión de energia
en dispositivos de reluctancia.
Para comprobar esto formalmente, supóngase que el rotor gira con velocidad angular
constante ωm y que la inductancia, que es una función periódica del ángulo γ= ωmt, esté
expresada mediante la serie de Fourier
L( γ ) = L 0 + ∑ L ν cos(νγ ) .
(5.4.2)
ν
Reemplazando esta expresión en (5.3.14), aquella se convierte en
Te = − 21 ∑ νL ν sen(νγ ) i2 .
(5.4.3)
ν
Supóngase ahora que la corriente sea sinusoidal
i = 2I cos (ω1t + ϕ) ,
[
(5.4.4)
]
con lo que i 2 = I 2 1+ cos(2ω 1t +2ϕ) y el valor medio del momento toma la forma
1 2π
I2 2 π
T
d
γ
=
−
cos(2ω1t + 2ϕ)∑ νL ν sen(νγ )dγ
2π ∫0 e
4π ∫0
ν
2π
 2ω1
I2 
=−
cos 2ϕ ∫ cos
8π 
 ωm
0
2π

 2ω
γ  ∑ νL v sen(νγ )dγ − sen 2ϕ ∫ sen 1
 ν
 ωm
0


γ ∑ ν L ν sen(νγ )dγ
ν

5-103
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
Invocando las relaciones
2π
∫ cos mx sen nx dx = 0
(5.4.5)
0
y
2π
0
∫0 sen mx sen nx dx = π
2π
se establece que
para m ≠ n
para m = n
2ω1
∫ T dγ ≠ 0 si ω
e
0
(5.4.6)
= ν,
(5.4.7)
m
ν
ω
(5.4.8)
2 m
En el caso específico del dispositivo elemental de la figura 5.3.2, cuya inductancia L(γ)
está representada en la figura 5.3.3, la armónica dominante en el correspondiente
desarrollo en serie de Fourier es la segunda (ν=2), lo que implica que en ese caso se
produce conversión continua de energía si el rotor gira a velocidad sincrónica , es decir,
es decir, que hay momento medio si
si
ω m = ω1
ω1 =
,
(5.4.9)
tal como lo había previsto el análisis cualitativo previo.
De acuerdo con la relación (5.4.8) también habría otras velocidades a las cuales el
dispositivo desarrolla un momento medio distinto de cero, por ejemplo, para la cuarta
armónica (ν=4) resulta ω m = ω 1 2 . Sin embargo, el momento desarrollado a esa
velocidad es mucho más débil, por lo que carece de significación práctica.
Considérese ahora la posibilidad de conversión continua de energía para el dispositivo
doblemente excitado de la figura 5.3.4.
Las condiciones necesarias se pueden visualizar elementalmente recurriendo a la idea
del campo giratorio.
Un devanado del estator de p pares de polos, excitado con una corriente alterna de
frecuencia angular ω1 , produce un campo alterno cuya fundamental
b1( x1 ,t ) = B1 cos( px 1 ) cos(ω 1t + ϕ 1 ) ,
(5.4.10)
según lo visto en el párrafo 4.3 del capítulo sobre devanados, puede interpretarse como
resultante de la superposición de dos campos giratorios que giran en sentidos opuestos
y cuya amplitud es igual a la mitad de la amplitud del campo alterno:
b1( x1 ,t ) =
B1
B
cos( px 1 − ω 1t − ϕ1 ) + 1 cos( px 1 + ω 1t + ϕ 1 )
2
2
(5.4.11)
5-104
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
En forma análoga se obtiene para el campo producido por el devanado del rotor
b2 ( x 2 ,t )=
B2
B
cos( px 2 − ω 2 t − ϕ 2 ) + 2 cos( px 2 + ω 2 t + ϕ 2 )
2
2
(5.4.12)
Los ejes magnéticos de los devanados del estator (fijo) y del rotor (móvil), que
coinciden respectivamente con los orígenes de las coordenadas x1 y x2, están
desplazados en el ángulo γ = ωm t (figura 5.3.4), por lo que rige:
x1 = x 2 + γ = x 2 + ωm t
(5.4.13)
Reemplazando (5.4.13) en (5.4.12) se obtiene
b2 ( x 1,t )=
[
]
[
]
B2
B
cos px1 − (ω 2 + pω m ) t − ϕ 2 + 2 cos px 1 + (ω 2 − pω m ) t + ϕ 2 , (5.4.14)
2
2
que representa al campo del rotor referido al sistema de coordenadas del estator o, en
otras palabras, al campo del rotor visto por un observador ubicado en el estator.
Se aprecia que un campo giratorio del rotor gira a la misma velocidad que uno del
estator si :
ω1 = ω 2 + p ω m
o si
ω1 = ω 2 − p ω m
(5.4.15)
(5.4.16)
Como el momento nace de la tendencia de los campos del estator y del rotor a
alinearse el uno con el otro, la velocidad relativa entre esos campos debe ser
necesariamente nula para que esta situación se mantenga en el tiempo y pueda
desarrollarse un momento con valor medio distinto de cero. Si la velocidad relativa no
es cero, se desarrolla un momento oscilatorio cuyo valor medio es cero.
Las relaciones (5.4.14) y (5.4.15) son las restricciones que deben satisfacer las
frecuencias de las corrientes del estator y del rotor para que haya conversión continua
de energía en un dispositivo doblemente excitado.
Se aprecia que para que haya conversión continua de energía al menos uno de los
devanados tiene que estar excitado con una corriente alterna.
La comprobación formal de estas conclusiones sigue la línea del desarrollo hecho para
el momento de reluctancia, donde debe considerarse que ahora el momento depende
de la variación de la inductancia mutua L 12 = ∑ L12 ν cos(νγ ) .
ν
capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas
5.5
5-105
Resumen
En los párrafos precedentes se obtuvo criterios para la aparición de fuerzas y
momentos
electromagnéticos
a
partir
de
consideraciones
energéticas,
yuxtaponiéndolos a los criterios que tienen su origen en la teoría de campos.
Desde el punto de vista del balance energético se concluye que sólo se desarrollan
fuerzas o momentos electromagnéticos si la energía asociada al campo varía como
función de la coordenada mecánica [(5.25) y (5.2.8)] y que el sentido de la fuerza es tal
que esta - con corriente constante - tiende a producir un desplazamiento que determina
un aumento de la coenergía del campo magnético [(5.2.8)].
El momento desaparece cuando la coenergía alcanza un valor extremo [(5.2.8)],
correspondiendo un máximo a una condición de equilibrio estable y un mínimo a una
inestable.
De aquí se desprenden afirmaciones como: polos opuestos se atraen y polos iguales
se rechazan, un rotor anisotrópico tiende a alinearse con el campo o, los campos
producidos por las corrientes del estator y del rotor tienden a alinearse, que sólo son
otras maneras de expresar la condición de equilibrio en sistemas electromecánicos.
La comprobación que la fórmula de Lorentz también es aplicable a situaciones en que
los conductores están alojados en ranuras, rodeados de fierro de alta permeabilidad,
permite inferir que esa fórmula fundamental es equivalente a (5.2.8), lo que tiene
importantes consecuencias prácticas.
La relación que deben satisfacer las frecuencias de las corrientes del estator y del rotor
y la frecuencia de giro del rotor ( p ω m = ω 1 ± ω 2 ) , traducida a términos del campo
giratorio, implica que para conversión continua de energía la velocidad relativa entre un
campo giratorio del estator y uno del rotor debe ser nula.
Esta condición, si bien necesaria, no es suficiente. Para que exista momento medio
distinto de cero debe haber además un desplazamiento espacial entre los ejes
magnéticos de los campos giratorios del estator y del rotor, lo que implica un
desfasamiento apropiado de las corrientes del estator (ϕ1) y del rotor (ϕ2)
( 5.4.11)(, 5.4.14) .
[
]
En las diferentes máquinas eléctricas que se analizan en los capítulos siguientes:
máquina de corriente continua, máquina sincrónica y máquina asincrónica, estas
condiciones se cumplen de diferentes maneras, tratándose satisfacer en forma óptima
las exigencias específicas de cada aplicación.
6. Máquina de corriente continua
6.1
Introducción
La disponibilidad de una fuente de corriente continua, a través de la pila de Volta,
determinó que el desarrollo inicial de la electrotecnia girara al rededor de esa forma de
energía eléctrica.
Consecuentemente, la primera máquina eléctrica rotatoria, que aparece a mediados del
siglo XIX, es la máquina de corriente continua, la que a partir del descubrimiento del
principio dinamoeléctrico por Siemens en 1866 experimenta un rápido desarrollo,
incorporando los detalles constructivos que la caracterizan hasta el presente.
La máquina de corriente continua, en su uso como motor, desplazó a las máquinas de
vapor de las fábricas y, en su uso como generador, posibilitó los primeros sistemas de
distribución eléctrica, sentando así las bases para el desarrollo de la industria eléctrica.
Con la introducción de la corriente alterna, las máquinas de corriente continua perdieron
su posición hegemónica inicial, manteniéndose sí en muchas aplicaciones en las que
sus características específicas las hacían irreemplazables.
El desarrollo más reciente de los semiconductores de potencia ha tenido un efecto
doble sobre el empleo de la máquina de corriente continua.
Por una parte, la disponibilidad de rectificadores controlados, de costo muy inferior al de
una máquina de corriente continua, ha desplazado a esta de sus funciones tradicionales
como generador o como amplificador de potencia, máquinas que ya casi no se
construyen.
En cambio esos mismos rectificadores han ampliado considerablemente sus
posibilidades de uso como motor, al permitir la alimentación de estos desde las redes
de corriente alterna.
En consecuencia, en la actualidad la principal aplicación de la máquina de corriente
continua es como motor en accionamientos de velocidad variable. El rango de potencias
va desde una fracción de kW hasta potencias del orden de 10.000kW, usadas en trenes
laminadores de la industria siderúrgica y en motores que impulsan las hélices de
rompehielos y de submarinos.
En el futuro próximo el abaratamiento de nuevos semiconductores de potencia y de los
circuitos integrados a gran escala hará posible la construcción de inversores que
permitirán darle a un motor asincrónico trifásico las características de un motor de
corriente continua y a un costo menor que el de éste y el correspondiente rectificador.
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
6-107
Sin embargo, este desarrollo, al basarse en una estrategia de control que se inspira en
la máquina de corriente continua, también requiere de la comprensión del principio de
funcionamiento básico de esta máquina, que, como idea, sigue tan vigente como
siempre.
En este capítulo se pretende sentar las bases para la comprensión de la teoría de la
máquina de corriente continua a partir de los conceptos generales desarrollados en los
capítulos precedentes.
6.2
Características constructivas
En la figura 6.2.1 se muestra una vista frontal y una vista axial, ambas con cortes, de
una máquina de corriente continua convencional de cuatro polos (p=2). En ella se
identifican las partes más importantes y se les asigna un número [ ].
El corte en la vista frontal permite apreciar la mitad del circuito magnético principal, que
está formado por las piezas polares[4](sobre las cuales están montadas las bobinas
concentradas del devanado de campo), el yugo del estator, los entrehierros, los dientes
de la armadura (rotor) y el yugo de la armadura.
El yugo del estator cumple la doble función de elemento estructural y parte del circuito
magnético. En las máquinas convencionales es de acero fundido y en máquinas
modernas de construcción compacta está armado con chapas silicosas.
Las piezas polares, fijadas con pernos al yugo del estator, son de chapas magnéticas,
para reducir las pérdidas adicionales por corrientes parásitas, cuyo origen está en las
fluctuaciones locales de inducción producidas por los dientes y las ranuras del rotor en
movimiento.
El rotor[3], que gira en el campo magnético continuo creado por los polos principales,
está armado de chapas silicosas para reducir las pérdidas por corrientes parásitas y por
histéresis causadas por el giro. En las chapas se estampan las ranuras destinadas a
alojar el devanado de armadura (o inducido).
El devanado de armadura es un devanado de corriente continua cuya acción fue
discutida en el párrafo 4.3.4 del capítulo sobre devanados. Cuando la máquina tiene
más de dos polos, el devanado puede ejecutarse como imbricado (figura 6.2.2) u
ondulado (figura 6.2.3). Cada bobina está conectada [6] a dos segmentos (delgas,
láminas) [7] del conmutador (colector), formando así un devanado cerrado sin principio
y sin fin.
La alimentación del devanado se efectúa a través de escobillas (carbones)[8], que
rozan sobre la superficie cilíndrica del colector y que están sujetas al estator mediante
portaescobillas y un collar [10].
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
6-108
Figura 6.2.1 Vista frontal y axial de una máquina de corriente continua.
Las escobillas están hechas de un aglomerado de grafito y metal en polvo y su
resistencia eléctrica influye en forma importante sobre las características de la
conmutación .
Una conmutación correcta, sin chisporroteo, requiere de polos auxiliares (interpolos)[5],
ubicados simétricamente entre los polos principales, provistos de enrollados conectados
en serie con el devanado de armadura.
6-109
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
33 34 35 36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Figura 6.2.1. Devanado imbricado.Nr=N d=36 , p=2 , a=2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
1
2
3
Figura 6.2.2. Devanado ondulado. N r =Nd=27 , p=2, a=1.
Fuera de las así llamadas partes activas, como el devanado y el circuito magnético, las
máquinas eléctricas están compuestas por partes pasivas (eje [1],tapas frontales,
descansos, ventilador[2], etc...), que no intervienen directamente en el proceso de
conversión de energía, pero cuyo adecuado diseño y ejecución determina la calidad
mecánica de la máquina.
6.3
Principio de funcionamiento
La figura 6.3.1 muestra esquemáticamente un corte transversal de la máquina de la
figura 6.2.1 en los que se destaca el circuito magnético principal y los devanados de
excitación y de armadura.
6-110
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
N
S
ωm
N
I/2
I
I/2
I/4
S
I
Figura 6.3.1. Dibujo esquemático de una máquina de
corriente continua de 4 polos.
Si en la figura 6.2.2 se asume que las escobillas están conectadas a una fuente de
corriente y se determina la distribución de la corriente por las bobinas del devanado de
armadura para dos posiciones diferentes de la armadura, se comprueba que la
alimentación del devanado de armadura a través del mecanismo conmutador-escobillas
crea una distribución espacial de corriente seudoestacionaria, caracterizada en la figura
6.3.1 mediante una secuencia alternada de puntos y cruces (corrientes entrando y
saliendo del plano del dibujo) que mantiene su posición respecto a las piezas polares,
independientemente del giro de los conductores que forman el devanado de armadura.
La interpretación formal de las fuerzas tangenciales sobre la superficie del rotor como
fuerzas electrodinámicas (capítulo 5) permite apreciar que las fuerzas sobre las
corrientes bajo cada polo tienen el mismo sentido y que dan lugar a un momento
resultante. Con las referencias positivas para las corrientes de la figura 6.3.1 el sentido
positivo para el momento coincide con el sentido positivo para la velocidad angular, lo
que implica que la potencia mecánica que sale de la máquina es positiva.
Bajo la acción del momento electromagnético el rotor se pone en movimiento y se
inducen tensiones en las bobinas del devanado de armadura, que se suman en la forma
vista en el capítulo 4, apareciendo una tensión resultante entre las escobillas cuya
polaridad, de acuerdo con la regla de Lenz, es tal que tiende a oponerse a la causa que
la produce. Como la causa de la tensión es el movimiento de la armadura y éste se
debe a la circulación de corriente por esta, la polaridad de la tensión inducida es
opuesta a la de la tensión aplicada y tiende a disminuir la corriente absorbida por la
armadura.
El proceso de aceleración termina cuando el momento resultante es nulo, vale decir,
cuando la tensión inducida es tal que la corriente de armadura es justo la necesaria
para desarrollar un momento electromagnético igual al momento externo aplicado al eje.
6-111
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Para invertir el sentido del flujo de energía y convertir la máquina de corriente continua
en un generador se debe reducir el momento aplicado al eje a cero, estableciéndose la
velocidad de vacío. Luego se invierte el momento y se lleva el rotor a una velocidad
superior a la de vacío. De esa manera la tensión inducida se hace mayor que la tensión
aplicada, con lo que se invierte el sentido de la corriente de armadura y con ella se
invierte el flujo de energía y cambia el sentido del momento electromagnético, que pasa
a ser frenante.
El razonamiento anterior pretende explicar la acción de la máquina de corriente
continua en términos de sus variables externas o de terminales, como lo son la tensión
y la corriente y el torque y la velocidad. En términos de esas variables eléctricas
externas la máquina es una “máquina de corriente continua”.
Al derivar las condiciones generales para conversión continua de energía se había
establecido que en al menos un devanado debía haber corriente alterna. Esta condición
también se cumple en el caso de la máquina de corriente continua, donde, gracias a la
acción del conmutador, las corrientes en las bobinas del devanado de armadura son
corrientes alternas de forma de onda rectangular y frecuencia f = p ⋅ n (con n velocidad
de giro en rps). Esto se hace aparente si se sigue el giro de un conductor a través de
las zonas de puntos y cruces en el esquema de la figura 6.3.1.
De manera que la máquina de corriente continua, con ω 1 = 0 y ω 2 = pω m , satisface la
condición para la conversión continua de energía, ω 1 ± ω 2 = p ω m , para cualquier
velocidad de giro. Esta característica constituye la fortaleza del motor de corriente
continua.
6.4
Ecuaciones de equilibrio eléctricas
Las máquinas de corriente continua poseen básicamente dos circuitos: el circuito de
campo y el circuito de armadura, representados esquemáticamente en la figura 6.4.1.
La aplicación de la ley de Faraday a cada uno de estos circuitos da lugar a la
correspondiente ecuación de equilibrio eléctrica.
Con las denominaciones y sentidos de referencia de la figura 6.4.1 rige para el circuito
de armadura :
i a Ra − v a = −
∂ψ dγ ∂ψ
−
,
∂γ dt ∂t
(6.4.1)
donde el primer término del segundo miembro corresponde a la tensión inducida por la
rotación de la armadura en el campo creado por la corriente de excitación if, problema
ya analizado en el párrafo 4.3.4, y el segundo término corresponde a la tensión inducida
por la variación temporal del flujo enlazado por el devanado de armadura, variación que,
6-112
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
If
ω
Vf
Ia
Va
Figura 6.4.1. Referencias positivas para los circuitos de
armadura y de campo.
por la ortogonalidad de los ejes de los devanados de campo y de armadura, sólo es
causada por la corriente de armadura.
En consecuencia (6.4.1) puede ser reescrita como
i a Ra − v a = −Vrot − La
di a
dt
ó
v a = i a Ra + La
dia
+ Vrot
dt
.
(6.4.2)
En el párrafo 4.3.4 se derivó la siguiente expresión para la tensión inducida entre las
escobillas de una armadura de corriente continua de un par de polos (p=1) y un par de
circuitos en paralelo (a=1):
Vrot = z ⋅ n ⋅ Φ p
(6.4.3)
donde z es el número total de conductores de la armadura, n es la frecuencia de giro de
la armadura en revoluciones por segundo y Φp es el flujo por polo en Weber.
6-113
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Como ya se mencionara en el párrafo 6.2, para más de dos polos existen básicamente
dos posibilidades de ejecución para el devanado de armadura, que puede ser imbricado
u ondulado.
En el devanado imbricado simple (figura 6.2.2) los extremos de una bobina se conectan
a dos delgas consecutivas, en las cuales se interconectan con las bobinas adyacentes,
formando un devanado cerrado que es dividido por las escobillas en tantos circuitos en
paralelo como polos haya (2a=2p).
En el devanado ondulado (figura 6.2.3) los
extremos de una bobina se conectan a dos
delgas separadas en aproximadamente un
Vrot
doble paso polar, en las cuales se
f
interconectan con otra bobina desplazada
respecto a la primera también en
aproximadamente un paso polar. De esa
manera se forman sólo dos circuitos en
paralelo (2a=2) al ubicar un par de
escobillas desplazado relativamente en un
arctg Λd
paso polar. En la práctica se utiliza tantas
escobillas como polos, ubicando escobillas
Ff(I f)
adicionales en puntos equipotenciales con
0
las escobillas iniciales y uniéndolas a estas.
Figura 6.4.2.
De esa manera se logra un mejor
Característica de magnetización φp (Fp) y aprovechamiento de la superficie del
característica de vacío V rot (I f).
conmutador, que redunda en conmutadores
más cortos.
φp
La generalización de (6.4.3) para estos dos tipos de devanados se desprende del
desarrollo realizado en el párrafo 4.3.4 si se considera que ahora cada rama en paralelo
está formada por Nd/2a bobinas y que el área correspondiente a un paso polar es πRl/p.
Resulta
Vrot =
p
⋅ z ⋅ n ⋅ Φp
a
.
(6.4.4)
La relación entre flujo y corriente de excitación es nolineal y está determinada por la
característica de magnetización del circuito magnético principal (figura 6.4.2). Sólo en la
zona lineal la característica Φp (if) se puede reemplazar por la función
Φ p = Λd ⋅
Nf
⋅ if
p
(6.4.5)
donde Λ d corresponde a la permeancia del circuito magnético principal o en el eje
directo y Nf corresponde al número de vueltas en serie del devanado de campo.
6-114
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Reemplazando (6.4.5) en (6.4.4) se obtiene
Vrot =
N
p
ω
⋅ z ⋅ m ⋅ Λ d ⋅ ⋅ f ⋅ if
a
2π
p
,
(6.4.6)
relación que puede reescribirse convenientemente como
2
N N Λ ω i
(6.4.7)
π q f d m f
z
con Nq =
, el número de vueltas de cada rama en paralelo,
4a
2
y
= f z , el factor de zona correspondiente a un ancho de zona de 180º eléctricos.
π
Vrot =
Definiendo la inductancia rotacional como
G fq = f z Nq Nf Λ d
(6.4.8)
se logra finalmente una expresión para la tensión
inducida por rotación
en términos de un
parámetro concentrado constante que tiene la
estructura de una inductancia mutua:
Vrot = Gfq ⋅ ω m ⋅ i f .
(6.4.9)
di a
+ G fq ⋅ ω m ⋅ i f
dt
Ra
La
va
En consecuencia, para circuitos magnéticos
lineales la expresión (6.4.2) toma la forma:
v a = R a ⋅ i a + La
ia
,
vrot
Figura 6.4.3 Circuito equivalente
(6.4.10)
ecuación que es satisfecha por el circuito equivalente de la figura 6.4.3, donde la
tensión rotacional está representada por una fuente de tensión controlada.
Por otra parte, la aplicación de la ley de Faraday al circuito de campo de la figura 6.4.1
permite anotar:
dψ f
i f ⋅ Rf − v f = −
,
(6.4.11)
dt
donde, en circuitos magnéticos lineales, ψ f = Lf i f , por lo que en ese caso
v f = R f ⋅ i f + Lf
di f
dt
.
(6.4.12)
6-115
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
En estado estacionario las corrientes de armadura y de campo son constantes, por lo
que para esa condición las ecuaciones (6.4.10) y (6.4.12) se reducen respectivamente
a
Va = Ra ⋅ Ia + Vrot
(6.4.13)
y
Vf = R f ⋅ I f .
(6.4.14)
6.5
Ecuación de equilibrio mecánica
Las ecuaciones de equilibrio eléctricas, obtenidas a partir de la ley de Faraday, son
equivalentes a la segunda ley de Kirchhoff (LVK), que exige que en una malla la suma
de las tensiones es igual a cero.
Análogamente, la ecuación de equilibrio mecánica, obtenida a partir de la aplicación de
la segunda ley de Newton al rotor:
J
dω m
=
dt
∑T
i
,
(6.5.1)
i
exige que la suma de los momentos sobre el rotor (considerado como un cuerpo rígido)
sea igual al momento de inercia J por la aceleración angular.
Sobre el rotor actúan dos momentos : el momento mecánico externo aplicado al eje Tm
y el momento electromagnético Te .
El momento electromagnético
que actúa sobre el rotor puede considerarse
formalmente como debido a fuerzas electrodinámicas sobre los conductores de la
armadura donde, de acuerdo con el desarrollo del párrafo 5.3, cada ranura aporta con
Te i = R ⋅ Bi ⋅ l ⋅ i i
(6.5.2)
al momento resultante
Nr
 Ni  N r
Te = ∑ Te i = R ⋅ l ⋅  a  ⋅ ∑ Bi
 a  i =1
i =1
(6.5.3)
 Ni 
Te = R ⋅ l ⋅  a  ⋅ Nr ⋅ Bm
 a 
(6.5.4)
,
donde N es el número de vueltas de cada bobina del devanado de armadura, Nr el
número de ranuras del rotor, a el número de pares de circuitos en paralelo de la
armadura, ia la corriente de armadura, Bi la inducción en el entrehierro sobre la i-ésima
ranura y Bm la inducción media en el entrehierro.
6-116
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Si en la relación (6.5.4) se reemplaza la inducción media en términos del flujo por polo
mediante
Φp
(6.5.5)
πRl
p
y se considera que el número de conductores de la armadura es z=2NNr,
Bm =
Te =
queda
1 p
v i
zia Φ p = rot a
2π a
ωm
,
(6.5.6)
expresión que explicita el balance de potencia, o sea, que la potencia electromagnética
convertida v rot ia es igual a la potencia mecánica Te ωm .
Para el caso de un circuito magnético lineal se puede reemplazar vrot en términos de
(6.4.9), con lo que se obtiene
Te = Gfq if ia
.
(6.5.7)
En estado estacionario la aceleración es nula y el momento en el eje se obtiene
directamente de (6.5.6) como
Tm =
Vrot I a
ωm
,
(6.5.8)
relación que se usará más adelante al analizar las características de funcionamiento
estacionarias de la máquina de corriente continua.
6.6
Funcionamiento estacionario
Para la determinación de la tensión de rotación o del momento electromagnético no fue
necesario el conocimiento detallado de la distribución de la inducción a lo largo del
entrehierro, bastando el conocimiento del flujo por polo. Sin embargo, hay una serie de
aspectos asociados al correcto funcionamiento de la máquina de corriente continua real,
como la conmutación, las pérdidas de fierro adicionales, la tensión entre delgas o la
estabilidad estacionaria, que requieren del conocimiento de la distribución espacial del
campo en el entrehierro.
6-117
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
6.6.1 Distribución del campo en el entrehierro
En los párrafos siguientes se determinará la distribución espacial idealizada para la
inducción en el entrehierro a partir de principios básicos. Las idealizaciones se refieren
a asumir la permeabilidad del fierro como infinita, la permeancia del entrehierro bajo los
polos como constante y la permeancia del espacio interpolar como nula.
En la parte superior de la figura 6.6.1
se muestra esquemáticamente un
corte
transversal
desarrollado,
correspondiente a un doble paso
polar, y en la parte inferior está
representada la distribución de fmm
y de inducción en el entrehierro
producida en vacío por la corriente
en el devanado de campo, el que se
ha supuesto muy delgado.
2τp
Ff
ατp
Bδ ,Ff
En la figura 6.6.2 se muestra la
distribución
de
fmm
(línea
π
2π
0
segmentada) y de inducción (línea
llena) para el caso en que sólo
circula corriente por el circuito de
Figura 6.6.1 Distribución de fuerza
armadura, que además del devanado
e inducción en vacío
magnetomotriz
de armadura incluye los interpolos.
(Ia=0).
Como la permeancia en los espacios
interpolares es supuestamente nula, la inducción en esas regiones también lo es,
independientemente del valor de la fmm. La intensidad de la fmm de los interpolos se
elige siempre algo mayor que
la amplitud de la onda
triangular producida por el
devanado de armadura, para
satisfacer
las
exigencias
planteadas
por
una
B δ Fa
conmutación correcta.
x
En la figura 6.6.3 se ilustra la
superposición de las dos
situaciones anteriores. Se
aprecia
que
como
consecuencia de la reacción
de armadura la distribución
de inducción bajo los polos
deja de ser constante,
aumentando bajo una mitad
del polo en relación con el
0
x
Inducción debido a la armadura e interpolos.
Fmm debido a la armadura e interpolos.
Figura 6.6.2. Distribución de fuerza magnetomotriz
e inducción debida a la corriente de
armadura solamente.
6-118
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
valor de vacío y disminuyendo respecto a ese valor bajo la otra mitad.
2τp
Bδ
Motor
0
x
Como por razones de seguridad
(peligro de arco eléctrico en el
conmutador) la tensión máxima
entre delgas no debe exceder a
valores del orden de 30V, la
distribución dispareja de la
inducción
lleva
a
un
subaprovechamiento
de
la
máquina y a una disminución de
su capacidad de sobrecarga.
Además, la distribución dispareja
de la inducción implica un
aumento en las pérdidas de fierro
en los dientes y en el yugo de la
armadura en relación con el valor
que tienen en vacío.
Inducción debida al campo
Inducción debida a la armadura
Inducción resultante.
Para contrarrestar estos efectos
negativos se puede recurrir a un
devanado de compensación,
Figura 6.6.3 Distribución de inducción resultante,
alojado en ranuras practicadas
distorsionada por la reacción de
en las zapatas polares
y
armadura
conectado eléctricamente en
serie con la armadura. En la
figura 6.6.4 se aprecia que la fmm del devanado de compensación anula a la fmm
debida a la reacción de armadura a lo largo de la zapata polar, restituyendo así la
distribución de inducción a la forma que tiene en vacío.
Los devanados de compensación son caros, por lo que su uso se limita a máquinas de
gran potencia, a máquinas con fuertes sobrecargas momentáneas o a máquinas cuya
velocidad se regula mediante el debilitamiento del campo.
6.6.2 Efecto desmagnetizante de la reacción de armadura
En ausencia de saturación la fmm de reacción de armadura distorsiona la distribución
espacial de inducción (figura 6.6.3) sin alterar el flujo neto por polo, que es proporcional
al área bajo la curva de inducción Bδ(x). El aumento de flujo bajo una mitad del polo es
igual a la disminución de flujo bajo la otra mitad.
Considérese ahora que el fierro se satura. Invocando la ley de Ampere, se puede
determinar la característica de magnetización equivalente Bδ(F) para el camino de
6-119
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
integración que pasa por los ejes de simetría de los polos, indicado en la figura 6.6.5.
Esta característica también vale para un camino de integración que cruza el entrehierro
a una distancia x del eje de simetría del polo, ya que a lo largo de los tramos de longitud
x en el fierro del polo y de la armadura el camino de integración es perpendicular a las
líneas de fuerza, por lo que los correspondientes aportes a la integral de Ampere son
nulos.
2τp
ατp
Bδ
Fa
0
x
Fc
Fmm debido a la armadura e interpolos.
Fmm debido a devanado de compensación
Inducción resultante.
Figura 6.6.4. Distribución de inducción resultante con
devanado de compensación.
Para determinar la distribución Bδ(x) a lo largo de la zapata polar basta entonces
determinar el valor de la fmm disponible para cada punto x (igual a la corriente
abrazada por el camino de integración) y entrar con estos valores a la característica de
magnetización equivalente Bδ(F). El procedimiento está ilustrado en la parte inferior de
la figura 6.6.5 para los puntos extremos de la zapata polar.
Concretamente, en los extremos del arco polar, es decir, para x = ±
α τp
, la fmm total
2
abrazada por el camino de integración vale respectivamente
F = Ff ± ∆ F
con
z
I
α
∆F =
⋅ a ⋅
2p 2a 2
(6.6.1)
(6.6.2)
6-120
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
2τp
ατp
x
F
Bδ
∆F
Ff
Bδ
Bd
Bo
Bi
0
ατp
x
∆F
∆F
F
Ff
Figura 6.6.5. Determinación del campo resultante en presencia de
saturación. Efecto desmagnetizante de la reacción de
armadura.
En la figura 6.6.5 se aprecia que en presencia de saturación el aumento de la inducción
en el extremo derecho de la zapata Bd, donde la fmm tiene el valor Ff + ∆ F , es menor
que la disminución de la inducción en el extremo izquierdo Bi , donde la fmm tiene el
valor Ff − ∆ F , lo que implica que el aumento del flujo bajo el semipolo derecho es
menor que la disminución del flujo bajo el semipolo izquierdo . En consecuencia, el flujo
con carga, proporcional al área bajo la curva Bδ (x), disminuye en relación con el flujo en
vacío, proporcional al área del rectángulo de base ατp y altura B0, en
1
∆Φ = ((B0 − Bi ) − (Bd − B0 ))ατp l , si se aplica la regla de Simpson.
6
¡En máquinas saturadas la reacción de armadura tiene un efecto desmagnetizante !
6-121
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
interpolos
+
shunt
serie
ω
armadura
compensación
Figura 6.6.6. Esquema de conección de una
máquina de corriente contínua.
Para evitar esta disminución
indeseada del flujo, que en
motores conectados a redes de
tensión
constante
puede
provocar un comportamiento
inestable, se usa
(en
aquellas máquinas en las que
todavía no se justifica un
devanado de compensación) un
devanado adicional de pocas
espiras montado sobre los polos
principales
y
conectado
eléctricamente en serie con la
armadura de manera que su
fmm refuerce la del campo
principal.
La figura 6.6.6 resume en forma esquemática los diferentes devanados de una máquina
de corriente continua y su interconexión eléctrica.
6.6.3 Autoexcitación
Una de las características sobresalientes de los generadores de corriente continua es
su capacidad de procurarse su propia corriente de excitación a través del así llamado
“principio dinamoeléctrico” descubierto por Siemens en 1866.
Al discutir el lazo de histéresis se vio que, después de anulada la excitación (H=0), la
inducción no bajaba a cero, sino sólo a su valor de remanencia Br . Esta inducción de
remanencia es normal en máquinas eléctricas que han sido magnetizadas alguna vez y
es una condición básica para la autoexcitación.
Considérese ahora una máquina de corriente
continua cuyo devanado de campo haya sido
conectado en paralelo con la armadura en la forma
ilustrada en la figura 6.6.7 y que es impulsada a
velocidad constante.
+
ω
φf
-
if
Va ≈Vrot
Rf , L f
Figura 6.6.7.
La conexión fuerza que la tensión de armadura, que
Relativo a la autoexcitación del
en vacío es aproximadamente igual a la tensión
generador de corriente continua.
rotacional, sea igual a la tensión de campo
v rot = Rf ⋅ i f + Lf
di f
dt
(6.6.3)
6-122
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
En la figura 6.6.8 están representadas las
V
características vrot e ifRf como función de la
corriente de campo if . Se aprecia que la
diferencia entre las ordenadas para un Vrot0
determinado valor de la corriente de campo
corresponde a la tensión de autoinducción
en el devanado de campo
Lf
di f
= v rot − Rf ⋅ if
dt
if Rcrit
ifR f
Vrot
Lf
di f
dt
(6.6.4)
y mientras esta, proporcional a la rapidez
de crecimiento de la corriente de campo,
sea positiva la corriente de campo crecerá.
Rf if
Vr
0
if
if
If0
Figura 6.6.8.
Por lo tanto la tensión de armadura
Relativo a la autoexitación del
aumentará hasta que se establezca un
generador
de corriente continua.
valor estable para la corriente de campo, lo
que ocurre para el punto de intersección de las dos características, para el cual la
tensión de autoinducción desaparece, con lo que termina la fase transitoria del proceso
de autoexcitación.
De lo anterior se desprende que para que haya autoexcitación deben cumplirse las
siguientes condiciones:
1.2.3.4.-
Debe haber flujo remanente suficiente.
La conexión del devanado de campo debe ser tal que la corriente de campo
refuerce el flujo remanente.
El circuito magnético debe exhibir saturación.
La resistencia del circuito de campo debe ser menor que cierto valor crítico,
determinado por la pendiente inicial de la característica de saturación.
6.6.4 Conmutación
El hecho que, por un lado, la distribución espacial de la corriente sea seudo estacionaria
y que, por otro lado, los conductores de la armadura giren con el rotor, implica que la
corriente a través de los conductores invierte su sentido cada vez que estos se
desplazan en un paso polar.
De la observación de los devanados de corriente continua de las figuras 6.2.2 y 6.2.3 se
desprende que las escobillas cortocircuitan transitoriamente al menos dos bobinas por
cada par de polos.
6-123
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Ia/2
Ia /2
Ia /2
Ia/2
i
i
2 1
Ia/2
Ia/2
2 1
2 1
Ia
Ia
Ia
a)
b)
c)
Figura 6.6.9. Las tres fases de la conmutación de la corriente
en una bobina de la armadura.
Durante el lapso en que una bobina permanece cortocircuitada se produce la inversión
de la corriente que circula por ella. La figura 6.6.9 ilustra las tres fases de este proceso
conocido como conmutación.
Hasta antes del cortocircuito la bobina está incluida en el grupo de bobinas que forman
la rama “derecha” de las dos ramas en paralelo creadas por la escobilla y por ella
circula la corriente Ia /2 . Esta situación corresponde a la figura 6.6.9 a).
Cuando la escobilla establece el cortocircuito de la bobina se inicia la segunda fase,
durante la cual la bobina está excluida de ambas ramas. Durante esta fase la corriente
debería variar idealmente desde el valor inicial Ia /2 al valor final -Ia /2. Esta situación
corresponde a la figura 6.6.9 b).
i
Ia/2
0
t
Ia/2
Tc
T=1/pn
Al abrirse el cortocircuito de la bobina
después del tiempo de conmutación Tc ,
la bobina queda incorporada a la rama
“izquierda” de las dos ramas en paralelo
creadas por la escobilla. Se ha
completado la conmutación. Esta
situación corresponde a la figura 6.6.9 c).
La figura 6.6.10 ilustra un período de la
forma de onda de la corriente en la
bobina bajo el supuesto de una
conmutación ideal.
Figura 6.6.10. Forma de onda de la corriente La conmutación ideal, o lineal, no se da
en forma natural, como se puede
en una bobina de armadura.
apreciar en el caso extremo de una
6-124
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
bobina sin resistencia.
En este caso, en la malla formada por la bobina cortocircuitada por la escobilla debe
cumplirse
i
dψ b
di
= Lb
= 0
dt
dt
R=0
+Ia/2
(6.6.5)
donde Lb es la inductancia asociada a la
bobina cortocircuitada. Esto implica que
0
Tc t
la corriente permanece constante en el
valor inicial i=Ia /2 hasta el instante Tc en
que la escobilla abandona la delga 2
-Ia/2
(figura 6.6.11), forzando la interrupción
Figura 6.6.11. La función i(t) en la bobina
brusca de la corriente que sale de la
delga 2 (figura 6.6.9), que salta de i2=Ia
conmutante para conmutación
lineal y en ausencia de resistencia. a i2=0. La correspondiente tensión de
autoinducción es tan elevada, que
ioniza el aire y establece un arco eléctrico entre el borde de fuga de la escobilla y la
delga abandonada por esta.
Lm(δ)
δ
0
ωmT c
c
a
c
a
Figura 6.6.12. Variación de la inductancia mutua
durante la conmutación.
Para evitar este fenómeno indeseado es necesario modificar las consecuencias de la
restricción (6.6.5), para lo cual se completa la máquina con polos auxiliares (interpolos o
polos de conmutación) ubicados en la zona neutra magnética entre los polos principales
6-125
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
(figura 6.2.1), provistos de bobinas de pocas vueltas por las cuales circula la corriente
de armadura Ia . De esta manera la restricción “enlace de flujo constante”, impuesta por
el cortocircuito de la bobina que conmuta, ya no implica “corriente constante”, sino
ψ b( 0 + ) = ψ b(t)
para (0< t < Tc ) ,
(6.6.6)
es decir,
Lp
Ia
+ Lm( 0) I a = Lp i + Lm(δ) I a
2
,
(6.6.7)
donde Lp es la inductancia propia (constante) de la bobina que conmuta y Lm es la
inductancia mutua (variable) entre esa bobina y los interpolos.
La figura 6.6.12 ilustra la variación de la inductancia mutua durante la conmutación,
cuando la bobina conmutante avanza de la posición a) de la figura 6.6.9 a la posición c).
Se puede apreciar que en primera aproximación

2t 
Lm(δ ) = Lm(0)  1 −

Tc 

(0< t < Tc )
(6.6.8)
(0< t< Tc ).
(6.6.9)
por lo que se logra de (6.6.7)
i =
Ia 
2Lm ( 0) 2t 
1 −

2 
Lp
Tc 
Si el número de vueltas de los interpolos fuese tal que 2Lm(0)=Lp , la conmutación sería
lineal y la corriente i alcanzaría justamente el valor -Ia /2 cuando t=Tc (figura 6.6.11).
Un análisis más riguroso del problema de la conmutación, que incluya el efecto de las
resistencias de bobinas y escobillas, conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales
y escapa del objetivo de este párrafo.
6.6.5 Características estacionarias como generador
El análisis del comportamiento estacionario de los generadores de corriente continua
requiere del uso de procedimientos gráficos, ya que, debido a la saturación del circuito
magnético principal, la relación entre las variables de terminales es nolineal.
En este contexto interesan especialmente la característica interior, que representa a
Vrot(If) con la corriente de armadura Ia como parámetro, y la característica exterior, que
representa a Va(Ia) con la corriente de campo If como parámetro.
6-126
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Vrot
Vrot 0
I a=0
Vrot I
Ia=I nom
I aRa
n = cte.
∆I f
Va
La característica interior se
puede
obtener
en
forma
experimental,
impulsando
la
máquina
con
velocidad
constante y variando la corriente
de campo entre cero y un valor
algo superior al nominal. Este
último corresponde a la corriente
de campo para la cual la tensión
inducida en la armadura es igual
a la tensión nominal.
If
En vacío, es decir, para Ia=0, la
característica interior coincide
la
característica
de
Figura 6.6.13. Característica interior del generador con
magnetización.
En
cambio
con
de corriente continua.
carga se hace sentir el efecto
desmagnetizante de la reacción de armadura, lo que implica que para igual corriente de
excitación que en vacío la tensión inducida será menor en la zona saturada de la
característica.
0
If0
If
La tensión inducida Vrot sólo es medible en vacío. Con carga debe calcularse a partir de
la relación Vrot=V a+IaRa y de los valores medibles Va e Ia .
En la figura 6.6.13 está representada la característica de vacío y la característica
interior para corriente nominal. Se aprecia que para generar la misma tensión Vrot1 que
en vacío, o sea, para mantener el mismo flujo por polo, la corriente de campo tiene que
ser incrementada en ∆If, que representa el efecto desmagnetizante de la reacción de
armadura, expresada en términos de la corriente de campo.
Las características interna y externa del generador están relacionadas. La figura 6.6.14
muestra esta relación para el caso de un generador autoexcitado en derivación, también
conocido como generador shunt.
En vacío la corriente de excitación es If0 y la tensión inducida es Vrot=V a=R f If .
Supóngase ahora que por la armadura circule la corriente Ia1 . La característica Va(If )
para esa corriente se logra desplazando la característica interna correspondiente a Ia1
paralelamente hacia abajo en una distancia igual a la caída óhmica en la armadura IaRa.
Debido a la conexión shunt, la tensión aplicada al campo debe ser igual a la tensión de
armadura, Vf = V a, condición que se cumple para la intersección de la recta del campo
con la característica Va(If) y determina Va1 . En consecuencia, la corriente de campo
disminuye de If0 a If1 . Con Va1 e Ia1 queda determinado un punto en la característica
externa.
6-127
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Vrot
n=cte
Va
Va
Ia =0
0
0
∆Va1
Ia1
∆Va2
Ia1R a
∆Va3
Va1
1
Ia2 R a
1
Va2
a2
2
0
If2
If1
If0
If
2
0
Icoci
Ia1
Ia2
Ia
Figura 6.6.14. Característica interior y exterior para un generador shunt.
Al relacionar las características externa e interna, se aprecia que la variación de la
tensión de armadura para una determinada corriente de armadura Ia1 se debe a la
disminución del flujo debida a la disminución de la corriente de campo de If0 a If1 (∆Va1),
a la disminución del flujo debida al efecto desmagnetizante de la reacción de armadura
(∆Va2) y a la caída de tensión en la resistencia de armadura (∆Va3).
De la relación entre característica externa e interna se desprende además que el
generador shunt sólo funciona establemente hasta una cierta corriente máxima. Cuando
la corriente de armadura alcanza ese valor, la característica Va(If ) correspondiente se
hace tangente a la recta del campo. Para corrientes mayores el equilibrio estacionario
no es posible, ya no se produce la necesaria intersección con la recta del campo, por lo
que rige
v a = v f = R f ⋅ i f + Lf
di f
dt
.
(6.6.10)
Como ahora v a < Rf ⋅ i f , el término con la derivada es negativo, por lo que la
corriente de campo disminuye y con ella la tensión rotacional.
La corriente de armadura se reduce (línea segmentada en la característica externa de la
figura 6.6.14) hasta la corriente de cortocircuito, mantenida por la tensión de
remanencia. Se aprecia que la pérdida de la capacidad de autoexcitarse del generador
shunt lo proteje en caso de un cortocircuito en sus terminales.
6-128
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
6.6.6 Características estacionarias como motor
La característica torque-velocidad de un motor de corriente continua depende en
primera instancia de la conexión del devanado de campo, donde debe distinguirse entre
excitación independiente, excitación shunt, excitación serie y excitación compound.
En el caso de la excitación independiente el devanado de campo está alimentado por
una fuente independiente de la que alimenta a la armadura. Es la conexión típica para
motores alimentados mediante rectificadores controlados. Haciendo abstracción del
efecto desmagnetizante de la reacción de armadura, el flujo es esencialmente
constante.
La excitación shunt implica que el campo y la armadura están conectados en paralelo a
la misma fuente. La tensión nominal del campo es por lo tanto igual a la tensión nominal
de la armadura. Si la tensión de armadura es constante, el motor shunt se comporta en
forma similar al motor con excitación independiente.
En el motor con excitación serie el devanado de campo está conectado en serie con la
armadura, por lo que el flujo varía fuertemente con la carga, lo que determina la
característica momento-velocidad típica para este motor, que lo hacía particularmente
apto para aplicaciones de tracción eléctrica.(locomotoras, tranvías). Actualmente el
principal uso del motor serie es como motor universal en el accionamiento de aparatos
electrodomésticos.
El motor compound es un híbrido, pues está provisto de un devanado shunt y de un
devanado serie. El devanado serie, normalmente de pocas vueltas, se usa para
compensar el efecto desmagnetizante de la reacción de armadura, pero también para
darle al motor una característica torque-velocidad intermedia entre la del motor shunt y
la del motor serie.
En lo que sigue, el análisis se limitará al motor de excitación independiente como
representante de la categoría “flujo constante” y al motor serie, para ilustrar la obtención
de la característica cuando el flujo es variable.
De acuerdo con (6.4.13) , para el circuito de armadura de un motor con excitación
independiente que funciona en estado estacionario alimentado desde una fuente de
tensión V debe cumplirse que
V = Vrot + Ra I a
.
(6.6.11)
Si en esta ecuación se reemplaza a Vrot por la expresión (6.4.4) y se expresa Ia en
términos del torque electromagnético Te mediante la relación (6.5.6) se logra la
siguiente relación entre frecuencia de giro n y el torque Te :
6-129
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
V
Ra
n = p
− Te
1 p 2
zΦ p
 z Φ
a
2π  a 
.
(6.6.12)
2
p
Como la tensión de armadura y el flujo (si se hace abstracción del efecto
desmagnetizante de la reacción de armadura) son constantes, la ecuación (6.6.12)
representa a una recta con pendiente negativa en el plano n-T e de la figura 6.6.15.
Cuando el torque es cero, el motor desarrolla la velocidad de vacío
n0 =
V
p
zΦ p
a
,
(6.6.13)
ajustable mediante la tensión de armadura o el flujo. La velocidad de vacío con tensión
nominal y flujo nominal se denomina la velocidad natural de la máquina.
Una característica distintiva del motor de excitación independiente es la posibilidad de
ajustar su velocidad en un amplio rango.
n
+
n03
-
n02
n01
φp
Ra
Te
0
Figura 6.6.15. Característica n(Te) para un motor shunt.
Para aumentar la velocidad por sobre la natural se recurre al debilitamiento del campo
a través de la reducción de la corriente de excitación. La velocidad máxima permisible
está limitada por los valores máximos admisibles para la fuerza centrífuga y para la
tensión entre delgas.
6-130
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Para disminuir la velocidad por debajo de la natural se recurre a la disminución de la
tensión de armadura, por ejemplo, a través del aumento del ángulo de disparo del
rectificador controlado.
Con flujo dado, la pendiente de la característica sólo depende del valor de la resistencia
de armadura Ra . Como esta es pequeña, la velocidad del motor con excitación
independiente varía poco con la carga.
Contrariamente al caso del motor con excitación independiente, el motor serie funciona
con flujo variable, por lo que es necesario incluir el efecto de la saturación mediante la
característica de magnetización (obtenida como generador con excitación
independiente). Para destacar lo esencial, aquí también se ignorará el efecto
desmagnetizante de la reacción de armadura.
Para determinar la característica n(T e) se procede punto por punto, asumiendo
sucesivos valores para la corriente de armadura Ia.
Dado que Ia =If , con el valor asumido para Ia se entra a la característica de
magnetización (figura 6.6.16 a) ) y se determina (Vrot/n), valor que permite calcular el
momento mediante la relación (6.5.8) como
Te =
1
2π
 Vrot 

I
 n a
.
(6.6.14)
Por otro lado se calcula
Vrot = V − Ra Ia
,
(6.6.15)
para determinar con el valor para (Vrot/n) obtenido anteriormente
n =
Vrot
,
 Vrot 


 n 
(6.6.16)
y obtener así un punto de la característica n(T e) de la figura 6.6.16 b).
Al observar la característica n(T e) del motor serie se puede apreciar que la velocidad
varía fuertemente con la carga, lo que es característico para este motor y fue
determinante para su aplicación en tracción eléctrica. También se aprecia que la
velocidad de vacío tiende a crecer sin límite, por lo que debe tomarse medidas para que
este motor nunca pueda funcionar en vacío.
6-131
Capítulo 6 : máquina de corriente continua.
Vrot
n
n
Ra
I a=I f
0
a)
Te
0
b)
Figura 6.6.16. Caracteríctica φp(I a) y n(Te) para un motor serie.
7. Máquina sincrónica
(de rotor cilíndrico)
7.1
Introducción
A partir de la introducción de la generación y transmisión trifásica de energía, con
motivo de la Feria Internacional de Francfort de 1881, la electrotecnia experimentó una
rápida expansión. En el breve plazo de una década surgió todo lo que hasta el presente
es parte substancial de un sistema eléctrico de potencia.
El desarrollo posterior se caracterizó por la concentración del proceso de conversión de
energía - realizado originalmente en pequeñas centrales de propiedad municipal - en
centrales cada vez mayores. Calderas , turbinas y generadores grandes tienen mejor
rendimiento que las versiones más pequeñas.
Actualmente están en servicio turbogeneradores en centrales nucleares con potencias
del orden de los 2000MVA e hidrogeneradores con potencias que alcanzan a 860MVA
(Itaipú), cifras de las que se desprende que la máquina sincrónica es la máquina
eléctrica de mayor tamaño que se construye.
Como generador, la máquina sincrónica es la fuente de energía de los sistemas
eléctricos de potencia. Sus características electromagnéticas y electromecánicas son
determinantes en el comportamiento, tanto estacionario como dinámico, de estos
sistemas.
Como motor, la máquina sincrónica, gracias a su mejor rendimiento y a la capacidad de
suministrar potencia reactiva inductiva a la red, es la máquina motriz preferida para los
accionamientos de gran potencia.
En este capítulo se desarrolla la teoría del funcionamiento estacionario simétrico de la
máquina sincrónica sobre la base de los principios e ideas desarrollados en los
primeros cinco capítulos, privilegiando el uso de la idea del campo giratorio y
enfatizando la relación entre los desplazamientos espaciales entre ondas de inducción y
el desfasamiento temporal entre las tensiones inducidas por estas, para lo cual se hace
uso amplio de los diagramas fasoriales.
Los parámetros usados en los circuitos equivalentes se obtienen a partir de la
integración de las variables de campo y se expresan en términos de las dimensiones
geométricas de la máquina, permitiendo así relacionar sus valores numéricos con el
tamaño de esta.
La visualización de los procesos a través del uso de imágenes adecuadas permite una
mejor comprensión del trasfondo físico y sienta las bases para el posterior estudio del
comportamiento de la máquina sincrónica en régimen transitorio.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7.2
7-133
Características constructivas
La figura 7.2.1 muestra una máquina sincrónica en corte. El estator está armado de
segmentos de chapa silicosa en los que están estampadas ranuras en las que se aloja
el devanado trifásico, conectado en estrella sin neutro. En máquinas de baja velocidad,
caracterizadas por un número de los polos elevado, el devanado se ejecuta con un
número de ranuras por polo y por fase (q) fraccionario, para mejorar la forma de onda
de la tensión inducida.
Figura 7.2.1 Vista en perspectiva, con corte longitudinal de
una máquina sincrónica de rotor cilíndrico.
Para el rotor existen dos formas constructivas. En máquinas de baja velocidad se usa
la forma “polos salientes”, provistas de devanados concentrados (figura 7.2.2), mientras
que en máquinas de alta velocidad (turbogeneradores) se recurre a la forma “rotor
cilíndrico”, donde el devanado está alojado en ranuras fresadas en el cuerpo cilíndrico
de acero forjado del rotor (figura 7.2.3). Las bobinas de los polos del rotor
habitualmente están conectadas en serie. La alimentación del devanado de campo
realiza a través de anillos rozantes, aunque en máquinas modernas de gran potencia es
cada vez más común el uso de la excitación “sin escobillas”, que obtiene la corriente
continua a partir de una excitatriz alterna y un puente de diodos que gira con el rotor.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-134
p=2
Figura 7.2.2. Corte transversal a través
de un rotor de polos salientes.
p=1
Figura 7.2.3. Corte transversal a través
de un rotor cilíndrico.
En máquinas mayores (> 40 MVA) el medio refrigerante gaseoso es hidrógeno, por su
mayor calor específico (4 veces el del aire) y su menor densidad (¼ de la del aire). Esta
última característica disminuye notablemente las pérdidas de roce. Para evitar el
peligro de explosión por mezcla con el oxígeno atmosférico, el hidrógeno debe estar
sobrepresión. La carcaza debe ser hermética y tiene que resistir presiones internas de
10 bar sin deformarse.
El rotor de turbogeneradores de dos polos puede alcanzar un diámetro de 1,2m (límite
impuesto por los esfuerzos centrífugos) y 6 a 8 m de longitud (límite impuesto por la
tranquilidad de marcha, vibraciones admisibles). Para 50 Hz la velocidad tangencial
alcanza 190 m/s, lo que implica fuerzas centrífugas muy elevadas sobre las cabezas de
las bobinas, que deben ser protegidas mediante sendos anillos de acero no magnético.
Las ranuras del rotor se cierran con cuñas metálicas (normalmente de bronce) que por
regla general forman la jaula de amortiguación, cuya función será discutida más
adelante.
El entrehierro de máquinas sincrónicas es relativamente grande, si se le compara con el
de máquinas asincrónicas o el de máquinas de corriente continua, y puede alcanzar a
varios centímetros.
7.3
Principio de funcionamiento
Supóngase que la máquina es impulsada a velocidad nominal y que por el devanado
del rotor circule corriente continua. El devanado trifásico del estator esté abierto.
La corriente continua determina una distribución espacial de fmm fija respecto al rotor,
que, debido al movimiento de éste, gira respecto al estator con velocidad sincrónica. La
fundamental de la onda de inducción correspondiente induce en las fases del estator un
sistema de tensiones simétrico de frecuencia
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
f1 = p ⋅ n
7-135
(7.3.1)
donde p es el número de pares de polos de la máquina y n es la frecuencia mecánica
de giro en revoluciones por segundo. El momento aplicado al eje en esas condiciones
es cero, si se hace abstracción de las pérdidas ( de roce y ventilación y en el fierro del
estator).
Considérese ahora que se conecta una carga simétrica a las fases del estator. Las
tensiones inducidas determinarán un sistema de corrientes simétrico, desfasado
respecto al de las tensiones en un ángulo determinado por las impedancias de carga.
Estas corrientes dan lugar a un segundo campo giratorio en el entrehierro de la
máquina, que gira a la misma velocidad que el rotor, pero está desplazado respecto al
eje magnético de éste en un ángulo que depende del desfasamiento de la corriente de
armadura respecto a la tensión de terminales. De la tendencia a alinearse de estos dos
campos nace el momento electromagnético frenante, el que debe ser igualado por el
momento de la máquina motriz para que la velocidad permanezca constante. En
estado estacionario la potencia mecánica suministrada por la máquina motriz es igual a
la potencia eléctrica absorbida por la carga más las pérdidas asociadas al proceso de
conversión de energía.
7.4
Ecuaciones de equilibrio eléctricas
La figura 7.4.1 muestra un corte transversal esquemático de una máquina sincrónica de
rotor cilíndrico. El devanado de campo de Nf vueltas en serie, ubicado en el rotor,
ocupa 2/3 de la periferia y da lugar a una onda de fmm trapezoidal y, con entrehierro
constante, a una onda de inducción trapezoidal de valor máximo.
Bf =
µ 0 Nf i f
δ" 2p
(7.4.1)
Del desarrollo en serie de Fourier de la distribución trapezoidal sólo se considera la
fundamental
bf ( x2 ) = B$ f cos( px 2 )
(7.4.2)
de amplitud
$ = 4 f B ,
B
(7.4.3)
f
π df f
ya que el efecto de la tercera armónica sobre la tensión es contrarrestado por la
conexión estrella sin neutro del devanado del estator y el efecto de las armónicas
superiores es atenuado mediante un acortamiento y distribución apropiados.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-136
eje fase a
eje d
x1
b'
γ
p
c
p=1
a
eje q
a'
x2
c'
b
Figura 7.4.1. Corte esquemático a través de la
máquina sincrónica de rotor cilíndrico.
La coordenada fija al estator x1 , cuyo origen coincide con el eje magnético de la fase a,
y la coordenada fija al rotor x2, cuyo origen coincide con el eje de simetría (eje d) del
rotor, están relacionadas por (figura 7.4.1).
x1 =
γ
+ x2
p
(7.4.4)
donde en estado estacionario
γ = ω 1t − γ 0
(7.4.5)
es el ángulo entre los ejes magnéticos de la fase a y del rotor.
En términos de la coordenada x1 la distribución espacial de inducción (7.4.2) toma la
forma
$ cos( px − ω t + γ )
bf ( x1, t ) = B
f
1
1
0
(7.4.6)
y el flujo enlazado por el devanado concentrado equivalente de la fase a, se calcula
como (figura 7.4.1).
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-137
π /2p
∫ b (x , t)lRdx
Φ af =
f
1
(7.4.7)
1
−π /2p
Φ af =
2lR )
Bf cos(ω1 t − γ 0 )
p
(7.4.8)
La tensión inducida en la fase a por el flujo de la rueda polar vale
v p = N1 f d 1
dΦ af
dt
.
(7.4.9)
Al introducir el flujo por polo del rotor Φ p =
{
v p = Φ p N1 fd 1 ω 1 ℜ j e j(ω 1t − γ 0 )
{
vp = ℜ
2 Vp e j ω 1t
}
2Rl $
Bf y la notación compleja, queda
p
}
(7.4.10)
(7.4.11)
con
Vp = jω 1
Φp
2
N1 f d 1e
− j γ0
,
(7.4.12)
fasor de la tensión inducida en la fase de referencia a por el flujo debido a la corriente
de campo. Considerando (7.4.1) y (7.4.3), la ecuación (7.4.12) puede reescribirse como
Vp = jω1 L1f
I f − j γ0
e
2
(7.4.13)
donde
L1f =
Φ p N1fd 1 4 µ 0 R l
=
(N f )(N1fd 1 )
If
π δ" p 2 f df
(7.4.14)
es la inductancia mutua entre el devanado de campo y la fase a del estator cuando
ambos devanados están alineados. L1f sólo es constante en ausencia de saturación, la
que en (7.4.14) se manifiesta a través del entrehierro equivalente δ‘’.
Por su lado, las corrientes en las tres fases del estator
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
ia =
7-138
2I 1 cos( ω1t + ϕ1 )
2π
)
3
2π
i c = 2I1 cos( ω1t + ϕ1 +
)
3
ib =
2I 1 cos( ω1t + ϕ1 −
(7.4.15)
crean una distribución espacial de fmm, cuya fundamental
f1 =
3 4 N1 fd 1
2 π 2p
2I 1 cos( px 1 − ω 1t − ϕ1 )
(7.4.16)
determina la distribución giratoria de inducción
b1 ( x 1 ,t ) =
3 4 µ 0 N1 f d 1
2 π δ" 2p
2I1 cos( px 1 − ω1 t − ϕ1 ) .
(7.4.17)
Si bien la superposición de fmms siempre es admisible, no vale lo mismo para las
inducciones, que sólo pueden ser superpuestas si el circuito magnético es lineal.
Suponiendo que el principio de superposición sea aplicable, el flujo creado por las
corrientes del estator y enlazado por el devanado concentrado equivalente de la fase a
se calcula como
π /2p
∫ b (x , t) l R dx
Φa1 =
1
1
(7.4.18)
1
−π / 2p
Φ a1 =
3 4 µ o lR
N1 fd 1 2I 1 cos(ω 1t + ϕ1 ) .
2 π δ ′′ p 2
(7.4.19)
La tensión inducida por esta componente del flujo en la fase es
v a = N1 f d 1
dΦ a 1
(7.4.20)
dt
34
lR  N1 f d 1 
va = −
µo


2π
δ ′′  p 
{
2
} {
2 I1 ω1 sen( ω 1t + ϕ1 )
(7.4.21)
}
(7.4.22)
v a = ℜ 2 jω1Lm 1I1e j ω1t = ℜ 2Va e j ω1t
donde
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
Lm 1
3 4
lR  N1 f d1 
=
µ0


2 π
δ ′′  p 
7-139
2
(7.4.23)
es la inductancia propia de campo giratorio del devanado del estator.
Además del flujo fundamental en el entrehierro, las corrientes en los devanados del
estator producen campos armónicos, flujo de dispersión de ranuras y flujo de dispersión
frontal, los que inducen en las fases del estator tensiones de frecuencia angular ω1 . El
efecto inductivo de estos flujos se expresa mediante la inductancia de dispersión del
devanado del estator Lσ1. De manera que
vσ =
[
dψ σ
d
=
L 2I 1 cos(ω1t + ϕ1 )
dt
dt σ1
v σ = −ω 1 Lσ 1 2I 1 sen( ω 1 t + ϕ1 ) = ℜ
]
{
(7.4.24)
}
2 jω 1 Lσ 1 I 1 e j ω 1 t .
(7.4.25)
Al aplicar la Ley de Faraday a la fase de referencia a del estator se tiene que
r
r
dψ
E
∫ • ds = − dt
se convierte en
v 1 − i1R1 =
dψ
= v p + va + v σ ,
dt
(7.4.26)
de donde se logra, al reemplazar respectivamente las expresiones fasoriales (7.4.22) y
(7.4.25) para va y vσ,
V1 = R1I1 + jX m 1I1 + jX σ 1I1 + Vp .
(7.4.27)
En estado estacionario los campos giratorios se mueven sincrónicamente con el rotor y
por lo tanto no inducen tensiones en el devanado de campo. Para este devanado rige
en consecuencia
Vf = R f I f
(7.4.28)
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-140
7.4.1 Circuito equivalente por fase
Del examen de la ecuación (7.4.27) se desprende que esta es satisfecha por el circuito
equivalente de la 7.4.2. En este circuito las tensiones Vp , Va, y Vσ representan los
flujos Φ p , Φ a y Φ σ1 de la máquina física.
resultante en el entrehierro.
I1
R1
representa el flujo
Xm1
Xσ1
V1
La tensión Vi
Vi
Vp
Figura 7.4.2. Circuito equivalente de máquina sincrónica.
El circuito equivalente de la figura 7.4.3 se logra formalmente a partir del de la figura
7.4.2 aplicando el teorema de transformación de fuentes. Las corrientes I1 , I′f e I m
representan las fmms de la máquina original.
I1
R1
I f'
Xσ1
Im
V1
Vi
Xm1
Vp
jXm1
Figura 7.4.3. Circuito equivalente de máquina
sincrónica.
Concretamente,
I′f =
Vp
jX m 1
=
L1f I f
e−j γ0
Lm 1 2
(7.4.29)
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-141
es el valor efectivo de una corriente alterna ficticia, que, circulando en el devanado
trifásico del estator, produce el mismo efecto magnético que la corriente continua If al
circular por el devanado de campo. De (7.4.29) se desprende que mediante la relación
L1f
I f′ =
2Lm 1
If =
1
I
g f
(7.4.30)
con
g =
3 N1f d 1
2 Nf fdf
(7.4.31)
como factor de reacción de armadura, es posible expresar una corriente de armadura
mediante una corriente de campo equivalente y viceversa. De esta manera se puede
trabajar con corrientes en el lugar de fmms, lo que probará ser muy práctico al
considerar el efecto de la saturación.
7.4.2 Efecto de la saturación
En máquinas modernas, altamente aprovechadas, la inducción alcanza valores
elevados, lo que implica la saturación del fierro, especialmente en las regiones
correspondientes a los dientes y yugo del estator.
d
δ
q
La
figura
7.4.4
ilustra
esquemáticamente el circuito
magnético del flujo principal en
vacío. Haciendo abstracción del
flujo de dispersión del devanado
de campo, se trata de un circuito
magnético serie, donde el flujo
es el mismo en el entrehierro, en
el yugo del estator y en el yugo
del rotor. En consecuencia, el
valor del flujo en el entrehierro
fija la inducción en cada tramo
del circuito magnético y por ende
fija el valor de la fmm resultante.
Como en vacío el flujo en el
entrehierro es proporcional a la
tensión inducida Vp (7.4.12) y la
fmm resultante es proporcional a la corriente de campo If , la característica de vacío
Vp(If) es proporcional a la característica de magnetización Φp(Ff) de la máquina
sincrónica.
Figura 7.4.4. Circuito magnético principal en vacío.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-142
La fmm correspondiente a un valor de flujo determinado se puede pensar
descompuesta en dos sumandos, correspondientes respectivamente a los tramos en
aire y en fierro del camino de integración a lo largo del cual se aplica la Ley de Ampere
(figura 7.4.5).
δ'
Vp
φp
Fδ
∫
δ''
r
r
H • ds = Ff
2H δ + Hfe l fe = Ff
Ffe
(7.4.32)
Fδ + Ffe = Ff
La prolongación de la parte recta inicial
de la característica de vacío se conoce
como característica del entrehierro.
Según ese modelo, Ffe es una medida
del grado de saturación del circuito
magnético. En ausencia de saturación
toda la fmm se gasta en el entrehierro.
If
Podría sospecharse que la saturación y
la consiguiente nolinealidad de la
0
Ff
Ff
función Φp (If)
complica el análisis,
obligando a recurrir a métodos
Figura 7.4.5. Característica de magnetización. gráficos, como en el caso de las
máquinas de corriente continua.
Sin embargo, esto por regla general no es así, porque la máquina sincrónica funciona
normalmente conectada a redes de tensión y frecuencia constantes, lo que determina
un flujo y por lo tanto un grado de saturación que también son constantes. En este
caso, se puede considerar que la fmm resultante se gasta en un entrehierro ficticio δ″ y
que el fierro es ideal (µfe → ∞), lo que equivale al reemplazo de la característica de
magnetización por una característica lineal (figura 7.4.5), que por supuesto sólo vale
para esa condición de saturación.
7.4.3 Diagrama fasorial
Las tensiones y corrientes asociadas a los circuitos equivalentes de las figuras 7.4.2 y
7.4.3 se representan convenientemente en forma de un diagrama fasorial. Para
destacar lo esencial se supondrá que la resistencia del estator es despreciable, o sea,
R1 = 0, lo que siempre será admisible en máquinas mayores.
Supóngase conocidas la tensión en los terminales V1, la corriente de armadura I1 , el
factor de potencia cos ϕ1, el factor de reacción de armadura g, la reactancia de
dispersión Xσ1 y la característica de vacío.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-143
Vp
Va
Vp'
Vi
R1=0
δ
V1
Im'
ϕ1
I f'
I1
Figura 7.4.6. Diagrama fasorial en presencia de saturación.
La construcción del diagrama fasorial de la figura 7.4.6 comienza con la ubicación de I1
en relación a V1 . Restando de V1 la caída en la reactancia de dispersión Vσ = jX σ 1I1
se logra la tensión Vi , que es proporcional al flujo resultante en el entrehierro y que por
lo tanto fija el grado de saturación.
Con el módulo de Vi se entra a la característica de vacío y se fija la pendiente de la
característica del entrehierro equivalente (figura 7.4.7).
En seguida, se calcula I’ 1 = g I1, una corriente de campo ficticia que produce el mismo
efecto magnético que la corriente armadura I1, y se determina sobre la característica del
entrehierro equivalente la tensión inducida por el campo de reacción de armadura en el
devanado de armadura Va. Recordando que Va está adelantado en π/2 respecto a I1 ,
se resta Va de Vi para obtener Vp .
Con el módulo de Vp se entra a la característica del entrehierro equivalente y se
determina la corriente de campo If .
Finalmente se calcula I’ f = If /g y se la dibuja atrasada en π/2 respecto a Vp. La suma de
I’f e I1 determina la corriente magnetizante I m.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-144
Vp
Vp
Vp'
Vi
Va
If
I1' Im'
If
Figura 7.4.7. Construcción del diagrama fasorial en presencia de
saturación.
0
Al construir e interpretar el diagrama fasorial debe tenerse presente que sólo V1, I1 e If
corresponden a magnitudes medibles y que las demás tensiones y corrientes son
magnitudes ficticias. Así, al desconectar la máquina de la red, la tensión en terminales
no es Vp sino V’p, ya que con la desconexión cambia el grado de saturación y con él el
entrehierro ficticio que determina la pendiente de la característica de magnetización
equivalente.
Durante la construcción del diagrama fasorial se tiene la libertad de elegir un fasor como
fasor de referencia. Normalmente elige V1 = V 1 /0º , con lo que
Vp = jVp e j ( π / 2 −γ 0 ) = Vp e j δ
(7.4.33)
está desfasada en el ángulo de carga
δ =
π
− γ0
2
(7.4.34)
respecto a V1. El ángulo de carga corresponde al desplazamiento del fasor Vp respecto
a V1 cuando la carga de la máquina varía entre vacío (T = 0, δ = 0) y un valor
cualquiera.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-145
La interpretación del diagrama fasorial se enriquece si se considera que el ángulo de
desfasamiento entre dos tensiones es igual al ángulo de desplazamiento espacial (en
radianes eléctricos) entre las correspondientes distribuciones de inducción y que el
ángulo de desfasamiento entre dos corrientes es igual al ángulo de desplazamiento
espacial entre las correspondientes distribuciones de fmm.
Eje q
Re
Vp
Eje d
a
φp
V1
δ - γ0
δ
Im
φ1
t=0
V1=V 1∠ 0
-γ0=δ - π/2
Figura 7.4.8. Relación entre flujos y tensiones.
Desde esta perspectiva, la elección V1 = V1 /0 , que implica que v a = 2V1 cos(ω 1t ) ,
considera como t = 0 al instante en que la tensión inducida en la fase de referencia a
es máxima. Pero como la tensión es máxima cuando el flujo abrazado por la bobina
pasa por cero, en t = 0 el flujo resultante Φ 1 debe estar desplazado en π/2 radianes
respecto al eje magnético de la fase a. El flujo Φ p está desplazado en el ángulo δ
respecto a Φ 1, ya que Vp está desfasado respecto a V1 en δ (figura 7.4.8).
Vp
φp
Va
V1
Vi
δ
ϕ1
I1
-γ 0
φm
Im
δ
I f'
φa
φσ
φ1
Figura 7.4.9. Diagrama fasorial completo como
generador.
Con estos antecedentes se puede dibujar el diagrama fasorial completo de las figura
7.4.9, donde el triángulo de los flujos es semejante con el triángulo de las tensiones.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7.5
7-146
Potencia y momento
En funcionamiento estacionario como generador, la potencia absorbida en el eje es
igual a la potencia entregada en los terminales más las pérdidas
Pmec = P1 + Pperd
(7.5.1)
Si en primera aproximación se desprecia las pérdidas eléctricas y mecánicas se tiene
que
−
ω1
T = −3 ℜ{ V1I*1 }
p
(7.5.2)
de donde se logra
*
j δ
3 p   V1 − Vp  
3 p  V1Vp e 
T =
ℜ V1 
  =
ℜ j

ω 1   jX1  
ω 1 
X 1 
T=−
3pV1Vp
ω1 X 1
sen δ .
(7.5.3)
Se aprecia que el momento de origen electromagnético tiene un valor máximo
TM =
3 pVV
1 p
(7.5.4)
ω 1X 1
directamente proporcional a la excitación
Vp e inversamente proporcional a la
reactancia sincrónica X1.
Con las referencias supuestas, el
momento es positivo como motor (δ < 0)
y negativo como generador (figura
7.5.1). En el rango -π /2 < δ < π/2 los
puntos de trabajo estacionarios son
estables, lo que se expresa mediante la
desigualdad
∂T
∂ Tc
<
∂δ
∂δ
(7.5.5)
Motor
T
TM
TC
−
π
2
0
π
2
δ
Generador
Figura 7.5.1. Característica torque-ángulo
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-147
Para
δ = ± π 2 la máquina desarrolla el máximo momento posible para una
determinada condición de excitación y se dice que alcanza el límite de estabilidad
estacionario. Para momentos de carga mayores el equilibrio de momentos (2a. Ley de
Newton) sólo puede ser satisfecho mediante un cambio de velocidad, por lo que la
máquina pierde el sincronismo.
Resulta conveniente derivar una expresión alternativa a (7.5.3) para el momento.
δT
Vp
π -δT
φp
I 1X1
V1
I1X1senδT=V1senδ
δ
δT
I1
Figura 7.5.2. Relación entre ángulo de carga
y ángulo de torque.
Del diagrama fasorial de la figura 7.5.2 se desprende la relación
I1 X 1 sen( π − δT ) = V1 sen δ
o
V
I1 sen δT = 1 sen δ ,
X1
que reemplazada en (7.5.3) permite escribir
T=−
3p
V I sen δT ,
ω1 p 1
(7.5.6)
expresión que al considerar (7.4.13) toma la forma
T = −p
3
L I I 2 sen δT = − pLf 1 I f I 1 2 sen δT ,
2 1f f 1
(7.5.7)
donde el ángulo de torque δT corresponde al ángulo entre las distribuciones de
inducción del estator y del rotor, como se ilustra en la figura 7.5.3. La expresión para el
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-148
momento en términos de las corrientes y el ángulo de torque es físicamente más
significativa, pero, como Vp y V1 habitualmente son constantes, la relación (7.5.3)
resulta más simple de evaluar y por eso se la prefiere a (7.5.7).
d
q
φp
Vp
Va
Vi
δT
Vσ
δ
φm
V1
δ
φa
φσ
φ1
δT
I1
Figura 7.5.3. Relación entre los desplazamientos espaciales de distribuciones
de flujo y desfasamientos de tensiones inducidas.
En lo que a la dependencia del momento del seno del ángulo δ se refiere, la máquina
sincrónica es análoga al péndulo y comparte con éste la capacidad de oscilar. La figura
7.5.4 ilustra la analogía.
Supóngase ahora que la máquina en vacío (Tc = 0) sufre una perturbación. La ecuación
de equilibrio dinámico establece que con posterioridad a la perturbación rige
J dω
= T
p dt
Como ω = ω 1 +
J d 2δ
= T
p dt 2
(7.5.8)
dδ
dt
y
ω 1 = cte , la ecuación toma la forma
(7.5.9)
Si la oscilación es lo suficiente lenta para que pueda suponerse que las variables
eléctricas permanecen en estado estacionario, se puede escribir
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-149
3 pV1V p
J d 2δ
=−
senδ
2
p dt
ω1 X 1
(7.5.10)
y para ángulos pequeños (sen δ ≈ δ)
3p 2V1Vp
d 2δ
+
δ = 0
dt 2
Jω 1 X 1
(7.5.11)
apreciándose que la frecuencia angular de oscilación vale
Ω =
3 p 2V1Vp
Jω 1 X 1
=
ce
.
J
(7.5.12)
J
J
d 2δ
= Tm sen δ
dt 2
δ
Tm sen δ
Tm
Figura 7.5.4. Analogía máquina sincrónica-péndulo.
Al evocar la expresión para la frecuencia natural de un sistema “masa-resorte”, se
aprecia que la máquina sincrónica actúa como un “resorte electromagnético” de rigidez
ce. La frecuencia de oscilación natural Ω/2π normalmente es del orden de 1 a 2 Hz.
Para atenuar estas oscilaciones la máquina sincrónica suele estar equipada en el rotor
con un devanado especial, conocido como jaula de amortiguación, cuyo movimiento
relativo respecto al campo giratorio induce corrientes en él. La energía disipada por
estas corrientes en la jaula de amortiguación proviene del movimiento oscilatorio, por lo
que la amplitud de éste es atenuada rápidamente.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7.6
7-150
Condiciones de funcionamiento especiales
7.6.1 Cortocircuito estacionario
Cuando las tres impedancias de carga son cero, las tensiones en los terminales de la
máquina también valen cero y se dice que la máquina está en cortocircuito trifásico
simétrico. Es un estado de funcionamiento en el que los flujos en la máquina están
relacionados en forma especialmente simple si se desprecia el efecto de R1.
eje d
φm
φp
eje q
Figura 7.6.1. Esquema de flujos generados en
cortocircuito trifásico estacionario.
La condición V1 = 0 exige que en condiciones estacionarias el flujo enlazado por cada
fase del estator debe ser cero. Esto sólo puede ser satisfecho si en el devanado del
estator circula un sistema de corrientes trifásicas de amplitud y fase tales que produzca
un campo giratorio que anule el enlace de flujo producido por el rotor y el enlace de flujo
de dispersión. La figura 7.6.1 ilustra esquemáticamente esta situación, descrita en
términos de tensiones y corrientes por los circuitos equivalentes por fase de la figura
7.6.2 y el diagrama fasorial correspondiente a estos ( figura 7.6.3). El uso consistente
de la convención “carga” permite asociar los fasores de corriente en oposición de fase
con distribuciones espaciales de fmm desplazadas relativamente en π radianes. Se
puede apreciar que la reacción de armadura actúa en oposición al campo y la fmm
resultante, proporcional a I m, determina un flujo resultante en el entrehierro igual y
opuesto al flujo de dispersión, de manera que el flujo total enlazado por cada fase del
estator es nulo, como lo exige la condición del cortocircuito V1 = 0.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
Xσ1
7-151
Xσ1
Xm1
I1
I1
Vi
Xm1
Vp
I f'
Vi
Im
Figura 7.6.2. Cortocircuito trifásico estacionario.
Vp
Vp
jI1Xm1
Triángulo de Potier.
Vi
I1
If'
Im
I1
Figura 7.6.3
Diagrama fasorial en cortocircuito
Vi
I’' m
I’1 =gI1
Ifc
If
Figura 7.6.4.
Cortocircuito simétrico estacionario,
el triángulo de Potier.
Como el flujo de dispersión del estator con corriente nominal es del orden de un 20%
del flujo nominal, en cortocircuito el circuito magnético principal no está saturado.
De
I1 =
Vp
X1
=
ω 1L1f I f
ω 1L1 2
= λ If
(7.6.1)
se aprecia que la relación entre corriente de campo y corriente de armadura es lineal e
independiente de la frecuencia angular ω1 , comportándose la máquina como un
transformador de corriente.
Las relaciones entre Im, I1 e I’ f representadas en la figura 7.6.2 pueden ser traducidas a
relaciones entre corrientes de campo equivalentes y, como tales, ser representadas en
el plano Vp(If) de la característica de magnetización, donde determinan el así llamado
triángulo de Potier (figura 7.6.4), cuyo cateto horizontal representa el efecto
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-152
desmagnetizante de la reacción de armadura y cuyo cateto vertical representa la
tensión inducida por el flujo resultante en el entrehierro, que es igual a la caída de
tensión en la reactancia de dispersión. Como Vi no es medible, la determinación
experimental del triángulo de Potier requiere de la realización de un ensayo con tensión
nominal y carga reactiva pura.
7.6.2
Carga reactiva inductiva pura
Considérese que el cortocircuito haya sido reemplazado por una carga reactiva
inductiva simétrica de manera que circule corriente nominal y la tensión en bornes sea
la nominal. Las referencias sean las de la figura 7.6.5. Con ellas se construye el
diagrama fasorial de la figura 7.6.6. Se puede apreciar que la relación entre las
corrientes y, por ende, entre las fmms, es similar a la existente en cortocircuito. Este
hecho permite determinar el triángulo de Potier en la forma ilustrada en la figura 7.6.7,
donde, al utilizar la característica de vacío como equivalente a la característica de
magnetización, se hace abstracción del flujo de dispersión del devanado del inductor
(aproximación a un circuito magnético serie).
I1
Vi
Xm1
Xσ1
jI1Xσ1
V1
XL
V1
Vi
Vp
Figura 7.6.5. Carga reactiva inductiva.
If'
I1
Supóngase por un momento que la reactancia de
Im
I1
dispersión (de Potier) fuese conocida, entonces
se podría determinar Vi a partir de V1 y con ello Figura 7.6.6.
I’ m. Sumando a I’ m el efecto desmagnetizante de Carga reactiva inductiva,
la reacción de armadura I’ 1 se lograría la corriente determinación del triángulo de Potier.
de excitación necesaria If . El triángulo ABD
corresponde al triángulo de Potier. En la práctica se desconoce Xσ1 e I’ 1, por lo que se
procede fijando en punto A(V1, If) para copiar luego el trazo AC de longitud Ifc
(obtenida del ensayo en cortocircuito). Por C se traza una paralela a la característica
del entrehierro, cuya intersección con la característica de vacío (obtenida del ensayo en
vacío) determina el punto D(Vi , I’ m). Una perpendicular desde D a la recta AC
determina el punto B(V1,I’ m), con el que se completa el triángulo de Potier.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-153
D
Vi
V1
∆ de Potier
C B
A
I1'
I fc
Vicc
0
Ifc
I m'
If
Figura 7.6.7. Determinación del triángulo de
Potier.
La inductancia de Potier se determina como
X pot ≈ X σ 1 =
7.7
Vi − V1
I1
(7.6.2)
Determinación experimental de la reactancia sincrónica
Del circuito equivalente de la figura 7.6.2, correspondiente al cortocircuito estacionario,
se desprende que
X1 =
Vp
I cc
(7.7.1)
Sin embargo, esta expresión no se puede evaluar directamente, ya que no es posible
medir simultáneamente Vp e Icc .
Esta dificultad se puede superar tomando en cuenta que las fmms resultantes, en
cortocircuito como en vacío, actúan a lo largo del mismo circuito magnético, lo que
permite invocar en ambos casos la misma característica de magnetización.
Considérese las características de vacío y de cortocircuito de las figuras 7.7.1. y 7.7.2
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-154
Vp
I1
V1n
I1n
I cc
I cc*
0
If0 *
Ifo
0
If
Figura 7.7.1. Determinación de la
reactancia sincrónica.
I f0*
I fo
I fc
If
Figura 7.7.2. Determinación de la reactancia
sincrónica.
En vacío la corriente de campo Ifo determina una tensión inducida igual a la tensión
nominal. Al cortocircuitar la armadura se desarrolla la corriente de cortocircuito Icc de
magnitud tal que Icc X1 = Vn. Entrando con Ifo en el eje de abscisas de las
características de vacío y de cortocircuito se determina los valores de tensión y de
corriente correspondientes a esa corriente de campo, que permiten evaluar (7.7.1)
aproximadamente (en cortocircuito no hay saturación).
Para obtener parámetros relativamente independientes del tamaño de la máquina es
usual el empleo de valores relativos (o en por unidad). Los valores base, o de
referencia, son los valores nominales para tensión y corriente, que a su vez determinan
los valores base para impedancias Zb = Vn / In y para potencias Pb = 3Vn In .
La reactancia sincrónica en [pu] vale
X 1[ pu ] =
X 1 [Ω ]
V
I
1
= n ⋅ n =
,
Z b [Ω ]
I cc Vn
I cc [ pu ]
(7.7.2)
es decir, en [pu] la reactancia sincrónica es numéricamente igual al valor recíproco de
la corriente de cortocircuito estacionaria.
De la figura 7.7.2 se desprende la proporcionalidad
I
In
= fc
Icc
If 0
,
(7.7.3)
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-155
de la que se concluye, al considerar (7.7.2), que la reactancia sincrónica en [pu]
también está dada por el cuociente entre la corriente de excitación para la cual la
corriente de cortocircuito es igual a la corriente nominal (Ifc ) y la corriente de excitación
para la cual la tensión de vacío es igual a la tensión nominal (If0 ). El valor recíproco de
este cuociente se conoce como razón de cortocircuito SCR.
SCR =
If 0
1
=
I fc
X 1[ pu ]
.
(7.7.4)
Si en lugar de la característica de magnetización se utiliza la característica del
entrehierro (figura 7.7.1), se logra el valor no saturado de la reactancia sincrónica:
X1 =
I
Vn I n
1
= *
= *fc
*
Icc Vn
I cc [ pu ]
If 0
(7.7.5)
Para máquinas modernas, provistas de reguladores de tensión rápidos, la razón de
cortocircuito varía entre 0,5 y 0,9, lo que implica que la reactancia sincrónica varía entre
2 y 1,1 [pu].
7.8
Funcionamiento en red infinita
La red infinita es una idealización de una red real. Puede absorber o entregar cualquier
potencia sin variar su tensión en barras. Su representación circuital es una fuente ideal
de tensión.
Red
L1
L2
L3
Válvula
Turb.
W 1 V1
U1
Gen.
F1 F2
Excitación
Figura 7.8.1. Relativo a la sincronización.
Para que una máquina sincrónica pueda
intercambiar energía con una red debe ser
sincronizada previamente con esta. Una
sincronización ideal consiste en la conexión
de la máquina a la red sin que se produzca
perturbación alguna. Esto implica que debe
satisfacerse cuatro condiciones:
• la secuencia de fases de la máquina y de
la red debe ser la misma,
• la frecuencia de las tensiones de máquina
y red debe ser la misma,
• la magnitud de las tensiones de máquina y
red debe ser la misma, y
• la fase de las tensiones de máquina y red
debe ser la misma.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-156
Satisfechas estas condiciones, las estrellas
de tensiones de la figura 7.8.2 coinciden y
el interruptor de la figura 7.8.1, al cerrarse,
une puntos equipotenciales. No circularán
corrientes ni habrá momento. Se dice que
la máquina “flota” en la red (V1 = Vp ; I1 = 0)
y el diagrama fasorial correspondiente es el
de la figura 7.8.4.
L1
U1
ωr
ωm
W1
L2
L3
I1
V1
X1
Figura 7.8.2. Relativo a la sincronización.
Vp
V1
Vp
V1
δ=0
I 1=0
Figura 7.8.3. Circuito equivalente de la
máquina conectada a la red
infinita.
Figura 7.8.4. Diagrama fasorial de la
máquina flotante.
Para la máquina conectada a la red infinita rige el circuito equivalente de la figura 7.8.3.
Con las referencias indicadas en ese circuito se tiene que la potencia aparente
absorbida por la máquina desde la red está dada por
S = P + jQ = 3 V1I*1
(7.8.1)
Pero
V1 − Vp
V1 − Vp e j δ
I1 =
=
jX 1
jX1
(7.8.2)
Reemplazando (7.8.2) en (7.8.1) y separando luego parte real e imaginaria se logra
P=−
Q=
3V1Vp
X1
sen δ
3V12 3V1Vp
−
cosδ
X1
X1
(7.8.3)
.
(7.8.4)
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-157
Como la tensión de la red infinita es por definición constante, el monto de la potencia
activa o reactiva intercambiada entre máquina y red queda determinado por el ángulo
de carga δ y la corriente de excitación If , que fija el valor de Vp. Interesa entonces
determinar el efecto específico de estas variables.
7.8.1
Variación de la excitación
Supóngase ahora que la potencia activa sea cero (nada conectado al eje). Entonces
según (7.8.3) el ángulo de carga δ es cero y la máquina, vista desde la red, se
convierte en un inductor o un condensador sincrónico, dependiendo el signo de la
potencia reactiva de si está subexcitada (Vp < V 1) o sobreexcitada (Vp > V 1):
Q =
(
)
3V1
V − Vp .
X1 1
(7.8.5)
Los diagramas fasoriales de la figura 7.8.5 ilustran esta situación.
Mediante la variación de la corriente de excitación es posible regular la potencia
reactiva intercambiada entre la máquina y la red.
inductor
capacitor
jI1X1
V1
Vp
jI1X1
V1
Vp
I1
I1
a)
b)
Figura 7.8.5 Relación de fase entre tensión y corriente en los
terminales de una máquina
a) sobreexcitada
b) subexcitada
7.8.2 Variación del momento
Si se aplica un momento motriz externo al eje de la máquina que “flota” en la red, se
produce la aceleración del rotor, la que implica un aumento del ángulo δ con el
consiguiente desfasamiento de Vp respecto a V1 que causa la aparición de la corriente
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-158
de armadura I1(7.8.2) y la entrega de potencia activa a la red (7.8.3). Cuando el
momento electromagnético desarrollado por la máquina iguala al momento aplicado al
eje, la aceleración desaparece y el ángulo δ permanece constante. Se establece el
equilibrio estacionario. El diagrama fasorial de la figura 7.8.6 ilustra esta situación.
L.G. P=cte.
L.G. I=cte.
L.G. Vp=cte.
jI1X1
L.G. Q=cte.
Vp
V1
Φp
δ
ϕ1
Límite de estabilidad
teórico.
δT
I1
Figura 7.8.6.
Diagrama fasorial para exitación 100 %
y T < 0 (generador).
7.8.3
Se aprecia que al variar el momento
aplicado al eje, manteniendo la excitación
constante, el extremo del fasor Vp recorre
un arco de circunferencia al igual que la
corriente de armadura I1 , lo que implica la
variación del factor de potencia.
La variación de la potencia activa también
afecta a la potencia reactiva. Si esta ha
de permanecer constante, es necesario
actuar sobre la corriente de campo y
modificar el módulo de Vp , como se
desprende del lugar geométrico de Vp
para Q=cte de la figura 7.8.6.
Mediante la acción combinada sobre el
momento aplicado al eje y sobre la
corriente de excitación se puede ajustar
cualquier condición de funcionamiento de
la máquina.
Lugar geométrico de la corriente
Del circuito equivalente de la figura 7.8.3 se desprende que:
V1 − Vp = jX 1I1
(7.8.6)
de donde se despeja
I1 = − j
Vp j δ
V1
+ j
e
X1
X1
,
(7.8.7)
que, para V1 y Vp constantes, corresponde a una circunferencia en el plano complejo,
cuyo centro se encuentra sobre el eje imaginario negativo y cuyo radio está dado por
Vp / X1, como puede apreciarse en la figura 7.8.7.
En cambio los lugares geométricos de la corriente I1 para potencia activa constante,
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
7-159
ℜ{ V1I *1 } = V1ℜ{ I1} = cte. ,
(7.8.8)
son rectas paralelas al eje imaginario.
De manera análoga se establece que los lugares geométricos de la corriente para
potencia reactiva constante son rectas paralelas al eje real.
Los puntos del semiplano superior describen estados de funcionamiento como motor
(δ< 0) y los del semiplano inferior como generador (δ > 0).
En lo que a la potencia reactiva se refiere, para puntos en el semiplano izquierdo, la
máquina absorbe potencia reactiva capacitiva y para puntos en el semiplano derecho,
absorbe potencia reactiva inductiva.
Xc
XL
−j
ϕ1
Im
L.G. I 1 =cte .
V1
X1
Motor
δ
0
L.G. P=cte.
Diagrama circular o
L.G. Vp=cte.
L.G. Q=cte.
Re
V1
j
Vp j δ
e
X1
Generador
I1
Figura 7.8.7. Diagrama circular de la corriente I1
y otros lugares geométricos.
Si bien cada punto del plano describe unívocamente un estado de funcionamiento
caracterizado por sendos valores para la potencia activa y la potencia reactiva, debe
tenerse en cuenta que hay límites impuestos por los valores máximos admisibles para
la potencia activa, limitada por la potencia máxima de la máquina motriz, la corriente de
armadura, limitada por el calentamiento máximo admisible para el devanado, la
corriente de excitación, limitada por el calentamiento admisible para el devanado de
campo y el ángulo δ (límite de estabilidad estacionario), de manera que no todos los
puntos del plano corresponden a condiciones de operación segura.
Capítulo 7 : máquina sincrónica.
I fmax
cos ϕnom
7-160
Q
I 1nom
Pmax
Limite de
estabilidad
teórico.
0
práctico
.
P
Para orientar al operador de la máquina,
se ha concebido la carta de operación,
que representa el área de operación
segura en el plano P-Q , que está limitado
por
los
lugares
geométricos
correspondientes a los valores máximos
admisibles para las diferentes variables.
Se puede apreciar la correspondencia de
la carta de operación de la figura 7.8.8
con los lugares geométricos de la figura
7.8.7, si se tiene en cuenta que los
correspondientes ejes coordenados están
girados en 90º.
Así, de la carta de operación para un
generador de la figura 7.8.8 se desprende
que el funcionamiento con corriente
Figura 7.8.8. Carta de operación
nominal no es posible con factores de
como generador.
potencia inferiores al nominal (usualmente
0,8 o 0,9), ya que la corriente de campo
necesaria excedería a la corriente de campo máxima admisible, o que el funcionamiento
subexcitado está limitado por el límite de estabilidad práctico (potencia máxima sin
riesgo de pérdida del sincronismo), que considera una reserva de un 10% de la
potencia máxima en relación con el correspondiente límite de estabilidad teórico para un
determinado grado de excitación.
10 % Pmax
8. Máquina asincrónica
8.1
Introducción
En 1987 la máquina asincrónica cumplió 100 años. Durante ese tiempo se ha
convertido en el motor eléctrico más difundido y se puede afirmar sin temor a
exageraciones que es el motor del desarrollo industrial del siglo XX.
Durante su más que centenaria existencia el progreso tecnológico, que se manifiesta a
través de una teoría cada vez más completa y a través de la disponibilidad de
materiales magnéticos y dieléctricos de características mejoradas, ha permitido reducir
en forma muy importante el peso por unidad de potencia de la máquina asincrónica, lo
que, junto con el mejoramiento del proceso de fabricación, la ha convertido en el motor
eléctrico más barato.
La máquina asincrónica se construye en un rango de potencias que cubre todo el
amplio espectro de las necesidades industriales, desde unos pocos Watt de los
aparatos electrodomésticos, hasta algunos Megawatt de las bombas de alimentación de
calderas en centrales nucleares.
La gran mayoría de las máquinas asincrónicas funcionan conectadas a redes de tensión
y frecuencia fijas, lo que les da el carácter de máquinas de velocidad prácticamente
constante.
La disponibilidad de convertidores de frecuencia sobre la base de semiconductores
controlados ha permitido el levantamiento de la restricción histórica “velocidad
constante” y ha abierto a la máquina asincrónica campos de aplicación que
anteriormente le estaban vedados, en un momento en que, por razones económicas y
ecológicas, aumenta la demanda por un uso más racional de la energía.
Así, el uso de motores asincrónicos con velocidad ajustable mediante un convertidor de
frecuencia en el accionamiento de bombas y ventiladores ha permitido importantes
ahorros de energía en relación con accionamientos de velocidad constante. Las
locomotoras de última generación alcanzan sus características superiores porque
incorporan motores asincrónicos de velocidad variable como motores de tracción y
muchos otros accionamientos han encontrado en el conjunto convertidor de frecuencia
y motor asincrónico la mejor solución técnico-económica.
Estos usos nuevos de la máquina asincrónica requieren de esquemas de control que
utilizan modelos dinámicos de la máquina, lo que obliga a un cambio de énfasis en el
tratamiento de la teoría, cuya formulación debe permitir su posterior ampliación al
estado de funcionamiento transitorio.
Capítulo 8 : máquina asincrónica
8.2
8-162
Características constructivas
La figura 8.2.1 muestra una representación en explosión de un motor asincrónico típico
para el rango de tensión entre 2 y 6,6 kV y el rango de potencia entre 315 y 3550kW a
3000r.p.m.
Figura 8.2.1 Vista en explosión de un motor asincrónico con rotor
de jaula, típico para el rango de tensión 2-6,6 kV y el
rango de potencia 315-3550 kW a 3000 r.p.m.
La parte activa del estator y del rotor está armada de chapas silicosas de 0,5 mm de
espesor en las que se ha estampado ranuras para el alojamiento del devanado (figura
8.3.1).
En máquinas grandes se utiliza ranuras abiertas, en las que se monta bobinas
prefabricadas, mientras que en máquinas pequeñas se utiliza ranuras semicerradas, en
las que se forma la bobina directamente, usualmente con máquinas bobinadoras.
8-163
Capítulo 8 : máquina asincrónica
El devanado del estator es normalmente trifásico, conexión estrella sin neutro (figura
8.2.2).
W2
U1
U2
V1
V2
W1
Figura 8.2.2. Devanado trifásico, p=2 , q=2.
Para el rotor se puede elegir entre dos tipos de devanados. En el caso de condiciones
de arranque muy severas, o cuando se opta por regulación de velocidad con la
máquina conectada a una red de frecuencia fija, se utiliza en el rotor un devanado
trifásico conectado en estrella y unido a tres anillos rozantes. En ausencia de
condiciones especiales, se prefiere, por su menor costo y mayor robustez, una forma de
devanado conocida como jaula de ardilla. Hasta potencias del orden de 250 kW la jaula
se realiza en aluminio fundido y sobre esta potencia con barras de cobre y bronce en
las versiones de jaula doble o de jaula de barras profundas.
Contrariamente al caso de la máquina sincrónica, caracterizada por un entrehierro
relativamente grande, el entrehierro de la máquina asincrónica debe ser lo más
pequeño posible, variando entre 0,3 mm para máquinas pequeñas y 2,7 mm para
motores de 3000 kW. Esto impone estrechas tolerancias de fabricación y montaje.
A medida que aumenta la potencia del motor cobra mayor importancia la disipación del
calor causado por las pérdidas. Esto se traduce en un cuidadoso diseño de los circuitos
de refrigeración, tratando de llegar con el fluido refrigerante (normalmente aire)
directamente a los lugares donde se producen las pérdidas.
8-164
Capítulo 8 : máquina asincrónica
8.3
Principio de funcionamiento
Considérese que por el devanado trifásico del estator, conectado a una red de tensión y
frecuencia constantes, circulen corrientes trifásicas simétricas. El devanado del rotor
esté inicialmente abierto.
Las corrientes en el devanado del estator dan lugar a una distribución espacial de fmm,
que determina una distribución de flujo representada, para un cierto instante y a lo
largo de un paso polar, en la figura 8.3.1, que se desplaza a lo largo del entrehierro con
velocidad angular mecánica igual a ω1 /p (velocidad sincrónica).
1 paso polar
Φ p /2
A
B
Φ p /2
Figura 8.3.1
Φ p /2
Φp / 2
Chapas del estator y rotor, circuito magnético
principal y distribución del flujo en vacío.
Este campo giratorio induce en las fases del devanado del rotor un sistema de
tensiones simétrico.
Supóngase ahora que se ha cerrado el devanado del rotor. Las tensiones inducidas
dan lugar a corrientes, cuya interacción con la onda de inducción giratoria produce un
8-165
Capítulo 8 : máquina asincrónica
momento que impulsa al rotor en el sentido de giro de campo, ya que, de acuerdo con
la regla de Lenz, el efecto es siempre tal que tiende a oponerse a la causa que lo
produce, y en este caso la causa de la corriente es el movimiento relativo entre campo y
los conductores del devanado del rotor.
Cuando el rotor ha alcanzado la velocidad angular ωm /p, la velocidad del campo
giratorio en relación con el devanado del rotor se ha reducido a
ω 2 ω1 ω m
=
−
p
p
p
(8.3.1)
y la frecuencia angular de las tensiones inducidas en el rotor se ha reducido a ω2.
Se aprecia que (8.3.1) es equivalente a la condición para conversión continua de
energía desarrollada en el capítulo 5, lo que implica que el motor asincrónico produce
un momento medio distinto de cero para cualquier velocidad distinta a la sincrónica.
La diferencia entre la velocidad sincrónica y la velocidad del rotor, referida a la
velocidad sincrónica, se denomina deslizamiento
s=
ω1 − ω m ω 2
=
ω1
ω1
(8.3.2)
Cuando el rotor alcanza la velocidad sincrónica, desaparece el movimiento relativo
entre rotor y campo giratorio y con él las tensiones inducidas en el rotor, la corriente en
el devanado del rotor se hace cero y con ella desaparece el momento. El motor no
puede girar estacionariamente con velocidad sincrónica, pues, para vencer los
inevitables momentos debidos al roce en los descansos, el motor debe desarrollar un
momento electromagnético, lo que sólo es posible si gira a una velocidad inferior a la
sincrónica. De ahí la denominación de motor asincrónico.
La acción de la jaula se puede interpretar formalmente en términos de un devanado
equivalente de tantas fases como barras posee la jaula, donde cada fase posee media
vuelta.
Para apreciar esta equivalencia, considérese un devanado anular de m 2 espiras,
distribuidas en forma regular sobre el yugo del rotor (figura 8.3.2a). Las tensiones
inducidas en las espiras, debidas a la variación periódica del flujo en las secciones del
yugo enlazadas por estas, dan lugar a corrientes que forman un sistema de corrientes
simétrico de m2 fases, cuya suma en todo instante es cero. Por lo tanto, nada cambia
desde el punto de vista de la distribución de las corrientes si las espiras se
interconectan en estrella en la forma indicada en la figura 8.3.2b y se suprime el
“neutro”. El posterior reemplazo de la estrella de la figura 8.3.2b por un polígono
equivalente en la figura 8.3.2c tampoco altera la distribución de corrientes y deja de
manifiesto la equivalencia entre las situaciones de las figuras 8.3.2c y 8.3.2a.
8-166
Capítulo 8 : máquina asincrónica
i
a)
i
b)
i
c)
Figura 8.3.2. Equivalencia entre un devanado anular y
un devanado jaula de ardilla.
Para la tensión inducida en una espira de la figura 8.3.2a vale
$
V = 4,44 ⋅ f ⋅ Φ
y
,
(8.3.3)
y como el valor máximo del flujo en el yugo es igual a la mitad del valor máximo del flujo
por polo, según se puede apreciar en la figura 8.3.1, esta relación puede reescribirse
en términos del flujo por polo como
$
V = 4 ,44 ⋅ f ⋅ 12 ⋅ Φ
p⋅
(8.3.4)
y reinterpretarse formalmente como la tensión inducida en una bobina ficticia de paso
completo de ½ vuelta, perteneciente a un devanado de m 2 fases, donde m 2 es igual al
número de barras de la jaula.
8.4
Ecuaciones de equilibrio eléctricas
Las ecuaciones de equilibrio eléctricas en términos de las variables de terminales se
logran aplicando la ley de Faraday al devanado en cuestión.
Para determinar la tensión inducida por el flujo enlazado por una fase resulta
conveniente descomponer el campo resultante en un campo debido a las corrientes del
estator y un campo debido a las corrientes del rotor y aplicar el principio de
superposición.
Considérese primeramente las corrientes en las tres fases simétricamente desplazadas
del estator, que en estado sinusoidal estacionario simétrico tienen la forma
8-167
Capítulo 8 : máquina asincrónica
i 1a = 2I 1 cos( ω 1t − ϕ 1 )
i 1b = 2I 1 cos( ω 1t − ϕ1 −
2π
3
i 1c = 2I1 cos(ω 1t − ϕ 1 + 23π
)
)
(8.4.1)
y determinan en el entrehierro una distribución de fmm giratoria
f1 =
f dν,1
3 2I1N1 4
cos( νpx 1 − ω 1t + ϕ 1 )
2 2 p π ν =6 g +1 ν
∑
,
(8.4.2)
cuya componente fundamental, de acuerdo con lo visto en el capítulo 4, determina la
onda de inducción giratoria
B1 ( x 1, t ) =
3 4 µ0
2 π δ ′′
2I 1N1f d 1,1
2p
cos( px1 − ω 1t + ϕ1 ) ,
(8.4.3)
donde δ“ es el entrehierro efectivo, que incluye el efecto de la saturación y de las
ranuras.
El flujo enlazado por la fase a del estator, cuyo eje magnético coincide con el origen de
la coordenada x1 , se calcula como
ψ 1a
R⋅l
= N1f d 1
p
ψ 1a =
+π/ 2
∫ B ( x ,t ) d ( px )
1
1
1
(8.4.5)
−π/ 2
2
34
R⋅l
µ0
N
f
2I1 cos(ω 1t − ϕ 1 )
(
)
1
d
1
,
1
2π
δ ′′p 2
(8.4.6)
y la tensión inducida en esa fase vale
v 1a =
2
dψ 1a
3
4 R ⋅l
= − µ0
Nf
ω 1 2I1 sen( ω 1t − ϕ1 ) .
2 ( 1 d 1,1 )
dt
2
π δ ′′p
(8.4.7)
Pasando a notación compleja queda:
2

3
4 R⋅l

v 1a = ℜ jω 1 µ 0
Nf
I 2e j ω 1t 
2 ( 1 d1,1 ) 1
2
π δ ′′p


{
}
v 1a = ℜ V11 2e j ω 1t ,
(8.4.8)
(8.4.9)
8-168
Capítulo 8 : máquina asincrónica
donde
V11 = jω 1Lm 1I1
,
(8.4.10)
es el fasor de la tensión inducida por el campo giratorio y
2
3
4 R⋅l
µ0
N
f
(8.4.11)
(
)
1
d
1
,
1
2
π δ ′′p 2
es la inductancia propia de campo giratorio del devanado del estator.
Lm 1 =
La inductancia de campo giratorio engloba el efecto inductivo de las tres corrientes del
estator y reduce la situación trifásica a una monofásica equivalente.
Por otra parte, el campo giratorio también enlaza al devanado del rotor (figura 8.3.1),
que se mueve respecto al estator con velocidad angular ωm [rad.el./s]. La coordenada
fija al rotor está relacionada con la coordenada fija al estator a través de la relación
(figura 8.4.1)
px1 = ω m t + px 2 = (1− s )ω 1t + px 2
(8.4.12)
px 1
ωmt
px 2
a'
a
x 1=0
px
a'
a
x 2=0
Figura 8.4.1. Relación entre la coordenada del estator x1
y la coordenada del rotor x2.
En términos de la coordenada fija al rotor la onda de inducción B1 queda descrita por
3 4 µ 0 2I1N1fd 1,1
B1 ( x 2 , t ) =
cos( px 2 − sω 1t + ϕ 1 )
(8.4.13)
2 π δ ′′
2p
por lo que el flujo enlazado por la fase a del rotor se calcula como
ψ 2 a = (N2 f d1, 2 )
R ⋅l
p
+ π /2
∫ B ( x ,t )d ( px )
1
2
2
(8.4.14)
− π /2
y la tensión inducida en la fase de referencia a del rotor vale
v 2a =
dψ 2a
3
4 R⋅l
= − µ0
(N1fd 1,1 )(N2 fd 1,2 )sω 1 2I1 sen( sω 1t − ϕ1 )
dt
2
π δ ′′p 2
(8.4.15)
8-169
Capítulo 8 : máquina asincrónica
v 2a = ℜ V21 2e j sω 1t ,
{
}
(8.4.16)
donde V21 = jsω 1L21I 1
(8.4.17)
es el fasor de la tensión inducida por el campo giratorio del estator en una fase del rotor
y
3
4 R⋅l
L21 = µ 0
(8.4.18)
(N1fd 1,1 )(N2 fd 1,2 ) ,
2
π δ ′′p 2
es la inductancia mutua de campo giratorio entre el devanado del estator y una fase del
rotor. Para un rotor con devanado del tipo jaula N2=1/2 y fd1,2 =1.
Considérese ahora las m 2 corrientes del rotor


2π
i 2 i = 2I 2 cos sω 1t − ϕ 2 −
i − 1)
(
m2


con
i = 1, 2, ..., m2 ,
(8.4.19)
que dan lugar a una distribución de fmm giratoria, cuya componente fundamental está
dada por
f2 ( x 2 ,t ) =
m 2 4 2I 2 (N2 fd 1, 2 )
cos( px 2 − sω 1t + ϕ 2 )
2 π
2p
(8.4.20)
y que, con entrehierro constante, determina la onda de inducción giratoria
B2 ( x 2 , t ) =
2I 2 (N2 f d 1, 2 )
m 2 4 µ0
2 π δ ′′
2p
cos( px 2 − sω 1t + ϕ 2 )
(8.4.21)
cuyo flujo induce en la fase a del rotor la tensión
2

m
4 R⋅l

v 2a = ℜ jsω 1 2 µ 0
N f
2I 2e j s ω 1t 
2 ( 2 d 1, 2 )
2
π δ ′′p


{
}
v 2a = ℜ V22 2e j s ω 1t ,
donde
V22 = jsω 1Lm 2 I 2
(8.4.22)
(8.4.23)
,
es el fasor de la tensión inducida por el campo giratorio y
(8.4.24)
8-170
Capítulo 8 : máquina asincrónica
Lm 2 =
m2
4 R⋅l
2
µ0
N f
2 ( 2 d 1, 2 )
2
π δ ′′p
(8.4.25)
es la inductancia propia de campo giratorio del devanado del rotor.
En forma análoga se determina la tensión inducida por el campo giratorio del rotor en
una fase del estator (a), logrando
{
}
(8.4.26)
con
V12 = jω 1L12 I 2
(8.4.27)
y
L12 =
v 1a = ℜ V12 2e j ω1t
m2
4 R⋅l
µ0
(N1fd 1,1 )(N2 fd 1,2 )
2
π δ ′′p 2
,
(8.4.28)
inductancia mutua de campo giratorio entre el devanado del rotor y una fase del estator.
Cuando el número de fases del estator no es igual al número de fases del rotor las
inductancias mutuas de campo giratorio no son recíprocas, pues de (8.4.18) y (8.4.23)
se desprende que
3L12 = m 2 L21
(8.4.29)
De (8.4.11), (8.4.18), (8.4.25) y (8.4.28) se establece la siguiente relación general entre
inductancias de campo giratorio:
L12 L21 = Lm 1Lm 2 .
(8.4.30)
Además de los campos fundamentales en el entrehierro, las corrientes en los
devanados del estator y del rotor crean campos de dispersión en las ranuras y en el
espacio frontal y campos armónicos en el entrehierro, asociados a sus respectivos
devanados, que también se consideran como campos de dispersión de esos
devanados. El efecto inductivo de todos estos campos se engloba en sendas
inductancias de dispersión (Lσ1 y Lσ2).
La aplicación de la ley de Faraday a las fases representativas del estator y del rotor
equivale a hacer un inventario de las tensiones inducidas por los diferentes campos en
esas fases, por lo que se puede anotar para cada una de ellas en términos de fasores:
V1 = R1I1 + jω 1 (Lσ 1 + Lm 1 ) I1 + jω 1L12 I 2
V2 = R2 I2 + jsω 1 (Lσ 2 + Lm 2 ) I 2 + jsω 1L21I1
(8.4.31)
El devanado del rotor está normalmente cortocircuitado, lo que implica V2 = 0.
8-171
Capítulo 8 : máquina asincrónica
8.5
Circuito equivalente y diagrama fasorial
Los devanados descritos por el sistema de ecuaciones (8.4.31) están en movimiento
relativo, por lo que las frecuencias de las corrientes en ellos es ω1 y sω1
respectivamente.
La división formal por el deslizamiento s de la ecuación del rotor cortocircuitado en
(8.4.31) resulta en
0=
R2
I + jω 1 (Lσ 2 + Lm 2 ) I2 + jω 1L21 I1
s 2
,
(8.5.1)
ecuación que puede reinterpretarse físicamente como correspondiente a un rotor
detenido, ya que ahora la frecuencia angular en ese circuito parece ser ω1 en lugar de
sω1 .
Con la intención de avanzar hacia la obtención de un circuito equivalente por fase,
considérese ahora el reemplazo del devanado m 2-fásico del rotor por uno trifásico,
similar al del estator, excitado con corrientes trifásicas simétricas I 2′ tales que
produzcan la misma distribución de inducción fundamental en el entrehierro que el
devanado original. Esto equivale a exigir que el flujo enlazado por una fase del estator
no debe ser alterado con la substitución del devanado del rotor, o sea que
Lm1 I 2′ = L12 I 2
ó
(8.5.2)
m
3
N1 f d 1,1 I 2′ = 2 N2 f d1. 2 I 2 ,
2
2
expresión que explicita la igualdad de las respectivas distribuciones de fmm.
Además, en el devanado equivalente deben producirse las mismas pérdidas y la
energía acumulada en sus campos de dispersión debe ser la misma que en el
devanado original. Esto implica exigir que
m 2 I 22R2 = 3I 2′ 2 R2′
y
m 2 I 22 Lσ 2 = 3I 2′ 2 Lσ′ 2
(8.5.3)
(8.5.4)
de donde se logra con (8.5.2) la resistencia y la inductancia de dispersión del devanado
trifásico equivalente
m L 
R2′ = R2 2  m 1 
3  L12 
2
(8.5.5)
8-172
Capítulo 8 : máquina asincrónica
y
2
Lσ′ 2 = Lσ 2
m 2  Lm 1 

 ,
3  L12 
(8.5.6)
también conocidos como valores reducidos al primario de los respectivos parámetros R2
y Lσ2.
Reemplazando I2, R2 y Lσ2 en (8.4.31) y (8.5.1) en términos de los correspondientes
valores reducidos al primario y considerando (8.4.29) y (8.4.30), se logra las ecuaciones
V1 = R1I1 + jω 1 (Lσ 1 + Lm 1 ) I1 + jω 1Lm 1 I ′2
0=
(8.5.7)
R2′
I ′ + jω 1( Lσ′ 2 + Lm1 ) I ′2 + jω 1Lm1 I1 ,
s 2
(8.5.8)
que reordenadas toman la forma
V1 = (R1 + jω 1Lσ 1 ) I1 + jω 1Lm 1 I m
(8.5.9)
 R′

0 =  2 + jω 1Lσ′ 2  I′2 + jω 1Lm 1 Im ,
 s

donde se ha introducido la corriente magnetizante
Im = I1 + I′2
(8.5.10)
,
(8.5.11)
una corriente ficticia, que, circulando en el devanado del estator, produce el mismo
efecto magnético en el entrehierro que las corrientes I1 e I2 en conjunto.
I1
I' 2
R1
V1
Xσ1
X'σ2
Im
Xm1
R’2/s
Vi
Figura 8.5.1. Circuito equivalente por fase de la máquina asincrónica.
8-173
Capítulo 8 : máquina asincrónica
Las ecuaciones (8.5.9) y (8.5.10) corresponden ahora a una fase de una máquina
trifásica, tanto en el estator como en el rotor, donde ambos devanados tienen el mismo
número de vueltas efectivo por fase.
I1
I' 2
R1
Xσ1
V1
X'σ2
Im
Xm1
Vi
R2’
1−s
R2' ( )
s
Figura 8.5.2. Circuito equivalente por fase de la máquina asincrónica.
La observación más detenida de las ecuaciones (8.5.9) y (8.5.10) permite apreciar que
satisfacen el circuito equivalente de la figura 8.5.1, que está repetido en la figura 8.5.2
con la resistencia asociada a la malla del rotor descompuesta en
R2′
 1− s
= R2′ + R2′ 

 s 
s
,
(8.5.12)
V1
Vi
I1
ϕ1
I'2
ϕ2
Im
I'2
Figura 8.5.3 Diagrama fasorial de la máquina
asincrónica
para rescatar la similitud con el
transformador con carga resistiva,
una imagen ampliamente usada en
la teoría clásica de la máquina
asincrónica. Sin embargo, debe
tenerse en cuenta que, debido a la
existencia del entrehierro, la
reactancia de magnetización Xm1 de
la máquina asincrónica es mucho
menor que la de un transformador
(1:30).
El circuito equivalente está formado
por dos mallas, respectivamente
representativas del estator y del
rotor.
Nótese la similitud de la malla
representativa del estator con la
malla correspondiente en el circuito
equivalente
de
la
máquina
sincrónica, representado en la figura
8-174
Capítulo 8 : máquina asincrónica
7.4.3 del capítulo 7. En ambos casos la tensión en la reactancia Xm1 corresponde a la
tensión inducida en una fase del devanado del estator por el campo resultante en el
entrehierro.
Con las referencias de la figura 8.5.1, se puede construir el diagrama fasorial de la
figura 8.5.3.
Si bien las magnitudes representadas en el diagrama fasorial son las tensiones y
corrientes del circuito equivalente, no debe olvidarse la relación de estas magnitudes
con los flujos y las fmms de la máquina real, por lo que la interpretación de este
diagrama se enriquece, si se tiene en cuenta que los ángulos entre los fasores de
corriente son iguales a los ángulos de desplazamiento espacial entre las
correspondientes distribuciones de fmm (inducción), según se desprende de las
relaciones (8.4.13) y (8.4.21). Interpretado en esta forma, el diagrama fasorial es
también la representación simbólica de las distribuciones giratorias de fmm y de
inducción.
Vi
R 2=0
F2
δ T =180º
Fm
F1
I1
I'2
R1
Xσ 1
Im
X' σ 2
R 2'/s
Vi
V1
X m1
V1
Vi
I2'
R 2=0
Im
I1
δ T =180º
Figura 8.5.4. Disposición de fuerzas magnetomotrices
y diagrama fasorial para el caso R 2=0.
Esta equivalencia es de gran valor para entender el funcionamiento de la máquina en
términos de los conceptos desarrollados en el capítulo 5, donde se estableció que el
8-175
Capítulo 8 : máquina asincrónica
momento electromagnético nacía de la tendencia a alinearse de las distribuciones de
inducción del estator y del rotor y que cesaba cuando estas distribuciones lograban
alinearse. Así se aprecia que en una máquina asincrónica hipotética cuya resistencia
del rotor fuese nula, el ángulo de torque sería de 180º, como muestra el diagrama
fasorial de la figura 8.5.4. En consecuencia, tal máquina no podría desarrollar momento.
8.6
Potencia y momento
En estado sinusoidal estacionario la potencia media suministrada al campo magnético
es cero, por lo que rige el siguiente balance de potencia:
Pmec = P1 − Pcu 1 − Pcu 2
,
(8.6.1)
a partir del cual se puede obtener una expresión para la potencia mecánica en términos
de las variables eléctricas.
De (8.5.9) y (8.5.10) se tiene que
{
}
{
P1 = 3 ℜ V1 I∗1 = 3R1I12 + 3ℜ jω 1Lm 1Im I1∗
0=3
}
R2′ 2
I ′ + 3ℜ jω 1Lm 1Im I ′2∗
s 2
{
(8.6.2)
}
(8.6.3)
En (8.6.2), la expresión
{
}
3 ℜ jω 1Lm 1I m I∗1 = P1 − Pcu1 = PCG1
(8.6.4)
se identifica como la potencia asociada al campo giratorio del estator PCG1 .
Considerando que según (8.5.11) I′2 = I m − I 1 , se establece que
{
}
{
}
ℜ jω 1Lm 1Im I 2′ ∗ = −ℜ jω 1Lm 1I m I∗1 ,
(8.6.5)
lo que, reemplazado en (8.6.3), permite escribir
Pcu 2
= PCG1 .
s
(8.6.6)
Con (8.6.4) y (8.6.6) el balance de potencia de (8.6.1) toma la forma
Pmec = PCG 1 − Pcu 2
(8.6.7)
8-176
Capítulo 8 : máquina asincrónica
Pmec = (1 − s )PCG 1
 1− s 
Pmec = 
P
 s  cu 2
(8.6.8)
.
(8.6.9)
De esta última relación se desprende que la potencia disipada en la resistencia
(R’2(1-s)/s) de la figura 8.5.2 corresponde a la potencia mecánica por fase.
Cabe destacar que de acuerdo con (8.6.7) la potencia del campo giratorio PCG1 se
divide en el entrehierro en potencia mecánica Pmec y potencia transferida al circuito del
rotor Pcu2 de acuerdo con una clave dada por el deslizamiento, según lo establecen las
relaciones (8.6.6) y (8.6.8).
Desde el punto de vista mecánico se tiene la siguiente relación entre la potencia
mecánica y el torque:
Pmec = T
ωm
ωT
= (1− s ) 1
p
p
,
(8.6.10)
por lo que, al igualar esta expresión con (8.6.9), se logra
T=
p Pcu 2
p R2′ 2
=
3
I′
ω1 s
ω1 s 2
.
(8.6.11)
Esta relación confirma desde otra perspectiva la afirmación hecha al final del párrafo
8.5, que un hipotético motor asincrónico sin resistencias en el rotor no desarrollaría
momento.
La corriente I’ 2 se puede determinar aplicando el Teorema de Thévenin a la malla del
estator del circuito equivalente de la figura 8.5.1, el que de esta manera se reduce al
circuito serie de la figura 8.6.1 .
I2’
X'σ2
VTh
ZTh
Vi
R2'/s
Figura 8.6.1. Equivalente Thevenin del circuito de la figura 8.5.1.
8-177
Capítulo 8 : máquina asincrónica
La tensión de Thévenin corresponde a la tensión Vi con I’ 2 = 0, es decir,
VTh = j X m 1
V1
R1 + j ( X σ 1 + X m 1 )
(8.6.12)
y la impedancia de Thévenin vale
ZTh =
(R
1
+ j X σ1 ) ⋅ j X m1
R1 + j ( X σ 1 + X m 1 )
= RTh + j XTh
(8.6.13)
Tanto VTh como ZTh son constantes para una determinada tensión y frecuencia de la
red de alimentación. Con (8.6.12) y (8.6.13) se determina
I′2 = −
VTh
 R′

Z Th +  2 + jX σ′ 2 
 s

,
(8.6.14)
que reemplazada en (8.6.11) permite obtener la siguiente expresión para el momento:
T=
VTh2 R2′
3p
⋅
.
2
ω 1 

R2′ 
2
s  RTh +
 + ( X Th + X σ′ 2 ) 
s


(8.6.15)
Derivando el denominador de esta expresión respecto al deslizamiento, e igualando
esta derivada a cero, se obtiene el deslizamiento para el cual el momento es máximo
sM = ±
R2′
2
RTh
+ ( X Th + X σ′ 2 )
2
,
(8.6.16)
que reemplazado en (8.6.15) permite determinar el momento máximo:
TM = ±
VTh2
3p
2ω 1 R ± R 2 + ( X + X ′ ) 2
Th
Th
Th
σ2
(8.6.17)
El signo positivo corresponde al funcionamiento como motor y el signo negativo al
funcionamiento como generador.
Nótese que el momento máximo TM es independiente de la resistencia del rotor R2,
mientras que el deslizamiento sM para el cual se produce el momento máximo es
proporcional a R2.
8-178
Capítulo 8 : máquina asincrónica
En máquinas de potencia superior a 10 kW el efecto de las pérdidas en el devanado del
estator sobre las características de funcionamiento con frecuencia nominal no es
significativo. Asumiendo R1 = 0 , las expresiones (8.6.16) y (8.6.17) se simplifican, ya
que ahora
X σ1
RTh = 0
y
X Th =
,
(8.6.18)
1 + σ1
X
con σ 1 = σ1 , coeficiente de dispersión del estator,
(8.6.19)
X m1
y quedan como
sM = ±
R2′
X σ1
+ X σ′ 2
1 + σ1
=±
R2′
X σ′ e
(8.6.20)
y
TM = ±
2
VTh
V12
3p
3p
=±
2ω1 X σ 1
2ω1 X σ1 + X′σ 2 (1 + σ1 )
+ X′σ 2
1 + σ1
(8.6.21)
En términos de (8.6.20) y (8.6.21) la expresión para el momento (8.6.15) toma la forma
simétrica:
T=
2TM
s
s
+ M
sM
s
,
(8.6.22)
donde el momento máximo TM ahora es el mismo, tanto para funcionamiento como
motor o como generador.
Para deslizamientos pequeños (s << sM ) esta expresión es aproximada por
2TM
⋅s
(recta)
sM
y para deslizamientos grandes (s>>sM) por
T=
T = 2TM sM ⋅
1
s
(hipérbola)
(8.6.23)
(8.6.24)
Estas tres relaciones están representadas gráficamente en la figura 8.6.2 con sM =0,2
para el rango 0 ≤ s ≤ 1 en el que la máquina funciona como motor.
Para motores normalizados el momento máximo es de 2 a 2,5 veces el momento
nominal, por lo que en el rango de funcionamiento normal como motor (0 ≤ T ≤ Tn) la
8-179
Capítulo 8 : máquina asincrónica
aproximación (8.6.23), que reemplaza la curva por una recta, es perfectamente lícita y
origina la comparación con la correspondiente característica del motor de corriente
continua en conexión shunt.
Cuando el rotor de la máquina es impulsado a velocidades superiores a la sincrónica,
aplicándole un momento externo (negativo) a su eje, el deslizamiento se hace negativo
(8.3.2) y el momento electromagnético cambia de signo (8.6.22). Se invierte el sentido
del flujo de potencia (PCG1<0). La máquina pasa a ser un generador asincrónico
T
TM
Característica T(s)
para R1=0 y sM=0.2
2.00
1.80
1.60
1.40
1.20
1.00
.80
.60
.40
.20
.00
s
.00
.20
.40
.60
.80
1.00
Figura 8.6.2 Característica torque-deslizamiento y sus
aproximaciones.
Por otra parte, si con el rotor en movimiento se intercambia la conexión de dos fases a
la red, se cambia la secuencia de las corrientes y con ella cambia el sentido de giro del
campo giratorio, que ahora gira en sentido opuesto al sentido de giro del rotor. En esa
condición el deslizamiento es mayor que uno (s>1) y la potencia mecánica se hace
negativa (8.6.9), mientras que la potencia del campo giratorio del estator permanece
positiva (8.6.6). La máquina pasa a ser un freno de contracorriente. Las potencias
mecánica y eléctrica absorbidas por la máquina se convierten en calor en las
resistencias del rotor.
Escucho y olvido
Veo y recuerdo
Hago y comprendo
(Proverbio chino)
9. EJERCICIOS
Problema 1.1
En el circuito magnético de la figura se emplea chapa silicosa y fierro fundido, cuyas
características magnéticas están indicadas en la figura 1.3.3 de los apuntes.
chapa
silicosa
q=4cm2
l=30cm
I
N=300
fierro fundido
q=6cm2
l=6cm
entrehierro
1mm
a)
Determine la corriente continua necesaria para que en el entrehierro de 1mm se
establezca un campo cuya inducción sea igual a 0,9T.
Determine la inducción en el entrehierro si la corriente que excita el campo vale 10A.
Resolución
a)
Análisis preliminar
Se supone que el campo en el circuito magnético es homogéneo y que la dispersión
magnética en el entrehierro es despreciable. De esa manera se conoce el flujo en el
entrehierro y en las otras secciones del circuito magnético y se puede determinar el
valor de la inducción B en cada sección. Entrando con estos valores a la característica
de magnetización del material correspondiente, se determina el valor de la intensidad
de campo H asociado. Con H conocido se aplica la ley de Ampere al circuito magnético,
lo que permite determinar la corriente buscada.
Desarrollo
0,9 ⋅ 6
La inducción en la chapa silicosa vale B1 =
= 1,35T , valor al que corresponde
4
según la característica H1=0,14.104A/m. En el tramo de fierro fundido la inducción es la
misma que en el entrehierro y de la característica se obtiene el valor de la intensidad de
campo H2=0,85.104A/m. Para el entrehierro se logra H3=0,9/(4π.10-7)=71,6.104A/m. La
fmm resultante vale
IN = ∑ Hi li = 10 4 (0,14 ⋅ 0,3 + 0,85 ⋅ 0,06 + 71,6 ⋅ 0,001) = 420 + 510 + 716 = 1646 A
i
En consecuencia I=1646/300=5,5A.
9-181
Ejercicios y Problemas
b)
Análisis preliminar
Como sólo se conoce la fmm total disponible IN=3000A, pero no su distribución entre
los diferentes tramos del circuito magnético, es necesario resolver el problema
iterativamente: suponer un flujo inicial, calcular la fmm necesaria para el flujo supuesto y
compararla con la fmm disponible. La iteración termina cuando la diferencia entre las
fmms es menor que una toterancia dada (p.ej.1%).
Escriba un programa de acuerdo con el siguiente esquema de iteración:
Φ
Bi=Φ/qi
Hi
ΣHi li
Φ=Φ+∆Φ
Φ=Φ-∆Φ
ΣHi li : IN
Φ
Problema 1.2
Sea el circuito magnético de la figura adjunta, con las dimensiones en cm indicadas en
la figura adjunta, sobre cuya columna central está dispuesto un devanado de 736
vueltas. La característica magnética de las 171 chapas de 0,35 mm de espesor que
forman el núcleo está dada en la siguiente tabla:
Bmax T
1,2
Hef A/cm 1,8
1,3
2,3
1,4
3,8
1,5
7,6
1,6
14,8
1,7
26,0
18
a)
Si la rama derecha incluye un entrehierro de 0,1mm,
determine los flujos en las diferentes partes del circuito
magnético, si la inducción en la rama izquierda es de 1,6T.
Determine la corriente magnetizante para las condiciones de
saturación del punto anterior.
¿Qué fracción de la fmm se gasta en el entrehierro?
3
3
6
15
Problema 1.3
Sea el dispositivo cilíndrico de la figura adjunta. La bobina diametral montada en el
cilindro interior puede pensarse de sección transversal despreciable. La longitud axial
es de 6cm.
a) Determine la corriente necesaria para establecer en el entrehierro una inducción
media de 0,5T, considerando que la permeabilidad sea infinita.
9-182
Ejercicios y Problemas
b) Repita el punto a) considerando que el material es chapa silicosa. Haga
aproximaciones razonables.
3cm
0,5mm
10cm
200 vueltas
Problema 2.1
Para filtrar la corriente de salida de un rectificador monofásico de onda completa
alimentado desde una red de 50Hz se desea utilizar un reactor procedente de un avión
(110V, 400Hz). Se ha medido las pérdidas en el fierro con inducción constante e igual a
la nominal, obteniendo: 60W a 400Hz y 4,5W a 50Hz.
Determine el valor efectivo que podría alcanzar la componente fundamental de la
tensión rectificada, sin que sean sobrepasadas las pérdidas de fierro admisibles.
Problema 2.2
Sea un núcleo de permeabilidad infinita provisto de un entrehierro y de dos bobinas
caracterizadas por los parámetros R1=R2<<ωL1 y L1=L2 =L12.
Las dos bobinas están conectadas en serie y la bobina 2 puede ser cortocircuitada
mediante un interruptor.
Si I es la corriente a través de la bobina 1, I2 es la corriente a través de la bobina 2 e I3
es la corriente a través del interruptor, determine I2 e I3 en términos de I cuando
a)
el interruptor está cerrado e I es una corriente alterna,
b)
el interruptor está cerrado e I es un corriente continua.
Justifique sus respuestas.
Problema 2.3
Sea un núcleo de chapas silicosas con permeabilidad µ fe = 500 ⋅ µ 0 cuya sección
cuadrada mide 20cm2 y cuya longitud es de 50cm. El núcleo posee un entrehierro de
2mm y sobre él están enrolladas dos bobinas de 280 y 40 vueltas respectivamente. A
los terminales de la bobina de 280 vueltas está conectado un condensador C y la
bobina de 40 vueltas está conectada, en serie con una resistencia de 5Ω a la fuente de
alimentación.
a)
Determine el circuito equivalente para el dispositivo descrito, suponiendo que la
dispersión sea despreciable.
b)
Si la tensión de la fuente es v=35sen(1883 t) y el valor de la capacidad del
condensador es tal que la impedancia de entrada del circuito sea infinita, determine el
valor máximo de la inducción en el entrehierro.
c)
Determine el valor del condensador usado en b)
Ejercicios y Problemas
9-183
Problema 2.4
Sea un material de imán permanente con la característica adjunta.
B/T
0
1,45 1,54 1,44 1,35 1,30 1,25 1,20 1,10 0,8 0
H/kA/m 60
70
80
40
0
-20 -40 -45 -50 -56 -60
a)
Para magnetizar a un imán de 5cm de longitud y sección cuadrada de 10cm2 se
lo incorpora a un circuito magnético cerrado formado por fierro ideal, provisto de una
bobina de 100 vueltas. Si el flujo inicial es cero, determine el valor máximo de la
corriente, necesario para producir una inducción remanente de 1,35T.
b)
Determine en forma aproximada la energía requerida para magnetizar el imán en
las condiciones indicadas en a). La resistencia de la bobina sea despreciable.
c)
Determine el valor de la inducción para la cual el producto BH es máximo.
d)
Determine la sección óptima de un imán de 50cm3 , incorporado a un circuito
magnético formado por fierro ideal y un entrehierro de 5cm2 y 2mm de longitud. ¿Cuál
es la inducción en el entrehierro?
Resolución
a)
Análisis preliminar
Para que el imán quede con la inducción de remanencia de 1,35T de la característica,
es necesario magnetizarlo hasta el vértice (en el primer cuadrante de la característica
BH ), es decir, la fuerza magnetomotriz debe ser tal que H sea igual a 80000A/m.
Desarrollo
Aplicando la ley de Ampere a lo largo del circuito magnético, H i l i = i N , se tiene que
80000 ⋅ 0,05
i =
= 40 A .
100
b)
Análisis preliminar
Como la curva virgen no está indicada, puede suponerse que la energía suministrada
por unidad de volumen corresponde aproximadamente al área encerrada por el lazo de
histéresis en el primer cuadrante. El valor así determinado es algo mayor que el valor
real. Como se trata de una primera aproximación, el lazo de histéresis puede ser
aproximado por un rectángulo del mismo área.
Desarrollo
El área es aproximadamente wm = 80000 ⋅ 14
, = 112000J / m 3 , y como el volumen es de
V = 0,1⋅ 0,05 = 0,005m 3 , la energía requerida, que en ausencia de pérdidas es igual a la
energía acumulada, es W m = 112000 ⋅ 0,005 = 560J .
c)
Análisis preliminar
Una primera aproximación se logra al determinar el punto de intersección de la
característica en el segundo cuadrante con la diagonal del rectángulo BrHc y a partir de
este valor (1,2x45000=54000Ws) habría que tantear en forma sistemática.
Alternativamente se puede proceder en forma gráfica trazando y evaluando BH(B).
d)
Análisis preliminar
9-184
Ejercicios y Problemas
Se sabe que para volúmenes de imán y de entrehierro dados la inducción en el
entrehierro es máxima cuando el producto Bi Hi es máximo, por lo tanto, se determina Ba
a partir del producto determinado en c) y se calcula la sección del imán a partir de la
condición de continuidad del flujo:
B
qi = qa a .
Bi
Desarrollo
A partir de los valores de primera aproximación del punto c) se tiene que
qi l i
50
Ba =
µ 0 Bi H i =
4 π10 −7 54000 = 18
, T
qa l a
1
por lo que
18
,
qi = 5
= 7,5cm 2
12
,
Debido a que la sección del entrehierro es menor que la del imán, la inducción en el
entrehierro es mayor que en el imán.
El cálculo no incluye el efecto de la dispersión magnética en el entrehierro.
Problema 2.5
Sea un transformador con núcleo acorazado, con las dimensiones en cm
indicadas en la figura adjunta, sobre cuya columna central están dispuestos dos
devanados de 172 y de 736 vueltas respectivamente. La característica magnética a
corriente alterna de las 171 chapas de 0,35 mm de espesor está dada en la siguiente
tabla:
Bmax T
1,2
Hef A/cm 1,8
a)
b)
1,3
2,3
1,4
3,8
1,5
7,6
1,6
14,8
1,7
26,0
Si al devanado de172 vueltas se aplica una tensión
de 220V, 50Hz, determine la corriente magnetizante.
Determine la inductancia vista desde los terminales
de la bobina de 736 vueltas.
Problema 3.1
Un transformador monofásico de 220V, 50Hz posee un núcleo toroidal con un diámetro
interior de 10cm, un diámetro exterior de 18cm y una sección cuadrada.18El núcleo está
armado de chapas silicosas de las siguientes características :
3
Bm
AVef /cm
Pfe
0,8
0,40
0,71
1,0
0,48
1,05
1,2
0,67
1,50
1,4
1,50
2,10
1,5
4,0
2,45
1,6
10,5
2,85
T
A/cm
W/kg
3
6
15
γfe=7,6kg/dm3
El devanado de 220V es de 1 capa de 420 vueltas uniformemente enrolladas sobre el
núcleo.
Ejercicios y Problemas
9-185
a)
Determine los parámetros de la rama de magnetización del circuito equivalente
(Xm, Rfe)
b)
Determine la constante de tiempo de cortocircuito del transformador si con el
secundario cortocircuitado se midió en el primario 2,1A y 26,6W al aplicar una tensión
alterna de 14V y 50Hz.
Resolución
a)
Análisis preliminar
Se trata de un transformador toroidal, del tipo usado en el Laboratorio de Mediciones
Eléctricas. La geometría y las características del núcleo están dadas. La tensión alterna
impone el flujo por lo que se puede determinar la inducción máxima y con ella las
pérdidas en el fierro y la corriente magnetizante, a partir de las cuales se determina los
parámetros de la rama de magnetización.
Desarrollo
Debido a que el enrollado encierra al flujo en el volumen del toroide, todas las vueltas
del devanado abrazan el mismo flujo, por lo que éste se puede calcular a partir de
V
220
Φm =
=
= 0,0024 Wb
4,44Nf 4,44 ⋅ 420 ⋅ 50
La sección del núcleo vale
 de − d i 2
2
 = ( 0,04) = 16 ⋅ 10 −4 m 2
q fe = 
 2 
Suponiendo campo homogéneo en el interior del núcleo , la inducción se calcula como
Φ
0,0024
Bm = m =
= 15
, T
q fe 16 ⋅ 10 −4
Las pérdidas de fierro específicas correspondientes a este valor de inducción se
determinan mediante interpolación lineal a partir de la característica dada. En este caso
se obtiene directamente
W
p fe = 2,45
kg
A partir del volumen
d + di 
 0,18 + 0,10 
 ⋅ π = 16 ⋅ 10 −4 
 ⋅ π = 7,04 ⋅ 10 − 4 m 3
Vol = q fe  e


 2 
2
y el peso
kg
G fe = γ feVol = 7,6
⋅ 0,704dm 3 = 5,35kg
dm 3
se calcula las pérdidas de fierro en el núcleo como
Pfe = p feG fe = 2,45 ⋅ 5,35 = 13,1W
En el circuito equivalente estas pérdidas están representadas mediante una resistencia
a cuyos terminales está aplicada la tensión de 220V, por lo que el valor de esta
resistencia debe ser
Ejercicios y Problemas
9-186
V 2 220 2
=
= 3695 Ω
Pfe
13,1
Por otra parte, la corriente magnetizante se determina a partir de la Ley de Ampere,
utilizando el valor de H obtenido mediante interpolación lineal de la característica dada.
En el presente caso se obtiene directamente
A
Hfe = 4
cm
por lo que a partir de
Rfe =
I m N = Hfe l m
se calcula
400 0,18 + 0,10
Im =
⋅
⋅ π = 0,42A
420
2
El valor de la reactancia correspondiente en el circuito equivalente se calcula como
V
220
Xm =
=
= 524Ω
I m 0,42
b)
Análisis preliminar
Con el secundario cortocircuitado y con el primario conectado a una fuente de tensión
reducida el flujo en el núcleo también se reduce fuertemente con lo que las pérdidas en
el fierro se hacen despreciables frente a las pérdidas en el cobre y la corriente
magnetizante se hace despreciable frente a la corriente de cortocircuito. El circuito
equivalente se reduce a un circuito serie RL.
Desarrollo
La impedancia de cortocircuito vale
V
14
Zcc = cc =
= 6,7Ω
I cc 2,1
y , debido a la conexión serie de los elementos, la resistencia equivalente de los
devanados se calcula como
P
26,6
Re = cc2 =
= 6,03Ω
2,12
I cc
A partir de estos valores se determina la reactancia equivalente como
X e = Zcc 2 − Re 2 = 2,92Ω.
La constante de tiempo de un circuito RL serie se define como
L
X
2,92
T= = e =
= 154
, ms
R ωRe 314 ⋅ 6,03
Si se aplicara una tensión escalón de 1V al transformador cortocircuitado, la corriente
crecería de acuerdo con la función
1
i (t ) =
( 1− e −t 0,0015 ) A .
6,03
Nota:
Este problema fue parte del primer certamen 95 para el cual la nota media
fue de 41%. Las principales dificultades fueron :
Ejercicios y Problemas
9-187
Interpretación de los datos (la sección cuadrada causó estragos)
Relación del aparato descrito con el modelo
Adaptación y manejo del modelo
Incorporación de conceptos vistos en otras asignaturas (constante de tiempo de
un circuito serie)
Problema 3.2
El núcleo del transformador del problema 3.1 se provee de un entrehierro de 1,5mm
a)
Determine el valor efectivo de la tensión alterna de 50Hz que debe aplicarse a la
bobina de 420 vueltas para que la corriente absorbida sea de 4A
b)
Si el conductor de cobre (ρ=0,018Ωmm2/m) es de sección circular, determine la
resistencia a corriente continua de la bobina.(Justifique)
Problema 3.3
Un transformador monofásico de 100kVA, 13200/230V, 50Hz, fue sometido a un ensayo
en cortocircuito con corriente nominal, midiéndose 528V y 1590W. Ensayado en vacío
con tensión nominal se midió 4,5A y 318W.
a)
Determine los parámetros del circuito equivalente T y expréselos en (pu), en Ω
referidos al devanado de alta tensión y en Ω referidos al devanado de baja tensión.
b)
Para una carga de 80kVA, cosϕ=0,8 cap., determine las corrientes en las ramas
del circuito equivalente y expréselas en (pu), en A referidas al lado de alta tensión y en
A referidas al lado de baja tensión.
c)
Exprese las pérdidas nominales en (pu) y determine el rendimiento nominal del
transformador.
d)
Determine la regulación del transformador para las condiciones indicadas en b).
e)
Se desea utilizar el transformador en una red de 60Hz y 13,2kV. Determine las
pérdidas en el fierro nominales en esa condición suponiendo que de las pérdidas
medidas a 50Hz 2/3 corresponden a pérdidas por histéresis y 1/3 a pérdidas por
corrientes parásitas.
Resolución
a)
Análisis preliminar
Se trata de un transformador de distribución, por lo que la tensión de cortocircuito
debería ser una pequeña fracción (<10%) de la tensión nominal y la corriente de vacío
debería ser del orden de un 1% de la corriente nominal. En consecuencia se puede
concluir que las mediciones en vacío fueron realizadas en el lado de baja tensión y que
las mediciones en cortocircuito fueron realizadas en el lado de alta tensión. Del ensayo
en cortocircuito sólo se puede obtener X σ y Re , por lo que deberá aplicarse la regla:
R1=R’ 2=Re/2 y X 1=X’2=X σ/2 , para obtener los parámetros del circuito equivalente T.
Desarrollo
Las corrientes nominales en los lados de alta y de baja tensión son respectivamente:
P
P
10010 3
10010 3
I 1n = n =
= 7,58 A
e
I2 n = n =
= 435A
V1n
13200
V2n
230
De las mediciones en cortocircuito se tiene que
9-188
Ejercicios y Problemas
z e = v cc =
528
= 0,040 (pu)
13200
y que re =
Pcu n
Pn
=
1590
= 0,016 (pu)
10 5
x σ = z e2 − re2 = ( 0,04) 2 − ( 0,016) 2 = 0,037 (pu).
Las impedancias base son:
V
13200
Z b 1 = 1n =
= 1741Ω
en el lado de alta tensión y
I1n
7,58
V
230
Zb 2 = 2n =
= 0,53Ω
en el lado de baja tensión.
I 2 n 435
Por lo tanto, las impedancias en Ω son respectivamente:
Re = re Z b 1 = 0,016 ⋅ 1741 = 27,9Ω
X σ = x σ Z b 1 = 0,037 ⋅ 1741 = 64,4Ω
referidas al lado de alta tensión y
Re = re Z b 2 = 0,016 ⋅ 0,53 = 0,0085 Ω
X σ = x σ Z b 2 = 0,037 ⋅ 0,53 = 0,0196 Ω
referidas al lado de baja tensión.
Para los parámetros de la rama de excitación se usará un procedimiento alternativo,
determinando primeramente los valores en Ω referidos al lado de baja tensión:
V2
( 230) 2
Rfe = 2 n =
= 166Ω
Pfe
318
Qo = S02 − Pfe2 = ( 230 ⋅ 4,5) 2 − ( 318) 2 = 985VA
V22n ( 230) 2
=
= 53,7Ω
Q0
985
Referidos al lado de alta tensión los parámetros toman los valores:
Xm =
2
V 
 13200 
Rfe = 166 ⋅  1n  = 166 ⋅ 
 = 547kΩ
 230 
 V2 n 
2
2
2
 V1n 
 13200 
X m = 53,7 ⋅ 
 = 53,7 ⋅ 
 = 177kΩ
 230 
 V2n 
En (pu) resulta:
R
166
rfe = fe =
= 313( pu )
Z b 0,53
xσ =
X m 53,7
=
= 101( pu )
Zb
0,53
b)
Análisis preliminar
En la práctica las cargas se suelen dar en kVA y no en Ω, asumiendo tácitamente que la
tensión aplicada es la nominal. No debe perderse de vista el objetivo del cálculo
Ejercicios y Problemas
9-189
numérico, por lo que su precisión sólo debe ser la mínima necesaria. Un resultado no
puede ser más exacto que los datos que le sirvieron de base.
Desarrollo
La corriente en la carga se calcula como
80 ⋅ 10 3
Ic =
= 348 A
230
Ic = 348∠ − a cos(0,8 ) = 348∠ − 36,9 º
La caída de tensión en el secundario es
Ic ⋅ 21 (Re + j X σ ) = 348∠ − 36,9º⋅ 21 ⋅ (0,0085 + j 0,0196 ) = 4,1∠29,7
y sumada a la tensión secundaria 230∠ 0ºda como tensión inducida por el flujo común
Vi = 233,6∠ 0,5º.
La corriente magnetizante vale
Vi
233,6∠ 0,5º
Im =
=
= 4,35∠ − 89,5 º
j Xm
53,7∠ 90º
La corriente de pérdidas vale
V
233,6∠ 0,5º
Ife = i =
= 141
, ∠0,5º
Rfe
166
La corriente de vacío vale
I0 = I fe + I m = 4,57 ∠ − 716
, º
La corriente primaria, referida al secundario, vale
I1 = Ic + I 0 = 348∠ − 36,9 + 4,57∠ − 716
, = 352∠ − 37,3º
Las corrientes referidas al lado de alta tensión se obtienen multiplicando a las corrientes
N
V
230
referidas al lado de baja tensión por 2 = 2 n =
= 0,0174 .
N1 V1n 13200
Las corrientes en (pu) se logran dividiendo las corrientes referidas al secundario por la
corriente base, es decir, I 2 n = 435 A .
c)
Análisis preliminar
El rendimiento del transformador es el cuociente entre potencia entregada y potencia
absorbida
P
Putil
η = util =
Pabs Putil + Pfe + Pcu
Desarrollo
318
Pfen =
= 0,0032 (pu)
100 ⋅ 10 3
1590
Pcu n =
= 0,0159 (pu)
100 ⋅ 10 3
1
ηn =
= 0,98 = 98% , suponiendo cosϕ=1.
1 + 0,0032 + 0,0159
d)
Análisis preliminar
Ejercicios y Problemas
9-190
Para la regulación a plena carga se había derivado la expresión
ε n = re cos ϕ + x σ sen ϕ .
Cuando la corriente es distinta a la corriente nominal se logra a partir de la definición:
R I
X I
I
ε = e 2 cos ϕ + σ 2 sen ϕ = 2 ( re cos ϕ + x σ sen ϕ )
V20
V20
I 2n
Desarrollo
ε = 0,8( 0,016 ⋅ 0,8 + 0,037 ⋅ 0,6 ) = 0,028 = 2,8%
e)
Análisis preliminar
Debido a la relación V = 4,44 ⋅ N ⋅ f ⋅ Φ , el producto f ⋅ Φ debe permanecer constante,
por lo que el aumento de frecuencia implica una disminución del flujo y por ende de la
inducción.
Las pérdidas por histéresis PH = CH ⋅ fB 2 = CH′ B disminuyen linealmente con la
inducción, mientras que las pérdidas por corrientes parásitas PF = CF ⋅ ( fB) 2
permanecen constantes.
Desarrollo
B60 50
PH 60 B60 50
=
=
=
= 0,833
B50 60
PH 50 B50 60
PF 60 = PF 50 = 31 ⋅ 318 = 106W
PH 60 = 0.833 ⋅ 32 ⋅ 318 = 177W
Pfe60 = 106 + 177 = 283W
Problema 3.4
Un transformador monofásico de 50kVA, 1200/240V, 50Hz, vcc =3,6%, tiene pérdidas de
cortocircuito nominales de 1,8% de la potencia nominal. El rendimiento nominal es de
97,9%. Determine:
a)
La regulación máxima y el factor de la potencia de la carga para el cual se
produce.
b)
El rendimiento máximo y la corriente en la carga para la cual se produce.
c)
La corriente de cortocircuito en el lado de alta tensión, expresada en A y en
(pu) .
d)
La regulación del transformador si en el lado de baja tensión se conecta una
impedancia de (0,65+j0,85)Ω.
Problema 4.1
Sea una máquina de rotor cilíndrico de 0,2m de diámetro y 0,3m de longitud axial. El
entrehierro mide 0,6mm.
El estator está provisto de un devanado trifásico de 4 polos, 2 ranuras por polo y por
fase y 20 vueltas por bobina.
a)
Determine la inductancia mutua entre dos fases.
b)
Determine la corriente absorbida, si el estator conectado en estrella sin neutro es
alimentado desde una red monofásica de 220V, 50Hz, (una fase queda abierta).
Ejercicios y Problemas
9-191
c)
Si el rotor está provisto de un devanado monofásico de paso completo,
alimentado con 10A de corriente continua, que produce una distribución espacial de
inducción triangular cuyo valor máximo es de 0,6T, determine el valor de la tensión
entre líneas inducida en el devanado del estator cuando el rotor gira a 1500rpm.
d)
Determine la tensión inducida en el devanado monofásico del rotor, si éste está
detenido y el estator está conectado a una red trifásica de 380V, 50Hz.
Resolución
a)
Análisis preliminar
Como se trata de una máquina de entrehierro constante, la inductancia mutua entre dos
fases del estator es constante. El hecho que las dos fases se encuentren en el estator
no cambia ni el razonamiento ni el resultado obtenido en el párrafo 4.4 de los apuntes.
Sólo debe considerarse que el ángulo de desplazamiento entre las fases es de 120º. El
devanado, al ser de una capa, está hecho con bobinas de paso completo, por lo que el
factor de cuerda vale fc =1.
Desarrollo
N1e f = N1 ⋅ f d 1 = N1 ⋅ f z 1
N1 = q 1 ⋅ p ⋅ Nbob = 2 ⋅ 2 ⋅ 20 = 80 vueltas por fase
sen(q 1β / 2) sen( 2 ⋅ π / 12)
fz 1 =
=
= 0,966
q 1 sen(β / 2) 2 sen( π / 12)
p ⋅ 2π
π
π
=
=
q1 ⋅ 2p ⋅ m q1 ⋅ m 6
N1 e f = 80 ⋅ 0,966 = 77,3
β=
L12 =
4
R ⋅l
µ0
( N1e f ) 2 cos( 2π / 3) = −0,06 Hy
2
π
δ⋅ p
b)
Análisis preliminar
La reactancia correspondiente a la conexión serie de dos fases se puede determinar, ya
sea a través de la inductancia equivalente de dos bobinas acopladas inductivamente
Leq=L1+L2-2L12=3L1 , ya sea como inductancia propia de un devanado distribuido que
ocupa 2/3 de las 24 ranuras del estator. A la vista del resultado del punto a) en este
caso resulta más directo el cálculo de la inductancia equivalente.
Desarrollo
X 1 = 2π ⋅ f ⋅3L1 = 2π ⋅50⋅6⋅L12 =113Ω
V 220
I=
=
= 1,95A
X1 113
c)
Análisis preliminar
La distribución de inducción triangular producida por el rotor se compone de la
fundamental y de armónicas impares, de las cuales la más fuerte es la tercera. Las
tensiones inducidas por la tercera armónica en las tres fases están en fase entre sí y
por lo tanto no aparecen en la tensión de línea, que es la diferencia entre dos tensiones
de fase. En consecuencia basta con limitar el análisis a la fundamental.
Ejercicios y Problemas
9-192
Desarrollo
La fundamental de la onda triangular vale
8
B1 = 2 Bmax =0,81⋅ 0,6 =0,485T
π
2
2 2πR
Φ p = B1 ⋅ τ p ⋅ l = B1
l = B1 ⋅ R ⋅ l =0,0146Wb
π
π
2p
p ⋅ n 2 ⋅1500
f =
=
=50Hz
60
60
V = 3 ⋅4,44⋅f ⋅ Ne f ⋅ Φ p = 3 ⋅4,44 ⋅ 50 ⋅ 77,3 ⋅ 0,0146 =434V
d)
Análisis preliminar
Si el rotor, con una corriente de 10A, produce una distribución de inducción triangular
con valor máximo de 0,6T, se tiene que a partir de la relación entre B y H y la ley de
Ampere
B
iN
H max = max =
,
µ0
2δp
de donde se puede determinar el número de vueltas en serie del rotor. El ancho de
zona del devanado monofásico del rotor es q 2β2= 180º y el factor de zona, con
q 2 → ∞ y ∴ β →0 , es
sen(q 2β 2 / 2) sen(π / 2) 2
fz =
≈
= ,
q 2 sen(β 2 / 2)
π /2
π
por lo que el número de vueltas efectivo es
Ne f = fz ⋅ N ,
si se considera que las bobinas no están acortadas.
Con el flujo por polo, impuesto por la tensión de la red, y el número de vueltas del
devanado del rotor se calcula la tensión inducida en éste.
Desarrollo
B ⋅ 2 ⋅ δ ⋅ p 0,6 ⋅ 2 ⋅0,6 ⋅10 − 3 ⋅2
N2 =
=
=114
µ0 ⋅ i
4 π ⋅10 −7 ⋅10
2
N2 e f = ⋅114 =72,6
π
V1
380 3
Φp =
=
=0,0128Wb
4,44 ⋅ f ⋅ N1e f 4,44 ⋅ 50 ⋅77,3
V2 = 4,44 ⋅ f ⋅ N2 e f ⋅ Φ p = 4,44 ⋅ 50 ⋅ 72,6 ⋅ 0,0128 = 207V .
Problema 4.2
Sea una máquina doblemente cilíndrica. El estator, de 12 ranuras, esté provisto de un
devanado trifásico de dos polos, 2 capas, donde cada bobina posee 10 vueltas y un
paso igual a 83,3% del paso polar. El rotor, de igual número de ranuras que el estator,
está provisto de un devanado bifásico de dos polos, donde cada bobina es de 20
vueltas y tiene su paso acortado en un paso de ranura.
Ejercicios y Problemas
9-193
El rotor tiene una posición tal que una fase del estator está alineada con una fase del
rotor.
a)
Si el devanado trifásico es excitado con un sistema de corrientes simétricas de
10A valor efectivo, determine el valor efectivo de un sistema de corrientes bifásicas que,
circulando en el devanado del rotor, anule el campo resultante en el entrehierro
b)
¿Cuál es la relación entre las tensiones de fase del estator y del rotor, inducidas
por el flujo en el entrehierro, si el estator está conectado a una red trifásica simétrica y
el rotor está abierto?
c)
Si el entrehierro es de 0,5mm, el diámetro interior del estator de 20cm y la
longitud axial del rotor de 15cm, determine las inductancias propias y mutuas entre los
diferentes devanados.
d)
¿cuál es la corriente absorbida desde la red trifásica, si el devanado del rotor
está abierto y el valor medio de la inducción en el entrehierro es de 0,55T? ¿Cuál es el
valor efectivo de la tensión de 50Hz aplicada al devanado?
e)
Dibuje en forma desarrollada tanto el devanado del estator como el del rotor.
Resolución
a)
Análisis preliminar
El devanado trifásico produce una distribución espacial de fmm cuya amplitud es igual a
3/2 veces la amplitud de la fmm producida por una fase. El devanado bifásico produce
una distribución espacial de fmm cuya amplitud es igual a la de una fase.
Para que las distribuciones de fmm del estator y del rotor se anulen, sus amplitudes
deben ser iguales y estar en oposición de fase
3
N ⋅ I = Nr ⋅ Ir
2 e e
Desarrollo
Z
2π
Con q =
y
β=
2p ⋅ m
Z
el número de vueltas efectivo del devanado trifásico de 2 capas es
2π
sen(2
)
sen(qβ/ 2)
12 ⋅ 2
π
N e =2 ⋅ q ⋅ N b e ⋅
⋅ cos(α / 2) = 2 ⋅ 2 ⋅10 ⋅
⋅ cos( ) = 37,3
π
q ⋅ sen(β / 2)
12
2 ⋅ sen( )
12
El número de vueltas efectivo del devanado bifásico vale
3π
sen( )
12 ⋅ cos( π ) = 105,6
Nr = 2⋅ 3 ⋅ 20 ⋅
π
12
3 ⋅ sen( )
12
En consecuencia la corriente bifásica equivalente vale
3 37,3
Ir = ⋅
⋅10 = 5,3 A .
2 105,6
Nótese que un devanado trifásico siempre puede ser reemplazado por un
devanado bifásico equivalente (y viceversa).
Ejercicios y Problemas
9-194
b)
Análisis preliminar
El valor efectivo de la tensión inducida por fase es, independientemente del número de
fases,
V =4,44 ⋅ Ne f ⋅ f ⋅ Φ p .
Como el flujo por polo y la frecuencia son los mismos para ambos devanados, la
relación entre las tensiones inducidas es igual a la relación entre el número de vueltas
efectivos por fase de los respectivos devanados.
Desarrollo
V2 Φ N2Φ 105,6
=
=
= 2,82
V3 Φ N3 Φ
37,3
c)
Análisis preliminar
Para la inductancia mutua entre dos devanados i y j rige
4
R⋅l
Li j = ⋅ µ 0 ⋅
⋅ Ne f i ⋅ Ne f j ⋅ cos( γ j − γ i ) , expresión que también rige para las
π
δ ⋅p2
inductancias propias si se hace Ne f i = Ne f j
y γ i = γ j . Como todos los parámetros
son conocidos, el cálculo es trivial.
Desarrollo
La inductancia propia de una fase del estator (fase a) vale
4
0,1⋅ 0,15
Le, a = ⋅ 4 π10 − 7 ⋅
⋅ ( 37,3 ) 2 = 66,8 mH
−3
π
0,5 ⋅10 ⋅1
La inductancia mutua entre dos fases del estator vale
1
Le, a b = Le ,a ⋅ cos(2 π/ 3)= − Le, a = −33,4mH
2
La inductancia mutua entre las fases alineadas del estator y del rotor vale
Le r = 48 ⋅10 − 6 ⋅37,3 ⋅105,6 = 189mH
La inductancia propia de una fase del rotor (fase α) vale
Lr , α = 48 ⋅10 − 6 ⋅ (105,6) 2 = 535mH .
La inductancia mutua entre dos fases del rotor vale cero, pues están desplazadas en
90º eléctricos.
d)
Análisis preliminar
Como la distribución de la inducción en el entrehierro es sinusoidal, su valor máximo
vale Bmax = π/2 Bmed . Suponiendo que la permeabilidad del fierro sea infinita, el valor
máximo de la fmm vale
δ π
Fmax = δ ⋅ H max =
B
y es igual a 3/2 veces la amplitud de la onda de fmm
µ 0 2 med
producida por una fase, es decir,
3 4 Ne × 2 ×I
Fmax =
.
2p
2p
Ejercicios y Problemas
9-195
1 π p π δ
Bmed .
2 3 Ne 2 µ 0
La tensión inducida en una fase del devanado trifásico es igual a la corriente por la
inductancia de campo giratorio
3
1 π2 δ p
3 4
R ⋅l 2
V = I ⋅2π ⋅ f ⋅ ⋅ Le =
Bmed ⋅ 2π ⋅ f ⋅ ⋅ µ o
Ne
2
2 π
δ⋅ p2
2 6 µ 0 Ne
V = 4,44 ⋅ f ⋅ Φ p ⋅ Ne
En consecuencia I =
Alternativamente podría determinarse primero la tensión inducida con
π⋅R⋅l
Φ p ⋅ = Bmed ⋅ τ p ⋅ l = Bmed
p
y calcular en seguida
V
I=
2π ⋅ f ⋅ 32 Le
Desarrollo
Φ p = 0,55 ⋅ π ⋅ 0,1⋅ 0,15 = 0,026Wb
V = 4,44 ⋅ 50 ⋅ 37,3 ⋅ 0,026 = 215V
215
I=
= 68A
2π ⋅ 50 ⋅15
, ⋅ 66,8 ⋅ 10 − 3
e)
Análisis preliminar
Suponiendo que se trata de un devanado de ancho de zona igual a 60º, cada fase del
12
devanado de dos capas del estator consta de 2 grupos de q =
=2 bobinas
2⋅3
desplazadas en 180º eléctricos.
Cada fase está desplazada respecto a la que le antecede en 120º eléctricos.
En el devanado del rotor el desplazamiento entre las dos fases es de 90º eléctricos y el
12
número de ranuras por polo y por fase es q r =
=3 .
2⋅2
Problema 4.3
Un estator de 72 ranuras está provisto de un devanado trifásico de 8 polos formado por
bobinas acortadas de 10 vueltas y paso 7/9. Las bobinas correspondientes a cada fase
están conectadas en serie y las tres fases están conectadas en estrella. La tensión de
línea es de 2598V, 50Hz.
Se requiere rebobinar este estator para 4 polos, manteniendo el acortamiento relativo,
la tensión de fase y la frecuencia.
Determine el número de vueltas que debe tener cada bobina del nuevo devanado para
que la inducción media en el entrehierro permanezca constante.
Problema 4.4
Una máquina de corriente continua posee un rotor de 8cm de diámetro y 3cm de
longitud axial, provisto de un devanado imbricado simple de 2 polos distribuido en 23
Ejercicios y Problemas
9-196
ranuras. El paso de las bobinas es de 11 ranuras (1-12) y la zapata polar cubre el 70%
del paso polar.
La inducción en el entrehierro sea de 1T bajo la zapata polar y de 0T en el espacio
entre los polos.
a)
Haga un dibujo en desarrollo del devanado indicando también la ubicación de los
polos y la ubicación de las escobillas sobre el conmutados. El ancho de una escobilla
sea igual al ancho de una delga.
b)
Determine el número de vueltas de una bobina del devanado, si la tensión
inducida entre los terminales de la armadura, cuando esta gira a 1500rpm, es de 48V.
c)
Determine la distribución espacial de fmm producida por el devanado de
armadura, cuando por los terminales de esta circulan 10A.
d)
Repita los puntos a),b) y c) para el caso en que la máquina tenga cuatro polos y
bobinas de paso 5 (1-6).
Problema 5.1
Un imán permanente de 24cm de longitud y sección circular de 12cm2 posee la
siguiente característica B(H)
B(T)
0,60 0,52 0,40 0,18 0,0
H(A/cm)
0,0
-100 -200 -300 -350
El imán permanente tiene forma de U y el circuito magnético incluye dos entrehierros
iguales y un yugo de fierro ideal, que es mantenido en su posición por un resorte que
ejerce una fuerza de 240N.
Determine la longitud de los entrehierros.
Análisis preliminar
La fuerza del resorte es equilibrada por las fuerzas electromagnéticas ejercidas por los
dos extremos del imán sobre el yugo. Este hecho permite calcular la tensión de Maxwell
y a partir de ella la inducción en el entrehierro. Conocida la inducción en el imán el
problema se reduce a resolver un circuito magnético serie.
Desarrollo
F
240
N
σ =
=
= 10 5 2
−4
2q
2 ⋅ 12 ⋅ 10
m
Ba = 2µ 0 σ = 0,50 T
Suponiendo dispersión magnética despreciable, Ba = Bi , por lo que, de acuerdo con
Ampere, H i ⋅ l i = 2Ha ⋅ la .
l
Bi = µ 0 i H i .
2l a
Interpolando en la característica con B i=0,50T se logra H i=1,17 104A/m y se calcula
Hi li
, ⋅ 10 4 24
−7 117
la = µ 0
= 4π ⋅ 10
= 3,5mm
Bi 2
0,5
2
Problema 5.2
Sea un dispositivo formado por dos cilindros concéntricos de longitud axial 30mm. El
diámetro interior del cilindro exterior es de 40mm y el diámetro exterior del cilindro
Ejercicios y Problemas
9-197
interior (móvil) es de 36mm. Estator y rotor están provistos de sendas bobinas
diametrales de 200 vueltas, que están conectadas en serie.
Si un resorte espiral de rigidez 0,06Nm/rad desplaza los ejes magnéticos de las dos
bobinas en 30º cuando la corriente por ellas es nula, determine el valor de la corriente
que causa un desplazamiento del rotor de 12º desde la posición de equilibrio sin
corrientes.
Análisis preliminar
El torque tiene su origen en la variación de la inductancia mutua entre las dos bobinas y
, dada la conexión, depende cuadráticamente de la corriente.
La inductancia mutua tiene el valor máximo
πRl
L12 = µ 0
N1N2
2d
y varía linealmente con la posición angular del rotor δ, alcanzando el valor 0 para δ=π/2.
Desarrollo
Cuando el rotor se ha desplazado en 12º el momento vale
π
T = 0,06 ⋅ 12
= 0,0126 Nm
180
dL12(δ )
L
Te = i 2
= i 2 π12 = 0,0143 i 2
dδ
2
i =
0,0126
= 0,094 A
0,0143
Problema 5.3
En un dispositivo formado por dos cilindros concéntricos, separados por un entrehierro
de 0,5mm, están dispuestas dos bobinas diametrales, una en el estator y la otra en el
rotor. El diámetro del rotor es de 20cm y su longitud axial es de 25cm. Cada bobina
posee 25 vueltas y una resistencia óhmica de 0,2Ω.
La bobina del rotor está cortocircuitada y la del estator está conectada a una fuente
alterna de 220V, 50Hz.
a) Determine la corriente absorbida en condiciones estacionarias por el dispositivo.
Si en el rotor se monta una segunda bobina, cortocircuitada y desplazada respecto a la
primera en 90º,
b) determine el ángulo entre la primera bobina del rotor y la bobina del estator.
a)
Análisis preliminar
El flujo alterno induce tensiones en la bobina cortocircuitada del rotor, en la que
circulará corriente. En consecuencia se desarrollará un momento electromagnético que
girará el rotor a la posición en que la energía del campo en el entrehierro sea máxima.
Esta corresponde a un ángulo de 90º entre las dos bobinas, para el cual la inductancia
mutua y, por lo tanto, la corriente en el rotor es nula.
En consecuencia, la corriente en el estator sólo está determinada por la inductancia
propia de la bobina del estator.
Desarrollo
Ejercicios y Problemas
9-198
πRl 2
π ⋅ 0,1 ⋅ 0,25
N1 = 4π 10 −7 ⋅
⋅ 25 2 = 61,7mH
2d
2 ⋅ 0,0005
V
220
I1 =
=
= 11,4 A
ω L1
314 ⋅ 61,7 ⋅ 10 −3
b)
Análisis preliminar
El flujo enlaza a las dos bobinas en sentido inverso, por lo que las respectivas
corrientes están en oposición de fase y los momentos tienen sentidos opuestos. La
posición de equilibrio se produce cuando los momentos son iguales y opuestos, lo que
corresponde a la posición en que los flujos enlazados son iguales y opuestos, es decir,
para 45º.
L1 = µ 0
Problema 5.4
La curva de magnetización de un electroimán con un entrehierro de 2,5mm está dada
por la relación ψ=2,8i/(0,12+i). Una modificación del entrehierro cambió esta relación a
ψ‘=2,8i/(0,10+i). Dibuje las características ψ(i) y ψ‘(i) en un mismo gráfico hasta i=1,5A y
determine:
a) El aumento o disminución del entrehierro. Haga suposiciones razonables.
b)La energía eléctrica absorbida y el aumento o disminución de la coenergía magnética
al variar el entrehierro manteniendo la corriente constante en 0,15A, es decir, en el valor
que tenía cuando el entrehierro era de 2,5mm.
c) La fuerza media durante la variación del entrehierro. ¿El electroimán absorbe o
entrega energía mecánica?
Problema 5.5
Un dispositivo doblemente concéntrico de entrehierro constante posee en el estator dos
bobinas diametrales a y b desplazadas relativamente en 90º.
El rotor posee una bobina diametral f cuyo eje magnético está desplazado en relación al
de la bobina a en el ángulo δ.
Si L aa=Lbb=0,35H , L af =2,0 cosδ H y Lff =20H,
a) Determine el torque desarrollado para δ=75º, ia=7,07A, i b=-12,25A e i f =1,2A.
b) Si i f =1,2 cos(314 t) y las bobinas a y b están cortcircuitadas, determine las
velocidades para las cuales el dispositivo desarrolla un momento medio distinto de cero.
c) Determine el momento medio desarrollado por el dispositivo si Ra=Rb=0Ω en las
condiciones indicadas bajo b).
Problema 5.6
Un condensador de placas paralelas ha sido cargado hasta una tensión V 0 y luego
desconectado de la fuente. Si ahora las placas se separan al triple de su separación
original, determine:
a) La tensión entre las placas del condensador.
b) La energía acumulada en el campo eléctrico después del desplazamiento.
c) El trabajo mecánico realizado durante el desplazamiento relativo de las placas.
9-199
Ejercicios y Problemas
Problema 5.7
Sea una máquina de rotor cilíndrico de 0,2m de diámetro y de 0,3m de longitud axial. El
entrehierro mide 0,6mm.
El estator está provisto de un devanado monofásico de 4 polos que produce una
distribución espacial de inducción cuya fundamental posee una amplitud de 0,7T. El
devanado del rotor produce una distribución de inducción similar, pero con amplitud de
0,5T.
a) Determine una expresión para el momento electromagnético debido a las
fundamentales como función del ángulo entre los ejes magnéticos de los dos
devanados y evalúe su valor máximo.
b) Si el rotor gira a 1500rpm y es alimentado con corriente alterna de 20Hz, determine
las frecuencias que debería tener la corriente del estator para que el momento medio
sea distinto de cero.
c) Calcule el momento medio para la condición determinada en b).
d) Calcule la amplitud y la frecuencia de los momentos oscilatorios que se producen
para las condiciones determinadas en b).
Problema 5.8
Un conductor de sección rectangular de 1cmx5cm se encuentra en una ranura abierta,
practicada en fierro de permeabilidad infinita. Si por el conductor circula una corriente
alterna de valor efectivo 500A y frecuencia 5 Hz,
a) determine la distribución de la energía magnética con la altura de la ranura y
b) calcule la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor.
Problema 6.1
Un motor de corriente continua de excitación independiente impulsa una carga inercial
que, en conjunto con el rotor del motor, posee un momento de inercia polar de
0,85kgm2. La resistencia de la armadura es de 0,5Ω y tanto la inductancia de la
armadura como las pérdidas debidas a la rotación sean despreciables.
Si el motor gira a 120rad/s con una tensión de armadura de 60V, determine la velocidad
del motor 1s después de subir bruscamente la tensión de armadura a 80V, manteniendo
la corriente de campo constante.
Análisis preliminar
Al producirse el salto en la tensión aplicada, la corriente de armadura ia=(V a-ωGfq If )/Ra y
el momento electromagnético Te=GfqIf ia cambian bruscamente, acelerándose el motor.
La velocidad aumenta y con ella vrot=ωGfq If , hasta que ia y Te se reduzcan a cero en la
nueva condición de funcionamiento estacionaria.
Desarrollo
Inicialmente Va=V rot=ωiGfqIf , de donde se logra GfqIf =60V/120rad/s=0,5Vs/rad.
Posteriormente rige para la armadura
Va=vrot+Raia y para el rotor
Jdω/dt=Gfq If ia .
Reemplazando la segunda ecuación en la primera queda
(
)
G fq I f
dω
+
dt
Ra J
2
ω=
VaG fq I f
Ra J
,
9-200
Ejercicios y Problemas
una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución particular es inmediata
Va
80
rad
ωf =
=
= 160
y para cuya solución homogénea se postula una
G fq If
0,5
s
función exponencial. Se logra la solución completa
Ra J
0,5 ⋅ 0,85
ω = (ω i − ω f )e − t / T + ω f , donde T =
=
= 17
, s.
2
G fq I f
( 0,5) 2
(
)
Finalmente ω (1) = (120 − 160)e −1/1,7 + 160 = 137,8 rad s
Problema 6.2
Un motor shunt impulsa una carga inercial en condiciones estacionarias. Suponga que
las pérdidas rotacionales y la inductancia de armadura sean despreciables y que el flujo
es proporcional a la corriente de campo. Derive la ecuación diferencial para la velocidad
cuando la resistencia en serie con el campo shunt es cortocircuitada repentinamente.
Indique las condiciones iniciales.
Problema 6.3
Un motor de corriente continua con excitación shunt de 7,5kW, 230V posee una
resistencia del circuito de armadura de 0,3Ω y una resistencia del campo shunt de
160Ω. En vacío y con tensión nominal la velocidad es de 1200rpm y la corriente de
armadura es de 2,7A. A plena carga la corriente de armadura es de 38,4A y causa una
reducción de flujo de 4% en relación con el flujo en vacío. Determine la velocidad a
plena carga.
Análisis preliminar
La tensión rotacional es proporcional al producto del flujo por la velocidad del rotor
Vrot=kΦpn , por lo que basta obtener la tensión rotacional para la situación con carga
para determinar con el flujo correspondiente la velocidad en esa condición.
Desarrollo
En vacío V rot=230-2,7 0,3=229,2V=kΦp 1200, de donde kΦp=0,191V/rpm.
A plena carga V rot=230-38,4 0,3=218,5V=k 0,96 Φp n1 , por lo que n1=1192rpm.
Problema 6.4
Un motor de corriente continua, conexión serie, opera conectado a una red de 230V y
gira a 750rpm absorbiendo 80A. Determine la velocidad para 230V y una corriente de
armadura de 20A para Ra=0,05Ω y Ra =0,20Ω.
Problema 6.5
Un motor de corriente continua, conexión serie, de 120kW, 600V, 600rpm posee una
resistencia en el circuito de armadura de 0,16Ω. La corriente nominal, a tensión y
velocidad nominales, es de 206A. La curva de magnetización a 400rpm es la siguiente
Vrot/V
375
400
425
450
475
If /A
188
216
250
290
333
Ejercicios y Problemas
9-201
Suponiendo que el efecto desmagnetizante de la reacción de armadura puede ser
expresado en términos de una fmm equivalente que varía con el cuadrado de la
corriente, determine el torque de partida si la corriente de partida está limitada a 350A.
Problema 6.6
Un motor de corriente continua para tracción posee la siguiente característica de
excitación a 1000rpm:
Vrot/V
285
349
450
517
546
Ff por polo/A
1800
2400
3600
4800
5400
Las resistencias de la armadura y del campo serie valen respectivamente 0,2Ω y 0,03Ω.
La resistencia del campo shunt vale 160Ω. El número de vueltas por polo del devanado
serie y del devanado shunt es respectivamente, 15 y 1100.
Determine la característica torque velocidad del motor para una tensión de armadura de
525V y para corrientes de armadura de hasta 200A .
Problema 6.7
Una máquina de corriente continua de 6 polos, 900rpm, 550V, 275kW posee un
devanado ondulado distribuido en 180 ranuras, con 8 conductores por ranura. La zapata
polar cubre el 70% de un paso polar. Determine la fmm de reacción de armadura por
polo para corriente nominal. Determine el número de conductores que debería tener un
devanado de compensación adecuado. Estime el número de vueltas que debería tener
cada interpolo para establecer una inducción de 0,5T en un entrehierro de 5mm con
corriente nominal y devanado de compensación.
Problema 6.8
Un pequeño motor universal (serie) desarrolla un momento de 2Nm con rotor detenido y
una corriente de armadura de 3A, corriente continua. La resistencia del circuito de
armadura es de 2,5Ω y la inductancia es de 0,04H. Suponiendo linealidad magnética y
pérdidas por rotación despreciables determine , si la máquina se conecta a una red de
115V, 60Hz:
El momento de arranque, la potencia mecánica desarrollada para una corriente de
armadura de 3A y el factor de potencia correspondiente. Dibuje el diagrama fasorial a
escala.
Análisis preliminar
En el motor serie el momento es proporcional al cuadrado de la corriente de armadura,
por lo que el torque no cambia de sentido cuando lo hace la corriente. Con corriente
alterna el motor desarrolla un momento medio, proporcional al valor efectivo de la
corriente de armadura, al cual está superpuesto un momento pulsatorio cuya frecuencia
es igual al doble de la frecuencia de la corriente. La tensión rotacional está en fase con
la corriente de armadura. La caída de tensión en la reactancia es importante
(2πfLa=15,1Ω).
Desarrollo
Como T=GfqIa2 se tiene que Gfq=2/3 2=0,222H. La corriente de partida se obtiene de
115
Ia =
= 7,5A por lo que Tarr=(7,5)2 0,222=12,5Nm.
2
2
2,5 + 15,1
Ejercicios y Problemas
9-202
La ecuación de equilibrio para la armadura es
115= (2,5+j15,1)Ia+ωGfqIa
de donde se logra (Pitágoras) para Ia =3A ω=147,5rad/s y n=1408rpm.
P=Tω=32 0,222 147,5=295W.
115
Ia =
= 2,76 + j118
, = 3∠ − 23,2º
35,25 + j15,1
por lo que cosϕ=0,92.
Problema 6.9
Para una máquina de corriente continua se ha obtenido la siguiente característica de
magnetización a 1500rpm:
Vrot/V
10
40
80
135
172
199
220
If /A
0
0,5
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
La resistencia del campo shunt es de 44Ω y la resistencia de armadura es de 0,035Ω.
La máquina posee un devanado serie aditivo, cuyo número de vueltas es igual al 0,5%
de las del devanado shunt. Para el funcionamiento como generador con una tensión de
vacío de 200V determine la tensión en los terminales cuando la corriente de armadura
es de 100A.
Si se desconecta el campo serie, ¿cuál será la tensión en los terminales para una
corriente de armadura de 200A , con una tensión de vacío de 200V?
Problema 7.1
Un turbogenerador posee los siguientes valores nominales: P n=30MW, V n=10500V,
In =2350A, cosϕn=0,7, fn =50Hz, nn=3000rpm, ηn=97,8%, V fn=132V, Ifn=1400A.
Experimentalmente se determinó SCR=0,54 y X σ1 =0,18.
Dimensiones principales: D ext=1785mm, D int=840mm, l=1650mm, δ=45mm,
Z1=42ranuras.
Devanado del estator: bobinas de 2 vueltas con acortamiento 17/21.
Devanado del rotor: bobinas concéntricas que cubren 2/3 de la periferia, N2=160vueltas.
a) Determine el entrehierro equivalente δ″.
b) Determine la tensión fundamental inducida en una fase en vacío cuando la corriente
de campo está ajustada a 530A.
c) Dibuje el diagrama fasorial a escala (500V/cm, 500A/cm) para las condiciones
nominales indicando todas las tensiones y todas las corrientes.
d) ¿Cuál es la corriente reactiva máxima que puede entregar la máquina sin exceder
sus límites térmicos?
e) ¿Qué torque debe desarrollar la turbina en condiciones nominales?
f) ¿Cuál es el valor de la corriente de cortocircuito estacionaria, si éste se produce a
partir de las condiciones nominales?
g) Determine la corriente de campo necesaria para que la tensión inducida en vacío sea
la nominal.
h) Determine la corriente de campo necesaria para que la máquina desarrolle una
corriente de cortocircuito igual a la corriente nominal.
i) Determine el valor de la corriente de campo para que la máquina, conectada a una
red de tensión y frecuencia nominal, entregue corriente nominal con factor de potencia
unitario.
Ejercicios y Problemas
9-203
Resolución
a)
Análisis preliminar
A partir de la razón de cortocircuito, igual al valor recíproco de la reactancia sincrónica,
y de la reactancia de dispersión se determina la reactancia correspondiente al campo
en el entrehierro y a partir de la expresión analítica para esta se calcula el entrehierro
equivalente.
Desarrollo
10500
, − 0,18)
X 1G = X 1 − X σ 1 = (185
= 4,31Ω
3 ⋅ 2350
τ l
3 4
0,342
pero X1G = ω
µ 0 p (N1 f d1 )2 =
Ω
2
2π
pδ′′
δ′′
 π 
sen 7

42 
 4π 

con f d1 =
cos  = 0,913
 π 
 42 
7 sen 
 42 
δ″=0,08m=8cm !
b)
Análisis preliminar
Las inductancias L 1G y L 1f comparten la misma permeancia y sólo se diferencian en el
número de vueltas. El número de vueltas efectivo para el rotor se determina
considerando una distribución de fmm trapezoidal, lo que equivale a considerar que q
tiende a infinito.
Desarrollo
2
Nf
2
160 ⋅ 0,827
L1f = L1G f df = 0,014
= 0,0486H
3
N1f d 1 3
28 ⋅ 0,913
sen(qβ / 2) sen(2π / 6 )
f df =
=
= 0. 827
qβ / 2
2π / 6
I
530
V p = ω1L1f f = 314 ⋅ 0,0486 ⋅
= 5684V
2
2
c)
d)
Análisis preliminar
Las máquinas sincrónicas son térmicamente críticas en el rotor, lo que implica que la
limitación está en la corriente de campo, que en régimen permanente no debe superar
su valor nominal.
Desarrollo
1400
V pmax = 314 ⋅ 0,0486 ⋅
= 15107V o 2,48 pu
2
Suponiendo carga reactiva pura, se tiene que
9-204
Ejercicios y Problemas
Vp max − V1 = I1 X 1
de donde
I1 =
2,48 − 1
= 0,80 pu < 1
1,85
e)
Análisis preliminar
La indicación sobre la potencia nominal siempre se refiere a la potencia útil, por lo que
en el caso del generador debe dividirse la potencia por el rendimiento para obtener la
potencia que entra por el eje.
Desarrollo
P
30 ⋅ 10 6
T= n =
= 97690 Nm
ηω 1 0,978 ⋅ 314
f)
Análisis preliminar
El valor de Vp se determina del diagrama fasorial para carga nominal, por ejemplo,
mediante el teorema del coseno y con él y la reactancia sincrónica se calcula la
corriente de cortocircuito.
Desarrollo
Vp2 = 1 + 185
, 2 − 2 ⋅ 1⋅ 185
, ⋅ cos(270 − ϕ) → Vp = 2,66 pu
I cc =
Vp
X1
=
2,66
= 1,44pu → 3376 A
1,85
g)
Desarrollo
10500
1
If = 2
= 562A
3 314 ⋅ 0,0486
h)
Análisis preliminar
En cortocircuito la reacción de armadura es desmagnetizante, por lo que se encuentra
la corriente de campo sumando gI1 a la corriente magnetizante Im, obtenida para
Vi=X σ1 I1n de la característica del entrehierro (sin saturación).
Desarrollo
10500
Vi = X σ1I 1n = 0,18 ⋅
= 1091V
3
2V
δ′′
0,08
Im = * i
con L*1f = L1f
= 0,0486
= 0,0864H
L1f ω 1
δ
0,045
Im =
2 ⋅ 1091
= 56,9 A
0,0864 ⋅ 314
3 N1f d 1
3 28 ⋅ 0,913
=
= 0,41,
2 Nf f df
2 160 ⋅ 0,827
por lo que I f = I m + gI1 = 56,9 + 0,41⋅ 2350 = 1020 A
i)
Análisis preliminar
El factor de reacción de armadura vale g =
Ejercicios y Problemas
9-205
Del diagrama fasorial con factor de potencia unitario se desprende que el triángulo de
las tensiones es un triángulo rectángulo, lo que permite determinar Vp mediante el
teorema de Pitágoras. Para un grado de saturación dado Vp e If están relacionados por
la característica lineal equivalente.
Desarrollo
Vp = 1 + 185
, 2 = 2,1pu . Suponiendo, por falta de la característica de magnetización,
que la saturación es igual que en g) se tiene que If =2,10x581=1222A.
Problema 7.2
Un motor sincrónico funciona conectado a una red infinita de tensión nominal
absorbiendo una corriente igual al 50% de su corriente nominal. La reactancia
sincrónica es de 2pu.
a) Al aumentar la corriente de campo en 10% se observó una disminución de la
corriente de armadura. ¿Antes del aumento de la excitación, el motor absorbía corriente
reactiva capacitiva o inductiva?
b) Determine el valor mínimo de la corriente de armadura alcanzable mediante ajuste de
la corriente de campo, si un aumento en 10% de la corriente de campo inicial determina
una disminución de la corriente de armadura a 0,474pu.
Problema 7.3
Un generador sincrónico trifásico de 854kVA, 500V, 50Hz, 3000rpm requiere para
funcionamiento en vacío con tensión nominal una corriente de campo de 61A. En
cortocircuito produce 1500A con un corriente de campo de 83A,
a) Determine la corriente de campo necesaria para que, funcionando conectado a una
red infinita de tensión y frecuencia nominal, el generador entregue plena carga con
factor de potencia 0,8 inductivo(visto desde el generador).
b) Si en las condiciones de funcionamiento del punto a) el momento aplicado al eje se
reduce a cero, determine la corriente de armadura en módulo y ángulo.
Problema 7.4
Un motor sincrónico trifásico de 1500kW, 4160V, 50Hz, factor de potencia nominal 0,9
capacitivo, 16 polos, posee una reactancia sincrónica de 1,15pu. Despreciando la
saturación del circuito magnético, el efecto de las saliencias y las pérdidas determine en
qué % debe variarse la corriente de excitación - en relación al valor para funcionamiento
nominal - si se desea ajustar el factor de potencia a la unidad, sin alterar la potencia
activa.
Problema 7.5
Un turbogenerador trifásico de 70,6MVA, 11,5kV, 50Hz, 3000rpm, factor de potencia
nominal 0,85, posee las siguientes características de vacío y de carga - con factor de
potencia cero y corriente nominal:
9-206
Ejercicios y Problemas
VACÍO
If
0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,0
1,2
Vp
0,13 0,23 0,45 0,69 0,87 1,0
1,09
FACTOR DE POTENCIA CERO Y CORRIENTE NOMINAL
If
1,2
1,3
1,4
1,6
1,7
1,8
2,0
V1
0,015 0,13 0,25 0,49 0,61 0,69 0,83
1,4
1,15
1,6
1,21
pu
pu
2,2
0,92
2,4
0,99
pu
pu
Corriente de campo base = 350A
Tensión base = 11500V
a) Determine la reactancia de Potier
b) Determine la reactancia sincrónica nominal
c) Determine la corriente de campo para el punto de funcionamiento nominal.
d) Determine el límite de estabilidad estacionario para las condiciones en c).
e) Determine el momento de inercia conjunto de generador y turbina, si la frecuencia de
oscilación del rotor después de un “rechazo de carga” es de 1,4Hz..
Problema 7.6
Un motor sincrónico de 32 polos, 3500kW, 4,16kV, 50Hz, factor de potencia nominal 0,9
capacitivo, posee una reactancia sincrónica de 1,25pu.
a)
Despreciando los efectos del entrehierro irregular, la saturación y las pérdidas,
determine para el motor conectado a una red de tensión y frecuencia nominal la
potencia que puede desarrollar con factor de potencia 0,8 , si las corrientes de campo y
de armadura no deben exceder sus respectivos valores nominales. (0,73pu)
b)
Si el motor arranca asincrónicamente y la corriente de campo se conecta cuando
la frecuencia de las tensiones inducidas en el rotor ha disminuido a 2Hz, determine la
velocidad del rotor (en r.p.m.) para el instante en que se conecta la corriente de campo.
(180rpm)
Problema 8.1
Sea un motor asincrónico trifásico de 225kW, 50Hz, p=8 cuyo rotor está equipado con
un devanado trifásico. La resistencia medida entre cada par de anillos rozantes es de
0,035Ω. Con los anillos cortocircuitados el deslizamiento a plena carga es de 2,5%. Si el
motor impulsa a un ventilador, cuyo momento en el rango 0,5>s>0 es proporcional al
cuadrado de la velocidad, que demanda 225kW a la velocidad nominal del motor, ¿qué
valor deben tener las resistencias externas conectadas en serie con las fases del rotor
para que la velocidad se reduzca a 300rpm?
Resolución
Análisis preliminar
Dado el tamaño del motor, la resistencia del devanado del estator es despreciable.
Como el momento es igual o menor que el momento nominal y el deslizamiento final
3000 − 8 ⋅ 300
s=
= 0,20 es ,debido a la inclusión de resistencias externas,
3000
presumiblemente mucho menor que el correspondiente deslizamiento para momento
máximo, la característica torque-velocidad puede ser reemplazada por su aproximación
lineal. La inclusión de las resistencias externas cambia la pendiente de la recta y por lo
9-207
Ejercicios y Problemas
tanto el punto de intersección de esta con la característica del ventilador, que
corresponde al nuevo punto de trabajo.
Desarrollo
T
s
Con el rotor cortocircuitado se tiene que 1 = 1 , mientras que con resistencias
2TM s M 1
T
s
T
s sM 2
R
externas se tiene que 2 = 2 , por lo que 1 = 1 ⋅
, pero s M = 2 , por lo que
2TM s M 2
T2 s 2 sM 1
Xe 2
sM 2
sM 1
=
R2,2
, ya que la reactancia permanece constante. En consecuencia
R2 ,1
R2, 2 T1 s 2 n12 s 2  3000 / 8  2 (375 − 300) / 375
= ⋅
=
⋅
=
= 12,5
 ⋅
R2,1 T2 s1 n 22 s1  300 
0,025
0,035
R2,ad = R2, 2 − R2,1 = 115
, ⋅ R2, 1 = 115
, ⋅
= 0,201Ω .
2
y
Problema 8.2
Un motor asincrónico trifásico de 6 polos, 440V, 60Hz está provisto de un rotor con
devanado trifásico con el mismo número de vueltas efectivas que el del estator. Los
parámetros son R1≈0, L σ1 =3mH, L σ2 =3mH, L m1=0,1H, R2 =0,3Ω. Si el motor está
conectado a una red con tensión y frecuencia nominales, determine:
a) El momento de arranque con rotor cortocircuitado
(85,6Nm)
b) El momento máximo y la velocidad a la que se produce
(322Nm)
c) La velocidad, si la carga requiere un torque de 2Nm/rad/s.
d) ¿Por qué el momento en la partida (s=1) no es igual al momento máximo, si en esas
condiciones la corriente absorbida sí es máxima?
f) ¿Si el motor es alimentado por el rotor con el devanado del estator cortocircuitado,
¿cuál será el sentido de giro del rotor en relación con el del campo giratorio?
Problema 8.3
Un motor asincrónico trifásico tiene los siguientes datos: V n=380V, In=28A, fn=50Hz, 6
polos, conexión triángulo, rotor de anillos rozantes conectado en estrella, resistencia por
fase del estator=1,1Ω.
El ensayo en vacío con tensión nominal arrojó: I0=10,5A, P 0=1078W.
El ensayo con rotor detenido y corriente nominal arrojó: V cc =88,7V, P cc =1470W.
Determine:
a) Los parámetros del circuito equivalente.
b) La velocidad nominal.
c) La capacidad de los condensadores que, conectados en triángulo, corrijan el factor
de potencia nominal a 0,9.
d) El % de aumento de la resistencia por fase del rotor para que la velocidad con carga
nominal se reduzca a 900rpm.
Ejercicios y Problemas
9-208
Problema 8.4
Los datos de placa de un motor asincrónico trifásico conectado en triángulo y con rotor
tipo jaula son: 22kW, 1460rpm, 500V, 50Hz, cosϕ=0,85, rendimiento=89%.
Se conoce además I(s=1)=5,6In y T(s=1)=2,2Tn.
Determine:
a) La corriente de arranque en pu y en A.
b) El momento de arranque en pu y Nm.
c) La potencia mecánica entregada a una carga que ofrece un momento igual al 25%
del momento nominal.
d) La frecuencia de las corrientes en rotor para las condiciones de funcionamiento
nominales.
Problema 8.5
Un motor asincrónico trifásico con rotor tipo jaula pesa 636kg y posee los siguientes
datos de placa: 55kW, 985rpm, 108A, Iarr/In=6,3, TM/Tn=2,4, cosϕ=0,84, η=0,95.
Suponga que las pérdidas del estator sean despreciables y que la característica
momento-velocidad tenga la forma derivada para el motor con rotor devanado.
a) Determine la potencia mecánica, la potencia del campo giratorio y la potencia
disipada en el rotor cuando se invierten dos fases de la alimentación estando el motor
funcionando en vacío. Explique el origen de la potencia mecánica.
b) Si la máquina es impulsada a 1020rpm, determine la potencia del campo giratorio, la
potencia eléctrica absorbida de la red, la potencia mecánica y la potencia disipada en el
rotor.
c) Determine el momento de arranque del motor.
Problema 8.6
Una máquina asincrónica trifásica de 22kW, 380V, 50Hz, 12 polos posee un rotor
provisto de un devanado tipo jaula de 44 barras, cada una con una resistencia de
0,002Ω. El rotor gira a 508rpm.
Las pérdidas en el fierro y las pérdidas rotacionales sean despreciables.
Determine:
a) Las pérdidas de cobre en el rotor.
b)
La velocidad del campo giratorio del rotor respecto al rotor.
c)
La velocidad del campo giratorio del estator respecto al rotor.
d)
La potencia del campo giratorio.
e) El diagrama de Sankey para este estado de funcionamiento.