Vectores

CAPÍTULO III:
VECTORES
3.1.
Magnitudes escalares y vectoriales
Si un objeto se mueve siguiendo una línea recta, su movimiento está
descrito por la distancia que recorre o por la velocidad con que lo hace, e
indicando si lo hace de derecha a izquierda o de izquierda a derecha
desde un punto de referencia, el origen. Estas magnitudes que tienen
módulo y dirección como la velocidad, la aceleración, el momento y la
fuerza se denominan vectores.
vectores. Aquellas magnitudes que no tienen
dirección asociada, como la masa, el tiempo, el volumen, la temperatura,
la energía, etc., se denominan escalares.
escalares.
3.2.
Representación de un vector
Gráficamente representamos un vector usando una flecha. La longitud de
la flecha dibujada a escala, indica el módulo de la magnitud vectorial, la
cabeza de la flecha indica el sentido de la magnitud vectorial
3.3.
Designación de un vector
Un vector se designa por lo general por una letra en negrita y sobre ella
⃗
⃗
una flecha, así: .
El módulo de un vector se designa así:
Ejemplo:
Ejemplo: Vector
39
⃗ 
o simplemente A .
Módulo:
|⃗|=
20 m/s
Orientación: 30º
3.4.
Suma y sustracción de vectores
3.4.1. Vectores colineales o paralelos
Dos o más vectores son colineales o paralelos si tienen la misa
dirección.
La suma de los vectores se denomina suma, el vector suma, o la
resultante de los dos vectores.
En este caso la suma es la suma algebraica de los módulos de
cada vector.
⃗ ⃗
⃗ + ⃗  = + ⃗
⃗  ⃗
3.4.2. Vectores coplanares
Dado los vectores
Para realizar la suma gráficamente, se sitúa el origen de uno en el
extremo del otro. La resultante se extiende desde el origen del
40
primer vector al extremo del segundo vector, tal como se aprecia
en la figura.
3.4.3. Método del paralelogramo
Consiste en desplazar uno de los vectores hasta que coincidan los
orígenes de ambos vectores. La diagonal del paralelogramo
formado por ambos vectores es la resultante.
3.4.4. Ley de cosenos
Para el cálculo de la magnitud de la suma de dos vectores se utiliza
la ley de cosenos, así:
=  +  + 2    ∅
Φ : ángulo que forman los vectores
⃗
La suma de más de dos vectores se halla sumando primero dos de
ellos, luego se suma el resultado con el tercero y así
sucesivamente.
41
En la figura
⃗
es la resultante de los vectores
,⃗,  
.
Si los vectores forman un polígono cerrado, la suma de dichos
vectores es 0.
3.4.5. Sustracción de vectores
La sustracción de vectores, se obtiene sumando el primer vector
con el negativo del segundo vector, así:
Ejemplos:
1) Una persona se mueve 4 km hacia el este, luego 3 km hacia el
norte. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?
Solución:
⃗
⃗
Sea el vector
este y
que representa el desplazamiento hacia el
el vector que representa el desplazamiento hacia el
norte, luego el desplazamiento resultante será el vector
⃗
:
El vector resultante tiene por módulo 5 km y su orientación está
representado por el ángulo α = 37º al noreste.
2) El vector suma de los vectores colocado en el hexágono regular
es:
42
Solución:
De la figura, la resultante de los vectores consecutivos
⃗, ⃗,,⃗ ⃗⃗  ⃗ ⃗ 
⃗ =  +  +  +  +  + 
 =  +  =2 
es igual al vector
3.5.
Producto de un vector por un escalar
Un vector

multiplicado por un escalar r es el vector

módulo r A y es paralelo al vector .
3.6.
, entonces:
⃗ = 
, que tiene
Componentes de un vector
La suma y diferencia de vectores se lleva a cabo expresando los vectores
en función de sus componentes.
La componente de un vector a lo largo de una línea es la proyección del
vector sobre dicha línea, esta proyección se determina, trazando una línea
perpendicular a la línea desde el extremo de la flecha del vector.
43
En la figura, la componente del vector
magnitud se determina por:
 =  

sobre la línea x es
⃗
cuya
Componentes rectangulares o cartesianas
Las componentes rectangulares de un vector, son las que tienen las
direcciones de los ejes x, y, z del sistema de coordenadas cartesiano.
Vectores en dos dimensiones
Sea el vector
⃗
, tal como se muestra en la figura. Sus componentes
rectangulares en los ejes X e Y son:
⃗⃗ = ⃗⃗ 
 =   
Si se conocen las componentes, se puede obtener el ángulo que forma el
vector con el eje x.
 =  = 

Ejemplo:
Un buscador de tesoro recibe las instrucciones de ir 3 km en dirección
nordeste 60º y después moverse 4 km en dirección noroeste con un
44
ángulo de 40º respecto del oeste. ¿En qué dirección deberá moverse y
cuánto tendrá que caminar para cumplir su objetivo, recorriendo la mínima
distancia?
Solución:
El dibujo muestra los vectores desplazamiento de 3 y 4 km, así como la
resultante de ambos vectores.
⃗

⃗
y
40º
θ
⃗
60º
x
Las componentes del vector

⃗
son:
Ax = A Cos 60º = 3 x ½ = 1,5 km
Ay = A Sen 60º = 3 x 0,86 = 2,6 km
Las componentes del vector
son:
Bx = B Cos 140º = 4 x – 0,766 = - 3,06 km
By = B Sen 140º = 4 x 0,64 = 2,57 km
 =  ⃗+ ⃗
 
, las componentes de
de

se obtienen sumando las componentes
Cx = Ax + Bx = 1,5 + (-3,06) = - 1,56 km
Cy = Ay + By = 2,6 + 2,57 = 5,17 km

=  +  = 1,56 + 5,17 =5,4 
La magnitud de
se obtiene por el teorema de Pitágoras.
45
La orientación del vector C está dada por el ángulo θ y se puede obtener
por:
=  = −,, =3,31 = 73,2º
El vector C está en el II Cuadrante, por lo que θ = 180 – 73,2 = 106,8º
También la orientación del vector C se puede indicar como 73,2º hacia el
noroeste.
Vectores tridimensionales
⃗
z
⃗
x
⃗
⃗
y
Las componentes del vector en los ejes x, y, z son:
⃗⃗ = ⃗⃗ ∝
 =   
⃗ = ⃗  
3.7.
Vectores unitarios
Un vector unitario es un vector adimensional que tiene por módulo a la
unidad.
46
̂
̂= || , ̂||=1
Para obtener un vector unitario

en la dirección de un vector , se divide
dicho vector entre la magnitud del mismo, así:
Los vectores unitarios en las direcciones x, y, z son:
,⃗, ⃗
.
Representación de un vector en función de los vectores unitarios
, , ⃗
⃗ =   +  +  ⃗
.
Un vector se puede representar en función de dichos vectores como:
3.8.
Problemas resueltos
1. Dos fuerzas de igual modulo y que forman un ángulo de 60° entre sí,
tiene una resultante de 40√3N. Calcule el módulo de dichas fuerzas.
Solución:
Sea A la magnitud de cada vector.
Por la ley de cosenos:
=  +  +2.. 
40√3= 2 + 2  60
40√3= 2 +  =√3
  ⃗
A = 40 N
2. Según la figura, halle
, si A=8 y B=6.
47
Solución:
Como ambos vectores forman ángulo de 90º, tenemos:
  ⃗=  +  = 8 + 6
  ⃗=10
3. La resultante de los 4 vectores mostrados tiene un módulo de:
Solución:
Los vectores de 9u y 8u tienen como resultante 1u en la dirección de
9u.
Los vectores de 5u y 4u tienen como resultante 1u en la dirección de
5u.
Entonces la resultante de los dos vectores de 1 u es:
= 1 + 1 +11   120
= 1 + 1 +11   120
= 21/2= √3/2
4. Hallar el valor de la resultante de los vectores mostrados en la figura
(en cm.) hexágono regular de radio de 20 cm.
Solución:
48
⃗⃗
⃗⃗


⃗⃗ = ⃗⃗ + ⃗⃗ +⃗ ⃗ + ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗
 =  + + =3+  +2 20=120
=3 
El vector
con el vector
tienen como resultante al vector
El vector
con el vector
tienen como resultante al vector
Luego la resultante será:
⃗⃗

La magnitud será:
5. Un trineo está en reposo y tres amigos tiran de él sin conseguir
moverlo. Paul tira en dirección nordeste con una fuerza de 50 lb.
Johnny tira con una fuerza de 65 lb con un ángulo de 35º en dirección
sudoeste y Connie tira del trineo con una fuerza que queremos
determinar. a) Expresar la fuerza ejercida tanto por Paul como por
Johnny en función de los vectores unitarios. b) Determinar la fuerza
que realiza Connie primero expresándola en función de los vectores
unitarios y después en forma de módulo y dirección (ángulo).
Solución:
 =5045+5045

 =35,35+35,35

 =65356535
 =37,2853,24
 +  + =0 
35, 35+35,3537,2853,24+  =0
 =1,93+17, 89 
 = 1,93 17,+717,9 79 =18 
= 1,93 =83,88º
√10
√2
a) Fuerza de Paul:
Fuerza de Johnny:
b) Como el trineo no se mueve, la suma de las tres fuerzas es cero,
por lo que:
6. El módulo del vector resultante de dos vectores es
unidades.
calcular el ángulo que forman entre sí, siendo los módulos de los
mismos 2 y
unidades respectivamente.
Solución:
Por la ley de cosenos:
49
= √10= 2 + √2 +22√2.  
10= 6+4√2.  
 = √22 → =45º
7. En la figura se muestran tres vectores de velocidad y cuyos módulos
son: A = 5 m/s, B = 10 m/s, C = 15 m/s. Obtenga la resultante de los
vectores, A, B , C y determine el módulo y la dirección de la resultante.
Solución:
⃗ =5
 =1060+1060=5+8,66
⃗ =1530+1530=12,99+7,5
 =3+16,16
= 3 + 16,16,1166 =16,44 /
= 3 =79,76º
8. Si la resultante de los vectores mostrados es un vector vertical, hallar
el módulo de C .
50
Solución:
Sean:
⃗ = 4√3 60+4√3 60= 6+2√3
 = 25 3725 37= 1520
 = 
615+=0 →=21 
Como la resultante es un vector vertical, entonces la resultante
horizontal es 0:
9. Hallar el módulo de la resultante de los vectores graficados.
Solución:
La resultante de los vectores es:
⃗⃗ = 12+1610371037
 = 6 +8  
= 6 + 8 =10 
10. Hallar la resultante de los vectores en el siguiente sistema: A = 6, B =
9 y C = 12.
A
74º
75
53
C
B
51
Solución:
 =6  74  +6  74 
⃗ = 1,65  +5,77 
⃗ =9  75  9  75 
 = 2,33  8,69 
 =12  53  12  53 
 = 9,58  7,22 
⃗ = ⃗ + ⃗ + 
 =5,6  10,14 
Luego, la resultante será:

11. Hallar la resultante de los vectores en el siguiente sistema: A = 8, B =
9 y C = 10.
B
A
45
37
C
Solución:
⃗ =8 
⃗ =9  45  +9  45 
 = 6,364 +6,364 
 =10  37  10  37 
 = 6 8 
⃗⃗ =  + ⃗ + 
 =4,364  1,636 
Luego, la resultante será:

12. Determine la suma de los vectores representados en la figura:
52
z
10m

B
12m
y

C
6m

A
x
Solución:
 = 60 + 12⃗ 0 + 010⃗
⃗ =6+1210
⃗ =06 +120⃗  +010⃗
 = 6  +12  10  ⃗
 = 60 + 012 + 00
 =612
⃗⃗ =  + ⃗ +  ⃗
 =6  +12  20 
Luego, la resultante será:

13. Dado los vectores:

A  3i
ˆ


B  2i
ˆ

2j
ˆ
4j
ˆ


5k
ˆ
k
ˆ
Determine:
a) El producto escalar.
b) El producto vectorial.
c) El ángulo que forman los vectores.
Solución:
53
a)
 ∙ ⃗ =(3+2+5⃗)∙2+4 ⃗
 ∙ ⃗ = 3
⃗





  ⃗ = 32 24 15 32 24= 2+1012⃗ 4⃗ 203
 ⃗ ⃗ =22+716⃗
 ∙  = ∙ 
= 3 + 2 + 5 =6,16
= 2 + 4 + 1 =4,58

b)

c)
3.9.

-3 = 6,16 x 4,58 CosӨ  CosӨ = - 0,106

Ө = 96,08
Problemas propuestos
1. Se suman dos vectores de 7 y 5,5 unidades de longitud. El resultado
es un vector de 10 unidades. a) Mostrar gráficamente al menos una
forma mediante la cual puede llevarse a cabo la suma. b) Use el
diagrama anterior para determinar el ángulo entre los dos vectores
originales.
2. Determinar las componentes x e y de los tres vectores siguientes del
plano xy. a) Un vector desplazamiento de 10 m que forma un ángulo
de 30º en la dirección de las agujas del reloj con la dirección positiva
del eje y. b) Un vector velocidad de 25 m/s que forma un ángulo de
40º contrario a las agujas del reloj con la dirección – x. c) Un vector
fuerza de 40 lb que forma un ángulo de 120º en la dirección contraria
a las agujas de un reloj con la dirección – y.
3. Una persona camina 100 m siguiendo una línea recta sobre el plano
horizontal. Si la persona se mueve 50 m hacia el este, ¿cuáles son los
movimientos posibles de la persona hacia el norte o hacia el sur?
¿Cuáles son los ángulos posibles con respecto de la dirección este
que el camino recorrido por la persona puede haber alcanzado?
4. Calcule el módulo de la resultante (en N) de dos fuerza de 4N y 8N
respectivamente y que forma un ángulo de 60°.
54
5. Determine el coseno del ángulo que forman dos vectores de igual
magnitud, si su resultante vale la mitad de ellos.
6. Calcule el modulo del vector resultante.
7. Los módulos de los vectores y son 4u y 3u respectivamente. Calcule
el máximo valor de la operación |2
+ 3 |.
8. Se muestra un rectángulo ABCD, el módulo de la resultante de sumar
los vectores
+
+
+
es: (en cm)
9. Si la figura es un cuadrado de 10 cm de lado, hallar el módulo o
magnitud de la resultante, si M y N son puntos medios.
10. Dados los vectores siguientes:
y
 =5,4  9,1 
 =3,4  +4,7 ⃗ ⃗ = 7,7 +3,2 

⃗ +2  3  +4 ⃗ =0

;
. a) Determinar el vector
vectores unitarios de modo que
,
en función de los
. b) Expresar
la respuesta del apartado anterior en función del módulo y del ángulo
con respecto a la dirección positiva del eje x.
11. Dados los vectores siguientes:
de 25 lb de módulo y que forma un
ángulo de 30º en el sentido de las agujas del reloj con la dirección
positiva del eje x, y
⃗
de 42 lb de módulo y que forma un ángulo de
50º en el sentido de las agujas del reloj con la dirección positiva del
eje y, a) construir un esquema y estimar visualmente el módulo y el
ángulo del vector

de forma que
2 + ⃗
sea un vector de 35 lb
de módulo orientado según la dirección positiva del eje x. b) Repetir
55
el cálculo del apartado a) usando el método de las componentes y
comparar el resultado con el estimado a partir del apartado a).
12. La posición de un avión que vuela a 5 km de altura, la situamos a 1,5
km norte y 2,5 km este. a) ¿Qué distancia hay desde el punto de
observación hasta el avión? b) ¿Con qué ángulo (respecto del norte
en el plano horizontal) lo vemos? c) Expresar el vector posición del
avión desde nuestra situación en función de los vectores unitarios, si

se orienta hacia el este,

hacia el norte y
⃗
verticalmente hacia el
cenit. d) ¿Con qué ángulo de elevación (por encima del plano
horizontal de nuestra posición) vemos el avión?
13. Dos vectores cuyas magnitudes son 6 unidades y 9 unidades forman
un ángulo de a) 45 y b) 60º. Hallar la resultante en cada caso.
14. La resultante de dos vectores es
27+2√3
unidades. Calcular el
ángulo que forman entre sí, siendo sus módulos igual a:
y 5 unidades respectivamente.
√3
unidades
15. El módulo de la resultante máxima entre dos vectores es 8 unidades
y la resultante mínima es igual a 2 unidades. Calcular la resultante
cuando forman 53º.
16. En la figura se muestran tres fuerzas que actúan sobre una partícula.
Obtener: (a) las componentes x, y de la fuerza neta sobre la partícula,
(b) la magnitud y (c) la dirección de la fuerza resultante.
56
17. ¿Cuál es el valor de la resultante de dos vectores cuando forman
60º, si su resultante máxima y mínima son 8 y 2 unidades
respectivamente?
18. Un barco recorre 100 mi en dirección norte el primer día de un
viaje; 60 mi al noreste el segundo día; y 120 mi rumbo este el tercer
día. Encuentre el desplazamiento resultante mediante el método
del polígono.
19. Si la figura es un hexágono regular de 10 cm de lado, hallar el
módulo de la resultante de los vectores que se muestran.
57