04 - Leyes de Newton ✔

Leyes de Newton
41
. Primera leydeNewton:leydela inercia
4.2Fuerza ymasa
4.3Segunda leydeNewton
4.4Fuerza debidaalagravedad:elpeso
4.5Fuerza decontacto:sólidos,muellesycuerdas
4.6Resolución deproblemas:diagramasdefuerzasdesistemas
aislados
4.7Tercera leydeNewton
4.8Problemas condosomásobjetos
horaqueyahemosestudiadocómosemuevenloscuerposenuna,dosy
tresdimensiones,podemosplantearnosestaspreguntas:"¿Porquélosobjetosseponenenmovimiento?"y"¿Cuálessonlascausasquehacenqueun
cuerpoenmovimientocambiesu velocidad o cambiede dirección?"
EsascuestionesocuparonlamentedeSirIsaacNewton,quenacióen1642,
elañoquemurióGalileo.ComoestudianteenCambridge,dondefuemás
tardeprofesordematemáticas,NewtonestudiólostrabajosdeGalileoyKepler.Quería
entenderporquélosplanetassemovíanelípticamenteavelocidadesquedependíande
ladistanciaalSoleinclusoporquéelsistemasolarpermanecíasiempreunido.Durante
suvidadesarrollósuleydelagravitación,queexaminaremosenelcapítulo12ysus
tresleyesbásicasdelmovimientoqueconstituyenlabasedelamecánicaclásica.
LasleyesdeNewtonrelacionanlasfuerzasqueseejercenloscuerposentresí,así
comoloscambiosenelmovimientodeunobjetoconlasfuerzasqueactúansobreél.
Aunqueyatenemosunaideaintuitivadealgunasfuerzas,comolasdeempujeode
tracciónejercidaspornuestrosmúsculosopormuellesogomaselásticas,lasleyes
deNewtonnospermitenrefinarnuestracomprensiónsobrelasfuerzasengeneral.
Enestecapítulo,describiremoslastresleyesdelmovimientodeNewtony
empezaremosautilizarlaspararesolverproblemasqueimpliquenobjetos
enmovimientoyenreposo.
93
ESTEAVIÓNESTÁACELERANDOANTESDEL
DESPEGUEL
.ASLEYESDENEWTONRELACO
I NAN
LAACELERACÓ
I NDEUNOBJETOCONSUMASAY
CONLASFUERZASQUEACTÚANSOBREEL.(John
Neubauer/FPG/Getty.)
Siustedfueraunpasajero,¿cómo
usaríalasleyesdeNewtonpara
determinarlaaceleracióndelavión?
(Véaseelejemplo4.9.)
94
CAPÍTULO4 LeyesdeNewton
41
. PLERYIMDE
ERALEYDENEWTON:
LAINERCIA
Empujemosuntrozodehielosobreunamesa:sedeslizayluegosepara.Silamesa
estáhúmeda,elhielorecorreunespaciomayorantesdepararse.Sisetratadeun
trozodehieloseco(dióxidodecarbonocongelado)sobreuncolchóndevaporde
dióxidodecarbono,eldeslizamientoesmuchomayoryelcambiodevelocidades
muypequeño.AntesdeGalileosecreíaquesiempreeranecesariaunafuerza,tal
comounempujeountirón,paramanteneruncuerpoenmovimientoconvelocidadconstante.PeroGalileo,yposteriormenteNewton,sediocuentadequesilos
cuerpossedeteníanensumovimientoenlasexperienciasdiariaseradebidoalrozamiento(ofricción).Siéstesereduce,elcambiodevelocidadsereduce.Unacapa
deaguao uncolchóndegassonespecialmenteefectivosparareducir el rozamiento,permitiendoqueelobjetosedesliceagrandistanciaconunpequeñocambioensuvelocidad.Siseeliminantodaslasfuerzasexternasqueactúansobreun
cuerpo—razonabaGalileo—suvelocidadnocambiará,unapropiedaddelamateriaqueéldescribíacomoinercia.EstaconclusiónrestablecidaporNewtoncomo
suprimeraley,selamatambiénleydelainercia.
UnaversiónmodernadelasleyesdeNewtoneslasiguiente:
Elrozamientosereduceenormemente
graciasauncolchóndeairequesoportael
aerodeslizador.(JoseDupont/Explorer/Photo
Researchers.)
Primeraley.Todocuerpoenrepososigueenreposoamenosquesobreél
actúeunafuerzaexterna.Uncuerpoenmovimientocontinúamoviéndose
convelocidadconstanteatnenosquesobreélactúeunafuerzaexterna.
PRIMERALEYDENEWTON
SISTEMASDEREFERENCIAINERCIALES
LaprimeraleydeNewtonnodistingueentreunobjetoenreposoyunobjetoque
semueveconvelocidadconstantedistintadecero.Elhechodequeunobjetoesté
enreposooenmovimientoconvelocidadconstantedependedelsistemadereferenciaenelcualseobservaelobjeto.Consideremosunapelotasituadaenlabandejadesuasientodeunaviónquevuelaenunatrayectoriahorizontal.Enun
sistemadecoordenadasfijo al avión(esdecir,en elsistemadereferenciadel
avión)lapelotaestáenreposo,ypermaneceráenreposorelativoalaviónsiempre
queéstevueleconvelocidadconstante(figura4.1a)
Supongamosahoraqueelpilotoaumentalapotenciadelosmotoresyelavión,
deformabrusca,acelera(conrespectoalsuelo).Ustedobservaráquelapelota,de
repente,retrocedehacialapartetraseradelaviónacelerandoconrespectoalavión
inclusocuandonoactúaningunafuerzasobreella (figura4.1h).Enelsistemade
referenciadelavión,laprimeraleydeNewtonnosepuedeaplicar,puesesunsistemadereferenciaacelerado.LaprimeraleydeNewtonsólopuedeaplicarsea
sistemasdereferenciadenominadosinerciales.Dehecho, la primera ley de
Newtonnosproporcionauncriterioparadeterminarsiunsistemadereferencia
esinercialono.
Sisobreunobjetonoactúaningunafuerza,cualquiersistemadereferenciaconrespectoalcuallaaceleracióndelobjetoesceroesunsistemade
referenciainercial.
SISTEMADEREFERENCIAINERCIAL
Tantoelavión,cuandosemueveavelocidadconstante,comoelsuelo,sonuna
buenaaproximacióndesistemasdereferenciainerciales.Cualquiersistemadereferenciaquesemueveavelocidadconstanteconrespectoaunsistemadereferenciainercia]tambiénesunsistemadereferenciainercia].
(a)
(b)
FIGURA 4.1 El aviónvuela
horizontalmenteenlínearectaavelocidad
constantecuandoustedcolocaunapelotade
tenisencimadelamesa.(a)Elavióncontinúa
volandoavelocidadconstanterespectoal
sueloylapelotapermaneceenrepososobrela
mesa.(b)Elpiloto,derepente,presionael
aceleradoryelaviónaumentasuvelocidad
respectoalsuelo.Lapelotanoaumentasu
velocidadalritmoqueelavióndeformaque
seacelerahacialapartetrasera.
LaprimeraleydeNewtonesválida
sóo
l parasistemasdereferencia
inerciales.
Fuerzaymasa
95
SECC
Unsistemadereferenciafijoalsuelonoestotalmeneunsistemadereferencia
inercialporlapequeñaaceleracióndelsuelodebidoalarotaciónterrestreyala
pequeñaaceleracióndelapropiaTierradebidaasurevoluciónalrededordelSol.
Sinembargo,comoestasaceleracionessondelordende0,01m/s2(omenos),podemosconsiderarque,aproximadamente,unsistemadereferenciafijoalasuperficiedelaTierraesunsistemadereferenciainercial.
FUERZAYMASA
SiutilizamoslaprimeraleydeNewtonyelconceptodesistemadereferenciainercial,podemosdefinirunafuerzacomounainfluenciaexternaoacciónsobreunobjetoqueproduceuncambioensuvelocidad,esdecir,unaaceleraciónrespectoa
unsistemadereferenciainercial(suponemosquenohayotrasfuerzasqueactúen
sobreelcuerpo).Lafuerzaesunacantidadvectorial.Tieneunmódulo(tamañoo
intensidaddelafuerza)yunadirección.
Lasfuerzassonejercidasporunoscuerpossobreotrosylasfuerzasquesegeneranalestardoscuerposencontactofísicoselamanfuerzasdecontacto.Golpear
unapelotaconunbate,tirardeunhilodepescar,empujarelcarritodelacomprao
lafuerzaderozamientoentrelaszapatilas y elsuelo,sonfuerzasdecontacto.
Obsérvesequeencadaunodeloscasoshayuncontactofísicoentreelcuerpoque
aplicalafuerzayelcuerposobreelcualseaplicalafuerza.Otrasfuerzaactúansin
contactodirectoentreloscuerpos.Estasfuerzas,conocidascomofuerzasdeaccióna
distancia,incluyenlafuerzagravitacional,lafuerzamagnéticaylafuerzaeléctrica.
(a)
(b)
LASFUERZASFUNDAMENTALESDELANATURALEZA
Lasfuerzassoninteraccionesentrepartículas.Losfísicostradicionalmenteexplicantodaslasinteraccionesobservadasenlanaturalezaentérminosdecuatrointeraccionesbásicasqueocurrenentrepartículasfundamentales(verfigura4.2):
1.Lainteraccióngravitacional.Interaccióndelargoalcanceentrepartículasdebidaasumasa.Secreequelainteraccióngravitacionalesdebidaalintercambio
deunaspartículaslamadasgravitones.
2.Lainteracciónelectromagnética.Interaccióndelargoalcanceentrepartículas
cargadaseléctricamenteincluyendoelintercambiodefotones.
3.Lafuerzanucleardébil.InteracciónaextremadamentecortoalcanceentrepartículassubnuclearesincluyendoelintercambiooproduccióndebosonesWyZ.
Lasinteraccioneselectromagnéticasylasinteraccionesdébilessehanunificado
recientementebajoladenominacióndeinteracciónelectrodébil.
4.Lafuerzanuclearfuerte.Interaccióndelargoalcanceentrehadrones,loscuales
asuvezconsistenenquarks,queunealosprotonesyneutronesparaformarel
núcleoatómicaEstainteracciónincluye elintercambiodemesonesentrelos
hadronesydegluonesentrelosquarks.
FIGURA 4.2 (a)LafuerzagravitatoriaejercidaentrelaTierray
uncuerpopróximoalasuperficieterrestreeselpesodelcuerpo.
LainteraccióngravitacionalentreelSolylosdemásplanetasesla
responsabledequeéstossemantenganensusórbitasalrededordelSol.
Deigualmodo,lainteraccióngravitacionalentrelaTierraylaLuna
mantieneaéstaenunaórbitacasicircularalrededordelaTierra.Las
fuerzasgravitatoriasejercidasporlaLunayelSolsobrelosocéanosde
laTierrasonresponsablesdelasmareas.ElmonteSaint-Michel
(Francia)mostradoenestafotoseconvierteenunaislacuandosubela
marea.(b)Lafuerzaelectromagnéticaincluyelasfuerzaseléctricay
magnética.Unejemplofamiliardefuerzaeléctricaeslaatracciónentre
pequeñostrozosdepapelyunpeinequesehaelectrificadoalpasarlo
porelcabello.LosrelámpagossobreelObservatorioNacional
KittPeak,quesemuestranenlafoto,sonelresultadodelafuerza
electromagnética.(c)Lafuerzanuclearfuertetienelugarentrelas
partículaselementaleslamadashadrones,queincluyenlosprotones
(c)
yneutrones,
constituyentesdelos
núcleosatómicos.Esta
interacciónresultade
lainteraccióndelos
(d)
quarks,bloques
constitutivosdeloshadronesyeslaresponsabledemantenerlos
núcleosestables.Laexplosióndelabombadehidrógenoilustradaen
estafotografíaesunejemplodelapotenciadeestafuerza.(d)Lafuerza
nucleardébilseproduceentrelosleptones(queincluyenelectronesy
muones)yentreloshadrones(protonesyneutrones).Estafotografíade
lacámaradeniebla(enfalsocolor)ilustralainteraccióndébilentreun
muóndelaradiacióncósmica(verde)yunelectrón(rojo)arrancadode
unátomo.((a)CottonCoulson/WoodfinCampandAssoc.;(b)GaryLadd;
(c)LosAlamosNationalLab;(d)Sce
i ncePhotoLibrary/PhotoResearchers.)
96
CAPÍTULO4 LeyesdeNewton
Lasfuerzasqueobservamosadiarioentrecuerposmacroscópicossondebidasa
interaccionesgravitacionalesoelectromagnéticas.Lasfuerzasdecontacto,por
ejemplo,sonenesenciafuerzasdeorigenelectromagnético.Sonejercidasporlas
moléculasdelasuperficiedeloscuerposencontacto.Lasfuerzasdeacciónadistanciasondebidasainteraccionesgravitacionalesyelectromagnéticas.Esasdos
fuerzasactúanentrepartículasseparadasenelespacio.AunqueNewtonnofue
capazdeexplicarcómolasfuerzaspuedenactuaratravésdelvacío,los científicosintrodujeronposteriormente el conceptodecampo,queactúacomoun
agenteintermedio.Porejemplo,laatraccióndelaTierraporelSolseconsidera
endosetapas.ElSolcreaunacondiciónenelespacioquelamamoscampogravitatorio.Estecampoejerceentoncesunafuerzasobre la Tierra. Delmismo
modo,laTierraproduceuncampogravitatorioqueejerceunafuerzasobreelSol.
NuestropesoeslafuerzaejercidaporelcampogravitatoriodelaTierrasobrenosotrosmismos.Cuandoestudiemosla electricidad y elmagnetismo(capítulos
22-31)analizaremosloscamposeléctricos,producidosporcargaseléctricas, y
magnéticos,producidosporcargaseléctricasenmovimiento.Lasinteracciones
fuertesydébilessediscutiránenelcapítulo42.
COMBINACIÓNDEFUERZAS
(a)
(b)
Sidosomásfuerzasactúansimultáneamentesobreuncuerpo,elresultadoesequivalenteaqueunasolafuerza,igualalasumavectorialdelasfuerzasindividuales,
4. 3 (a)LasfuerzasFti yF2
actuaraenlugardelasfuerzasindividuales(quelasfuerzassepuedancombinarde tiFIGURA
randelaesfera.(b)Elefectodeambas
estaformasedenominaprincipiodesuperposición).Elvectorsumadelasfuerzas fuerzas
esequivalentealdeunafuerza
individualesselamafuerzanetaofuerzaresultanteFnea
t sobreelcuerpo.Esdecir, neta F + F2queactúasobrelaesferaen
?nea
t=f1+re2±
lugardelasdosfuerzasF1yF2.
• •
•
donde fi, F2, ... sonlasfuerzasindividuales.Lafigura4.3muestraunobjetodel
quesetiraendosdireccionesmediantedoscuerdas.Elefectoeselmismoquesi
unasolafuerzaigualalafuerzanetatiraradelcuerpo.
LaunidaddelfuerzaenelSIeselnewton(N). Elnewtonsedefineenla siguientesección.Unnewtonesigualalpesodeunamanzanadetamañomediano.
MASA
Losobjetosseresistenintrínsecamenteaseracelerados.Imaginemosquedamos
unapatadaaunapelotadefútboloaunabolaenlabolera.Éstaúltimaseresiste
muchomásaseraceleradaquelapelotadefútbol, locualsemanifiestainmediatamenteenladiferentesensaciónquenotanlosdedosdenuestrospiesal darel
golpesobreambosobjetos.Estapropiedadintrínsecadeuncuerpoeslamasa.Es
unamedidadelainerciadelcuerpo
Comoyavimosenelcapítulo1,elcuerpoelegidocomopatróninternacionalde
masaesuncilindrodeunaaleacióndeplatino-iridioqueseconservacuidadosamenteenlaOficinaInternacionaldePesosyMedidasenSévres,Francia,alquese
leasignalamasade1kilogramo,launidaddemasadelSI.
Unaunidadpatrónconvenientedemasaenlafísicaatómicaynucleareslaunidaddemasaunificada(u)quesedefinecomoladoceavapartedelamasadel
átomodecarbono-12(12C).Launidaddemasaunificadaestárelacionadaconelkilogramopor
1u =1,660540x10-27kg
ElconceptodemasasedefinecomounaconstantedeproporcionalidadenlasegundaleydeNewton.Paramedirlamasadeuncuerpolacomparamosconuna
masaestándar,comoelkilogramopatrónguardadoenSévres.Lacomparaciónse
cumpleutilizando lasegundaleydeNewton.Enelejemplo4.1se ilustrauna
formadehacerlo.
DICOMPROBACIÓNCONCEPTUAL4.1
¿Lafuerzanetaesunafuerzareal?
SegundaleydeNewtonSECCIÓN 4.3
97
SEGUNDALEYDENEWTON
LaprimeraleydeNewtonnosdiceloquesucedecuandosobreuncuerponoactúan
fuerzas.Pero,¿quésucedecuando hay fuerzasaplicadassobre un cuerpo?
Consideremosdenuevounbloquedehieloquedeslizaconvelocidadconstantesobre
unasuperficiesuave,sinrozamiento.Siseempujaelhielo,seejerceunafuerzaFque
produceuncambioensuvelocidad.Cuantomásfuerteseempujemayorserálaaceleraciónresultantea.Laaceleraciónadecualquierobjetoesdirectamenteproporcionala
lafuerzaneta?netaejercidasobreel,siendoelinversodesumasalaconstantedeproporcionalidad.Además,elvectoraceleraciónyelvectorfuerzanetatienenlamismadirección.Newtonresumióestasobservacionesensusegundaleydelmovimiento:
Segundaley.Laaceleracióndeuncuerpoesproporcionalalafuerzaneta
queactúasobreél,einversamenteproporcionalasumasa.Asípues,
a
f, net where
m
net
=
4.1
SEGUNDALEYDENEWTON
Unafuerzanetaqueactúasobreuncuerpoleproduceunaaceleración.Esunarelacióndecausayefecto.Lafuerzanetaeslacausay laaceleracióneselefecto*.
LasegundaleydeNewton,aligual
Unafuerzanetadeunnewtonleproporcionaaunkilogramodemasaunaacequelaprimeraley,esválidasólo
leraciónde1m/s2,así
parasistemasdereferenciainerciales.
1N = (1kg)(1m/s2)= 1kg•m/s2 4 . 2
Entonces,unafuerzade2Ndaaunamasade2kgunaaceleraciónde1m/s2, y
asísucesivamente.
Enelsistemadeunidadesamericanolaunidaddefuerzaeslalibra (lb),donde
lalCOMPROBACIÓNCONCEPTUAL4.2
1lb 4,45 N,ty launidaddemasaeselslug.Lalibrasedefinecomolafuerzanecesariaparaproducirunaaceleraciónde1ft/s2aunamasade1.slug:
¿Esmáunafuerza?
1lb = 1slug•ft/s2
ysesigueque1slug-a-t.-14,6kg.
Laecuación4.1seexpresafrecuentementecomo:
fnet = ma
yserálaexpresiónqueutilizaremosmásamenudo.
Unpaquetedehelado
Lafuerzaaplicadaporunabandaelásticaproduceunaaceleraciónde5ms2sobreunpaquetedeheladom1= 1kg.Cuandolamismafuerzaseaplicaaunpaquetedeheladode
masam2atravésdelamismagomaleproduceunaaceleraciónde11m/s2.(a)¿Cuálesla
masadelsegundopaquetedehelado?(b)¿Cuáleselmódulodelafuerza?
PLANTEAMIENTOAplicar lafórmulaEF.r- ntá,acadaobjeto,ydespejarlamasadelpaquetedeheladoyelmódulodelafuerza.Losmódulosdelasfuerzasejercidasporlasgomas
soniguales.
SOLUCIÓN
(a)1.Aplicar 1f =máacadaobjeto.Únicamentehayunafuerza,
porloquenecesitamossimplementeconsiderarelmódulode
lasvariablesvectoriales:
FIGURA 4 . 4
y F2 =M2a2
*LasegundaleydeNewtonrea
l co
i nafuerzanetaconacee
l racó
i n.Notodoelmundoestádeacuerdoenquelafuerza
nea
teslacausaylaacee
l racó
i nelefecto.
Lalibradelaqueesa
tmoshaba
lndoeslalibradefuerza(unalibradefuerzaesexaca
tmene
t iguala44
,482216152605N).
Tambéinexsitelalibrademasaqueequviae
l exaca
tmene
ta04
,5359237kg.
CAPÍTULO 4 Leyes deNewton
98
M2 a1
2.Larelacióndelasmasasestáenrazóninversaconlarelación F 1 = F2 rrtlal =m2a2 and
1a 2
delasaceleracionesproducidasporlamismafuerza:
a1 5 , 0 m/s2
m2=—m1=( 1 , 20 0kg)7= 1-1(g
5
3.Despejarin,enfuncióndemquees1kg:
a2 m / s
(b)Elmódulodelafuerzaseobtienemultiplicandolamasaporla
aceleracióndecualquieradeloscuerpos:
=(1,0kg)(5,0m/s2)= 5,0N
COMPROBACIÓNConsidéreseunamasade0,45kgdehelado.Unkilogramodehelado
pesaunas2,2libras,esdecir,queelheladopesaunalibraaproximadamente,quevieneaser
eltamañodeunpaquetedehelado.
PROBLEMAPRÁCTICO4.1Unafuerzade3Nproduceunaaceleraciónde2m/s2sobre
unobjetodemasadesconocida.(a)¿Cuáleslamasadelobjeto?(b)Silafuerzaseincrementa
a4N,¿cuáleslaaceleración?
Paradescribircuantitativamentelasmasaspodemosaplicarfuerzasidénticasa
dosmasasdistintasycompararsusaceleraciones.SiunafuerzademagnitudFproduceunaaceleracióndemóduloal alaplicarseaunamasam1y lamismafuerza
produceunaaceleracióndemóduloa2cuandoseaplicaaunobjetodemasam2,entoncesmiai=m2a2(obienm2/m = a1la2) "Esdecir,
SiF1 = F2entonces
4.3
COMPARACIÓNDEMASAS
M2 a l
1a 2
Estadefiniciónestádeacuerdoconnuestraidea intuitivademasa.Si lamisma
fuerzaseaplicaadosobjetos, el objetodemásmasaeselqueaceleramenos.
Experimentalmentesededucequelarelaciónal/a2,obtenidacuandofuerzasde
idénticamagnitudactúansobredosobjetos,esindependientedelmódulo,direcciónotipodefuerzautilizada.Lamasadeuncuerpoesunapropiedadintrínseca
delmismoy, por lo tanto,nodependedelalocalizacióndelcuerpo.Esdecir, la
masadeuncuerpocontinúasiendolamismasielcuerpoestásobrelaTierra,sobre
laLunaoenelespacioexterior.
Eejmpo
l4.2
Unpaseoespacial
P
ó
n
g
a
l
o
ensucontexto
Unastronautasehaextraviadoenelespaciolejosdesucápsulaespacial.Afortunadamente,
poseeunaunidaddepropulsiónqueleproporcionaunafuerzaconstantePdurante3s.Al
cabodelos3ssehamovido2,25m.Sisumasaes68kg,determinar F.
PLANTEAMIENTOLa fuerzaqueactúasobreelastronautaesconstante,demodoquela
aceleraciónatambiénesconstante.Porlotanto,utilizaremoslasecuacionescinemáticasdel
capítulo2y3paradeterminara*,yconelloobtenerlafuerza,apartirde = má.Escogeremos I' enladireccióndelejex,demodoqueP =Fui.(figura4.5)y F. =
SOLUCIÓN
Ax=vO 2 +
talx =2O
2+
t axt2
1.Paradeterminarlaaceleración,utilizamosla
ecuación2.14conyo=0:
2Ax 2(2,25 m)
=
0,50m/s2
t2 ( 3 , 0 s)
=aXi = 0,50mis2i
Launidadpropulsora(quenosemuestraenla
fotografía)empujaalastronautahacialaderecha.
(INTASA/Sce
i nceSource/PhotoResearchers).
Fuerzadebida a la gravedad: el peso SECCIÓN 4.5
íla= ma = (68kg)(0,50 m/s2)I
34 Ni
2.Como 7esla fuerzaneta, II =t>
sustituimosTí=0,50m/s2 i yrn=68kgen
estaecuaciónparaecontrar la fuerza:
COMPROBACIÓN:Laaceleraciónes0,5m/s2,queesun5%deg.Estevalorpareceplausible.Si elmódulodelaaceleraciónfueseg, elastronautasedesplazaríamásalláde2,25m
en3s.
Eejmpo
l4.3
y
99
FIGURA 4 _ 5
-1+
Fuerzasqueactúansobreunapartícula
Unapartícula de masa 0,4 kg está ,sometida,,,simultáneamente, a dos fuerzas
Ft=—2,00Ni—4,00Nj y F, =—2,60Ni ± 5,00N/ (Figura4.6).Silapartículaestáenel
origeny partedelreposopara t = 0,calcular(a)suvectorposición r y (b)suvelocidad
paraI = 1,6s.
PLANTEAMIENTOAplicar EF = liraparaencontrarlaaceleración.Despuéspodernosutilizarlasecuacionescinemáticasdeloscapítulos2y3paradeterminarlaposicióndelapartículay lavelocidadenfuncióndeltiempo.
SOLUCIÓN
(a)1.Escribir laecuacióngeneraldelvector
posición7:enfuncióndeltiempo t
paraunaaceleraciónconstanteáen
funcióndero, lo, y d,sustituyendo
= = 0:
2.Utilizar EF =máparaexpresarla a
aceleraciónáenfuncióndelafuerza
resultanteEL y lamasarn:
3.CalcularEPapartirdelasfuerzas
dadas:
=
+
'50 t á t 2 = 0 ± O + á t 2
1
=2át2
= EP
FIGURA 4.6 Laaceleracióntienela
msi madirecciónquelafuerzaneta.La
partículapartedelreposodesdeelorigenyse
mueveenladireccióndelafuerzaneta.
rfl= ± f.2
=(-2,00N i —4,00N i) + (-2,60 N + 5,00N i)
=—4,60Ni+ 1,00Ni
4.Determinarelvectoraceleracióna:
á= Ef = —11,5m/s2 i + 2,50m/s2
m
5.Determinar el vectorposiciónYapara -0r—2ar1 —2a.xt2 , +ayt2=
1 ,
(—5,75m/s2 i + 1,25m/s2 j) t2
untiempocualqiera t:
r —14,7m i + 3,20m
6.DeterminarFparaun t =1,60s:
(b)Escribir el vectorvelocidad i; enfunción 1(t) = d-é= 2(-5,75m/s2 + 1,25m/s2
delaaceleracióny eltiempoycalcular
v(1,6s) = —18,4m/s i + 4,00m/s i
suscomponentespara t =1,6s.
COMPROBACIÓN:Losvectoresposición,velocidadyaceleracióntienentodoslascomponentesxnegativasylascomponentesypositivas.Estoeraprevisible altratarsedeunmovimientoquepartedelreposodesdeelorigenconaceleraciónconstante.
44
. FUERZADEBIDAALAGRAVEDAD:ELPESO
Sidejamoscaerunobjetocercadelasuperficieterrestre,elobjetoacelerahaciala
Tierra.Sipodemosdespreciarlaresistenciadelaire,todoslosobjetosposeenla
mismaaceleración,lamadaaceleracióndelagravedad1.Lafuerzaquecausaesta
aceleracióneslafuerzadelagravedad(F) ejercidaporlaTierrasobrecadaobjeto.Elpesodeunobjetoeselmódulodelafuerzadelagravedadqueactúasobre
él.Silafuerzadelagravedadeslaúnicafuerzaqueactúasobreunobjeto,sedice
100
I
C A P Í T U L O 4 Leyes de Newton
queésteseencuentraencaídalibre.Podernosaplicar lasegundaleydeNewton
(E f = tná)auncuerpodemasaniqueestáencaídalibreconaceleracióngpara
obtenerasílasiguienteexpresiónparalafuerzagravitacional f :
F - mg'
4.4
PESO
Comogesidénticoparatodosloscuerpos,legamosalaconclusióndequeelpeso
deuncuerpoesproporcionalasumasacercadelaTierra.Elvectorgsedenomina
campogravitatorioterrestre y esla fuerzaporunidaddemasaejercidapor la
Tierrasobrecualquierobjeto.Esigualalaaceleraciónencaídalibreexperimentada
porunobjeto.Cercadelasuperficieterrestregtieneelvalor
4.5
g=9,81N/kg =9,81m/s'
Cuandotrabajarnosconelsistemadeunidadesamericano,reemplazamosFl/gpor
lamasani,dondeFeselmódulodelafuerzadelagravedadenlibrasygelmódulodelaaceleracióndelagravedadenpiesporsegundoalcuadrado.Dadoque
9,81ni =32,2ft
g= 32,2 ft/s'
4.6
MedidascuidadosasmuestranquecercadelaTierra1varíaconellugar.Enparticular,enunpuntoporencimadelasuperficieterrestre,k>apuntahaciaelcentrode
laTierrayvaríaenrazóninversaconelcuadradodeladistanciaadichocentro.
Asípues,uncuerpopesaligeramentemenoscuandoseencuentraenlugaresmuy
elevadosrespectoal nivel delmar. ElcampogravitatoriotambiénvaríaligeramenteconlalatituddebidoaquelaTierranoesexactamenteesférica,sinoqueestá
achatadaenlospolos.Porlotanto,elpeso,adiferenciadelamasanoesunapropiedadintrínsecadelcuerpo.Aunqueelpesodeuncuerpovaríadeunlugaraotro
debidoalasvariacionesdeg,estavariaciónesdemasiadopequeñaparaserapreciadaenlamayorpartedelasaplicacionesprácticassobrelasuperficieterrestreo
cercadeella.
Unejemplopuedeclarificarladiferenciaentremasaypeso.Supongamosqueen
laLunatenemosunabolapesada,comoladejugaralosbolos.Supesoeslafuerza
gravitatoriaqueejercelaLunasobreella,peroestafuerzaessólounasextapartede
lafuerzaqueseejercesobrelabolacuandoestáenlaTierra.EnlaLunalabolapesa
sólounasextapartedeloquepesaenlaTierra,porloqueparalevantarlabolaen
ellasenecesitaunasextapartedelafuerza.Sinembargo,lanzarlabolaconcierta
velocidadhorizontalrequierelamismafuerzaenlaLunaqueenlaTierra.
Aunqueelpesodeunobjetopuedevariardeunlugaraotro,encualquierlugar
supesoesproporcionalasumasa.Asípues,podemoscompararfácilmentelas
masasdedosobjetosenunlugardeterminadocomparandosuspesos.
Lasensaciónquetenemosdela fuerzadelagravedadprocededelasdemás
fuerzasquelaequilibran.Porejemplo,alestarsentadosenunasilla,apreciamosla
fuerzaejercidaporellaqueequilibranuestropesoyque,portanto,evitaquenos
caigamosalsueloCuandoestamossituadossobreunabalanzademuelles,nuestrospiesaprecianlafuerzaejercidasobrenosotrosporlabalanza.Estabalanzaestá
calibradademodoqueregistralafuerzaquedebeejercer(porcompresióndesu
muelle)paraequilibrarnuestropeso.Lafuerzaqueequilibranuestropesosedenominapesoaparente.Estepesoaparenteeselquevienedadoporunabalanzade
muelle.Sinoexistieseningunafuerzaparaequilibrarnuestropeso,comosucede
enlacaídalibre, elpesoaparenteseríacero.Estacondición,denominadaingravidez,eslaqueexperimentanlosastronautasenlossatélitesquegiranalrededorde
laTierra.Laúnicafuerzaqueactúasobreelsatéliteeslagravedad(supeso).Elastronautaestátambiénencaídalibre.Laúnicafuerzaqueactúasobreélessupeso,
queproducelaaceleración g.Comonoexisteningunafuerzaqueequilibre la
fuerzadelagravedad,elpesoaparentedelastronautaescero.
Elpesonoesunapropiedad
intrínsecadeloscuerpos.
Fuerzasde contacto: sólidos, muelles y cuerdas
101
SECCIÓN 4.5
Unaestudianteacelerada
Lafuerzanetaqueactúasobreunaestudiantede130lbes25lbfuerza¿Cuálessuaceleración?
PLANTEAMIENTOAplicar lasegundaleydeNewtonydespejarlaaceleración.Lamasa
puededeterminarseapartir delpesodelaestudiante.
SOLUCIÓN
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,suaceleracióneslafuerza
divididaporsumasa:
Fnet Fnet
2
5
,
0
lb
a= m Fg/g (1301b)/(32,2ft/s2)
6,19ft/s2
COMPROBACIÓNLafuerzaesligeramenteinferioraunaquintapartedesupeso.Así,uno
puedeesperarquelaaceleraciónfueseinferior a la quintapartedeg.(32,2ft/s2)/5 =
6,44ft/s2,y6,19ft/s2esligeramenteinferiora6,44ft/s2,porloqueelresultadoesplausible.
OBSERVACIÓNLaecuacióndelasoluciónpuedereescribirsecomo
Fg
F
n
e
a
t
m a
g
Loquedemuestraquepuedeencontrarselaaceleracióndelaestudiantesinnecesidadde
calcularpreviamentesumasa.Paracualquiercuerpo,elcocienteentreFnetayaesigualalcocienteentreFgyg.
PROBLEMAPRÁCTICO4.2¿Quéfuerzaesnecesariaparasuministrarunaaceleraciónde
3ft/s2aunbloquede51b?
F
U
E
R
Z
A
S
DE
C
O
N
T
A
C
T
O
:
45
. SÓLIDOS,MUELLESYCUERDAS
Fuerza
normal
Lamayorpartedelasfuerzasordinariasqueobservamossobrelosobjetosseejercenporcontactodirectoentreellos.Enestasecciónexaminaremosalgunasdelas
máscomunes.
SÓLIDOS
Siempujamosunasuperficie,éstadevuelveelempuje.Consideremosunaescalera
queseapoyacontraunapared(figura4.7).Enlaregióndecontacto,laescaleraempujalaparedconunafuerzahorizontal,comprimiendoladistanciaentrelasmoléculasde la superficiedelapared.Comolosmuellesdeuncolchón,lasmoléculas
comprimidasdelaparedempujanlaescaleraconunafuerzahorizontal.Talfuerza,
perpendicularalassuperficiesencontacto,sedenominafuerzanormal(enestecaso,
normalsignificaperpendicular).Lasuperficiesoportesedeformaligeramenteenrespuestaalacarga,sibienestadeformaciónseapreciadifícilmenteasimplevista.
Lasfuerzasnormalespuedenvariardentrodeunampliointervalodevalores.Una
mesahorizontal,porejemplo,ejerceunafuerzanormaldirigidahaciaarribasobre
cualquierbloquequeestécolocadosobreella.Amenosqueelbloqueseatanpesado
quelamesaserompa,estafuerzanormalequilibrarálafuerzadelpesodelbloque.
Además,sipresionamoselbloquehaciaabajo,lamesaejerceráunafuerzasoporte
cuyomóduloserámayorqueelpesodelbloqueparaevitarqueacelerehaciaabajo.
Enciertascircunstancias,loscuerposencontactoejerceránfuerzasentresíqueson
paralelasalassuperficiesencontacto.Consideremoselbloquedelafigura4.8.Sise
leempujasuavementedeladonoresbalará,yaquelafuerzaejercidaporelsuelose
oponeaqueelbloquesedeslice.Si,encambio,seempujafuertemente,elbloqueempezaráamoverseenladireccióndelafuerza.Paramantenerelmovimiento,esnecesarioejercercontinuamenteunafuerza.A partir delinstanteenquesedejade
empujarelbloqueralentizasumovimientohastaquesepara.Lacomponentepara-
FIGURA 4.7 Laparedsostienela
escaleraejerciendosobreellaunafuerza
normalalapared.
Fuerzade
rozamiento
FIGURA 4.8 Lafuerzaderozamiento
ejercidaporelsuelosobreelbloqueseopone
asudesplazamientooasutendenciaa
deslizarse.
102
CAPÍTULO4 LeyesdeNewton
leladelafuerzadecontactoejercidaporuncuerposobreotroselamafuerzaderozamiento.(Lasfuerzasderozamientosetratanconmásdetalleenelcapítulo5.)
Uncontenedor(figura4.9a)descansasobreunplanoinclinado.Lafuerzadela
gravedadempuja al contenedorhaciaabajo.Enconsecuencia,el planoejerceunafuerza F de igual módulo
sobreelcontenedora fin deimpedirsumovimiento (figura4.9b).LafuerzaF—eslafuerzadecontactodelplano
sobreel contenedor.Unafuerzadecontactocomoésta
puedeinterpretarsecomodosfuerzasdistintas,una llamadafuerzanormal ?„ , dirigidaendirecciónperpendi(a)
(b)
culara lasu_perficiedelplano, y otralamadafuerzade
rozamiento f, queesparalelaalasuperficiedelplano.La
FIGURA 4.9 (a)Uncontenedordescansasobreunplanoinclinado.
fuerzaderozamientoseoponeacualquiertendenciaque (b)
Lafuerzadecontactodelplanosobreelcontenedorserepresentaobien
tengaelcontenedoradeslizarse.
porlafuerza F, obiencomosuperposiciónentrelafuerzanormalP., ylade
fricción7.
MUELLES
Cuandounmuellesecomprimeosealargaunapequeñacantidadx, la
fuerzaqueejerce,segúnsedemuestraexperimentalmente,es
Fx k x
4.7
LEYDEHOOKE
dondekeslaconstantedefuerza,constanteelásticaotambiénlamada
constanterecuperadora,unamedidadelarigidezdelmuelle(figura4.10).
Unvalornegativodex significaqueelmuellehasidocomprimidouna
distancialxldesdesuposicióndeequilibrio. Elsignonegativoenlaecuación4.7significaquela fuerzaqueejerceelmuellequeseestiraocomprimeadoptala direcciónopuesta.Estaecuación,conocidacomoleyde
Hooke,esdegraninterés.Unobjetoenreposobajolainfluenciadefuerzasqueseequilibran,sedicequeestáenequilibrioestático.Siunpequeño
desplazamientodalugaraunafuerzaderestituciónnetahacialaposición
deequilibrio,sedicequeelequilibrioesestable.Parapequeñosdesplazamientos,casitodaslasfuerzasderestituciónobedecenlaleydeHooke.
Lafuerzamoleculardeatracciónentrelosátomosdeunamoléculaoun
sólidovaríademodomuyparecidoaldeunmuelle.Porello,esfrecuente
representarelmodelodeunamoléculadiatómicapordosmasasconectadasporunmuelley elmodelodeunsólidomedianteunaseriedemasas
conectadaspormuellescomosemuestraenla figura4.11.
(a) I l a r Y M M I W A r .
+x
x=xo
Ex=—kxesnegativa(porquexespositivo).
(b)
xo
Ex=—kxespositiva(porquexesnegativo).
Fx.
+X
xo
(a)
(b)
FIGURA 4.11 (a) Modelodeunsólidoformadoporátomosconectadosentresí
pormuelleselásticos.Losmuellessonmuyrígidos(constantedefuerzagrande),de
modoquecuandounpesoactúasobreelsólido,sudeformaciónnoesvisible.Sin
embargo,lacompresiónproducidaporlamordazasobreunbloquedeplásticoen(b),
dalugaraprocesoselásticosquesehacenvisiblesmedianteluzpolarizada.
((b)FundamentalPhotographs.)
FIGURA 4 .1oMuellehorizontal.(a)Cuandoel
muellenoestátenso,noejerceningunafuerzasobreel
bloque.(b)Cuandoelmuelleseestira,demodoquex
espositivo,ejerceunafuerzademagnitudkxenel
sentidonegativodex.(c)Cuandoelmuellese
comprime,demodoquexesnegativo,elmuelleejerce
unafuerzademagnitudklxiensentidopositivo.
Fuerzas de contacto: sólidos, muelles y cuerdas
Ee
jmpo
l4.5
SECCIÓN 4.5 I
Elmate
Unjugadordebaloncestode110kgsecuelgadelarodelcestodespuésdeunmateespectacular(figura4.12).Antesdedejarsecaer,sequedacolgandoenreposo,conelanillodoblado
haciaabajounadistanciade15cm.Suponiendoqueelarosecomportacomounmuellaelástico,calcularsuconstantedefuerzak.
PLANTEAMIENTOComolaaceleracióndeljugadorescero,lafuerzanetaejercidasobreél
esnula.lafuerzahaciaarribaejercidaporelaroequilibrasupeso(figura4.12).Seay=Ola
posiciónoriginaldelaro,considerandoypositivahaciaabajo.Porlotanto,eldesplazamiento
delaroyeespositivo,elpesoFgy=mgespositivoylafuerzaejercidaporelaro -ky,esnegativa.
SOLUCIÓN
1.Aplicar2:Fy=m(;. jugador.La
E acel
l eracióF
n aY = ma
Y
deljugadorescero:
P
+ Fy=O
gY
2.Utilizar laleydeHooke(ecuación4.7)para F Y=
encontarFy:
3.Sustituirlasexpresionesyvaloresparalas F gY+ FY=O
componentesdelasfuerzasdelpaso1y m g +(—kye)=O
despejark:
mg (110 kg)(9,8 N/kg)
k= — =
Ye 0 , 1 5 m
7,2X103N/m
COMPROBACIÓNEl pesodeuncuerpoennewtonsescasidiezvecesmayorquelamasa
delcuerpoenkilogramos.Así,elpesodeljugadoresmayorque1000N.Unaflexióndelaro
de0,1mcorresponderíaaunakde10000N/m,porloqueparececorrectoquektengaun
valorde7200N/mparaunaflexiónde0,15m.
OBSERVACIÓNAunqueelarodelcestonoseparecemuchoaunmuelle,elaroestácolgadoporunabisagraconunmuellequesedeformacuandoelaroseinclinaComoresultado,lafuerzahaciaarribaquehaceelarosobrelasmanosdeljugadoresproporcionalala
inclinacióndelaroyensentidoopuesto.Obsérvesequehemosutilizadoparaglasunidades
N/kg,demodoquekgsecancela,yobtenemosparaklasunidadesN /In.Paragsiempre
puedeusarse,anuestraconveniencia,9,81N/kgo9,81m/s2,yaque1N/kg =1m/s2.
PROBLEMAPRÁCTICO4.3 Un racimodeplátanosde4kgestásuspendidoenreposode
unabalanzademuelle,cuyaconstantedefuerzaesk=300N/m.¿Cuántosehaestiradoel
muelle?
PROBLEMAPRÁCTICO4.4 Un muelle,deconstantedefuerza400N/m,estáconectadoa
unbloquede3kgquedescansasobreunapistadeairehorizontal,demodoqueelrozamientoesdespreciable.¿Quéalargamientodebeexperimentarelmuelleparaqueal liberar
elbloqueésteposeaunaaceleraciónde4m/s2?
PROBLEMAPRÁCTICO4.5 Un objetodemasamoscilaenelextremodeunmuellede
constantedefuerzak.EltiempocorrespondienteaunaoscilacióncompletaeselperiodoT.
SuponiendoqueTdependedemy k, utilizar el análisisdimensionalparadeterminar la
formadelarelaciónT= f (m,k),prescindiendodelasconstantesnuméricas.Elmétodomás
simplees considerar las unidades.Obsérveseque las unidades de k son N /m =
(kg•m/s2)/m = kg/s2ylasunidadesdemsonkg.
CUERDAS
Uncuerposepuedearrastrarymovermedianteunacuerda.Sepuedesuponerque
unacuerdaescomounmuelleperoconunaconstantedefuerzamuygrande,de
formaqueladeformaciónqueadquierealaplicarunafuerzaesdespreciable.Las
cuerdas,sinembargo,nosonrígidas,yaquequeseflexionanysetuerceny,porlo
tanto,nopuedenusarseparaempujarobjetoscomolohacenlosmuellessinoqueúni-
FIGURA 4.12
103
104
CAPÍTULO4 LeyesdeNewton
camentepuedentirardeellos.Lamagnituddelafuerzaqueuntrozodeunacuerda
ejercesobreotroadyacentesedenominatensión,T.Porlotanto,sisetiradeunobjetoconunacuerda,lamagnituddelafuerzacoincideconlatensión.Enlasección4.8
sedesarrollaconmásdetalleelconceptodetensiónenunacuerdaoenunacadena.
4.6 RDIEASGORLAUMCAIÓSNDE
DEPROBLEMAS:
CUERPOLIBRE
Imaginemosuntrineotiradoporunperroqueavanzaporunterrenohelado.El
perrotiradeunacuerdaligadaal trineo (figura4.13a)conunafuerzahorizontal
quehacequeésteganevelocidad.Podemospensareneltrineo y lacuerdacomo
unúnicocuerpo.¿Quéfuerzasactúansobreelcuerpotrineo-cuerda?Tantoelperro
comoel hielotocan el cuerpo,demodoqueambosejercenfuerzassobreél.
TambiénsabemosquelaTierraejerceunafuerzagravitatoriasobreel trineo y la
cuerda(elpesodelcuerpo).Resumiendo,estastresfuerzasactúansobreelcuerpo
(suponiendoelrozamientodespreciable):
1.Elpesodelcuerpotrineo-cuerdaT.,.
2.Lafuerzadecontactofinejercidaporelhielo(sinrozamiento,estafuerzaesperpendicularalhielo).
3.LafuerzadecontactoFejercidaporelperro.
Undiagramaquemuestraesquemáticamentetodaslasfuerzasqueactúansobre
unsistema,talcomoeldela figura4.13ksedenominadiagramadefuerzas.Se
denominadiagramadecuerpolibreporqueelobjeto(elcuerpo)sedibujasinsu
entorno.
Paradibujaraescalalosvectoresfuerzaenundiagramadefuerzasdesistema
aisladoesnecesariodeterminarprimero,usandométodoscinemáticos,ladirección
delvectoraceleración.Sabemosqueelobjetosemuevehacialaderechaconvelocidadcrecientey,porlotanto,queelvectoraceleraciónvaenladireccióndesumovimiento,hacialaderecha.Obsérveseque'in y neneldiagramatienenmagnitudes
iguales.Losmódulosdebenseriguales,yaqueeltrineonoaceleraverticalmente.
Comopruebadelacorreccióndeldiagramadelsistemaaisladoquehemosrealizado,dibujamoseldiagramadelaadiciónvectorial(figura4.14)verificandoquela
sumadelosvectoresfuerzacoincideconladireccióndelvectoraceleración.
AhorapodemosaplicarlasegundaleydeNewtonparadeterminarlascomponentesxeydelafuerzanetasobrelapartículatrineo-cuerda.Lacomponentexde
lasegundaleydeNewtonda
Fx Fnx+g Fx + xF
o
0 + 0
ax
F
(a)
FIGURA 4.13 (a)Unperrotiradeun
trineo.Elprimerpasopararesolvereste
problemaesaislarelsistemaquedeseamos
analizar.Enestecaso,lacurvacerradade
puntosaíslaelcuerpotrineo-cuerdadesus
alrededores.(b)Lasfuerzasqueactúansobre
eltrineodeldibujo(a).
max
max
F
ma
LacomponenteydelasegundaleydeNewtonexpresa:
osea,
Fy Fny+Fgy Fy =ma
FnFg +0=0
Fn F
g
Enestesimpleejemplohemosdeterminadodosmagnitudes:laaceleraciónhorizontal F/m,y lafuerzavertical tr, ejercidaporelhieloFI,= = mg.
Fn
1
F
FIGURA 4.14 El vectorsumadefuerzas
deldiagramadefuerzasdeunsistemaaislado
esigualalamasaporelvectoraceleración.
Resolucióndeproblemas:diagramasdefuerzasdesistemasaislados SECCIÓN 4.6 I
105
ESTRATEGIADERESOLUCIÓNDEPROBLEMAS
AplicacióndelasegundaleydeNewton
PLANTEAMIENTOAsegurarsedequeseidentificantodaslasfuerzasque
actúansobrelapartícula.Luego,determinarladireccióndelvector
aceleracióndelapartícula,siesposible.Saberestadirecciónseráútilpara
elegirelsistemadereferenciamásadecuadopararesolverelproblema.
SOLUCIÓN
1.Dibujarundiagramaclaroqueincluyalasprincipalescaracterísticasdel
problema.
2.Aislar elcuerpo(partícula)deinteréseidentificarcadaunadelasfuerzas
queactúansobreél.
3.Dibujar eldiagramadefuerzas.
4.Elegir unsistemadecoordenadasadecuado.Siseconoceladirecciónde
laaceleraciónescogerunosdelosejesqueseaparaleloaella.Para
cuerposquesedeslizansobresuperficies,elegirlosejesdeformaqueuno
seaparaleloyelotroperpendicularalasuperficie.
5.Aplicar lasegundaleydeNewton,E f =md,enformadecomponentes.
6.Despejarlasincógnitasdelasecuacionesresultantes.
COMPROBACÓ
I NComprobarsilosresultadostienenlasunidadescorrectas
yparecenrazonables.Sustituirvaloresextremosenlasoluciónesunbuen
sistemaparacomprobarsisehancometidoerrores.
Eejmpo
l4.6
Unacarreradetrineos
Durantelasvacacionesdeinvierno,unjovenparticipaenunacarreradetrineosdondelos
estudiantessustituyenalosperrosEljovencomienzalacarreratirandodeunacuerdaatada
altrineoconunafuerzade150Nqueformaunángulode25°conlahorizontal.Lamasadel
cuerpotrineo-cuerda-pasajeroesde80kg y elrozamientoentreel trineo y el hieloesdespreciable.Determinar.(a)laaceleracióndeltrineo y(b)lafuerzanormalejercidaporlasuperficiesobreeltrineo.
(a)
PLANTEAMIENTOTresfuerzasactúansobreelcuerpo:supeso.P‹,queactúahaciaabajo;
lafuerzanormalPn,queactúahaciaarriba;ylafuerzaconqueeljoventiradelacuerda F,
endirección25°sobrelahorizontal.Comolasfuerzasnocoincidenenlamismalíneadedirección,estudiaremoselsistemaaplicandolasegundaleydeNewtonalasdireccionesxey
porseparado.
SOLUCIÓN
(a)1.Dibujamosundiagramadefuerzas(figura4.15b)deltrineo.Incluyeunsistemade
coordenadasenelcualunodelosejesdecoordenadasapuntaenladireccióndela
aceleracióndeltrineo.Elobjetosemuevehacialaderechaconvelocidadcreciente,
porloquesabemosquelaaceleraciónvaenesadirección:
2.Nota:seañadenlosvectoresfuerzaeneldiagrama(figura4.16)paraverificarquesu
sumavaenladireccióndelaaceleración:
3.SeaplicalasegundaleydeNewtonalobjeto. Fn+ F—
gF =ma o
Seescribelaecuacióntantoenformavectorial F + F +F =ma
nx g x x
x
comoensuscomponentes:
Fny+SFy + YF =ma
Y
4.SeescribenlascomponentesxdeP.„
ffgy í:
(b)
FIGURA 4 . 1 5
ma
F
FIGURA 4.16 El vectorsumade
fuerzasdeldiagramadefuerzasdeun
istemaaisladoesigualalamasaporel
=O,FnxFgx O, y Fx = Fcose svector
aceleración.
106
CAPÍTULO 4 Leyes de Newton
5.Sesustituyenlosresultadosdelpaso4enlaecuaciónpara
lacomponentexdelpaso3.Sedespejalaaceleracióna,:
(h)1. SeexpresalacomponenteydeFi:
2. SeescribenlascomponentesydeP., re y r':
3. Sesustituyenlosresultadosdelospasosbl yb2
enlaecuaciónparalacomponenteydelpasoa3.
SedespejaFn:
E.Px=O+O F cosí)
= max por lotanto
FcosO(150 N)cos25°
a,— rrt 8 0 kg
1,7m/s2
ay=0
F, Fsy = —mg,
yF
s Yi= nF e
IFy =F.— mg
F+ sineO=
F. =mg
F—sinO
= kg)(9,81
(80 ( 1N/kg)
5 —0N )sin25°
=
Fny =
7,2x102N
COMPROBACIÓNSólo lacomponentexde F, FcosO,eslacausadelaaceleracióndel
cuerpo.Obsérvesetambiénqueel hielosoportaunpesoinferior alpesototal delcuerpo,
pueslacomponenteFsenOessoportadaporlacuerda.
PROBLEMAPRÁCTICO4.6 SiO=25",¿cuáleslamayorfuerzaFquepuedeaplicarseala
cuerdasinlevantareltrineodelasuperficie?
Descargadeuncamión
P ó n g a l o
ensucontexto
Supongaquetrabajaparaunagrancompañíadetransporteyquedebedescargar
deuncamiónunacajaenormey frágilusandounarampacomolaquesemuestraenla figura4.17.Si lavelocidadverticalconquelega lacajaal finaldela
rampaessuperiora2,5m/s(lavelocidadqueadquiereunobjetosicaedesdeuna
alturade30,5cm),sucargasedaña.¿Cuáleselmayoránguloposiblealquese
puedeinstalarlarampaparaconseguirunadescargasegura?Larampadebesuperarunmetrodealtura,estáformadapor rodillos(sepuedesuponerqueno
ejercerozamiento)yestáinclinadaconlahorizontalunánguloO.
PLANTEAMIENTOSobrelacajaactúandosfuerzas,lafuerzadelagravedadrg
ylafuerzanormal F. Comoestasfuerzasnosonparalelasnopuedensumarcero,
conlocual,hayunafuerzaresultantesobreelobjetoqueloacelera.Larampahace
quelacajasemuevaparalelaasusuperficie,porloqueelegimosladirecciónde
lapendientedelarampacomoladirecciónx.Paradeterminarlaaceleración,aplicamoslasegundaleydeNewtonalacaja.Cuandosepamoselvalordelaaceleración,podremosusaruncálculocinemáticoparadeterminarelmayorángulode
lapendienteparalograrunadescargasegura.
FIGURA 4 . 1 7
SOLUCIÓN
1.Dibujamoseldiagramadelafigura4.18dondevemosqueactúandosfuerzas,elpesoy
lanormal.Elegimosladireccióndelaaceleración,enladireccióndelarampahacia
abajo,comodirección+x:Nota:comoseveeneldiagrama,elánguloentre f.gyel
sentidonegativodelejeyeselmismoqueelánguloentrelapendientedelarampayla
horizontal.TambiénsepuedeverqueFgx=FgsenO.
2.Paradeterminara,aplicamosalacajalasegundaley
Fnx+Fg, =max donde
eeNewton (Ir', = ma).(Nota:P„esperpendicularal F n x =0 y Fg, =FgsenO—mgsenO
jexyFgmg):
3.Sesustituyeydespejalaaceleración,obteniendo:
O+mgsenO=maxpor loque a, = gsen
4.Seestableceunarelaciónentrelacomponenteverticalde v, =vxsenO
lavelocidaddelacajaylavelocidadvxalolargodela
rampa:
5.La velocidadyestárelacionadaconeldesplazamientoA: v2=v2ox+2axAx
alolargodelarampamediantelaecuacióncinemática
siguiente:
6.Sesustituyea,enlaecuacióncinemática(paso2),
vl= 2gsenOákx
haciendoyo=0,conlocual:
FIGURA 4 . 1 8
tesolucióndeproblemas:diagramasdefuerzasdesistemasaislados SECCIÓN 4.6
7.Delafigura4.17sevequecuandoAxeslalongituddelarampa,
AxsenO=h,dondeheslaalturadelarampa:
8.Medianteelusodey,=ysenO,seobtieneparay\r:
vx= 2gh
9.Sedespejaelángulomáximoyseobtiene:
2,50m/s = V2(9,81m/s2)(1,00m)senOmax
34,4°
vd= V2ghsen0
COMPROBACIÓNConunángulode34,4°lacomponenteverticalhaciaabajodelavelocidad
seráligeramentemayorquelamitaddelavelocidadquelacajatendríasifuesedejadacaerdesde
unaalturade1m.
OBSERVACIÓNLaaceleraciónporlarampahaciaabajoesconstanteeigualagsenO.Asimismo,lavelocidadyalfinaldelarampanodependedelánguloO.
PROBLEMAPRÁCTICO4.7Aplicar IFy,=may,alacajaydemostrarque = mgcosO.
Eejmpo
l4.8
Colgandouncuadro
Inténteloustedmismo
Uncuadroquepesa8NsecuelgamediantedoscablesqueejercentensionesT1yT2,talcomo
indicalafigura4.19.Determinarlatensióndelosdoscables.
PLANTEAMIENTOComoelcuadronoposeeaceleración,lafuerzanetaqueactúasobreél
debesernula.Lastresfuerzasqueactúansobreelcuadro,supeso n, latensiónT y latensiónT2debendarunaresultantenula.
SOLUCIÓN
Tapelacolumnadeladerechaeintenteresolverloustedmismo.
Respuestas
Pasos:
1.Dibujarundiagramadefuerzasparael
cuadro(figura4.20).Mostrareneldiagrama
lascomponentesxeydelastensiones.
2.Aplicar sF =máenformavectorialal
'.1 1- T2 -E frg = ma
cuadro.
7'1x+ 2T x+gFx = O
3.Descomponercadafuerzaensus
componentesxey.Asíseobtienendos
Tl cos30°—T2cos60°+O=O
ecuacionesparalasincógnitasT1yT2.
T1y+ 2
T y+F
g y=O
Tsen30°+T2sen60°—F =O
4.Resolverlaecuacióndelacomponentex
paraT2enfuncióndeT1.
cos30°
T2=T1cos60°
5.Aplicar elvalordeT2enlaecuacióndela
componenteydelpaso3ydespejarT1.
Tsen30°+
6.Utilizar elresultadodeT1paraobtenerel
valordeT2.
cos30°
T2= cos60°
za\
60°
FIGURA 4 . 1 9
cos30° )
1cos60° sen60°—F =O
=0,50E; = 4,0N
6,9N
COMPROBACIÓNEl cablemáspróximoala verticaleselquesoportalamayorcontribucióndelpeso,comoeradeesperar.TambiénvemosqueT1+T2>8N.Lafuerza"extra"es
debidaaloscablesquetiranaladerechayalaizquierda.
FIGURA 4 . 2 0
107
CAPITULO 4 Leyes deNewton
108
Ee
jmpo
l4.9
Unaviónqueacelera
Cuandounaviónaceleraenlapistadelaeropuertoparadespegar,unviajerodecidedeterminarsuaceleraciónmediantesuyo-yo ycompruebaquelacuerda
delmismoformaunángulode22°conla vertical (figura4.21a).(a)¿Cuálesla
aceleracióndelavión?(b)Silamasadelyo-yoesde40g,¿cuáleslatensiónde
lacuerda?
a
PLANTEAMIENTOEl aviónyelyo-yotienenlamismaaceleraciónhacialaderecha.Lafuerzanetadelyo-yovaen lamismadirecciónquesuaceleración,
hacialaderecha.Estafuerzavienesuministradapor lacomponentehorizontal
delatensión T. LacomponenteverticaldeTequilibraelpesodelyo-yo.Elegimosunsistemadecoordenadasenelcualladirecciónxesparalelaalvectoraceleraciónay ladirecciónyesvertical.ExpresandolaleydeNewtonparaambas
direccionesxey,seobtienendosecuacionesquenospermitencalcularlasdos
incógnitas,ay T.
(a)
SOLUCIÓN
(a)1.Dibujarundiagramadefuerzasparaelyo-yo(figura4.21b).Elegirla
direcciónpositivadelejexenladireccióndelaaceleración.
2.AplicarEFx=maxsegúnelmétododelas
componentesparaelyo-yo:
3.AplicarEFy=mayalyo-yo.Mediantela
trigonometríayFg=mg,simplificar
(figura4.21).Laaceleraciónapuntaenla
direcciónpositivadelejex;porlotanto,
ay = O:
4.Dividir elresultadodelpaso2poreldel
paso3ydespejarlaaceleración.Elvector
aceleraciónseñalaenladirecciónpositiva
delejex,conloquea= a,:
(b)Despejarlatensión,usandoelresultadodel
paso3:
T+F
gx=ma
x x
Tserie+O=max
o
Tsene=max
Ty +F
=ma
g Y
Tcose—mg=0
o
Tcose=mg
ma
-110-
(b)
FIGURA 4 . 2 1
TsenOmax entonces
a tanxO= y
TcosO mg
g
ax= gtan0=(9,81m/s2)tan22,0°= 196 nn/s2
mg(0,0400 kg)(9,81m/s?)
cos8— c o s 22.0°
COMPROBACIÓNParaO= 0,cose= 1 y tge =OresultaT =mg,ya, =0.
OBSERVACIÓNT esmayorqueelpesodelyo-yo(mg=0,392N),yaquelacuerdanosólo
evitaquecaigaelyo-yo,sinoquetambiénloaceleraendirecciónhorizontal.Enestecaso,
utilizaremosparaglasunidadesm/52,yaqueestamoscalculandounaaceleración.
PROBLEMAPRÁCTICO4.8¿Paraquéaceleraciónalatensióndelacuerdaseríaiguala
3mg?¿CuántovaldríaOenestecaso?
ElejemplosiguienteaplicalasleyesdeNewtonaobjetosqueestánenreposorelativorespectoaunsistemadereferenciaacelerado.
0,423N
(c)
Tercera ley deNewton SECCIÓN 4.7
Ee
jmpo
l4.10
109
Supesoenunascensor
Unhombrede80kgestádepiesobreunabalanzademuellesujetaal
suelodeunascensor.Labalanzaestácalibradaennewtons.¿Quépeso
indicarálabalanzacuando(a)elascensorsemueveconaceleracióna
haciaarriba,(b)elascensorsemueveconaceleracióndescendentaa',(c)
elascensorsemuevehaciaarribaa20m/s,mientrassuvelocidaddecredearazónde8rn/s2.
PLANTEAMIENTOLalecturadelabalanzaeselmódulodela fuerza
normalFejercida por labalanzasobreelhombre(figura4.22).Como
enhombreestáenreposorespetoalascensor,tantoelunocomoelotro
poseenlamismaaceleración.Sobreelhombreactúandosfuerzas: la
fuerzadelagravedadhaciaabajo,mg,ylafuerzanormaldelabalanza,
Fn,haciaarriba.Lasumadeambaseslacausadelaaceleraciónobservadasobreelhombre.Elegiremoscomopositaladirecciónhaciaarriba.
SOLUCIÓN
(a)1.Dibujarundiagramadefuerzasparaelhombre(figura4.23):
2.AplicaIFy =
F
+ F = may
Fgy Y
Fn—Mg =may
3.DespejarFn.Estaes la lecturade la Fn = mg +may= m(g + ay)
balanza(elpesoaparentedelhombre):
(
a
)
F. m(g+ a)
4.ay = +a:
(b)ay =—a'.SustituimosaYenel
=m(g + ay) =
resultadodelapartado3delpasoa:
(c)Lavelocidadespositivaperodecreciente, F. =m(g +ay) = (80kg)(9,81m/s2—8,0m/s2)
demaneraquelaaceleraciónserá
negativa.Entoncesav=—8m/s2.Sustituir =144,8N = 1,40><102N
enelapartado3delpasoa:
COMPROBACIÓNSi laaceleracióndelascensoreshaciaarriba,independientementedeque
elascensorsubaobaje,unoesperaríapesarmásdeformaqueelpesoaparentefuesemayorque
mg.Estoestádeacuerdoconelresultadodelapartado(a).Silaaceleracióndelascensoreshacia
abajo,unoesperaríapesarmenosdeformaqueahoraelpesoaparentefuesemenorquemg.Los
resultadosdelosapartados(b)y(c)estándeacuerdoconlosrazonamientosanteriores.
PROBLEMAPRACTICO4.9 Unascensordesciendelegandoalreposoconunaaceleración
4,00m/s2.Sisumasaesde70kgyseencuentrasobreunabalanzasobreelsuelodeunascensor,¿quémarcalabalanzacuandoelascensorsevadeteniendo?
TERCERALEYDENEWTON
LaterceraleydeNewtonponedemanifiestounapropiedadimportantedelas
fuerzas:lasfuerzassedanenpares.Porejemplo,siunafuerzaseaplicasobreun
cuerpoA,debehaberuncuerpoBqueejerzalafuerza.LaterceraleydeNewton
establecequeesasfuerzastienenelmismomóduloydireccionesopuestas.Es
cecir,siuncuerpoAejerceunafuerzasobreuncuerpoB,elcuerpoBejerceuna
fuerzasobreelcuerpoAqueesigualenmóduloyopuestaendirección.
Terceraley.Lasfuerzassiempreactúanporparesigualesyopuestos.Siel
cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, éste ejerce una fuerza
igual, pero opuestaFBA,sobre el cuerpoA. Así pues,
4.8
TERCERALEYDENEWTON
?B
IA=PAB
p
(b)
FIGURA 4.22
FIGURA 4.23
110
CAPÍTULO 4 Leyes deNewton
Acadapardefuerzasseleslamaparde
Losparesde la tercera ley deNewton
laterceraleydeNewton(3LN).Escomún T n B T
sonsiempreigualesyopuetos.
referirse a estasfuerzascomoacción y
reacción;sinembargo,estaterminologíaes
desafortunadaporqueparececomosiuna
fuerzareaccionaraa la otra, lo cualnoes
Enningúncasodosfuerzasexternas
cierto,yaqueambasfuerzasactúansimulqueactúansobreunúnicoobjeto
táneamente.Cadaunadeellaspuededeconstituyenunpar3LN.
nominarseacción o bien reacción. Si
cuandounafuerzaexternaactúasobreun
objetoparticularlalamamosfuerzadeacción,lacorrespondientefuerzadereacción
debeactuarsobreunobjetodiferente.Así,
enningúncasodosfuerzasexternasque
actúansobreunúnicoobjetoconstituyen
unparacción-reacción.
Earth
Enlafigura4.24seveunacajaquedescansaencima de unamesa. La fuerza
haciaabajoqueactúasobre la caja es FIGURA 4.24
fuerzade la gravedadfg.rc de la Tierra
sobreelbloque.ElbloqueejercesobrelaTierraunafuerzaigual ydesignocontrario Estas fuerzasformanpuesunpar3LN.Sifueranlasúnicasfuerzaspresentes,elbloqueseaceleraríahaciaabajoy laTierraseaceleraríahaciaarriba.Sin
¿LasfuerzasFgcTyPncmdela fiembargo,lamesaejercesobrelacajaunafuerzahaciaarribaflumcquecompensael
gura4.24formanunpardela teruso.LacajatambiénejerceunafuerzasobrelamesaP>G
, Ahaciaabajo.Lasfuerzas
ceraleydeNewton?
FrcimyFr,mcformanunpar3LN.
Ee
jmpo
l4.11
Ejemploconceptual
Elcaballoyelcarro
Elcaballodela figura4.25arechazatirar delcarroporquerazona."deacuerdoconlaterceraleydeNewton,cualquiera
queseala fuerzaqueejerzasobreelcarro,ésteejerceráuna
fuerzaigual y desentidocontrariosobremí, por lo que la
fuerzanetaseráceroy nohabráningunaopciónparaacelerarlo".¿Dóndeestálaincorrecciónenesteargumento?
PLANTEAMIENTOEstamosinteresadosen el movimiento
delcarro,y, por lo tanto,dibujamosundiagramadefuerzas
paraél (figura4.25b).Lafuerzaejercidapor elcaballoenlos
arreossedesignapor flic.(Losarreosestánatadosalcarro,
porloquelosconsideramoscomopartedelcarro.)Hayotras
fuerzasqueactúansobreelcarro,comolafuerzadelagravedadsobreelcarroÉtIEC,la fuerzaqueejerceelsuelof,,,pcyla
fuerzaderozamientoejercidapor elpavimento,7pc(fuerza
derozamiento).
(a)
SOLUCIÓN
1.Dibujar eldiagramadefuerzasparaelcarro(véasela
figura4.25c).Elcarronoaceleraverticalmente,porloque
lasumadefuerzasenladirecciónverticalescero.Las
fuerzashorizontalesson?Hequevahacialaderechay
fpc,quevahacialaizquierda.Elcarroacelerarási
(b)
IfFci1i1PCI•
-40
ÍFC
FHC
FgEC
(c)
FIGURA 4.25
4.25
Problemascondosomásobjetos SECCIÓN4.8
2.Obsérveseque la fuerza dereaccióna
,quedenominamos_de ,seejerce
sobreelcaballo,nosobreelcarro (figura4.25d),ynotieneningúnefectosobre
elmovimientodelcarro,sinoqueafecta
almovimientodelcaballo.Si elcaballo
acelerahacialaderecha,debehaberuna
fuerza?Hl (hacia la derecha)ejercida
porelpavimentosobrelaspezuñasdel
caballomayorque fol.
111
ComolafuerzadereacciónaT1
'1c.
seejercesobreel caballonohay
efectoalgunosobreelcarro.Este
erael errordelrazonamientodel
caballo.
FPH
FHP
(d)
COMPROBACIÓNTodas lasfuerzasqueactúansobreel carrotienenCcomosubíndice
derechomientrasquetodaslasfuerzasqueactúansobreelcaballotienenHcomosubíndicederecho.Poreso,nohemosdibujadolasdosfuerzasdel paracciónyreaccióndela
terceraleydeNewtonalavez, nienelcarro nienelcaballo.
OBSERVACIÓNEsteejemploilustra la importanciade dibujar undiagramadefuerzas
cuandoseresuelvenproblemasdemecánica.Si elcaballo lo hubierahecho,hubieracomprendidoquelebastabaconempujarconfuerzasobreelpavimentoparaqueéstele proporcionaralafuerzaparamoverlohaciadelante.
PROBLEMASCONDOSOMÁSOBJETOS
Enalgunosproblemas,losmovimientosdedosomásobjetossehallanbajola influenciadesusinteraccionesmutuas.Porejemplo,cuandoambosestánencontactooestánconectadosmedianteunacuerdaounmuelle.
Latensiónenunacadenaounacuerdaesel módulode la
fuerzaqueunsegmentodelacuerdaejercesobreelinmediatamentecontiguo.Latensiónpuedevariaratravésdela longitud
dela cuerda,comoen elcasodeunacuerdaquecuelga del
techode ungimnasio,donde la tensiónen el trozoqueestá
juntoaltechoesmayor,yaqueenesazonaseaguantatambién
elpesodetoda la cuerda.Sinembargo,enlosproblemasque
trataremosenestelibro, lamasadelascuerdassesuponenpequeñas,deformaquela variaciónenla tensióndebidaalpeso
delacuerdaesdespreciabley, por lo tanto,tambiénsedesprecianlasvariacionesenla tensióndebidasaalgunaaceleración
delacuerda.
ConsideremoselmovimientodeSteveyPaulenlafigura4.26.
ElritmoconelcualPaulbajaseigualaconlavelocidadconlaqueSteveresbala
porelglaciar.Deestemodo,lasvelocidadesdeambossoniguales.SiPaulseacelera,Steveseaceleraalmismoritmo.Esdecir,susaceleracionestangencialespermaneceniguales.(Laaceleracióntangencialdeunapartículaeslacomponentede
laaceleraciónqueestangentealatrayectoriadelapartícula.)
EldiagramadefuerzasdeunsegmentodecuerdaatadaaSteve,dondeAm,
eslamasadeesesegmento,semuestraenla figura4.27.Aplicando lasegunda
leydeNewtonaestesegmento,seobtieneT—Ti = ám,a, Si lamasadelsegmentodecuerdaesdespreciable,entoncesT = r y nosenecesitaunafuerza
netaparadarleunaaceleración.(Esdecir,sólosenecesitaunadiferenciadetensióndespreciableparadarauntrozodecuerdademasadespreciableunaaceleraciónfinita.)
AhoraconsideramostodalacuerdaqueuneaSteveyPaul.Sidespreciamoslagravedad,sobrelacuerdaactúantresfuerzas.SteveyPaul,cadauno,ejercenunafuerza,
FIGURA 4 . 2 5
(continuación)
COMPROBACÓ
I NCONCEPTUAL4.4
Cuandoestédelantedeunamigo
coloquelaspalmasde sumano
contralasdeunamigoyempuje.
¿Podráejercer su amigo una
fuerzasobreusted si usted no
ejercefuerzasobreél?Inténtelo.
Steve
FIGURA 4 . 2 6
FIGURA 4 . 2 7
112
CAPÍTULO 4 Leyes deNewton
comotambién lo hace el hielo del borde del glaciar.
Despreciarcualquierrozamientoentreel hielo y lacuerda
significaquelafuerzaejercidapor el hielosiempreesuna
fuerzanormal(véasela figura4.28), y unafuerzanormal
nuncatieneunacomponentealo largodelacuerda,por lo
quenopuedeproducirningúncambioenlatensión.Así,la
tensióneslamismaentodalacuerda.Enresumen,siuna
cuerdademasadespreciablecambiadedirecciónpasando
porunasuperficiesinrozamiento,latensióneslamismaen
todalacuerda.Elsiguienterecuadroresumelospasosaseguirpararesolverestosproblemas.
COMPROBACÓ
INCONCEPTUAL4.5
Supongamosquelacuerdadelejem-
FIGURA 4 . 2 8
plo anterior, envezde por el bordede
unglaciar,pasaporunapolequetiene
unoscojinetes que no ejercen rozamiento,comosemuestra en la figura
4.29.¿La tensión será la misma a lo
largodetoda lacuerda?
ESTRATEGIADERESOLUCIÓNDEPROBLEMAS
AplicacióndelasleyesdeNewtonaproblemascondosomáscuerpos
PLANTEAMIENTORecuerdedibujarundiagramadefuerzasparacada
cuerpo.Lasincógnitasseobtienenalresolversimultáneamentelasecuaciones.
SOLUCIÓN
1.Dibujar undiagramadefuerzasparacadacuerpo.Usarunsistemade
coordenadasdistintoparacadacuerpo.Recordarquesidoscuerposse
tocanlasfuerzasqueseejercenentresísonigualesperocondirecciones
opuestas(terceraleydeNewton).
2.Aplicar lasegundaleydeNewtonacadaobjeto.
3.Resolverlasecuacionesobtenidas,juntamenteconcualquierecuaciónque
describainteraccionesoligaduras.
COMPROBACIÓNAsegúresedequesurespuestaesconsistenteconlos
diagramasdefuerzasquehayadibujado.
Ee
jmpo
l4.12
FIGURA 4 . 2 9
Losescaladores
Paul(masa ;ii) secaeporelbordedeunglaciar.Afortunadamente,estáatadomedianteuna
largacuerdaaSteve(masams),quelevaunpicodealpinista.AntesdequeSteveclavesu
picoparadetenerelmovimiento,sedeslizasinrozamientoporlasuperficiedehielo,atado
aPaulporunacuerda(figura4.26).Sesuponequetampocoexisterozamientoentrelacuerda
yelglaciar.Determinarlaaceleracióndecadapersonay latensióndelacuerda.
PLANTEAMIENTOLastensionesdelacuerdaTi yT2sondeigualmóduloTporquesesuponequelacuerdaesdemasadespreciabley elacantiladosesuponequecarecederozamiento.Lacuerdanosealarga niseencoge,demodoquePaul yStevetienensiempreel
mismomódulodevelocidad.Susaceleracionesásy ¡ son, por lotanto,igualesenmódulo,
peronoendirección.Steveacelerapor la superficiedelglaciar,mientrasquePaul lohace
verticalmentehaciaabajo.Podemosaplicar lasegundaley deNewton,EF = ma,acada
una,yluegodespejarlaaceleracióny latensión.
SOLUCIÓN
1.Dibujar losdiagramasdefuerzasqueactúanaisladamentesobrePaulySteve
l
n
sg
(figura4.30).PonerlosejesxeyeneldiagramacorrespondienteaSteve,escogiendo
comodirecciónpositivadelejexladireccióndesuaceleración.Elegirladirecciónde
laaceleracióndePaulcomodirecciónpositivadelejex'.
F1
IX+ Tix +msgxmsasx
2.AplicarEF.,=maxenladirecciónhorizontalaSteve:
3.Aplicarrsx,=mar.,aPaul:
4.Ambosestánunidosporunsegmentodecuerdaquenose
estira;porlotanto,lasaceleracionesdePaulydeSteveestán
relacionadas.Expresarestarelación:
72
mpg
x'
FIGURA 4 . 3 0
T2x' M P g x ' M P I P x '
aPx' — asx — at
ateslacomponentedelaaceleraciónenladirección
tangencialdelmovimiento.
Probe
l mascondosomásobjetos
5.Dadoquelacuerdatieneunamasadespreca
i be
l ayresbaa
l sobreel
hieloconrozame
i ntodespreca
i be
l ,lasFuerzasT1yT2estánrelaco
i nadas.Expresarestarelación:
6.Sustituirlosresutladosdelospasos4y5enlasecuaco
i nesdel
paso2ydelpaso3:
113
T2= = T
T+msgseno=msat
—T+mpg=mpat
m
s
e
n
o
+
m
r
2
7.Resovl erlasecuaco
i nesdelpaso6paralaacee
l racó
i nem
il n
i ando at m m 1
Sp
Tydespea
j ndoat:
MS
MP
(
1
—
s
e
n
t
9
)
g
Ms MP
8.Sustituirelresutladodelpaso7enlasdosecuaco
inesdelpaso6y T =
despea
j rT:
COMPROBACÓ
INSimpesmuchomayorquems,esdeesperarquelaacee
l racó
i nseaaproximadamene
tigualagylatensó
i naproxm
i adamentecero.Sustiuyendoms=Oream
l entenosda
a=gyT=O.Sm
i pesmuchomenorquems,esperamosquelaacee
l racó
i nseaaproxm
i adamentegsenO(véaseelee
j mpo
l 4.7)yquelatensó
i nseacero.Sustiuyendomp=Oenlospasos7y
8,obtenemosax=gsenOyT=0.Comprobamosnuestrasrespuestasenelvalorlímitedela
pende
i nte(0=90°)yobtenemosas=gyT=0.Estoparececorrecto,yaquesiO=90°Sstevey
Paue
l xperm
i entanunacaídalibre.
OBSERVACÓ
I NEnelpaso1seeligeladirecciónhaca
i abao
j comopositvaparaquelasolucó
i nsealomássm
i pe
l posible.Conestaacee
l racó
i n,cuandoStevesemueveendirecciónpositiva(haca
i laderecha),Paulsemuevetambé
i nendirecciónpositva(haca
i abao
j ).
PROBLEMAPRÁCTC
I O4.10(a)Determn
i arlaacee
l racó
i nsiO=15°ylasmasassonms=78kg
Ini,=92kg.(b)Determn
i arlaacee
l racó
i nsilosvao
l resdeestasdosmasassen
i tercamba
i n.
E
ejmp
ol41
.3 Construyendounaestaciónespacial
Unastronautaqueconstruyeunaestacó
i nespaca
i lempua
j unacaa
j demasamiconuna
fuerzaTm.Estacaa
j estáencontactodirectoconunasegundacaa
j demasa1
/12(figura4.31).
(a)¿Cuáe
l slaacee
l racó
i ndelascaa
j s?(b)¿Cuáe
l selmóduo
l delafuerzaejercidaporuna
caa
j sobrelaotra?
PLANTEAME
INTOLafuerzaÉtAiesunafuerzadecontactoysóloactúasobrelacaa
j 1.Sea
F21lafuerzaejercidaporlacaa
j 2sobrela1yF12lafuerzaqueee
j rcelacaa
j 1sobrela2.De
acuerdoconlaterceraleydeNewtonestasfuerzassonigualesyopuestas(P21Pu),de
maneraqueF21=F12AplicarlasegundaleydeNewtonacadacaa
j porseparadoyteneren
cuentaquelasacee
l raco
i nesá1yá2soniguales.
SOLUCÓ
IN
(a)1.Dibujarlosda
i gramasdefuerzasdecadaunodelasdoscaa
j s(figura4.32).
2. Aplicar>2F=maalaprimercaa
j:
.:
FA1—F21—11IaI1
3. AplicarIF=maalasegundacaja:
F12=M2a2x
4.Expresarlarelaciónentrelasdosacee
l raco
i nesylarelación a2x= aixa
entrelosmóduo
l sdelasfuerzasqueseee
j rcenlascaa
j sentre F21= F12=
sí.Lasacee
l raco
i nessong
i uae
l sporquelasveo
l cd
i adesson
iguae
l sentodomomento.Lasfuerzassong
i uae
l senmóduo
l
porqueformanunpardefuerzas3LN:
5.Sustituirestasrea
l co
i nesenlosresutladosdelospasos2y3 ax
ydespea
j ra1:
M2
(b)Sustituirlaexpresó
i nparaa,enlospasos2o3ydespea
j rF.
m m FA1
F a
I/
FA1
F21
-44 •
111
1
1 2
COMPROBACÓ
I NElresultadodelpaso5eselmsimoqueobtendríamossilafuerzaAlf
actuasesobreunasolamasaigualalasumadelasmasasdelasdoscaa
j s.Enefecto,como
lasdosmasastienenigualacee
l racó
i n,podemosconsd
i erara
l scomounssitemaúnicode
masami+7112.
FIGURA 4.32
111
114
CAPÍTULO4 LeyesdeNewton
Temasdeactuad
iladenFs
íc
ia
Montañasrusasy elgustoporlavelocidad
Lasmontañasrusashanfascinadoa la gentedesdela inauguraciónen
Paris,en1917,delasespectacularesPromenadesAeriennes(viajesaéreos).'
Hastahacemuypoco,losdiseñadoresdela atracciónestabanatascados
conunadesusprincipaleslimitaciones:el viajedebíainiciarsedesdeuna
granaltura.
Enlosaños70,AntonSchwartzkopf,undiseñadoralemándeparques
temáticos,seinspiróenlosavionesquedespegabandelosportaaviones.
En1976,seinaugurólamontañarusaShuttleLoop.Unpesodevariastoneladasfueelevadohastalacimadeunatorrecercanaalamontañarusa.
Unodelosextremosdeuncableestabaunidoalpesomientrasqueelotro
estabaatadoaltrendevagonetas.Cuandoelpesosedejócaer,enmenos
detressegundos,eltrenpasódelreposoamoversea97km/h.
Almismotiempo,Schwartzkopfvolvió conunsegundométodode
lanzarel tren;estavezsetratabadeunmétodotipo catapulta.Sehizo
girarunaenormeruedade5toneladasagranvelocidad.Untrencon28
pasajerosestabaconectadoconuncablealaruedayenmenosdetressegundosnuevamentealcanzóunavelocidadde97km/h.Ambosmétodos
fueronpionerosenellanzamientosdetrenesdemontañasrusas.2
Dosnuevosmétodoshanhechoposiblelanzamientosconmayorvelocidad.LaempresaIntaminAGhacreadounsistemahidráulicopara tii ar
delcablequeseunealtren.EltrendevagonetasdelaTopThrillDragster
pesa53400N ysuelellevarademás18pasajeros.Cadavezquepasapor
encimadeunossensoreshayunordenadorquemideelpesodelavagonetaconlospasajerosydeterminalatensiónquehayqueaplicaralcable
paraqueeltrenpuedasubirhastalacimadelaprimeramontañaqueestá
a130mdealtura.Entonces,losmotoreslenosdelíquidoproporcionan
unapotenciade10000caballosquehacengirar alcablea500rpmyacelerareltrena190km/hensólo4segundos.3
StanCheckettsinventólaprimeramontañarusaquefuncionaconaire
comprimido. El pneumáticoThrust Air 2000estápropulsado por un
únicochorrodeaire. El trenconochopasajerospasapor lossensoresy
loscuatrocompresoresentranenacciónybombeanairehaciaundepósitosituadoenlabasedela torre.Enfuncióndelpesodeltrenseregula
lapresióndelairecomprimido.Finalmente,elaireempujaunpistónque
aceleraaltrenalcanzando128km/hen1,8segundos.Senecesitanunmínimode180000Nparacomunicaresaaceleración.4ElreactordeunF-15
produceunempujede130000Ncomomáximo.Lasmontañasrusasactualmentecomunicanmayorpotenciaqueun reactor. Tal vez,debería
pensárselolapróximavezquevayaaunparquedeatracciones.
LaHypersonicXLCdelparquedeatracciones
DominiondelParamountKingenVirginiaesla
primeramontañarusapropulsadaconaire
comprimido;vadeOa128km/hen1,8segundos.
(GentilezadeKing'sDominionAmusementPark.)
Cartmell,Robert,TheIncredibleScreamMachine:AHistoryoftheRollerCoaster.BowlingGreenStateUniversityPopular
Press,BowlingGreenOhio.1987.
2"TheTidalWave"http://www.greatamericaparks.comitidalwave.html MarriottGreatAmericaParks,2006;Cartmell,
op.cit.
Hitchcox,AlanL."WantThrils?Gowith Hydraulics."HydraulicsandPneumatics,July2005.
41Goldman, Lea. "Newtonian Nightmare." Forbes, 7/23/2001. Vol. 168, Issue 2; "The F-100 Engine."
http:/ / www.pratt-whitney.com/prod_mil_f100.aspPratt &Whitney,March2006.
115
Resumen
RESUMEN
1.Lase
l yesdeNewtondelmovm
ie
i ntosone
l yesfundamentae
l sdelanaturae
l zaqueconstiuyenlabasedelamecáncia.
2.Lamasaesunaprope
i dadn
i trínsecadetodocuerpo.
3.Lafuerzaesunaimportantemagntiuddn
i ámciaderviada.
TEMA O B S E R V A C I O N E S YECUACO
I NESRELEVANTES
1.LeyesdeNewton
Unobe
j toenreposopermaneceenreposoamenosquesobreélactúeunafuerzaexternaneta.
Primeraley
Unobe
j toenmovm
ie
i ntocontn
i úamové
indoseconveo
l cd
i adconstanteamenosquesobreél
actúeunafuerzaexternaneta.(Losssitemasdereferenca
i enlosqueestoocurresea
l mansistemasdereferenca
i inerciales.)
Laacee
l racó
i ndeunobe
j toesdriectamenteproporco
i nalalafuerzanetaqueactúasobreél.
Segundaley
Eln
i versodelamasaeslaconstantedeproporco
i nad
il ad.Entonces
4.1
Fncta m a , donde Fneta F
Cuandodoscuerposn
i teracco
i nan,lafuerzaTIAejercidaporelcuerpoBsobreelAesigual
Terceraley
enmóduo
l yopuestaendirecciónalafuerzaFABejercidaporelcuerpoAsobreelB:
4.8
;A =FAB
Lase
l yesdeNewtonsóo
l sonválidasenunssitemadereferenca
i inercial.Cuaq
l ue
i rssitema
2.Sistemasdereferenciainerciales
dereferenca
i quesemuevaconveo
l cd
i adconstanterelativaaunssitemadereferenca
i inercialestambé
i nunssitemadereferenca
i inercial.Unssitemadereferenca
i quesemuevecon
acee
l racó
i nrelativaaunssitemainercialnoesunssitemadereferenca
i inercial.Unssitema
dereferenca
i ligadoalaTierraes,aproxm
i adamente,unssitemadereferenca
i inercial.
3.Fuerza,masaypeso
Lafuerzasedefineenfuncióndelaacee
l racó
i nqueproduceaundetermn
i adoobjeto.Una
Fuerza
fuerzade1newton(N)eslafuerzaqueproduceunaacee
l racó
i nde1ms2sobreunamasa
de1ko
li gramo(kg).
Lamasaeslaprope
i dadintrínsecadeunobe
j toquemd
i esuressi tenca
i alaacee
l racó
i n.La
Masa
masanodependedelalocalizacióndelobjeto.Lasmasasdedosobe
j tospuedencompararse
apcilandolamsimafuerzaacadaunodelosobe
j tosymd
ie
i ndosusacee
l raco
i nes.Larelacó
i ndelasmasasdelosobe
j tosesigualalarelaciónn
i versadelasacee
l raco
i nesproducd
i as
porlamsimafuerza:
M2 a l
Peso
mi
a2
Lafuerzadelagravedadfgdeunobe
j tocercadelasuperficieterestreeslafuerzadeatraccó
i ngravitatoriaee
j rcd
i aporlaTierrasobreelobe
j to.Esproporco
i nalalamasamdelobe
j toy
aclampogravitatoriogoacee
l racó
i ndelacaídalibredebd
i aalagravedad.
F=mg
4
.
4
Ep
l esonoesunaprope
i dadintrínsecadeunobjeto;dependedelalocalizacióndelobjeto.
4.Fuerzasfundamentales T o d a s lasfuerzasobservadasenlanaturae
l zapuedenexpcil arseenfuncióndecuatrointeracco
i nesfundamentae
l s:
1.Lainteraccióngravitatoria
2.Lainteracciónee
l ctromagnétcia
3.Lainteraccióndébil*
4.Lainteracciónnuce
l arfuerte,també
i na
l madafuerzahadróncia
5.Fuerzasdecontacto L a s fuerzasdecontactodesoporteyrozame
i ntoylasee
j rcd
i aspormuee
l sycuerdas,son
debd
iasalasfuerzasmoe
l cua
l resquesurgendelafuerzaee
l ctromagnétciabáscia.
LeydeHooke
Cuandounmuee
l secomprm
i eoseaa
l rgaenunapequeñacantd
i adAx,lafuerzaqueee
j rce
esproporcionalaAx:
4.7
F——kAx
*Lasinteraccionesee
l ctromagnétci aydébilsepuedenagruparenunsólotipodeinteraccióna
l madaelectrodébil.
116
CAPT
ÍULO4LeyesdeNewton
R
e
s
p
u
e
s
t
a
s
a
las
c
o
m
p
r
o
b
a
c
i
o
n
e
s
conceptuales
4.1No, lafuerzanetanoesunafuerzarealsinoelvector
sumadefuerzasreales.
4.2No,eslafuerzanetaqueproducelaacee
l racó
i ndeuna
masa.
4.3No.
4.4No.SeríacontrarioalaterceraleydeNewton.
4.5No.Unacosaesquenohayarozamen
i toentreloscojinetesVlapolea,perootracosaesquelapoe
l atengamasa,
esdecir,inercia.Paracamba
i rlavelocidadderotación
delapoleasenecesitaunadiferenciadetensión.Las
poe
l asconmasaseestudiaránenelcapítulo8.
Respuestasalosproblemasprácticos
4.1 1 , 5 kg
4.20,471b
4.3 1 3 cm
4.4 3 , 0 cm
4.5 T =CVnzlkdondeCesunaconstantesindimensiones.Laexpresó
i ncorrectaparaelperiodo,comoveremosenelcapítulo14esT=2v-\/m/k.
4.6 1 , 9 kN
4.7Aplicando lasegundaleydeNewtonparalascomponentesyvemosdelda
i gramadefuerzasdelafigura
4.18queEFy=may=F11—F,cosO=O,dondehemos
utilzadoquea,escero.Entonces,F;,=Fecosa.
4.8
a=27.8m/s2O
, =70.5°
4.9
967N
4,10 (a)a,=0.66g,(b)a,=0.60g
Problemas
Enalgunosprobe
lmassedanmásdatosdelosrealmente
necesaro
i s;enotrospocosd
, ebenaportarsealgunosdatosa
partirdeconocm
ie
intosgenerales,fuentesexternaso
estm
i aco
i neslógicas.
Enlosdatosnumérc
iossincomadecimalsedeben
considerarsignificativostodoslosdígitos,incluidoslos
cerosaladerechadelúltimodiferentedecero.
Usarentodoslosprobe
lmasg=9,81ms
i2parala
aceleracióndelagravedadydespreciar,amenosquese
indiquelocontrario,elrozamientoylaresistenciadelaire.
PROBLEMASCONCEPTUALES
•Conceptosimple,unsolopaso,relativamentefácil
• • Nivelintermedio,puedeexigirsíntesisdeconceptos
• • • Desafa
i nte,paraau
l mnosavanzados
LasoluciónseencuentraenelManuad
l esou
l co
i nes
Losprobe
l masconsecutvi osqueestánsombreadosson
probe
l masrelacionados.
5 • • Sobreunapeo
l tadebési bolactúaunaúnci afuerzaconocd
i a.
Sóo
lconestan
i formacó
i n¿podríadecirenquédirecciónsemoveríaresl únssitemadereferenca
i inercial?Razonelarespuesta.
1 • Duranteunvueo
l transcontn
i entalsutazadecafépermanece pectoaag
i nsealejaaveo
l cd
i adconstante(talycomoseobsn
i moversesobresumestia.¿Hayfuerzasqueactúensobrelataza?Sies 6 • • Uncamó
i semosenmedo
i delacalle).Sededuceque(a)nohay
así,¿cómodeberíanserdediferentesdeaquea
l squeactuaransobrela servaríasiestuvé
fuerzasqueactúensobreelcamó
i n,(b)actúaunafuerzaconstantesobre
tazasiéstaseencuentrasobrelamesadelacocn
i adesucasa?
e
l
c
a
m
ó
i
n
e
n
l
a
d
i
r
e
c
c
i
ó
n
d
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v
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l
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d
,
(c)
l
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f
u
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r
z
a
n
e
t
a
q
u
e
a
c
t
ú
a
2 • Ustedestáadea
l ntandouncocheenlaautopsi tayobservaque sobreelcamó
i
n
e
s
c
e
r
o
,
(d)
l
a
f
u
e
r
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q
u
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t
ú
a
s
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b
r
e
el
c
a
m
ó
i
n
e
s
elotrocochetieneunaacee
l racó
i náhaca
i eloeste.Sinembargo,elcon- supropiopeso.
ductordelotrococheestámantene
indoconstantelaveo
l cd
i adydrieccó
i n 7 • APLC
I ACÓ
I NALAN
I GENE
I RA
Í Muchasdelassondasesparea
l tvi asalaautopista.¿Eslsitemadereferenca
i desucocheesinercial? ca
ie
l squefuerona
l nzadashacete
i mpoaúnsg
i uenenelespaco
i .ElPo
iEncasonegatvi o,¿enquédrieccó
i nseacee
l rasucocherespectoalotro? ne
er10,poree
j mpo
l ,fuea
l nzadoenlosaños70yaúnsg
i uemové
indose
3 • PÓNGALOENSUCONTEXTOSupongaqueestádandoun másalládelSolylospa
l netas.¿Estácamba
indolamasadelPo
i neer10?
paseoenunalimusinaquetienelasventanasoscuras,deformaque ¿Cuád
l elasfuerzasfundamentae
l sconocd
i ascontn
i úaactuandosobre
ustednopuedeverelexterior.Elcocheestásobreterrenolano,de é?
l ¿Actúasobreélag
l unafuerzaneta?
formaquepuedeacee
l raraumentandosuveo
l cd
i ad,dsimn
i uyéndoa
l o 8 • • APLC
I
A
C
Ó
I
N
A
L
A
N
I
G
E
N
E
I
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A
Í
U
n
o
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a
s
t
r
o
n
a
u
t
a
s
,
e
n
a
p
a
griando.Siustedestáequp
i adoúnciamenteconunpequeñoobe
j toque renteingravidezduranteunamisiónenlaEstacó
i
n
E
s
p
a
c
a
i
l
Intercueg
ladelextremodeunacuerda,¿cómopuedesabersilalimusina naco
i
n
a
,
l
d
e
b
e
n
m
o
n
i
t
o
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s
a
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q
u
e
u
n
a
p
é
r
d
d
i
a
cambaidedirecciónodeveo
l cd
i ad?¿Podríadetermn
i arlaveo
l cd
i adde significativademasacorporalpuededarlugarasero
i
s
p
r
o
b
e
l
m
a
s
m
é
lam
il usn
i a?"mi
dcios.Déunee
j mpo
l decómosepodríadsi eñarunequp
i odemedd
ia
delamasadeunastronautaqueseencuentraenunaestacó
i nespaca
il
4 • • Sisobreunobjetoactúaunaúnicafuerza,distintadecero, e
¿eo
l be
j toseacee
l rarespectoatodoslosssitemasdereferenca
i inercia- nórbita.
les?¿Seríaposiblequeelobjetotuvieraveo
l cd
i adnulaenag
l unossis- 9 • •PÓNGALOENSUCONTEXTOUstedseencuentraenunastemasdereferenciainercialesmientrasqueenotrosno?Encaso censor.Descrb
i adosstiuaco
i nesenlascuae
l ssupesoaparentesea
afirmativo,déag
l únee
j mpo
l.
mayorquesupesoreal.ES,"
lo • •Supongaqueustedestáenuntrenquesemueveavelocidad
constanteconrespectoasuelo.Ustedtiraunapelotaasuamg
ioqueestá
unoscuantosase
intospordelante.UtilcelasegundaleydeNewtonpara
explicarporquénopuedeutilizarsusobservaco
inessobrelapelotalanzadaparadeterminarlaveo
l cd
i addeltrenrespectoalsuelo.
11 • • Expliqueporqué,deentrelasinteraccionesfundamenteae
ls,
lainteraccióngravitacionaleslademayorimportanciaennuestras
vd
i adcoticianas.Hayotraquedesempeñaunpapelcrecienteenel
rápidoavancedelatecnología.¿Cuáe
ls?¿Porquélasotrasnoparecen
tanm
i portantes?
12 • • Déunejemplodeunobjetoquetengatresfuerzasactuando
sobreély(a)seacelere,(b)semuevaavelocidadconstante(nonula)y
(c)permanezcaenreposo.
13 • • Supongamosqueunbo
l quedemasamd
iescansasobre
otrobloquedemasam2ylacombn
iacó
indeambosseapoyasobre
unamesac,omosemuestraenlafigura43
.3.Indiqueelnombrede
lafuerzaysucategoría(contactooaccó
i nadistancia)paracadauna
delasfuerzas:lafuerzaejercida(a)porm1sobrem2,(b)porm2sobre
mi,(c)porn12sobrelamesa,(d)porlamesasobrem2.(e)porlaTierra
sobre7112¿
.Cuáe
lsdeesasfueras,sihayalguna,constiuyenunpar
defuerzasdelaterderaleydeNewton?Ten
FIGURA 4.33 Problema13
14 • • PÓNGALOENSUCONTEXTOUstedtiradeunpezqueacaba
depescardesdesubarca.Dibujeelda
igramadefuerzasqueactúan
sobreelpezunavezquehasalidodelaguayganavelocidadconformeasce
indeverticalmentehacialabarca.Digaeltipo(tensión,
cuerdag
, ravedad,normal,rozamiento,etc.)ylacategoría(contacto
oaccó
i nadistancia)decadaunadelasfuerzasdeldiagrama¿
.Cuálesdelasfuerzas,sihayag
l unasf,ormanunpardefuerzasdelaterera
leydeNewton?¿Puededarlosmóduo
lsrelativosdelasfuerzasdesu
da
igrmaapartirdelan
i formacó
i ndada?Razonelarespuesta.
15 • • Siusteddejaunplatocud
iadosamentesobrelamesaé
,steno
seromperá.Sinembargo,silodejacaersobrelamesadesdeunacierta
altura,lomásprobabe
lesqueserompa.Discutalasfuerzasqueactúan
sobreelplato(cuandoentraencontactoconlamesa)enambassituaco
ines.UtilicelacinemáticaylasegundaleydeNewtonparadeterminarlacausadequeelplatoserompaenlasegundasituación.
16 • • Paracadaunadelassiguientesfuerzas,indiquequélaproduces
,obrequéobjetoactúa,sudirecciónylafuerzadereacción.(a)La
fuerzaqueustedejercesobresumaletíncuandololevaenlamano
me
intrasesperadepieenlaparadadelautobús.(b)Lafuerzanormal
sobrelasueladesupiecuandoustedestádepiesobreunsuelohorizontaldemadera.(c)Lafuerzadelagravedadsobreustedcuandoestá
depiesobreunsuelohorizontal.(d)Lafuerzahorizontalejercidasobre
unapelotadebéisbolporunbatecuandoéstasegolpeahaciaarriba.
Problemas I 117
17 • • Encadacasoidentifiquea
lfuerza(incluyendosudirección)
quecausalaaceleración.(a)Unvelocistaalprincipiodelacarrera.(b)
Undiscodehockeysedeslizasobrehielohastapararse.(c)Unapelota
enlomásaltodesutrayectoriaparabólica.(d)Unsaltadordepuentn
ig
enlapartemásbajadesudescenso.
18 • Verdaderoofalso:
(a)Sidosfuerzasexternasquesonigualesenmóduo
l yopuestasendireccó
inactúansobreunms
imoobjeto,nuncaseránunpardefuerzasdelaterceraleydeNewton.
(b)LasdosfuerzasdelpardelaterceraleydeNewtonsonigualessólo
siloscuerposnoestánacee
lrándose.
19 • • Unhombrede80kgpatinasobreelhieloempua
jndoaun
muchachode40kg,també
insobrepatinesc
,onunafuerzade100N.Elos
semuevensobreelhieloaumentandosuvelocidaddeformaconstante.
(a)Lafuerzaejercidaporem
l uchachosobreelhombreesde(1)200N,(2)
100N,(3)50N,(4)40N.(b)Comparelosmóduo
lsdelasdosaceleraciones.(c)Comparetambé
inlasdriecco
i nesdedc
ihasacee
lraco
i nes.
20 • • Unamuchachatieneunapiedrasobrelapam
l adesumano
ylapuedemoverhaciaarriba,haciaabajoomantenera
lcomoestá.Verdaderoofalso:(a)lafuerzaejercidaporsumanosobrelapiedratieneel
msimomóduo
lquelafuerzadelagravedadqueactúasobrelapiedra,
(b)lafuerzaejercidaporsumanosobrelapiedraeslafuerzadereaccó
inalafuerzadelagravedadsobrelapiedra,(c)lafuerzaejercidapor
sumanosobrelapiedratieneelms
imomóduo
lqueeldelafuerzaque
ee
jrcelapiedrasobresumanoperocondirecciónopuesta,(d)silamuchachamuevesumanohaciaabajoavelocidadconstantee
,ntoncesla
fuerzaverticalqueelaejercesobrelapiedraesmenorquelafuerzade
lagravedadqueactúasobrelapiedra,(e)silamuchachamuevelamano
haca
iabajoperoralentizaelmovm
ie
intohastapararse,entoncesla
fuerzaqueejercelapiedrasobrelamanodelachicatieneelms
imomóduo
lquelafuerzadelagravedadqueactúasobrelapiedra.
21 • • Uncuerpode2,5kgcuelgaenreposodeunacuerda
sujetaaltecho.(a)Dibujarunda
igramaquemuestrelasfuerzasque
actúansobreelcuerpoeindicarcadaunadelasfuerzasdereacción.
(b)Hacerloms
imoconlasfuerzasqueactúansobrelacuerda.No
despreca
i lamasadelacuerda".STFP
22 • • (a)¿Cuád
l elosda
igramasdefuerzasdelafigura43
.4representaunbo
l quequesedeslizaporunasuperficien
i cn
il adasinrozame
into?(b)Paraelda
igramacorrecto,pongalosnombredelas
fuerzaseindiquecuálesdeelassondecontactoycuálessonde
accó
inadistancia.(c)Paracadaobjetodelda
igramacorrecto,identificarlafuerzadereacción,elobjetosobreelqueactúaysudirección.
(a)
(b)
(c) ( d )
FIGURA
G
U
F
IR
A4.34 Problema22
23 • • Unacajademaderaqueestásobreelsueloestáligadaaun
muee
lporunlado.Porelladoopuestosepresionaconunadeterminadafuerzaquecomprm
i eelmuele.Elrozamientoentrelacajayel
sueo
lesdespreciable.Dibujeelda
igramadefuerzassobrelacajaenlos
sg
i ue
intescasos:(a)lafuerzaexternadejadeactuarsobrelacajapero
éstasigueunidaalmuelequesiguecomprm
id
i o,(b)lafuerzaexterna
dea
jdeactuarsobrelacajaperoéstasigueunidaalmuele,(c)lacajano
estáunidaalmuele.
24 • • Imagínesequeseencuentrasentadoenunasilaconruedas
ensudespachoC
. onsd
i erequeelrozamientodelasilayelsueloes
despreca
ibe
l.Sinembargo,lafuerzaderozamientoentrelamesayel
118
CAPT
ÍULO4LeyesdeNewton
sueo
l noesdespreca
i be
l .Sentadosobrelasilaustedque
i ree
l vantarse
aporunatazadecaféyparaelloempua
j horziontam
l entesobrela
mesa,deformaquelasilasedespa
l zahaca
i atrás,ae
lá
j ndosedela
mesa.(a)Db
i ue
j elda
i gramadefuerzasenelmomeno
tqueustedempua
j sobrelamesaen
i dq
i uecuáldelasfuerzaseslaresponsabe
l desu
acee
l racó
i n,(b)¿Cuáe
l slafuerzadereaccó
i nalafuerzaquecausasu
acee
lracó
in?(c)Db
i ue
j elda
i gramadefuerzasdelamesaen
i dq
i uepor
quénoseacee
l ra.¿Vo
ia
l laterceraleydeNewo
tn?Razonelarespuesta.
25• ••UnamsimafuerzahorizontalnetaFseapcil aduranteunintervao
l átadosobe
j tosdemasasmiym2quedescansansobreunasuperficiehorziontalsinrozame
i nto(mi>tu,).(a)Supone
indoquelosdos
obe
j tossehalann
i ci a
im
l enteenreposo,¿cuáleselcoce
i nteentrelas
acee
lraco
inesduranteeseintervaloenfuncó
i ndeF,miym2?(b)¿Cuál
eselcoce
i nteentresusveo
l cd
i adesviyy,alfinaldedci hointervalo?
(c)¿Cómodeseparadosseencuentranlosobe
j tos(ycuálestádea
l nte).
ESTIMACIONESYAPROXIMACIONES
26 • •CONCEPTUALLamayoríadeloscocheste
i nencuatroamortiuadoresund
g
i osalacarocería,unoencadaunadelasposcio
i nesde
lasruedas.Dsieñeunméo
tdoparamedrilaconstantedefuerzadecada
unodelosamorg
tiuadoressabe
indosupesoyeldesusamg
ios.Cons-i
derequeloscuatroamorg
tiuadoressong
i uae
l s.Utilceelmétodopara
esm
ti arlaconstantedefuerzadelamortg
i uadordesucoche.
27 • •Estimarlafuerzaee
j rcd
i asobreelguantedeunportero
dehockeyquedete
i neeldsi codespuésdela
l nzame
i ntodeuna
falta.unirr
28 • •Unu
j gadrdebési bolresbaa
l hastalasegundabasealinterceptarlapeo
l ta.Supone
indovao
l resrazonabe
l sparalalongitud
deldeszil ame
i nto,lavao
l cd
i addelu
j gadoraliniciodeldeslizame
i ntoylaveo
l cd
i adalfinaldeldeszilame
i nto,determn
i eelvalor
medoidelafuerzaderozame
i ntoqueactúasobreelu
j gador.
29 • •APLC
I ACÓ
I NALAN
I GENE
I RA
Í Uncochedecarreraspatina
sn
i controleintentareducirlaveo
l cd
i adhasta90km/hantesdechocar
contraunmuroA
. fortunadamente,elconductorlevapuestoelcn
i turón
desegurd
i ad.Utilzandovao
l resrazonabe
l sparalamasadelconductor
yladsi tanca
i defrenado,esm
ti elafuerzameda
i ee
j rcd
i aporelcn
i turón
desegurd
i adsobreelconductor,ysudrieccó
i n.Ignorelosefectosdelrozame
intodelconductorconelase
i nto.
LAPRIMERAYLASEGUNDALEYDE
NEWTON:MASA,INERCIAYFUERZA
30 • Unapartículademasamsemueveconunaveo
l cd
i adinicial
vo=25,0m/s.Cuandounafuerzanetade15,0Nactúasobreella,alcanzaelreposodespuésderecorrer62,5m.(a)¿Cuáe
l sladrieccó
i nde
lafuerza?(b)Determn
i eelte
i mpoquetardalapartículaenpararse.
(c)¿Cuáe
lssumasa?
31 • (a)Unobe
j toexperm
i entaunaacee
l racó
i nde3m/s2cuando
sobreélactúaunaciertafuerzaFo.¿Cuáe
lssuacee
l racó
i nsilafuerzase
dupcila?(b)Unsegundoobe
j toexperm
i entaunaacee
l racó
i nde9m/s2
bao
j lainfluenciadelafuerzaFo¿
.Quérea
l có
i nexsi teentrea
l smasasde
losdosobe
j tos?(c)Silosdosobe
j tosseatanjuntos,¿quéacee
l racó
in
producriálafuerzaFo?
32 • UnremocladorarastraunbuqueconunafuerzaconstanteFi.
En
il crementoenlaveo
l cd
i addelbuqueenunintervalode10sesde
4km/h.Cuandounsegundoremocladoraplicaunsegundafuerza
constanteF2enlamsimadrieccó
i nsuveo
l cd
i adcreceen16km/hcada
intervalode10s.¿Quérea
l có
i nexsi teentrelosmóduo
lsdea
l sdosfuerzas?(Despreca
i rlaressi tenca
i delaguaydelaire.)
33 • Unafuerzaconstantede12Nactúasobreunapartículade
masani.Lapartículapartedelreposoyviajaenílnearectaaloa
l rgode
18men6s.Halarni.
34 • Unafuerzanetade(6,0N)i—(3,0N)jactúasobreun
cuerpode1,5kg.Halarlaacee
l racó
i ná.
35 • •Unabaa
l de1,8x kg demasaquelevaunaveo
l cd
i ad
de500m/schocacontraungranbo
l quedemaderaysen
i troduce6
cmensuinteriorantesdepararse.(a)Supone
indoqueladesacee
lracó
i ndelabalaesconstante,calcularlafuerzaejercidaporla
maderasobrelabaa
l .(b)Silamsimafuerzaactuarasobrelabaa
ly
tuve
i ralamsimaveo
l cd
i addem
i pactoperolamtiaddemasa,?cuál
seríalanuevadsi tanca
i depenetracó
i n?'STRIP
36 • •Unavagonetadeu
j gueteestáenunavíarectayhorzi ontalylevaunventiladoratadoaunodesusextremos.Secoo
l cala
vagonea
tenunextremodelavíayseconectaelventilador.Lavagoneta,queestabaenreposo,empe
izaamoverseyen4,55sseha
movd
io1,5m.Lamasadelavagonetaconelventiladoresde355g;
suponemosquesemueveconacee
l racó
i nconstante.(a)¿Cuáe
l sla
fuerzanetaqueseee
j rcesobreelconu
j ntodevagoneta-venta
li dor?
(b)Sevaañade
i ndomasaalconu
j ntovagoneta-ventiladorhasta
quetieneunamasade722g,yserepiteelexperm
i ento.¿Cuáno
t le
costaráahoraalavagonetamoverselos1,5m.Ignoraro
l sefectosdel
rozame
i nto.
37 • •UnafuerzaFoproduceunaacee
l racó
i nde3m/s2cuando
actúasobreunobe
j todemasaniquesedeszilasobreunasuperficiesn
i
rozame
i nto.Halarlaacee
l racó
i ndelmsimoobe
j tocuandosevesometidoalasfuerzasquesemuestranenlafigura43
.5ayb.
m
90°
(a)
F0
F0
(b)
FIGURA 4.35 Problema37
38 • •AlvaroyBertaestánque
i tosenmedo
i deungrana
l gohelado.Ávl aroempua
j aBertaconunafuerzade20Ndurante1,5s.La
masadeBertaesde100kg.(a)¿Cuáe
l slaveo
l cd
i adalaquesemueve
Bertadespuésdeserempuajda?(b)SilamasadeÁvl aroesde80kg,
¿quéveo
l cd
i adaclanza?Consd
i erarquenohayrozame
i nto.
39 • •Siseempua
j unbo
l quedemasamiconunafuerzahorzi ontalF0,ésteadque
i reunaacee
l racó
i nde12m/s2.Siseempua
j unbo
l que
demasam2conlamsimafuerza,suacee
l racó
i nesde3m/s2.(a)¿Qué
acee
l racó
i nproporco
i naríalamsimafuerzaFoaunbo
l quedemasa
m—
2m?
i (b)¿Quéacee
l racó
i nproporco
i naríalamsimafuerzaaunbloquedemasain.,+m?
i Consd
i erarunmovm
ie
i ntosinrozame
i nto.
40 • •MÚLTP
I LESPASOSParaarrastraruntroncode75kgporel
sueo
l conveo
l cd
i adconstante,untractortiradeélconunafuerzade
250N(horzi ontam
l ente).(a)Dibujarelda
i gramadefuerzassobreel
tronco.(b)Utilzara
l se
l yesdeNewtonparadetermn
i arlafuerzaderozame
intosobreeltronco.(c)¿Cuáe
l slafuerzanormalsobreeltronco?
(d)¿Quéfuerzadeberemosee
j rcersisedeseadaraltroncounaacee
l racó
i nde2m/s2supone
indoquelafuerzaderozame
i ntonocamba
i .Dibue
j denuevoelda
igramadefuerzasparaestasituación.
41 • •Unobe
j tode4kgestásomed
tioalaaccó
i ndedosfuerzas
Ft=(2,0N)i+(-3,0N); y -f2=(4,0N)?—(11N)i.Elobe
j toestá
Probe
lmas I 119
enreposoenelorigenenelinstantet=0.¿Cuáleslaacee
l racó
i ndel
obe
j to?(Li)¿Cuáe
l ssuveo
l cd
i adenelinstantet=3s?(c)¿Dóndeestáel
obe
j toenelinstantet=3s?
PESOYMASA
42 • EnlaLuna,laacee
l racó
i ndebd
i aalagravedadessólo1/6
delaqueexisteenlaTierra.Unastronauta,cuyopesoenlaTierraes
600N,sedespa
l zaalasuperficielunar.Sumasamedd
i aenlaLuna,
será:(a)600kg.(b)100kg.(c)61,2kg.(d)9,81kg.(e)360kg.
43 • Expresarelpesodeunamuchachade54kgen(a)newtonsy
(b)libras.
44 • Determinarlamasadeunhombrede165lbenko
li gramos.
45 • •APLC
I ACÓ
I NALAN
I GENE
IRA
Í ParaentrenaralosastronautasantesdeiralatrabajaralaLuna,dondelaacee
l racó
i ndela
gravedades1/6delaterrestre,laNASAlossumergeenuntanquede
agua.Siunastronautatieneunamasade250kg,tene
i ndoencuenta
ademásdesumasacorporal,lamocha
li conoxígeno,aireacondci o
inado,etc.,determn
i elassg
i ue
i ntescantd
i ades:(a)elpesodelastronautraenlaTierra,(b)elpesoenlaLuna,(c)elempue
j necesaro
i que
deberecibireneltanqueparasimularlasmsimascondcio
i nesque
enlaLuna."Wir
46 • •Vivimosenelaño2075ylosviajesespaco
i nessonfrecuentes.Unprofesordefísicalevaconsg
i osuprácticafavoritaala
Luna.Elaparatoconssiteenunamesahorizontallisayuncuerpoque
sedeslizasobreellasinrozame
i nto.EnlaTierra,cuandoelprofesor
enganchaunmuee
l (constantedefuerza50N/m)alcuerpoypresionahorzi ontam
l entesobreelcuerpo,elmuelesecomprime2cm,
luegosueltaelcuerpoyésteseacee
l raa1,5m/s2.(a)Dibujareldiagramadefuerzasqueactúansobreelcuerpoyutilíceloparadeterminarlamasadelcuerpo.(b)¿Cuád
l eberíaserlaacee
l racó
i ndelcuerpo
bao
j idénticascondciones?
48 • Unaá
l mparademasani=42,6kgcueg
l adeunosaa
l mbres
cornoindicalafigura4.37.Elanilotienemasadespreca
i be
l .Latensó
in
T1enelaa
l mbreverticales(a)209N,(b)418N,(c)570N,(d)360N,
(e)730N.
FIGURA4.37
Probe
lma48
49 • •Enlafigura4.38asemuestraunbo
l quede0,500kgque
cueg
ladelpuntomedo
i deunacuerdade1,25mdelongitud.Losextremosdelacuerdaestánsujetosaltechoenunospuntosseparados
10
,0m.(a)¿Quéánguo
l formalacuerdaconeltecho?(b)¿Cuáe
l slatensó
i ndelacuerda?(c)Sequitaelbo
l quede0,500kgysecueg
l andosbloquesde0,250kgcadaunodeformaquelalongituddelostrestramos
decuerdaeslamsima,talcomoseveenlafigura4.38b.¿Cuáe
l slatensó
i nencadasegmentodelacuerda?ualls
2
DIAGRAMASDEFUERZAS:
EQUILIBRIOESTÁTICO
47 • APLC
I ACÓ
I NALAN
I GENE
I RA
ÍM
, ÚLTP
I LESPASOSUnsemáforode35kgestácog
l adodeunsoportetalcomosemuestraenla
figura4.36.(a)Dibujarelda
i gramadefuerzasyutilizarlopararespondercualitativamentealapregunta:¿a
l tensióndelcabe
l 2esmayoro
menorqueladel1?(b)Verificarlarespuestautilzandolasleyesde
Newtonydespea
j ndolasdostenso
i nes.
-~
T2
60° Tl
o
o
111211k"b
ig
li
(a)
(
b
FIGURA4.38Problema49
)
50 • •Unabolade100Nsecueg
l adeunascuerdastalcomose
muestraenlafigura4.39.¿Cuáe
l slatensó
i ndelacuerdahorizontal?
FIGURA4.39
Probe
lma50
60°
FIGURA4.36
Probe
lma47
CAPT
ÍULO4LeyesdeNewton
120
51 • •Unobe
j tode10kgdemasadescansasobreunamesacon
laquenorozayestásujetoadosfuerzashorizontales,F1yF2,con
móduo
lsF1=20NyF2=30N,comosemuestraenlafigura4.40.EncontrarlafuerzaF3quedebeaplicarseparaqueelcuerpoestéen
equilibrioestático.glaP
y
FIGURA4.40
Probe
lma51
52 • •Determinelastenso
i nesylasmasasdesconocd
i asdelos
ssitemasenequilibrioqueserepresentanenlafigura4.41.
(a)
/3\ ./n\
(c)
54• ••APLC
IACÓ
I NALAN
I GENE
IRA
ÍM
, ÚLTP
ILESPASOSEnag
lunos
festivalesycelebraciones,enunacuerdalarga,sujetaporsusdosextremosalsuelo,seatango
l boslenosdeheliocuyafuerzaascenso
i nalevantalacuerdadándoleunaformadearco,talcomoseveenlafigura
4.43aS
.upongamosquehayNgo
l bosatadosaintervalosigualesauna
cuerdasinmasadelongitudL,sujetaalsueloporsusdosextremos.
Cadagloboproporco
i naunafuerzaascenso
i nalF.Lascoordenadashorizontalesyverticalesdelpuntodelacuerdadondeseataelgo
l boison
xiey1,yTieslatensióndelsegmentoidelacuerda(elsegmentoOesel
segmeno
tentreelpuntodesujeciónalsueloyelprimergo
l boyelsegmeno
tNcorespondealtrozodecuerdaqueuneelgloboNconelotro
extremoalqueestásujetalacuerda).(a)Lafigura44
.3bmuestraeldiagramadefuerzasenelgloboi.Apartirdeestediagrama,demostrarque
lacomponentehorizontaldelafuerzaTi(denomn
iadaTH)eslams
ima
paratodoslossegmentos.(b)Consd
ierandolacomponenteverticalde
lasfuerzas,utilizarlasleyesdeNewtonparadeducirlaecuacó
i nsigue
intequerelacionalatensióndelossegmentosIe(i—1):Ti_1sen
O_
i—
i T1senOi=F.(c)Demostrarquetgeo=—tgON1,=NF/2TH.(d)
Apartirdelda
igramaydelasdosexpreso
inesanteriores,demostrarque
L
L
-1
tanel=(N—2i)F2
/THyquey'.=N+1Z
c
o
s
0
.
y
.
=
y
s
i
n
O
.
1.0 j =N+011-~
(b)
FG
I URA4.41
Probe
lma52
53 • •APLC
I ACÓ
I NALAN
I GENE
I RA
Í Uncocheestáestancadoen
terrenoblando.Elconductorestásoloperods
iponedeunacuerdalarga
yfuerte.Recordandosusconocm
ie
intosdefísica,atalacuerdatensaa
unpostetelefónicoytiradeelalateralmentecomoindicalafigura4.42.
Pose
t telefónico
FIGURA4.42Problema53
(a)Determn
i arlafuerzaejercidaporlacuerdasobreelcochecuandoel
ánguo
lOes3°yelconductortiraconunafuerzade400N,peroelcoche
nosemueve.(b)¿Quéressi tenca
i deberíatenerlacuerdasisenecestiara
unafuerzade600Nbajounánguo
l deO=4°paramoverelcoche?
TH
(b)
FG
I URA4.43Problema54
Probe
lmas I 121
55 • ••APLICACIÓNALAN
I GENE
I RA
ÍH
, OJADECÁLCULO(a)Considé-
reseunasoluciónnumérc
iadelprobe
lma54.Escribirunprogramacon
unahojadecálculoquedibujelaformadelarcoteniendoencuentalos
sg
i ue
intesparámetros:N=10go
l bos;cadaunodelosgo
lbosproporco
i na
unafuerzade1N;lacuerdatiene11mdelongitudylacomponentehorizontaldelatensiónesT11=10N.¿Aquédistanciaestánlospuntosdesujeciónconelsueo
l?¿Cuáe
lslamáxm
i aalturadelarco?(b)Obsérveseque
nohemosindicadocuáleslaseparacó
i nentrelospuntosdesujeciónde
lacuerda,yaqueestadistanciavienedetermn
i adaporotrosparámetros.
VariarT11mantene
indofijoso
lsotrosparámetroshastaquepuedacrear
unarcocuyassue
jco
i nesesténseparadas8m¿
.QuévalortieneT11?A
medd
iaqueT11aumenta,elarcosehacemásplano.¿Elmodeo
lconla
hoa
jdecálculoreproduceestecomportame
into?
59 • •Uncuerposemantieneenposiciónmedianteuncablealo
largodeunplanoinclinadopulido(figura4.46).(a)SiO=60°yni=
50kg,determinarlatensióndelcableylafuerzanormalejercidaporel
pa
lnoinclinado.(b)DeterminarlatensiónenfuncióndeOyin,ycomprobarelresultadoparaO=0y0=90°.
DIAGRAMASDEFUERZAS:PLANOS
INCLINADOSYFUERZANORMAL
56 • Unacajagrandede20kgdemasaestáenrepososobreuna
superficiesn
irozamiento.Sisetiradelacajaconunafuerzade250N
conunánguo
l de35°pordebao
j delahorizontal,¿cuáleslaaceleración
delacajaenladireccióndelasuperficie?
57 • Unacajade20kgestásituadaahoraenunarampainclinada
15°sobreunasuperficiesn
irozamientoS
. etiradelacajaconunafuerza
queformaunánguo
l de40°conlahorizontal(véaselafigura4.44),¿cuál
eselmenorvalordelafuerzaquehacequelacajasubaporlarampa?
F
FIGURA 4.44
Probe
lma57
FIGURA 4.46
Probe
lma59
60 • •Unafuerzahorizontalde100Nactúasobreunbloquede
12kghaciéndolesubirporunplanoinclinadosinrozamiento,que
formaunángulode25°conlahorizontal.(a)¿Cuáleslafuerzanormal
queelplanoinclinadoejercesobreelbo
lque?(b)¿Cuáe
lslaaceleración
deb
lo
lque?
61 • •Unestudiantede65kgsepesasubé
indoseaunabalanzaque
estáds
ipuestasobreunmonopatn
íconruedas,quebajaporunplanoincn
il ado(figura4.47)S
. uponerquenohayrozame
intoyquelafuerzaejercd
i aporelplanoinclinadosobreelmonopatn
íesperpendicularalplano
inclinado.¿Cuáe
lslalecturadelabalanzasO
i =30°?Ruar
58 • Enlafigura4.45,losobjetosestánsujetosadn
iamómetros
cab
il radosennewtons.Darlaslecturasdelosdn
iamómetrosencada
casos,upone
indoquelascuerdascarecendemasa.
11
FIGURA 4.47
Probe
lma61
(b)
FIGURA 4.45
Probe
lma58
(C)
(d)
62 • • Unobjetodemasamresbalaporunasuperficiesn
i rozame
intoqueacabaconunarampaconunainclinaciónOrespectolahorizontal(véaselafigura4.48).Lavelocidadinicialdelobjetoesyo.
Cuandoelobjetoalcanzalarampasubehastaunaalturahantesde
bajardenuevoD
. emostrarquehesindependientedemyO.Deducirla
expresó
inparah.
FIGURA 4.48 Problema62
122 I CAPÍTULO4LeyesdeNewton
DA
I GRAMASDEFUERZAS:ASCENSORES
63 • CONCEPTUAL(a)Dibujaelda
i gramadefuerzaspara
unobe
j tocog
l adodeltechodeunascensorquesubee
l ntamente.(ti)
Repetrielapartado(a)perosupone
i ndoqueelascensordesce
i nde
aumena
tdolavelocidad.(c)¿Puedeindicarlasdiferenciasentre
ambosda
i gramas?Explicarporquélosda
i gramasnodicennada
sobrelaveo
l cd
i addelobjeto.
64 • Unpesode10kgsesoste
i nedeltechodeunascensor
meda
inteunacuerdacapazderesistir150N.Pocodespuésdequeel
ascensorempe
iceasubir,lacuerdaserompe.¿Cuálfuelaacee
l racó
i nmínm
i adelascensor?
65 • •Uncuerpode2kgcueg
l adeundn
i amómetro(calibradoen
newtons)sue
j toaltechodeunascensor(figura4.49).Determn
i arlalecturaqueindicaráeldn
i amómetro(a)cuandoelascensorsemuevehaca
i
arribaconveo
l cd
i adconstantede30m/s,(b)cuandoelascensordesce
i ndeconveo
l cd
i adconstantede30m/s,(c)cuandoelascensorsube
a20misyacee
l rahaca
i arribaa10m/s2.(d)Det=Oat=5s,elascensorsemuevehaca
i arribaa10m/s.Suveo
l cd
i adsereduceentonces
unfo
i rmementeaceroenlossg
i ue
i ntes4segundos,demodoquequeda
enreposoparat=9s.Describirlalecturadeldn
i amómetroduranteel
intervaloO<t<9s.
FG
I URA4.49
Probe
lma65
67 • •Unbo
l quedemasam2=3,5kgdescansasobreunestante
horizontalsinrozame
i ntoyestáconectadomeda
i ntecuerdasadosbloquesdemasasmi=1,5kgym3=Z5kg,quecueg
l anb
il remente,como
semuestraenlafigura4.51.Laspoe
l ascarecenderozame
i ntoysumasa
esdespreca
i be
l .Elssitemasemane
tineinicialmenteenreposo.Cuando
sedea
j enlibertad,determn
i ar(a)laacee
l racó
i ndecadaunodelosbloques,y(b)latensó
i ndecadacuerda.
FIGURA4.51Problema67
68 • •Dosbo
l quesestánencontactosobreunasuperficiehorziontalsinrozame
i nto.UnafuerzaFhorizontalseaplicaaunodeellos
comomuestralafigura45
.2yambossonacee
l rados.Determn
i arlaaceleracó
i nylafuerzadecontactodelbo
l que1sobreel2para(a)losvaloresgenerae
l sdeF,miy1n2y(b)paraF=3,2N,mi=2kgy1172=6kg.
FIGURA4.52Problema68
69 • •Repetirelprobe
l ma68,n
i tercamba
i ndolaposicióndelos
dosbo
l ques.
70 • •Dosbo
l quesde100kgsonarrastradosalolargodeunasuperficiesn
i rozame
i ntoconunaacee
l racó
i nconstantede1,0m/s2,como
seindicaenlafigura4.53C
. adacuerdatieneunamasade1kg.Determ-i
narlafuerzaFylatensó
i ndelascuerdasenlospuntosA,ByC.
a=1.00m/s2
DIAGRAMASDEFUERZAS:
VARIOSCUERPOSY
LATERCERALEYDENEWTON
66 • •CONCEPTUALDosbo
l quesdemasasm1ym2conectados
entresíporunacuerdademasadespreca
i be
l seacee
l ranuniformemene
tsobreunasuperficiesn
i rozame
i nto,comoseindicaenlafigura
4.50.(a)Dibujarelda
i gramadefuerzasparalosdosbo
l quesymostrar
quelarelacióndelastenso
i nesT1T2vienedadapormi 1+ m2).
(b)Razonadsiesteresutladoeslógicoono.Consd
i eradloscasoslímite
"12/mi>>1ym1/m2»1.
T2
T1
FIGURA4.50Problema66
FG
I URA4.53Problema70
71 • •Sesubeunobe
j todemasainconunacuerdademasaM
ydelongitudLsujetadesdeunodesusextremos.Lacuerdayelobjetoseacee
l ranenladirecciónverticalconacee
l racó
i na.Ladistribucó
i ndelamasaenlacuerdaesuniforme.Demostrarquela
tensó
i nenlacuerdaaunadistanciax(se
i ndox<L)porencm
i adel
bo
l quees(a+g)[m+(xL)A41.
72 • •Unacadenaconstade5esa
l bones,cadaunoconuna
masade0,1kg.Sesubelacadenavertci am
l enteconunaacee
l racó
in
de2,5m/s2.Lacadenasesue
j tadesdeelesa
l bónsuperiorynn
i gún
puntodelacadenatocaconelsueo
l .Determn
i ar(a)lafuerzaFejercd
i aenelextremosuperiordelacadena,(b)lafuerzanetaencada
esa
lbóny(c)lafuerzaquecadaesa
l bónee
j rcesobreelesa
l bóninmeda
itamenteinferior.
Probe
lmas I 123
73 • •MÚLTP
I LESPASOSUnobjetode40,0kgsuspendd
i ode
unacuerdaverticalestáinicialmenteenreposo.Elobjetoseacee
l ra
entonceshaca
i arribahastaacl anzarunaveo
l cd
i adde3,5m/sen
07
,00s.(a)Dibujarelda
i gramadefuerzas.(b)Utilizarelda
i gramay
lase
l yesdeNewtonparadetermn
i arlatensó
i ndelacuerda.MI"
quessereempa
l zanporotrasdemasas1
/11y1112,detalmodoquenose
produceacee
l racó
i n.Determn
i artodalan
i formacó
i nposiblesobrelas
masasdeestosdosnuevosbo
l ques.
74 • •APLC
I ACÓ
I NALAN
I GENE
IRA
ÍM
, ÚLTP
ILESPASOSUnhe-
licópterode15000kgestádescende
i ndouncamó
i nde4000kgal
sueo
l meda
i nteuncabe
l delongitudfija.Elhelicóptero,elcabe
l yel
camóindesce
i ndena15misydebenreducirlaveo
l cd
i addedescensoa5m/senlospróxm
i os50mpanevitardañossobreelcamó
i n.
Supógansequeelritmodereduccó
i ndelaveo
l cd
i adesconstante.(a)
Dibujarelda
i gramadefuerzasdelcabe
l .(b)Determn
i arlatensión
delcabe
l .(c)Determn
i arlafuerzaascendentequegeneraelhelicóptero.
75 • •Dosobe
j tosestánconectadosporunacuerdademasadespreca
i be
l ,comoseindicaenlafigura4.54.Elpa
l noinclinadoylapoe
la
carecenderozame
i nto.Determn
i arlaacee
l racó
i ndelosobe
j tosylatensó
i ndelacuerdapara(a)vao
l resgenerae
l sdeO,miym2y(b)a=30°y
nlim2 5 kg•
400
50°
FIGURA 4.56 Problema77
78 • •Unacuerdapesadadelongitud5niymasa4kgseencuentra
sobreunamesahorizontalsinrozame
i nto.Unextremoseconectaaunbloquede6kg.Enelotroextremodelacuerdaseaplicaunafuerzahorzi ontalconstantede100N.(a)¿Cuáe
lslaacee
l racó
i ndelssitema?(b)Expresar
latensó
i ndelacuerdaenfuncó
i ndesuposció
i naloa
l rgodeésta.
79 • •Unapintorade60kgestádepiesobreunmontacargasde
au
l mn
io
i de15kg.Elmontacargasestásue
j toporunacuerdaquepasa
porunapoe
l astiuadaenloaltodelacasa,loquelepermtieee
l varsea
símsimayalapa
l taforma(figura4.57).(a)¿Conquéfuerzadebetirar
delacuerdaparaqueelconjuntoasce
i ndaconunaacee
l racó
i nde
0,8m/s2?(b)Cuandosuveo
l cd
i adaclanzaelvalorde1rn/s,tiradela
cuerdademodoqueellaysumontacargasasce
i ndaaveo
l cd
i adconstante.¿Quéfuerzaee
j rceentonceslacuerda?(Ignorarlamasadela
cuerda.) W
FIGURA 4.54 Problema75
76 • •APLC
I ACÓ
I NALAN
I GENE
I RA
Í Enunarepresentacó
i nescénciadelcuentodePeterPan,laactrizquehaceelpapeldePeter,que
pesa50kg,hade"volar"vertci am
l ente(descende
i ndo)deformaque
paracoincidirconelfondomusciad
l ebebajarunadistanciade3,2men
2,2s.Entrebastd
i ores,unasuperficiepud
il a,inclinada50°,soportaun
contrapesodemasam,comoindicalafigura4.55.Indicarloscácl uo
ls
quedeberealizareldirectordeescenaparadetermn
i ar(a)lamasadel
contrapesoquedebeutilzarsey(b)latensó
i ndelcabe
l.
FIGURA 4.57
Probe
lma79
*s-Zzenr,
80 • ••Lafigura4.58muestraunbo
l quede20kgquesedesliza
sobreotrode10kg.Todaslassuperficiesseconsd
i eransinrozame
i nto.
Determn
i arlaacee
l racó
i ndecadabo
l queylatensó
i nenlacuerdaque
losconecta.
FIGURA 4.55 Problema76
77 • •Unbo
l quede8kgyotrode10kg,conectadosporuna
cuerdaquepasaporunapoe
l asinrozame
i nto,sedeslizanporpa
l nos
incn
il adossinrozame
i ntocomoindicalafigura4.56.(a)Determn
i arla
acee
l racó
i ndelosbo
l quesylatensióndelacuerda.(b)Losdosblo-
FIGURA 4.58 Problema80
124
CAPT
ÍULO4LeyesdeNewton
81 • ••Unbo
l quede20kgdotadodeunapoe
l asedeszil aalolargo
deunasuperficiesn
i rozame
i nto.Estáconectadomeda
i nteunacuerda
aunbo
l quede5kgsegúneldispositivoquesemuestraenlafigura
4.59.Determn
i ar(a)laacee
l racó
i ndecadaunodelosbo
l quesy(b)la
tensó
i ndelacuerda.
FIGURA4.59Problema81
82 • •MÚLTP
I LESPASOSElaparatodelafigura46
.0sedenomn
ia
máquniadeAtwoodyseutilizaparamedrilaacee
l racó
i ndebd
i aala
gravedadgapartirdelaacee
l racó
i ndedosbo
l quesconectadosconuna
cuerdaquepasaporunapoe
l a.(a)Dibujarelda
i gramadefuerzasde
cadabo
l que.(b)Utilizarelda
i gramadefuerzasylase
l yesdeNewton
parademostrarqueelmóduo
l delaacee
l racó
i ndecualquierbo
l quey
latensiónson:a=(m1—m2)g/(mi+m2)yT=2nz1n12g/(mi+m2).
(c)Estasexpreso
i nes,¿proporco
i nanresutladoscorrectossim1=m2?
¿Yenellímitem1»m2?¿Yenellímitemic<m2?Razonarlasrespuestas.
PROBLEMASGENERALES
85 • •Unapequeñapiedrademasanidescansasobreelbo
l quede
masan12delamáqun
i adeAtwooddelafigura4.60.Determn
i arla
fuerzaejercidaporlapiedrasobreelbo
l quedemasan2
i.
86 • •Puedeconstruirseunacee
l rómetrosencilocog
l andoun
cuerpopequeñodeunacuerdasue
j taaunpuntofijoenunobe
j toque
seacee
l ra,poree
j mpo
l ,enelpuntoPdeltechodeunautomóvliquese
mueveporunasuperficiepa
lnaconacee
l racó
i nconstante.Debd
i oala
acee
l racó
i n,lacuerdaformaráunánguo
lOconlavertical.(a)Demostrar
quelaacee
l racó
i naestárea
l co
i nadaconelánguo
lOquelacuerdaforma
conlaverticalpora=gtgO.(b)Supóngasequeelautomóvlifrenahasta
legaralreposodesdelavelocidadde50km/henunadistanciade
60m.¿Quéánguo
l formarálacuerdaconlavertical?¿Lamasasesituarápordea
l nteopordetrásdelpuntoP?
87 • •APLICACIÓNALAN
I GENE
IRA
Í Elmástildeunbalandro
estásujetoaproayapopapordoscabe
l sdeaceroinoxidableconsus
anca
le
j sseparadosunadistnaciade10ni(figura4.61).Elmástil,de12
nidealtura,pesa800Nyseapoyavertci am
l entesobrelacubiertadel
baa
l ndro.Elmástildista3,5mdelanca
le
j delcabe
l dea
l ntero(elmás
próxm
i oalaproa).Latensó
i ndeestecabe
l esde500N.Determn
i ar
latensó
i nenelcabe
l traseroylafuerzaqueelmástilee
j rcesobrela
cube
i rtadelbaa
l ndro.TTP
FIGURA 4.61 Problema87
FIGURA4.60
Probe
lmas82y83
88 • •Unacadenalargayunfiormecueg
l adeltechoaguantando
unobjetode50kgdemasa.Lamasadelacadenaesde20kg,ysu
longitudes1,5m.Determn
i arlatensó
i nenlacadena(a)enelpunto
dondelacadenaestásujetaalobjeto,(b)enlamitaddelacadena,y
(c)enelpuntodondelacadenaestásue
j taaltecho.
83 • •Siunadelasmasasdelamáqun
i adeAtwooddelafigura
46
.0es1,2kg,¿cuálseríalaotramasaparaqueeldespa
l zame
i ntode
cuaq
l ue
i radeelasduranteelprimersegundodespuésdecomenzarel 89 • •Lavelocidaddelacabezadeunpájarocarpinteroantes
movm
ie
i ntofuese0,3m?Supóngasequelapoe
l anotienemasanipro- dem
i pactarcontraunárbolesde5,5m/s.Silamasadelacabezaesde
ducerozame
i ntoyquelascuerdastampocotienenmasa.
00
,6kgylafuerzameda
i sobrelacabezaesde6N,determn
i ar(a)laaceleración,supuestaconstante,delacabeza,(b)laprofundidaddepene84 • ••Laacee
l racó
i ndelagravedadgpuededetermn
i arsemi- tracióndelpicodentrodelárbol,(c)elte
i mpoquetardalacabezaen
de
i ndoelte
i mpotquetardaunamasam2delamáqun
i adeAtwooden detenerse.
caerunadistanciaLapartirdelreposo.(a)Determn
i arunaexpresó
in
paragenfuncióndemi,m2,Lyt.(b)Demostrarquesisecometeunpe- 90 • •MÚLTP
I LESPASOSSupongamosqueunasuperficiesn
i roqueñoerrorenlamedd
i adelte
i mpodt,elloconducriáaunerrorenla zame
i ntoestáinclinadaunánguo
l de30°conlahorizontal.Unbo
l que
determn
i acó
i ndeg,dadoporlaexpresó
i ndgg=—2dt/t.(c)SiL=3m de270gestáatadoaunpesode75gquecueg
l adeunapoe
l a,comose
ymi=1kg,determn
i arelvalordem2,demodoquegpuedamedrise muestraenlafigura4.62.(a)Dibujarlosdosda
i gramasdefuerza,uno
conunaexactiudde±5%yunamedd
i adelte
i mpoconunerrorinfe- paraelbo
l queyelotroparaelpesoquecueg
l a.(b)Determn
i arlatenriora0,1s.
só
i nenlacuerdaylaacee
l racó
i ndelbo
l que.(c)Elbo
l quepartedelre-
Probe
lmas
FIGURA4.62Problema90
poso.¿Cuántote
i mpolecuestadeszilarseunadistanciade1mporlasuperfci e
i ?¿Sedeszil aráhaca
i arribaohaca
i abao
j?
91 • •Unbo
l quedemasamiesm
i pusladoporunafuerzaFaplicadaenelextremodeunacuerdaquetieneunamasam2muchomenor,
comoseindicaenlafigura4.63.Elbo
l quesedeslizaalolargodeuna
superficiehorzi ontalpulida.(a)Determn
i arlaacee
l racó
i ndelacuerda
yelbo
l queconu
j ntamente.(b)¿Cuáe
l slafuerzanetaqueactúasobre
lacuerda?(e)Determn
i arlatensó
i ndelacuerdaenelpuntodondeestá
atadaalbo
l que.
5m
5m
125
FIGURA4.65
Probe
lmas93y94
94 • •Consd
i eremoslamáqun
i adeAtwooddelafigura4.65.
CuandosetransfierenNarandea
l sdelladoizquierdoalladoderecho,esteúltimodesce
i nde47,1cmen0,40s.Determn
i arN.
95 • •Dosbo
l quesdemasasiny2mestánsue
j tosporunacuerda
(figura4.66)yseencuentransobreunasuperficiehorizontalperfectamene
t pulida.Sobrelosbo
l quesseaplicanlasfuerzasF/yF2.(a)Silas
fuerzassonconstantes,determn
i arlatensó
i ndelacuerda.(b)Silasfuerzasvaríanconelte
i mposegúnF1=CtyF2=2Ct,dondeCes5N/sy
teltiempo,determinarelte
i mpotoenelcuallatensióndelacuerdaes
10N.
FIGURA4.63Problema91
92 • •Uncuerpode2kgdescansasobreunpa
l noinclinado60°
sn
i rozame
i ntoquesedeslizaconunaacee
l racó
i nTihaca
i laderecha
detalmodoquelamasapermaneceestaco
i nara
i conrelaciónalpa
l no
(figura4.64).(a)Dibujarelda
i gramadefuerzasyutilizarloparadetermn
i arelmóduo
l delaacee
l racó
i n.(b)¿Quéocurriríasielpa
l noadqurieseunaacee
l racó
i nsupero
i r?
FIGURA4.64
Probe
lma92
93 • •• Lasmasacoo
l cadasacadaladodeunamáqun
i ade
Atwoodsonunapiladecn
i coarandea
l s,cadaunademasani,como
semuestraenlafigura4.65.LatensióndelacuerdaesTo.Sisequita
unaarandea
l delladoizquierdo,lasrestantesarandea
l sacee
l rany
latensióndsi mn
i uyeen0,3N.(a)Determinarm.(h)Calcularla
nuevatensiónylaacee
l racó
i ndecadamasacuandosequitaunasegundaarandea
l deladoizquierdo.■mp
FIGURA4.66 Problema95
96 • •Desdequemurióel16deagostode1977,ElvisPrese
l yha
sd
i ovistosupuestamentenumerosasveces.Latablaadu
j ntailustrael
pesoquetendríaElvissifuesevistosobrelasuperficiedeotroscuerpos
denuestrossitemasolar.Utilcelatablaparadetermn
i ar(a)lamasade
Evl si enlaTierra,(b)lamasadeElvisenPu
l tóny(c)laacee
l racó
i ndela
gravedaddeMarte.(d)Comparelaacee
l racó
i ndelagravedaddePu
l tón
conladelaLuna.
Pa
l neta
PesodeElvis(N)
Mercuro
i
431
Venus
1031
Tierra
1133
Marte
431
Júpiter
2880
Saturno
1222
Pu
l tón
58
Luna
191
97 • • •PÓNGALOENSUCONTEXTOSusamigoslehanhechouna
bromaylehansecuestradome
i ntrasdormíadeá
j ndoe
l sobreelhielo
quecubreparca
im
l enteunlago.Cuandosedespe
i rtaseencuentraa
30mdelaorilamáscercana.Elhielosedeszil asobreelaguasinrozame
i nto.SedacuentadequepuedeutilizarlaterceraleydeNewton
paralegaralaorilaydecd
i ea
l nzarlomáspesadoquetenga,comopor
ee
jmpo
l unabotade1,2kg.Supongaquesupesoesde595N.(a)¿En
quédireccióndeberálanzarlabotaparamoverseenladirecciónadecuada?(b)Sia
l nzalabotaconunafuerzameda
i de420Nyellanza-
126
CAPITULO 4 Leyes de Newton
mientodura0,6 s (el intervalodetiempodurante el cualaplica la
fuerza),¿cuáleselmódulodelafuerzaquelabotaejercesobreusted?
(supongalaaceleraciónconstante)(c)¿Cuántotiempotardaráenlegar
ala orilla,incluyendoeltiempoqueduraellanzamiento?
98 • • • La poleadeunamáquinadeAtwoodexperimentaunaaceleraciónhaciaarribaá,comosemuestraenlafigura4.67.Determinarla
aceleracióndecadamasay latensiónenlacuerdadelamáquina.En
estecaso,lasvelocidadesdelosdosbloquesnosoniguales.
FIGURA 4.67 Problema98
99 • •APLICACIÓNALAINGENIERÍA,PÓNGALOENSUCONTEXTO,
HOJADECALCULOUstedtrabajaparaunarevistadeautomóvilesyse
encargaderealizarlaspruebasauncochede650kg.Mientrasacelera
desdeelreposo,elordenadordeabordoregistralavelocidadenfunción
deltiempoproporcionandolossiguientesresultados:
vx(m/s):
010 2 0 3 0 4 0 5 0
t(s):
1,8 2 , 8 3 , 6 4 , 9 6 , 5
(a)Utilizandounhojadecálculoencuentrelaaceleraciónmediadelos
cincointervalosytraceelgráficodelavelocidadfrehtealtiempoy la
aceleraciónfrentealtiempo.(b)Indique,enelgráficodelavelocidad
frentealtiempo,dóndelafuerzanetaesmásalta ydóndemásbaja.
(c)¿Cuáleslafuerzamediasobreelcochealo largodetodoelrecorrido?(d)Apartirdelgráficodelavelocidadfrentealtiempo,estimela
distanciatotalrecorridaporelcoche.